双曲线的定义精选(九篇)

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双曲线的定义

第1篇：双曲线的定义范文

重点:双曲线的第一、第二定义, 双曲线的标准方程,双曲线的几何性质,轨迹问题等.

难点:a,b,c,e等参数值的求法及其取值范围问题的探讨,直线与双曲线位置关系相关的综合问题.

(1)研究双曲线上的点到其焦点的距离问题时,首先应考虑用定义来解题. 关注定义中的“绝对值”,若定义中去掉了“绝对值”,则点的轨迹是双曲线的一支,由此导致一个点在双曲线的左支和右支上的情形是不同的.

(2)研究双曲线上一点与两焦点组成的三角形(焦点三角形)问题时,在运用定义的同时还会经常用到正、余弦定理.

(3)求双曲线的标准方程.

①定义法:分析题目条件是否满足定义;求出a,b,c;写出方程.

②待定系数法:确定焦点的位置;设出待求方程;确定相关系数;写出方程.

(4)双曲线的几何性质常涉及一些不等关系,例如:双曲线■-■=1中,x≥a或x≤-a,e>1等. 在求与双曲线有关的一些量的范围或与这些量有关的最值时会经常用到这些不等关系.解决双曲线中有关变量的最值与取值范围问题常见的解法有两种:几何法和代数法. 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法. 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,这就是代数法.

(5)直线与双曲线. 直线与双曲线位置关系的判断:直线与曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去方程组中的变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式Δ,则有:Δ>0?圳直线与双曲线相交于两个点;Δ=0?圳直线与双曲线相交于一个点;Δ<0?圳直线与双曲线无交点. 若得到关于x(或y)的一元一次方程,则直线与双曲线相交于一个点,此时直线平行于双曲线的一条渐近线.

(6)直线与双曲线相交时常见问题的处理方法:①涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”,设而不求计算弦长. 直线l被双曲线截得的弦长AB=■或AB=■,其中k是直线l的斜率,(x1,y1),(x2,y2)是直线与双曲线的两个交点A,B的坐标,且(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2,x1+x2,x1x2可由韦达定理整体给出. ②涉及求平行弦中点的轨迹,求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题时,常用“点差法”设而不求,将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.

(1)求双曲线C的方程;

(2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,-1),求实数m的取值范围.

思索 ①涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的问题,Δ>0是必不可少的条件. ②关于直线与双曲线的某一支的相交问题,不但要考虑Δ>0,还要考虑方程根的取值范围.

建议同学们在复习本节内容时重视以下几个方面:

(1)重视定义在解题中的作用,对于双曲线的两种定义,要在训练的过程中加强理解和掌握.

(2)重视平面几何知识在解题中的作用,解题过程中应借助图形分析条件,寻求最优解法.

第2篇：双曲线的定义范文

关键词：圆锥曲线；定义解题；体会

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）06-0109

圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也是高考的热点内容。但是在学习中学生比较害怕这部分内容，主要原因有两个：一是圆锥曲线中的运算量大，二是学生忽视三类圆锥曲线的定义。下面是圆锥曲线的具体定义：

1. 椭圆的定义

我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的集合叫作椭圆。

2. 双曲线的定义

我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于F1F2）的点的集合叫作双曲线。

3. 抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条直线l（l不过F）的距离相等的点的集合叫作抛物线

4. 圆锥曲线的第二定义

平面内与一个定点F和一条直线l（l不过F）的距离之比为定值e（大于零）的点的集合叫圆锥曲线

当0

当e>1时，圆锥曲线是双曲线；

当e=1时，圆锥曲线是抛物线。

陕西师范大学数学系数学高考工作负责者罗增儒说过：数学概念是数学的血和肉（根本），数学思想是数学的魂。对于圆锥曲线中的概念即定义尤为重要。我们在教学圆锥曲线时，可以把双曲线与椭圆类比理解记忆。从第一定义出发，椭圆和双曲线都强调的是到两定点距离（椭圆：和；双曲线：差的绝对值）为定值的问题，而抛物线则涉及的是一定点与一条直线的问题。与此同时，还要引导学生理解明白圆锥曲线定义的几何条件，这样更利于学生理解记忆圆锥曲线的定义。本文通过具体实例与大家共同交流“在圆锥曲线中回归定义解题”的体会与感悟。

第3篇：双曲线的定义范文

(2009全国Ⅱ第11题)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于A、B两点,若AF=4FB,则C的离心率为()

A. 65

B. 75

C. 58

D. 95

解法一:(利用双曲线第一定义)(如图一)

