勾股定理教案精选(九篇)
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第1篇：勾股定理教案范文
[关键词] 数学史；勾股定理；教育价值
数学史对于数学教育的价值已不仅仅停留在理论层面的讨论. 翻阅近两年的数学教育类杂志可以发现，越来越多的中小学数学教师也在撰文阐述自己在教学中使用数学史的一些体会和教学案例. 在课程改革不断深入的当下，数学史融入数学教学对于践行课改的理念，培养全面发展有理想、有道德的高素质数学人才等方面确实有着积极的推进作用. 本文将给出一个基于数学史的勾股定理教学设计思路，旨在抛砖引玉，期待一线教师在不断加强自身数学史修养的同时，开发出更多基于数学史的优秀教学案例.
提出问题
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 此定理在西方叫做毕达哥拉斯定理，相传，这是由古希腊数学家毕达哥拉斯及其徒众发现的，后人更渲染其事，说毕达哥拉斯诸人十分重视这项发现，特地宰了一百头牛向天神奉献答谢，所以中世纪时这条定理被称作“百牛定理”. 在历史上，这条定理的名称特别多，在不同时代、不同地区都有不同的名称，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希腊数学家欧几里得在公元前300年左右编写了著名的经典之作《几何原本》，其中一个定理就是毕达哥拉斯定理：
“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和.”
接下来的这个定理是毕达哥拉斯定理的逆定理：
“如果在一个三角形中，一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和，则夹在后两边之间的角是直角.”
这两个定理合起来说明了直角三角形a，b，c三边的平方和关系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.
我国是最早发现勾股定理的国家，据《周髀算经》记载，我国数学家早在公元前1120年就对勾股定理有了明确认识. 勾股定理从发现到现在已有五千年的历史，在西方，它被称为毕达哥拉斯定理，但它的发现时间却比中国人晚了几百年. 勾股定理是把直角三角形与三边长的数量关系联系在一起，体现了数形结合思想.
定理的证明
在新课程人教版教材（八年级下册）中，先是引用毕达哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中国古代数学家赵爽的“弦图”证明了勾股定理. “弦图”是以弦为边长的正方形，在“弦图”内作四个相等的勾股形，各以正方形的边长为弦. “弦图证法”是依据“出入相补原理”，根据“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理的. 赵爽的“弦图证法”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，正因如此，这个图案被选为2002年北京召开的国际数学家大会会徽.
[图1]
引导学生探索其他解法
上述是我国古代数学家赵爽的“弦图”证法，即利用“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理. 这一方法给我们一定的启示，即围绕面积相等这一条，把原图形拆成几部分，然后根据面积相等实现定理的证明. 教师可以提示学生围绕这一观点，探索其他证明方法，学生提供的证法有可能和历史上大数学家的证法一致.
历史上的经典证明方法展示
发现勾股定理迄今已有五千年，五千多年来，世界上几个文明古国都相继发现和研究过这个定理，几千年来，人们给出了勾股定理的许多证法，有人统计，现在世界上已找到四百多种证法，下面列举其中具有数学思想的一些代表性证明方法. 如（1）欧几里得《几何原本》的证法；（2）比例证法；（3）另一种弦图证法；（4）总统证法；（5）帕斯卡拉二世的证明；（6）毕达哥拉斯的证法；（7）旋转证法. 限于篇幅，这些证明方法的证明过程在本文中省略不写.
基于上述分析，不难发现，历史上的勾股定理证明方法很多，据统计，有400多种，向学生展示不同的证明方法有很多益处，具体表现在：首先，给出勾股定理的多种证法，并非是比较证法之优劣，而是为了丰富教与学的内容知识，这也是数学史融入数学教学重要的功能之一. 其次，通过比较、分析各种证法的特色，可以让教师和学生在教与学上有所比较，以达到取长补短. 通过分析各种证法之不同，可以发现他们各自对于图形的依赖程度也不相同. 当我们试图理解某个版本的证法时，就好比与这位数学家进行对话，从而产生自我“历史诠释”. 再次，历史上的勾股定理证法还使我们认识到该如何呈现定理及其证明，以便可以兼顾到各个面向. 在教学中，若以历史文本为师，适时引入古人的原始想法，撷取前人的智慧，乃至前人所犯的错误，相信对于数学思想的发展与学生的学习过程能有更贴近的牟合，也能让学生对数学有更全面的观照. 最后，基于数学史数学教学所追求的目标之一，正是让学生在通过历史文本解决问题的过程中获得学习的乐趣，因此，数学历史文本中的任何地方可能都有意想不到的金矿等待挖掘，唯有辛勤发掘才可能使我们满载而归.
