数值分析精选(九篇)

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第1篇：数值分析范文

1计算方法

1．1桨叶／机身非定常面元

1．1．1面元基本原理除物面附近及尾流区外，旋翼流场可假设为无粘、无旋、不可压。在惯性坐标系下，连续方程可表示成速度势的函数［17］，即式中SB与SW分别为物面（桨叶或机身）和尾迹涡面，n为物面外法线单位矢量，r＝（x，y，z）为空间点位置。

1．1．2边界条件物面边界条件要求相对于物面的法向速度为0，远场边界条件要求物体对流体的扰动在无限远处为0，即假设物体表面由N个面元组成，尾迹涡面由Nw个面元组成，采用等强度四边形偶极子面元，则式（2）可表示成如下：

1．1．3面元压力旋翼流场确定之后，可根据非定常Bernoulli方程，通过速度势和物面速度计算压力分布。非定常项／t可通过求解物体表面速度势得到。对于机身，非定项主要来源于桨叶和旋翼尾迹的影响。桨叶影响可通过速度势直接求解，而尾迹影响为尾迹对面元的诱导速度与尾迹自身速度之积［19］。

1．2时间步进自由尾迹为求解桨叶和机身面元强度分布，在解式（5）或式（8）之前需计算旋翼尾迹。本文采用时间步进自由尾迹［12－14］。时间步进自由尾迹基于不可压假设，并把旋翼尾迹漩涡简化为直线涡线。旋翼涡量场可由三维不可压粘性Navier－Stokes方程描述，表示成速度－涡量采用有限差分近似时间和空间导数求解式（14）。涡线位置由时间步进格式求解得到。文中采用二阶精度的预估－修正格式（PC2B）［12－14］。

1．3旋翼桨叶运动方程旋翼尾迹和桨叶面元汇／偶极子分布与桨叶的挥舞运动方程紧密相连，因此在描述旋翼尾迹时需求解桨叶的挥舞运动。根据桨叶挥舞铰力矩为零建立刚性桨叶挥舞运动方程。桨叶挥舞运动可表示成一组常微分方程，并采用四阶Runge－Kutta求解［14］。

1．4桨叶面元／尾迹耦合为计算旋翼尾迹的畸变效应，采用全展涡线代替偶极子面元尾迹。旋翼桨叶由非定常面元构成，桨叶脱出的尾随涡由尾随偶极子面元构成，旋翼尾迹则由连接于尾随涡的全展涡线构成，并从桨叶尾随偶极子面元中脱出（如图1）。基于桨叶后缘Kutta条件及尾迹偶极子面元强度与涡线涡量强度等价原则，建立桨叶面元与尾迹之间的联系。偶极子面元与涡线等价原则可表示成如下。在各时间步，旋翼尾迹涡线强度由桨叶面元强度决定，同时桨叶面元的汇／偶极子强度又与旋翼尾迹涡线有关，由此确保桨叶非定常面元与旋翼尾迹的紧密耦合。

1．5旋翼尾迹／机身干扰低速前飞状态下，机身浸润在旋翼尾迹中，因此旋翼尾迹涡线将靠近机身表面。由于机身的阻塞效应，旋翼尾迹涡线靠近机身表面的速度减小，而切线速度增加，此时机身非定常压力主要来源于旋翼尾迹。由式（11）可知，非定常项由尾迹涡线移动速度和尾迹诱导速度构成，因此旋翼尾迹几何特性对旋翼尾迹／机身干扰影响显著。由于机身表面载荷与旋翼尾迹几何密切相关，因此旋翼尾迹涡线靠近机身表面的运动特性就显得非常重要［22］。为满足机身表面无穿透条件，并模拟涡线靠近机身表面的加速现象，文中采用涡线镜面法。与二维点涡镜面类似［22］，尾迹涡线由两点直线构成，因此可通过涡线中点的矢量镜面得到镜像涡线，镜像涡线涡量为Γ′＝－Γ（如图2）。在各时间步，通过桨叶和机身非定常面元同步求解，得到桨叶和机身的非定常气动力，而后推进旋翼尾迹，由此计算旋翼／机身非定常气动干扰。

2计算结果与分析

为验证本文旋翼／机身非定常气动干扰分析方法的准确性，文中将计算前飞状态的Maryland、ROB－IN旋翼／机身干扰下的机身非定常压力分布，并与可得到的实验值、CFD计算结果对比验证。随后分析前飞速度、旋翼与机身高度对非定常气动干扰的影响。

2．1Maryland旋翼／机身干扰本算例为前飞状态下的Maryland旋翼／机身干扰试验［23］，旋翼系统由4片直径为1．65m的矩形桨叶铰接构成，桨叶线性负扭为－12°，翼型为NASARC310和RC410，弦长为0．0635m，旋翼转速为1860rpm，机身长度为1．94m，机身最大截面直径为0．254m，机身尾梁与机身截面直径之比为1∶2．5。桨毂中心与机身重心高度为0．24m。机身压力传感器分布如图。旋翼／机身干扰下的各传感器非定压力随桨叶方位角变化历程如图4。从图4中可以看出，本文计算方法计算得到Maryland旋翼／机身干扰下的非定常压力时间变化历程与实验测量值吻合较好。图4中各传感器非定常压力随方位角的变化均表现为4Ω周期波动，此倍频与旋翼桨叶片数相同，由此说明桨叶通过机身上方所产生的显著非定常干扰效应。机身头部（传感器1）非定常压力呈现出类正弦波动，主要原因为传感器1在旋翼下方，受桨叶通过性影响显著。传感器9、10在旋翼下方之外的尾梁，受到桨叶通过性影响减小，而主要受到旋翼尾迹与尾梁干扰影响，因此非定常压力呈现锯齿形状。传感器9比传感器10更靠近旋翼，因此传感器9的非定常压力受到桨叶通过性影响更显著，表现的类正弦特性更显著。传感器11、12在尾梁左右两侧，主要受到旋翼尾迹／机身干扰影响，表现出锯齿形状。从图4（b）、（c）中可以看出，传感器9的压力峰值相位超前于传感器10，主要原因为尾梁传感器9比传感器10更靠前，旋翼尾迹将先靠近传感器9。但随着诱导速度的向下作用，尾迹距传感器10的距离更小，因此负压峰值更大，旋翼尾迹／尾梁干扰更显著。从图4（d）、（e）中可以看出，尾梁左侧传感12的非定常负压峰值大于尾梁右侧传感器11，主要原因为旋翼右旋，旋翼尾迹贴近尾梁的左侧，因此对传感器12的干扰作用大于右侧的传感器11。

