高考数学归纳法精选(九篇)

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第1篇：高考数学归纳法范文

数学高考题型题思路

一、三角函数题

注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。

二、数列题

1.证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;

2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;

3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。

三、立体几何题

1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;

2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;

3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。

四、概率问题

1.搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;

2.搞清是什么概率模型，套用哪个公式;

3.记准均值、方差、标准差公式;

4.求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1);

5.注意计数时利用列举、树图等基本方法;

6.注意放回抽样，不放回抽样;

7.注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;

8.注意条件概率公式;

9.注意平均分组、不完全平均分组问题。

五、圆锥曲线问题

1.注意求轨迹方程时，从三种曲线(椭圆、双曲线、抛物线)着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法;

2.注意直线的设法(法1分有斜率，没斜率;法2设x=my+b(斜率不为零时)，知道弦中点时，往往用点差法);注意判别式;注意韦达定理;注意弦长公式;注意自变量的取值范围等等;

3.战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。

六、导数、极值、最值、不等式恒成立(或逆用求参)问题

1.先求函数的定义域，正确求出导数，特别是复合函数的导数，单调区间一般不能并，用“和”或“，”隔开(知函数求单调区间，不带等号;知单调性，求参数范围，带等号);

2.注意最后一问有应用前面结论的意识;

3.注意分论讨论的思想;

4.不等式问题有构造函数的意识;

5.恒成立问题(分离常数法、利用函数图像与根的分布法、求函数最值法);

6.整体思路上保6分，争10分，想14分。

 

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5.历年高考数学题型总结

6.数学高考题型分值分析

第2篇：高考数学归纳法范文

关键词：递推数列；构造法；主体部分拆分法

2014年高考尘埃落定，许多理科考生，数学教师均对新课标高考数学（理科）卷二中的数列解答题议论纷纷，学生都在抱怨，教师高呼超纲超标，笔者仔细观察，发现此题颇值得深入探讨. 笔者就这个问题，从课标、教材以及其他省份的历年高考相关试题进行渊源分析与解法探索，现将我们的思考和读者一起分享.

（2014・新课标高考数学（理科）卷二解答题第17题和教育部考试中心提供的参考答案如下：

[?] 对本题第（Ⅰ）问的思考

首先对照《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）来思考，《标准》中对等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的要求是“掌握”，此题中的第一问的要求是通过构造辅助的等比数列来求通项公式，而且题目中给出辅助数列，要求先证明它是等比数列，再求通项公式，实际上已经降低了构造法的难度. 所以，第（Ⅰ）问不存在“超标” 的说法. 其次，再从教材的角度来看，第（Ⅰ）问的题目原型是普通高中数学课程标准教科书人教A版教材必修5第69页数列复习参考题组第6题：“已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），求这个数列的通项公式”.此题的解答就是通过两边添加项构造辅助的等比数列来解决问题：

由an=2an-1+3an-2，得an+an-1=3an-1+3an-2=3（an-1+an-2），移项得an-3an-1=-（an-1-3an-2），所以{an-3an-1}是等比数列. 由这个辅助数列为突破口就可以解答该题.

本题更远的教材原题背景是来自1995年以前使用的大纲教材――人教版高中数学代数下册的复习参考题：“已知an+1=b，

c・an+d，求数列的前4项及其通项公式.”

对于问题（Ⅰ），其解题起点在于对递推关系式an=3an-1+1的观察，与an=3an-1相比，多了一个常数项1，而an=3an-1是典型的等比数列，可以猜想系数3可能与公比有关，因而确定问题的转化方向――构造以公比为3的等比数列.

数学归纳法的证明过程在此不再赘述.

对于递推数列的通项公式不易求解时，可考虑用赋值法求出数列的前几项，用合情推理猜想出通项公式，再用数学归纳法进行证明，此解法思路成功的关键在于归纳猜想时，要灵活运用“猜结果”与“猜结构”的策略.

以上三种方法比较，显然参考答案提供的构造法思路更简单，解法更简洁.当然后两种方法均有其特点，也指明了在数列的递推公式教学中，教师应关注的几个方向.

[?] 对2014高考新课标卷二17题的第（Ⅱ）问的思考

这是典型的放缩法证明不等式.在此，避开放缩法是否超出课程标准考试大纲不谈，我们只从数学方法的角度来看. 笔者在高考评卷过程中发现考卷中能用参考答案这种方法做出正确解答的并不多见，笔者认真分析了国家考试中心提供的参考答案，感觉该解答与中学生的解题习惯不甚吻合.

放缩法的关键，一是放缩的方向，二是如何把握放缩的“度”的问题. 那从这个参考答案上来看，学生如何确定放缩的方向？如何才能得到3k-1≥2×3k-1？这个思路与学生的认知水平及思维习惯相差甚远. 基于此，笔者提出以下的解法，并将结论做相应的推广.

评注：对于上述解法，应关注其解题思路，剖析解题心理状态.首先观察目标结论：++…+=++…+

上述解题思路当中有两个关键点，第一：向等比数列转化，第二，运用“主体部分拆分法”，拆出主体部分等比数列后，对其剩余部分实施放缩.

受此触动，笔者尝试将上述结论适当推广.

既然可以放大，能否考虑缩小呢？

前两问考查了赋值法，以及运用前n项和公式求数列的通项公式的方法，其中第（Ⅱ）问考点仍旧是构造法，在此不再赘述.

第3篇：高考数学归纳法范文

关键词：等差；等比；前 项和；性质

数列是特殊的函数，是高中数学的重点内容，也是与高等数学内容的接轨之处，因而深受高考命题人青睐，是每年高考的必考内容。

纵观近几年的高考数列试题，我们可以看出高考命题主要围绕以下方面进行考查：

（1）数列自身内部问题的综合考查（如与的关系问题、递推数列问题的考查一直是高考的热点，求数列的通项与求数列的和是最常见的题目，数列求和与极限等综合性探索性问题也考查较多）。

（2）构造新数列思想，如“累加、累乘、错位相减、倒序相加、裂项求和”等方法的应用与创新.

（3）数列与其他知识的交汇综合考查，如数列与函数、方程、不等式、数学归纳法、三角、解析几何等知识的综合.

（4）数列的应用问题，主要是增长率、分期付款等数列模型.

等差数列、等比数列是数列中的两个特殊数列，高考中考查的非等差数列、等比数列问题，主要是将其转化为这两种数列，进而得解，其核心思想是转化与化归.在高考中，文科试题与解方程、求特殊数列的和有关，理科试题中数列与函数、不等式、数学归纳法等的综合问题是热点，复习过程中要加强逻辑思维能力与推理能力的训练与培养.对于等差数列与等比数列混合交汇的综合问题，突破的关键是熟练掌握并灵活应用其定义、性质、通项、前项和，并能熟记相关的“二手结论”.本文通过几道考查数列性质的题与高考题目链接对比来分析数列在高考中的基本考向.

例1（人教A版必修5习题2.3B组第2题）已知数列是等差数列，是其前项的和.求证：，，也成等差数列。

这是一道反映等差数列基本量思想的题目，利用通项与前项和的公式很容易解答，体现了由特殊到一般的数学思想.由此得出的结论具有典型性和代表性：“已知数列是等差数列，是其前项的和，设，则有，，也成等差数列”.在选择题、填空题中可作为“二手结论”直接使用，在高考中有不少试题可以体现.

既然等差数列有这样的结论，类比到等比数列，请问：等比数列是否也有类似的结论呢？通过类比引导学生再回顾课本，可得到等比数列也有类似的结论。

人教A版必修5习题2.5B组第2题就蕴涵着等比数列前项和的这一重要性质：已知等比数列的前项和为，求证：，，也成等比数列.

