等腰三角形的性质精选(九篇)

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第1篇：等腰三角形的性质范文

证明 过点A作AOBC，垂足为O.因为AC2=AO2+OC2，AD2=AO2+OD2，

所以AC2-AD2=（AO2+OC2）-（AO2+OD2）=OC2-OD2=（OC+OD）（OC-OD）=CD（OC-OD）．

又因为AB=AC，AOBC，所以OC=OB.所以AC2-AD2=CD（OB-OD）=BD?CD．

图1 图2推论:如图2，ABC中，AB=AC，D为BC延长线上任意一点，则AD2-AC2=BD?CD．

证明 延长CB到E，使BE=CD，连接AE.易证ABE≌ACD，于是AE=AD，所以AED是等腰三角形.由上面的性质得AD2-AC2=EC?CD=（EB+BC）?CD=（CD+BC）?CD= BD?CD．

应用这个性质，可证明一类几何题：a2-b2=cd型证明题.若题中线段符合a2-b2=cd，有平方差，则可以a为腰构造等腰三角形，使底边落在直线c或d上，运用该性质求解.举例如下：

图3例1 如图3，已知：在ABC中，AB=AC，延长BC到D，使CD=CB.求证：AD2=AB2+2BC2．

证明 由推论得AD2=AC2+BD?CD=AB2+2BC?BC=AB2+2BC2．

图4例2 ABC的角平分线AD的延长线交外接圆于点E.求证：AE2-BE2=AB?AC．

证明 如图4，作EF=EA，交AB延长线于点F，即构造等腰EAF．

由性质得AE2-BE2=AB?BF.连接EC.因为AE平分∠BAC，EF=EA，所以∠EAC=∠BAE=∠F，BE=EC.又因为∠FBE=∠ECA，所以FBE≌ACE（AAS）.所以BF=AC.所以AE2-BE2=AB?AC．

例3 在ABC中，∠ACB=2∠ABC.求证：AB2=AC2＋AC?BC．

证明 如图5，作AD=AB，交BC延长线于点D，即构造等腰ABD．

由性质得AB2=AC2＋BC?CD.因为AD=AB，所以∠B=∠D.所以∠ACB=2∠B=2∠D.而∠ACB=∠CAD+∠D，所以∠CAD=∠D，即有AC=CD.所以AB2=AC2＋AC?BC．

注 此题也可利用推论构造等腰三角形求证．

图5 图6例4 如图6，已知：ABC中，AB>AC，ADBC于D，E为BC中点.求证：AB2-AC2=2BC?DE．

证明 作AF=AB，交BC延长线于点F，由性质得AB2-AC2=BC?CF．

因为AF=AB，ADBC，所以BD=DF.所以CF=BF-BC=2BD-2BE=2（BD-BE）=2DE.所以AB2-AC2=2BC?DE．

图7例5 如图7，已知：ABC中，D在BC上，AB2-AC2=BD2-DC2.求证：AD是ABC的高．

证明 作AE=AC，交BD于点E，由推论得AB2-AE2=BE?BC，即AB2-AC2=BE?BC．

因为AB2-AC2=BD2-DC2，所以BE?BC=BD2-DC2=（BD+DC）（BD-DC）=BC（BD-DC）.所以BE=BD-DC.而BE=BD-ED，所以ED=DC.又因为AE=AC，所以ADEC.所以AD是ABC的高．

注 此题也可利用性质构造等腰三角形求证．

作者简介:邓文忠，男，1974年出生，中学一级教师，县级名师，主要研究解题教学和数学竞赛，20多篇.

打破常规，整体求值

——一道填空题引发的思考

甘肃省武威第十中学 733000 陈国玉

1 问题的来源

期末复习中，模拟试卷中有这样一道填空题：已知方程组x+2y=3

2x+y=6，则x＋y= ，x－y= .我问同学们是如何解答的，同学们都说是通过解方程组，先求出方程组的解x=3

y=0，再代入求x＋y和x－y中求值.我问不解方程组，可以直接求出结果吗？同学们先是一怔，再仔细观察方程组中各个未知数的系数，恍然大悟：将两个方程相加，可得3x＋3y=9，方程两边都除以3可得x＋y=3；将第二个方程减去第一个方程可得x－y=3.同学们的兴趣突然被激起，课堂氛围一下子活跃了，不禁为这种解法喝彩、叫好，有些同学还跃跃欲试．

