高三数学专题讲解精选(九篇)

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第1篇：高三数学专题讲解范文

立体几何

第二十三讲

空间中点、直线、平面之间的位置关系

2019年

1.(2019全国III文8）如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则

A．BM=EN，且直线BM、EN

是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN

是相交直线

C．BM=EN，且直线BM、EN

是异面直线

D．BM≠EN，且直线BM，EN

是异面直线

2.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求点C到平面C1DE的距离．

3.（2019全国II文7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

4.（2019北京文13）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①lm；②m∥；③l．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

5.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．

求证：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BEC1E．

6.（2019全国II文17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.

（1）证明：BE平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．

7.(2019全国III文19）图1是由矩形ADEB、ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；

（2）求图2中的四边形ACGD的面积.

8.（2019北京文18）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．

（Ⅰ）求证：BD平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．

9.（2019天津文17）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

10.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．

求证：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BEC1E．

11.（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.

（1）证明：；

（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

12.（2019北京文18）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．

（Ⅰ）求证：BD平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．

13.（2019全国1文16）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．

14.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求点C到平面C1DE的距离．

15.（2019天津文17）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

16.（2019浙江8）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P-AC-B的平面角为γ，则

A．β

B．β

C．β

D．α

17.（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.

（1）证明：；

（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

2010-2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅱ)在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为

A．

B．

C．

D．

2．(2018浙江)已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．（2017新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是

4．（2017新课标Ⅲ）在正方体中，为棱的中点，则

A．

B．

C．

D．

5．（2016年全国I卷）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，∥平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1

A1=n，则m，n所成角的正弦值为

A．

B．

C．

D．

6．（2016年浙江）已知互相垂直的平面

交于直线l．若直线m，n满足m∥α，nβ，则

A．m∥l

B．m∥n

C．nl

D．mn

7．（2015新课标1）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A．斛

B．斛

C．斛

D．斛

8．（2015新课标2）已知、是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为

A．

B．

C．

D．

9．（2015广东）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是

A．与，都不相交

B．与，都相交

C．至多与，中的一条相交

D．至少与，中的一条相交

10．（2015浙江）如图，已知，是的中点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则

11．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是

A．

B．

C．既不垂直也不平行

D．的位置关系不确定

12．（2014浙江）设是两条不同的直线，是两个不同的平面

A．若，，则

B．若，则

C．若则

D．若，，，则

13．（2014辽宁）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是

A．若则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

14．（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成角）。若，，则的最大值

A．

B．

C．

D．

15．（2014四川）如图，在正方体中，点为线段的中点。设点在线段上，直线

与平面所成的角为，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．

16．（2013新课标2）已知为异面直线，平面，平面．直线满足，，则

A．且

B．且

C．与相交，且交线垂直于

D．与相交，且交线平行于

17．（2013广东）设是两条不同的直线,是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A．若,,,则

B．若,,,则

C．若,,,则

D．若,,,则

18．（2012浙江）设是直线，是两个不同的平面

A．若∥，∥，则∥

B．若∥，，则

C．若，，则

D．若,

∥，则

19．（2012浙江）已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，

A．存在某个位置，使得直线与直线垂直

B．存在某个位置，使得直线与直线垂直

C．存在某个位置，使得直线与直线垂直

D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直

20．（2011浙江）下列命题中错误的是

A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面

B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

C．如果平面，平面，，那么

D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面

21．（2010山东）在空间，下列命题正确的是

A．平行直线的平行投影重合

B．平行于同一直线的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行

D．垂直于同一平面的两条直线平行

二、填空题

22．(2018全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为_____．

三、解答题

23．（2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥中，，

，为的中点．

(1)证明：平面；

(2)若点在棱上，且，求点到平面的距离．

24．（2018全国卷Ⅲ）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

(1)证明：平面平面；

(2)在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．

25．（2018北京）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，=，，分别为，的中点．

(1)求证：；

(2)求证：平面平面；

(3)求证：∥平面．

26．（2018天津）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，．

(1)求证：；

(2)求异面直线与所成角的余弦值；

(3)求直线与平面所成角的正弦值．

27．(2018江苏)在平行六面体中，，．

求证：(1)平面；

(2)平面平面．

28．(2018浙江)如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成的角的正弦值．

29．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，．

(1)证明：直线∥平面；

(2)若的面积为，求四棱锥的体积。

30．（2017新课标Ⅲ）如图，四面体中，是正三角形，．

(1)证明：；

(2)已知是直角三角形，．若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比．

31．（2017天津）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．

（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

32．（2017山东）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面，

（Ⅰ）证明：∥平面；

（Ⅱ）设是的中点，证明：平面平面．

33．（2017北京）如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）当∥平面时，求三棱锥的体积．

34．（2017浙江）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．

（Ⅰ）证明：∥平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

35．（2017江苏）如图，在三棱锥中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD．

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）ADAC．

36．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm．

分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．

现有一根玻璃棒，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；

（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．

37．（2016年山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：ACFB；

（II）已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.

38．（2016年天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.

(Ⅰ)求证：FG平面BED；

(Ⅱ)求证：平面BED平面AED；

(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.

39．（2016年全国I卷）如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点，连结并延长交于点．

（I）证明：是的中点；

（II）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四面体的体积．

40．（2016年全国II卷）如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，，交于点，将沿折到的位置.

(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)若,求五棱锥体积．

41．（2016年全国III卷）如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．

（Ⅰ）证明平面；

（Ⅱ）求四面体的体积．

42．（2015新课标1）如图四边形为菱形，为与交点，平面．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．

43．（2015新课标2）如图，长方体中，，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（Ⅱ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．

44．（2014山东）如图，四棱锥中，，，

分别为线段的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：．

45．(2014江苏)如图，在三棱锥中，，E，F分别为棱的中点．已知，

求证：（Ⅰ）直线平面；

（Ⅱ）平面平面．

46．（2014新课标2）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．

（Ⅰ）证明：∥平面；

（Ⅱ）设二面角为60°，=1，=，求三棱锥的体积．

47．（2014天津）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,,,分别是棱,的中点．

（Ⅰ）证明:

平面；

（Ⅱ）若二面角为，

（ⅰ）证明：平面平面；

（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

48．（2013浙江）如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．

（Ⅰ）证明：BD面APC

；

（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值；

（Ⅲ）若G满足PC面BGD，求

的值．

49．（2013辽宁）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设为的中点，为的重心，求证：平面．

50．（2012江苏）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点D不同于点C），且为的中点．

求证：（Ⅰ）平面平面；

（Ⅱ）直线平面．

51．(2012广东)如图所示，在四棱锥中，平面，，是中点，是上的点，且，为中边上的高．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若，求三棱锥的体积；

（Ⅲ）证明：平面．

52．（2011江苏）如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点．

求证：（Ⅰ）直线EF∥平面PCD；

（Ⅱ）平面BEF平面PAD．

53．（2011广东）如图，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2，E，F分别是BC,PC的中点．

（Ⅰ）证明：AD平面DEF；

（Ⅱ）求二面角P-AD-B的余弦值．

54．（2010天津）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面，∥，=1，=，∠＝∠＝45°．

（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）证明平面；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

55．（2010浙江）如图，在平行四边形中，=2，∠=120°．为线段的中点，将沿直线翻折成，使平面平面，为线段的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）设为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值．

专题八

立体几何

第二十三讲

空间中点、直线、平面之间的位置关系

答案部分

2019年

2019年

1.解析

如图所示，联结，.

因为点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，所以平面，平面，因为是中边上的中线，是中边上的中线，直线，是相交直线，设，则，，

所以，，

所以．故选B．

2.解析

（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.

由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.

（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.

由已知可得，，所以DE平面，故DECH.

从而CH平面，故CH的长即为C到平面的距离，

由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.

从而点C到平面的距离为.

3.解析：对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或，排除；

对于B，内有两条相交直线与平行，则；

对于C，，平行于同一条直线，则与相交或，排除；

对于D，，垂直于同一平面，则与相交或，排除．

故选B．

4.解析

若②，过作平面，则，又③，则，又，同在内，所以①，即.

5.证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，

所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，

所以A1B1∥ED.

又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，

所以A1B1∥平面DEC1.

（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BEAC.

因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.

又因为BE⊂平面ABC，所以CC1BE.

因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，

所以BE平面A1ACC1.

因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BEC1E.

6.解：（1）由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，

故.

又，所以BE平面.

（2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知RtABE≌RtA1B1E，所以，故AE=AB=3，.

作，垂足为F，则EF平面，且.

所以，四棱锥的体积.

7.解析（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．

由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．

又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．

（2）取的中点，联结，.

因为，平面，所以平面，故.

由已知，四边形是菱形，且得，故平面.

因此.

在中，，，故.

所以四边形的面积为4.

8.解析（Ⅰ）因为平面ABCD，且平面，

所以．

又因为底面ABCD为菱形，所以．

又平面，平面，，

所以平面PAC．

（Ⅱ）因为PA平面ABCD，平面ABCD，

所以PAAE．

因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，

所以AECD．

又，所以ABAE．

又平面，平面，，所以AE平面PAB．

又平面，所以平面PAB平面．

（Ⅲ）棱PB上存在点F，且为的中点，使得CF∥平面PAE．

取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．

因为，分别为，的中点，则FG∥AB，且FG=AB．

因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，

所以CE∥AB，且CE=AB．

所以FG∥CE，且FG=CE．

所以四边形CEGF为平行四边形，

所以CF∥EG．

因为CF平面PAE，EG平面PAE，

所以CF∥平面PAE．

9.解析

（Ⅰ）连接，易知，.又由，故，又因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，，所以平面.

（Ⅲ）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角，

因为为等边三角形，且为的中点，所以.又，

故在中，.

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

10..证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，

所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，

所以A1B1∥ED.

又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，

所以A1B1∥平面DEC1.

（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BEAC.

因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.

又因为BE⊂平面ABC，所以CC1BE.

因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，

所以BE平面A1ACC1.

因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BEC1E.

11.（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC.

又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以，A1E平面ABC，则A1EBC.

