方程的意义精选(九篇)

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第1篇：方程的意义范文

【关键词】数学；方程式

人教版五年级上册P53 的《方程的意义》（以下简称方程）是对数学概念――方程的教学，但是如果把教学目标仅仅定位于学生对方程概念的掌握――“教孩子怎么做，知道什么”，显然是不够的。如何在学生形成方程概念的过程中得到某些数学思想的浸润――“引导孩子怎么想”，是笔者在教学设计中思考的重点，在教学实施中的着力点。笔者试图让学生通过“观察、比较、操作、辨析”等活动体验，感受到“分类、集合、建模”等数学思想，让学生获得“思想”的浸润，使《方程的意义》成为一堂有“思想”的课。

一、在方程的产生过程中渗透建模思想

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。现在我们来分析方程的数学建模过程是怎么样的？我们来看人教版关于方程的意义的教材：

教材是利用天平的两种基本状态平衡与不平衡，引导学生用数学式子来描述（表达），由此引出方程含义。很明显，教材中隐含的是把天平的平衡状态作为方程的基本原型。

由此我们是否可以这样理解：

（1）“天平”是方程建模的一个合适的生活原型。方程是实际数量相等关系的一种模型，而天平恰恰是最符合这种模型的，因为天平平衡的原理实质上就是等式的性质。它是方程认识的基础模型，是学生理解的关键。

（2）文字等式是已经抽象化的方程的原型。天平是学生可以直观的感知等量关系的生活原型，但是文字等式的提炼是方程的更高的抽象化的原型。文字等式是从现实的复杂的情境中，对小学生而言从现实情境到文字等式，这个过程是有一定难度。

为此，笔者在执教《方程的意义》时，做了这样的设计和尝试：

（1）借助天平称物体的情境。引导学生观察：当天平处于倾斜、天平保持平衡状态时的物重关系，让学生在直观感知的基础上，用语言表述两边的平衡关系，并运用式子表达出来。用这种生活原形帮助学生概括并理解等式的意义。初步直观形象地感受等量关系的模型。

（2）在学生对等量关系模型有一定感知的基础上，引导学生在心中模拟天平，找出等量关系。

师：“你能根据题意列出方程吗？”

生1：“ 380÷4= x”

师问：“此时，你的心中能架起一架天平吗？它的左边是什么？右边是什么？开始想象！”

生1：“左边是4个月饼，右边是380克砝码？”

师：“那你的天平和你的算式对应吗？”

生2：“老师，应该4x=380 ，一个月饼的质量×4=380。”

这样的设计让学生经历从现实问题――“天平”问题到方程等量关系建立的过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的数学模型。在教学中这样地引导和渗透模型的思想，更有利于学生后面的列方程解决问题的学习。在实际教学中，天平本身作为方程等量关系原型，小学生是非常容易建立的，但是以“天平”模型来思考建立文字等式的模型，小学生是有一定困难的，让学生有这样尝试经历，积累列方程的基本经验。引导学生构建一种数学模型，在方程概念的形成过程中得到“数学模型”思想的浸润。

二、在式子比较中渗透“分类”思想

分类是一种重要的数学思想，核心在于分类的标准。而标准在定义时就是概念的“内涵”――因此，分类思想是数学概念逻辑定义的核心思想。

《方程》的一个重要教学目标是如何定义“方程”的概念。不管何种教材，对方程的定义都是“像5x=10……这样含有未知数的等式叫方程”。很明显，方程的定义含有两个内涵：一是等式，二是含有未知数。而这两点在教学中实质就是两种分类标准，在分类的过程中，从本质理解就是方程的定义过程。所以，笔者采用了人教版的设计，下面就是笔者对方程的定义过程的教学实践。

在《方程》教学中，利用天平列出左右两边的平衡和不平衡，左右两边的关系列出很多的关系式：①50+50=100 ②50×2=100 ③100+x>200④100+2x=300⑤100+x=200-Y⑥100+x200⑦50×5

师：“同学们，如果我们要来研究它时需要整理，你会怎么做？”

生：“分类。”

师：“你先分一分，把你分的结果记录下来？”

让学生独立去思考、操作，个别到黑板上来摆一摆。

师：“你是按什么分的呢？”

生1：“我是按符号分的，大于一类、小于一类，等于一类。”

师：“哦，还有不同的分法吗？”（老师板书）

生2：“我分两类，大于小于分一类，等于分一类。”

“我根据天平是否平衡分，这样更加简洁。”

生3：“我还可以分有未知数的一类，没有未知数的一类。”

师：“真好，同学们在分类的时候都有自己明确的标准了，在今后的学习中，如果遇到分类问题，我们都不要急着去分，先想好你的分类标准。”

在老师的启发下，学生通过认真思考、操作，慢慢地把杂乱的式子按照一定的标准清晰地分成四类。再让学生通过观察比较这四类式子轻松的概括出方程的定义：含有未知数的等式就是方程。

学习数学的过程中经常会遇到分类的问题，学会分类，可有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。

三、在方程与等式的辨析中渗透集合思想。

方程与等式之间的关系，虽然在教材中没有明显的要求，但是对方程意义的真正理解，这个关系的教学是无法避免的，集合思想在这个教学环节中应该可以渗透。

方程与等式之间的关系是相对比较抽象，学生很难真正区分。所以笔者设计了这样一个教学环节：找一找下面哪些是等式？哪些是方程？

师：“谁来说一说哪些是方程？哪些是等式？要说明理由。”

根据学生的回答课件演示隐去非等式。

师：“剩下的这些都是等式，我们用一个圈圈起来。这些都是等式，那是不是都是方程呢？”

生1：“不是的，⑤和⑧不是方程，其他都是方程。”

师：“那我们把是方程的圈在一起。同学们，看着这个集合圈，你有什么想说的吗？”

生2：“等式和方程之间有联系。”

生3：“方程肯定是等式，等式不一定是方程。”

生4：“我同意他的说法，等式只要符合是等号这样一个条件就行，方程必须是既是等式，还要有未知数，要符合两个条件。”… …。

通过这样一道练习题的设计，让学生在独立思考，汇报，争论中巩固教学内容，落实了教学目标，更是巧妙的渗透了集合思想，帮助学生理解方程与等式之间的联系与区别。更主要的是孩子得到集合思想的浸润，得到了运用集合思想思考解决问题的数学体验。

在小学数学教学中恰当地渗透数学思想，对培养小学生的数学素养和数学能力至关重要的，不仅是我们全面推进素质教育，培养创新性人才的重要手段，也是数学课标的要求。为不让教学仅仅停留在知识的传授上，数学教师应该在课前更加深入研读教材，分析隐藏在其中的数学思想方法。

当然，数学思想方法的渗透不是一朝一夕的，而是有一个较长的过程。作为数学教师对数学思想方法的教学必须具备循序渐进和反复渗透的教学方法和理念，这样才能让数学思想在学生心中扎根发芽。有数学思想的数学教师才会有真正是有数学思想的数学课，有思想的数学课才会真正有具有数学思想的学生。――“引导孩子怎么想比教孩子怎么做更重要”。