课后我深思：能否将一般形式的二元一次方程组，不解方程组，通过上述方法，得到x＋y或x－y的值呢？

2 问题的解决

例1 已知方程组3x-5y=6

2x+3y=8 ，求x＋y和x－y的值．

显然，将原方程组中的两个方程直接相加（或相减），不可能得到（x＋y）或（x－y）的整数倍，也就得不到x＋y或x－y值．

起初，我想在原方程组中的一个方程（或两个方程）中乘以一个适当的数，然而通过相加（或相减）这两个方程来达到目的，但是，这个“适当”的数又如何确定呢？

后来我是这样想的：将这个方程组中的两个未知数的和（或差）看成一个整体，在原方程组中，“拼凑”出这个整体，通过解方程组求出这个整体的值．

下面就以上例说说这种“拼凑整体法”．

解 将原方程组变形，

得3(x+y)-8y=6 ①

2(x+y)+y=8 ②

由②×8得， 16（x＋y）＋8y=64. ③

由③＋①得，19（x＋y）=70，所以x＋y=7019．

将原方程组变形，得3(x-y)-2y=6 ①

2(x-y)+5y=8 ②

由①×5＋②×2得， 19（x－y）=46，所以x－y=4619．

3 拓展应用

3.1 利用这种“拼凑整体法”解决方程组中的一些求值题

例2 已知关于x、y的方程组3x+2y=5a

4x-3y=2 的解满足x＋y=4，求a的值．

分析 将原方程组的两个方程“拼凑”出“x＋y”这个整体，通过解这个方程组求出“x＋y”这个整体的值，然后再利用已知的“x＋y”的值构造方程，解之即可．

解 将原方程组变形为

3(x+y)-y=5a ①

4(x+y)-7y=2 ②

由①×7得， 21（x＋y）－7y=35a. ③

由③－②得，17（x＋y）=35a－2. ④

把x＋y=4代入④，得17×4=35a－2，解得a=2．

例3 已知关于x、y的方程组x+2y=k

3x+5y=k-1 的解x、y的差是7，求k2－2k＋1的值．

分析 将原方程组的两个方程“拼凑”出“x－y”这个整体，通过解这个方程组求出“x－y”这个整体的值，然后再利用已知的x－y=7的值构造方程，求出k的值代入即可．

解 将原方程组变形为

(x-y)+3y=k ①

3(x-y)+8y=k-1 ②

由①×8得， 8（x－y）－24y=8k. ③

由②×3得，9（x－y）＋24y=3k－3. ④

由④－③得，x－y=－5k－3. ⑤

把x－y=7代入⑤得，7=－5k－3，解得k=－2．

把k=－2代入k2－2k＋1中得，原式=（－2）2－2×（－2）＋1=9．

3.2 解决不等式组中待定字母的取值范围

例4 若方程组3x-2y=m+2

2x+y=m-5的解满足－1＜x＋y＜1，求m的取值范围．

分析 用“拼凑整体法”求出x＋y值，然后建立不等式组，解之即可．

解 将原方程组进行变形得，

3(x+y)-5y=m+2 ①

2(x+y)-y=m-5 ②

由②×5－①得，7（x＋y）=4m－27，所以x＋y=4m-277．

因为－1＜x＋y＜1，所以4m-277>-1

4m-277

例5 已知方程组5x+2y=2

4x-7y=a-3的解为x、y，当a为何值时，x＞y？

分析 用“拼凑整体法”求出x－y值，将x＞y变形为x－y＞0，然后建立不等式，解之即可．

解 将原方程组变形为

5(x-y)+7y=2 ①

4(x-y)-3y=a-3 ②

由①×3＋②×7得，43（x－y）=7a－15，解得x－y=7a-1543．

因为x＞y，所以x－y＞0，所以7a-1543>0，解得a>157．

第2篇：等腰三角形的性质范文

例1 等腰三角形的一个角是110°，那么另外两个角分别是（ ）。

A.15°，45° B.35°，35° C.40°，40° D.60°，60°

知识点：等腰三角形的性质。

题型：计算题，分类讨论。

分析：因为没有指明这个角是顶角还是底角，所以应该分两种情况进行分析。

解：①当110°是顶角时，底角=（180°-110°）÷2=35°；②当110°是底角时，另一底角也是110°，因为110°+110°>180°，所以不符合三角形内角和定理即不能构成三角形。故选B。

点评：此题主要考查等腰三角形的性质，注意利用三角形内角和定理进行检验。

例2 小华要画一个有两边长分别为7cm和8cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是（ ）。

A.16cm B.17cm C.22cm或23cm D.11cm

知识点：等腰三角形的性质，三角形三边关系。

题型：应用题。

分析：根据等腰三角形的性质，本题可分情况讨论。腰长为7cm或者腰长为8cm。

解：根据等腰三角形的概念，有两边相等，因而可以是两条边长为7或两条边长为8。当两条边长为7时，周长=7×2+8=22cm；当两条边长为8时，周长=8×2+7=23cm。故选C。

