周期函数精选(九篇)

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第1篇：周期函数范文

一、周期函数的定义

对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,当x取定义域内每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的一个周期.

二、理解定义必须注意的问题

1.f(x+T)=f(x)必须使定义域内每一个值都成立.

如:对于函数y=sinx,当x=-π,0,π,2π,…等π的整数倍时,sin(x+π)=sinx都成立,能否说常数π是函数y=sinx的周期呢?显然不能,因为当x=π3时,sin(π3+π)≠sinπ3,可见常数π不能使定义域内每一个值f(x+π)=f(x)都成立.

2.式子f(x+T)=f(x)是自变量x加上非零常数T对应的函数值与x对应的函数值对于定义域内每一个x都成立.

如:对于函数y=sinx3,sin(x3+2π)=sinx3对于一切x∈R恒成立,所以该函数的周期为2π,这是错误的.正确的说法是sin(x3+2π)=sin[13(x+6π)]=sin13x,所以函数y=sinx3的周期为6π.

3.通常所说的函数周期是指其最小正周期,但并不是每个周期函数都有最小正周期.

如:常值函数f(x)=a(a为常数),任一个正数都是其周期,所以它没有最小的正周期.

三、常见的函数周期性的结论及证明

证明或求函数y=f(x)为周期函数,主要是根据周期函数的定义、性质及图像.

结论1若函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+a)=-f(x),则函数y=f(x)是周期为2a的周期函数.

证明: 对任意x∈R,都有f(x+a)=-f(x).

f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x).

因此,函数y=f(x)是周期为2a的周期函数.

点评:这是一个重要的基本结论,如果问题中有f(x+a)=-f(x)(x∈R)就可得出该函数是周期为2a的周期函数.

结论2若偶函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a(a≠0)对称,则函数y=f(x)是周期为2a的周期函数.

证明:函数y=f(x)的图像关于直线x=a(a≠0)对称,

f(x+2a)=f[a+(a+x)]=f[a-(x+a)]=f(-x)=f(x).

因此函数y=f(x)是周期为2a的周期函数.

点评:如果函数y=f(x)是偶函数且除x=0外还有对称轴x=a(a≠0),则该函数是周期为2a的周期函数.

结论3若奇函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a(a≠0)对称,那么函数y=f(x)是周期为4a的周期函数.

证明:函数y=f(x)的图像关于直线x=a(a≠0)对称,

f(x+4a)=f[a+(3a+x)]=f[a-(x+3a)]=f(-2a-x).

又函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,

f(-x)=-f(x).

f(-2a-x)=-f(2a+x)=-f[a+(a+x)]=-f[a-(a+x)]=-f(-x)=f(x).

因此函数y=f(x)是周期为4a的周期函数.

点评:如果函数y=f(x)是奇函数,并且函数的图像还有对称轴x=a(a≠0),那么该函数是周期为4a的周期函数.

结论4若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a与直线x=b(a

证明:函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a与直线x=b(a

f(2a-x)=f(x),f(2b-x)=f(x).

f[x+2(b-a)]=f[2b-(2a-x)]=f(2a-x)=f(x).

因此函数y=f(x)是周期为2b-2a(b>a)的周期函数.

点评:如果函数y=f(x)有两个对称轴,那么这个函数必为周期函数,且周期为两对称轴间距离的二倍.

结论5若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=a对称,且关于点A(b,0)(a

证明:函数y=f(x)的图像关于直线x=a(a≠0)对称,f(2a-x)=f(x).

函数y=f(x)(x∈R)的图像关于点A(b,0)(a

f(2b-x)=-f(x).

f[x+4(b-a)]=f[2b-(4a-2b-x)]=-f(4a-2b-x)=-f[2a-(2b-2a+x)]=-f(2b-2a+x)=-f[2b-(2a-x)]=f(2a-x)=f(x).

因此函数y=f(x)是周期为4(b-a)的周期函数.

点评:以上结论告诉我们,如果函数y=f(x)有一个对称轴和一个对称中心,那么这个函数是周期函数,周期为对称轴与对称中心相应横坐标差的绝对值的四倍.

结论6若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于点A(a,0)与B(b,0)(a

证明: 函数y=f(x)(x∈R)的图像关于点A(a,0)与B(b,0)(a

f(2a-x)=-f(x),f(2b-x)=-f(x),

f[x+2(b-a)]=f[2b-(2a-x)]=-f(2a-x)=f(x).

因此,函数y=f(x)是周期为2(b-a)的周期函数.

点评:由以上结论2～6可以归纳得出:“如果函数y=f(x)的图像有两条对称轴或有一条对称轴和一个对称中心或有两个对称中心,那么这个函数是周期函数.

结论7若函数y=f(x)(x∈R)恒有f(x+a)+f(x-a)=f(x)成立,则函数是周期为6a的周期函数.

证明:函数y=f(x)(x∈R)恒有f(x+a)+f(x-a)=f(x)成立,

可用x+a代换x,得f(x+2a)+f(x)=f(x+a) .

以上两式消去f(x+a),得f(x+2a)=-f(x-a) .

再用x+a代换x,得f(x+3a)=-f(x),

f(x+6a)=f[3a+(x+3a)]=-f(x+3a)=f(x).

因此,函数y=f(x)是周期为6a的周期函数.

点评:本结论证明两次用到了x+a代换x,这种方法在解决周期性问题时经常用到.

结论8对于函数y=f(x),若对任意x,存在非零常数t,使f(x+t)=1+f(x)1-f(x)都成立.则函数y=f(x)是周期为4t的周期函数.

证明:f(x+2t)=f(x+t+t)=1+f(x+t)1-f(x+t) =1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f(x),

f(x+4t)=f[(x+2t)+2t]=-1f(x+2t)=f(x).

所以,函数y=f(x)是周期为4t的周期函数.

点评:由f(x+t)=1+f(x)1-f(x)的结构,联想到tan(x+π4)=1+tanx1-tanx,而f(x)=tanx的周期是π4的4倍.由此可以猜想函数y=f(x)的周期为4t.

结论9 若函数y=f(x)对任意x∈R,都有f(x+a)=f(x+b),其中a≠b,则函数y=f(x)是以T=|a-b|为周期的函数.

证明: 函数y=f(x)对x∈R,都有f(x+a)=f(x+b),

用x-a代换x,得f(x)=f(x-a+a)=f(x-a+b)=f[x+(b-a)].

因此函数y=f(x)是周期T=|b-a|的周期函数.

点评:类比结论9还可以得到若函数y=f(x)对x∈R,都有f(x+a)=-f(x+b),其中a≠b,则函数y=f(x)是以T=2|a-b|为周期的函数.