参考文献：

第2篇：方程的意义范文

新课程的改革，使得小学的知识要体现与初中更加的接轨，五年级上册第四单元“解简易方程”中进行了一次新的改革。下面是小编为大家收集的解简易方程的教学反思，望大家喜欢。

解简易方程的教学反思范文一学生经历由天平上的具体操作抽象为代数问题的过程，能用等式的性质(天平平衡的道理)列出方程，对于解比较简单的方程，学生并不陌生。

比如:x+4=7学生能够很快说出x=3，但是就方程的书写规范来说，有必要一开始就强化训练，老师规范的板书，以发挥首次感知先入为主的强势效应，促进良好的书写习惯的形成。对于稍复杂的方程要放手让学生去试一试，这样就可以使探究式课堂教学进入一个理想的境界。

不难看出，学生经历了把运算符号“+”看错成了“-”，又自行改正的过程，在这一过程中学生体验到了紧张、焦急、期待，成功的感觉，这时的数学学习已进入了学生的内心，并成为学生生命成长的过程，真正落实了《数学课程标准》中“在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心”的目标，在这个思维过程中，学生获得了情感体验和发现错误又自己解决问题的机会。老师以人为本，充分尊重学生，也体现在耐心的等待，热切的期待的教学行为上，老师的教学行为充满了人文关怀的气息，微笑的脸庞、期待的眼神、鼓励的话语，无时无刻不使学生感到这不仅是数学学习的过程，更是一种生命交往的过程，学生有了很安全的心理空间，不然，他怎么会对老师说“老师，我太紧张了”，这是学生对老师的信任和自己不安的复杂情绪的表现。反思我们的教学行为，如果在课堂中多一些耐心和期待，就会有更多的爱洒向更多的学生，学生的人生历程中就会多一份信心，多一份勇气，多一份灵气。

解简易方程的教学反思范文二新课程的改革，使得小学的知识要体现与初中更加的接轨，五年级上册第四单元“解简易方程”中进行了一次新的改革。能过本次活动我课下反思如下：

1、在本课开始出示天平，提出“怎样才能使得天平左边只剩下X，而保持天平平衡”这一问题，引导学生由天平保持平衡的变化规律，推出

议程两过保持相等的变换方法，这样的过程做到了“寓知识于游戏，化抽象为形象，变空没为具体”，使学生的学习具有形象性、趣味性。

2、如果我在课前准备一些“小蛋珠”来代替演示砝码，学生会更直观的明白方程保持不变与等式一样的规律了。

要求方程的解法要根据天平的原理来进行解答，也就是说要通过等式的性质来解方程，这一方法虽然说让方程的解法找到了本质的东西，但是也让我感到了许多困惑：

1、从教材的编排上，整体难度下降，有意避开了，形如：45-X=23等类型的题目。

把用等式解决的方法单一化了。在实际教学中我们要求学生较熟练地利用等式的方法来解方程，但用这样的方法来解方程之后，书本不再出现X前面是减号或除号的方程题了，学生在列方程解实际应用时，我们并不能刻意地强调学生不会列出X在后面的方程，我们更头痛于学生的实际解答能力。在实际的方程应用中，这种情况是不可避免的。很显然这存在着目前的局限性了。对于好的学生来说，我们会让他们尝试接受--解答X在后面这类方程的解答方法，就是等号二边同时加上X，再左右换位置，再二边减一个数，真有点麻烦了。而且有的学生还很难掌握这样方法。

2、内容看似少实际教得多。

难度下降后，看起来教师要教的内容变得少了，可以实际上反而是多了。教师要给他们补充X前面是除号或减号的方程的解法。要教他们列方程时怎么避免X前面是除号或减号的方程的出现等等。

解简易方程的教学反思范文三解方程是数学领域里一块儿重要内容，在实际生活中，学会了列方程解决问题之后，很多不易用算术方法解答的习题，却能列方程很容易地解答出来，这足以说明列方程解决问题比算术法解决问题有非常明显的优越性。

今年我教的是四年级，所用教材是青岛版五四制教材，第一单元就出现了解方程的内容，这部分教材我已经教学了四遍了，按理说这第五次教学这部分内容应该是易如反掌、挥洒自如，可是面对新教材的设计，我这个五年不教学高年级的老师却有了很大困惑----本教材的教学设计打破了传统的教学方法，而出乎我预料的则是借用天平演示使学生感悟“等式”，知道“等式两边都加上或减去都乘或除以同一个非零的数，等式仍然成立”这个规律，从而使学生进一步从真正意义上理解方程的意义，并学会运用等式的性质解方程。在以前几轮教材中，学习解方程之前都是先要求学生熟练掌握加、减、乘、除法各部分之间的关系，然后利用：一个加数=和-另一个加数;被减数=减数+差;减数=被减数-差;被除数=商×除数;除数=被除数÷商等关系式来求出方程的解，就连我自己小时候学习的解方程也都是根据加减、乘除法各部分之间的关系求方程的解的。

开始我有些怀疑，以为只有青岛版五四制这个版本的教材利用了等式的性质教学的，于是急切的打开电脑找到各种版本的电子教材翻看这部分内容，却发现各种版本的教材设计思路是一样的，都是先学习等式的基本性质，接着再运用等式的基本性质解方程。为了彻底弄明白教材的编写意图，我又找到了这几个版本的教材所配套的教师教学用书翻看，新教材编写者大致都是这样解释的：长期以来，小学教学简易方程时，方程变形的依据总是加减、乘除运算之间的关系，这实际上是用算术的思路求未知数。到了中学又要另起炉灶，引入等式的基本性质或方程的同解原理来教学解方程。小学的思路及其算法掌握得越牢固，对中学代数起步教学的负迁移就越明显。因此，现在根据《标准》的要求，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。这就较为彻底地避免了同一内容两种思路、两种算理解释的现象，有利于加强中小学数学教学的衔接。看了这些内容，我才从思想上认可了这种设计思路，原来是为了使小学教学解方程和中学教学解方程的方法保持一致。

理解了教材的设计意图，我开始强迫自己扭转老的教学思路。结果学生因为是初次接触，课堂上学习的竟是那样的有滋有味。但在后面的教学中，我渐渐发现采用等式的基本性质解方程给学生带来的竟然是局部的衔接，而存在局部的衔接对学生会更困难。从教材的编排上，整体难度虽然有所下降，却把用等式的性质解方程的方法单一化了。教材有意避开了形如a—X=b a÷x=b等类型的题目，不教学此类方程的求解方法，因为这类题目如果采用等式的性质来解非常麻烦。很显然采用等式的性质这种方法教学小学阶段的解方程目前存在着很大的局限性。

