高考数学必修精选(九篇)

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第1篇：高考数学必修范文

高中数学新课程改革从试点到全国已全面展开，随着高中新课程改革的推进，甘肃省也成为其中一员.在新一轮课程改革如火如荼地进行中，很多从事数学教育的工作者积极投身到了这场改革的浪潮中.由于新教材对原有的数学知识体系进行了调整，对原有的繁难问题进行了删减，对学生难以理解的重点内容进行了分散处理，为了让高中新课程改革与高考有效衔接与匹配，教学中优化课堂教学结构，增强教学效果，就成为新课程标准实施的关键.

高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高，在学生学习过程中，不论是基础知识的形成，还是基本技能的掌握，或者是基本能力的培养，都会遇到很多疑难问题.这些疑难易错问题，如果不及时解决，就会极大地阻碍思维的发展，从而挫伤学生的自信心.学好高中数学，在高考中取得好成绩的关键之一是解决好学习中的疑难易错问题，所以强化学生解决疑难、归纳整理的能力尤为重要.

通过近几年的教学和反思，为了帮助学生有效克服学习障碍，减少学习过程中的“无用功”，确保高考时“胸中自有雄兵百万”，也为了使数学课堂教学中教师准确把握教学重点，突破难点，详略得当，确保较高的课堂教学效率，针对高中阶段遇到的疑难和易错问题进行总结归纳和分析，是减负增效的一种有效途径.

目前国内中学数学教育研究关于这方面的思考相对来说较多，但以初中阶段研究居多，高中阶段较少.新课标背景下要求增强课改意识，转变教学观念，但高考升学仍然看分数，所以人们会更多地关注这些能够直接提高成绩的解题技巧、化归演绎等，学生和教师也很重视整理和归纳疑难易错题，但许多都很零散，不成体系，而且与新课标内容不相匹配.又因为各省所用资料各不相同，许多省份高考自主命题，符合新课标教材且甘肃考生适用的很少，至于这一课题研究最终对甘肃考生成资料性、适用性、推广性的研究的文章也较少，为了使新课程改革与高考融合得更深入，我们很有必要对新课标人教A版高中数学必修1到必修5内容遇到的疑难和易错问题进行系统全面的总结归纳和分析.

二、课题研究的主要内容及重、难点

学生学习中常见的错误主要有：1.知识性错误：数学概念理解错误，公式应用错误，定理、性质应用错误等；2.数学方法应用性错误：思维定性、以偏概全、审题中忽视隐含条件的数学思维等.前车之覆后车之鉴，教师授课时要强化学生数学解题过程中的错误警戒意识，使得课堂内容重点突出、针对性更强，使学生形成严谨的数学思维习惯，能有效构建数学解题过程中常见性错误的“错题库”，达到让学生跳出题海，轻松而高效地学习数学的目的.同时针对高考中常见的易错、易混、易忘典型题目系统地整理出来，疑难问题集中攻克，易错问题及时纠正，学生面对高考也心中有数，手中有法，自然在高考时能考出优异成绩.

三、课题研究的思路及方法

1.在课堂教学中将遇到学生不易于理解的知识点和课后学生反馈的问题，在考试中容易出错的典型问题整理出来，经过教研讨论，形成更好、更科学的授课思路，让学生理解、接受、消化、吸收.如：

例1：（2010.天津）命题“若f（x）是奇函数，则f（-x）是奇函数”的否命题是（ ）

A.若f（x）是偶函数，则f（-x）是偶函数

B.若f（x）不是奇函数，则f（-x）不是奇函数

C.若f（-x）是奇函数，则f（x）是奇函数

D.若f（-x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数

【解题探究】本题重点关注：（1）要求的是“否命题”而非“命题的否定”；（2）注意“奇函数”的否定对象是什么？

【规范解答】选B.因为否命题是既否定题设，又否定结论，而奇函数的否定不是偶函数，而是“不是奇函数”，所以否命题应为“若f（x）不是奇函数，则f（-x）不是奇函数”.

【误区警示】知识性错误.

本题为由原命题确定否命题，在本题中易将否命题误认为命题的否定，或将奇函数的否定误认为是偶函数，从而导致错选，这类问题，常见的误区有：

（1）不能正确区分命题的否定与否命题；

（2）将条件或结论的否定搞错.

例2：若抛物线y=ax-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点A，B，则a的取值范围是？摇 ？摇.

【解题探究】（1）直线AB的方程必为y=x+b，根据点A，B关于直线x+y=0对称，用参数a表示出b，根据直线与抛物线相交于不同两点建立关于参数a的不等式；（2）求出抛物线斜率为1的平行弦中点的轨迹方程，利用这个轨迹方程与直线x+y=0的交点在抛物线内部建立关于参数a的不等式.

【规范解答】解法一：设抛物线上的两点为A（x，y），B（x，y），AB的方程为y=x+b，代入抛物线方程y=ax-1，得ax-x-（b+1）=0.设AB的中点为M（x，y），则x=，y=x+b=+b.由于M（x，y）在直线x+y=0上，故x+y=0，由此得b=-，此时ax-x-（b+1）=0变为ax-x-（-+1）=0.由=1+4a（-+1）>0，解得a>.故填a>.

解法二：根据点差法，不难求出抛物线y=ax-1的斜率为1的平行弦中点的轨迹方程是x=.当a>0时，y>-1；当a-1，解得a>；当a.

【误区警示】圆锥曲线上存在不同的两点关于某条直线对称，试确定圆锥曲线中或者直线中的某个参数的取值范围，这是圆锥曲线中的一个难点.化解这个难点的方法有两种：一是利用两点关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对称轴上，写出用参数表达的直线方程，利用直线与圆锥曲线有两个不同的交点，由判别式大于0列出关于参数的不等式解决；二是利用圆锥曲线上与对称轴垂直的平行弦中点的轨迹与对称轴的交点在圆锥曲线内部，列出关于参数的不等式解决.

