高三的数学问题精选(九篇)

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第1篇：高三的数学问题范文

关键词： 高三文科 数学教学 解题思路

进入高三一轮复习之后，由于文科班的学生基础较差，很多学生怕学数学，在这种背景下我们怎样组织最为有效的复习教学就显得尤为重要。数学的重头戏是解题，解题教学是高三数学总复习教学的重要环节，解题教学的质量直接决定总复习教学的效果，那么如何提高解题教学的质量呢？我认为，可从下列三个方面出发来探求一条基本思路。

一、实现选题的最优化

解题教学的第一步是选择和设计复习题，这是关键的一步。选题得当，可以提高效率，做到事半功倍；否则只会加重师生负担，而收效甚微。怎样优化问题的选择和设计呢？

1.紧靠新考纲和教学要求

选题要依考纲和江苏省的教学要求进行，尤其是新教材中要求发生重大变化的部分。例如，圆锥曲线这一部分中的“双曲线，抛物线”，课程标准的能力层次是“了解”，考试大纲是A级，所以我们在选题的时候要改变老思路，降低难度。对这些差别，教师一定要了然于心，并把自己的理解体现于选题中。

2.整合课本资源

高考命题的一个基本的原则就是“以考纲为准，以教材为本”。课本中例题、习题的设置，体现着本节知识应达到的能力要求。虽然高考数学试题不会考查课本上的原题，但每次对高考试卷分析时不难发现，许多题目都能在课本上找到“根源”，不少高考题就是对课本原题的变形、改造及综合，撇开课本进行复习，不管对教师还是学生而言都是不可取的做法。对课本例题和习题的整合，做到旧题新解、熟题重温，可使学生获得新的感受和乐趣。

3.重视“双基”训练

所谓“双基”，是指基础知识、基本技能和能力培养。新课程重新审视“双基”，与时俱进地认识“双基”，如把最基本的数据处理、统计知识、算法等作为新的数学基础知识和基本技能；又如删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调支枝末节的内容；因而在选取复习题时应注意充实“双基”题型，不要急于求成，好高骛远，抓了高深的，丢了基本的。

4.注意容量适当

新课标给我们的感觉是一个“紧”字，高一、高二讲授新课“紧”，高三数学总复习更“紧”。原因是新课标新增加了不少内容，如必修部分的函数与方程、三视图、算法初步、几何概型等；选修部分的全称量词与存在量词、定积分、回归分析、独立性检验、茎叶图等。要做到化“紧”为“松”，选取复习题时一定要容量适当。如果采取题海战术，就会出现“低效率、重负担、低质量”的局面。

当然，每一个小专题，每一个考点要有一定的复习题，这是毫无疑问的。熟能生巧，当处理的题目达到一定的数量后，决定复习效果的关键性因素就不再是题目的数量，而在于题目的质量和处理水平。

5.体现知识的交汇点

课本上每章的习题往往是为巩固本章内容而设置的，所用知识相对比较单一。而在学生学完各个知识点后，在复习时往往忽视各章节之间的联系。这时，教师对知识交汇点的问题应予以重视，应适当加强训练，以提高学生的分析问题、解决问题的能力。况且在知识网络交汇点处命题，使对数学能力的考查达到必要的深度，是高考常用的方法。

二、重视讲题的实效性

讲题是解题教学的核心内容，如何讲解才能让学生受到最好的启发呢？

1.多小结

从大的方面来讲，讲题时要归纳总结常用的数学思想方法。比如：函数与方程思想，化归思想，分类讨论思想，数形结合思想等。主要方法有：配方法、换元法、待定系数法、公式法、综合法、分析法、反证法等。教给学生一定的数学思想与方法，有助于他们从宏观上把握解题思路。

从小的方面来讲，讲题时要归纳总结常用解题经验，提高解题水平。比如：求解线性规划问题的步骤如何？怎样求函数的最大（小）值？如何证明直线与平面垂直？如何求数列的通项公式？求轨迹方程有哪些方法？这些都是有效解题的基本结论。此外，要让学生进一步思考，某一种方法适宜于哪种题型？要注意什么问题？具体的做法怎样？学生知道了某类问题的解题方法，自然就得心应手，避免了盲目性。

2.多点拨

讲题精确，效率就高；不着边际讲题，听者很吃力、很头疼。所以在讲例题、习题时，要“讲到点子上”。不仅要讲怎样去分析条件与结论（所求）的联系、式子的结构特点、数量关系等，从而探索解题的策略和思路，而且要讲怎样解才是最简，其解法又是怎样想到的。能讲出题目的好想法、好思路，才有助于学生新颖的、富有创造性的见解的产生。

3.多变式

讲解习题时，恰当变化，如变换习题的非本质特征或本质特征中的一种，便可举一反三，触类旁通，使学生活学活用，把书读薄。通过变式，达到一题多用，提高效率的目的；通过变式，加深对问题的认识。

4.多联系

新课标指出：“注重联系，提高对数学整体的认识”，“注重数学知识与实际联系，发展学生的应用意识和能力”，体现在解题教学上，就是讲题时要多拓展、多联系。讲题时不仅是为解题而讲题，还要把与题目有联系的题串起来讲，与题目有联系的知识串起来讲，与题目有联系的技能、思想方法串起来讲，时时利用课堂的讲题来灌输、再现以往知识，加深对数学技能、思想方法的认识。如此一来，通过潜移默化，学生就能牢固掌握知识。

5.多探究

新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，讲题要体现这一理念，引导学生主动、积极地参与解题过程。讲题时，运用解题的目标意识，通过合理设问，帮助学生寻求思维的切入点，探索解题的角度。学生通过自己探究获得问题的解决，其记忆是深刻的。

三、保证答题的规范化

每次考试，我们总发现学生因为书写不规范、没条理失分的现象十分普遍，表现在：只求三言两语、无关键步骤、不求推理有据、考虑不周，等等。高考试卷在解答题都注明“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”，这就要求复习时，解答要规范有条理，要有一定的格式。因此在平时的解题训练中，教师答题板书时要规范，要对学生提出正确的格式要求，使学生做到正确运算，步骤完整，层次清晰，推理严谨。

总之，追求新课标下高三数学总复习学生解题的实效性，有赖于教师在选题、讲题、答题等方面下工夫。教师解题教学思路清晰了，学生解题过程规范了，师生一定能从容地迎接2012年高考。

