双曲线及其标准方程精选(九篇)

前言：一篇好文章的诞生，需要你不断地搜集资料、整理思路，本站小编为你收集了丰富的双曲线及其标准方程主题范文，仅供参考，欢迎阅读并收藏。

第1篇：双曲线及其标准方程范文

随着“微”概念的流行，以及“翻转课堂”和可汗学院教学模式在全球的迅速传播，“微课”成为教育界关注的热点话题，并在教学中发挥着重要的作用.在国内，最早提出“微课”概念的是广东省佛山市教育局的胡铁生.随着国内外微课实践的不断丰富和相关研究的逐步深化，微课的概念在不断的发展和改进，许多学者和教育工作者都提出来自己的看法.目前国内对“微课”概念的界定还未达成共识.

一般认为，“微课”是指按照新课程标准及教学实践要求，以视频为主要载体，记录教师在课堂内外教育教学过程中围绕某个知识点（重点、难点、疑点）或教学环节而开展的精彩教与学活动全过程[1].

“微课”的核心组成内容是课堂教学视频（课例片段），同时还包含与该教学主题相关的教学设计、素材课件、教学反思、练习测试及学生反馈、教师点评等辅教学资源，它们以一定的组织关系和呈现方式共同“营造”了一个半结构化、主题式的资源单元应用“小环境”[2].

根据以上分析，笔者对微课的再认识有以下几点：

（1）“微课”不同于传统的单一资源类型的教学课例、教学设计，是在其基础上发展起来的新型的教学资源.微课可以用在课前、课中，课后，在教学环节中使用灵活，是教学环节的一部分.

（2）微课的时间一般5～10分钟，时间简短而内容精要，但绝不是一节课的缩影，是针对某个知识点或是某节课的重点、难点展开，内容选择不宜过大.

（3）微课的应用，使教学时间与空间得到拓展，既能提高数学教学的有效性又能促进学生的自主学习.

2 基于微课的数学教学设计

微课在教学实践中发挥着重要的作用，下面以人教B版普通高中数学选修2-1《双曲线的标准方程》为例，给出以微课作为课前预习环节重要载体的教学设计.

（1）目标分析

学生在课前通过观看微课视频，复习椭圆的相关知识，并在视频的引导下，运用类比的思想自主思考得到双曲线的定义，深刻理解双曲线的概念.进一步在课上小组合作、自主探究推导得出双曲线的标准方程.通过探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题.

（2）教学素材的准备

课前给学生关于复习椭圆的定义与方程、类比推导双曲线的微视频以及自学报告单，几何画板，动态演示双曲线的图像.

（3）教学理念的准备

结合建构主义学习理论以及思维“最近发展区”理论，开展课堂教学.在类比椭圆的过程中，让学生去感受、理解双曲线的概念，学生往往能深刻的理解双曲线的本质.同时，前后知识也能很好的连贯起来.本次微课虽然时间短暂，但是仍提供大量的时间给学生探索、体验、思考、整合，在尽可能短的时间内让学生体会双曲线的形成过程.

（4）微视频、自学报告单设计分析

2.1 微视频

将《双曲线的标准方程》这一节的教学内容做成PPT，回顾椭圆的定义、标准方程，用实验来获得双曲线的定义制作成微视频.

①温故知新

教师用PPT呈现如下三个问题：

问题1：椭圆的定义是什么？

问题2：椭圆的标准方程是什么？

问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？

要求学生将问题1、2的答案写在自学报告单上，并思考问题3.

【设计意图】通过复习回顾，既检测了学生对椭圆知识的掌握情况，同时又为下面双曲线的学习做好铺垫，导入新课.

②实验探究

师：数学家欧拉曾说过：“数学这门科学需要观察，也需要实验”.下面我们通过实验来研究问题3：

实验用品：大头钉 2 个，一条拉链，笔，剪刀

实验步骤：

1.取一条拉链，拉开一部分，将其中一支拉链剪短（保证了距离之差为定值）；

2.将拉链的两端固定在两个大头钉上；

3.笔尖P放在拉链的拉头处，并随着拉头移动.

实验一：慢慢将拉链拉开，笔尖在板上慢慢移动，看形成的图形，思考作图过程.

在图形的形成过程中，两个大头钉间的距离是变化还是不变的？

在画图形的过程中，笔尖与两个大头钉间距离大小有怎样的关系？

实验二：将两个长短拉链的固定位置互换，再慢慢将拉链拉开，笔尖在板上慢慢移动，看形成的图形，思考作图过程.

教师通过几何画板形象展示双曲线的形成过程，引导学生分析、归纳双曲线的定义.

我们可以归纳出双曲线定义应包含下列要素：

由于剪掉的拉链长度是固定的，所以点P到两个定点的距离的差的绝对值是个定值；

点P到两个定点的距离的差的绝对值要小于两个定点之间的距离.

③类比椭圆的定义，我??可以得到双曲线的定义：

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离2c叫做双曲线的焦距.

为了进一步帮助学生理解概念，把握平面内动点的轨迹、距离差的绝对值为常数 、常数要小于|F1F2|且不等于0等重要特征，教师设置两个问题：

问题1：类比椭圆，寻找双曲线定义中的关键字

问题2：若分别去掉这几个关键字曲线会发生怎样变化？

特殊情形：

若常数2a=0，轨迹为线段F1F2的垂直平分线；若常数2a>|F1F2|， 此时轨迹不存在；若常数2a=|F1F2|，此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线；若去掉绝对值，则表示双曲线的一支.

④自主练习

学习了椭圆的定义让我们来解决下面的问题：

问题1 到点F1（-4，0），F2（4，0）的距离的差的绝对值为6的动点P的轨迹

答：点P满足双曲线的定义，是双曲线.

问题2 到点F1（-4，0），F2（4，0）的距离的差为6的动点P的轨迹

答：点P的轨迹双曲线的一支

问题3 到点F1（-4，0），F2（4，0）的距离的差为8的动点P的轨迹

答：点P的轨迹为以F1或F2为端点的两条射线

问题4 到点F1（-4，0），F2（4，0）的距离的差为10的动点P的轨迹

答：点P的轨迹不存在.

⑤小结：

2.2 自学报告单

（6）教学过程

教师批改自学报告单，及时了解学生掌握知识的情况.进行二次备课，适当调整教学设计.

①开门见山 直入主题

师：同学们看微课了吗？今天我们要学习什么知识？――双曲线及其标准方程（板书）

师：双曲线的定义是什么？

生： 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离2c叫做双曲线的焦距.

②小组交流 辨析重点

小组内，互相批改自学报告单中的自主练习，互相辨析有不同答案的题目.

通过教师提问、小组交流的方式，教师能够了解学生对双曲线概念的掌握情况.

③小组汇报 落实重点

教师根据学生的小组学习情况开展学习活动，重点针对学生在微课学习中出现的问题，及时点拨，进一步深化?λ?曲线概念的理解.

④自主探究 合作交流

利用微课解决双曲线概念理解的难点后，接着进行标准方程的教学.

教师设置问题：

问题1 回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法；

问题2 类比椭圆试着推导双曲线的标准方程；

问题3 换元处理与椭圆有没有区别？

问题4 猜证双曲线焦点在y轴上的标准方程.

