高一数学向量公式精选(九篇)
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第1篇：高一数学向量公式范文
关键词： 角 余弦 数学 教学
一、教学内容分析
本节内容是高一数学必修4（苏教版）第三章《三角恒等变换》第一节的内容，重点放在两角差的余弦公式的推导和证明上，其次是利用公式解决一些简单的三角函数问题。
在学习本章之前，已经学习了三角函数及向量的有关知识，从而为沟通代数、几何与三角函数的联系提供了重要的工具。本章我们将使用这些工具探讨三角函数值的运算。本节内容不仅是推导正弦和（差）角公式、正切和（差）角公式及倍角公式的基础，对于三角变换，三角恒等式的证明，三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用，而且其推导过程本身就具有重要的教育价值。
二、学生学习情况分析
本节课的主要内容是“两角差的余弦公式的推导及证明”，用到的工具有“单位圆中三角函数的定义”和“平面向量数量积的定义及坐标表示”，都属于基础知识，内容简单，容易理解和接受。但是在向量法证明的过程中，向量夹角的范围是[0，π]，与两角差α-β的范围不一致，学生对角的范围说明不清，是本节课的难点。
三、设计思想
教学理念：以“研究性学习”为载体，培养学生自主学习、小组合作的能力。
教学原则：注重学生自主学习与探究能力的培养，体现学生个性的发展与小组合作共性的融合。
教学方法：先学后教，小组合作，师生互动。
四、教学目标
知识与技能：了解用向量法推导两角差的余弦公式的过程，掌握两角和（差）的余弦公式并能运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值。
过程与方法：自主探究两角差的余弦公式的表现形式，经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，并能独立利用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用。
情感态度与价值观：体验和感受数学发现和创造的过程，感悟事物之间普遍联系和转化的关系。
五、教学重点与难点
重点：两角差的余弦公式的推导及证明。
难点：引入向量法证明两角差的余弦公式及两角差范围的说明。
六、教学程序设计1.情境创设，课上展示。
课前探究：
课上展示：请同学们展示一下课前所得到的结果吧。
设计意图：课前以问题串的形式给学生指明研究方向。问题层层递进，从特殊到一般，使学生的研究具有一定的坡度性。既让学生容易上手，又让学生在研究过程中慢慢深入与提高。
主要目的：让学生自主发现两角差的余弦公式的表达形式。
通过课上展示，学生把课下研究出来的成果与全班同学共享，产生共鸣，为进一步研究两角差的余弦公式做好准备，同时增强表达能力及自信心。
2.合作探究，小组展示。
探究一：两角差的余弦公式的推导
问题4：问题2中我们所得到的结论对于任意角还成立吗？你能证明吗？
问题5：观察我们得到结论的形式，你能联想到什么呢？
探究二：两角和的余弦公式的推导
问题6：你能根据差角的余弦公式推导出和角的余弦公式吗？
问题7：比较差角的余弦公式与和角的余弦公式，它们在结构上有何异同点？
通过小组展示，各个小组之间产生思维的碰撞，迸出火花，得到新的灵感与智慧。从而培养学生团结协作与小组合作的能力。
3.巩固知识，例题讲解。
例1：利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公式：
例3：化简cos100°cos40°+sin80°sin40°
设计意图：教师对各小组展示内容做适当点评，并且对“向量法证明的优点”，“向量法证明过程的完善”，“向量法中向量夹角与两角差的范围的统一”做简要讲解。
例1，例2都是公式的直接应用。例1让学生体会诱导公式将余弦的和差角公式推导出正弦的和差角公式，为下节课埋下伏笔。例2中根据cos15°的值求sin15°的值，tan15°的值的过程都是为推导正弦和差公式，正切和差公式做铺垫。
变式将例2中具体的角变成抽象的角，利用同角三角函数公式求解。在由sinα的值求cosα的值或由cosβ的值求sinβ的值时，要注意根据角的范围确定三角函数值的符号。
例3：是公式的逆用，培养学生逆向思维的能力，让学生对公式结构再认识。
4.提升总结，巩固练习。
提升总结：针对上面的3个例题，谈谈你学到了什么？
（2）利用两角和差的余弦公式求值时，应注意观察、分析题设和公式的结构特点，从整体上把握公式，灵活的运用公式。
（3）在解题过程中，要注意角的范围，确定三角函数值的符号，以防增根、漏根。
设计意图：主要以学生总结为主，老师做适当点评及补充。
七、教学反思
第2篇：高一数学向量公式范文
【关键词】基前提后；空间想象；灵活；融会贯通
工作近两年来，我先后教了两批高一，教材都是一样的，但是面对不同的学生，教法却有所不同.职业学校的学生生源不是很好，都是挤不进普高门的一些学生，这一批学生基础不是很好，明显没有以前的学生接受能力强，而且学习习惯也不是很好，从而导致学习成绩不佳，以致对学习失去了信心，自然也就学不好.现对高一数学教学中的注意点归纳如下：
一、引入新内容，基础在前，提高在后
在教材中，我们引入了有理指数幂的运算及指数式与根式的互化，这些内容在幂函数、指数函数、对数函数中都能应用到；式的运算中介绍了新公式——立方公式，初中旧知识完全平方公式及其平方差公式，在一些解答题中都需要应用这些知识；在第一章引入集合这个新概念，为后面的函数学习打下基础，如集合的表示形式在以后的定义域及值域表示中都有所应用，集合的运算在求定义域等方面起到关键作用.因此，在基础部分，我们要把知识理清楚，为后面更好地学习新知识打下坚实的基础，否则就如空中楼阁，站不住脚.
