三角函数值精选(九篇)

前言：一篇好文章的诞生，需要你不断地搜集资料、整理思路，本站小编为你收集了丰富的三角函数值主题范文，仅供参考，欢迎阅读并收藏。

第1篇：三角函数值范文

一．问题的提出：

在我们的学习中常遇到知三角函数值求角的情况，如果是特殊值，我们可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（），我们如何表示呢？相当于中如何用来表示，这是一个反解的过程，由此想到求反函数。但三角函数由于有周期性，它们不存在反函数，这就要求我们把它们的定义域缩小，并且这个区间满足：

（1）包含锐角；（2）具有单调性；（3）能取得三角函数值域上的所有值。

显然对，这样的区间是；对，这样的区间是；对，这样的区间是；

二．新课的引入：

1．反正弦定义：

反正弦函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.

对于注意：

（1）（相当于原来函数的值域）；

（2）（相当于原来函数的定义域）；

（3）；

即：相当于内的一个角，这个角的正弦值为。

反正弦：符合条件（）的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。

例如：，，，

由此可见：书上的反正弦与反正弦函数是一致的，当然理解了反正弦函数，能使大家更加系统地掌握这部分知识。

2．反余弦定义：

反余弦函数：函数，的反函数叫做反余弦函数，记作：.

对于注意：

（1）（相当于原来函数的值域）；

（2）（相当于原来函数的定义域）；

（3）；

即：相当于内的一个角，这个角的余弦值为。

反余弦：符合条件（）的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。

例如：，，由于，故为负值时，表示的是钝角。

3．反正切定义：

反正切函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.

对于注意：

（1）（相当于原来函数的值域）；

（2）（相当于原来函数的定义域）；

（3）；

即：相当于内的一个角，这个角的正切值为。

反正切：符合条件（）的角，叫做实数的反正切，记作：。其中，。

例如：，，，

对于反三角函数，大家切记：它们不是三角函数的反函数，需要对定义域加以改进后才能出现反函数。反三角函数的性质，有兴趣的同学可根据互为反函数的函数的图象关于对称这一特性，得到反三角函数的性质。根据新教材的要求，这里就不再讲了。

练习：

三．课堂练习：

例1．请说明下列各式的含义：

(1)；(2)；(3）；(4)。

解：（1）表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角是；

（2）表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角不存在，即的写法没有意义，与，矛盾；

（3）表示之间的一个角，这个角的余弦值为，这个角是；

（4）表示之间的一个角，这个角的正切值为。这个角是一个锐角。

例2.比较大小：（1）与；（2）与。

解：（1）设：，；，，

则，，

在上是增函数，，

，即。

（2）中小于零，表示负锐角，

中虽然小于零，但表示钝角。

即：。

例3．已知：，，求：的值。

解：正弦值为的角只有一个，即：，

在中正弦值为的角还有一个，为钝角，即：，

所求的集合为：。

注意：如果题目没有特别说明，结果应为准确值，而不应是近似值，书上均为近似值。

例4．已知：，，求：的值。

解：余弦值为的角只有一个，即：，

在中余弦值为的角还有一个，为第三象限角，即：，

所求的集合为：。

例5．求证：（）。

证明：，，设，，

则，即：，即：，

，，

，，即：。

例6．求证：（）。

证明：，，设，，

则，即：，即：（*），

，，

，，即：。

注意：（*）中不能用来替换，虽然符号相同，但，不能用反余弦表示。

第2篇：三角函数值范文

一、两种定义方法的对比

1.“终边定义法”是从映射的角度来开展三角函数定义的教学，可以有效培养学生的逻辑思维能力

在具体的教学实践中，“终边定义法”可以很好地帮助学生解决已知一个角的终边上的一点的坐标来求这个角的三角函数值的问题。但是对诱导公式的推导和记忆、三角函数的图象和性质的研究而言不是那么方便。“比值”作为三角函数值，其意义不够清晰，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明。以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了解，与“终边定义法”的这些问题不无关系。

2.“单位圆定义法”给学生理解三角函数带来了一些变化

（1）由于单位圆定义法的直观性，学生可以从定义中看到具体的、直接的自变量和函数值的对应关系，即：任意给定一个角α，其终边与单位圆就有唯一的一个交点，交点的纵坐标定义为α的正弦函数，横坐标定义为α的余弦函数，这给学生理解三角函数对应关系提供了极大的方便。

（2）在单位圆中，可以直接用弧长来度量任意角的大小，有利于学生理解三角函数是“数集到数集的对应”。

（3）在“单位圆定义法”下，作三角函数图像时，可以更直接地使用几何取点作图法。

（4）利用单位圆对称性，并借助单位圆的几何直观效果可以让学生更容易理解和记忆诱导公式。

（5）由于可以直接利用任意角的终边与单位圆交点的坐标讨论三角函数的变化规律，所以学生对三角函数的性质（特别是周期性、单调性、最值、对称性）的理解更方便，记忆也更牢固。