四、典型例题

例1已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+3)=f(x+1),若x∈[-1,1]时,f(x)=|x|,则函数y=f(x)与y=log5x的图像交点个数是.

解析:由结论9可得函数y=f(x)的周期为2.在同一坐标系中

作出函数y=f(x)和y=log5x在[0,5]的图像,由图像可以直观得

到交点的个数为4个.

例2已知定义在(-∞,+∞)上的函数y=(x)的图像关于点(-34,0)对称,且满足f(x)=-f(x+32),f(-1)=1,f(0)=-2则f(1)+f(2)+…+f(2010)的值是.

解析:函数y=f(x)的图像关于点(-34,0)对称,

f(x)=-f(-x-32)

又 函数y=f(x)满足f(x)=-f(x+32),

f(-x-32)=f(x+32),

用x代换x+32得, f(-x)=f(x),且x∈(-∞,+∞),

函数y=f(x)是偶函数.

又由结论1,函数y=f(x)是T=3的周期函数.

第2篇：周期函数范文

出错的原因是他们把这题与另一个题混淆在一起了：如果f（1+x）=f（1-x），那么函数f（x）的图像关于直线x=1对称，f（1+x）=f（1-x），用语言叙述出来就是点Q（1+x，y）与Q’（1-x，y）同在y=f（x）的图像上，而且动点Q，Q’总关于直线x=1对称，所以y=f（x）的图像关于x=1对称。

把这两个问题比较一下，就会发现它们有两点明显区别：首先前者说的是两个函数图像之间的相互对称，后者说的是一个函数自身对称。其次，前者所说的函数都是复合函数，自变量是x，后者说的只是外函数f（x），其中1+x，1-x是自变量的两个不同取值。

现在我们更一般地讨论一下对称与周期问题：

如果f（a+x）=f（b-x），则函数f（x）的图像关于直线x=对称，这是因为关于直线x=对称的两点P（a+x，y）和P’（b-x，y）总同在（或同不在）y=f（x）的图象上，所以上述结论成立，偶函数是a=b=0时的特例。还需指出一个容易与之混淆的问题：如果f（x+a）=f（x+b）（a>b），则a-b是f（x）的一个正周期。事实上：f（x+a-b）=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x），所以命题成立，两个式子非常相似。x系数的绝对值都是1，其不同的是：x的系数异号时反映出的是对称性，同号时反映出的是周期性。

y=f（a+x）与y=f（b-x）的图象关于直线x=对称，这是因为：如果点P（x，y）在y=f（a+x）上，则y=f（a+x）=f[b-（b-a-x）]，说明与P点关于直线x=对称的点P’（b-a-x，y）必在y=f（b-x）的图象上。如果f（a+x）=-f（b-x），则函数发f（x）的图象关于点（，0）对称。y=f（a+x）与y=-f（b-x）的图象关于点（，0）对称。

同理可以证明：方程f（x，y）=0与f（x，2a-y）=0的图象关于直线y=a对称。若f（x，y）=f（x，2a-y），则f（x，y）=0的图象关于直线y=a对称。

方程f（x，y）=0与f（2a-x，2b-y）=0的图象关于点（a，b）对称。若f（x，y）=f（2a-x，2b-y），则方程f（x，y）=0的图象关于点（a，b）对称。

方程f（x，y）=0与方程f（a-y，a-x）=0的图象关于x+y=a对称。若f（x，y）=f（a-y，a-x），则方程f（x，y）=0的图象关于x+y=a对称。

方程f（x，y）=0与方程f（a+y，x-a）=0的图象关于x-y=a对称。若f（x，y）=f（a+y，x-a），则f（x，y）=0的图象关于直线小x-y=a对称。

下面再指出对称性和周期性的关系，给出以下三个定理：

定理一：如果f（x）=f（2a-x），并且f（x）=f（2b-x）（a>b），那么2（a-b）是y=f（x）的一个正周期。

证明：对于任意，对于任意，x∈R

y=f（x）是2（b-a）以为周期的周期函数。

定理二：若定义在上的函数y=f（x）的图像关于点（a，0）和（b，0）对称，则称y=f（x）是以为周期的周期函数。

证明：对于任意，对于任意，x∈R

y=f（x）是2（b-a）以为周期的周期函数。

定理三：若定义在上的函数y=f（x）的图像既关于直线x=a对称，有关于点（b，0）对称（a≠b），则称y=f（x）是以4（b-a）为周期的周期函数。

证明：对于任意，x∈R

y=f（x）是以4（b-a）为周期的周期函数。

特别地，若函数y=f（x）是奇函数（或偶函数）且它的图像关于点（a，0）（a≠0）（或直线x=a）对称，则称此函数一定是周期函数。

同理可证明：

第3篇：周期函数范文

关键词:函数;定义式;周期性;对称性

中图分类号:G633 文献标识码:A 文章编号:1003-2851(2012)-08-0169-01

函数是中学数学的核心内容,是整个高中数学的基础,也是中学数学教学的主线。函数的性质,特别是对称性与周期性更是竞赛和高考的重点与热点,而学生因为对函数的对称性所对应的定义式掌握不够、理解不透,所以将二者经常混淆,本文将通过函数的对称性的一般定义式的探究,进而考察函数对称性与周期性之间的关系,以飨读者。

一、函数对称性的探究

性质1.函数y=f(x)的图象关于点A(a,b)对称的充要条件是f(2a-x)+f(x)=2b。

证明:(必要性)设点P(x,y)是函数y=f(x)的图象上任一点。点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P′(2a-x,2b-y)也在y=f(x)图象上,2b-y=f(2a-x),即y+f(2a-x)=2b,故f(x)+f(2a-x)=2b。

(充分性)设点P(x,y)是函数y=f(x)的图象上任一点,则y=f(x)。f(x)+f(2a-x)=2b即f(2a-x)=2b-y点P′(2a-x,2b-y)也在y=f(x)图象上,而点P与点P′关于点A(a,b)对称。

性质2.函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)。(证明同上)

二、函数周期性与对称性关系的探究

性质1.若函数f(x)(x∈R)满足f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)(a

证明:f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x)f(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x)

f(2a-x)=f(2b-x)f(x+2b-2a)=f(x)f(x)是以2(b-a)为一个周期的周期函数。

性质2.若函数f(x)(x∈R)满足f(2a-x)+f(x)=2c 且f(2b-x)+f(x)=2c(b>a),即f(x)有两个对称中心(a,c)与(b,c),则f(x)是以2(b-a)为一个周期的周期函数。

证明:f(2a-x)+f(x)=2c,f(2b-x)+f(x)=2cf(2a-x)=f(2b-x)f(2b-2a+x)=f(x)f(x)是以2(b-a)为一个周期的周期函数。