又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BCA1F.

所以BC平面A1EF.

因此EFBC.

（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．

由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．

由（I）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，

所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.

连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.

不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2，EG=.

由于O为A1G的中点，故，

所以．

因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．

12.解析（Ⅰ）因为平面ABCD，且平面，

所以．

又因为底面ABCD为菱形，所以．

又平面，平面，，

所以平面PAC．

（Ⅱ）因为PA平面ABCD，平面ABCD，

所以PAAE．

因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，

所以AECD．

又，所以ABAE．

又平面，平面，，所以AE平面PAB．

又平面，所以平面PAB平面．

（Ⅲ）棱PB上存在点F，且为的中点，使得CF∥平面PAE．

取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．

因为，分别为，的中点，则FG∥AB，且FG=AB．

因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，

所以CE∥AB，且CE=AB．

所以FG∥CE，且FG=CE．

所以四边形CEGF为平行四边形，

所以CF∥EG．

因为CF平面PAE，EG平面PAE，

所以CF∥平面PAE．

13.

过点P作PO平面ABC交平面ABC于点O，

过点P作PDAC交AC于点D，作PEBC交BC于点E，联结OD，OC，OE，

则

所以又,

故四边形为矩形.

有所做辅助线可知，

所以，

所以矩形为边长是1的正方形，则.

在中，，所以.

即为点P到平面ABC的距离，即所求距离为.

14.解析

（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.

由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.

（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.

由已知可得，，所以DE平面，故DECH.

从而CH平面，故CH的长即为C到平面的距离，

由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.

从而点C到平面的距离为.

15.解析

（Ⅰ）连接，易知，.又由，故，又因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，，所以平面.

（Ⅲ）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角，

因为为等边三角形，且为的中点，所以.又，

故在中，.

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

16.解析：解法一：如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射影D在线段AO上，

作于E，易得，过P作于F，

过D作，交BG于H，

则，，，

则，可得；

，可得.

解法二：由最小值定理可得，记的平面角为(显然)，

由最大角定理可得；

解法三特殊图形法：设三棱锥为棱长为2的正四面体，P为VA的中点，

易得，可得，，，

故选B．

17.（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC.

又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以，A1E平面ABC，则A1EBC.

又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BCA1F.

所以BC平面A1EF.

因此EFBC.

（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．

由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．

由（I）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，

所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.

连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.

不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2，EG=.

由于O为A1G的中点，故，

所以．

因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．

2010-2018年

1．C【解析】如图，连接，因为，所以异面直线与所成角等于相交直线与所成的角，即．不妨设正方体的棱长为2，则，，由勾股定理得，又由平面，可得，

所以，故选C．

2．A【解析】若，，∥，由线面平行的判定定理知∥．若∥，，，不一定推出∥，直线与可能异面，故“∥”是“∥”的充分不必要条件．故选A．

3．A【解析】由正方体的线线关系，易知B、C、D中，所以平面，

只有A不满足．选A．

4．C【解析】如图，连结，易知平面，所以，又，所以平面，故，选C．

5．A【解析】因为过点的平面与平面平行，平面∥平面，所以∥∥，又∥平面，所以∥，则与所成的角为所求角，所以，所成角的正弦值为，选A．

6．C【解析】选项A，只有当或时，；选项B，只有当时；选项C，由于，所以；选项D，只有当或时，，故选C．

7．B【解析】由得圆锥底面的半径，所以米堆的体积，所以堆放的米有斛．

8．C【解析】三棱锥，其中为点到平面的距离，而底面三角形时直角三角形，顶点到平面的最大距离是球的半径，

故=，其中为球的半径，

所以，所以球的表面积．

9．D【解析】若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则至少与，中的一条相交，故选A．

10．B【解析】解法一

设，，则由题意知．

在空间图形中，连结，设=．

在中，．

过作，过作，垂足分别为．

过作，使四边形为平行四边形，则，

连结，则就是二面角的平面角，所以．

在中，，．

同理，，，故．

显然平面，故．

在中，．

在中，

=

，

所以

，

所以（当时取等号），

因为，，而在上为递减函数，

所以，故选B．

解法二

若，则当时，，排除D；当时，，，排除A、C，故选B．

11．D【解析】利用正方体模型可以看出，与的位置关系不确定．选D．

12．C【解析】选项中均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故选．

13．B【解析】对于选项A，若，则与可能相交、平行或异面，A错误；显然选项B正确；对于选项C，若，，则或，C错误；对于选项D，若，，则或或与相交，D错误．故选B．

14．D【解析】作，垂足为，设，则，

由余弦定理，

，

故当时，取得最大值，最大值为．

15．B【解析】直线与平面所成的角为的取值范围是，

由于，，

所以的取值范围是

16．D【解析】作正方形模型，为后平面，为左侧面

可知D正确．

17．D【解析】A中可能平行、垂直、也可能为异面；B中还可能为异面；C中

应与中两条相交直线垂直时结论才成立，选D．

18．B【解析】利用排除法可得选项B是正确的，∥，，则．如选项A：∥，∥时，或∥；选项C：若，，∥或；选项D：若,

，∥或．

19．B【解析】过点作，若存在某个位置，使得，则面，从而有，计算可得与不垂直，则A不正确；当翻折到时，因为，所以面，从而可得；若，因为，所以面，从而可得，而，所以这样的位置不存在，故C不正确；同理，D也不正确，故选B．

20．D【解析】对于D，若平面平面，则平面内的某些直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其余选项易知均是正确的．

21．D【解析】两平行直线的平行投影不一定重合，故A错；由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知、均错误，故选D．

22．【解析】由题意画出图形，如图，

设是底面圆的直径，连接，则是圆锥的高，设圆锥的母线长为，

则由，的面积为8，得，得，在中，

由题意知，所以，．

故该圆锥的体积．

23．【解析】(1)因为，为的中点，所以，且．

连结．因为，所以为等腰直角三角形，

且，．

由知，．

由，知平面．

(2)作，垂足为．又由(1)可得，所以平面．

故的长为点到平面的距离．

由题设可知，，．

所以，．

所以点到平面的距离为．

24．【解析】(1)由题设知，平面平面，交线为．

因为，平面，所以平面，故．

因为为上异于，的点，且为直径，所以

．

又=，所以平面．

而平面，故平面平面．

(2)当为的中点时，∥平面．

证明如下：连结交于．因为为矩形，所以为中点．

连结，因为为

中点，所以∥．

平面，平面，所以∥平面．

25．【解析】(1)，且为的中点，．

底面为矩形，，

．

(2)底面为矩形，．

平面平面，平面．

．又，

平面，平面平面．

(3)如图，取中点，连接．

分别为和的中点，，且．

四边形为矩形，且为的中点，

，

，且，四边形为平行四边形，

．

又平面，平面，

平面．

26．【解析】(1)由平面平面，平面∩平面=，，可得平面，故．

(2)取棱的中点，连接，．又因为为棱的中点，故∥．所以（或其补角）为异面直线与所成的角．

在中，，故．

因为平面，故．

在中，，故．

在等腰三角形中，，可得．

所以，异面直线与所成角的余弦值为．

(3)连接．因为为等边三角形，为边的中点，故，

．又因为平面平面，而平面，

故平面．所以，为直线与平面所成的角．

在中，．

在中，．

所以，直线与平面所成角的正弦值为．

27．【证明】(1)在平行六面体中，．

因为平面，平面，

所以∥平面．

(2)在平行六面体中，四边形为平行四边形．

又因为，所以四边形为菱形，

因此．

又因为，∥，

所以．

又因为=，平面，平面，

所以平面．

因为平面，

所以平面平面．

28．【解析】(1)由，，，，得

，

所以．

故．

由，，，，得，

由，得，

由，得，所以，故．

因此平面．

(2)如图，过点作，交直线于点，连结．

由平面得平面平面，

由得平面，

所以是与平面所成的角．

由，，

得，，

所以，故．

因此，直线与平面所成的角的正弦值是．

29．【解析】（1）在平面内，因为，所以∥，

又平面，平面，故∥平面．

（2）取的中点，连结，．由及∥，

得四边形正方形，则．

因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面=，所以，底面．因为底面，所以．

设，则，，，．取的中点，连结，则，所以．

因为的面积为，所以，解得（舍去），．于是，，．

所以四棱锥的体积．

30．【解析】（1）取的中点连结，.因为，所以．

又由于是正三角形，所以.从而平面，故BD.

（2）连结．

由（1）及题设知，所以．

在中，．

又，所以

，故.

由题设知为直角三角形，所以．

又是正三角形，且，所以．

故为BD的中点，从而到平面的距离为到平面的距离的，四面体的体积为四面体的体积的，即四面体与四面体的体积之比为1:1．

31．【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD平面PDC，所以ADPD．在RtPDA中，由已知，得，故．

所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．

（Ⅱ）证明：因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD．又因为BC//AD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC．

（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．

因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角．

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2．又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得,在RtDPF中，可得．

所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．

32．【解析】（Ⅰ）取中点,连接，，

由于为四棱柱,

所以，，

因此四边形为平行四边形,

所以,

又面,平面,

所以∥平面,

（Ⅱ）．，分别为和的中点，

，

又平面，平面，

所以，

，所以，，

又，平面，

所以平面

又平面,

所以平面平面．

33．【解析】（Ⅰ）因为，，所以平面，

又因为平面，所以．

（Ⅱ）因为，为中点，所以，

由（Ⅰ）知，，所以平面．

所以平面平面．

（Ⅲ）因为平面，平面平面，

所以．

因为为的中点，所以，．

由（Ⅰ）知，平面，所以平面．

所以三棱锥的体积．

34．【解析】（Ⅰ）如图，设PA中点为F，连结EF，FB．

因为E，F分别为PD，PA中点，所以EF∥AD且，

又因为BC∥AD，，所以

EF∥BC且EF=BC，

即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF，

因此CE∥平面PAB．

（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N．连结PN交EF于点Q，连结MQ．

因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，

在平行四边形BCEF中，MQ∥CE．

由为等腰直角三角形得

PNAD．

由DCAD，N是AD的中点得

BNAD．

所以

AD平面PBN，

由BC∥AD得

BC平面PBN，

那么，平面PBC平面PBN．

过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH．

MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．

设CD=1．

在中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，

在PBN中，由PN=BN=1，PB=得，

在中，，MQ=，

所以

，

所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是．

35．【解析】证明：（1）在平面内，因为，，所以.