学生回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法：①建系；②设点；③列式；④化简

小组合作交流在教师的引导下，认真思考教师设置的问题，类比椭圆标准方程的推导，尝试完成双曲线标准方程的推导.

【设计意图】通过探究、合作推导出双曲线的两种标准方程，加深学生对类比思想的应用，提高学生的分析问题和解决问题的能力.

师：引导学生对双曲线方程的两种形式进行比较，强调双曲线方程的特点与判断焦点位置的方法

生：认真观察双曲线的两种标准方程，通过小组讨论、比较，归纳双曲线方程特点，以及如何判断焦点的位置

【设计意图】通过小组交流、合作探索，让学生各抒已见，畅所欲言，激发学生的学习兴趣，体验成功的快乐.

⑤双曲线的标准方程

焦点在x轴 标准方程：x2a2-y2b2=1

焦点在y轴 标准方程：y2a2-x2b2=1

注意：

双曲线方程特点：

① 方程中x2 ，y2的系数异号；②a>0，b>0，c2=a2+b2但a，b大小不确定.

判断焦点位置：

如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.

⑥例题精讲 简单应用

例1 已知双曲线的焦点 F1（-5，0）， F2（5，0），双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.

例2 已知双曲线的一个焦点坐标是（0，-6），经过A（-5，6），求双曲线的标准方程.

例3 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.

前两道例题由学生讲解，教师指导补充.教师引导学生对例3进行分析，详细讲解求解过程.

【设计意图】通过精讲例题，巩固所学，帮助学生掌握求双曲线标准方程的两种方法：定义法与待定系数法，以及双曲线方程的简单应用.

⑦归纳总结 思维提升

【设计意图】让学生自己来归纳总结，培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化.

⑧分层作业 巩固落实

【设计意图】布置作业，进一步巩固所学的知识.作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，满足不同学生的不同需要.

3 几点启示

本次微课给出的是双曲线的概念，是一次概念教学课.基于本次微课的教学，为进一步提高微课的教学质量，笔者得到以下几点启示：

（1）微课教学要合理选题，切题迅速

微课的特点主要体现在“微”，这个“微”字，一是指时间简短，二是指只是针对某一个知识点或某些例题.因此，并不是所有的课都适合微课教学，要合理选题；同时，内容选择上范围不宜过大.此外，微课教学中要处理好“微”还需做到切题要快，开门见山，切题迅速，选择与所讲内容紧密相关的知识，主题突出，这样才会有时间讲解重点内容.

（2）微课是一个完整的教学活动

微课是围绕数学课程中的某个知识点或某个教学环节开展的数学教学活动，一般是教学的重点、难点和疑点.俗话说：麻雀虽小，五脏俱全.微课虽然短小精悍，但它也有完整的教学过程，是完整的教学活动.每次微课都有其教学目标、教学重难点、引入、师生互动、相应练习、归纳总结等[3].

（3）微课的教学对象始终都是学生

虽然录制微视频时，没有学生在场，但是微课的教学对象还是学生，在视频中也要有师生的互动.因此，设计微课，最关键的是从学生的角度去设计，而不是从教师的角度去设计，体现以人为本，以学生为主体的教育教学理念[4].

（4）切实重视自学报告单的应用

第2篇：双曲线及其标准方程范文

一、对教材处理的建议

（一）明确解析几何的基本思想方法。

解析法（坐标法）；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的几何性质；强调解析几何解决问题数形结合的重要性；自始至终贯穿曲线与方程、方程与曲线的关系。

解析几何的基本思想方法是解析法（坐标法；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的几何问题。在《普通高中课程标准实验教科书•数学2》A版中首先建立直线、圆这两种平面上最简单的非封闭图形与封闭图形的方程，然后通过它们的方程，研究它们的几何性质。从大的范围看，“曲线与方程”“方程与曲线”的关系反映了空间形式与数量关系之间的关系，它用数及其运算为工具，在平面直角坐标系下，用代数方法研究几何问题，是数形结合的重要方面。

（二）抓住轨迹问题的本质――变化过程中的不变量，建立曲线的方程。

轨迹是由动点运动形成的曲线（或几何图形），其特点是，动点在运动变化过程中，始终有保持不变的量，由此我们建立轨迹的方程。通过轨迹的方程，判断轨迹的形状，研究轨迹的几何性质。

三种圆锥曲线的几何特征明显。在椭圆的学习过程中，我们从圆出发，给出“探究”栏目，通过把细绳的两端分开，让学生观察轨迹的形状，建立与已有知识的联系与区别。由画图的过程，探究形成轨迹的动点满足的几何条件，展现曲线的典型几何特征。在此基础上，给出具有这种典型几何特征的轨迹的正式名称――椭圆。通过观察椭圆的形状，引导学生建立适当的直角坐标系，用点的坐标表示距离，建立椭圆的标准方程。其他两种圆锥曲线：双曲线与抛物线，虽然它们的几何特征与椭圆不同，但其引入过程及标准方程的建立过程，都是与椭圆相类比展开的。

（三）注重实际背景和应用。

实际上，圆锥曲线与人类生活、生产及科研有着紧密的联系。本章引言说明三种圆锥曲线都是用不垂直与圆锥的轴的平面截圆锥面得到的。改变截面与圆锥轴的夹角，可以得到椭圆、双曲线、抛物线。这种引入，目的是使学生了解“圆锥曲线”名称的由来。另外在教材的正文中，还多次提到行星运行轨道、发电厂冷却塔的外形、抛物运动轨迹、探照灯的镜面，等等。

在教材的拓展栏目中，还安排了“探究与发现――为什么截口曲线是椭圆”；“阅读与思考――圆锥曲线的光学性质及其应用”。安排了大量的实例，注重实际背景和应用的目的是让学生感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的重要作用。

（四）重视信息技术工具的作用。

信息技术工具在解析几何的学习中有较大的支持作用，发挥的空间也比较大。在教材中，安排了很多“信息技术应用”的内容。

（1）利用信息技术工具向学生演示平面截圆锥的过程，通过改变截面与圆锥曲线的夹角，得出不同的圆锥曲线。信息技术工具的使用可以加深学生对圆锥曲线的直观认识。

（2）运用信息技术工具的“运动变化过程中保持几何关系不变”的特点，非常容易探索动点轨迹的形状。一方面，信息技术工具为我们创造了一个实验、发现、猜想的环境，在动态演示中，观察轨迹形成的原因、轨迹的形状，发现结论、形成猜想。另一方面，当我们求出轨迹的方程后，可以用信息技术工具帮助我们进行直观验证轨迹的形状，加深对方程所表示的曲线形状的理解。比如在教学中，对双曲线渐近线的研究是难点。从直观上看，双曲线的两支是向外无限延伸的，始终在渐近线形成的一组对顶角中，不会越过它的渐近线。教材通过“信息技术应用”栏目，让学生通过观察，发现双曲线的这一性质。正文中并没有给出严格证明，拓展性栏目“探究与发现――为什么y=±x是双曲线+=1的渐近线”给出了严格的证明，但不作为教学要求。渐近线的概念比较抽象，学生对它的理解需要一个过程。