第2篇：高考数学必修范文

【关键词】高考；数学；学习对策

数学是人类最重要的基础知识，高考数学出题要有利于中学生数学学习和国家选拔合格人才。我国高考数学试题立足于注重基础知识和基础技能，强调知识灵活应用[1，2]。数学基础知识点很多，而高考试卷容量有限，故不同时间、不同区域的高考试卷各有侧重点和命题特点[3-5]。中学生在学好数学基础知识的基础上，也需根据历年的命题特点，采取有针对性地有策略地学习方法，力争在来年的高考数学中考出优异成绩[6，7]。论文针对陕西省高考数学自主命题来，尤其是近三年的试题，分析了不同时期和不同试题类型的特性，并提出了有利于掌握基础和基本使用技能的数学学习策略。

一、高考试题分题型解读及体会

陕西新课程高考数学自主命题从2010年开始，经历2011年至2013年的渐变，形成了有利于中学数学教学和高校选拔人才的原则。总体来说，2011年陕西数学考题反映了数学本质，彰显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性。试题以全新的面貌融入新课改的理念，试题无论是在结构方面，还是在背景的设计方面，都进行了大胆的改革和探索，有利于高校人才的选拔。2012年陕西高考数试题着重体现新考纲和新课标，选择题、填空题和解答题即不偏也不怪，三个层次各自梯度不同，整套试题梯度适当，能客观地考查出学生的知识水平和数学能力。2013年陕西高考数试题的特征是：平和稳健，试题的综合性略有降低，运算量适度，难度与2012年相当，试卷整体紧扣教材。综合试卷中的各种题型，形成了清晰的题型特征：

1、选择和填空题。共15道小题，大多难度较小，一般有3个左右难题，题目内容覆盖高中主要知识点，考查学生灵活应用知识的解题能力，占分75分。如何快速准确解答好选择和填空题，是数学取得高分的关键。课堂学习时应注意以下几点：（1）要对考试说明中的知识点进行全面复习，不可遗漏。如2011年考查了复数的模、幂函数和线性回归，2012年考查了统计中的中位数等知识，2013年考查了程序语言，这些知识点在复课过程中都容易被忽视。（2）要让学生掌握选择和填空题的解法，并灵活运用。选择和填空题的解法主要有：直接法，数形结合法，排除验证法，特殊化法，构造法等。数学家希尔伯特说过：在解决数学问题时，特别化比一般化更重要。因此对于较难的选择题不妨让学生尝试用特殊化法去解决，往往会得到意想不到的效果。（3）要重视数学应用题教学。由于陕西省高考数学“考试说明”中明确要求学生要有数学应用意识，因此陕西省每年高考试题都会在小题中体现。（4）2013年陕西省数学试题中选做题难度有加大的趋势，三个题都比较难，这应该引起复课重视。

2、三角函数一般是高考第一道大题，难度不大，重点是要提高学生做题准确率。考查的主要题型有：三角最值与图像、性质结合，三角最值与向量结合，三角最值与正余弦定理结合。

3、立体几何考查的是三视图，平行与垂直。相对来说，解答题文科主要考查面积与体积计算，理科则考查夹角问题，且难度有增大的趋势。距离问题尽管在一些模拟试题当中能够见到，但从陕西省高考数学试题“考试说明”看考查的可能性不大。

4、数列重点考查等差数列、等比数列及求和问题。三年中有两年出了证明题，今年数列试题第二问让学生证明一个数列不是等比数列，部分学生竟然想不到反证法，这说明证明题是学生弱点，应该引起重视。

5、概率主要考查学生数学阅读理解能力和审题能力，是中等偏难的试题。这几年陕西重点考查了以下题型：概率与排列组合的结合，概率与统计的结合，互斥事件与独立事件的概率，二项分布与几何分布。学习时应重点训练以上题型，并注重培养审题能力和思维的严密性。

6、解析几何高考主要考查椭圆与抛物线知识，求轨迹问题以及直线与圆锥曲线的位置关系。对于双曲线问题，掌握最基本知识即可。尽管这几年解析几何比前几年难度有所降低，但由于现在学生运算能力普遍较差，要全面正确回答仍有较大困难。近三年来陕西试题有两年考查了求轨迹问题，但在平时学习时，部分学生在这里花费的精力不多，应该引起足够重视。

7、导数与函数一般是高考最后一道大题，采取三问式。一般学生可以完成前两问，第三问难度比较大，大多数学生难以回答准确。和大多数地区一样，陕西省近几年导数题主要由以下问题组合而成：（1）利用导数求极值、最值单调区间；（2）利用导数几何意义求切线方程及参数值；（3）利用导数解决恒成立问题中参数的取值范围；（4）利用导数求解方程的根、函数零点、曲线交点问题；（5）利用导数证明不等式或比较大小。

二、2014年高考的学习对策

根据陕西省近几年高考数学命题规律和各种题型的特点，从多年来高中数学教学经验出发，针对2014年的陕西高考数学，提出如下学习对策：

1、深入研究陕西省高考数学“考试说明”，弄清哪些知识点需要了解，哪些知识需要理解和掌握，只有把“考试说明”反复阅读，牢记在心，才能减少复课的盲目性，提高复课效率。比如2013年高考试题中的反函数，程序语言就属于了解内容，大多数老师和学生没有重视，从而影响了答卷。

2、坚持抓好“三基”，重视数学思想方法渗透，这是提高数学成绩的关键。对支撑数学学科的主干知识，如函数、数列、导数、不等式、解析几何、立体几何、概率与统计要做重点复习。发挥学生学习的主导地位，精选题目，及时补救学生数学学习中的存在问题。教师讲评时，注意考点和数学思想方法，通过一题多解，多题一解，让学生真正将题目内容学透、学活。中学数学思想方法主要有：“函数和方程的思想，数形结合思想，分类与整合思想，化归与转化思想，特殊与一般思想”。

3、教师要引导学生扎扎实实做一定数量的题，提高学生动手、动脑能力。人常说，问题是数学的心脏，解题是数学的灵魂。当学生动手做题到一定量后，思维能力、运算能力、运算速度和准确率都得到提高。然而，一部分学生，特别是文科学生只喜欢背和记，不爱动手，对数学的学习只停留在知识层面，没有转化成能力。

4、加大选择题、填空题的训练力度。通过方法讲解和定时训练，让学生真正将选择题、填空题的解法学活，从而提高解题的速度和准确率。

5、学习过程中一定要重视课本。以前有些高考试题是从课本中的题目改编而成，而近三年的陕西数学试题每年都有课本中的原题。如选自课本中例题作为解答题的有：余弦定理的证明，三垂线定理的证明，数列求和公式的证明。也有选自课本中习题的，2012年理科13题（在北师大版选修2-1第76页），2013年理科第3题（在必修4第106页）等。遗憾的是，学生答卷调查显示部分学生反而回答不好来自课本中例题或习题的高考题目。因此，把课本丢到一边，整天捧着复习资料做题的复课方法需要改革了。新教材中有很多典型的题目，教师可以挑选教材中适当的题型，引导学生去做，并根据学生做题情况进行答疑解惑，把课本复习真正落到实处。