2．2ROBIN旋翼／机身干扰本算例为前飞状态下的ROBIN旋翼机身干扰试验［24］。旋翼系统为2MRTS（2－MeterRotorTestSystem）缩比旋翼［25］，机身为流线型机身。2MRTS旋翼由4片矩形桨叶铰接构成，桨叶半径为0．861m，弦长为0．0663m，线性负扭为－8．0°，翼型为NACA0012翼型，旋翼转速为2000r／min，前进比为μ＝0．151。机身长度为1．999m，桨毂与机身重心垂直距离为0．322m，旋翼周期变距由风洞试验据得到［25］。各片桨叶由弦向60段和展向20段面元组成，旋翼系统共由4800个面元构成，ROBIN机身由10842个面元组成。机身头部、发动机舱、尾梁、机身左右两侧压力传感器分布如图5所示。ROBIN旋翼／机身干扰下的旋翼尾迹如图6所示，从图中可以看出，旋翼左右两边形成比较明显的桨尖涡。由于机身的排斥作用，旋翼中间尾迹向上、左右两侧移动，但尾梁后段仍然浸入在旋翼尾迹中，因此将产生显著的旋翼／机身干扰。桨叶／机身压力分布如图7所示，机身头部和发动机舱前、后缘部分产生较大压力。前飞状态下，由于旋翼前行边和后行边桨叶相对来流的非对称，因此需通过周期变距改变桨叶的桨距以保证整机左右平衡，并由此导致前行边和后行边桨叶气动环境、桨叶脱出涡量不一致，从而引起旋翼尾迹的非对称。由于旋翼尾迹非对称和桨叶位置的变化，导致机身前后、左右两侧压强非对称，由此产生时变载荷。ROBIN机头顶部、发动机顶部、尾梁顶部、机身两侧非定常压力随桨叶方位角变化如图8。从图8中可以看出，本文计算方法计算得到ROBIN旋翼／机身干扰下的各传感器非定常压力间变化历程与实验值［24］和CFD计算结果［4，26］比较吻合，由此验证本文计算方法的可靠性。由于旋翼系统采用4片桨叶，因此图8中各传感器非定常压力随方位角变化历程均呈现4Ω的周期特性。从图5可以看出，各传感器均位于旋翼下方，因此各传感器非定常压力主要表现为桨叶通过性影响。为反映机身各处压力的变化特性，机身各传感器非定常压力峰值相位和幅值如表1．从表1可以看出，机身头部传感器6非定常压力峰值出现在桨叶通过机身后，而发动机舱传感器22和尾梁顶部传感器15非定常压力峰值出现在桨叶未通过机身前，主要原因为机身头部距离桨尖平面距离更大，阻塞效应较小，且存在阻塞滞后，并由此导致机身头部非定压力幅值小于尾梁顶部。由于传感器22处于桨根下方（图5），因此受桨叶通过性的影响小于传感器15。由于桨叶右旋转，导致机身左侧流场阻塞，机身右侧流场扩展，由此导致左侧传感器13的压力幅值大于右侧传感器19，且右侧峰值相位滞后与左侧。由于机身头部、尾梁、机身左、右侧非定常压力幅值与相位的差异导致机身力与力矩的非对称，由此产生4Ω周期激励载荷。

2．3前飞速度对旋翼／机身干扰影响以ROBIN旋翼／机身干扰为基本算例，分析前飞速度对机身非定常压力的影响。从图9中可以看出，随着前飞速度的增加，旋翼载荷增加，桨叶通过性对机身非定常压力影响增加，由此导致机身头部、发动机舱、机身右侧压力幅值均增加，且随着前飞速度增加，压力幅值增加速率增加。但尾梁传感器15压力幅值随前飞速度的增加而先加后减小，原因为前飞速度较小时，尾迹／尾梁干扰显著，速度增加导致尾迹对尾梁的诱导非定常项影响增加，因此压力幅值增加，但随前飞速度的继续增加，尾迹距尾梁的距离增加，因此对尾梁的影响减小。机身与发动舱连接处传感器19的压力幅值随前飞速度增加而减小，原因为传感器在前行桨叶下方，前飞速度增加，为满足配平条件，需减小前行桨叶桨距，前行桨叶桨根载荷减小，因此旋翼桨叶通过性影响减小。

2．4旋翼与机身距离对旋翼／机身干扰影响以ROBIN旋翼在前进比为0．15状态下为基本算例，旋翼与机身高度分别增加5％、10％、15％、20％、30％后机身各部分压力幅值的变化如下。从图11中可以看出，随着旋翼与机身距离的增加，桨叶通过性对机身非定常压力影响减弱，由此导致机身头部、尾梁顶部、机身左右侧各处压力幅值均减小。随着旋翼与机身距离的增加，压力幅值减小速率逐渐减小，距离增加20％，传感器幅值减小为参考值的80％以下。但发动机舱顶部传感器幅值随旋翼与机身距离的增加而先减小后增加，主要原因为旋翼与机身距离的增加，桨叶通过性影响减小，因此压力幅值先减小；旋翼与机身距离的继续增加，方位角为270°处桨叶的桨尖涡将贴近发动机舱顶部，由此导致压力幅值增加。

3结论

第2篇：数值分析范文

关键词：OpenSees；钢筋混凝土桥墩；弯曲变形；纵筋拔出变形；滞回曲线

中图分类号：U442.5文献标示码：A

Numerical seismic analysis model for reinforced concrete bridge piers

YANG Chun-xi

Tianjincommunicationarchitecturedesigninstitute

Abstract: Bridge piers are the main component in bridges, they are the most susceptible elements under seismic effect and are important for seismic safety of bridges. Both of Si Bingjun and Lehman’s quasi-static tests are modeled by using OpenSees numerical analysis software. The nonlinear beam-column element is used to model flexural deformation, and the zero-length rotational spring element is used to model bond-slip deformation. The simulated hysteretic curves are compared with test results. The results show that the simulation results have high precision.

Key Words: OpenSees; Reinforced concrete bridge pier; flexural deformation; bond-slip deformation; hysteretic curves;

前言：国内外历次大地震中，大量钢筋混凝土桥墩发生严重破坏，开展桥墩抗震性能的数值模拟工作，对揭示桥梁地震破坏机理，认识桥梁抗震薄弱环节，具有重要的工程背景和科学意义。目前，基于通用有限元软件的三维实体单元模型，集中塑性铰模型和纤维梁柱单元模型，均在桥墩非线性数值模拟中获得了广泛应用[1]。Sun Zhiguo等[2]基于ANSYS软件中的Solid 65单元(模拟混凝土)和Link 8单元(模拟钢筋)，对6个发生弯剪破坏的钢筋混凝土桥墩滞回性能进行了较为准确的模拟分析，同时指出利用三维实体单元对混凝土桥墩进行滞回性能模拟所面临的收敛性差、计算效率不高等问题。集中塑性铰模型[3]和基于纤维梁柱单元的纤维单元模型[4]，也在桥墩抗震的非线性数值分析中获得了广泛应用，可对弯曲破坏为主桥墩试件的滞回性能进行较为准确的模拟。目前，基于OpenSees的结构抗震分析平台，因良好的二次开发功能、计算效率高等优势，获得了国内外的广泛关注[5]。

注意到目前国内外基于OpenSees进行的钢筋混凝土桥墩抗震数值模拟工作较少，广大科研人员和工程师对其建模过程中涉及的材料本构关系选择，单元选取等认识不统一。本文基于OpenSees平台，建立了4个考虑弯曲变形与纵筋拔出变形的桥墩抗震数值分析模型，详细介绍了建模中的本构关系、单元选取等规则，并将模拟结果与试验滞回曲线进行了对比，验证了模型的准确性，可供相关科研和工程技术人员参考。

1 司炳君及Lehman试验介绍

为探求基于OpenSees平台的数值分析模型对桥墩进行抗震性能模拟的适用性，选择了4个桥墩抗震拟静力试验结果，并以此为依据，建立了桥墩抗震数值分析模型，通过与试验结果的对比分析验证模型准确性。

试件选取考虑了国内学者和国外学者两种情况，国内选用司炳君完成的A10、A12试件, 直径均为400mm，高度2400mm，剪跨比为6.0，试件拟静力试验在大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室完成，试验详细介绍见文献[6]。国外选用Lehman完成的407、415试件，试件直径均为610mm，高度2438.4mm，剪跨比为4.0，拟静力试验在美国太平洋地震工程研究中心完成，详细情况见文献[7]。所有试件均为拟静力加载，轴力固定，施加侧向的反复荷载直至试件发生严重破坏为止。需要强调，由于剪跨比较高，所有桥墩试件最终均发生弯曲破坏。

2 模型建立

2.1 混凝土本构及钢筋材料模型

混凝土本构采用OpenSees中的Concrete04，该材料为基于Popovics模型发展而来的单轴混凝土本构模型[8]。纵向钢筋材料采用OpenSees中的Reinforcing Steel钢筋模型，其应力应变关系基于Chang-Mander模型，如图1所示。E为弹性模量，Esh为屈服后弹性模量，fy、fu分别为纵筋屈服应力和极限应力，εsh、εsu分别为钢筋应力强化起点对应的应变和极限应变。该模型描述了钢筋的线弹性阶段，屈服平台阶段，强度硬化阶段和应变软化阶段。