由AF=4FB知直线与双曲线C的右支交于A、B两点,从已知得点A在x轴的上方,设左焦点为N,可设FB=x(x>0),则有BN=2a+x,AF=4x,AN=2a+4x,又∠AFx=60°,利用余弦定理得,在ANF中有

AN2=AF2+NF2-2AF•NFcos120°

在ANF中有

BN2=BF2+NF2-2BF•NFcos60°

即有(2a+4x)2=(2c)2+(4x)2-2•2c•4xcos120°……(1)(2a+x)2=(2c)2+x2-2•2c•xcos60°……………(2)

a2+4ax=c2+2cx……(3)2a2+2ax=2c2-cx……(4),由(3)×2-(4)得6ax=5cx(x>0),e=ca=65

评注:在圆锥曲线问题中,常用余弦定理解决有关焦点三角形问题。

解法二:(利用双曲线第二定义与几何性质)(如图二)

由AF=4FB,知点F在线段AB上,如图,过A作准线l的垂线AA′,过B作准线l的垂线BB′,则AA′=AFe,BB′=BFe,过B作BHAA′,

则AH=AA′-BB′=1e(AF-BF)=3BFe,又∠FBH=30°,AH=52BF,

3BFe=52BF,e=65

解法三:(利用双曲线第二定义与定比分点)(如图三)

由法一知直线与双曲线C的右支交于两点,A在x轴的上方,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0)

则|AF|=ca(x1-a2c)

|BF|=ca(x2-a2c)

|AF|=4|BF|

解得x1=4x2-3a2c……(1)

AF=4FB由定比分点得c=x1+4x21+4,

x1=-4x2+5c……(2)

由(1)、(2)得x1=5c2-3a22c,点A(x1,y1)在直线y=3(x-c)上

y1=3(3c2-3a22c),又点A(x1,y1)在双曲线x2a2-y2b2=1上。

则(5c2-3a22c)2a2-[3(3c2-3a22c)]2b2=1,解得25c4-61a2c2+36a2=0

25e4-61e2+36=0得e=65

解法四:(利用双曲线的几何性质)(如图三)

过点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为D、H,设|FB|=m(m>0),又∠AFx=60°,则A(c+2m,23m),B(c-12m,-32m),点A、B在双曲线x2a2-y2b2=1上,则有

(c-12m)2a2-(32m)2b2=1……(1)

(c+2m)2a2-(23m)2b2=1……(2)

由(1)×16-(2)得m=3b24c代入(2)得25c4-61a2c2+36a4=0,25e4-61e2+36=0,解得e=65

评注:利用双曲线的几何性质,求出双曲线上两点的坐标,代入双曲线得出关于a,c的方程即可。

图一

图二

第4篇：双曲线的定义范文

题目双曲线x2a2+y2b2=1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（）

A. (1,3) B. (1,3］

C. (3,+∞)D. ［3,+∞)

解法1 设点P的横坐标为x0，由|PF1|=2|PF2|,即ex0+a=2(ex0-a)，解得x0=3ae，

又 |x0|≥a 即3ae≥a，所以e≤3，

而双曲线的离心率e＞1,故1＜e≤3，选（B）.

点评：利用双曲线性质：若点P在双曲线x2a2+y2b2=1上，则|x|≥a，构造不等式求解.

解法2 设点P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0）由|PF1|=2|PF2| 则

(x+c)2+y2=2(x-c)2+y2x-5c32+y2=16c29则13c≤x≤3c

又点P（x，y）在双曲线x2a2+y2b2=1上，则x≥a或x≤-a，

c3≤a≤3即13≤e≤3而双曲线的离心率e＞1, 故1

点评：由|PF1|=2|PF2|这一条件转化为点P在圆上运动，构造不等式求解.

解法3 在P F1 F2中，记∠F1PF2=θ ，由余弦定理，知

cosθ=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|•|PF2|=(4a)2+(2a)2-(2c)22•4a•2a=5-e24

根据余弦函数的有界性，得-1≤5-e24≤1，考虑双曲线的离心率e＞1,得1

点评：在焦点三角形中，根据余弦函数的有界性求解.

解法4 在PF1F2中，记∠F1PF2=θ ，根据双曲线焦点三角形的面积公式b2cotθ2，得b2cotθ2=12×4a×2asinθ，即sin2θ2=b28a2≤1,b2a2≤8,

而e2=1+b2a2≤9.考虑双曲线的离心率e＞1,得1

点评：根据双曲线焦点三角形的面积公式b2cotθ2，并结合正弦函数的有界性求解.