从集合开始，后面的函数分三块：函数的基本概念、函数性质及其应用、三角函数.在函数的概念中着重函数的定义域和值域；函数性质中着重指数函数和对数函数的性质及函数的奇偶性；三角函数主要将三角与函数联系起来，既要熟记公式，又要讨论它们的性质，并会进行一些简单的应用.函数向来是高中数学中的重点，但是学生由于在初中学得不是很好，有一定的畏惧感，对新概念理解不是很透彻，所以很多学生光会记公式，但不知道如何应用及哪些地方要用到这些公式.在教学过程中要适当地引入数形结合的思想，在图形展示后自觉地找到解题的方法.在学习的过程中要多看多练多总结.从概念开始，后面的学习对于学生来说是越来越难，如果在前面部分没有打好基础，那么在以后的学习中学生就会越学越没信心，最终放弃学习.在基础部分要多做工作，打好基础，在提高部分的学习中要抓住重点，提高效率，精讲精练.对一些经典题型要掌握其解题要领，必要时需将解题步骤一一列举，加上相应的题目进行理解总结.
二、立体几何对学生空间想象能力有较高的要求
在学习立几时，明显感觉到学生听得云里雾里的，就只有老师一个人在讲台上唱独角戏，学生思维形式单一，有点思维定式，想问题不是很全面.在传授一些定理性质时我尽量多拿教室做模型、打比方，或者让学生自己学着做模型，自己感受其中的空间感，让学生在教室中感觉到其中的一些关系等，但是学生不是很领情，依然我行我素，想不到教室里这么多模型摆在眼前，更谈不上应用了.因此，我们在教学中鼓励学生自己做模型，有的同学用废纸卷成线，或者有些同学从饭店要了些一次性筷子做模型，等等，在制作模型的过程中感受其中的关系，同时又促进学生团结合作.在三视图画图部分给出具体的做法和步骤，但是学生左耳进右耳出，听得不认真，又比较懒，不做笔记，布置的作业也是讲过后把答案做好才行，不是很喜欢动脑子，都等现成的.懒惰导致学生成绩不断下降，进而对数学失去兴趣.因此须要成立小组，由小组长来督促组员完成布置的任务.在立体几何中应多找些模型，让学生切身体会一下，有时间还应让学生自己制作一些模型，供大家使用.多练习一些题目，多想想练练，相信会有所提高.在一些典型的问题上对其解题步骤进行详细说明.如求直线与平面所成的角，首先要确定直线与平面的交点即斜足，然后找平面的垂线，且垂线与直线有交点，垂足和斜足的连线即为直线在平面内的射影，则直线与射影所成的角即为直线与平面所成的角，求角时将其放于直角三角形内.区分几种角的求法、距离的求法等.学会证明一些平行或垂直的关系.这些在立几题中很常见，内容学习结束后，还应对一些综合题进行训练和学习，并进行相应的总结和归纳.
三、活学活用，融会贯通
第3篇：高一数学向量公式范文
数学教学中"引导学生学会学习"的教学策略肖淑如
从课例看数学方法的引入教学王智明
观察、分析、探索--从一道习题的教学看学生的能力培养欧阳雪山
优化思维品质培养运算能力徐继继
高中数学第五章《向量》教学目标初探中学数学研究 徐元根
关于高中数学新教材第一册(上)(试验修订本)的几点意见与建议任礼兵，尹广金
关联四个不等式的一个几何"链"李建潮
三个几何不等式的讨论宋庆，王庆龙
一个十分有用的恒等式贾士代
内莫莱三角形的又一组对偶性质刘立春
构造函数的几种方法周睿
一道高考题结论的推广及应用王兴林
一组三角恒等式的复数证法及应用邹九生
浅谈数学解题中的整合策略刘伟忠
关于一道最值题的多向思考任贵海，可润娥
不等式证明中易犯错误例析方精忠
创设有效引入情境打造高效数学课堂吴佑华
数学课堂语言运用浅谈李芹，张子路
用批判性思维来创新设计教学任方成
对一组条件不等式的解答、修正与推广刘才华，王长宪
一个优美不等式的简证与再推广中学数学研究 徐彦辉
分式不等式中几个美丽的姐妹花田富德
三角形面积比的一个定理及其推论毛浙东
一组优美的加权不等式之统一与简证李驯洪
椭圆内接三角形一个性质的简证及推广王伯龙
一道课本习题的探究及有趣结论的发现林金来
创新题因创造性解法而精彩——两道"存在型"高考创新题的解法探讨邹生书，刘江波
中档题的思路突破朱宗芳
高考题中的一类定值、定点问题的求解方法夏锦
培养思维策略活用数形结合——以2009年浙江高考数学(文)22题为例徐飒
用基本量方法破解平面几何问题吴涛
聚焦构造法在立体几何中的运用康小峰
一道高考题的探究性学习姜军
探究一道高考选择题邓赞武，章勇
解读简易逻辑易错点张得南
四类易混淆的"对称问题"白焕，马文杰
错在哪里杨剑
一道IMO试题的类比拓广及简解薛相林
一道联赛预赛题的二种解法胡生淼
目标分类学视角下的一类培养学生评价能力的代数题董涛
新课程理念下"学生数学活动"的有效教学问题与思考殷伟康
中学数学课堂教学效能课题研究中学数学研究 孙迪青
对新课程理念下数学思想方法教学的几点思考高美玲，赵荣夫
初高中数学教学衔接中的问题与对策杨垣红
"不等式选讲"一道例题的教学设计陆建根
一个猜想的推广和证明谷焕春
一个不等式猜测的完善及证明邹生书，尹显模
定点张定圆上两点向量内积的取值范围李世臣
椭圆离心率的背景探求鄢旭春
一道摸底试题的探究邱礼明
一道高考试题的探究及其背景吴军
管中窥豹洞若观火——与数列有关的不定方程的整数解问题初探林伟民
一类无理函数的值域求法再探讨马先亮
一个不等式的又一个简捷证明王耀辉
构造单位圆及其切线巧妙解题的若干范例陈明娟HtTp://
整体代换法证分式不等式例说陈秀群，姜坤崇
平面向量与三角形的"心"杨海生
求二次曲线中的直线斜率分类解析陈华安
构造双曲线解题黄俊峰，袁方程
浅析解几最值问题朱冬平，徐益萍
例析函数不等式的求导处理及对策杨利刚
一道概率题的拓展与证明鲍瑞华
