数学高三总结精选(九篇)

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第1篇：数学高三总结范文

2021年高三数学知识点总结有哪些?高三数学一直是学习的难点。对于高考生来说，总结高三的知识点非常重要。共同阅读2021年高三数学知识点总结，请您阅读!

高三数学知识点总结1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的确定性、互异性、无序性。

中元素各表示什么?

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3.注意下列性质：

(3)德摩根定律：

4.你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

的取值范围。

6.命题的四种形式及其相互关系是什么?

(互为逆否关系的命题是等价命题。)

原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。

7.对映射的概念了解吗?映射f：AB，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射?

(一对一，多对一，允许B中有元素无原象。)

8.函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?

(定义域、对应法则、值域)

9.求函数的定义域有哪些常见类型?

10.如何求复合函数的定义域?

义域是_____________。

11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗?

12.反函数存在的条件是什么?

(一一对应函数)

求反函数的步骤掌握了吗?

(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)

13.反函数的性质有哪些?

①互为反函数的图象关于直线y=x对称;

②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

14.如何用定义证明函数的单调性?

(取值、作差、判正负)

如何判断复合函数的单调性?)

15.如何利用导数判断函数的单调性?

值是( )

A.0B.1C.2D.3

a的最大值为3)

16.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?

(f(x)定义域关于原点对称)

注意如下结论：

(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

17.你熟悉周期函数的定义吗?

函数，T是一个周期。)

如：

18.你掌握常用的图象变换了吗?

注意如下翻折变换：

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

的双曲线。

应用：①三个二次(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系二次方程

②求闭区间[m，n]上的最值。

③求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

由图象记性质! (注意底数的限定!)

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?

20.你在基本运算上常出现错误吗?

21.如何解抽象函数问题?

(赋值法、结构变换法)

22.掌握求函数值域的常用方法了吗?

(二次函数法(配方法)，反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。)

如求下列函数的最值：

23.你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?

24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?

(x，y)作图象。

27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意(到)运用函数的有界性了吗?

29.熟练掌握三角函数图象变换了吗?

(平移变换、伸缩变换)

平移公式：

图象?

30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?

奇、偶指k取奇、偶数。

A.正值或负值B.负值C.非负值D.正值

31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?

理解公式之间的联系：

应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。)

具体方法：

(2)名的变换：化弦或化切

(3)次数的变换：升、降幂公式

(4)形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化，而解斜三角形?

(应用：已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)

33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。

34.不等式的性质有哪些?

答案：C

35.利用均值不等式：

值?(一正、二定、三相等)

注意如下结论：

36.不等式证明的基本方法都掌握了吗?

(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)

并注意简单放缩法的应用。

(移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。)

38.用穿轴法解高次不等式奇穿，偶切，从最大根的右上方开始

39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

40.对含有两个绝对值的不等式如何去解?

(找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。)

证明：

(按不等号方向放缩)

42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题，或问题)

43.等差数列的'定义与性质

0的二次函数)

项，即：

44.等比数列的定义与性质

46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?

例如：(1)求差(商)法

解：

[练习]

(2)叠乘法

解：

(3)等差型递推公式

[练习]

(4)等比型递推公式

[练习]

(5)倒数法

47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?

例如：(1)裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

解：

[练习]

(2)错位相减法：

(3)倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

[练习]

48.你知道储蓄、贷款问题吗?

零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

若按复利，如贷款问题按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款分期等额归还本息的借款种类)

若贷款(向银行借款)p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期(如一年)后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r(按复利)，那么每期应还x元，满足

p贷款数，r利率，n还款期数

49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

(2)排列：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一

(3)组合：从n个不同元素中任取m(mn)个元素并组成一组，叫做从n个不

50.解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( )

A.24B.15C.12D.10

解析：可分成两类：

(2)中间两个分数相等

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，有10种。

共有5+10=15(种)情况

51.二项式定理

性质：

(3)最值：n为偶数时，n+1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

表示)

52.你对随机事件之间的关系熟悉吗?

的和(并)。

(5)互斥事件(互不相容事件)：A与B不能同时发生叫做A、B互斥。

(6)对立事件(互逆事件)：

(7)独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

53.对某一事件概率的求法：

分清所求的是：(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法，即

(5)如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

(1)从中任取2件都是次品;

(2)从中任取5件恰有2件次品;

(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;

解析：有放回地抽取3次(每次抽1件)，n=103

而至少有2件次品为恰有2次品和三件都是次品

(4)从中依次取5件恰有2件次品。

解析：一件一件抽取(有顺序)

分清(1)、(2)是组合问题，(3)是可重复排列问题，(4)是无重复排列问题。

54.抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取;

系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个;分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55.对总体分布的估计用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法：

(2)决定组距和组数;

(3)决定分点;

(4)列频率分布表;

(5)画频率直方图。

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

56.你对向量的有关概念清楚吗?

(1)向量既有大小又有方向的量。

在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。

(6)并线向量(平行向量)方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。

(7)向量的加、减法如图：

(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)

的一组基底。

(9)向量的坐标表示

表示。

57.平面向量的数量积

数量积的几何意义：

(2)数量积的运算法则

58.线段的定比分点

.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?

59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗?

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

高中数学最易混淆知识点归纳1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.

2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况

3.你会用补集的思想解决有关问题吗?

4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?

5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.

6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.

7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.

9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.

10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法

11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.

12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?

14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?

(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论

15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?

16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。

17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。

若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?

18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.

19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?

20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?

21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.

22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.

23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a

24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?

25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。

26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在?

27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。

)

28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。

29.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?

30.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?

31.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?

32.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次)

33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是

34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?

35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规范,可别忘了)，你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?

36.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：

(1)函数的图象的平移为“左+右-，上+下-”;如函数的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为y=2(x+2)+4-3，即y=2x+5.

(2)方程表示的图形的平移为“左+右-，上-下+”;如直线左移2个个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为2(x+2)-(y+3)+4=0，即y=2x+5.

(3)点的平移公式：点P(x,y)按向量平移到点P'(x',y')，则x=x'+hy'=y+k.

37.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，再判定角的范围)

38.形如的周期都是，但的周期为。

第2篇：数学高三总结范文

1、最大限度提高文科学生学习数学的兴趣

大部分文科学生可能是由于理科学的不优秀而选择了文科，很多文科学生对数学的学习也有胆怯的心理，他们没有任何理由就是不喜欢学数学，甚至是讨厌数学老师，所以数学课堂氛围沉闷，课堂上和老师的互动也很被动，让人有一种窒息的感觉。为了解决这一不良现象，我们花费了很多的精力，想了很多的方法，我们全组老师下决心必须改变这一局面。因为只有改变了这个局面，文科的数学才有希望，文科的数学在高考中的龙头作用才能发挥出来。我们首先把握住一轮学法讲座的最佳时机对学生进行心与心的交流，纠正、引导学生如何突破心理的这道障碍，在讲座中运用大量的实例和感动的语言慢慢走进学生的内心，说到他们所想，说到他们所需，教给他们怎样听课记笔记，怎样发言怎样和老师相处，通过学法讲座我们所有文科学生的面貌有了很大的改观。为了抓住好的良机，全组老师把这一重任渗透到每一节课，课堂上我们努力做到不发火，让学生处在一种放松的环境里学习知识，即使学生有的地方做的不尽人意我们也是鼓励再鼓励。通过我们一年不懈的努力，文科学生学数学的情绪非常高涨，成绩也一路高升，受到领导和老师的肯定、家长和学生的赞誉。

2、抓考纲，研究高考题，把握高考方向

高三的复习内容容量很大，面对繁重的高考复习任务，如果不能把握准方向，那势必会出过头劲。为了很好的掌控文科数学复习的方向，不走弯路，首先我们及时总结以往高三教学的经验和教训，对考纲重复不断的分析，从中找出变与不变，找出重点与侧重点，该多花时间的章节丝毫也不吝啬；该少花时间的章节一定不多花一秒钟。组内的教研由每周一次变为每天一次。每上完当天的课我们都回组内畅所欲言、查漏补缺，及时调整，同事之间取长补短。

