抛物线的标准方程精选(九篇)
前言：一篇好文章的诞生，需要你不断地搜集资料、整理思路，本站小编为你收集了丰富的抛物线的标准方程主题范文，仅供参考，欢迎阅读并收藏。
第1篇：抛物线的标准方程范文
一、转化定义求方程
例1 已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上一个P（-3，m）到焦点的距离为5，求抛物线的方程。
分析：由P点坐标及焦点位置可知抛物线开口向左，故可设出标准方程，依题设列方程组求解或通过定义转化求解。
解法1：（直接法）由于（-3，m）在第二、三象限，而焦点在x轴上，所以抛物线方程可设为y2=-2px（p>0），其焦点F（-■，0），
P（-3，m）在抛物线上且|PF|=5，
m2=6p，■，解得p=4m=±2■，
故抛物线方程为y2=-8x。
解法2：（定义法）设抛物线方程为y2=-2px（p>0），则焦点F（-■，0），准线为x=■。
又|PF|=5，由定义知■-（-3）=5，所以p=4，故抛物线方程为y2=-8x.
点评：本题根据抛物线所过已知点而设出相应的标准方程。标准方程中只需待定p值，因此1中m不必求出；2利用定义回避m，将P点到焦点距离等长的转化到准线的距离，简化了运算过程。
二、拼凑定义求轨迹
例2 方程■=|x-y+3|表示的曲线是（）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
分析：本题乍一看，不知道从何下手，有的同学两边平方然后化简，这样也可以，但计算量很大，若充分分析题目的特点，理解抛物线定义的实质，则本题可以迎刃而解。
解：原方程变形为■=■，它表示点M（x，y）与F（-3，1）的距离等于点M到直线x-y+3=0的距离。
根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线。故选D
点评：本题若直接化简方程，再判断其轨迹较繁杂，然而根据方程两边所表示的几何意义，利用抛物线的定义就简单的多了。
三、巧用定义求最值
例3 已知P为抛物线y2=4x上一点，记P到此抛物线的准线的距离为d1，P到直线x+2y-12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）
A.■
B.11■
C.■■
D.无法确定
分析：若直接设出P（x0，■）（x0>0），根据d1+d2=x0+1+■，运用函数思想求解，需去掉绝对值，运算复杂。如果利用定义中相等关系进行转换，问题就能迎刃而解。
解：如图1，根据抛物线的定义，可以将“P到此抛物线的准线的距离为d1”转换为“P到抛物线焦点F的距离”，所以当PF垂直于直线x+2y-12=0时，d1+d2最小，并等于F到直线x+2y-12=0的距离|FE|，而F的坐标为（1，0），所以|FE|=■=■■，则d1+d2的最小值为■■，故选C。
点评：本题利用抛物线的定义将抛物线上一点到准线的距离转化为到焦点的距离，仍然根据三点共线时取得最小值，可以发现抛物线的定义在解决问题时起了至关重要的作用。
四、活用定义推证明
例4 求证：以抛物线的焦点弦（通过焦点的弦）AB为直径的圆与抛物线的准线l相切。
证明：如右图所示：设抛物线方程为y2=2px（p>0），A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线焦点为F，
AF=x1+■，BF=x2+■，
AB=AF+BF=x1+x2+p，圆心即AB中点M到准线l的距离为d=■+■=■AB。
故以抛物线的焦点弦（通过焦点的弦）AB为直径的圆与抛物线的准线l相切。
第2篇：抛物线的标准方程范文
关键词：数控车工；抛物线；FANUC；编程
数控车床能够加工各种类型的回转体的零件，其中对于圆柱面、锥面、圆弧面、球面等零件，利用直线插补和圆弧插补指令就可以完成加工，而对于抛物线等一些非圆曲线的零件，编程时具有一定的难度。这是因为大多数的数控系统只提供直线插补和圆弧插补两种插补功能，因此，在数控机床上对抛物线类零件的加工，多数采用宏程序来进行编程，采用小直线段或者小圆弧段逼近的方法编制。
1.抛物线类零件的编程思路
依据数据密化的原理，我们可以根据抛物线的曲线方程，利用FANUC数控系统具备的B类宏程序功能，密集的算出曲线上的坐标点值，然后驱动刀具沿着这些坐标点一步步移动就能加工出具有抛物线等非圆曲线轮廓的工件。实际上就是利用抛物线的方程，利用X作为自变量，Z作为因变量（或利用Z作为自变量，X作为因变量），找到无数个在抛物线曲线方程上的点，再用G01指令将这些点连接起来，就加工出抛物线的形状，自变量变化值越大，抛物线加工就越差，加工时间较短，反之，自变量变化值越小，抛物线加工就越精确，表面质量也越好，同时时间也较长，所以要综合考虑自变量的取值大小。
2.抛物线类零件的编程步骤
