高中数学求最大值的方法精选(九篇)

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第1篇：高中数学求最大值的方法范文

关键词：高中数学；解题技巧；解题思维

在新课标的改革中，对学生学习兴趣的培养、加强学生的解题能力、加强学生在学习过程中举一反三的能力越来越受到重视。尤其是在高中数学的学习中，以上各方面的能力培养就显得更加重要。而能力的培养又非一朝一夕能实现的，这就需要教师不断督促学生完成能力的培养，在传授基础知识的过程中，注重学生应变能力的培养。下面将介绍几种常用的解题技巧。

一、换元法

在很多求最大值或者最小值的题目中，如果利用寻常的不等式的解法，很难求出一些题目的答案，但是如果转变思路，利用三角函数换元进行计算，或许能够使计算过程简便很多。

如，已知a2+b2=4，x2+y2=9，求ax+by的最大值。

解法如下：由a2+b2=4，可以联想到（2cosα）2+（2sinα）2=4，因此可设a=2cosα，b=2sinα，由x2+y2=9，可以联想到（3cosβ）2+（3sinβ）2=9，因此可设x=3cosβ，y=3sinβ.

于是ax+by=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α-β）≤6。又当α-β=2kπ（k=1，2，3…）时，上式中等号成立，即ax+by的最大值是6。

二、比较系数法

比较系数法也就是教师们经常说的观察法。在运用这个方法的时候，需要学生的观察力足够敏锐，通过观察恒等式左右两边的系数，找出其中的联系，从而建立若干个方程，将其联立，从而解出未知数。

三、特殊值法

这是一种比较少用但却很好用的方法，一般不建议使用。但对于对公式比较敏感的成绩较好的学生来说，就是一种比较节省时间的方法。在恒等式中带入特定的数字，令式子左右相等，从而得到系数间的关系，联立方程组并求解。

在众多高中学科中，数学可以说是相当有难度的。为了不使学生在学习过程中由于学习效果不佳而产生逆反心理，教师就要在此过程中注意培养学生良好的思维方式，注重学生对解题技巧的把握，在教学中渗透多角度看问题的思想，让学生能做到“举一反三”。此过程中，教师适量地布置习题并及时地进行解答也是很有必要的。教师要积极跟随时代的要求，积极引导学生养成主动思考的习惯，这是新形势下对教师提出的考验。

第2篇：高中数学求最大值的方法范文

【关键词】高中数学；数学分析思想；解题技巧；应用研究

数学分析思想是高中数学解题教学的关键，能够帮助学生合理运用数学知识解决实际问题，逐渐形成完善的认知结构，培养学生数学观念和创新思维。高中数学的学习离不开解题，而目前很多高中学生只会做题，对题目背后的数学思想和数学方法理解不够透彻，同一题型盲目套用同一种解题方法，缺乏创新能力。所以，为了提高学生数学能力，培养有创新意识、逻辑思维能力强的人才，必须加强对学生数学分析思想的教育。

一、高中数学解题中运用数学分析思想的意义

（一）开拓学生的思维潜能

通过运用数学分析思想，充分发散思维，灵活运用数学知识，解决引申、变通出来的习题，真正将知识为己所用，从而拓宽学生的解题思路，开发学生的思维潜能，让学生的思维更灵活，更有创造性。

（二）提高学生的观察能力

数学学习也需要学生要有较强的观察能力，数学分析思想能让学生养成好的观察习惯，透过数学习题表面，挖掘其中潜藏的数学原理，将理论知识与实践联系起来，继而解决实际问题，认清事物的本质。

（三）提高学生的数学学习效果

在高中数学解题中运用数学分析思想能够激发出学生学习数学的兴趣，有效促进学生解题效率的提升和数学学习效果的进一步提高。

二、数学分析思想在高中数学解题中的实践运用

高中数学解题常用的数学分析思想有类比与归纳、逆向思维、化归思想、整体思想四种。

（一）类比与归纳思想

类比与归纳思想是指在解题时通过对比形式或本质相近的事物，从中归纳、总结出共同点，训练解题技能，是高中数学解题最常用的一种数学思想。函数题计算中运用类比与归纳思想，可以让学生发现其中隐含的数学规律，避免学生盲目做题。比如题目cosx/2・cosx/22・cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n・sinx/2n），分析题目可以发现，等式的左边有一定规律，符合2sinx/2cosx/2=sinx，再根据规律进一步分析，发现左边等式可以变形为2sinx/2ncosx/2n=sinx/2n-1，继续替换、计算后，等式左边与原等式右边一样，都是sinx/（2n・sinx/2n），可以证明出cosx/2・cosx/22・cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n・sinx/2n）。

