学习总结数学精选(九篇)

前言：一篇好文章的诞生，需要你不断地搜集资料、整理思路，本站小编为你收集了丰富的学习总结数学主题范文，仅供参考，欢迎阅读并收藏。

第1篇：学习总结数学范文

    1.思考:思考是数学学习方法的核心。在学这门课中,思考有重大意义。解数学题时,首先要观察、分析、思考。思考往往能发现题目的特点,找出解题的突破口、简便的解题方法。在我们周围,凡是真正学得好的同学,都有勤于思考,经常开动脑筋的习惯,于是脑子就越用越灵,勤于思考变成了善于思考。我正因为掌握应用了这一方法,所以在全国数学竞赛中获得了武汉市一等奖。

    2.动手试一试:动手有助于消化学习过的知识,做到融会贯通。课下,我常常把老师讲过的公式进行推导,推导时不要看书,要默记。这样就能使自己对公式掌握滚瓜烂熟,可为公式变形计算打下扎实的基础。

    3.培养创造精神:所谓创造,就是想出新办法,做出新成绩,建立新理论。创造,就要不局限于老师、课本讲的方法。平时,有一些难度高的题目,我在听懂了老师讲的方法后,还要自己去找一找有没有另外的解法,这样能加深对题目的理解,能比较几种解法的利弊,使解题思维达到一个更高的境界。

    科学的学习方法在课内课外应注意些什么呢?

    第一,认真听老师讲课。这是我取得好成绩的主要原因。听讲时要做到全神贯注,聚精会神,跟着老师的思路走,不能开小差,更切忌一边讲话一边听讲。其次要专心凝听老师讲的每一个字,因为数学是以严谨着称的,一字之差就非同小可,一字之间就隐藏玄机无限。听讲时还要注意记笔记。一次老师讲了一个高难度的几何题,我一时没有听懂,多亏我记下了这道题以及解法,回家后仔细琢磨,终于理解透了,以至在一次竞赛中我轻而易举地解出了类似的一道题,获得了宝贵的10分。上课还要积极举手发言,举手发言的好处可真不少!①可以巩固当堂学到的知识。②锻炼了自己的口才。③那些模糊不清的观念和错误能得到老师的指教。真是一举三得。总之,听讲要做到手到、口到、眼到、耳到、心到。

    第二,课外练习。孔子曰:“学而时习之”。课后作业也是学习和巩固数学的重要环节。我很注意解题的精度和速度。精度就是准确度,专心致志地独立完成作业,力求一次性准确,而一旦有了错,要及时改正。而速度是为了锻炼自己注意力集中,有紧迫感。我经常是这样做的,在开始做作业时定好闹钟,放在自己看不见的地方再做作业,这样有助于提高作业速度。考试时,就不会紧张,也不会顾此失彼了。

    第三,复习、预习。对数学的复习,预习我定在每天晚上,在完成当天作业后,我将第二天要学的新知识简要地看一看,再回忆一下老师已讲过的内容。睡觉时躺在床上,脑海里再像看电影一样将老师上课的过程“看”一遍,如果有什么疑难,我立即爬起来看书,直到搞懂为止。每个星期天我还作一星期功课的小结复习、预习。这样对学数学有好处,并掌握得牢固,就不会忘记了。

第2篇：学习总结数学范文

关键词：设疑；思考；总结

高职学生无论是数学的学习兴趣，还是学习主动性，都较淡薄；在数学学习过程中，无论是对问题的敏感度，还是对问题的感悟度，都较浮浅。因此，作为数学老师，就需要在授课过程中，采用不同的教学方式方法，调动学生学习数学的兴趣和主动性，培养他们的对问题的敏感度和感悟度，从而提高他们的数学思想和学习能力。

一、启发设疑，增强学生发现问题、提出问题的能力

设疑是思维的开端，发现问题是创造的基础，提出问题是产生求知欲望和兴趣的源泉。在高等数学教学中，教师要善于利用问题设疑来鼓励和激发学生独立思考、积极探索，使学生在层层悬念中迫不及待地积极探索事情的前因后果及其内涵，点燃他们智慧的火花，从而培养学生学习数学的兴趣。

例如，在初等函数的连续性中，有两个结论：（1）“一切基本初等函数在其定义域内都是连续的”；（2）“一切初等函数在其定义区间内都是连续的”，前者说在“定义域内”，后者说在“定义区间内”；设疑：（1）这两者间有何区别？（2）为什么不能说成“一切初等函数在其定义域内都是连续的”？首先，一个函数的定义域不一定都能表示成区间的形式，如y=的定义域为数集{…，-3，-1，1，3，…}，其次，说函数在区间内连续是指在区间内每一点都连续，而所有的基本初等函数的定义域，全部可以用区间表示，所以“一切基本初等函数在其定义域内都是连续的”实际上是说在其定义区间内连续；但是，初等函数的定义域就不一定都能表示成区间的形式，如上例，它是初等函数，但它的定义域只能用数集表示，而不能用区间表示，可见，如果说“一切初等函数在其定义域内都是连续的”就是错误的。

老师在教学过程中，要引导学生主动设疑，从而发现问题、提出问题，由此，为今后的创新、发明提供基础意识。

二、引导思考，培养学生分析问题、解决问题的能力

问题：将12米的铁丝，折成一个封闭的长方形，问长和宽是多少时，围成的面积最大？为什么？

首先，引导学生将这样一个实际问题，转化为数学问题――建立数学模型。此时，关键是如何从问题中抽象出“量”，并搞清楚哪些是常量、哪些是变量，这些量之间存在什么样的依赖关系。此问题，共涉及四个量：铁丝的总长（围成长方形后，是其周长），长方形的长、宽和面积。设长方形的长为x，面积为y（引进变量），由长方形的性质得，其宽为（12-2x）=6-x，由于，长方形的面积=长×宽，所以，y=x（6-x）=6x-x2，其中0

第3篇：学习总结数学范文

小学数学的学习需要不断的积累和创新，最重要的就是及时进行知识点的巩固和复习。小编为大家整理了北师大版四年级数学知识点归纳及学习方法总结，希望能对大家有帮助。

北师大版四年级数学知识点

第一单元 大数的认识

数位：用数字表示数时，计数单位按照一定顺序排列，它们所占的位置叫做数位。

自然数：表示物体个数的0，1，2，3，4，5……都是自然数。所有的自然数都是整数。0是最小的自然数。

计数单位：个(一)、十、百、千……都是计数单位。

十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率都是十的计数方法叫做十进制计数法。

第二单元 公顷和平方千米

1公顷：边长是100米的正方形面积是1公顷。

1平方千米：边长是1千米的正方形面积是1平方千米。

第三单元 角的度量

角：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。

1°：将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作1°。

平角：一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角。

周角：一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角。

锐角：大于0°小于90°的角叫锐角。

钝角：大于90°小于180°的角叫钝角。

第四单元 三位数乘两位数

积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几(0除外)，积也乘(或除以)几。

速度：单位时间内行驶的路程叫做速度。(千米/小时米/分钟)

第五单元 平行四边形和梯形

平行：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

垂直：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离。

平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。

梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。

第六单元 除数是两位数的除法

商的变化规律：

1.除数不变，被除数乘或除以几(0除外)，商也乘或除以几。

2.被除数不变，除数乘或除以几(0除外)，商反而除以或乘几。

3.被除数和除数都乘或除以一个相同的数(0除外)，商不变。

余数的变化规律：

被除数和除数的末尾都去掉相同个数的0，商不变。但余数发生变化，去掉几个0，余数末尾应添上几个0。

北师大版四年级数学学习方法

一、思考：思考是数学学习方法的核心。在学这门课中，思考有重大意义。解数学题时，首先要观察、分析、思考。思考往往能发现题目的特点，找出解题的突破口、简便的解题方法。在我们周围，凡是真正学得好的同学，都有勤于思考，经常开动脑筋的习惯，于是脑子就越用越灵，勤于思考变成了善于思考。我正因为掌握应用了这一方法，所以在全国数学竞赛中获得了武汉市一等奖。

二、动手试一试：动手有助于消化学习过的知识，做到融会贯通。课下，我常常把老师讲过的公式进行推导，推导时不要看书，要默记。这样就能使自己对公式掌握滚瓜烂熟，可为公式变形计算打下扎实的基础。

三、培养创造精神：所谓创造，就是想出新办法，做出新成绩，建立新理论。创造，就要不局限于老师、课本讲的方法。平时，有一些难度高的题目，我在听懂了老师讲的方法后，还要自己去找一找有没有另外的解法，这样能加深对题目的理解，能比较几种解法的利弊，使解题思维达到一个更高的境界。