又因为平面，平面，所以∥平面.

（2）因为平面平面，

平面平面=，

平面，，

所以平面.

因为平面，所以.

又，，平面，平面，

所以平面，

又因为平面，

所以．

36．【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，

所以平面平面，．

记玻璃棒的另一端落在上点处．

因为，．

所以，从而．

记与水平的交点为，过作，为垂足，

则平面，故，

从而．

答：玻璃棒没入水中部分的长度为16cm.

(

如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)

（2）如图，，是正棱台的两底面中心.

由正棱台的定义，平面

，

所以平面平面，.

同理，平面平面，.

记玻璃棒的另一端落在上点处.

过作，为垂足，

则==32.

因为=

14，=

62，

所以=

，从而.

设则.

因为，所以.

在中，由正弦定理可得，解得.

因为，所以.

于是

.

记与水面的交点为，过作，为垂足，则

平面，故=12，从而

=.

答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm.

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)

37．【解析】（Ⅰ）证明：因，所以与确定一个平面，连接，因为

为的中点，所以；同理可得，又因为，所以平面，因为平面，．

（Ⅱ）设的中点为，连，在中，是的中点，所以，又，所以；在中，是的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以平面．

38．【解析】（Ⅰ）证明：取的中点为，连接，在中，因为是的中点，所以且，又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）证明：在中，，由余弦定理可，进而可得，即，又因为平面平面平面；平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面．

（Ⅲ）解：因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点，连接，又因为平面平面，由（Ⅱ）知平面，所以直线与平面所成角即为.在中，，由余弦定理可得，所以，因此，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为．

39．【解析】（Ⅰ）因为在平面内的正投影为，所以

因为在平面内的正投影为，所以

所以平面，故

又由已知可得，，从而是的中点.

（Ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.

理由如下：由已知可得，，又,所以，,因此平面，即点为在平面内的正投影.

连接，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.

由（Ⅰ）知，是的中点，所以在上，故

由题设可得平面，平面，所以，因此

由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得

在等腰直角三角形中，可得

所以四面体的体积

40．【解析】（Ⅰ）由已知得，，

又由得，故

由此得，所以

（Ⅱ）由得

由得

所以

于是故

由（Ⅰ）知，又，

所以平面于是

又由，所以，平面

又由得

五边形的面积

所以五棱锥体积

41．【解析】（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.

又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.

因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为．取的中点，连结.由得，

.

由得到的距离为，故.

所以四面体的体积.

42．【解析】（Ⅰ）因为四边形为菱形，所以，

因为平面，所以，故平面．

又平面，所以平面平面．

（Ⅱ）设=，在菱形中，由=120°，

可得=，=．

因为，所以在中，可得．

由平面，知为直角三角形，可得．

由已知得，三棱锥的体积．

故．

从而可得．

所以的面积为3，的面积与的面积均为．

故三棱锥的侧面积为．

43．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形如图

（Ⅱ）作，垂足为，则，，．因为为正方形，所以．

于是，，．

因为长方形被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为（也正确）．

44．【解析】（Ⅰ）设，连结OF，EC，

由于E为AD的中点，，

所以,

因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点，又F为PC的中点，

因此在中，可得.

又平面BEF，平面BEF，所以平面.

（Ⅱ）由题意知，，所以四边形为平行四边形，

因此．又平面PCD，所以，因此．

因为四边形ABCE为菱形，所以.

又，AP，AC平面PAC，所以平面．

45．【解析】（Ⅰ）为中点，DE∥PA，

平面DEF，DE平面DEF，PA∥平面DEF，

（Ⅱ）为中点，，

为中点，，

，，DEEF，

，，

，DE平面ABC，

DE平面BDE，平面BDE平面ABC．

46．【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连结EO．

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。

又E为PD的中点，所以EO∥PB。

EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB∥平面AEC.

（Ⅱ）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．

如图，以A为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，

则.

设，则。

设为平面ACE的法向量，

则即，

可取．

又为平面DAE的法向量，

由题设，即，解得．

因为E为PD的中点，所以三棱锥的高为．

三棱锥的体积．

47．【解析】（Ⅰ）证明：如图取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，

故MF//BC且MF=BC．由已知有BC//AD，BC=AD．又由于E为AD中点，

因而MF//AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，

所以EF//AM，又AM平面PAB，而EF平面PAB，

所以EF//平面PAB.

（Ⅱ）（i）证明：连接PE，BE．因为PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，

故PEAD，BEAD，所以PEB为二面角P-AD-B的平面角．在三角形PAD中，

由，可解得PE=2．

在三角形ABD中，由，可解得BE=1．

在三角形PEB中，PE=2，BE=1，，

由余弦定理，可解得PB=，从而，即BEPB，

又BC//AD，BEAD，从而BEBC，因此BE平面PBC．又BE平面ABCD，

所以平面PBC平面ABCD．

（ii）连接BF，由（i）知BE平面PBC．所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角，

由PB=，PA=，AB=得ABP为直角，而MB=PB=，可得AM=，

故EF=，又BE=1，故在直角三角形EBF中，

所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．

48．【解析】（Ⅰ）设点O为AC，BD的交点，

由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线．

所以O为AC的中点，BDAC．

又因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PABD．所以BD平面APC．

（Ⅱ）连结OG.由(1)可知OD平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．

由题意得OG＝PA＝.

在ABC中，AC＝＝，

所以OC＝AC＝.

在直角OCD中，OD＝＝2.

在直角OGD中，tan∠OGD＝.

所以DG与平面APC所成的角的正切值为.

（Ⅲ）连结OG.因为PC平面BGD，OG平面BGD，所以PCOG.

在直角PAC中，得PC＝.

所以GC＝.

从而PG＝，

所以.

49．【解析】（Ⅰ）由AB是圆O的直径，得ACBC．

由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC，

又PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，

所以BC平面PAC．

（Ⅱ）连OG并延长交AC与M，链接QM，QO.

由G为∆AOC的重心，得M为AC中点，

由G为PA中点，得QMPC.

又O为AB中点，得OMBC.

因为QM∩MO=M，QM平面QMO．

所以QG//平面PBC．

50．【解析】（Ⅰ）因为是直三棱柱，所以平面ABC，又平面,所以，又因为平面，所以平面，又AD平面ADE，所以平面ADE平面.

（Ⅱ）因为，为的中点，所以．因为平面，且平面，所以又因为，平面，

，所以平面，所以AD．又AD平面，平面，所以平面．

51．【解析】（Ⅰ）平面，面

又面

（Ⅱ）是中点点到面的距离，

三棱锥的体积

，

（Ⅲ）取的中点为，连接，，

又平面面面面，

点是棱的中点

，

得：平面．

52．【证明】：（Ⅰ）在PAD中，因为E、F分别为AP，AD的中点，所以EF//PD．

又因为EF平面PCD，PD平面PCD，

所以直线EF//平面PCD．

（Ⅱ）连结DB，因为AB=AD，∠BAD=60°，

所以ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BFAD．

因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，

所以BF平面PAD．又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD．

53．【解析】法一：（Ⅰ）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD．因PA=PD，有，在中，，有为等边三角形，因此，所以平面PBG

又PB//EF，得，而DE//GB得AD

DE，又，所以AD

平面DEF。

（Ⅱ），为二面角P—AD—B的平面角，

在，

在，

，

法二：（Ⅰ）取AD中点为G，因为

又为等边三角形，因此，，

从而平面PBG．

延长BG到O且使得PO

OB，又平面PBG，PO

AD，

所以PO

平面ABCD．

以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．

设

由于

得

平面DEF．

（Ⅱ）

取平面ABD的法向量

设平面PAD的法向量

由

取

54．【解析】（Ⅰ）因为四边形是正方形，所以//.故为异面直线与所成的角.因为平面，所以.故.

在中，=1，=，==3,

故==.

所以异面直线和所成角的余弦值为.

（Ⅱ）证明：过点作//,交于点，则.由,可得,从而,又,=,所以平面.

(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得=，即为的中点.取的中点，连接，则,因为//,所以//.过点作，交于，则为二面角--的平面角。

连接，可得平面,故.从而.由已知，可得=.由//,,得.

在中，,

所以二面角--的正切值为．

55．【解析】

(Ⅰ)取的中点G，连结GF，CE，由条件易知

FG∥CD，FG=CD．BE∥CD,BE=CD．所以FG∥BE，FG=BE．

故四边形BEGF为平行四边形，所以BF∥EG．

因为平面，BF平面，所以

BF//平面．

（Ⅱ）解：在平行四边形,ABCD中，设BC=，则AB=CD=2，AD=AE=EB=，

连CE，因为．

在BCE中，可得CE=，

在ADE中，可得DE=，

在CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CEDE,

在正三角形中，M为DE中点，所以DE.

由平面平面BCD,

可知平面BCD,

CE.

取的中点N，连线NM、NF，

所以NFDE，NF.

