函数最值的应用精选(九篇)
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第1篇：函数最值的应用范文
均值不等式是高中数学不等式中的重要内容，均值不等式在求函数最值、解决一些取值范围问题时运用非常广泛，是历年高考考查的重要知识点之一。在实际应用时，我们应因题而宜地进行变换，并注意等号成立的条件，达到解题的目的，变换题目所给函数的形式，利用熟悉知识求解是常用的解题技巧，熟练运用该技巧，对于提高思维的灵活性和严密性大有益处。
一、运用均值不等式时应注意事项
在解决这一类型的题时需要特别注意的是等号成立的条件，特别是遇到一些函数本身就有取值限制范围时，需要根据函数合理存在的限制取值范围再求函数的最值。
二、把所给函数巧妙转化成均值不等式后求最值
这是一种比较难掌握的方法，因此运用此法需要具有扎实的基础知识，敏锐的观察力。下面举两个例子对此法加以介绍。
欲灵活应用此法，需要多练习，并在解题的过程中体会总结规律，达到孰能生巧，总之，遇到此类型的题，最重要的是需配出相应的形式。
三、结语
以上通过几个实例简单介绍了利用均值不等式求最值问题需要注意的一些事项，但对于具体题目，有时可能有多种解题方法，究竟如何求出函数合理的最值，还需要我们在教和学的实践中不断探索和总结。
参考文献：
[1]王影.求函数值域的几种常用方法.解题技巧与方法，2010.
[2]蔓，孙锰.妙用均值不等式求多元函数的最值.高中数学教与学，2010，（4）.
[3]魏福军.用均值不等式求最值须注意的几点.中学生数学，2003，（1）.
[4]徐丽聘.利用均值不等式求最值.求实篇――学习方法总结，2009，（9）.
[5]刘新良，李庆社.十二种求函数值域的常用方法.高中生，2006，（18）.
[6]高飞，朱传桥.巧用均值不等式球最值.高中数学教与学，2007，（5）.
第2篇：函数最值的应用范文
关键词 三角函数 最值 思维方法
中图分类号：G633.6 文献标识码：A
Six Thinking Methods to Get the Most Value of Trigonometric Function
ZHANG Jianlu
（Yangquan Vocational Secondary School，Yangquan，Shanxi 045000）
Abstract Trigonometric function is an important function in Mathematics， it is closely linked with other mathematical knowledge， and there is often a wide range of applications in the study and research of other mathematical knowledge. In the study of trigonometric function， method for the best values of trigonometric function plays an important role. The correct thinking method in calculating the trigonometric function most value is meaningful to learn the knowledge of the trigonometric function.
Key words Trigonometric function； the most value； thinking method
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。三角函数是函数的一种重要的函数，三角函数的最值问题包括了对三角函数的概念、图像、性质及诱导公式、同角三角函数间基本关系式、两角和差以及倍角公式的考查，是函数思想的具体体现，有广泛的实际应用，一直是高考命题的热点。我们从以下六个方面举例介绍求三角函数的最值。
1 将已知函数转化为 = （ + ） + 的形式，其中“ ”表示“” “”等，再求已知函数的最值
求三角函数的最值问题的主要依据就是正弦、余弦函数的值域。求三角函数的最值时，常常通过恒等变换，使它转化为反含同名函数的各项。而恒等变换，一般要综合运用同角三角函数间的关系、和角、半角、半角的三角函数及和差化积、积化和差公式等转化为 = （ + ） + 的形式，只要能转化，问题就迎刃而解。
求 = + 的最值。
解： = （ + ）（ + ）
= （ + ）23 = 1
= 1 （1 ） = +
当 = （）时 = 1，当 = + （）时 = 。
2 应用平均值定理求最值
求函数 = （为锐角）的最大值。
解： = >0
= = 4·≤4（）3 =
当 = ，即 = 时， = 。
应用平均值定理求函数最值的基本思路就是建立不等式 （）≤或 （）≥，即通过分析将 （）放大或缩小成一个常数，这就是求最值的基本思维方法——放缩法，平均值定理是放缩法的一种极好手段。
3 应用二次函数判别式求最（极）值
求 = （，，其中为三角形内角）的最大值。
解：原函数化为 = [ ]
+ 2 = 0
= 8 ≥0 ≤≤
当 = 时， = = ，
所以当 = = 时， = 。
此题也可用放缩法解
= · ≤
= - （ ）2 + ≤。
注意在用放缩法时，等号必须成立。
4 应用函数的有界性
求 = 的值域。
解：由已知得：（） + （） = ——①
令 = ， =
①式化为 （ + ） =
∣∣≤
解得≤ - 或≥1，所求值域为（，- ]∪[1，）。
5 应用函数的单调性
已知 = + ， （0，），求的最小值。
解：令 = = ，则（0，）。 = + 。
6 利用数形结合
求函数 = 的最值。
图1