二、值得注意的问题

（一）注意整个“解析几何”知识的前后衔接，准确把握教学要求。

必修《数学2》中的直线与方程、圆与方程，以及（文）选修1-1，（理）选修2-1中的圆锥曲线与方程，系列4中的“选修4-4坐标系与参数方程”一起构成了经典的平面解析几何内容的主干。要注意知识内容的衔接，把相关内容放在平面解析几何内容的通盘考虑，切实把握每部分的教学要求。特别注意的是新课程标准规定的教学要求中，椭圆的内容要求“理解”，双曲线的内容只作“了解”，抛物线的内容理科要求“理解”而文科要求“了解”。

准确地把握教学要求包括两个方面，第一是把握好新课标的精神，第二是把握好学生的实际。根据新课标的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目前由于考试的影响，这一部分教学的要求比较高，题目的难度很大。如何控制教学要求是个难点。高中的教学时间有限，全体学生都必须掌握的重点课程应以最基础的知识和最基本的技能为主，要使学生切实把基础打好，不要过分重视技巧性很强的难题。从学生的学习规律来说，训练不能一次完成，要循序渐进，打好基础才能有较大的发展余地，急于求成是不可取的；学生的基础、兴趣、志向是不同的，要根据学生的实际提出恰当的教学要求，这样学生才有学习的积极性，才能使学生达到预定的教学要求。

（二）圆锥曲线的第二定义、圆锥曲线的统一定义，以及非标准形式的圆锥曲线方程不作教学要求。

教学中，老师经常说到圆锥曲线的“第二定义”、圆锥曲线的离心率与统一方程，尽管是非常经典的内容，但不作为基本的教学要求。考虑到它们的意义，椭圆、双曲线的“第二定义”在教材的相关部分的例题有所体现，但没有明确给出它们的“第二定义”。在拓展性栏目“信息技术应用――用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆”和“信息技术应用――用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线”虽然给出了上述两种圆锥曲线的“第二定义”，但是不作要求。

第3篇：双曲线及其标准方程范文

1．　考纲解读：

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素（两个点、一点和方向）．

（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．

（3）根据斜率判定两条直线平行或垂直，根据两条直线平行或垂直的位置关系求直线方程中参数的值．

（4）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）的特点和适用范围；根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；体会斜截式与一次函数的关系．

（5）了解二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．

（6）探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式；会求两条平行直线间的距离．

2．　考场对接：

通过2012年的考点统计可以看出，在高考题中，本节内容主要以选择题、填空题为主要题型，考查两直线的位置关系，属于基础题，难度不大．对直线与方程的考查，还渗透在平面解析几何的解答题中，与其他知识（圆与圆锥曲线）结合出题．

3．　经典例题：

（2012浙江）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）

A．　充分不必要条件

B．　必要不充分条件

C．　充分必要条件

D．　既不充分也不必要条件

失分警示 本题属于基础题，解题时注意判断充分必要条件的步骤，即先验证充分性，再验证必要性，最后综合起来下结论．　在表述的时候要弄清顺序关系，以防发生概念错误．

方法突破 在研究充分和必要条件时，可先求一者的等价条件，再和另一者作比较．

完美答案 当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有■=■，解得a＝1或a＝-2．　故选A．

4．　命题趋势：

直线的方程、两直线的位置关系、距离问题一直是高考考查的热点问题，单纯考查直线的知识一般在选择题、填空题中出现；直线和其他知识的交汇问题一般出现在解答题中，有一定的难度．

1．　考纲解读：

（1）回顾确定圆的几何要素（圆心、半径，不在同一直线上的三个点等），在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；根据问题的条件，选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的一般方程和标准方程之间的关系，会进行互化．

（2）根据给定直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）；根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）．

（3）用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

（4）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“数”与“形”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用．

（5）通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；掌握空间两点间的距离公式及其应用．

2．　考场对接：

圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的重点，在2012年高考试题中，主要在选择题、填空题中考查直线与圆、圆与圆的位置关系，尤其是含参数的问题，考题基本上属于中低档难度的题．

3．　经典例题：

（2012天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y－2=0与圆（x－1）2+（y－1）2=1相切，则m+n的取值范围为（ ）

失分警示 本题属于中档题，考查直线与圆的位置关系，不等式的性质.　注意不要忽略了m，n∈R这个条件，在运用基本不等式时注意其成立的条件，求取值范围时注意不要扩大或缩小范围．

方法突破 由直线与圆相切的条件可以得到一个关于m，n的等式，观察等式的性质，利用基本不等式的形式消除差异，化为关于m+n的不等式，解出其取值范围即可．

完美答案 因为直线（m+1）x+（n+1）y－2=0与圆（x－1）2+（y－1）2=1相切，所以■=1，化简得mn=m+n+1.　又当m，n∈R有不等式mn≤■■成立，所以mn=m+n+1≤■，即（m+n）2－4（m+n）－4≥0，解得m+n≤2－2■或m+n≥2+2■.　故选D．

■ （2012江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2－8x+15=0，若直线y=kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_________．

失分警示 本题属于中档偏难题，解答本题时不要被题中的表面意思所迷惑，要透过现象看本质，认真审清题意，将题意中的关系进行合理的转化．

方法突破 数形结合理解题意，将两圆的位置关系化为圆C的圆心到直线y=kx－2的距离的取值范围问题去处理．

完美答案 圆C的方程可化为（x－4）2+y2=1，若直线y=kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则圆C上的点到直线上的点的距离的最小值小于或等于1，则圆心C（4，0）到直线y=kx－2的距离小于等或等于2.　所以■≤2，解得0≤k≤■，故k的最大值是■．

4．　命题趋势：

预计2013年高考仍将在选择题、填空题中考查圆方程的求解，直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，特别是含参数的位置关系问题仍将是考查的重点和热点．　而在解答题中，则有可能考查以圆为背景的综合试题，特别是圆与圆锥曲线的整合问题．

1．　考纲解读：

（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

（2）掌握椭圆的定义和几何图形及标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．

2．　考场对接：

纵观2012年高考数学试题可以看出，选择题、填空题主要考查椭圆的定义、标准方程和几何性质的理解与应用，椭圆的离心率等相关知识，难度中等；解答题主要考查椭圆的标准方程、几何性质的应用，特别地，直线与椭圆的位置关系问题是考查的热点问题，且有一定的难度．

3．　经典例题：

失分警示 结合图形，审清题意，注意三角形哪个角是底角，细心运算，避免发生运算失误．

方法突破 求解圆锥曲线的离心率（或其范围）的关键是根据已知条件寻求一个关于a，b，c的等式（或不等）关系，再结合a，b，c的固有关系消去b，最后得到a，c的等式（或不等）关系，从而求得离心率（或其范围）．

4．　命题趋势：

椭圆是命题的热点内容，预计2013年的高考仍将在选择题、填空题中考查椭圆的标准方程、离心率的求解等知识，难度中等；将在解答题中重点考查直线与椭圆的位置关系问题，可能还会出现一些创新题型，如新定义题型、探索性问题、定点定值问题等，此类问题难度较大．同时，会加强椭圆与圆，椭圆与双曲线，椭圆与抛物线等知识的交汇问题的考查力度．

1．　考纲解读：

了解双曲线的定义、图形和标准方程，会求双曲线的标准方程；会用双曲线的标准方程处理一些简单的实际问题；了解双曲线的简单几何性质．

2．　考场对接：

分析2012年高考试题可以看出，双曲线的考题基本上以选择题、填空题为主，主要考查双曲线的定义、方程和简单几何性质的应用，且出现了双曲线和圆、椭圆、抛物线等的整合问题，总体难度中等．