因为DE交于M，

所以NF平面，

则∠FMN为直线FM与平面新成角．

在RtFMN中，NF=,

MN=,

FM=，

第2篇：高三数学专题讲解范文

【关键词】高中数学；二轮复习；“微专题”；实例分析

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2015）36-0094-02

一、高三数学二轮复习设计目的

1. 加强集体备课，发挥集体优势

高三老师面临着巨大的升学压力，为了提升教学质量，使学生在高考时能够获得理想的分数，他们需要付出较大的精力研究考题、出题范围，还要了解高考的相关动态信息。强化高三老师集体备课意识，可以就现阶段存在的教学问题进行探讨，以寻求更为有效的教学方法，同时，在讨论中还能强化教学目标，掌握多种解题方法，以便为学生提供更多的解题思路，寻求最优解。

2. 分析高考命题规律，摸索高考动态

对以往的高考题目加以研究，分析历年考生常出现的问题，并对出题规律加以分析，提出有针对性的复习策略。同时，对以往高考试题进行整体研究，从而摸索新的高考动态，为制定和开展高考复习创造有利条件。

二、“微专题”在高三数学复习中所起到的作用

“微专题”是教师立足于教学的根本任务，选择一些有针对性的“微型”复习专题，让学生通过做题掌握解题思路和技巧，以实现提升考试成绩的目的。“微专题”的选择要以教学实际需要为主，以能让学生巩固教学成果为目的。因此，在确定“微专题”之前，教师要慎重思考，以便专题复习能够充分发挥作用。

1. 梳理常见考点，归纳解题思路

高三是学生人生的一个重要转折点，为了提高升学率，学校会在考试之前对学生进行3轮复习教学，以巩固学生的基础知识，并帮助他们提高解题技巧。因此，为了提升学生的学习效率，让复习课变得与众不同，减轻学生的学习压力，可以采用“微专题”的复习方式。“微专题”可以帮助学生梳理数学常见考点，通过比较和归纳以避免学生解题思路出现偏差，如此，学生对做题也就不会有太大的心理负担，同时因为掌握了正确的解题思路，还可以激发学生的学习乐趣，进而主动做题。

2. 瞄准复习弊病，深入理解数学概念

“微专题”可以帮助学生对某一知识点相关的问题有更为具体的了解，以防止学生出现概念性混淆问题。为了更好地让学生理解和记住数学概念，“微专题”就可以将高中数学中易混淆的概念单独提出来，让学生通过做专项题加深印象。如数学中“数列与等比数列”“勾股定理和三角函数”等，这些都是易混淆的概念。使用“微专题”时，老师要就问题强调知识点，就解题中常出现的问题加以指导，让学生做此类题型时不要因犯概念错误而失掉分数。

3. 强化知识点，加深解题印象

“微专题”在高中二轮复习中能够取得良好的教学效果，是因为其能够提升学生的解题能力。在“微专题”的设定上，要根据学生出现的普遍问题选择专题训练材料，可以是知识点专题，也可以是辩证专题等。总之，要强化学生的某一知识点，并通过解题加深印象。针对学生常犯错误，“微专题”的设置可以是文字说明材料，也可以是实际操作材料，从多角度让学生加深印象。

课堂教学中，老师以“微专题”为基础，帮助学生捕获有用信息，以寻求到破题的思路，这需要学生具备较强的洞察力及挖掘隐含信息的能力，为此，老师可设置与此相关的“微专题”锻炼学生以上两方面的能力。

三、“微专题”的运用策略

1. 函数的单调性与其他知识的联系，举一反三

一般情况下，对于函数f（x）定义域I内某个区间D上的任意两个自动变量x1和x2，若当x1

f（x1）

例如，证明函数f（x）=x+■在（■，+∞）上是增函数。

证明：在（■，+∞）上任取x1和x2，且x1

得出f（x1）-f（x2）=（x1+■）-（x2+■）=（x1-x2）■

因为■

f（x1）-f（x2）

这是一道求解函数单调性的常见题型，变形之后会产生多种函数单调性求解问题。因此，将此题引入到“函数单调性”这一专题里具有代表性，意在让学生掌握一题多变的解法，从而提升解题效果。

已知：函数y=f（x）对任意实数x都有f（-x）=f（x），f（x）=-f（x+1），且在[0，1]上单调递减，则f（7/2），f（7/3），f（7/5）的大小关系？

解：函数y=f（x）对任意实数x都有f（-x）=f（x）

根据偶函数定义得f（x）为R上的偶函数

f（x）=-f（x+1）即f（x+1）=-f（x）

f（x+1）=-f（x+2）=-f（x）

f（x）=f（x+2）即f（x）周期为2

f（x）在[0，1]上单调递减7/2，7/3，7/5都不在这个范围内，所以我们要用单调性将其等价转换入[0，1]这个范围内

f（x）周期为2且f（x）为偶函数

f（7/2）=f（7/2-2×2）=f（-1/2）=f（1/2）

f（7/3）=f（7/3-2）=f（1/3）

f（7/5）=f（7/5-2）=f（-3/5）=f（3/5）

1/3

f（x）在[0，1]上为单调减函数

综上：f（7/3）>f（7/2）>f（7/5）

以上问题是高考复习题中的常见类型，这类问题使用“微专题”，可以让学生掌握不同类型的解题手法，以求在遇到相关问题时学会变通，提升学习效率，只有掌握了问题的本质，一切问题也就迎刃而解了。在教学实践中，老师要就问题做好引导、铺垫，让学生对主要的数学题型有清楚的认知，以便掌握解题思路及基本概念。从“微专题”反馈的效果上看，大多数学生基本掌握了函数增减性解题思路，同时学生的解题信心也得到了提升。

2. 整合知识点，构建知识链接网

在高三二轮复习过程中，老师要注意延展主要知识点，并对数学各分支内容进行整合，以构建一个全面的知识链接网，以巩固学生的基础知识，拓展解题思路。在设置“函数方程”这一专题时，为了让学生掌握函数方程的求解方式，笔者通过选择具有针对性的专题实例，让学生在做题过程中掌握解题方法。

例如，高中函数的二次函数的性质

（1）函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线x=-■对称。

（2）a>0时，在对称轴（x=-■）左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴（x=-■）右侧，y值随x值的增大而增大。当x=-■时，y取得最小值■；

（3）a

选择此类函数，意图将函数的图形演变及图形变化分析函数的量变范围。

高中数学二轮复习使用“微专题”时，教师除了借助专题巩固相关知识外，还要注意专题的使用规则。在此过程中，教师只是起引导和示范作用，学生才是主体，因而教师要明确责任，不要将课堂视为自己的专属讲解场所，要让学生积极参与其中，并通过实践拓宽学生的解题思维。同时，“微专题”知识要有一定的联系，以形成系统的知识体系，有助于学生灵活运用知识点，起到触类旁通的效果。

“微专题”针对性强，且知识之间存在内在联系，可以为学生构建一个系统的知识网络，一改以往沉闷的教学模式，让教学课堂更为生动和有趣，还能有效激发学生的主观能动性，使其主动探索知识，寻求更多的解题技巧。在“微专题”的利用上，教师要对专题的内容有计划地甄选，同时及时检测教学效果，使“微专题”在实际教学中发挥应有作用。

参考文献：

[1] 王冬菊.如何有效地进行高三数学复习[J].中学课程辅导（教学研究），2013，7（30）：4.

[2] 连春兴，王坤，周晓知等.不尽相同的理念 风格迥异的设计――兼对高三数学复习的宏观思考[J].数学通报，2014，53（4）：24-27.

[3] 张建飞.枝上生花花更灿烂――听一节高三专题复习课有感[J].中学物理（高中版），2011，29（9）：11-12.

[4] 戴飞飞.微专题在高三化学二轮复习中的高效体现[J].中学课程辅导（教学研究），2015，9（20）：76-77.

第3篇：高三数学专题讲解范文

高三数学经过第一阶段的复习，学生在老师的指导下，整理了课本内容，梳理了知识网络，巩固了基础知识，回顾了基本方法，训练了基本技能。第二阶段，将是重点专题选讲和训练，是复习承上启下的阶段，是知识系统化、条理化，促进知识灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力提升的关键时期，因此要做到：一是教师的讲授、学生的练习及检测等要对《考试说明》《考题》理解深入，把握到位，明确“考什么”“怎么考”；二是教师的讲解、学生的练习要体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展；三是知识讲解、练习检测等内容要有科学性、针对性要强，使模糊的知识清晰起来，缺损的内容填补起来，杂乱的思维条理起来，孤立的知识点联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识构架；四是看碟练习的检测与高考是否对路，不拔高，不降低，准度适宜，放度良好，重在基础的灵活运用，掌握分析和解决问题的思维方法。

鉴于与第一阶段许多截然不同的特征，也鉴于普通高中学生层次差别大，我认为单纯用老师讲、学生记的方法已是不能适应多层次学生发展的需要。经过实践，我认为适应普通高中高三数学第二阶段复习的最佳策略是研究性复习。

一、什么是研究性复习

研究性复习是指学生在教师的指导下，根据大纲的体系、课本的脉络和高考的要求，将复习内容转换成研究专题，主动地获取知识、应用知识和解决问题的学习活动的一种复习策略。它具有以下几个特点：

1、主动性。随着研究性复习的开展，学生可能自己确定复习目标，设计复习方案，策划整个复习，这样他的学习主动精神有了施展的广阔空间，学习上也有较强的主动性。

2、深刻性。对数学知识的深刻理解，仅依赖教师的课堂教学是不够的。数学思想不是学来的，而是悟出来的。我们要教给学生“渔”，而不是给学生“鱼”。 学生必须在老师的指导下，结合自己的实际，充分调动自己的积极性，做到举一反三，这样一来，学生不仅较深刻地掌握知识点和解题方法，而且也能较好地领悟其间的数学思想，形成良好的数学品质。

3、开放性。研究性复习的开口很宽，只要c复习有关，包括知识、能力、方法、对策、心理等，都可成为研究专题。例如：《解析几何中的对称问题》、《怎么做好选择题》等。

4、针对性。在知识梳理阶段面临问题基本上是共性的，但在后阶段，学生差异愈发明显，学生层次分化，应试水平差别大。面对这样的情况，若采用研究性策略，学生在相应的阶段可以根据各自特点，确定专题、制订目标，研究手法更是带有个性化特点。

二、为什么要进行研究性复习

高考复习具有很强的针对性和实效性，应避免盲目性和做无用功。因此，必须加强高考研究，并指导每个学生找准自己的位置，分析自己的需要，明确自己的方向，选择适合自己解决问题的方法，在成功中获得经验，在失败中吸取教训。把整个复习变成一次次知识的体验和对困难的征服，在过程中进步，在过程中形成能力。从另一方面说，高三学生经过近三年高中学习，已经过第一阶段复习，处于人生转折点的高考，大部分学生具备展开初级研究的能力和独自探究的欲望，在复习个人化色彩特别深厚的后阶段，研究性复习给了全体学生观望自身的第三只眼睛。经过高考成功者的调查和分析，几乎不分何年何地，有一点相通的，学生很难单纯地用一种复习策略满足每个学生的求知欲。