性质3.若函数f(x)(x∈R)满足f(a+x)=f(a-x)且f(2b-x)+f(x)=2c(b>a),即f(x)有对称轴x=a及对称中心(b,c),则f(x)是以4(b-a)为一个周期的周期函数。

证明:f(2b-x)+f(x)=2cf〔2b-(2a-x)〕+f(2a-x)=2c 即f〔2b-2a+x〕+f(2a-x)=2cf(a+x)=f(a-x)f(2a-x)=f(x)f(2b-2a+x)+f(x)=2c①f(x)=2c-f(2b-2a+x)f〔2(b-a)+x〕=2c-f〔2b-2a+2(b-a)+x〕f(2b-2a+x)=2c-f〔4(b-a)+x〕②由①②得,f〔4(b-a)+x〕=f(x)f(x)是以4(b-a)为一个周期的周期函数。

三、函数的对称性和周期性应用举例

例1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且g(x)是奇函数,又有g(x)=f(x-1),若g(-1)=2013,则f(2012)的值是( )。

A2012 B-2012 C2013 D-2013

解:g(x)是奇函数g(-x)=f(-x-1)=-g(x)=-f(x-1)f(x-1)+f(-x-1)=0f(x)有对称中心(-1,0)f(x)是R上的偶函数f(x)是以4为周期的周期函数f(2012)=f(0)=g(1)=-g(-1)=-2013 故选:D

例2.定义在R上的非常值函数f(x)满足f(10+x)为偶函数,且f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定是:( )

A.是偶函数,也是周期函数 B.是偶函数,但不是周期函数

C.是奇函数,也是周期函数 B.是奇函数,但不是周期函数

解:f(10+x)为偶函数f(10-x)=f(10+x)f(x)有一条对称轴x=10f(5-x)=f(5+x)f(x)还有一条对称轴x=5 f(x)是以2(10-5)=10为周期的周期函数f(x)有另外一条对称轴x=0即f(x)是偶函数。故选:A

例3:设R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=-f(1-x),当1

解:由f(1+x)=-f(1-x),即f(1+x)+f(1-x)=0,得f(x)有对称中心(1,0),又f(x)是奇函数f(x)有对称中心(0,0)f(x)以2(1-0)=2为周期。设x∈(-1,0),则2+x∈(1,2),则f(2+x)=■即f(x)=■。

f(x)是奇函数当x∈(0,1)时,则-x∈(-1,0),则f(-x)=-f(x)=■即f(x)=-■且f(0)=0

第4篇：周期函数范文

关键词：高中数学；函数；课堂小组

函数周期性是高中数学中的重要内容，并且是函数的重要特征，学生必须熟练掌握才能学好函数.教师在教学中应合理设计教学，充分发挥课堂小组讨论教学模式的作用，让学生在相互合作和探究中更加熟练的掌握函数周期性的知识.

精心设计问题，能够有效激发学生的求知欲，让学生愿意主动去探究和思考.尤其是针对小组讨论设计的问题，应具有较强的趣味性、探索性和创新性.教师在设计问题时应注意根据学生的学习基础和认知水平来安排具有引导性的问题，让学生能够在解决问题的过程中充分认识新知识的形成和应用.从而更好的体会要掌握的数学知识.如在学习函数周期性的知识中，教师首先可以让学生思考一个关于三角函数的问题，三角函数周期性特征明显，具有很好的导入效果.教师首先要完成理论知识的讲解，关于函数周期性的定义为，对于一个函数f（x），如果有一个常数T（常数不为0），能够使得定义域内每一个自变量x，都有f（x）= f（x+T），则此函数为周期函数，常数T为此函数的周期.其中若所有周期中存在一个最小正数，则此正数为该周期函数的最小正周期.学生基本了解了周期的意义后，可以给学生展示一些简单的周期性函数的题目.

例1 求函数f（x）=sin4x+cos2x的最小正周期.

教师教学中可以先让学生通过学习过的知识来进行小组讨论，对题目M行分析和思考，然后让各小组的学生代表来说出解题过程和答案，最后再由教师对其进行评价和完善，然后教师再统一给出解题步骤，让学生在探究的过程中更加深刻的理解新学习的知识，熟练掌握.

分析f（x）=（sin2x）2+ cos2x=（1-cos2x2）2+1+cos2x2=34+14 cos22x=78+18cos4x，因此函数的最小正周期为T=2π4=π2.

给学生参考的解题步骤，让学生对照自己的解题方法来进行完善和补充，帮助学生掌握更加科学的学习方法和解题方法.

一、仔细思考问题

教师在进行函数周期性的小组教学中，应让学生养成观察问题的习惯.通过提出的问题，训练学生独立思考，让学生在遇到问题时第一时间去思考问题的核心和关键.教师在提出问题后需要给学生留出时间，让学生进行独立的思考，通过自主思考和分析，对题意有自己的理解，构建出自己的思维网络.然后再让学生进行小组讨论，说出自己的看法，然后根据学生们的多种意见，完善自己不足的地方，促进学生思维能力的发展.如上述的题目中解题的过程也并不是唯一的.教师在学生小组讨论后说出自己的解题过程和答案，答案是唯一的，但解题的变换过程是多种的，让学生通过这种形式意识到解题方法及步骤是多样化的，避免盲从，让学生在学习过程中形成自己的学习特点，从而提高学生的学习效率.

例2已知x∈（-∞，+∞），f（x）为周期为2的周期函数，k∈Z，I表示区间（2k-1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2，求出f（x）在I上的解析式.

分析1因为f（x）是周期为2的周期函数，所以当k∈Z时，f（x）的周期为2k，因为x∈I时，x-2k∈ I0，所以f（x）=（x-2k）2，即对k∈Z，x∈I时，函数的解析式为f（x）=（x-2k）2.

分析2这个题目还可以通过图像法进行解答：做出函数f（x）在R上的图像，如图1所示，将x∈I0的图像向右平移2k个单位就是x∈I的函数图像，因此可以得出函数解析式为f（x）=（x-2k）2.

通过共享彼此的想法，也能够拓宽学生的思路，启发学生的思维，让学生在小组交流中收获更多有用的知识，从而更好的掌握学习的知识.