二、两种定义方法的有效结合

“单位圆定义法”与“终边定义法”本质上是一致的。正因为如此，教改以来，教科书在这个知识点上改来改去，最终两种定义方法都采用。对于老师们熟悉的“终边定义法”，北师大2014年7月第8版15页例1中给出了更加直观、方便学生理解的推导思路。可让学生进一步理解：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。比值不会随着点P在角的终边上的位置的改变而改变，即对于确定的角a，三个比值都是唯一确定的。而这也恰恰说明了“以角a的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的。而用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需推导，就更突显其好处了。

因此，在教学中我们既要重视单位圆的直观性，又不忽视比值定义的意义；既注重函数图象在研究函数性质中的作用，同时又不能忽视利用单位圆的直观性来研究三角函数的性质及在解题中的应用。故在教学中教师要有效地利用好两种定义法。

三、“单位圆定义法”可为我们提供解决问题的新思路

从这个解答过程可以看到，在掌握单位圆定义法后，不仅能够顺利地使用角与三角函数的对应，而且能在单位圆的载体下建立起平面几何、三角函数、解析几何的内在联系，这对学生打开解题的思路有很大的帮助。

第3篇：三角函数值范文

例1 已知函数[f（θ）=sinθ-3cosθ][（0<θ<π4），]试求当[tanθ]为何值时，函数取最小值.

解析 [f（θ）=-cos2θ-（3-sinθ）（-sinθ）cos2θ]

[=3sinθ-1cos2θ，]

令[f（θ）=0]，则[sinθ=13].

当[sinθ>13]时，[f（θ）>0].

当[sinθ<13]时，[f（θ）<0].

当角[θ]满足[sinθ=13]时，[f（θ）]最小.

点拨 本题角度也不是特殊角，没有令[sinθ0=13]，而是直接作为整体，判断出函数[f（t）]，也就是[f（sinθ）]在[（0，13）]上单调递减，在[（13，22）]上单调递增，从而求出函数的最小值.

例2 已知[f（α）=33-5cosαsinα]（[α∈（0，π2）]），试求当角[α]的余弦值为何值时，函数取最小值.

解析 [f（α）=5-33cosαsin2α]，

令[cosα=t，|t|<1]，则[y=5-33t1-t2.]

令[y=0]得，[t=533].

当[t<533]时，[y>0].

当[t>533]时，[y<0].

[t=533]时，[y]取得最大.

[cosα]在[α∈（0，π2）]上是减函数，

当[α]满足[cosα=533]时，[f（α）]最小.

点拨 整体法有个易错的地方，就是上面解法如果不添加“[cosα]在[α∈（0，π2）]上是减函数”这句话，不考虑内层函数的单调性，我们是不是就会得出当[cosα=533]时，[f（cosα）]取最大呀？很明显函数[f（t）]应该在[（-1，533）]上单调递增，在[（533，1）]上单调递减，那么对函数[f（t）]来说，在[t=533]处只能取得极大值，而不是极小值，这就和题目要求的结果相悖.

事实上，这都是复合函数惹的祸，或者说就是余弦函数惹的祸.因为作为内层函数[cosα]在[α∈（0，π2）]上是减函数，外层函数的单调性直接受到内层函数的影响，所以当角[α]满足[cosα=533]时，[f（α）]取得最小.

换元之后再求导可减少运算量

例3 求函数[y=sin2x+4sinx+32+sinx]最小值与最大值.

解析 设[t=2+sinx（1≤t≤3）]，

则[1+sinx=t-1]，[3+sinx=t+1].

[y=sin2x+4sinx+32+sinx=（sinx+1）（sinx+3）2+sinx]

=[（t-1）（t+1）t=t-1t]，[1≤t≤3].

求导，[y=1+1t2>0]，

故[y]在[t∈[1，3]]上是增函数.

当[t=1]时，[ymin=0].

当[t=3]时，[ymax=83].

点拨 对于本题，我们要直接求导也不是不可以，但是稍微难了.而上面的解法先换元再求导，可以大大地降低运算量.

以角度所在的区间作为函数单调区间

例4 已知[x]为锐角，求函数[y=63sinx+2cosx]的最值.

解析 因为[y=63sinx+2cosx]，

所以[y=-63cosxsin2x+2sinxcos2x=2sin3x-63cos3xsin2xcos2x].

当[y=0]时，解得[tan3x=33]，即[tanx=3].

又因为[x]是锐角，所以[x=π3].

当[0<x<π3]时，[y<0].

当[π3<x<π2]时，[y>0].

函数[y]在[（0，π3）]上单调递减，在[（π3，π2）]上单调递增，

因此，当[x=π3]时函数有最小值16，函数无最大值.

点拨 三角函数的单调区间一般使用弧度制，在确定单调区间之后，便可以确定函数的极值点，从而确定三角函数的最值，这一点和一般函数并没有二样.