其次我们加大力度研究多年的高考题，我们组所有的老师都至少做五年的高考题，从高考题中我们足可以体会到很多的东西来，对我们平日教学的指导意义是非常巨大的。所以我们的复习针对性很强，不走弯路，不走迂回的路。复习过程中的底气也很足，对今年高考的出题趋势也有比较明确的把握，在六号晚上的考前辅导讲座中很明确的告诉学生如何应对后三个大题的技巧和心理想法，所以我们的学生在面对今年的高考题目时没有因为难而打乱做题的节奏。

3、“源于教材而高于教材”，夯实基础知识

第一轮复习，必须加深学生对课本中概念、定义、定理、法则、公式的透彻理解，注重课本的例题中所蕴涵的思想方法和习题的特点，运用、挖掘例题和习题的价值和内涵，提供多种解法，训练学生的发散性思维。只有这样，才能让学生从一个题目联想到一个知识点，在脑海中建构出知识的网络，一点就透，举一反三，大大降低学生学习数学的难度。为了做好这一点，我们在开始一轮复习的时候，我们就把课本中的重点和难点的知识点和例题习题全部刻印成讲义印发到学生手里，课堂上按部就班地和学生一起解疑答问。同时我们又非常重视“高于教材”的理念，无论是周练习还是平日的作业 我们也及时的对此类型进行有效的训练。今年的高考题（ 21 ）题为应用题，这道题目是学生之间拉开差距的一道题目。题目涉及这到球和圆柱构成的组合体的表面积和体积，贴近学生的学习实际，背景公平，由于教材中也出现了多个以体积为平台，考查导数应用的实际问题，因此该问题的设计充分体现了“源于教材而高于教材”的理念。由于我们在平日的训练中做的比较到位，所以学生在面对此题的时候没有出现情绪上的波动，也没有感觉题目难，得分率令人满意。

4、抓计算能力和读题能力

学生计算能力有缺失，这是不争的事实，具体表现为三种：不会算、算错、算得太慢。甚至有很多学生会发出这样的感叹：“这道题我明明会做，但是就是做不对”。那么怎么纠正？我们的做法是在课堂上给时间，少讲多练。充分利用每一次作业的机会，先讲、学生订正 、再改、再讲，把每个过程精细化。周练习我们不但及时批改，我们尽可能的采取面批的形式，这种方法最为直观有效。我们采取“盯人战术”，纠正学生中存在的侥幸心理，让他们认识到“计算无小错，细节定成败”。俗话说：“讲十遍不如动手一遍”。学生的一道题算错了，教师不仅要指出算错的是那个步骤，一定要让学生还原到错误点重新计算，也算是“哪里跌倒哪里爬起来”吧。

我们的学生还存在着读不懂题目的问题，找不到相关信息点，懂不出隐藏信息，提炼不了相应的数学模型。我们的做法是在复习课和试卷讲评课我们老师手把手教给学生，老师先以一个做题人的身份去读题去分析题，然后让学生去读题去分析题，我们不厌其烦的一遍又一遍的重复。对于学生的这两个毛病，我们足足纠正了一年，尽管过程非常辛苦，但收效是令人欣慰的。在今年的高考题中我们的学生基本上都能做到会做的题得满分。

5、抓边际生对重点知识通性通法的训练力度

边际生成绩的好坏对班级和级部的影响是不可忽视的，抓好边际生的工作显得尤为重要。我们对边际生的做法是：每周有两次早饭后40分钟的补课，补课内容我们一律是从做过的题目和复习过的知识点中找，找专人负责找题并刻印成讲义，对学生错过的题目我们决不放弃，一遍不行就两遍，增加对重点知识通性通法的训练力度，他们的周练习我们一律都是面批，包括他们的改错我们都跟踪到位，有的边际生的改错我们的批改次数多的达到了六次。在整个复习过程中，我们不但对边际生进行知识上的补习，而且我们还对他们的思想和生活进行开导和关心，让学生在温暖中进步。

6、对周练习的重视程度如同考试，对统考如同高考

我们认真对待我们的每一次周练习，我们把每一次的周练习都当做考试来操作，学生单人单桌，教师监考。周练习题目的找寻我们下的功夫也非常大，每一次都翻阅大量的资料从中组题筛选，让遗憾在每一次中都降低到最小。除了知识上的滚动我们尽量兼顾到新颖题型在每一次周练习中的训练。每一次的周练习的批改一定是在周日晚饭前结束，然后将成绩传到班主任手里，班主任和任课老师共同找学生查找原因，做思想工作，让学生的错误和不端正的态度消灭在萌芽中。

第3篇：数学高三总结范文

形式：深入农村，与村民攀谈，搞调查

时间：200*年7月22日7月27日

地点：山东省平度市崔家集镇周家村

组织者：山东省青岛海洋大学工程学院团总支

参与者：山东省青岛海洋大学工程学院**级、**级部分同学

一调查数据

概况：

周家村共有230户约800口人，住房占地约200亩，耕地1550亩。本村固定资产120万，去年总产值为12210000元，人均毛收入为3800元。

(一)经济收入状况

经济收入以经济作物为主，辅以副业如养鸡，养老鼠。经济作物收入占经济总收入80%。经济作物包括苹果、蔬菜、黄烟、花生、柿子和制种。自19**年以来有果园200亩、蔬菜100亩、黄烟500亩，现在黄烟已发展到800亩。1990年进行村庄规划后，1992年在房前屋后种上了5000棵柿子树，现在每棵树能收入两百元以上，近年又种上了1000棵柿子树，估计明年能大量挂果。制种业是新兴产业，包括西瓜、西葫芦、西红柿、辣椒四个品种，种植面积在200亩左右每亩毛收入一万元左右。

(二)受教育状况

村民中有30%受过初等教育、3%受到过高等教育。现在村里只有三个高中生。如今儿童的上学年龄限制到8岁，但有50%的孩子九岁才开始上学。

(三)生活状况

据调查村民的粮食、蔬菜都自给，只买一些油盐、肉制品，因此大部分家庭每月生活费在200元以下。

二下乡感悟

(一)我看农村教育

人们在形容农村的教育状况时总是用适龄儿童入学率低、失学率高、教育状况落后等短语一言概之。这就模糊了教育落后的根本原因，甚至误导读者进入边远地区人们不重视教育这一误区。

第4篇：数学高三总结范文

导数及其应用

第八讲

导数的综合应用

2019年

1.（2019全国Ⅲ文20）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当0

2.（2019北京文20）已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：；

（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．

3.（2019江苏19）设函数、为f（x）的导函数．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；

（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．

4.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f

′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f

′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

5.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f

′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f

′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

6.（2019全国Ⅱ文21）已知函数.证明：

（1）存在唯一的极值点；

（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

7.（2019天津文20）设函数，其中.

（Ⅰ）若，讨论的单调性；

（Ⅱ）若，

（i）证明恰有两个零点

（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.

8.（2019浙江22）已知实数，设函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）对任意均有

求的取值范围.

注：e=2.71828…为自然对数的底数.

2010-2018年

一、选择题

1．（2017新课标Ⅰ）已知函数，则

A．在单调递增

B．在单调递减

C．的图像关于直线对称

D．的图像关于点对称

2．（2017浙江）函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是

A．

B．

C．

D．

3．（2016年全国I卷）若函数在单调递增，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．

4．（2016年四川）已知为函数的极小值点，则

A．4

B．2

C．4

D．2

5．（2014新课标2）若函数在区间（1，+）单调递增，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．

6．（2014新课标2）设函数．若存在的极值点满足

，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．

7．（2014辽宁）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是

A．

B．

C．

D．

8．（2014湖南）若，则

A．

B．

C．

D．

9．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数与

的图像不可能的是

10．（2013新课标2）已知函数，下列结论中错误的是

A．

B．函数的图像是中心对称图形

C．若是的极小值点，则在区间单调递减

D．若是的极值点，则

11．（2013四川）设函数（，为自然对数的底数）．若存在使成立，则的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．

12．（2013福建）设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是

A．

B．是的极小值点

C．是的极小值点

D．是的极小值点

13．（2012辽宁）函数的单调递减区间为

A．(－1,1]

B．(0,1]

C．

[1,+)

D．(0,+)

14．（2012陕西）设函数，则

A．为的极大值点

B．为的极小值点

C．为的极大值点

D．为的极小值点

15．（2011福建）若，，且函数在处有极值，则的最大值等于

A．2

B．3

C．6

D．9

16．（2011浙江）设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是

A

B

C

D

17．（2011湖南）设直线

与函数，

的图像分别交于点，则当达到最小时的值为

A．1

B．

C．

D．

二、填空题

18．（2016年天津）已知函数为的导函数，则的值为____.