三、结语

总之，高考数学的命题首先注重基础知识，同时也强度基本技能的灵活应用。学生和教师都要以教材为基础，充分理解和参透教材的主干内容，适当参考资料，并遵循历年来试题的总体规律和各种题型的特点，统筹知识领悟和能力培养，争取全面准确掌握高考数学需要的知识和技能。

参考文献：

[1] 薛红霞； 常磊； 常伟兴；2013年高考数学试卷总体评价及2014年高考复习对策[J]. 中国数学教育， 2013（Z4）。

[2] 赵思林； 翁凯庆；高考数学命题“能力立意”的问题与对策[J]. 数学教育学报，2013（04）。

[3] 朱恒元. 星垂平野阔 月涌大江流――2012年全国各地高考数学试题的特点和启示[J]. 中国数学教育. 2012（Z4）。

[4] 田春梅. 2010年辽宁高考数学试题统计与能力测试分析[J]. 中国数学教育。2011（06）。

[5] 张晓斌； 熊军；2012年重庆高考数学试题特点与命题建议[J]. 中国数学教育， 2012（24）。

[6] 石泉. 坚持能力立意 贴近学生实际――2011年浙江省数学高考卷评析与启示[J]. 中学教研（数学）. 2012（02）。

[7] 朱恒元. 活水源流随处满 东风花柳逐时新――2011年全国各地高考数学试题的特点扫描和动向探微[J]. 中国数学教育. 2011（Z4）。

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第3篇：高考数学必修范文

高考真题 （2012年高考湖南文科卷第17题）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）

教材原题 （人教A版高中数学教材必修3第123页第3题）李老师在某大学连续三年主讲经济学院的高等数学，右表是李老师这门课三年来的考试成绩分布.某同学将研修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得到60分以上的概率.

解答过程 （解法1）记A为事件“某同学高等数学考试成绩在60分以上”，A1，A2，A3 ，A4分别表示事件“该同学成绩在90分（含）以上”， “该同学成绩在80～89分”， “该同学成绩在70～79分”， “该同学成绩在60～69分”.频率接近于概率，我们可以用频率去估演变过程 近年来，高考概率题大都以图表的形式展示出来，丰富的信息隐藏在图表中.考生只有读懂图表，才能准确、快捷地完成解答.有的同学读不懂题意，一头雾水，殊不知图表型概率题不但源于生活，也源于我们的教材.这道高考题将教材的背景题移花接木，改头换面，并对考查的知识面进行拓宽.

改造1：变换命题背景，将教材原题中的成绩分布问题改造为购物结算时间问题.

改造2：增设已知条件，与教材原题相比，不但有购物件数和相应的人数，还增加了结算时间，如此改造后，丰富了问题的情景，也增加了思考的维度和层次.

改造3：增设了未知量，将教材原题的条件隐蔽化、间接化，加大了对思维的考查力度.

改造4：教材原题的考查方向相对单一，改造后的高考题不但考查互斥事件的概率问题，还考查频率、频数及样本平均数的计算等统计知识，立足于知识交汇点处对教材原题进行改造拓展，体现了高考命题“源于教材，又高于教材”的理念，突出高考试题的选拔性.

另外，教材原题还可以进行如下改造拓展.

改造5：改变已知条件中信息的呈现方式，可将等候结算的时间再细分出0.5分钟这一档，将题中信息以直方图的形式呈现出来，要求考生根据频率分布直方图进行求解.这样信息量更大，考查知识点更多，对能力要求更高.这一类型的问题也是当前高考概率题的考查方向之一，应当引起考生的高度重视.

改造6：改变设问的方式.（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.于是我们得到2012年高考湖南理科卷第17题.其解答过程如下.

第4篇：高考数学必修范文

1 试卷的总体分析

1 .1 试卷内容分析

表一 基础知识的考查分布

表中数据表明，试卷合理地借助交汇，从而在不刻意追求知识点覆盖面的情况下，较为全面的考查了高中数学的全部重要内容.

表二 数学能力的考查分布

试卷较好地体现了“能力立意”的命题指导思想，全面地考查了《课标》要求的数学基本能力，全面考查了考生的数学素养和数学思维能力，并为考生提供了展示能力的空间和机会.

表三 数学思想的考查分布

表中数据表明，试卷重视数学思想方法的考查，将中学常见的数学思想方法融入试题，根据考生对数学思想方法的灵活运用程度，较为有效地区分了考生的数学能力.

1 .2试卷特点分析

与前三年相比，今年试卷在题量、题型等方面保持稳定的同时，逐步适度体现对思维过程和分析能力的要求，注重双基、体现新意，平和不乏新奇，探索彰显活力.

1 .2 .1立足平稳发展，规避常规模式

表四 2 0 0 9 ~2 0 1 2年高考数学福建卷文科解答题内容位置统计

表四列举的内容表明，试卷的结构与前三年相比整体不变，仍然坚持对基础知识、数学能力、数学思想方法的考查.由表四可知，解答题在全面考查支撑高中数学框架的主体内容的同时，内容位置灵活变动，设问方式丰富多样，突出体现了规避试卷题序“模式化”.

试卷中试题背景的新探索、试题题型的新构造、考查形式的新设计等使得高考试题“常考常新”.同样是考查分段函数的相关知识，第9题将分段函数建立在符号函数与狄利克雷（Dirichlet ）函数之上，使得试题更有内涵；第18题第（Ⅰ）问线性回归方程的考查，改变了回归分析未纳入高考试题的格局；第20题三角函数归纳、推广、证明的题型设置，突破了三角解答题多年来形成的设计模式，体现了命题者的匠心.

1 .2 .2鼓励理性思考，展示数学魅力

“理解基本的数学概念，数学结论的本质，了解概念产生的背景，体会其中所蕴含的数学思想和方法”这既是高中数学课程的目标，也是数学教学的目标.2 0 1 2年福建省高考数学文科试题较好地体现了这一目标.

试卷重视对数学思想方法和数学能力的考查，特别对推理论证能力以及应用意识的要求更高，试卷宽角度、多视点、有层次地考查了考生的数学理性思维能力，数学学习潜能和数学素养.

第1 2题利用数形结合思想有机地将函数性质与函数导数结合在一起，对原函数的等价转换是学生理性思考的关键所在；第1 9题将空间最小距离和的问题化归为平面问题，体现了距离的本质；第2 2题更是融合了四大数学思想方法，数学味道浓厚.