2.1.写出抛物线的标准方程（或参数方程）。
2.2.对标准方程进行转化，从数学坐标系转化到编程坐标系。
2.3.公式转化，即将抛物线的标准方程转化成实际需要的方程。
2.4.编制加工程序。
3.抛物线类零件的编程举例
3.1.加工如下图所示图纸，零件外形（除抛物线外）已经加工完成，要求编制抛物线部分的精加工程序。
3.2.加工参数选用
3.2.1.刀具选用。加工中所选刀具为93°正偏刀。
3.2.2.加工参数。由于抛物线的最小直径为0，所以建议转速不得小于1000r/min。
3.3.程序编制（仅编制抛物线部分精加工程序）
方法一：以X作为自变量
方法二：以Z作为自变量
4.注意事项
4.1.以上两种方法都可以对抛物线进行加工，选择时根据实际情况选用，如Z方向的初始值和终止值容易确定，则以Z方向作为自变量。
4.2.自变量的变化值要选择正确。
4.3.要注意检查程序，可选择几个特殊点进行校对。
5.结束语
综上所述，随着数控车床的使用日益普遍， 要充分发挥数控车床的功能，宏程序编程是必不可少的重要环节。使用宏程序编程，大部分零件尺寸和工艺参数可以传递到宏程序中，程序的修改比较方便。图样改变时，仅需修改几个参数即可，因此，柔性好，极易实现系列化生产。另外，使用宏程序除了能加工抛物线类零件外，还可以加工椭圆、双曲线等非圆曲线，有效的扩展数控机床的加工范围，提高加工效率和品质，充分发挥机床的使用价值。
参考文献：
第3篇：抛物线的标准方程范文
引例 二次函数y=[SX（]1[]4[SX）]x2+1的图象，试探究，平面上是否存在这样的直线l和定点F，使得图象上任何一点P（x,y）到点F的距离与到直线l的距离相等？
【解答】（配方法）由y=[SX（]1[]4[SX）]x2+1两边乘以4并移项得x2-4y+4=0，两边同时加上y2，得x2+（y-2）2=y2，两边开平方，同取算术根得[KF(]x2+（y-2）2[KF)]=|y|。
用距离公式看待上式，此式表明，抛物线上的动点P（x,y）到定点F（0,2）的距离与到定直线y=0距离相等。这样二次函数y=[SX（]1[]4[SX）]x2+1的图象可视为：到定点F（0,2）的距离与到定直线y=0距离相等的点的轨迹，看来，二次函数的图象与二次方程y2=2px异曲同工。
【另解】（标准方程法）由y=[SX（]1[]4[SX）]x2+1，得x2=4（y-1），它是抛物线x2=4y上移一个单位的结果，后者的焦点F（0,1），准线l为y=-1，上移一个单位后，x2=4（y-1）的焦点F（0，2），准线l为y=0，可以看出二次函数的图象只是抛物线图象的一种特殊形式（开口向上或向下），它统一于抛物线的共性之中：到定点（焦点）和定直线（准线）距离相等的点的轨迹。
对于函数y=ax2（a≠0），我们把它改写为x2=[SX（]1[]a[SX）]y的形式（方程），这是顶点为坐标原点，焦点为（0,[SX（]1[]4a[SX）]），准线方程是y=-[SX（]1[]4a[SX）]的抛物线，函数y=ax2+bx+c（a≠0）配方得y=a（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+[SX（]4ac-b2[]4a[SX）]，由函数图象平移的性质可以知道，沿向量[WTHX]m[WTBX]=（[SX（]b[]2a[SX）],-[SX（]4ac-b2[]4a[SX）]）平移函数y=a（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+[SX（]4ac-b2[]4a[SX）]的图象，函数图象不发生任何变化，平移后图象对应的函数解析式就是y=ax2+bx+c（a≠0），所以我们可以知道抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的焦点坐标是，（-[SX（]b[]2a[SX）],[SX（]4ac-b2[]4a[SX）]），准线方程是y=[SX（]4ac-b2-1[]4a[SX）]，由抛物线的定义，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上的动点P（x,y）到定点（-[SX（]b[]2a[SX）],[SX（]4ac-b2+1[]4a[SX）]）的距离与到定直线y=[SX（]4ac-b2-1[]4a[SX）]距离相等，即有[KF(]（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+（y-[SX（]4ac-b2+1[]4a[SX）]）[KF)]=[JB(|][SX（]y-4ac-b2-1[]4a[SX）][JB)|]，这样我们就利用了抛物线的标准方程讨论了二次函数的图象是抛物线的问题了。