北师大版四年级数学复习计划

一、复习指导思想

通过总复习，使学生对本学期所学的知识进行系统整理和复习，进一步巩固数概念，提高计算能力和解决问题的能力，发展空间观念、统计观念，获得自身数学能力提高的成功体验，全面达到本学期规定的教学目标。

二、复习内容

大数的认识、角的度量、两位数乘三位数、除数是两位数的除法、混合运算及简便运算、可能性大小及数学好玩

重点：大数的认识、两位数乘三位数、除数是两位数的除法。

三、复习形式：

分类复习、综合复习

四、复习目标：

1、对万级、亿级的数，十进制计数法，用“万”、“亿”作单位表示大数目以及近似数、改写等知识有进一步的认识，建立有关整数概念的认知结构;

2、复习乘、除法口算，把因数和积的关系、商变化的规律和乘、除法口算结合起来复习，使学生进一步理解口算算理，并灵活运用这些规律进行口算，使口算更正确、快速。

3、复习笔算乘、除法，让学生说一说进行乘、除法笔算需要注意什么，如因数中间、末尾有0的乘法应注意什么，除法试商、调商的原则是什么等等，会用乘、除法解决简单的实际问题，通过复习使学生理解估算在解决问题中的必要性，体会估算策略的多样化。

4、进一步提高用计算器进行大数目计算以及探索规律的操作技能，加深对计算器的认识;

5、掌握直线、射线和线段的特征，认识角，能正确画出平行线和垂线(过直线外一点和直线上一点)，进一步发展空间观念;

6、对混合运算的运算顺序及运用运算律进行简算。

7、生活中的正负数，及正负数所表示的意义。

8、数学好玩中编码，数图形中的规律。

9、通过整理和复习，进一步提高综合运用所学知识解决实际问题的能力，在解决实际问题的过程中进一步体会数学的价值;

10、通过整理和复习，经历回顾本学期的学习情况，以及整理知识和学习方法的过程，激发学生主动学习的愿望，进一步培养反思的意识和能力。

五、复习措施：

1、查漏补缺。对本册教材内容进行系统的归纳整理，理清知识点的联系，通过对基础知识的复习和练习，加强学生的记忆，深化认识，使所学的知识内化为学生的知识素养，使学生对知识的掌握理解由感性认识提升到一个理性的认识上来

2、灵活解题，提高综合运用与解决实际问题的能力。使学生在复习、练习 过程中，对知识进行分类、整理，帮助学生找出各知识之间的联系和解题规律， 重新整合，形成一个完整的知识体系，达到举一反三、能综合、灵活地运用所学的知识解决简单实际问题、应用数学的能力。

3、在复习、练习过程当中，注重学生的学习方法、数感和数学思维的梳理和培养，发展学生逻辑思维能力。

4、养成学生认真做题、细心检查的良好学习习惯，形成良好的数学情操。

5、教会学生复习方法，对所学知识进行全面系统的复习，先全面复习每一单元， 再重点复习有关重点内容。

复习作业的设计体现层次性、综合性、趣味性和开放性，及时批改，及时发现问题，查漏补缺，做到知 识天天清。

6、狠抓学生的计算和理解方面的能力。采用多种方法，比如学生出题，抢 答，抽查，学生互批等方法，提高学习兴趣。

7、提高基础较好的学生，主要是在课堂提高。对基础较差的学生采取课堂引导，课后辅导，尽量提高对基础题的理解掌握。

8、加强补差，将课内课外补差相结合，采用“一帮一”的形式，发动学生帮助他们一起进步，同时取得家长的配合，鼓励和督促其进步。做到课上多提问，作业多辅导，练习多讲解，多表扬、鼓励，多提供表现的机会。让他们力争做到当天的任务当天完成。

第4篇：学习总结数学范文

一、课题研究的实施情况

1、加强理论学习和培训力度

联合国教科文组织埃得加富尔指出：“未来的文盲不再是不会识字的人，而是不懂得该怎样去学习的人”。我们课题组深刻认识到，只有对教材有清晰的认识，才能使组织的数学活动更具实效。全课题组的教师先后参加了市、区各项课程标准培训活动，认真学习了2011版数学新课程标准。通过对修订前后的课程标准进行对比，让教师更好地对教材进行驾驭、重组，落实大教材观，努力使每个教师都能成为教材的创编者。

在此过程中，我们还观摩名师课堂教学，学习借鉴，大胆改革，勇于实践，通过骨干教师执教示范课，集体听评，研讨总结，探索创建新路子，为课题研究积累经验。

理论知识的培训、学习观摩活动提高了老师的教育教学水平，提高了课堂教学效率，同时也不断的促进教学质量的稳步提升。

2、多管齐下，整合性科研促课题发展

在“将教研提升到科研”层面这个目标的倡导下，为切实提高研究的实效性，课题组成员坚持每月研讨课不少于1节。围绕研讨课，全体成员再一起说课、评课、分析教材，进行教科研学习活动。随着课题的深入展开课题组活动还掀起了理论学习和业务培训的。共同学习了《小学数学练习有效性研究与探索》、《个性化作业设计策略》、《数学合作学习课堂的教学模式》、《新课程标准下如何设计小学数学练习》等优秀前沿的资料文章。除此之外，我们还进行班班对比的形式，并加以比较，做好记录加以反馈。

同时，本课题实施以来，我们多次举办校内数学教师的培训讲座，促进了教师教研水平的整体提高。我们还长期与全省科学教育专家及一线教师进行网上交流，共同探讨数学教学中的热点问题，为课题组教师提供经验交流与解决困惑的平台。正所谓人多力量大，我们在不断交流和碰撞中，逐渐寻求出适合课题研究的方法和路线。

3、实践操作，体会实效

新型教师必须具备理论联系实际的能力，这就需要我们能做课题研究的实践者，不能纸上谈兵，而要实践出真知。基于以上的理论研究和认识，课题组的成员都能够把理论联系实际，从平时的课堂教学出发，精心备课，把生本课堂的理念落实到课堂教学中来，鼓励每位课题组教师上课精讲，学生后多练，以扎实有效的练习促提高。

由于课题组教师在实验班级课堂上均采用“生本”形式，以生为本，即精讲多练的形式推广，学生的主体地位得到很好的体现，比以往现在的课堂教学发生了较大的变化。教师讲的时间少了，学生说时间多了；教师提问少了，学生问的问题多了；教师指导少了，学生小组活动多了；教师板演少了，学生练习时间多了。可以说现在练习的优化设计让教师上课得实惠、尝到甜头，学生上课更能积极参与了。

二、实验成果

课题组成员通过这段时间对相关的理论知识的学习，不断的将理论应用到实践当中，边边学习边实践、边研究边总结，从各方面效果看已取得了一定的成效。

1、教师的教与学生的学都发生了明显的变化

课堂上教师更注重数学练习的设计，注重和谐、民主师生关系的建立，激发了学生参与数学活动的积极性；让学生学得经松，学得愉快。教师注重数学活动内涵的挖掘，让学生充分地体验和探索，学生自主活动的时间和空间得到较大的拓展。

2、研究明确了练习设计的6个原则，并加以遵循和应用

（1）科学性原则。（2）层次性原则。（3）针对性原则。（4）灵活性原则。（5）多样性原则。（6）时效性原则。

三、存在问题及有待研究问题

1、由于每个班级的知识水平不同，练习的设计也是根据不同班级的水平而定，教师在讨论这方面的问题时也不能达成共识。

2、如何才能让所设计的练习在教学中发挥更有效的作用，并不是练习设计就是单一的进行设计练习。

3、虽然有材料积累，但还欠全面地、系统地去充实、展开研究总结。由于在实践过程中，全组研究成员都是一线教师，在时间、精力的投入较多，而对于一些资料的收集整理工作未及时归档。

4、我们正在探索评价体系，但评价的科学性、完整性和公平性还有待完善。

有的教师往往会不自觉的回到以前的教学方式，依靠大量的练习训练，以追求短期效益为目标。学生的评价体系的建立，不能只停留在以学习成绩上，而学习过程的评介逐渐得到重视。但由于评价体系还欠成熟，对教师的教学评价也有待更客观公正地去完善。

四、后阶段改进措施

1、紧密结合教学实践，不断增强科研实效

课题研究本身就是为教育教学服务的，在后期的研究中我们必须把课题研究渗透到课堂教学实践的每一个环节中去，包括：备课的详细要求、小组活动的配套方案、课后师生如何互动的情况，教学实效的评价等。

2、注重积累一手材料，充实过程研究档案

课题研究的成果来源于大量的一手材料，材料的积累来源于实践地研究。在后期的研究过程中一定要做到用心、细心、耐心、专心，视材料为命根子，做到分类明确、归类科学、整理规范、内容充实、观点鲜明。