1 .2 .3关注知识交汇，提升试题内涵

正如德国数学家希尔伯特所说:“数学，它的生命力在于各部分之间的联系.”一份好的数学试卷必须站在学科的整体高度，在知识网络交汇处设置试题，从而达到一定的深度.不难看出，2 0 1 2年高考数学文科试题很好地体现了这个命题思路，知识点被巧妙的嫁接融合成一体，不仅使知识、思想方法、能力考查的覆盖面得到拓宽，且试题的内涵也进一步得到丰富.

从知识的角度看，第1 1题以三角函数为载体，体现与数列的交汇；从数学思想方法的角度看，第2 2题综合了函数与方程、数形结合、化归与转化、分类与整合四大数学思想方法，合理增加试题的思维量；从数学能力的角度看，第2 0题实现了运算求解能力、抽象概括能力与推理论证能力的有效整合.

1 .2 .4注重问题探索，体现选拔功能

正如美国教育学家布鲁纳所说:“探索是数学的生命线”.探索，是数学的不变主题.今年文科数学试卷出现了不少探究性试题，让人们感受到，数学是最古老的科学同时也是最有积极意义的科学，它永远充满着青春活力.

第1 6题以道路铺设为背景，学生需要一定的推理论证能力才能得到正确的答案；第2 0题设问是开放的，需要考生自己做出判断后得出结论，再进行论证；第2 1题以“动圆是否过定点”这一几何问题为载体，设置探究性问题，融计算、推理于一体，综合性和灵活性较强；第2 2题函数零点个数的探索，有效考查考生思维的发散性和严谨性，具有一定的区分度，体现选拨功能.

2 几点商榷

2 .1考查权重偏差

由表一可知，试题考查的知识点权重与教学的知识点权重有所偏差.如解析几何以及三角函数考查分值有所超出.同时，平面向量和概率统计，一个是沟通几何、代数、三角函数等内容的桥梁，一个是研究随机现象、刻画现实世界的有力工具，但它们的重要性在试卷中没有得到应有的体现.

2 .2超越必须体现

以教材中的定理、习题为基本载体命制试题，在贴近教材中提高，可以为中学实施素质教育创造宽松的环境.第2 0题改编自人教A版必修四1 3 8页B组第3题，这种回归教材的做法，有利于引导师生研究、进而科学地使用教材.

回归教材是为了超越教材，这既是数学教学的必然要求，也是人才选拔的基本需要.基于高考试题的创新要求，若将其置于2 0题的位置仍需超越教材.

2 .3切题略显冷僻

第1 9题第（Ⅱ）问将线面垂直问题的切入点建立在“蚂蚁最小行程”的背景之上，在侧面展开图中考虑最小距离，这样的试题设置让人眼前一亮，彰显数学本质.然而，这样的切入点对考生而言稍显冷僻，不易着手.

第5篇：高考数学必修范文

试卷形式保持稳定，主要体现在大纲理念、试卷结构、题目数量以及题型等方面与20**年基本相同，保证了试题年度间的连续稳定。另外在全国20**年全面推进新课程标准的大背景下，作为首批进入课程改革的实验省，20**年的试卷在保持“稳定”的基调下，进一步加深对课程改革的渗透，既体现了知识运用的灵活性和创造性，又兼顾了试题的连续和谐与稳定发展。

一、遵循考试说明，注重基础

试卷紧扣我省的考试说明，体现了新课程理念，贴近教学实际，从考生熟悉的基础知识入手，无论是必修内容，还是选修内容，许多试题都属于常规题。部分题目“源于教材，高于教材”，做足教材文章。如文、理科的选择、填空以及解答题的入手题（17）和（18）题，均侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查，这对正确地引导中学数学教学都起到良好的促进作用。

二、考查全面，注重知识交汇点

但是，在本套试卷中还有我们经常关注的知识本次没有涉及，是否会说明一些问题，三视图在经历了新课标必考的阶段之后，今年没有涉及，另外抽样方法、频率分布直方图、二项式定理我们复习时认为重要的点也没有涉及，特别是二项式定理已经连续两年没有涉及，这也值得我们注意。

三、注重能力立意，体现文理差异

四、重视创新意识，凸显新课程理念

总之，20**年山东省高考数学文、理两份试卷，均具有较高的信度、效度和有效的区分度，达到了“考基础、考能力、考素质、考潜能”的考试目标。

（二）如果想考进大学，数学高考成绩应该在120以上，特别是想考重点大学数学成绩应该在130以上。

（三）答题时间：第一第二大题应该在30-40分钟，一般不能超过45分钟。只有这样，才能保证后面大题有足够的时间思考和作答。最后，无论能否做完，都要留出一些时间来复查前面做的试题。

（四）试题内容分析：

1.三角函数。试题中是一个大题一个小题。十八分左右

大题主要是考察三角函数的化简，计算及三角函数的图像和性质。三角函数的各种诱导公式和特殊角的三角函数值一定要记下来。特别是降次公式几乎每年都要考到。再，就是解三角形，主要是正弦定理和余弦定理应用。

小题主要是考察三角函数的性质，比如求值，求周期，求单调区间等。

2.数列。试题中也是一个大题一个小题。十八分左右

大题主要是考察数列的通项公式及前n项和公式。如果试题难过增加最后一问就可能和不等式联系起来。前n项和主要是裂项求和和错位相减求和。山东高考数学试题有这样一种现象：从新课改以来05年，所有的奇数年份重点考错位相减求和，偶数年份重点考裂项求和。小题主要是考数列公式的应用和性质的考察。

高中数学试卷分析（二）

从今年的理科数学试卷和考生考后反馈来看，今年新课标全国高考数学试卷选择题比去年全国新课标卷难的多，送分题相对少的多，尤其是12题，考纲上说淡化反函数的求法，平时也没讲这么深，填空题基本上与去年全国卷持平，解答题也比较常规，选答题的不等式的题第二问略难，多数学生感觉到答得不顺利，所以预计今年的数学理科平均分要低于去年。试卷分析如下：

1、立足教材，紧扣考纲。

试卷中所有考题无一超纲，选择题运算量太大。

2、突出基础，综合性不太强。

试卷考查了集合，复数，函数图像，框图语言，三视图，数学期望，椭圆离心率，二面角等概念，第12题以知识交汇处出题。

3、着力思维，立意能力。

试卷对能力的考查全面且重点突出，特别对空间想象能力，推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及创新意识的要求更高。第17题这道题是解答题的第1题，命题者本意不想难为学生，但实际上此题的第二问确难住了很多学生。