（二）逆向思维

逆向思维是数学思维中最重要的思维方式之一，适用于题型比较复杂，正面解题困难，运算量较大的题目中。以题目“已知a-b=c，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，求解c的值”为例，学生在解这道题时往往会通过配方消元的方法来解出c的值，但这道题目含有许多未知元素，用配方消元来解的话需要大量运算，运算过程也相对比较复杂，这时可以运用逆向思维分析题目，提高解题效率。题目中已经有了a，b，c的等量关系，从逆向思考一元二次方程的定义，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，得出方程的解就是a和b，然后再通过韦达定理可以得出a与b的和为1，a与b的积为-c/2，题干中已经给出条件a-b=c，此时就能快速计算出这道题的答案。高中数学题中也比较常遇见这种题型：求5-52-53-54-55-56-57-58-59+510的结果，在计算此类型题目时，一个数一个数的计算既浪费时间，也很容易算错，而运用逆向思维， 从右到左利用5n-5n-1=5n-1的规律来计算，可以快速得出结果，大大提高做题效率。

（三）化归思想

化归思想是指在解题时将一些复杂的、难解决的问题转化成容易解决的问题，其核心观点就是化难为易，将未知的问题转换为已知的。化归思想最重要的就是如何寻求化归方法，确定明确化归目标，以2010年江苏理科高考数学题“设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，求x3/y4的最大值”为例，直接解题时会发现问题形式不易构造，计算很花时间，所以需要等价转化，将x3/y4转换为（x2/y）2・1/xy2，由题目可知，3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，所以1/8≤1/xy2≤1/3，16≤（x2/y）2≤81，可以得出2≤x3/y4≤27，x3/y4的最大值为27。也就是指，化归思想要将高次转为低次，多元转为一元，三维转向二维，以实现由难到易的转换。

（四）整体思想

高中数学题经常会整合课本知识，从另一角度考察学生对知识的掌握情况，整体思想就是让学生立足整体，综合运用已经学到的知识解决未知问题。比如求tan15°+tan15°tan60°的值，课本没有直接给出tan15°的值是多少，但根据三角函数公式，可以计算将题目整体变形，计算出答案。

三、总结

高中数学题看似复杂，计算困难，但归根究底仍是对课本知识的变相考察，这就需要学生充分掌握数学分析思想，并在解题时能综合运用整体思想、化归思想、类比与归纳思想、逆向思维等数学分析思想，加快解题速度，提高学习效率。

【⒖嘉南住

[1]麦康玲.数学分析思想在高中数学解题中的应用[J]. 科教文汇（下旬刊），2015.05：110-111

[2]李明锐.数学分析思想在高中数学解题中的应用[J].文理导航（中旬），2016.10：16

第3篇：高中数学求最大值的方法范文

关键词：数形结合；高中数学；选择题

【中图分类号】G633.6

高中数学是学生学习数学的重要阶段，学生的很多重要基础都开始在高中的数学学习阶段开始掌握，与初中阶段的数学学习相比，高中的数学学习对学生的数学思维要求更高，已经脱离了小学、初中阶段直来直去的思维方式，开始出现思维方法上的要求，很多高中题型，存在着一题多解的现象，简便的方法可以让学生节约答题时间，提高成绩，而如何寻找到简便方法，就牵涉到了数学方法和数学思维，其中，数形结合法就是高中阶段学生必须掌握的一种数学方法，也是高中阶段考察的重点，尤其是在选择题中容易出现需要学生特别的掌握。

有效地运用图形结合法，可使问题由复杂变得简单，抽象变得具体，进而便于学生们接受和理解[1]

一、以数助形，简洁直观

对于一些比较复杂的图形，若果单纯从几何的方面去考虑，可能绕来绕去，陷入了困境，这时候可以考虑将图形条件适当的代数化，根据题意要求，把“形”的特征正确的表达成为“数”的性质，进行解题。[2]

例1：（2010全国卷1文数）已知圆 的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么 的最小值为（）

A． B．C． D．

思路解析：如图所示：设PA=PB=,∠APO= ,则∠APB= ，PO= ， ，

= = = ，令 ，则 ，即 ，由 是实数，所以

， ，解得 或 .故 .此时 .

