分式方程的解法精选(九篇)

前言：一篇好文章的诞生，需要你不断地搜集资料、整理思路，本站小编为你收集了丰富的分式方程的解法主题范文，仅供参考，欢迎阅读并收藏。

第1篇：分式方程的解法范文

关键词 人脸识别；主成分分析；奇异值分解；特征值分解

中图分类号 TP3 文献标识码 A 文章编号 1674-6708（2017）179-0040-02

随着人工智能的飞速发展，人脸识别吸引了越来越多的关注及研究。主成分分析因为其方便简单的特点成为比较常用的方法之一，而SVD分解又成为主成分分析中的主流实现方法，但该方法有一定缺陷，比如处理大矩阵效率较低。为了得到更高效率的主成分分析方法，越来越多的工作者开始研究如何提高主成分分析的效率。

经过研究，当矩阵的两个维度相差很大时，将矩阵与其转置相乘得到相关矩阵，即一个维度较小的矩阵，再求其特征值与特征向量能够得到与直接进行SVD分解相同的结果，而上述相关矩阵求特征值的替代方法却能极大地提高效率。

第二节将详细介绍基于SVD的主成分分析和基于特征值分解的替代算法的基本原理。第三节将详细介绍的两种方法对应的实验步骤。第四节将详细比较这两种方法的异同，主要是算法耗费时间的差异。第五节总结根据我们设计的实验得到的结论。

1 基本原理

主成分分析的主要思想是提取出训练集中图片的主成分，使测试集与其主成分做内积观察结果，进而将人脸图片与其他图片相区别。

我们将训练集的图片读入，并将每一张图片都拉成“一条向量”放在一个矩阵的一行中，减去平均值，此时的图像矩阵示意图如下：

我们的数据集共有35个图片，图片拉长之后的向量长为108×75=8 100，故矩阵的行数为8 100，列数为35。可知这是一个行列维度相差很多的矩阵。

1.1 基于SVD的主成分分析

奇异值分解是主成分分析的主流方法，其原理在于将原矩阵P分解为3个矩阵相乘：

U×S×V=P

其中U和V是单位正交矩阵，S是对角阵。通过这样的分解，我们得到U和V代表两个维度上的主成分，而S的对角元素代表对应主成分的重要程度。在本实验中，V的每一行有着明确的物理意义，代表图片的主成分。

1.2 基于相P矩阵特征值分解的快速算法

当需要奇异值分解的矩阵在两个维度上相差较大时，我们可以用相关矩阵特征值求解的办法来提高计算效率，并且得到相同的结果。首先我们需要得到P的相关矩阵R：

然后，将奇异值分解的结果带入相关矩阵，由于正交阵的转置即是它自身的逆，故不难发现经过推倒得到了特征值分解的形式，所以我们仅需要做特征值分解的计算即可得到奇异值分解中的S和U矩 阵。

至此，我们用相关矩阵求特征值分解的方法已经完全求出奇异值分解的结果。

2 实验方法

训练集由35张人脸的灰度图像构成，如图2：

测试集如图3：

实验过程由matlab仿真进行。首先，我们将训练集的图片读入，并将每一张图片都拉成“一条向量”放在一个矩阵的一行中，减去平均值，待后续处理。在传统的方法中，我们对该矩阵进行SVD分解，但由于两个维度相差过大，导致较大的维度上的值相对很小，故而在正规奇异值分解算法中浪费了很多时间，而这也正是SVD分解算法效率较低的关键。实验中，我们就传统算法和相关矩阵的特征值算法进行了讨论。继而，我们对SVD的中间的对角阵观察对角元素，可知最大项约为次大项的一倍，故可知在后续的分类中，只需考虑最大项对应的主成分。在训练集输入完成以后，我们将待检测图片按照同样的方法拉成“一条向量”，再与最大主成分求相关系数，即直接做内积并与前面图片作比较即可，可知人脸和马脸图片的运算结果相差一个数量级，故而得以区分。

3 实验结果

在上述实验过程中，将矩阵分解为U×S×V，左右两个矩阵为标准正交阵，中间是对角阵。观察对角阵元素见图4。

可知第一个项是第二个2倍左右，相差较多，故我们可以重点区分以是否像第一个主成分作为判别标准。即第一项可以被看作人脸图像的最主要成分。我们将第一主成分经过线性放缩到0到255灰度值区间并可视化观察，如图5左，可以看作是一个近似每张人脸平均的这样一个结果。而实际上排序相对靠后地主成分也有特定地物理含义，例如第4个主成分，如图5右，主要表征了肩上头发的多少的区别。

我们用主成分去和测试集地人脸图片和马脸图片分别作内积，得到图6。可明显观察到，测试集人脸图片和上面分析的主成分进行内积明显高于测试集马脸地内积结果。我们根据图中观察可得出将2 000设为判定是否为人脸地阈值：即当内积值大于或等于2 000，我们把测试图片判定为人脸，若内积值小于2 000，我们把测试图片判定为非人脸。

4 算法对比

我们经过原理分析和实验结果均证明两种方法得到的结果完全相同。但是两者的耗费时间却相差很多，我们在matlab上进行试验，对比运行时间发现，传统SVD方法耗时约2.7S，而我们的基于特征值分解的快速替代算法耗时约0.0026S，效率提高了大约1 000倍。这在大量级数据集上将发挥着至关重要的作用。

5 结论

基于SVD主成分分析人脸识别方法是一种简单可靠的方法，能够得到很清晰的分类效果。而其效率较低地问题在待分解矩阵维度相差较大情况下可以通过特征值分解的方式，在保证得到相同结果的前提下，大大提高算法运行效率。

参考文献

[1]何婧，冯国灿.奇异值分解在人脸识别中的应用[J].广东第二师范学院学报，2006，26（3）：92-96.