4、体现课改，平稳过渡。

对教材新增内容的考查较全面，且难易适度，既体现了基础知识的与时俱进又有利于新课标的平稳过渡。三道选答题，不等式的第二问，有一定的难度，学生选此题不易得满分，因此合理地选择也是对学生能力的较高的要求。

纵观2012年高考数学试题，它紧扣数学考试大纲，继承与创新并举，基本上实现了从旧课程高考数学卷向新课程高考数学卷的平稳过渡，为新课标的教学起到了积极的引领作用。不足之处是：小题的涉及的知识点综合性不太强，小题没有明显的感觉从易到难的那种梯度感。而且发现好多选择题都可以用排除法解决，且很快，因此平时要注意培养学生的应试能力，即不光培养学生会做题，还要培养他的解题速度，这就需要求解方法的合理性，才能应对高考。

文科数学

今年的文科数学总体符合考纲要求，难度稳中有升，注重了知识的综合，对运算能力的要求较高，突出对学生数学能力和数学思维的考查。试卷分析如下：

1、结构稳定、层次清晰。

2、关注通法、突出运算。

整个试卷坚持重点知识重点考查，非重点知识渗透考查的思路，强化主干知识，所涉及三角函数、函数与导数、概率与统计、解析几何、立体几何等模块占全卷的80%左右。新课标中的新增内容如复数、框图、三视图、统计案例全面涉及，难度适中。试题关注通性通法，淡化特殊技巧，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的命题要求。值得注意的是，今年的试卷对运算能力的要求有所提升，基本上没有送分题，所以学生普遍感觉较难，得高分不易。

3、注重交汇，考查能力。

总体来看，试题题型灵活多变，综合性强，部分题目在考查知识点上有创新，有一定难度。如第18题，体现了函数、统计、概率等知识点的交汇，阅读量大，对审题要求高。

总的来说，试卷对能力的考查全面且突出重点，特别对空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识要求更高。预计今年我省高考文科数学的平均分较去年的全国大纲卷得分有所降。

高中数学试卷分析（三）

今年的试题总体难度较去年有所增加，试卷重点考查了高中数学的主干知识，如函数与导数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率与统计等重点知识。其中选择题、填空题比较平和，立足课本，注重基础知识考察，但是解答题的难度逐步提高，尤其是文理科的第20题，第21题综合性较强，涉及的知识较多，区分度较大。

1.选择、填空题部分，注重基础，难度适中。

不论文科还是理科，选择题、填空题比较平和，立足课本，注重基础知识考察，主要考查了集合，平面向量坐标运算，函数奇偶性，解析几何抛物线，三角函数图象，球与立体几何，线性规划，简易逻辑，二项式，概率抽样统计，直线与圆。

2、解答题内容丰富，考查全面。

试题几乎涵盖了高中数学的所有章节的知识内容，全面考查了高中阶段重点内容，文理科其中有三道大题（解三角形、函数实际应用和解析几何）是一样的。

解三角形，考察了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系。

函数应用题，构建函数模型，考查数学分类讨论思想方法。

数列题目，文科数学以等差数列，等比中项为载体，注重数列公式的应用。理科数学则是考查S_n到a_n的递推公式，通项公式，再到求和公式。

立体几何，湖北卷立体几何一般都是可以用两种方法来解决，几何法注重考查定理而向量法侧重建立坐标系，坐标运算。

函数导数大题，文科数学是由切线入手，在第二问主要考函数与方程思想，并突出考查了学生的运算能力；理科数学第一问较简单，求函数最大值，但是第二问就考导数与不等式，综合性很强。

解析几何，这道题目文理科是一样的，第一问是考动点轨迹问题的直接法，然而在第二问，加大难度，联合考了向量数量积，面积公式等内容。

3、联系生活，突出应用。

试卷贴近生活实际，加强了对学生数学应用意识的考查，凸显了数学服务社会的功能。

第6篇：高考数学必修范文

目前不少教师在平时的教学和高考复习中常出现一个误区：偏爱各类参考资料，四方搜集各种课外习题，而将课本抛在一边，结果导致学生对课本中的概念、基本思想方法模糊不清，基本公式的来龙去脉不甚知晓，对通性通法不熟练，而一味去搞“题型分析”，去寻找“解题妙法”，在答卷时就可能去钻牛角尖，死套“题型”硬要去用“巧妙方法”，从而导致不必要的失分.因此在基于数学本质的原则下，用好用活教材中的例题与习题，能够较好的让学生掌握中学数学基础知识、基本技能、基本思想和基本方法，提高学生的思维能力、运算能力、空间想象力及分析运用知识解决实际问题的能力.以下谈谈本人在教材例题与习题的拓展研究中的几点做法和感受.

1.例习题的拓展是在基于数学本质的原则下，为的是让学生更好更快地掌握数学知识，因此问题的拓展不一定要多么的深入，综合程度也无需过高.学生易错之处最易进行例习题的拓展.

例1“已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截的弦长为45，求直线l的方程.”（源自人教版《必修2》P127页例2）

拓展：“已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截的弦长为8，求直线l的方程.”

拓展的意义：教材例题中，先由勾股定理，求出圆心到直线l的距离为5，然后假设直线l方程的点斜式方程，利用圆心到直线距离公式，得到一个关于斜率k的方程，求出k有两个值，进而求出直线l的方程，有两个答案.如果拓展后仍然沿用此法，则求出的k只有一个值，却忽略了斜率不存在的直线x=-3也是答案之一.经过拓展，让学生掌握在求直线的斜率之前，必须考虑斜率是否存在，培养学生思维的慎密性.

2.改变例习题中的某些条件亦是例习题拓展常见方式.

例2“过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的画圆，借助信息技术工具，观察它与抛物线准线l的关系，你能得出什么结论？”（源自人教版《选修2-1》P81页复习参考题B组第7题）

拓展：其中条件“过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F”拓展为“不过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F”.

拓展的意义：利于拓展学生的发散思维.

3.研究逆命题是否成立让例习题拓展成为一种常态教学行为.

例3“过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.”（源自人教版《选修2-1》P70页例5）

拓展1：“过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点B作直线DB平行于抛物线的对称轴，交抛物线的准线于点D，求证：A，O，D三点共线.”

拓展2：“过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点B作直线DB平行于抛物线的对称轴，交直线AO于点D，求证：点D在抛物线的准线上.”

