高中数学求最小值的方法精选(九篇)

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第1篇：高中数学求最小值的方法范文

一、求最值问题

数形结合的思想在高中数学求最值问题中的应用主要体现在如下两方面：

1.涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解

涉及与圆有关的最值一般可总结为如下几种模式：

（1）形如 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如w=（x-a）2+（y-b）2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题等。

例题1.已知实数，x、y满足方程：

（1）求y-x的最大值和最小值；

（2）求（x+2）2+y2的最大值和最小值。

解：（1）如图1-1，设y-x=b即y=x+b，当y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时 ，即b=±。故y-x的最大值为+，最小值为-。

（2）如图1-2，（x+2）2+y2表示圆上的点与点（-2，0）距离的平方，由平面几何知识知道它在点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到点（-2，0）的距离为2，故（x+2）2+y2的最大值为32=9，故（x+2）2+y2的最小值为12=1。

2.若函数的解析式的几何意义较明显，可用数形结合的方法求解

当从函数的解析式能够明显看出是某种图形时，对于这种情况将函数表达式用图形表现出来是最直观也最为有效的解题思路，通常将函数呈现在图形中后，相应的未知量的变化趋势与变化结果也会很明显，这对于解题过程是非常有帮助的。

例题2.求函数 的最小值。

解：如右图，函数 的几何意义为：平面内一点P（x，0）到两点A（-3，4）和B（5，2）距离之和就是y的值。由平面几何知识，找出B关于x轴的对称点B'（5，-2）。连结AB'交x轴于一点P为所求的点，最小值

二、求集合问题

在集合运算中常常借助于数轴、韦恩图等图形工具来处理集合的有关运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。数形结合不只是体现在函数上，高中数学中有很大板块会考察到学生的逻辑思维能力，对于这类题目如果能够将条件用图形很好的表示出来，这不仅是对于一直条件的一种非常有效的归纳整理，也能够帮助学生逻辑更清晰，思维更敏捷，从而对于题目有更好的解答。

例3.某班有52名学生，每人至少参加一项体育活动，参加足球、篮球、乒乓球小组的人数分别为30、24、18，同时参加足球、篮球的有8人，同时参加足球、乒乓球小组的有6人，同时参加篮球、乒乓球小组的有4人，问，同时参加足球、篮球、乒乓球小组的有多少人？

解：利用韦恩图求解，我们可用圆A、B、C分别表示参加足球、篮球、乒乓球小组的人数（如图），则三圆的公共部分正好表示同时参加足球、篮球、乒乓球小组的人数.用n表示集合的元素，

则有：

即：

所以：

三、解不等式与求取值范围

1.解不等式

在不等式的题目中有一些题目专门考查大家的数形结合能力，而且有些题目我们必须得用数形结合才能快而方便地求解，这些题目都有一些比较明显的特征，所以我们必须根据其特点来借助图形进行思考。

例4. ，若f（a）>a，求

实数a的取值范围。

解：求f（a）>a中a的范围，实际上是f（x）>x中x的范围。在同一坐标系下分别作出y=（x）与y=x的图像。由 解得x=1，又由：=x（x

2.求取值范围

函数的图像从形上很好的反映出了函数的性质，故在研究函数性质时要注意结合图像，利用数形结合能较快地求出变量的取值范围。函数由于其自身具有很强的抽象性，因此在分析函数问题时学生很难立刻找准思路并且理清思维，这时，如果能够借助图形让函数在图像上很好的得以表达，这将会让问题非常直观，也更容易让问题得以解决。

例5.若关于x的方程 有两个不同的实根，求m的取值范围。

解：画出 和 的图像。

当直线 过点 ，即 时，

两图像有两个交点如图所示：

又由 ，得：

令 ，得m=1.所以当

时，两图形有两个交点，方程有两个实根。

本题应用图像法求解，既能够让条件更为直观，也能够极大的减小运算量，用图像法解题时，图像间的交点坐标应通过方程组求解。用图像法求变量的取值范围时，要特别注意端点值的取舍和特殊情况，做到“数”与“形”的等价。

结语：

第2篇：高中数学求最小值的方法范文

[关键词]线性规划 目标函数 最值

简单线性规划是高中数学教学的新内容之一,是解决一些在线性约束条件下的线性目标函数的最值(最大值或最小值)的问题。它是运筹学的一个重要内容,对于形成最优化思想有着重要的作用,并且在实际生产活动中也有着广泛的应用,可以实现对资源的最佳利用。简单线性规划只能解决一些二元线性约束下条件下的二元函数的最值问题,但它的思想可以延伸到其他的数学最值问题的求解过程中。

