高中数学知识点归纳大全精选(九篇)

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第1篇：高中数学知识点归纳大全范文

从教师的发展，特别是青年教师的发展角度看，“同课异构”有利于提高教师的教学水平，促进教师特别是新教师不断的成长。“同课异构”实现了教师间的“集体备课”，促成教师间对同一知识不同认知的统一。众所周知，新教师成长最快的途径之一就是要充分利用备课组各位教师的已有资源，特别是与名师的共同备课、听课、评课，同行的几点建议甚至是一个提醒，都会对新教师以极大的共振，使自己的教学水平尽快提高。作为教师，在教学中我们力求教师个人与其备课组、教研组之间进行广泛的合作，营造同课异构中教师互助的合作；在教师合作中将自己的才智与备课组及其教研组成员的智慧紧密地结合起来，从而使个人的成长与整个备课组，教研组的进步相辅相成，从而促进教师的发展。通过“同构异构”可以发现哪种教学活动更有效，更能促进学生的学习。

成都七中林荫校区青年教师比例已增加到20%左右，而高新校区青年教师比例为60%，从整体来看，青年教师的政治思想素质和业务素质还不能适应七中教育事业更高层次发展的需要。培养一支又红又专的骨干教师队伍是一项紧迫而又带战略性的任务。所以学校高度注视本次由成都市教科院在成都七中举办的成都市数学科“同构异课”活动。在本次活动中，参加本次“同构异课”的老师有四位，我们将他们的教学思路，教师评课，做了一个梳理，与大家一起共享。

（附：刘在廷 学士 中学高级 成都七中 610041 ； 张世永 硕士 中学高级 奥林匹克高级教练 成都七中 610041）

《等差数列前n项和》（第一课时）教学设计

四川省成都七中 阳 虎

摘 要：通过对等差数列前n项和公式的推导过程，渗透倒序相加求和的数学方法，通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，

关键词：等差数列 倒序相加 类比化归 数形结合

一、教材分析

对“等差数列前n 项和”的推导，其学习平台是学生已掌握的等差数列性质以及首尾配对法等相关知识。本节的讨论，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加法，具有承上启下的重要作用。

二、教学目标

（一）知识与能力：①掌握等差数列前n项和公式。 ②掌握等差数列前n项和公式的推导过程。③会简单运用等差数列的前n项和公式。

（二）过程与方法：①通过对等差数列前n项和公式的推导过程，渗透倒序相加求和的数学方法。②通过公式的运用体会方程的思想。③通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。

（三）情感、态度、价值观：结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。

三、教学重难点：教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用

教学难点：等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。

四、教学流程

教学环节 教师活动 学生活动 设计意图

课题引入 首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？ 观察 通过现实生活问题引入“首尾配对法”