参考文献：

第2篇：高三的数学问题范文

应用题是考查数学应用意识的主要形式，数学应用意识，即应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题。应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决，能用数学语言准确地表达和说明。

数学应用题的解题关键是提高阅读能力即数学审题能力，能从背景中概括出数学本质，抽象出其中的数量关系，转化为函数、方程、不等式、等式等。求解应用题的一般步骤是：

（1）读题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

（2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

（3）求解：运用相关数学模型的知识，选择合适的数学方法求解；

（4）评价：对结果进行验证或评估，最后利用结果对现实作出解释。

数学高考应用试题体现数学联系实际，加强应用意识，考查考生对现实问题的数学理解的主要题型。应用题将基础知识、方法、能力和数学素养的考查融为一体，凸显能力考查和选拔功能。在近几年高考中，经常涉及的数学应用题，有以下一些类型：函数、不等式应用题，数列应用题、函数应用题、三角应用题、概率统计应用题等等。常涉及到的研究是：优化问题；预测问题；最（极）值问题；测量问题等。

题型1：函数不等式应用题 函数反映了现实世界的变量之间的关系，因此与生产生活实际有紧密的联系，函数不等式应用题的涵盖面非常广泛，可以与生产工程，生活实际和各学科领域相结合。解决函数应用题，首要的是理解题意，建立函数关系，再利用函数性质、导数或不等式为工具求解。

例1. 某 企 业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80π3 立方米，且l≥2r 。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关。已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c>3）。设该容器的建造费用为y千元。

（Ⅰ） 写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r。

解：（Ⅰ） 设容器的容积为V，由题意知V=πr2l+43πr3，又V=80π3

故l=V-43πr3πr2=803r2-43r=43（20r2-r）

由于l≥2r，因此0

所以建造费用y=2πrlx3+4πr2c=2πrx43（20r2-r）x3+4πr2c

因此y=4π（c-2）r2+160πr，0

（Ⅱ）由（Ⅰ）得y'=8π（c-2）r-160πr2=8π（c-2）r2（r3-20c-2），0

由于c>3，所以c-2>0

当r3-20c-2=0时，r=320c-2

令320c-2=m，则m>0

所以y'=8π（c-2）r2（r-m）（r2+rm+m2）

（1）当0

当r=m时，y'=0

当r∈（0，m）时，y'

当r∈（m，2）时，y'>0

所以当r=m是函数y的极小值点，也是最小值点。

（2）当m≥2即3

当r∈（0，2）时，y'

所以r=2是函数y的最小值点。

综上所述，当3

当c>92时，建造费用最小时r=320c-2

点评：函数不等式应用题解题关键是理解题意，分析各已知条件之间的关系，把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，构建相应的函数关系，再用导数或不等式方法加以研究。

题型2：数列应用题 对于一些整数变量的函数应用题，实质上可归结为数列问题。需要正确设定数列，分析所得数列的性质，结合数列的方法解决问题。

例2. 某车队2010年初以98万元购进一辆大客车，并投入营运，第一年需支出各种费用12万元，从第二年起每年支出费用均比上一年增加4万元，该车投入营运后每年的票款收入为50万元，设营运n年该车的盈利额为y万元。

（1）写出y关于n的函数关系式；

（2）从哪一年开始，该汽车开始获利；

（3）若盈利额达最大值时，以20万元的价格处理掉该车，此时共共获利多少万元？

分析：本题问题是建立盈利额y与营运年份n的关系，由于n为整数，实际上是一个数列问题，建立函数表达式，利用函数性质求解，但要注意n为整数，并且把年份与n对应。

解：（1）y=50n-98-[12n+n（n-1）24]=-2n2+40n-98（n∈N﹡）

（2）令y>0 ，即n2-20n+49

（3）y=-2（n-10）2+102 ，即n=10时，ymax=102，此时共获利102+20=122万元。

点评：数列应用题适宜于解决整数变量的数学问题，关键是设定数列，分析数列的性质，再用数列的方法解决问题。

题型3：解析几何应用题 解析几何研究了曲线的方程，直线与圆锥曲线在生产生活实际中经常作为数学模型出现。解决此类问题，首先要建立直角坐标系，再根据题意，确定曲线类型，建立方程解决实际问题。

例3. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22m，要求通行车辆限高4.5m，隧道全长2.5km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？（精确到0.1m）

图1 解：如图1建立直角坐标第，设椭圆方程为x2 a2+y2 b2=1。 将b=h=6与点P（11，4.5）代入椭圆方程，得：

112 a2+4.52 62=1，解得a=447 7 ，此时l=2a=887 7≈33.3。因此隧道的拱宽约为33.3m。点评：建立适当的坐标系，通过解析法和待定系数法求出椭圆模型，然后应用数学模型解决实际问题。解决圆锥曲线的应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立解析几何模型，完成应用背景下数学问题的转化。

抓住各数量之间的关系，紧扣圆锥曲线的概念，充分利用几何性质，灵活运用数学方法，正确完成建模与应用的过程。

题型4：立体几何应用题 立体几何是研究空间位置关系的数学学科，而空间图形在生产生活中十分常见，随之而产生的实际问题可以借助于立体几何的方法加以研究。例4.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为lm的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如下图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

分析：帐篷的体积是|OO1|的函数，可以通过立体几何的体积公式建立函数关系。解：设OO1 为xm ，则由题设可得正六棱锥底面边长为 32-（x-1）2=8+2x-x2（单位：m ）

于是底面正六边形的面积为（单位：m2 ）S=634（8+2x-x2）2=332（ 8+2x-x2）

帐篷的体积为（单位：m3 ）V（x）=332（ 8+2x-x2） [13（x-1）+1]=32（16+12x-x3），

求导数，得V'（x）= 32（12-3x2），令V'（x）=0 解得x=-2 （不合题意，舍去），x=2

当1

答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。

题型5：概率应用题 随机现象在社会生活中大量存在，而概率统计是研究随机现象的学科，因此解决生活实际中的随机现象问题，可以归结为概率应用题。

要点聚焦 （1）解答应用题的关键在于审题上，必须过好三关：

①通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口。

②将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表示数学关系。

③在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化。

第3篇：高三的数学问题范文

一、把握认知起点，难易要适度

问题是开启学生思维大门的钥匙，然而在教学中，并不是教师抛出的所有问题都能引起学生的思考. 如果教师的提问超出了学生的认知，学生就会丈二和尚摸不着头脑，不知如何思考，如果问题过于简单，对于学生没有思考的价值，自然也无法引起学生思考的兴趣，对于这样的问题都是无效的. 初中数学新课程标准提到，数学活动必须建立在学生的认知水平和生活经验的基础上. 因此，教师在进行问题设置时，必须充分分析学生的特点，科学处理教材，使问题难易适中，让学生跳一跳能摘到，以调动学生思考的积极性.