下面我们来看如何由二次函数的一般形式y=ax2+bx+c（a≠0）用配方法得到上式，进而说明它是抛物线，由y=ax2+bx+c（a≠0）得（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+[SX（]4ac-b2[]4a2[SX）]=[SX（]y[]a[SX）]，所以，（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+[SX（]4ac-b2[]4a2[SX）]-[SX（]y[]a[SX）]+y2-[SX（]4ac-b2-1[]2a[SX）]y+[SX（]（4ac-b2+1）2[]16a2[SX）]=y2-[SX（]4ac-b2-1[]2a[SX）]y+[SX（]（4ac-b2-1）2[]16a2[SX）]。所以，（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+（y-[SX（]4ac-b2+1[]4a[SX）]）2=（y-[SX（]4ac-b2-1[]4a[SX）]）2。
即（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+（y-[SX（]4ac-b2-1[]4a[SX）]）2=（y-[SX（]4ac-b2-1[]4a[SX）]）2。
两边开方取算术根得
[KF(]（x+[SX（]b[]2a[SX）]）2+（y-[SX（]4ac-b2+1[]4a[SX）]）[KF)]=[JB(|][SX（]y-4ac-b2-1[]4a[SX）][JB)|]。
由以上的讨论我们可以得到下面的结果：
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过坐标平移变换可以简化为x2=2py（p＞0）或x2=-2py（p＞0）的形式，这是抛物线的两个标准方程。
（2）抛物线y=ax2（a≠0）的焦点坐标是（0,[SX（]1[]4a[SX）]），准线方程是y=-[SX（]1[]4a[SX）]。
（3）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的焦点坐标是（-[SX（]b[]2a[SX）],[SX（]4ac-b2+1[]4a[SX）]），准线方程是y=[SX（]4ac-b2-1[]4a[SX）]。
我们可以看到，二次函数的图象，确实是二次曲线中研究的抛物线，它符合抛物线的定义，具有抛物线的性质。还可以看出二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象只是对称轴平行于y轴（包括y轴）的一类特殊位置的抛物线。
第4篇：抛物线的标准方程范文
一、认识抛物线，欣赏抛物线
所谓抛物线就是说平面内的一个定点F和一条直线L的距离的比值等于1的点的轨迹。学习抛物线，首先，我们要知道什么是抛物线，只有深层次的理解了抛物线的定义，我们才能在平时的解题过程中灵活巧妙的运用抛物线的知识。实践才是硬道理，所以我们在教学过程中要多做练习，要让学生能通过读题找到题目的考点，尝试自己写出题目的计算表达式，以此来加深学生对概念的理解，加强学生对抛物线知识的记忆。
例如我们最初接触到的圆形，计算圆面积的公式S=πr?，这是我们记忆中的圆的面积公式，也是数学家替我们总结好的公式，但是如果让我们自己通过坐?讼档耐夹卫葱闯黾扑愎?式呢？对于抛物线我们知道它是存在于坐标系中的，抛物线也有属于自己的定点及公式，例如：
①对于抛物线y2=2px（p>0），若点P（x0，y0）在抛物线内部，则点P（x0，y0）的坐标满足y022px0
②过抛物线y2=2px上一点P（x0，y0），作抛物线的切线，其切线方程为
y0y=p（x0+x）
③已知抛物线y2=2px，若A、B两点在抛物线上，过点A、B分别作抛物线的切线l1，l2，且l_1∩l_2=T，则点T的轨迹为：x=-a
④已知抛物线y2=2px，若A、B两点在抛物线上，过点A、B分别作抛物线的切线l1，l2，且l_1∩l_2=T，若A（x1，y1），B（x2，y2），则x1?x2=定值，y1y2=定值。
这些公式都是关于抛物线的一些基本的公式，要想能完整的解题就必须要牢牢掌握这些公式。这些公式可以让我们在面对题目时不至于那么的手足无措，因此，记住关于抛物线的所有公式，在解题过程中才能水到渠成，记忆永远是不过时的、最直接的、最简便的学习方式。
二、兴趣是永久的、最好的老师
数学是一门理科课程，理科的逻辑性、严谨性决定了数学的学习是枯燥乏味的，高中数学随着教育事业与社会发展的需求，难度在不断的提升，学生对于数学的学习也从一开始的“惧怕”到后来的“厌恶”。学生这种态度的变化让老师不知所措，因此，学习抛物线，重要的不是被动的教学过程，而是让学生对抛物线产生兴趣，在教学过程中给学生一定的空间，让学生能充分的发挥自己的想象力， 结合实际，让学生对抛物线不产生排斥的情感。例如：已知抛物线y2=2px（p>0），F为其焦点，l为其准线，过F任作一直线交抛物线于A，B两点，A'B'分别为A、B在l上的射影，M为A'B'的中点 求证：