一道全俄《2008-应届中学生》奥林匹克试题别解陈玉奇，陈宇
浅谈数学概念教学中思维品质的培养陆洁清
紧抓要点,实现数学课堂的有效教学李文斌
四"度"高中数学新教材陈敏
为什么高一数学这么难学?王纯旭
一个不等式猜想的证明及推广周斌
一个漂亮不等式的再推广徐娜，陈宇
关于三角形中圆的几个等式与不等式冯仕虎
两道不等式习题的比较研究有名辉
一个分式不等式的变式与再推广王增强
阿基米德三角形初探殷加兴
对二次曲线"焦弦定理"的商榷及其几何证明中学数学研究 耿合众
运用辩证思想提升解题素养邵贤虎
巧用定比分点解决代数问题刘瑜，张光荣
数学中的减元策略探究朱胜强
例谈函数解析式求解的类型与方法程泽兵
高考中函数最值的应用熊志远
从一道全国高考题看不等式f(x,a)》0对x∈A有实数解求a取值范围问题的解法孙志祥
从09年四川高考理22题看不等式恒成立问题的解法熊福州，张玉彬
不等式证明在数列中的应用邓国平
导数与数列型不等式的整合林明成，姚智铭
一道数学题的探究、归纳与应用——平面直角坐标系中的平行四边形陈英逢
运用逆代法简求圆锥曲线切线方程方冬金
集合题型常见错误例析牛永红，李生坪
一道习题引发的探究吴海燕
新课程背景下初中数学课堂教学的实效性探索王俊
一个漂亮不等式的推广何智
由点的位置引发的探究黄汉桥，蔡青
一组比值为离心率的有趣性质林佩芬
由一道高考题引出的圆锥曲线的一个有趣性质杜飞飞
高考试题中的高等数学背景探析及应对策略黄妮，李娟，梁艳，彭家寅
"两边夹逼"策略助你突破思维瓶颈阮士杏，邹生书
一道新课标高考题的教学思考王莉娟，厉倩
一节习题课"意外"引发的思考邵贤虎
共面向量定理的推论及运用石亮
一道模拟试题的几何背景及推广中学数学研究 刘吉存
直线上两点间距离公式的应用举例刘凡俊，李登有
一道不等量的几何问题及其引申应用张秀昌
一道排列组合题的拓展黄俊峰，袁方程
即学即考型中考试题赏析刘鑫
走出"一题多解"教学的三个误区阮伟强
第4篇：高一数学向量公式范文
一、注重理解数学符号的意义
从客观上看，数学中大量的概念、公理、定理、法则等等是由符号来表示的。概念、公理、定理、法则等本身就是从众多规律、现象中概括总结出来的，势必会很抽象，而符号又是这些概念、定理的外在的表现形式，因此从某种意义上说更加抽象。要使学生能够接受并理解这种高度抽象性的符号，教学时就必须采用生动有趣、通俗易懂的语言，从具体的描述性语言开始，逐步抽象成比较简约的语言。让学生认识数学研究中引进符号的必要性和优越性，理解数学概念及其符号表示，明确符号的条件，熟练掌握符号变换的规则。理解数学符号的意义需要经历从具体到抽象，再从抽象到具体的认识过程。
1.使学生经历概念的符号化过程，促进学生认识引进符号的必要性和优越性
我们知道数学符号的学习需要一个渐进的过程，使学生在经历概念的符号化过程中逐步感受引进符号的必要性和优越性，首先，让学生从心理上去接受数学符号；其次，从大量的具体的数字开始，逐步抽象概括为用字母表示，帮助学生完成从感性到理性的过渡，这可以有效地减少学生接受的困难程度。
2.重视对比、辨析，促使学生认识数学符号的本质
要引导学生将新的数学符号与相关的旧知识进行对比，分析它们的联系与区别。
3.注意数学符号的隐含意义
由于数学符号常常与特定概念联系在一起，是概念的形式化表征，往往具有一定的使用条件，要引导学生注意数学符号的隐含意义。
4.注意某些数学符号的多义性
在数学的历史发展的过程中，某些数学符号被赋予了许多意义，如果不准确理解和判断其本质含义，就会出现推理和证明上的混乱。例如，有序数对（a，b）就是具有多义性的一种数学符号，它可以表示直角坐标系中的一个点，也可以表示一个向量的坐标，还可以表示一个开区间，初中还用它来表示a，b的最大公约数。
5.使用大量丰富的背景材料促使学生理解数学符号的内涵
对数学符号内涵的理解，就是要建立简约化的数学符号与其所表征的数学内容的联系。在其中我们既要注意概念与实际对象的联系，又要注意概念与相应符号的联系，引导学生理解每个符号的含义与实质。
二.数学符号的掌握需要一个长期渗透与使用的过程
1.注意后续的掌握需要一个长期渗透与使用的过程
学生在学习了数学符号后，即使当时已经理解了符号的含
义，若在后续学习中长期不加使用，就会逐渐淡忘数学符号的含义。比如对数符号及其运算公式，特别是常用对数与自然对数符号更容易忘记。还有些数学符号的内涵理解需要在后续的学习与练习中去反复强化，要引导学生把符号与其所表征的内涵紧密联系在一起，提升对符号的整体认识。
2.在后续学习中注意实现符号语言与自然语言的互译
用符号化的语言表达问题，对正确理解题意、理清解题思路、进行思维推理非常重要。使用数学符号语言可使数学思想的表述与交流更方便，同时也可使问题的实质得到揭示。这里包括两个方面的问题：①将自然语言改用符号语言来表示，例如，自然语言“函数f（x）是个偶函数”可用符号语言表示为“f（x）=f（-x）”；自然语言“y=f（x）的图象恒在直线y=kx+1上方”可用符号语言表示为
“f（x）>kx+1恒成立”；自然语言“函数y=f（x）与函数y=g（x）交于点A（x1，y1）”可用符号语言表示为“f（x）=g（x）”等等。②需要在数学教学中反复将符号还原为其原来的含义。例如，符号“f（2-x）=f（2+x）”的含义是函数f（x）的图象关于x=2成轴对称；f（a）f（b）
第5篇：高一数学向量公式范文
关键词 承载力；生态承载力；可持续发展
中图分类号 F062.2
文献标识码
文章编号
