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关键词：曲线运动；圆周运动；实例分析
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）12-0245-01
1 圆周运动
课堂上这样定义圆周运动，它是指物体沿着圆周的运动，即物体运动的轨迹是圆的运动。日常生活中，电风扇工作时叶片上的点、时钟指针的尖端、田径场弯道上的运动员等，都在做圆周运动。科学研究中，大到地球围绕太阳的运动，小到电子围绕原子核的运动，均是用圆周运动的规律来研究[1]。
圆周运动是以向心力为物体提供运动动力时所需要的加速度，向心力就是把运动物体拉向圆形轨迹的中心点，即改变物体运动速度的方向，也就是说正是因为向心力的存在，才迫使物体不在遵守牛顿第一定律惯性地进行直线运动。物体作圆周运动必须满足两个条件，一是物体具有初始速度；二是物体受到一个大小不变、方向与物体运动速度方向始终垂直并且指向圆心，即存在向心力。圆周运动分为变速圆周运动和匀速圆周运动，这里强调一点的是匀速圆周运动中速度的方向是不断变化的，即匀速圆周运动实际上是变速运动，匀速只是速率保持不变。
2 圆周运动实例分析
2.1 火车弯道
火车转弯时是典型的圆周运动实例，我们知道火车的车轮上有突出的轮缘，如果铁路弯道的内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨。使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是火车转弯时作圆周运动所提供的的向心力。但是，火车质量太大缘故，若内外轨高度一致，以此办法获得向心力会对轮缘和外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。因此，实际修建铁路时一般会使火车的内外轨有一定的高度差，利用重力和铁轨对物体的支持力的合力提供部分的向心力，以避免铁轨的损坏。
若设火车的轨道间距为L，两轨高度差为h，转弯时半径为r，行驶的火车质量为m，两轨所在平面与水平面之间的夹角为θ，则火车转弯时所需要的向心力F完全由重力mg和支持力FN的合力提供，由此达到
这个限定速度就是火车转弯时为了避免铁轨磨损而规定的速度，只有转弯时小于这个速度时重力和支持力的合力大于火车所需的向心力，内轨向外轨方向挤压内侧车轮，以抵消多余部分的力使其合力等于向心力。
2.2 公路弯道
生活中的公路上转弯处常常把道路筑成外侧高、内侧地，一般呈现出单向横坡的形状，大家了解这其中的原因吗？汽车在公路上转弯时可视为圆周运动，转弯时所需的向心力是由地面对车轮的侧向静摩擦力来提供，但是由于不能使路面的粗糙程度增大从而增大摩擦力来提供向心力的缘故，人们也利用到了汽车的重力的一个分力，提供一定程度的向心力，从而使汽车顺利转弯，并且也有效保护公路的路面。若设汽车的质量为m，车轮与地面的动摩擦因数为μ，转弯时汽车的速度为v，转弯半径为R，则有
从上式公式可以看出，若汽车转弯时速度过大，静摩擦力不足以提供向心力时，汽车将做离心运动而发生危险。日常生活中汽车转弯的时候一般都在减速，也限制了汽车的高速行驶。所以修筑公路时，尤其是转弯处将路面适当向内侧倾斜，使汽车所受重力和路面对汽车的摩擦力的合力提供向心力，使汽车在速度较大时仍能安全转弯[2]。
2.3 天体运动
“坐地日行八万里”就蕴含着地球自转，地球自转一天走了一周相当于行走了8万里的路程。我国发射的嫦娥一号探月卫星，在由地面发射后进入停泊轨道，再经过调速后进入地月轨道，再次调速后进入工作轨道，完成对地球的科研探测实验。嫦娥一号探月卫星在停泊轨道和工作轨道的运动均可视为匀速圆周运动。宇宙中不同的天体每秒每分都在不停的运动，一般我们会将天体的这种运动看成是匀速圆周运动。作圆周运动的天体时的向心力由万有引力来提供，关系式为：
另外，在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的引力，即
上式在不知地球质量的情况下可用其半径和表面的重力加速来表示，此式在天体运动问题中经常应用，称为黄金代换。
天体每时每刻均在做圆周运动，探究这种运动的实质就是抓住万有引力和圆周运动的两个知识点，从而有规律可依，有方向可循。掌握好圆周运动中诸如环绕天体的线速度、角速度、周期、加速度等运动学物理量，对于我们国家发射的卫星，如嫦娥系列的探月工程，还是北斗系列的导航工程，是极其重要的。