拓展3：已知A为抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，通过点A和抛物线顶点O的直线交抛物线的准线于点D，过点A作x轴的平行线，交抛物线的准线于点C，则CFDF.（文[1]中对此已做详细说明论证）

拓展的意义：通过拓展，让学生们理解“A，O，D三点共线”、“点D在抛物线的准线上”、“直线DB平行于抛物线的对称轴”三个条件中，由其中任意两个可以导出剩余一个.另外还可引导学生类比研究椭圆、双曲线也有类似的性质.从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探索精神.

4.将例习题归纳总结，导出一般性规律.

例4（1）“点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和这到直线l：x=254的距离的比是常数45，求点M的轨迹.答案是椭圆x225+y29=1.”（源自人教版《选修2-1》P47页例6）

（2）“点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和这到直线l：x=165的距离的比是常数54，求点M的轨迹.答案是双曲线x216-y29=1.”（源自人教版《选修2-1》P59页例5）

拓展：研究定点和常数比、焦点、离心率，联系抛物线定义，探索它们与椭圆、双曲线、抛物线的关系.

拓展的意义：引导学生归纳出圆锥曲线的统一定义.

对教材例习题的拓展探究，还可通过改变问题背景、将不同章节问题交汇综合等.不仅能激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探索精神，同时对提高教师自身的专业素养起着积极的促进作用.

第7篇：高考数学必修范文

关键词：高考；高三复习；数学知识点；有效性

近年来，我国中学教育有了翻天覆地的大变化、大发展、大进步，全民的知识素养也有了前所未有的提高. 高三复习工作也从无到有，从有到精，发展到复习模式的标准化、系统化、完备化，形成中国中学教育的一个鲜明的特色. 现在，作为一名常年在高三指导学生数学复习工作的数学教师，都在高三数学复习计划上执行着一个不成文但约定俗成的程序化的流程，即高三数学的一轮、二轮、三轮复习. 同时，在检验我们复习效果的措施上，绝大部分省市都会在几个城市之间或者地区之间在高考前的三月、五月组织一模、二模，甚至三模考试. 我们的高三学生和高三教师经过高三这一年像上述模式化的学习和工作后，在高考结束后随之到来的成功与成就的体验后，又都伴随着同一个感觉：累、枯燥. 这一负面的感受折射出我们的高三数学复习教学到底有多少是有效的，值得我们教师去研究、反思.

[?] 知识重现的有效性

现在全国有10多个省份在实施新课程改革，我们江苏省的新课程改革已经进入到了第八届高中学生（新高一），江苏省的新课程下的新高考也已进行了七届（2008年～2014年）. 数学新高考在知识内容、试卷结构、试题功能上和以往的老高考有了很大的变化和发展，但是在试卷的形制、命题的模式上并没有发生很大的变化. 江苏新高考中，文、理第Ⅰ卷合卷有20个试题，14个填空题、6个解答题，理科加试第Ⅱ卷，4个解答题. 本人统计了近几年来新课改省份的数学高考试卷，发现数学高考所涉及的数学知识点细化到数量一般为80个左右，而一个高中生在高中三年的数学学习中所需要掌握的数学知识总量是多少呢？如果将我们的高中数学教材中所涉及的数学内容也细化到知识点数量，笔者粗略统计了一下，大约是800多个（不包括理科附加部分）. 从这个数据，读者可以清晰地发现，要在一张数学高考试卷的20个试题中来全面呈现800多个数学知识点是不现实、不可能的. 因为学习的知识点与考查的知识点的比例高达10∶1. 下面，我们再来看一组数据.

高考试卷（江苏省）的题目数量是20个恒定的. 我们的学生在高中三年中又做了多少个数学题目呢？我们可以这样计算，一个高中生一天做10个数学题目（算是比较懒惰的学生），三年我们算学习时间1000天，那就有10000道（其实大家都知道现实情况远远超出这个数量）. 10000∶20=500∶1，这已经是一个很惊人的比例了.

以上两组数据说明什么问题呢？问题就是高三复习过程中的数学知识点重现的有效性. 第一组数据说明了数学高考对所学数学内容进行知识点考查时有重点、对数学思想方法考查有倾向性.

[?] 近五年江苏省高考试卷所涉及知识点分布的统计分析

首先，我们来分析近五年（2010～2014）江苏省高考填空题命题所涉及数学知识点的重点方向. 读者可以仔细阅读这五年的试题分析，从14个填空题的知识点中对比后可以很清晰地看到，五年新高考考查的14个填空题所涉及的知识点分布是基本一致的. 新教材在教学内容上增加了概率、导数、统计、算法、复数、推理、向量七部分应用类数学的核心内容，在五年新高考中均有涉及，且在填空题中都有分布，体现出新课程理念比较注重数学应用，对于不同于以往老教材的教学内容是高考考查的必备考点. 这说明，平时我们在新课教学上就应重视这部分新增教学内容，深刻理解这部分内容并非是大学中高等数学内容的简单下放，而是新课程所倡导的“数学生活化”、“数学应用化”、“数学大众化”理念的推行，旨在学生在学习过程中体验数学改造生活的作用，数学推动社会科技发展的力量.

再从解答题考查的知识点来分析，读者不难发现解答题的命题设置还是比较稳定的，继承了中学数学中的经典数学内容，但是，在考查解答题所需的数学工具、数学思想方法以及呈现知识点所要借助的载体上呈现出在保持稳定的前提下逐步灵活多样的趋势. 在同一知识模块的考查上，命题时既考虑到知识点、数学工具、思想方法的选择，也考虑到试题出现位置的变化，体现出新课改的命题在注意保持稳定性的同时又避免死板造成八股形制，这说明我们的课改并不是摒弃一切旧的东西，而是继承经典，传承发展，对于数学中经典的数学工具、数学思想还是始终渗透在我们的新课程教学中.

最后我们来看看理科学生的四十分附加分：由于附加题加试时间仅为30分钟，命题所受的局限性会比第Ⅰ卷大，因为内容要涉及选修2系列和选修4系列的多章内容，命题确实有着很大的难度. 从知识点的分布可以看出，这五年的试题内容的选择已经做到了选修2系列和选修4系列的全覆盖，在难度上基本保持一致. 选做题考查基本知识，必做题考查学生的能力.

通过上述分析，第一组数据要陈述的观点是：高三复习的本质是知识的重现，要让学生在复习过程中逐步提高，就必须提高所复习内容知识重现的有效性，而提高这一有效性的重要方法就是我们教师要吃透考纲重点，通俗地讲就是要会“押宝”，当然这里的“押宝”不是“押题”而是“押方向、押重点”，以此提高复习的有效性.