新

知

探

究

新

知

探

究

Q1： 请用首尾配对的方法计算第1层到第79层一共用了多少颗宝石？

那么我们是否可以在“首尾配对”的基础上，找一种方法来优化“首尾配对”，从而避免讨论项数的奇偶。

引导学生回忆初中在学习梯形面积及三角形面积时，采用的那种倒置方法。

Q2： 1+2+3+…+ n =？

等差数列中，可以用和表示，那么是否也可以用和表示呢？

学生用“首尾配对”进行求和，发现“首尾配对”要考虑项数的奇偶

三角形倒过来以后很容易就求出了宝石的个数

尝试将这个式子倒过来，然后再两式相加

学生尝试用“倒序相加法”探究前n项和公式

学生将通项公式带入前n项和公式，即得到前n项和的第二个公式

回忆初中梯形面积公式，以便更好记忆两个求和公式。 目的在于引导学生发现在应用“首尾配对法”时，需要分项数的奇偶讨论

问题一的解决，可以给学生渗透“倒置”的方法，为后面“倒序相加法”做好准备

问题二的解决让我们认识到一种新的方法“倒序相加法”，为推导前n项和公式作好方法准备

有了前面的“倒序相加法”和等差数列通项的“下标和”性质，则很快得出前n项和的第一个公式：

引导学生通过两种方法来推导前n项和的第二个公式：

类比梯形面积的公式，主要是方便同学对于前n项和两个公式的记忆

应

用

举

例

应

用

举

例

请两位同学上黑板演算，老师点评

引导学生从方程的角度考虑问题，得到知三求二；另外从函数角度考虑，前n项和公式是一个关于n的“二次函数” 前两问的选取目的在于让同学们再次熟悉公式，第三问的选取目的在于为后面从方程角度分析公式作铺垫

方程的角度和函数的角度分析公式

让学生再次熟悉公式，并能够合理的选取公式

小结

由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明 让学生再次回忆“倒序相加法”、前n项和的两个计算公式以及由方程思想得到的“知三求二”

（指导教师 杜利超）

（附：阳虎 学士 中学一级 成都七中 610041 ； 杜利超 学士 中学高级 成都七中 610041）

《等差数列前n项和》（第一课时）教学设计

四川省成都七中 吴 雪

摘 要：通过对等差数列前n项和公式的推导过程，渗透倒序相加求和的数学方法；通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力，培养学生解决数学能力的兴趣和信心，从中也使学生体会到数学内在的和谐对称美。

关键词：等差数列 倒序相加 类比化归 数形结合

教学目标：A.知识目标：①掌握等差数列前n项和公式。②掌握等差数列前n项和公式的推导过程。③会简单运用等差数列的前n项和公式。B.能力目标：①通过对等差数列前n项和公式的推导过程，渗透倒序相加求和的数学方法。②通过公式的运用体会方程的思想。③通过运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。C.情感目标：在学生主动参与和探讨前n项和的推导过程中，培养学生解决数学能力的兴趣和信心，从中也使学生体会到数学内在的和谐对称美。

教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用。教学难点：等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。

教学过程：

教学过程 学生活动 教学设计意图

一、温故知新

1.等差数列的通项公式

2.等差数列的性质（角标和定理）

二、新课引入

印度泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢华程度，可见一斑.

问题是：“1+2+3+4……+100=？”

思考高斯是如何快速计算1+2+3+4+…..+100？

高斯算法的优点：分组求和，将加法运算转化为乘法运算

观察1，2，3，….100 1，2，3，….99 都是等差数列

那一般的等差数列如何求和呢？

三、新课讲解

1.公式推导

设等差数列的首项为，公差为d

思路一

问题一：一定有吗？（角标和定理）

问题二：有多少个，一定都能完全配对吗？（分类讨论n的奇偶性）

1.当n为偶数时：

2.当n为奇数时：

问题三： 可否与合并呢？

=

通过对n取值的讨论，得到了前n项和求和公式，是否有其他的方法回避讨论，一步到位呢？

思路二

我们知道，第m项和倒数第m项总是存在的

这n个两两组合中，将第一个加数排成一列

将第二个加数排成一列

然后对应两项两两相加：有n个；且两数列的的前n项和相等，都记为；则有

同理（介绍教材方法）

两式相加：

1.几何解释

2.分析公式

将代入 知三求二

3.公式运用

例1.求和

（1）101+100+99+98+…+64；

（2）1+3+5+7+…+（2n-1）（结果用n表示）

解：设题中的等差数列是，前n项和是

（2）解：设题中的等差数列是，前n项和是

变式练习：求等差数列2m+1，2m+3，……2n-1的和

解：设已知数列，前n项和，公差为d

求得d=2，项数，代入求和公式得：

四、课堂小结

1.推导等差数列前 n项和公式的思路；

2.公式的应用体现出的数学思想.