将角度直接作为三角函数式子的一部分

例5 某园林公司计划在一块[O]为圆心，[R]（[R]为常数）为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形[CMDC]区域用于观赏样板地，[ΔOCD]区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元.

[草皮地][花木地][观赏样板地][草皮地]

（1）设[∠COD=θ]，[CMD=l]，分别用[θ]，[l]表示弓形[CMDC]的面积[S弓=f（θ），S弓=g（l）];

（2）园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？

解析 （1）[S扇=12R2θ]，[SΔOCD=12R2sinθ]，

[S弓=f（θ）=12R2（θ-sinθ）].

又[S扇=12Rl]，

[SΔOCD=12R2sinlR]，

[S弓=g（l）=12R（l-RsinlR）].

（2）设总利润为[y]元，草皮利润为[y1]元，花木地利润为[y2]，观赏样板地成本为[y3.]

[y1=3（12πR2-12lR）]，[y2=12R2sinθ?8]，

[y3=12R（l-Rsinθ）?2]，

[y=y1+y2-y3=3（12πR2-12R2θ）+12R2sinθ?8-12R2（θ-sinθ）?2]

[=12R2[3π-（5θ-10sinθ）]].

设[g（θ）=5θ-10sinθ]， [θ∈（0，π）].

[g（θ）=5-10cosθ]， [g（θ）<0，cosθ>12，]

[g（θ）在θ∈（0， π3）]上为减函数.

[g（θ）>0，cosθ<12，g（θ）在θ∈（π3，π）]上为增函数.

当[θ=π3]时，[g（θ）]取到最小值，此时总利润最大.

所以当园林公司把扇形的圆心角设计成[π3]时，总利润最大.

点拨 一般来说，一个三角函数式中各个部分都应是三角函数，但是本题却部分出现了角度单列的现象. 其实不就是求导吗？一个角度其实就是一个自变量[x]，单独的[x]难道就不能求导了吗？当然本题要是写成[g（x）=x-2sinx]或许你就会了吧？

“设而不求”应对非特殊角极值点横坐标

例6 函数[y=sinθ（2cosθ+1）]在[[0，π3]]上取最大值时，[cosθ]的值.

解析 当[0<θ<π3]时，求导得，

[y=cosθ2cosθ+1+sinθ-2sinθ=4cos2θ+cosθ-2.]

令[y=0]得，[cosθ=33-18].

记区间[（0，π3）]上余弦值等于[33-18]的角为[θ0]（惟一存在）.

列表如下：

[[θ]＼&[0， θ0]＼&[θ0]＼&[（θ0， π3）]＼&[y]＼&[+]＼&0＼&[-]＼&[y]＼&增函数＼&极大值＼&减函数＼&]

所以当[θ=θ0]，即[cosθ=33-18]时，[y]取得最大.

点拨 本题和前面例题不同之处在于，极值点横坐标不是特殊的角度，不能直接表达单调区间.怎么办？遇到此类情形，因为这个极值点是存在的，但是我们最终又不需要求出这个横坐标，只需要对应的函数值，因此我们完全可以“设而不求”.

例7 求函数[f（θ）=3cosθ+2sinθ2+1]，[θ∈（0，π2）]取最大值时，[tanθ]的值.

解析 [f（θ）=-3sinθ+cosθ2]，

令[f（θ）=0，][sinθ2=16]，设[sinθ02=16，]

[f（θ）>0，][sinθ2<16]，[θ2<θ02]，即[0<θ<θ0].

[f（θ）<0，][sinθ2>16]，[θ2>θ02]，即[θ0<θ<π2].

函数[f（θ）]在[（0，θ0）]上单调递增，在[（θ0，π2）]上单调递减，所以函数[f（θ）]在[θ=θ0]处取最大值.

此时[sinθ02=16，][tanθ02=135]，

[tanθ0=2tanθ021-tan2θ02=2351-135=3517.]

第4篇：三角函数值范文

1.向量的概念（能级要求：B）：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.

①零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

②单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是±AB|AB|）；

③相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

④平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，

记作：a∥b，规定：零向量和任何向量平行.

⑤相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量是-a.

2.向量的加减法及数乘运算（能级要求：B）

（1）向量加法减法

几何运算：加法利用“平行四边形法则”和“三角形法则”进行；

符号运算：AB+BC=AC和AB=OB-OA

坐标运算：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a±b=（x1±x2，y1±y2）.

（2）实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：

（1）|λa|=|λ||a|，（2）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同，当λ

3.向量的坐标表示（能级要求：B）：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=（x，y），称（x，y）为向量a的坐标，a=（x，y）叫做向量a的坐标表示.

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.

4.平面向量的数量积（能级要求：C）：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA=a，OB=b，∠AOB=θ（0≤θ≤π）称为向量a，b的夹角（必须在同一起点），当θ=0时，a，b同向，当θ=π时，a，b反向，当θ=π2时，a，b垂直.

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a·b，即a·b=|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量.