[2]罗小桂.矩阵奇异值分解（SVD）的应用[J].井冈山医专学报，2005，12（4）：133-135.

[3]梁毅雄，龚卫国，潘英俊，等.基于奇异值分解的人脸识别方法[J].光学精密工程，2004，12（5）：543-549.

第2篇：分式方程的解法范文

教学过程

一、创设情境，激趣引新

师：下面同学们先看一道生活中的问题，自己独立思考根据题意把方程列出来（大屏幕投影）.

1. 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，求江水的流速是多少？

（学生自主探究与同伴互助列出方程.）

师：哪位同学回答这个问题？

生：设江水的流速为x千米/时，则顺流速度为（20+x）千米/时，逆流速度为（20-x）千米/时，根据题意“顺流航行100千米与逆流航行60千米所用时间相等”，所以方程应为■=■ .

师：思路很明确.江水中的轮船是顺流而下走得快，逆流而上航行的慢，那同学们看我们的学习是应该逆流而上呢还是应该顺流而下？

生（众）：逆流而上！

师：这种类型的方程，我们以前接触过吗？那我们以前曾学过哪几类方程？你能举出几个例子吗？

生1：我们学过一元一次方程；如：3x-1=0 等.

生2：还有二元一次方程；如：2x+3y=6等.

师：仔细观察，这些方程的两边都是怎样的式子？

生（齐）：是整式.

师：我们把这些方程都叫做整式方程.那么，我们刚才所列的方程与这些整式方程有什么区别？

生1：这个方程的未知数在分母里.

生2：这个方程的分母中含有未知数.

师：同学们观察得非常细致，总结得太棒了！我们就把这种分母中含有未知数的方程叫做分式方程.（板书分式方程的概念），同学们想一想分式方程的特征是什么？

生：分母中含有未知数.

师：下面我们作一个小练习：判断下列各式哪个是分式方程.

（1）3x+2y=1； （2）■=■； （3）■；

（4）■=0； （5）x+■=1.

生：（1）（2）是整式方程；（3）是分式；（4）（5）是分式方程.

师：分式方程和我们以前研究的一（二）元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型，但从形式上又与它们不同：分母中含有未知数，那么如何解分式方程呢？

二、追根溯源，探究解法

师：同学们已经知道了什么是分式方程，那下一步就是要考虑怎样解分式方程了？

首先，我们先看一个一元一次方程x-■=■-2， 哪个同学能解呢？

（生板演，大屏幕显示解答步骤.）

师：非常好，那么这个分式方程■=■你会不会解呢？要求同学们先独立思考，给你们3分钟时间解出方程，要求检验所得结果，解完后可以与前后桌讨论解题方法.（学生独立思考解方程.）

师：（巡视同学解题情况，看同学们大部分都完成了任务），哪位同学能把自己的解法讲给同学们？

生1：利用分式的基本性质，方程化为

■=■，因为分母相同则分子也相等，得：100（20-x）=60（20+x），所以x=5.

师：好，哪位同学还有不同的解法？

生2：我是通过去分母来化简方程的.方程■=■两边都乘以最简公分母（20+x）（20-x），得100（20-x）=60（20+x），所以x=5.

师：还有不同解法吗？

生3：利用比例的性质“内项之积等于外项之积”，这样做也比较简便，得100（20-x）=60（20+x） ，所以x=5

师：这三位同学的解法都很好，很有创意，大家给点表扬（鼓掌）.他们的解法不同，但不同在哪儿呢？各自的依据是什么？

生（众）：一个是利用分式的基本性质，一个是利用等式的基本性质，一是利用比例的性质.

师：对，这三种解法的不同我们找出来了，那他们的解法有相同的地方吗？又相同在哪儿？大家讨论一下.

（学生同座或前后座立马投入讨论.得出结论：都是由分式方程化为整式方程.）

师：我们解分式方程要在方程两边乘以最简公分母，去分母后变为整式方程，再解这个方程，得出分式方程的解.（本节课的重点清晰的呈现在学生面前-解分式方程的关键-把分式方程转化为整式方程.）

三、乘胜追击，再探新知

师：下面咱们再解一个难点儿的方程，要求验根”.大屏幕投影出：

解分式方程：■=■.

（学生独立思考，在方程两边同乘（x+5）（x-5），得整式方程x+5=10，解得x=5，将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母x-5和x-25的值都为0，相应的分式无意义，因此，x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程■=■的解，实际上，这个分式方程无解.验根时发现问题：所得结果5使原方程分母为0，此时教室有点乱了，有同学认真检验自己解题过程并无错误，开始和同桌及前后同学讨论了.）

师：（巡视，看火候差不多了）同学们是不是发现解方程得出x=5不是分式方程的解，分式方程还有没有解呢？分式方程此时就没有解了，为什么两个方程，一个有解，一个无解，而产生无解的原因是什么？

（学生自主探究，同伴交流，各抒己见，踊跃发言探讨分式方程无解的原因.）

师：利用黑板总结学生发言，去分母时，方程2，当x=5时（20+x）（20-x）≠0方程两边同时乘以不为0的式子，因此，所得整式方程的解是2的解；方程3，当x=5时（x+5）（x-5）=0，方程两边同时乘以一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使方程3出现分母为0，因此x=5不是方程3的解.因为0乘以任何数都等于零，从而扩大了方程解的范围.这就是分式方程无解的原因.