链接高考：（2010年高考数学安徽卷理科第10题）设是任意等比数列，它的前项和、前项和、前项和分别为，则下列等式中恒成立的是（ ）

A.B.

C.D.

此题可以直接用上面提炼出的结论，，（）也成等比数列，代入、化简、整理即可解答.由此可以看出高考试题并不神秘，很多试题都直接或间接来源于课本，或是原题，或是变式题，或是直接由课本题提升而得的结论.这说明我们在高考复习中要紧扣教材、回归教材、抓纲务本。

例2：成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。

此题充分将等差数列等比数列进行了交汇结合.要解答此题，就需要引导学生分析入手点，即如何设出满足条件的数列，可技巧性的设成等差数列的三个数为，直接求得.这不仅训练了学生已知三个数的和且成等差数列的技巧设法，而且将基本量思想和方程思想也进行了综合训练.由此让学生归纳总结出一般规律：

（1）若已知奇数个数成等差数列并知道其和，可设这个等差数列为…，，…（公差为）；

（2）若已知偶数个数成等差数列并知道其和，可设这个等差数列为…，，…（公差为）；

再启发引导学生思考：若已知个数成等比数列并知道其积，又如何设该数列呢？

例3：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，求这四个数.

这是一道有关等差数列、等比数列的综合问题，可以让学生体会在等差数列、等比数列中方程思想的应用.可根据前三个数成等差数列设其为；或根据后三个数成等比数列，设其为；或设其为等，让学生感受利用等差数列、等比数列的有关知识灵活设元而得到的不同的解法.然后由学生比较、总结，得出简洁合理的最优化运算途径，以此培养学生运用数学概念分析问题、解决问题的能力，既培养学生思维的发散性，又培养学生思维的聚合性.

链接高考：（2011年高考数学湖北卷文科第17题）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列中的.

求数列的通项公式；

数列的前项和为，求证：数列是等比数列。

本题涉及等差数列，等比数列及其求和公式等基础知识，同时训练学生的基本运算能力和推论论证能力，难度适中，是一道好题.解题的关键是寻找如何设出此数列，找到突破口问题就简单多了.基本量法求解等差数列、等比数列的有关问题是基本功，必须过关，其求解的基本思路是：需要紧扣等差数列与等比数列的概念、性质，做出合理的分析与比较，根据他们的五个基本量（）的内在关系及题目中的条件建立方程（组），通过解方程（组）寻找突破口求解相关问题。

例4：有两个等差数列，，，求.

解：设等差数列，的前项和为，.

此题看似平凡，实则是一道难得的好题，它将等差数列的通项、前项和及性质进行了综合复习，并体现了转化与化归思想和构造法，体现了数列与函数的综合.解法1用的是构造法，要注意性质“当时，”的正确使用；解法2用的是待定系数法，充分利用了等差数列前项和是关于的二次函数形式；解法3利用了等差数列前项的和与通项之间蕴涵的一个关系：是等差数列，，此式在选择题、填空题中可作为“二手结论”直接使用。

由此题再启发学生思考：设等差数列，的前项和为，，且满足（1）如何求？（2）如何求？进而得出一般性结论：

第4篇：高考数学归纳法范文

策略一、数列是特殊的函数，因此可用函数思想解决数列不等式恒成立问题，但是由于数列图象是其对应函数图象上的一些孤立的点，因此用函数思想解决数列问题时应该特别注意数列中自变量取正整数这一特殊性质。

例1cn=(2n+1)a2n+1lga,其中a>0且a≠1，如果数列{cn}中的每一项恒小于它后面的项，求实数a的取值范围。（2008年湖北压轴题改编）

思路分析：函数思想解决含参的数列不等式恒成立问题，关键在于通过灵活转化，构造合理的函数。由于等价转化的方式不同，构造出的函数也不同，因此导致解题难度就不同。cn

观察发现：不等式两边都有公因式lga与a2n+1，可以对不等式进行等价转化，然后利用最值法解决。但是由于lga有正由负，需要进行分类讨论。

(1)0(2n+3)a2n+3对任意的n∈N恒成立，即2n+1>(2n+3)a2对任意的n∈N恒成立，接下来关键是构造什么函数。

转化一：2n+1>(2n+3)a2对任意的n∈N恒成立等价于a2

转化二：2n+1>(2n+3)a2对任意的n∈N恒成立即(2n+3)a2－(2n+1)>0对任意的n∈N恒成立，设f(n)=(2n+3)a2－(2n+1)，则f(n+1)－f(n)=2a2－2

转化三：2n+1>(2n+3)a2对任意的n∈N恒成立即(2n+3)a2－(2n+1)>0对任意的n∈N恒成立，设f(x)=(2x+3)a2－(2x+1)=(2a2－2)x+3a2－2则f′(x)=2a2－2

(2)若a>1，则lga>0，显然(2n+1)a2n+1

综上所述a∈[JB((]0,155[JB))]∪(1,+∞)。

“分离变量法”仅是用函数思想解决不等式恒成立问题的过程中对不等式进行等价转化的一个变形技巧，它的作用主要在于求函数最值时避免分类讨论。

策略二、善于运用合情推理

“先猜后证，特值引路”，即通过特值猜想求出使问题成立的必要条件，在证明其具有充分性。这种方法在最近几年的高考试卷多次出现，随着新课改的深入，高考对猜想能力的考查将日趋加强。

例2（2010年全国卷Ⅰ22）已知数列{an}中，a1=sn+1=c-1[]an。

（Ⅰ）略。（Ⅱ）求使不等式an＜an+1＜3成立的c的取值范围。

分析：第（Ⅱ）较难，需要运用先猜后证。先由特值引路，因为ana1=1，由此解得c>2,下面只要证明再用数学归纳法证明“当c>2时，an

用数学归纳法证明：当c>2时，an

（ⅰ）当n=1时，a2=c－1a1>a1，命题成立；

（ⅱ）设当n=k时，ak

ak+2=c－1ak+1>c－1ak=ak+1

故由（ⅰ），（ⅱ）知，当c>2时，an

另一方面，由an

f(3)≥0，

Δ=c2－4>0，即c

9－3c+1≥0，

c>2，解之得c≤103。综上所述两个方面可知，所求c的取值范围为2,103。

接下来只要证明c∈2,103时不等式an

因为当c∈2,103时，an+1an

第5篇：高考数学归纳法范文

《考试说明》和《考试大纲》中所透露的高考信息最权威、最准确，因而也最被高三毕业班的教师和学生看重。“考什么”“怎样考”“考多难”这三个疑问在这两个文件中均能给毕业班的所有师生做出明确的解答。

通过对这几年我省的高考数学命题情况的研究，我们会有一个较大的发现：这些试题是有其共性的。从命题角度上看，更加注意试题背景，更加强调数学思想，更加注重数学应用；从试题特点上说，更加强调问题性，更加强调启发性，更加突出基础性；从解法上来看，更加重视通性通法，比较淡化特殊技巧，尤为凸显问题思考。这些试题，强化的是主干意识，关注的是知识点衔接，考查的是创新意识。其实，这创新意识在《考试大纲》中就有明确的说明，即“创新意识是理性思维的高层次表现”。所以近些年的试题从表现形式上都显得极为新颖、活泼，为的就是要考查学生比较高层次的理性思维。

就这个意义上来说，在高考复习前，一定要把《说明》和《考纲》研究好，吃透其精神，把握其实质，特别要加强新题型的练习，注意揭示问题的本质，创造性地解决问题。

二、高度重视基础知识，以不变应万变

每年的高考命题者似乎总是变着法地捉弄考生，他们对高考试题翻尽了花样，使尽了花招，一年一个样，年年不相同。但唯一不变的是命题的原则——不得超出课本所涉范围。而课本上的知识，都是最基本、最基础的。再高的大厦，一旦失去了坚实的基础，也不可能巍然矗立。数学高考试题再难，也不能超乎课本的范畴。因此，在高考数学复习时，一定要注意回归课本，狠抓基础知识，对课本上的例题和习题，弄懂、吃透，做到以不变应万变，一直到高考前一周。