二、以数转形，直观深刻

在处理到代数问题时，并不像面对几何问题那样很容易的就想到数形的转化,若不借助形的辅助往往会事倍功半,陷入题海无法自拔。[3]相反，如果善于借助图形简洁直观的特点，把代数问题转化成几何图形，有助于寻找突破口。

例2：方程 的实根的个数为（）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

画出 在同一坐标系中的图象即可。确定lgx=1的解为x=10，y=lgx在(0，+∞)内递增， ，所以 和 的图象应该有三个交点。

例3. 定义在 上的函数 在 上为增函数，且函数 的图象的对称轴为 ，则（）

A. B.

C. D.

解： 的图象是由 的图象向左平移2个单位而得到的，又知 的图象关于直线 （即 轴）对称，故可推知， 的图象关于直线 对称，由 在 上为增函数，可知 在 上为减函数，依此易比较函数值的大小。

实际上，在高中数学里面，经常会遇到关于方程（组）解的个数问题，如果通过正面不好计算，都可以考虑数形结合去求解。

例4. 函数u＝ 的最值是（）．

A. 最大值为2 ，最小值为2 B. 最大值为3 ，最小值为2

C. 最大值为6 ，最小值为3 D. 最大值为10 ，最小值为2

分析：观察得2t+4+2(6－t)＝16，若设x= ，y= ，则有x2+2y2=16，再令u=x+y则转化为直线与椭圆的关系问题来解决．

解：令 ＝x,=y, 则x2+2y2=16, x≥0, y≥0, 再设u=x+y, 由于直线与椭圆的交点随着u的变化而变化，易知，当直线与椭圆相切时截距u取得最大值，过点(0，2 )时，u取得最小值2 ， 解方程组 ，得3x2－4ux+2u2－16=0,

令=0, 解得u=±2 .

所以u的最大值为2 ，最小值为2选A

例5. 已知A（1，1）为椭圆 =1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点

求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值是（）

A.B.

C. D.

解：将原方程化为

，且

令 ，它表示倾角为 的直线系，

令 ，它表示焦点在 轴上，顶点为 的等轴双曲线在 轴上方的部分，

原方程有解

两个函数的图象有交点，由下图知 或

的取值范围为 选A

例6：某单位共有员工50名，为了锻炼员工的身体素质，单位组织员工参加体育活动小组，已知员工每人至少参加一个体育活动项目小组，参加跑步、跳高、羽毛球小组的人数分别为27、26、16，同时参加跑步、跳高小组的9 人，同时参加跑步、羽毛球小组的7 人，同时参加跳高、羽毛球小组的人数为8，问：同时参加跑步、跳高、羽毛球小组的有（ ）人

A.1B.2 C.3D.5

思路解析：本题属于典型的集合问题，如果单纯根据题意里面的数量关系去解答，非常容易出现混乱，但是如果借助于文氏图，则关系一目了然。

我们用三个圆来表示跑步、跳高、羽毛球小组的人数，分别是A、B、C，通过下图我们可以观察的到，三个圆两两相交，相交重合的的地方就是表示共同参加活动的人数部分，同时参加跳高、羽毛球小组的人数就是三个圆共同的交集。如果用n表示集合的元素,则有：

n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B∩C)+n(A∩B∩C)=50

即27 +26+16−9−7−8+n(A∩B∩C)=50；故n(A∩B∩C)=5, 同时参加跑步、跳高、羽毛球小组的有5人 选D

结语

数形结合是数学中重要的一种思维方法，通过“数”与“形”，“形”与“数”的互相转换去解决问题，让抽象的图形关系转化成简洁明了的代数关系，让复杂的代数关系转化成直观的几何图形关系，通过转化，可以有效地开拓思路，找到简明的解题思路，

参考文献：

[1] 宋端坤. 浅谈数形结合思想在高中数学解题中的应用[J]. 数学学习与研究, 2013,(21) .

第4篇：高中数学求最大值的方法范文

[关键词]抽象函数 单调性 奇偶性

1 前言

高中数学课程中抽象函数的单调性与奇偶性是非常重要的章节，数学学习中对函数的单调性与奇偶性掌握的要求也越来越高。因此，在学习过程中我们要不断进行抽象函数的单调性与奇偶性的研究，才能对单调性与奇偶性的掌握更加娴熟。

2 高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的重要性

函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过，但只是从图象上直观观察图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至还搞不清什么是代数证明，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证明自然就是教学中的难点。

3 高中数学抽象函数的单调性与奇偶性学习中存在的问题

3.1 学生没有掌握数形结合的学习方法。数形结合是一种非常重要的数学学习方法，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。但大部分学生并没有这种习惯和意识，没有掌握数形结合的正确方法。而函数的单调性仅依靠学生的想象是难以理解的，没有这种正确的学习方法会极大地阻碍学生的学习。