但在教学列方程解决实际问题时，我们又不能避免学生在列方程时，依然出现形如a-x=b和a÷x=b的方程，特别是我们不能刻意地给学生强调不能列出X在后面做减数或做除数的方程，如果这样强调，学生心中会存在很大的疑惑，当学生列出这样的方程时，我们更头痛于学生求解能力的局限性。

鉴于以上原因，课堂上我采用了新老教学思路结合使用的方法，先从教材中的新思路运用等式的基本性质教会孩子解较简单的方程，以便于日后初中学习时顺利接轨，同时对于初中学习“移项”也能顺利接收。但是面对现在四年级孩子的思维及接受能力，我再利用老教材的教学思路 “加减、乘除法各部分之间的关系”教给孩子解方程，至少这样能让我的学生会解各种类型的方程，特别是有利于孩子们列方程解决实际问题，他们不会再被“以乘代除”、“以加代减”的思路困扰着列方程，并且列出来还能顺利解这个方程。

我个人以为，这样用新旧方法结合着教学，既能让学生为以后的学习做好衔接，形成绿色的通道，同时又体现解决同一问题方法、思路的多样性。通过学生的课堂作业，我发现教学效果出奇的好。

第3篇：方程的意义范文

【关键词】导数 牛顿迭代法 共轭梯度法

【中图分类号】O241.6 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）01－0021－03

一、引 言

方程（组）的求解是计算方法中的重要内容，也是当今高性能计算的重要方面。［1］由于方程（组）的特殊性，目前已经发展了许多依赖于导数这一概念的有效方法。［2～4］然而，由于这些方法在形式上具有多样性以及导数在表达方面的特殊性和多样性，让学生在学习的过程中经常感到茫然――即学完这些方法后，对方程（组）的求解显得还是力不从心，理不清楚这些方法之间到底有没有关系，以及如何高效利用这些方法来解决实际问题。

在关于求解方程（组）的教学中我们发现，虽然在讲述牛顿法、弦切法、最速下降法、梯度法、双共轭梯度法等方法的基本原理时，学生是能够顺利理解的，但由于这些方法计算形式差异较大，使得很多同学在理解过程中很难将他们统一到同一个概念下来――虽然我们知道这些方法都基于同一个重要的概念――导数。

下面本文就从导数的定义出发，利用导数的基本含义来论述常见的牛顿法、弦切法、最速下降法、共轭梯度法、双共轭梯度法等迭代法之间的区别和联系；并试图利用导数的概念将这些方法窜联起来，使老师更容易进行教学，让学生也更容易理解这些方法的精要。

为方便叙述，首先引入导数的概念。导数是微积分中的重要概念，其直观含义就是应变量关于自变量的变化率，在一般不太严格的场合可以直接叫变化率。数学中导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。其几何意义就是曲线（面）在一点切线（面）的斜率［注1］。

二、迭代法

1．牛顿迭代法

首先回顾求解单个方程的牛顿迭代法。牛顿迭代法又称为牛顿－拉夫逊方法（Newton－Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点在于在方程f（x）＝0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根以及非线性方程的解。另外，由于该方法简单高效，因而广泛用于工程计算中。

牛顿迭代法基本思想：牛顿迭代法是借助于对函数f（x）＝0作泰勒展开而构造的一种迭代格式。将f（x）＝0在初始值x0作泰勒展开：

f（x）＝f（x0）＋f '（x0）（x－x0）＋ （x－x0）2＋…。

取展开式的线性部分作为f '（x）＝0的近似值，则有：

f（x0）＋f '（x0）（x－x0）≈0

在f '（x）≠0的情况下可得下面的迭代函数 ，

利用此迭代格式可由一个初始值计算得到一个新的近似值：

（1）

在迭代法收敛的情况下，由于x1计算的几何含义为在根的附近用x0处的切线

y－f（x0）＝f '（x0）（x－x0）

代替原曲线求根――此切线与x轴的交点x1，故其近似程度比x0要好；再作f（x）在（x1，f（x1））处的切线，得交点x2，其近似程度又比x1要好。不断将此过程进行下去，则可逐步逼近方程的根x*。于是有如下的牛顿迭代格式：

，k＝1，2…（2）

从上面分析不难看出牛顿迭代法的核心思想：在区域［x0，x0＋h］局部“以直代曲”。当f（x）为线性函数时，函数的切线和函数本身在图形上是重合的，此时切线的根自然也是原方程的根，因此只需一步就可以得到其真实根。利用由导数所决定的线型函数（切线方程）在局部对连续函数逼近的有效性，我们不难看出：若牛顿法是收敛的，则其是一个非常高效的方法。

2．牛顿法的改进

在实际应用中，常常根据具体情况对牛顿迭代法作适当的修改而得到修正算法。

第一，当x*为f（x）的m重根时，取下面迭代格式：

，k＝1，2… （3）

第二，初值选取有困难时，可改用如下迭代格式，以扩大初值选取范围：

，k＝1，2…（4）

其中p称为下山因子，p选取应当满足单调性条件：即xk＋1所对应的函数的绝对值应小于xk所对应的函数的绝对值。这样将下山法与牛顿法结合起来使用的方法，称为牛顿下山法。

由于上面这两种方法直接来源于标准的牛顿迭代法（2），他们的思想和原理基本一致，此处不在重述（方法的详细介绍请参见［4～6］）。

第三，弦截法。

为了避免计算导数，在牛顿迭代格式（2）中：用差商f［xk

－L，xk］＝ 代替导数f '（xk），并在给定两个初始值x0和x1的条件下，那么迭代格式可写成如下形式：

xk＋L＝xk－ ，k＝1，2…（5）

上式称为弦截法。用弦截法迭代求根，每次只需计算一次函数值，而用牛顿迭代法每次要计算一次函数值和一次导数值。弦截法的几何意义在于利用割线来代替切线。

所以，我们看到弦截法和牛顿迭代法都是线性化方法，在这其中起着关键作用的就是切线和割线这些概念；而在这些概念背后更为基本的概念则是导数，正是导数把这些不同的方法联系起来，只不过这些方法之间的区别在于有些用的是精确的导数，而有些用的是导数的近似值。

上面这四种方法都可以推广到多维情形，不过由于高维情形的导数计算比较复杂，因而限制了其应用。利用导数在求根时的作用（中值定理）还可以导出一些其它高效的方法。［6］

3．最速下降法（梯度法）

梯度在当代文献研究中涉及的方向非常广，各种运用梯度这一概念解决复杂或疑难问题的论文非常多。［5、7］为了将方法的基本原理阐述清楚，又不至于引入太多的函数细节，下面以二元函数来说明最速下降法的基本思想。这里不妨假定被研究的函数具有足够高的光滑性；并且为简单起见，我们假设多元函数的一阶导数是连续的。