3 结语
圆周运动的实例还有很多，像家中的钟表、洗衣机等身边圆周运动例子举不尽，而且与我们现实生活联系紧密，用熟悉的实例去联系知识点，会给我们学习带来莫大的帮助。我们中学生应该在课堂上学习完相P知识后，注重与生活联系起来，用身边的熟悉实例去解释和总结规律，这样让物理学习更容易接受，更容易去理解。
参考文献
[关键词]匀速圆周运动 简谐运动运动的合成与分解
[中图分类号]G633.7
[文献标识码]A
[文章编号]1674-6058（2016）32-0071
一、实验观察
在匀速转动的水平转台上，靠近转台边缘处，固定一个不透明小球，使小球随转台一起做匀速圆周运动，用一束平行光沿水平方向照射小球，将小球的运动投影到一块竖直悬挂的幕布上，小球在幕布上投影的运动是其匀速圆周运动的一个分运动。实验表明：小球在幕布上影子的运动是在一中心位置两侧的往复运动。下面证明它是简谐运动。
二、一个匀速圆周运动可以分解为两个简谐运动
一个质量为m的质点绕0点逆时针方向做匀速圆周运动，其圆周半径为R，运动的角速度为ω，运动轨迹如图1所示，以质点做匀速圆周运动的圆心0为坐标原点，过圆心0和质点的初位置B的连线为x轴，过0点垂直x轴向上的方向为y轴，建立直角坐标系。经任意一段时间t，质点沿圆周从B点运动到点P（x，y），x，y分别是t时刻质点相对于0点的水平方向坐标和竖直方向坐标，连接质点和圆心0的半径转过的圆心角为θ=ωt，由图1可知，质点在，z方向的坐标为：
x=Rcosωt①
③和④两式表明，质点所受合力的水平分力与水平位移成正比，而方向总相反；质点所受合力的竖直分力与竖直位移成正比而方向总相反。因此，两个分运动都是简谐运动，并且两简谐运动的振幅A等于匀速圆周运动的半径R；两简谐运动的圆频率等于圆周运动的角速度。
三、符合一定条件的简谐运动可以合成为一个匀速圆周运动
我们研究相反的问题，在这里我们只讨论两简谐运动的振幅和圆频率相等的特殊情况。一个质量为m的质点同时参与两个分运动，两个分运动均为简谐运动，振幅都是A，圆频率都是ω。选两简谐运动共同的平衡位置为坐标原点0，以水平向右的方向为x轴正方向，竖直向上的方向为y轴正方向建立直角坐标系。水平方向分运动的初相位是ψ1，竖直方向分运动的初相位是ψ2。从两简谐运动的初位置开始计时，经过任意一段时间t，质点的水平位置坐标和竖直位置坐标分别是：
关键词：水平面；竖直平面；圆周运动；临界条件
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）11-237-01
临界条件：顾名思义就是物体由一种状态到另一种状态的分界点，它常常伴随着极值出现，并在题目中出现类似于“恰好”，“刚好”，“最大”，“最小”“不超过”，“不少于”等一些字眼出现。而试题中常常遇到不明确提出临界值而必须通过物理知识去分析临界条件，挖掘临界值，这对多数学生比较困难的。学生处理这类问题往往具有“似曾相识又无从下手”的毛病，仅以下本一些简单的分类：
一、水平面内的圆周运动临界分类
1、汽车转弯
2、水平转盘
A物体随转盘转动并与转盘保持相对静止，转盘的角速度最大不可超过vm，物体A的质量为m，距离转轴的距离为r
只有当B达到最大静摩擦力，也就是即将滑动后线上才会有拉力，所以此时对B有最大静摩擦力提供向心力， 。
二、斜面上的圆周临界问题
1、倾斜转盘
小物块m随倾斜转盘一起做匀速圆周运动，倾角为θ，角速度为w，小物块做圆周运动的半径为r，若小物块始终相对于斜面静止而不滑动，且令最大静摩擦力等于滑动摩擦力 ，摩擦因数为μ，角速度不能超过多少：通过受力分析发现：小物块在最低端最容易发生滑动，因此在最低点列受力分析方程解答：
2、汽车斜面转弯
汽车在倾角为θ的倾斜路面上做匀速圆周运动，如图所示，若要求汽车不受路面横向的摩擦力，那么汽车过弯时的线速度应该为：由受力有不受横向的摩擦力，此时由重力和支持力提供向心力：
三、竖直面内的圆周运动
1、汽车过桥
■ 例1 图1为测定子弹速度的装置，两个薄圆盘分别安装在同一个匀速转动的轴上，两圆盘面平行. 若圆盘以转速n=3 600 r/min旋转，子弹以垂直盘面方向射来，先打穿第一个圆盘，再打穿第二个圆盘.测得两圆盘间距离为1 m，两圆盘上被子弹穿过的半径之间的夹角是15°，求子弹穿过第一个圆盘后的速度.
