高中数学椭圆焦点精选(九篇)

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第1篇：高中数学椭圆焦点范文

关键词：极坐标；高考题；推广

题目（2007重庆）如图1，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线为x=12.

（1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆上任取三个不同的点P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，证明：++为定值，并求此定值.

图1

解析首先容易求得椭圆的方程为+=1. 为了证明（2），以F点为极点建立如图2所示的极坐标系. 由=12和c=3，可得e==；又p=－c=9，故椭圆的极坐标方程为ρ=. 设P1，P2，P3的坐标分别为（ρ1，θ），ρ2，θ+，ρ3，θ+，则++=++=2－cosθ+2－cosθ++2－cosθ+.

因为cosθ+cosθ++cosθ+=cosθ+cosθcos－sinθsin+cosθcos－sinθsin=cosθ－cosθ－sinθ－•cosθ+sinθ=0，所以++=++＝•6=为定值.

上述试题（2）可叙述为：在椭圆上取三个点，使每相邻两点与同一焦点连线所夹的角均相等，那么这三个点所对应的同焦点的焦半径的倒数之和是一个常数，即=?摇（是一个只与3有关的常数）.

显然，由e=，p=9，可得==.

上述命题还可推广为：

在圆锥曲线上取n个点，使每相邻两点与同一焦点连线所夹的角均相等，那么这n个点所对应的同焦点的焦半径的倒数之和是一个只与n有关的常数（即当n确定之后，这些焦半径的倒数之和是一个常数）.

证明如图3，在曲线上取n个点M1，M2，…，Mn（n≥2），使每相邻两点与焦点F的连线所成夹角均相等，即∠M1FM2=∠M2FM3=…=∠MnFM1=，那么点M1的极角为θi=（i－1）•+θ，MiF=.?摇所以==－•cos（i－1）+θ. 因为n≥2，所以sin≠0. 所以cos（i－1）+θ=•2cos（i－1）+θ•sin=•sini－+θ－sini－+θ?摇=sinn－+θ?摇－sin－•+θ=•2cos+θ•sinπ=0. 由此得到=（是一个只与n有关的常数）.

第2篇：高中数学椭圆焦点范文

在初中数学教学中，需要学生重点掌握的几种数学思想非常明确，其中有代表性的一种便是方程思想．方程是一种非常高效的问题解决途径，方程思想在很多实际问题的解答中也能够发挥出良好的辅助功效．很多条件比较少且比较抽象的问题往往都能够通过方程的构建得以解答．教师要让学生善于观察具体的问题，并且能够对于问题的类型以及考查的知识点有准确判断．这样能够帮助学生在最短的时间内确定合适的解题方法与解题思路，进而让问题得到解答．一旦确定问题可以通过方程思想得以解答，随之需要展开的便是方程的构建或者是方程模型的选择，准确地构建方程是解答问题的关键所在．一、使抽象概念形象化，帮助学生理解数学概念数学概念属于理论知识，是抽象性的文字表述．高中数学的各个专题的学习，都涉及数学概念内容．由于这些数学概念都是高度概括的内容，并且其中运用了丰富的数学语言，所以会给学生的学习带来一定的困扰．在传统的高中数学教学中，教师会让学生通过死记硬背加以记忆．这种机械的学习方式，会导致学生出现“背了又忘，忘了又背”的尴尬局面．根据新课改的要求，教师应该采取形象化的教学方式，从学生的生活实际出发进行教学，也可以结合多媒体进行讲解，让抽象概念形象化，使学生能够真正理解这些概念的内涵．例如，在讲“立体几何初步”时，教师应该使抽象概念形象化．由于学生在初中阶段所学的数学知识是平面几何，而他们到高中之后学习的几何知识是立体几何，所以会觉得有些难度．教师应该帮助学生培养空间思维，从学生所熟悉的事物入手，帮助学生理解数学概念．该部分内容涉及四棱柱、长方体、正方体以及平行六面体等概念，要是教师直接告诉学生“正方体就是侧面和底面都是正方形的直平行六面体”这一概念，就不能真正地帮助学生理解正方体的本质．在讲解立体几何内容时，教师不妨结合教室内的桌椅等几何物体，或者用多媒体向学生展示三维物体，使学生能够真正把握数学概念．

二、使抽象问题情境化，调动学生的学习热情

高中数学教材中不仅涉及数学概念，而且包括很多数学问题．这些数学问题同样也很抽象．在传统的高中数学教学中，教师通常会采取题海战术，错误地认为学生做的题目多了，自然就会解题了．事实上，这种教学方式正是受到了应试教育的影响所致．在新课改背景下高中数学教学中，教师应该使抽象问题情境化，通过创设数学问题情境，让学生结合生活实际理解所学内容．在这样的教学方式下，学生会变得更加主动．例如，在讲“函数”时，教师应该使抽象问题情境化．教师可以让学生比较函数的性质，然后结合方程和不等式内容，强化学生对该部分内容的理解．教师可以将生活中的函数实际应用范例引入到课堂教学中．教师也可以用多媒体向学生展示银行利率表、股市走势图以及一周的最高气温的走势图等，让学生结合这些图象内容体会生活实际和函数模型之间的联系．又如，在讲“函数单调性”时，教师应该将方程与图象相结合，通过数形结合的方式，让学生更加直观地理解函数单调性的问题，从而把握函数的变化规律．由此不难看出，问题情境的创设，可以使原本抽象的数学问题变得更加直观，使学生更容易理解．