师：我们已经明白了本节难点“分式方程可能无解的原因”，现在大家回顾思考在解分式方程时验根的方法是什么？

生：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.

（学生理解分式方程可能无解的原因，突破了难点，并掌握了解分式方程验根的方法.）

四、 水到渠成，范例引路

师：下面同学们一起看两个例题，学生思考解答.

例1：解方程■=■.

生板演：解：方程两边同乘x（x-3），得 2=3x-9，解得 x=9，检验：x=9时x（x-3）≠0，x=9是原分式方程的解.

例2：解方程■-1=■.

生板演：解：方程两边同乘（x-1）（x+2），得x（x+2）-（x-1）（x+2）=3 化简，得x+2=3 解得x=1.

检验：x=1时（x-1）（x+2）=0，x=1不是原分式方程的解，原分式方程无解.

师：这两名学生都做对了，这两上分式方程一个有解，一个无解.

师：同学们翻到课本29页做练习，教师提问四名同学板演.

生：讲解解题过程，互相评价.

师：这几个同学做得很好，同学们都会解分式方程了，下面同学们思考讨论.请同学们归纳解分式方程的基

本思想，基本方法和基本步骤？

学生归纳：（大屏幕显示）.

五、 画龙点睛，建构体系

师：回顾一下在这一节课中你都学了什么？

生：1. 分式方程的概念. 2. 分式方程的解法. 3. 解分式方程必须要验根.

第3篇：分式方程的解法范文

对于形如“af（x）+b =c”（其中a、b、c为常数，f（x）是关于x的二次代数式）”的可化为一元二次方程的分式方程，一般来说都可以用如下五种方法来解.下面我以方程 + =7为例，谈谈这五种方法的具体求解过程.

一、倒数换元法

观察分式方程“af（x）+b =c”，我们不难发现它有一个明显的特点是：f（x）与 互为倒数.对于此类问题，最简明的求解方法就是利用倒数换元法来求解.因此我们可以假设f（x）=y，那么 = ，这样一来，经过换元后关于新变量y的方程的次数就降低了，问题也就容易解决了.

解法一：设 =y，则 = （y≠0），原方程变形得2y+ =7.

去分母，得2y -7y+6=0，解之得y =2，y = .

当y =2时， =2，去分母，化简得x -2x-1=0，解之得x=1± ；

当y = 时， = ，去分母，化简得2x -3x-1=0，解之得x= .检验略.

二、均值换元法

由于分式方程“af（x）+b =c”的左边两个含有变量x的式子的和是一个常数c，因此如果假设af（x）= +t，b = -t，由于f（x）与 互为倒数，因此将两式相乘可以得到ab= -t ，再由这个方程可以解得t，然后把t的值代入af（x）= +t中求得x.结合上述方程具体解法如下.

解法二：设 = +t， = -t，

将上述两式相乘可得12= -t ，解之得t = ，t = .

当t = 时， = + ，去分母，得2（x +1）=4（x+1），化简得x -2x-1=0，解之得x=1± ；

当t =- 时， = - ，去分母，得2（x +1）=3（x+1），化简得2x -3x-1=0，解之得x= .检验略.

三、利用根与系数关系来解

仔细观察分式方程“af（x）+b =c”的特点，不难发现它有两个特点：①af（x）+b =c；②af（x）×b =ab，其中c与a×b都是常数.正好符合一元二次方程中的根与系数关系式，因此我们可以把af（x）与b 看做是一元二次方程“y -cy+a×b=0”的两个实数根，我们只要解这个一元二次方程就可以得到af（x）与b 的值，从而进一步求得原方程的解.

解法三：由于 + =7， × =12，因此我们把 与 看做是一元二次方程“y -7y+12=0”的两个根.解这个一元二次方程得y =4，y =3.

若 =4，则 =3，由方程 =4，去分母，得2（x +1）=4（x+1），化简得x -2x-1=0，解之得x=1± ；

若 =3，则 =4，由方程 =3，去分母，得2（x +1）=3（x+1），化简得2x -3x-1=0，解之得x= .检验略.

四、十字相乘因式分解法

如果将分式方程进行移项或者去分母，再经过适当整理后，使得方程的右边是0，方程的左边是易于利用十字相乘法分解因式的式子，那么就可以利用十字相乘法来解此类方程.

解法四：移项得 + -7=0，利用十字相乘法分解因式得 + -7=-（ -1）（ -3）=0，于是可以得到 -1=0或 -3=0.

当 -1=0时，整理得x -2x-1=0，解之得x=1± ；

当 -3=0时，整理得2x -3x-1=0，解之得x= .检验略.

另解成：方程两边同时乘以（x +1）（x+1）去分母，移项得2（x +1） -7（x +1）（x+1）+6（x+1） =0，利用十字相乘法进行分解因式得[（x +1）-2（x+1）][2（x +1）-3（x+1）]=0，于是可以得到（x +1）-2（x+1）=0或2（x +1）-3（x+1）=0.

当（x +1）-2（x+1）=0时，整理得x -2x -1=0，解之得x=1± ；

当2（x +1）-3（x+1）=0时，整理得2x -3x-1=0，解之得x= .检验略.

五、待定系数因式分解法

在解方程 + =7时，在学习用换元法解这个方程之前，大部分学生习惯上直接用去分母法来解，即方程两边同时乘以（x +1）（x+1），去分母、去括号、移项得2x -7x +3x +5x+1=0.当学生在解这个高次方程有困难时，教师可以引导学生观察方程2x -7x +3x +5x+1=0的特点，可以发现：x 的系数是2；常数项是1.根据这个特点，用待定系数法分解因式时只有两种可能.