简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下,通过数形结合求函数的最值。解决问题时主要是借助平面图形,运用这一思想能够比较有效地解决一些二元函数的最值问题。本文将从规划思想出发来探讨一些高中数学中一些常见的函数最值问题。

一、线性约束条件下线性函数的最值问题

线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题,它的线性约束条件是一个二元一次不等式组,目标函数是一个二元一次函数,可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域,区域内的各点的点坐标(x,y)即简单线性规划的可行解,在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(x,y)即简单线性规划的最优解。

目标函数:z=2x+y,是关于x,y的一个二元一次函数;

可行域:是指由直线x-4y=-3,3x+5y=25和x=1所围成的一个三角形区域(包括边界)U(如图1);

可行解:所有满足(x,y)∈U(即三角形区域内(包括边界)的点的坐标)实数x,y都是可行解;

最优解:(x,y)∈U,即可行域内一点(x,y),使得一组平行线x+y-z=0(z为参数)中的z取得最大值和最小值时,所对应的点的坐标(x,y)就是线性规划的最优解。

当线性约束条件中的二元一次不等式组中出现一个二元一次方程(或一元一次方程)时,则可行域就转变成一条线段(或一条直线,或一条射线)。

这类问题的解决,关键在于能够正确理解线性约束条件所表示的几何意义,并画出其图形,利用简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最大值或最小值。

二、非线性约束条件下线性函数的最值问题

高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。它们的约束条件是一个二元不等式组,目标函数是一个二元一次函数,可行域是直线或曲线所围成的图形(或一条曲线段),区域内的各点的点坐标(x,y)即可行解,在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(x,y)即最优解。

例2 已知x,y满足,x2+y2=4,求3x+2y的最大值和最小值约束条件:x2+y2=4,是关于x,y的一个二元二次方程;目标函数:z=3x+2u,是关于x,y的一个二元一次函数;可行域:是圆x2+y2=4上的圆周U(如图2)

可行解:所有满足(x,y)∈U(即圆周上的点的坐标)实数x.u都是可行解;

最优解:(x,y)∈U,即可行域内一点(x,y),使得一组平行线3x+2y-z=0(z为参数)中的z取得最大值和最小值时,所对应的点的坐标(x,y)就是线性规划的最优解。

这类问题的解决,关键在于能够正确理解非线性约束条件所表达的几何意义,并画出其图形,利用简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最大值或最小值。

三、线性约束条件下非线性函数的最值问题

这类问题也是高中数学中常见的问题,它也可以用线性规划的思想来进行解决。它的约束条件是一个二元一次不等式组,目标函数是一个二元函数,可行域是直线所围成的图形(或一条线段),区域内的各点的点坐标(x,y)即可行解,在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(x,y)即最优解。

目标函数:z=x2+y2-4x-4y+8是一个关于x,y的一个二元二次函数,可以看作是一点(x,y)到点(2,2)的距离的平方;

可行域:是指由直线x+y-1=0,x-y+1=0和y=-1所围成的一个三角形区域(包括边界)U(如图3);

可行解:所有满足(x,y)∈U(即三角形区域(包括边界)内的点的坐标)实数x,y都是可行解;

最优解:(x,y)∈U,即可行域内一点(x,y),使得它到点(2,2)的距离最小,则其距离的平方也取得最小值,此时所对应的点的坐标(x,y)就是最优解。

这类问题的解决,关键在于能够正确理解非线性目标函数所表示的几何意义,并利用图形及非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最小值。

四、非线性约束条件下非线性函数的最值问题

在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决,它的约束条件是一个二元不等式组,目标函数也是一个二元函数,可行域是由曲线或直线所围成的图形(或一条曲线段),区域内的各点的点坐标(x,y)即可行解,在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(x,y)即最优解。

约束条件:y=1-x2是一个关于x,y的一个二元方程;目标函数:z=yx+2是一个关于x,y的一个二元函数,可以看作是一点(x,y)与点(-2,0)的斜率;

可行域:以原点为圆心,1为半径的在x轴上方的半圆及与x轴的交点U(如图4);

可行解:所有满足(x,y)∈U(即半圆(包括交点)上的点的坐标)实数x,y都是可行解;