19．（2015四川）已知函数，(其中)．对于不相等的实数，设＝，＝．现有如下命题：

①对于任意不相等的实数，都有；

②对于任意的及任意不相等的实数，都有；

③对于任意的，存在不相等的实数，使得；

④对于任意的，存在不相等的实数，使得．

其中真命题有___________(写出所有真命题的序号)．

20．（2011广东）函数在=______处取得极小值．

三、解答题

21．（2018全国卷Ⅰ）已知函数．

(1)设是的极值点．求，并求的单调区间；

(2)证明：当时，．

22．（2018浙江）已知函数．

(1)若在，()处导数相等，证明：；

(2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．

23．（2018全国卷Ⅱ）已知函数．

(1)若，求的单调区间；

(2)证明：只有一个零点．

24．（2018北京）设函数．

(1)若曲线在点处的切线斜率为0，求；

(2)若在处取得极小值，求的取值范围．

25．（2018全国卷Ⅲ）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：当时，．

26．（2018江苏）记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．

(1)证明：函数与不存在“点”；

(2)若函数与存在“点”，求实数a的值；

(3)已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．

27．（2018天津）设函数，其中，且是公差为的等差数列．

(1)若

求曲线在点处的切线方程；

(2)若，求的极值；

(3)若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围．

28．（2017新课标Ⅰ）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若，求的取值范围．

29．（2017新课标Ⅱ）设函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，，求的取值范围．

30．（2017新课标Ⅲ）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明．

31．（2017天津）设，．已知函数，

．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点处有相同的切线，

（i）求证：在处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．

32．（2017浙江）已知函数．

（Ⅰ）求的导函数；

（Ⅱ）求在区间上的取值范围．

33．（2017江苏）已知函数有极值，且导函数

的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：；

34．（2016年全国I卷）已知函数.

(I)讨论的单调性；

(II)若有两个零点，求的取值范围.

35．（2016年全国II卷）已知函数.

(Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程；

(Ⅱ)若当时，，求的取值范围.

36．（2016年全国III卷）设函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）证明当时，；

（III）设，证明当时，．

37．（2015新课标2）已知函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围．

38．（2015新课标1）设函数．

（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；

（Ⅱ）证明：当时．

39．（2014新课标2）已知函数，曲线在点（0，2）处的切线与轴交点的横坐标为－2．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点．

40．(2014山东）设函数（为常数，是自然对数的底数）

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．

41．（2014新课标1）设函数，

曲线处的切线斜率为0

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若存在使得，求的取值范围．

42．（2014山东）设函数

，其中为常数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数的单调性．

43．(2014广东)

已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，试讨论是否存在，使得．

44．(2014江苏)已知函数，其中e是自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：是R上的偶函数；

（Ⅱ）若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．

45．（2013新课标1）已知函数，曲线在点处切线方程为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．

46．（2013新课标2）已知函数．

（Ⅰ）求的极小值和极大值；

（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围．

47．（2013福建）已知函数（，为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；

（Ⅱ）求函数的极值；

（Ⅲ）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值．

48．(2013天津)已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）

证明：对任意的，存在唯一的，使．

（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的关于的函数为，

证明：当时，有．

49．（2013江苏）设函数，，其中为实数．

（Ⅰ）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；

（Ⅱ）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．

50．（2012新课标）设函数f(x)=－ax－2

（Ⅰ）求的单调区间

（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值

51．（2012安徽）设函数

（Ⅰ）求在内的最小值；

（Ⅱ）设曲线在点的切线方程为；求的值。

52．（2012山东）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设，其中是的导数．

证明：对任意的，．

53．（2011新课标）已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）证明：当，且时，．

54．（2011浙江）设函数，

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．

注：为自然对数的底数．

55．（2011福建）已知，为常数，且，函数，（e=2.71828…是自然对数的底数）．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，是否同时存在实数和()，使得对每一个∈，直线与曲线（∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由．

56．（2010新课标）设函数

（Ⅰ）若=，求的单调区间；

（Ⅱ）若当≥0时≥0，求的取值范围．

专题三

导数及其应用

第八讲

导数的综合应用

答案部分

2019年

1.解析（1）．

令，得x=0或.

若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；

若a=0，在单调递增；

若a

（2）当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增，所以在[0,1]的最小值为，最大值为或.于是

，

所以

当时，可知单调递减，所以的取值范围是.

当时，单调递减，所以的取值范围是.

综上，的取值范围是.

2.解析（Ⅰ）由得．

令，即，得或．

又，，

所以曲线的斜率为1的切线方程是与，

即与．

（Ⅱ）要证，即证，令．

由得．

令得或．

在区间上的情况如下：

所以的最小值为，最大值为．

故，即．

（Ⅲ），由（Ⅱ）知，，

当时，；

当时，；

当时，．

综上，当最小时，．

3.解析（1）因为，所以．

因为，所以，解得．

（2）因为，

所以，

从而．令，得或．

因为都在集合中，且，

所以．

此时，．

令，得或．列表如下：

1

+

–

+

极大值

极小值

所以的极小值为．

（3）因为，所以，

．

因为，所以，

则有2个不同的零点，设为．

由，得．

列表如下：

+

–

+

极大值

极小值

所以的极大值．

解法一：

．因此．

解法二：因为，所以．

当时，．

令，则．

令，得．列表如下：

+

–

极大值

所以当时，取得极大值，且是最大值，故．

所以当时，，因此．

4.解析

（1）设，则.

当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.

又，故在存在唯一零点.

所以在存在唯一零点.

（2）由题设知，可得a≤0.

由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.

又，所以，当时，.

又当时，ax≤0，故.

因此，a的取值范围是.

5.解析

（1）设，则.

当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.

又，故在存在唯一零点.

所以在存在唯一零点.

（2）由题设知，可得a≤0.

由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.

又，所以，当时，.

又当时，ax≤0，故.

因此，a的取值范围是.

6.解析（1）的定义域为（0，+）.

.

因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，

，故存在唯一，使得.

又当时，，单调递减；当时，，单调递增.

因此，存在唯一的极值点.

（2）由（1）知，又，所以在内存在唯一根.

由得.

又，故是在的唯一根.

综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

7.解析（Ⅰ）由已知，的定义域为，且

，

因此当时，

，从而，所以在内单调递增.

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知.令，由，

可知在内单调递减，又，且

.

故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则.

当时，，所以在内单调递增；当时，，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.

令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，

，所以.

从而，

又因为，所以在内有唯一零点.又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.

（ii）由题意，即，从而，即.因为当时，

，又，故，两边取对数，得，于是

，

整理得.

8.解析（Ⅰ）当时，．

，

所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．

（Ⅱ）由，得．

当时，等价于．

令，则．

设

，则

．

（i）当

时，，则

．

记，则

.

故

1

+

单调递减

极小值

单调递增

所以，

．

因此，．

（ii）当时，．

令

，则，

故在上单调递增，所以．

由（i）得．

所以，．

因此．

由（i）（ii）得对任意，，

即对任意，均有．

综上所述，所求a的取值范围是．

2010-2018年

1．C【解析】由，知，在上单调递增，

在上单调递减，排除A、B；又，

所以的图象关于对称，C正确．

2．D【解析】由导函数的图象可知，的单调性是减增减增，排除

A、C；由导函数的图象可知，的极值点一负两正，所以D符合，选D．

3．C【解析】函数在单调递增，

等价于

在恒成立．

设，则在恒成立，

所以，解得．故选C．

4．D【解析】因为，令，，当

时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．所以．故选D．

5．D【解析】，，在（1，+）单调递增，

所以当

时，恒成立，即在（1，+）上恒成立，

，，所以，故选D．

6．C【解析】由正弦型函数的图象可知：的极值点满足，

则，从而得．所以不等式

，即为，变形得，其中．由题意，存在整数使得不等式成立．当且时，必有，此时不等式显然不能成立，故或，此时，不等式即为，解得或．

7．C【解析】当时，得，令，则，

，令，，

则，显然在上，，单调递减，所以，因此；同理，当时，得．由以上两种情况得．显然当时也成立，故实数的取值范围为．

8．C【解析】设，则，故在上有一个极值点，即在上不是单调函数，无法判断与的大小，故A、B错；构造函数，，故在上单调递减，所以，选C．

9．B【解析】当，可得图象D；记，

，

取，，令，得，易知的极小值为，又，所以，所以图象A有可能；同理取，可得图象C有可能；利用排除法可知选B．

10．C【解析】若则有，所以A正确。由得

，因为函数的对称中心为（0,0），

所以的对称中心为,所以B正确。由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间（∞,

）单调递减是错误的，D正确。选C.