3.2 对定义域的理解较为抽象。定义域作为函数中非常重要的一个组成部分，在函数单调性中的作用不可忽视。定义域往往决定了函数的单调性，但学生对定义域的理解较为抽象，没有深刻领悟到定义域的内涵和其对于函数单调性的重要作用。例如：已知函数f（x2）的定义域为-1≤x≤1，求函数f（x）的定义域。在这种复合函数中，学生难以理解定义域，难以得到正确的答案，也就无法进一步确定函数的单调性。

3.3 奇偶性的判断。若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系，f（-x）=±f（x）怎样成立？若，f（-x）=f（x）成立，则为偶函数；若，f（-x）=-f（x）成立，则为奇函数；若，f（-x）=±f（x）成立，则为既是奇函数也是偶函数；若f（-x）=±f（x）都不成立，则为非奇非偶函数。

4 高中数学抽象函数的单调性与奇偶性的研究

4.1 判断单调性和奇偶性。

4.1.1 判断单调性。根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

例1：如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且有最小值为5，那么f（x）在区间[-7，-3]上是（ ）。

A、增函数且最小值为B、增函数且最大值为

C、减函数且最小值为D、减函数且最大值为

分析：画出满足题意的示意图，易知选B。

4.1.2 判断奇偶性。根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f（x）与，（-x）的关系。

例2：若函数y=f（x）（f（x）≠0）与y=-f（x）的图象关于原点对称，判断：函数y=f（x）是什么函数。

解：设y=f（x）图象上任意一点为P（x0，y0），y=f（x）与y=-f，（x）的图象关于原点对称，P（x0，y0）关于原点的对称点（-x0，-Y0）在y=f（x）的图象上，-Y0=-f（-x0） y0=f（-x0），又Y0=-f（x0）f（-x0）=f（x0）。即对于函数定义域上的任意x都有f（-x）=f（x），所以y=f（x）是偶函数。

4.2 求参数范围。这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f’符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

4.3 不等式。①解不等式。这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f’，转化为代数不等式求解。②讨论不等式的解。求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。

4.4 比较函数值大小。利用函数的奇偶性、对称性等性质，将自变量转化到函数的单调区间内，然后，利用其单调性使问题获解。

第5篇：高中数学求最大值的方法范文

【关键词】新课标；高中数学；习题教学；探析

数学习题作为数学知识要义、教师教学意图以及教材目标要求等方面的有效“承载”和生动“代言”，在数学课堂教学进程中占据不可替代的重要地位，并在助推教学进程中发挥着积极显著的深刻功效。课堂之中的习题教学，表面看似解题思路和方法的探求过程，实际上贯彻着教学的目标要求、渗透着先进的教学理念、体现着教者的教学技能、执行着能力培养的要旨。让学生在习题教学中提升解决问题的技能，在习题探析中实现能力素养的升华，是新课程改革背景下，高中数学课堂教师习题教学的出发点和落脚点。鉴于上述的认知和感悟，本人现简要阐述新课标背景下的高中数学习题教学活动的实施。

一、抓住教材知识要义，实施互动式习题教学

教师在数学习题教学进程中的重要目的之一就是巩固所学数学知识、强化已有数学经验。具备坚实的数学知识根基、良好的数学知识素养，是学生主体有效认知数学问题、正确解决问题、提高解体技能的重要前提和知识保障。教育运动学认为，教师与学生之间应该是双向、互动、交流的发展过程，师生只有深入其中、积极配合，才能实现学与教之间的科学融合，有机统一。笔者以为，教师习题教学应成为师与生深入互动、深刻交流的“桥梁”，应成为巩固强化数学知识素养的重要“阶梯”。因此，高中数学教师习题教学，不能好高骛远，将解题技能培养作为唯一要务，而应该重视基础工作和要点教学，通过开展师与生之间的深刻互动活动，深入挖掘数学习题中隐含和呈现的数学知识点，及时回顾和复习相关知识点内容，实现问题有效解答和数学知识升华的完美统一。

如“两条直线位置关系判定”一节课教学中，教师在巩固练习环节，设置了“已知两直线l1：x+ysinθ-1=0和l2：2xsinθ+y+1=0，试求θ的值，使得两直线平行和垂直”习题，组织高中生开展习题解答活动。教师抓住巩固练习习题在强化数学知识点方面的积极功效，将复习该节课数学知识点内容作为重要任务之一，引导高中生开展该习题条件及要求的认知和解析活动，高中生通过数学问题条件感知活动，认识到该习题主要考察“对两条直线的垂直和平行的判定”。此时，教师因势利导进行相关数学知识点的回头看活动，组织高中生对已学的“两条直线的位置关系判定内容以及已知三角函数值求角的大小”等相关数学知识点的要义以及注意事项等方面进行全面深刻的研习和巩固，并结合问题条件获取该习题的解题思路。教师针对高中生认知相关知识点的实情进行及时的巩固和强化补充。在此习题教学进程中，高中生不仅以题为媒，由此及彼，实现对所学知识点的及时巩固强化，同时还对数学习题解析思路有了深刻认知，效果显著。