3、加强科研理论学习，及时总结撰写教学心得

第5篇：学习总结数学范文

一天的工作流程：

8：00~9：30 上五年级数学。

9：30~11：00上六年级数学。

11：10扫地，拖地。

11：20整理队伍，点名带领学生去谢尔曼中山小学校区。

11：40~12：00午餐。

12：00~14：00看管502寝室学生午休。

14：15整理队伍，点名带领学生去中医院分校。

14：30~16：00上三年级数学。

16：00~17：30上四年级数学。

﹙每个周六要开会总结，老师之间进行教育教学的问题交流。﹚

数学积分奖罚规定：

在规定时间内上黑板答题做对一次奖励1分。

下课后检查笔记和练习工整完成，并标清楚日期，奖励1分。

每周五检查一周的课堂笔记工整完成，并标清楚日期，奖励2分。

考试成绩达60分、70分、80分、90分、100分范围各奖励3分、5分、7分、9分、20分。

旷课一次或打架一次扣2分、乱丢垃圾扣1分。

我所带的班级情况如下：

三年级学生基本情况：﹙共14人﹚

胡雅琪：不善发言，写字动作慢，课堂上的小动作多，计算能力一般，对应用题的理解不够透彻。

王思佳：计算基础不错，不喜欢多问，对知识的应用不够灵活，成绩中等偏上。

刘守理：反应迟钝，写字动作较慢，回答问题时对自己信心不够，计算能力有待加强。

陈可情：计算能力很好，对知识的理解也透彻，成绩优秀，就是课后没有复习的习惯。

郑承先：回答问题积极响亮，基础计算不错，但对知识的应用不够灵活，比较外向。

林天和：计算能力较差，学习不够认真，做练习爱投机取巧，课堂作业完成度较慢。

沈世豪：计算能力很强，对知识的应用很灵活，课堂回答问题也很积极，是个尖子生。

姚丹丹：计算能力不错，回答问题也积极，学习很好问，对知识的应用不够灵活。

林紫霜：性格比较内向，不喜欢回答问题，计算能力较差，成绩一般。

林唐心：写字动作快，计算能力不错，就是课堂上不够认真听讲，成绩一般。

刘德云：计算能力一般，课堂上爱搞小动作，学习不够认真，成绩一般。

梁贤锋：计算有待加强，对知识的应用不够灵活，练习完成度也很慢。

王安秀：积极回答问题，学习很勤奋，计算能力很好，不过不够自信。

郑必行：计算能力不错，回答问题也很积极，爱打抱不平，成绩中上等，有点小马虎。

三年级教学总结：大部分的知识讲授都能吸收，对数字的计算和列式较好，对理解型的题目需要加强，特别是时间经过的计算。

四年级学生基本情况：﹙共15人﹚

杨茜茜：不喜欢回答问题，计算能力一般，学习也不爱动脑筋，喜欢投机取巧，成绩较差。

黄雅琦：对知识的理解能力较好，计算能力不错，学习挑三拣四，有点小骄傲，需要顺和的引导。

黄庆伟：计算能力较好，积极回答问题，就是答题时的审题能力不够好，有点马虎。

陈语熙：学习刻苦，计算能力很好，但对知识的应用不够灵活，不爱发言。

连子希：性格比较外向，计算能力一般，学习不主动，课堂上不够专心，成绩一般。

林  妍：学习认真，计算能力一般，不善于回答问题，对知识的灵活应用需要加强。

王鑫莹：性格比较内向，基础计算不够扎实，吸收知识较慢，需要个别的关注引导。

黄思颖：答题速度快，计算能力一般，对知识的应用不够灵活，字体写得潦草。成绩一般。

郭兴键：学习认真，计算能力一般，对知识的理解不够透彻，课堂上有点小动作。

黄  洁：学习认真，计算能力较好，回答问题不是很活跃，应用不够灵活，成绩中上等。

李彦春：答题速度较慢，计算能力一般，上课不够认真，缺乏自信。

王子阳：计算能力很强，对知识的应用很灵活，吸收也快，回答问题很积极，是个尖子生。

梁芳韧：计算能力较好，回答问题不够积极，作业完成度较慢，有时爱搞小动作。

肖佳鑫：计算能力一般，上课不够专心，对知识的吸收一般，需要加强应用。

陈川帧：计算有待加强，对知识的应用不够灵活，练习完成度也很慢。

四年级教学总结：每节课的布置量都能在规定时间内完成，大部分学生对知识的理解较好，不过需要加强题型的多样训练。

五年级学生基本情况：﹙共10人﹚

万慧柔：计算能力一般，学习耐心不够，对知识的应用不够灵活，主要还有乘法口诀没记牢，成绩一般。

莫小慧：学习刻苦，计算能力一般，对知识的运用不够灵活，做题量少。

陈华明：学习比较懒惰，答题速度慢，也很少回答问题，需要不断的督促。成绩较差。

梁家炫：计算能力较差，学习不够积极，不愿多思考，需要不断的督促。成绩较差。

熊人兴：能较快的完成课堂任务，计算能力一般，需要大量的答题训练来巩固基础知识。

王晟屹：计算水平一般，缺乏题型的强化训练，答题速度较慢，学习不够主动。

文  飞：计算能力较强，对知识的理解应用也透彻，就是缺乏认真审题的习惯。成绩优秀，是个尖子生。

陈婉婷：上课认真听讲，计算能力较好，对新知识的吸收也快，就是题型训练的太少，是个尖子生。

符宗亮：学习不够主动，也比较沉默，计算能力一般，需要加强基础的列式训练。

许寰志：学习认真，计算水平一般，缺乏题型分类训练，要加强小数除法训练和应用题理解。

五年级教学总结：教学的进行比较顺利，所布置的学习内容大部分学生均能完成，要加强多位小数的除法习题训练，并做好应用分类。总的来看这个班的学习成绩都有所提高，这些学生最主要的缺点就是学习态度不是很端正，实行积分制度对于他们来说还是挺感兴趣的。因为用两个星期来复习四年级下册知识和讲解暑假作业，五年级上册的新课进度放慢了一周，已上完第四单元。

六年级学生基本情况：﹙共17人﹚

吴坤志、梁骁骉：对待学习，有充分的自信心，思维较敏捷，肯钻研，学习自主能力有较大提高，上课能积极举手发言，认真完成课堂练习，不过在图形这方面的习题还有待提高。

郑沁韵、王婧苗：这两个女孩，学习认真自觉，积极思考，完成练习情况较好，性格独立，做事踏实，书写工整美观，对应用题的理解有待提高，是可以培养的尖子生。

何远辉、符世贤：学习思维较活跃，上课能专心听讲，认真完成课堂练习，在学习上很努力，但是可能没有找到适合自己的学习方法，所以成绩中等不上。

蒙定君、江和俊：学习基础不是很扎实，上课经常不专心听讲，完成课堂较慢，做几次思想教育后行为有所改观，刚开始接触他们时连笔记和练习都懒得做。

厚、唐浩：学习比较马虎，基础不扎实，有较好的记忆能力，但就是课堂练习时比较懒惰，学习不思进取，永远停留在已掌握的阶段，不过相比补习之前成绩有所提高。

周甜甜、邓晓静：上课注意听讲，有错及时订正，可是，只知道听老师讲，不晓得动脑筋想，害怕举手发言，如果能勤动脑，多做练习，不吃现成的，成绩会有很多的飞跃。

李平凡、张礼杰：基础知识掌握不扎实，甚至连三年级的知识都没扎实，主要原因是懒得多做练习，只听讲少做笔记，不主动去学习，完全是应付学习的。

张  汛：生性好动，上课不够专心，不过学习自觉性不错，成绩不够稳定，但是在严厉的课堂氛围下，还是能够认真的做好课堂笔记，完成课堂练习。

占校仿、王宜荣：学习思维比较迟钝，记笔记和做练习速度很慢，课堂上经常分心走神，学习不够刻苦，基础不扎实，要不断督促才能认真对待学习。

六年级教学总结：这个班的学生基础水平相差太大，几乎是三年级和六年级同班的情况，所以讲课速度比原计划的放慢了两个星期，除了复习五年级下册的知识点，已上完六年级上册第四单元。这个班的数学基础不是很扎实，教学的重点是如何去提高他们对数学的兴趣，减少对数学的恐惧感。这方面只能做一下较简单的习题，然后指名回答，给予他们答对的自信心。

原定的教学计划还是比较符合学生的接受范围的，只做了部分的难度修改和练习量的增加，学生对老师的认可度还是挺高的，主要是和学生的交流增加了，学生也愿意告诉老师需要重点辅导哪方面的知识，这对我修改教学计划和教学方法还是起重要意义的。