解法5 由双曲线的定义，得|PF1|-|PF2|=2a与|PF1|=2|PF2|，联立解得|PF1|=4a，|PF2|=2a，

由三角形性质|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,得4a+2a≥2c，所以1

点评：利用平面几何性质：“三角形两边之和大于第三边” 构造不等式求解.

解法6 由图知，点P在双曲线右支上，且|PF1|≥c+ a，即4a≥c+ a，

所以1

点评：以形助数，利用图形中隐含条件构造不等式求解.

解法7 由双曲线的定义，得|PF1|-|PF2|=2a与|PF1|=2|PF2|，

联立解得|PF1|=4a，|PF2|=2a，

由第二定义得|PF2|d=ed=|PF2|e，由图可知，d≥a-a2c

2ae≥a-a2c3a≥c 故1

点评：关键在于挖掘图中隐含的几何不等关系：d≥a-a2c.

解法8 在PF1F2中，易知|PF1|=4a，|PF2|=2a，|F1F2|=2c，

|OP|为PF1F2中边F1F2上的中线，则

|OP|=122(16a2+4a2)-4c2=10a2-c2

由图知，点P在双曲线右支上，则|OP|≥a，

10a2-c2≥a9a2≥c2故1

点评：三角形的三条中线分别为：Ma、Mb、Mc，用三角形的三边a，b，c来表示它的三条中线长如下：Ma-122(b2+c2)-a2 Mb=122(a2+c2)-b2 Mc=122(a2+b2)-c2

以上八种不同的解法，探索了求解双曲线离心率的取值范围问题，往往需要借助双曲线定义、范围和性质、正余弦函数的有界性、图形中隐含的几何不等关系等，结合a，b，c的关系，构造一个关于离心率的不等式，从而达到求解的目的.

链接练习：

1. 已知双曲线x2a2+y2b2=1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线右支上，且|PF1|=4|PF2|,求双曲线离心率的范围？

2．若双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0,b＞0）上横坐标为3a2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（）

A. (1,2)B. (2,+∞)

C. (1,5)D. (5,+∞)

3．已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A、B两点，若ABF2为锐角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）

A．（1，1+2）B．（1+2，+∞）

C．（1-2，1+2）

第5篇：双曲线的定义范文

双曲线焦点三角形面积公式：S=b²cot(θ/2)。双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。一般的，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。

（来源：文章屋网）

第6篇：双曲线的定义范文

一、定义法求动点轨迹方程

例1已知A-7，0，B7，0，C2，-12，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，求椭圆另一焦点的轨迹方程.

解析：设椭圆的另一焦点Fx，y），由题意得|AC|+|AF|=|BC|+|BF|，所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|.而|BC|=13，|AC|=15，于是|FB|-|FA|=2，根据双曲线定义可知，F在以A，B为焦点的双曲线的左支上. 这里2a=2，所以a=1，又c=7，所以b2=c2-a2=48，故椭圆的另一焦点F的轨迹方程为x2-y2/48=1（x

点评：本题首先根据椭圆的定义A、B是椭圆上的点得出等式，|FB|-|FA|=2.

这样根据定义先判断出动点F轨迹的类型，再用待定系数法求出轨迹方程.

二、利用定义解决圆锥曲线的简单几何性质

例2已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为.

点评：椭圆和双曲线中但凡涉及到曲线上的点到焦点的距离，通常要联系定义解题.

变式训练2：已知点P在双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，|PF1|2|PF2|最小值是8a，求双曲线离心率的取值范围.

三、利用定义求最值

例3已知点P是抛物线y2=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是4，a，则当|a|>4时，|PA|+|PM|的最小值是.

解析：抛物线焦点F1，0，设点P到准线：x=-1的距离为d，由抛物线的定义，d=|PF|.

点评：抛物线上的点到其焦点的距离和到准线距离相等，利用抛物线定义将二者互化，是解决抛物线中最值问题的重要策略.这里根据题意，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出两点间线段最短，使问题迎刃而解.

变式训练3：已知点P是抛物线y2=4x上的动点，F为其焦点，若B（3，2），|PB|+|PF|的最小值是

答案：4

第7篇：双曲线的定义范文

1.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，-1)，C(2，-3)两点，点D在直线3x-y+1=0上移动，则点B的轨迹方程为()

A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0

C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0

答案：A　解题思路：设AC的中点为O，即.设B(x，y)关于点O的对称点为(x0，y0)，即D(x0，y0)，则由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.