生态环境是人类生存和发展的基本条件，是经济、社会发展的基础。20世纪以来，随着科学技术的进步和社会生产力的发展，人类开发利用自然资源的能力空前提高。一方面，人类创造了前所未有的物质财富，促进了社会经济的进步和繁荣；然而另一方面，人类对生态环境的压力越来越大，人口剧增、资源过度消耗、环境污染和生态破坏等问题已成为威胁人类生存和发展的全球性问题。这些问题的出现引起了人们对资源消耗与供给能力、生态破坏与可持续问题的思考。综合分析，生态破坏的明显特点是生态系统的完整性遭到损害，从而使生存于生态系统之内的人和各种动植物面临生存危险。为此，许多科学家呼吁，保持生态系统的完整性，控制人类的活动在生态系统承载力范围之内，是实现系统与区域可持续发展的最基本和首要条件。于是许多学者从系统的整合性出发，提出了生态承载力的概念，认为只要人类对自然系统的压力处于地球生态系统的承载力范围内，地球生态系统就是安全的、人类经济社会的发展就处于可持续的范围内。
承载力最初被引进区域系统是在生态学中的应用，其含义是在某种环境条件下，某种生物个体可存活的最大数量的潜力[1]，在实践中的最初应用领域是畜牧业。随着人地矛盾不断加剧，承载力概念发展并应用到自然――社会系统中，提出了土地资源承载力概念，即在一定生产条件下土地资源的生产力和一定生活水平下所承载的人口限度。70年代以后，人口、经济、资源与环境等全球性问题日益突出，人口承载力、资源承载力、环境承载力、水资源承载力、矿产资源承载力的研究也应运而生。1986年，Catton定义了“环境承载力”的概念，后来国外很多学者把它引申为生态承载力并定义为“在一定区域内，在不损害该区域环境的情况下，所能承载的人类最大负荷量”。90年代初，加拿大生态经济学家William和Wackernagel提出“生态足迹”(Ecological Footprint)的概念，使承载力的研究从生态系统中的单一要素转向整个生态系统[2-3]。与此同时国外对于生态承载力的研究，也逐渐从静态转向动态，从定性转为定量，从单一要素转向多要素乃至整个生态系统，对于生态承载力的概念也日趋完善。我国在总结吸收国外经验教训的基础上对承载力进行了研究。任美锷先生是我国最早注意到承载力研究重要性的学者。在40年代末任美锷先生通过对四川省农作物生产力分布的地理研究，首先计算了以农业生产力为基础的土地承载力。1986年中科院综考会等多家科研单位联合开展的“中国土地生产潜力及人口承载量研究”是我国迄今为止进行得最全面的土地承载力方面的研究[4]。随着研究的深入，80年代末，我国承载力研究大多不再局限于某一种资源，而是更强调综合性，如资源与环境综合承载力、地理环境人口承载潜力、生存空间的人口承载力、区域承载力等。近年来，关于生态承载力的量化方法的研究日益兴旺，提出了一系列观点，主要研究者为王家骥和高吉喜[5-6]，主要成果为黑河流域生态承载力的研究。承载力概念的演化与发展，体现了人类社会对自然界的认识不断深化，在不同的发展阶段和不同的资源条件下，产生了不同的承载力概念和相应的承载力理论。
1 概念与内涵
在环境污染蔓延全球、资源短缺和生态环境不断恶化的情况下，科学家相继提出了资源承载力、环境承载力、生态承载力等概念。资源承载力是基础、环境承载力是关键、核心，生态承载力是综合[7]。
1.1 资源承载力
资源承载力是指一个国家或地区资源的数量和质量，对该空间内人口的基本生存和发展的支撑能力。资源承载力是一个相对客观的量。目前有关资源承载力的研究主要集中在自然资源领域，其中土地资源承载力的研究历史较长，取得的成果也较多。同时由于不同的侧重点和对象，出现了水资源承载力、森林资源承载力等的多种承载力[8]。①土地资源承载力。土地承载力是近20年来资源、人口、生态环境等许多领域的热点问题[9]。它是继60～70年代能源危机、粮食短缺以及人炸等人类面临的重大问题提出之后，所开展的一项务实的研究工作。中国科学院综考会为土地资源承载力所下的定义是“在一定生产条件下土地资源的生产力和一定生活平下所承载的人口限度”[10]。②水资源承载力。自20世纪80年代末以来，许多专家、学者或课题研究组织对水资源承载力概念予以定义。一般认为：水资源承载力是在特定的历史发展阶段，以可持续发展为原则，以维护生态良性发展为条件，以可预见的技术、经济和社会发展水平为依据，在水资源得到适度开发并经优化配置的前提下，区域(或流域)水资源系统对当地人口和社会经济发展的最大支持能力[11]。也有的将其定义为在一定的技术经济水平和社会生产条件下，水资源可最大供给工农业生产、人民生活和生态环境保护用水的能力[12-13]。对于水资源承载力，必须强调水资源对社会经济和环境的支撑能力。它的主要涵义和内容有：第一，强调水资源承载力是水资源对生态经济系统良性发展的支持能力；第二，强调生态经济系统的良性发展；第三，强调合适的管理技术，将水资源承载力的合理配置等技术方面的问题，上升到管理的角度和层次[14]。③森林承载力。森林承载力的理论研究和实践应用都始于20世纪90年代初，目前尚处于探索阶段，它的研究是资源承载力研究的深入和发展。森林资源承载力研究是协调人口、环境保护，森林资源消耗与经济社会发展的关键。森林资源承载力是指在某一时期，某种状态下，一个国家或地区的森林资源在保证其生态系统结构和功能不受破坏所能承受人类活动作用的阈值[15]。吴静和采用的是森林资源承载能力的概念，并将其定义为：“森林资源承载能力是指在一定生产条件下森林资源的生产能力及其在一定生活水平下可以承载的人口数量[16]。” ④相对资源承载力。相对资源承载力由土地承载力扩展而成，它将资源划分为自然资源、经济资源和社会资源，考虑到人是社会系统的主要组成因子，是承载力的承载对象。因此，相对资源承载力即是将自然资源和经济资源作为主要的承载资源，以一个参照区域作为对比标准，根据参照区域的人均资源的拥有量或消费量、研究区域的资源存量，计算出研究区域的自然资源和经济资源的承载能力[17]。