解：原函数变形为 = 这可看作点（）和（-2，0）的直线的斜率，而是单位圆 + = 1上的动点，由图1可知，过（-2，0）作圆的切线时，斜率有最值，由几何性质得 = ， = - 。
前面介绍了六种常见的求三角函数最值的思维方法，但在解题中并不固定于一种方法。如
求 = 的极值，用什么方法好呢？
解：
方法一：原式化为（） + - 4（）（）≥0 ≤≤8。显然≠，所以用 求出最小值。
方法二：用第一种方法化为 = （ + ） + 的形式，
原式化为 = + · = 0时， = 8。
当 = 1时， = 4。
第3篇：函数最值的应用范文
函数f（x）在区间I上的最大值和最小值问题，本质上是一个最优化的问题。求解函数最大值与最小值的实际问题，包括三方面的工作：一是根据实际问题建立目标函数，通常总是选取待求的最优量为因变量：二是按上述的求解方法求出目标函数在相应区间上的最大值或最小值；三是对所求得的解进行相应实际背景的几何意义的解释。同时一方面要深刻理解题意，提高阅读能力，要加强对常见的数学模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，如了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问题数学化的意识和能力。
最值问题综合性强，几乎涉及高中数学各个分支，要学好各个数学分支知识，透彻地理解题意，能综合运用各种数学技能，熟练地掌握常用的解题方法，才能收到较好的效果。
（1）代数法。代数法包括判别式法（主要是应用方程的思想来解决函数最值问题）配方法（解决二次函数可转化为求二次函数的最值问题）不等式法（基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题）④换元法（利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决，常用的换元法有代数换元法和三角换元法）。
①判别法：判别式法是等式与不等式联系的重要桥梁，若能在解多元函数最值过程中巧妙地运用，就能给人一种简单明快、耳目一新的感觉。而应用判别式的核心在于能否合理地构造二次方程或二次函数，还需注意是否能取等号。若函数可化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0时，由于x，y为实数，必须有：=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范围确定函数最值。
②配方法：配方法多使用于二次函数中，通过变量代换，能变为关于t（x）的二次函数形式，函数可先配方成为f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根据二次函数的性质确定其最值（此类题的解法关键在于用“配方法”将二次函数一般式化为顶点式，同时要考虑顶点的横坐标的值是否落在定义域内，若不在定义域内则需考虑函数的单调性）。
③不等式法：均值不等式求最值，必须符合“一正、二定、三相”这三个必要条件，因此当其中一些条件不满足时应考虑通过恰当的恒等变形，使这些条件得以满足“和定积最大，积定和最小”，特别是其等号成立的条件。（在满足基本不等式的条件下，如果变量的和为定值，则积有最大值；变量的积为定值，则和有最小值。本例中计算的目的，是利用隐含在条件之中的和为定值，当然这里还需要利用系数的凑合才能达到目的，具有一定技巧）
④换元法：换元法又叫变量替换法，即把某个部分看成一个式子，并用一个字母代替，于是使原式变得简化，使解题过程更简捷（在利用三角换元法求解问题时，关键还是要在掌握好三角函数常用关系式的基础上，结合所求解的函数式，慎重使用）。
（2）数形结合法。数形结合法是数学中的一种重要的思想方法，即考虑函数的几何意义，结合几何背景，把代数问题转化为几何问题，解法往往显得直观、简捷。通过数与形之间的对应和转化来解题，有许多的优越性。将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，借助几何图形活跃解题思路，使解题过程简化。有时函数最值也借助数形结合方法来求解。
①解析式：解析法是观察函数的解析式，结合函数相关的性质，求解函数最值的方法。
②函数性质法：函数性质法主要是讨论利用已学函数的性质，如函数的单调性求函数最值等。
③构造复数法：构造复数法是在已经学习复数章节的基础上，把所求结论与复数的相关知识联系起来，充分利用复数的性质来进行求解。
④求导法（微分法）：导数是高中现行教材新增加的内容，求导法求函数最值是应用高等数学的知识解决初等问题，可以解决一类高次函数的最值问题。找闭区间[a，b]上连续的函数f（x）的最大（或最小）值时，将不可导点、稳定点及a，b处的函数值作比较，最大（或最小）者即为最大（或最小）值。
第4篇：函数最值的应用范文
关键词：最值问题；三角函数；解法总结；系统分析
一、三角函数最值问题的题型归纳及解法策略
在现阶段中学数学三角函数最值问题中，题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下6种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。
1.y=asinx+bcosx型的函数
这样的函数是我们经常遇到的，对于这样的题型处理思想应该引入辅助角，化为y=sin（x+），利用函数即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化为此类，下面介绍一道实例来体会感受其中的方法。
例1 已知函数f（x）=2cosxsin（x+）-sin2x+sinxcosx
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最小值及取得最小值时相应的x的值；
（3）若当x∈[，]时，f（x）的反函数为f-1（x），求f--1（1）的值.