二、提高小组讨论效率

教师应引导学生进行有效的交流和沟通.课堂小组讨论教学模式具有很强的自主性，教师在其中扮演着引导的角色，学生是学习的主体，需要进行自主的学习.但教师必须做好小组学习中的引导工作，保证学生是围绕着课堂主题进行讨论和思考的.同时有些学生在交流的过程中还存在思路不清晰、表达不清楚的状况，教师应引导学生掌握正确的表达方法.也有学生存在发言时间过长的情况，教师也要进行相应的提醒，同时有的小组学生的观点存在很大的分歧，教师在聆听过后，对其进行引导和调节，引导学生向正确的方向去思考和探究.并且及时解决学生在讨论过程中遇到的问题，让学生掌握正确的思路，提高学生的学习效率.通过这种长期的坚持和训练，培养学生的合作能力，从而加强学生在合作学习中的学习能力，让学生更加有效的学习.并且教师在组织学生进行小组讨论时，可以创设一些教学情境，激发学生探讨的兴趣，让学生愿意去主动学习.同时在引导的过程中进行一些针对性的指导和点拨.让学生更好的理解题意和知识的内涵，从而更加准确的将所学的函数知识应用到问题中，并在解题的过程中提高自己思维、交流的能力.最后教师要做好相应的评价和总结，教师在学生进行小组学习的过程中不要急于指出学生答案的对错，而是在学生思考的过程中给予正确的引导，让学生向正确的方向思考.并且让各小组代表发表自己小组经过共同讨论得出的解题过程和答案，然后由全体学生和教师共同参与评价，来发现各个小组的优缺点.教师对于每个小组的表现都应给予充分的肯定，同时对出现的问题进行公正全面的指出，让学生意识到自己存在的问题，给予合理的评价，让学生保持学习的热情，引导学生进行反思，从而总结出更加完善的学习方法.

总之，教师在进行函数周期性的教学中，应合理应用小组讨论的教学模式，充分发挥学生的主体作用，提高学生的学习效率.

参考文献：

[1]杨志文探究，让课堂焕发生命活力――“任意角的三角函数”教学实录与反思[J].中学数学月刊，2012（08）.

[2]赵伟“问题探究”教学模式与创造力培养[J].中学物理教学参考，2000（08）.

第5篇：周期函数范文

[关键词]水族马尾绣;刺绣艺术;文化内涵

[中图分类号]K892.24 [文献标识码]A [文章编号]1005-3115（2015）24-0040-03

刺绣是用彩色丝、绒、棉线、毛等在绸、缎、布等底料上用针进行穿刺与钉制，从而形成了图案纹样或者文字的一种特殊工艺。中国的刺绣艺术以其美观、典雅、华润的艺术特色和丰富精湛的技艺著称于世，并已流传数千年。①在古老的刺绣艺术长河中，闪烁着众多的民俗文化，通过刺绣者灵巧的双手有意无意地将其融入绣品，而且世代相传，在传承刺绣技艺的同时，也传播了民俗文化，直指人的心灵乃至成为某种意义上的信仰。②

水族马尾绣也不例外，可以说它是水族妇女独有的绝活，在刺绣的过程中将现代意义上的“点、线、面”等元素巧妙地构图与组合，在不经意之中，将水族诸多的民俗文化融入马尾绣品中，一幅幅马尾绣片包含着水族妇女对生活和爱情等的情感，绚丽的色彩配上银光闪闪的白色马尾丝线轮廓和浮雕感的视觉效果，凸显出一种意想不到的品质。独具特色的创造与彰显出的个性化的审美观相辅相成、相得益彰，孕育出水族特有的情感和文化内涵。在以前，有经验者甚至可以从娘家送给女儿背扇的工艺中，便可清楚地判断女儿所生孩子是男是女。

一、水族马尾绣的特殊使用功能

从民间美术史料中不难发现，原本的刺绣是将织锦、染印、挑花等诸多工艺应用到服装上，对服饰做点缀和装饰作用，在诸多的民间服装装饰工艺之中，刺绣应用最普遍且流传区域也是最为广泛的。③ 而水族妇女制作的马尾绣以前只是用在水族小孩的背扇和水族妇女的绣花鞋上。

生活在贵州三都都柳江边的水族妇女，和西南诸省的其他少数民族一样，在生了孩子之后，当孩子还很小的时候，勤劳的水族妇女不能只顾抱小孩，还要忙家里家外的活儿，抱了孩子就无法干活。出于生活的需要，聪慧的水族妇女创造了与其生活环境相适应的“背扇”。有了背扇，干活的时候可以腾出双手，无论提水、挑萝、爬山、下地、赶集、走亲串友、料理家务都可以照常进行。水族妇女都用背扇把孩子背在身后，水族孩子的童年大多是在母亲的背上度过的。

水族妇女常见的刺绣种类有马尾绣、盘绣、锁边绣、打籽绣、绉绣、挑花等，最典型的还属马尾绣，她们常常用马尾绣刺绣出精美的“歹结”、“歹腊巴”、“歹格”背扇、围腰和童帽等，但最具代表性的还是“歹结”背扇，也就是通常所说的水族马尾绣背带。④马尾绣在我国属于水族所特有的一种刺绣绝活，依靠水族妇妇代代相传几千年延续至今。在水族原始的生活中，马尾绣最主要的功能是用其刺绣孩子的背扇、童帽和马尾绣绣花鞋。解放前，水族的背扇都是以黄色为主，这是因为在我国几千年的封建社会中，黄色往往被视为高贵的颜色，为此，水族先民对黄色尤为崇尚，这与传说中水族是贵族的身份也许有一定的内在关联。解放以后，水族人民的审美观念也随之发生了很大的变化，开始选用象征着“太阳、光明、热烈、幸福和吉祥”的红色。

从背扇上的刺绣图案中，可以进一步了解到背扇所特有的文化内涵。在马尾绣背扇上，图案纹样都是以蝴蝶为主，配有蝙蝠、石榴、葫芦、鱼等。在水族人民的生活中，有一个美丽动人的传说，相传蝴蝶救活了水族的孩子，才使水族得以幸存而繁衍至今。所以蝴蝶被水族尊崇为孩子成长的“保护神”。在水族妇女世代传承的艺术活动中，自觉或不自觉地进入古代神话传说的艺术境界，在特殊而封闭的生活环境中，人们在潜移默化地传承着古人的思维方式和生活习俗，将自然崇拜、祖先崇拜、神灵崇拜、生殖崇拜，以及万物有灵、天人合一的宇宙观、生命观，通过物化之后的形态自然而巧妙地流露于孩子的背扇、妇女的服饰等手工艺品之中。从水族马尾绣背扇中各式各样的图案纹样的文化内涵，可以窥视水族人民源远流长的文化观念和哲学思想。⑤水族马尾绣为今天的人们研究水族的民俗、审美、思想观念等提供了宝贵的有形资料。

二、水族服饰中的马尾绣

水族的服饰，尤其妇女的服饰可谓是绚丽多姿，这些服饰体现了水族妇女的聪明才智和审美情趣，而且也负载了水族深厚的历史文化内涵。⑥

在田野调查的过程中，听当地的老人讲，水族的马尾绣最早并没有绣在水族妇女的服饰上，只是到了解放以后，水族妇女为了装饰服饰才开始运用马尾绣刺绣妇女的服饰，男士服装中偶尔也有刺绣马尾绣的，一般都是节日的盛装。