五、作业 教材46页 A组 学生： 思考，回顾，巩固旧知识

学生：观察思考

你知道图案中有多少颗宝石吗学生：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50X（1+101）=5050

用高斯算法计算

1+2+3+……+99=？

学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于。

学生：不一定，需要对n取值的奇偶进行讨论。

当n为偶数时刚好配对成功。

当n为奇数时，中间的一项落单了。

学生：观察角标的关系

学生：将排两次，第二次反过来排

学生：同样将公式2与梯形面积公式建立联系。用“割”的思想将梯形分做一个平行四边形和一个三角形，而梯形面积就是这两部分面积之和。

学生讨论：公式中一共含有五个量，根据三个公式之间的联系，由方程的思想，知三可求二。

项数怎么计算？

用通项公式推导

学生：选定公式，可分别用两个公式求解。

学生：已知数列是

1+3+5+7+…+（2n-1）

去掉前m项后的结果，所以直接由有

高斯分组求和

倒序相加法

数形结合

特殊到一般

引入课题

高斯求和众所周知，学生能快速解答。

学生思考是否可复制高斯方法

这里用到了等差数列脚标和性质

从高斯算法出发，对n进行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想到。

对中间项的解决办法的过程中，进一步让学生体会研究数列就是对脚标数学的研究。

倒序相加求和法是重要的数学思想，为以后数列求和的学习做好了铺垫。

利用数形结合的思想，使学生对两个公式有直观的认识，体会数学的图形语言

熟悉公式，难点在于求项数，要重点讲解。

变式练习学生可通过换元的思想来解决

（指导教师 张世永）

（附：吴雪 学士 中学一级 成都七中 610041 ； 张世永 硕士 中学高级 奥林匹克高级教练 成都七中 610041）

《等比数列的前项和》教学设计

四川省成都七中 尹祖奎

摘 要：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力。

关键词：等比数列 错位相减法 分类讨论

教材分析：

等比数列的前项和是进一步学习数列知识的重要基础和解决一类求和问题的有力工具，在现实生活中有着广泛的应用。

教学目标：1.知识与技能：理解并掌握等比数列前项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。2.过程与方法：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力。3.情感、态度、价值观：通过分类讨论等让学生体会数学的严谨美。

教学重点：等比数列前项和公式的推导和简单应用。教学难点：等比数列前项和公式的推导过程中的错位相减法及分类讨论思想。

教学过程：

情境引入

1.教师活动：漫画演示：猪八戒成立高老庄集团，因资金周转不灵向孙悟空求助。悟空答应第一天投资30万元，以后每天多投资1万元，连续一个月（30天）。条件是，八戒第一天返还1分钱，第二天返还2分钱，…，即后一天返还数为前一天的2倍。30天后，两人互不相欠。

提问：八戒是否应该接受悟空的投资？分析八戒得到的投资：分析八戒偿还的债务：。

2.学生活动：在看、听的同时做思考，回答是否接受投资，回想等差数列相关知识，类比等差数列的求和问题。

3.设计意图：用学生熟悉的人物编拟故事，以趣引思，激发学生的探索兴趣，复习等差数列前项和求法，引出课题：等比数列的前项和。

新课讲授

（一）教师活动： 1.探究①倒序相加法是否适用？②等式两边同乘公比2会怎样？（1） （2）（1）-（2），整理得。

（二）一般等比数列的前项和

问题：公式有没有其它求法？

（二）学生活动：回想倒序相加法思考、体会错位相减法，自主探究一般等比数列的前项和的公式，自主思考公式的其它求法，讨论交流， 根据递推公式得出公式的第二种形式。

（三）设计意图：探究特殊等比数列的求和问题，指出“倒序相加法”不再适用，引出“错位相减法”。从特殊到一般，从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高。通过学生个别学习，互相讨论，揭示知识的内在联系。通过生生、师生间的探讨、合作，培养学生的洞察力，增强学生思维的严谨性。训练学生的思维能力、渗透方程思想。 学习公式的第二种形式。