最优解:(x,y)∈U,即可行域内一点(x,y),使得它与点(-2,0)的斜率取得最大值和最小值,此时所对应的点的坐标(x,y)就是最优解。

第3篇：高中数学求最小值的方法范文

【关键词】高中数学 数学思维 障碍

一、高中学生数学思维障碍的形成原因

一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的实际情况（即基础）或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的“媒介点”时，这些新知识就会被排斥或经“校正”后吸收。因此，如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利“交接”，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。

二、高中数学思维障碍的具体表现

由于高中数学思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别，所以，高中数学思维障碍的表现各异，具体的可以概括为：

1.数学思维的肤浅性：由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。

2.数学思维的差异性：由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点，因此不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不会完全相同，从而导致学生对数学知识理解的偏颇。这样，学生在解决数学问题时，一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决。

3.数学思维定势的消极性：由于高中学生已经有相当丰富的解题经验，因此，有些学生往往对自己的某些想法深信不疑，很难使其放弃一些陈旧的解题经验，思维陷入僵化状态，不能根据新的问题的特点作出灵活的反应，常常阻抑更合理有效的思维甚至造成歪曲的认识。如刚学立体几何时，一提到两直线垂直，学生马上意识到这两直线必相交，从而造成错误的认识。

由此可见，学生数学思维障碍的形成，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以，在平时的数学教学中注重突破学生的数学思维障碍就显得尤为重要。

三、高中学生数学思维障碍的突破

1.在高中数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的意志品质；同时要培养学生学习数学的兴趣。

兴趣是最好的老师，学生对数学学习有了兴趣，才能产生数学思维的兴奋灶，也就是更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种“跳一跳，就能摸到桃”的感觉，提高学生学好高中数学的信心。

例：高一年级学生刚进校时，一般我们都要复习一下二次函数的内容，而二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法学生普遍感到比较困难，为此我作了如下题型设计，对突破学生的这个难点问题有很大的帮助，而且在整个操作过程中，学生普遍（包括基础差的学生）情绪亢奋，思维始终保持活跃。设计如下：

1〉求出下列函数在x∈[0，3]时的最大、最小值：(1)y=（x－1）2＋1，(2)y=（x＋1）2＋1，(3)y=（x－4）2＋1

2〉求函数y=x2－2ax＋a2＋2，x∈[0，3]时的最小值。

3〉求函数y=x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]的最小值。

上述设计层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调动了学生学习的积极性，提高了课堂效率。

2.重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应用能力的评价，数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，至于做得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合理，有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。提高学生的数学意识是突破学生数学思维障碍的一个重要环节。

3.诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用。在高中数学教学中，我们不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。

第4篇：高中数学求最小值的方法范文

关键词 高中数学 思维障碍

高中数学的数学思维虽然并非总等于解题，但我们可以这样讲，高中学生的数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础上的；发展高中学生数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。

一、高中学生数学思维障碍的形成原因

根据布鲁纳的认识发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个课程中，个体的学是要通过已知的内部认知结构，对"从外到内"的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的"媒介点"，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。但是这个过程并非总是一次性成功的。一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的实际情况（即基础）或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的"媒介点"时，这些新知识就会被排斥或经"校正"后吸收。

因此，如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利"交接"，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。

二、高中学生数学思维障碍的突破

1.在高中数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的意志品质；同时要培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生对数学学习有了兴趣，才能产生数学思维的兴奋灶，也就是更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种"跳一跳，就能摸到桃"的感觉，提高学生学好高中数学的信心。

例：高一年级学生刚进校时，一般我们都要复习一下二次函数的内容，而二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法学生普遍感到比较困难，为此我作了如下题型设计，对突破学生的这个难点问题有很大的帮助，而且在整个操作过程中，学生普遍（包括基础差的学生）情绪亢奋，思维始终保持活跃。设计如下：

1〉求出下列函数在x∈[0，3]时的最大、最小值：（1）y=（x-1）2+1，（2）y=（x+1）2+1，（3）y=（x-4）2+1

2〉求函数y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]时的最小值。

3〉求函数y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。

上述设计层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调动了学生学习的积极性，提高了课堂效率。

2.重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。

数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应用能力的评价，数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，至于做得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合理，有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。

3.诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用。

在高中数学教学中，我们不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。

使学生暴露观点的方法很多。例如，教师可以与学生谈心的方法，可以用精心设计的诊断性题目，事先了解学生可能产生的错误想法，要运用延迟评价的原则，即待所有学生的观点充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解决不彻底。有时也可以设置疑难，展开讨论，疑难问题引人深思，选择学生不易理解的概念，不能正确运用的知识或容易混淆的问题让学生讨论，从错误中引出正确的结论，这样学生的印象特别深刻。而且通过暴露学生的思维过程，能消除消极的思维定势在解题中的影响。当然，为了消除学生在思维活动中只会"按部就班"的倾向，在教学中还应鼓励学生进行求异思维活动，培养学生善于思考、独立思考的方法，不满足于用常规方法取得正确答案，而是多尝试、探索最简单、最好的方法解决问题的习惯，发展思维的创造性也是突破学生思维障碍的一条有效途径。