解法五：方程两边同时乘以（x +1）（x+1），去分母、去括号、移项得2x -7x +3x +5x+1=0.用待定系数法分解因式：

①设2x -7x +3x +5x+1=（x +ax+1）（2x +bx+1），去括号，合并同类项得，2x -7x +3x +5x+1=2x +（2a+b）x +（3+ab）x +（a+b）x+1，于是有2a+b=-73+ab=3a+b=5，求解方程组时，发现此方程组无解，说明此种分解不符合题意.

②设2x -7x +3x +5x+1=（x +ax-1）（2x +bx-1），去括号，合并同类项得，2x -7x +3x +5x+1=2x +（2a+b）x +（-3+ab）x -（a+b）x+1，于是有2a+b=-7-3+ab=3-（a+b）=5，

第4篇：分式方程的解法范文

关键词：成本预算；资金预算编制；资产负债表

中图分类号：F275.1 文献标识码：A 文章编号：1001-828X（2013）11-0-01

当前企业在运行的过程中要保证预算控制效果，必须要从预算编制入手，资金预算是企业预算编制中重要的部分，也是实施全面预算管理的重要环节，因此资金预算编制就成为企业实现预算总目标的主要途径之一，要通过合理的资金预算编制明确各责任主体的责任目标。

一、资金预算编制模式

就当前企业的运行情况而言，资金预算的编制方式有三种，一种是自上而下式资金预算编制，其优点在于能有效保障企业的整体利益，资金预算编制所需时间短，但是该种资金预算编制模式的集权性较高，执行单位并没有积极参与到其中，在执行的过程中企业各部门之间存在沟通不畅的情况，执行单位的主动性被忽视，导致资金预算执行效果低下。一种是自下而上式资金预算编制，在该种编制模式中基层部门的主观性得到较全面的展现，因为对市场的了解比较多，所以能根据市场的变动情况进行相关调整后编制合理的资金预算。但是该模式可能会导致管理失控，各个基层部门为了自身利益会虚报预算，如企业高层不给予充分的压力，那么资金预算编制效果不够理想。另外一种是上下结合的模式，首先自上而下对资金预算控制目标进行分解，然后自下而上编制资金预算，逐级汇总和审核，最终实现总体上的平衡。

鉴于上述分析，本文以上下结合的方式，以成本预算编制为基础，对企业资金预算编制进行研究。为了保证自身经济效益，以责权发生制为原则进行预算编制，对于资金预算编制而言，在责权发生制的前提下，要采取收付实现制的方法进行。

二、资金预算编制依据和原则

结合成本预算编制资金预算的编制依据是企业部门的年度总成本预算以及分项的成本控制指标。因为企业资金是企业运行的保证，所以在资金预算编制中坚持的最基本原则是“以收定支，寻求平衡”，也就是在资金预算编制中要以企业收入为依据，按照收付实现制进行编制。另外，在企业资金预算编制中还需要坚持“先急后缓、统筹兼顾”的编制原则，因为要实现企业的经营目标，在企业运行中需要控制的重点也是不一样的，所以在资金预算编制的时候要有轻重缓急，要保证重大事件、重要项目资金充足，不能因为这些项目中资金短缺影响到企业的发展。同时要在资金预算编制中统筹兼顾企业的生产经营，确保企业能正常生产，为进一步获得资金服务，实现企业继续“造血”的功能。

三、资金预算编制内容和口径

企业资金预算编制必须按照时间进行，以一段时间的资金收入为基础。因此确定资金预算编制的内容主要有期初余额、本期收入、本期支出、期末余额。期初余额就是企业期初的货币资金余额；本期收入就是在预算期内企业经营预算以及支出预算对应发生的当期内产生的资金收入、银行借款收入、代收款、资金负债表上减少款项和预收增加款项带来的资金增加数量；本期支出就是在预算期内发生的各种货币资金的支出、固定增产的支出、税费的支出、各种代付款项目的减少以及预付账带来的款项减少数量；期末余额就是预算期末企业货币资金的预计余额。

在企业资金预算编制中要细分各个款项，从如下方面入手：（1）经营预算。预算期内经营收支预算，按照成本预算表中的内容，将与之相关的数据转到资金预算表相关项目中。（2）企业内部结算。企业财务中心针对各下属单位开具账户，各项收支均在财务中心展开，各单位资金结算更加快捷和方便，不存在资金单独结算，应删减。（3）折旧、摊销。在预算期内固定资产的折旧和损耗，以及长期无形资产的摊销，在收付实现制中不存在资金结算，因此在资金预算编制中要删减。（4）增值税。虽然成本预算的收支预算中不含增值税，但是在资金预算中要将收入部分中的销项税和支出部分中的进项税相抵后，算出应缴纳的增值税，增值税需要现金支付，因此要作为资金预算中重要的因素进行编制。（5）预算期预算收支数。在预算期的收入和支出中将一些不涉及资金的因素删减后，加上增值税就是预算期的资金预算收支数。（6）资产负债表初数的变动。对成本预算表中的资产负债项目期初数进行研究，在预算期可收可支的部分中算出预算期末资产负债项目期初数的剩余数。（7）本期货币资金预算数。根据当期预算收支数和资产负债表初数的变动，将两者的预算当期资金收支数相加就是预算期的资金预算数。（8）资产负债表期末预计数。按照当期预算收支数中预算期新增挂账数以及资产负债表初数变动中的预算期剩余数，计算出资产负债表的预算期末数，结合成本预算表对该项目进行核对。