（3）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为θ，则：

①aba·b=0；

②当a，b同向时，a·b=|a||b|，特别地，a2=a·a=|a|2，a2=|a|；

当a与b反向时，a·b=-|a||b|；

当θ为锐角时，a·b>0，且a、b不同向，a·b>0是θ为锐角的必要非充分条件；

当θ为钝角时，a·b

③非零向量a，b夹角θ的计算公式：cosθ=a·b|a||b|；

5.平面向量的平行和垂直（能级要求：B）

设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则

非空向量平行（共线）的充要条件：a∥ba=λb（a·b）2=（|a||b|）2x1y2-y1x2=0.

向量垂直的充要条件：aba·b=0|a+b|=|a-b| x1x2+y1y2=0

二、三角函数、三角恒等变换和解三角形基础知识剖析

1.三角函数的定义和三角函数线（能级要求：B）：

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关.

三角函数线的重要应用：①比较三角函数值的大小；②解三角不等式；③圆的参数方程.

2.同角三角函数的基本关系式（能级要求：B）：

（1）平方关系：sin2α+cos2α=1，（2）商数关系： tanα=sinαcosα.

主要应用：①已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值，②化简，③证明恒等式.

3.三角函数诱导公式（能级要求：B）：

（k2π+α）的本质是奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2kπ+α，0≤α

4.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质（能级要求：B）：

通过图像来研究三个三角函数的有关性质.

5.函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质（能级要求：A）：

（1）几个物理量：A—振幅；f=1T—频率（周期的倒数）；ωx+φ—相位；φ—初相；

（2）表达式的确定：A由最值确定， ω 由周期确定， φ由图象上的特殊点确定.

（3）函数y=Asin（ωx+φ）+k的图象与y=sinx图象间的关系.

6.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式（能级要求：C）：

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ令α=βsin2α=2sinαcosα

cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ令α=βcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αcos2α=1+cos2α2

sin2α=1-cos2α2

tan（α±β）=tanα±tanβ1tanαtanβ

令α=β tan2α=2tanα1-tan2α

7.三角形中的有关公式（能级要求：B）：

（1）正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R（R为三角形外接圆的半径）.

（2）余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，cosA=b2+c2-a22bc等，

（3）面积公式：S=12aha=12absinC=12r（a+b+c）（其中r为三角形内切圆半径）.

（4）解三角形的类型：①已知两角和一边（正弦定理）；②已知三边a、b、c（余弦定理）；③已知两边和夹角（如a、b、C），用余弦定理求c边；再用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角.④已知两边和其中一边的对角：若运用正弦定理，则务必注意可能有两解的情况.

注：知识点中的能级要求来自《2012年高考数学考试说明》，其中A级为了解，B级为理解，C级为掌握.

三、典例分析

例1 下列命题中：① a·（b-c）=a·b-a·c；② a·（b·c）=（a·b）·c；

③ （a-b）2=|a|2-2|a|·|b|+|b|2；④ 若a·b=0，则a=0或b=0；

⑤若a·b=c·b，则a=c；⑥|a|2=a2；⑦a·ba2=ba；⑧（a·b）2=a2·b2；⑨（a-b）2=a2-2a·b+b2.其中正确的是

解析：正确命题的序号为①⑥⑨

注：本题考查的是向量的运算法则，要注意与实数的运算法则区别开来.

例2 如图在等腰直角ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直A线AB、AC于不同的两点M、N，若ABAM=m，ACAN=n，求mn的最大值.

解析：AP=12AB+12AC=12mAM+12nAN，

因为M、P、N三点共线，故12m+12n=1，即m+n=2，

mn≤（m+n2）2=1，当且仅当m=n=1时取等号.

注：本题考查的是向量共线定理和向量的表示，最后与不等式的最值，综合求解.

例3 已知点P在ABC所在的平面内，若2PA+3PB+4PC=3AB，则PAB与PBC的面积之比是 ；

解析：2PA+3PB+4PC=3AB2PA+4PC=3（AB+BP）=3AP，

即得4PC=5AP，故点P在线段AC上且4|PC|=5|AP|，

则PAB与PBC的面积之比是4∶5.

注：本题考查的是向量的符号运算与线性表示.

例4 如图放置的边长为1的正方形DEFG的顶点D，G分别在RtABC的两直角边所在的直线上滑动，则CE·CF的最大值是

解析：CE·CF=（CD+DE）·（CG+GF）

=CD·CG+CD·GF+DE·CG+DE·GF

=0+CD·GF+DE·CG+1

=0+CD·DE+DE·CG+1=DE·（CD+CG）+1取DG的中点M，则

=2DE·CM+1=2|DE|·|CM|cosα+1=cosα+1≤2.

当DE、CM同向时取“=”.

注：因为数量积是C级要求，所以与数量积有关的问题难度往往较大.本题考查的是向量数量积的计算，转化成已知基底的运算.

例5 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m=（a，b），

n=（sinB，sinA），p=（b-2，a-2）.