第5篇：高中数学求最小值的方法范文

[关键词]数学思维 数学思维障碍

[中图分类号]G427 [文献标识码]A [文章编号]1006-5962（2013）05（a）-0116-01

在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很“明白”，但到自己解题时，总感到困难重重，无从人手；有时，在课堂上待我们把某一问题分析完时，常常看到学生拍脑袋：“唉，我怎么会想不到这样做呢？”事实上，有不少问题的解答，同学发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异，也就是说，这时候，学生的数学思维存在着障碍。

1.高中学生数学思维障碍的形成原因

根据布鲁纳的认识发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个课程中，个体的学是要通过已知的内部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的“媒介点”，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。但是这个过程并非总是一次性成功的。一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的实际情况（即基础）或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的“媒介点”时，这些新知识就会被排斥或经“校正”后吸收。

因此，如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利“交接”，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。

2.高中学生数学思维障碍的突破

1）在高中数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的意志品质；教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种“跳一跳，就能摸到桃”的感觉，提高学生学好高中数学的信心。

例：高一年级学生刚进校时，一般我们都要复习一下二次函数的内容，而二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法学生普遍感到比较困难，为此我作了如下题型设计，对突破学生的这个难点问题有很大的帮助，而且在整个操作过程中，学生普遍（包括基础差的学生）情绪亢奋，思维始终保持活跃。设计如下：

（1）求出下列函数在x∈[0，3]时的最大、最小值：（1）y=（x-1）2+1，（2）y=（x+1）2+1，（3）y=（x-4）2+1

（2）求函数y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]时的最小值。

（3）求函数y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。

上述设计层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调动了学生学习的积极性，提高了课堂效率。

2）重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应用能力的评价，数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，至于做得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合理，有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性，熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。如：设x2+y2=25，求u=的取值范围。

若采用常规的解题思路，u的取值范围不大容易求，但适当对u进行变形：转而构造几何图形容易求得u∈[6，6]，这里对u的适当变形实际上是数学的转换意识在起作用。因此，在数学教学中只有加强数学意识的教学，如“因果转化意识”“类比转化意识”等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识是突破学生数学思维障碍的一个重要环节。

3）诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用。在高中数学教学中，我们不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。

第6篇：高中数学求最小值的方法范文

关键词：高中数学　课堂教学　教学语言　教学效果

在高中数学课堂教学中，教学语言与课堂教学效果有密切的关系。苏霍姆林斯基说：“教师高度的语言修养，在极大程度上决定着学生在课堂上脑力劳动的效率。”从某种意义上说，高效课堂的实施首先是教师课堂教学语言技能的提升，数学知识的传递、学生接受知识情况的反馈、师生间的情感交流等都必须依靠教学语言。教师的教学语言是有感情的，它可以以情动人、以情感人，激发学生思维，促使学生深度思考，给学生以力量、信心和克服困难的勇气。但教学语言不能仅仅来源于教师自己的思考，它更应该来源于学生，使大多数学生易于接受的教学语言才是好的教学语言。下面笔者浅谈一下对高中数学课堂教学语言的认识。

一、教学语言要严密准确，不能含糊其辞，误导学生

教师的语言必须科学准确，符合逻辑，这样不仅可以使学生获得清晰正确的知识，而且使学生受到严格的数学语言训练，形成一丝不苟、严谨治学的态度。

例如，在讲“等差数列”时，教师一定强调两点，其一，数列从第二项起，an-an-1=d（n≥2），因为a1没有前一项；其二，an-an-1=d（n≥2），d为与n无关的常数，若an-an-1=2n-1（n≥2），则数列{an}　不是等差数列，因为2n-1不是常数。

二、教学语言要生动形象，贴近生活，易于接受

所谓语言直观性，就是指语言的生动性、形象性，既活泼、有趣、逼真，又深入浅出、易于接受。语言直观最好的形式就是“打比喻”，教师能深入浅出地选用一些富有情趣的比喻，化抽象为具体，变枯燥为趣味，降低学生思维的难度，就可以提高学生的学习积极性。