高考数学试题虽然不可能考查单纯背诵和单纯记忆的内容，也不会把课本上的原题拿出来考查。但是，我们从历年的试卷分析中发现，高考试题中即使是那些压轴题目，也全能在课本上找到“根源”。说白了，高考试题就是对课本上原题的变型、改造、综合。高考是针对大众的，如果出现了大量的偏题、怪题，就会违背命题原则，所以，只要我们对课本上的题目熟悉了、弄懂了、吃透了，对高考试题就会有似曾相识的感觉，至少见了，不会害怕。

在回归课本进行复习时，对课本中的基础知识、基本方法、基本技巧，要以重现讲授时的情景，认真地加以回忆梳理，对那些尚未掌握的，要及时补上，千万注意不强记题型，不死背结论，把复习的重点放在掌握例题涵盖的知识点解题方法上。在复习时，我们也不妨用一下“以退为进”的战略。我们看到，有相当一部分考生，到了最后的冲刺阶段，通常会把基础的内容弃置在一边，专门攻克一些难度较大的题，结果呢，只能是自信心受挫，在考场上，原本该得到的基础分却丢了。因此，我们建议考生，在高考复习时，不要有过高的奢望，不要指望把所有题目全部攻克，应该将有限的时间放在巩固基础知识上，对付简单、基础的题目，这样的话，在高考时肯定会有超常的发挥。

三、注意渗透思想方法，培养综合能力

纵览近几年的高考数学试题，我们看到，它不仅紧紧扣住教材，而且还十分注重考查数学思想方法，这也吻合了《考纲》中所述的“强调能力立意，重视对数学能力的考查”。大凡考查学生数学思想方法的题目，一般都比较灵活，解题的技巧性相对比较强，解题的方法也多种多样。它要求考生在考试时，能以最快的速度，迅捷地寻出解题的最佳方法，找到解题的最佳思路，为解答其他试题争取到较多的时间。

常用的数学方法有：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、消元法、参数法等；常用的数学思想有：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等。这些思想方法是从数学思维之“观察与分析、抽象与概括、分析与综合、归纳与演绎、特殊与一般”中提炼的。数学思想方法较之于数学基础知识，其地位和层次显然要高得多，掌握数学思想方法可一辈子受用。在数学思想方法中，数学方法是数学思想的具体体现，是一种数学行为，具有模式化与可操作的特征，它是解题的具体手段。而数学思想却是数学的灵魂，它是一种数学意识，属于思维的范畴，只能领会和运用，它主要用于对数学问题的处理和解决。数学思想方法的获得，只有一条途径：在学习、掌握数学知识的同时获得。

数学思想方法不是集中在某一个章节里，而是分散地渗透在高中数学教材的每一个章节中，因此，我们在平时的复习中，就要十分注意归纳和总结，以帮助学生在解题中正确运用，唯有如此，我们的考生才能在高考中灵活地运用数学思想方法解决问题。

四、重视解题的回顾反思，提高解题能力

在高考数学复习中，大多数教师都积极主张“多练”，而我更加强调的是“多思”，尤其是解题后的反思。反思应侧重：

1.通过反思，找出形成该题目的知识结合点，即题目中考查的知识点有哪些？这些知识点一般情况下又是怎样结合在一起的？这些东西弄清了，解题的思路也就打开了。

2.通过反思，找到解答问题的突破点，即解完那些较难的题目后，要回顾一下突破这些题目的条件是什么？与这些相类似的条件有无其他的形式和一般的规律？用这些规律能否突破其他的问题等。

3.通过反思，优化解题的思维路线。即对综合性极强的题目，解完题后要进一步地回顾、整理、概括自己解题的思维，以确定最佳的思维路线。对一题多解的题目，解完题后要回顾一下，彻底弄清在什么样的情形下用什么样的方法最适合，通常要注意哪些细节。

第6篇：高考数学归纳法范文

【关键词】新课标 高考文科数学 备考复习策略

文科学生是高中数学学习中的一个特殊群体。提高文科数学备考复习的质量对于大面积提高高中数学教学质量有着极其重要的意义。由于大多数文科学生的数学学习水平较理科学生要低。因此，在进行文科数学备考复习时，教师要在备考复习策略上狠下功夫，帮助学生树立学好数学的信心，提高学生的解题能力。本文结合笔者的教学实践，针对文科生高考数学备考复习策略进行探讨。

一、回归教材，夯实基础

教材是考试内容的媒介，是高考命题的重要依据，也是学生思维能力的生成点。只有吃透课本上的例题和习题，才能全面系统地掌握数学基础知识、基本技能及基本思想，构建完整的数学知识网络，以不变应万变。

（一）重视数学基础知识、基本技能和基本数学思想方法的掌握和运用

基础知识、基本技能和基本数学思想方法是学生复习的重中之重。复习中要以课本例题、习题为载体，抓好基础题型和通性通法的熟练掌握，淡化特殊技巧。教师应通过教材例题，习题的重组、演变、推广，使学生从不同角度和不同侧面深入地把握问题的本质，形成理解数学概念、解决数学问题的基本活动经验。学生也应做到：课堂勤做笔记，课后认真思考，对任何问题先思考，后解答，对错题要经常反思总结，将平时的每一次考试都当成高考一样认真对待，培养良好的应考心理、技能以及规范答题的习惯。

（二）夯实解题基本功

高考复习的一个基本点是夯实解题基本功，而对这个问题的片面做法是只抓解题的知识因素。其实解题的效益取决于多种因素，其中最基本的有：知识因素、能力因素、经验因素、非智力因素。学生在答题中除了存在知识性错误之外，还存在逻辑性错误、策略性错误和心理性错误。高考数学历来重视运算能力。学生运算要熟练、准确，运算要简捷、迅速，运算要与推理相结合，运算要合理，并且在复习中要有意识地养成书写规范、表达准确的良好习惯。

（三）加强知识的综合运用

高考数学试题强调在知识交汇点处命题。学生复习中要有意识地加强知识的横向、纵向联系的训练，如不等式、数列、函数的综合问题，数列、数学归纳法、解析几何、不等式的综合问题，向量、三角函数、解析几何、不等式的综合问题，线线、线面、面面位置关系、三角函数的综合问题，期望、方差、正态分布的综合问题等。

二、构建知识网络，加强知识交汇点问题的训练

知识网络就是知识之间的基本联系，它反映知识发生的过程，知识所要回答的基本问题。构建知识网络的过程是一个把厚书（课本）读薄的过程；同时通过综合复习，还应该把薄书读厚。这个厚，应该比课本更充实，在课本的基础上加入一些更宏观的认识，更个性化的理解，更具操作性的解题经验。在数学备考复习基础知识时，要抓住各部分内容之间的联系，并进行重新组合，使学生对所学知识的认识形成一个较为完整的结构。在第一轮复习中应坚持“低起点，中强度，细要求”。在复习过程中，必须再现主干知识形成的过程，注意知识结构的重组与概括，揭示其内在联系与规律，重新全面梳理知识，提炼方法，感悟思想。强化基本技能的训练要克服“眼高手低”现象，主要在速算、语言表达、解题、反思矫正等方面下功夫，尽量不丢或少丢一些不应该丢失的分数。复习中，应加强学生对知识交汇点问题的训练，实际上就是训练学生分析问题、解决问题的能力。综合性问题，往往可以分解为几个简单的问题来解决。要解决这类问题，关键在于弄清题意，将之分解，找到突破口。