追溯水族历史，唐代水族妇女与东谢蛮大多数居民一样，“男女椎髻，以绯束之”。到了清代，多穿对襟无领阔袖银扣短上衣，下装多为百折裙，有些还扎裹腿，并在前后系上两块长条腰巾。长衫上装，便裤下装逐步盛行。⑦脚穿翘尖鞋，中年妇女有的开始穿绣花鞋。现在，水族妇女的服饰有了很明显的变化，未婚女孩多穿浅蓝色、绿色或灰色作便服长衫。衣身衣袖相比以前没那么宽松，显得更为贴身，富有时代特点。从习俗看，未婚女子衣身衣脚是不做任何花边装饰，但随着人们思想观念的变化，为了视觉的美观，部分女孩子在节日的盛装中也有在衣脚边用花边做装饰，再配上绣花围腰和青白的长条巾，显得尤为素洁淡雅，开朗明快。刺绣着马尾绣的已婚中青年妇女服饰可谓是水族服饰的代表之作。尤其是节日盛装，在款式上与未婚女子类同外，主要的区别就是袖口、环肩至衽口及裤脚，多以水族特有的马尾刺绣作装饰，另佩戴精美的银饰作装饰。这类服饰以三都和独山等地水族较为普及，九阡和荔波等地的妇女，又多以纱质细匀的青布作便装见多，与青紫色的毛巾配在一起，显得既典雅端庄，又古朴大方。与其他民族杂居的水族妇女服饰，往往在此特征基础上，或多或少受其他民族的影响服饰略有变化。

无论选择什么颜色与什么衣料来制作服装，但在服饰装饰过程中所刺绣的马尾绣图案都是大同小异，其中，凤、鸟、鱼、石榴花、八角花、小草、蜜蜂、葫芦、闪电等图案纹样是刺绣构图的主要元素。这些图案纹样有着对生活幸福美满、多子多福等家业兴旺繁荣的美好寓意。

三、水族马尾绣特殊的文化内涵

（一）情感文化内涵

水族先民妇女在封建礼教的束缚下，代代相传遵从着三从四德的传统生活方式，对于婚姻的选择也多半听从父母之命、媒妁之言。一个水族姑娘将来能否找到好婆家，是否精通马尾绣技艺在当地似乎已成为一个年轻小伙择偶的一个硬性指标，也是衡量一个姑娘心灵手巧的标志。再加上水族女孩在原始宗教崇拜的影响之下，信奉一草一木皆有灵性，在大人的引领下传承着马尾绣刺绣技艺，在朦朦胧胧中全身心地投入到刺绣创作。在刺绣的过程中，似乎已领悟到先辈们对于马尾绣审美的标准。有些灵巧的姑娘很自信地用心摹仿着长辈或者心中的师傅，从搓马尾线到盘绣轮廓，直至最后绣出一幅马尾绣绣片，之后将诸绣片组合在一起，自己的一幅完整的处女作从此诞生。

随着自己技法和针法不断的熟练，在前辈们的指教下，水族姑娘们开始刺绣起了自己的嫁妆，这一绣就是好几年的光景。在特定的说笑氛围中，带着羞涩的水家姑娘开始构思起图案和纹饰。从她们小心翼翼的神态中可以默默地体会到她们似乎就是在学属于自己一生的看家本领。一幅幅小小的绣片可以说是水族姑娘一段段情感的心理扫描。谈到艺术，人们常常会说“字如其人、画如其人”，真正能够懂得作画者内心情感世界的人才能与作者本人达到共鸣。此时的水家姑娘似乎就在世代相传的图案纹样的刺绣中绣出自已的情感世界，期待着解读她的人早一天到来。

（二）生育文化内涵

在水族传统礼仪中，马尾绣扮演着重要角色。今天贵州三都县内的三洞、中和、板告、延牌、水龙等地的水族村寨，哪家姑娘出嫁，按照传统习俗，母亲必须得准备一条马尾绣的小孩背扇送给女儿作陪嫁品，预祝女儿早生贵子。

这个习俗要从背扇本身的作用谈起。背扇是水族妇女们用来背小孩的工具。马尾绣制作工艺繁琐复杂，耗时耗力，精心刺绣一床马尾绣背扇需要一年左右的时间，在人们心目中自然而然已属于极其贵重的物品，也充分表明了母亲对婚姻大事的重视程度和对女儿幸福生活的期望值。另外，从水族背扇上刺绣的图案纹样来看，都是以蝴蝶为主题纹样，配有太阳和月亮、蝙蝠和葫芦以及吉祥鸟等吉祥图案。蝴蝶本身对于水族就有着十分重要而特殊的意义，它被视为水族孩子健康成长的“保护神”;蝙蝠在水族习俗中有遍地是福的喻意;葫芦谐音为“福禄”。总之，对于即将离开家的女儿，从此不能在母亲的“翅膀”下生活了，点点滴滴的母爱寄予在数年用马尾丝制作的背扇中，与其说是一个贵重的嫁妆，不如说是母亲情感的物化物。在传统封建社会，历来都有着母凭子贵的传统思想，在原本生产力不够发达的水族地区，这一传统思想的影响更为严重。一个水族妇女在婚后没能生下孩子会受到男方家族的歧视，这会是一个水族妇女一生的不幸，如果因此婚姻破灭，在传统的水族社会中将是苦不堪言。为此，母亲绣制的马尾背扇最重要的意义便是希望女儿婚后能够称心如意，早得贵子，从而确保一生幸福。这才是水族背扇蕴含的生育文化内涵之精髓。

（三）性别文化内涵

当水族人家的女儿出嫁以后，在生第一个孩子时，外婆或是舅母探望外甥道喜时，按传统习俗，必须得备上马尾绣背扇和童帽这两样礼物。马尾绣的此类礼物在水族的生活礼仪中具有特殊而重要的意义，它是外甥平安健康、富贵吉祥的象征。一个水族妇女一生不管生多少个孩子，也只有在生第一个孩子时才能得此殊荣。这一隆重的礼仪带着娘家人全部的深情和期望，之所以只有这一次，不仅是因为马尾绣是难得的手工艺品，更重要的是娘家希望女儿婚姻稳固;娘家人更希望女儿及外甥安康吉祥，希望女儿再生，多子多福，幸福长久。