例.设函数f（x）＝■－■，[x]表示不超过x的最大整数，求函数y＝[f（x）]的值域。

解析：教师在解释[x]时，可以这样说，[x]表示下取整函数，就像买菜，价格11块3，给11元就行了；价格11块9，也给11元，即小数点后的都省略。教师要随即扩充知识，还有一类函数是上取整函数，　表示不低于x的最小整数，即上取整函数，如手机计时收费，不足一分钟的按一分钟收费，[5.6]=6，[6.1]=7。上取整与下取整都区别于以前的四舍五入。

三、教学语言要有高度的概括性，为学生学习指明方向

教学语言不仅要精炼准确，而且要能高度概括本节课的主要内容，促使学生准确把握所学的新知识，并对以后要学习的内容产生期待，争取达到“课已尽，趣未尽”的效果。

例如，在讲导数内容时，教师要强调区分“恒成立问题”与“存在问题”：a≥f（x）在定义域上恒成立，即a≥f（x）的最大值；a≤f（x）在定义域上恒成立，即a≤f（x）的最小值。而存在问题正好相反，若存在x0使a≥f（x0）成立，即a≥f（x）的最小值，存在x0使a≤f（x0）成立，即a≤f（x）的最大值。将导数中的“恒成立问题”与“存在问题”转化为求最值问题，避免对含参不等式的讨论，简化运算，是一种很实用的解题方法。

四、教学语言要有启发性，以激发学生思考

启发性的教学语言可以引发学生积极思考，帮助学生打开思路，加深理解教学内容。所以，教师在课堂授课时，应注意创设问题情境，尽量使用简单且能激发学生思维的语言，尤其当有学生表示对教师所讲知识有不同见解时，教师应让其表明立场、共同分析，促使学生在回答问题时感到由衷的满足并获得知识的提升，主动参与到课堂的研讨之中。

例.已知f（？兹）=■sin？兹+cos？兹，？兹∈[0，■]求f（？兹）的最大值与最小值。

当化简f（？兹）=2sin（？兹+■）后，“因为？兹∈[0，■]，现在我把0代入f（？兹）可得最小值，把■代入f（？兹）可得最大值。”教师诱导学生发现问题。

“不行。”很多学生都看出了问题。

“为什么不行，你们不是常用代值法吗！”

“f（？兹）在[0，■]上不是单调函数。”

“对，函数在区间上如果不是单调函数，就不能用代端点值求值域，应画图求值域。”教师在黑板板演正确解法。

五、赞扬、激励性的语言会让课堂教学充满活力

教师可通过激励性的语言对学生进行评价，不失时机地给不同层次的学生以充分的肯定、鼓励和赞扬，使学生在心理上获得自尊、自信和成功的体验，帮助学生认识自我、建立自我。

例如，当学生回答对问题后，教师应夸奖学生，“非常好，听课很认真”“解法很独特，很新颖”“分析得很有条理，该注意的地方都注意到了”“反应很快，思维很敏捷”；当学生答题出错时，教师不能挖苦、讽刺，而应鼓励其继续思考，“再想想，大方向对了，但分析得还不够透彻，细节没注意到”“没关系，大胆地说，这个问题一定难不倒你”。

第7篇：高中数学求最小值的方法范文

关键词：新课改；高中数学；教学方法；研究分析

高中数学属于一门自然学科，它与人们的生产生活息息相关，在现实生活中解决很多问题都需要数学思维，因此学校应该重视高中数学教学，创新高校数学教学模式、优化高中数学教学方法，从而培养学生的创新思维，提高高中数学的整体教学质量和水平。

一、新课改下高中数学教学的研究的重要意义

一方面，通过对新课改下高中数学教学的研究，有利于学生主动去分析问题、思考问题、解决问题，在高中数学学习的过程中，新课改下高中数学教学研究的重要意义就在于能够提高学生学习和做题的效率，学生通过逆向思维推导能够熟练掌握各类数学问题的问法，并且总结出规律，清晰的掌握解题思路，达到熟能生巧的境界。另一方面，通过对新课改下高中数学教学的研究，不仅能够有效提高高中数学教学的质量和水平，同时还能优化高中数学教学结果，从而提高学生的数学整体水平。

二、新课改下高中数学教学现状以及存在的问题

现阶段，虽然我国高中数学教学已经取得了一定的成果，并且有了实质性的突破，但在实际发展的过程中，仍然存在诸多问题，具体表现如下：

（一）高中数学教学模式单一。与初中数学教学相比，高中数学的难度更高，设计的知识面也较为广泛，传统的高中数学教学主要是以教师为主体，学生始终处于被动接受和学习的地位，教师与学生之间毫无交流，学生只能通过死记硬背学习数学知识，导致学生的积极性和主动性无法提高。