二、注重探究过程指导，实施探究式习题教学

高中数学课程改革实施纲要强调指出：“学科教学的根本出发点和落点是学生主体能力素养的培养，培养学生探究、思维、实践等方面的数学学习能力，是教师课堂教学的重要任务之一，教学工作者应在教学进程中予以深入贯彻和有效落实。”习题教学作为课堂教学不可或缺的实践活动之一，就必须将学生主体的动手操作、推理分析等数学活动融入其中，在探究式习题教学中，实现数学解题能力的提升和进步。教师讲解高中数学习题，既要重视解题策略传授，更要强化探究过程教学，有意识的延伸习题思路探知、问题解题方法辨析、数学问题过程展示等环节进程，并让高中生渗透和参与其中，亲身参与、亲自探知，成为现场“当事人”，在深入有效探究解析中，实现数学解题能力的锤炼和提升。

问题：已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）-f（x）=f（2x），试求出f（x）和f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值。

高中生分析习题条件，指出：“该问题主要考查关于二次函数在闭区间上的最值运用”。

教师组织高中生结合习题要求，进行合作探究分析活动，高中生探究获取解题思路：“设f（x）=ax2+bx+c；则f（x+1）-f（x）=2ax+a+b，求出a，b，c相应的值从而求出f（x）的解析式。要求最小值和最大值，可以对函数进行配方，结合二次函数在闭区间上的单调性分别求出涵数的最值。

教师根据高中生解析思路予以评点，强调指出：“本题主要利用待定系数法求解函数解析式以及最值的求解，要注意所给区间的单调性。”

高中生依据教师指点，补充完善进行解题活动。

三、凸显评判促进功效，实施反思式习题教学

笔者在平时的习题教学课观摩中发现，有极少数教师习题讲解往往止步于解题方法的规律，而没有对学生主体在解析习题中的成效予以点评和指导，不利于高中生良好解题方法和习惯的养成和形成。教育学认为，教师的主导作用应通过“导”的活动予以呈现。因此，高中数学教师开展习题教学，要充分利用评价教学所表现出来的指导促进功效，将解题过程评价作为习题教学有效延伸和生动补充，通过评判手段，引导高中生深刻思考解题得失、思路优劣、表现好差，从而促进高中生更加深入的自我反思和深刻剖析，在师与生的共同作用下形成良好解题习惯。

除此之外，高中数学教师开展习题讲解，还要利用数学习题发散特性，举一反三，设置多样性、发散性的数学习题，引导高中生深入思考研习，锤炼和培养他们的数学综合应用能力。

【参考文献】

第6篇：高中数学求最大值的方法范文

关键词：函数；恒成立；转化；最值

恒成立问题是高中数学的一类重要题型，很多函数问题都需转化为恒成立的问题才可解决。该类问题有较高的综合性和灵活性，往往通过一道综合试题即可全面考查学生灵活运用数学知识、数学思想方法的能力，考查学生数学思维的深刻性和敏捷性。本文将探讨解决恒成立问题的如下三种策略：二次函数法――转化为二次函数图象的问题（利用数形结合的方法解决）；分离变量法――转化为求函数的最值；构造函数法――转化为求含参函数的最值。

一、二次函数法――转化为二次函数图象的问题（利用数形结合的方法解决）

二次函数是高中数学中解决函数问题最重要的工具之一，在恒成立问题中，有许多问题本身就是或可以转化为关于二次函数恒成立问题。所以二次函数恒成立问题是恒成立问题中的一个重点。而解决二次函数恒成立问题的专属方法是利用数形结合的思想，根据已知画二次函数图象列代数式。虽然二次函数恒成立问题作为一类特殊的恒成立问题，也可以用后面总结的方法解决，但该方法体现了重要的数学思想，所以在此将其作为一种方法介绍。

综上所知，a的取值范围是[-7，2]。

该方法的核心思想是数形结合，关键是根据已知画出二次函数的图象，而难点也是根据画出二次函数的图象，然后根据图象一般从开口方向、判别式、对称轴和特殊点函数值四个方面列式。要正确利用该方法解题，需做好以下两方面：（1）画图一般要分类讨论，而在分类时要做到“不重复，不遗漏”，即尽量避免重复，而绝不能少考虑情况；（2）数形结合要做利用好图的直观性和数的精确性，即画图要有代表性并且相对准确。