三、怎样进行研究性复习

研究性复习分为确定专题、展开研究、检测调控等环节。

研究专题的确定，一取决于学生的迫切需要，二取决于他对知识的部分了解，三取决于他对自身的认识，总之是为完善他自身的知识、能力的建构过程服务。

研究专题大致可归类为以知识点联系为研究对象的知识网络专题，以解题规律为对象的题型方法专题，以规律为研究对象的元认知专题，以答卷策略为研究对象的对策专题。

专题的研究过程应在老师的指导下，调动学生的学习积极性，指导学生确定研究专题，协助学生制订目标，检测学习效果、协调他们的复习，并提供经验性目标。通过在教材、历年高题、平时训练题等材料中搜集素材，进行对比、联想、总结、提炼、逐步形成对这些问题的认识。在探索过程中，体现了师生双边的互动活动，并有利于引导学生之间进行沟通、交流，诱发思维碰撞。

对研究结果的检测可以通过讨论、选讲，但更重要的是在实践中检验，即在练习中看自己的想法能否体现出来，对尚未达到效果的，可以修改后继续探究，对已达到目的，可以再深入一点，从原有专题中再衍生更深刻或更具有广泛的专题供自己研究。别外，应回归教材，重视背景题、探索题的训练，并克服六种偏向：

第4篇：高三数学专题讲解范文

关键词： 高三文科 数学教学 解题思路

进入高三一轮复习之后，由于文科班的学生基础较差，很多学生怕学数学，在这种背景下我们怎样组织最为有效的复习教学就显得尤为重要。数学的重头戏是解题，解题教学是高三数学总复习教学的重要环节，解题教学的质量直接决定总复习教学的效果，那么如何提高解题教学的质量呢？我认为，可从下列三个方面出发来探求一条基本思路。

一、实现选题的最优化

解题教学的第一步是选择和设计复习题，这是关键的一步。选题得当，可以提高效率，做到事半功倍；否则只会加重师生负担，而收效甚微。怎样优化问题的选择和设计呢？

1.紧靠新考纲和教学要求

选题要依考纲和江苏省的教学要求进行，尤其是新教材中要求发生重大变化的部分。例如，圆锥曲线这一部分中的“双曲线，抛物线”，课程标准的能力层次是“了解”，考试大纲是A级，所以我们在选题的时候要改变老思路，降低难度。对这些差别，教师一定要了然于心，并把自己的理解体现于选题中。

2.整合课本资源

高考命题的一个基本的原则就是“以考纲为准，以教材为本”。课本中例题、习题的设置，体现着本节知识应达到的能力要求。虽然高考数学试题不会考查课本上的原题，但每次对高考试卷分析时不难发现，许多题目都能在课本上找到“根源”，不少高考题就是对课本原题的变形、改造及综合，撇开课本进行复习，不管对教师还是学生而言都是不可取的做法。对课本例题和习题的整合，做到旧题新解、熟题重温，可使学生获得新的感受和乐趣。

3.重视“双基”训练

所谓“双基”，是指基础知识、基本技能和能力培养。新课程重新审视“双基”，与时俱进地认识“双基”，如把最基本的数据处理、统计知识、算法等作为新的数学基础知识和基本技能；又如删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调支枝末节的内容；因而在选取复习题时应注意充实“双基”题型，不要急于求成，好高骛远，抓了高深的，丢了基本的。

4.注意容量适当

新课标给我们的感觉是一个“紧”字，高一、高二讲授新课“紧”，高三数学总复习更“紧”。原因是新课标新增加了不少内容，如必修部分的函数与方程、三视图、算法初步、几何概型等；选修部分的全称量词与存在量词、定积分、回归分析、独立性检验、茎叶图等。要做到化“紧”为“松”，选取复习题时一定要容量适当。如果采取题海战术，就会出现“低效率、重负担、低质量”的局面。

当然，每一个小专题，每一个考点要有一定的复习题，这是毫无疑问的。熟能生巧，当处理的题目达到一定的数量后，决定复习效果的关键性因素就不再是题目的数量，而在于题目的质量和处理水平。

5.体现知识的交汇点

课本上每章的习题往往是为巩固本章内容而设置的，所用知识相对比较单一。而在学生学完各个知识点后，在复习时往往忽视各章节之间的联系。这时，教师对知识交汇点的问题应予以重视，应适当加强训练，以提高学生的分析问题、解决问题的能力。况且在知识网络交汇点处命题，使对数学能力的考查达到必要的深度，是高考常用的方法。

二、重视讲题的实效性

讲题是解题教学的核心内容，如何讲解才能让学生受到最好的启发呢？

1.多小结

从大的方面来讲，讲题时要归纳总结常用的数学思想方法。比如：函数与方程思想，化归思想，分类讨论思想，数形结合思想等。主要方法有：配方法、换元法、待定系数法、公式法、综合法、分析法、反证法等。教给学生一定的数学思想与方法，有助于他们从宏观上把握解题思路。

从小的方面来讲，讲题时要归纳总结常用解题经验，提高解题水平。比如：求解线性规划问题的步骤如何？怎样求函数的最大（小）值？如何证明直线与平面垂直？如何求数列的通项公式？求轨迹方程有哪些方法？这些都是有效解题的基本结论。此外，要让学生进一步思考，某一种方法适宜于哪种题型？要注意什么问题？具体的做法怎样？学生知道了某类问题的解题方法，自然就得心应手，避免了盲目性。

2.多点拨

讲题精确，效率就高；不着边际讲题，听者很吃力、很头疼。所以在讲例题、习题时，要“讲到点子上”。不仅要讲怎样去分析条件与结论（所求）的联系、式子的结构特点、数量关系等，从而探索解题的策略和思路，而且要讲怎样解才是最简，其解法又是怎样想到的。能讲出题目的好想法、好思路，才有助于学生新颖的、富有创造性的见解的产生。

3.多变式

讲解习题时，恰当变化，如变换习题的非本质特征或本质特征中的一种，便可举一反三，触类旁通，使学生活学活用，把书读薄。通过变式，达到一题多用，提高效率的目的；通过变式，加深对问题的认识。

4.多联系

新课标指出：“注重联系，提高对数学整体的认识”，“注重数学知识与实际联系，发展学生的应用意识和能力”，体现在解题教学上，就是讲题时要多拓展、多联系。讲题时不仅是为解题而讲题，还要把与题目有联系的题串起来讲，与题目有联系的知识串起来讲，与题目有联系的技能、思想方法串起来讲，时时利用课堂的讲题来灌输、再现以往知识，加深对数学技能、思想方法的认识。如此一来，通过潜移默化，学生就能牢固掌握知识。

5.多探究

新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，讲题要体现这一理念，引导学生主动、积极地参与解题过程。讲题时，运用解题的目标意识，通过合理设问，帮助学生寻求思维的切入点，探索解题的角度。学生通过自己探究获得问题的解决，其记忆是深刻的。

三、保证答题的规范化

每次考试，我们总发现学生因为书写不规范、没条理失分的现象十分普遍，表现在：只求三言两语、无关键步骤、不求推理有据、考虑不周，等等。高考试卷在解答题都注明“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”，这就要求复习时，解答要规范有条理，要有一定的格式。因此在平时的解题训练中，教师答题板书时要规范，要对学生提出正确的格式要求，使学生做到正确运算，步骤完整，层次清晰，推理严谨。

总之，追求新课标下高三数学总复习学生解题的实效性，有赖于教师在选题、讲题、答题等方面下工夫。教师解题教学思路清晰了，学生解题过程规范了，师生一定能从容地迎接2012年高考。

参考文献：

第5篇：高三数学专题讲解范文

【关键词】题组设计；高三数学；高效课堂

一、问题的提出

《高中数学课程标准》要求教师应在深刻理解教学内容、充分了解学生已有知识和生活经验的基础上设计富有启发性、挑战性和开放性的问题。通过激趣、质疑、导引、点拨，引起学生的参与兴趣，调动学生求知能动性，训练学生的思维。在课堂教学中，问题设计的好坏直接影响到学生对知识技能的掌握，能力的提高及创新意识的培养。为此，精选题组就显得尤为重要。

二、教学现状分析

1.学情分析

在高三数学复习的教学中常出现以下现象：学生只会做熟悉的题型，遇到陌生的问题或背景新颖的问题不能转化为熟悉的问题，感觉无从下手；学生的层次性差异比较大，经常出现“吃不饱”、“吃不好”、“没得吃”的三种分层现象。在高三的复习中，学生每天都是大量的练习，如果没有设计好课堂问题，学生对数学的兴趣就会越来越淡，影响教学效果。

2.教情分析

有的教师对教材中的概念、命题、例题、习题等都是照搬课本资料，弄不清学生现有的知识基础及“最近发展区”，盲目的教，往往教师教的很累，学生学得很辛苦，教学质量却不尽人意。

3.考情分析

教材是高考试题的来源，对教材的例题、习题进行改编，可获得较为新颖的高考试题。但高考题并不是完全取自于教材，而是基于教材，高于教材。因此，教师应从命题者的视角，从考试的角度来挖掘教材，研读考纲，加强题组设计。

三、问题的解决方法和策略

笔者认为数学课堂的效率决定因素在于课堂中数学问题的设计，要想课堂给人更多地回味与精彩，问题设计就需更深的思考与研究。其中，问题题组的设计无疑是最主要的。通过题组设计来使不同认知水平的学生都能在课堂中达到对一些数学概念与数学思想方法的理解与掌握，成为数学有效教学的基本形态。本文就高三数学的几种常见课型，谈谈优化课堂中问题题组的变式教学的方法和策略。