图1 钢筋应力-应变关系

纵筋在底座中的拔出采用Zhao Jian提出的Bond_SP01[9]材料模拟，骨架曲线如图2所示，其中E为钢筋弹性模量，fy为钢筋屈服应力，Sy为屈服滑移量，fu 为极限应力，Su为极限滑移量，b为刚度折减系数。Sy计算公式如下：

(1)

式中db为钢筋直径，α是局部粘结滑移参数，取0.4。fc’为混凝土强度。另根据经验计算可得，Su=(30~40)Sy，b取(0.3~0.5)，R取(0.5~1.0)。

图2 Bond_SP01钢筋应力-滑移骨架曲线

2.2 数值分析模型

基于OpenSees中的纤维梁柱单元和零长度转动弹簧单元建立数值分析模型，如图3所示。非线性梁柱单元用于模拟桥墩的非线性弯曲变形。将Bond_SP01材料赋予零长度转动弹簧单元，用于模拟底部纵筋拔出变形。纤维梁柱单元与零长度转动弹簧单元基于相同的纤维划分，唯一的区别是非线性梁柱单元截面内的钢筋材料使用Reinforcing Steel，而零长度转动弹簧单元截面内的钢筋材料使用Bond_SP01。

图3 数值分析模型

3 滞回曲线对比

数值模型考虑了弯曲变形和底部纵筋的拔出变形，图4为模拟A10，A12，407，415试件得到的墩顶滞回曲线以及与试验结果的对比情况。可以看出，试验值和模拟值非常接近，模型的准确性主要体现于以下几个方面：

其一，模拟得到的桥墩极限荷载与试验结果基本吻合。表明模型在强度范畴内获得了很好的精度，这也是工程设计人员最为关注的模拟结果。

其二，模型很好的预测了试件最终破坏阶段(对应滞回曲线下降段)的强度和刚度退化行为。各试件在最终破坏阶段，模拟得到的滞回曲线强度、刚度均表现出显著降低的趋势，且与试验结果较好的吻合，这是三维实体单元模型很难模拟得到的结果[2]。表明模型可很好模拟钢筋混凝土桥墩的倒塌破坏行为。

第三，模拟得到的各试件初始刚度与试验结果吻合良好。对于弯曲破坏试件，仅依靠纤维梁柱单元模拟得到的试件初始刚度一般较试验结果偏大，主要是由于忽略了试件纵筋拔出变形的影响所致。本文由于基于零长度转动弹簧单元考虑了纵筋拔出变形，因此获得了更好的模拟精度[1,4]。

总之，本文基于OpenSees平台建立的分析模型可对桥墩滞回性能进行非常准确的模拟分析。可供相关科研和工程技术人员参考。

需要说明，本文参考的4个桥墩试件均为弯曲破坏模式，实际桥墩中，由于受地形及场地条件限制，存在大量矮墩，且易于发生剪切或弯剪破坏，开展此类桥墩构件抗震数值模拟工作将是桥梁抗震领域的重要发展方向。

(a)A10

(b)A12

(c)407

(d)415

图4 模拟与试验滞回曲线的对比

4 结论

基于OpenSees建立了4个考虑弯曲变形和纵筋拔出变形的桥墩抗震数值分析模型，并与试验滞回曲线进行了对比。总体来看，两者滞回曲线吻合较好，数值模型能较好的模拟出墩柱的极限强度、初始抗弯刚度以及最终倒塌阶段的强度和刚度退化行为，表明模型建立正确，并具有较高的模拟精度。

参考文献:

[1] 孙治国,王东升,李宏男,等.钢筋混凝土桥墩弯剪数值分析模型[J].计算力学学报,2013,30(2):249-254.

[2] SUN Zhiguo, SI Bingjun, WANG Dongsheng, et al. Experimental research and finite element analysis of bridge piers failed in flexure-shear modes [J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2008, 7(4): 403-414.

[3] 孙治国,王东升,郭迅,等.钢筋混凝土墩柱等效塑性铰长度研究[J].中国公路学报,2011,24(5):56-64.

[4] 孙治国,郭迅,王东升,等.钢筋混凝土空心墩延性变形能力分析[J].铁道学报,2012,34(1):91-96.

[5] ELWOOD K J. Modelling failures in existing reinforced concrete columns [J]. Canadian Journal of Civil Engineering, 2004, 31(5): 846-859.

[6] 司炳君,李宏男,王东升,等.基于位移设计的钢筋混凝土桥墩抗震性能试验研究(I)：拟静力试验[J].地震工程与工程振动,2008,28(1):123-129.

[7] LEHMAN D E, MOEHLE J P. Seismic performance of well-confined concrete bridge columns [R]. Pacific Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley, 1998.

第3篇：数值分析范文

在计算机上运用数值分析解决实际问题的过程为：实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→上级计算求出结果[1]。数值实验的设计应当充分体现这一过程，同时也应当充分体现数学建模思想. 而目前地方高校在数值分析课程的教学与实验中，普遍存在重理论、轻实践、纯数学十足的问题，部分即使避免这些问题，做到利用计算机进行可视化教学和算法编程实践，但学生也缺乏分析问题、解决问题的能力，因为学生的算法与程序多是百度而来，缺乏思考. 因此，数值分析课程的数值实验因当因时而异，因专业而异，紧跟时展，做到充分吸引学生的注意力，激发学生的兴趣，调动学生积极性，让学生积极主动的去想办法解决问题，而非被动的接受。这样的数值实验才能有效培养学生应用能力。

数值分析的内容广泛，包含插值拟合、数值积分与数值微分、数值代数、微分方程数值解法、非线性方程与方程组的数值解法，最优化等等。下面以插值拟合、微分方程数值解法、非线性方程数值解法、最优化的相关实际问题为例，研究数值实验的设计。

2 结束语

通过以上案例发现：如果知道解决实际问题的数值分析方法，利用MATLAB能很方便的求出实际问题的结果。但是对于多数学生而言，由实际问题无法得到数学模型，更无法知道相应的数值分析方法。因此在学生有一定数值分析基础后，才能引入这些实际问题的数值实验；同时选取的数值实验必须为学生深入研究预留了空间，因为在讲解相关的知识背景，详细分析问题，建立模型后，对学生进行的是分层次指导解决这些问题（即或利用MATLAB函数命令简单编程计算，或利用MATLAB的专用工具箱计算，或设计算法流程利用MATLAB编程计算）；这样每一个学生都能参与到实验中来，每一个学生在实验中都有收获；最后撰写实验报告，阐明实验的目的、要求、过程、收获等.如此，通过这些数值实验，学生既自己动手解决实际问题，培养了其综合应用能力，又让其充分体会到数值分析的魅力，为大学生数学建模竞赛和后续专业学习打下坚实基础.当然，随着技术的进步，不同专业的数值分析应用实验需要教师不停的探索和研究。

参考文献：

[1] 徐翠薇，孙绳武.计算方法引论[M]. 3版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 吕国英.算法设计与分析[M]. 2版.北京：清华大学出版社，2009.

[3] 张德丰等. MATLAB数值分析[M]. 2版.北京：机械工业出版社，2012.

[4] 杜廷松.关于《数值分析》课程教学改革研究的综述和思考[J]. 大学数学，2007，23（2）：8-15.

[5] 张涛，. 数值实验在《数值分析》教学中的重要性分析[J]. 长江大学学报：自然科学版，2009，6（1）：371-372.

第4篇：数值分析范文

Abstract： Based on the bubble dynamic equation under the consideration of liquid surface tension, viscosity and radiative resistance, this essay adopted numerical simulations to investigate single cavitation bubble dynamics with different kinds of acoustic driving frequencies and bubble initial radiuses.