四、资金预算编制需要注意的问题

在以成本预算编制为基础进行资金预算编制的过程中需要对如下几点加强注意：（1）在预算期收入和支出的预算中可以将收入和支出按照“影响损益项目”和“影响资产负债项目”进行计算，对资金收入支出进行全面反映。（2）在企业本年度货币资金预算数中要在当年预计收支资金数的基础上加上资产负债表年初数增减变动中的预计当年收支资金数，从而确定本年的货币资金预算数。（3）资产负债表的年末预计数，将当年收治预算表中的预计当年新增挂账数加上资产负债表年初数增减变动中的预计剩余数就是资产负债表项目的年末预计数。

综上所述，在责权发生制成本预算编制的基础上采用收付实现制进行资金预算编制，能实现对资金收付各项业务的控制，保证资金预算一直处在成本预算范围内，对于提高资金预算的可靠性，确保资金的使用效率有很大的作用。

参考文献：

[1]石强.论如何准确编制高速公路行业资金预算[J].投资与创业，2012（5）.

第5篇：分式方程的解法范文

一、漏掉“检验”，解答过程不完整或产生增根

例1 解方程：[1x-3]=[3x].

【错解】方程两边同乘x（x-3），得：

x=3（x-3），

解这个方程，得：

x=[92].

所以x=[92]是原方程的解.

【分析】本题中缺少解分式方程的重要步骤――检验.错解的最后一步改为：“检验：当x=[92]时，x（x-3）≠0，所以x=[92]是原方程的解”.

【点评】解分式方程的一般步骤是：（1）去分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，在求出未知数的值后应检验这个值是否使得原方程有意义且成立.

例2 解方程：[x-2x+2]-[x+2x-2]=[16x2-4].

【错解】方程两边同乘（x+2）（x-2），得：

（x-2）2-（x+2）2=16，

解这个方程，得：x=-2.

所以x=-2是原方程的解.

【分析】本题方程中未知数x的取值范围是x≠-2且x≠2，但是在去分母把分式方程转化为整式方程后，未知数x的取值范围扩大为任意实数，所以x=-2是原方程的增根.这里漏掉“检验”导致了错误.本题错解的最后一步改为“检验：当x=-2时，（x+2）（x-2）=0，x=-2是增根，所以原方程无解”.

【点评】解分式方程时要注意未知数的取值范围，作为检验方程解的条件.

二、常数项漏乘公分母，解答错误

例3 解方程：[x2x-5]+[55-2x]=1.

【错解】方程两边同乘（2x-5），得：

x-5=1，

解这个方程，得：x=6.

检验：当x=6时，2x-5≠0，所以x=6是原方程的解.

【分析】本题中去分母时方程右边的常数项“1”没有乘（2x-5），并且在“检验”时没有发现x=6不符合原方程。

【点评】此类错误很难检查出来，所以在解可化为一元一次方程的分式方程时，要认真做好每一步，避免出现类似的错误.

【正解】方程两边同乘（2x-5），得：

x-5=2x-5，

解这个方程，得：x=0.

检验：当x=0时，2x-5≠0，

所以x=0是原方程的解.

三、忽略分数线的括号作用，解答错误

例4 解方程：[2x-2]+3=[1-x2-x].

【错解】方程两边同乘（x-2），得：

2+3（x-2）=-1-x，

解这个方程，得：x=[34].

检验：当x=[34]时，x-2≠0，

所以x=[34]是原方程的解.

【分析】本题方程右边的分式[1-x2-x]乘（x-2）后应得-（1-x），正确结果为x=[32].

【点评】分式中的分数线具有括号的作用，如果分子是多项式，那么去分母时应用括号把分子括起来.

四、数量关系理解不清，导致用方程解决实际问题错误

例5 一辆汽车从甲地开往相距90千米的乙地，出发后第一个小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前20分钟到达乙地.求前一个小时的行驶速度.

【错解】设前一个小时的行驶速度为x千米/小时，则一小时后的速度为1.5x千米/小时.

根据题意，得：[90x]-[901.5x]=20

【分析】本题中时间表达式错误且时间单位不统一.根据行程问题中的路程、速度、时间三者的关系可得，原计划的时间为[90x]小时，实际所用的时间应为[1+90-x1.5x]小时，相等关系是：原计划的时间-实际的时间=20分钟，但所设未知数的单位是千米/小时，所以应将20分钟化为[13]小时，正确的方程为：

[90x]-[1+90-x1.5x]=[13]，

解得：x=45.

经检验，x=45是所列方程的解，所以前一个小时的行驶速度是45千米/小时.

第6篇：分式方程的解法范文

上学期期末考试的成绩不及格，总体来看，成绩比较不理想。在学生所学知识的掌握程度上，大部分学生能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，但个别学生连简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差。在学习能力上，一些学生课外主动获取知识的能力较差，向深处学习知识的能力没有得到培养，学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要进一步加强，以提升学生的整体成绩；在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去。

二、本学期教学内容（概念、法则、原理等）和目的要求：

本学期教学内容，共计六章，第一章《一元一次不等式和一元一次不等式组》本章通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质，了解一般不等式的解、解集、解集在数轴上的表示，一元一次不等式的解法及应用；通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系．最后研究一元一次不等式组的解集和应用．第二章《分解因式》本章通过具体实例分析分解因式与整式的乘法之间的关系揭示分解因式的实质，最后学习分解因式的几种基本方法．第三章《分式》本章通过分数的有关性质的回顾建立了分式的概念、性质和运算法则，并在此基础上学习分式的化简求值、解分式方程及列分式方程解应用题．第四章《相似图形》本章通过对两条线段的比和成比例线段等概念的学习，全面探索相似三角形、相似多边形的性质与识别方法．第五章《数据的收集与处理》主要是概念的理解与运用．第六章《证明一》本章主要内容是命题的相关概念、分类及应用．