1.题组设计在高三专题课中的运用

基础知识复习课是高三阶段最常见最基本的课型。高三复习课的教学内容是学生过去学过的知识，其主要目的是使知识系统化，也就是把各种不同的概念、法则、规律引向合乎逻辑的完整的体系。在这个体系中，所有成分相互之间是紧密联系的，如果各个知识点孤立的复习，学生的知识就会显得片面且不易形成有效的知识网络从而影响课堂效率。所以题组设计在基础知识复习课中很重要。

例1.（2015高考天津，理15）已知函数，

（I）求f（x）最小正周期；（II）求f（x）在区间上的最大值和最小值。

本题涉及：正弦、余弦的二倍角公式；辅助角公式；三角函数的周期性及其求法；三角函数的单调性及值域。有关三角函数问题还有对称性、定义域等问题，可以设计问题题组，对这道题进行变式：

变式1：求函数f（x）的对称轴和对称中心及单调递增（减）区间；

变式2： 当时，方程f（x）-a=0有一解，求a的范围；

变式3： 解不等式；

变式4：用五点法作出一个周期的图像；并指出由f（x）经过怎样变换得到y=sinx的图像；

变式5：把函数f（x）按向量平移后得到奇函数，且最小，求向量；

变式6： 求y=f（x），x∈[0，π]的图像与x轴所围的一个区域的面积；

变式7：设点P是y=f（x）的图像的最高点，M、N是与P相邻的图像与x轴的两个交点，求的夹角。

这样设计问题变式，符合学生的认知规律。从一道高考题出发综合了向量与三角的知识，通过一题多问、一题多变，较好地把相关的基础知识进行了整合梳理，将三角函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性、最值、零点、三角函数的图像的变换结合起来，将高考的考点一一呈现，完善了知识体系，提升了学生的认知结构，同时学生的解题能力得到了一定的提高，

在高三的基础知识复习课中，每一个章节或一个专题复习结束后，对它进行回顾与概括是必需的，复习课要达到的教学目的是：巩固本单元的知识、技能，加深对知识、方法及应用的认识，提高综合解决问题的能力。因此复习课中的问题设计要求是：①要突出对知识和方法的梳理，对已经学过的知识，以问题串形式进行梳理综合，结构重组，通过对问题的变式解答去构建知识框架，形成自我知识体系；②要根据学生知识、技能的掌握状况及遗忘缺漏情况，确定需要解决的重点和难点，要创造机会让每一个学生充分发表自己的见解；③要引导学生把握问题的实质，完善和深化已有的知识结构，加深对复习内容的知识和方法的再认识，提高综合解决问题的能力。

2.题组设计在高三习题课中运用

习题课，就是以讲解习题为主要内容的课堂.对于高三来说，习题课也是常见的课型。习题课的授课过程一般包括：整理前阶段课程的知识要点；分析作业题中的错误；讲解习题；学生练习提高。习题课中要弥补学生的知识能力方法上的缺失，教师必须从学生的认知基础开始，从探究最核心的问题开始，设计系列问题。

例2。（2015高考福建）若直线过点（1，1），则a+b的最小值等于（ ） A。2 B。3 C。4 D。5

变式1：已知x>0，y>0且2x+3y=4，求的最小值。

变式2：已知x>0，y>0且2x+3y=xy，求x+y的最小值。

变式3：已知x>0，y>0且且，求xy的最小值。

变式4：已知a，b，c，p，q都是正常数，x，y是正变量，且ax+by=c，求的最小值。

以上题组体现了思维的层次性和探究性，不仅将学生在参与活动的过程中生成的信息转化为有效的教学资源，而且在教学过程中教学内容不断的更新，知识不断的建构，使课堂成为激情与智慧综合表现的场所，也成为了师生共同成长的舞台。这样设计有利于学生思维的锻炼，加深对数学本质的认识，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

习题课中的问题题组设计的要求是：①要注意对解题策略、解题技巧等进行问题设计，要在知识缺陷和逻辑推理缺陷处设计问题；②要注意问题间的层次关系，探索问题的变化及本质；③考虑设计恰当的“发散性思维”问题，克服思维定势，培养学生的创造性思维。

3.题组设计在高三试卷讲评课运用

讲评课帮助学生分析前一阶段的学习或测试情况，查漏补缺、纠正错误、巩固双基，并且在此基础上寻找产生错误的原因，总结成功的经验，进一步提高学生解决问题的能力。同时，通过习题讲评还可以帮助教师发现自己教学方面的问题和不足，进行自我总结反思、改进教学方法，最终达到提高教学质量的目的。

例3。（2014年浙江文科）已知函数f（x）=x3+3|x-a|（a>0），若f（x）在[-1，1]上的最小值记为g（a）.（1）求g（a）；（2）证明：当x∈[-1，1]时，恒有f（x）≤g（a）+4.

本题主要考查函数最大（最小）值的概念、利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，同时考查推理论证、分类讨论、分析问题和解决问题等综合解题能力. 本校也在某次考试中让学生做了这道题，对于第（1）题大部分同学能解决，第（2）问中的分类不够完整。但是如果在讲评中就原题讲解，学生就容易倦怠。只要对原题稍加改进，学生就会越嚼越有味！

变式1、将题设中的a>0改为a∈R，求g（a）。

变式2、将题设中增加求f（x）在[-1，1]上的最大值为M（a），求M（a）-g（a）。

变式3、已知函数f（x）=x3+3|x-a|（a∈R），设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围。

点评：相对于原题中的第（1）小题，变式1和变式2增加了难度，是对原题的深化，加强了分类讨论的系统化。变式3在第（2）小题的基础上进行演变，都是考查在双参数的条件下解决目标函数的问题。

小结：涉及分类讨论的问题时，要准确确定分类标准，一般遵循先易后难的原则，并通过各类中步骤及结果的差异分析，能将前一类的结果恰当改变移植到后一类中，达到简化运算的功效。不等式的恒成立问题的本质是划归为一个函数问题，常用的结论是：不等式f（x）≤a恒成立；不等式f（x）≤a有解。不等号反向，可得到相应的结论。对于变式3的解决，主要涉及到运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力。突出的是分类讨论、函数与方程、划归与转化等思想方法的运用。是对第（2）小题的提升与升华。

通过以上几个变式，对学生的知识认知不断的冲突，一个个的解决，锻炼了学生的数学思想方法，培养了学生的基础素养、创新意识和思维能力。

讲评课中的问题题组设计要求是：①搭建平台，以错纠错以防重蹈覆辙；②举一反三，规范有序注重反馈提高；③借题发挥，以点带面突出拓展延伸。

四、小结

高三复习课堂中题组设计集趣味性、探索性、应用性、开放性、创新性于一体，有利于优化学生的知识结构，充分调动学生的主观能动性，培养学生思维能力，更有利于构建高效课堂.

参考文献：

[1]缪德军.如何提高高三数学试卷讲评课的有效性.中学数学教学参考.2011.6

[2]刘荣玄，刘诗焕.概念图用于教学评价的实践研究――以数学教学为例[J].井冈山大学学报（自然科学版）.2011（02）

[3]李思雨.高中化学概念图教学设计与实验研究[D].西南大学.2009

第6篇：高三数学专题讲解范文

关键词： 高考 复习策略 数学学习

一、高考数学复习存在的一些问题

1.忽视考纲与教材。

考纲是教育部门规定的，教材是教育部门规定印刷的。很多老师认为教材上的知识过于浅显，不太适应考试的需求，一般都是简单地讲解基础知识后就不再提及，所以学生自然而然就会忽略教材，不会看考纲。这样的做法是错误的，学习如同建一座高楼大厦，地基打不好，很容易坍塌。

2.死记硬背。

很大一部分学生对公式、定理很陌生，只是死记硬背，不会运用。时间久了，学生经过一遍一遍做题、背公式，在思维中形成固定模式，达到得高分数的目的。但是这种方式是学生被动地接受所有公式及定理，不会举一反三，不能在面对一些没见过的题型时灵活地运用学过的知识点，不会积极主动地思考，只会逃避，甚至有的学生对数学产生了厌恶。

3.盲目做难题。

知识体系的形成和能力的加强都是一点点积累的，需要一个过程，由浅及深，由易到难，由简单到复杂。在教与学过程中，老师忽视简单题的做法，总是给学生出难题，想通过做难题提高学生分数，显然这是盲目的。学习新知识首先应该掌握基础知识，掌握基础题型；其次对基础题型进行变式练习，最终对知识进行创新学习。这三个过程是循序渐进的，不能飞跃太快，不然会导致学生理解不透彻，影响学习效果。

二、高考数学复习策略

1.高度重视教材，务必夯实基础。

高考数学复习应以教材基础知识为主体，系统全面的知识体系不能严重脱离教材，只凭参考资料学习。实际上，教材是复习中最有效且可利用的资源，是提高数学成绩最佳的方式，回归教材一定要重视基础，可从以下两个方面着手：

（1）加强对“双基”的掌握和运用，并且丰富知识。

（2）形成系统全面的知识体系，在复习过程中一定要以教材知识体系为主体，把一样的知识及有关知识放在一起复习。争取做到知识全面化、系统化。在知识概念形成中，一定要切记强调数学思想方法的重要性，学生要加强对数学思想方法的理解并在做题中加以运用。

2.根据每轮复习制订相应的学习计划。

高考数学复习一般分为三轮：

第一轮：系统地巩固基础知识，这一轮复习需要解决的问题是：对书本上每一定义、每一定理、每一公式都要熟练记在心里，并且在理解的基础上学会运用；对书本上的典型例题，一定要熟练掌握它们的解题方法，并且要举一反三，在会的基础上加以拓展，会做类型题。系统形成数学知识，做每一道题要总结思想方法，注意细节，注意题目的陷阱，并且学会总结做题方法。

第二轮：多做专题。高三数学专题一般分为十四个，如三角函数、排列组合及二项式定理等。经过长时间的一轮复习，接下来要有计划地进行专题复习，对部分数学缺少练习的同学是快速提分的有效捷径。