尽管娘家人对女儿备加关爱，送来如此珍贵的礼物。但是，几千年来男尊女卑的封建传统观念，一直在影响着很多人的思想，尤其处在先前相对封闭的特殊的地域环境之中，不发达的生产力促使着重男轻女的思想在水族祖辈们的心里扎下了根，在女儿出嫁时，母亲不仅预祝女儿婚姻美满，而且希望早生贵子，此时的“贵子”实质就是期盼早日生一个健壮的男孩，主要是给男方家传承血脉。在女儿生下孩子后，水族先民对此非常讲究，如果女儿生了男孩，那在这个特殊而至关重要的礼仪中，娘家人就会选取家人做的手工最好的背扇送给外甥作贺礼，即使自家没有做好或是做得不好，也要想尽一切办法去十里八乡买一个称心如意的背扇送给外甥。当然，这是根据娘家经济状况和家庭具体情况，在此前提下要做到尽善尽美。如果外甥是女孩，同样也要道喜和送背扇等贺礼，但相比之下，背扇只是一个象征性的礼仪而已，只要有就可以了。如果自家没有，同样是根据娘家人的经济状况在集市上买一床即可。有经验的水族人，谁家给刚出生的外甥去道喜，看看带的马尾绣背扇心里就“有底”了，知晓她家闺女生的是男孩还是女孩了。一床背扇，牵动着全家人的心;一床背扇，也满载了水族人们几千年来存留的传统思想。为此，可以说水族马尾绣手工艺，不仅是水族特有的绝技，也是一种刺绣着“性别”的艺术。

随着社会文明程度的进步和市场经济的发展，水族人们的社会观念随之发生了根本性的转变。再加上水族马尾绣被首批列入国家非物质文化遗产名录，国家和政府的大力支持，促使马尾绣的产业化发展有了可供发展的环境，专门从事培训和销售马尾绣产业链正在逐步形成与完善。在三洞、板告、延牌等三都境内很多水族村寨，先前男性或是农闲，或是长年在外打工，现在随着马尾绣产业化发展趋势的日渐成熟，竟然出现很少有人出外打工的情况，而且有些家庭的男性成为农业和家务的主要承担者，部分心灵手巧的水族妇女依靠刺绣马尾绣成为家庭经济收入的“顶梁柱”。社会的发展使得水族妇女的社会分工和经济收入有了明显的变化，这一变化促使水族女性在家庭和社会中的地位不断提高，重男轻女的思想在日渐淡化。

思想观念的变化支配着人们行为意识的改变，如今水族的年轻一代，尤其生活在城市中的水族人，他们的观念发生很大变化，认为生男生女都一样。如今，在女儿出嫁后生了第一个孩子，娘家人送背扇、童帽这一传统习俗仍旧在延续着，甚至这个礼仪比以前更隆重，但娘家人对外甥的贺礼再不像从前那么刻意了，以前被认为是刺绣着“性别”的艺术随着时代的变化在不经意中抹去了“性别”，只剩下了艺术。

马尾绣是水族特有的绝活，不仅是一种刺绣艺术，更是水族先民民俗文化和情感文化的载体，在水族人民在生活中有着特殊而重要的意义。绚丽多姿的水族马尾绣妇女服饰，负载着水族先民古老而传统的历史文化内涵。水族马尾绣艺术蕴含着水族妈妈特殊的情感文化、生育文化内涵。同时，在水族特殊的生活礼仪中有着特殊的性别文化内涵。马尾绣既是衡量水族姑娘是否心灵手巧的标准，又是她们情感寄托的载体。既是母亲对心爱女儿一生婚姻幸福、家庭美满、生育顺心的全部祝福，在特殊的生活礼仪中，又是判断孩子“性别”的特殊信息指标。

[注 释]

①钱元龙：《作为文化表达的苏绣》，《学海》，2010年第3期。

②王光普、张燕：《母亲的针和线：刺绣与香包》，甘肃人民美术出版社2009年版，第84页。

③王平：《中国民间美术通论》，中国科学技术大学出版社2007年版，第183页。

④潘映熹：《民间服饰》，江西美术出版社2006年版，第42页。

⑤丁朝北：《浅谈水族马尾绣》，《民族艺术》，1994年第6期。

第6篇：周期函数范文

【关键词】函数 对称性 探讨

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是

f (x) + f (2a－x) = 2b

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0

定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)

推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)

定理3. ①若函数y = f (x)的图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f (x)的图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y= a成轴对称。

③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y= a成轴对称。

三、三角函数图像的对称性列表

四、函数对称性应用举例

例1.定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x)，则f (x)一定是( )(第十二届希望杯高二 第二试题)

(A)是偶函数，也是周期函数

(B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数

(D)是奇函数，但不是周期函数

解：f (10+x)为偶函数

f (10+x) = f (10－x).

f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数。

x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A)

例2.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f (x) = － x，则f (8.6 ) = ________(第八届希望杯高二第一试题）

解：f(x)是定义在R上的偶函数

x = 0是y = f(x)对称轴；

又f(1+x)= f(1－x)

x = 1也是y = f (x) 对称轴。

第7篇：周期函数范文

一、同一函数的对称性

性质1.若函数f（x）满足f（x）+f（2a-x）=2b，则图像关于点A（a，b）对称.

证明：（必要性）设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点，点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P'（2a-x，2b-y）也在y=f（x）的图像上，2b-y=f（2a-x）即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得证.

（充分性）设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点，则y=f（x）.

f（x）+f（2a-x）=2bf（x）+f（2a-x）=2b，即2b-y=f（2a-x）.

故点P'（2a-x，2b-y）也在y=f（x）图像上，而点P与点P'关于点A（a，b）对称，充分性得证.

推论：（1）若函数f（x）满足f（x）+f（-x）=0，则图像关于原点对称；

（2）若函数f（x）满足f（x）+f（2a-x）=0，则图像关于点（a，0）对称；

（3）若函数f（x）满足f（x）+f（-x）=2b，则图像关于点（0，b）对称；

性质2.若函数f（x）满足f（a+x）=-f（b-x），则图像关于（，0）对称.

性质3.若函数f（x）满足f（a+x）=f（b-x），则图像关于直线x=对称.

推论：（1）若函数f（x）满足f（x）=f（-x），则图像关于y轴对称;

（2）若函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x），则图像关于直线x=a对称.

性质4.若函数f（x）图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且周期为2|a-b|.

性质5.若函数f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b）则y=f（x）是周期函数，且周期为2|a-b|.

性质6.若函数f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且周期为4|a-b|.

证明：函数y=f（x）图像关于点A（a，c）成中心对称，

f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+f［2a-（2b-x）］=2c（*）

又函数y=f（x）图像直线x=b成轴对称，

f（2b-x）=f（x），代入（*）得：

f（x）=2c-f［2（a-b）+x］（**），用2（a-b）-x代x得

f［2（a-b）+x］=2c-f［4（a-b）+x］代入（**）得：

f（x）=f［4（a-b）+x］，故y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期.