重点（1）掌握不等式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法及应用．（2）掌握分解因式的两种基本方法（提公因式法与公式法）．（3）掌握分式的基本性质、四则运算、分式方程的解法及列分式方程解应用题．（4）成比例线段的概念及应用和相似三角形的性质和判定．（5）调查方法的应用．（6）命题的推理论证．

难点（1）对不等式的基本性质的理解和熟练运用，一元一次不等式（组）的应用．（2）提公因式法与公式法的灵活运用．（3）分式的四则混合运算和列分式方程解应用题．（4）灵活运用比例线段和相似三角形知识能力的培养．（5）几个概念的理解、区别和应用．（6）命题的推理论证．

三、为了达到本学期教学目的要求将采取的具体措施是什么？教学方法上做哪些改革？

1、认真研读新课程标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认真制作测试试卷，也让学生学会认真学习。

2、兴趣是最好的老师，激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数学史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。

3、引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探究、合作、交流、分享发现快乐的学习课堂氛围，让学生体会学习的快乐，享受学习。

4、运用新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不同的教育理念将带来不同的教育效果。

5、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生稳步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。

四、本学期教学进度安排表：

单元章节教材内容课时预计上课日期

一元一次不等式与一次函数2 第2周2.28－3.1

一元一次不等式组3 第2周3.2－3.4

复习小结2 第3周3.7－3.8

第二章《分解因式》分解因式1 第3周3.9

提公因式法2 第3周3.10－3.11

运用公式法2 第4周3.14－3.15

复习小结1 第4周3.16

第三章《分式》分式2 第4周3.17－3.18

分式的加减法2 第5周3.22－3.23

复习小结2 第6周3.29－3.30

第四章《相似图形》线段的比2 第6周3.31－4.1

黄金分割1 第7周4.4

形状相同的图形1 第7周4.5

相似多边形1 第7周4.6

相似三角形1 第7周4.7

探索三角形相似形的条件2 第8周4.11－4.12

测量旗杆的高度1 第8周4.13

相似多边形的性质2 第8周4.14－4.15

频数与频率2 第12周5.9－5.10

数据的波动2 第12周5.11－5.12

第六章《证明一》你能肯定吗1 第13周5.16

定义与命题2 第13周5.17－5.18

为什么它们平行1 第13周5.19

第7篇：分式方程的解法范文

在课堂教学中精心设计问题，并根据教材内容设计启发方式，编出合理的导语，以激发学生的求知欲，使学生处于兴奋状态，产生自己看书解决问题的冲动。

采用何种启发方式，关键要看教材的内容。例如，当教材内容具有从直观到抽象的特点时，以学生进行“观察”为主，可以借助电教设备或其它教学用具，作为观察的手段；当教材内容逻辑性很强，有从假设到证明的特点时，以多设计问题为主；当教材内容具有从旧知识到新知识的特点时，应以回顾解题方法、解题思路为主。无论教材内容有什么特点，教师都要把握好“度”，使设计的问题恰到好处，即以“智”为核心，强化学生自己解决问题的主体意识。同时，设计的问题要留有一定的想象空间，要让学生感觉他们能解决，以便发挥他们的想象力和创造力。例如，在学习一元二次方程的解法时，我是这样设计的：

问：进入中学以来，我们首先学习的方程是一元一次方程及其解法，又学习了二元一次方程组和分式方程，请回答：二元一次方程组和分式方程的解题思想分别是什么？解题方法分别是什么？

答：二元一次方程组解题思想是化二元一次方程组为一元一次方程，方法是消元。分式方程的解题思想是化分式方程为整式方程再化为一元一次方程，方法是去掉方程两边的分母。

问：消元有哪些方法？怎样去掉分母？

答：消元有代入消元法和加减消元法。在分式方程两边都乘以最简公分母可以去掉分母。

问：以上两种类型题都可以转化为一元一次方程解决，但转化方法不同。那么，一元二次方程是否也可以转化为一元一次方程去解呢？如果可以，又有哪些方法呢？

学生们纷纷猜测，发挥着他们的想象力，而后让学生自己看书，通过自学，寻找准确答案。问题解决了，学生得到自我鼓励，感受到“智”的乐趣，在不知不觉中树立和强化了自学意识。

二、加强读书方法的指导

读数学书是一种以思维为核心的理解性学习，要让学生反复琢磨，潜心领会，深入思考。同时，要教会学生“粗读、细读、精读”的方法。“粗读”，就是知其大意，找出不了解、但又需要细读的部分；“细读”就是要钻研教材的内容、概念、公式和法则，掌握例题的格式，分析关键的字词、语句和符号标记；“精读”就是对内容加以概括、记忆，并用相关的知识做练习。待学生熟悉了这些基本方法后，辅之以读书提纲，由学生自学。

教师要精心设计读书提纲：要根据教学目标，帮助学生提炼出重点；要设计梯度，帮助学生突破难点；要给出提示，帮助学生学会科学的思维方法。如，学习第八章《分式》中“分式的基本性质”时，提纲中可以提示：找出本节分数与分式比较的内容，分析它们的相同点和不同点，以便更准确地学习新概念，这是我们经常使用的思维方法，即比较法。教师要经常有意识地把教科书中涉及到的思维方法、数学思想方法等在提纲中提示给学生。仍以比较法为例，运用比较法，可以帮助学生消除知识的混淆和割裂现象，使知识连线成网。纵向，学生理解得深刻；横向，学生理解得广阔。