二、分离变量法――转化为求函数的最值

分离变量法是将主变量和参数分离，用主变量表示参数，一般将命题转化为“在某个区间D上，a≤f（x）或a≥f（x）（其中x为主变量，a为参数）”的形式，从而将问题转化为“求函数f（x）在区间D上的最大值或最小值”，则a小于等于函数f（x）在区间D上的最小值或a大于等于函数f（x）在区间D上的最大值。例如下题：

三、构造函数法――转化为求含参函数的最值

构造函数法是通过构造含参函数y=f（x），将命题转化为“在某个区间D上，f（x）≥0或f（x）≤0”的形式，从而将问题转化为“求函数f（x）在区间D上的最大值或最小值”，则通过解不等式“最小值大于等于0或最大值小于等于0”求解参数的范围。

综上所知，a的取值范围是（-∞，e）

构造函数法是解决此类问题的一般方法，在高中阶段恒成立问题几乎都可用构造函数法解决，即通过构造含参函数，求其最值，然后解不等式。一般情况下它不如分离参数法简便，因为求解最值时一般要对参数进行分类讨论，操作更为复杂，例如例3，而例3也可用分离参数相对简便一些。若将第（2）问的条件变为x∈[-1，+∞），则分离参数就不易操作了，所以本方法更具一般性。

第7篇：高中数学求最大值的方法范文

关键词：填空题；解答效率；路径

一、理论角度诠释提升高中数学填空题的方法

一般来说解决的方法有：直接法：从问题出发，利用学过的数学定理、公式、定义等，经过问题处理或者知识迁移进行推理计算出问题的答案；特殊化法：在解答的时候就可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值进行解析，这样也能得到答案。另外，还有一种数形结合思想，就是把含有数学几何中的问题，依据给出的已知条件画出相应的图形，实现问题解答中数中有形，做到以形助数。除上面论述外，还有等价转化法/构造法和分析法等。

二、提升高中数学填空题解答效率的经典案例探究

经典案例1：如下图在坐标系中表达的数量关系，A1，A2，B1，B2是■+■=1（a>b>0）这个椭圆的四个顶点，其中图上点F表示的就是椭圆的右焦点，T点就是A1B2与B1F两条直线的交点，线段OT与椭圆的交点恰为线段的中点，求离心率（ ）。

对于椭圆来说，高中数学对其考查的内容和形式都是十分频繁的，并且有的时候会牵扯到其他知识点，这需要学生必须给予重视。针对本案例考查的知识点来说，需要学生对椭圆有一个全面的认知，因为此试题主要考查的内容包括椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标、离心率的计算以及直线的方程等，这就可以运用直接法进行解答。

直线A1B2的方程为：■+■=1；

直线B1F的方程为：■+■=1。

二者联立解得：T（■，■），

则M（■，■）在椭圆■+■=1（a>b>0）上，

■+■=1，c2+10ac-3a2=0，e2+10e-3=0，

解得：e=2■-5。

经典案例2：若AB=2，AC=■BC，求SABC的最大值。

从题干中可以看出，问题主要考查的知识点就是关于三角形的面积、余弦定理以及函数等，可以说是一道比较具有综合性的考题。按照常规的解题思维来求解的话，计算量比较大，并且由于给出的数字关系量很难得出正确答案。我们就可以换个角度去思考，选择转换值代入法进行解析。高中数学考查的试题当中，如果有的量是未知的或者是不确定的，不是观察或者找到的，但问题的最终答案又是一个定值的话，不妨采取将变量取一些特殊数值、特殊位置等来处理，这样就很容易找到问题的切入点来解答问题了。

设BC=x，则AC=■x，

根据面积公式得SABC=■AB・BCsinB=x■，

根据余弦定理得cosB=■=■=■，

代入上式得SABC=x■=■，

由三角形三边关系有■，

解得2■-2

故当x=2■时，SABC取得最大值2■。

经典案例3：将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=■，则S的最小值是______。

针对高中的复杂填空题，特别是牵扯到一些较为繁杂的三角函数、几何知识的时候。为了简化计算过程，可以巧用图形就行求解，图形可以很直观很简单地呈现问题，然后依据图形就可以很简便地得出问题答案了。本题给出的已知条件较少，看上去问题很简便，但是不易下手，这就可以勾画相关的图形来辅助解题。