为叙述方便，首先引入函数z＝f（x，y）在一点P沿某一方向的变化率问题。设l是xOy平面上以P0（x0，y0）为始点的一条射线el＝（cosα，cosβ）是与l同方向的单位向量。射线l的参数方程为：

x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tcosβ（t≥0）

若函数f（x，y）在点P0（x0，y0）可微分，则对于每一点P0（x0，y0）∈D都可确定函数在点（x0，y0）处的方向导数：

＝fx（x0，y0）cosα＋fy（x0，y0）cosβ

特别地，若α＝0，则可确定如下向量：

fx（x0，y0）i＋fy（x0，y0）j （6）

该向量称为函数f（x，y）在点P0（x0，y0）的梯度，记作gradf（x0，y0）。沿梯度方向，模|gradf（x0，y0）|取得最大值，也就是说梯度方向是函数在这点导数取得最大值的方向――函数增加最快的方向。

考虑线性方程组：

Ax＝b（7）

其中A是给定的n阶对称正定矩阵，b是给定的n维向量，x是待求的n维向量。引入下面的二次泛函：

（x）＝xTAx－2bTx（8）

在A对称正定的条件下，求解方程组Ax＝b等价于求二次泛函 （x）的极小点。于是，利用（8）式可将线性方程组（7）的求解转化为求二次泛函 （x）的极小点的问题。

求二次函数（8）的极小值，不同于一元函数（一元函数实际求切线和x轴的交点），多元函数在空间一点的导数方向有很多个，因而如何求其中某一平面的与坐标轴的交点成为一个不确定问题。

为解决这个难题，对任意给定一个初始向量x0以及精度eps，需确定一个下降方向p0。由于沿 （x）增加最快的方向是梯度方向，因此负梯度方向应该是 （x）减小最快的方向，于是最简单而直观的做法是选取pk为负梯度方向（其中k＝0，1，2，…）。记rk为第k次迭代的负梯度方向。于是有如下算法：

x0∈Rn（9）

r0＝b－Ax0；k＝0

while|rk|≥eps

k＝k＋1

αk＝

xk＝xk－1＋αk－1rk－1

rk＝b－Axk

end

从上面的算法可以看出：最速下降法的基本原理是在前一步计算的结果xk－1处，取沿这一点下降最快的方向（负梯度rk）作为搜索方向进行迭代。这样的下降方向是局部的，只是在这一点的附近能够保证是下降速度最快，但不是全局的；另一方面，这样一个新的下降方向和原来的下降方向之间也没有什么必然的联系。从几何上看，我们就是在一点的附近用梯度向量所在的某一平面来近似曲面；并且这样的近似只是局部的，不是牛顿法中整体切平面和坐标轴的交点，因而不是全局的。这样一来，最速下降法的收敛性一般不会太高，尤其是在近似解靠近真实解的时候。

4．共轭梯度法

最速下降法从任何一向量x（0）出发，迭代产生的向量序列总是收敛到原方程（7）的解。理论上其收敛速度的快慢则由A的特征值分布所决定。当A的最小特征值和最大特征值相差很大时λ1＜＜λn最速下降法收敛速度很慢，所以负梯度方向从局部来看是二次函数的最快下降方向，但是从整体来看，却并非最好。然而这种方法却揭示了利用二次函数极小问题求解对称正定矩阵的线性方程组的算法思想。正是在此基础上的进一步改进，形成了著名的共轭梯度法。

共轭梯度法最早由Hestenes和Stiefle提出来，用于解正定系数矩阵的线性方程组。共轭梯度法的基本思想也是将方程组的求解问题转化为二次优化的最下值问题，所以和最速下降法有相同的数学背景。然而共轭梯度法是一个典型的共轭方向法，和最速下降法不同的是：共轭梯度法的每次搜索方向是互相共轭的（类似于相互垂直），而这些搜索方向不仅仅是负梯度方向，还与上一次迭代的搜索方向相组合。从几何上看，共轭梯度法也是在局部用线型平面去近似曲面，但和最速下降法不同在于：共轭梯度法中局部用到的平面，其方向不是简单的梯度最大的方向，而是寻找在和前面已经找到的方向能够共轭，又尽可能下降快的方向，也就是说这些局部的曲面有着某种类似“相互垂直”的特点，所以它是整体上的。

对于对称正定矩阵A，共轭梯度法考虑选择关于A共轭的向量p1，p2，…，代替最速下降法中的负梯度方向。理论上讲，如果该方法是收敛的，则对任意给定的初始点x（0），经有限步就可以得到问题的准确解。

借助向量组Schmidt正交化过程，有如下的共轭梯度算法：［1～2］

x0∈Rn，k＝0

r0＝b－Ax0，p0＝r0

while|rk|≥eps and（pk，Apk）≥eps

αk＝（rk，rk）/（Apk，pk）

xk＋1＝xk＋αkpk，rk＋1＝rk－αk Apk（10）

βk＝（rk＋1，rk＋1）/（rr，rk）

pk＋1＝rk＋1＋βk pk

k＝k＋1

end

其中x0为初始向量，eps为求解精度。

从上面的计算可以看出，共轭梯度法是从不同的方向来找最小值；这样将全局的最小分解成在不同方向上的最小。直观上看，也就是沿不同方向（共轭的方向）来找最小，后一次的查找是在前一次的最小的基础上进行的，因此每次得到的结果会越来越好；并且由于这些方向是共轭的，所以总在有限步内完成。这就像我们在n维超曲面找曲面的最小一样：沿座标轴一个个搜索――当然可以在搜索所有的坐标方向后得到最优的值。

从对导数信息的使用方面来看，共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法。虽然它仅用到一阶导数，但它既克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法中需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，所以有较高的计算效率。

5．双共轭梯度法

在最速下降法和共轭梯度法中要求矩阵A是对称正定的，但在实际生活中还有大量的矩阵不具备这样的性质――即不是对称正定的。于是为了利用共轭梯度法的思想来解决这类问题，便出现了双共轭梯度法。［6］

双共轭梯度法和共轭梯度法的不同在于将共轭梯度法中的一步共轭性转化为两步的共轭性，从而用两步的共轭性来代替矩阵的非对称性。实际上对于对称矩阵、两次共轭的结果和一次是一致的。从几何上看，其基本原理也是一样，在此不再叙述。

除了上面提到的方法之外，还有很多方法都可以和导数这个概念联系起来，比如常用的广义极小残差法（GMRES）、非线性方程组的牛顿法、Anord、Lanczos等方法，在此不再一一论述。［6］

三、总 结

通过对上面诸多典型迭代法的分析，我们发现在这些纷繁复杂的方法背后，其实都隐含着一个重要的思想，那就是“以直代曲”（线性化）这样一种简单而又有效的方法；在这其中导数起着举足轻重的作用――将方程组求解和多元函数的根联系起来。这样利用导数这个概念，我们将这些重要的方法串联起来、统一起来，从而简化了我们对这些方法的理解和掌握，也方便了学生的学习。