例如，在学习“切割线定理”的内容时，我从学生已有的知识相交弦定理入手，引导学生通过复习导出新知. 出示问题：请回顾相交弦定理，并进行证明. 抽两名同学上台板演，其他同学在草稿纸上证明，帮助学生巩固旧知. 接着出示问题：如果圆内两条弦的交点P在圆外，请证明PA·PB = PC·PD. 学生利用已有的方法进行证明，结果是成立的. 然后，教师又出示特殊的情况：当C，D两点合二为圆上的一点T时，请求证PT2与PA·PB的关系. 学生根据前面的方法，大胆假设PT2 = PA·PB，然后连接TB，TA，思考如果能够证明PTA与PTB相似，则可以证明这样的假设. 通过这样的证明，学生最后掌握了新知“切割线定理”.

在这节课中，我从学生已有的知识出发，通过有效的问题，引导学生思维，使学生在问题探究中，实现了知识的迁移，构建新知，并通过大胆的假设以及科学的推理，培养了学生的数学思维能力. 这样的提问，由于是建立在学生认知水平的基础之上，学生需要通过一定的思考才能解决，大大提高了学生问题探究的兴趣，提高了教学的有效性.

二、关注学生发展，提问要有坡度

学生的认知规律是从易到难，不断发展的. 对于较难的问题，学生可能一下子无法理解，不知道从何处入手进行探究，这时候就需要教师对问题进行分解，给学生的思维搭建台阶，引导学生的思维层层深入，使学生在分析问题、解决问题的过程中实现知识体系的构建. 教师要根据课堂教学的重点和难点，通过有效的教材处理，设计几个由浅入深的问题，以启发式引导学生思考.

例如，在教学“平行四边形的性质2”时，我根据教学的难点，设计了以下四个问题，引导学生层层深入，突破难点：

已知平行四边形两条边长的比为3 ∶ 4，周长为28.

（1）求该四边形每条边的长度.

（2）根据已知能不能得出AB与CD的距离？

（3）假如∠A = 60°，你能求出AB与CD的距离吗？

（4）请问：这个平行四边形在什么情况下面积达到最大？

对于第一个问题，难度不大，引起了学生探究新知的兴趣，但是如果直接出示第三、四两个问题，由于跳跃性过大，则不利于学生的思考，所以（1）（2）问题是为后面的问题搭建思维的阶梯，引导学生的思维不断深入.

从这节课的设计可以发现，教师在教学中，要通过设计由易到难的问题，使学生的思维沿着教师搭建的“脚手架”，拾级而上，这样才能使学生产生思考的兴趣，在不断解决问题的过程中，提高思维的深度.

三、面向全体，问题要有梯度

课程标准提到：数学教育要面向全体，使不同的人在数学上都能得到不同的发展. 新课程理念是建立在承认学生差异性的基础上，教学的目的是要促进不同的学生在原有基础上的提高. 在传统的课堂上，教师的教学面对的是少数优生，或是大多数的中等生，必然都造成一部分的学困生在课堂上遭到冷落，成为可有可无的陪客. 这样的课堂是不公平的，也是不民主的. 那么在教学中，怎样才能实现促进全体学生的发展呢？这就要在问题设置上，针对不同能力水平的学生，设计有层次性的问题，激发不同层次学生的思考积极性，使学生在问题分析和解决的过程中实现发展.

例如，我在教学“求二次函数的图像与坐标轴的交点坐标”这一课时，通过例题讲解，学生都积累了一定的认知，在此基础上，为了让学生能通过问题的思考巩固和发展新知，我设置了下面几个问题：

（1）给学生展示三组二次函数，由学生进行自主探究，画出这些函数的图像以及求出其与x轴的交点坐标.

（2）在画出这些函数的图像及求出坐标后，分析这些函数图像的差异.

（3）思考：为何不是所有的函数都与x轴有交点呢？要使二次函数与x轴有交点，必须满足什么条件呢？

这样的三个问题，具有了一定的层次性，学生能够根据自己已有的知识参与问题的思考，对于问题（2）、（3），是对问题（1）这样的归纳和抽象，具有一定的思考价值和思维培养意义，而对于问题（1）能使每名学生都能通过努力解决，这样照顾了不同学生的发展需要.

第4篇：高三的数学问题范文

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）07B-0014-03

数形结合法是学习中学数学的一种非常重要的解题思想方法，它可以把方程、函数、不等式、图形的位置关系、图形的数量关系巧妙地连接在一起，堪称珠联璧合的高手。正如著名数学家华罗庚所言：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形无数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”

一、问题的提出

数形结合法由于其解法的巧妙性，在考试中往往能节约不少做题时间，并且每年高考都有不少用数形结合法可以快速求解的题型。从2005年、2006年和2008年的高考改卷情况看，这些题的得分率却不高。为此，笔者特意在使用数形结合法最多的《三角函数》中在所带过的四届学生中进行了调查，调查对象为高一年级下学期的学生，每期参与调查的学生人数平均为117人，调查结果如下（见下页表1、表2）：

从上述的调查可以看出：①在解三角函数问题时，想到使用数形结合法解题的学生非常少；②对不同的考题，使用数形结合法的学生人数也有显著差异；③本校学生的数形结合能力总体较低，主要体现在基础知识的缺漏及数形结合的桥梁无法搭建或错误构建；④使用数形结合法有时并不是最优的解题思想方法，有可能会增加解题的负担；⑤某些题目中恰当使用数形结合法解题正确率远远高于非数形结合法。

二、经验提升及反思教学

纵观传统教学过程中数形结合法的有效教学策略，笔者根据多年的教学经验总结出以下几个方面：

1.归纳整理出能使用数形结合法的考题特征。如黑龙江省大庆实验中学的黄萍列举了数形结合法在判断方程根的个数问题、在解不等式、在线性规划、在圆和圆锥曲线中的应用。又如盐亭县职业高级中学的何大涌也归纳出运用数形结合法巧解高考三角函数问题的求函数的最值、确定角的范围、判断函数的单调性、函数零点或方程的根、确定参数的范围等五种考题特征。另外，广西师范大学教授袁桂珍也整理出了验证类、图形重组类、探索规律类等类。