公式剖析

1.教师活动：通过判断是非认识公式特点：① （ ）② （）③若且，则 （ ）公式浅析：①五个量知三求二；②公比含参数时要分类讨论。

2.学生活动：对照公式判断正误。

3.设计意图：剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式， 提炼公式特征。

课堂练习

1.教师活动：例1：教材P56例题1变式：去掉（2）中的条件。例2：已知是等比数列，请完成下表：

题号

（1） 27 8

（1） -2 -96 -63

例3：求和：。

2.学生活动：自主阅读思考，整理解题思路，动手完成练习，讨论交流，动手练习。

3.设计意图：公式简单应用，加深记忆强调分类讨论，熟练公式运用，融入“知三求二”思想， 强调公比含参数时要分类讨论，通过公比不能为0渗透严谨的数学思想。

课堂小结

1.教师活动：中心内容：等比数列的前项和公式的推导及应用。思想方法：求和方法：错位相减法数学思想：方程思想、分类讨论思想等。

学生活动：学生总结（教师补充）。

设计意图：让学生再次回忆错位相减法、等比数列前项和公式，培养学生归纳总结能力。

作业布置

（一）教师活动：1.书面作业：课本61-62页 A组 1、2、3、5题 B组 3题 选作：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ 吴敬 《九章算法比类大全》。

2.研究性作业：查阅“芝诺悖论”（阿基琉斯跑不过乌龟），用等比数列求和的观点加以解释。

（二）设计意图：分层布置作业，尊重个体差异、渗透数学史，培养学生自主探究问题的能力。

（指导教师 张守和）

（附：尹祖奎 学士 中学一级 成都七中 610041 ； 张守和 学士 中学高级 成都七中 610041）

《等比数列的前项和》教学设计

四川省成都七中 巢中俊

摘 要：通过等比数列的前项和公式的推导，体会错位相减法的数学思想；通过公式的运用，提高学生处理方程问题的能力和分类讨论的能力，并，从中体会到探究数学的一般思想方法。

关键词：等比数列 错位相减法 分类讨论 探究

教学目标：1.知识目标：①掌握等比数列的前项和公式，会运用公式解决简单问题。②掌握错位相减法推导公式。2.能力目标：①通过等比数列的前项和公式的推导，体会错位相减法的数学思想。②通过公式的运用，提高学生方程能力和分类讨论能力。③情感目标：探究特殊等比数列的求和，从中发现方法，推广应用到一般等比数列的求和，从中体会到探究数学的一般思想方法。

教学重点：等比数列的前项和公式及错位相减法。教学难点：错位相减法及讨论公比和。教材分析：本节内容是用错位相减法推导公式和简单运用。在学生已经学习过等差数列的前项和之后，再次探究特殊数列的求和问题，错位相减法是今后求一些非等差等比特殊数列前项和的重要方法，具有承上启下的重要作用。

教学过程：

【求和背景】教师活动：引例1 国际象棋盘上放麦粒问题。引例2 一尺之棰，日取其半，万世不竭。引例归结出两个等比数列的求和问题。。从而抛出课题。提出问题： 等比数列的前项和有没有公式？例1 已知等比数列，通项公式为，猜想等比数列的前项和。引导学生发现可以利用错位相减法求。一步一步地详细演示错位相减法的过程，顺势提出错位相减法怎么推导一般等比数列的前项和公式？

学生活动：学生观察两个引例的演示图。学生发现理解体会错位相减法的思想方法。

设计意图：通过两个学生感兴趣的引例，吸引学生到课堂，引出课题。为一般地等比数列的前项和公式的探索推导铺路搭桥。

【推导公式】教师活动：引导学生利用错位相减法探索推导一般地等比数列的前项和错位相减法推导公式，当时，数列为常数列， ，当时，，，强调和的分类讨论，的分段形式。思考：乘可以，那么除以可不可以？，从已学正弦定理引导，学生自主完成《几何原本》证法. ，举例指出证法的缺陷：证法要求， 。