注 释

1 为避免引入不必要的概念（法向量），对于曲面或超曲面，此处的斜率仅仅表示其切平面中的一个向量。

参考文献

1 蔡大用、白峰杉.高等数值分析［M］.北京：清华大学出版社，2005

2 戴虹、袁亚湘.非线性共轭梯度法［M］.上海：上海科学技术出版社，2000

3 A. Quarteroni, A.Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1994

4 钟尔杰、黄廷祝.数值分析［M］.北京：高等教育出版社，2006

5 William H. Press, Sual A. Teukolsky, etc, Numerical Recipes in C++, Cambridge University Press, 2003

第4篇：方程的意义范文

【关键词】一元一次方程 应用题 方法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）1-0166-02

新课程教学标准指出，在课堂教学中要明确学生的主体地位，发挥学生的积极能动性。作为主导地位的教师应当在教学中给学生留有充分的主动权。一元一次方程应用题的教学是重难点，对锻炼学生的分析与解决问题的能力作用巨大。

第一，把好列代数关，打好列方程基础

掌握列代数式的方法技能是列方程解应用题的基础，只有正确熟练地掌握用代数式表示数才可能合理地列方程，因此在学列方程解应用题之前应补一补列代数式的教学，尽量不留后患，可根据学生实际由浅入深分阶段提出不同要求：首先要求学生将只含一次运算结果的普通语言直接翻译，如：x与6的差；其次会写出二次或三次复合运算的结果，如：x与b的差的三分之一；进而学会设某数为x，用含x的式子表示另一个数，如：设甲数为x，乙数比甲数的三分之一少5，用式子表示乙数；最后再过渡到几何图形，行程问题等常见的数量关系，用含有某个量的式子表示另一个量。

在列代数式的教学过程中要随时注意查漏补缺帮助学生进一步透彻理解掌握四则运算的有关法则，熟习常见的那些数量关系从不同方向为列方程铺平道路。

第二实现两个转变

我通个教学实践，要想本阶段教学取得预期的好效果，必须实现以下两个转变。

1.实现学生由习惯算术思想理解应用题转变为运用代数式――列方程解应用题。

七年级学生长期习惯以直接求得结果为目的的列综合算式的方法，由算术法到代数法是一个质的飞跃.而学生原来形成的思维定势不同程度的成了他们接受新思想的障碍，因此如何使学生由习惯算术法向自觉运用代数法列方程解应用题的转变是这一阶段教学面临的第一课题，这一方面比较好的方法是进行对比教学，它直观易于学生接受。

例1.一种小麦磨成面粉后，质量要减少15%，要得到4250千克面粉需要多少千克小麦？

分析：设需要x千克小麦

代数法（1-15%）x=4250

这里使用代数法只需依照题意直接翻译成方程，思维上要简捷得多。

有学生认为此题算术法还要简单些，当然要使学生从思想上真正认识到代数法的优越性而自觉运用，举一个例子是不够的，因此应有意识地在后续课的教学中安排一些针对练习。如：例2.在甲处劳动有27人，乙处劳动有19人，现另调20人去支援，要使甲处劳动的人数为乙处的2倍。应调往甲、乙两处各多少人？

分析：设应调往甲处人.

算术法：

代数法：27+=2〔19+（20-）〕

相比之下代数法要优越得多。

2.实现学生由盲目乱套硬搬转变为快速准确科学判断等量关系列方程。

从逻辑思维角度看七年级学生长期以来基本上都是从条件出发去寻找结论，不自觉地使用综合思想由因索果考虑问题，而综合法对一些简单应用题确有成效，因此在开始阶段教学宜采用启发式教学因势利道指导学生由不自觉到自觉使用综合法去寻找等量关系探求解答，培养他们形成比较规范的思维习惯，争取早日摆脱乱套硬凑思想混乱的状态。

例3.甲乙两站相距390km，一列慢车从甲站开出速度为72km/h，一列快车从乙站开出速度为96km/h.若快车先开出25分，辆车相向而行.快车开了几小时与慢车相遇问题

分析：设快车开了x小时与慢车相遇.

问：快车行驶了多少km？ 答：96x

问：慢车行驶了多少小时？ 答：（x-25）÷60

问：慢车行驶了多少km？ 答：72[（x-25）+60]

问：两车两车一共行驶了多少km？ 答：390

问：相等关系是什么？ 答：两车行驶之和为390km

至此可利用相等关系列方程：=72[（x÷25）÷60]+96x=390

在问答过程中为加深学生印象同时把上述问答结果逐一填入下面表格：

图表形象直观一目了然，有利于学生透彻了解问题所涉及的各种数量关系.而且正确灵活地设计运用图表分析问题本身就是一项十分重要的基本技能，在数学中要加强示范辅导，并有必要根据学生的实际情况提出一定的要求。

第5篇：方程的意义范文

定理1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0),若直线l过不在椭圆C上的定点T(x0,y0)(非椭圆C的中心)且与椭圆C交于A,B两点,l1,l2分别是椭圆C在A,B两点的切线,直线l3:x0xa2+y0yb2=1.则直线l1,l2,l3互相平行,或相交于一点.

证明： 设A(x1,y1),B(x2,y2),则椭圆C在A,B两点的切线方程分别是

l1:x1xa2+y1yb2=1,l2:x2xa2+y2yb2=1.

1)当直线l的斜率不存在时,x1=x2=x0,由对称性知y2=－y1≠0,

若l1,l2平行,则x1y2－x2y1=0,于是有

x1=x2=x0=0,易知l1,l2,l3互相平行;

若l1,l2相交于点M,则x1y2－x2y1≠0,于是x1=x2=x0≠0,易求得l1,l2的交点

M(a2x0,0),显然点M在直线l3:x0xa2+y0yb2=1上.故l1,l2,l3相交于一点M.

2)当直线l的斜率存在时,x1－x0≠0,x2－x0≠0,

若l1,l2平行,则x1y2－x2y1=0,易知l过原点O,由T,A,,O三点共线,可得

x1y0－x0y1=0,于是有l1,l3平行,从而l1,l2,l3互相平行;

若l1,l2相交于点M,则x1y2－x2y1≠0,由T,A,B三点共线,得y1－y0x1－x0=y2－y0x2－x0,

从而有x0(y2－y1)－y0(x2－x1)－(x1y2－x2y1)=0.

由x1xa2+y1yb2=1,x2xa2+y2yb2=1, 解得

x=a2(y2－y1)x1y2－x2y1y=－b2(x2－x1)x1y2－x2y1 ,于是

M(a2(y2－y1)x1y2－x2y1,－b2(x2－x1)x1y2－x2y1).

因 x0xa2+y0yb2－1=x0a2・a2(y2－y1)x1y2－x2y1+

y0b2・(－b2(x2－x1)x1y2－x2y1)－1=

x0(y2－y1)－y0(x2－x1)－(x1y2－x2y1)x1y2－x2y1=0

所以点M在直线l3:x0xa2+y0yb2=1上.从而l1,l2,l3相交于一点M.

综上可知, 直线l1,l2,l3互相平行,或相交于一点.