三、强化数学思想方法的渗透，培养学生数学思维能力

注重对数学思想方法的考查也是高考数学命题的显著特点之一。因此，在各个阶段的复习中，教师要结合具体问题，不失时机地渗透数学思想方法，运用数学思想方法，进行多次再现，不断深化，逐步内化，使数学思想方法成为学生能力的重要组成。

在数学备考复习中，要把数学思想方法渗透到每一章、每一节、每一课、每一套试题中去。任何一道精心编拟的数学试题均蕴涵了极其丰富的数学思想方法，教师要注意渗透，适时讲解，反复强调，深入学生内心。这样，学生考试时才会思如泉涌，驾轻就熟。总之，在平时的教学中，教师要注重基本数学思想方法在日常训练中的渗透，逐步提高学生的数学思维能力。

四、精选试题进行训练，提高学生解题能力

第7篇：高考数学归纳法范文

2014年陕西高考数学理科试题解析

2014陕西高考数学试卷，整体遵循考纲，体现新课标改革精神，考查内容全面，考查方式灵活，在稳定中追求创新，在新而不难中考查能力，命题风格体现了新课标侧重能力考查，鼓励探索创新的特点。整卷来看，前半部分自然平稳，后半部分略显新奇，与去年相比，今年高考试卷整体难度有所降低，有利于平时学习稳打稳扎的同学脱颖而出。

今年的数学试题设计，从“四基”出发，追求简约，抛弃了往年某些试题的“偏、难、怪”现象，试题给人以熟悉感；为考生着想，落实减负，试题给人亲和感，真正体现了关注学生，爱护学生，从学生成长的基点出发设计试题。

2014年陕西高考理科数学试题总体结构稍有改变，虽然仍然是10道选择题+5道填空题+6道大题。但是，往年的三角函数大题没有出现，却出现了三角恒等变换和数列的综合题，而平面向量和线性规划的综合给出了一道大题，放在了18题的位置。压轴题21题依然是函数、导数、不等式。全卷的第10题、第20题、21题是相对较难的题，其中解析几何大题的难度与去年相比稍有降低。

今年高考数学试题，整体上呈现以下特点：

1. 试题整体规范、遵循考纲，体现新课标改革精神。

纵观整套试卷，没有偏题、难题、怪题，依旧着重对基础知识、基本思维方法的考查，题型结构延续以往常规，比如基本初等函数及其图象、简易逻辑、算法与程序框图、复数、排列组合、平面向量，解析几何、数列，立体几何等题型都是考纲范围内的重点，试题的前5个选择题，分别考查了集合的交集，三角函数的周期，定积分计算，程序框图的识别，立几中组合体的体积计算，第7题函数的单调性的判别，第8题的复数命题真假的判断，这些试题很基础常规，可以说，不用动笔心算就可“一望而选”。至于第6题，对概率的计算和选择题的第10题函数解136析式的选择，都附以简约的实际或抽象意义。这些考点都着重考查知识点原理，试卷整体难度稍有降低，尤其是15题的A题，运用柯西不等式求最值，更是考纲明确强调的内容，考查简洁明了。

2. 知识点考查综合性增强。

第8题，再次将复数和命题交汇，综合考查复数概念和四种命题之间的关系。第16题，以等差、等比数列作为条件考查三角恒等变换，以及三角形中边角关系与不等式结合求最值。第17题，通过三视图给定几何体中的线面位置关系和数量关系，考查空间图形特征判断与线面角的计算；第18题，将平面向量与线性规划含蓄的综合。第20题将椭圆与抛物线合在一起考查，特别是第21题函数压轴题，以考生熟悉的函数求导为切入点，进行组题，综合运用了数学归纳法，分来讨论求函数最值、数列求和与特值转换等数学技能，试题的知识点浓度不断增强，把能力的考查推向了。凸显在知识交汇处命制试题的指导思想。

3. 试题情景更贴近生活。

2014陕西高考试题，情景设计生活味浓厚，诸如：第10题飞行器飞行问题，考查对三次函数的理解和应用；第19题耕地种植作物问题，考查对随机变量的理解和应用。这些试题着力考查学生的数学应用意识和能力，而试题选材设计，紧扣高中数学教材核心内容，虽有新意，但学生只要冷静思考，很快就能找到解题思路，避免了往年出现的学生一看就怕，无处下手的窘境。试题呈现设计简单、基础、基本，重视算理，强调思维，体现人文关怀，力求凸现核心内容。

4. 推理论证能力要求步步高。

推理论证梯次增高。陕西数学试题从余弦定理的叙述与证明开始，到2012年对三垂线定理的及其逆定理的变形考查，到去年已经发展到对等比数列前n项和公式的推导，到今年发展到三角恒等变换的简单证明。全卷涉及到证明的试题有第16题的第1问、第17题的证明矩形和第21题的第3问，并且第21题第一问求函数解析式也涉及到了用数学归纳法证明，体现出加强逻辑推理能力的考查。

5.试卷特色鲜明，亮点光彩夺目。

（1）第16题新在将三角恒等变换和数列综合起来考查，与以往对三角函数和数列分别考查方式不同。

（2）第18题破天荒的出现了平面向量的大题，综合考查了向量的坐标运算和线性规划求二元函数的最值，往年平面向量都是附着在其他知识点中综合考查，今年单独成体考查。

（3）第20题圆锥曲线以椭圆和抛物线两个圆锥曲线作为载体，与往年只有一个载体不同。这一变化一方面防止了“回归教材变成死记硬背”的风险，另外一方面加大了知识和方法的覆盖面，突出了主干知识，注意知识之间的综合应用。这些都凸显稳中求变，锐意创新的命题指导思想。

6. 压轴题考点固定、思维灵活。

2011年到2014年导数压轴题的载体分别是对数函数、幂函数、指数函数、对数函数，呈现出一定的规律性。第21题的第一问求N次复合函数表达式，需要用数学归纳法证明。第二问用已知函数大小关系求参数范围的方式考察函数知识的综合应用，导数与函数单调性的关系，和差积商的导数求法，转化与化归的数学思想。第三问函数大小比较进行探索，一题多解，符合压轴题的特色，区分度很大。考生须具备良好的数学基础以及灵活的处理问题方法，才能突破难关，到达胜利彼岸。体现出灵动考素质，选拔真人才的命题指导思想。

综上所述，2014陕西高考数学试题，注重考查考生的个性品质，主要体现在知识组合的多样性上，体现在难度的渐进性上，体现在考生的数学视野及思维习惯上，体现在考生的考试心态上。这些都需要考生具有较强韧的个性支撑，也必将对下一年的高三数学复习提供积极的导向和重要的指导作用。

2015年高考备考复习策略

每年的高考真题，都是一笔宝贵的财富，每一道优秀的高考试题都是命题者灵感与智慧的结晶，善待真题，我们才可以把握高考的脉搏，在复习中多走捷径，少走弯路。2014年陕西高考数学试题，在许多方面给我们提供了有益的借鉴，给高三数学复习指明了新的方向，启发我们要有新的学习和工作思路，妥善处理好教与学中存在的几个矛盾。

1.处理好基础与综合之间的矛盾。

2014年的试题设计符合陕西的考情，有利于广大考生数学水平的正常发挥，为今后高三复课教学起到良好的引导作用。从今年的试卷中不难看出，命题重在考查双基应用，着重依据新教材的知识分布而设置命题，许多考题均能在课本中找到它们的影子，相当数量的考题就是教材中基础知识的组合、加工和深化。所以教材是基础， 是学生智能的生长点，是高考命题的源泉，只有回到对教材的深层理解上，对概念的内涵和外延的理解上，才能提高数学能力，掌握数学思想。