第6篇：学习总结数学范文

关键词：小学数学 案例教学 总结

一、课堂教学中主要课堂教学环节

环节一：创设情境，导入新课

师：老师把上次活动拍的照片给大家带来了，你们喜欢吗？同学们给老师提了一个建议，想把它放到我们的黑板上，为了美观一些，可以把它的周围用彩带给围上，那多漂亮啊！那我们需要多长的彩带呢？

生：大约需要6 厘米长的彩带，但是有4条边，需要四六二十四厘米的彩带。

师：你们同意吗？

生：不同意。上下两个边是6 厘米，左右两边是3 厘米，一共是18 厘米。

师：要想知道这条彩带有多长我们首先要知道什么？

生：这个图形的周长。

师：同学们知道的可真多，这就是这节课我们要学的内容――周长。

在导入新课这个教学环节，教师注意从学生的学习兴趣入手，从学生的生活经验出发，选择学生在活动上的照片，通过美化照片入手。

这样的教学导入，贴近学生的生活，使学生很快进入数学学习的状态。我们说有效的课堂教学的基本理念之一就是要贴近学生的实际生活，从这种意义上来说本节课的导入是有效的 。

环节二：讲授新课，认识周长

有效的课堂教学才是高质量的课堂教学，而有效教学关注学生的学习效果。在本节课的学习后，通过教师的反思我们发现，班级中的相当一部分学生没有掌握周长的内涵。

在“认识周长”这一环节中，讲授“什么是周长”的过程中教师首先让学生归纳出什么叫做周长，具体解释这个定义中个别词语的含义。小学三年级的学生的认知水平还比较低，他们的形象思维能力比较强，抽象概括能力相对较差。

环节三：学生动手操作，测量物体的周长

我们说有效教学的一个重要理念就是“在对话中学习”，本节课老师设计的测量物体周长的教学环节就是让学生在动手操作的基础上，师生之间、生生之间互相交流测量不同图形的周长的方法。

师：今天老师给学生带来了一些漂亮的不同形状图形，你们有办法知道这些图形的周长吗？同学们先独立思考1 分钟，小组同学再交流一下。（同学讨论时间为4 分钟）

师：将你们讨论好的汇报一下。

环节四：测量物体的周长

师：我们下面来实际的量一量，算一算长方形的周长，注意测量的结果取整数，

采用四舍五入法。

（学生用直尺测量教科书上的长方形的长和宽，教师深入学生中进行指导，并选择两种有代表性的计算方法让学生将方法写到黑板上。两种方法分别是：2×2=4cm 1×2=2cm 4+2=6cm；1+1+2+2=6cm 这时下课铃声已响）

师：还有其他方法吗？

有效教学关注教学效率，也就是说一定的教学投入，教学相关知识的辐射越多越好。但是，并不是忽视学生的实际学习能力。本节课教师渴望尽可能多的完成教学内容，在下课铃声响起之际还在讲授“如何测量物体的周长”。

小学三年级的孩子在每节课上注意力集中的时间其实很短，教师在铃声响起后还在讲解，以下的学习效果将是微弱的，乃至是负面效应。

二、课堂教学结构分析

本节课的教材呈现了一些规则和不规则的实物和图形：树叶、国旗、数学课本、钟面等实物图和五角星、三角形、长方形、正方形等图形，教材设置的目的是帮助学生直观理解周长的一般含义。接着教材呈现出：“有办法知道上面这些图形的周长吗？”让学生实际动手解决这一问题，感悟周长的实际含义。

本节课的课堂教学结构是：导入新课，让学生产生学习周长的需求；讲授周长的内涵，并且在生活中感受什么是物体的周长；测量不同图形的周长，寻找测量规则图形和不规则图形周长的测量方法；探索计算长方形周长的方法；课堂小结。首先，教材让学生通过一些规则和不规则的图形感受周长的含义，形成对周长含义的感性认识。

三、反思与总结

教师的专业能力直接影响学生在课堂教学中的学习效果，现在应该不断的促进教师的专业发展，让教师的专业能力得到不断的提升，以此来保障课堂教学质量的提高。“反思”对教师专业发展具有重要意义，因为教师发展的过程是自主学习和业务提升的过程，实质就是教师的教学艺术与课堂随机应变能力行为的历练阶段，这种不自觉的自然进展、变化来自教师的内心、内力，可以说，教师专业发展就是一种自我反思的过程。

参考文献：

[1] 祝新宇. 新课改背景下的课堂教学质量观探析[J]江西教育科研, 2006,(07).

第7篇：学习总结数学范文

 

短暂的暑期学习使我受益匪浅，感触颇多。经过这次学习使我更进一步了解和掌握了新课改的发展方向和目标，反思了以往工作中的不足。下头就谈谈我对暑期学习的点滴体会：

 

1、发展的教师教学观

 

处于这种职业境界的教师认为，教师是一种发展学生、完善自我的职业，能以服务社会为自我的职业梦想，并从服务社会的高度赋予自我发展、完善的实践意义，明确自身发展与学生发展的互动关系，在发展学生中发展自我，在发展自我中服务社会。他是以一种高度的职责感从专业角度来审视自我的教学，反思自我的情感，净化自我的品德，完善自我的智慧。他能够自觉地注重教育行为的科学和教育情感的理性，并不断地追求着学生发展和自我发展的更高效益。

 

2、教师主角的转变

 

在过去的教学实践活动中，很多教师只满足于在其中扮演“教材的执行者”的主角，这和教师本身的教学观有关，也和课改以前我国的大教育体制环境以及其对教师的相应要求有关。但在新的课程改革的要求下，再走老路，在教学中按照课程的严格规定亦步亦趋地进行操作，而很少发挥教师的自主性，那就很难再适应新课改的要求了。那么新课程对教师新的要求是什么呢?

 

经过魏书生教师的讲座我认为新课程要求教师努力和学生建立平等互动的师生关系，教学过程首先是师生交往互动的过程，这种交往主要表现为以语言为中介进行沟通，教师与学生凭借自我已有的经验，用各自独特的精神表现方式，在教学过程中经过心灵的对话、意见的交换、思想的碰撞、合作的探讨，实现知识的共同拥有与个性的全面发展。它要求教师不仅仅有教学策略和教学方法的改变，并且要有主角的转化——从传授者、管理者变为引导者和促进者，同时还有个性的自我完善—民主的精神、平等的作风、宽容的态度、真挚的爱心和悦纳学生的情怀。此外，在这个过程中教师也会受到很多启发，对学生有更多的了解，这些无疑对教师的专业化发展也是十分有益的。

 

3、学生地位的转变

 

变过去传统的被动学习状态的客体地位为主动学习的主体地位，变“要我学”为“我要学”、“我爱学”、“我会学”，真正让学生成为主宰学习的主人，学习活动参与者、探索者与研究者。学生是共同管理学习过程中的参与者，这个观点必须牢固地札根于教师的头脑中，切实贯彻于课堂教学的实践中，这是培养学生主体的必然要求。因为只认识到这一点，教师传统的一些做法才会相应地改变，才不会像以往那样强迫

 

4、在学习新教师法、义务教育法的过程中，我不仅仅更新了自我对法律的认识，更是清楚的了解到自我的法律地位，每个人都享有必须的权利，“平等”的口号不应是嘴上说说而已，落实到实处才拥有意义，否则有法也等于无法了。同时我也认识到作为一名教育前线的教师所应尽的职责和义务

 

总之，这次学习是我收益很大，我必须要加强学习，努力做一名合格的人民教师。

 

个人总结2

 

Xx镇学区组织进行了开学前的暑期学习会，经过这次学习，使我拓宽了学习的视野，更新了教育观念。下头谈谈我对本次学习的心得。

 

一、加强自身师德修养，展现教师人格魅力教师素有“塑造人类灵魂的工程师”之美誉。在对灵魂塑造的过程中，教师既要有比较渊博的知识，更要有高尚的道德和崇高的精神境界。教师应当成为学生的表率，成为学生的良师益友，成为全社会礼貌的楷模。为此，教师要时刻谨记不断提高自身的道德修养，展现自身的人格魅力。

 

二、用学习引领自身专业成长随着信息技术的迅速发展，人类正在进入信息社会。在知识经济时代，知识老化速度大大加快，学习就成了当今人类生存和发展的重要手段。教师终身学习，不仅仅是时代的呼唤，教育发展的要求，也是教师教学自我提升的需要。“严谨笃学，与时俱进，活到老，学到老”是新世纪教师应有的终身学习观。教师要善于从教育实践中汲取能量和资源;善于在任何时间向任何人学习，包括在教学过程中和学生分享知识;善于和同事交流，扩大

 