三、减少随意性，增强计划性

第8篇：分式方程的解法范文

关键词：数学思想、数学教学、渗透

《初级中学数学教学大纲》指出:“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。”这就要求我们在数学知识教学的同时，必须注意数学思想和方法的渗透。只有这样，才能促进学生数学能力的发展，推动学生思维品质的提高。那么，如何在初中数学教学中渗透数学思想方法呢？

一、 在备课时，注重数学思想的挖掘。

数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。这就要求教师在备课时，不但备数学基础知识、基本技能，更应该挖掘知识间隐藏的数学思想，因此，教师在教学过程中一定要研究大纲，吃透教材，把教材中蕴涵的数学思想、方法精心设计到教案中去。比如，在讲数轴、相反数、绝对值等知识时，教师只有把握住数形结合思想，并坚持节节课渗透，学生才能抓住知识的本质，从而更好的形成数学技能和思维。

二、 在上课时，注重数学思想的渗透。

(1) 在知识的形成过程中注重数学思想的渗透。对于数学而言，知识的发生过程，实际上也是数学思想方法的发生过程。因此，必须掌握好教学过程中进行数学思想方法的渗透时机和分寸。比如在讲《探索规律》时，教师从儿歌引入：“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通一声跳下水；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，扑通两声跳下水…”教师在此提问：“这个儿歌能唱的完吗？你怎样用简洁的话概括它呢？”通过这个问题的引入和讲解，自然地渗透了化归思想和有特殊到一般的思想。通过数学思想方法和生活实际的有机结合，教师自然渗透了数学思想和方法，启发学生领悟到蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法。再比如在讲九年级《分式方程》一节，教学时不能只简单介绍分式方程的概念和解法，而是从复习整式和分式的概念出发，然后依据辩证思想自然引出分式方程，接着带领学生领会两个概念的对立性和统一性，再利用未知与已知的转化思想启发学生说出分式方程的解题基本思想，从而发现两种方程在解法上虽有不同，但却存在内在的必然联系。这样，学生在知晓整式方程与分式方程概念和解法的辩证关系后，就体现了分式方程与整式方程的对立统一思想，就能进一步理解和掌握分式方程，收到一种深入浅出的教学效果。

（2）在方法的提升过程中注重数学思想的渗透。教学中那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此，在教学中，首先要特别强调知识体系形成之后，在方法提升中注重数学思想的总结和渗透。比如从研究过程上来看，二次函数的学习也体现了研究函数的一般套路和方法，研究“二次函数y=ax2的图像和性质”可以类比研究反比例函数的图像和性质来进行。也就是先画出函数图象，然后从图像上观察函数的性质注意，最后用数学语言描述这些性质，用数形结合地研究函数的图像与性质。

（3）在应用的训练过程中注重数学思想的渗透。初中数学中有许多体现“分类讨论”思想的知识和技能。比如，在讲等腰三角形时，（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，那么等腰三角形的顶角是多少？（2）直角三角形两边长分别是3和5，那么这个三角形斜边上的高时多少？所有这些，充分体现了分类讨论的思想方法，通过解决这类问题，有利于学生全面的分析解答问题，有利于学生用辩证的眼光认识物质世界。再比如“数形结合”是初中数学中的一种重要的思想方法，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解：

（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，

化简|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|= = 。（2）如图，用8块大小相同的长方形地砖拼成一矩形地面，那么这块矩形地面的面积S＝ 。以上两题，一个是利用数轴的直观性，结合实数绝对值的几何意义，一个是注意观察图形中隐含的数量关系，将对应的数与形结合起来，体现数形结合在解题中的直观与简明，比较容易得出结论。

三，在复习时，注重数学思想的延伸。

数学思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中，以隐形的方式蕴含于数学知识的体系中，作为教师，我们首先弄清楚教材中所反映的数学思想方法以及它与数学相关知识之间的联系，并适时作出归纳和概括。在课堂教学中及时地概括和总结，并适时地强化，让学生在脑海中留下深刻的印象，这样有意识、有目的地结合数学基础知识，挖掘、概括数学思想方法，才能让学生在潜移默化中体会数学思想，而不是生搬硬套，华而不实地死记硬背。

总之， 数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。数学思想是学生必须具备的基本素质之一。我们在教学时，应充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想和方法，设计数学思想方法的教学目标，结合教学内容适时渗透、反复强化、及时总结，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人。通过教师积极的挖掘与引导，适当的训练与概括，合理的设计与运用，一定能够使学生较好的掌握数学思想方法，提高解题能力。

参考文献：

第9篇：分式方程的解法范文

【关键词】变式练习 突破重难点 辨别混淆 把握数学实质 数形结合

【课题项目】甘肃省教育科学‘十二五’规划2014年度“创设初中数学实验课的探究”成果，课题申报号：LZ-930，课题负责人：陈丽英。

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）10-0122-02

在初中数学课堂教学中，根据教材内容及学生学习情况合理设置一些变式练习，对提高课堂教学效果及培养学生探究问题的能力和数学素养有很大帮助，本文将从以下几个方面阐述。

一、变式练习符合学生认知规律，有助于突破教学内容的重难点

在课堂教学中，设计由浅入深，由特殊到一般的变式练习，一方面能将本节课的重难点分成几个步骤，由简到难展现出来，另一方面学生也更容易理解和掌握课堂所学知识，符合学生的认知规律。如：在学习提公因式法分解因式第2课时中，公因式为多项式时，如何找公因式是这节课的重点和难点。为了突破本节课重、难点，我在课堂教学中设计如下例题和变式训练：