关键词： 超声空化；空化气泡；数值分析

Key words： ultrasonic cavitation；cavitation bubble；numerical analysis

中图分类号：G30文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）01-0196-02

0引言

随着科学技术的发展，超声已在众多领域得到了广泛的应用，在这些应用中，超声空化是引发各种物理、化学和生物效应的主要机理，这些效应与瞬态空化气泡崩溃时所产生的高温高压等现象有关。在研究单一空化气泡动力学过程的方法中，数值分析是除理论和实验方法之外的一种研究方法，至少有两方面原因表明它是必要的。首先，由于气泡运动过程中高度的非线性，使得从理论上建立能够精确描述空化过程的方程实际上是不可能的，其次，微米级大小的空化气泡半径和持续时间为微秒至纳秒级的气泡运动周期使得实验测量也难以进行。本文基于考虑了液体表面张力、液体粘滞性和辐射阻尼的气泡运动方程，采用数值分析中Runge-Kutta方法研究在不同声场频率和气泡初始半径条件下单一空化气泡的运动过程。

1气泡动态的数值分析

考虑了液体表面张力、液体粘滞性和辐射阻尼的单一空化气泡运动方程：

R+=P+-P-P-

-+P+-P（1）

方程（1）是二阶常微分方程，使用Runge-Kutta方法求解时应当用替换法化为形如y′=f（x，y）的一阶微分方程组，再加以使用。方程（1）可化为下列一阶方程组：

y=R′y′=f（t，R，R′）=-（R′）+P+-P-P--R′+P+-PR?佐=R，y?佐=R′?佐=0

若设时间步长为h，则使用Runge-Kutta方法求每个离散时间点上对应气泡半径大小Rn的递推公式为：

R=R+hR+k+k+kR=R+k+2k+2k+kk=hft，R，Rk=hft+，R+R，R+k=hft+，R+R+k，R+k=hft+h，R+hR+k，R+k

设声场激励波形为P=Psin（ωt），若声压P

f=P+-（2）

同时假设气泡运动过程为等温过程，即方程（1）中的泡内气体多方指数n=1。计算时与液体相关的各参数取值分别为：液体密度ρ=1000kg/m3，液体表面张力系数σ=0.076N/m，液体粘滞系数μ=0.001kg/（m•s），液体中声速c=1481m/s，液体中的静压P=1.013×105Pa。

下面研究单频声场激励下，声场频率f和气泡初始半径R对气泡动态的影响。具体为计算f和R在不同的取值条件下，空化气泡半径随时间的变化曲线，即R（t）曲线。

1.1 声场频率对气泡动态的影响给定气泡初始半径R，通过改变声场频率f的大小，讨论fa的变化对气泡动态的影响。设声场激励为P=-Psin（2πft），P=5.0×105Pa，R=0.6μm，由公式（2）得到其自然共振频率f=7.55MHz。若取f=20MHz，则反映气泡动态的R（t）曲线为图1所示，气泡在多个声波周期内做复杂振荡。

若取f=7MHz，则R（t）曲线为图2所示，气泡在一个声周期内即趋向崩溃。需要指出，这里所说的趋向崩溃是指气泡半径在增大到最大值后急剧向R=0趋近。

气泡在不同声场频率激励下其趋向崩溃的程度是不同的。图3显示了声场频率从4MHz变化到10MHz时，气泡在趋向崩溃时的半径与其初始半径之比R/R0的变化趋势。

通常认为:当超声波频率与气泡的自然共振频率相等时，超声波与气泡之间就达到了最有效的能量耦合，气泡将迅速崩溃。但数值计算的结果表明，当f=f时，气泡半径在通常所指的崩溃阶段趋向0，但不为0；当f小于f至一定限度时，气泡半径才在10-5数量级上趋向0，这时可以认为气泡彻底崩溃；当f大于f至一定限度时，气泡可在多个声波周期内稳定振荡，且振荡波形复杂无规律。

同时大量实验研究表明，随着频率升高，声空化过程变得难以发生。对这种现象的定性解释为：频率增高，声波膨胀相的时间相应变短（如f=20kHz，其膨胀时间为25μs；如f=20MHz，其膨胀时间为25ns），气泡核来不及增长到可产生效应的空化气泡，或者即便空化气泡可以形成，但由于压缩相时间也短，空化气泡可能来不及收缩至发生崩溃。为使在较高频率下产生空化，可以提高声强，即空化阈值将随频率升高而增大。此外，从声波的传播特性可知，频率升高，声波的传播衰减将增大，这也使得空化强度减弱以及可能发生空化的区域减小。

1.2 气泡初始半径对气泡动态的影响给定声场频率f，计算气泡取不同初始半径R时的动态曲线R（t）。设P=P=1.013×105Pa，f=20KHz，这是超声工业清洗及声化学中较常使用的频率，按照公式（2）与其对应的共振气泡半径为R=150μm。图4为R从60μm变化到160μm气泡趋向崩溃时R/R的变化趋势。同样可以看出，当声场频率一定时，在该频率上自然共振的空化气泡并没有彻底崩溃，而是那些半径小于自然共振半径至一定限度的气泡才趋向彻底崩溃，半径大于该自然共振半径的气泡将持续振荡若干周期而不崩溃。

一般情况下，当时，计算得出下述结论：对初始半径大于共振半径的气泡，将发生复杂的持续振荡，一般不会崩溃；对初始半径小于共振半径的气泡，随着声压负压相的到来而不断增大，当声压正压相到来时，气泡先因惯性继续生长到最大半径，然后迅速收缩，直到崩溃。

2结论

本文采用Runge-Kutta数值分析方法研究在不同声场频率和气泡初始半径条件下单一空化气泡的运动过程，数值分析结果表明，当给定气泡初始半径大小时，声场频率在小于气泡自然共振频率至一定限度时，气泡将迅速崩溃，而大于该共振频率时，气泡将持续振荡而不崩溃，即随着声场频率升高，声空化将难以发生；当给定声场频率时，只有其半径小于与该频率对应的气泡自然共振半径至一定限度的气泡才会彻底崩溃，半径大于该自然共振半径的气泡将做持续振荡。

参考文献：

[1]冯若.超声手册[M].南京：南京大学出版社，2001.

[2]钱梦J，程茜，葛曹燕.单泡声致发光中气泡的动力学特征――振子模型[J].声学学报，2002，27（4）：289-294．

[3]李信真，车刚明，欧阳洁，封建湖.计算方法[M].西安：西北工业大学出版社，2000.

第5篇：数值分析范文

【关键词】金属管材；端部；内卷成形加工；数值分析

金属管件端部加工处理主要包括向内或向外反转、向内或向外卷边、推拔缩口或扩口等几种形式，但处理过程中易发生管部或底屈缘破裂问题，因而通常无法成形。本文通过轴对称弹塑性大变形理论，对金属管件端部内卷成形加工进行了探讨，同时分析了、管厚几何尺寸、管高、管件材质材料和冲头半角等对于管件端部内卷成形加工产生的影响进行了分析[1]。

一、理论基础

1.1 有限元公式

有限元计算过程中，应将管件模型划分为数个有限单元，设定所有单元的速度分布：

其中，[E]表示速度关系-速度梯度矩阵，[B]表示速度关系-速率矩阵，[N]表示形函数，{d}表示节点速度。

因为材料本构关系式和virtual velocity原理方程的变化率属于线性方程式，因而能够表示为增量方式。利用有限元离散化的标准步骤，能够获得大变形的统一刚性方程式：

其中，S、V分别表示表面积和单元体积，[G]和[Q]表示应力修正矩阵，{F}表示节点力的增量，{u}表示节点位移增量，[K]表示整体的弹塑性刚性矩阵[2]。

1.2 本构关系

分析弹塑性本构关系需进行如下假设：第一，塑。相关联的塑性流动本构方程、Von Mises屈服函数和等向应变硬化。第二，弹。小应变、线弹性和各向同性[3]。

在有限塑性变形和小弹性变形中，本构关系可表示为：

其中，σ（σij）表示Von Mises屈服函数，δij表示Kronecker符号，V表示泊松比，E表示弹性模量，H‘表示应变硬化率，f表示初始屈服函数，表示弹性系数，表示弹塑性系数。