定理2已知双曲线C:x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0),若直线l过不在双曲线C上的定点T(x0,y0)(非双曲线C的中心)且与双曲线C交于A,B两点,l1,l2分别是双曲线C在A,B两点的切线,直线l3:x0xa2－y0yb2=1.则直线l1,l2,l3互相平行,或相交于一点.

类似于定理1的证明可证,此略.

定理3已知抛物线C:y2=2px(p＞0),若直线l过不在抛物线C上的定点T(x0,y0)且与抛物线C交于A,B两点,l1,l2分别是抛物线C在A,B两点的切线,直线l3:y0y=p(x0+x).则直线l1,l2,l3相交于一点.

证明：设A(x1,y1),B(x2,y2), 则抛物线C在A,B两点的切线方程分别是

l1:y1y=p(x1+x),l2:y2y=p(x2+x).

1)当直线l的斜率不存在时,x1=x2=x0,由对称性知y2=－y1≠0,易知l1,l2不可能平行,设l1,l2相交于点M,易求得l1,l2的交点M(－x0,0),显然点M在直线y0y=p(x0+x)上,从而直线l1,l2,l3相交于点M.

2)当直线l的斜率存在时,x1－x0≠0,x2－x0≠0,且y2－y1≠0,

易知直线l1,l2不可能平行,设l1,l2相交于点M, 由y1y=p(x1+x)y2y=p(x2+x) ,解得

x=x2y1－x1y2y2－y1y=p(x2－x1)y2－y1 ,于是

M(x2y1－x1y2y2－y1,p(x2－x1)y2－y1).

由T,A,B三点共线,得y1－y0x1－x0=y2－y0x2－x0,

从而有y0(x2－x1)－x0(y2－y1)－(x2y1－x1y2)=0.

因y0y－p(x0+x)=y0・p(x2－x1)y2－y1－

p(x0+x2y1－x1y2y2－y1)=p・

y0(x2－x1)－x0(y2－y1)－(x2y1－x1y2)y2－y1=0

所以点M在直线l3:y0y=p(x0+x)上.从而直线l1,l2,l3相交于点M.

参考文献

1 何才富.直线方程x0xa2+y0yb2=1的几何意义.中学数学教学参考,2000(4)

2 王芝平,张玉强,.直线方程x0xa2－y0yb2=1的几何意义.数学通报,2002(11)

第6篇：方程的意义范文

【关键词】数学；列方程；教学

方程作为一种重要的数学思想方法，它对丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，发展学术素养有着非常重要的意义。

六年级（上册）“方程”单元教学内容的安排和数学的设计是在继承传统优势的基础上，从便教利学出发，着眼于学生继续学习，加强了学生的自主探索，注重学生对方程思想方法和价值的感受和体验。突破了传统教材先学解方程。再利用解方程来解决实际问题的做法，把列方程解决实际问题和解方程安排在一起进行教学，使学生在列方程解决实际问题的过程中学习解方程。教师在解读教材，研究教法，学法，具体教学中可从以下几个方面认真把握。

一、从促进学生有效地参与数学学习活动，提高学习效率出发，科学合理安排教学内容

六年级（上册）教科书“方程”单元安排了两个例题，通过这部分内容的教学，一方面可以使学生进一步感受方程的思想和方法，增强用方程方法解决问题的意识和能力，另一方面，也能使学生进一步积累解方程的经验，从而为后续学习打下基础。

教材为了让学生更好地参与数学活动，提高学习效率，把解方程和列方程解决实际问题的教学融为一体。同步进行，这是和以前教材不同的编排。这两道例题即教学解方程的思路和方法，和教学列方程的相等关系和技巧。这样编排，能较好地体现数学内容和现实生活的联系。一方面分析实际问题里的数量关系，抽象成方程，形成知识与技能的教学内容，提高了学生的求知欲望，触动他们好奇心，为了解决实际问题，还必须解这道方程，促使学生主动学习解方程。提供了学习的内容，也提供了学生自主探索的空间和进行数学活动的机会。另一方面，利用方程解决实际问题，使知识技能的教学具有现实意义，成为数学思考、解决问题、情感态度有效发展的载体。在解决问题的过程中，学生充分体会到列方程和解方程的实际意义，感受到解方程是解决问题的途径和必经过程，枯燥的知识技能教学变得有意义、有情趣、有价值。

二、从引导学生主动学习方程解法考虑，让学生在解决问题的过程中自主探索并掌握有关方程的解法

教材没有把解方程作为教学的重点，而是把列方程解决实际问题作为教学的主线，让学生在解决问题的过程中自主探索并掌握有关方程的解法。化复杂为简单、变未知为已知是人们解决新颖问题的常用策略。教师要鼓励学生自主解释并理解运算的依据，找出方法，从而初步掌握解法。突出转化的过程，鼓励学生独立求解，复杂方程转化成简单方程，使新知识植根于已有的经验和能力的基础上，启发学生结合题意检验方程。进一步理解并掌握解方程的完整过程。

练习过程中要先让学生说说解每道方程的第一步要怎样做，以及这样做的根据是什么，然后让学生独立完成。交流时，除了关注学生是否求得了正确的解，还要关注学生解方程的过程是否进行了检验。这样及时的练习使解方程的思路和方法得到了进一步巩固，也更好达成了解方程这个重要的教学目标。

三、从学生的实际思维和有利于学生发展的角度，正确看待解方程的不同思路和不同解法

能解方程和会解方程是学生的基本技能，也是学习能力。教师在帮助学生掌握教材提供的利用等式的性质解方程的基础上，教师要尊重学生解决问题的实际情况，尊重他们所看好的策略和方法，从有利于学生思维、有利于学生解决问题和有利于学生发展的角度出发，正确地对待学生不同的思考和运用不同的方法解方程。

既然让学生在列方程解决实际问题的过程中学习解方程，那么，解方程的学习也应该和数量关系的分析联系起来。学生根据不同的数量关系可以列出不同的方程，也反映出学生在解方程时也会有各自独到的思考过程，我们应该尊重不同的思考。并帮助他们理清思路。同时也让学生感受到解方程在解决实际问题过程中的价值。教学中，我们要充分尊重教材，领会教材的意图，帮助学生完成必需的学习任务。在此基础上，我们就要结合学生学习实际，从利于学生学习数学、利于发展学生数学思考，促进学生有效发展的角度，科学地、综合地、全面地考虑，通过创新教学，使教学真正扎实、有效和有可持续发展性。

四、从学生的数学体验和数学思想的渗透的高度思考，让学生在解方程和列方程解决实际问题的过程中感受方程的思想方法和价值

第7篇：方程的意义范文

一、怎样用字母表示数？

如何根据字母所取的值，计算含有字母的式子的值？数学中一引起运算定律、计算公式，如果用字母表示，比文字叙述更简明易记，更便于应用。

例如：用a、b、c表示三个数，乘法分配律写成a×（b+c）=a×b + a ×c，加法结合律写成a+b+c=a+（b+c）。用字母表示一些图形的周长和面积的计算公式，也很简明易记。