视野，促进自身专业成长。

 

教师终身学习已成为全球教育改革的突破口。要促进自身专业化成长，教师就要具有终身学习的理念，拥有自主学习、自我学习的观点。因为终身学习已成为未来每个社会成员的基本生存方式，那种“一朝学成而受用终身”的观点已经过时，人们再也不能只经过一段时间的集中学习，获得一辈子享用的知识技能。仅有主动去掌握新概念，学习新理念，研究新问题，培养适应新环境的本事，才会使自我重视终身受益。

 

教育是全社会的大事，但重任主要落在教师身上。时代在变，对人才的要求也在变，教师必须认清终身学习对自身成长和发展的重要性，自觉地树立终身学习的观点，不断地提高自身的素质，以适应现代的教育需要。首先要加强政治思想方面的学习。我国素质教育坚持“五育并举，德育为首”的原则，教师首先要以德育人。教育思想、教育观点对教育事业的发展至关重要，正确的教育观能够造就人才，错误的教育思想则会摧残人才。教师的政治取向、道德素质、教育观、世界观和人身观对学生起直接影响作用。

 

其次要加强专业知识的学习。课程走向综合化是基础教育改革的大方向。我身为一名中青年教师，又奋斗在课程改革实验的最前沿，更应当树立终身学习的意识。无论是教育家，还是中外名师，他们都具备较深的文化底蕴，这与经

 

常学习是分不开的。随着课改如火如荼的展开，我们教师要有一种强烈的资源意识，克服“一支粉笔教下去，一本教案讲过来”的人生惰性，自觉拓展自我的思维空间和知识结构，以便更好的为教育教学服务。知识的更新换代让我们的学生接触了更多的新生事物，广阔的课内课外学习资源为他们知识的积累供给了更多的机会。我们在学校学习的那点知识，已经远远不够传授了。要想成为研究型教师、专家型教师，不学习怎样能够，怎样能胜任更多的教育教学工作?生活是一个广阔的学习的课堂，有很多东西是我们所不了解的，为了使自我不被社会所淘汰，仅有加紧学习的步伐!一个优秀教师应当抓紧一切时间增加知识储备，仅有这样才能用人格魅力来感染学生，和学生共同发展。

 

随着时代的提高，教育的改革，当今的形势向每一位教师提出了严峻的挑战，所以，在今后的工作中，我将树立终身学习的观点，在师一日，便不可荒废半日。经过学习不断获取新知识，增长自身的才干，适应当今教育改革的新形势。为了无愧于教师这一职业，也为了实现自我心中的梦想信念，今后的工作中，我定会更加努力，加强学习，提高素质，完善自我，书写出灿烂完美的未来。

 

 

个人总结3

 

教师的职业道德，集中体此刻教育职责感，关爱学生和工作效率上。暑假学习正是教师们提升自身综合本事的好机会。查字典范文大全特意为大家整理了关于暑假学习心得体会范文的相关材料，期望对您的工作和生活有帮忙。

 

一、充分发挥教师的主导作用

 

在课堂教学中，教师的主导作用是不容忽视的。在先学后教，当堂训练的教学模式上，教师的主导作用应当体此刻精心的准备上，体此刻简而精、通俗易懂的语言上，体此刻将复杂问题简单化、形象化的演示上，体此刻能够及时发现问题的精锐的目光上，体此刻耐心的巡视指导上，体此刻及时解决问题的方法上。

 

二、相信每一个学生

 

学生在个性上存在差异，但在智商上是绝对没有差异的，每一个学生都有很大的潜力有待于教师去挖掘。所以我们应大胆地放开手，让所有学生去学习，去全力地发挥自我的潜能，并经过教师的培养逐渐提高学生的各方面的本事。

 

三、使学生能真正地成为课堂的主人

 

进取地动脑思考，动手操作，充分体现了学生的主体作用，使学生从思维到实践都得到很好的锻炼与提高。当堂训练的方法提高了课堂教学的质量，让学生能够在课堂上发现问题解决问题，不留死角，一向处于主动状态，有利于培养学生学习的主动性、进取性，真正体验学习的乐趣。

 

四、因人施教，不让任何一个学生掉队

 

任何一个学生都有学习的本事，要向让他们学好，就必须给他们供给学习的基本条件，同时针对学生的个性差异，辅以适宜的指导方法。在不失大局的前提下，让后进生学好，刺激他们的学xxx取性。当后进生的本事提上来之后，又会产生一些所谓的后进生如此循环下去，后进生在不断提高，同时整个班级的成绩就会提高，而整个学校的教学质量将会随之不断提高。

 

经过这次培训，我感触很深，受益匪浅，自我感觉就像和所有的教师融合在一齐，翱翔在知识海洋中，陶醉不已，流连忘返。不仅仅教育教学水平提高了，师德师风也得了升华。为此，我代表所有的教师衷心地感这次培训我们的“专家、教授、名师”，也期望以后类似的培训机会延续下去。更期望我市的教育大业在市委、市政府的指引下，日新月异，与时俱进，大放光彩!

 

个人总结4

 

八月的天空，骄阳似火，期待已久的暑期培训已悄然进行了两天，

 

小学教师暑期培训心得体会。在这两天的学习中，专家们那丰富的案例、精深的理论，让我深深地叹服;而他们在自我专业成长路上所付出的努力和到达的境界，更是深深地感染了我的内心。对于教育我有了新的认识与理解，对于人生我又有了新的起点与目标。

 

首先，xxx教师的专题讲座犹如雪中送炭，及时地给正在研究自主教育的我指点了迷津。自主教育正是我最近一段时间苦苦思索而不得其果的一个问题，听了郑教师的讲座，我茅塞顿开。他的一靠感情二靠制度三靠文化的自主教育管理理念给我留下了深刻的印象，在今后的教育教学中，我将仔细琢磨，认真思考，经过反复摸索，不断实践，研究出更多的有效的能够共享的自主教育管理模式。除此之外，郑教师所讲的“以人为本，信任学生，依靠学生，激励学生，发展学生”也让我感触颇深，尤其是“信任学生，依靠学生”这两点，很多的时候，我们教师都会自觉不自觉包办了教[此文转贴于育中关乎学生的一些事，对学生的本事和自觉性往往会持怀疑态度，长久以往会导致学生在学习和生活中的被动性，削弱了他们的自信心，而学生的个性也会在这不自主中难以凸显出来，

 

“充分给学生位置，有位才能有为;充分给学生放权，有权才能做事”，郑教师的这一观点和做法给喜欢一手操办班级事务的我上了生动的一课。

 

其次，郑立平教师“诗意栖居做人师”的教育梦想深深地打动了我，能把教师这一职业和诗意放在一齐，我觉得这是一种境界，这种境界既让我佩服，也让我向往!正如郑教师本人诗意的人生追求一样，他的讲座亦是别开生面地诗意盎然。在教育的路上，我明白了原先我们也能够这样幸福。“好的教育靠欣赏，靠唤醒，靠期待。”“植物总是朝着有阳光的方向生长，孩子永远向着赞美的方向发展。”如何看待教育如何对待工作如何看待学生等等这一系列问题，都是我们日日在做却并不在乎实效的问题，我们的心不知何时已变得麻木，我们的身体不知何时已疲惫不堪，“愚者以为幸福在遥远的彼岸，而聪明的人却总能把周遭的事物营造成自我的幸福园地。”让我做一个教育的智者，去除那些浮躁与不安，赶走那些虚华与不平，在郑教师的感染下，爱教育，爱工作，爱家庭，爱生活，爱学生，淡定地享受育人的欢乐!

 

今日的学习让我充实，明天的学习值得期待!仰望星空，名师们身上那种从不停止追求教育梦想的精神正在闪烁!俯瞰大地，我们正把初长的根须努力植进贫瘠的土地!在和名师共舞的时刻，让我们一路欢歌!