上述方程式的本构方程是应用于同性材料可以表示为：

其中，α=0为卸载或是弹性状态，α=1为塑性状态，σij'为σij的偏量部分。

材料的等效塑性-等效应力应变关系式能够表示为：

其中，ε0表示初应变，εp表示等效塑性应变，σ表示等效应力，n表示应变硬化指数，C表示材料常数[4]。

1.3 虚功原理

使用ULF增量形式对弹塑性变形进行描述，ULF虚功原理可表示为：

其中，Sf和V表示作用力的作用面积和材料体积，Lik表示节点的速度梯度张量，ti为单位面积物体表面所承受的力变化率分量，δvi、δLij和δ'εij表示的是节点的虚速度梯量、虚速度梯度张量和虚应变力张量，'εij表示应变速率张量，εij表示应变张量，σij表示应力速率张量，σjk表示Cauchy应力张量[5]。

二、数值分析

利用上述的理论模型，对金属管材端部内卷成形加工过程实施数值分析。因为金属管材端部金属管材端部的卷边属于轴对称性状，所以，仅仅需要对模型的一部分进行分析。图1中代表的是模具和弓箭的初始阶段装置状况，在处理坐标方面，同时利用局部坐标（l，n）和固定坐标（r，z）两种。以局部坐标（l，n）表示与工具接触的节点，不以固定坐标（r，z）表示与工具接触的节点。前文所述的坐标，是在局部坐标中，利用右手定则确定，n轴是工具和管材接触的法线方向，而l轴是工具和管材接触的切线方向[6]。

表1表示的是数值模拟的材料参数，管厚分为0.8mm、0.6mm和0.4mm三种型号，管件外径为25.4mm，金属管材的弹性模数和泊松比为110740MPa和0.33。

GA线段是金属管件地段的特定边界，设定这一部位节点的z轴方向位移增加量是零，然而，B节点是完全固定的[7]。

三、总结

第一，随着模具角度值的扩大，C值也会相应增大，在卸载过程中，C值的变化不会受到工具位移和模具角度等因素的影响，也就是轴对称的金属管材端部向内卷边成形过程中不会发生十分明显的弹回现象。

第二，由于金属管材制作材料的不同，其端部向内卷边成形是的临界角度值也会发生1b至2b不等的差异，同时，金属管材端部内卷成形的趋势基本相同，且具有较高的相似性。

第三，缩口成形制造过程中，模具表面与管端之间的接触状况存在一定的差异。

第四，金属管材端部内卷成形负荷分布情况会直接受到模具角度值差异和是否受到引导筒作用的影响。

第五，利用引导筒对金属管材圆筒部外侧的管材变形程度进行严格控制，从而避免金属管材端部外侧发生座屈现象，受到引导筒作用的影响，模具角度值能够在不超过123b的情况下出现向内卷边成形，相反，则会出现缩口成形现象。

参考文献

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[2]张奶禄，郝佳，徐景田，于润康.稀有金属管材半连续真空退火炉控制系统研制[J].真空，2008，45（2）：61-63.

[3]杜向阳，程武山，张民良等.绝对式涡流传感器非接触测量金属管内液体温度的方法[J].无损检测，2009，12（2）：988-990.

[4]段玲玉.金属管材气密性试验方法的改进[J].湖南冶金职业技术学院学报，2005，5（1）：94-95.

[5]徐永超.金属管材高温性能测试方法[J].专利技术，2012，19（2）：126-129.

第6篇：数值分析范文

关键词：数值分析；岩质高边坡；边坡设计

引言：

土坡一般有均值坡体或者是比较相似的土质坡体特征，但是岩质高边坡稳定性完全受内部结构控制，只有通过分均值坡体来考虑楔形体稳定性。因为岩质高边坡高度比较高，开挖后容易产生变形，所以设计时必须要考虑到变形与滚石等问题，且高度决定了岩质高边坡在施工时容易出现安全事故，影响施工的正常开展。本文将以岩质高边坡实况为例，通过数值计算的方式来明确其设计要点。

1.工程概况

以某高速公路建设实况为例，阐述数值分析在岩质高边坡设计中的应用。该高速公路因为计划建设范围有废弃的采石场，所以当地的地貌出现了较明显的变化，只有通过高边坡的方式来建设路堑。在实际施工中，边坡的最大开挖高度在80m左右，碎落的太宽长度测量为10m，除了第六级以及第三级之外，其余所有的平台宽度都是2m。坡高较大并且整个边坡均属于中风化的岩体。

2.稳定性分析

控制岩质边坡稳定性的主要因素是岩体结构面，设定岩体属于均质材料，对坡体采用画面搜索的方式进行处理，将最终得出的稳定系数作为稳定性计划参考。边坡稳定性分析所用的岩体参数需要工作人员对和碎石粉质粘土、强风化灰岩以及中风化灰岩进行检测才能得出[1]。

假定坡体为均质体，采用最不利画面方法对其进行搜索，分析其稳定性，所得出的结果可以用做参考。岩质边坡稳定性受岩体内部结构面控制，且结构面产生的坡体岩块楔形体稳定性也是对岩质边坡稳定性进行分析时需要明确的一项检测内容。通常情况下，可以使用楔形体稳定的方式来分析坡体局部岩块的稳定性，结合地址的概况，明确组合对坡体稳定会产生不利的影响。不同的节理与开挖坡面会形成不稳定楔形体，工作人员必须要通过楔形体稳定来分析其稳定性[2]。

使用楔形体稳定分析方法对其分析发现，边坡开挖以后，整体稳定性比较好。从现有地质资料信息上看，可以判定该施工方式可以满足坡体的稳定性需求。

3.岩质边坡应力及变形

岩质边坡的岩体总体力学性质要比其余部分的力学性质好，且稳定性比较强。因为边坡高度比较大，所以必须对边坡开挖以后坡体的盈利分布情况以及坡体的变形情况进行分析，使用二维有限元平面应变模型即可对其应变情况进行研究。从地址概况以及地形资料的实际情况入手，构建有限元建模，而边坡的坡体则可以按照中风化凝灰岩的形式进行考虑。在开挖以后，对应力进行分析，该工程开挖后显示各级的坡体在坡脚附近均存在应力集中的情况，而且因为坡率比较缓，所以应力的集中水平比较差，坡脚位置最大应力在250左右，这一应力数值不会使坡体产生屈服性破坏[3]。从整体情况上看，根据有限元的结果来分析，秉承摩尔库伦破坏准则，该坡面附近的岩体是不会产生破坏的，可以进行施工。除了要对坡体的应力进行分析，在准备对边坡开挖以及开挖之后边坡会产生的位移也是必须要考虑到的一个要素。将开挖之前坡体产生的位移作为基础来预测开挖之后坡体的整移变化情况。该工程的坡面最大位移达到25mm，而且位移朝向开挖的临空面，属于回弹性位移，坡体整体显示比较稳定[4]。

4.滚石路径估算

坡面的滚石问题会影响到高边坡设计质量，因为高边坡的高度比较高，如果没有妥善的对其进行处理，很容易出现各种潜在的危害，影响工程施工质量，且对公路的危害比较大。高边坡设计必须要融入滚石路径估算，对可能产生的公路运营滚石采取一些防范措施，控制施工，将产生危险的几率控制在最低的范围内。滚石滑落路径可以通过弹射算法以及滑动算法等方式进行模拟，在满足初始计算条件的基础上，按照弹射算法计算滚石空气运动或者是在两点之间互跳斜坡的指数。按动算法来计算滚石和边坡的接触过程，模拟整体计算过程，判断滚石位置以及滚石的初始速度，控制边坡的坡面性质，通过对参数进行随机分析的方式来明确数值。模拟初始条件进行计算，首先假设边坡在开挖以后不稳块体会沿着坡面产生，且块体的初始程度拟定为0m，速度标准差控制在0，块体的质量是10KG，模拟400次块体下落轨迹，通过模拟计算的方式来明确其设计要点。轨迹模拟是可以在不同坡面下进行的，与滚石的下落轨迹进行对比，明确计算结果。坡面可以在新鲜岩石也可以是被植被覆盖的坡面[5]。