例如：长方形的周长公式：c=（a+b）×2，长方形的面积公式：s=a×b，三角形的面积公式：s=a×b÷2，梯形的面积公式：s=（a+b）×h÷2。

为了书写方便，在含有字母的式子里，数字和字母中间、字母和字母中间的乘号可以记作“.”，也可以省略不写。但是要注意在省略乘号的时候，应当把数字写在字母的前面。

以上面积公式还可以写作：长方形的周长公式：c=2（a+b），长方形的面积公式：s=a.b，那么三角形的面积公式和梯形的面积公式还可以写成：s=ah/2，s=1/2（a+b） h

在计算一个图形的面积或周长时，实际上是把数值代入有关的公式，算出的结果就是它的面积或周长。例如：一个长方形的长是7.2米，宽是4。8米，它的周长和面积是多少？

二、怎样理解方程的意义及如何解方程？

含有未知数的等式叫做方程。

方程是等式里面一种特殊的形式。

例如：2X+4=16X―8=32等等都是方程，而24+15=37 9=20―11 等虽然是等式，但它们中没有未知数，因此它们不是方程。

判断下面各题，是方程的画“√”不是方程的画“×”。

①18+2X（） ②15―X=0（） ③8―X1（） ④20―4=16（）

求方程的解的过程叫做解方程。解方程的依据就是以前学过的加、减、乘、除法运算各部分之间的关系。即在学习准备中要求熟记的六道数量关系式。

例X在方程X+12=30中处于加数位置，因此解方程X+12=30的依据是：一个加数=和―另一个加数。

X+12=30 X=30―12 X=18

解方程时，先弄清“X”在什么位置，再找出解题依据。

三、怎们用方程解应用题？

列方程应用题，首先要分析数量关系，列出数量关系式，未知量用X代替，使它参与运算，并根据题中数量间的等量关系列出方程。通过解方程求出未知量。

例：小明买4本笔记本，付出5元，找回1.4元。每本笔记本多少元？这类有关用钱数购物的应用题，等量关系一般为：付出的钱数―应付的钱数=找回的钱数。

解：设每本笔记本X元，5―4X=1.4，4X=5―1.4，4X=3.6，X=0.9。

答：每本笔记本0.9元。

第8篇：方程的意义范文

关键词：直线 平面 相交 方向向量 法向量

中图分类号：G644.5 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2017）04-0024-01

1 引言

在空间中当两直线相交时可以唯一确定一个平面，两相交平面又可以唯一确定一条直线，在教材[1]第三章的例子中就采用这种思想得出所求直线方程，但是此种方法很大的缺陷就是计算量过大，并且满足条件过多，导致解题思路不够明朗，对于刚接触这门学科的学生而言，这并不是一种最好的解题思路，基于此种原因，这篇文章给出了该题的另一种解法，相较教材上的解题方法来说，新的解题方法更简单快捷，易于理解。

2 教材[1]第三章有例题

求通过点P（1，1，1）且与两直线L1，L2都相交的直线L的方程，

新解法：分析两条直线L1，L2的方程，发现两条直线都过同一点M={1，2，3}，且1∶2∶3≠2∶1∶4即L1，L2是空间两条相交直线，而两条相交直线能唯一确定一个平面，如果P点不在这个平面上，则所求直线只能过M点才能与L1，L2同时相交，且一旦知道一条直线上的两点，根据两点式方程即可求出所求直线方程。

解：已知L1过点M1={0，0，0}，方向向量为v1={1，2，3}，L2过点M2={1，2，3}，方向向量为v2={2，1，4}，因L1与L2都过同一点M2{1，2，3}且1∶2∶3≠2∶1∶4，则L1与L2相交，由L1与L2所确定的平面方程的法向量为：

则该平面方程为：5（x-0）+2（y-0）-2（z-0）=0，整理得：

5x+2y-2z=0，将P点带入平面方程有5≠0，故P点不在平面上，因此所求直线L的方程为：

从上面解法中可得出求类似例题的一般解法：求过空间一点P且与两已知直线L1，L2都相交的直线的方程时，可以先考虑这两条已知直线是否相交，如果相交于点M，则求出所_定的平面方程，并判断P点在不在该平面上，如果不在，则所求直线必过M点，由直线上两点可得出所求直线的方程，且该直线唯一；如果P点在平面上，则所求直线有无数条，可利用点P和点M求出其中一条直线的方程。采用此种解题方法，不仅计算量小，且思路简单清晰。

参考文献：

[1] 吕林根，许子道.解析几何[M].第4版. 北京：高等教育出版社，2006.

[2] 欧宜贵，李文雅.空间解析几何：综合学习与指导[M].北京：中国科技技术大学出版社，2009.01.

第9篇：方程的意义范文

关键词：培训效果满意度；结构方程模型；影响因素

引言

职业教育培训是我国国民教育体系和人力资源开发的重要组成部分，是广大青年打开通往成功成才大门的重要途径，也是企业人力资本投资的有效途径。目前，我国企业在人力、物力、财力以及时间等各方面对培训投入的力度越来越大，但是整体培训效果却并不理想，培训效果评估的相关工作仍然处于薄弱环节。因此，对培训效果评估的深入探索势在必行，极为必要。

影响培训满意度的因素多种多样，许多因素无法直接测量，这也增加了培训效果评估的难度。利用结构方程模型对培训效果评估进行研究，可以在一个模型里展示出潜在变量和测量指标的各类关系。

1. 研究方法和研究数据

1.1 研究方法

本文基于针对性设计的调查问卷和量表获得数据，运用结构方程建立模型，进行定量分析和实证研究。问卷对教学满意度的影响因素设计了12个测量指标，作为12个外生观测变量，分别构建三个潜在变量；对教学满意度的调查设计了2个测量指标，作为内生观测变量，解释一个内生潜在变量，命名为满意程度，对于潜在变量之间的关系建立结构方程全模型。本文运用统计软件IBM SPSS Statistics 22保存数据，结构方程模型软件IBM SPSS AMOS 22编制路径图，采用极大似然法得到参数的估计结果。

1.2 调研过程

为了能够对培训效果进行简捷、科学的实测，满足学员真正的需求，得到有效的统计结果，本文采用了自行设计的调查量表，量表选项基于李特五级量表（Likert Scale）技术，对测量项目进行统计分析。

在预调查、修改调查表、模型试拟合的基础上，本次调查于2014年3月在北京京城机电控股有限责任公司培训中心正式开展。本次调查所发放问卷，均为当面填写，当场回收。调查抽样方式基于分层抽样和简单随机抽样相结合的方法，首先按不同专业的学员进行分层，分为高层管理者、中层管理者、基层管理者和专业技术人员，在每一层内按年龄分为25～34岁、35～44岁和45岁（含）以上三个类型，然后对每一种类型用简单随机抽样的方法进行抽样，共计发放问卷200份，获得有效样本194个，回收率97%。