（1）若m∥n，求证：ABC为等腰三角形；

（2）若mp，边长c=2，角C=π3，求ABC的面积.

解析：（1）m∥n，asinA=bsinB，即a·a2R=b·b2R，

其中R是三角形ABC外接圆半径，a=b

ABC为等腰三角形.

（2）由题意可知m·p=0，即a（b-2）+b（a-2）=0，所以a+b=ab.

由余弦定理可知，4=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab 即（ab）2-3ab-4=0.

ab=4（舍去ab=-1）.

S=12absinC=12·4·sinπ3=3.

注：本题是三角和向量的综合性题型，利用向量平行的坐标运算，和正余弦定理解决.

例6 在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b.

解析：在ABC中sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：a·a2+b2-c22ab=3b2+c2-a22bc·c，化简并整理得：2（a2-c2）=b2.又由已知a2-c2=2b4b=b2.解得b=4或b=0（舍）.

第5篇：三角函数值范文

【关键词】数学教学；网络；新课标

【中图分类号】G633.7 【文章标识码】C 【文章编号】1326-3587（2014）03-0057-01

传统的教育模式的教学方法、教学手段和教学评价已不能适应社会发展和人们学习的需要，基于网络环境下的学科教学和课堂评价的出现和普及，极大的丰富了教学改革的内容，充分有效的利用了教学资源，基于网络环境下的课堂教学与评价把文本、图像、图形、视频、音频、动画整合在一起，并通过互联网进行处理、控制传播、为学生提供了最理想的学习环境。

一、基于网络环境下的数学教学的含义

基于网络环境下的数学课堂教学，根据新课程标准的教学内容和教学目标需要，继承传统教学的合理成分，打破传统教学模式，全天候，不间断，因材施教的新型教学方法，教学与评价的信息在互联网上传输与反馈，极大的优化了教师群体，极大的丰富了学生的知识能力。

基于网络环境下的教学，可以共享教学资源，传递多媒体信息，适时反馈学生学习情况，刺激学生不同的感官，符合学生的学习认知规律，提高学生的学习兴趣，扩大了信息接受量，增大了课堂教学容量，同时又具有实时性，交互性，直观性的特点大大丰富了课堂教学模式，同时又满足了分层教学，因材施教，远程教学等社会需要，开创了教学的全新局面。

二、基于网络环境下数学教学与评价的应用

基于网络环境下数学教学与评价有两大优点：

1、能做到图文并茂，再现迅速，情境创设，感染力强，能突破时空限制，特别是基于.Net技术的交互式动态网页更能提高学生的多种感官的感知效能，发挥个体的最大潜能和创造力，加快学生对知识的理解、接受和记忆，也最能体现新课标的精神，也极大的满足社会全民教育，终身教育的要求。

2、同时全体老师又能通过网络共享教学资源，适时创新资源，使每一位老师都成为名师，使教学的方法水平永不落后。如在讲授函数这部分内容时，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数的图像以及图像变换是重点内容，关于函数图像的传统画法，是通过师生列表，描点，连线而得，这些工作烦，静止孤立，间断的点和线。教师要自制每一节的课件难度大，时间又有限，而基于网络环境下的数学教学，就可以充分利用网络版课件，进行网上学习，从而化静为动，化繁为简，减轻教师的体力负担，使教师有更多的时间进行创新研究，同时让学生在交互的动态的网络环境下学习，函数值随自变量变化而同步变化以及对应运动的轨迹，从而得到完整精确的函数图像，通过交互学习让学生充分体会同一函数不同参数与图像特征之间的联系，充分掌握函数的性质和抓住图像的平移、反射、压缩、拉伸和对称变换特征。若有疑问或好的见解，还可以通过网络进行远程的交流互动。通过多媒体，交互反馈，使学生深刻理解，不易遗忘。也培养了学生自我学习和终身学习的能力。网络环境下的数学教学，教师教得轻松，也有更多的时间进行个别指导，学生学得愉快。学得有趣，这样数学教学的效率也提高了。

三、基于网络环境下数学教学突破教学难点

高中数学中有一些知识需要通过抽象思维来解决问题，而这也正是高中数学的难点之一，基于网络环境下的教学可以化抽象为直观，有利于突破难点。

如“二次函数即：y=ax2+bx+c（a≠0）在[m，n]上的最值的探讨，学生对二次函数的开口，对称轴移而区间不动或图像不动而区间变化时函数的最值”不易理解，在网络环境下，学生通过对网络课件的阅读和对a，b，c，m，n的动态控制，能深刻理解数学知识的要点，加上在网上的即时测试和评价，更能有效的掌握它，不再感到难以理解。

四、基于网络环境下的数学教学与评价形式多样化，即时化

传统的教学形式是教师讲，学生听，这样教学方式课堂容量有限，反馈方式单调，信息交流少，所有的学生步伐相同不利于因材施教，不利于培养学生现代的终身的学习能力，同时不能解放教师，让教师从事更有意义的教育工作。而网络环境下的教学可以同时满足不同用户不同要求，培养活学活用的能力，真正实现教学以学生为中心，教学面向全体通过互联交流互联互动进行分层教学、个别教学实现因材施教，体现新课标的要求。