在皮面比较宽的平台上设置一些被动的防护网，控制滚石，使滚石不至于滑落到公路施工现场。滚石路径模拟结果可以按照块体下落轨迹要求及规律来明确，保证防护网设置的科学性。三级平台之下滚石因为坡高比较小，并且碎落的台上是有一些植被和小草可以缓冲其能量的，所以对弹跳高度的影响比较小，很难危害路面结构以及对来往车辆造成影响。通过对滚石路径进行模拟可发现，坡面条件对直接影响滚石路径，并且如果边坡的高度比较大，可以通过碎落台覆土以及被动防护网等方式来控制滚石，降低潜在的风险，提升施工安全性[6]。

结束语：

经济发展是我国主要发展方向之一，而公路的实用性更是影响经济发展要素。在工程设计中，岩质高边坡的设计考虑因素不同于土质边坡，岩质边坡的稳定性常为岩体内结构面的组合等因素所控制，须分析楔形体岩块的稳定性。在设计中可以用楔形体稳定方法分析坡体局部岩块的稳定性，而以岩质坡体作为均质体，用搜索最不利（优化）圆弧滑面的方法得到的稳定计算结果仅作为设计的参考。高边坡坡体内应力，开挖后坡体变形问题可以采用有限元按照不同的工况进行分析，查明坡体内的应力分布，减少因为坡体产生破坏或者是坡体的密度过大导致影响坡体稳定性的事情发生。坡面的滚石问题是岩质高边坡设计的关键方向之一，可以通过弹射算法以及滑动算法结合的方式来模拟，将模拟结果作为参考因素来完成设计。从滚石路径模拟结果入手，改变坡面形状以及坡面的性质等，将滚石对公路车辆的危害控制在最小的范围内，提升设计的科学性。

参考文献：

[1]潘亨永，何江达，张林. 强度储备法在岩质高边坡稳定性分析中的应用[J]. 四川联合大学学报（工程科学版），2012，01：12-18+25.

[2]李宁，钱七虎. 岩质高边坡稳定性分析与评价中的四个准则[J]. 岩石力学与工程学报，2010，09：1754-1759.

[3]姚环，秦刚，沈骅. 石崆山Ⅱ号段岩质高边坡稳定性的有限单元法（FEM）分析评价[J]. 地球与环境，2015，S1：265-269.

[4]宋胜武，冯学敏，向柏宇，邢万波，曾勇. 西南水电高陡岩石边坡工程关键技术研究[J]. 岩石力学与工程学报，2011，01：1-22.

第7篇：数值分析范文

关键词：混凝土结构；温度变形；温度内力；数值分析；有限元；ANSYS

中图分类号：TU311.4；TB115文献标志码：A

Numerical analysis on internal force of reinforced concrete structure caused by temperature

ZHU Cimian， GU Shaoyi

(College of Civil Eng., Tongji Univ., Shanghai 200092, China)

Abstract：To study temperature effect of concrete structures, the numerical analysis on temperature deformation and internal force caused by temperature distribution of reinforced concrete frame structures, frame-shearwall structures and shearwall structures are done using ANSYS. Typical computational models are established respectively for the structures with different longitudinal lengths, storeys and forming characteristics, which are analyzed under the assumption with or without temperature difference between inside and outside the structures. The temperature deformation and internal force distribution are obtained. The main conclusions are valuable to structure engineers.

Key words：reinforced concrete structure; temperature deformation; internal force caused by temperature; numerical analysis; finite element; ANSYS

0引言

随着我国各种大型公共和民用建筑建设的迅速增长，因温度变化引起的结构内力越来越受到设计人员的关注，特别是有些大型建筑物虽然其尺度已超过设计规范[1,2]有关伸缩缝设置间距的限值，但因使用功能上的需求，或是从有利于结构整体工作出发，或是为解决建筑物地库的防水问题，常希望不设或少设伸缩缝.这样便需要对建筑物因温度变化而引起内力变化的规律、影响因素以及减小结构温度内力的措施[3]等问题进行深入研究，以实现在确保建筑物安全的前提下满足使用要求.

本文利用大型通用有限元分析软件ANSYS建立合理的计算模型，分析混凝土框架、框架―剪力墙及剪力墙结构的温度变形和内力，并根据各种典型算例的结果总结出温度变形特点和内力分布规律.考虑建筑物内、外有无温差两种温变条件，对上述结构分别取不同的长度、结构层数和平面形状进行分析.

1有限元计算模型

利用ANSYS有限元程序分析时，框架梁和柱采用三维梁单元, 楼板和剪力墙采用板壳单元.其中梁采用BEAM188单元，柱采用BEAM189单元，两者均基于TIMOSHENKO理论，考虑了剪切变形的影响.楼板和剪力墙采用SHELL63单元.虽然钢筋会对混凝土的收缩变形产生自约束应力，但由于钢材和混凝土具有相近的线膨胀系数，而且一般混凝土结构配筋率较低，上述自约束应力一般可以忽略.

计算分析时通过对弹性模量予以折减来考虑应力松弛所引起的温度内力的降低.文献[4]建议在混凝土结构年温差应力分析中：计算模量可取混凝土抗压弹性模量的0.2～0.5倍.计算模型混凝土强度等级为C30，相应计算模量取抗压弹性模量的0.3倍，即9×109 N/m2；泊松比取0.2；混凝土线膨胀因数取0.000 01.

在进行温度内力分析时作如下假定：（1） 各柱在基础顶面处均为固定端；（2） 混凝土开裂前材料各向同性；（3）构件两侧温度不同时，计算温变根据线性变化原则确定.

温变载荷采用以下两种：(1） 无温差，室、内外均匀温降40℃；(2）有温差，室外温降40℃，室内温降20℃；屋面因有保温层，构件顶面温降取30℃，此时构件计算温降为（30℃+20℃）/2=25℃；外沿构件温降为（40℃+20℃）/2=30℃.

2框架结构温度变形和内力

框架结构算例平面大致见图1，其纵向长度分别为54 m和72 m(超规范限值)，图中打叉处表示结构平面变化时去除此部分；框架层高4.5 m，分为2，5，10层3种情况；柱截面为500 mm×500 mm，梁截面为300 mm×600 mm，楼板厚度为140 mm.

5层框架结构在均匀温降40℃作用下的变形见图2.表1所列为计算求得的纵轴X上各框架柱层间位移数值，可见各柱的最大层间位移均发生在底层，以上各层的层间位移迅速减小并趋向于0，且层间位移在结构中部较小，向两侧则呈递增趋势.

纵轴X上柱子的弯矩见图3，可见柱子的最大弯矩发生在层间位移最大的底层，尤以边柱弯矩最大，以上各层柱子的弯矩迅速减小，2层以上柱弯矩趋于0.

楼面梁和楼面板由于温降作用所引起的纵向力是因框架柱对于楼面结构温降收缩的约束作用而产生的，纵轴X上各框架梁所受轴力见图4，其中正值表示梁轴向受拉.由图中可见楼面结构的纵向力一般为拉、压交替出现.

框架结构的纵向长度增至72 m时，纵轴X上柱子的弯矩见图5.对比图3可知，柱子的弯矩值增加约30％，与结构纵向长度的增长幅度相当.当室外温降为40℃导致室内外有温差时，结构变形见图6，纵轴X上柱子的弯矩见图7.对比图3可知，此时顶层柱子的弯矩明显增大.对于2层和10层的框架结构，温度变形和温度内力的变化规律与5层时大体相同.