■ 解析 子弹在两圆盘间飞行的时间 t=■，这段时间内圆盘转过的角度为2kπ+■.
圆盘的角速度?棕=2kπ+■/t=2kπ+■v.
据题意ω=2π×60=120π.
v=■ m/s. （k=0，1，2，3，…）
■ 例2 质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图2所示，周期为T. 当P经过图中D点时，有一质量为m的另一质点Q受到力F的作用从静止开始做匀加速直线运动. 为使P、Q两质点在某时刻的速度相同，则F的大小应满足什么条件？
■ 解析 速度相同包括大小相等和方向相同. 由质点P的旋转情况可知，只有当P运动到圆周上的C点时P、Q速度方向才相同.即质点P应转过n+■周（n=0，1，2，3…），经历的时间
t=n+■T（n=0，1，2，3…）（1）
质点P的速度v=■（2）
在同样的时间内，质点Q做匀加速直线运动，速度应达到v，由牛顿第二定律及速度公式得
v=■t（3）
联立以上三式，解得：
F=■（n=0，1，2，3…）
■ 例3 如图3所示，一圆筒水平放置，筒壁上仅有一个小孔A，现圆筒绕其水平轴匀速转动，当小孔A转到最高点时，一个小球在小孔A的正上方h高度处无初速释放，为使小球顺利通过圆筒的空间，不与筒壁相碰，求：
（1） 圆筒转动的角速度.
（2） 在满足（1）中的最小角速度时圆筒半径是多少？
■ 解析 （1） 小球下落h高度所经历的时间为t1，所以h=■gt21.
小球进入小孔后，对于圆筒应满足
ωt1=2kπ+2π（k=0，1，2……）
ω=（2kπ+2π）■（k=0，1，2……）
（2） 最小角速度为：ω=2π■.
小球下落h+2R高度所经历的时间为t2，
所以h+2R=■gt22.
小球经历圆筒的时间为：
Δt=t2-t1=■-■.
为使小球顺利通过圆筒应有：
Δt=■+kT（k=0，1，2……）
一、选择题(本大题共10小题,每小题7分,共70分。每小题至少一个答案正确,选不全得3分)
1.(2013·台州模拟)质量为m的木块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中,如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变,那么 ()
A.因为速率不变,所以木块的加速度为零
B.木块下滑过程中所受的合外力越来越大
C.木块下滑过程中所受的摩擦力大小不变
D.木块下滑过程中的加速度大小不变,方向始终指向球心
2.如图所示,一质点沿螺旋线自外向内运动,已知其走过的弧长s与运动时间t成正比,关于该质点的运动,下列说法正确的是 ()
A.小球运动的线速度越来越大
B.小球运动的加速度越来越小
C.小球运动的角速度越来越大
D.小球所受的合外力越来越大
3.(2013·廊坊模拟)如图所示,光滑水平面上,小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时,拉力F发生变化,关于小球运动情况的说法正确的是()
A.若拉力突然消失,小球将沿轨迹Pa做离心运动
B.若拉力突然变小,小球将沿轨迹Pa做离心运动
C.若拉力突然变大,小球将沿轨迹Pb做离心运动
D.若拉力突然变小,小球将沿轨迹Pc运动
4.质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上,杆端套有一个质量为m的小球,今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动,角速度为ω,如图所示,则杆的上端受到的作用力大小为 ()
A.mω2R B.