3．　经典例题：

（2012浙江）如图1，F1，F2分别是双曲线C：■－■=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．　若MF2＝F1F2，则C的离心率是（ ）

失分警示 本题的解题思路并不难得出，但运算量较大，在认真审题的前提下避免发生运算错误，同时注意双曲线的离心率的取值范围，谨防增根．

方法突破 本题考查双曲线的几何性质的应用，离心率的求解，突破的关键是正确求出P，Q两点的坐标（用a，b，c表示），再求出PQ的垂直平分线的方程，进而用a，b，c表示出M的坐标，由MF2＝F1F2列出等式，最终化为a，c的关系．

4．　命题趋势：

预计2013年高考仍将在选择题、填空题中考查双曲线的标准方程的求法、定义和几何性质的应用，其中离心率的求解和渐近线问题是考查的热点．　此外，仍会加强将双曲线和其他知识（如圆、椭圆、抛物线）进行交汇出题，题目难度中等偏低．

1．　考纲解读：

（1）掌握抛物线的定义、图形和标准方程，会求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单性质，会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．

（2）了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；了解求曲线方程的一般步骤，能求一些简单曲线的方程；掌握求直线和圆锥曲线的交点坐标的方法；进一步体会数形结合思想．

2．　考场对接：

透过2012年高考数学试题可以看出，抛物线是考查的热点问题，考题既在选择题、填空题中出现，也在解答题中出现．选择题、填空题重点考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的定义和性质的应用，以及抛物线在实际问题中的应用，同时还出现了抛物线与双曲线的交汇问题，难度中等．　解答题重点考查直线与抛物线的位置关系，抛物线与其他知识（如圆、不等式等）的整合问题，且出现了探索性问题，难度较大．而曲线与方程的考查则渗透在以上各大知识板块之中．

3．　经典例题：

（2012安徽）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若AF=3，则AOB的面积为（ ）

失分警示 本题属于中档题，有一定的思维量，认真审题，找准关系，运算准确，避免发生思维受阻和运算错误．

方法突破 显然AB是抛物线的焦点弦，且已知AF=3，若结合抛物线的定义，则可以求点A的坐标，从而直线AB的方程便可以得到解决，具体见如下的解法一．　本题也可以设角度（见如下的解法二），通过三角关系来表示线段的长度，从而求出三角形的两边及其夹角的正弦值，再求面积．

（1）求抛物线C的方程；

（2）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点M的横坐标为■，直线l：y=kx+■与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当■≤k≤2时，AB2+DE2的最小值．

失分警示 本题难度较大，综合性强，涉及的知识点多，属于直线、圆和抛物线的综合问题，解答时要注意数形结合思想的使用，审清题意.　解答第（1）小题难度不算大，但第（2）小题是一个探索性问题，有较大的运算量，需要扎实的运算功底，第（3）小题将直线、圆和圆锥曲线综合起来，难度较大，需要较强的分析问题和解决问题的能力．

方法突破 第（1）小题结合抛物线的定义以及圆的相关性质可以列出一个关于p的方程，求解即可；第（2）小题可先假设存在点M，利用抛物线的切线斜率和直线MQ的斜率相等列等式求解；第（3）小题的解题目标是将AB2+DE2表示为关于k的函数，从而化为求函数的最值问题去处理，但求两线段的长度需要用到直线与圆锥曲线相交弦长公式AB=■，以及直线与圆的相交弦长公式DE=2■等．

完美答案 （1）x2=2y．

第4篇：双曲线及其标准方程范文

【关键词】数学；定义；定理；公式 问题；条件；教学

2013年4月，在高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》（人教版）的教学中，当我讲椭圆、双曲线、抛物线的定义时，我都会遇到同样的一个问题，而且是学生每每质询的一个问题，那就是：“老师，定义中括号里的条件该怎么解释？”

数学定义、定理、公式或问题中都或多或少涉及到条件的限制，做好数学知识的“条件”教学，对于学生透彻地理解数学理论、全面地解决数学问题都非常有帮助，现在已经完成了高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》的教学，我觉得有必要把我在《圆锥曲线》定义教学中，关于定义中条件的教学片段梳理一下。

《圆锥曲线》“条件”教学片段一：椭圆定义中的条件限制

讲到2.2.1节《椭圆及其标准方程》时，椭圆的定义（课本第38页）是：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

学生问：老师，为什么定义中括号里要加一个条件“大于”）呢？

教师答：因为如果去掉这个条件，则定义所表示的图形将不一定是椭圆。

学生问：为什么？

教师答：这个问题可以从三个角度理解：

①如果条件是“大于”，则定义叙述的内容表示椭圆，这毫无疑问，正如我们用小绳子按住两头所演示的一样。

②如果条件是“等于”，则定义叙述的内容表示线段。（我在黑板上划线段，并取其上一点P，并演示，学生点头表示理解）。

③如果条件是“小于”，则定义叙述的内容不表示任何图形，即动点轨迹不存在。（我在黑板上演示，显然不能产生任何图形）。

进一步，我用三个小问题进行巩固：

问题：试判断以下情况动点的轨迹：

（1）到两定点的距离之和大于14的点的轨迹是什么？

（2）到两定点的距离之和等于14的点的轨迹是什么？

（3）到两定点的距离之和小于14的点的轨迹是什么？

学生很快就可以得出结论。

《圆锥曲线》“条件”教学片段二：双曲线定义中的条件限制

很有戏剧性，讲到2.3.1节《双曲线及其标准方程》时，其境遇竟然和讲椭圆的定义时，惊人的相似。

双曲线的定义（课本第52页）是：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线。

学生问：老师，为什么定义中括号里要加一个条件“小于”呢？

教师答：因为如果去掉这个条件，则定义所表示的图形将不一定是双曲线。

学生问：为什么？

教师答：这个问题可以从三个角度理解：

①如果条件是“小于”，则定义叙述的内容表示双曲线，这毫无疑问，正如我们用拉链按住两头所演示的一样。

②如果条件是“等于”，则定义叙述的内容表示以为端点的两条射线（包含端点）。（我在黑板上划出直线，并在点两侧各取两点P、Q，并演示，指出动点的轨迹是射线，学生点头表示赞同）。

③如果条件是“大于”，则定义叙述的内容不表示任何图形，即动点轨迹不存在。（我在黑板上演示，显然不能产生任何图形）。

同样，我给出三个小问题加以辨别：

问题：试判断以下情况动点的轨迹：

（1）动点P到两定点的距离之差的绝对值小于14的点的轨迹是什么？

（2）动点P到两定点的距离之差的绝对值等于14的点的轨迹是什么？

（3）动点P到两定点的距离之差的绝对值大于14的点的轨迹是什么？

学生也可以很快得出结论。

然后，我又给出两个问题：

条件改为，动点的轨迹又会怎样呢？

若条件改为，动点的轨迹又会怎样呢？

学生结合双曲线的图形，很容易判断是：双曲线的左支和右支。

《圆锥曲线》“条件”教学片段三：抛物线定义中的条件限制

讲到2.4.1节《抛物线及其标准方程》一课时，同样遇到了“条件”问题。

抛物线的定义（课本第65页）是：平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫抛物线。

在用直尺、三角板、细绳等演示了抛物线形成过程之后，学生又不禁要对“条件”发问了。

学生问：老师，为什么定义中括号里要加一个条件“（不经过点F）”呢？

教师答：如果去掉“（不经过点F）”这个条件，则定义所表示的图形将不一定是抛物线。

学生问：为什么？

教师答：这个问题可以从两个角度理解：

①如果条件是“（不经过点F）”，则定义叙述的内容表示抛物线，这正如我们直尺、三角板、细绳等所演示的一样。

②如果没有“（不经过点F）”条件限制，则当经过点F时，点的轨迹是过定点F，且垂直于直线的一条直线，定义叙述的内容表示的图形是一条直线而非抛物线。（然后我在黑板上画图演示，学生恍然大悟，看来学习知识必须要细致！）