三、使抽象方法直观化，提高学生的数学水平

高中数学知识同样涉及数学方法的应用等问题．在学习数学的过程中，要是学生不能掌握数学方法，将会给他们后续的学习带来很大的困扰．因为数学方法是数学思维的体现，而学生如果不能够掌握这种思维，就无法掌握数学知识．在传统的高中数学教学中，教师直接让学生机械地模仿自己所讲的数学套路，而对于采取这种数学方法的原因则漠不关心，这种知其然却不知其所以然的学习态度，显然会给学生的数学学习造成负面影响．这就要求教师使抽象方法直观化，帮助学生提高数学水平．例如，在讲“椭圆”时，教师应该使抽象方法直观化．教师以往直接让学生观察一个椭圆形的物体，然后对椭圆的知识点加以讲解，这样学生就可能只是对椭圆的性质有所了解，而对其本质的特点却没有掌握．教师应该利用多媒体的方式向学生展示椭圆焦点变化时，其轨迹也会发生变化．同时，教师可以利用一块纸板、两枚图钉以及一段细绳进行实验，先用这些物品组合成椭圆的形状，然后试着改变图钉之间的距离，让学生观察椭圆发生的变化．事实上，实验中用到的图钉相当于椭圆的焦点．通过这样的讲解方式，学生能够更加直观地理解椭圆中各因素之间的联系．

第3篇：高中数学椭圆焦点范文

关键词：高中数学；教学设计；理论；实际

纵观课程改革前后的高中数学教学，会发现在教学设计这个环节经历了不少的变化.课程改革之前，教学设计更多地等同于写教案，写教案的过程就是教学设计的过程，其主要功能是将教师的教学思路文字化. 这一过程对于相当一部分教师尤其是教学经验丰富的教师而言，可能是多余的，因为即使不文字化，其课堂也能进行得有声有色. 换句话说，这样的过程其实不涉及教师教学水平的提高，自然也不涉及教师对教学的思考；课程改革开始之后，教学设计增添了许多原先不熟悉的内容，如数学探究、自主学习、合作学习等，在这个过程中，自主、合作等原本具有专门意义的概念被赋予了经验性的解读，“自主学习”成了学生自己去学习，“合作学习”成了学生通过小组的方式去合作，去讨论.

今天，以从中科院院士到普通一线教师对数学课程标准的反思甚至是质疑为标志的反思新课程，使得高中数学教学理性了许多. 在这个时间跨越的过程中，高中数学的教学设计其实始终面临着理论与实际两个方面的挑战，一个理论上很好的教学设计，如何转化为有效的教学现实，也成为高中数学教师不断思考的问题.

[?] 理论先行，基于教学设计的高中数学教师专业成长

是理论先行，还是经验先行，这是高中数学教学设计时必须思考的问题. 在忽视专业成长的情形下，教师的教学设计常常是依赖经验的，甚至刚刚走上讲台的年轻教师，其教学设计的依据也往往是其在学生时代接受过的教育痕迹.然而，从教师专业成长的角度来看，笔者感觉教学设计时还是理论先行的好.

譬如“直线与平面垂直的判定定理”教学设计中，有教师提出了这样的问题：除了定义外，有没有更好的方法判定一条直线与一个平面垂直呢？

这一问题引起了笔者的兴趣，为什么教师会设计出这样的一个问题呢？是随意之举吗？笔者以为不大可能，因为笔者知道该教师是一方名师，举手投足之间有大师之蕴，其教学绝对不可能有随意之举. 可当面求教的可能性不大，于是该问题一直存在于笔者的头脑当中. 后来在一本数学教学相关的心理学书籍当中看到这样的一层意思：基于学生已有的认识，通过问题的提出去驱动学生的发散性思维，不仅可以深化对原有知识的认识，还可以拓宽学生的思路，使得教学系统化. 结合对这一问题的思考，笔者以为这样的设计在直线与平面垂直定义的基础上，通过问题驱动学生的发散性思维，从而为判定定理的寻找提供了认知氛围. 也就是说学生在教师这一问题的驱动之下，有可能会这样思考：确实，通过定义可以有效地判定直线与平面的垂直，但只满足于通过定义去判定是不够的. 也许还有更多的方法可以判定. 既然是判定，那就需要严密的证明，而这恰恰是数学所强调的……类似于此的学生在学习中的心理活动，成为高中数学教学的坚实基础.

笔者这一判断来源于理论学习，而理论学习是高中数学教学得以不断提升的重要基础. 事实上，能够让高中数学教师有所收益的理论书籍并不少，从最基本的课程标准（笔者以为高中教师关注义务教育的数学课程标准也是必要的），到《数学思维教育学》（张乃达著），再到《中学数学思想方法概论》（王林全著），再到当代数学大家张奠宙、郑毓信等人的著作等，均可以有效地滋养高中数学教师的专业底蕴.