C. D.不能确定
5.(2013·连云港模拟)如图所示,质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动。圆环半径为R,小球经过圆环点时刚好不脱离圆环,则其通过点时()
A.小球对圆环的压力大小等于mg
B.小球受到的向心力等于0
C.小球的线速度大小等于
D.小球的向心加速度大小等于g
6.如图是自行车传动结构的示意图,其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮,Ⅱ是半径为r2的小齿轮,Ⅲ是半径为r3的后轮,假设脚踏板的转速为n,则自行车前进的速度为 ()
A. B. C. D.
7.如图所示,在匀速转动的水平盘上,沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B,它们与盘间的动摩擦因数相同,当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时,烧断细线,则 ()
A.两物体均沿切线方向滑动
B.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动,同时所受摩擦力减小
C.两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动,不会发生滑动
D.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动,物体A发生滑动,离圆盘圆心越来越远
8.(2013·咸阳模拟)2011年1月11日,我国“歼20”在成都实现首飞,历时18分钟,这标志着我国隐形战斗机的研制已达到新的水平。如图所示,“歼20”在竖直平面内做横“8”字形飞行表演,其飞行轨迹1234561,如果飞机的轨迹可以视为两个相切的等圆,且飞行速率恒定,在A、B、C、D四个位置时飞行座椅或保险带对飞行员的作用力分别为FNA、FNB、FNC、FND,那么以下关于这四个力的大小关系说法正确的是 ()
A.FNA=FNBFNC=FND
C.FNC>FNA=FNB>FND D.FND>FNA=FNB>FNC
9.如图所示,用一连接体一端与一小球相连,绕过O点的水平轴在竖直平面内做圆周运动,设轨道半径为r,图中P、Q两点分别表示小球轨道的点和最低点,则以下说法正确的是()
A.若连接体是轻质细绳时,小球到达P点的速度可以为零
B.若连接体是轻质细杆时,小球到达P点的速度可以为零
C.若连接体是轻质细绳时,小球在P点受到细绳的拉力不可能为零
D.若连接体是轻质细杆时,小球在P点受到细杆的作用力为拉力,在Q点受到细杆的作用力为推力
10.(2013·玉林模拟)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点,如图所示,当轻质木架绕轴BC以角速度ω匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周运动,绳a在竖直方向,绳b在水平方向,当小球运动到图示位置时,绳b被烧断的同时木架停止转动,则下列说法不正确的是 ()
A.小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B.在绳b被烧断瞬间,绳a中张力突然增大
C.若角速度ω较小,小球可在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动
D.若角速度ω较大,小球可在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动
二、计算题(本大题共2小题,共30分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要注明单位)
11.(2013·广州模拟)(14分)有一长为L的细线,细线的一端固定在O点,另一端拴一质量为m的小球,现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方,且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。
(1)求小球通过点A时的速度vA;
(2)若小球通过最低点B时,细线对小球的拉力FT恰好为小球重力的6倍,且小球经过B点的瞬间让细线断裂,求小球落地点到C点的距离。
12.(能力挑战题)(16分)一根长0.1m的细线,一端系着一个质量为0.18 kg的小球,拉住线的另一端,使小球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动,使小球的转速很缓慢地增加,当小球的转速增加到开始时转速的3倍时,细线断开,线断开前的瞬间线受到的拉力比开始时大40 N,求:
(1)线断开前的瞬间,线受到的拉力大小;
(2)线断开的瞬间,小球运动的线速度大小;
(3)如果小球离开桌面时,速度方向与桌边缘的夹角为60°,桌面高出地面0.8 m,求小球飞出后的落地点距桌边缘的水平距离。
参考答案及解析
1.【解析】选D。由于木块沿圆弧下滑速率不变,故木块做匀速圆周运动,存在向心加速度,选项A错误;由牛顿第二定律得:F合=ma=m,而v的大小不变,故合外力的大小不变,选项B错误;由于木块在滑动过程中与接触面的正压力是变化的,故滑动摩擦力在变化,选项C错误;木块在下滑过程中,速度的大小不变,所以向心加速度的大小不变,方向始终指向圆心,选项D正确。