问题的推广
下面我们换个角度看勾股定理，定理会变成什么样呢？
推广一：勾股定理的不同表述方式
（1）直角三角形斜边长度的平方等于两个直角边长度的平方之和.
（2）直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形.
（3）直角三角形直角边上两个正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积.
推广二：“出入相补”原理的应用
所谓“出入相补”原理，是指一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变. 综观历史上有关勾股定理的证明方法，许多证法都是利用这一原理进行的，只是图形的分合移补略有不同而已. “出入相补”原理是我国古代数学家发明的一个证明几何图形面积和体积的非常重要的方法，下面，我们通过比较两个证明来说明某些问题.
赵爽和达・芬奇的证明方法（如图2所示）：
[图2：勾股定理的两种几何证明]
问题：这两种方法的联系是什么？
解答：如图3所示.
[图3：两种证明的联系]
可以看出，赵爽和达・芬奇对勾股定理的证明都使用了“出入相补”原理. 这两种来自不同时期、不同地域的方法背后有着更本质的联系，正因为这种本质联系，让我们找到了更多类似的证明方法. 它也展示了数学内部的一种联系. 正如韦尔斯在《数学与联想》一书中所说的：“这就是为什么数学强有力的一个理由. 数学家发现，两个表面不同的问题实际上是相同的，因此他只要解决一个也就解决了另一个. 认识到一百万个问题‘实质上’都是相同的，因此，你只要解决一个就解决了一百万个. 事实上，这就是力量！”我们的数学读本，应该多多向学生介绍这方面的内容，让学生感受这种力量，去认识事物之间的联系.
推广三：把直角三角形三边上的正方形改为一般的直线形
若把以直角三角形为边长的正方形改为一般的直线形，勾股定理就推广为：直角三角形斜边上的直线形（任何形状）的面积，等于两条直角边上与它相对应的两个相似的直线形的面积之和（如图4所示）.
[图4]
推广四：把直角三角形三边上的直线形改为曲边形
若把直角三角形三边上的相似直线形改为三个半圆，勾股定理就推广为：以斜边为直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作半圆的面积和. 新课程（人教版八年级下册）在习题中体现了这一推广：（习题18.1“拓展探索”问题11）：如图5所示，直角三角形三条边上的三个半圆之间有什么关系？
[图5][2][1]
若把上述斜边上的半圆沿斜边翻一个身，此时显然有“1和2的面积之和等于直角三角形的面积”. 其实这个结论早在公元前479年就已经由古希腊数学家希波克拉底得到，因1和2部分状如弦月，故称“希波克拉底月形”. 新课程（人教版八年级下册）在习题中体现了这一推广（习题18.1“拓展探索”问题12）：如图5所示，直角三角形的面积是20，求图中1和2的面积之和.
推广五：勾股定理与费马大定理
勾股定理是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，写出公式就是a2+b2=c2. 丢番图的名作《算术》（第2卷问题8）中有一个与勾股定理类似的问题：将一个已知的平方数分为两个平方数. 丢番图在《算术》中以实例形式给出了这一问题的解答. 之所以在此独独提到丢番图的这一问题，是因为，大约16个世纪以后，正是在这一问题的启发下，费马在其旁白处写下了一段边注，从而诞生了一个让整个数学界为之苦思冥想了三百多年的问题. 费马在阅读巴歇校订的丢番图《算术》时，做了如下批注：“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和. 我已找到了一个奇妙的证明，但书边太窄，写不下. ”1670年，费马之子萨谬尔连同其父的批注一起出版了巴歇校订的书的第二版，遂使费马这一猜想公之于世. 费马究竟有没有找到证明已成为数学史上的千古之谜. 从那时起，为了“补出”这条定理的证明，数学家们花费了三个多世纪的心血，直到1994年才由维尔斯给出证明.