11．A【解析】若在上恒成立，则，

则在上无解；

同理若在上恒成立，则。

所以在上有解等价于在上有解，

即，

令，所以，

所以．

12．D【解析】A．，错误．是的极大值点，并不是最大值点；B．是的极小值点．错误．相当于关于y轴的对称图像，故应是的极大值点；C．是的极小值点．错误．相当于关于轴的对称图像，故应是的极小值点．跟没有关系；D．是的极小值点．正确．相当于先关于y轴的对称，再关于轴的对称图像．故D正确．

13．B【解析】,,由，解得，又，

故选B．

14．D【解析】，，恒成立，令，则

当时，，函数单调减，当时，，函数单调增，

则为的极小值点，故选D．

15．D【解析】，由，即，得．

由，，所以，当且仅当时取等号．选D．

16．D【解析】若为函数的一个极值点，则易知，选项A，B的函数为，，为函数的一个极值点满足条件；选项C中，对称轴，且开口向下，

，，也满足条件；选项D中，对称轴

，且开口向上，，，与题图矛盾，故选D．

17．D【解析】由题不妨令，则，

令解得，因时，，当时，

，所以当时，达到最小．即．

18．3【解析】．

19．①④【解析】因为在上是单调递增的，所以对于不相等的实数，恒成立，①正确；因为，所以

=，正负不定，②错误；由，整理得．

令函数，则，

令，则，又，

，从而存在，使得，

于是有极小值，所以存

在，使得，此时在上单调递增，故不存在不相等的实数，使得，不满足题意，③错误；由得，即，设，

则，所以在上单调递增的，且当时，

，当时，，所以对于任意的，与的图象一定有交点，④正确．

20．2【解析】由题意，令得或．

因或时，，时，．

时取得极小值．

21．【解析】(1)的定义域为，．

由题设知，，所以．

从而，．

当时，；当时，．

所以在单调递减，在单调递增．

(2)当时，．

设，则

当时，；当时，．所以是的最小值点．

故当时，．

因此，当时，．

22．【解析】(1)函数的导函数，

由得，

因为，所以．

由基本不等式得．

因为，所以．

由题意得．

设，

则，

所以

16

+

所以在上单调递增，

故，

即．

(2)令，，则

，

所以，存在使，

所以，对于任意的及，直线与曲线有公共点．

由得．

设，

则，

其中．

由(1)可知，又，

故，

所以，即函数在上单调递减，因此方程至多1个实根．

综上，当时，对于任意，直线与曲线有唯一公共点．

23．【解析】(1)当时，，．

令解得或．

当时，；

当时，．

故在，单调递增，在单调递减．

(2)由于，所以等价于．

设，则，

仅当时，所以在单调递增．

故至多有一个零点，从而至多有一个零点．

又，，

故有一个零点．

综上，只有一个零点．

24．【解析】(1)因为，

所以．

，

由题设知，即，解得．

(2)方法一：由(1)得．

若，则当时，；

当时，．

所以在处取得极小值．

若，则当时，，

所以．

所以1不是的极小值点．

综上可知，的取值范围是．

方法二：．

(ⅰ)当时，令得．

随的变化情况如下表：

1

+

−

↗

极大值

在处取得极大值，不合题意．

(ⅱ)当时，令得．

①当，即时，，

在上单调递增，

无极值，不合题意．

②当，即时，随的变化情况如下表：

1

+

−

+

↗

极大值

极小值

↗

在处取得极大值，不合题意．

③当，即时，随的变化情况如下表：

+

−

+

↗

极大值

极小值

↗

在处取得极小值，即满足题意．

(ⅲ)当时，令得．

随的变化情况如下表：

−

+

−

极小值

↗

极大值

在处取得极大值，不合题意．

综上所述，的取值范围为．

25．【解析】(1)，．

因此曲线在点处的切线方程是．

(2)当时，．

令，则．

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

所以．因此．

26．【解析】(1)函数，，则，．

由且，得，此方程组无解，

因此，与不存在“点”．

(2)函数，，

则．

设为与的“点”，由且，得

，即，（*）

得，即，则．

当时，满足方程组（*），即为与的“点”．

因此，的值为．

(3)对任意，设．

因为，且的图象是不间断的，

所以存在，使得．令，则．

函数，

则．

由且，得

，即，（**）

此时，满足方程组（**），即是函数与在区间内的一个“点”．

因此，对任意，存在，使函数与在区间内存在“点”．

27．【解析】(1)由已知，可得，故，

因此，=−1，

又因为曲线在点处的切线方程为，

故所求切线方程为．

(2)由已知可得

．

故．令=0，解得，或．

当变化时，，的变化如下表：

(−∞，

)

(，

)

(，

+∞)

+

−

+

↗

极大值

极小值

↗

所以函数的极大值为；函数小值为．

(3)曲线与直线有三个互异的公共点等价于关于的方程有三个互异的实数解，

令，可得．

设函数，则曲线与直线有三个互异的公共点等价于函数有三个零点．

．

当时，，这时在R上单调递增，不合题意．

当时，=0，解得，．

易得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

的极大值=>0．

的极小值=−．

若，由的单调性可知函数至多有两个零点，不合题意．

若即，

也就是，此时，

且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意．

所以的取值范围是

28．【解析】（1）函数的定义域为，

，

①若，则，在单调递增．

②若，则由得．

当时，；当时，，

所以在单调递减，在单调递增．

③若，则由得．

当时，；当时，，

故在单调递减，在单调递增．

（2）①若，则，所以．

②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为

．从而当且仅当，即时，．

③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为

．

从而当且仅当，即时．

综上，的取值范围为．

29．【解析】（1）

令得

，．

当时，；当时，；当时，．

所以在，单调递减，在单调递增．

（2）．

当时，设函数，，因此在单调递减，而，故，所以

．

当时，设函数，，所以在单调递增，而，故．

当时，，，

取，则，，

故．

当时,取,则,．

综上，的取值范围是．

30．【解析】（1）的定义域为，．

若，则当时，，故在单调递增.

若，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.

（2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为

．

所以等价于，

即．

设，则．

当时，；当时，．所以在单调递增，在单调递减.故当时，取得最大值，最大值为．所以当时，．从而当时，，即．

31．【解析】（I）由，可得

，

令，解得，或．由，得．

当变化时，，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为．

（II）（i）因为，由题意知，

所以，解得．

所以，在处的导数等于0．

（ii）因为，，由，可得．

又因为，，故为的极大值点，由（I）知．

另一方面，由于，故，

由（I）知在内单调递增，在内单调递减，

故当时，在上恒成立，

从而在上恒成立．

由，得，．

令，，所以，

令，解得（舍去），或．

因为，，，故的值域为．

所以，的取值范围是．

32．【解析】（Ⅰ）因为，

所以

（Ⅱ）由

解得或．

因为

x

（，1）

1

（1，）

（，）

-

+

-

↗

又，

所以在区间上的取值范围是．

33．【解析】(1)由,得.

当时，有极小值.

因为的极值点是的零点.

所以，又，故.

因为有极值，故有实根，从而，即.

时，，故在R上是增函数，没有极值；

时，有两个相异的实根，.

列表如下

+

–

+

极大值

极小值

故的极值点是.

从而，

因此，定义域为.

（2）由（1）知，．

设，则．

当时，，所以在上单调递增．

因为，所以，故，即．

因此．

（3）由（1）知,的极值点是，且，.

从而

记，所有极值之和为，

因为的极值为，所以，.

因为，于是在上单调递减.

因为，于是，故.

因此的取值范围为.

34．【解析】

(Ⅰ)

(i)设，则当时，；当时，.

所以在单调递减，在单调递增.