计算表明：框架平面形状呈凹凸状(见图1)时结构的温度内力将有明显减小，特别是纵向外沿处柱子内力减小较多，柱弯矩的降低幅度见表2.

3框架―剪力墙结构温度变形和内力

框架―剪力墙结构算例平面见图8，图中涂黑部分表示剪力墙和柱子.建筑物纵向长度分别为54 m和72 m（超规范限值），仍分为2，5，10层3种情况.剪力墙厚度200 mm，结构其余参数与框架算例相同.

5层框架―剪力墙结构在均匀温降40℃作用下的变形见图9，表3为计算求得的纵轴X上各框架柱层间位移数值，可见各柱的最大层间位移仍发生在底层.与表1比较可知，由于剪力墙侧向刚度大，对层间位移有显著的约束作用.

纵轴X上柱子的弯矩见图10，可见柱子的最大弯矩仍发生在层间位移最大的底层，但因层间位移减小，所示弯矩值也比图3明显减小.纵轴X上各框架梁所受轴力见图11，可见框架梁轴力仍以2层楼面梁最大，以上各层迅速减小.与图4比较可知，剪力墙的约束作用使框架梁所承受的纵向轴力明显加大.纵轴V上由于剪力墙的作用，梁轴力分布发生变化(图12)：在设有剪力墙的柱间梁轴力很小，其相邻两跨的梁轴力值较大，且向结构中部呈递减趋势.剪力墙中的最大剪应力发生于墙底部.

4剪力墙结构温度变形和内力

本算例为10层剪力墙结构，层高4.5 m，剪力墙平面布置见图13，墙厚200 mm，所有连系梁截面为200 mm×600 mm，楼板厚度为140 mm.

该10层剪力墙结构在均匀温降40℃作用下的变形见图14.由于结构对称，各层位移亦均呈对称分布，各楼层的结构平面变形大致相同.

（1）框架、框架―剪力墙和剪力墙结构在均匀温降作用下的最大层间位移和竖向构件的最大内力均发生于底层.

（2）框架和剪力墙结构在均匀温降作用下，楼面结构的最大纵向力均发生在2层；同一楼层中层间位移和竖向构件内力的最大值发生于结构的端部位置；楼面结构的最大纵向力则发生于结构的中部位置.但就框架―剪力墙结构而言，上述最大值发生的位置还与剪力墙的平面布置有关.

（3）均匀温降作用下结构层间位移、竖向构件内力和楼面结构纵向力沿结构高度迅速减小，其中以框架结构的减小速度最快，框架―剪力墙结构次之，剪力墙结构的减小速度稍慢.

4）框架结构在均匀温降作用下楼面结构纵向力一般呈逐层拉、压交替.

（5）结构的温度内力随结构纵向长度的增加而增大，在一定范围内两者的增长幅度大体相当，其中框架―剪力墙结构内力的增幅受楼面应力分布不均匀的影响较大.

（6）结构楼层数的增加对其温度位移和温度内力的影响很小.

（7）结构平面的凹凸可使相应部位温度内力明显降低，其内力降低的幅度通常在10％以上.

（8）当室内、外温度变化不同时，结构顶层的竖向构件以及屋面纵向内力均明显增大.

根据计算模型所得结果，当框架结构纵向长度小于混凝土结构设计规范所规定的伸缩缝设置最大间距限值时，在温降40℃的极端条件下，经验算因温度内力而需增加的柱子配筋量一般不足15％.但当框架结构超长时，因温度内力而需增加的柱子配筋量将很快增长.

以上结论可供设计人员参考，在相关工程设计中应予以充分考虑.

参考文献：

[1]GB 50010―2002.混凝土结构设计规范[S].北京：中国建筑工业出版社， 2002.

[2]JG J3―2002.钢筋混凝土高层建筑结构设计与施工规程[S].北京：中国建筑工业出版社， 2002.

[3]SAETTA A，SCOTTA R,VITALIANISTRESS R.Stress analysis of concrete structures subjected to variable thermal loads[J].J Structural Eng,1995,121(3): 446-457.

第8篇：数值分析范文

关键词：有限土体; 土压力;数值分析

中图分类号：TU472文献标识码： A

Numerical Simulation to Finite Soil Pressure under Slope Condition

LIU Xin, PAN Zhi-feng, HAN Ya-ming

(China HPDI Geotechnical Engineering & Survey CO.,LTD, Beijing 100088, China)

Abstract: This article processed a numerical simulation to the finite soil slope under GeoStudio-SIGMA/W module. With a given angle 75°，soil pressures of three cases, which the top width of finite soil slope are 7.5m, 12m and 15m, were compared. The result is that the distribution of soil pressure strength increases with the increasing of soil top width, meanwhile, it presents a nonlinear distribution along the wall in trends of increasing to decreasing.

Keywords: finite soil; soil pressure; numerical simulation

1 引 言

随着建筑物密度和基坑开挖深度的增加，在深基坑设计中，基坑在多种情况下距已有建筑物很近，此时，作用在拟建基坑围护结构上的土压力属于有限土体土压力范畴，而朗肯或库仑土压力理论采用的是半无限土体的假设条件，对于有限土体并不适合。因此，对有限土体土压力的分布规律进行合理的分析就成为了当前土力学中重要的课题。

数值模拟以其直观的表现形式、对复杂几何形状岩土体的精确模拟和多场耦合等特点在岩土工程分析中的应用非常广泛，得到了研究人员的普遍认同。由于连续介质数值分析方法能考虑基坑开挖与支护施工过程的许多影响因素，并能直接计算分析开挖对周围环境的影响，目前连续介质数值分析方法己成为岩土工程计算分析的强有力的工具。而GeoStudio-SIGMA/W软件在边坡稳定性分析、路基稳定性分析和基坑支护分析等领域几乎所有的岩土体应力变形问题均能得到良好解决[1-5]。因此本文选择该软件对放坡条件下有限土体进行数值模拟，并对该情况下土压力强度分布规律进行研究。

2 放坡条件下有限土体土压力数值分析

2.1数值模型建立

本次模拟采用二维平面模型进行放坡条件下有限土体土压力的数值分析。模型长40m高28m，其中挡墙高15m，嵌固深度为5m，对挡墙角度为75°，有限土体顶部宽度分别为7.5m，12和15m的情况以及挡墙垂直时，有限土体顶部宽度为15m时的情况进行分析。

图1 数值模拟模型简图

所进行数值分析均基于图1所建立模型简图进行分析，计算模型底部为地基土，在进行土体前已经固结压实，模型中土体左右两侧分别为挡土墙和已有建筑物基础，均为混凝土材料。所建立模型节点数在5000左右，单元10000左右。

2.2 边界条件与参数

计算模型边界条件的设置为：模型左右两侧水平约束，不允许水平方向位移，底部边界条件为水平和竖直方向均设定约束，顶部为自由边界。模型左右边界、底部边界和顶部边界均无外在荷载和初始位移速率。整个模型仅有重力荷载。计算模型中土体和地基土采用Mohr-Coulomb强度准则，挡土墙和建筑物采用弹性本构模型，计算中不考虑地下水问题。土体、挡土墙和建筑物的各参数见表1。

表1 计算模型参数

容重

(kN/m3) 内摩擦角

(°) 粘聚力

(kPa) 泊松比 压缩模量

(MPa)

土体 20 20 20 0.25 40

挡墙及建筑物 28 0.2 1000

2.3 模拟过程

每个数值计算模拟分为2个主要过程：首先构建地基土、挡土墙和已有建筑物基础模型，并施加重力荷载，让模型在自重应力稳定，建立背景自重应力场。然后进行开挖过程模拟，将左侧上部土体开挖掉，计算土体作用在挡墙上的土压力大小。