从上面这道例题可以清晰地看出，这一类的三角函数的最值求解中运用的基本的方
法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“Asin（）” 的形式，将异名三角比化归成同名三角比。同时，也应对自变量的取值范围要仔细地考察。
2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数
这样的函数题型看上去很长，也很复杂，但是其中有一定的规律，通过下面这样一个实例，你会发现它其中的玄机。处理方式是降幂，再化为“Asin（）”的形式来解。
例2 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。
3.y=asin2x+bcosx+c型的函数
在三角函数的题型中，这题型是比较常见的，经常和其它函数一起应用，特别是出现在“存在”问题中，对于这类题型的处理方式是应用sin2x+cos2x=1，使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。下面通过一道例题来体会这方法。
例3 是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a・cosx+a-在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.
分析：
这道题就是利用在闭区间上求二次函数最值的方法，只是其自变量变为cosx。值得注意的是在运用这个方法前，首先要将引用三角比之间的转换使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比视为二次函数的自变量。在题目条件没有给你限制条件时，任何一种那个情况都应该作分类讨论，当然要结合已有的法则和三角函数相关的公式，及三角函数隐藏的条件，这样才能做到解题全面。
综合上述知，存在符合题设。
4. y=型的函数
这是一个分数形式的求三角函数最值的题型，往往出现在需要转化思想的综合题目中，下面介绍这个例题，让同学有直观感觉。
例4求函数y=的最大值和最小值。
对于这一类题型，分子、分母只有常数项不同的三角函数式，便可以在分子中添置辅助项后，通过恒等变形把它化成只有分母含有自变量的三角函数式，只需研究分母的最值，就能求出原函数的最值。在这样的变形中若遇到要把分子“翻下去”作为繁分式分母一部分时，这个“翻下去”的式子不能为零，如果这个式子可能为零，则应将为零的情况另作处理。“设其不为零的”情况下继续解下去，最后把各种情况下求得的值综合起来考虑最值。
5.y=sinxcos2x型的函数
这样的三角函数题型有一定的难度，并且有的题目角和函数很难统一，还会出现次数太高的问题，这是关于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。在高中数学中涉及三次函数的最值问题，几乎都用均值不等式来求解。但需要注意是否符合应用的条件及等号是否能取得。下面介绍一个实例来体会均值不等式的方法。
例5 在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k・，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？
6.含有sinx与cosx的和与积型的函数式
在这样混合的函数式中，也是经常会遇到的，对于含有sinx±cosx，sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t，，将sinxcosx转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。通过下面这个例题了解这样的方法。
例6 求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。
例7 求函数y=cos（sinx）的值域
结合如图1 所示：y=cos（sinx）的图像，知cos1=cos（-1）
例8 如图2：ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大值与最小值。
解：如图2，连结AP，设，延长RP交AB于M，
则，，故矩形PQCR的面积
设，
，故当时，
当时，
例9 如图3所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心O高度相同）时开始计时，
（1） 求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；
（2） 在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米。
解：（1）以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q处，则在t秒内OQ转过的角为，所以t秒时，Q点的纵坐标为，故在t秒时此人相对于地面的高度为（米）
（2）令，则
Fig 2-4 Example 9 here
二、对三角函数最值问题的小结
1.求三角函数最值的常用方法有：
（1）配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；
（2）化同角函数法（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；
（3）数形结合法（常用到直线的斜率关系）；
（4）换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；
（5）基本不等式法等（主要遇到三次式之类的情如运用均值不等式等）；
（6）降幂法（主要利用三角函数的基本公式和定义）。
2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设所给出的区间：
（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性。
（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响。
（3）在涉及到综合实际生产并运用基本不等式法解最值问题时，需要注意所得结果是否符合实际情况及等号是否取得到。
3.如“表1求解三角函数最值的常用方法”是个人对以上题型及解法的总结。
表1 求解三角函数最值的常用方法
参考文献：
[1]赵钰林.素质教育新教案数学[M].北京：西苑出版社，2004.