①A'F与AM的交点在y轴上
②AB'与A'B交于原点。
分析：这道题在设直线时要考虑用什么形式的直线方程，对比：x=my+n和y=kx+b，该题选择第一种形式，原因是减少分类讨论，从而简化解题过程。
这道题是一个计算题，主要考查基本概念，整个可变量就是一个变量m，但不用分类讨论，因为当m=0时，直线与抛物线有且只有一个交点，与题目的有两个交点矛盾。
解题思路：①设A（X1，Y1），B（X2，Y2）设一个辅助变量m
于是设直线AB为x=my+p/2.代入双曲线方程得到y2-2pmx-p2=0
则y1+y2=2pm，y1y2=-p2
设直线A'F与y轴的交点N，计算该点的坐标，满足直线方程AM即可（也可以证明三点共线，即A、M、N三点共线用斜率计算即可）
②解题思路与第一问类似，证明原点O在AB'和A'B上，只要直线OA与OB'斜率相等，OB与OA'相等就成。（计算过程省略）
三、教师正确的引导教学
学生是一个很奇怪的群体，他们是祖国的花朵，也是国家未来的栋梁。教师是学生在学习道路上的指引人，在抛物线的教学过程中，给学生独立思考的空间是很重要，但是不能任由学生毫无章节的想象，脱离课堂教学的内容。抛物线有四种不同形状的图形的计算公式，我们在教学过程可以让学生进行对比学习，让学生找到这些公式的相同点与不同点，记住它们特殊情况，就能够在直角坐标系中准确的画出它们的基本表达式所代表的图形。
在抛物线方程的讲解中，笔者是将抛物线方程转化为两个标准式，即焦点在x轴和焦点在y轴上，然后根据方程的特点，准确判断抛物线的开口方向。这样就不会让学生觉得抛物线很繁琐的感觉，同时也类比了椭圆和双曲线。
第5篇：抛物线的标准方程范文
关键词：助学单；助读；助思；助论；助练
[?] 引言
最近比较流行助学单教学，助学单的争议一直没有停过，有人认为，有了助学单之后课堂上老师无事可做，只是几个比较好的学生在课堂上起哄，课堂的学习秩序很糟糕，最终学生的学习效果很差. 但笔者经过一段助学单教学的尝试后，学生的学习自主性、探究性、合作性明显增强，用学生一句话说，不被老师牵着鼻子走，感觉真爽，做自己的主人. 笔者尝试的助学单不同于导学案，导学案强调的是教师导、学生学，依然是教师站在前台指挥学生；助学单强调的是学生学、学生评，学生不能解决的教师再评，教师退居到后台，让学生觉得学习是自己的事. 一份好的助学单设计应充分体现助读、助思、助论、助练的作用.通过助学单能更好地引导学生去阅读课本，带着问题去思考课本的知识，有效地参与学习过程，有利于培养学生发现问题、解决问题的能力. 笔者每次备课时会看看网络上同行会做怎样的助学单设计，有时会看到概念的教学中教师直接将概念设计成缺词填空，学生只要简单地从教材中摘录就可以了，这样的思维是低级的，学生是没有理解的，看似学生自主学习了，其实只是抄书匠，比原来的传统被动式学习更糟糕. 助学单的设计要将教材内容转换成相应的问题，这些问题要能激起学生进一步的思考，并且能够引导学生更好地去阅读课本，学生通过质疑，讨论形成问题的答案，从而实现对知识的理解掌握，这样的学习意义深远.就像经典动画片《朵拉历险记》里面有一句经典台词，当你不认识路的时候，问地图. 我们的学生就缺少看地图找路的过程，换句话说，当你不知道该怎么学习时，问助学单. 这就是助学单要给学生提供的平台. 不再是教师咀嚼好了教材喂给学生，变“教材”为“学材”，学生不再依赖老师，而是教师将要学习的知识，设计成助学单，让学生以助学单为载体，通过阅读、思考、交流等途径找到答案或接近答案，使知识内化并获得知识. 下面笔者以“抛物线的标准方程”助学单为例阐述助学单设计中的助读、助思、助论、助练原则，通过课堂实录评析助学单对学生学习的促进作用.
[?] 抛物线的标准方程助学单设计
笔者尝试的助学单按“自主学习―合作交流―展示点拨―巩固深化”四个环节展开. 这一点与活动单、导学单不同，后两者是在活动中先解决一个问题，然后再解决下一个问题，其实还是被教师牵着鼻子走. 而助学单是完全把学习的过程交由学生，课堂的一开始先由学生按照助学单的流程展开自主梳理，然后依照学生自己的学习情况，发现小组内不能解决的问题，抛出问题，组间共同商量对策，教师在后台拿捏问题讨论的价值和激发讨论深度，直至各小组成员能够完全掌握新知. 以下是抛物线的标准方程助学单设计内容.
学习目标：1. 了解抛物线定义，理解抛物线上点的共同特征；
2. 推导并掌握抛物线的标准方程；
3. 由所给条件会求抛物线的标准方程.
一、自主梳理：
1. 回忆解析几何中研究椭圆、双曲线的一般过程.
2. 请大家阅读选修1-1教材47页的内容并思考下列问题.
（1）根据抛物线的定义，说出抛物线上的所有点具有怎样的共同特征.