2.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为()

A.1 B.2

C. -2D.3

答案：C　解题思路：当该点是过圆心向直线引的垂线的交点时，切线长最小.因圆心(3,0)到直线的距离为d==2，所以切线长的最小值是l==.

3.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点，则b的取值范围是()

A.{b||b|=}

B.{b|-1

C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是双曲线渐近线上的一点，AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF1|，则渐近线的斜率为()

A.或- B.或-

C.1或-1 D.或-

答案：D　命题立意：本题考查了双曲线的几何性质的探究，体现了解析几何的数学思想方法的巧妙应用，难度中等.

解题思路：如图如示，不妨设点A是第一象限内双曲线渐近线y=x上的一点，由AF2F1F2，可得点A的坐标为，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，则tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得该双曲线渐近线的斜率为或-，故应选D.

4.设F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，与直线y=b相切的F2交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与F2的切点，则椭圆的离心率为()

A. B.

C. D.

答案：C　解题思路：由题意可得，EF1F2为直角三角形，且F1EF2=90°，

|F1F2|=2c，|EF2|=b，

由椭圆的定义知|EF1|=2a-b，

又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，

即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，

所以e2===，故e=，故选C.

5.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为()

A. B.2 C.4 D.8

答案：C　解题思路：由题意得，设等轴双曲线的方程为-=1，又抛物线y2=16x的准线方程为x=-4，代入双曲线的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以双曲线的实轴长为2a=4，故选C.

6.抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线围成的三角形的面积等于()

A. B.3 C. D.3

答案：B　命题立意：本题主要考查抛物线与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的运算能力.

解题思路：依题意得，抛物线y2=-12x的准线方程是x=3，双曲线-=1的渐近线方程是y=±x，直线x=3与直线y=±x的交点坐标是(3，±)，因此所求的三角形的面积等于×2×3=3，故选B.

7.若双曲线-=1与椭圆+=1(m>b>0)的离心率之积大于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是()

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.钝角三角形

答案：D　解题思路：双曲线的离心率为e1=，椭圆的离心率e2=，由题意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形为钝角三角形，故选D.

8. F1，F2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点.若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()

A.2 B. C. D.

答案：B　命题立意：本题主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何性质以及基本量的计算等基础知识，考查了考生的推理论证能力以及运算求解能力.

解题思路：如图，由双曲线定义得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因为ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故选B.

9.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()

A.2 B.3

C. D.

答案：A　解题思路：设抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离分别为d1，d2，根据抛物线的定义可知直线l2：x=-1恰为抛物线的准线，抛物线的焦点为F(1,0)，则d2=|PF|，由数形结合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值时，即为点F到l1的距离，利用点到直线的距离公式得最小值为=2，故选A.

10.已知双曲线-=1(a>0，b>0)，A，B是双曲线的两个顶点，P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上，P关于y轴的对称点是Q.若直线AP，BQ的斜率分别是k1，k2，且k1·k2=-，则双曲线的离心率是()

A. B. C. D.

答案：C　命题立意：本题考查双曲线方程及其离心率的求解，考查化简及变形能力，难度中等.

解题思路：设A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于点P在双曲线上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故选C.二、填空题

11.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面积的最小值是________.

答案：(1)-8　(2)2　命题立意：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，难度中等.

解题思路：设直线AB的方程为x-2=m(y-0)，即x=my+2，联立得y2-4my-8=0.(1)由根与系数的关系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面积为S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.

知识拓展：将ABF分割后进行求解，能有效减少计算量.

12. B1，B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是________.

答案：　命题立意：本题考查椭圆的基本性质及等比中项的性质，难度中等.

解题思路：设椭圆方程为+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.

13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若=，则p=________.

答案：2　解题思路：过B作BE垂直于准线l于E，

=， M为AB的中点，

|BM|=|AB|，又斜率为，

BAE=30°， |BE|=|AB|，

|BM|=|BE|， M为抛物线的焦点，

p=2.

14.

第8篇：双曲线的定义范文

一、构造椭圆模型，巧解一类含绝对值的不等式

【例1】解不等式：|x-2|+|x+2|≥5.

分析：该不等式是含两个绝对值符号的不等式，这类不等式可使用零点划分区间法、构造函数法、几何意义法等.那么根据绝对值的定义可知，该不等式的含义是数轴上的点x到两定点（-2，0）和（2，0）的距离之和大于等于5.这也恰好符合椭圆的定义，用椭圆的知识来解释该不等式就是代表椭圆及其椭圆外部的x的取值范围，利用椭圆的有界性便可轻松求解.