[2]曹晓春.三角函数的最值问题[N].数学学习与研究，2007（10）.
第5篇：函数最值的应用范文
【关键词】中职数学；三角函数；最值问题
三角函数的最值问题在中职数学教学中具有重要的地位，在考试中一直是重点和难点。研究三角函数的教学中，应当使学生掌握恒等变形以及运用三角公式对三角函数进行变形的能力。三角函数的最值问题指的是三角函数及其基础知识的综合运用，三角函数的最值问题，在求解方式上灵活多变，在实际生活中运用广泛。
1.中职学生数学学习的现状
与高校的学生素质相比较，中职学校的蹙额生基础知识文化的水平较低，学生的学习底子较为薄弱；学生在学习数学时，态度、自信、动机和兴趣的不足使学生在数学的学习上普遍缺乏数学学习的情感；中职教育课程设置不合理，对专业工具课的重视力度不足，数学课的课程量被不断的删减，数学知识的连贯性断裂。
另外，作为中职数学教学课程中重要组成部分的三角函数学习，由于以上的三点原因，势必会造成影响。学生学习的过程中，对于正弦、余弦、正割、反割等基本概念混淆不清，在实际运用的过程中导致解题思路不清晰的问题[1]。
2.中职数学教学三角函数最值问题探讨
2.1 三角函数性质概念
对三角函数的性质概念进行精准的讲解是实现讲解三角函数最值化问题的关键，首先，对三角函数的对称性、周期性、奇偶性、定义域值域进行精准的讲解与定位，使学生知识点的掌握和图像的掌握能力相结合。通过熟练掌握三角函数变形的技巧，实现三角函数由复杂转向简单的变形能力[2]。
2.2 求解三角函数最值问题的一般方法
2.2.1 配方法
配方是将一个解析式利用恒等变形的方式，将其中的某些配量项转化为一个或者多个多项式的形式，使用较多的是完全平方式的配方，应用相当广泛.
例如：三角函数为y=5sinx+cos2x，求出它的最值。
解： y=5sinx+（1-sin2x）
=-2sin2x+5sinx+1
=-2（sinx-5/4）2+33/8.
通过sinx的值域判定，计算其值域为[-6，4]
使用配方法进行值域的求解时，不应当将三角函数和二次函数的最值求解进行混淆，在三角函数值域的求解，配方法的使用是较为常见的。
2.2.2 换元法
换元法是将复杂的函数转换为简单的函数，不仅仅局限于三角函数内部的转化，同时也可将非三角函数转化为三角函数。比如说利用函数的有界性，特别是正弦函数和余弦函数的有界性进行最值的划归。当然，通过二次函数的划归也可实现最值的求解。在实际的讲解中，数形结合求解的方式也较为常见。
2.2.3 单调性法
顾名思义，则是利用函数的单调性进行值域和定义域的求值。例如：
例：求y=sinx+2/sinx，（0
2.3 求解三角函数最值问题的其他方法
2.3.1 y=asinx+bcosx型最值的求解
在此类型中，这一类三角函数最值的求解主要是将复杂的三角模式进行相应的转化，通过对自变量的考察，实现值域的求解。
例：f（x）=sin（ωx+6）+sin（ωx-6）-2cos22x，x∈R（其中ω>0）.