第三轮：高考试题的模拟练习。经过之前两轮复习，学生的基础知识应该会有很明显的丰富，为了使学生在考试时多得分，一定要做很多套的高三考试数学模拟练习题，这是提分的重要方法。找出不足的知识点，查缺补漏，并且要在笔记本上记错题。

3.舍去题海战术，提高做题效率。

很多高三学生认为题做得越多越好，总是买一些材料，盲目地做题，但是这只是一种心理安慰，实际上学生并没有多大提高。最重要的是根据学生的能力选择适合的题，提高效率。高中课堂只有四十五分钟，所以无论学生还是老师都应该珍惜。不要把时间浪费在重复做一些题型上，复习中应该针对自己的薄弱部分积极练习，提高做题效率。

4.提高学生的运算能力。

学生普遍存在“双差”：一是基础知识差；二是学习习惯差。经过高一与高二两年学习时间，每个学生的基础、学习成绩都不一样，所以要根据每个学生的情况有计划、有条理地复习。

通过分析学生的考试试卷发现，学生因为马虎、计算失误出现丢分的状况时有发生，根本原因在于平时教学中更愿意谈做题思路而不具体计算，长此以往，很容易使学生会的题做不对，所以要提高学生的运算能力，提高做题准确率，节省做题时间。

5.规范学生的考试答题习惯。

以下给出几点在高考数学中规范答题的建议：

（1）用好考前五分钟。

很多高三学生在考试试卷发下来的时候很紧张很忐忑，一直盯着老师将试卷发下来，之后写名字、学校、班级，写完之后直接答卷。其实这么做忽略了很多东西，在试卷发下来之后应该先检查卷子是否有问题，并且了解这次考试试卷的出题内容，在心里有一个底，用好这五分钟可以调整自己的心态应对考试，争取得一个好分数。

（2）合理分配答题时间。

现在实行的高考制度是高考数学共120分钟，在这短短的时间中学生要学会把握时间。在仔细地做完会做的题目之后，给自己留出一部分检查试卷的时间，应该在考试开始的时候就对自己的答题速度进行合适规划，再根据做题实际情况进行调整。尽量做到会做的题一定要一次做对，难题不要一直做，把握好整体时间。

（3）做题顺序最好先易后难。

很多学生没有制订计划，在考试的时候按照出题的顺序做题，遇到难题一遍一遍地解，花费很长时间还是没有做出来，结果一张卷子只答完了一半。通常考卷各类题目都是由易到难排列的，通常按顺序做即可，但偶有特殊情况，学生应该及时反应，灵活分配时间。

（4）草稿纸使用要得当。

很多高三学生都有一个特点，就是在草纸上写的字大且乱，往往导致考试时题与题运算的过程中互相影响，所以应尽量使自己答题的顺序在草纸上清晰明了地呈现出来，这样在检查的时候能够找到错误出现在哪里，并及时改正，节省答题时间。

参考文献：

[1]张大均.教育心理学[M].北京：人民教育出版社，2004：245.

[2]魏声汉.学习策略初探[J].教学研究，1992（7）：21-24.

[3]王养锋.浅议高三数学总复习策略[J].学周刊，2012（12）：168.

第7篇：高三数学专题讲解范文

【关键词】高三数学；复习工作；做法

一、结合当前高考形势和学生实际情况，确定复习重心

综观这两年的高考数学试卷，除很少的试题外，绝大多数试题教师和学生在处理时都有一种似曾相识的感觉，绝大多数试题均遵循依纲靠本的原则，考查的是中学数学中的最基本和重要的内容.因此，在平时，中学的教师更应该把精力放在这种档次的内容上，要切切实实做好中、低档题的落实工作，实际上在高考中学生若能够顺利地拿下中、低档题的80%以上的分数，那他的笛Х质在他考大学时应能基本保本或不被拉下太多，这样通过他们自己的努力以及在教师的正确引领下，他们完全可以在高考中轻松地渡过数学这道关口，取得成功.

我在组织高三数学复习中，便主要以高考数学考情的基本形势作为我引导学生复习的方向，不管是第一轮复习还是第二轮复习期间，在题型上，训练主要是以选择题和填空题为重点突破口，力争把所涉及的概念、基础知识讲到位，同时加强对中、底档解答题的训练和强化，对于那些较难的题目，基本上略过，不作为重点去花大力气.同时我通过研究高考试卷发现现在的高考题中，中、底档高考解答题主要集中在三角、立几和概率等内容上，而高三复习中的资料尤其是第二轮复习资料的专题训练中，篇幅却基本上是针对中、高档题，内容上各章节平均用力，在介绍思想方法上，函数、数列、解析几何等作为重点介绍的居多，这个时候，我并不因资料的取向而决定自己的复习方向，也不是根据资料情况安排自己的课时，而是自己根据对高考形势和我们学生的情况制订计划，基本上第二轮复习开始，我每天规定学生的作业中，主要以三角、立几和概率的练习为主，力争把这些章节的基本题型做透做到位，让学生掌握好.力争让学生在高考中面对这部分内容的考题时有“见过”的感觉，从而提高他们成功解答的概率.

二、根据学生实际情况，做好资料的选用工作

高中的数学复习工作，尤其是第一轮复习，要扎扎实实，不要盲目攀高，欲速则不达.若我们高中的数学教师此时仍然对资料照搬照用，那样学生做起这些资料，非常吃力，很多时候确实是“一晚上做一道题还没做出来”，效率极其低下.因此高中的数学教师在组织高三数学复习时，必须要对学生有明确的定位，不可好高骛远，可以自己编写讲义，若是选用现成的资料，对学生一定要说明清楚，在教学中大胆取舍，让自己和学生把精力和时间放在学生够得着的基础知识、基本技能和基本思想方法上.笔者在组织高三数学复习时，也是以学校已经订好的两套复习资料为主，第一套当教材讲解，第二套给学生自己做.我们学生的实际水平与资料的基本要求确实也有一定距离，这时，为了让学生动起来和提高他们解题的效率，我每上完一节内容之后，便把第二套资料上本节内容可以做的题目勾出来，同时要求学生对下一节进行预习，把第一套资料上下一节我要讲解和学习的题目勾出来，要求学生提前准备，没有勾的那些比较难的题目告诉他们可以放弃.由于勾好的题目学生基本上能够得着，因此他们也很愿意做，态度上很积极，效率也比较高，做的也很有成就感，这样便自然地让他们“动”起来了，并且加强了他们学习数学的信心，提高了他们的兴趣.

三、实行以知识点为主线的题组和变式教学，提高教学效率

在高三复习中，对过去虽已学过，但容易遗忘、忽视的知识，我经常通过对题目进行多角度的变换，做好“铺路”工作，由易到难，循序渐进，绝不放过每一个基本知识点；在遇到一些难解决的问题时，通过设计题组，多做“搭桥”工作，减缓坡度，逐步加深难度，让学生有一个慢慢“上坡”的感觉.这样进行反反复复训练，使每一个学生都能基本掌握这些方法，并逐步达到熟练至能够运用的程度.

第8篇：高三数学专题讲解范文

关键词：高三；地理教学；学习有效性

【中图分类号】G633.5

地理在文科中是一门最特别的学科，相对于历史、政治它更偏向理科。对逻辑思维与图形、计算等方面的较高要求使得很多文科生，尤其是文科女生谈地理而色变，地理成为文科生高考提分的瓶颈。每年，因为地理而含恨落榜的考生不在少数。诚然，高考相对于其他考试更注重对学生综合能力的检验，然而无论每年的选题如何多变，材料如何新颖，只要牢牢掌握基础知识，构建自己的知识体系，进行综合素质的锻炼与创新性的培养就能在高考中立于不败之地。

一、提高课堂教学有效性，教会学生自主学习

1.分清轻重，有的放矢

高三更注重知识的分类与整理，如何在高三的学习中帮助学生正确的掌握复习方向，培养其综合能力是每一位老师的责任。教材方面，对于基础性的初中地理知识，要做好基础概念的掌握，学会地图信息的解读。高中教材是重点，湘教版的地理分为必修与选修两个部分，必修部分要加强原理、基础知识的学习与理解。如针对必修一的自然地理部分，要重点学习气候、水文、植被、地形等自然地理要素的内涵，并梳理好各要素之间的联系；必修二的人文地理部分则要综合人口、城市、交通、工业、农业等人文要素内涵的理解，以及各人文要素与资源、环境之间的关系。对于选修部分（环境保护和城乡规划），可以把它渗透在必修中复习，不必单独详细复习。如讲到农业生产、工业生产和城市化时分析其对地理环境的影响等。

2. 合理计划，做好预习与听讲

教师应该对近几年高考的重点进行分析，尤其对出现概率比较高的知识点、题型以及本年度新增的知识点要特别重视，同时制定科学合理的教学计划并提前告诉学生，让学生将自己的学习计划与教师的教学计划相协调，做好预习工作。高三地理不同于高一高二，知识繁多，课堂信息量较大，如果学生课前不做好预习，思维跟不上老师，课堂效率会受到很大的影响，一节课稀里糊涂中就过去了，达不到预期的复习效果。同时，教师要认真组织复习的内容，尽量做到以点带面，挖掘还没有讲到或考纲中新增的知识点，重点讲解考纲中的难点、易错点、高频考点。做好引导学习的工作，在认真细致地讲解每一个重难点时，要注意结合广东高考的特点科学安排复习时间，如地球运动部分，广东高考对这部分主要考查地方时、区时的计算，地转偏向力，昼夜长短的变化规律以及正午太阳高度的变化规律，而且题目的难度较小，故此，教师不仅自已要科学计划好这部分复习时间，也要引导学生不要在这部分花费太多时间。当然，在讲解的同时也要展开实战演练，并及时检查每一位学生的掌握程度，然后进行针对性的指导。通过教师与学生的配合达到课堂效率的最大化。