五、基于网络环境下数学教学应处理好的关系

（1）网络与学生的关系。和谐是教学成功的关键。实践中发现基于网络环境下的学科教学，应加强对互联网海量信息的搜索，筛选，加工，创新。在选好教育资源后，教师要努力探索适时、适用问题，创设学习情境，营造和谐的环境。加上学生对网络应用知识基本掌握，达到网络与人的和谐统一。

（2）网络与教师的关系。基于网络环境下的学科教学优势空前，实践中发现，只有网络环境下的教学与教师灵活生动的讲解和创新的适时评价互相配合，相互促进，协调传递信息，最大限度地发挥网络和教师的优势。

（3）教师与学生的关系。教为主导，学为主体，这是在任何教学模式中都应遵循的原则，要体现学生的主体发展与教师的主导相互作用的关系。专题教学网站和网络教学资源库的形成，即将教师从繁杂的重复劳动中解放出来了，但教师的主导作用不是减弱了而是加强了，网络环境下的教学，对教师提出了更高的要求，教师必须挤出大量的时间学习Windows，Authorwear，3Dmax，Flash等方面的知识，还要学会搜索，筛选，创新信息的能力，甚至包括各种电教媒体的操作技能和技巧，只有这样，才能使自己在网络环境下的学科教学中获得自由，掌握主动，充分发挥网络教学的优势，提高我国的教育教学质量。

【参考文献】

第6篇：三角函数值范文

【关键词】三角复合函数；分解函数法；中学教学

三角函数形成的复合函数的最值的探究是历年高考命题的一个热点，笔者认为：若y是x的复合函数求最值，首先可引入中间变量，写出组成复合函数的基本函数，即把复合函数分解为几个基本函数；其次由x的取值范围求出中间变量的取值范围，由中间变量的取值范围求出y的取值范围；最后根据y的取值范围直接写出原函数最值.这种求其复合函数最值的方法简单易行，笔者把它命名为分解函数法.

例1（2014・天津）已知函数f（x）=cosx・sinx+π3-3cos2x+34，x∈R.

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在闭区间-π4，π4上的最大值和最小值.

解f（x）=cosx・sinx+π3-3cos2x+34=cosx・12sinx+32cosx-3cos2x+34

=12sinxcosx-32cos2x+34=14sin2x-34cos2x=12sin2x-π3.

（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=2π2=π.

（Ⅱ）设y=12u，u=sinv，v=2x-π3，

因为-π4≤x≤π4，所以-5π6≤v≤π6，从而-1≤u≤12，于是-12≤y≤14，

因此，f（x）在闭区间-π4，π4上的最大值为14，最小值为-12.

点评在（Ⅱ）中，求三角函数形成的复合函数f（x）的最值时，引入了中间变量u，v

把复合函数最值问题转化为三个基本函数的值域问题加以解决.这种方法充分体现了数学的简洁美、奇异美及转化思想，具有很强的操作性.

例2（2014・江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈-π2，π2.

（Ⅰ）当a=2，θ=π4时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；

（Ⅱ）若fπ2=0，f（π）=1，求a，θ的值.

解（Ⅰ）当a=2，θ=π4时，

f（x）=sinx+π4+2cosx+π2=22（sinx+cosx）-2sinx=22cosx-22sinx=sinπ4-x

设y=sinu，u=π4-x，

因为0≤x≤π，所以-3π4≤u≤π4，于是-1≤y≤22，

因此，f（x）在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为-1.

（Ⅱ）由θ∈-π2，π2，得cosθ≠0，

由fπ2=0，得cosθ（1-2asinθ）=0，1-2asinθ=0，即sinθ=12a，①

由f（π）=1，得2asin2θ-sinθ-a=1，②

联立①②，结合a∈R，θ∈-π2，π2，解得a=-1，θ=-π6.

点评该例（Ⅰ）中，函数f（x）实际上是三；角函数形成的复合函数，求其最值时，采

第7篇：三角函数值范文

王小丽

（礼泉县第二中学，陕西  咸阳  713200）

摘  要：对三角函数的图像与性质的考查，是近几年高考的热点，不仅有主观题，还有客观题。客观题常以选择填空题的形式出现，往往涉及参数问题。此类问题对学生来讲，有一定难度，就此总结几种常见做法。

关键词：三角函数；性质；参数

一、根据三角函数的奇偶性求解参数

例1：已知f(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为(

)

A.π6

B.π3

C．－π6

D．－π3

解析：f(x)＝

212cos(3x＋φ)－32sin(3x＋φ)

＝2cos(3x＋φ)＋π3＝2cos3x＋φ＋π3，则由f(－x)＝f(x)恒成立，得2cos－3x＋φ＋π3＝2cos3x＋φ＋π3恒成立，利用两角和的余弦公式展开并整理，得sin(3x)sinφ＋π3＝0恒成立，而x∈R，故sinφ＋π3＝0恒成立，由所给选项，只有D适合．