（2）类比椭圆、双曲线的建系方式，课本47页介绍了抛物线的哪一种建系方式？并画出示意图.
（3）设p为定点F到定直线l的距离（p>0），在上述建系下，根据定义，列出抛物线上的任意一点P（x，y）满足的方程，并进行化简.
（4）y2=6x的焦点到准线的距离是__________，焦点坐标是__________，准线方程是__________.
（5）抛物线y2=2px（p>0）过点（2，3），则p=__________.
二、合作交流，展示点拨
1. 针对上述自主梳理中出现的疑难问题进行组内和组间的合作探究.
疑问：（1）________，（2）________，（3）________，解惑：交流讨论.
2. 完成下列表格（表1）. 图形标准方程焦点坐标准线方程开口方向
抛物线标准方程中p的几何意义_________________________________.
三、巩固练习：
练习1：完成下列表格（表1）.
练习2：求经过点（2，3）的抛物线的标准方程.
总结求抛物线的标准方程的基本步骤：____________________________.
若掌握得不好的学生，组内仿照练习1、2自编习题解答.
[?] 课堂实录及每块功能阐述
助学单的教学必须要对学生进行分组，这样在合作交流时便于学生讨论.一般将全班分成8组，每组6-8人.
学习目标的设计强调助学单的任务驱动，让学生在提出问题、解决问题的过程中达成学习目标.
第一环节，自主梳理完成助读功能.自主梳理部分由学生独立完成，在学生阅读完成自主梳理时教师进行组间巡视，观察学生的完成情况，哪里卡壳了，哪里填得不够准确，适当问问学生或激发学生问问题. 影响学生学习的因素有很多，当学生阅读同一内容时所反馈的对问题的理解在自主梳理部分暴露得很清晰，如学生在完成根据定义概括抛物线上点的特征的时候，有很多人面对课本上写得很清楚的抛物线的定义即抛物线上点的特征的那句话视而不见. 这说明学生看书不仔细，对教师依赖性强，因为前面椭圆、双曲线上点的特征是教师直接讲授的. 通过组内学生互相辅导，这个问题会马上得以解决.有学生在画抛物线的示意图时为难了，怎样的示意图才能将抛物线上点的特征显示出来，即使书上有现成的图，有些学生也不知道为什么要那么画，这时候会在脑海中不断出现学习中的障碍. 在讲授式教学中不会出现这个问题，因为学生直接接受教师画好的示意图，而且教师在讲授的过程中还会边画边解释，所以有部分学生是凭短暂记忆实现短暂理解，时间一长又忘了. 但通过自己阅读发现再共同解决的问题就不会担心遗忘，而学生在阅读过程中发现的问题正是本节课的难点. 学生通过阅读完成问题（4）时，会有一个一般到具体的转化过程，而且书上没有现成的答案可抄，这个问题就是检测对上述问题是否理解及理解的深度.
第二环节，合作交流、展示点拨完成助思、助论的功能.其实在第一环节自主梳理时，不同层次的学生已经在脑海中形成不同的问题. 合作交流环节给大家提供一个提问、解惑的平台，教师将学生的问题进行归纳、筛选，让各组展示能直指知识核心及难点的问题. 学生的能力远超笔者的想象，各小组长将组内不能解决的问题直接写到黑板上，这是当时学生提出的5个问题：（1）为什么那条定直线叫准线；（2）为什么建系时原点要建在抛物线的顶点O；（3）为什么化简后只有一个二次式；（4）为什么焦点是
，0；（5）如何简便判断开口方向. 以上五个问题，（1）是命名问题，教师直接解决，问题（3）（4）（5）只有将问题（2）解决了才能解决.学生不能轻松解决问题（2），此时教师说明建系的方式不止一种，但原则是这种建系下要使方程更为简洁. 有学生想弄明白其他建系方式下方程是怎样的，教师可请某些学生在黑板上将推理写出来，其余学生在下面选一种方式推导，写完后让这些学生分别对着台下的人说出自己的解答过程.这样做，学生对方程的特点会理解得更深刻些.