[?] 有效教学，基于评价需要的高中数学教学应然取向

只攻理论是不够的，两个原因：其一，只攻理论而脱离实际，往往容易让自身的教学空心化.需要知道的是，无论是什么样的教育理念，都不足以解释课堂上学生的所有学习行为，理论相对抽象，再好的理论在教学实践面前也是狭隘的. 理论是用来指导教师的教学行为的，教学行为是依赖于学生的学习而存在的. 其二，只攻理论容易导致教学无效化，这与当下的有效教学是矛盾的. 毕竟，在提高学生的数学素养的同时，提高学生的应试能力，才是当下高中数学教学的应然取向.

同样在“直线与平面垂直的判定定理”教学中，笔者进行了这样的一个设计：（学生实践）将一张长方形的纸片对折之后稍稍展开，然后放在水平桌面上，判断对折之线与桌面之间的关系，并利用数学知识证明.

在教学设计中笔者特别强调必须有一个学生实践的过程，因为笔者在以前的教学实践中发现，相当一部分学生的空间想象能力是比较薄弱的，而这对立体几何的学习造成很大的困扰. 而理论学习又让笔者意识到，要培养学生的空间想象能力，重要的方法之一就是让学生去观察、去实践，在实践中体验，在体验中生成的思维能力，可以培养学生的空间构思能力. 后来的教学实践表明，这一策略是有效的，相当一部分数学基础薄弱的学生在本问题解决的过程中，表现出了良好的想象能力. 具体来说，就是即使对于数学知识基础不佳的学生而言，通过实际操作来为数学学习提供情境总是没有困难的，而如果教师将学生的思维抽象成两个面所共之线与桌面的关系，那学生的思维其实也就完成了数学建模的过程. 成功建立了模型，学生的数学思维就有了对象，这样学生可以迅速地在实践中将具体的实践结果，抽象成“垂直于一个平面上两条相交直线的直线与平面垂直”的数学结论. 尽管这一结论与科学的判定定理还有文字上的差别，但意思已经几乎是一模一样了.

从教学过程与结果的角度来看，这一策略是有效的. 而这一教学事例也让笔者进一步认识到：教学设计应当基于实际需要，应当瞄准有效教学的需要，并在理论的滋养之下才能起到真正的教学蓝图的作用.

[?] 理论与实际的互相促进，高中数学教学的必由之路

如上所说，教学设计是教师教学的蓝图，是实际教学行为发生之前在教师头脑中的预演，说白了也就是将教学预设形象化的过程. 根据笔者的学习经验，这应当是一个基于教学经验，然后将经验上升到属于教师个体的理论的过程，然后在科学的教学理论的作用之下，个人朴素理论与科学教学理论相互碰撞，生成教师能够理解内化的教学理念的过程.

这一过程若要想取得实效，还有一个关键的地方，就是教师的研究对象必须立足于学生，要通过对学生的学习过程与结果的研究与分析，发现学生在数学学习过程中有什么样的想法.

事实上，在上述“直线与平面垂直的判定定理”教学中，笔者就注意到有少数学生在实践活动中“偷工减料”，他们不是对折了一张长方形纸，而是将课本打开后竖在桌面上，结果得出了与一个平面上两根曲线垂直的直线也与平面垂直的结论. 这样的结论是对还是错，学生的思维是对还是错，学生的这一实践对课堂是否有意义？梳理这样的问题，其实对于拓宽学生的理解也是有益的. 比如说如果将学生的结论变更为与平面上曲线上某两点的切线（相交）相垂直的直线与平面垂直，其实也是有道理的.

第4篇：高中数学椭圆焦点范文

一、数学解题思维的含义

所谓数学解题的思维，就是在掌握已知的数学基础知识的基础上，灵活运用解题技巧，归纳解题方法，并且将之运用到其他题目的解答中，形成“举一反三”的效果.可以说，数学解题思维的能力高低，是衡量数学能力的重要标度.只有形成连贯又顺畅的数学解题思维，才能真正的在数学的世界里，游刃有余.尤其是在高中数学学习阶段，很多学生没有形成良好的思维习惯，在课堂上明白老师所讲的题目，但是轮到自己解题时，便变得束手无策，这就是数学解题思维薄弱的结果.

因此，应培养良好的数学解题思维，从具体题目总结学习数学的方法和策略，破除题海战术的弊端，形成高效的数学解题思维策略，启发学生从一定“高度”上来看待数学问题，由已知推向未知，由局部推向总体.

二、 高中数学解题的思维策略

1.数学思维的灵活性

数学思维的灵活性即根据数学题目的相关要求，提出灵活而又简便的解决方法.数学题目千变万化，掌握一类题型的解决方法，不是掌握一道题怎么做，而是明白这一类题型的特征，并且根据特征对症下药.

（1）细心观察

观察是数学解题的第一步，良好的观察力可以帮助解题者事半功倍.解答任何一道数学题，都包含一定的数量关系和解题技巧，想要轻松解决，就要先从整体上观察题目的特征，认真思考，透过现象观察本质.