答案：D

点评：求解三角函数的奇偶性的参数问题还可利用下列结论进行简解：函数y＝Acos(ωx＋φ)＋B(A≠0)为奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)且B＝0，为偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．

例2：已知存在实数ω，φ(其中ω≠0，ω∈Z)使得函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)是奇函数，且在0，π4上是增函数，试求出所有符合题意的ω与φ的值．

解：由f(x)为奇函数，知f(－x)＝－f(x)，

2cos (－ωx＋φ)＝－2cos(ωx＋φ)．

4cos ωx•cos φ＝0.又x∈R，cos φ＝0.

解得φ＝kπ＋π2，k∈Z.

当k＝2n(n∈Z)时，f(x)＝2cos ωx＋2nπ＋π2＝2sin (－ωx)为奇函数，f(x)在0，π4上是增函数，ω<0.由－π2≤－ωx≤π2⇒π2ω≤x≤－π2ω，又f(x)在0，π4上是增函数，故有0，π4⊆π2ω，－π2ω，π4≤－π2ω，－2≤ω<0，且ω∈Z，ω＝－1或－2，故ω＝－1或－2，φ＝2nπ＋π2，n∈Z.

当k＝2n＋1(n∈Z)时，

f(x)＝2cos ωx＋(2n＋1)π＋π2＝2sin ω x为奇函数，由于f(x)在0，π4上是增函数，ω>0.由－π2≤ωx≤π2⇒－π2ω≤x≤π2ω，又f(x)在0，π4上是增函数，故有0，π4⊆－π2ω，π2ω，π4≤π2ω，0<ω≤2，且ω∈Z，ω＝1或2，故ω＝1或2，φ＝(2n＋1)π＋π2，n∈Z.

所有符合题意的ω与φ的值为

ω＝－1或－2，φ＝2nπ＋π2，n∈Z，或ω＝1或2，φ＝(2n＋1)π＋π2，n∈Z.

小结：三角函数是奇函数时，最后的结果都可以化为y＝Asin ωx，y＝Atan ωx的形式，三角函数是偶函数时，最后的结果都可以化为y＝Acos ωx的形式．在研究该类三角函数的单调性时，一定要注意A，ω的正负对单调性的影响．当已知函数在某个区间上单调递增时，这个区间必须是函数单调递增区间的子区间．

二、根据三角函数的单调性求解参数

例3：已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)，单调递减区间为kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z)，则ω的值为________．

解析：由题意，得kπ＋7π12－kπ－5π12＝π，即函数f(x)的周期为π，则ω＝2.

答案：2

小结：解答此类题要注意单调区间的给出方式，如：“函数f(x)在kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)上单调递增”与“函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)”，二者是不相同的．

三、根据三角函数的周期性求解参数

例4：若函数y＝sin ωxsinωx＋π2的最小正周期为π7，则ω＝________.

解析：由题意，得y＝sin ωxsinωx＋π2＝sin ωx•cos ωx＝12sin 2ωx，由T＝2π|2ω|＝π7，得ω＝±7.

答案：±7

小结：解题时要注意x的系数ω是否规定了符号，若无符号规定，利用周期公式时须加绝对值．

例5：如图所示为函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图像，其中| |＝5，那么ω和φ的值分别为(

)

A．ω＝π6，φ＝π3

B．ω＝π3，φ＝π3

C．ω＝π3，φ＝π6

D．ω＝6，φ＝π6

解析：函数f(x)的最小正周期为T＝2πω，点A，B的横坐标之差为πω，纵坐标之差为4，所以　πω2＋42＝5，故πω＝3，所以ω＝π3.由f(0)＝1，得cos φ＝12，又0≤φ≤π，故φ＝π3.

答案：B

小结：函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)，f(x)＝Acos(ωx＋φ)图像上一个最高点和它邻近的最低点的横坐标之差的绝对值是函数的半周期πω，纵坐标之差的绝对值是2A.在解决由三角函数图像确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图像显示出来的函数性质、函数图像上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．

四、根据三角函数的最值求解参数

例6：若函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a，b的值是(

)

A．a＝－1，b＝3

B．a＝1，b＝－3

C．a＝3，b＝－1  D．a＝－3，b＝1

解析：f(x)＝a2＋b2sin(x－φ)(其中cos φ＝aa2＋b2，sin φ＝ba2＋b2)，

则－a2＋b2＝－2，fπ3＝32a－12b＝－2，解得a＝－3，b＝1.

答案：D

第8篇：三角函数值范文

关键词 三角函数 最值 思维方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

Six Thinking Methods to Get the Most Value of Trigonometric Function

ZHANG Jianlu

（Yangquan Vocational Secondary School，Yangquan，Shanxi 045000）

Abstract Trigonometric function is an important function in Mathematics， it is closely linked with other mathematical knowledge， and there is often a wide range of applications in the study and research of other mathematical knowledge. In the study of trigonometric function， method for the best values of trigonometric function plays an important role. The correct thinking method in calculating the trigonometric function most value is meaningful to learn the knowledge of the trigonometric function.