1.2 环境承载力
环境承载力从广义上讲，指某一区域的环境对人口增长和经济发展的承载能力。从狭义上讲，即为环境容量。关于环境承载力目前大致主要有3种定义方式：①从“容量”角度的定义，环境容量是指环境系统对外界其它系统污染的最大允许承受量或负荷量。主要包括大气环境容量、水环境容量等[18]。环境容量具有客观性、相对性和确定性的特征。如高吉喜[5]在《可持续发展理论探索》一书中指出“环境承载力是指在一定生活水平和环境质量要求下，在不超出生态系统弹性限度条件下环境子系统所能承纳的污染物数量，以及可支撑的经济规模与相应人口数量”。②从“阈值”角度的定义，如“环境承载力是指在某一时期，某种环境状况下，某一区域环境对人类社会经济活动的支持能力的阈值[19]”。中国大百科全书[20]中，环境承载力的定义是“在维持环境系统功能与结构不发生变化的前提下，整个地球生物圈或某一区域所能承受的人类作用在规模、强度和速度上的限值”；郭秀锐等[21]学者认为“环境承载力是指在一定时期、一定状态或条件下，一定环境系统所能承受的生物和人文系统正常运行的最大支持阈值”。它不仅体现了环境系统资源的价值，而且还突出了环境系统与生物和人文系统间的密切作用关系。环境承载力具有客观性、相对性、可调性和随机性的特征。③从“能力”角度的定义，彭再德[22]等学者将环境承载力定义为：“在一定的时期和一定区域范围内，在维持区域环境系统结构不发生质的改变，区域环境功能不朝恶性方向转变的条件下，区域环境系统所能承受的人类各种社会经济活动的能力”；Schneider[23]强调，“环境承载力是自然或人造环境系统在不会遭到严重退化的前提下，对人口增长的容纳能力”。环境承载力与环境容量有所不同。环境承载力强调的是环境系统资源对其中生物和人文系统活动的支撑能力，突出的是其量化测度；而环境容量则强调的是环境系统要素对其中生物和人文系统排污的容纳能力，突出的是其质地衡量。环境容量侧重体现和反映环境系统的纯自然属性；而环境承载力则突出显示和说明环境系统的综合功能(生物、人文与环境的复合)[24]。
1.3 生态承载力
高吉喜[25]在研究黑河流域生态承载力时将生态承载力定义为：生态系统的自我维持、自我调节能力，资源与环境子系统的供容能力及其可维育的社会经济活动强度和具有一定生活水平的人口数量；并指出资源承载力是生态承载力的基础条件，环境承载力是生态承载力的约束条件，生态弹性力是生态承载力的支持条件。对于某一区域，生态承载力强调的是系统的承载功能，而突出的是对人类活动的承载能力，其内容应包括资源子系统、环境子系统和社会子系统，生态系统的承载力要素应包含资源要素、环境要素及社会要素。所以，某一区域的生态承载力概念，是某一时期某一地域某一特定的生态系统，在确保资源的合理开发利用和生态环境两性循环发展的条件下，可持续承载人口数量、经济强度及社会总量的能力[26]。张传国[27]在“干旱区绿洲系统生态――生产――生活承载力相互作用的驱动机制分析”一文中，则认为绿洲生态承载力是指绿洲生态系统自我维持、自我调节能力，在不危害绿洲生态系统的前提下的资源与环境的承载能力以及由资源和环境承载力所决定的系统本身表现出来的弹性力大小，通过资源承载力、环境承载力和生态系统的弹性力来反映。程国栋[28]在对西北水资源承载力进行研究时认为：生态承载力是指生态系统所提供的资源和环境对人类社会系统良性发展的一种支持能力，由于人类社会系统和生态系统都是一种自组织的结构系统，二者之间存在紧密的相互联系，相互影响和相互作用，因此，生态承载力研究的对象是生态经济系统，研究其中所有组分的和谐共存关系。王家骥[6]先生认为生态承载力是自然体系维持和调节系统的能力的阈值。超过这个阈值，自然体系将失去维持平衡的能力，遭到摧残或归于毁灭，由高一级的自然体系(如绿洲)降为低一级的自然体系(如荒漠)。生态承载力仅仅体现在生态系统的支持层，方创琳等综合表现层的生产承载力和生活承载力，发展了生态――生产――生活系统承载力(三生承载力)。三生承载力是指区域资源与生态环境的供容能力、经济活动能力和满足一定生活水平人口数量的社会发展能力的有机综合体[29]。
2 估算方法
对于承载力的量化，国内外提出了许多直观的、较易操作的定量评价方法及模式。
2.1 生态足迹法
生态足迹分析法(Ecological footprint analysis)是1992年加拿大生态经济学家william Rees和其博士生wackernagel提出的一种度量可持续发展程度的生物物理方法，即基于土地面积的量化指标。将其定义为：任何已知人口的生态足迹是生产这些人口所消费的所有资源和吸纳这些人口所产生的所有废弃物所需要的生物生产土地的总面积和水资源量。生态足迹分析法从需求面计算生态足迹的大小，从供给面计算生态承载力的大小，经对二者的比较，评价研究对象的可持续发展状况。生态足迹计算模型：任何个人或区域人口的生态足迹，应该是生产这些人口所消费的所有资源和吸纳这些人口所产生的废弃物而需要的生态生产性土地的面积总和[30]。在计算中，不同的资源和能源消费类型均被折算为耕地、草地、林地、建筑用地、化石燃料用地和水域六种生物生产土地面积类型(这六种土地类型在空间上被假设是互斥的)。考虑到六类土地面积的生态生产力不同，因此将计算得到的各类土地面积乘以一个均衡因子。生态足迹法从一个全新的角度考虑人类及其发展与生态环境的关系，通过跟踪区域能源与资源消费，将它们转化为这种物质流所必需的各种生物生产土地的面积，即人类的生物生产面积需求。在计算生态足迹的思路上，将现有的耕地、牧地、林地、建筑用地、海洋的面积乘以相应的均衡因子和当地的产量因子，就可以得到生态承载力。为了便于直接对比，将不同国家或地区的某类生物生产面积所代表的局部产量与世界平均产量的差异，即“产量因子”来调整。处于谨慎性考虑，在生态承载力计算时，还应扣除12%的生物多样性保护面积。计算公式如下：