第6篇：抛物线的标准方程范文
一、创设情境，让学生学得有兴趣。
创设生动有趣的生活情境，使学生身临其境，引导学生发现数学，掌握数学和运用数学，沟通生活中的数学和课本中的数学的联系，使数学和生活融为一体。这样才有益于学生理解数学，应用数学。
如在学习“抛物线及标准方程”这节课时，正值元旦过后，新年许多学生都放了烟花或刚观看过烟花，它们的运动轨迹就是抛物线，创设学生熟悉的以烟花的轨迹为生活情境，让学生感受了抛物线在生活中的实例，激发了学习兴趣。又如，每位同学小时候都玩过纸飞机，它的飞行轨迹也是抛物线。
情境的设置给新知识的引入提供了一个丰富、多样的空间，调动了学生的学习兴趣和参与意识，达到了教学目的。数学在同学们的眼中不再是简单的数学，而是富有情感、贴近生活、具有活力的东西。同学们还能切切实实地感受到：数学来源于生活，生活中处处有数学，数学知识能为我们的学习、生活服务！从而体现数学的意义与价值。
二、调动情感，让学生感受、体验数学。
调动学生的积极情感，可使学生积极地、主动热情地参与到数学知识的构建过程中去， 体验数学、感受数学，获得经验。要让学生于快乐之中掌握知识，创造一个和谐、热烈、紧张、愉快的课堂气氛，尽量让学生去发现问题、解决问题，让他们成为学习活动的积极参与者.教师应鼓励学生大胆想象，大胆猜测，激发学生学习的积极性，促使他们像科学家一样去研究、验证自己的猜想。在猜测―验证―论证的过程中，体会数学结论形成的过程，体验数学知识的科学性，获取成功的喜悦。
如探究抛物线的定义的过程：引导学生回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0
教师设计了一个动手操作的活动简单实验，让每个学生用事先准备好一根直尺、三角板、绳子、铅笔，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线。反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结。这样 在整个探索的过程中逐步升华了学生渴望数学学习的情感。让学生感受数学、体验数学，让学生在动手动脑中获得了不同的体验与收获。学生的主体地位在新课堂上应得到最鲜明的体现。
三、提供空间，让学生在动手实践中学习。
课程标准重视学生的学习过程和动手操作。通过“做数学”来学习数学。教学中要重视知识的发生和发展过程，加强学生的动手实践，体验数学知识的来历，在操作过程中获取知识与经验。 活动、参与是思维的起点，若分割了活动与思维的联系，则思维就很难得到发展，而动手实践，是最易激发学生的思维和想象的。关注学生的直接经验，让学生在亲身体验中发现、理解、掌握、应用数学知识。
如关于抛物线的标准方程的推导：
设定点F到定直线l的距离为p（p为已知数且大于0），怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？
让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的方案：
方案1：（由第一组同学完成，请一优等生演板.）以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系（图2-30）.设定点F（p，0），动点M的坐标为（x，y），过M作MDy轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}.
化简后得：y2=2px-p2（p>0）.
方案2：（由第二组同学完成，请一优等生演板）
以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系（图2-31）.设动点M的坐标为（x，y），且设直线l的方程为x=-p，定点F（0，0），过M作MDl于D，抛物线的集合为：
p={M||MF|=|MD|}.
化简得：y2=2px+p2（p>0）.
方案3：（由第三、四组同学完成，请一优等生演板.）
取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（图2-32）.
抛物线上的点M（x，y）到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}.
化简后得：y2=2px（p>0）.
引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程.这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍.
第7篇：抛物线的标准方程范文
一、考试要求
（1）掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程。
（2）掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线的简单几何性质。
（3）掌握抛物线的定义，标准了方程和抛物线的简单几何性质。
（4）了解圆锥曲线的初步应用。
二、考情纵览
圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学各主干知识的交汇点，中学各种思想方法的综合点，初等数学与高等数学的衔接点，理所当然成为历届高考命题的热点。
圆锥曲线的定义，方程和性质，在高考试卷中分值一般在10分左右，主要以选择题和填空题形式考查圆锥曲线的概念，标准方程，几何性质等基础知识及其应用，以简单或中档题为主，个别题目会是中等偏上的难度。圆锥曲线的综合问题主要考查根据条件，求平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质，纵观近几年高考试题，圆锥曲线的综合问题一般都是一道解答题，通常难度较大，多为把关题或压轴题，分值为12左右，重点考查圆锥曲线中的几何量的确定或几何量取值范围的确定，主要的题型有：动点的轨迹方程问题，最值或取值范围问题，定值或定点问题，探索性问题，直线与圆锥曲线的位置关系问题，与其他数学知识的交汇问题。
三、复习建议
1、熟练掌握圆锥曲线的有关概念，方程和几何性质等基础知识，它们是准确解题的依据。
2、掌握把几何条件转化为代数形式的核心解题思路和坐标法这个核心解题方法。
3、掌握好解答典型问题的通性和通法以及一些常用的求解技巧，如“设而不求，”或“代点法”“整体代入”或“点差法”等，通过强化训练以体会其中的思维模式与方法。
4、本章综合性强，能力要求高，还涉及到函数、方程、不等式、平面几何等许多知识，可以有效地考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想。重视对数学思想方法的提炼，以便优化解题思维，简化解题过程。
四、知识网络
五、重难点
重点：掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程和它们简单几何胜质。特别椭圆及双曲线的离心率的求解。
难点：直线与圆锥曲线的位置关系，轨迹问题、最值、范围问题，定值问题及探索性问题。
六、资料的使用
圆锥曲线问题的求解特点是以代数方法求解几何问题，所以求解思路易找，但是由于运算量大，不仅影响解题速度，也极容易出错，因此又易形成“答对困难”的现象。圆锥曲线中蕴含着许多数学思想，若能根据题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能简化运算，从而使问题简捷，准确地获解。因此需要大量的练习，才能获得基本功，才会熟能生巧。
第1讲：椭圆——它的几何性质主要是围绕椭圆中的“六点”（两个焦点，四个顶点）“四线”（两条对称轴，两条准线）“两形”（中心，焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形），研究它们之间的相互关系。资料上的东西全部使用。
第2讲：双曲线——可与椭圆类比来理解，掌握双曲线的定义，标准方程和几何性质。但应特别注意两者的不同点，如a ， b， c关系，渐近线等，渐近线是刻画双曲线范围的重要概念，高考特别注意与互相关问题的考查，资料全使用。