解：不等式|x-2|+|x+2|≥5的含义是数轴上的点x到两定点（-2，0）和（2，0）的距离之和大于等于5.

根据椭圆的定义可知c=2，a=52，

a2=254，b=94，

因此椭圆的方程为x2254+y294=1.

根据椭圆的有界性可得x≤-52或x≥52，

不等式的解集为{x|x≤-52或x≥52}.

二、构造双曲线模型，巧解一类含绝对值的不等式

【例2】解不等式：|x-5|-|x+5|≤8.

分析：根据绝对值的定义可知，该不等式的含义是数轴上的点x到两定点（-5，0）和（5，0）的距离之差小于或等于8.这也恰好符合双曲线的定义，用双曲线的知识来解释该不等式就是代表双曲线右支的x的取值范围，利用双曲线的有界性便可求解.

解：不等式|x-5|-|x+5|≤8的含义是数轴上的点x到两定点（-5，0）和（5，0）的距离之差小于或等于8.

根据双曲线的定义可知c=5，a=4，b=3.

因此双曲线方程为x216-y29=1（x>0）.

由双曲线的有界性可得x≥4，

不等式的解集为{x|x≥4}.

三、构造抛物线模型，巧解一类无理不等式

【例3】已知a∈R，求证：a4-3a2-6a+13-a4-a2+1≤10.

分析：该不等式含有两个根式，并且根号内表达式的次数高达4次，因此求解起来特别的困难.根据数学化繁为简的整体思想，将其配方降幂，其左端可变形为（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，此不等式的几何意义是抛物线y=x2上点P（a，a2）到点A（3，2）与到点B（0，1）距离之差的最大值是10.

解：根据不等式的结构，可以将其左端变形为

（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，

此不等式的几何意义是抛物线上点P（a，a2）到点A（3，2）与到点B（0，1）距离之差的最大值是10.

A（3，2），B（0，1），

|AB|=10.

第9篇：双曲线的定义范文

一、定义法

根据新课标课本对于离心率的定义e=■，单解c，单解a，求出e值。

例.1l：x-2y+2=0直线过椭圆■+■=1（a>b>c）的左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为。

解：由直线的截距可得c=2，b=1，则a=■，即e=■。

反思：在标准方程的背景下，椭圆的四个顶点及两个焦点均在坐标轴上，由此与直线的截距具有了对应关系，解题时注意其联系。

二、齐次式法

根据题设条件，建立基本量a、b、c之间的关系式，利用a2=b2+c2（椭圆）c2=a2+b2或（双曲线）转化构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解出离心率e。

例2：设椭圆的两个焦点分别为F1，F2过F3作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是。

解：在等腰直角三角形中，PF2=F1F2即2c=■，

c2+2ac-a2=0即e2+2e-1=0

故所求e=■-1。

例3：设F1，F2为椭圆■+■=1（a>b>c）的两个焦点，P为直线x=■上的一点，若F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则椭圆的离心率是。

解：设直线x=■与x轴的交点为M，在RtPF2M中，PF2=2C，F2M=■-c，由cos60°=■=■解得e=■。

反思：以三角形为依托求圆锥曲线的离心率的值，若在直角三角形中，常常利用两边一角建立三角函数关系式求解。

例4：已知B1，B2为椭圆短轴的两个端点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为。

解：如D，在RtB2OF2中得b=c=■a解得e=■。

例5：已知F1、F2是双曲线■+■=1（a>0，b>c）的两个焦点，过F2作x轴的垂线交双曲线于点A、B，连接AF1和BF1，若ABF1为正三角形，则双曲线的离心率为。

解：在RtAF1F2中，tan30°=■=■=■

即■c2-2ac-■a2=0。

解得e=■。

反思：以三角形为依托求圆锥曲线的离心率的值，若三角形具有对称性常常割其半，在直角三角形中求解。

例6：已知F1、F2是双曲线■+■=1（a>0，b>c）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为。

解：如图，设MF1的中点为P，连接PF2

在RtPF1F2中，F1F2=2c，∠PF1F2=60°

则PF1=c，PF2=■c由双曲线的定义知■c-c=2a

解得e=■=1+■。

反思：以三角形为依托求圆锥曲线的离心率的值，若三角形是焦点三角形，常常利用定义建立基本量a、b、c之间的关系式。

例7：已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点，恰好是椭圆■+■=1（a>b>c）的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则椭圆的离心率为。

解：依题意得■=c，P=■即b2=2ac=a2-c2