推广六：勾股数
不言而喻，所谓勾股数，是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数（a，b，c），它们满足a2+b2=c2. 那么如何寻找更多的勾股数呢，方法如下.
1. 任取两个正整数m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数.
2. 若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下方法确定另两个数：首先观察已知数是奇数还是偶数.
（1）若已知数是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数.
（2）若已知数是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1和加1所得的两个整数与这个偶数构成一组勾股数.
练习题：限于篇幅，仅列一题.
练习题 今有立木，系索其末委地三尺，引索却行去本八尺而索尽，问索长几何？（该题出自南宋杨辉《详解九章算法》，公元1261年）
现代文翻译：有一根直立的木头，一条绳索系在它的顶端. 已知这条绳索比木头长3尺，现在向后紧拉绳索，使它的另一端着地，这时绳索与木的距离为8尺，问这条绳索的长为多少？
原书“术”曰：“以去本自乘，另如委数儿一，所得加委地数而半之，即索长.”
第2篇：勾股定理教案范文
高一物理起始阶段的教学中需要用到大量的初中数学知识,像一元一次方程、一元二次方程、三角形中的正弦值、余弦值、正切值、勾股定律、相似形等等;而像在匀速运动中位移图像、匀变速直线运动中速度图像、力的合成中的矢量运算等问题用到的相关数学知识,在数学学科的教学中却还未讲到,这就必然会造成在实施物理教学活动过程中数学这一工具运用上的困难。
笔者对高一第一学期教学中经常需要用到的一些数知识进行了梳理,现整理如下。
代数知识:正比例方程与反比例方程的转换;一元二方程的求根;求极值的知识;二元一次字方程组的联合求的知识。
平面几何知识:相似三角形知识;解三角形的基本法;圆的割线,切线,周长,弧长,面积等基本知识;同位角、内错角等各种角度间关系的知识。
正弦值,余弦值,正切值与三角形各边的关系;正、余弦定理;倍角公式;勾股定理等。
图像的知识:图像的斜率,截距,面积,交点等与之对应的物理量之间关系的知识。
等比、等差数列求和。
矢量运算知识:矢量求和,矢量求差。
针对上述存在的问题,笔者在实际的教学中采取了如下的解决策略:
(1)与初中数学教师进行沟通,了解相关的数学知识在初中数学教学中已经达到的程度,哪些是学生一般会熟练掌握的、哪些是要求较低需要进一步拓展的。
(2)在数学知识运用比较集中的关键之处,专门增设相关数学知识拓展、补充的衔接课。
(3)引导学生总结运用数学知识在解决物理问题时的操作方法,例如在斜面问题中,经常需要将斜面的倾角转为物理问题中的速度矢量(受力矢量或位移矢量)组成的角形中去,就经常用到“两个角度的两条边相互垂直时,这两个角度就相等或互补”这个结论,可以结合相关习题强调如何快速、准确地寻找对应角度的边。
(4)采用低梯度、高密度、多反馈的教学策略,步步为营、逐渐推进,切忌一步到位。
2 学习方法衔接中存在的问题与对策
初中学生进入高中物理的学习,从学习方法上看是一次重大的飞跃,它需要从以定性分析为主转变为定性、半定量、定量分析相结合的方法上来;需要将以记忆为主转变为以理解为主的方法上来;需要将以形象思维为主转变为以形象思维、抽象思维、逻辑思维相结合的思维方法上来;需要从机械操练为主转变为以把握物理模型为主的训练方式上来;需要更多的依赖教师的学习方式转变为更多的以我为主的学习方式上来。
上述转变的实现是一个渐变过程,而高一阶段则是关键时期,担任高一阶段教学任务的教师一定要提前思考,寻找最佳应对方法。
通过实践笔者找到了一种实现衔接教学“软着落”的有效方法,就是以教材为基础,编制针对概念、规律的解读性研读单元”,贯穿于从课前预习到课后矫正训练的整个过程的一种全新方法。总体的构思是实现以下4个“一体化”:
第一,“教、学案一体化”。教师的教学实施方案与学生的学习方案融合在一起;
第二,“读、讲、练一体化”。学生对“研读单元”的研读、教师对重点、难点、疑点、盲点的讲解、各个层次教学目标的达成性训练融合在一起实施;
第三,“课内、外一体化”。课内教学活动与课外需要完成的总结、作业等学习活动融合在一起,两者的交汇点就是以教材为基础而重新整合的“研读单元”;
第四,“点、线、面一体化”。“点”就是针对“知识点”的教学、“线”就是针对“知识串”的教学、“面”就是针对终结性的知识结构”的教学,三者形成一个有机的序列。
具体操作方法如下:
(1)对原有教材进行合理的分割和重组
所谓分割教材就是将原有教材的内容根据概念、规律等形成的内在需要,分解成若干部分,每一个部分称作为一个研读单元。一个研读单元可以是原教材中的某个段落,更多的是若干个段落组成;在需要时还可以打乱原教材自然段落的顺序,进行重组;有的时候也可以将原一节教学内容调整为两节课时完成;还有的时候可以将前后几节教材内容重新组合成几个研读单元。这样做的目的在于从知识本身的深度诠释上、从知识的内在联系的深度思考上为学生提供一种更易理解的解读性文本。
对于教材中提供的“问题与练习”中的题目,与研读单元中的知识结合精密的可以穿插在其中让学生在解读文本的过程中就加以处理,有一定难度的题目则不适宜这样处理,可以放在教学过程实施之后在配套的“回放性反馈训练”中处理,当然这部分训练题不仅仅是教材后面的题目,还需要补充,在本文的后面还会加以阐述。
(2)教学目标的情景化处理布鲁姆的教育目标分类学对“认知、情感、动作”三个领域的目标进行了科学的分类,是值得借鉴的目标分类理论,在我国曾经进行过大规模的“目标教学”教改实践,笔者在80年代末期至90年代中期,也曾连续多年在高中学段进行了研究。布鲁姆的教育目标分类学非常强调目标的层次性,不同层次的目标要用具体的、操作性的语言来描绘出学习行为的变化,有的时候这是不易做到的。通过实践,笔者采用的“情景化”目标表达方式,收到了很好的实践效果。其实就是将要达成的某一层次教学目标用具体的物理情景呈现,这种情景往往具有单一的目标承载功能,学生在完成这一情景的过程中可以表现出思维的轨迹。
具体来讲,情景的呈现方式有以下几种:
第一,与教材内容紧密配合的自编情景。教师根据对教材的分析及达成目标的分解,把在上课过程中要预设的授课素材,编制成表述严密的具体情景,附设在上述分割后的研读单元后面,其要求是:情景简单,落实一个具体目标层次,这样可以实现教案与学案的有机结合。
第二,训练型情景。通过编制一道训练题,让学生在尝试完成的过程中暴露存在的问题,题目以判断题、选择题、填空题、配对题等为主,教材中配套的练习题也是重点考虑的一个方面。
第三,概念、规律的变式注解。把教材的内容转换一种学生更易接受的方式进行注解式的诠释,使得教材内容层次更分明、要求更明确。一般来讲就是将概念、规律进行基于“关键词”的解读,引导学生养成对概念、规律的深度剖析的习惯。
(3)设置3个层次的梯度训练
第一,知识回放性达成训练。“回放性训练”就是提供给学生在自学之后对相关概念、规律基本理解的初步回馈,所以题目以“识记”、“简单回放性理解”为主要目标,还原概念、规律的最基本含义。可以用教材配套的“问题与练习”作为自学效果的回放性训练题,从而引导学生重视教材中提供的问题。
第二,形成性达成训练。在完成“形成性达成训练”之前,首先将新学习的概念、规律进行简单的梳理,引导学生及时整理所学知识,最好能绘制相关知识的概念图:可以是教师上课时想要书写的板书的再现;也可以留下空白,让学生进行整理。
对于“形成性达成训练”题的组织要注意以下几点:①达成练习应该突出“单一知识点”的落实,是概念、规律的变式练习;②目标层次定位在“识记”到“简单理解”即可;③设置“学习札记”利于学生进行自我反馈活动;④题量适中,一般为10道左右,题型以选择题为主,便于概念的辨析。
第三,反馈———矫正训练。这种训练的目的在于:①对“形成性达成练习”中的错误进行矫正;②可以进行自我认知的总结,像解题方法总结、错误认识的总结等等。