如我们在“曲线方程”单元的一道填空题 ：

已知点P（x，y）满足方程 x+y-1=x2+y2，则点P（x，y）的轨迹是.

看到这道题目，我们很自然的就会联想到是求曲线和方程的常规题目，通常做法是将等式右边的根号去掉，然后根据变形的方程确定点P的轨迹.但是当我们化简这个方程，将两边同时平方之后，发现左边出现了三项的平方和公式，即出现了x与y相乘的形式，但是这是我们在高中所没有学到的轨迹方程.此时，很多同学就容易将此题放弃掉，觉得没有解决方案.但是再仔细观察题目，我们可以联想到这道题无非就是要求解出圆、椭圆、双曲线和抛物线这几种曲线中的一种，根据定义进行大胆推理.

将原等式中的一侧化简为1，即变形成x2+y2(x+y-1)=1，然后再同时除以2，得到x2+y2（x+y-1）/2=2，这样就可以看出动点P的轨迹是双曲线了.

（2）勤于联想

联想是解决疑难问题的桥梁，稍微有些难度的问题只要经过几步简单的联想就能和已学的基础知识建立联系.因此，联想能力直接影响到解题速度和准确率.找到合适的突破口，将已有的知识储备合理运用才是解决高中数学题的王道.

2.数学思维的思辨性

数学思维的思辨性，就是在解决数学问题的时候，不盲从、不轻信，有自己的独立思考能力，并且能够根据自己精确地推理进行验证，总结出属于自己的独特的解题方式.数学思维的思辨性与解题者的创造性和思考力具有很大关系.很多题目学生在接触之初,都容易用定式思维去思考，按照常规套路去解答.但是有些题目，出题人就是抓住学生的这种弱点，进行反向出题.如果不能跳出定式，就会掉入陷阱.

因此，数学思维的思辨性在解决一些看似常规，实则巧妙的题目上是非常重要的.如何灵活地运用思辨性，是每个高中生都应该深入思考的问题.

如湖北卷理科高考题：已知椭圆x216+y29=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P 在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x轴的距离为( ).

A.95 B.3 C.97 D.94

看到题目的时候学生会想当然的认为点P是直角顶点，根据公式求得答案为C.但是事实上，根据选项的特征，若我们不能确定哪一个点为直角顶点，则应该为多选.但是此题为单选，说明直角点确定.根据图形的特征，我们可以确定焦点为直角顶点，再根据椭圆性质和勾股定理即可得到D为正确选项.

第5篇：高中数学椭圆焦点范文

【关键词】高中数学；圆锥曲线；复习策略

圆锥曲线作为高中数学中最为关键的知识点，在内容上，复杂枯燥，学生在解答相关题目的过程中，需要掌握利用的知识点繁多，覆盖范围特别广，因此，高中数学老师在教学的过程中需要加强学生的思维能力和图形分析能力的培养。

一、将复杂的数学知识简单化

在课堂教学中，教师要让学生有自主发现，自己总结，不能只提供给他们一定的正确的结果，有些答案，只有他们自己经过思考，经过重复的错误才会得出，并且，他们会对所学的知识掌握的更加深刻，更加透彻。在学生进行解题的过程中，教师可以适当指导，力求得出最简单的解题方法，举一反三，避免采用“题海战术”，引导学生逐步掌握圆锥曲线的解析方法。例如在解析圆时先为学生列举以下知识点：1.定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.2.方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2；圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED半径是2422FED。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D)2+(y+2E)2=44F-ED22②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-2D,-2E)；③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形。（3）点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=2020b)-(ya)-(x。（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离22BACBbAad与半径r的大小关系来判定。

二、重视教学模型对理论知识的表达

在椭圆的定义这节课中，教师在引导学生对基本概念进行理解学习的同时，还要能够采用边讲边画的形式对学生展开教学。椭圆是平面内到顶点F1\F2的距离之和等于常数的动点P的轨迹，F1、F2是推远的两个较焦点，其位置是固定的，椭圆的数学表达式是，|PF1|+|PF2|=2a(2a＞|F1F2|)。在课堂教学中，教师要引导学生加强对焦距的掌握，通过对焦距线条进行明确的标注，让学生明白F1、F2之间的距离叫做焦距，并且通过这种方式，也加强了学生的印象。在课堂上，教师通过采用这种边讲课边画图的方式，能够更好的帮助学生对于概念的理解。没有理解性的记忆只能称为死记硬背，在解题时，学生根本不能够将记忆中的知识灵活运用，再者，在椭圆的定义这堂课中，2a也是教师讲解的重点，此时，教师可借助一根线绳来完成课程的讲解，教师可以在黑板上画出两个点F1和F2，取出一个线绳长度定义为2a，注意F1F2之间是的距离一定要小于2a，在点F1、F2的位置将线绳固定，之后可以用粉笔支撑起线绳，可以在任意位置，同时在黑板上记录接触点，此点用P表示，粉笔可以随意的移动位置，可以看出所有P点出现的位置汇集成类似半圆的弧线。仿照上述做法，在另一端也能够出现类似弧线，通过结合形成了椭圆。