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为π/2，，求函数y的单调递增区间。
2.3.2 y=asin2x+bsinx+c型最值的求解
例：求函数y=cos2x-cosx+1（π
解：y=cos2x-cosx+1
=2cox2x-cosx
=2（cosx-?） 2 -1/8
因为π
3.提升三角函数最值问题教学效果的反思
在实际的教学中，教师应当从提高学生学习的能动性、采用多向度的教学方式、优化知识的识记方法三种方式入手，提高中职数学课堂中三角函数最值问题的学习效果。学习兴趣的培养在学生学习的有效性中占据重要的地位，结合三角函数教学的自身特点，引导学生的学习动机，主动提前掌握三角函数最值的学习，可以使其更好地深入学习三角函数的相关问题，切实提高学生学习的主观能动性。中职学生的基础知识薄弱，教学过程中，采用特色的教学模式，将反繁复的三角函数知识进行简化，进而呈现在课堂上，总可多种方式进行讲解，，提高学生的理解与领悟能力。三角函数基本知识繁复公式繁多，在教学中，用简易的绕口令，如：“奇变偶不变，符号看象限”来诱导学生进行公式的推导与应用。
4.结语
中职数学教学中的三角函数最值问题面临着众多的困难。通过一系列的课堂教学理念、策略与方式的创新，学生可以实现知识型学习向能力型学习的转变。中职教师在其教学中，应当以自身为主导，以学生为主体，在教学的过程中耐心细致地解决学生学习过程中遇到的问题，从而提高种猪数学三角函数最值问题教学的质量，培养学生运用数学知识进行思考的能力。
参考文献：
[1] 张卫斌. 三角函数不同题型最值问题求解的常用方法解析[J] . 数学学习与研究，2010，4（15）：56-58 .
第6篇：函数最值的应用范文
关键词： 初中数学 最值问题 解法
最值型数学问题不论是在近几年的竞赛还是中考当中都经常出现，这类问题贴近生活、贴近社会，有利于体现数学的人文价值和社会价值，有利于考查学生的分析、猜想、建模和综合应用等方面的能力.下面就数学中常见的最值问题和解法介绍如下.
一、平面几何的最值问题
平面几何的最值问题是一类常见的题型，它涉及的知识面广，综合性强，解答有一定的难度，下面介绍一种利用“轴对称”巧解最值问题的方法，举例说明.
例1：A、B两点在直线L的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小.
分析：在直线L上任取一点P′，连接AP′，BP′，在ABP中，AP′+BP′＞AB，如果AP′+BP′＝AB，则P′必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误.取点A关于直线L的对称点A′，则AP′＝AP，在A′BP中，A′P′+B′P′＞A′B，当P′移到A′B与直线L的交点处P点时PA′+B′P′＝A′B，所以这时PA+PB最小.
二、利用函数的性质求最值问题
1.一次函数、反比例函数性质的应用
一次函数和反比例函数在它们的定义域内都没有最值，但在实际应用问题当中，自变量在一定范围内取值时，由函数的增减性知函数有最值.
例2：学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自刻，除租用一台刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘费）.刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省还是自刻费用省？请说明理由.
分析：这里刻录光盘的张数不知道，所需费用随光盘张数的增大而增大，需建立一个函数关系.
解：设需刻录x张电脑光盘，则到电脑公司刻录需y=8x元，自录刻需y=（120+4x）元，所以有：y-y=8x-（120+4x）=4（x-30）;当x＞30时，y-y＞0，y＞y;当x=30时，y-y=0，y=y;当x
答：当刻录光盘数多于30张时，自刻费用省；当刻录光盘数等于30张时，两者一样；当刻录光盘数少于30张时，到电脑公司刻比较省.
2.二次函数性质的应用
一般情况下，二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的最值由顶点坐标来确定，这是大多数同学容易掌握的.但有时受自变量取值范围的影响，函数的最值不是由顶点坐标来确定，这种情况很容易被学生所疏忽.下面列举几例说明.
例3：某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台，假设这种品牌的彩电每台降价100x（x为正整数）元，每天可以多销售出3x台.（注：利润=销售价－进价）
（1）设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？
分析：（1）销售每台彩电获利3900-3000-100x=（-100x+900）元，每天销售量为（6+3x）台，所以y=（-100x+900）（6+3x）=-300x+2100x+5400.
（2）y=（-100x+900）（6+3x）=-300x+2100x+5400=-300（x-）+9075.
顶点为（，9075），又因为x为正整数，所以当x=3或4时，y取最大值，且为9000元.当x=3时，销售价为每台3600元，销售量为15台，营业额为3600×15=54000元；当x=4时，销售价为每台3500元，销售量为18台，营业额为3500×18=63000元.通过对比发现，当销售价为每台3500元时，能保证销售量和营业额均较高.