 

 

个人总结5

 

时间匆匆的流逝，而我们的暑假生活也即将告一段落，回想着我已经成为过去的暑假生活，不仅仅趣味，并且让我学会了许多的道理。

 

暑假生活，是伴随着炎热款款而来。而炎热的夏季往往是考验人毅力的时候，每个人的毅力不一样，但求知的大门永远敞开。就看远处的你我愿不愿走进。走过了炎热，也就代表你走上了一个新的起点。

 

随着那炎热的夏季到来，我听说学校要办数学奥赛班，我报名参加了。可是许多同学怕热怕累在家避暑乘凉。也就把这大好的学习机会错过了。俗话说：“学无先后，达者为师。”只要我努力利用这个暑假，我相信我必须比那些没补习的同学见识广、收获多。

 

最终到了开学前几天，天气凉爽，我每一天早到校，认真听教师讲课，仔细记录，把不明白，的问题画上圈，问教师。没过几天，天气逐渐增热，坐在教室里一丝风也没有，头昏脑胀，心烦意乱，树上知了不停的叫。教师讲课我一点都听不心去，我打了退堂鼓，不想了去了。

 

我无意中看书，看到童第周这篇课文，童第周学习十分差，但他艰苦努力，早上、晚上都合理利用学习，从最终一名成为第一名。我从中受到很大的启发：无论做什么事要想成功，必须付出辛勤的劳动和汗水，才能获得丰收的喜悦。这又使我想起一句名言：“一分耕耘，一分收获。”多么好的名言，我的精神一下子提上来了，我找到了精神需要的补品。向以往那样，我又好好学习，每一天教师带我们去知识的海洋，攻破了一道道难关。得到了一份份完美的战利品。我们高高兴兴地捧着战利品，等待下一关的挑战。时间如流水，一去不回到。在这短短的时间里我们得到教师的培养，知识的浇灌。并使我们坚定了信念，锻炼了意志和不断学习攀登的精神。

 

第8篇：学习总结数学范文

一、 思想政治方面

积极参加政治学习，提高自己的政治素质和理论素养，注重自己思想道德水平的提高。平时积极参加学校组织的各类会议及本组开展的教研活动，积极参加升旗仪式。遵守教师职业道德，时刻注意自己的一言一行，维护教师形象，为人师表。在日常生活中，以真诚与人交往，和其他老师们团结协作，愉快的开展工作。

二、 教学工作，一丝不苟

（一）搞好备课

备课对于每门课程的教学而言，都是必不可少的环节，信息技术学科教学也不例外。在备课的过程中，我首先对所要教授的知识进行全面的研究、归纳、总结，并根据教授对象的不同特点找到教授的最佳方法与方式。在此基础上将所备内容在计算机上进行逐一推敲、验证、演练，以使一些空洞的知识具有可操作性；同时，还将每个知识点构造成一个操作性实例，通过对实例的演练让学生对知识点产生准确、完整的认识，由此得出相关的结论。从而做到对人、书、机三者进行有机结合的备课。

上好课的前提是做好课前准备，不打无准备之仗，尤其本学科主要课程都要上机完成，每节都要认真做好上机备课，检查机器状态，有无“不可用机器”。上课时认真讲课，力求抓住重点，突破难点，精讲精练。运用多种教学方法，从学生的实际出发，注意调动学生学习的积极性和创造性思维，使学生有举一反三的能力。在学生完成上机任务时，在各台计算机前巡视，注意对学困生进行手把手的辅导，课后及时做课后记，找出不足。

（二）抓好教学过程

任何教学活动总离不开理论与实践相结合这条主线。信息技术更是如此。在学习书本知识阶段，由于学生一周一节课，理论与实践时间差大，我通过对比总结，把原来在教室内上一节理论课，再从微机房上一至两节实践课，改为全部在微机室上课，四十五分钟时间，基本按“讲—练—讲—练—总结”这个模式，教师利用10分钟左右的时间通过教师主机边讲边操作演示，把每一个知识点视难易程度，进行一至二遍讲解和演示，然后让学生模仿练习15分钟左右，接着教师利用5分钟的时间对学生练习中出现的问题及重点进行第二次讲解，之后学生再练习10至15分钟，最后5分钟时间教师抓住教学重点进行总结，把所学知识点系统起来。每一节课根据教学内容不同，可以有不同的时间安排。这样一路走下来，学生基本上能够掌握所学知识。

三、努力方向：

1、加强自身基本功的训练，课堂上做到精讲精练，注重对学生能力的培养，知识上做到课课清，段段清。

2、对差生多些关心，多点爱心，再多一些耐心，使他们在对计算机的认识上有更大进步。

3、加强机房纪律和机器使用道德方面的教育，使学生不仅在班级集中注意力学习，在机房上机时也要按规定严格约束自己。

4、利用各种方法，训练学生提高，集中注意力。

5、在网站设计和多媒体课件制作上下功夫，努力使学校的网站和学校的多媒体课件的水平在原有的基础上有更大的进步。

教育工作，是一项常做常新，永无止境的工作。社会在发展，时代在前进，学生的特点和问题也在发生着不断的变化。作为有责任感的教育工作者，必须以高度的敏感性和自觉性，及时发现，研究和解决学生教育和管理工作中的新情况，新问题，掌握其特点，发现其规律，尽职尽责地做好工作，以完成我们肩负的神圣历史使命。

四、取得的成绩和存在的问题

一个学期来，在校领导的支持和学生的努力下，顺利完成教学任务，也取得了一点成绩。如今年在山东省全国中小学电脑作品评比中，我校学生作品分获省二、三等奖。虽然我们取得了一定的成绩，但在一个学期的教学中也发现存在不少的问题。如在课外，学生很少能接触电脑，很难发现、培养尖子学生；其次是信息技术课正处在改革阶段，信息技术等级考与信息技术新课程改革如何衔接？相信经过我们的共同努力，这些问题很快都能得到解决。

一份春华，一份秋实，在教书育人的道路上我付出的是汗水和泪水，然而我收获的却是那一份份充实，那沉甸甸的情感。我用我的心去教诲我的学生，我用我的情去培育我的学生，我无愧于我心，我无悔于我的事业。让我把一生矢志教育的心愿化为热爱学生的一团火，将自己最珍贵的爱奉献给孩子们，相信今日含苞欲放的花蕾，明日一定能盛开绚丽的花朵。

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第9篇：学习总结数学范文

关键词：流形学习；数据降维；图嵌入

中图分类号：TP18文献标识码：A文章编号：1009-3044(2012)07-1576-05

在这个信息爆炸的时代，人们的生活逐渐被迅猛增长的数据所包围。这些数据中很大部分都具有很高的维度，人们难以直接对这些数据进行处理，往往需要借助计算机的力量来对这些高维海量数据进行分析，挖掘出高维数据背后隐藏的有用的信息，从而为人们的后续决策提供依据。在完成这类高维数据分析的任务时，经常采用的方法都是传统的线性方法，比如经典的主成分分析（PCA）[1]及多维尺度变换（MDS）[2]等方法。这类方法的优势是算法步骤简单，易于实现，且复杂度较低，但是它们的缺陷也同样明显：它们都依赖于“数据分布在高维线性空间（欧氏空间）上”这一基本假设。然而现实中的许多高维数据显然并不能满足这个线性假设。在实际的数据集中，数据各个维度间很难保证完全独立，它们往往以某种形式相互影响相互作用，从而使整个数据集表现出一定的非线性分布规律。这样，使用线性方法便很难正确发现高维非线性数据集中所蕴含的真正有意义的信息，便会导致所谓的“维数灾难”，这样就使得信息技术的进一步应用受到很大限制。因此，如何有效地从高维非线性数据中提取出有用信息一时间成为信息科学技术所面临的基本问题。

2000年，Seung等人在SCIENCE上发表文章称，现实世界中的高维数据集都可以看成是近似分布在一个低维非线性流形上的，而通过对这个低维流形进行分析就能够获得它所对应的高维数据集的各种性质。至此，一种全新的处理高维非线性数据集降维问题的方法——流形学习就第一次被正式提了出来。

流形学习可以被描述为一种从高维数据集中恢复其低维流形结构的数据降维方法。也即，从高维数据集的分布中挖掘出其符合的低维流形结构，并将此低维流形结构在低维欧氏空间中表示出来，获得对应的低维坐标，从而实现数据降维的目的。流形学习算法突破了线性方法的诸多先天不足，能够从本质上发掘出数据集的内在规律，得出与高维数据集最为相近的低维嵌入坐标，因此，该类算法一经提出，就获得了广泛的关注和讨论，并很快成为了处理高维非线性数据集降维问题的标志性算法。在流形学习算法被提出后的数十年间，它的有效性和算法效率也被无数的实验和实际应用所证实，时至今日依然展现出了强大的生命力。流形学习的代表性算法包括局部线性嵌入（LLE）[3]、等距特征映射（ISOMAP）[4]、拉普拉斯特征映射（LEM）[5]以及局部切空间排列（LTSA）[6]、最大方差展开（MVU）[7]和扩散映射（DFM）[8]等算法。这些算法在遵循了流形学习的一般框架之外，都具有各自非常鲜明的特点，都取得了良好的算法效果。

1流形学习算法概览

下面先结合三个典型的流形学习算法，详细介绍它们的算法思想，算法步骤以及算法特点，并为后文探索该类算法的共性做好铺垫。

1.1局部线性嵌入（LLE）

首先介绍LLE算法。它是一种非监督的学习算法，能够计算高维数据的的低维嵌入，这种嵌入保留了数据的邻域性质。假设数据是分布在一个非线性流形上，它最终是被映射到一个独立的低维全局坐标系上去的。这种映射是通过局部线性重构的的对称性而获得的，而且嵌入结果的计算最终是归结于一个稀疏矩阵特征值问题的。