然而高考命题，源于课本而又高于课本。这就要求在复习过程中，不能只停留在课本单一而零散的知识章节上，而应加强对知识的横向联系的认识上，有目的有步骤的强化综合性训练，如同不是只看一条道路，而应看到多条道路形成的网络，即应该高度重视把课本由厚变薄的认识和训练。当然，同时要防止走向偏难怪的不良倾向，千万不要以为“高考以能力立意”，就是要去钻难题、偏题、怪题. 要明确：能力是指思维能力，即对现实生活的观察分析力，创造性的想象能力，探究性实验动手能力，理解运用实际问题的能力，分析和解决问题的探究创新能力，处理、运用信息的能力，新材料、新情景、新问题应变理解能力，其重点仍然是概念和规律的形成过程，而这些往往蕴藏在最简单、最基础的题目之中.一味地钻研综合题、难题，知识的熟练程度达不到，最后又会制约思维的发展和解题能力的提高。

所以，要两相兼顾，要把章节内的基础训练与章节外的综合训练邮寄结合起来，关键是在基础的综合上下功夫。这就需要高三数学教师在教学过程中，既要把学生带进课本，又要使学生走出课本，做好分层级训练。先做章节内的的训练，再做综合性训练，要善于在一个题的基础上，做发散性指导和变式训练，尤其要加强融合知识横向联系的技能训练，如平面向量与线性规划，三视图与线面位置关系，空间角的计算，三角函数与数列、球体与多面体的组合体，具体函数与抽象函数等基础性的综合训练。

2.处理好通性通法与特殊技巧之间的矛盾。

2014陕西高考数学试题。重视高中数学的通性通法，倡导一题多解和多题一解。如第9题，若从平均数和方差的实际意义理解和作用认识来思考，可以得到巧解；而若只满足于基本公式计算，则计算较繁，用时较多。而大多数同学对前者，可能掌握不力。第10题，由于课本中没有明确给出三次函数的概念，有相当一部分同学对其认识模糊，图象生疏，这样就不能快速理解题意，进而运用选择题技巧而得到巧解.

这些都启示我们，在复习中要从头激活已学过的各个知识点，并适当深入一点，要以清晰的线索重新构建合理的知识结构，对含糊不清的地方多一些思考和研究性练习和探究，对产生的错误要究根问底，要反思感悟，回到正确的认知上来。在复习解题时，首先应从基本方法上去探索，而不是死用公式，死记结论；再者，还要思考能否用特殊技巧来完成，要养成多一手准备的解题习惯。 对于每一种方法，要深入思考它的适用范围，思考它的推广发展，尽可能多地找出它在不同模块问题的应用题型，即举一反三。 如分式函数的最值，在函数，数列，圆锥曲线，不等式等模块中就以不同的面目出现，或是恒成立，或是范围、最值等，但实质没有大的改变，解法过程基本相似，但许多学生往往因为一叶障目而顾此失彼，这就是没有处理好通性通法与特殊情景和技巧之间的矛盾。

高中数学学习过程中所接触到的数学思想方法一般分为三类：第一类是用于具体问题模型中的方法，如配方法、换元法、消元法、待定系数法、判别式法 、错位相减法、迭代法、割补法、特值法等；第二类则是用于指导解题的逻辑思维方法，如综合法、分析法、反证法、类比法、探索法、归纳法、解析法等；第三类则是在数学学习过程中形成的对于数学解题甚至于对于其它问题的解决都具有宏观指导意义的规律性方法，称为数学思想，如函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想等.复习中要关注它们的应用，细心体会，能把抽象的方法和思想通过具体问题模型化，储存在自己的认知结构里。

3.处理好掌握公式定理与知识产生过程之间的矛盾。

2014年陕西高考试题，重视考查知识的产生过程。如第14题，取材于选修教材2-2的“归纳推理”第一节的例1，将著名的欧拉公式设计为考题，但不是直接考公式，而是让学生体验定理的发现与产生过程，考查了学生探索与发现的精神和归纳推理的能力，可谓一举多得。与直接考定理相比，这一方面要有趣得多，另一方面又能给考生留下深刻的印象，这与平时教学的良好感觉是一致的，这就是给课堂教学提供了可贵的借鉴和警示。再联系到近几年陕西数学试题中，2011年的余弦定理的叙述与证明，2012年的三垂线定理的及其逆定理的变形考查，2013年对等比（差）数列前n项和公式的推导，都是回归课本，但都是回归到知识的产生和形成的过程中去，而不是现搬现用，为回归课本指明了广阔的道路和正确的方向。

在教学过程中，在复习阶段的综合训练中，有相当一部分同学会出现各种意想不到的错误，这正是基础不牢固的表现，而根本原因就是对知识的产生和形成的过程不清楚，甚至张冠李戴、混淆是非所致。因此在教学活动中，既要让学生明确公式定理的结论是重要的，又要让学生充分认识知识的过程是更根本的，也就是最有价值的，要培养学生对知识过程的探索精神和发现的兴趣，为学生学习高一级的知识贮藏潜力。

只有回到知识的形成过程中来，才能从根本上纠正错误，弥补漏洞，而不是把错误简单地归结为粗心大意。认真纠错，积极反思，是复习过程中最为重要的，比多做几个题的价值更大；认真纠错，就能达到稳定发挥，稳步提高。

4.处理好教与学之间的矛盾。

诚然，2014高考，对广大师生会有诸多的启示，但要把一种新的理念付诸实践，也不是轻而易举能完成的。学生是学习和课堂的主体，老师是学习和课堂的主导。在实际教学中，就会产生各种各样的困难，也许有些学生会不习惯，也许课时会紧张，也许训练成绩会不理想。

因此，在高中教学实践中，要树立全程备考的思想认识，在高三复课教学中，要立足于教材，辅之以资料书籍，落实在训练和纠错中。要培养学生做到：熟练掌握基础知识和基本技能，在老师讲解之前进行预习和思考，把课堂接受知识的过程变成思维训练的活动，在课堂上应注意师生的交流，把平时的学习变成师生协作与奋进的快乐旅行；定时作业，有意识地限定时间完成学习任务； 在课外练习中应注意培养良好的作业习惯，不但要做得整体、清洁，培养一种美感，还要有条理，培养逻辑能力，同时作业必须独立完成，以培养一种独立思考的精神，严密思维的能力和正确解题的责任感。

2014年陕西高考数学理科试题逐题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 ，

则 （ ）

A. [0，1] B.[0，1） C. （0，1] D. （0，1）

答案 B 【命题意图】本题考查集合的概念和运算，意在考查考生求解不等式和进行集合运算的能力。

【解析】 化简集合

【梳理总结】集合代表元素的识别是确定集合关系与运算的关键，常与函数和不等式交汇，一般不具有难度，但易疏忽代表元素，把求函数的定义域、值域或求函数图像的交点相混淆而导致出错.本题给出的两个较为简单的不等式，但对每个集合元素的确定非常关键。

2.函数 的最小正周期是（ ）

A.■ B. π C. 2π D. 4π

答案 B 【命题意图】 本题考查三角类复合函数周期的计算方法，意在考查考生运用公式求解运算的能力.

【解析】由余弦函数的复合函数周期公式得 T=■=π；

【梳理总结】形如 的函数求周期的公式为 ，形如 的函数求周期的公式为

3.定积分 的值为（ ）

A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1

答案C 【命题意图】本题考查应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的基本方法。

【梳理总结】熟记公式，掌握一些常见函数的导函数和原函数。若函数f（x）的导函数为f'（x），则有

虽然原函数不唯一，但不影响结果。

4.根据右边框图，对大于2的整数N，得出数列的通项公式是（ ）

A.an=2n B.an=2（n-1） C.an=2n D.an=2n-1

案C【命题意图】本题考查对程序框图的功能理解，意在考查考生运用程序框图进行计算和归纳的能力.