点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系。没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形。

例3 （2009・黔东南州）如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（ ）。

A.30° B.40°

C.45° D.36°

知识点：等腰三角形的性质。

分析：题中相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因为求“角”的度数，将“等边”转化为有关的“等角”，充分运用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为180°求解此题。

解：BD=AD ∠A=∠ABD

BD=BC ∠BDC=∠C

又∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A

∠C=∠BDC=2∠A

AB=AC ∠ABC=∠C

又∠A+∠ABC+∠C=180°

∠A+2∠C=180°

把∠C=2∠A代入等式，得∠A+2×2∠A=180°，解得∠A=36°。

故选D。

点评：本题反复运用了“等边对等角”，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质求解有关角的度数问题。

例4 若等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则腰长为（ ）。

A.8cm B.2cm C.2cm或8cm D.以上全不对

知识点：等腰三角形的性质。

题型：计算题。

分析：此题可由题意得出两种情况，此等腰三角形腰长与底边长之差为3cm，或底边长与腰长之差为3cm。再根据关系解出即可。

解：等腰三角形一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm。

可知有两种情况：此等腰三角形腰长与底边长为之差为3cm，或底边长与腰长之差为3cm。

底边长为5cm。

其腰长为2cm或8cm。

三角形两边之和要大于第三边，可是如果要为2，则2+2

故选A。

点评：本题主要考查等腰三角形的性质及三角形中线的性质。注意在这里因为它没有强调谁减谁等于3cm，所以必须分为两种情况去分析讨论。

例5 如图，在ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P，PD∥AB，PE∥AC，分别交BC于点D、E，且BC=7cm，则PDE的周长为（ ）。

A.7cm B.8cm

C.9cm D.10cm

知识点：平行线的性质。

分析：可利用角平分线的性质与平行线的性质得出∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠EPC，进而得出PD=BD，PE=CE，故可求解。

解：BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB

∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE

又PD∥AB，PE∥AC

∠ABP=∠BPD，∠APC=∠EPC

∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠EPC

PD=BD，PE=CE

PDE的周长为PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=7cm

故选A。

点评：考查平行线及角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质及角平分线的性质，能够求解一些简单的计算问题。

例6 等边三角形角平分线、中线和高的条数共为（ ）。

A.3 B.5 C.7 D.9

知识点：等边三角形的性质。

题型：计算题。

分析：根据等边三角形三线合一的性质，可以求得等边三角形每个内角的角平分线和其对应边的中线、高线重合，即可解题。

解：等边三角形为特殊的等腰三角形，故每个内角的角平分线和其对应边的中线、高线均符合三线合一的性质，故等边三角形角平分线、中线和高的条数共3条。

故选A。

第3篇：等腰三角形的性质范文

我们在前面研究图形的过程中，一直有一根“线”——“对称”在引导着我们去认识图形. 由“轴对称”得到等腰三角形、等边三角形、直角三角形、角平分线、中垂线性质，由“中心对称”得到平行四边形、矩形、菱形、正方形及中位线的性质. 在这一章中上述结论的再学习并不是游离于以往的探索经验，而是依然建立在我们对“对称”的理解和认识基础上，继续发挥这根“线”的作用，借助曾经的实验操作方法，就能帮助我们确定证明的方法.

知识点1 等腰三角形的两个底角相等

【透析】 应用等腰三角形的性质定理证明两个角相等时，必须是这两个角在同一个三角形中，否则结论不一定成立.

知识点2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合

【透析】 这个定理简称为“三线合一”，应用的前提条件是三角形必须为等腰三角形. 在解决有关等腰三角形的问题中，经常需要添加辅助线，虽然等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，但是如何添加辅助线要由具体情况来决定，作辅助线时只需作出一条，再根据性质得出另外两条.

知识点3 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

【透析】 此定理是直角三角形全等的判定定理，只能用在直角三角形中，对于一般三角形是不成立的. 证明中，主要涉及两种方法：图形的“拆”（把一个等腰三角形拆成两个全等的直角三角形）和“拼”（把两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形），体现了转化思想，即把待证的问题转化为可证的问题.

知识点4 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

【透析】 这里的“距离”是指“点到直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等.