LLE算法在计算低维嵌入的过程中遵循的一个最重要的原则：高维空间中相邻的点在低维空间中仍然保持相邻，并且整体上来说，数据点的分布也与高维空间中的分布相似。在适当的条件下，仅仅从高维空间的邻域中的几何性质也能够获得这种低维嵌入。

首先，假设数据由N个实值向量Xi构成，每一个向量的维数都为D，从一个光滑的潜在流形上采样而来。当数据点的个数很充足（也就是此流形是良好采样）的时候，就可以认为每一个数据点和它的邻域都是分布或者近似分布在一个流形的一个局部线性的小块上的。对于每一个数据点，总存在一些邻近的点，它和这些邻近的点就可以定义一个流形上的近似的线性平面。在这种情况下，每个数据点就能够用它的邻域来进行重构，得到的线性系数就用来刻画每个数据点邻域内的局部几何特性。最后就是运用这个权重矩阵来恢复低维空间中的嵌入数据。LLE算法的详细过程可叙述如下：

1）邻域搜索。LLE方法中的第一步就是确定每个数据点的邻域。确定邻域的方法主要有两种，一种是K邻域法，也就是对每个数据点取它的K个最邻近的点作为邻域，这是用欧氏距离来度量的。另一种方法就是对每个数据点定义一个半径固定的球域，所有在此球域范围内的点都被当成是它的邻域。但是在实际应用中也可以根据一定的先验知识灵活决定邻域搜索的办法。

2）约束最小二乘优化。LLE算法的第二步是将每一个数据点由它的邻域重构出来。这是通过解决一个约束最小二乘优化的问题来实现的。最小代价函数为：

ε=|x-∑jwjηj|2=|∑jwj(x-ηj)|2=∑jkwjwkGjk

(1)

其中Gjk=(x-ηj)?(x-ηk)。然后求解以下线性方程组：∑kGjkwk=1，再调整w的权值使其和为1。则得到的结果向量wk就是每个点的重构系数，将所有wk写成矩阵形式得到的矩阵W即为权重矩阵。

3）特征值问题。LLE算法的最后一步就是基于第二步中建立的权重矩阵W来计算高维输入Xi的低维嵌入。低维输出Yi是在W固定的情况下，通过最小化如下代价函数所获得的：

Φ(Y)=∑

(6)

在满足上述两个限制条件的同时，再对代价函数公式（2）进行优化，就得到了最优化的嵌入。这是通过求解矩阵M的第2到第d+1小的特征值所对应的特征向量来实现的。1.2等距特征映射（ISOMAP）

下面再接着介绍ISOMA算法。ISOMAP算法是另一种非常经典的流形学习算法，它建立在古典MDS方法的基础上，通过获取所有点对之间的测地距离，力求能够保留数据的内在几何特征。此方法的难点在于如何在仅仅知道输入空间中点的距离的情况下，对离的很远的点估计它们的测地距离。对近邻点，输入空间中的距离很大程度上能够看成是测地距离的近似。而对于离的较远的点，测地距离则通过将邻近点间的距离逐一相加来近似得到。

ISOMAP算法同样可以分为三个步骤：

1）确定数据点间的邻域关系。这是通过输入空间X中任意两点i和j之间的距离dX(i,j)来决定的。具体来说，这又有两种简单的方法。第一种是规定一个固定的半径ε，以一个点为中心，所有在此半径范围内的点都称作这个点的近邻点；另一种方法是选择一个点的K个最邻近的点作为它的近邻点。这些近邻关系是通过定义在数点上的赋权图G来表示的，相邻的点之间存在一条边，边的权重就赋予它们的距离dX(i,j)。

2）Isomap通过计算图G中的最短路径距离dG(i,j)来估计流形M上所有点间的测地距离dM(i,j)。一个用来寻找最短路径的简单算法如下：首先初始化dG(i,j)，令当i,j之间有边连接时，dG(i,j)=dX(i,j)；否则dG(i,j)=∞。然后依次为每一个k=1，2，…，N，用min{dG(i,j),dG(i,k)+dG(k,j)}来代替dG(i,j)。得到的最终结果DG={dG(i,j)}就包含了图G中所有点之间的最短路径距离。

3）将古典MDS方法运用到图G的距离矩阵DG上，构建出d维欧氏空间Y上的嵌入数据，构建出的嵌入数据能够最好的保留流形的预计内在几何特征。而低维空间Y中点的坐标向量yi的选取必须使得如下的代价函数取得最小值。

E= sdvd]中的行向量就是最合适的d维嵌入坐标，也是整个算法的最终输出。1.3拉普拉斯特征映射（LEM）

将要介绍的第三个流形学习算法是LEM算法。它运用图的Laplacian概念，可以计算出数据集的低维表示，能够在某种意义下最好地保持局部邻近信息。算法所产生的映射可以看作是对流形几何的连续映射的一种离散逼近。LEM算法的核心是使用Laplace Beltrami算子在流形上达到最优化的嵌入。此算法用数据点的邻域图来近似流形，用邻域图的含权Laplace矩阵来近似Laplace Beltrami算子。由于Laplace Beltrami算子在热传导方程中的关键作用，这就为选择热核作为权的衰退方程提供了理论支持。另外，Laplace特征映射保持局部特征的性质使得它对噪声不敏感，即使只使用局部距离，也不易引起短路。

LEM算法的具体过程可表述如下：

1）建立邻接图。如果xi和xj“邻近”，就在节点i和j之间置一条边，这一步骤与上述的两种算法相同，都有两种做法：ε-邻域法或者K-最近邻域法。

2）选择权值。同样的，也有两种为边确定权值的方法。（a）热核（Heat Kernel）法[参数t∈R ]：

2从图嵌入的视角看流形学习算法

上面介绍了三种很有代表性的流形学习算法，可以看出，虽然它们的算法目标不同，各自保持的数据集性质不同，计算过程也是各有偏重，但是，它们同作为流形学习算法的代表，还是有很多能体现这一类算法共性的相似之处的。

其中，比较明显的就是，这三种算法的步骤都大致相同。比如，算法的第一步都是确立数据点的邻域关系，第二步都是根据邻域关系对数据集进行某一方面的刻画，比如LLE刻画邻域点间的重构线性系数；ISOMAP刻画邻域点间的相互距离，从而得到全局各点间的最短路径距离；LEM刻画邻域点间的相互远近关系。算法的第三步就是将第二步中得到的关于数据集某一方面信息的刻画保持到低维输出结果中去，从而使得低维输出结果在我们想要保持的那种性质方面尽可能的逼近高维原始数据。这样一来，各算法间的区别就可以看成是它们想要在低维嵌入结果中保持的原始数据集的哪种性质了，而这些算法从整体上看，可以说是共同遵循了某种特定的框架。

而在文献[9]中，作者就提出，目前所有这些流形学习算法，都可以统一在图嵌入的框架下，都可以从谱图理论的角度作统一的解读。下面就将作者文中的一些观点做一个综述。

对于流形学习算法，算法的输入为：X=[x1,x2,...,xN]，其中xi∈Rm，N是输入点的个数，D是输入数据的维数；算法的输出则是Y=[y1,y2,...,yN]，其中yi∈Rm’，m’

其中d是常数，B是为了避免代价函数出现平凡解而定义的约束矩阵，通常是一个用于控制解的规模的对角矩阵。由这样的图保持标准所带来的相似性保持性质就有两方面的解释，如果样本点xi和xj有较大的相似性，那么它们对应的嵌入点yi和yj就应该距离相近；反之，如果xi和xj相似性较小，则yi和yj也应相互远离。

上述分析就给出了图嵌入的一般框架，可以看出，图嵌入的核心思想就是在低维输出结果中保持相似性图上各点间的相似性。这显然与各种流形学习算法的目标是一致的。而这也是流形学习算法能够统一在图嵌入框架下的根本原因。下面就将具体描述前一节中介绍的三种流形学习算法是如何描述成图嵌入的方法的。

首先看LLE方法。LLE方法在将输入数据映射到低维空间中去的时候注重保持的是邻域点间的相互关系。首先要计算的是局部重构系数矩阵M，满足∑j∈Nk(i)Mij=1，其中Nk(i)是样本点xi的k个最近邻的索引集，然后低维表示y就是通过最小化代价函数∑i来实现的。如果令图嵌入中的相似矩阵W=M+MT+MTM，B=I，那么LLE的代价函数公式（2）就可以和图嵌入的代价函数公式（10）完全的等同起来。所以，LLE和图嵌入的等价关系由此可以直接建立起来。