2.注意数与形的联系，构建常见的数与形的关系表格。

3.举一反三，变式教学。

4.从“数”想“形”，可由“形”到“数”，也可由“数”到“形”，甚至实现数与数、形与形的直接对接。笔者对这四届学生采用传统教学模式，对上面四种有效的数形结合教学策略进行尝试，但学生对用数形结合法解决三角函数问题却很不敏感。

三、形成探究课题

纵观各种提高高中生解题能力的研究，笔者发现有两点共性很高。其一是“教法”上想办法：如改变教学理念，改进教学方法和教学模式；思维诱导强化，培养学生学习数学的兴趣；注重能力训练，发展学生数学应用意识。其二是“学法”上下工夫：如增强主动性，养成好习惯；增强独立性，突破“师言堂”；增强探求性，树立自信心。

其中，针对教学模式的改革，笔者在高2011级学生班级实施新课堂教学模式，经过上半学期的尝试，笔者发现新课堂教学模式与传统模式有很大的不同。因此，笔者饶有兴趣地开展了在新课堂模式下，提高学生应用数形结合法解三角函数问题的研究，并根据传统教学的有效策略，制订了以下几种策略。

（一）策略一：精心设计导学案，润物细无声，数形结合巧然现

由于在新课堂模式下，教师对学生引导最多、最集中、最有效的就是导学案，它不仅可以把教师想点到的内容进行呈现，也是学生顺利构建知识框架的基础。

途径1：概念的教学是中学数学的一个重要板块，据统计，高中阶段理科概念有396个，文科概念有359个，而可以构建数形关系的概念占95%左右。因此，精心设计导学案，从数与形对概念进行螺旋式转换，是夯实“数形结合”的根基，是开启学生对数形结合法解三角函数问题敏感度大门的一个有效途径。

途径2：在传统教法中，归纳整理出能使用数形结合法的考题特征是提升学生数形结合法解题敏感度非常有效的教学策略。所以在新课堂模式下，精心设计导学案，可以将传统法中这一策略发挥到极致。

笔者对这十年来广西高考题中涉及三角函数内容的考题进行研究，归纳出可以使用数形结合法的考题类型：求特殊角的三角函数值、知角求值、知值求值、知值求角、函数的值域（含最大值和最小值）、确定角的范围、判断函数的单调性、函数零点或方程的根、确定参数的范围、解斜三角形等等。因此，我们应该精心设计导学案，提升学生用数形结合法解决三角函数问题的敏感度。

途径3：精心设计导学案，对新课内容、专题内容、复习课内容、习题课内容、讲评课内容都可以进行必要且精彩的呈现。在不同的课型中，只要保持将数形结合法贯穿始终，教学完成三角函数后，学生至少有5次以上的重复感知、提升数形结合法的机会，基本可以达到熟记水平。因此，精心设计导学案，可以让学生在学习三角函数的过程中，充分感知“随风潜入夜，润物细无声”的学习效果。

（二）策略二：充分发挥小组合作优势，集中火力，数形结合展魅力

小组合作模式是新课堂模式与传统课堂模式在形式上的最大差异。新课堂模式下，课堂的所有环节都围绕小组合作形式展开，小组的形成是极有讲究的，一般是按AABBCC分组，每个组内均有数形结合思维强和思维弱的同学，也就是组间同质、组内异质，所以如果能充分发挥小组合作形式的优势，对学科知识的传授就可以做到有的放矢、游刃有余，对提升学生运用数形结合法解三角函数问题的敏感度同样具有较强的作用。如何让这个策略有效实施，笔者认为可以通过以下几个途径达成。

途径1：充分利用小组展示机制。新课堂模式下每个小组都要进行展示，各小组为了能在全班同学面前展示新知识，他们必将对需要展示的知识进行课前研究，做到自己会，小组的同学也要会，更重要的是能清晰地告诉全班同学，说清思路、理顺关系、获得相应结论等等。所以充分利用好小组的展示，对提升学生使用数形结合法解题的敏感度是非常有意义的。就三角函数有关的值域（含最大值、最小值）专题来说，我们可以分为以下几个小专题进行讨论：

1.函数y=Asin（ωx+φ）+k（A>0，ω>0）的图象和性质，如何求该函数的最大值和最小值；如果限制定义域，如何求最大值和最小值。

2.函数f（x）=sinx+2cosx可以化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式吗？函数f（x）=sin2x+cos2x可以化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式吗？若可以，请求出它们的值域。

3.函数y=cos2x+2sinx-1可以化为y=Asin（ωx+φ）+k形式吗？如果不行，该怎么解决该函数的值域问题？

4.函数y=sinx+（x≠kπ，k∈Z）；函数f（x）=；函数f（x）=log2（sinx+cosx）可以化为y=Asin（ωx+φ）+k形式吗？如果不行，该怎么解决该函数的值域问题？

5.从上面这些专题中，你可以就与三角函数有关的函数值域问题说说你的心得及在数形结合法应用上的感受吗？

教学反思：为什么单一的函数学生利用起来得心应手，数形结合感挺好的，但复合起来之后，学生就陷入思维死胡同呢？笔者认为除了代数中“形”的变化跟不上，还有一种叫后摄抑制的思维在影响着学生数形结合能力的提升，即学生学了后面的知识，或学了当前的知识，他们就习惯用最近所学的知识去解决问题，而缺乏全局思想。一旦通过小组展示，小组必须在课前或课中进行对学和群学，在互相学习的过程中，前后的知识得以互相融合，基础函数的图象和性质就有机地整合了，从而对数形结合的敏感度就不是单一的了，而形成了一种复合型思维。

途径2：小组点评机制。在新课堂模式下，优秀的点评犹如优秀的展示，到位的点评，可以一语道破天机，是打开认知大门的一把钥匙，是洞穿纷繁复杂的解题思维的一双利眼！学生要给出漂亮的点评，他必须首先对该展示内容能听懂、悟透，并且通过同学的展示也能得到一定程度的启发。这样，不但培养了学生的洞察力、表达能力，更能间接地反映出其他学生的课堂学习接受程度以及对所展示的知识的传授程度，这对提高学生数形结合的敏感度而言是一条重要途径。

途径3：小组质疑机制。在新课堂模式下，每个小组都可以就别组展示的内容提出质疑，从而推动对研究内容进一步深化。有质疑，必有新意，必有收获，必有提升；每一次质疑，都会引发师生的思考、激辩，引发思维火花的相互碰撞。