知识点5 菱形的性质

【透析】 菱形也是特殊的平行四边形，它也具有平行四边形的所有性质，它的独特性质主要体现在：（1） 4条边都相等，对角线互相垂直；（2） 菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形；（3） 计算菱形的面积除利用平行四边形的面积的计算公式外，当a，b分别表示两条对角线的长时，菱形的面积为s=ab.

知识点6 矩形的判定

【透析】 矩形的每种判定方法都必须有两个条件. （1） 定义判定：① 平行四边形；② 有一个角是直角. （2） 判定定理1：① 平行四边形；② 对角线相等. （3） 判定定理2：① 四边形；② 有3个角是直角.

知识点7 菱形的判定

【透析】 若已知的四边形是平行四边形，要证它是菱形，需要证它有一组邻边相等或对角线互相垂直；当四边形是一般的四边形，要证它是菱形，可以证它的四条边相等或先证它是一个平行四边形，再证它是菱形.

知识点8 正方形的判定

【透析】 判定一个四边形是正方形的主要途径有两条：（1） 先证它是矩形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直；（2） 先证它是菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.

知识点9 等腰梯形的判定

【透析】 等腰梯形判定的一般步骤：先判定一个四边形是梯形，再用“两腰相等”或“在同一底上的两个角相等或对角线相等”来判定它是等腰梯形.

第4篇：等腰三角形的性质范文

考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线

1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。2、角的平分线及其性质

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理：

（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

3垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。2、三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

3、三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。6、三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。7、三角形的角关系

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。等角的补角相等，等角的余角相等。

8、三角形的面积

三角形的面积=

2

1

×底×高应用：经常利用两个三角形面积关系求底、高的比例关系或值

考点二、全等三角形

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）考点三、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。（2）等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则

第5篇：等腰三角形的性质范文

一、创设“激励式”的教学氛围，激发学生对等腰三角形的探索欲

数学教学具有一定的枯燥性，对于数学教学来说，要想充分吸引学生的注意力，激发学生的探索欲，就必须有效营造“激励式”教学氛围，以良好的教学氛围激发学生内在的学习能动性，帮助学生克服学习障碍，达到预定的学习目标。在等腰三角形的相关知识教学中，教师应当有意识地寻找学生学习等腰三角形的情感“敏感区”，激发学生自主学习的情感因子和对等腰三角形的探索欲，使学生在充沛的情感动力支撑下投入到等腰三角形的知识学习当中，这样能够取得的教学效果是最佳的。

以“等腰三角形的性质”教学为例。在这一节课中，可以利用问题引导、层层推进的方式，营造“激励式”的教学氛围，激发学生了解等腰三角形、探索等腰三角形的欲望。具体来说，首先，教师可列举一些生活当中等腰三角形的例子，使学生对等腰三角形产生一个较为直观的印象；然后，教师可利用多媒体播放设备，展示一些等腰三角形的形象，带领学生找出等腰三角形的特征，并对等腰三角形进行明确定义，使学生对等腰三角形的概念产生深入认识；接下来，是最关键的一步，即引发学生的探索欲，教师可以用“大家还知道生活中哪些东西是等腰三角形啊”“等腰三角形在我们的生活中有没有出现过呢”等话语，引导学生进行积极思考，也可以通过多媒体设备展示多个三角形形象，让学生找出其中哪些是等腰三角形，以此让学生的头脑“动起来”，主动进行思考、探索、分析，这样可充分激发学生的探索欲，使学生对于等腰三角形这一概念的理解更加深刻，甚至产生教学之外的独到见解。

二、指导学生进行问题解答，传授学生科学的问题探究方法

在主动进行问题探究、问题解答的过程中，很多学生的方式是非常盲目甚至错误的，并没有遵循科学的问题探究方法。因此，在问题探究的过程中，教师应当引好路、指好方向，通过互动带领学生进行有效探究，避免学生盲目、无目的思考情况出现，并指导学生进行相关问题的解答，帮助学生在实践探索当中逐渐掌握科学的问题探究方法，掌握自主科学探究的能力。

第6篇：等腰三角形的性质范文

一、证线段相等

例1已知：如图1，在ABC中，D为BC边的中点，EDBC交∠BAC的平分线于点E，EFAB于点F，EGAC交AC的延长线于点G.求证：BF=CG.

解析：本题可构造三角形，根据角平分线的性质找出全等关系，使问题获证.

连结EB、EC.因为ED垂直平分BC，所以EB=EC.又因为AE为∠BAC的平分线，且EFAB，EGAC，所以根据角平分线的性质可得EF=EG.从而RtEBF≌RtECG.根据全等三角形的对应边相等，可得BF=CG.