小结：本题顶点（，9075），不能作为二次函数图像的最高点的原因是x不能取小数，所以做题时要注意审题（题中括号内已说明x为正整数），不能放过每一个细节.
因此，做二次函数最值这一类题目时，要充分挖掘题目中的隐含条件，正确求出自变量的取值范围。有两种方法可求出最值：①几何方法：画出函数图像，找出图像中的最高点（或最低点），从而求出当自变量为何值时，函数的最大值（或最小值）是多少？②代数方法：首先判断顶点横坐标是否在自变量取值范围内，若在，它就是最值点；若不在，它就不是最值点，然后另寻它点.
三、利用不等式求最值问题
例4：某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞.现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元.
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？
分析：本题是消费购物设计型问题，解决这类问题的基本思路是从实际问题中寻找等量（或不等量）关系，通过购建方程（或函数、不等式）模型，从中寻找解决问题的最佳方案.
解：（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6-x）台.
由题意，得7x+5(6-x)≤34;解这个不等式，得x≤2，即x可以取0、1、2三个值，所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台.
（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个.
第7篇：函数最值的应用范文
关键词：物理学中最值问题 数学思维 解题方法
物理学家杨振宁指出：“可以用两片生长在同一根管茎上的叶子，来形象化说明数学与物理之间的关系。数学与物理是同命相连的，它们的生命线交接在一起。”因此，我们从物理现象出发，经过分析，把物理问题转化为数学问题，灵活运用数学知识对解决物理问题起到十分关键的作用。
以下，通过例举阐述应用数学思维求解物理过程中最值问题的方法。
一、利用几何知识解物理中最值问题
此方法主要通过作图，利用平面几何知识将物理最值问题求解
例1、如图1：倾角θ=30斜面上放一重量为G的光滑小球，斜面上立一块挡板，使小球静止。问挡板如何放置，挡板所受压力最小，最小值为多少？
解：根据重力G的实际效果分解为：F1垂直于斜面的压力，F2垂直于挡板。
重力G大小、方向一定；F1方向一定。
合力G构成一个三角形，重力G的末端到直线OA的最短距离表示F2
最小值，即过G末端作OA的垂线（如图2）
由几何关系得：
此时挡板位置垂直于斜面。
例2、如图4，要使圆柱绕A点滚上台阶，试作图说明作用于圆上的力F作
用在哪点沿什么方向最省力？
解：设圆柱重力为G，台阶上A点到重力G作用线的
距离为L（G、L不变）， 作用力为F，台阶上A点到作用力F作用线的
距离为X，由力矩平衡，GL=FX，要使F最小则X必须最大，由几何知识，过A点，作直径交圆于B点，若F作用于B点，沿切线方向
（如图4）此时X最大，F最小。
二、 运用二次函数的极值解物理中最值问题
此方法主要根据二次函数 ，进行求解
例3、用直流电动机提升重物，重物质量m为50kg，电源电压为120V。当
电动机以速度V=0.9m/s匀速向上提升重物时，电流I=5A（g取10m/s2），求（1）电机线圈电阻R，（2）电动机对重物最大提升速度是多少？
解：（1）电动机工作时的机械功率
电动机消耗的电功率
由能量转化守恒
（2）当电机提升速度变化电动机输出的机械功率
三、 运用三角函数极值求解物理中最值问题
根据三角函数Sin（x+α）=±1时，aSinx+bCosx有最值且tanα= 的性质解题是
一种重要方法。
例4如图5质量为m的物体受拉力F作用在水平地面匀速直线运动，物体与地面动摩擦因数为?，当F与水平方向夹角θ为多少时F最小？
解：物体受力分析如图6 ，由牛顿定律
Fcosθ-?FN=0
F Sinθ+ FN= mg
Fcosθ=?（mg- F Sinθ）
四、 应用不等式性质求解物理中最值问题
根据不等式性质，当a>0，b>0，c>0时不等式 ，当仅当a=b=c时，不等式取等号；在解题中常发挥奇效。
例5、质量为m的小球与长度L的绳一端相连，绳的另一端固定在O点。将球拉至与O点在同一水平面上由静止释放，球沿圆弧下摆过程中，在何处其竖直方向分速度最大？
解：从动力学上看，球在A点竖直分速度为0，
而最低点B只有水平速度，竖直分速度为0，
所以其下摆过竖直分速度经历了一个
加速和减速过程，中间会有最大值。
设此位置在C点，此时摆绳与OA夹角为α，
与OB夹角为β（如图7）
根据不等式 仅当 时，不等式取等值
五、 应用导数求解物理中最值问题
导数应用价值极高，在解决函数极值，及最值问题要自觉应用导数。
例5也可应用导数知识进行解答
第8篇：函数最值的应用范文
关键词：数学；求最值；均值定理
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）12-0265-01