（三）策略三：组织、激发小组学习，数形结合自觉使

小组课堂上应用数形结合法解三角函数值域的各种漂亮展示，从而让课堂流畅，让学生对数形结合法应用的敏感度有不同程度的提升，这些要取决于小组学习的组织与激发，笔者认为可以通过以下途径达到效果。

途径1：小组作业机制。在新课堂模式下，笔者对作业采用了如下机制：对每天布置的作业，一般都是导学案（灵活组织、选择课本内容及所使用的教辅书内容构成），老师每个小组抽改一本，然后当天得到老师批改的同学就是当天的数学组长，这个数学组长拿到老师批改的作业后，根据老师给的正确、规范的解题步骤或提示，批改本小组其他同学的作业，一般每天花8分钟左右。另外，一周内，每组的数学组长不能相同。在学期开始，每个小组每位成员均有100分的基础分，每个小组也有100分的基础分，老师每天批改作业时都检查当天数学组长的作业是否得到其他小组的数学组长的批改，对尽到当天数学组长工作的给予加分，没尽责的则减分，同组里若一周内有重复当数学组长的全组减分，学期结束后按分数多少进行奖励。在这个作业机制下，每位同学都可以得到老师批改作业，都可以得到其他组员的帮助和分析，并且每位同学对他们所批改的当次作业一般有6次重复的审视和阅读及理解，特别是他们在纠错的过程中必然对正确的解题步骤的掌握达到最佳阶段，每天所学的知识自然而然得到强化，对数形结合法敏感性的提升当然也不在话下。

途径2：小组活动机制。小组活动机制含有小组成员的独学、对学与群学。笔者认为小组活动机制特别适合提高学生使用数形结合法解三角函数问题的敏感度，因为在一个小组内，有些成员对数的“形变”特别敏感，有些成员对图的“形变”特别敏感，有些对“数”特别敏感，就是所谓的数感。而共同都不敏感及都敏感的地方更方便在课堂上小组活动时老师对他们进行共同点拨。

（四）策略四：实战之中，重视选择题及填空题的思维暴露，数形结合显神威

课本的例题有很强的示范性及指导性，而课本的习题也有很强的指向性；测验试题是老师精心备课、上课的前提下出的有针对性的考题；高考真题，更是检测学生学习情况的最典型的代表。在新课堂模式下，这些习题教师应很好地融合起来，注意做好归类、比较和拓展，注意把它们编进平时的测验题中。特别是三角函数部分的考题，在高考中使用数形结合法解题大多出现在选择题及填空题，学生做这些题时，老师是看不出他们的思维过程的，笔者认为，要提升学生使用数形结合法解三角函数问题敏感度，还应该设立小组讲评机制：布置好每个小组的讲评任务，让每个小组把本小组内所有成员的解题过程都展示出来，不论是对、是错，从而大面积的暴露学生的思维过程，从中，我们会发现他们数形结合的不敏感部分。案例：已知sinα=，且α∈（-，-π），求tanα= 。这是一道非常典型的知值求值题，通过代数变形计算就可以求出，很多老师估计不会在数形结合方面注重这样的一道题，笔者之前也是如此。而在新课堂模式下，笔者采用小组讲评机制后，有一个小组的同学呈现他们的做法有。

第5篇：高三的数学问题范文

关键字：高三数学；反思性教学；定义；作用；策略

中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-10-0226-01

一、反思性教学的定义及作用

1.反思性教学的定义概述

在高三数学复习中采用反思性教学这一教学方法时，必须首先要对反思性教学的相关定义有一定程度上的了解和认识，反思性教学才能沿着正确的轨道向成功的方向迈进。所谓反思性教学，主要就是指教师和学生在教与学的过程中对自身的授教行为和学习行为中所存在的各种问题进行必要的反思和分析，不断的进行自我检讨，对自己从严要求，对教与学中的不足采取措施加以改进和解决，追求最终的合理性教学。在高三数学复习中进行反思性教学后，师生都可以从反思中发现自己的问题，从而想办法去改变存在于高三数学复习中的不合理的教学方式，在提高高三数学的整体教学效果的同时，也达到了提高教师与学生的个人能力的教学目的。

2.反思性教学的现实作用

在高三数学复习中实施反思性教学是有其现实作用的，反思性教学的现实作用主要又可以分为两个方面，即对教师的现实作用和对学生的现实作用。对于教师而言，反思性教学是从教师的专业教学生活中发现问题并进行反思的，可以有效的促进教师的专业性发展；反思性教学主要是一种自省行为，需要依靠人的自觉性，长时间的自觉反思会让教师把数学教学当成是自己的责任，对高三数学教学充满责任感；反思性教学推动教师去对自己以往的教学行为进行分析和研究，有利于教师发展成为高三数学复习的研究者。对于学生而言，反思性教学主要是从学习目标、学习态度、学习方法和学习结果等方面对学生的学习行为进行反思的，有效的促进学生对自身的学习行为进行回顾与分析，反思存在于学习过程中的问题和不足，从而发挥自身的主观能动性，激发自身的学习主动性和积极性，最终有效的提高复习效果。

二、在高三数学复习中进行反思性教学的具体策略

1.教师要善于记录反思笔记，记录整个教学反思过程

叶澜教授曾经说过这样一句话：“一个教师写一辈子教案难以成为名师，但如果写三年反思则有可能成为名师。”记录教学笔记是教师进行反思性教学的一个简单而有效的方法，有助于推动教师的专业发展。记录反思笔记外在性的反映了一个教师的教学责任心，是教师任职生涯的珍贵宝典。教师在高三数学复习中进行反思性教学时，应该用发现的心去反思自己的教学行为，发现并解决问题，把自己的教学过程全程记录，既记录教学的成功之处，也记录教学的失败之处。记录成功的教学之处和课堂发光点，便于在以后的教学过程中继续发扬；而记录失败的教学之处和教学问题，是为了便于教师记住自己的教学错误，吸取经验教训，避免在以后的教学过程中再次出现类似情况。通过记录反思笔记，有利于教师改进课堂教学的方法，从而提高高三数学复习的教学效果。