二、证线段之差不等

例2已知：如图2，∠1=∠2，AB＞AC，P是AD上一点.求证：PB-PC＜AB-AC.

解析：本题可通过截长法找出等量关系，再结合角平分线的性质找到全等关系，从而使问题得证.

在AB上截取AE=AC，连结PE.在APE和APC中，因为AE=AC，∠1=∠2，AP为公共边，所以APE≌APC，从而PE=PC.在BEP中，PB-PE＜BE，而PE=PC，BE=AB-AE=AB-AC，所以PB-PC＜AB-AC.

三、证线段垂直

例3已知：如图3，在ABC中，AD平分∠BAC，DEAB于点E，DFAC于点F，连结EF，与AD交于点O.求证：ADEF.

解析：本题可先证出AEF是等腰三角形，再根据角平分线的性质，使问题获证.

在RtADE和RtADF中，因为∠AED=∠AFD，∠EAD=∠FAD，AD为公共边，所以RtADE≌RtADF，所以AE=AF，所以AEF是等腰三角形.因为AO是顶角∠EAF的平分线，根据等腰三角形的性质可得AOEF，即ADEF.

四、证线段平行

例4已知：如图4，从ABC的顶点A分别引∠ABC、∠ACB的平分线的垂线，垂足分别为D、E.求证：DE∥BC.

解析：要证DE∥BC，可延长AE、AD，由角平分线的性质证出DE为AFG的中位线.

延长AE交BC于点F，延长AD交BC于点G.由BD平分∠ABC，BDAG ，可得RtABD≌RtGBD，从而AD=DG.同理可得，AE=EF.所以DE为AFG的中位线.由中位线的性质可得DE∥FG，即DE∥BC.

五、证两线段之和与第三条线段相等

例5如图5，在ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线.求证：BC=AD+AC.

解析：根据角平分线的对称性构造全等三角形，可使问题获证.

在BC上取一点E，使CE=CA，连结DE.由CA=CE，∠1=∠2，CD=CD，可得ACD≌ECD，所以AD=ED.因为∠CED=∠A=2∠B，且∠CED=∠BDE+∠B，所以∠BDE=∠B，从而BE=DE=AD.所以BC=BE+EC=AD+AC.

六、证两线段之和与第三条线段不等

例6已知：如图6，D为ABC的边BC的中点，∠ADB、∠ADC的平分线分别与AB、AC交于点E、F.求证：EF＜BE+CF.

解析：要求证的线段比较分散，可由角平分线的性质入手，将要求的数量关系集中于同一三角形中.

延长FD至点M，使DM=FD，连结BM、EM.由DM=FD，∠BDM=∠CDF，BD=CD，可得BDM≌CDF，所以BM=CF.因为∠ADF=∠CDF，∠BDM=∠CDF，所以∠BDM=∠ADF.又因为∠BDE=∠ADE，所以∠EDM=∠EDF.又因为DM=FD，DE为公共边，所以DEM≌DEF，所以EM=EF.因为EM＜BE+BM，所以EF＜BE+CF.

七、证线段之间的倍数关系

例7已知：如图7，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E.求证：BD=2CE.

解析：要证BD=2CE，可将CE延长一倍，结合角平分线的性质找出等量关系，使问题得证.

延长BA、CE交于点F.由BE平分∠CBF，且BECF，可知BCF为等腰三角形，从而CE=EF，即CF=2CE.因为∠BAD=∠CAF=90°，AB=AC，∠ABD=90°-∠F=∠ACF，所以RtABD≌RtACF，从而BD=CF=2CE.

八、证线段之间的差倍关系

例8已知：如图8，AO是ABC中∠A的角平分线，BDAO交AO的延长线于点D，E是BC的中点.求证：AB-AC=2DE.

解析：可根据角平分线的性质，构造等腰三角形求证.

第7篇：等腰三角形的性质范文

等边三角形（又称正三边形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。等边三角形也是最稳定的结构。等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。

性质

（1）等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

（2）等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。（三线合一）

（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。

（4）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）

（5）等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。（等于其高）

第8篇：等腰三角形的性质范文

1、S=1/2×a2，S=1/2×ch。（其中a为直角边，c为斜边，h为斜边上的高）。

2、等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等 直角边夹一直角锐角45°，斜边上中线角平分线垂线三线合一。

3、等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形（两条直角边等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质（如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等）。

（来源：文章屋网 ）

第9篇：等腰三角形的性质范文

一、教学误区

1.数学思维的含金量不高

苏科版《义务教育教科书・数学》（以下称“苏科版”）八年级上册教材，在“等腰三角形的轴对称性”这一内容中，就探究“等腰三角形的性质”提供了下列教学素材：把等腰三角形纸片（图1）沿顶角平分线折叠，你有什么发现？