（二）高中数学教学资源匮乏。高中数学教学资源十分有限，学生只能通过学习数学课本知识进行学习，教师在进行课堂教学的过程中，一味的书写黑板，罗列各种数学知识点，学生每天抄袭黑板，死记硬背。教师在教学的过程中没有与生活实际相结合，一味注重理论的讲授，而忽视了实践教学的重要性，没有给学生思考的空间。

（三）高中数学教学自身素质有待提高。很多高中数学教师自身素质和专业化水平程度不高，只是通过了教师资格证考试，但没有进行实际讲课考核，这导致很多高中数学教师的能力有限，不能深入的对数学教材进行讲解，数学基本知识掌握的不扎实、不到位，从而直接影响了数学教学效果的实现[1]。

三、新课改下提高高中数学教学水平的有效策略

（一）创新高中数学教学模式。学校应该创新高中数学教学模式，采用不同种类的教学方法，激发学生学习数学的热情和信心，采用兴趣教学法、案例教学法、探究教学法等多种方法，培养学生的创新思维。例如：在高中数学教学中涉及这样一道问题：已知，圆X2+Y2=25，点N（5，0），过点N作出一条弦CD，求三角形0CD的最小值。这道经典例题主要有三种方法，（1）作出一条直线CD的倾斜角表示三角形OCD，然后用这种方法进行计算，求结果的话计算量十分大。（2）从点O作出一条到CD的距离为，标记点为M，然后根据直角三角形OCM中的勾股定理，先求出半弦长，求三角形OCD的面积这种方法教学简单。（3）利用正余弦定理，设角COD为90°的时候，三角形OCD的面积最小，这种方法是最简单的。由此可见，学校应该做到与时俱进、开拓创新，在实践的基础上创新，在创新的基础上实践，通过让学生学习不同的解题思路，培养学生的创新思维和想象能力，使其真正爱上数学学习。

（二）丰富高中数学教学资源。在高中数学教学的过程中，学校可以引进先进的教学设备，例如：多媒体设备、电子交互白板等先进技术，从而丰富高中数学教学资源，提高高中数学教学的质量和水平。如在学习《匀速直线运动》这一课程的时候，教师可以先用多媒体技术展示蜗牛爬行速度、运动员跑步速度、火车运行速度等，然后让学生理解速度这一含义，用V表示，得出S（距离）=V（速度）t（时间）的等量关系，然后解决实际数学中的水流问题、船速问题、路程问题、追击问题等内容，让学生能够举一反三，提高学生的创新能力[2]。

（三）提高高中教学自身素质。教师应该转变自身教学方法和教学观念，树立学生是课堂主体的教学理念，重视学生在整个数学课堂教学中的重要性和必要性，从而努力提高学生的创新能力，教师应该与学生之间多进行互动交流， 将快速的解题方法传授给学生，培养学生的创新思维。与此同时，学校应该组织对教师进行二次培训，努力提高其自身素质和专业化水平。

综上所述，新课改下提高高中数学教学水平其优势是显而易见的，不仅能够提高高中数学教学的整体质量和水平，同时还能优化高中数学教学效果。总之，新课改下提高高中数学教学水平需要三者的共同努力，只有这样才能使学生真正爱上学习数学！

参考文献：

第8篇：高中数学求最小值的方法范文

【关键词】数学思维；数学思维障碍

思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的规律性。所谓高中学生数学思维，是指学生在对高中数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握高中数学内容而且能对具体的数学问题进行推论与判断，从而获得对高中数学知识本质和规律的认识能力。高中数学的数学思维虽然并非总等于解题，但我们可以这样讲，高中学生的数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、定理、公式理解的基础上的；发展高中学生数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。然而，在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很“明白”，但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手；有时，在课堂上待我们把某一问题分析完时，常常看到学生拍脑袋：“唉，我怎么会想不到这样做呢？”事实上，有不少问题的解答，同学发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异，也就是说，这时候，学生的数学思维存在着障碍。这种思维障碍，有的是来自于我们教学中的疏漏，而更多的则来自于学生自身，来自于学生中存在的非科学的知识结构和思维模式。因此，研究高中学生的数学思维障碍对于增强高中学生数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。