其中，i为消费商品或生产生物的类型；cci为第i种消费商品的生产足迹；aci为第i种消费商品的消费总量；pi为第i种商品的生物生产单位面积产量；epi为第i种生物资源的生产足迹；aei为第i种资源生物生产总量；wi为第i种消费品或生物资源土地类型生产力权值；EF为某一地区的生态足迹总量；EC为地区生态承载力供给。
生态足迹研究法是近年来提出并应用于评价生态承载力的一种新方法，得到众多学者的肯定和采用。生态足迹的概念于1999年引入我国，杨开忠和张志强等分别介绍了生态足迹的理论、方法和概念及计算模型；徐中民等计算了甘肃省1998年的生态足迹；陈东景等分析了中国西北地区的生态足迹；张志强等对中国西部12省(区)的生态足迹进行了研究分析，徐中民对张掖地区1995年的生态足迹进行研究。上述研究多侧重于理论和方法的介绍，并以某一年的断面资料进行分析，尚未进行更系统动态的研究。如徐中民等对张掖地区1995年的生态足迹研究结果是人均生态足迹赤字0.34hm2，但从哪一时段开始出现生态赤字的并未研究[31-35]。此方法直观，简便但多侧重于理论和方法的介绍，有一定的局限性，一般以某一年或特定几年的断面资料进行分析，缺少系统动态的研究，计算中缺少处理可降解物质的生物生产面积和由于水资源所造成的附加的生态足迹面积，所以计算结果是乐观的最小值。
2.2 自然植被净第一性生产力测算法
植被净第一性生产力是植物自身生物学特性与外界环境因子相互作用的结果，它是评价生态系统结构与功能特征和生物圈的人口承载力的重要指标，它反映了某一自然体系的恢复能力。地区性乃至世界性生物生产力及其空间分布的知识，能使人类得以从宏观区域上作出如下估计：潜在的粮食资源的地理分布，人为提高区域性生产力水平的限度，不同国家和地区可能和现实的生产力水平，即区域生态系统的最大容纳量等[36]。虽然生态承载力受众多因素和不同时空条件制约，但是，特定生态区域内第一性生产者的生产能力是在一个中心位置上下波动的，而这个生产能力是可以被测定的。同时与背景数据进行比较，偏离中心位置的某一数值可视为生态承载力的阈值，这种偏离一般是由于内外干扰使某一自然体系变化为另一等级自然体系，如由绿洲衰退为荒漠，由荒漠改造成绿洲。因此，可以通过对自然植被净第一性生产力的估测确定该区域生态承载力的指示值，而通过实测，判定现状生态环境质量偏离本底数据的程度，以此作为自然体系生态承载力的指示值，并据此确定区域的开发类型和强度。由于对各种调控因子的侧重及对净第一性生产力调控机理解释的不同，世界上产生了很多模拟第一性生产力的模型，大致可分为三类：气候统计模型、过程模型和光能利用率模型。我国的净第一性生产力研究起步较晚，研究过程中一般采用气候统计模型[37]。国内应用较多的模型是采用周广胜、张新时根据水热平衡联系方程及植物的生理生态特点建立的自然植被的净第一性生产力模型，即：
式中：RDI为辐射干燥度；r为年降水量(mm)；NPP为自然植被的净第一性生产力[t/(hm2.a)]；PER为可能蒸散率；PET为可能蒸散量(mm)；BT为年平均生物温度(℃)；t为小于30℃与大于0℃的日均值；T为小于30℃与大于0℃的月均值。
王家骥，姚小红等以黑河流域为例，认为利用自然植被的净第一性生产力数据可以反映自然体系的生产能力和受内外干扰后的恢复能力，是自然体系生态完整性维护的指示[6]。李金海分析了大陆典型生态系统净第一性生产力的背景值，研究了确定自然系统最优生态承载力的依据，并提出了提高区域生态承载力，实现区域可持续发展基本对策，并据此计算了河北丰宁县的生态承载力[38]。
2.3 供需平衡法
区域生态承载力体现了一定时期、一定区域的生态环境系统，对区域社会经济发展和人类各种需求(生存需求、发展需求和享乐需求)在量(各种资源量)与质(生态环境质量)方面的满足程度。因此，衡量区域生态环境承载力可以从该地区现有的各种资源量(Pi)与当前发展模式下社会经济对各种资源的需求量(Qi)之间的差量关系[如(Pi- Qi)/Qi]，以及该地区现有的生态环境质量(CBQIi)与当前人们所需求的生态环境质量(CBQIi)之间的差量关系[如(CBQIi)-CBQIi/CBQIi]入手[7]。如果该差值大于0，表明研究区域的生态承载力在可承载范围内；该差值等于0，表明研究区域的生态承载处于临界状态；该差值小于0，表明研究区域的生态承载力超载。该方法需要建立一套指标体系，包括社会经济系统类和生态环境系统类(包括环境资源与环境质量)指标。该方法只能根据人口变化曲线求出未来年的人口数，然后分别计算其需求量，判断该值是否在研究区域的承载力范围之内，而不能计算出未来年的确切承载力值；而且，该方法并不能表现出研究区域内的社会经济发展状况以及人类的生活水平。结合完整的指标体系，依据这种差量度量评价方法，王中根等人对西北干旱区河流进行了生态承载力评价分析，证明此方法能够简单、可行地对区域生态承载力进行有效的分析和与预测[39]。
2.4 状态空间法