……

探究“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一内容，又提供了下列教学素材：剪一张直角三角形纸片，如图2（1）。

……

把纸片按图2（2）所示的方法折叠，再把纸片展开并连接CD（如图2（3）），你发现了什么？

……

教材的编写意图，显然是要让学生通过实验操作来获取等腰三角形的性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”等一系列的结论。这种由操作到结论的方法，解决问题的入口宽，操作简便，不失是一种帮助学生探究问题的好办法。

教学中，如果将教材中的操作原封不动地呈现给学生，对于基础差一点的学生，运用这种方法，显然在激发学生兴趣的同时也获取了知识。而对于基础好一点、思维能力强一点的学生，让他们被动地按照上述的操作指令进行实验，即使得到有效结论，也只是在茫然中获取的。这种“指令性操作”，只有折叠的技术要求，没有思维的活动内涵，久之，势必削弱学生数学思维的含金量。如果只是用技术做实验，那么数学课与技术课、劳技课还有差别吗？建立在“指令性操作”这一层面上的实验与教学中一贯反对的“告诉式”、“注入式”教学有差别吗？这值得研究与探讨。

2.实验价值利用率不大

“苏科版教材”（八年级上册），在“多边形的内角和与外角和”这一内容中，提供了下列教学素材：

在小学里，我们曾经把一个三角形的3个角拼在一起，发现了“三角形的内角和是180°”的结论。（笔者以下称“拼角实验”）

如图3，在ABC的边AC所在的直线绕点A按逆时针方向旋转的过程中，直线AC与边BC的延长线分别交于点C1、C2、C3……

（1）在上述过程中，哪些角的大小发生了变化？

（2）度量∠BAC与∠ACB，并求它们的和;度量∠BAC1与∠AC1B、∠BAC2与∠AC2B、∠BAC3与∠AC3B……并分别求它们的和。你发现了什么？

（3）当直线AC绕点A旋转到AC′，使AC′∥BC′时，度量∠BAC′的度数，你发现了什么？（笔者以下称“转角实验”）

“拼角实验”主要是发现三角形内角和定理，并由拼角实验的启发，得到证明三角形内角和的辅助线。而在实际教学中，老师只开发出实验的发现价值，实验结束后，没有将研究的价值从拼角的过程中迁移到论证的辅助线的作法上来，这样就丧失了这个实验的教学价值。

同样，在“转角实验”中，其价值一是用“控制变量法”来研究三角形的内角和。即控制三角形中的一个内角∠B不变，通过变化∠BAC、∠ACB的大小，发现∠BAC与∠ACB的和不变，进而得到三角形的三个内角的和不变，是一个固定值，从而激发学生进一步的探究欲望。价值二是探究三角形三个内角和这个固定值是多少，发现三角形内角和定理。价值三是从实验的过程中，寻找到证明三角形内角和定理的辅助线的另一种作法，从而为证明三角形内角和为180°服务。在教学过程中，教师往往将转角实验单一地理解为发现三角形内角和定理，价值一、价值三被忽视了。

3.数学本质的迁移性不强

“苏科版教材”（七年级上册）有这样一道习题：

桌子上有3只杯口都朝上的茶杯，每次翻转2只，能否经过若干次翻转使3只杯子的杯口全部朝下？7只杯口都朝上的茶杯，每次翻转3只，能否经过若干次翻转使7只杯子的杯口全部朝下？

教学中有不少教师让几位同学拿上7个纸杯到讲台桌旁进行实验，或者让学生预先准备好纸杯，上课时自我实验。第一次，翻动后有2只杯子口朝下，5只杯子口朝上;第二次，翻动后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上;第三次，翻动后有6只杯子口朝下，1只杯子口朝上;第四次，翻动后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上……一分钟过去了，两分钟过去了，四分钟过去了……时间一分一秒的流逝了，学生却随着时间变得昏昏沉沉，手忙脚乱，连翻动了几次也数不清，怎么也想不出来解决这个问题的思路。最后，教师不得不告诉学生，无论翻动多少次，杯口朝上的都是奇数不是偶数，所以无论翻动多少次都是不可能杯口全部朝下的，这才将本问题勉强解决了。究其原因，这是教师、学生看不清问题而造成的。

二、矫正方法

1.数学实验要在价值立意上作设计

数学实验的价值立意必须是建立在数学思维活动之上，如果离开了数学思维，将实验定位在按提供的实验程序进行机械的操作，那只能算是一个简单的技术活动，这样的活动只有动手没有动脑，已偏离数学的轨道，失去了数学味道，在数学教学上就没有意义了。