再看ISOMAP方法。ISOMAP在寻求数据集低维表示的过程中所注重的是对数据点间测地距离的保持。令最短路径矩阵DG为获得的近似测地距离矩阵，函数τ(DG)=-HSH/2就将距离矩阵转换为了相应的内积矩阵（其中H=I-eeT/n，Sij=D2G(i,j)。如果令W=τ(DG)，B=I，那么ISOMAP中求解τ(DG)的最大特征值对应特征向量的问题就可以和求图嵌入的代价函数公式（10）的最优解等价起来。所以ISOMAP方法也可以看成是图嵌入的另一个例子。

最后再来看LEM方法。它保持的是邻域点间的相似性。LEM方法和图嵌入的联系算是所有流形学习算法中最紧密最直观的了，因为它的代价函数和图嵌入的代价函数具有完全相同的形式。只是在具体的选择相似矩阵W时有两种不同的方法，一种是选

3流形学习算法成功的条件

前面两节中详细介绍了几种代表性的流形学习算法，可以说，经过人们不断的研究和扩展，流形学习算法作为一种能够处理非线性数据降维问题的一类算法已经得到了很广泛的应用，并在很多数据集上都取得了成功。但是，流形学习算法也并不是对任何数据集都能取得很好效果的，甚至对一些很简单的数据集，算法却有可能会输出一些很离奇的结果。这种情况就是流形学习算法的一些固有缺陷的反映，比如，流形学习算法的低维输出结果只考虑使代价函数取得最小值而完全不考虑所选择的特征向量是否有意义。对于这种固有的缺陷，下面将要介绍的这篇文章[10]就作出了详细的分析，并列出了想要算法取得成功就必须满足的一些条件。

在本文中，作者首先对何为算法的“失败”给出了一个明确的定义：令X=XN×d为原始样本。输入是由ψ(X)?RD给出的，其中ψ:RdRD是光滑映射，D≥d是输入数据的维数。令Y=YN×d是原始样本X的一个仿射变换，这样就能满足上述正则化约束。当算法成功的时候，就意味着输出应该与Y很相似。令Z=ZN×d为任何满足正则约束的矩阵，如果存在这样的Z使得Φ(Y)>Φ(Z)，就认为算法失败了。其中Z是和Y显著不同的，因而也是和X显著不同的。或者说，如果存在一个显著不同的Z，它的代价比最适当的嵌入Y要小，那么算法就失败了。这篇文章中并没有明确的给出“显著不同”的定义，通常来看，当Z的维数比Y小时就认为Z与Y是显著不同的。这里的矩阵Z并不一定要与算法的输出相似，它仅仅是一个数学的构造，来显示流形学习算法的输出结果并不一定总能恢复流形的真实结构。

然后作者以一个用LEM来处理二维流形嵌入的例子来说明，流形学习算法的成功都是有一定条件的，面对特定数据集时算法可能会产生失败。设输入数据集X是一个二维格子[-m,…,m]×[-q,…,q]，其中m≥q，将输入点xij记为xij=(i,j)。为了简单，将输入数据集X记为X=（X(1),X(2)），这是一个N×2矩阵，其中N=(2m+1)(2q+1)代表了格子中的点数。在这个特定的例子中，原始样本和输入数据集是一样的。接下来看两种不同的嵌入Y和Z。嵌入Y就是格子本身，规范化之后以满足Cov(Y)=I。嵌入Z则将每一列映射到一个点，而得到的点形成了二维平面上的一条曲线，并满足Cov(Z)=I。嵌入Z显然不能保持格子数据的原始结构。首先正式的定义这些嵌入。定义Y?=X(X’DX)-1 2，而它是满足Y?’D1=0和Y?’DY?=I的对X的唯一线性变换。再定义Y=XCov(X)-1 2，可知Y’1=0，Cov(Y)=I，当K

4流形学习中的一些问题

流形学习算法自2000年首次被提出以来，经过人们不断的研究与完善，如今已相对比较成熟，而且已经在很多其他领域中得到了广泛的应用。但是，关于流形学习算法仍然有一些公开的问题并没有能够得到很好的解决，这些问题已经成为制约着流形学习取得进一步发展的重要因素。

比如说，在算法的邻域搜索步骤中，邻域选择的参数K或者ε往往是人们凭经验或者某种对数据集的先验的了解给出的，而并不是通过某种规则推导得出的。这就使得这两个参数的选择有很大的随意性，可能会影响算法的效果。更关键的是，流形学习算法都是建立在一个根本的假设之上的：流形上足够小的一个局部邻域可以被看成是一个线性空间。流形学习算法一个最普遍的做法就是，使用线性的方法对每个局部邻域进行分析，然后将每个局部邻域的信息汇集起来得到对整个流形的刻画。所以，流形学习算法取得成功的基础就在于，每个局部邻域真的能近似的看成一个线性的子空间。而控制局部邻域是否构成一个线性子空间的，正是算法的邻域参数K或者ε。如果对邻域参数的确定没有明确的选择方法，那就意味着算法对所选取的每个局部邻域是否能真实的逼近一个线性子空间没有一个理论上的保证。这才是确定邻域参数中真正的问题所在。比如一个弯曲程度较大的二维流形，为了算法的成功，所选取的邻域应该能够近似的逼近一个二维平面，而对于某个给定的邻域参数K，在流形上比较平坦的区域，K个点所构成的邻域能很好的逼近二维平面，而在流形上弯曲程度较大的区域，K个最近邻点就有可能无法构成一个二维平面而只能看作是一个曲面。在这个曲面上运用线性的方法，比如计算相互间的欧氏距离，来获得关于此邻域的刻画显然是不真实的。再比如在一些密度分布不均匀的数据集上，取多少个邻域点才能构成一个近似的线性空间，同样是一个现有算法无法解决的问题。目前针对这一问题还没有一个十分完美的解决方案。有一些方法试图对此作出优化，比如可以根据数据集局部的密度或者曲率的不同灵活的调整邻域个数的选择，但是对于邻域参数的选择与邻域能否构成一个线性子空间之间理论上的联系仍然没有一个很完善的结论。这算是流形学习算法中留待解决的一个疑问。

流形学习算法中另一个公开的问题是流形本质维度确定的问题。流形学习算法的目标是将寻求分布在流形上的高维数据集的低维表示，而这里低维的维数就应该是流形的本质维度，在一般算法中，流形的本质维度是作为算法的参数先验的给出的。在为了验证流形学习算法的有效性而经常用到的几个人造数据集中，它们所在流形的本质维度是很容易看出的，因而算法作为参数的低维维度很容易确定。而在绝大多数的实际数据集中，数据集所在流形的维度是无法直接看出的，需要通过计算才能给出。目前比较普遍的确定流形本质维度的方法主要是计算残差法，即作出算法输出结果的残差随输出维度的变化而变化的曲线，将曲线的拐点处对应的维度作为流形的本质维度。这样做一个主要的问题就是，拐点只是一个相对的概念，有的时候不同的维度所对应的曲线斜率变化相差并不大，难以确定真实的拐点。而且，单凭所谓拐点来确定流形本质维度同样没有理论上的证明，目前的方法只能被证明是选出了“最适合”的嵌入维度。能否更有效率且更准确的获得数据集所在流形的本质维度，这也将是决定着流形学习算法能否扩展其应用领域的重要因素。

除此之外，流形学习算法中还有一些其他的问题也是值得深入探究的。比如多流形上的数据集的降维问题，即如何将分布在多个流形相互交叉和重叠的“多流形”上的数据集统一的在一个低维坐标系中表示出来，就是一个很有意义却还没能得到很好解决的问题；而如何发掘出数据集中隐藏的其他有意义的信息，并将其作为对高维数据性质的新的刻画，从而丰富和发展流形学习算法的方法和种类（就像当初扩散距离被引入到流形学习中而形成的扩散映照算法），也同样是一个很有挑战性的问题。

5总结

本文对当前的流形学习作了一个较为全面的综述。包括介绍了几种最具代表性的流形学习算法，并介绍了如何从图嵌入的角度将这些算法统一起来，探讨了算法能否取得成功的一些判定条件。本文的主要工作在于对流形学习领域的主要工作及相关成果作了一个总体的介绍，对涉及到的相关问题作了一个简单的梳理。当然，本文主要选取了各个方面的一些代表性文章作了介绍，对流形学习领域的所有成果显然无法全部涉及。相信随着对流形学习研究的不断深入，流形学习目前所遇到的一些难题一定会得到解决，流形学习作为一种很有潜力的学习算法，一定能够得到更广泛的应用。

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