如图，ABC是边长为1的正三角形，EF∥BC，四边形BCFE为梯形；设AE=x（0

S=■=■ （0

对S（x）求导，令S′（x）=0，联系0

所以x=■时S（x）有最小值S（■）=■。

经典案例4：已知3f（2x2-1）+2f（1-2x2）=4x2，求f（x）是（ ）

从题目来看，比较复杂，按照传统的按部就班的思想解题的话，计算量较大并且不易求解。利用化归思想，就可以化繁为简，把复杂的问题简单化，简易问题的处理方法，从而求解。具体来说，从给出的已知信息来看，可以令2x2-1=y则原式就可以简单地转化为3f（y）+2f（-y）=2y+2，再由新条件等式中f（y），f（-y）的特殊关系，再等式以-y代y，会得到另一个关于f（y），f（-y）的等式，最后我们通过解方程组求得f（x）。这样就可以实现问题的成功转化，简化了问题分析和计算的过程。

解：令2x2-1=y，

原式为：3f（y）+2f（-y）=2y+2，

以-y代y

得：3f（-y）+2f（y）=-2y+2，

则■

3×①-2×②，得f（y）=2y+■，

即f（x）=2x+■。

参考文献：

第8篇：高中数学求最大值的方法范文

一、运用化归的思想和方法求解数列问题

数列的通项公式、前n项和公式和数列知识应用是整个高中数列解题的核心问题。在数列问题的解题中，求通项公式对解决数列问题来说非常重要。其解题方法多种多样，其中许多数列问题可以用化归的思想方法，把问题转化成等差（比）数列问题进行解决，这样就能非常方便地进行求解。

例1.把数列问题转化成等差型数列an-an-1=f（n）形式求通项公式。

已知a1=1，an-an-1=n-1。求：an。

解题分析：对于此类等差型数列，常采用叠加法进行求解。

an-an-1=n-1，a2-a1=1，a3-a2=2，

a4-a3=3…可求出an-an-1=n-1。把上面式子相加能得到an-a1=1+2+3+…+n-1，an= 。

解题要点：用该方法求通项公式，一是叠加后等式左边能进行错项相消，二是等式右边要能容易求和。

例2.把数列问题转化成等比型数列 =f（n）形式求通项公式。

已知a1=1， = 求：通项公式an。

解题分析：对于等比型数列求通项公式，一般采用把若干等式的左右两边分别相乘的方法，即累乘方法来求通项公式。

= ， = ， = … = 。

把这些等式左右分别相乘可得： = ，an= 。

要求：运用累乘方法求通项公式，要求等式两边能够化简。

二、运用函数和方程的思想求解数列问题

运用函数的概念与性质对数列问题进行分析转化，从而使数列问题容易求解；运用方程的思想求解数列问题，就是从数列问题的数量关系出发，把数列问题转化成方程或不等式的形式来使问题得到解决。运用这两种方法求解数列问题，要注意挖掘问题中的隐含条件，建立函数解析式和方程式是其解题的重点。

例3.有等差数列an，其前n项之和是Sn，a3=12，S12>0，S13

（1）求公差d的取值范围；（2）求S1，S2，S3…S12中的最大值，并讲出原因。

解题分析：（1）在本题中利用方程（不等式）的思想就比较容易求解问题，通过利用通项公式an和前n项和公式Sn来构建不等式就能方便求出公差的范围。（2）对于在数列问题中求前n项和的最大值问题，利用函数的思想和方法，把Sn的表达式转化成二次函数，这样问题就变成求函数的最值问题，此题就容易解

决了。

解题思路：（1）a3=a1+2d，可求出a1=12-2d，S12=12a1+66d=12（12-2d）+66d=144+42d>0，S13=13a1+78d=13（12-2d）+78d=156+52d0156+52d

（2）求Sn的函数表达式，Sn=na1+ n（n-1）d=n（12-2d）+ n（n-1）d= n- （5- ）2- （5- ）2，d

对于本题还可以换另一种思路来求解，即通过求出an>0，an+1a3>…>a13，根据S13=13a70，可得出S6的值最大。

三、运用数学归纳法求解数列问题

数学归纳法也是求解数列问题的常用基本方法之一，运用归纳法其关键是要证明n=k+1时命题成立，该方法也是由递推来进行归纳的解题方法。

例4.假设有an= + + +…+ ，n∈N

证明： n（n+1）

解题分析：此题和自然数n相关，可运用数学归纳法求解证明。当n=1容易求证，重点在于求n=k+1时，ak+1=ak+ 式子成立，因此，在n=k的式子中加入 ，再与所证明的结论进行比较来求解。根据归纳法的步骤，其求解思路如下：