第二组数据又说明什么呢？许多高三学生都有一个错误的认识：我平时做过的试题高考是不会出现的. 包括我们教师本身也有这方面狭隘的理解. 而通过第二组数据，笔者要对高三学生大声疾呼：“高考试题就是我们平时做过的试题，尤其是我们曾经做错的题目. ”很明显，高考的20个试题不是空中楼阁，它就来自于我们学生所付出的10000个题目，只不过，呈现知识点的载体有所变化而已. 因此，在高三复习阶段，如何发挥选用例题、习题、试题的功能和有效性十分重要. 而且，要重视学生错例的整理、再现工作，而不是盲目、简单机械、重复地做一套又一套的模拟试卷.

[?] 时间分配的有效性

还是来看数据，高考数学应试时间是2个小时（不算理科附加），也就是说，学生在展示自身数学素养与能力高低上也就是这2小时，而我们的学生高中数学学习的时间总量是多少呢？至少1000小时，每天1小时（包括数学课的40分钟），也算1000天吧. 学习时间：一锤定音的考试时间=500∶1，又是500∶1. 这无论对于学生还是教师来说压力是很大的，长期的学习而积累下的成果要在2个小时内得以体现，需要合理地安排数学知识的学习时间量与复习的分配，要提高学习与复习时间的有效性. 现在，我们高中数学教学时间安排的通常做法是：高一学完必修1、3、4、5，高二学完必修2，选修系列，高三一年复习. 这样就造成高中阶段的800多个数学知识点有近600个分配在高一，而高考所涉及的数学内容在比例上有接近65%的分值是高一所学的内容. 这样带来的问题是，虽然我们有高三一年充裕的时间去复习，但是由于高一的教学任务过于紧迫，造成学习时间与复习时间分配的有效度不高. 高一的新授知识学生掌握并不牢固，到了复习阶段使得复习与新授内容的界限很模糊，而且复习时间过长，学生容易出现疲劳感和所谓的“高原期”，降低了复习提高的效率. 因此，必须提高时间分配的有效性，应该适当减轻高一的教学任务，在新授课的时间分配上倾斜一点，压缩一下高三的复习时间分配，这样效果会更好.

[?] 考前模拟的有效性

第8篇：高考数学必修范文

关键词： 高考数学全面研究 高效复习 命题走向

一、分析试题特点

（一）对非主干知识考查。

（1）集合――四省都有一道考题，占分约5分，是一道容易题，都是考查集合的概念和集合的运算，并且都是放在第一题位置；（2）算法――四省都有一道考题，占分约五分，考查的都是流程图，要求的都是输出结果；（3）概率――三省有考题，只有海南无，三省考查的都是古典概率，江苏考了一道填空题，而广东卷第十七题考了概率统计大题，山东第十九题考了概率大题；（4）统计――四省都有考题只是考查的知识点有所不同，江苏考查的是频率分布直方图，广东卷考查的是分层抽样及线性相关关系，山东卷考查的是平均数方差；（5）复数――三省有考题，只有广东无，三省考查的都是复数的除法运算；（6）简易逻辑――广东卷山东卷都有考题，其他两省无。且两省考的都是充要条件问题。

注意：集合、算法、概率、统计、复数、简易逻辑是基础知识点。但江苏卷又有其个性化特点，体现在两个方面：一是命题、逻辑、量词、类比推理书写不方便，一般出现在填空题中；二是算法、概率、复数、统计、直方图、茎叶图、方差、均值轮流考，不考难题。

（二）对主干知识的考查。重点知识模块是命题重点，注重在知识网络交汇处命题。

1.函数知识――是历年考试重点和热点，结合四省试卷分析，函数部分考查的是如下两个方面。（1）基本函数，分段函数，以及函数y=x+a/x（a＞0）定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性与最值问题；（2）函数的建模问题（江苏卷14题）。能够注重数学的应用意识和创新意识的考查，应用所学的数学知识和思想方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决；⑶函数综合题给出函数解析式（含参函数）主要考查分类讨论问题，主要以一二次函数、幂函数、指数函数、对数函数组合（海南卷第21题，山东卷第21题，广东卷第20题）。注意：要特别关注海南、广东函数综合题，它们都是含参函数。但还要注意的是对江苏卷来说函数综合题不考抽象函数，不与导数结合，尤其是不考导数证明，不必在此知识点上练量习题。

2.立体几何――四省都有一道或两道题。巧的是四省所考大题都是一证一算。

3.直线与圆――四省都只有一道小题，考查的都是直线与圆的位置关系。

4.三角――四省都有两道或者三道考题，占分约20分：（1）三角函数周期公式及通过三角函数基本关系式，三角函数图像与性质及图像的平移变换；（2）正余弦定理的应用（江苏卷第13题，广东卷第13题，山东卷第15题）；（3）两角和差正弦、余弦、正切公式（江苏卷第17题，海南卷第10题）。

5.平面向量――四省均有一道考题，属中低档题：（1）考查平面向量基本概念和运算以及坐标运算（江苏卷第15题，广东卷第5题）；（2）考查平面向量的数量积公式（山东卷第12题，海南卷第2题）。注意：三角、向量尤其是解三角形是命题的热点，如加大难度涉及中线、高、角平分线。

6.数列――四省都有一道考题，结合四省试卷分析数列中有如下三个重点题型：（1）等差数列通项公式及前n项求和公式，（山东卷第18题，海南卷第17题），等比数列通项公式以及前n项求和公式（江苏卷第8题，广东卷第4题）；（2）已知Sn与an关系，（江苏卷第19题的第1小题）；（3）数列中常用的求和方法及数列与不等式综合题（江苏卷第18题，山东卷第18题）。注意：江苏卷上把函数数列放在后两题，这是江苏卷独有的特点。

7.不等式――江苏卷考了三道题，而其他三省均考一道题：（1）考查一元二次不等式，基本不等式。（江苏卷第11题，第19题。山东卷第14题）；（2）线性规划问题。（广东卷第19题，海南省第11题）。注意：线性规划问题实质上研究的就是用最少的钱创造最大的经济效益问题。一元二次不等式、基本不等式对江苏卷来说是两个C级要求的知识点，是高考必考的知识点。