然后，我又出了两道题加以巩固。

（1）平面内到定点F的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是（ ）

A.抛物线 B.直线

C.抛物线或直线 D.不存在

（2）求过点F（1，0）且与直线：x+y-1=0的距离相等的点的轨迹。

第5篇：双曲线及其标准方程范文

关键词：圆锥曲线；统一性；定义；性质

椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们都是可以由平面截圆锥面得到的截线，故而将这三种曲线统称为圆锥曲线；通过直角坐标系，圆锥曲线又与二次方程对应，所以圆锥曲线又叫做二次曲线.圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的现实生活中也存在着许许多多的圆锥曲线，它们有着非常广泛的实际应用，因此有必要深入了解圆锥曲线各种性质.本文将追寻前辈们的探索足迹，从锥面截线、轨迹观点、圆心运动、方程形式、曲线性质等五个方面对圆锥曲线的统一性进行归纳，希望有助于大家更全面地认识圆锥曲线.

我们来重新回顾一下圆锥曲线产生和发展的主要探索历程：早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了，古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线.阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”.对于圆锥曲线，他们当初的主要兴趣在于用它来帮助解决古代的三大作图问题――化圆为方、倍立方和三等分角问题.直到16世纪，有两件事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究，一是德国天文学家开普勒（Kepler，1571～1630）继承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实，二是意大利物理学家伽利略（Galileo，1564～1642）得出物体斜抛运动的轨道是抛物线.人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动的普遍形式.17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述，他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆，这为圆锥曲线现代的统一定义提供了一个合乎逻辑的直观基础.而当法国另外两位数学家笛卡儿和费马创立了解析几何，人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，对圆锥曲线的研究方法朝着解析法的方向发展，即通过建立坐标系，得到圆锥曲线的方程，进而利用方程来研究圆锥曲线，以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标，也可求得对圆锥曲线研究高度的概括和统一.到18世纪，人们广泛地探讨了解析几何，除直角坐标系之外又建立极坐标系，并能把这两种坐标系相互转换.1745年，欧拉发表了《分析引论》，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作，在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，从一般二次方程出发，圆锥曲线的各种情形经过适当的坐标变换，总可以化为标准形式.继欧拉之后，三维解析几何也蓬勃地发展起来，由圆锥曲线导出了许多重要的曲面诸如球面、椭球面、单叶和双叶双曲面以及各种抛物面等.

一、锥面截线的统一

现在我们都知道，用一个平面去截一个双圆锥面，会得到圆、椭圆、抛物线、双曲线.

如果用一个不过圆锥顶点的平面去截圆锥的侧面，设圆锥的半顶角为α，圆锥的轴与平面所成的角为θ；当θ= ，交线是圆；当α

如果平面与圆锥侧面只交于一点（如下图a），当θ=α时，平面与圆锥侧面相切于一条母线（如下图b）；当θ

二、轨迹观点的统一

从点的集合或轨迹的观点看，到一个定点F的距离和到一条定直线L的距离之比是一个常数e的点的轨迹叫做做圆锥曲线.这个定点F叫做焦点，这条定直线L叫做准线，常数e叫做离心率.当0

这一结论在天体物理方面是有具体应用的：当人造卫星的初速度等于第二宇宙速度时，卫星的轨道是抛物线；当人造卫星的初速度小于第二宇宙速度时，轨道变成椭圆；当人造卫星的初速度大于第二宇宙速度时，轨道就成了双曲线的一支.

三、圆心运动的统一

两条互相垂直的直线L与L1，垂足为K，定点O与动点O1在直线L1上，以O1为圆心以O1K为半径做圆O1（如右图）.

（1）如果动点即圆心O1在定点O的右边，点A在圆O1上运动，定点O与点A连线的垂直平分线与连线O1A交点M的运动轨迹就是以点O、O1为焦点的椭圆C1.

（2）如果动点即圆心O1从定点O右边沿着直线L1向左移动与O重合，这时椭圆就变成了圆.

（3）如果动点即圆心O1沿着直线L1向右移动到无穷远处，这时圆O1就是直线L，当点A在直线L上运动，定点O与点A连线的垂直平分线与连线O1A交点M的运动轨迹就是以点O为焦点，以L为准线的抛物线C2.

（4）如果动点即圆心O1沿着直线L1从左边回来，点A在圆O1上运动，定点O与点A连线的垂直平分线与连线O1A交点M的运动轨迹就是以点O、O1为焦点的双曲线C3.

（5）如果动点即圆心O1从左边沿着直线L1向右移动到与O重合，这时双曲线退化为两条相交的直线.

简而言之，椭圆有两个焦点O、O1（假定点O1在点O右边），若O固定，考虑O1的移动，当O1向左移动，椭圆逐渐趋向于圆，O1与O重合时即为圆；当O1向右移动，椭圆逐渐趋向于抛物线，O1到无穷远处时即为抛物线；当O1从无穷远处由左边回到圆锥曲线的轴上来，即为双曲线；当O1继续向右移动，O1又与O重合时即为两相交直线，亦即退化的圆锥曲线.我们看到了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线，都可以从其中一个连续地变为另一个，只需考虑焦点的各种移动方式.此外也可以说抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆.

四、方程形式的统一

1.在平面直角坐标系中，圆锥曲线都可以用二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（B≠0，A2+C2≠0）来表示，①当B2-AC0时，它表示双曲线.代数式B2-AC值的变化超过某一界限会引起曲线类型的改变，而这些曲线在代数上的区别只在于方程系数B2-AC的正负号.

另外，圆锥曲线还可以表示为：（1-e2）x2+y2-2px+p2=0.这是以定直线L为y轴，并且使x轴通过焦点F，得到的圆锥曲线的轨迹方程，其中p是定点F到定直线L的距离，e是离心率.

2.在极坐标系中，圆锥曲线也有统一的方程：当0

五、曲线性质的统一

由于圆锥曲线定义上的统一，必然会有其性质上的统一，即具有相似的性质.以下就其中的一部分作些初步的探讨.

性质一：（1）椭圆与双曲线上任一点M的两条焦半径MO、MO1与通过M点的切线夹相等的角度.

（2）抛物线上任一点M的焦半径MO、MO1（过M平行于轴的射线）与抛物线在M点的切线夹相等的角度.

据此易知，圆锥曲线具有如下的光学性质.

椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线或声波在经过椭圆周上反射后，反射都经过椭圆的另一个焦点.

双曲线的光学性质：如果光源或声源放在双曲线的一个焦点O处，光线或声波射到双曲线靠近O的一支上，经过反射以后，就好像从另一个焦点O1处射出来一样.

抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.

显然，由圆心运动的统一定义直接可以得出性质一的结论.下面再采用解析方法，以椭圆为例给出证明.

性质二：已知切点（x0，y0），圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0的切线方程统一的形式为

参考文献：

[1]王树禾.数学百家.北京：国防工业出版社，2005-04.

[2]张楚廷.数学文化.北京：高等教育出版社，2000-07.

[3]蔡静.圆锥曲线的光学性质及其运用.福建中学数学，2007（03）.

[4]陈靖航.圆锥曲线一个性质的完善及推广.福建中学数学，2007（01）.

第6篇：双曲线及其标准方程范文

一、考试要求：

1.直线与方程

①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。

④掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。

⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。

⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

2.圆与方程

①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。

②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系。

③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

④初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

3.圆锥曲线与方程

①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。

③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。

④理解数形结合的思想。

⑤了解圆锥曲线的简单应用。

二、试题分析

1 近三年考点分布统计

2.考题特点

解析几何试题一般设计两道小题、一道解答题，通常占20分以上，考查的知识点约为20个左右。新课标遵循螺旋式上升到原则，将解析几何的内容分为解析几何初步与圆锥曲线两部分，分别安排在必修模块和选修模块中。近三年对必修模块的考查一般以选择、填空题形式出现；选修模块中的圆锥曲线部分设计了一个选择题和一道综合题，选择题主要考查圆锥曲线的几何性质，解答题一般在21题或22题的位置，解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识、函数的思想方法和向量的基本方法，这一点值得强化。具体来说，解析几何试题有以下特点和命题规律。

2.1立足基础知识

高中数学解析几何包括直线与圆的方程、圆锥曲线定义、圆锥曲线的标准方程与几何性质等基本内容，在历年的高考题中，都会有一道直接考查这些内容的基础知识的容易题。如2011年理科第8题，直接考查双曲线几何性质、直线与圆相切；2012年10题，考查了双曲线渐近线、直线与椭圆相交；2013年理科第9题考查直线与圆的位置关系。

“科学、公正、安全、规范”是高考命题的基本要求，高考试题则必然立足于对基础知识、基本技能、基本思想方法的考查。

2.2注重综合联系

解析几何可以将函数、数列、三角函数、不等式、向量等数学知识融为一体，近几年的解析几何考题既体现了知识的纵向联系，又注重了与上述知识的横向联系，成为考查学生综合能力的绝佳素材。如2011年8题，分别考查了圆与双曲线的性质。圆是圆锥曲线的特例，圆的方程是二次曲线方程的特例。课程标准单独列出“圆及其方程”，是基于学生在初中已经学习了圆的基本性质，更容易体会坐标法与综合法的异同，体会坐标法的本质。将圆与双曲线的性质同时考查，则有利于知识点衔接，体现解析几何知识的纵向联系。

2012年21题，把抛物线与直线方程、导数及函数最值问题融合在一起，既体现了知识的横向联系，又使学生加深了对解析几何思想的理解。

2.3突出通性通法

从解析几何综合题来看，在注重考查数学基础知识、基本技能、数学思想方法与数学能力的同时，更加突出解析几何的本质特征，注重考查通性通法。即在数形结合的思想指导下，以坐标法为核心，用代数方法研究几何图形的位置关系和性质。

三、复习建议

（1）夯实基础知识， 构建知识网络

近几年高考中， 试题遵循 稳字当头， 稳中有变， 变中求新 方针， 重视基础知识和基本技能的考查. 试题源于课本， 高于课本. 复习时， 应重视教材的基础作用， 以课本知识为出发点和落脚点， 以不变应万变 ， 同时强化对知识的梳理， 优化知识结构、构建知识网络.

（2）注重通解通法， 淡化特殊技巧

高考中这部分试题是通过对常见题型进行改编， 通过对基础知识的整合、变式和拓展， 从而加工为立意高、情境新、设问巧的解析几何问题， 坚持新题不难， 难题不怪的命题方向. 这要求学生掌握基础知识、基本概念、基本技能和基本数学思想的应用，通过对课本上重点例题和习题的变通， 积累一些常规基本问题的解法，反复体会其中的思维轨迹， 把解题方法提高到数学思想的高度， 提高综合能力.

（3）强化数学思想， 提高运算能力

解析几何对思维能力考查要求较高， 解答题背景新颖、综合性强， 代数推理能力要求高， 因此在引导学生纵向深入、横向联系的同时， 注重强化数学思想方法， 特别是函数方程、等价转化、分类讨论、数形结合等； 思维固然重要， 但是繁杂、冗长的计算也是必不可少的， 提高学生的运算能力， 绝对要让学生避免一看就会， 一算就错 的毛病.

（4）重视新增知识， 关注知识交汇

第7篇：双曲线及其标准方程范文

高考二轮数学考点突破复习：解析几何

解析几何是高考的必考内容，它包括直线、圆、圆锥曲线和圆锥曲线综合应用等内容.高考常设置三个客观题和一个解答题，对解析几何知识和数学思想方法的应用进行考查，其分值约为27分，约占总分的16%.近年高考解析几何试题的考查特点，一是设置客观题，考查直线、两直线位置关系、点线距离、圆有关的概念、性质及其简单应用;考查圆锥曲线即椭圆、双曲线、抛物线的概念、性质及其简单应用等基础知识;二是以直线与圆位置关系、直线与圆锥曲线位置关系为载体，在代数、三角函数、向量等知识的交汇处设置解答题，考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质的应用，考查解决轨迹、不等式、参数范围、探索型等综合问题的思想方法，并且注重测试逻辑推理能力.

1.2011年高考试题预测纵观近年高考解析几何试题的课程特点和高考命题的发展趋势，下列内容仍是今后高考的重点内容.

(1)直线斜率的概念及其计算，直线方程的五种形式;两条直线平行与垂直的条件及其判断，两条直线所成的角和点到直线的距离公式;线性规划的意义及其简单应用.

(2)圆的标准方程、一般方程、参数方程的概念、性质及其应用.

(3)椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质和椭圆的参数方程.

(4)圆锥曲线的初步应用，即以直线与圆锥曲线位置关系为载体，考查轨迹问题，圆锥曲线与平面向量、不等式、参数范围、探索型等综合问题.

(5)函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想在解析几何中的应用.

高考二轮数学考点突破复习：概率与统计

1.高考对两个原理的考查主要集中在排列、组合及其综合题方面，题目灵活多样.

2.二项式定理重点考查二项展开式中的指定项及二项式的展开式系数问题.

3.概率统计内容是中学数学的重要知识，与高等数学联系非常密切，是进一步学习高等数学的基础，也是高考数学命题的热点内容，纵观全国及各自主命题省市近几年的高考试题，概率与统计知识在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值在17分到20分之间.主要考查以下三点：

(1)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题;

(2)理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率;

(3)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些相应的实际问题.

1.2011年高考试题预测

(1)高考对两个原理及二项式定理的考查.以基础题为主，考查形式比较稳定.

①从内容上看，主要考查分类计数原理和分步计数原理，排列、组合的概念及简单应用.例如2010全国Ⅰ，6;2010山东，8.

②从考查形式上看，多为选择题和填空题.例如2010北京，4;2010浙江，17.