第3讲：抛物线——重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化。抛物线的标准方程有四种，在求解过程中，首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式，然后利用已知求解。将方程y=ax2 与方程y2=2px区别开，谁是标准方程很重要。对于抛物线y2=2px(p>0)上的点的坐标设为（ ，y） 常有利于简化运算。
第4讲直线与圆锥曲线的位置关系。
(1)直线与圆锥曲线的位置关系中的中点弦问题：（1）直线与圆锥曲线的关系是解析几何中一类重要问题，解题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技巧。
（2）运用“点差法”解决弦的中点问题：涉及弦的中点问题，可以利用判别式和根与系数的关系加以解决，也可以利用“点差法”解决此类问题，若知道中点，则利用“点差法”可得出过中点弦的直线的斜率。
2、对于直线与曲线的交点，常采取设而不求或“代点法”等方法，这是简化解题过程的常技巧，要认真领会。但采用这些方法，由于避免了方程的过程，方程的解是否存在，必须由>0这一条件进行保证，否则会发生错误。
3、解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法。若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑得用图形性质来解决，这就是几何法。若题目的条件和结论体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法。
在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
第8篇：抛物线的标准方程范文
1.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，-1)，C(2，-3)两点，点D在直线3x-y+1=0上移动，则点B的轨迹方程为()
A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0
C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0
答案：A 解题思路：设AC的中点为O，即.设B(x，y)关于点O的对称点为(x0，y0)，即D(x0，y0)，则由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.
2.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为()
A.1 B.2
C. -2D.3
答案：C 解题思路：当该点是过圆心向直线引的垂线的交点时，切线长最小.因圆心(3,0)到直线的距离为d==2，所以切线长的最小值是l==.
3.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点，则b的取值范围是()
A.{b||b|=}
B.{b|-1
C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是双曲线渐近线上的一点，AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF1|，则渐近线的斜率为()
A.或- B.或-
C.1或-1 D.或-
答案：D 命题立意：本题考查了双曲线的几何性质的探究，体现了解析几何的数学思想方法的巧妙应用，难度中等.
解题思路：如图如示，不妨设点A是第一象限内双曲线渐近线y=x上的一点，由AF2F1F2，可得点A的坐标为，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，则tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得该双曲线渐近线的斜率为或-，故应选D.
4.设F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，与直线y=b相切的F2交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与F2的切点，则椭圆的离心率为()
A. B.
C. D.
答案：C 解题思路：由题意可得，EF1F2为直角三角形，且F1EF2=90°，
|F1F2|=2c，|EF2|=b，
由椭圆的定义知|EF1|=2a-b，
又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，
即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，
所以e2===，故e=，故选C.5.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为()
A. B.2 C.4 D.8
答案：C 解题思路：由题意得，设等轴双曲线的方程为-=1，又抛物线y2=16x的准线方程为x=-4，代入双曲线的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以双曲线的实轴长为2a=4，故选C.
6.抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线围成的三角形的面积等于()
A. B.3 C. D.3
答案：B 命题立意：本题主要考查抛物线与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的运算能力.
解题思路：依题意得，抛物线y2=-12x的准线方程是x=3，双曲线-=1的渐近线方程是y=±x，直线x=3与直线y=±x的交点坐标是(3，±)，因此所求的三角形的面积等于×2×3=3，故选B.
7.若双曲线-=1与椭圆+=1(m>b>0)的离心率之积大于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是()
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
答案：D 解题思路：双曲线的离心率为e1=，椭圆的离心率e2=，由题意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形为钝角三角形，故选D.
8. F1，F2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点.若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()
A.2 B. C. D.
答案：B 命题立意：本题主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何性质以及基本量的计算等基础知识，考查了考生的推理论证能力以及运算求解能力.
解题思路：如图，由双曲线定义得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因为ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故选B.
9.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()
A.2 B.3
C. D.
答案：A 解题思路：设抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离分别为d1，d2，根据抛物线的定义可知直线l2：x=-1恰为抛物线的准线，抛物线的焦点为F(1,0)，则d2=|PF|，由数形结合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值时，即为点F到l1的距离，利用点到直线的距离公式得最小值为=2，故选A.