最值问题始终是高考数学的命题热点，而利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用较为广泛的方法之一，这类问题难度虽不大但技巧性，考生常因方法选择不当，造成应用定理错误而失分。因此，快速找到切入点，灵活运用所学知识，将复杂问题简单化，从而顺利解答高考题，这是高三学生的最大期望。笔者现就此类问题进行归纳总结，对不同类型技巧的解法进行分析。希望本文能对读者有所启示和帮助。
一、配凑项凑“积”为定值法
例1 已知x
解：因4x-5
（4x-2）g不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项，Qx0，
y=4x-2+=-
5-4x++3≤-2+3=1
当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1。
点评：本题需要调整项的符号，保证各项正，又要配凑项的系数，使其积为定值。其实凑积为定值无非是凑“倒数”形式，消去未知数，得到定值而已。
二、分离拆项或换元构造“积”为定值
例2 求y=（x>-1）的值域。
解法一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离。
y===（x+1）++5当x>-1，即x+1>0时，y≥2+5=9（当且仅当x=1时取“=”号）。
解法二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x+1，化简原式在分离求最值。
y===t++5，当x>-1，即t=x+1>0时，y≥2+5=9（当t=2即x=1时取“=”号）。
点评：对于分子分母“一、二次“形式的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，构造“倒数”，创造均值定理使用环境，再利用不等式求最值，即化为y=mg（x）++B（A>0，B>0），g（x）恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。但仍注意“一正、二定、三相等”的限制。
三、乘“一”不变原理构造“积”为定值
例3 已知正数x、y满足+=1，求x+2y的最小值 。
解法一：（利用均值不等式）x+2y=（+）（x+2y）=10++≥10+2=18，当且仅当
+
=1
=
即x=2，y=3时“=”号成立，故此函数最小值是18。
解法二：（消元法）由+=1得y=，由y>0⇒>0⇒x>8则x+2y=x+=x+=x+2+=（x-8）++10≥2+10=18。
当且仅当x-8=即x=12，此时y=3时“=”号成立，故此函数最小值是18。
点评：利用乘一不变值的道理构造“倒数”构造“积为定值”，从而创造使用均值定理的环境。此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：。原因就是等号成立的条件不一致。
四、平方法配凑“和”为定值
例4 已知x，y为正实数，3x+2y=10，求函数W=+的最值。
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单，
+≤==2。
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W>0，W2=3x+2y+2x・y=10+2・≤10+（）2+（）2=10+（3x+2y）=20W≤=2。
第9篇：函数最值的应用范文
重难点归纳
解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的
（1）对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式（组）求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域。
（2）对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值。
典型题例示范讲解
如图，已知椭■+■=1（2≤m≤5），过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f（m）=||AB|-|CD||
（1）求f（m）的解析式；
（2）求f（m）的最值.
解 （1）设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m，b2=m-1，c2=a2-b2=1
椭圆的焦点为F1（-1，0），F2（1，0）
故直线的方程为y=x+1，又椭圆的准线方程为x=±■，即x=±m。
A（-m，-m+1），D（m，m+1）
考虑方程组y=x+1■+■=1，消去y得：（m-1）x2+m（x+1）2=m（m-1）
整理得：（2m-1）x2+2mx+2m-m2=0
Δ=4m2-4（2m-1）（2m-m2）=8m（m-1）2
2≤m≤5，Δ>0恒成立，xB+xC=■.
又A、B、C、D都在直线y=x+1上
|AB|=|xB-xA|=■=（xB-xA）·■，|CD|=（xD-xC）
||AB|-|CD||=|xB-xA+xD-xC|=■|（xB+xC）-（xA+xD）|
又xA=-m，xD=m，xA+xD=0
||AB|-|CD||=|xB+xC|·■=|■|·■=（2≤m≤5）
故f（m）=■，m∈[2，5]
（2）由f（m）=■，可知f（m）=■
又2-■≤2-■≤2-■，f（m）∈■，■
故f（m）的最大值为■，此时m=2；f（m）的最小值为■，此时m=5