③从能力要求上看，主要考查学生理解问题的能力、分析和解决问题的能力及分类讨论的思想.例如2010江西，14;2010上海，14.

第8篇：双曲线及其标准方程范文

最近,笔者仔细查阅了前几年在教学“抛物线及其标准方程”一课时的教案。整个教学过程是:

1.教师由问题“平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)的距离相等的点的轨迹是什么”来导入本节课;

2.教师拿教具给学生作演示并得出结论:符合题意的点的轨迹是抛物线;

3.告诉学生如何推导出抛物线的标准方程,并在大屏幕上显示出推导过程;讲解定义、标准方程及相关注意事项;

4.教师讲解课本上的例题,学生做练习。

反思这节课,明显存在这样几个缺点:①在教学过程中,以教师的教为主体,教师讲、学生练,学生围着教师转,学生失去了自主性和主动性;②让学生死记数学公式,机械地模仿教科书上解决问题的方法,忽视了师生之间、生生之间应有的合作学习与情感交流,丧失了学习过程中的情感性和发展性。姑且不谈这节课是如何令人感到拖沓冗长,就训练学生思维能力而言,笔者认识到这节课很有可能是无效的。同时,在课堂提问中,笔者提出的问题大多是陈述性问题,并让学生围绕某一知识点进行大量的练习,缺少对开放性创新题型的设置。

二、对“抛物线及其标准方程”一课的改进

1.精心设置课前导入环节

笔者预想了两个方案:方案一,鉴于学生已经学习过关于椭圆、双曲线的标准方程及相关性质,因而可以采用直接导入本节课的主要内容“抛物线及其标准方程”的方法。方案二,从椭圆和双曲线的第二定义入手,即归结为平面内动点到定点和定直线的距离之比问题(比值的范围不同,所得到的曲线就不同。当比值在0到1之间,动点的轨迹是椭圆;比值大于1,动点轨迹是双曲线)。这时可以提出问题:这些比值的范围还应有哪些?即它们的补集是什么?从而得出研究对象:比值等于1时动点的轨迹问题。这样就将本节课要研究的问题很自然地引出来了:平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是什么?

经过对这两种方案的研究比较,笔者决定采用第二种方案来导入新课。因为这样的设计,可以在向学生灌输类比的数学思想的同时,也加强了知识的前后联系,向学生展示了数学知识的系统性和完备性。并且,在得出抛物线的定义后,也可以让同学对生活中的抛物线图形进行深入思考,阐述数学既来源于生活、亦可解释生活的理念。

导入后,在有趣的教具的辅助下进一步拓展学生的视野,使数学知识的发生及形成更为自然,更能贴近学生的认知特征。

2.在教学过程中培养学生自主探究的能力

对于抛物线的标准方程的推导,笔者采取先由教师点拨(设点F到直线l的距离为p[p>0]),再由学生自己合理建立直角坐标系、讨论整理出抛物线的标准方程的方法。由于学生建系方法不同(或将定直线当做y轴,或将定点当原点,亦或按照标准方程的建系方法,甚或将定点和定直线斜放于坐标系内),得到的方程式必然不同。教师要在肯定学生的研究成果的同时,与学生一起选出最佳建系方法。这样做可以使每个学生都动起来,自己探究知识的发生、发展过程,而不是由老师直接给出答案,更杜绝了让学生死记公式、机械模仿的授课现象。可以根据学生已有的知识水平(掌握了椭圆、双曲线的相关知识,可以根据椭圆、双曲线因焦点位置的不同而得出两种标准方程),让他们对椭圆、双曲线和类比抛物线进行对比,得出抛物线因焦点位置的不同也可以有不同的标准方程的结论,即加入抛物线标准方程的其他三种表达形式。

除了使用课本上的例题和练习以外,笔者还设计了这样一组题:

1.平面上一动点M到点F(1,0)的距离与它到直线x=-1的距离相等,求M点的轨迹方程。

2.平面上一动点M到点F(1,0)的距离比它到直线x=-2的距离小1,求M点的轨迹方程。

3.平面上一动点M到点F(1,0)的距离与它到直线x-1=0的距离相等,求M点的轨迹方程。

让学生通过对这三道题的探究,明白抛物线的定义中最重要的一点就是:定点不在定直线上。

经过这样一番精心准备,实际的课堂效果非常好,学生们的表现相当积极,充分地展示了他们的聪明才智。

3.教学别注意了对不同层次的学生的关照

在完成如何建系求出抛物线的标准方程的教学过程中,笔者特别注意了对不同层次的学生的关照。为了使大多数学生能够在课堂上完成对教学内容的充分学习,笔者特意在小组活动后找了不同小组中的成绩中游或者中游偏下的学生到黑板前面为全班同学作讲解。

同学甲是以直线l为y轴,以过点F且与l垂直的直线为x轴建立直角坐标系,得到的方程为y2=2px-p2(p>0);同学乙是以过点F且与l垂直的直线为x轴,x轴与l相交于点K,以线段KF的中垂线为y轴建立直角坐标系,得到的方程为y2=2px(p>0);同学丙是以点F为坐标原点,以过点F且与l垂直的直线为x轴建系,得到的方程为y2=2px+p2(p>0)。

接着同学们开始点评,有的认为乙的方法好,因为乙最后得到的方程式简单;有的则评价乙没有从学生的思维角度来进行讲解,即只知道告诉大家如何做,而没有分析为什么这样做,对此,乙是这样解释的:“我们小组经过讨论后,知道不同的建系方法会得到不同的方程,所以我们在小组内又分成了三个小组,分别使用了以直线l为y轴、以KF的中垂线为y轴、以点F为坐标原点(x轴都相同)三种方法来建系,最后经过比较才得出这样的结论的。”原来如此!想不到他们的小组竟然想出了这种合作方式,这种创新的意识不正是我们的课堂教学所急需的吗?

三、对教学过程的再反思

本节课的优点:①在这堂课中,学生不但学会了基础知识,而且还体验了知识的推导过程,尝试了有条理地思考问题和解决问题的过程。②让学生到讲台上针对某些内容进行讲解,不仅使学生增强了自信心,并且使之在参与授课的体验中,进一步深入思考应该如何听课,即不能只为听答案而听课,而应该深究答案的渊源,应该学会分析问题。③通过小组合作学习,学生锻炼了自学能力,培养了团队意识,提高了人际交往能力,学会了如何关怀和帮助他人、评价他人,学会了承认他人的优点、容忍他人的缺点,虚心学习、听取意见。