要凸显数学实验的教育价值，必须让其既具有科学实验的一般立意，又具有数学学科特有的思维魅力。即让数学实验也遵循科学实验“目的――实验――猜想――论证――结论”的一般规律。基于这样的认识，可以对文中提及的“等腰三角形的性质”的教学素材进行如下处理。

实验1：探究“等腰三角形的性质”

【实验目的】通过1次折叠1个等腰三角形形成2个全等的直角三角形的活动，发现等腰三角形的性质。

根据上述实验目的，教师可以设计下列活动，让学生进行数学思考。

（1）师：今天老师为同学们准备了一些等腰三角形纸片和直角三角形纸片，这节课就和同学们玩玩这些纸片，同学们有没有兴趣？

设计意图：用这样的开场白，来激发学生的积极性。

（2）师：如何将手中的1个等腰三角形纸片，通过1次折叠形成2个全等的直角三角形？

设计意图：提出这个问题，引发学生弄清折叠的要求，进而探寻折叠的方法。这个过程，就是教师层面上设计数学实验的过程，主要由教师站在数学背景的高度来提出问题，让学生探寻实验方案。

【实验活动】让学生根据教师提出的实验要求，在思维场景中去探寻折叠与相等、对称的关系，从而让学生进行数学思考，而不是让学生麻木地去折、去猜、去碰，最终形成学生层面上的实验方案，进而达到教材中折叠的技术要求。

方案1：根据“相等原理”形成折叠方案。即沿着“折叠（数学活动）――重合（数学观念）――相等（数学结论）”这一“相等”的思路，进行折叠。

方案2：根据“对称原理”形成折叠方案。即沿着“折叠（数学活动）――重合（数学观念）――对称（数学结论）”这一“对称”的思路，进行折叠。

学生经过这个思维背景再进行数学实验（折叠），不但验证了自己的想法（方案）可行可用，而且还锤炼了数学思维。对于思维层次不高的学生，让他们自主地构建上述活动显然有困难，这个困难主要是怎么设计出折叠的方案，而对于折叠的技术，他们在与其他同学讨论交流中，也能完成这样一个折叠操作，并且在这个活动中并没有降低课本对他们的基本要求。

【数学猜想】实验是表征，通过实验发现数学结论才是本源。为此，实验后，教师要让学生直逼数学本质。这个活动一般可运用下列方法来进行。

师：通过这个数学实验，你可以得到哪些数学结论？

设计意图：让学生通过实验的过程，得到“等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线所在的直线、底边上的高所在直线、底边上的中线所在的直线都是它的对称轴;等腰三角形的两底角相等;等腰三角形底边上的高线、中线、顶角平分线重合”数学猜想。

【数学证明】实验得到的数学猜想，是基于直觉和简单逻辑下形成的，那么就有必要对数学猜想进行数学证明，因为数学的最高境界便是证明。为了实现上述目的，可以设计下列问题，引发学生证明。

师：你上述的猜想一定正确吗？

设计意图：引发学生进行理性证明。

【数学结论】通过折叠，辅之于观察、抽象、归纳、简单的推理等思维活动，形成了数学猜想;通过数学论证，即通过严格的数学推理、有力的数学证明，得到了绝对真理的数学结论。如何证明这个数学结论，是脱离数学实验，另辟蹊径;还是回归实验，探寻灵感？显然是要让学生透过实验现象，探求形成现象的本质，完成论证猜想的证明。所以在这个教学环节中，探究辅助线的作法，一定要让学生回归折叠的过程，不仅要让学生正确地引出辅助线，而且还要让学生体验辅助线诞生的必要性与合理性，这才能体现数学实验的本质价值。

【经验积累】任何一个数学活动，都要让学生形成活动经验。因为只有活动没有经验的过程，只能是一个执行命令的过程，它永远停留在重复别人想法的过程中，所以只有通过活动形成自己特有经验，才是一个将别人的想法内化为自己知识的过程，这才是学习的真正目的。这个实验活动，带给学生的经验主要有上述提及的“相等思维”和“对称思维”这两种思维方法，它既是设计折叠实验方案的基本思路，也是解决折叠问题的基本方法。

完成了探究等腰三角形的性质后，还可以用下列实验活动来探究“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的问题

数学实验2：探究“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”