2.【解析】选C、D。由于质点走过的弧长s与运动时间t成正比,质点运动的线速度大小不变,选项A错误;由于螺旋线的曲率半径r越来越小,由向心加速度公式a=可知向心加速度越来越大,所受合外力越来越大,选项B错误、D正确;由角速度公式ω=可知角速度越来越大,选项C正确。
3.【解析】选A。若拉力突然消失,则小球沿着P点处的切线做匀速直线运动,选项A正确;若拉力突然变小,则小球做离心运动,但由于力与速度有一定的夹角,故小球做曲线运动,选项B、D错误;若拉力突然变大,则小球做近心运动,不会沿轨迹Pb做离心运动,选项C错误。
4.【解析】选C。小球受重力和杆的作用力如图所示:
小球做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得:F向=mω2R,故F==,选项C正确。
5.【解析】选C、D。小球在点时刚好不脱离圆环,则圆环刚好对小球没有作
用力,小球只受重力,重力竖直向下提供向心力,选项A、B错误;根据牛顿第二定律得mg=ma,解得小球的向心加速度大小为a=g,选项D正确;由a=得v=,选项C正确。
6.【解析】选C。前进速度即为Ⅲ轮的线速度,由同一个轮上的角速度相等,同一皮带传动的两轮边缘的线速度相等可得ω1r1=ω2r2,ω3=ω2,再有ω1=2πn,v=
ω3r3,所以v=,选项C正确。
【总结提升】传动问题的解题技巧
(1)明确皮带传动和轮轴的特点。
(2)清楚线速度、角速度、向心加速度与半径的关系,从而能熟练地运用在线速度或角速度相等时,角速度、线速度、加速度与半径的比值关系。
(3)同转轴上各点ω相同,而线速度v=ωr与半径成正比。
(4)不考虑皮带打滑的情况,两轮边缘的各点线速度大小相等,而角速度ω=与半径成反比。另外,由v、T、f、ω之间的关系,向心加速度的表达式an==ω2r=ωv=r=4π2f2r,在应用时,要结合已知条件灵活运用。
7.【解析】选B、D。当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时,A物体靠细线的拉力与圆盘的静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动,所以烧断细线后,A所受静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力,A要发生相对滑动,但是B仍保持相对圆盘静止状态,故A、C选项错误,D选项正确;而且由于没有了细线的拉力,B受静摩擦力减小,B选项正确。
8.【解析】选A。飞机在A点和B点时受力情况相同,即FNA=FNB,在A点对飞行员由牛顿第二定律得FNA+mg=m,解得FNA=m-mg;飞机在C点和D点时受力情况相同,即FNC=FND,在C点对飞行员由牛顿第二定律得FNC-mg=m,解得FNC=m+mg,故
FNA=FNB,细杆的作用力为拉力,如果v<,细杆的作用力为推力,小球在最低点Q时受到细杆的拉力作用,选项D错误。
【变式备选】小明同学在学习中勤于思考,并且善于动手,在学习了圆周运动知识后,他自制了一个玩具,如图所示,用长为r的细杆粘住一个质量为m的小球,使之绕另一端O在竖直平面内做圆周运动,小球运动到点时的速度v=,在这点时 ()
A.小球对细杆的拉力是
B.小球对细杆的压力是
C.小球对细杆的拉力是mg
D.小球对细杆的压力是mg
【解析】选B。解法一:在点时,若细杆对小球没有弹力作用,则有mg=,得v0=。由于v=Fa,选项A错误、B正确;当ω比较小时,小球不能摆过AB所在高度,选项C正确;当ω足够大时,小球在竖直面内能通过AB上方点,从而做圆周运动,选项D正确。
11.【解析】(1)小球恰好能做完整的圆周运动,则小球通过A点时细线的拉力刚好为零,根据向心力公式有:
mg=m, (2分)
解得:vA=。 (2分)
(2)小球在B点时根据牛顿第二定律有:
FT-mg=m, (2分)
其中FT=6mg。
解得小球在B点的速度大小为vB=。 (2分)
细线断裂后,小球从B点开始做平抛运动,则由平抛运动的规律得:
竖直方向上1.9L-L=gt2, (2分)
水平方向上x=vBt, (2分)
解得:x=3L。 (2分)
即小球落地点到C点的距离为3L。
答案：(1) (2)3L
12.【解题指南】分别列出小球所需向心力的表达式,再利用题中给出的条件,可求出线的拉力及小球的线速度大小,小球离开桌面之后做平抛运动,根据平抛运
动知识及方向关系可求出结果。
【解析】(1)线的拉力提供小球做圆周运动的向心力,设开始时角速度为ω0,向心
力为F0,线断开的瞬间,角速度为ω,线的拉力为FT。
F0=mR ①(2分)
FT=mω2R ②(2分)
由①②得== ③(1分)
又因为FT=F0+40N ④(2分)
由③④得FT=45N (1分)
(2)设线断开时小球的线速度大小为v,
由FT=得,
v==m/s=5 m/s (3分)
(3)设桌面高度为h,小球落地经历时间为t,落地点与飞出桌面点的距离为x。
由h=gt2得t==0.4s (2分)
x=vt=2m (2分)
则小球飞出后的落地点到桌边缘的水平距离为
质量为4 g的橡胶球，质量为20 g的螺母，空心旧笔杆，不易伸长的细绳.将细绳穿过笔杆，一头拴紧橡胶球，另一头拴住螺母，如图1所示.