三、画图是解决数学问题的有效方法

高中数学的学习，注重的是图形表达，学生的画图能力要得到相应的提高，将知识和图形相结合，使知识更加直观，学生们对此记忆和理解也会更加深刻，这样在解决椭圆曲线类的问题时学生才能够更加的得心应手。例1就是需要用画图解析椭圆和曲线的习题。例1：直线R:a－b+2=0与曲线W:b=a2相交于点M(a1，b1)和N(a2，b2)，M、N两点之间的距离为1直线同曲线所围成的区域用P表示，如果曲线K:a2－2ea+y2－4b+e2+68/36=0同P之间具有公共点，请求出e的最小值。在解答此类题目是时，如果知识通过计算是很难得出正确答案的，此时，学生可以借助图形来理解题目，针对整个题目，学生可以很明确的得出，曲线K的圆心位置正好与直线b=2重合，曲线K和区域P是具有公共点的，但是要明确曲线K和P的共同点是直线R的缺点还是两点之间的交点，这还是需要通过画图才能够明确的。所以，对学生进行画图能力的培养是很有必要的。

就现阶段而言，我国高中数学教学中依然存在一些问题，特别是在圆锥曲线方面，由于此类题目的综合性较强，学生在解答此类题目时往往不得其法，在这类知识点中失分。这就要求数学教师在教学过程中必须重视引导学生对基本概念的理解和掌握，同时要指引学生熟练掌握解题方法，从而促进学生圆锥曲线知识的学习。

作者:丰效辉 单位:淮北市实验高级中学

参考文献：

[1]王小龙.高中数学圆锥曲线教学中存在的问题与解决策略[D].海南师范大学,2014(04).

第6篇：高中数学椭圆焦点范文

关键词： 问题解决 建构主义 高中数学

高中数学对高中生而言是非常重要的一门学科，因此数学教师需要采取各种策略全面提高学生的学习素质。“问题解决”作为一种全新的数学教学理论，具有非常强的适应性且与时俱进的特点，让学生带着疑惑在解决问题的过程中主动探索知识，从而使数学素养与创造性思维不断升华。

一、创设情境，提出问题

“问题解决”课堂模式的第一步就是创设情境，引导学生提出问题，充分发挥学生的学习自觉性和主动性。在教学时必须尊重学生的主体地位，提出问题是解决问题的大前提，因此第一步必须格外重视。

如讲解人教版高中数学教材必修三第三章3.2.1《古典概型》这节课时，教学目标是让学生掌握古典概型的特点和概率计算公式，进一步发展学生类比、归纳、猜想等合情推理能力。上课时为了引出古典概型，让学生主动提出问题并进行学习，创设这样一个情境：讲桌上有红桃A、2、3、4、5五张牌，我从中任意抽取一张，抽到红桃A的概率为多少？学生马上说出答案为1/5，我便问他们是如何快速得到这个1/5的，学生稍加思考后我又创设另一个情境：拿出一枚硬币随意抛一下，正面朝上的概率为多少？紧接着我又问他们运动员射击时只有命中十环、九环……五环、不命中七种情况，那么命中九环的概率为多少？学生跟着我创设的这三个情境稍加思考后发现，前两种情境是相似的，而第三种则不一样，便开始疑问这两者区别在哪里，在数学上是如何进行分类并总结计算公式的，这时我再讲解古典概型便达到事半功倍的效果。

在上面案例中，我通过创设情境引导学生提出问题，进而传授课堂知识，不但切实践行“问题解决”教学模式，还大大提高课堂效率。

二、合作交流，解决问题

所谓“问题解决”课堂模式，核心步骤是让学生通过互相之间的交流探讨解决问题，这一过程不但可以巩固学生对基础知识的掌握，还可以培养学生的主动探究能力与独立学习能力。

如讲解人教版高中数学教材必修四第三章3.2《简单的三角恒等变换》这节课时，教学目标是让学生掌握运用和角公式、倍角公式进行三角变换的方法，同时掌握y=asinα+bcosα的三角函数的性质。上课时，先引导学生复习和角、倍角公式，之后为了让学生主动探索知识，给他们讲解几个简单的例子，如函数y=sinx+■cosx，通过变形将此函数变为y=2sin（x+Π/3），再通过三角函数的性质求解这个函数的周期、最大值和最小值。同样的道理我又给出几道题目让学生自己求解一下，感受解题过程，然后让学生根据函数y=Asin（wx+ψ）的性质探讨y=asinα+bcosα这个函数的性质，并在组内或者组间交流，尽量自主解决这一问题。最后学生发现上述函数可变形为y=■sin（α+β），进而可解决相关问题。

在上面案例中，我通过简单引导，让学生尝试合作交流、自主解决问题，不但培养他们独立学习的习惯，还大大加深他们对知识的印象与理解。

三、反馈评价，归纳问题

数学课堂不是一个简单的教师传授知识的平台，而是双向互动的学生学习知识的平台，因此我们在教学中应鼓励学生及时反馈他们的想法，并进行多元客观评价，从而归纳问题，得到良性提高。