2.加强教师间的交流和探讨，互相学习

高三数学复习在采用反思性教学的时候，教师与教师之间应该经常性的进行交流和学习，交流自己的教学心得，探讨自己的教学策略，在交流和探讨的过程中彼此影响，相互学习，汲取其他教师的成功教学经验，改进自己的教学不足，提高教学方法的有效性，提高教学效果。例如，在进行“函数与方程”这一章的教学时，由于学生的数学水平有高有低，在具体的课堂教学中会出现各种各样的教学问题和难题，这时，教师间就应该利用课余时间，在必要的时候，甚至可以安排专门的实践进行探讨和研究，列出“二次函数与一元二次方程”和“用二分法求方程的近似解”中的教学重点和难点，共同研究出可以进行有效教学的方式方法，从而在实际教学中遇到类似问题的时候可以迎刃而解。

3.学生在反思的过程中要善于发问和整理错误

学生在对自己的学习目标、态度、方法、结果等进行反思的时候，要善于发现存在于其中的一些问题，包括学习方法问题和不能理解的数学问题等，在发现问题之后，要及时的向同学或者教师提出问题，这样问题才能得到有效解决。此外，在反思时学生要善于整理学习过程中出现的所有错误，无论大小，都要一一记录，这样才能避免错误再次发生。例如：在《立体几何初步》复习过程当中，学生往往会出现两种思想，一是认为知识点过于简单，二是容易混淆几何事物之间的空间关系，因此，常产生不能理解透彻却又不愿意提问的毛病。教师应当鼓励学生反思并发问，并且为学生列举更多的实际例子，确保学生将辨认能力化为一种概念性知识深藏于脑海中。

总而言之，在高三数学复习中进行反思性教学对提高高三数学的教学效果是非常有效的，也是新课程改革以后对教师提出来的一个基本教学要求。反思性教学不仅对教师的教学有很好的促进作用，而且对学生的学习也会有很大的帮助。因此，在进行高三数学教学时，教师与学生都应该学会并且善于进行反思，以提高高三数学的复习效果。

参考文献

第6篇：高三的数学问题范文

解题策略是一种较高层次的学习和思维活动，它对于问题的解决具有重要影响.因此，作为高中阶段的解题策略的教学便显得日趋重要，高中阶段主要应该渗透的解题策略有一般性解题策略和模式识别策略.为什么针对高三来谈解题策略的渗透呢？因为高三的学生基本完成了高中全部课程的学习，而且在这个过程中已经较好地掌握了基本知识和基本方法，更重要的是高三学生的思维能力相对比较成熟了，这样就为学生在解题策略的层面上来思考、分析和解决问题提供了保障，在高三的数学课堂中对学生进行有意识的解题策略训练和指导，更加有利于学生数学能力的提高和数学素养的形成,使高三学生在高三备考复习中的数学解题能力得到一个较大的飞跃.

解题策略的渗透可以通过典型题型个案分析或者专题讲座来进行，进行典型题型个案分析，暴露解题思维过程，有利于学生习得这种思维方式并且使思维方式得到不断的巩固和强化；进行专题讲座可以对学生进行集中训练，有利于强化这种思维方式和提高解题能力.我们可以选取典型的可以被学生接受的题目进行个案分析和集中训练，使学生学会应用策略解决一些较难的问题.下面我们选择高考考纲范围内的一些典型题型进行策略分析.

题型一 转化为函数最值问题的含一个参数的恒成立问题

例1 若a≥x2-2x对x∈［2,4］恒成立，求a的取值范围？

例2 若x2-ax-2>0对x∈［2,+∞)恒成立，求a的取值范围？

过程分析 对于例1，我们只需令f(x)=x2-2x，x∈［2,4］,求得f(x)max=8,a≥8，即是例1的解.对于例2，我们需要将x2-ax-2>0，x∈［2,+∞)等价变形为a

策略分析 对于这种含一个参数的恒成立问题题型，我们具有指向性的策略是孤立参数的同时构造函数从而把问题转化为函数最值问题.即转化为a>f(x),x∈D或a

题型二 转化为函数问题的不等式问题

例3 函数f(x)=ln(x+1)-x，证明：1-1[]x+1≤ln(x+1)≤x.

过程分析 先证ln(x+1)≤x，由f(x)=ln(x+1)-x，得f′(x)=1[]x+1-1.

当x∈(-1,0)时，f′(x)>0，函数f(x)=ln(x+1)-x为单调增函数；

当x∈(0，+∞)时，f′(x)

f(x)max=f(0)=0,

f(x)=ln(x+1)-x≤f(0)=0，即：ln(x+1)≤x.

再证1-1[]x+1≤ln(x+1)，令g(x)=ln(x+1)+1[]x+1-1.

同理：当x∈(-1,0)时，函数g(x)=ln(x+1)+1[]x+1-1为单调减函数;

当x∈(0,+∞)时，函数g(x)=ln(x+1)+1[]x+1-1为单调增函数.

g(x)min=g(0)=0,g(x)=ln(x+1)+1[]x+1-1≥0，

即：1-1[]x+1≤ln(x+1).

第7篇：高三的数学问题范文

一、例题务求精挑细选

选择例题是高三数学复习课备课的重要环节，高三复习时间有限，任务繁重，知识综合性强，对学生的要求比较高，因此，例题的选择显得尤为重要.笔者认为应该基于教材，从学生的具体学情出发，注重基础性和全面性，同时也要能够突出重、难点，渗透数学思想方法.具体原则有如下几个：

1.新颖性

复习课与新授课有很大的区别，训练强度大，容易产生学习疲劳.因此一定要从学生的最近发展区出发，注意选题的新颖性，适当地改编例题.切忌重复，切忌搬抄教材例题，切忌同一问题以同一形式多次重复，以免学生觉得单调乏味，没有新意.

2.梯度性

高三的复习要面对全体学生，而学生间数学认知水平存在差异，即使是同一个学生其认知发展也需要一个过程.因此，我们在选择例题组织复习时，必须具有一定的梯度，让学生都能进入问题情境，然后随着问题难度的深化，由表及里向纵深发展，实现对数学规律的再认识.实践经验表明，难度再大的问题，都可以化解为一个个小问题来解决.我们在例题的设置上具有梯度性，能够培养学生形成正确的数学思维，树立学生解决问题的自信心.

3.过程性

新课程背景下的高中数学教学，重结果，更重过程.所以我们的高三数学复习课所选的例题也要能够让学生有过程的体验，有厚重感和一定的深度.学生能够探究，也许会出错，但是学生在解决问题后不仅仅知道结果，而是知其所以然.例题中的抽象数学问题在学生思考的过程中不断地被具体化和形象化，进而实现提升学生思维能力的效果.