所谓状态空间法，本质上是一种时域分析方法，它不仅描述了系统的外部特征，而且揭示了系统的内部状态和性能。状态空间是欧式几何空间用于定量描述系统状态的一种有效方法，通常由表示系统各要素状态向量的三维状态空间轴组成[40]。在研究生态承载力时，三维状态空间轴分别代表人口、经济社会活动、区域资源环境，空间中的点为承载状态点，不同的点表示不同情况下的承载状态[41]。利用状态空间法中的承载状态点，可表示一定时间尺度内区域的不同承载状况。利用状态空间中的原点同系统状态点所构成的矢量模数表示区域承载力的大小。由承载状态点构成承载曲面，高于承载曲面的点表示超载，低于承载曲面的点表示可载，在承载曲面上的点表示满载。应用状态空间法可以定量的描述和测度区域承载力及其承载状态。近年来，状态空间法逐步推广并成功的运用到军事、生物医学、社会经济及人类生活等诸多领域，并且有广阔的发展前景[42]。
2.5 模型预估法
随着承载力研究的日趋深入，特别是在计算机的支持下，各种数理模型进入该领域，有从早期的线性规划模型到现在广泛应用的系统动力学模型、模糊目标规划模型、门槛分析模型、层次分析模型，等等。如美国科学家Maclon Sleaser等提出的承载力估算的综合资源计量技术(ECCO)是一种系统动力学模型的应用。应用数学模型模拟估测承载力极大地提高了承载力研究的定量化水平和精确程度，促使承载力研究的综合与深入[43]。经常使用的生态承载力计算模型主要有：
分类统计法：把研究区域内的土地分为多种类型，每一种类型的土地假定一个最高的可支持人口密度，计算出每一种类型土地的支持人口数，然后汇总得出区域可支持的最大人口数量。
比较密度法：法国地理学家贝拉克提出。比较密度是指单位面积农用土地上的平均人口数。农用土地包括耕地、多年生植物和可利用草原牧场。
趋势外推法：趋势外推法是长期趋势预测的主要方法。它是根据连续性原理，依据时间序列的发展趋势，配合合适的曲线模型，对未来趋势进行外推预测的[44]。例如：根据某区域历年的人口数做一条人口变化曲线，利用趋势外推法得出未来某年的人口数；或根据历年的人口数做一条逻辑斯蒂变化曲线，根据曲线变化确定未来某年的承载力。由于人口数受到出生率和死亡率的影响，故这一方法准确性较差。而且估计出的人口数只是区域内可能的人口数，而不是系统能支持的最大人口数，与生态承载力的概念不符。
限制因子法：选定区域内生态系统的主要限制因素，用该限制因子来确定，一般选取粮食作为限制因子。限制因子还可以是淡水资源、土地空间、能源、绿地面积等。如果限制因子超过一个，则分别计算出可供养的人口数，以其中的最小值作为生态承载力的大小。有多种限制因子时，也可以归结到一种限制因子，确定相互间的比例关系，计算求得。
线性规划法：线性规划中线性来源于构造线性模型这一事实，而规划一词用于表示线性模型一组变量的最佳取值，它既可用于单目标规划(极大或极小)，也可用于多目标问题求解最优折中解。线性规划模型的解具有重要意义，它代表问题的最佳决策和活动的最佳策略。线性模型的理想目标由决策者的希望或愿望确定，现实目标或约束条件可由有限的资源和其他加在决策变量选择上明显的或隐含的约束确定。处理具体问题时，可先根据研究的问题确定研究范围，把其作为一个系统。在该系统中确定对系统的输入、输出有重大影响的几个变量，由这几个变量构建现实目标或约束条件。用线性规划法进行生态承载力的研究，可以动态的反映一个区域的生态承载力的状况[45]。它把研究区域作为一个系统，以生态承载力作为最优目标，以区域内资源状况、环境状况、社会经济状况、人民生活水平等作为约束条件。它依靠不同时间段区域的资源、环境、社会经济以及人民生活水平的不同，求得不同时间段区域生态承载力值，动态的反映区域生态承载力变化。
系统动力学方法：系统动力学(System Dynamics，简称SD)是麻省理工学院Jay.W.Forrester[46]教授于1956年创立的，其最为突出的优点在于它能处理高阶次、非线性、多重反馈、复杂时变的系统问题。用系统动力学方法进行生态承载力研究时，能比较容易地得到不同方案下的生态承载力，较真实地模拟区域资源和社会经济、环境协调发展状况，模拟区域承载力的变化趋势。目前，国内外对承载力进行研究时多采用系统动力学方法。建立系统动力学仿真模型，一般包括以下程序：划定系统边界、划分系统层次、确立指标体系、建立仿真模型、模型分析检验。具体步骤包括：结构分析与绘制因果关系图：系统的动态行为是由系统结构决定的，系统主要变量之间的因果关系反映了系统的内部结构。为研究系统的结构是如何决定其功能，这里根据已确定的研究目标，经过分析得出系统边界内系统主要变量之间的因果关系。建立系统流程图：在因果关系图的基础上，绘制系统流程图，比较直观地反映系统各个变量之间的相互关系，以及对未来动态行为的影响，而且也是编制仿真程序的基础。建立方程与参数确定：根据各个变量之间的关系，应用系统动力学仿真语言，并引入回归分析、灰色分析等多种数学手段，建立各变量之间的关系方程。运用初步建立的计算机仿真模型，在计算机上进行模拟试验，对照原始数据与仿真结果，对方程参数进行重新估计并修改，直到仿真结果与原始数据拟合较为满意为止。完善模型：改变模型的有关数据，将其输入计算机并进行模拟运行，预测分析未来的发展趋势，寻找可行的发展方向。根据需要修改模型，建立友好的人――机界面，完善模型。系统动力学的特点为：①系统动力学方法处理复杂的大系统具有很多优势，它能清晰的反映人口、资源、环境和发展之间的关系，能较好的反映系统本质和模拟系统的变化趋势，它最适用于分析研究信息反馈系统的结构、功能与行为之间动态的辨证统一关系。利用SD模型可以把握系统各种反馈关系，将系统与环境、系统内部各子系统之间相互作用的复杂关系通过一系列微分过程和函数关系加以表述，从而实现对系统结构、功能乃至发展趋势进行模拟、预测和调控[47]。