学生活动：有例1的基础，引导学生乘用错位相减法推导公式。学生自主探究，教师辅助。

设计意图：充分体现师生共同探究问题，充分体现学生在学习中的主体地位，教师的引导和辅助作用。

【公式理解】教师活动：两个小练习熟悉公式： ① ②公比等不等于要分类讨论③注意公式中的次数④知三求二。

学生活动：在教师的引导下理解和内化公式。

设计意图：对学生的薄弱环节作出说明，帮助学生正确理解公式。

【公式 运用】教师活动：例2 是等比数列，若，求数列前项的和，点评： （注意），还有方法：.（简化计算），例3 等比数列的前项和为，若，，公比，求项数点评：补充，例4 求数列的前项和点评：分类不全的错因分析，加强印象。

学生活动：例2学生先做，教师点评。例3 学生先动手做，学生分析。例4 学生先动手做，学生展示。

设计意图：公式的灵活运用，保证学生充分动手.充分暴露错误，分类不全面。

【小结提升】教师活动：①等比数列的前项和公式，②两种方法推导公式

错位相减法，《几何原本》法③知三求二（例2，例3）④公比，分类讨论（例4）。

学生活动：由学生自主归纳本节所学主要内容，教师补充完善小结。

设计意图：发挥学生的自我归纳能力。

（指导教师 曹杨可）

（附：巢中俊 硕士 中学一级 成都七中 610041 ； 曹杨可 学士 中学高级 学科带头人 成都七中 610041）

四川省成都七中数学同课异构的评课

四川省成都七中 刘在廷

摘 要：新课程强调教师在教学活动中要及时更新教育观念，并不断探索新的教育方式，而“同课异构”不失为较好的一种教学方式。对青年教师的教学设计和课程讲授进行分析和点评。有利于青年教师不断地成长。

关键词：新课程 同课异构 反思 点评 青年教师成才

阳虎老师教学过程自然。课堂通过引例泰姬陵的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？： 以应用问题做引入，体现新课程理念，培养学生自觉应用数学知识的意识，引起学生的兴趣。这个过程不仅激发了学生一题多解、触类旁通的热情，培养学生的创造思维能力，而且还很自然地引出了本堂课的重难点——倒序相加法求和，然后进行公式的推导。课堂按公式推导—公式应用—公式的深层次应用进行设计，思路清晰，语言流畅，知识点的讲解层层深入，重点突出。同时本堂课变换问题情景，巧用公式。根据学生的实际情况讲解倒序相加的方法。注重细节，注重学生的参与，无知识点的硬伤，讲解时，突出了化归的思想。

吴雪老师课堂引入较好，设计思路清晰。学生的发散思维较好，体现了学生实际情况及新课改的精神。新课通过“自主、合作、探究”的教学方式，从多种渠道进行教学。先从简单的问题入手：引出10岁小高斯用首尾相加相等的特点巧算的故事，加数个数由偶数变为奇数，巧妙变式，让学生自己发现个数不成对出现只要稍加处理，便可殊途同归。语言传承转接较好，所提的问题具有操作性。学生参与活动的时间（师生互动，合作学习，自学）有30分钟，真正做到了是以学生为主体。教师的个人讲解没超过20分钟，也满足了一堂好课硬性标准。

尹祖奎老师课堂引入教为新颖，以西游记后传为背景，给人耳目一新的感觉，快速抓住学生心理。营造良好的教学情境，调动学生的“情商”，激发学生的兴趣、求知欲等非智力因素来增强教学效果。创设教学情境，让学生“触境生情”，既可以掌握数学知识和技能，又可以体验教学内容中的情感，使原本枯燥的、抽象的数学知识变得生动形象，饶有趣味。讲解清楚，效果较好。推导公式时，通过主动示错达到目标。教学中强调细节，过程流畅，例题中讲解知三求二的方法时，以表格的形式呈现，让学生更容易理解。