二、不同函数的对称性

性质1.函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点A（a，b）成中心对称.

性质2.函数y=f（x）与y=-f（x）的图像关于x轴对称.

性质3.函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图像关于直线x=a成轴对称.

性质4.函数y=f（x）与y=2b-f（x）的图像关于直线y=b成轴对称.

性质5.函数yf（x）与y=f（x）与的图像关于直线x-y=0成轴对称.

性质6.函数y=f（x）与y=-f（x）与的图像关于直线x+y=0成轴对称.

性质7函数y=f（a+x）与y=f（b-x）的图像关于直线x=成轴对称.

三、三角函数的对称性

性质1.函数y=sinx的图像的对称中心为（kπ，0），对称轴为x=kπ+.

性质2.函数y=cosx的图像的对称中心为（kπ+，0），对称轴为x=kπ.

性质3.函数y=tanx和y=cotx的图像的对称中心为（，0）.

性质4.函数y=sin（ωx+φ）的图像若关于y轴对称，则φ=kπ+，若关于原点对称，则φ=kπ.

性质5.若函数y=cos（ωx+φ）的图像若关于y轴对称，则φ=kπ，若关于原点对称，则φ=kπ+.

四、应用举例

例1.若非常值函数f（x）满足：f（8+x）为偶函数，且f（4+x）=f（4-x），则f（x）一定是（）

（A）既是偶函数，又是周期函数（B）是偶函数，但不是周期函数（C）既是奇函数，又是周期函数 （D）是奇函数，但不是周期函数

解：f（8+x）为偶函数，f（8+x）=f（8-x），又f（4+x）=f（4-x）f（x）是以8为周期的周期函数f（x）=f（x+8），即f（x）是偶函数.故选（A）.

例2设定义域为R的函数f（x）、g（x）存在反函数，并且f（x-1）和g（x-2）函数的图像关于直线y=x对称，若g（8）=2011，那么f（7）=（）

（A）2010 （B）2011 （C）2012 （D）2013

解：y=g（x-2）反函数是y=f（x-1）又y=g（x-2）的反函数是：y=g（x）+2，f（x-1）=g（x）+2，f（8-1）=2+g（8）=2013，故f（7）=2013，应选（D）.

例3设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2+x）=f（2-x），当-1≤x≤0时，f（x）=2x+1，则f（9）=?摇?摇?摇?摇

解：f（x）是奇函数，又f（2+x）=f（2-x）f（x）关于直线x=2对称.故y=f（x）是以8为周期的周期函数，f（9）=f（8+1）=f（1）=-f（-1）=1.

例4.已知函数f（x）=，函数y=g（x）的图像与y=（x+1）的图像关于直线y=x对称，求g（11）的值.

解：函数y=g（x）与y=f（x+1）互为反函数，又函数y=f（x+1）的反函数为y=f（x）-1，g（x）=f（x）-1=，g（11）=.

例5.函数y=sinxcosx+cosx-的图像的一个对称中心为（）

（A）（，-） （B）（，-）

（C）（-，） （D）（，-）

解：y=sin（2x+）-

2x+=kπ即x=-

选（B）

第8篇：周期函数范文

关键词：函数；对称性；思考

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）13-0121

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数y=f（x）的图象关于点A（a，b）对称的充要条件是：f（x）+f（2a-x）=2b

证明：（必要性）设点P（x，y）是y=f（x）图象上任一点，点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）的图象上，2b-y=f（2a-x）

即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得证。

（充分性）设点P（x0，y0）是y=f（x）图象上任一点，则y0=f（x0）

f（x）+f（2a-x）=2bf（x0）+f （2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）。

故点P′（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）图象上，而点P与点P′关于点A（a，b）对称，充分性得征。

推论：函数y=f（x）的图象关于原点O对称的充要条件是f（x）+ f（-x）=0

定理2. 函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称的充要条件是：f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f （2a-x）（证明留给读者）

推论：函数y=f（x）的图象关于y轴对称的充要条件是y=f（x）=f（-x）

定理3. ①若函数y=f（x）图象同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。

②若函数y=f（x）图象同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称 （a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。

③若函数y=f（x）图象既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

函数y=f（x）图象既关于点A（a，c） 成中心对称，

f（x）+ f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+f [2a-（2b-x）] =2c………………（*）

又函数y=f（x）图象关于直线x=b轴对称，

f（2b-x）=f（x）代入（*）得：

f（x）=2c-f [2（a-b）+x]…………（**），用2（a-b）-x代x得

f [2 （a-b）+ x]=2c-f[4（a-b）+x]代入（**）得：

f（x）= f [4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4. 函数y=f（x）与y=2b-f （2a-x）的图象关于点A（a，b）成中心对称。

定理5. ①函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图象关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图象关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f（x）与x-a=f（y+a）的图象关于直线x-y=a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③：

设点P（x0，y0）是y=f（x）图象上任一点，则y0=f（x0）。记点P（x，y）关于直线x-y=a的轴对称点为P’（x1，y1），则x1= a+y0，y1=x0-a，x0 =a+y1，y0=x1-a 代入y0= f（x0）之中得x1-a=f（a+y1） 点P′（x1，y1）在函数x-a=f（y+a）的图象上。

同理可证：函数x-a=f（y+a）的图象上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f（x）的图象上。故定理5中的③成立。

推论：函数y=f（x）的图象与x=f（y）的图象关于直线x=y成轴对称。

三、三角函数图象的对称性列表

注：①上表中k∈Z；②y=tanx的所有对称中心坐标应该是（kπ/2，0），而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y=tanx的所有对称中心坐标是（kπ，0），这明显是错的。

四、函数对称性应用举例

例1. 定义在R上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，且f （5-x）=f （5+x），则f （x）一定是（ ）。（第十二届希望杯高二第二试题）

（A）是偶函数，也是周期函数

（B）是偶函数，但不是周期函数

（C）是奇函数，也是周期函数

（D）是奇函数，但不是周期函数

解：f（10+x）为偶函数，f（10+x）= f （10-x）.

f （x）有两条对称轴 x=5与x=10 ，因此f （x）是以10为其一个周期的周期函数， x=0即y轴也是f （x）的对称轴，因此f （x）还是一个偶函数。

故选（A）

例2. 设定义域为R的函数y=f （x）、y=g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g-1（x-2）函数的图象关于直线y=x对称，若g（5）=1999，那么f（4）=（ ）。

（A）1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002

解：y=f（x-1）和y=g-1（x-2）函数的图像关于直线y=x对称，

y=g-1（x-2） 反函数是y=f（x-1），而y=g-1（x-2） 的反函数是：y=2+g（x），f（x-1）=2+g（x），有f（5-1）=2+g（5）=2001

故f（4） = 2001，应选（C）。

例3. 设f （x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）= f（1-x），当-1≤x≤0时，f（x）=-x，则f（8.6 ） = .