(ii)设，由得或．

①若，则，所以在单调递增.

②若，则,故当时，；

当时，，所以在单调递增，在单调递减.

③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.

(Ⅱ)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.

又，取b满足b

则，所以有两个零点.

(ii)设a=0，则，所以有一个零点.

(iii)设a

又当时，

综上，的取值范围为.

35．【解析】（Ⅰ）的定义域为.当时，

，

曲线在处的切线方程为

（Ⅱ）当时，等价于

令，则

，

（i）当，时，，

故在上单调递增，因此；

（ii）当时，令得

，

由和得，故当时，，在单调递减，因此.

综上，的取值范围是

36．【解析】（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为.

所以当时，.

故当时，，，即.

（Ⅲ）由题设，设，则，

令，解得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.

由（Ⅱ）知，，故，又，

故当时，.

所以当时，.

37【解析】（Ⅰ）的定义域为，．

若，则，所以在单调递增．

若，则当时，；当时，．所以在单调递增，在单调递减．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上无最大值；当时，在取得最大值，最大值为．

因此等价于．

令，则在单调递增，．

于是，当时，；当时，．

因此的取值范围是．

38．【解析】（Ⅰ）的定义域为，．

当时,，没有零点；

当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又，当满足且时，，故当时，存在唯一零点．

（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，；

当时，．

故在单调递减，在单调递增，

所以当时，取得最小值，最小值为．

由于，所以．

故当时，．

39．【解析】（Ⅰ）=，.

曲线在点（0,2）处的切线方程为．

由题设得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

设，由题设知．

当≤0时，，单调递增，，所以=0在有唯一实根．

当时，令，则．

，在单调递减，在单调递增，

所以，所以在没有实根.

综上，=0在R有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点．

40．【解析】（Ⅰ）函数的定义域为

由可得

所以当时，，函数单调递减，

所以当时，，函数单调递增，

所以

的单调递减区间为，的单调递增区间为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，在内单调递减，

故在内不存在极值点；

当时，设函数，，因此．

当时，时，函数单调递增

故在内不存在两个极值点；

当时，

函数在内存在两个极值点

当且仅当，解得

综上函数在内存在两个极值点时，的取值范围为．

41．【解析】（Ⅰ），

由题设知，解得．

（Ⅱ）的定义域为，由（Ⅰ）知，，

（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，

即，解得．

（ii）若，则，故当时，；

当时，，在单调递减，在单调递增．所以，存在，使得的充要条件为，

而，所以不合题意．

（iii）若，则．

综上，的取值范围是．

42．【解析】（Ⅰ）由题意知时，，

此时，可得，又，

所以曲线在处的切线方程为．

（Ⅱ）函数的定义域为，

，

当时，，函数在上单调递增，

当时，令，

由于，

①当时，，

，函数在上单调递减，

②当时，，，函数在上单调递减，

③当时，，

设是函数的两个零点，

则，，

由

，

所以时，，函数单调递减，

时，，函数单调递增，

时，，函数单调递减，

综上可知，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减；

当时，在，上单调递减，在上单调递增．

43．【解析】（Ⅰ）

（Ⅱ）

44．【解析】（Ⅰ），，是上的偶函数

（Ⅱ）由题意，，即

，，即对恒成立

令，则对任意恒成立

，当且仅当时等号成立

（Ⅲ），当时，在上单调增

令，

，，即在上单调减

存在，使得，，即

设，则

当时，，单调增；

当时，，单调减

因此至多有两个零点，而

当时，，；

当时，，；

当时，，．

45．【解析】．由已知得，，

故，，从而；

（Ⅱ）

由（I）知，

令得，或．

从而当时，；当时，．

故在，单调递增，在单调递减．

当时，函数取得极大值，极大值为．

46．【解析】（Ⅰ）的定义域为，

①

当或时，；当时，

所以在，单调递减，在单调递增．

故当时，取得极小值，极小值为；当时，取得极大值，极大值为．

（Ⅱ）设切点为，则的方程为

所以在轴上的截距为

由已知和①得．

令，则当时，的取值范围为；当时，的取值范围是．

所以当时，的取值范围是．

综上，在轴上截距的取值范围．

47．【解析】（Ⅰ）由，得．

又曲线在点处的切线平行于轴，

得，即，解得．

（Ⅱ），

①当时，，为上的增函数，所以函数无极值．

②当时，令，得，．

，；，．

所以在上单调递减，在上单调递增，

故在处取得极小值，且极小值为，无极大值．

综上，当时，函数无极小值；

当，在处取得极小值，无极大值．

（Ⅲ）当时，

令，

则直线：与曲线没有公共点，

等价于方程在上没有实数解．

假设，此时，，

又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故．

又时，，知方程在上没有实数解．

所以的最大值为．

解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）当时，．

直线：与曲线没有公共点，

等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：

（*）

在上没有实数解．

①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解．

②当时，方程（*）化为．

令，则有．

令，得，

当变化时，的变化情况如下表：

当时，，同时当趋于时，趋于，

从而的取值范围为．

所以当时，方程（*）无实数解，解得的取值范围是．

综上，得的最大值为．

48．【解析】（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝2xln

x＋x＝x(2ln

x＋1)，令f′(x)＝0，得.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

f′(x)

－

＋

f(x)



极小值

所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.

（Ⅱ）证明：当0＜x≤1时，f(x)≤0.

设t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．

由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．

h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tln

et－t＝t(e2t－1)＞0.

故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．

（Ⅲ）证明：因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，从而

，

其中u＝ln

s.

要使成立，只需.

当t＞e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．

所以s＞e，即u＞1，从而ln

u＞0成立．

另一方面，令F(u)＝，u＞1.F′(u)＝，令F′(u)＝0，得u＝2.

当1＜u＜2时，F′(u)＞0；当u＞2时，F′(u)＜0.

故对u＞1，F(u)≤F(2)＜0.

因此成立．

综上，当t＞e2时，有.

49．【解析】：（Ⅰ）由题在上恒成立，在上恒成立，；

若，则在上恒成立，在上递增，

在上没有最小值，，

当时，，由于在递增，时，递增，时，递减，从而为的可疑极小点，由题，，

综上的取值范围为．

（Ⅱ）由题在上恒成立，

在上恒成立，，

由得

，

令，则，

当时，，递增，

当时，，递减，

时，最大值为，

又时，，

时，，

据此作出的大致图象，由图知：

当或时，的零点有1个,

当时，的零点有2个,

50．【解析】（Ⅰ）的定义域为，．

若，则，所以在单调递增．

若，则当时，当，，所以

在单调递减，在单调递增．

（Ⅱ）

由于，所以(x－k)

f´(x)+x+1=．

故当时，(x－k)

f´(x)+x+1>0等价于

（）

①

令，则

由（Ⅰ）知，函数在单调递增．而，所以在存在唯一的零点，故在存在唯一的零点，设此零点为，则．当时，；当时，，所以在的最小值为，又由，可得，所以

故①等价于，故整数的最大值为2．

51．【解析】（Ⅰ）设；则

①当时，在上是增函数

得：当时，的最小值为

②当时，

当且仅当时，的最小值为

（Ⅱ）

由题意得：

52．【解析】（Ⅰ）由

=

可得，而，

即，解得；

（Ⅱ），令可得，

当时，；当时，．

于是在区间内为增函数；在内为减函数．

（Ⅲ）

=

因此对任意的，等价于

设

所以，

因此时，，时，

所以，故．

设，则，

，，，，即

，对任意的，．

53．【解析】（Ⅰ）

由于直线的斜率为，且过点，故

即,解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

考虑函数，则

所以当时，故

当时，

当时，

从而当

54．【解析】（Ⅰ）因为

所以

由于，所以的增区间为，减区间为

（Ⅱ）【证明】：由题意得，

由（Ⅰ）知内单调递增，

要使恒成立，

只要，解得

55．【解析】（Ⅰ）由

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得从而

，故：

（1）当；

（2）当

综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（0，1）；

当时，函数的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为。

（Ⅲ）当时，

由（Ⅱ）可得，当在区间内变化时，的变化情况如下表：

－

+

单调递减

极小值1

单调递增

2

又的值域为[1，2]．

由题意可得，若，则对每一个，直线与曲线

都有公共点．并且对每一个，

直线与曲线都没有公共点．

综上，当时，存在最小的实数=1，最大的实数=2，使得对每一个，直线与曲线都有公共点．

56．【解析】（Ⅰ）时，，

。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（1，0）单调减少．

（Ⅱ）。令，则。若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0．

若，则当时，，为减函数，而，

第5篇：数学高三总结范文

高三的复习主要是对高中所有教材内全部模块中的教学内容展开有效的整理，从根本上掌握好高中时期的数学主线，强化知识和知识之间的横竖关联，使复习的效率达到最佳。

比如，在复习高中数学函数相关知识的时候，要把数学1中函数的概念跟基本初等函数、数学4中的基本初等函数2一并提取出来，将其看成是一个整体进行复习，要让学生对初等函数的性质跟概念都能熟练掌握，并从自然界中体会函数的应用情况，帮助学生站在数学本质的角度上对函数有所理解。