当n=1时，an= ， n（n+1）= ， （n+1）2=2，n=1时结论成立。

假设n=k时结论成立，即有， k（k+1）

当n=k+1时，只要证明下式成立即可：

k（k+1）+

可先证明结论左边式子： k（k+1）+ > k（k+1）+（k+1）= （k+1）（k+3）> （k+1）（k+2）。

再证明结论右边式子： （k+1）2+ = （k+1）2+ < （k+1）2+（k+ ）= （k+2）2。

（k+1）（k+2）

第9篇：高中数学求最大值的方法范文

关键词： 平面向量 常规解法 高中数学教学

平面向量是高中数学的重要内容，是解决数学问题的很好的工具，是联系代数与几何的桥梁，是江苏高考的必考内容，其中向量的数量积还是高考的C级要求，同时也是学生比较感兴趣而又有一定难度的一类问题.那么向量问题有哪些常规解法呢？我结合教学体会小结如下.

一、合理拆分法

例1：已知O为ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则■・■的值等于多少？

分析：只要把向量■拆分为■+■，然后根据外心定义及一个向量■在■与■上的投影即可解决.答案为5.

例2：在平面上，■■■■，|■■|=|■■|=1，■=■■+■■.若|■|

分析：只要把已知向量与所求向量转化成以O点为起点的向量即可解决问题.

解：■■■■，

■■・■■=（■■-■）・（■■-■）=■■・■■-■■・■-■・■■+■■=0，

■■・■■-■■・■-■・■■=-■■.

■=■■+■■.

■-■=■■-■+■■-■，

■=■■+■■-■.

|■■|=|■■|=1，

■■=1+1+■■+2（■■・■■-■■・■-■■・■）=2+■■+2（-■■）=2-2■■.

|■|

■

二、数形结合，建立坐标系法

例3：

如图，若a=■，b=■，a与b夹角为120°，|a|=|b|=1，点P是以O为圆心的圆弧■上一动点，设■=x■+y■（x，y∈R），求x+y的最大值.

分析：建立适当的坐标系可以把向量的运算转化成坐标运算.

解：以O为原点，OD为x轴建立直角坐标系，

则D（1，0），E（-■，■）.

设∠POD=α（0≤α≤■），则P（cosα，sinα）.

由■=x■+y■，得cosα=x-■y，sinα=■y，

所以y=■sinα，x=cosα+■sinα，

所以x+y=cosα+■sinα=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故当α=■时，x+y的最大值为2.

利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标.

三、两边平方或同时点乘同一个向量法

例3的解法二：设∠POD=α（0≤α≤■），由■・■=x■・■+y■・■，■・■=x■・■+y■・■，

可得cosα=x-■y，cos（■-α）=-■x+y.

于是x+y=2[cosα+cos（■-α]=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故当α=■时，x+y的最大值为2.

例4：（2013・湖南改编）已知a，b是单位向量，a・b=0，若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是？摇 ？摇.

分析：对条件|c-a-b|=1两边平方，这样可以很顺利地打开解题思路，

解：a・b=0，且a，b是单位向量，|a|=|b|=1.

又|c-a-b|■=c■-2c・（a+b）+2a・b+a■+b■=1，

2c・（a+b）=c■+1.

|a|=|b|=1且a・b=0，|a+b|=■，

c■+1=2■|c|cosθ（θ是c与a+b的夹角）.

又-1≤cosθ≤1，0

c■-2■|c|+1≤0，

■-1≤|c|≤■+1.

如正弦定理的证明就是用的两边同时点乘一个向量的方法，余弦定理的证明就是用的两边平方法，两种证法参见苏教版必修五课本.

四、基底法（运用平面向量基本定理、平行向量定理）

例5：（2012・湖州模拟）如图，在ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若■=x■，■=y■，试问：■+■是否为定值？请证明你的结论.

分析：以不共线的两个向量■、■为一组基底，把其他向量用这个基底线性表示.

解：■+■为定值，证明如下：

设■=a，■=b，则■=xa，■=yb，

■=■■=■（■+■）=■（a+b），

所以■=■-■=■（a+b）-xa=（■-x）a+■b，

■=■-■=yb-xa=-xa+yb.

因为■与■共线，所以存在实数λ，使■=λ■，所以（■-x）a+■b=λ（-xa+yb）=-λxa+λyb，又因为a与b不共线，所以■-x=-λx■=λy，

消去λ，得■+■=4为定值.

方法总结：

1.如果题目中已知两个不共线的向量的模与夹角，一般都是以这两个不共线的向量为一组基底，其他向量用它线性表示，这样问题就可得以解决.

2.平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，又可以由向量共线求参数.利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点.

3.对于向量的线性运算，不但要掌握几何法则，还要掌握坐标运算法则，使二者有机结合.

参考文献：

[1]江苏省考试说明.