1.3 研究数据

在文献资料研究以及相关经验的基础上，本文作者将影响培训效果满意度的因素归纳为课程情况、教师情况和教学服务3个方面，即3个潜在外生变量，并且把这3个方面分别分解成了3到5个不等的指标作为外生观测变量，具体情况如表1。

2. 模型构建

用Xi表示外生观测变量，即表1中调查指标的前12个问题，Xi ∈ {A1， …， A5， B1， …， B4， C1， …， C3}，i = 1， 2， …， 12；用ξi表示调查因素的外生潜在变量，即ξk ∈ {A， B， C}，k = 1， 2， 3；λik是第i个外生观测变量在第k个外生潜在变量上的因子载荷；用ei（i = 1， …， 12）表示测量误差。建构测量方程，如下：

Xi=λikξk+eii = 1，…， 12（1）

用Yj表示内生观测变量，即表1中调查指标的最后2个问题，Yj ∈ {D1， D2}，j = 1， 2；用η表示调查因素的内生潜在变量――培训效果满意程度，即η∈ {D}；μj是第j个内生观测变量在内生潜在变量上的因子载荷；用dj（j = 1， 2）表示测量误差。建构测量方程，如下：

Yj=μjη+djj = 1， 2（2）

则，结构方程式有：

η=Bη+Γξ+ζ（3）

其中，B为内生潜在变量的系数，Γ=（γ1， γ2， γ3）是外生潜在变量的系数向量，ξ=（ξ1， ξ2， ξ3）T是外生潜在变量，ζ为内生潜在变量残差。

3.运算结果和模型评价

3.1 结构方程路径图

根据前文所述模型，采用极大似然法（Maximum Likelihood Estimation， MLE）对模型参数进行估计，运行IBM SPSS AMOS 22结构方程模型软件，得到了完全标准化解的输出结果和路径图。路径图见图1。

图1培训效果满意度的结构方程路径图

3.2 模型整体拟合评价

根据AMOS对结构方程模型的分析，表明概念模型大体通过验证，具有理论和实证意义。

首先，各个因子载荷的绝对值大多都在0.5～1之间，都达到了0.05显著性水平，说明，模型完全符合拟合标准。

其次，从绝对适配度、简约适配度和增值适配度三个方面的指标，对拟合良好性指标（GFI）、拟合优度（CMIN/DF）、非常规拟合指标（NFI）、近似均方根误差估计（RMSEA）以及比较拟合指标（CFI）等进行分析，发现本文所述的结构方程模型具有不错的拟合度，拟合程度较好，具有进一步分析的价值。详见表2。

3.3 效度分析

观测变量对潜在变量的标准化估计参数，可以有效地反映其两者之间的相关程度，同时也反映了潜在变量对观测变量的解释能力。

由图1的培训效果满意度的结构方程路径图上可以看出，3个潜在变量在12个观测变量上的标准化因子载荷不小于0.80的有9个，根据结构方程模型对内容效度的相关评价原则，如果标准化因子载荷大于0.80，那么复相关系数有：R2 > 0.5，这就是说该潜在变量可以解释量表相应问题的50%以上。

3.4 信度分析

一个好的结构方程模型，必须是稳定可靠的，这说明了调查问卷指标是内部一致的。本文检验结构方程模型的这种内部一致性，使用了建构信度（Construct Reliability）检验。结构方程模型的建构信度是指潜在变量与其对应观测变量的一致性程度，其具体计算如下：

CR=∑λi2∑λi2+∑ei（4）

其中，CR为建构信度，λi为观测变量在潜在变量上的标准化因子载荷参数，ei为是观测变量的测量误差。如果建构信度较高，则表示指标之间有高互为关联（inter-correlated）存在。此时，可以有信心认为此次调查的指标之间是一致的。如果信度较低，则表示其较不一致，并且对此潜在变量而言，是比较差的指标。

虽然并没有一个首要规则来决定到底多高的系数才能够认为信度是好的，但相当多的研究采用如下较为粗率的判断原则：信度系数在0.9以上认为是“优秀的”（Excellent）；在0.8左右，是“非常好”（Very Good）；在0.5以上，则可以接受（acceptable）[5]。

从表3可以看出，四个潜在变量的建构信度都已达到0.5以上，在0.75左右，说明本文观测变量与潜在变量的一致性还是较高的，观测变量能够较好地解释和支持对应的潜在变量。

4. 模型分析与结果讨论

4.1 模型分析

从第3.1节的培训效果满意度的结构方程路径图（图1）可以看出，对“A课程方面”影响最大的观测变量是“A3工作适应”和“A4教学案例”。由此可见，职业教育培训与高校教学是有很大不同的。参加职业教育培训的学员，在课程方面更关注学到的内容是否与自己的工作相适应，自己所面临的情况在哪些方面可以借鉴课堂教学的案例。这也对职业教育培训的教师提供了参考意义，在选取课程内容时，更接近现实的工作；在选用教学案例方面，应及时更新用例情况，以便学员迁移学习。

对“B教师情况”影响最大的观测变量是“B1备课充足”和“B3互动关系”。无论何种情况的教学培训，教师备课是否充足是教学成败的关键性因素，也是教学态度的首要指标。而职业教育培训的学员相比较而言对于互动的课堂教学更容易接受，这也是职业教育培训与高校教学的不同点之一。

对“C教学服务”影响最大的观测变量是“C1教学设备”。本文作者认为，这并不是说其他教学服务人员的组织能力和服务态度对职业教育培训的教学服务工作不重要，而是学员更多的融入到互动关系的培训课堂中，对教学设备的感受更为深切，而教学服务人员在整个职业教育培训过程中与学员接触较少，所以才有如此结果。

4.2 结果讨论

潜在变量间完全标准化解的矩阵形式如下：

η=0.59，0.49，0.29ABC+ζ（5）

根据第（5）式可以得出，“A课程方面”对培训效果满意度的影响最大。与基础教育、高等学校教育相比，职业培训教育的学员更加理性，更关注课程相关内容。因此，若要取得好的培训效果，职业教育培训师应努力提高课程相关内容，使得学员收益最大，效果最佳。这对职业教育培训教师也提出了较高的要求。

5. 结语

本文根据结构方程模型原理，针对职业教育培训效果满意度的问题，提出了课程相关、教师情况、教学服务情况3个外生潜在变量，以及12个外生观测变量作为度量；发放调查问卷并进行有效回收，运用统计软件IBM SPSS Statistics和AMOS对调查数据进行模型构建、模型计算和评价，以及模型分析和结果讨论。本文所构建的结构方程模型为职业教育培训满意度的研究提供理论参考，所得结果对职业教育培训师的课堂教学质量和效果评价具有参考价值。

（作者单位：北京京城机电控股有限责任公司培训中心）

参考文献：

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