就高中时期数学知识内运算主线来说，要把数学1当中集合之间的运算法则（其中主要包含指数函数和对数函数运算法则）跟数学3中概率事件的运算法则、数学4中三角含数一系列运算；数学4中向量的运算、选修2-2中导数运算法则以及复数相关运算相连接在一起，使学生从中感受到不同的运算概念及运算法则，根据类比的方式对算理有一个清晰的理解和认识，进而提升学生运算的正确率。对于高三时期数学知识的总复习来说，要一遍遍通过交汇模块知识的形式，站在整体数学高度中掌握好知识之间的关联性，要根据知识之间的横竖关系把不同的模块知识融合到一起，在学生脑海中形成一个知识网络。

二、高三时期的数学总复习要以巩固基础为主

复习的时候，一定要注意基础知识，培养基本技能，重视知识发展的过程，站在更高层次上去解读数学概念，做到对数学知识有一个全新的认识，只有打下坚实的基础才能提升学生的数学能力。例如下面是2010年福建的一道高三质检试题：

已知函数f（x）=cosx，记Sk=?f（π），（k=1，2，3，…，n），若Tn=S1+S2+S3+…+Sn，则

A.数列{Tn}是递减数列且各项值均小于1

B.数列{Tn}是递减数列且各项值均大于1

C.数列{Tn}是递增数列且各项值均小于1

D.数列{Tn}是递增数列且各项值均大于1

这道题我们可着手于定积分的定义，划分【0，】的区间，从这个思路往下看就可知道第Tn一定会比f（x）图象跟x轴、y轴正方向所围成的曲边三角形面积大，因为它的极限是1，所以B答案是正确的。

复习过程中一定要熟练掌握教材给出的每个概念，把概念产生的过程等都表现在更高层次上，转变并加深对概念的掌握，使学生对概念有一个真正客观的理解，进而掌握好基础知识以及基本技巧。

三、高三数学复习要致力于完善学生的思维

高三时期进行的总复习，一定要在平时教学的前提下展开，强化教学方式的渗透，逐渐完善学生的思维，使学生解答数学问题的经验得到培养，继而提升学生解答数学问题跟分析数学问题的能力。其中数学教学内讲到的解题方式跟思路，一定要在教师跟学生共同探究下完成，只有师生共同参与经过不断优化跟调整解题方式，逐渐渗透解题数学思想方式，才会加深学生对这种题型的解题印象，才会帮助学生学会多种解题手法，通过这种一道题多种解题手法的形式，可方便我们逐渐完善学生对知识的理解，深化解题方式结构，进而完善学生对知识的认识水平。

在复习教学中要给学生信心和启示，逐渐向学生透露函数跟方程的思想、转化思想等数学思想，达到提高学生数学思维的目的，加快养成学生优秀的数学素养。

四、高三时期的数学总复?要以优化教学方式为主

在总复习中，讲评试卷的课程占据的时间很多，复习的时候一定要不断优化教学手段，避免整堂灌的复习手法，要改变“题型+技巧+反复训练”这种复习形式，使学生从研究中学到知识，在跟教师的沟通中得到进步，在实际解答问题的操作中学到解题思路，比如我们可以鼓励分层教学、分组学习等，尽可能激发学生对数学知识的学习热情，使学生成为数学课堂的主体。

五、强化解答数学的有效性

解题属于一项认识活动，是继续学习数学知识的一个学习过程，找到解答问题的思路，实际上就是探寻条件跟结论两者间逻辑关联的过程。就解答数学问题来说，教师首要任务并不是为学生提供出解题的方法和最终的结论，也不是看解题方式有多么的，而是要抛开解法的那层神秘面纱，为这种解法找到一种能够说服学生的合理诠释，必要情况下还要恰当进行引申，指导学生寻找到解答问题最一般的方式，也就是我们说的通性通法，只有如此，学生才会学会解答问题的最基本手法，才会提升解答数学问题的有效性。

第6篇：数学高三总结范文

一、在重要公式的推导过程中领悟数学方法

学生学习数学思想方法，不能脱离公式、定理的推证过程。在高三总复习中依然要重视定理、公式的推证过程，从推证过程中总结典型方法，有助于学生加深理解，从而为应用提供了启发原形，提高复习效率有效手段。

例如：复习椭圆的几何性质时，不要照本宣科地一一罗列几何性质，可以重现知识的发生过程。引导学生对椭圆的方程进行研究，得出椭圆的几何性质，关键是介绍如何通过方程得出x，y的范围，如何来判断对称性，从而教会学生通过方程研究几何性质的方法，这也是整个解析几何研究的本质。为了对知识进一步的深化，可以总结判断一个曲线是否关于x轴、y轴、直线y=x、直线y=-x、原点（0，0）对称时，只需分别把（x，-y）、（-x，y）、（y，x）、（-y，-x）、（-x，-y）代入方程即可。从中指明了证明对称的一类方法――取点法（证明线线对称时，转化为证明任意点的对称关系）。

二、在错解的剖析过程中培养批判思维

教育心理学指出，“概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息”。正确与错误同在，成功与失败同在，如果能充分利用好错误的教学功能，通过设错―纠错―醒悟的教学过程，可进一步帮助学生理解和掌握知识的难点和重点。思维的原动力来源于学生认知结构和学习内容之间的不协调，如果我们设计一些错误迷惑点，犹如一石激起千层浪，必将激起学生强烈的探求新知识的愿望和动力，如：

展示两种解法让学生剖析，学生发现两个答案不一样，这种鲜明的对比、答案的冲突，必将给学生带来吸引力与挑战，通过学生热烈的辨析、反省后对使用均值定理关于等号成立的条件认识就会更深刻、更到位，比直接讲授效果好得多。总之，采用错解的剖析过程教学，具有如下几方面的积极功能：（1）对知识的深化理解功能；（2）对发现思维的培养功能；（3）对数学兴趣的激发功能；（4）对批判思维的训练功能。

三、通过解题后的“解后思”过程，提高学生的数学能力和数学素质

从最近几年的高考看，对能力的要求逐年提高，“题海战术”的功效明显下降。如何在教学中摆脱“题海战术”，提高数学综合素质，“解后思”不失为一个较佳的途径。所谓“解后思”，即做完一道题目后，要多问几个为什么，并从中获得对下次解题有用的经验和教训。通过下面一道试题加以说明：

解题后，要引导学生思考这样的问题：（1）为什么要这么证？这么证明正确吗？（2）证明过程中有哪些关键地方？

通过“一思”，至少有以下的收获：其一是思路方面的，求解思路得到肯定（或否定），下次遇到同类问题时不会手足无措。其二是运算技能方面的，反思过程中发现一个技巧，这样在以后遇到类似问题时少耗时间。

进一步引导学生思考，此解法是否是最好的？可不可以换个角度另辟佳径？仔细分析题中条件，令人感到不好下手，但我们知道向量可以用坐标表示，能否把向量问题转化为代数问题，用解析法求解呢？

若仔细分析题中的条件和结论，通过联想：发现欲证式子的分子是两个向量的模之和，分母是两个向量的差的模，因此可以考虑向量的加法法则，构造直角三角形，从“形”的角度求证。

“二思”实际是一题多解，从不同的角度来审视问题，对各种解题思路进行比较和筛选，这样可以达到沟通新旧知识，各个知识体系之间联系的目的，使所学知识融会贯通，使解题思路更加开阔，解题过程更加合理，从而达到“优”的境界。