10.已知双曲线-=1(a>0，b>0)，A，B是双曲线的两个顶点，P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上，P关于y轴的对称点是Q.若直线AP，BQ的斜率分别是k1，k2，且k1·k2=-，则双曲线的离心率是()
A. B. C. D.
答案：C 命题立意：本题考查双曲线方程及其离心率的求解，考查化简及变形能力，难度中等.
解题思路：设A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于点P在双曲线上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故选C.
二、填空题
11.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面积的最小值是________.
答案：(1)-8 (2)2 命题立意：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，难度中等.
解题思路：设直线AB的方程为x-2=m(y-0)，即x=my+2，联立得y2-4my-8=0.(1)由根与系数的关系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面积为S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.
知识拓展：将ABF分割后进行求解，能有效减少计算量.
12. B1，B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是________.
答案： 命题立意：本题考查椭圆的基本性质及等比中项的性质，难度中等.
解题思路：设椭圆方程为+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.
13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若=，则p=________.
答案：2 解题思路：过B作BE垂直于准线l于E，
=， M为AB的中点，
|BM|=|AB|，又斜率为，
BAE=30°， |BE|=|AB|，
|BM|=|BE|， M为抛物线的焦点，
p=2.
14.
第9篇：抛物线的标准方程范文
一、抛物线
【规律探踪】在抛物线y2=2mx（m≠0）中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点P（x0，y0）是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN・y0=m。
注意：能用这个公式的条件：①直线与抛物线有两个不同的交点；②直线的斜率存在.
例1设A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线。
⑴当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论。
⑵当x1=1，x2=-3时，求直线l的方程。
解析：⑴x2=12y，p=14，F（0，18）。
设线段AB的中点为P（x0，y0），直线l的斜率为k，则x1+x2=2x0
若直线l的斜率不存在，当且仅当x1+x2=0时，AB的垂直平分线l为y轴，经过抛物线的焦点F。
若直线l的斜率存在，则其方程为y=k（x-x0）+y0，kAB=-1k。
由1kAB・x0=p得：-kx0=14，x0=-14k。
若直线l经过焦点F，则得：18=-kx0+y0=14+y0，y0=-14，与y00相矛盾。
当直线l的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F。
综上所述，当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F。
⑵当x1=1，x2=-3时，A（1，2），B（-3，18），x0=x1+x22=-1，y0=y1+y22=10.
由1kAB・x0=p得：k=14。
所求的直线l的方程为y=14（x+1）+10，即x-4y+41=0
二、椭圆
【规律探踪】在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点P（x0，y0），点是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为KMN，则KMN・y0x0=b2a2。
例2已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=22，右准线方程为x=2。
⑴求椭圆的标准方程；
⑵过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且|F2M+F2N|=2263，求直线l的方程。
解：⑴根据题意，得e=ca=22 x=a2c =2
a=2，b=1，c=1。所求的椭圆方程为x22+y2=1.
⑵椭圆的焦点为F1（-1，0）、F2（1，0）。设直线l被椭圆所截的弦MN的中点为P（x，y）。
由平行四边形法则知：F2M+F2N=2F2P。
由|F2M+F2N|=2263得：|F2P|=263。
（x-1）2+y2=269.…………………………………①
若直线l的斜率不存在，则lx轴，这时点P与F1（-1，0）重合，|F2M+F2N|=|2F2F1|=4，与题设相矛盾，故直线l的斜率存在.
由kMN・yx=-b2a2得：yx+1・yx=-12.
y2=-12（x2+x）.……………………………………②
②代入①，得（x-1）2-12（x2+x）=269.
整理，得：9x2-45x-17=0；解之得：x=173，或x=-23。
由②可知，x=173不合题意。
x=-23，从而y=±13；k=yx+1=±1.
所求的直线l方程为y=x+1，或y=-x-1。
三、双曲线
例3设A、B是双曲线x2-y22=1上两点，点N（1，2）是线段AB的中点。
⑴求直线AB的方程；
⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？
解析：⑴a2=1，b2=2，焦点在x上；由kAB・y0x0=b2a2得：kAB・2=2，kAB=1。
所求的直线AB方程为y-2=1・（x-1），即x-y+1=0。
⑵设直线CD的方程为x+y+m=0，点N（1，2）在直线CD上，
1+2+m=0，m=-3。直线CD的方程为x+y=0。
又设弦CD的中点为M（x，y），由KCD・yx =b2a2 得：-1・yx=2 ，即y=-2x。
由x+y-3=0y=-2x得x=-3，y=6。点M的坐标为（-3，6）。
又由x+y+3=0x2-y22=1得A（1，0）.B（3，4）
由两点间的距离公式可知：|MA|=|MB|=|MC|=|MD|=210。
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