问题1：既然1个等腰三角形纸片通过1次折叠可以形成2个全等的直角三角形，那么可不可以将一个直角三角形通过2次折叠，形成2个等腰三角形呢？

问题2：从将1个直角三角形通过2次折叠，形成2个等腰三角形的实验中，你们又可以得到哪些数学猜想？

问题3：你准备如何来论证这个结论？

……

这三个问题链的设计，也是基于“目的――实验――猜想――论证――结论”的理念。有价值的思维永远不是建立在技巧上，而是体现在解决一类问题的通法上，因为它是教育规律在教学实践中的具体体现。

2.数学实验要在过程分析上作整合

在“等腰三角形的性质”中，已提及到数学实验要在其过程中吸取养分，下面再根据“三角形内角和定理”，重点谈谈这个话题。

三角形内角和的实验，其立意就是把三角形的三个内角，适当地“搬搬家”，组合变成我们熟知的180°的角。学生在学习此内容时，已有平角的度数是180°、邻补角的度数是180°、平行线形成的同旁内角的和是180°等知识诸备。就“拼角实验”而言，形成新角的过程一是形成平角，二是形成邻补角。就“转角实验”而言，形成新角的过程是平行线下的同旁内角。这三种拼角的过程非常重要，它是形成证明三角形内角和定理辅助线的关键，也是设计这个实验的价值所在，教学中不容忽视。

（1）拼角实验下产生的辅助线

①由拼成平角的实验（图4），可以构造出过点A引BC平行线DE的辅助线（图5）的证法。

②由拼成邻补角的实验（图6），构造出延长BA到E，并过点A引BC平行线AD的辅助线（图7）的证法。

（2）转角实验下产生的辅助线

由拼成平行线下的同旁内角互补的实验（图8），可以构造出过点A引BC平行线AD的辅助线（图9）的证法。

通过实验，可以得到三角形内角和为180°的假设，通过证明，得到了三角形内角和定理。看似这一过程比较圆满，在此建议增加一个对上述思维过程的反思环节。可以引导学生对上述实验活动进行研究反思，正因为三角形的三个内角的和是180°，我们才可以设计出“拼角实验”，才可以通过“拼角实验”顺利寻找出将三角形的三个内角拼成一个平角的辅助线、才可以顺利寻找出将三角形的三个内角拼成邻补角的辅助线来证明内角和定理;正因为三角形的三个内角的和是180°，我们才可以设计出“转角实验”，才可以顺利寻找出通过将三角形的三个内角拼成平行线形成的同旁内角的辅助线来证明此定理。

3.数学实验要在问题本质上作文章

数学实验与理性思维怎么处理，一直是数学实验关注的问题。物理、化学实验，常常是重过程现象，更重实验结果。而数学实验教学中，要关注的是动手思考的习惯，更注重的是实验过程中数学本质的揭示。一个好的数学实验，要能引导学生思考问题，在实验中抽象出一般的原理，用数学语言讲出数学故事。

文中所提及的“翻转杯口”的实验，如果教师看不清、看不准这个问题的数学本质，只能是引导学生机械地进行这个实验，学生必然得不到深层次的思考。这个问题的数学本质是将实验中的问题抽象为通过改变乘积中因数符号的个数，进而确定积的符号是否发生变化这样一个数学问题。基于这样的认识，就能找到这个问题规律化的结论。因此，可以将本问题作如下拓展。

结合上述解题经验，请探究：给定正面向上的扑克牌m张，每次翻动n张（m不能被n整除），试研究是否可以经过改变一张或几张牌的正反面，将桌面上的扑克牌全部反向。

我们不妨将正面向上的每张牌看成数+1，反面向上的每张牌看成数-1，每翻动一张牌，则桌子上所有牌所写的数的积就改变一次符号（由-1变为+1）。类似于，若一次翻动n张，就改变n次符号。因此，若n为奇数，由于奇数个-1的积为-1，桌子上所有牌所写的数的积就改变了符号;而若n为偶数，由于偶数个-1的积为+1，桌子上所有牌所写的数的积仍保持原来的符号。

当m为奇数时，要将所有正面向上的牌最终翻动成都反面向上，须改变积的符号。由上可见，若n为偶数，那是不可能做到的;而若n是奇数，则有可能做到，且翻动的次数必须奇数次。

当m是偶数时，要将所有正面向上的牌最终翻动成都反面朝上，不须改变积的符号。由上可见，若n为奇数，须翻动偶数次可达目的;若n是偶数，翻动次数可以是奇数也可以是偶数（如表1）。

数学实验随着课程改革的深入，越发显示出其强大的生命力，这是毋庸置疑的。本文提及的案例，只是在实施这一理念中教学行为上的一些偏差，我们期待更好更多的数学实验教学成果的涌现。