如有可能，引导学生进行较高层次的思考，将题目的条件或结论进行变化，看解题的思路、方法有何变化，看原命题能否推广。

“三思”的优点在于通过以上的变题，使我们发现这一类问题的求解方法，它不但能达到事半功倍的效果，而且可以领略到解题的规律，提炼出具有解决一些问题的思考方法。

第7篇：数学高三总结范文

摘 要：我们要认真进行学情分析，充分体现“学生为主体，教师为主导”，了解学生，了解课堂，注重教学生成，有意识地让自己的教去适应学生的学，使课堂教学成为提高高三物理复习效率的支点。只有提高高三物理复习效率，才能实现高三物理课堂教学的有效性。

关键词：高中；物理复习

高三物理的复习教学是一项必不可少的相当重要的一环。经过两年多的学习，学生们对高中物理的知识体系有了一定的认识，但所学知识往往是片面的、杂乱无章的、不系统。所以必须进行系统的复习，复习的方式有以专题为主的，有以条、块为主的，但不管以什么方式为主，都应在以下几个方面引起足够的重视。只有这样才能使高三物理的复习工作做到事半功倍的效果。

一、夯实基础知识

物理基础知识一般表现为概念、原理、定律和公式等，主要是一些理论知识，比较抽象且不容易理解。我们要把这种抽象的理论知识内化成自己的本领，就必须在实践活动中积累一些学习经验。一开始我忽视了基础知识的学习，认为学习物理不用死记硬背这些文字性的东西，结果在高三总复习中往往不能准确地说出物理基本概念，例如重力的实质是地球对物体的万有引力的分力。摩擦力的产生条件包括：相互接触的物体间有弹力的存在；“接触面粗糙”，接触面间有相对运动或相对运动的趋势。功的定义即物体受到了力的作用并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。物体内所有分子动能和所有分子势能的总和就是物体的内能等。正是由于类似基础不扎实，从而导致高三总复习期间做物理题往往不得心用手，限制了高三冲刺的高度。认识了这一问题后，我调整了学习思路，在理解记住基本概念的基础上并学会运用它，这样在以后做题过程中解题能力大大提高，二轮复习受益匪浅。学完一章后，我们还要及时复习，把每节或每章的基本知识按“树结构”或以图表形式使零碎的知识逐步系统化、条理化。例如：学习三种常见的力，重力、弹力、摩擦力，从力的三要素及产生条件进行对比和归纳；例如：对死杆和活杆上的弹力进行比较，死杆的弹力方向不一定沿杆而活杆上的弹力方向一定沿杆。还有电场和磁场的学习更是越对比越有滋味。把基础知识串成线，连成网，结成体，极大的提高了复习效率。

二、引导学生实现解题方法规律化

在复习过程中，要使学生牢固地保持所学知识，并在掌握技能、技巧方面达到一定的熟练程度，这就要求学生们必须在平时的复课过程中在知识的巩固和解题思维方法上总结出一定的规律来。题不在于做得多少，只要平时在练习过程中，要求学生多归纳、多总结，使他们掌握解决一类问题的基本解题方法就行了。只有这样才能大大提高解决同类问题的速度和能力。如解决两个物体组成的连接体问题。若两个物体的运动状态相同，可以先用整体法，再用隔离法就可以解决问题；假设两个物体的运动状态不相同，一个处于平衡状态，另一个做匀变速直线运动，就可以用隔离法来解决此类问题。先对一个物体进行受力分析，列平衡方程（或牛顿第二定律方程），再对另一个物体进行受力分析，列牛顿第二定律方程（或平衡方程），找出二者相互联系的纽带――内力，最后把所有方程联立，就可以解决问题。

三、注意学生能力培养

陶行知说过：“教育是什么？教人变！教人变好的是好教育，教人变坏的是坏教育。活教育教人变活，死教育教人变死。不教人变、教人不变的不是教育。”物理学科教学更是充分体现了这句话，高考将能力的考核放在首要位置，通过对知识及其理解运用的考核来鉴别学生的能力高低。在第一轮复习中，基本上按教材的顺序，课堂上以“问题――知识点――典型题”为主线，构建知识网。以一个知识点为中心尽量联系与此有关的知识点，并使它们有机地连成一体。复习重在理解能力的培养，在教学中应通过多形式的辨析使学生理解概念、规律的含义、适用条件，认识其表达形式，并通过似是而非的典型事例分析进一步加强理解。第二轮复习的任务主要是通过一系列的专题复习加强对学生的各种能力的培养，如分析综合能力、推理能力、解题能力等。培养分析综合能力时可从以下几个要素进行强化。

（一）提高学生受力分析能力

受力分析是大多数学生的薄弱点，尤其是较复杂过程的受力分析。准确画出正确的受力分析图是正确解答物理问题的基础，因此应重视每一道题的受力分析，认真引导学生画出正确的受力分析图。

（二）提高学生运动过程的分析能力

教学过程中应多培养学生多说物理过程，多画物理过程图，使学生能够拆解运动过程，清楚整个过程是由哪几个运动模型组成的，各个运动模型之间是怎么进行转换的，清楚其中起重要作用的因素及有关条件，清楚每一个过程所对应的规律，清楚物体各个位置或关键时刻的物理状态。

（三）加强培养隐含条件和临界态分析能力

一般来说复杂的物理问题有四方面的难点：复杂的运动过程、以隐含形式给出部分已知条件、不清楚临界态对应的物理实质、对有些物理背景或科学名词不熟悉。其中学生尤其感到困难的是临界态的物理实质、隐含条件的挖掘，因此平时应多加强这几方面的练习。

四、高效进行试卷评讲

试卷评讲是高三物理n堂教学的重要组成部分，上好评讲课对提高学生解决物理问题的能力等有很重要的作用。课前应充分了解学生答卷情况，做好三件事：统计分析――分析学生的答题情况，找出学生存在的普遍性错误，然后有针对性地按照知识出错、考试技巧、非智力因素（如计算错误）等情况进行归类。校对反馈――考试结束后给学生试卷参考答案，让学生自己先自行校对，针对错题找原因，提交“试卷讲评反馈表”。确定讲评试题――根据统计分析数据、“试卷讲评反馈表”等信息，教师要在上课前明确需要讲的试题及补充的题目。试卷讲评课堂中，要注意讲评结合，杜绝只讲不评或只评不讲。“讲”要突出重点和难点，通过重点试题的讲解和难题的突破，使学生在知识构建或物理方法等方面得到提升。评讲过程中要抓住问题的本质，注意方式方法，避免以题论题、孤立讲解。教师可以“一题多解、一题多联、一题多变”；错题再校正，拓展练习，再反馈。学生的练和教师的讲要着力于培养解决问题的高手，而不是训练解题“高手”。“练”应重视审题能力的培养，强调解题的思维操作规范、解题的书写操作规范；“讲”让学生通过错误分析，掌握自己犯错的类型――防范错误。

参考文献：

第8篇：数学高三总结范文

关键词：新课标；科学备考；提高；复习效率

高三数学复习量大面广、思想方法多，联系紧密，内涵丰富，相对于其他学科而言，内容抽象，逻辑严谨。因此不少学生既感到畏惧，又无从下手。另外高中数学内容多，复习时间紧，学生的学业负担较重。如何提高高三数学复习的针对性和实效性呢？因此在数学备考复习时，需要讲究方法，注重实效，老师要引领到位、不做无用之功，减轻学生的学习负担。

一、回归教材，立足主干，知识与能力并重

教材是考试内容的媒介，是高考命题的重要依据，也是学生思维能力的生长点。只有吃透课本上的例题和习题，才能全面、系统地掌握基础知识、基本技能和基本方法及基本思想，构建完整的数学知识网络，以不变应万变。数学的基本概念、定义、公式和数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法是第一轮复习的重中之重。

回归教材，自己先对知识点进行梳理，把教材上的每一个例题、习题再做一遍，确保基本概念、公式等牢固掌握，要扎扎实实，不要盲目攀高，欲速则不达。因此，对基本数学问题的认识，基本数学问题解法模式的研究，基本问题所涉及的数学知识、技能、思想方法的理解是数学复习课的重心。多年的教学实践使我深刻体会到：基础题、中档题不需要题海，高档题题海也是不能解决的。因此在第一轮复习中，切忌“高起点、高强度、高要求。”