解：f （x）是定义在R上的偶函数x=0是y=f （x）的对称轴；

又f（1+x）= f（1-x） x=1也是y=f （x）的对称轴。故y=f （x）是以2为周期的周期函数，f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3.

例4.函数 y=sin（2x+）的图象的一条对称轴的方程是（ ）。（1992年全国高考理）

（A）x=- （B）x=- （C）x= （D）x=

解：函数y=sin（2x+）的图象的所有对称轴的方程是2x+=kπ+

x=-π，显然取k=1时的对称轴方程是x=-故选（A）

例5. 设f （x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=- f （x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=（ ）。

（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5

解：y=f （x）是定义在R上的奇函数，点（0，0）是其对称中心；

又f（x+2）=-f（x）=f（-x），即f（1+ x） = f（1-x）， 直线x=1是y= f（x）的对称轴，故y=f （x）是周期为2的周期函数。

第9篇：周期函数范文

关键词： 数学教学 思维深刻性 变异教学 本质因素 批判性教学

数学给予人们的不仅是知识，更重要的是能力。这种能力包括观察实验、收集信息、归纳类比、直觉判断、逻辑推理、建立模型和精确计算。这些能力一旦形成，将使人终身受益。然而，现在的很多学生，面对数学犹如洪水猛兽，完全没有体会到数学对其思维产生的巨大影响。数学对其思维的培养不是一朝一夕的事情，也不可能有立竿见影的效果，是一个循序渐进的过程。惧怕数学的学生其根本是主观依赖性严重，从而缺失了积极主动的主观思维能力。思想的惰性要远比肉体的懒惰可怕，肉体的懒惰充其量就是个懒人，而思想的懒惰者，却会成为一个不折不扣的庸人、废人。在数学的教学中，如何让学生克服这种思维的惰性，进而培养对问题进行深入思考的良好习惯，是我在教学中常常思考的一个问题。

思维是在表象、概念的基础上进行的综合分析、判断、推理等认识活动的过程。在教学中，我尝试着用如下一些方式加强对学生能力的培养。

一、通过变异教学，加深对概念、原理的理解，培养思考的习惯。

例如：判断函数y=sinx，x∈（-7π，7π）是否是周期函数。

许多学生已经成为了一种思维定势，认为y=sinx是最小正周期为2π的周期函数，因此会毫不犹豫地下结论：y=sinx，x∈（-7π，7π）是周期函数。有这种思维定势的同学，明显就是对认识周期函数相关性质一知半解，没有对周期函数的性质进行深入的思考和分析。因此教师可以借用该例引导学生对周期函数的性质有更进一步的认识。由于学生已经知道，设y=f（x）的定义域是I，如果存在一个的正数T，使得对于?坌x∈I，有（x±T）∈I，且有f（x+T）=f（x）恒成立，则函数y=f（x）称为周期函数，若T为最小正周期，则T的非零整数倍也是y=f（x）的周期。因此，学生容易理解，若取x=6π∈（-7π，7π），有sin（6π）=sin（6π+2π）=sin（8π），但8π?埸（-7π，7π），因而可以断定函数y=sinx，x∈（-7π，7π）不是周期函数。如果教师的分析到此结束的话，那么对以后遇到其他周期函数时，学生仍然可能犯同样的错误，也就达不到对其深刻的理解。因为若T为最小正周期，则T的非零整数倍也是y=f（x）的周期，容易推出，非零整数的个数是无限的，所以，凡是具有周期性函数所对应的区间绝不可能是有限值。通过对周期函数的变异教学，学生对周期函数的认识就更加深刻。这样的教学，能让学生体会到深入思考的必要性，经常这样进行有目的教学，学生就会养成思考的习惯，形成思考的条件反射。

二、引导学生识别具有本质的因素，培养思考的深刻性。

例如：设a+a+1=0，+b+1=0，且1-a≠0，求的值。

对于这个题目，大多数学生会分析为要求的值，只需要从a+a+1=0中求出a，从+b+1=0中求出b，然后再结合条件1-a≠0对前面求出的a和b进行筛选，从而可轻易求出的值，但是在求解的过程中却出现了虚数，因此直接求出a和b显得比较麻烦了，便会考虑把变形为+a，把1-a≠0变形为≠。因此只需要从a+a+1=0中求出，从+b+1=0中求出，分别有两个根，然后根据≠分两种情况讨论，就可求出=-1。通过上面的常规分析，也能求出的值，但比较麻烦。此时，教师就要引导学生对题目本身加以挖掘，发现其中的亮点，已知中给出的两个等式（a）+a+1=0和（）++1=0形式相似，则a和分别为方程x+x+1=0的两个根，而=+a本质上是两根之和。所以，应用韦达定理便可轻松求出=+a=-1。运用韦达定理的解法抓住了问题的本质因素，突破了思维定势，进一步开阔了学生的视野，使得学生对问题的认识更加深刻和全面。

三、通过批判性教学，促进深刻性的发展。

例如：证明：任意三角形皆为等腰三角形。

证明：任作ABC，∠A的角平分线与BC边的中垂线相交于O，

过O作OEAB，OFAC，

可证得RtAEO≌RtAFO，RtBDO≌RtCDO，

?圯RtEOB≌RtFOC，

EB=FC，AB=AC，

任意ABC皆为等腰三角形。

此题的论证完全正确，可是问题的关键在于角平分线与BC边的中垂线相交于O点，该交点并非交于ABC的内部，只可能在BC边上或ABC外。当然这个错误问题的出现原因可让学生先分析，查找问题，教师再做点评。

又例如：ABC的周长为18，面积为30，求ABC的内切圆的半径。

解：S=（a+b+c）r?圯r=

粗略一看，该题目的解法也是相当正确的，但是仔细思考会发现当三角形的周长一定时，面积最大的是正三角形，而S=×6=9＜18＜30，满足题目中条件的三角形根本就不存在。可先提示学生寻找周长一定时，面积最大的是什么三角形，面积一定时，周长最长的是什么三角形等类似问题。在以后的教学中，也要有计划地引导学生对类似问题进行思考。

上述两个例子，从解决的过程来看，都比较容易解决，只是因为没有对题目本身加以深入分析，才造成了错误的题目都有着看似正确的答案。因此，教师要引导学生对于平时学习过程中一些常识性结论和范围有个基本把握，不能盲目地相信专家权威，通过这种批判性的教学，使学生能够认识到：只有做到全方位地把握问题，才不容易范常识性的错误。