如讲解人教版高中数学教材必修五第二章2.5《等比数列的前n项和》这节课时，教学目标是让学生掌握等比数列的前n项和公式并会运用其解决相关问题，从而培养他们的数学理性思维。上课时先通过情境创设让学生主动提出问题，有想要探索本节知识的欲望，之后让学生分组探讨一下等比数列前n项和公式的推导，这时不同学生推导方式就各有千秋，于是让每组派一个代表一下刚才推导过程中用到的方法及出现的问题，也可以发表在这个过程中自己的感受与收获。有的学生是用乘以公比的方式推导的，有的学生是用各项作差再相比的方式推导的，也有的学生推导时忽略q=1的情况。这样通过每组代表的反馈，最后我再进行客观的评价及答疑，让课堂变得丰富多彩。

在上面案例中，通过让学生及时反馈学习中存在的问题并进行评价，不但有利于我总结归纳问题，还帮助学生开阔思路、避免错误，可谓深度“解决问题”。

四、变式拓展，升华问题

数学问题都不是独立开来的，一个问题往往可以进行无数变式拓展，从而形成一个知识链，这样的过程可以让学生做到以点带面、举一反三，因此教学中不容小觑。

如讲解人教版高中数学教材选修1-1第二章2.1《椭圆》这节课时，课本上有这样一道题目：已知P是椭圆上一点，且以点P及焦点为顶点的三角形面积为1，求点P的坐标。上课时，先根据三角形面积公式求出点P纵坐标，再根据椭圆方程求出点P横坐标，这道题目不算太难，我简单向学生讲解这道题目之后，为了检验学生是否真正掌握该种类型的题目，又出几道变式题。如令F1F2P为直角三角形、求点P到x轴的距离，或者两点在椭圆上，一点为焦点，求三角形周长，学生通过做这几道题目更巩固这个知识点。这些题目都不算太难，但是极易出错，这样的变式拓展不但可以避免学生出错，还引起他们对这个问题的重视。

在上面案例中，通过对题目进行变式拓展，不但加深学生对某个知识点的掌握，还将这个问题进行了升华，保证学生对这个问题百分之百掌握。

纵观全文，要开展“问题解决”课堂模式，需要创设情境，引导学生提出问题，开展合作交流，鼓励学生解决问题，需要鼓励反馈评价，总结归纳问题，需要通过变式拓展，升华问题。这四个方面缺一不可，都是我们建构“问题解决”课堂模式非常重要的实践与探索过程，都是数学教学飞速进步的不竭动力。

参考文献：

第7篇：高中数学椭圆焦点范文

新教材融进了近、现代数学内容，精简整合了传统高中数学内容。与以往教材相比，教学内容增多，教材明显变厚，教材的难度有所降低，高中新课程的课时数减少，但高考选拔人才的水准不可能降低。与义务教育初中阶段的课程相比，其教学容量和教学难度大为提高。如何研究新教材，按照高中学生的个性特点和认知结构，设计出指导学生高效率学习的有效方法，以使学生适应新教材，顺利完成初高中数学衔接学习，培养学生自学、探索和创新能力，体现《标准》的原则和精神，已十分紧迫地摆在我们面前。高中数学新课程对于学生认识数学与自然界，数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值，应用价值，文化价值，提高提出问题，分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用．实施新课程，渗透新理念的主要渠道依然是课堂教学，因此，如何处理好新课改下数学课堂教学，是每一位高中数学教师所需要研究的问题。本文就此问题作如探讨：

一、把握好学科的语言教学

数学课堂上，数学教师的作用在于通过生动形象的教学语言把严谨而抽象的数学学术

形态转化成生动形象的教育形态，引导学生在充满情趣的、轻松的课堂环境中完成学习任务。教学教学不是一步到位，而是分阶段，分层次，多角度的，因此，高中数学课堂教学中应更注重学生的认知规律及学生的学习兴趣．以此来改变教师脑海中原有模式，发现新问题，采取新方法，新策略，打破旧框框，找到更加合理的授课方法，只有这样才能把握好教学的深浅度，只有这样才能处理好课时问题．依据学生的实际情况加入过渡知识，做好新旧知识的衔接．如"不等式"是数学解题的一个常用工具，是否在讲集合的运算前加讲一些简单不等式的解法的教学(如"一元二次不等式"和"简单分式不等式"等)，这个是集合这一章教学中面临的最大问题．新课程对集合的要求只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力，而不在于集合的等价变形，更不在于集合更深层的运算．因此教学中要切实把握好集合的"语言"教学，如确要加讲一元二次不等式和简单分式不等式的解法，则要控制好难度，深度，否则课时又会成为问题．又如立体几何内容教学应先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空间几何体的点，直线和平面．这样有助于培养学生的空间想象能力，几何直观能力，即立体几何的"直观性"．

前苏联教育家马卡连柯说过：“同样的教学方法，因为语言不同，其效果就可能相差20倍。”数学教师也只有尽力锤炼好自己的教学语言，才能充分体现语言“化深奥为浅显，化腐朽为神奇”的魅力，才能最大程度地提高教学效率。