2 实验
（1）感受圆周运动的向心力
手握笔杆，橡胶球在上，螺母朝下，竖直放置.由于螺母的重力大，橡胶球会被细绳拉至笔杆上端.缓慢转动笔杆，逐渐加速，螺母会被做圆周运动的橡胶球拉起.稳定后，橡胶球在水平面内做匀速圆周运动，螺母悬空静止，情形如图2所示.学生一般会惊叹于做圆周运动的橡胶球，能拉起质量是自身质量4倍的螺母，同时更感受到了物体做圆周运动时需要向心力.
（2）体验离心现象
待1实验现象稳定后，增加转速，橡胶球做圆周运动的半径逐渐增加，出现离心现象.
（3）体验向心现象
待1实验现象稳定后，减小转速，橡胶球做圆周运动的半径逐渐减小，出现向心现象.
综上所述，利用上述简单的装置，对比橡胶球处于静止状态、稳定的匀速圆周状态、加速状态、减速状态，学生可以体验物体做圆周运动需要向心力，并可以通过探究，归纳总结出物体做离心和向心运动的条件.
3 实验分析
在以下的分析与讨论中，均不计空气阻力.
3.1 橡胶球为什么能拉起螺母
设橡胶球在水平面内做匀速圆周运动，对橡胶球和螺母做受力分析，如图3所示.用T1表示细绳对橡胶球的拉力大小，T2表示细绳对螺母的拉力大小，f为笔筒与细绳间的最大静摩擦 力大小，mg和Mg分别表示橡胶球和螺母的重力大小.由图可知T1的竖直分力平衡橡胶球的重力mg，T1的水平分力提供橡胶球做圆周运动的向心力，且T1>mg.可以看出，橡胶球做圆周运动时，细绳对橡胶球的拉力大于橡胶球的重力.当T1>Mg+f时，质量为橡胶球4倍的螺母将被拉起.当Mg-f≤T1≤Mg+f时，整个装置能处于稳定的状态，螺母悬空静止，橡胶球在水平面内做匀速圆周运动.
3.2 橡胶球做离心和向心运动的讨论
当橡胶球由匀速圆周状态开始加速时，根据向心力公式F=mv2r，小球需要的向心力增加.此时T1的水平分力不足以提供橡胶球做圆周运动所需要的向心力，细绳与水平方向的夹角会减小，橡胶球会上升，橡胶球与笔杆间距离会增加，橡胶球就会做离心运动.这样T1会变大，当T1>Mg+f时，T2>Mg，螺母会上升，橡胶球与笔杆之间的细绳会变长.
反之，当橡胶球减速时，小球需要的向心力减小.此时T1的水平分力大于提供橡胶球做圆周运动所需要的向心力，细绳与水平方向的夹角会增加，橡胶球会下降，橡胶球与笔杆间距离会减小，橡胶球就会做向心运动.这样T1会变小，当T1
4 教学建议
（1）本实验设备简单，取材方便，橡胶球和螺母可以用其他器材代替，建议做成学生实验，用于圆周运动的相关教学和实验探究.