1. 高中学生数学思维障碍的形成原因 根据布鲁纳的认识发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个课程中，个体的学是要通过已知的内部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的“媒介点”，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。但是这个过程并非总是一次性成功的。一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的实际情况（即基础）或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的“媒介点”时，这些新知识就会被排斥或经“校正”后吸收。因此，如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利“交接”，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。

2. 高中数学思维障碍的具体表现 由于高中数学思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别，所以，高中数学思维障碍的表现各异，具体的可以概括为：

（1）数学思维的肤浅性：由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。由此而产生的后果：1〉学生在分析和解决数学问题时，往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯，不注重变换思维的方式，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法。例如在课堂上我曾要求学生证明：如| a |≤1，| b |≤1，则 。让学生思考片刻后提问，有相当一部分的同学是通过三角代换来证明的（设a=cosα，b=sinα），理由是| a |≤1， | b |≤1（事后统计这样的同学占到近20%）。这恰好反映了学生在思维上的肤浅，把两个毫不相干的量（a，b）建立了具体的联系。2〉缺乏足够的抽象思维能力，学生往往善于处理一些直观的或熟悉的数学问题，而对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质，转化为已知的数学模型或过程去分析解决。

例：已知实数x、y满足 ，则点P（x ， y）所对应的轨迹为（ ）（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线。在复习圆锥曲线时，我拿出这个问题后，学生一着手就简化方程，化简了半天还看不出结果就再找自己运算中的错误（怀疑自己算错），而不去仔细研究此式的结构 进而可以看出点P到点（1，3）及直线x+y+1=0的距离相等，从而其轨迹为抛物线。

（2）数学思维的差异性：由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点，因此不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不会完全相同，从而导致学生对数学知识理解的偏颇。这样，学生在解决数学问题时，一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决。如非负实数x，y满足x+2y=1，求x2+y2的最大、最小值。在解决这个问题时，如对x、y的范围没有足够的认识（0≤x≤1，0≤y≤1/2），那么就容易产生错误。另一方面学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成障碍。如函数y= f （x）满足f（2+x）=f（2-x）对任意实数x都成立，证明函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称.对于这个问题，一些基础好的同学都不大会做（主要反映写不清楚），我就动员学生看书，在函数这一章节中找相关的内容看，待看完奇、偶函数、反函数与原函数的图象对称性之后，学生也就能较顺利的解决这一问题了。

（3）数学思维定势的消极性：由于高中学生已经有相当丰富的解题经验，因此，有些学生往往对自己的某些想法深信不疑，很难使其放弃一些陈旧的解题经验，思维陷入僵化状态，不能根据新的问题的特点作出灵活的反应，常常阻抑更合理有效的思维甚至造成歪曲的认识。如：z∈c，则复数方程 所表示的轨迹是什么？可能会有不少学生不假思索的回答是椭圆，理由是根据椭圆的定义。又如刚学立体几何时，一提到两直线垂直，学生马上意识到这两直线必相交，从而造成错误的认识。

由此可见，学生数学思维障碍的形成，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以，在平时的数学教学中注重突破学生的数学思维障碍就显得尤为重要。

3. 高中学生数学思维障碍的突破 （1）在高中数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的意志品质；同时要培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生对数学学习有了兴趣，才能产生数学思维的兴奋灶，也就是更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种“跳一跳，就能摸到桃”的感觉，提高学生学好高中数学的信心。

例：高一年级学生刚进校时，一般我们都要复习一下二次函数的内容，而二次函数中最大、最小值尤其是含参数的二次函数的最大、小值的求法学生普遍感到比较困难，为此我作了如下题型设计，对突破学生的这个难点问题有很大的帮助，而且在整个操作过程中，学生普遍（包括基础差的学生）情绪亢奋，思维始终保持活跃。设计如下：

1〉求出下列函数在x∈[0，3]时的最大、最小值：（1）y=（x-1）2+1，（2）y=（x+1）2+1，（3）y=（x-4）2+1

2〉求函数y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]时的最小值。

3〉求函数y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值。

上述设计层层递进，每做完一题，适时指出解决这类问题的要点，大大地调动了学生学习的积极性，提高了课堂效率。

（2）重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应用能力的评价，数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，至于做得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合理，有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。如：设x2+y2=25，求u= 的取值范围。若采用常规的解题思路，μ的取值范围不大容易求，但适当对u进行变形： 转而构造几何图形容易求得u∈[6，6]，这里对u的适当变形实际上是数学的转换意识在起作用。因此，在数学教学中只有加强数学意识的教学，如“因果转化意识”“类比转化意识”等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识是突破学生数学思维障碍的一个重要环节。