3 数值模拟结果分析

为了研究放坡条件下有限土体土压力的分布规律，在对数值模型进行计算中保持土体力学参数和深度不变，挡土墙和建筑物的力学属性及几何属性不变。以下土体横向土体压力图是不同有土体宽度的数值模拟结果。下面对该结果进行分类分析。

图2 数值模拟前处理模型(b=0.5H) 图3 数值模拟水平土压力分布(b=0.5H)

(b为有限土体顶部宽度，H为挡墙高度，下同)

图4 数值模拟前处理模型(b=0.8H) 图5 数值模拟水平土压力分布(b=0.8H)

图6 数值模拟前处理模型(b=1.0H) 图7 数值模拟水平土压力分布(b=1.0H)

从图2～图7可以看出，放坡条件下有限土体土压力分布有以下规律：

1.土压力随着土体宽度的增大而增大，在土体顶部宽度为0.5H时，墙底部的土压力只有不到80kPa，而当土体顶部宽度为0.8H时，墙底部土压力基本为120kPa，而当土体顶部宽度为1.0H时，墙底土体压力为120kPa。可见挡墙土压力随着土体顶部宽度的增大而增大，但是当土体顶部宽度b大于0.8H时，土压力强度增大并不明显。

2.从图中可以看到土压力随着墙高的分布，最大土压力并不在墙体的最底部，而是在墙接近底部的地方。图3能够较为明显的显示出，水平土压力的分布规律。

4 放坡条件下有限土体土压力对比分析

本节我们通过数值模拟来对在墙高为75°时，b=0.5H和b=1.0H两种情况进行土压力分布规律分析。所得土压力分布规律图如下所示。

图8 数值模拟土压力随墙高分布(b=0.5H) 图9 数值模拟水平土压力随墙高分布(b=1.0H)

从图8、图9可以看出，两种方法所得土压力分布趋势基本一致。均随着土体顶部宽度b的增大而增大，均在b=0.5H时，土压力分布的非线性更加明显，在b=1.0H时，土压力分布体现非线性规律则不明显。其分布规律均为墙顶处土压力为0，到了一定深度后土压力开出出现，到墙下部某一高度土压力达到最大值，随着深度的增大，土压力值减小。

5 小结

本章通过GeoStudio-SIGMA/W建立放坡条件下有限土体土压力数值模型并进行了分析，得到以下主要结论。

(1)基于数值模拟所得结果，土压力强度分布随着土体顶部宽度的增加而增加，且土压力强度随着墙高的分布呈非线性分布。

(2)土压力分布规律呈现土体顶部宽度小时，非线性明显，而土体顶部宽度大时非线性不明显的规律。

参考文献

[1]王召磊 杨志银 《基于GeoStudio的预应力锚索复合土钉墙稳定性分析》 工业建筑

2011

[2]任永强 何昌荣 《基于有限元水平地震荷载作用下土坡稳定性分析》 路基工程 2011

[3]郑涛 张玉灯 《基于Geo-Slope软件的土质边坡稳定性分析》 水利与建筑工程学报

2008

[4]吉彬彬 张鹏 《某高速公路滑坡开挖填方前后稳定性数值分析》 工程地质计算机应用

第9篇：数值分析范文

关键词: 数值分析迭代法线性方程组

在工程技术、自然科学和社会科学中的许多问题最终都可归结为解线性方程组,因此线性方程组的求解对于解决实际问题是极其重要的。线性方程组的解法有很多种,其中数值分析中的迭代法是比较重要的一种。

迭代法的基本思想是将线性方程组:

Ax=b(其中A∈R,b∈R),(1)

经过变换构造出一个等价同解方程组:x=Mx+c,然后改写成Jacobi迭代式:

x=Mx+c(k=0,1,2,…),(2)

或者Gauss-Seidel迭代式:

x=Bx+Bx+c(k=0,1,2,…)(其中B+B=M),

选定初始向量:x=(x,x,…,x),反复不断地使用迭代式来构造一个序列:{x}(k=0,1,2,…)。如果{x}(k=0,1,2,…)收敛,它就是该方程组的近似解序列,否则它就没有实用价值。本文利用系数矩阵A的对角线上元素的和给出了系数为对称正定矩阵的线形方程组Ax=b的一种新的定常迭代格式,如果系数矩阵A为可逆的非正定矩阵,可以通过预处理转化为正定矩阵,令A:=AA,b:=Ab即可。且充分考虑加快计算速度。

一、收敛定理及证明

1.引理:如果M是一个n×n矩阵,对任意的n维向量c迭代格式(2)收敛的充分必要条件是ρ(M)

证明见文献[1]。

2.定理1:如果A为对称正定n×n矩阵,则线形方程组Ax=b的迭代格式

x=[I-A]x+(3)

是收敛的。

证明见文献[3]。

对任意系数为正定矩阵的线性方程组,迭代格式(3)都是收敛的,因为收敛速度取决于迭代矩阵谱半径的大小,谱半径越小,收敛速度越快,谱半径越大,收敛速度越慢。但迭代格式(3)只能保证迭代矩阵的谱半径小于1,如果迭代矩阵的谱半径非常接近1,其收敛速度是非常慢的。

下面通过在迭代格式(3)中引入一个因子来改进收敛速度。

构造迭代格式:

{y=[I-A]x+b(4)

或者与(4)等价的迭代格式:

x=[I-A]x+b(5)

3.定理2:如果A为对称正定n×n矩阵,则线性方程组Ax=b的迭代格式(5)是收敛的。

证明:设λ(i=1,2,…,n)为A的n个特征值,因为A是对称正定矩阵,所以λ>0(i=1,2,…,n),λ+λ+…+λ=a+a+…+a。

I-A的n个特征值为1-(i=1,2,…,n),

显然-1

这样有ρ[I-A]

如果正定线性方程组Ax=b的系数矩阵特征值的分布相对比较集中,还可以进一步对定理2的迭代格式进行改进,以加快计算速度。

当系数矩阵的特征值分布比较集中时,(i=1,2,…,n)近似等于,

即A的特征值近似等于。

构造迭代格式:

{y=[I-A]x+b(6)

或者与(6)等价的迭代格式:

x=[I-A]x+b(7)

因为当系数矩阵的特征值分布比较集中时,(i=1,2,…,n)近似等于,这时迭代格式(7)的迭代矩阵[I-A]的谱半径就与0非常接近,从而使得收敛速度极快。

4.定理3:迭代格式(7)收敛的充分必要条件是:

证明:迭代格式(7)收敛的充分必要条件是其迭代矩阵I-A的谱半径小于1,

而矩阵I-A的谱半径小于1的充分必要条件是:

5.推论1:迭代格式(7)收敛的充分条件是λ≤2λ。

证:因为λ≤2λ,所以得到:

即迭代格式(7)是收敛的。

二、实验结果

在特征值分布比较集中时,分别用迭代格式(7)对应的算法(iterativen函数)与Gauss_seidel迭代算法、Cholesky分解算法对系数矩阵的阶数J=100,200,500,1000的4个线性方程组进行计算,对所耗时间进行比较,结果如下表:

Iterativen,Gauss_seidel,Cholesky算法耗时比较表

虽然Gauss_seidel算法的迭代次数比Iterativen算法少,但是Gauss_seidel算法在求逆的过程中浪费了大量的时间。当系数矩阵的特征值比较集中时,Iterativen算法要远远优于其他2种方法。

参考文献:

[1]Kelley C T.Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations[M].Philade-lphia U.S.A:SIAM,1995.

[2]张传林.数值方法[M].北京:中国科学文化出版社,2001:80-150.

[3]戈卢布・G.H,范洛恩・C.F著.袁亚湘译.矩阵计算[M].北京:科学出版社,2002.

[4]许波,刘征.Matlab工程数学应用[M].北京:清华大学出版社,2000.