②系统动力学方法能够模拟各种决策方案的长期效果，并对多种方案进行比较分析而得到满意的答案，具有优化的同等效用。但是，这一方法需要较完备的资料才可得出可靠结论。完善生态承载力计算模型，参数的确定应更加准确。③系统动力学模型可作为实验系统的实验室，将模型模拟以剖析系统，获取更丰富、更深刻的信息；进而觅寻解决系统问题的途径。系统动力学解决问题的过程实际上也是寻优的过程，其最终目的是寻求系统较优或次优的结构与参数，以求得较优的系统功能。因此，系统动力学模型能更好的为决策者提供决策的依据，在土地承载力、资源承载力、环境承载力、人口容量等方面的研究中也得到广泛的应用。④系统动力学只有在与其它模型的支持下才能更好地发挥作用，如数理统计方法、灰色系统模型、计量经济学模型、产业关联分析模型、投入产出模型等，也可以与线性规划方法、非线性规划、目标规划、多目标规划相结合。目前常用的系统动力学模型有Vensim PLE、STELLA、Ithink等，在模型编写过程中，融入灰色模型、线性回归、指数回归等多种数学方法对模型涉及的变量进行预测，并通过软件的可视化环境对模型结构、运行参数和运行结果进行必要的修正，最终构建起区域可持续发展的SD模拟系统[48]。
3 存在问题分析
生态承载力是自然体系维持和调节系统的能力的阈值。如果超过了这个阈值，自然体系将失去维持平衡的能力，遭到摧残或归于毁灭，由高一级的自然体系降为低一级的自然体系。生态承载力研究起步较晚，但生态承载力定量研究已从最初的静态研究走向动态预测，日趋模型化。这些定量方法的成熟与完善推动着生态承载力研究日趋深入。目前，生态承载力研究呈现以下特点：
生态承载力研究对象趋向多元化，研究领域呈现交叉综合趋势。国内外生态承载力研究实践表明，以单要素承载力研究的局限性越来越突出，已不能适应生态系统资源开发与发展的要求，以系统的观点，从综合多要素角度研究生态承载力是今后生态承载力研究的方向和趋势。而且随着生态承载力研究的深入，生态系统各资源之间的相互广义替代性研究将越来越受到重视。这就客观上要求加强交叉综合研究，从系统的角度研究生态的承载力问题。因此，生态承载力必将从单学科、单因子研究趋向多学科合作，开展人口、资源、环境、发展多因素、多层次的交叉综合研究。
新方法、新技术手段将应用于生态承载力研究。生态系统的复杂性决定了其承载力研究方法和手段的复杂性。在计量分析手段上，除了系统动力学(SD)外多因子分析、投入――产出分析、资金劳动力生产函数、人口迁移矩阵及马尔可夫过程都将成为主力军。现代技术如遥感(RS)、地理信息系统(GIS)等必将应用到承载力的研究领域中。遥感手段可以提供快速、准确的信息，地理信息系统可以对承载力进行空间分析，因此，成熟的模型分析和遥感、地理信息系统技术相结合的分析方法以及各种模型相结合的研究方法将对承载力的研究提供更准确、更深入、更全面的定量研究结果。
生态承载力研究将继续向动态模拟化方向发展。生态承载力研究经历了从一般定性描述到定量和机制的探讨，从单学科、单要素研究到多学科、多因素的综合研究过程，越来越趋近于生态承载力问题的客观本质，同时也增加了研究的难度。实质上现代意义上的生态承载力研究就是资源开发与区域发展战略研究，它是为制定有关政策提供科学依据的。为了提高生态承载力研究的科学性与实用性，必须加强生态承载力的动态模拟研究，建立一套能反映生态承载力本质的模型体系，实现对生态承载潜力的估算与动态变化过程的预测。生态承载力模型必须能反映问题的本质，技术上可行，科学上有依据，要反映生态承载力问题的多元性、非线性、动态性、多重反馈的基本特征。同时还需要加强对生态承载能力基础理论研究，即生态系统的复杂性理论――要素之间的复杂性研究，以给生态承载能力研究寻找新思路、新方法，找出生态的最大承载能力，为国家决策、规划、计划和社会协调发展提供科学依据。
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Progress in Research of Ecological Carrying Capacity
GAO Lu1，2 ZHANG-Hong-ye1
(1.Institute of Geographical Sciences and Natural Resources Research，CAS，Beijing 100101，China；
2.Graduate School of the Chinese Academy of Sciences，Beijing 100039，China)
Abstract This paper expatiates upon the Carrying Capacity's origin，evolvement and development，and states the domestic and overseas progress of Ecological Carrying Capacity.And briefly evaluating the different concepts and the research methods of ECC.The paper also put forward the direction of research in future of Ecological Carrying Capacity and indicates the research of ECC is important to sustainable development of ecosystem.