本节课存在的问题:①在小组讨论时,有的学生对自己要进行的探究比较茫然,找不准思考问题的方向,对所要完成的任务也搞不清楚。这就需要教师在备课时创设有效的情境,把问题设计得恰到好处,让这些问题有助于引导学生理解知识的核心和问题的本质。②个别学习成绩不太好的学生在小组讨论时不敢发言、不敢表态,逐渐地远离了讨论的中心,显得很被动。为了使全体学生都能够在课堂学习中获得有效提高,教师必须要充分了解自己的学生,了解他们的性格、知识水平等多方面的信息,特别是对于成绩暂时处于下游的学生,要从他们的实际认知水平出发合理设计课堂教学内容、采取适当的教学方法,尽量避免无效的提问。同时,在他们不能顺利、正确地作出回答时,教师要热情地启发和鼓励他们,让他们保持积极的学习情绪,积极地参与进来,而不是让课堂变成学习成绩好的同学的“一言堂”,杜绝由老师替代思考转变为由好学生替代思考的现象。③做练习是数学教学的有机组成部分,是学生学好数学的必要条件。做练习可以帮助学生对知识进行正确的理解、释疑、深化及反馈,所以教师在教学中要注意在恰当的时间选择恰当的练习来帮助学生进一步巩固并提高所学知识;同时,要加强对解题的指导,对解题思想方法作必要的概括。而本节课中,学生做的练习以口算为主,笔答的时间少了些,这么做虽然关注了对学生的思维能力的培养,但忽视笔头上的练习,无法展示和了解学生在做题过程中发生的错误,更无法规范学生的做题步骤。这是需要再次改进的地方。④没有恰当地运用现代信息技术。若能在课件中动态地展示抛物线的开口方向、x与y的指数等,那么在对抛物线的其他标准方程进行讨论时,学生将会感到“柳暗花明又一村”。

第9篇：双曲线及其标准方程范文

关键词 发散思维 椭圆 双曲线 卡西尼卵形线

【分类号】G633.7

“同课异构”是指不同的教师面对相同的教材，根据自己学生的具体情况，结合自己对教材的理解设计出不同的教学方式。同课异构就是鼓励教师从不同途径，用不同方法，多方面、多渠道地探索新的教学模式，从而有意识地引导学生变更思考角度，变换思维方式来分析问题、解决问题，促使学生数学思维能力的提高和充分发挥。

1 案例背景

“椭圆及其标准方程”是平面解析几何的重要内容，是高考考查主要内容之一。教学目标是掌握椭圆的定义及其标准方程，为后续的椭圆的几何性质及应用的学习做好铺垫。教学重点是椭圆的定义和椭圆的标准方程，教学难点是椭圆标准方程的推导。

2 两种设计

案例1

（1）创设情境，提出问题。

教师向学生们展示了神州七号“嫦娥奔月”的相关图片，并让学生们列举日常生活中有关椭圆形的实物，比如：鸡蛋、橄榄球、油罐车、地球的轨道……等等，从而引出椭圆这一概念，从而设问：满足什么条件的点的轨迹是椭圆呢？

（2）构建模型，解决问题。

给出画椭圆的一种方法：取一条一定长的细绳，两端固定在画板上的两定点 上，当细绳长大于 的距离时，用笔尖拉直细绳在画板上缓慢移动，就可以画出椭圆图形（如图所示）。

（3）追踪成果，提出猜想。

引导学生认真观察、体验椭圆的画法，一起归纳、总结椭圆的定义：平面内与两个定点 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫作椭圆。

（4）深入细微，深化理解。

教师引导学生认真分析发现椭圆定义中容易遗漏的三个地方：①两个定点---两点间距离即 确定；②绳长--轨迹上任意一点到两定点距离和即 确定；③绳长大于两点间距离即 。其次引导学生思考：若在定义中缺少 时，点的轨迹还有意义吗？若有，代表什么图形？最后进一步引导学生思考发现：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（椭圆 线段）；两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（椭圆 圆）。由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关（为后续离心率相关概念的学习作铺垫）。

现在已经学习了椭圆的定义，那么椭圆有椭圆方程吗？若有，如何求出其方程？更进一步引导学生建立直角坐标系，求出椭圆方程。建系可能出现多种方法，例如：①以 为原点， 为 轴，过 垂直 的直线为 轴建系；②以 为 轴，线段 的中垂线为 轴建系，……。在这么多的建系方式中，哪一种比较好呢？请学生认真感受一下，大部分的学生感觉方法②比较好，能体现数学的对称美感。

（5）学以致用，拓展延伸。

练习1：已知椭圆的焦点为 ，且过点 ，求满足条件的椭圆标准方程。

练习2：已知椭圆过点 求满足条件的椭圆标准方程。

案例2

由实际例子引入椭圆的概念，教师提出问题：什么是椭圆呢？怎么定义？引导学生联想圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆，并画出圆的图形；再引导学生认识到：其实圆也可以看成：动点到定点的来回距离之和为常数的点的轨迹。接着教师设问：若把圆的这个定点一分为二，那么这样“来回”的距离之和等于常数的点的轨迹是什么？再构建画椭圆模型，在上述画圆的基础上做如下改变：将细绳的两端由原来都绑在同一钉子上，改为分别绑在两个钉子上，并拉开钉子使其有一定的距离，用笔尖拉直细绳在画板上缓慢移动，就可以画出椭圆图形，从而组织学生归纳、总结椭圆的定义。

得到椭圆定义后，案例2的教学设计基本上与案例1相同。

3 设计反思

本节课是一节概念课，完整的概念课教学包含以下几个内容：（1）问题背景引入；（2）具体例子的分析与综合；（3）概括概念的本质属性；（4）下定义；（5）概念的辨析；（6）用概念做判断与解Q问题。

案例1基本上涵盖了上述的几个步骤，各个步骤之间的过度比较自然，整个教学设计流畅合理，通过师生之间的良好互动充分调动了学生学习的积极性，是一节比较成功的概念课教学设计。

案例2与案例1相比，不同之处在于：通过圆这个定义的联想类比，创设良好的文化氛围，使得椭圆这个新知识是：在拥有肥沃的土壤（圆的概念）中自然的“生长”出来。从而使学生对椭圆定义的理解经历了由模糊到清楚、由零碎到完整，并逐步完美的融合到原有的知识体系中来。概念课的引入一般会从这三个方面入手，①实际应用的需要；②利用类比引入；③数学知识发展的本身需要。所以，案例1和案例2的引入是各有千秋。

但是，在受案例2椭圆定义的创造性引入方式及椭圆定义的启发，好学的学生可能会疑问：平面内与两个定点 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫作椭圆，那么距离之差的点的轨迹呢？距离之比呢？距离之积呢？在这种发散思维的触动下，笔者认为可以将此案例进一步改进为“椭圆、双曲线及卡西尼卵形线定义”的教学，进行一次有意义的探究实验。

4 案例改进

拓展1：平面内与两个定点 的距离之差为定值的点的轨迹是什么？

① 当 时，图象分为两支，随着 的减小而分别向 收缩；

② 当 时，图象成8形自相交叉，称为双纽线；

③ 当 时，图象是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰。

④ 当 时，与前种情况一样，但中部变平。

⑤ 当 时，曲线中部凸起。

卡西尼卵形线图象由此组成（如右图所示）。

所以，由上可得：平面内到两个定点 的距离之积为常数的所有点组成的图形称为卡西尼卵形线。

由上述案例的改进所给的启发知，在数学教学中，当学生具备了一定的数学能力后，教师一方面可以鼓励学生在此基础上进行大胆质疑、猜想，提出富有探索性的新问题，让学生凭借所学的知识与技能，善于发现、勇于探索，不断构建自己的数学思维，提高数学思维的应用能力；另一方面，教师在平常的教师实践中要有意识、有目的、有重点地向学生进行设问，制造“障碍”，从而引导学生突破自己的思维定势，培养思维的灵活性和广泛性。

参考文献

[1] 普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-1（理科） 湖南教育出版社 2005年8月第1版

[2] 马小平 椭圆及其标准方程教学设计 学周刊学术研究 2012年第11期