例1.分解因式：2am-3m

变式（1）：2a（b+c）-3（b+c）

变式（2）：2a（b+c）2-3（b+c）3

变式（3）：2a（c-b）2-3（b-c）3

变式（4）：2a（c-b）2n-3（b-c）2n+1 （n为正整数）

设计意图：例1中，学生很容易找到公因式为m。变式（1）中，将例题中的m变为多项式：b+c，有了例题的铺垫，这一问学生通过类比较容易得到多项式为b+c；变式（2）中，将（1）中b+c，分别变为（b+c）2和（b+c）3，引导学生取较低次幂（b+c）2作为公因式；变式（3）中，将（2）中的（b+c）2变为（c-d）2，（b+c）3变为（b-c）3，这时底数虽不同，但是互为相反数，引导学生先将（c-b）2变为（b-c）2再找出公因式（b-c）2；变式（4）中将（3）中（c-b）2变为（c-b）2n，（b-c）3变为（b-c）2n+1，这样指数更为一般化，由于两个底数互为相反数，而且一个指数2n表示偶数，另一个指数2n+1表示奇数，有了（3）的思考，学生很快想到将（c-b）2n变为（b-c）2n， 从而找到公因式（b-c）2n。通过这种变式练习，这节课的重难点很容易被学生接受和理解。

二、变式练习有助于学生辨别教学中容易混淆的知识点，从而更好的把握数学知识的实质

在教学中，有一些定理和概念容易混淆，通过设置变式练习可以帮助学生加以区别。如：在学习分式方程时，学生对分式方程的增根和无解这两个概念容易混淆，为此，我设置了如下例题和变式训练：

例2.解方程： ■-■=■

变式（1）：关于x的分式方程■-■=■ （k为常数）有增根，则k的值是多少？

变式（2）：关于x的分式方程■-■=■（k为常数）无解，则k的值是多少？

设计意图：例题2考查学生对可化为一元一次分式方程的解法及对其根的合理性的检验。由于这个分式方程产生增根使得该分式方程无解，大部分学生误认为分式方程有增根等同于分式方程无解。因此教学中很有必要设置变式训练，引导学生区别这两个概念。变式（1）中含有字母k，首先将分式方程转化为整式方程：（k-1）x=-10 ，由题目知道分式方程有增根，则增根可能是x=2或x=-2，将增根x=2或x=-2代入整式方程（k-1）x=-10 ，解得，k=-4或k=6。通过变式（1）的练习让学生进一步理解，增根是分式方程转化成的整式方程的解，但是它使得原分式方程的分母为零，因此不是原分式方程的解。变式（2）将变式（1）中的增根改为无解，此时要考虑两种情况（1）：如果分式方程转化成的整式方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解；（2）分式方程转化后的整式方程（k-1）x=-10本身无解的情况，即当a-1=0，即a=1时此整式方程无解，所以原方程无解。通过变式（2）的练习让学生进一步理解，分式方程无解包含两层含义，（一）原分式方程转化后的整式方程无解；（二）原分式方程转化的整式方程有解，但这个解却使得原分式方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解。通过这种变式练习，加强了学生对数学概念的理解和辨别，从而更好的把握数学本质。

三、变式练习有助于开阔学生思维，并提高学生解决数学问题的能力

在数学课堂教学中，将考查同一个知识点的不同类型题目由简到难设置变式练习，引导学生开阔思维，并提高解决数学问题的能力。如：在学习反比例函数图像及其性质时，设计如下例题和变式训练：

例3.如图1所示，点p为反比例函数y=■图像上一点，PMx轴，PNy轴，垂足分别为M、N，（1）求长方形PMON的面积，（2）求PMO的面积。

图1 图2 图3

变式（1）：如图1所示，点P为反比例函数y=■图像上一点，PMx轴，PNy轴，垂足分别为M、N，若长方形PMON面积为2，则k为多少？

变式（2）：如图2所示，P为反比例函数y=■图像上一点，求PMx轴，垂足为M，则PMQ1和PMQ2面积分别是多少？

变式（3）：如图3所示，A、C两点均在反比例函数y=■的图像上，且A、C两点关于O点中心对称，ABx轴，CDy轴，垂足分别为B，D，则四边形ABCD面积为多少？

设计意图：

例3是对反比例函数比例系数k的几何意义的直接应用。变式（1）则将例题中的题设和结论反过来，这样能激发学生逆向思考问题的能力；变式（2）中，将例题中PMO的一个顶点O移到Q1或Q2位置，此时PMQ1和PMQ2都与PMO等底等高，因此面积也相等，这样的设计可以帮助学生加深对知识的理解，从而提高学生解决数学问题的能力。变式（3）中，将平行四边形知识与反比例函数性质巧妙的结合起来，学生通过分析得到：S四边形ABCD=2SABD=4SABO=4×1=4。通过这样的设置，不但开阔了学生的思维能力，同时也提高了学生综合分析问题的能力。

四、通过变式练习渗透数形结合思想，实现数量关系与图形性质的相互转化

函数与方程及其不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，通过变式练习，渗透这三者之间的联系，帮助学生从整体上认识不等式，感受函数方程不等式的作用，从而使所学知识融汇贯通。 在学习一次函数与一元一次不等式时，设计如下例题和变式练习：

例4.如图4，一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=■（n≠0）交于点A（1，m），B（-3，n），问：x取何值时，y1y2？x取何值时，y1

变式（1）：解方程：kx+b-■=0（请直接写出答案）

变式（2）：解不等式：kx+b-■≥0 （请直接写出答案）

变式（3）：求一元二次方程kx2+bx-n=0的解

（根据函数图像简单说明理由）

设计意图：