Key words Trigonometric function； the most value； thinking method

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。三角函数是函数的一种重要的函数，三角函数的最值问题包括了对三角函数的概念、图像、性质及诱导公式、同角三角函数间基本关系式、两角和差以及倍角公式的考查，是函数思想的具体体现，有广泛的实际应用，一直是高考命题的热点。我们从以下六个方面举例介绍求三角函数的最值。

1 将已知函数转化为 = （ + ） + 的形式，其中“ ”表示“” “”等，再求已知函数的最值

求三角函数的最值问题的主要依据就是正弦、余弦函数的值域。求三角函数的最值时，常常通过恒等变换，使它转化为反含同名函数的各项。而恒等变换，一般要综合运用同角三角函数间的关系、和角、半角、半角的三角函数及和差化积、积化和差公式等转化为 = （ + ） + 的形式，只要能转化，问题就迎刃而解。

求 = + 的最值。

解： = （ + ）（ + ）

= （ + ）23 = 1

= 1 （1 ） = +

当 = （）时 = 1，当 = + （）时 = 。

2 应用平均值定理求最值

求函数 = （为锐角）的最大值。

解： = >0

= = 4·≤4（）3 =

当 = ，即 = 时， = 。

应用平均值定理求函数最值的基本思路就是建立不等式 （）≤或 （）≥，即通过分析将 （）放大或缩小成一个常数，这就是求最值的基本思维方法——放缩法，平均值定理是放缩法的一种极好手段。

3 应用二次函数判别式求最（极）值

求 = （，，其中为三角形内角）的最大值。

解：原函数化为 = [ ]

+ 2 = 0

= 8 ≥0 ≤≤

当 = 时， = = ，

所以当 = = 时， = 。

此题也可用放缩法解

= · ≤

= - （ ）2 + ≤。

注意在用放缩法时，等号必须成立。

4 应用函数的有界性

求 = 的值域。

解：由已知得：（） + （） = ——①

令 = ， =

①式化为 （ + ） =

∣∣≤

解得≤ - 或≥1，所求值域为（，- ]∪[1，）。

5 应用函数的单调性

已知 = + ， （0，），求的最小值。

解：令 = = ，则（0，）。 = + 。

6 利用数形结合

求函数 = 的最值。

图1

解：原函数变形为 = 这可看作点（）和（-2，0）的直线的斜率，而是单位圆 + = 1上的动点，由图1可知，过（-2，0）作圆的切线时，斜率有最值，由几何性质得 = ， = - 。

前面介绍了六种常见的求三角函数最值的思维方法，但在解题中并不固定于一种方法。如

求 = 的极值，用什么方法好呢？

解：

方法一：原式化为（） + - 4（）（）≥0 ≤≤8。显然≠，所以用 求出最小值。

方法二：用第一种方法化为 = （ + ） + 的形式，

原式化为 = + · = 0时， = 8。

当 = 1时， = 4。

第9篇：三角函数值范文

关键词：三角函数最值 配方转化 有界性转化 单调性转化

三角函数这一章节，在近几年高考中，已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函数最值问题.且一般以选择、填空题形式出现，难度不大.

下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略.

1.配方转化

经转化，最后化归为二次函数的三角函数最值问题，称为二次函数型.闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值，这是求解二次函数型三角最值得主要依据.对能够化为形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函数最值问题，可看作是sinx或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决.

二次函数的对称轴不在t∈[-1，1]的范围内，且二次项系数a>0，其图象开口向上，结合二次函数的图象可知当t=-1，ymin=-6；当t=1，ymax=4.

感悟：这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sinx或cosx的二次函数的形式， 可以采用换元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，运用二次函数配方的技巧正确配方，易错在二次项系数，如本题中二次项系数是-2，对应二次函数开口向下，配方过程中要先提出负号；其三要把握三角函数sinx或cosx的范围，注意观察二次函数对称轴与换元后变量的范围的关系.值得注意的是，当变量x有一定范围时，更要注意换元量t的范围，防止出错.

2.有界性转化

三角函数尤其正弦、余弦是一种有界函数，其有界性在解决值域、最值或者取值范围等问题显得灵活.对于所给的三角函数能够通过三角恒等变换，结合正余弦的两角和差公式，升降幂公式和二倍角公式，对所给的式子化简为形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常常可以利用三角函数的有界性，在变量x没有特定范围的情况下，其值域为[-A，A]求解其最值.这是解决三角函数最值问题常用的策略之一.

感悟：求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数的有界性求其最值.针对高考中题目看，还要强化变角训练，如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个角的三角函数关系式，这也是高考的重点.由此题可见，灵活运用三角函数的有界性，能使问题的求解直接明了！