3. 消除恐惧心理，学会自主学习

很多文科生地理学不好都是因为恐惧心理，虽然地理中与理科相关的逻辑、计算等有很多，但是相对于数学、物理等要简单很多。我们首先要让学生对地理有一个正确的认识，让他们消除恐惧树立自信。地理不同于其它学科，地理与我们的生活息息相关，我们周围的自然环境、人文环境都是地理的一部分。让学生从他们的生活中感受地理。另一方面，教会学生自主学习的方法，杜绝一味的死记硬背，让学生真正对地理产生兴趣。如全球气候问题的学习，虽然气候相关的知识繁多且杂乱，但实际考查的知识是万变不离其宗的，只要掌握了全球气候知识的精华，面对气候相关的考题就能胜券在握。比如全球气候的分布，如果让学生一个个记忆，很容易漏记或出错，应引导学生结合气候成因（如七个气压带六个风带的分布、季风等）进行学习。同时，对几种容易混淆的气候类型，应引导学生进行对比学习，如热带草原气候和热带季风气候；亚热带季风气候和温带季风气候等。

二、构建知识体系，重视图像复习

1.立足基础，构建知识体系

高考考的是学生的综合能力，但不管多新颖的题型都离不开基础知识。只要掌握好基础知识，能对不同板块的知识做到灵活应用，便能提升综合能力，从容应对高考。因此，教师在教学过程中一方面要注重知识的梳理，帮助学生系统化地回顾，寻找各个知识点之间的联系，使得知识系统网络化、结构化，能够让学生加深各个知识的理解，准确地把握知识之间的内在联系。另一方面，要熟读考试大纲与《高考说明》，寻找高考的重点、难点、易错点，地毯式的复习与查漏补缺之后进行针对性的复习，帮助学生熟悉规律，巩固知识，提高技能，总结方法。

2. 重视图像复习，提高读图能力

地图是地理学的灵魂，若想学好高中地理就必须学会读图，提高读图分析能力。地图是高考的重点考查部分，学会看图有利于很多地理知识的掌握。图像复习在于两个方面，首先，要学会从地图中读取有用的信息，如通过读图来寻找地方时首先要区分是侧视图还是俯视图，如果是侧视图则通过寻找赤道与晨昏线的交点来判定地方时。如果是俯视图则要判断最外面那条经线是否是赤道？如果不是则应看晨昏线把每条经线分成的昼夜弧比例进而判断昼长或夜长，再根据昼长=（12-日出时间）×2=（日落时间-12）×2等求出有关地方时。另一方面，每个学生都能将自己所学的知识在脑海中形成一幅活地图，说到哪个知识点就能在第一时间调出，并能将各个知识点通过图形形成联系。

三、专题突破，提高综合应用能力

高三的地理学习避免不了的一项便是真题的演练，很多同学在做广东真题、全国真题的同时还会做很多其它课后资料的习题，题海战术成为大多数学生的不二选择。其实，真题演练是必须的，然而不在量多而在于精。如今的练习题、练习册是数不胜数，如果想通过做完这些来提高解题能力是难之又难，但是如果对一个知识体系进行专题性集中突破就能事半功倍，只要掌握了相关知识点就能解决这一类题型。如正午太阳高度的计算，无论是南半球还是北半球，只要掌握了H=90o-|纬度差|这个公式，就能在知道太阳直射点、当地纬度和正午太阳高度三个未知数中任两个未知数的情况下计算第三个未知数。但是，整体的复习之后可供进行专题复习的时间很少，因此，专题复习要选择重点知识体系进行，还要根据每个学生的实际情况针对他们的薄弱环节进行个别性的专题强化。让学生在做好知识回顾的同时，通过一类题型、相关知识的集中复习能够做到触类旁通。

总之，高中地理只有做到紧扣时代，抓大放小，夯实基础，构建网络化的知识体系，加强地图训练，注重知识间的联系与实际应用，同时帮助学生调整心态，在主观与客观上都做到张弛有度才能在地理学习中做到有的放矢，在高考中取得好成绩。

参考文献：

[1]彭长亮.关于高三地理教学的思考[J].教学研究.2009（02）

第9篇：高三数学专题讲解范文

一、低起点，多层次，面向全体学生培养自己的自信心

文科班学生数学基础和能力参差不齐，少数学生数学素质较好，多数学生是基础差能力也差，针对学生的这种客观差异，我们采用了“低起点，多层次”的教学形式。“低起点”就是放低教学过程的起点，使全体学生从教学过程的开始就能进入活动中去；“多层次”就是将教学内容及其所要达到的目标分成几个由低到高，梯度较小而又层次分别的问题，面向全体学生，异步同纲，使每个学生都能学有所获，使好生充分发展，差生树立信心。

教育家苏霍姆林斯曾说过：“成功是一种巨大的情绪力量”。教学中，我们让每一个学生都有表演自己的机会，使学生都能看到自己可以进步，正在进步，当自己看到自己确实能进步时那种喜悦的心情是一般人难以想象的。通过表扬、鼓励让学生切实地感到学习数学的愉悦，长此以往，必然会使全体学生满怀信心地在面对数学复习，复习效果必将大大提高。

二、遵循遗忘与记忆规律，科学分配复习内容，合理安排记忆时间

复习只有及时才能有效，艾宾浩斯遗忘曲线表明：遗忘的速度是不均衡的，识记后的最初几小时内遗忘的速度很快，以后遗忘逐渐缓慢，到了一定时间几乎不再遗忘。按照这一规律，在以复习基础知识和基本方法为主的第一轮复习阶段，对于同一内容，我们安排多次复习机会；讲课的前一天安排学习复习课本内容是第一次；第二次复习是与课本内容相关的课堂讲练；第三次复习是课后学生整理笔记，做作业；第四次复习是下一次课开始时的作业讲评；第五次复习是章节小测验及其讲评。第六次复习是月考（或期中期末）考试及其讲评。前几次复习时间间隔较短，后几次复习间隔越来越长，这种把同一内容的复习分散在不同时间内进行的复习方法要比集中复习效果好得多，其主要原因是再记忆赶在了遗忘之前，巩固了记忆，正如教育家乌申斯基所说，“应当巩固建筑物”，而不能“修补已经崩溃了的建筑物”。

心理学告诉我们，前面的学习活动会影响后面的学习活动，同样，后面的学习活动也会影响前面的学习活动，在学习过程中，总是开头和结尾阶段的学习效果好，为了收到较好的复习效果，我们把最重要的记忆内容安排在最有利于记忆的时间里，也就是一节课开始后的前几分钟和结束前的后几分钟，前者复习上次课的知识要点，纠正上一次作业的错误，后者小结当堂课的主要内容和注意事项。

三、“大循环，小穿插”，采用三阶段复习方法，夯实基础，提高水平

由于文科学生的数学基础普遍不好，加之一些学生又往往眼高手低，我们从基础知识和基本方法抓起，采用“大循环，小穿插”的三阶段复习方法。

1.复习课本

课本是复习的主要内容，我们以课本为主线复习基础知识和基本方法，当然不是简单重复课本，我们原则是基于课本但又不拘泥于课本，有时候我们把课本中的主要内容抽出来，适当加深拓宽，改编成形式新颖、富有新意的题目让学生练习，有时也让学生先做一些容易出毛病的题目，先“引导学生犯错误”，捅篓子，露弱点，再让学生带着问题看课本，在复习课本的过程中，我们穿插了一些解题方法（如函数最值求法，数学建模求法等），也穿插了一些数学方法（如配方法、换元法、待定系数法等）。

高中数学内容多，通过这一遍复习，可以让学生比较清楚的看到整个中学数学的组成和结构，从纵横两个方面结成一个知识网络，为第二阶段复习打下坚实的基础。

2.专题讲练

专题讲练是按“低起点，多层次”的原则设置的，每一个专题都有明确的主题，每一道题目又都紧扣主题。课堂上，首先老师讲低档题目，并写出规范的解题步骤，使多层次的学生对基础知识和基本方法，分别由不会到会，由不熟到熟，由掌握不全到全面掌握。然后，教师引导学生解答中档题目，教师个别释疑，当好学生基本完成时，教师把学生反映的有共性的问题对全体学生讲解，这对中上学生来说是讲评和检验，对其他学生来说是点拨和提示，最后，中上学生做高档题，其他学生继续做中档题，针对高档题目中学生的共性问题，适时给予指导，在专题讲评中，尽量让学生自己进行思维活动来获得知识，同时也不失时机地穿插一些数学思想（如函数与方程的思想、逻辑分类思想、化归转化思想、数形结合思想等）。

3.综合练讲

这一阶段复习，主要安排在最后阶段，原则是精练精讲，让学生放开手脚，集中时间做题，大胆发挥学生的自主性，明确告诉学生：数学题是动用概念、定理、公式等沟通数学知识和数学方法的题目。它或者条件结论间的关系比较隐藏，或者需要分析，进行较为繁杂的推导演算，或者需要作等价或不等价变换，等等。因此，对于解题，在战略上，我们要藐视它，在战术上又要重视它。在解题过程中，既要思路清楚，方法正确，又要循序渐进，步步为营。对于解题中出现共性问题，采用师生“会诊”的方法，挖出错误根源，定出改错方法，提出防错措施，善于从某些典型错误中，引出带有普遍性的教训，化为全体学生的经验。

最后三个星期，把时间留给学生，让他们有时间查缺补漏，回归课本，同时也穿插一些心理素质方面的教育，介绍一些应试经验，做好充分准备，轻松上阵，满怀信心去迎接高考。

四、加强教学反馈，进行复习控制

高三文科复习的全部过程是一个有机的系统，这个系统的控制者是教师。教师的有效控制是通过对反馈信息的矫正实现的，复习过程中的反馈信息有多种形式，其中，师生之间的反馈信息是最重要的，学生的提问和回答，表情和神态，板演和练习，作业和试卷等等，都传递着反馈信息，教师应善于发现和捕捉，以便及时适宜地调控复习内容方法，顺序和难度。

确保通道的畅通至关重要，师生要密切配合，教师要抓住学生提出问题（或测试）后急于想知道结果的心理迅速及时地给予答复（或批改讲评），准确地把信息输给学生，学生要主动调整学习活动，做对了，要强化方法和技巧，做错了，更要在错误未定型之前及时输入信息进行纠正。