解题的一般步骤为：确定研究对象，对物体进行受力分析并确定它所受的合外力（在匀速圆周运动中合外力方向指向圆心），根据合外力F提供所需的向心力（mrω2或m）列等式解题．
（一）火车拐弯
如图所示，如果火车转弯处内外轨无高度差，火车行驶到此处时，由于火车惯性的缘故，会造成外轨内侧与火车外轮的轮缘相互挤压现象，使火车受到外轨内侧的侧压力作用．迫使火车转弯做圆周运动．但是这个侧压力的反作用力，作用在外轨上会对外轨产生极大的破坏作用，甚至会引起外轨变形，造成翻车事故．
其实火车转弯的向心力并不是侧压力提供的，那么是什么力作为向心力的呢？如图所示，在转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道内侧，它与重力G的合力指向圆心，成为使火车转弯的向心力．
设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为υ0．如图所示力的三角形得向心力为F=mgtanα≈mgsinα=mg．
由牛顿第二定律得：
F=m所以mg==m
即火车转弯的规定速度υ0=
讨论（1）当火车行驶速率υ等于规定速度υ0时，F=Fn，内、外轨道对轮缘都没有侧压力．
（2）当火车行驶速度υ大于规定速度υ0时，F
（3）当火车行驶速度υ小于规定速度υ0时，F>Fn，内轨道对轮缘有侧压力．
【例】如图所示，公路转弯处路面跟水平面之间的倾角α=14°，弯道半径R=40 m．
（1）汽车转弯时规定速度应是多大？
（2）如果汽车转弯的时候超过或不到这个速度会怎么样？
【解析】汽车平稳转弯时受到三个力作用，重力mg，内外两轮受到地面的支持力F1、F2．
（1）在竖直方向上由力的平衡条件得：（F1+F2）cosα=mg
设汽车转弯时的规定速度为υ，在水平方向上由牛顿第二定律得：（F1+F2）sinα=
所以υ===10（m/s）
（2）当汽车超过规定速度时，由于惯性，汽车有离心倾向，这时，地面对汽车有沿斜面向下的摩擦力，使汽车需要的向心力增大．同时，内轮受到的支持力F1减小．若摩擦力可以足够大，则当F1=0时，汽车向外倾倒．若需要的向心力超过最大静摩擦力时，汽车向外滑动．
当汽车达不到规定的速度时，汽车有向下滑的倾向，地面对车轮有沿斜面向上的摩擦力，同时，内轮受到的压力F1增大．
对于由重力和弹力的合力提供向心力的这一类题型的问题，首先要确定物体做圆周运动的轨迹平面，确定出向心力的方向，沿此方向进行正交分解，根据牛顿第二定律列方程求解即可．
（二）竖直平面内的圆周运动
在竖直平面内的圆周运动，通常所遇到的例子为从物体所受的约束来看有：（1）用绳子系小球；（2）用轻杆固定小球；（3）让小球沿竖直平面内固定圆轨道内侧（或外侧）运动．虽然在竖直平面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动．但物体经最高点或最低点时，所受的重力与约束力（绳或杆或轨道对物体的弹力）的合力指向圆心，提供向心力．
1．在竖直平面内圆周运动能经过最高点的临界条件：
（1）用绳系小球或小球沿轨道内侧运动，恰能经最高点时，如图（a）和（b）所示．满足FN=0，重力提供向心力mg=m得临界速度υ=
当小球速度υ≥υ0时才能经过最高点．
（2）用杆固定小球使球绕杆另一端做圆周运动经最高点时，如图所示，由于小球所受的重力可以由杆给它的向上支持力来平衡．所以由mg-FN=m=0．得临界速度υ0=0
当小球速度υ≥υ0时，就可经过最高点．
（3）小球在圆轨道外侧经最高点时如图所示，mg-FN=m当FN=0时得临界速度υ0=
当小球速度υ≤υ0时，才能沿轨道外侧经过最高点．
【例】如图所示，用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R则下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时，绳子张力可以为零
B．小球过最高点时的最小速度为零
C．小球刚好过最高点时的速度是
D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
【解析】小球在最高点时，受重力mg、绳子竖直向下的拉力F（注意：绳子不能产生竖直向上的支持力）．
向心力为Fn=mg+F
根据牛顿第二定律得mg+F=m
可见，υ越大时，F越大，υ越小时，F越小
当F=0时，Fn=mg=m得υ最小=
讨论：（1）υ很小时，可保证小球通过最高点，但F很小．
（2）当υ很小并趋近于零时，则m很小并趋近于零，由于重力一定，重力大于小球所需向心力，小球偏向圆心方向，不能达到最高点，在到最高点之前已做斜抛运动离开圆轨道．
（3）当υ=时，F=0，即刚好通过．
所以，正确选项为A、C．
【例】如图所示，上例中，把绳子换成细杆时，又是哪个答案正确？
【解析】小球在最高点受重力mg，杆对球作用力为F，取指向圆心方向为正向，
向心力为Fn=mg+F