【解析1】 特殊化和等比数列定义验证

a1=2，a2=4，a3=8，an是a1=2，q=2的等比例数列，选C。

【解析2】 注意初始值的特征可知，输出的数列首项为2，把握3个赋值语句ai=2×S，S=ai，i=i+1，■=2则输出的数列为首项为2，公比为2的等比数列，则通项公式an=2n；

【方法技巧】程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算；一种是根据题意补全程序框图.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，认真探究程序运行的过程，通过特值探索可发现结构特征和规律。经过多年的高考，更趋成熟，时常新颖。

5 .已知底面边长为1，侧棱长为■则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）

A. ■ B. 4π C. 2π D.■

答案D【命题意图】本题考查对简单几何体的理解和计算，要求掌握棱柱与球的组合体中的数量关系，以此考查学生的空间想象能力，而不是单纯的依靠空间向量坐标的计算。

解析：正四棱柱的外接球的直径是其对角线的长，即 2R=■=2，r=1，v-■πR3=■π；

【方法技巧】球的内接多面体，可仿照球的内接正方体来思考，即抓住球的直径与多面体的高或其对角线等之间的关系。新课标对简单几何体的要求与传统教材相比，有所降低，但球的组合体却是一个重点，不能忽视。

6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）

A. ■ B.■ C.■ D. ■

答案C 【命题意图】本题考查古典概型和对立事件的计算概率的方法，意在考查考生运用概率的方法解决实际几何问题的能力.

【解析】 5个点中任取2个点有C52=10种方法，而每两点之间的距离小于边长的点必须取中心点和其它4个顶点，有4种方法，于是所求概率P=1-■= ■；

【梳理总结】概率计算关键是依据互斥事件合理分类，同时设计简单可行的计数的方法。

7.下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（ ） A. f（x）=x ■ B. f（x）=x3 C.f（x）=（■）x D.f（x）=3x

答案D 【命题意图】 本题考查抽象函数的对应法则和函数单调性的应用，意在考查考生运用法则和单调性解决实际问题的能力.

【解析1】 把握和的函数值等于函数值的积的特征，则典型代表函数为指数函数，再由所求函数为增函数，则选D；

【解析2】只有C不是递增函数，对D而言，f（x+y）=3x+y，f（x）・f（y）=3x・3y=3x+y，选D

【梳理总结】抽象函数关键是对对应法则的理解和应用，常常依据法则特殊化处理赋值寻求解题的切入点。

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A.（不等式选做题）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则■的最小值为

答案■ 【命题意图】 考查对柯西不等式的理解和求最值的技巧和方法。

【解析】a2+b2=5，设a=■sinθ，b=■cosθ， 则ma+nb=m■sinθ+n■cosθ=■■sin（θ+φ）=5，■sin（θ+φ）=■≤■。

所以，■的最小值是■

【梳理总结】直用柯西不等式求最值简单且避免了繁杂变形，这正是陕西高考不等式考点的新增要求；B（几何证明选做题）如图，ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC=2AE，则EF=

答案 3 【命题意图】 本小题主要考查平面几何中圆和相似三角形的性质，图形背景新颖，重点考查考生灵活应用平几知识进行推理和计算能力.

【解析】注意圆内接四边形对角互补的特征可得到∠AEF=∠ACB，ACB相似，■=■=■=■，EF=3.

【梳理总结】平面几何中圆的有关问题，充分利用圆和相似三角形的有关知识和方法求解；

C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点（2，■）到直线ρsin（θ-■）=1的距离是

答案 1 【命题意图】考查把极坐标的点和方程化成直角坐标的点和方程，并计算点到直线的距离的能力。

【解析】极坐标点（2，■）对应直角坐标点（■，1），直线ρsin（θ-■）=ρsinθ・■-ρcosθ・■=1即对应■y-x=2，点（■，1）到直线x-■y+2=0的距离

d=|■|=1

【梳理总结】把极坐标化成直角坐标，化生为熟，是数学解题方法中熟悉化的要求。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16. （本小题满分12分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。

（I）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

（II）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.

【命题意图】 本题主要考查三角形中的三角变换方法，意在考查考生运用三角形中边角互化，以及正余弦定理求解三角形的能力.

【解题思路】 （1） 由等差数列得到三边满足的齐次式，利用正弦定理和互补角的关系，借助三角变换证明恒等式 （2）利用边之间的等比数列关系，结合余弦定理求角，基本不等式求得最值.

【解析】

（1）a，b，c成等差，2b=a+c，即2sinB=sinA+sinC.

sinB=sin（A+C）.，inA+sinC=sin（A+C）

（2）a，b，c成等比，b2=ac，又cosB=■≥■=■=■

仅当a=c=b时，cosB取最小值■，这时三角形为正三角形。

【梳理总结】三角函数与解三角形是高考的一个重要部分，在客观题和在解答题都有出现，解三角形所涉及的知识点要掌握，如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等。 常见的三角函数题型有：（1） 三角函数式的求值与化简；（2） 三角函数的图像和性质的综合；（3） 三角函数与平面向量交汇；（4） 三角函数恒等变形，与解三角形、正弦定理、余弦定理的交汇；（5）三角形中的边角互化与数列、不等式的交汇.2014陕西高考此题与往年相比，难度稍高。

17 （本小题满分12分）

四面体ABCD及其三视图如图所示，过被AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.

（I）证明：四边形EFGH是矩形。

（II）求直线AB与平面EFGH夹角的θ正弦值。

【命题意图】 本题主要考查利用三视图还原空间几何体的几何关系与数量关系，求证空间图形的形状特征与线面角的计算，意在考查考生的空间想象能力，运用平行、垂直关系的判定与性质进行计算和逻辑推理的能力。

【解题思路】 （1）由三视图得到特殊的四面体：DA，DB，DC两两垂直，进而得到线面垂直，再借助平行关系可证所求。（2）利用空间直角坐标系，向量坐标运算求出线面角；或者做辅助线，由几何法求出线面角。

【解析】

（1）

（2）

【梳理总结】 立体几何寻找解题思路：一是要有转化与化归的意识，即将线线关系、线面关系、面面关系三者之间的问题相互转化，二是要有平面化的思想，即将空间问题利用定义和性质定理转化到某一平面内处理.而建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量及其坐标运算，可降低难度。

18.（本小题满分12分）

在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在ABC三边围成的区域（含边界）上

（1）若■+■+■=■，求OP；

（2）设■=m■+n■（m，n∈R），用x，y表示m-n，并求m-n的最大值.

【命题意图】 本题主要考查向量的概念和向量的线性运算以及坐标运算，考查二元变量在约束条件下的最值问题的求解方法。

【解题思路】由向量关系可求出点P的坐标，则可得OP；再由向量关系求m和n，得到m-n的表达式，认识其意义，由线性规划求二元函数式的最值。

解析：（1）

（2）

【梳理总结】借助向量的线性表示和坐标运算可以沟通几个变量之间的关系，目标指引下可得所求向量问题，向量条件下的最值问题，借助向量沟通，化归函数，而二元一次函数通过线性规划求解，凸显向量的工具性和数形结合思想的具体应用，使得向量和线性规划有机地网络交汇，新而不难，值得回味。

19.（本小题满分12分）

在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列。

（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率。

【命题意图】本题考查实际生活中随机事件的理解和随机变量的应用，独立事件求概率及其分布列的计算。

【解题思路】由利润x=产量价格-成本入手，同时注意价格与成本都是随机变量，分别计算可得x的分布列；认识理解n次独立重复试验，易求得概率。

【解析】注意随机变量的意义为利润， 而利润x=产量价格-成本，确定随机变量的取值

（1）

X的分布列如下表：

X 800 2000 4000

P 0.2 0.5 0.3

（2）构建二项分布的模型，确定每一次独立实验的概率。

【梳理总结】 实际生活中的概率问题，关键是要认清随机事件，抓住随机事件之间的关系，选择合理的概率计算方法。本题中要抓住关键字句“作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响”，则思路豁然，运用独立事件概率的乘法公式即可。本题具有浓郁的现实生活气息，是生活数学化的极好典范。

20. （本小题满分13分）

如图，曲线C由上半椭圆C1：■+■=1（a>b>0，y≥0）和部分抛物线C2：y=-x2+1（y≤0）连接而成，C1，C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为■.