二、倡导自主、交流、探究的学习方式

数学课程标准提出“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，应该通过观察、操作、猜测、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解，从而使知识得以内化，方法得以迁移，能力得以形成。

因此，在高中数学课堂教学中我们要倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。

比如，在讲解椭圆的标准方程时，焦点在x轴上的，老师为学生推导，在讨论焦点在y轴上的方程时，老师就应引导学生自己动手模仿推导，只有学生自己亲自体验了，才知道推导的过程，以及在这过程中应该注意的问题，甚至有的同学通过探究发现求焦点在y轴上的方程时，求解过程只需将求焦点在x轴上的方程中的x与y互换就可以了。到了讲解双曲线的方程时，老师先引导学生回忆椭圆方程的求法，然后放手让学生自己推导，先让学生之间共议，再师生共议，然后得出双曲线的方程，这样创设一定的问题情境可以开拓学生的思维，给学生提供自主、交流、探究的发展空间。

三、注重学科思想方法，培养终身学习能力

数学思想方法是数学的精髓，它蕴涵在数学知识发生、发展、应用的全过程。对它的灵活运用，是数学能力的集中体现。因此，在高中数学课堂教学中“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生。

例如讨论直线和圆锥曲线的位置关系时的两种基本方法：一是把直线方程和圆锥曲线方程联立，讨论方程组解的情况；二是从几何图形中考虑直线和圆锥曲线交点的情况，利用数形结合的思想方法将会使问题清晰明了。注重知识在教学整体结构中的内在联系，揭示思想方法在知识与知识之间的相互联系、互相沟通中的纽带作用。在一定程度上讲，数学思想、数学方法的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，更是提高学生数学能力的必由之路。我们在教学的每一个环节中，都要重视数学思想方法的教学，“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，数学思想的形成才能使学生受益终生。

四、启迪学生思维，教会学生思考

1.设计一题多问，促进自主学习

对于新知识的学习，通过问题形式揭示知识的形成过程，让学生自己去尝试、去探索、去发现，其效果远胜于教师单纯的讲解。数学上任何一个知识点都有其形成过程，或是对实际问题的数学抽象，或是对旧知识进行归纳、类比后推理得出结论，这种数学抽象或推理的过程就是知识的形成过程，如果学生能掌握这些知识的形成过程，就能从整体上把握知识的结构，沟通知识的联系，弄清知识的来龙去脉，将知识学“活”。这就要求教师善于挖掘这些知识的产生过程，并将其分解成若干个问题，一步一步地去引导、去探求、去发现。在知识的形成过程中，学生的发现思维能力在不断形成、不断完善、不断总结中得以提高，进而避免了知识上的死记硬背，应用上的生搬硬套现象。

第8篇：高中数学椭圆焦点范文

例1.已知椭圆的两焦点为F（-，0），F（，0），离心率e=，

（1）求此椭圆的方程；

（2）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.

解：（1）设椭圆方程为+=1，则a-b=c=3，e==，

解得a=2，b=1，所以椭圆方程为+y=1.

（2）显然，直线AB斜率存在，且不等于0，不妨设直线AB斜率为k，且k＞0.

设直线AB∶y=kx+1，BC∶y=-x+1；

联立直线AB与椭圆方程得：x+4（kx+1）-4=0，即（1+4k）x+8kx=0，

则x+x=-，xx=0，（x-x）=（x+x）-4xx=；

则|AB|==，将此式中的k换成-，可得|BC|=.

令|BC|=|AB|，得：=，即k-4k+4k-1=0，

也即（k-1）（k-3k+1）=0，解得k=1或k=.

所以，有三个这样的三角形.

点评：此题利用对偶关系非常快捷地由|AB|得到|BC|，并且假设k＞0，从而达到简化运算的目的。

例2.中心在原点O，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=1，交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM的斜率为，且OAOB，求椭圆的方程.

解：设椭圆方程为mx+ny=1，联立椭圆与直线方程得：（m+n）x-2nx+n-1=0，

从而x+x=，xx=；

将两式中m，n的位置互换

得y+y=，yy=；

所以M（，），由OM的斜率为得：=…………①

由OAOB，得xx+yy，从而m+n-2=0…………②

联立①②两式解得m=2（-1），n=2（2-）；

所以，椭圆方程为2（-1）x+2（2-）y=1.

点评：此题利用充分利用椭圆方程中的字母的对偶关系，巧妙地得到y+y，yy的值。

在高中的解析几何计算中只要题目中的式子出现了类似的对偶的量，就可以使用这种对偶关系来简化运算。在高中数学的其他板块都可以发现有类似的对偶关系，希望可以帮助学生稍微从繁复的运算中解脱出来。最后留下两个题目，读者可试着加以运用。

1.已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OPOQ，其中O是坐标原点，求+的值.