4.关联性

数学知识具有较强的系统性，问题中涉及到的知识思想方法上具有连通性.因此我们选择的例题应具有拓展性和典型性.学生通过一个问题的解决实现举一反三，融会贯通的效果.

例1直线y=2x+m与抛物线y=x2交于A、B两点，请你尝试着添设一个条件，能求直线的方程.

评析这一开放题可以用于复习“直线和圆锥曲线的位置关系”，思维空间较大，同时由于不需要学生进行复杂的计算，具有一定的新颖性，而且适合不同层次的学生.不同的层次的学生想到的解决方案存在着差异，最后将学生的多种方案进行收集，进而完成知识的复习，学生提出问题、发现问题的能力也得到发展.从学生补充的条件来看，涉及到的有韦达定理、中点坐标公式、弦长公式、两直线相互垂直的充要条件、抛物线的焦点坐标知识等等.例如有如下几个答案：①AB=5；②AB过抛物线的焦点F；③AB中点的纵坐标为6；④若O是原点，∠AOB=90°等等.在学生提出的问题后，再选出一两个作为例题，和学生一起解决问题，学生兴趣度比较高，复习效果佳.

二、要善于总结，深度挖掘例题的内涵

例题的解答只是复习的第一个步骤，讲解后学生明白了解决问题的方法是第二个步骤，但是例题的功能性还没有挖掘完.我们还应该引导学生进行解题后的总结和提炼，实现思想方法和思维过程的显性化，找出例题中所包含的共有规律，切实提升数学解题能力和数学素养.

例2设f（x）为定义在R上的偶函数，函数图象关于直线x=2对称，已知当x∈[-2，2]时，f（x）=-x2+1，求x∈[-6，-2]时，函数f（x）的解析式.

解析1由条件f（x）为定义在R上的偶函数可以推断出函数图象关于y轴对称，题意中其又关于直线x=2对称，再结合题设中的函数在区间[-2，2]上的解析式，可做出函数图象如下图

所示：

从图象上，可以看出x∈[-6，-2]时，f（x）的图象为抛物线，顶点为（-4，1）且过点（-2，-3），进而得到x∈[-6，-2]时，f（x）=-（x+4）2+1.

解析2f（x）为定义在R上的偶函数f（-x）=f（x）.①

图象关于直线x=2对称

f（2+x）=f（2-x）. ②

由x∈[-6，-2]x+4∈[-2，2]，得到f（x+4）=-（x+4）2+1，将问题转化为f（x）与f（x+4）的关系探究上，由①和②可以得到f（x）=f（x+4），进而得到答案f（x）=-（x+4）2+1.

解题后反思：

（1）回顾解析1的探索过程可以提炼数学方法，即当面临的数学问题用推算的方法一时难以求解时，可以转换思维模式，将题设的数学符号用图形语言表示出来，借助于图形的直观性和具体性，直接从图象中显现出来的特点找出解决问题的具体方法，这是我们在解决数学问题过程中常用的思维策略之一.

（2）观察解析1中的函数图象可以发现，函数f（x）的图象呈现出周期性的变化，周期为4，在解析2中从数的角度也恰好说明了这一点.从解析2出发，引导学生进行推理，学生不难得到这样的一个结论：若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且图象关于直线x=a （a≠0）对称，则f（x）是周期为2a的周期函数.

第8篇：高三的数学问题范文

在系统的一轮复习基础上，如何提高高三数学二轮复习的有效性？以期能在有限的时间内提高学生的数学成绩，是每个高三数学老师迫切关心的问题，笔者在此谈谈自己的一些看法。

一、研究考纲

课本是知识的主要来源，而“考试大纲”则反映了命题的方向，只有认真钻研“考试大纲”，才能做到复习不超纲，不做无用功，提高复习效率，考试内容的知识要求，能力要求和个性品质要求，要了如指掌，分清哪些内容只用一般理解，哪些内容要重点掌握，哪些知识又要求灵活运用和综合运用，根据“考试大纲”，知识的交叉点和结合点将是高考的热点，如函数与不等式，函数与导数，函数与方程，函数与数列，平面向量与三角函数，平面向量与解析几何等，了解这些特点，有利于提高高三数学二轮复习的针对性，从而提高复习的有效性。

二、研究学生

在系统的一轮复习以及一模后，教师应对学生的知识掌握水平，存在问题认真做统计分析：要分清哪些学生在哪个方面，哪个关节薄弱，哪些学生学习方法不当，哪些学生有发展潜力等，只有弄明白学生的学习动机，学习情趣，现有知识水平等，才能确定二轮复习计划、复习策略和重点要突破的方面。

三、制订计划

通过研究考纲，研究学生，制定各阶段复习目标，找准着眼点，特别要制定学生发展水平计划，如：题目精选精练，练习面批纠错，讲解通解通法，加强应试指导等方面，并将这些落实到每个阶段、每节课中。每节课的教学还要根据学生的水平控制好教学重点，每节课重点1～2个为宜，题目不能过多、过新，要以学生能否理解掌握为前提，只有制定有效、切实可行、科学合理的复习计划，复习才能紧张、有序、高效地进行。

四、集体备课

个人一味地苦干和蛮干更多的是带来学生学习上的被动和乏味，为使学生学得轻松，成绩又好，教师必须进行教学研究，并且必须加强集体研究，集体备课。高三数学备课组在教学过程中要团结协作，始终做好为集体备好每节课，每节课都安排好主备人，然后集体研究，共同讨论，确定授课内容和教学方式，形成具有本校特色的教案，确保高三备课组的教师每节课都是精品课，高三教师还要集体进行高考命题研究，归纳和总结近几年全国及各地高考试题，努力探索高考命题的一般性规律，加强高考信息和考纲学习研究，形成共识，摸清高考考点，有针对地加以复习和指导，才能确保复习的高效性。

五、立足课堂

学生是教学的主体，学生接受知识的主要途径来自课堂，而高三数学二轮复习课不能像一轮那样面面俱到，更主要的是通过知识的纵横联系，深化基本概念和基本技能，使解题思想更清晰。

要提高课堂教学效率，首先，必须改变传统的教学思想和教学方法：教学活动以教师为中心，学生已有的知识储备、现有能力发展水平、学习方法、学习习惯都置之度外，学生围着教师转；教学程序以教师讲解为中心，教师按自己事先准备好的内容和设计的教学程序进行讲解，课堂上一讲到底，根本不考虑学生的基础、接受能力，学生没有思考的余地，没有自己学习，自己消化的时间，学生的主动性、积极性被压抑了，学习兴趣丧失了。其次，在教学中要突出“启发式”按照引导学生主动积极学习的要求来选用和设计教学方法；注重研究学法，教会学生学习。