根据牛顿第二定律得mg+F=m
所以m-mg
讨论：（1）当υ很大时，F > 0，即杆对球产生拉力；
（2）当υ很小时，F为负值，即杆对球产生支持力，当υ为零时，F=-mg，小球刚好通过最高点；
（3）当υ=时，F=0
正确选项为A、B、D．
由杆连接的小球，由于杆既可以提供拉力又可以是供压力，故求作用力时应先利用临界条件判断力的方向，或先假设力朝某一方向，然后根据所求结果决断其有无及方向．
2．汽车过拱桥或凹桥
以汽车为研究对象，它经拱桥最高点或凹桥最低点的受力情况如图（a）、（b）所示．
（1）经凸桥最高点时，mg-FN=mFN=mg-
当υ=时，汽车对桥面无压力．
（2）经凹桥最低点时，FN-mg=mFN=mg+>mg由牛顿第三定律可知，汽车对桥面压力大于汽车的重力．
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关键词：圆周运动;速度方向;废旧笔芯;实验装置
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）1-0058-1
在高一年级有关曲线运动的教学中，对于圆周运动的方向，教师常常以说现象（如砂轮打磨物体产生的火星、飞出的链球、由转动的雨伞边缘飞出的雨滴等）代替演示实验，过于抽象化的教学很难达到预期的效果，导致学生只知其然，而不知其所以然。笔者利用废旧圆珠笔芯制作了“圆周运动的速度方向”的演示装置，省时、省事，而且效果极佳。
1 实验器材
废旧圆珠笔芯两支（带橡胶笔芯帽），清水，暗色桌面。
2 装置制作
1）将一支笔芯a剪去笔头，中间穿孔。
2）将橡胶笔芯帽剪成小块，填充到笔芯两端。
3）将另一支笔芯b的笔头穿过笔芯a的中间小孔（如图1）。
图1 用废旧笔芯制作的实验装置
3 实验方法与效果显示
1）用手堵住笔芯中间小孔，从杯中吸入适量水。
2）装置如图1方式放置，用手转动笔芯（或转动笔芯）。
3）实验效果如图2所示，说明圆周运动的某点速度方向为沿该点的切线方向。
图2 实验过程及效果的照片
4 设计评价与反思
此实验所用的器材简单，制作方便，效果明显，既可以满足教师演示实验，也能够实现学生分组实验。实验中利用橡胶笔芯帽是为了控制水的流量和速度，防止因水流过大而影响实验效果。
参考文献：
[1]施朝群.用玩具小车演示曲线运动的速度方向[J].物理教师，2012，（1）：32.
一 临界问题的分析方法：
1．"绳模型" 没有物体支撑的小球，如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。（注意：绳对小球只能产生拉力）
①临界速度 ：v0小球运动在最高点时，受的重力和弹力方向都向下，当弹力等于零时，向心力最小，仅由重力提供．由牛顿运动定律知 mg=mv2R，得小球过圆周轨道最高点的临界速度为v0=gR，它是小球能过圆周最高点的最小速度．
②当 mggR小球能过圆周的最高点，此时绳和轨道分别对小球产生拉力和压力．
③当mg>m v2R，即v
小结：对于绳类模型（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用mg =mv2RV临界=Rg
（2）小球能过最高点条件：v≥Rg（当v >Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（3）不能过最高点条件：v
2．"杆模型"如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。）
①临界速度v0：由于轻杆或管状轨道对小球有支撑作用，因此小球在最高点的速度可以为零，不存在"掉下来"的情况．小球恰能达到最高点的临界速度v0=0．
②小球过最高点时，所受弹力情况：
A．小球到达最高点的速度v=0，此时轻杆或管状轨道对小球的弹力N=mg．
B．当小球的实际速度v>gR时，产生离心趋势，要维持小球的圆周运动，弹力方向应向下指向圆心，即轻杆对小球产生竖直向下的拉力，管状轨道对小球产生竖直向下的压力，因此 FN=mv2R-mg，所以弹力的大小随v的增大而增大，且mv2R> FN>0．
C．当00.可以看出v=gR 是轻杆（或管状轨道）对小球有无弹力和弹力方向向上还是向下的临界速度．
小结：杆类模型：（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg（F为支持力）
（2）当0< v F > 0（F为支持力）
（3）当v = Rg时，F=0
（4）当v >Rg 时，F随v增大而增大，且F >0（F为拉力）
例题分析：如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ）
A．a处为拉力，b处为拉力 B．a处为拉力，b处为推力
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