（1） 求a，b的值；

（2） 过点B的直线l与C1，C2分别交于P，Q（均异于点A，B），若APAQ，求直线l的方程.

【命题意图】本题考查圆锥曲线的基本几何性质，待定系数法求解方程的方法，重点考查直线和圆锥曲线位置关系的研究方法。

【解题思路】（1）依据题设和几何量之间的关系构建方程组求解；（2）联立方程组降元化归一元二次方程，利用根与系数之间的关系，借助弦长和题设条件构建方程确定直线方程，注意直线和椭圆相交条件的验证，和直线垂直用向量数量积解决的具体方法运用；

【解析】

（1）抛物线y=-x2+1交于点（-1，0），（1，0），b=1，又■=■，a2=b2+c2

（2）

【梳理总结】解析几何大题第（1）问一般考查圆锥曲线的基本知识，常考待定系数法确定方程的方法.第（2）问对不少考生来说，运算量较大，但写出直线与曲线方程联立，写出两根之和与两根之积，这都是常规的方法步骤.直线和圆锥曲线的位置关系以及范围、最值、定点、定值、存在性等问题，直线与多种曲线的位置关系的综合问题已成为高考命题的热点，近两年高考题中经常出现了以函数、平面向量、导数、数列、不等式、平面几何、数学思想方法等知识为背景，考查知识的综合运用，而向量的坐标运算在圆锥曲线问题中往往是一个有力的工具，是建立函数、不等式，方程的必须途径 。主要题型：（1）考查解析几何基本知识、方法；（2）向量渗透于圆锥曲线中；（3）求曲线方程或求轨迹；（4）直线与圆锥曲线相交，涉及弦长、中点、轨迹、范围、定值、最值等问题。

21.（本小题满分14分）

设函数 ，其中f'（x）是f（x）的导函数。

（1） ，求gn（x）的表达式。

（2） 若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（3）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…g（n）与n-f（n）的大小，并加以证明。

【命题意图】 本题主要考查函数及其导数的有关运算和归纳猜测函数表达式，函数与不等式综合，求解不等式恒成立下的参数范围问题的求解，构造函数，运用导数探索性质，求解数列求和与不等式问题，意在考查考生全面深入、合理转化，应用导数解决函数综合问题的能力。

【解题思路】 （1）特值计算，不完全归纳法猜测gn（x）的表达式，用数学归纳法证明；（2） 不等式恒成立合理变形转化为函数值满足的关系式，构建新函数，探索其单调，函数观点，借助分离参数化归二次函数区间上的最值或值域求得参数范围。（3）分析比较化归构造函数，利用导数研究其单调性求解。

【解析】

（1）

（2）

第8篇：高考数学归纳法范文

关键词：高中数学；数列通项；方法及共性；教学建议

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）04-0119

数列在高中数学和大学数学中都有着重要的地位。在课程设置方面，人教版高中数学必修5将数列这部分内容作为一个独立的章节出现，而且在选修4系列中《数列与差分》也是一个单独的专题，因此在整个高中数学课程中，数列占有重要的地位；在实际应用方面，现实生活中的储蓄、人口增长、分期付款、物品的摆放等问题都与数列有着密切的联系；而且数列问题在高考数学中也备受命题专家的重视，同时也是一线数学教师和高校数学教育专家研究的重要内容；在大学数学中，数列也是数学分析、组合数学、离散数学等多门课程的重要组成部分。

一、观察法

即观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构（如分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征。），纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。需要指出的是在归纳数列的通项公式的时候使用的是不完全归纳法，因此在解答题中一般不用，常用于解选择题和填空题。

二、公式法

等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是分析后项与前项的差或比是否符合等差数列或等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它。用这种方法的时候关键在于紧扣等差、等比数列的定义。

4. 题型四：数列的求和问题

（1）公式法：确认数列是等差或等比数列，可以直接代入求和公式进行求和。

（2）倒序相加法：这是一种特殊的数列求和问题，用常规方法显然不能解答，考虑到性质，尝试用倒序相加法。主要适合满足性质ak+a1=am+an（k+1=m+n）的数列的求和问题。

（3）错位相减法：这种方法主要用于求数列{an・bn}的前项n和Sn，其中数列{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。

（4）裂项法：这是分解与组合在数列求和中的具体应用。该方法的实质是将数列中的某些项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

（5）分组求和法：有一类数列既不是等差数列也不是等比数列，但若将这类数列适当拆开，可以得到几个等差数列、等比数列或其他容易求和的数列，我们一般先分别求各个数列的和，然后把这些和相加就得到所要求的和。

（6）试值猜想法：通过对知S1，S2，S3，S4……的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出前n项和，然后用数学归纳法去证明。

六、数列教学建议

1. 根据教材特点应以启发学生积极思维为核心

培养学生观察问题、思考问题，并要教学生如何思维这对培养学生教学能力尤为重要。在提出的问题和定义的概念的引入方面要引起学生的注意并且让学生体会到数学来源于生活，数学例子和实际生活息息相关，并且例子是学生知道的并做到易懂，在讲等概念时，要先写出几个数列，启发学生让学生观察他们有什么特点，有什么共性，然后用归纳性的语言总结这类数的特性，给出相应的定义（称之为什么数列）。

2. 数列趣味性的认识

数列问题具有非常悠久的历史，数列其实在很早时候就有应用。早在公元前3000年，古巴比伦就研究了数列：1，2，22……29并给出了它的和29+29-1。我国《周髀算经》中的“七衡图”就有相关的问题，在例高斯发现等差数列的前n项和、兔子问题――斐波那契数列。这些都是我们值得一读一看的历史，这样更会让学生了解数列广泛的应用以及在历史上取得的灿烂的成就，激发学习的热情。

3. 注意渗透一些重要的数学思想方法

一般的数列求解需耍用到裂项求和、分类讨论等及其重要的数学思想，教材在这方面没有过多的深入，只是以函数的角度切入数列，对于其他的数学思想没有过度的体现。所以，在教学中处于关键地位，起关键作用的教师必须弥补这一缺憾，教师应在整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加鲜明，更好地解决某些问题。

4. 准确解读新课标对数列的教学要求

分析、研究新课标的对数列要求，把握课程标准中的教材的难重点，并在实际教学中认真贯彻课程标准中的规定，有的放矢地教学，使教学实效明显提高。

5. 正确认清数列问题在高考中的地位与作用

数列在高中数学中与前面几个章节知识相互瓜葛，相互交错，要彻底弄清数列问题，弄懂前面几章的内容是基础，把分类讨论、数形结合、函数思想等一些数学思想作为解题的主线，抓住数列这一章的重点章节，重点知识为解题的突破点。

第9篇：高考数学归纳法范文

关键词：合情推理；解题教学

■讲与不讲的讨论

最近在高三的一次学情调研检测中，笔者遇到了这样一道压轴填空题：

题目1 已知实数a，b满足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，则a+b=_______.