第9篇：高中数学椭圆焦点范文

关键词：高中数学；类比教学；教材二次开发

中图分类号：G632.0 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）04-084-02

当前各地使用的苏教版高中数学教材一共有必修系列五本书，理科选修系列2―1，2―2，2―3三本书，文科选修系列1-1，1-2两本，以及理科附加部分选修4系列――《几何证明选讲》，《矩阵选讲》，《极坐标与参数方程》，《不等式选讲》，涉及函数，三角，不等式，数列，解析几何，立体几何，概率统计等大大小小的二十多章节的知识，涵盖面相当广。

而在众多的章节知识中，或多或少存在着某些联系，进一步探究这些知识点的相互关系，我们发现在日常的教学活动中，许多问题的教学内容，研究的方式，基本的题型和解题思路，教学手段方式方法都是相通的，在教学中有必要对这部分内容进行再思考，再开发，采用类比的方式进行教学。

一、高中数学教材中可进行类比教学的知识点

1、必修1――指数函数与对数函数的研究方法

2、必修4中的平面向量与理科选修2-1中的空间向量的相关知识

3、必修4中的正余弦函数，正切函数的图像与性质的研究，正余弦的和角公式的应用

4、必修5中的等差数列与等比数列的教学

5、理科选修2-1中的椭圆方程与双曲线方程的教学

6、理科选修2-2中复数的教学与实数相关知识的类比

7、理科选修2-3中的概率与必修3中的概率

二、类比教学的具体内容

1、对研究对象的具体知识点进行类比

如平面向量和空间向量中都涉及到向量的表示方法，向量的加减法，数乘，数量积的运算，向量的坐标表示及相关的运算公式

2、对研究对象的具体研究方法进行类比

如指数函数和对数函数图像与性质的教学中，都是结合图像分别研究其定义域值域，单调性，过定点问题等，都按照底数大于1和小于1两种情况进行分类讨论，教学中可进行相关类比。又如正余弦函数的图像与性质也是如此。

3、对研究对象涉及的相关考试题型进行类比

如等差等比数列中都涉及到数列的求通项，求和问题。圆锥曲线中的椭圆与双曲线都涉及到求标准方程，求离心率，准线方程问题等。而这些典型问题的处理方法和易错点也是类似的。

4、在原有知识的基础上进行再研究，再拓展

三、类比教学的具体实施过程

首先学生要对已有旧知识进行回顾，对之前的研究方法，研究中涉及的内容，典型题目进行回顾反思，具备一定的知识框架结构。没有旧知识的铺垫，新的内容将无法有效地展开。教师在具体的教学过程中要对原有的知识进行一下简单有效的回顾，也可以在教学过程中进行回顾，甚至可以让学生自己回顾，根据学生的回顾有针对性地进行教学。因此在进行类比教学前，师生双方都要做好充分的准备，由此才能更好地开展新的教学活动。

其次，教师要对本节课所要教学的内容，结合原有知识进行相关的类比设计，制定相关的问题，引导学生的回忆和类比。可以设计相关的表格让学生自己试着填写，并对学生提出的想法进行评价。学生的类比有些是正确的，有些是不完整的，还有些是错误的，因此教师要根据具体问题进行点评，指导学生完成类比，掌握正确的知识。在教学的过程中，应该多让学生自己提出问题，而非由教师直接给出正确的结论。

以下是在双曲线教学中与椭圆相关知识进行类比，设计的部分表格：

研究内容 椭圆 双曲线

图像怎么画出来的？

根据图像给出第一定义（定长与定点间距离的关系）

根据第一定义求出标准方程 （如何推导）两种情况，如何根据方程判断焦点位置

根据图像研究几何性质――对称性，顶点坐标，焦点等

……………

……………

典型例题

思考：两者还有哪些区别和联系？

当然也可以事先不设计相关的类比问题，完全由学生在实际的教学活动中动态生成，学生想到什么问题，我们就来研究什么问题，让整个课堂思维更加开放，让教学内容更加发散，而这样的教学方式必然要求教师具备良好的课堂驾驭能力，丰富的知识储备，对教师提出了更高的要求。还可以让学生在课前先进行自我思考，提出自己的问题，然后在课堂上根据之前的问题有选择的进行教学，也可以在教师的指导下，让学生自行解决自己提出的问题。

最后，教师要对整堂课的内容进行有效的总结。学生提出的类比问题可能是零碎的，不成体系的，要对这一堂课涉及的内容进行分析总结，理清相互间的关系，让学生在回顾原有知识的同时，一方面对旧知识有了更深刻的认识，另一方面对新知识又进行了有效的学习，达到一举两得的教学效果。

四、类比教学的优缺点

通过对原有知识的类比，进行新知识的学习。一方面使学生对先前的学习内容进行的有效的复习回顾，防止学生的遗忘。当前学生普遍存在的问题就是前学后忘，往往前一章内容学完，没过多久就忘光了。原因在于缺少自己的回顾反思，没有将书本上的知识真正转化为自己的东西，没有在脑子里形成一定的知识体系框架结构。通过类比教学，能有效地促进学生的不断回顾，反思和总结。另一方面，通过类比培养学生的思维能力，拓展学生的思维，让学生学会自己提出问题，解决问题，真正成为学习的主人，体会学习的乐趣。让学生对整个高中数学知识体系有一个全新的认识，有一个更为深刻的理解，看清楚知识点之间的相互联系，体会不同思想方法之间的相互联系。