高三数学二轮的复习，采用每周精讲，一练，一评：“精讲”就是进行必要的专题讲座，如知识专题，方法专题，针对性专题的复习；其中知识专题可以进一步巩固一轮成果，加强各数学板块知识的综合，是为进一步夯实基础而设置的，选的例题要考虑本班学生的接受能力；方法专题是指高中数学涉及的重要思想方法，主要有函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，化归与转化思想等进行指导；针对性专题如最值问题，开放性与探索性问题，应用性问题，新信息问题；“练”要重视选择题，填空题培养学生简缩性思维能力，对于解答题必须重视推理过程和解题的规范性，平时加强新题型的训练，加强命题的“变题”训练，培养学生的创新意识，养成独立思考，逐步学会用已有的数学知识去探索新的数学问题；“评”是针对每周一练，进行试卷评讲，主要讲解试卷中具有班级失误共性的内容及典型问题，可以引发学生思考数学思想方法较为突出的，具有创新的若干问题，要重视数学问题的通解通法，淡化解题技巧。

六、加强指导

1.解题指导：学生总会碰到自己解错了的或者做不下去的题目，我们要引导学生回头检查自己的解题过程有无出错，检查自己有没有审清、审准题意，有没有注意题目中的隐含条件，自己的解题方法是否合理等；题目做对了，考察是否有别的解法，哪些方法灵活巧妙，哪些方法呆板冗繁，哪些方法具有普遍意义等，从而有助于学生从本质上了解数学的内部联系，找到最优解题方法，提高解题能力。

2.学法指导：平时不要去钻一些太难太偏的题目，要理顺知识结构，认真解读考试说明，抓住重点，做典型题例；如果平时做题出错较多，就在试卷上把错题记录下来或标上标记，在旁边写上解题过程或点评，以便回头看时有针对性，消除错误隐患。

3.应试指导：高考要想考好，不仅取决于扎实的基础知识，熟练的基本技能和过硬的解题能力，还取决于临场发挥；教师要指导学生把平时的考试当作高考，从心理调节，时间分配，节奏的控制达到逐步适应，要调整好心态，不能让试题的难度，分量，熟练程度影响自己的情绪，力争会的不扣分，不会的尽量得分，认真读题审题，细心算题，规范答题，应在规定的时间内完成，讲究快速准确，注重选择题和填空题的准确性以及大题的前三题的解答准确率。

第9篇：高三的数学问题范文

关键词：问题变式；反思；育能力

变式教学模式就是在教师的指导下，以问题为载体，以学生自主学习和合作讨论为前提，以变式为主要学习手段，为学生提供充分自由表述、质疑、探讨问题的机会。这种教学模式不仅仅要求进行数学问题的变式，解题方法也要变式，这样才能持久保持学生的探究热情。笔者认为：解决数学例题教学中存在的“懂而不会”现象，构建例题教学高效课堂，首先要选择能“牵一发而动全身”的题；其次是教学中要让学生自己从中找到解题方法与规律，教师既要关注“预设”也要关注“生成”，要主导但不要主宰，学生要主动但不要盲动，少教多学，要让学生自己对问题进行反思，掌握探究变式拓展的方法。本文结合笔者所带高三文科班一堂一轮的复习课，谈谈自己的一些教学体会。

一、教学过程实录

请同学们动手帮我解决一个题目。

师：函数f（x）=x2-6x+8，x∈R的值域是______。

学1：值域是[-1，+∞）。

师：正确，若将函数的定义域改为：（1）{1，2，3，4}；（2）[-2，1]；（3）[1，4]；（4）（-1，+∞）；（5）y=2x（-∞，0]∪（4，+∞）；（6）[1，a]（a>1）时所得新函数的值域又是什么呢？（请学生上黑板写出）如（2）：

学2：因为对称轴x=3位于区间[-2，1]的右边，函数在区间上单调递减，所以最小值为f（1），最大值为f（-2），从而值域为[3，24]。

其中（6）的难点在于分类讨论及其分界点，用几何画板动态演示二次函数的图象，直观地获得解题途径（函数单调性），在巡视中选一位解答结合数形的学生的草稿投影展示一下。由于时间的问题把准备的（7）[m，m+2]，m∈R留给学生课后完成。

用问题变式进行数学教学是很重要的方式之一，我们要将数学教学自然本质化，教学内容、方法直观化，形式简单化。

师：上述问题的解决，对于下列函数值域的得出有何启发？（投影）

师：大家讨论能发现这些函数有什么共同特点吗？

学3：老师利用同一个式子x2-6x+8变式构造分式、根式、指数、对数函数。

师：归纳得不错，那么依据前面的例子你能直接说出答案吗？

这一问题由于前面做出了铺垫，且方法简单，所以比较容易解决，学生能够根据复合函数单调性得出答案。

要精心编拟一系列问题串，要原创的、质量高的练习，让学生感觉“看看容易，解解费劲，想想有趣”。

师：我们再看看下列函数的值域呢？（逐一投影）

巡视之后发现很多学生把式子乘开，然后不知道怎么办。

师：注意考题一般不会以我刚刚给你们练习的简单形式出现，通常会以一种隐含的形式露面，我们能不能识破它呢？

学4：通过观察仍然使用换元法，构造新的二次函数求最值（全体鼓掌）。

师：谁能概括一下上述函数解析式本质问题的特点？

学：上面的函数都可以看成是由二次函数y=ax2+bx+c将x分别用三角函数、分式函数、无理函数、指数函数、对数函数等代换之后变形出来的。

师：很好！其本质仍为“二次函数”的值域问题，还要注意什么？

学5：（点名出错的）新函数的新的定义域。

师：我们再看一题，求函数y=sin2x+acosx+1，a∈R的最大值。请同学分步走，说清楚。

师：延续刚才解决问题的类型，能不能转变为求函数的最值问题呢？研究哪个函数的最大、小值呢？下课之后同学们之间讨论讨论，或者用其他办法解决。

师：简单小结一下，由一个二次函数值域问题通过变式，我们解决了一类组合复杂的函数值域，以达到解一题，通一类，带一串的目的，进而提高复习效率。

二、教学反思