笔者任教的理科班56名学生，解答正确的只有2人，其正确率几乎为0，笔者私下找了他们2人，了解了一下他们的答题情况，他们表示不会做，是胡乱猜到答案的. 在接下来的集体备课中，备课组在讨论这份试卷的评讲问题时，又谈到了这道压轴填空题讲与不讲的问题，以下是当时部分教师的看法.

教师A：这道题的难度很大，学生的正确率十分低，我认为可以放弃这道题的评讲，不要浪费时间. 试想一下，我们讲了这道题之后，能保证产生什么效益？能保证以后再碰到类似这样的问题，学生就会做吗？

教师B：这道题的难度确实很大，但也可以评讲一下，让班上少数成绩好的学生了解一下方法，对他们以后的解题可能会有些帮助，当然，我们不要期望评讲了这道题后会带来多大的效益，对95%的学生来讲是没有用的.

教师C：教师A与教师B的观点基本上是一致的，讲与不讲没有太大的区别，我认为如果要讲，也不要花太多的时间，让几个学生了解一下方法即可，我看可以这样办，找几个成绩好的学生，与他们单独谈一谈解题方法，课堂上不讲.

对这道题的评讲问题，笔者在集体备课会上由于思考没有成熟，也就没有表态发言. 但讲与不讲的问题，会后笔者仍在继续思考，笔者也同意以上几位教师的观点，讲了之后，如果不能带来什么效益，确实不如不讲；如果要讲，那么就要产生效益. 我们是否可以从解题教学上下工夫而产生效益呢？为此，笔者对这道题的解题教学作了一个优化设计，并选择了相关试题对学生进行补偿训练，整体上感觉效果不错，现整理成文，与同行研讨.

■解题教学的分析

1. 函数的构造过程

对于条件a3-3a2+5a=1与b3-3b2+5b=5，如何构造函数？大多数学生往往会构造函数f（x）=x3-3x2+5x，从而有f（a）=1与f（b）=5，这时教师应引导学生怎样构造出更好的函数，使f（a）与f（b）有较强的联系. 教师可以适当地点拨学生，最终达到的目的是构造出函数f（x）=x3-3x2+5x-3，从而使得f（a）=-2且f（b）=2，但学生又随后发现函数f（x）不是奇函数，这时教师还要继续给学生指明方向，函数值f（a）与f（b）为相反数，接下来我们解决问题的关键是什么呢？学生自然会想到要研究函数f（x）的性质，教师应追问：我们有什么办法发现函数f（x）的性质呢？

2. 性质的发现过程

如何发现函数f（x）=x3-3x2+5x-3的性质？是合情推理中的归纳法！在教学中，教师应指引学生如何发现问题的一个解题策略：先猜后证，并且要强化此解题策略，因为大多数学生只有在含有探究字眼的题目中，才能想到运用此策略.

在这次教学中，笔者首先用问题引导学生，“我们在高一学习指数函数、对数函数时，是怎么得到这两个函数的性质的？”学生大多数会答“描点法”，继而又问“我们通过描出函数图象的部分点，得到函数图象，从而发现了函数的性质，这里用了什么样的数学方法？”通过引导，学生就知道归纳法了，还可以进一步强调，“对一些特殊的数列，我们是怎么发现它的规律的”，学生容易回答“是由a1，a2，a3等归纳出来的”. 如此，学生自然而然地就会继续处理这道题了，他们能求出f（0）=-3，f（1）=0，f（2）=3，f（3）=12，f（4）=33，可能有少数学生需要教师点拨，提示他们再求出f（-1）=-12，f（-2）=-33，从而最终师生共同发现函数f（x）关于点（1，0）中心对称，所以a+b=2.

3. 本质的揭示过程

通过归纳法，学生发现了函数的性质，再揭示问题的本质就不是太困难的事情了，我们可以从以下几个角度来引导学生证明.

法1：（坐标转移法直接验证）f（1+x）+f（1-x）=（1+x）3-3（1+x）2+5（1+x）-3+（1-x）3-3（1-x）2+5（1-x）-3？摇？摇=2[（1+x）2-（1+x）（1-x）+（1-x）2]-3（1+x）2-3（1-x）2+4= -2（1+x2）-2（1-x2）+4=0.

总结重现：函数f（x）关于点（m，n）对称，即f（m+x）+f（m-x）=2n.

法2：（与二项式定理联系）结合二项式定理，考虑系数关系，由于x3，x2的系数为1，-3，从而联想到（x-1）3的二项式系数，于是可将函数的系数配成f（x）=x3-3x2+3x-1+2x-2=（x-1）3+2（x-1），所以函数f（x）是由奇函数y=x3+2x向右平移1个单位得到的，它关于点（1，0）中心对称. 这个处理方法比较简洁，但不太容易想到，需要教师合理的引导.

法3：（平移的视角与奇函数联系）与学生分析，利用归纳的手段很容易得到函数f（x）关于点（1，0）中心对称，而奇函数是关于原点对称的，这说明只要将函数f（x）向左平移1个单位，我们就会得到奇函数. 于是，由函数f（x）的解析式，可转化到函数g（x）=（x+1）3-3（x+1）2+5（x+1）-3=x3+2x为奇函数，故函数f（x）关于点（1，0）中心对称. 由此教师可以说明命题者是怎样设计这道试题的：他是先选择了奇函数g（x）=x3+2x，然后将其向右平移1个单位后得到函数f（x）=x3-3x2+5x-3关于点（1，0）对称，最后运用函数值f（a）=-2，f（b）=2，整理得出了条件，要求学生求出a+b的值. 命题者的高明之处就是把函数的性质隐藏在平移中，使我们不容易看出来.

4. 练习的反馈过程

为了了解学生对这道压轴填空题评讲后的掌握程度，也为了进一步强化归纳法在解题中的策略性应用，笔者通过反复寻找，最后看中了2012年高考数学四川卷理科数学第12题，由学生当场练习反馈.

题目2 设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为■的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2-a1a5=（ ）.

A. 0？摇 B. ■π2

C. ■π2？摇？摇？摇 D. ■π2

大多数学生能用数学归纳法得到答案.

投影展示一学生的解答：由函数可求出f（0）=-1，f■=π，f（π）=2π+1，f■=3π，f（2π）=4π-1，f-■=-π，f（-π）=-2π+1，由此归纳出函数f（x）关于点■，π对称，根据条件{an}是公差为■的等差数列，知a1，a2，a3，a4，a5关于a3对称，且f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，所以a3=■，所以[f（a3）]2-a1a5=2・■-cos■■-■-■・■+■=■π2.

教师追问：能不能揭示这道高考题的本质呢？

也有不少学生想到了函数的转换：由f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，得f（a1）-π+f（a2）-π+…+f（a5）-π=0， 所以f（x）-π=2x-cosx-π=2x-■-cosx=2x-■+sinx-■，若以x代替x-■，则f（x）-π可转化为g（x）=2x+sinx，所以函数g（x）是由函数f（x）向左平移■个单位，再向下平移π个单位得到的，另外容易验证：g（-x）=-g（x）且g′（x）>0，即函数g（x）在R上为奇函数且为增函数.

令an-■=bn，则g（b1）+g（b2）+…+g（bn）=0，且{bn}也是以■为公差的等差数列. 由奇函数的对称性以及g（x）为增函数可知，b3有且只有一解0，于是a3=■，所以[f（a3）]2-a1a5=■π2.

教师点评：与原题一样，我们通过归纳法发现了这道高考题中函数的性质，于是有些学生就有目的地将原函数进行转换，最终揭示了这道高考题的本质，是命题者将一个单调递增的奇函数通过左右、上下平移形成的新函数，再结合等差数列的对称性命制的，我们从解题实践的角度出发，还是要想办法先发现结论，作为平时学习也需要通过论证来揭示本质.

■教学实践的感悟