二、构建知识网络，强化知识交汇点问题的训练

知识网络就是知识之间的基本联系，它反映知识发生的过程，知识所要回答的基本问题。构建知识网络的过程是一个把厚书（课本）读薄的过程；同时通过综合复习，还应该把薄书读厚，这个厚，应该比课本更充实，在课本的基础上加入一些更宏观的认识，更个性化的理解，更具操作性的解题经验。数学备考复习基础知识要抓住各部分内容之间的联系与综合进行重新组合，对所学知识的认识形成一个较为完整的结构。在第一轮复习中应“低起点、中强度、细要求”。在复习过程中，必须再现主干知识形成的过程，注意知识结构的重组与概括，揭示其内在联系与规律，重新全面梳理知识，提炼方法，感悟思想。强化基本技能的训练要克服“眼高手低”现象，主要在速算、语言表达、解题、反思矫正等方面下工夫，尽量不丢或少丢一些不应该丢失的分数。复习中考生对知识交汇点的问题应适当加强训练，实际上就是训练学生的分析问题解决问题的能力。综合性的问题往往是可以分解为几个简单的问题来解决的，这几个简单问题有机的结合在一起。要解决这类考题，关键在于弄清题意，将之分解，找到突破口。

三、注重通性通法，提高数学素养

高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”。重视高中数学的通性通法，倡导举一反三、一题多解和多题一解，努力培养学生“五种能力、两个意识”，即空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。能力的分类和要求与以前有不同，必然要反映在命题中。特别应注意新增加的“数据处理能力”和“应用意识和创新意识”.前者与统计有关，后者与应用问题有关。另外“推理论证能力”有别于先前四大能力之一的“逻辑思维能力”，逻辑思维能力注重是演绎推理，“合情推理”应引起我们的重视，它可以有效地培养学生的创新意识，这正是新课改大力倡导的。宁夏和陕西的试题中在“数据处理能力”方面体现得很明显，所以我们要引起重视。

四、精选习题，优化训练，提高备考复习的有效性

高考要想取得好成绩，取决于扎实的基础知识、熟练的基本技能和解题能力。而这些能力的提高都需要通过适当有效的练习才能实现。第一轮复习应特别针对学生基础较差，动手能力不强，知识不能纵横联系的问题进行复习，达到重难点的突破，使学生打下坚实的基础。要侧重于训练客观题和中档题，训练速度和正确率，也要适量做一些综合题，提高解题思维能力。并及时总结、记忆，内化提高。要强化解题技能的形成。解题技能主要包括：计算、推理、画图、语言表达，这些必须做得非常规范，非常熟练，做的时候要再现数学思想，也就是要明白每一步为什么要这么做。

五、以考代练，重视强化训练

备考复习中进行模拟考试，可以进一步巩固数学基础知识，提高学生的解题能力和解题速度。备考复习时要抓好以下三个方面：①强化客观题的训练，结合专题复习，采用定时定量的训练方法，寻求合理、简洁的解题途径，力争“保准求快”，拿足基础题的基础分；②强化中等学生的辅导，使班级均分水涨船高，通过专题性的题组训练，旨在将知识转化为能力，转化为成绩；③强化考试试卷的讲评，让学生知道正确的标准，每一次考完后，要让学生自己认真总结。

第9篇：数学高三总结范文

一、问题的设计应具有趣味性，自然性

问题的设置不能过于生硬，让人感受不到其自然性，琢磨不透是怎么想到这个问题的，要给人一种自然的、水到渠成的感觉；同时问题的设计要尽可能的有趣味性，紧密联系实际，激发学生的兴趣和参与性，才能激发学生求知欲，才能调动学生注意力，刺激学生思维，让学生体会到智力角逐的乐趣。如在复习几何概型这节课时设计如下问题：

问题1：在3米长的绳子上有四个点P，Q，R，S将绳子五等分，从这四个点中任意一点处将绳子剪断，如果剪得两段长都不小于1米，那么灰太郎就可以不去捉羊，那么它不去的概率是多少？

问题2：红外保护线长3米，只有在和两端距离均不小于1米的点接触红外线，才不会报警，灰太郎能够安全进羊村的概率是多少？

问题3：羊村是个面积为10000平方米的矩形，灰太郎在羊村内炸出的圆有100平方米，假设喜洋洋在羊村的每一点都是等可能的，那么他炸到喜洋洋的概率是多少？

通过以上三个问题，让学生很自然由古典概型的概念延伸到几何概型的概念，体会二者的区别和联系，让学生深入思考几何概型的特点，同时在解题的过程中体会到数学的趣味性。

二、问题的设计应具有层次性

新课程要求教学应面向全体的学生，关注每个学生的发展。如果问题太易，学生就会不以为然，失去问题的价值，教师也会失去与学生沟通的机会，浪费教学时间。如果问题太难，学生不敢答，不能答，就会损伤学生思维的积极性，影响学生的学习兴趣和信心。因此课堂问题的设计要满足不同层次的学生的学习的需要，教学中遇到重难点问题应从学生的认知规律出发，充分调动每一位学生的积极性，增强自信心。

三、问题的设计应具有迷惑性

教学中应结合平时对学生产生错误的问题收集积累，加以分析研究，根据学生出现的错误设计相关的问题，帮助学生澄清错误，强化正确的概念，能很好的实现有效地教学。例如在解决恒成立问题这节课，我对一道题目作了如下设计：

已知函数f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8

问题1：若对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围。

问题2：若对任意的x1，x2∈[0，+∞），都有f（x1）≥g（x2），求实数a的取值范围。

问题3：若存在x1，x2∈[0，+∞）时，都有f（x1）≥g（x2），求实数的取值范围。

这三个问题都是不等式恒成立的问题，看似相似，很多同学都转化f（x）-g（x）≥0恒成立，即只需求（f（x）-g（x））min≥0。实际上这只是问题1的思路，而问题2是对任意的x1，x2∈[0，+∞），都有f（x1）≥g（x2）成立，不等式的两端的自变量不同，x1，x2的取值在[0，+∞）是有任意性的，所以不等式恒成立的充要条件是f（x）的最小值大于g（x）的最大值。而问题3不等式恒成立的充要条件是f（x）的最大值大于等于g（x）的最小值。

这类题是学生的弱点，难点，所以也就成了高考的热点。一道好的数学命题，能使解题成为培养一种科学的方法，分析和解决问题的正确的思路，体验在学习实践中归纳总结出理性认知的过程。在高三总复习中教师应加强学生的基本题型的变式训练，使其掌握基本的解题技巧，以不变应万变。

四、问题设计要具有探究性

新课程改革提出要培养学生的自主探究能力，对于同一问题，教师要能运用条件的增减变化及结论的延伸和条件与结论的互换，一题多解，一题多变等方法，设计出新的问题。这有助与学生纵穿横拓的思维活动，有利于提高学生的思维能力和探究能力。

在探究过程中进一步理解所学的知识，在新的情境下实现知识的潜移。当探索与研究真正到达课堂，融入教学时，数学会变得更加有趣，学生也会更加喜欢数学，数学能力也会得到进一步提高。

五、问题设计应具有开放性

开放性试题，能很好的考查学生的推理及分析能力，是培养学生发散和创新思维的很好的载体。问题设计应具有开放性，所提出的问题是不确定的和不一般性的，让学生按自己的思维方式寻求不同的结论，而并不要求结论的唯一性和标准化，在求解问题的过程中通常需要从多角度进行思考和探索，这不仅使学生的概括能力和迁移能力得到提高，而且对数学的本质产生一种新的领悟。从而培养学生的发散性思维，训练和提高学生的创新思维，增强学生对数学的兴趣。

如：设x，y，z是空间的不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，请写出能使xz且yz，则x∥y成立的x，y，z为直线或平面的所有可能。

新课标对学生的空间想象能力要求是：能够根据题设条件想象并做出正确的平面直观图，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合。此题是一道很好的开放题，他对学生的空间想象能力及进行符号语言、图形语言之间的相互转化提出了更高的要求，它对提高学生思维的灵活性也提出更高的要求。课堂上很快就有学生得出诸如x为直线，y，z为平面；x，y为直线，z为平面；x，y为平面，z为直线等等很多种可能。