（3）诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用。在高中数学教学中，我们不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。

例如：在学习了“函数的奇偶性”后，学生在判断函数的奇偶性时常忽视定义域问题，为此我们可设计如下问题：判断函数 在区间[2 6，2a]上的奇偶性。不少学生由f（x）=f（x）立即得到f（x）为奇函数。教师设问：①区间[2 6，2a]有什么意义？②y=x2一定是偶函数吗？通过对这两个问题的思考学生意识到函数 只有在a=2或a=1即定义域关于原点对称时才是奇函数。

使学生暴露观点的方法很多。例如，教师可以与学生谈心的方法，可以用精心设计的诊断性题目，事先了解学生可能产生的错误想法，要运用延迟评价的原则，即待所有学生的观点充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解决不彻底。有时也可以设置疑难，展开讨论，疑难问题引人深思，选择学生不易理解的概念，不能正确运用的知识或容易混淆的问题让学生讨论，从错误中引出正确的结论，这样学生的印象特别深刻。而且通过暴露学生的思维过程，能消除消极的思维定势在解题中的影响。当然，为了消除学生在思维活动中只会“按部就班”的倾向，在教学中还应鼓励学生进行求异思维活动，培养学生善于思考、独立思考的方法，不满足于用常规方法取得正确答案，而是多尝试、探索最简单、最好的方法解决问题的习惯，发展思维的创造性也是突破学生思维障碍的一条有效途径。

当前，素质教育已经向我们传统的高中数学教学提出了更高的要求。但只要我们坚持以学生为主体，以培养学生的思维发展为己任，则势必会提高高中学生数学教学质量，摆脱题海战术，真正减轻学生学习数学的负担，从而为提高高中学生的整体素质作出我们数学教师应有的贡献。

参考文献

[1] 任樟辉《数学思维论》（90年9月版）

第9篇：高中数学求最小值的方法范文

一、在高中数学起始教学中,必须着重了解和掌握学生的基础知识状况

在讲解新知识时,要严格遵循学生认知发展的阶段性特点,照顾到学生认知水平的个性差异,培养学生学习数学的兴趣。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性,针对不同学生的实际情况,因材施教,分别给他们提出新的更高的奋斗目标,提高学生学好高中数学的信心。

如:高一年级学生刚进校时,一般我们都要复习一下二次函数的内容,而对二次函数中最大、最小值尤其是对含参数的二次函数的最大、最小值的求法,学生普遍感到比较困难。为此我作了如下题型设计:

(1)求出下列函数在x∈[0,3]时的最大、最小值:①y=(x-1)2+1,②y=(x+1)2+1,③y=(x-4)2+1

(2)求函数y=x2-2ax+a+2,x∈[0,3]时的最小值。

(3)求函数y=x2-2x+2,x∈[t,t+1]的最小值。

上述设计层层递进,每做完一题,适时指出解决这类问题的要点,大大地调动了学生学习的积极性。

二、重视数学思想方法的教学,指导学生提高数学意识

数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择,它既不是对基础知识的具体应用,也不是对应用能力的评价,是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做。至于做得好坏,当属技能问题,有时一些技能问题不是学生不懂,而是不知怎么做才合理,有的学生面对数学问题,首先想到的是套那个公式,模仿那道做过的题目求解,对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手,无法解决,这是数学意识落后的表现。

数学教学中,在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时,我们应该加强数学意识教学,指导学生以意识带动双基,将数学意识渗透到具体问题之中。如:设x2+y2=25,x+y=u,求u的取值范围。若采用常规的解题思路,u的取值范围不大容易求,但适当对u进行变形,转而构造几何图形容易求得这里对u的适当变形实际上是数学的转换意识在起作用。因此,在数学教学中只有加强数学意识的教学,如“因果转化意识”“类比转化意识”等的教学,才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。

三、诱导学生暴露其原有的思维框架,消除思维定势的消极作用

在高中数学教学中,我们不仅仅是传授数学知识,培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架,包括结论、例证、推论等,对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。

例如:在学习了“函数的奇偶性”后,学生在判断函数的奇偶性时常忽视定义域问题,为此我们可设计如下问题:判断函数在区间[2,6]上的奇偶性。不少学生由f(-x)=

-f(x)立即得到f(x)为奇函数。教师设问:①区间[2,6]有什么意义?②y=x。一定是偶函数吗?通过对这两个问题的思考学生意识到函数只有在定义域关于原点对称时才讨论奇偶性。