8.圆锥曲线――四省均有一道或者两道题，考查的主要有如下两种类型：（1）会求椭圆、抛物线、双曲线的离心率（广东卷第7题）及标准方程（山东卷第9题）；（2）直线与椭圆相交问题，巧的是江苏、山东、海南所考大题都是直线与椭圆相交问题。注意：考纲中，直线与圆是C级，椭圆是B级，既是重点又是难点。

9.导数――四省都有一道或两道题，结合四省试卷分析，导数部分重点考查如下三个题型：（1）导数几何意义（四省都有考题），利用导数法求高次函数及非基本函数单调区间及最值问题，（山东卷第18题）；（2）利用导数法，讨论含参函数单调性及最值问题，（山东卷第21题的第2小题）。注意：因高校教师熟悉导数，利用导数研究导数性质，历来都是命题重点和热点。

二、对2010届江苏高三数学复习的反思

高三数学复习出现的主要问题有：（1）不重视对《考试说明》的研究；（2）不重视课本上典型例题、习题的研究，例如：2010年江苏卷第17题，本题的原型就是苏教版数学必修5第11页的第3题；（3）不重视纠错，只一味地讲新题，其实纠错有时比讲几道新题更有效；（4）落实三基不到位；（5）过早讲解练习中的难题，不重视审题习惯的培养，追求面面俱到，重点不突出，学生参与少，课堂效率低下。

三、对2011年江苏数学复习的启示

对四个新课标区试卷分析之后，对我们来年的复习有诸多启示，可以提高教学的针对性，对于江苏卷未出现而又有要求的知识点，如线性规划问题，充要条件问题等要引起高度重视。对于出现的创新题要好好研究培养学生的探究能力。具体强调如下几点。

（一）要认真研究新课标、教学要求和考试说明，提高教学针对性。

要准确把握考试说明中各知识点能力要求，对A、B两级的知识点要舍得花时间、花精力。

（二）夯实基础，关注通性通法。

“夯实基础，提高能力”是复习教学永恒的主题；要重视课本作用，在基础知识、基本方法和基本能力上教学多下功夫；要认真理解，反复推敲高中各知识点的涵义；对容易混淆的知识，要帮助学生仔细辨识、区别，逐步建立与高中数学结构相适应的思考方法；要及时归纳，总结各种通性通法，提高运用能力；要注意数学思想方法的训练，尤其是函数与方程的思想，数形结合的思想和分类讨论的思想，要突出培养综合解题能力。

第9篇：高考数学必修范文

【关键词】分段函数 高考

分段函数一直是高考命题的热点，纵观近年来的高考数学试题，我们发现其综合性越来越强，本文结合2012年与2013年高考题归纳常用的解法，分析试题的变化。

一、分段函数与求值

所谓分段函数，即在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式。显然，求分段函数的函数值重在考查分段函数的概念。

例1.（江西12年），设函数， 则

A. B.3 C. D.

解： = ，选D

这类题型是求分段函数函数值的经典题型，一般来说求函数值的题型难度不大，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值。近年来的高考在这类求值题型中，变化较大，首先出现的是求函数f[f（a）]值，再次出现已知f（x）=a求自变量x的值，如（北京文2009年）已知函数 若f（x）=2，则x =________.这两年又出现求系数或者综合其他知识求值。

例2.（江苏12年），设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上， 其中a，bR.若，

则a+3b的值为.

解：f（x）周期为2，故f（-1）=f（1），

即 ，解得a=2，b=-4，所以a=3b=-10

此题综合函数的周期，得出f（-1）=f（1）， 是关键，考查了分段函数、函数周期以及方程思想。

例3.（陕西13年），设函数 ， 则当x>0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为

（A）-20 （B） 20 （C）-15 （D） 15

解：当x>0时， ，其展开式常数项为

，选A

本题考查了分段函数与二项式定理。

二、分段函数与奇偶性

例4.（山东13年），已知函数f（x）为奇函数，且当x>0时，

f（x）=x2+ ，则f（-1）=（ ）

（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2

解法1：函数f（x）为奇函数， ，选A

解法2：当x0，故

又函数f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x）

所以当x

例5.（四川13年），已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-4x，那么，不等式f（x+2）

解：当x≥0时，由f（x）=x2-4x

又因为f（x）是定义域为R的偶函数，所以f（x）

而f（x+2）是把f（x）的图像向左平移得到，

f（x+2）

三、分段函数与图像

分段函数作图题的一般解法：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成，作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个以上的点。

例6.（天津12年），已知函数

的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.

解 ，

图像如右图。

函数y=kx-2的图像直线

恒过定点B（0，-2），

且A（1，-2），

C（-1，0），D（1，2），

，

，

，

由图像可知

k （0，1） （1，4） .

含绝对值的函数一般都可化为分段函数，结合图形可求函数的值域或有关参数的值。

四、分段函数与不等式

分段函数本身蕴含着分类讨论与数形结合的重要数学思想方法，而解不等式有时又伴随着参数的问题，这也会用到分类讨论与数形结合思想。如果把分段函数与不等式相结合将能更好地体现这一思想方法。

例7.（天津13年），已知函数f（x）=x（1+a〡x〡）. 设关于x的不等式f（x+a）

（A） （B）

（C）

（D）

解：f（x）=x（1+a|x|）

=

若不等式f（x+a）

则在区间 上，函数y=f（x+a）的图象应在函数y=f（x）的图象的下边.

（1）当a=0时，

显然不符合条件.

（2）当a>0时，

画出函数y=f（x）

和y=f（x+a）

的图象大致

如右图.

由图可知，当a>0时，y=f（x+a）的图象在y=f（x）图象的上边，故a>0不符合条件.

（3）当a

由图可知，若f（x+a）

只需 即可，

则有

整理，得a2-a-1

a

五、分段函数与极限、导数

例8（四川12年）函数 在x=3处的极限是（ ）

A、不存在 B、等于6

C、等于3 D、等于0

解：分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限。选A

本题考查极限的定义。对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。

例9（四川13年）已知函数 ，其中a是实数.设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1

1.指出函数f（x）的单调区间；

2.若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2

3.若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围.

解：（1）函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），单调递增区间为[-1，0），（0，+∞）.

（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′（x1），点B处的切线斜率为f′（x2），故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′（x1）f′（x2）=-1.

当x

因为x1

所以2x1+20.

因此x2-x1= [-（2x1+2）+2x2+2]

≥ =1.

（当且仅当-（2x1+2）=2x2+2=1，即x1=- 且x2=- 时等号成立）

所以，函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有x2-x1≥1.

（3）当x10时，f′（x1）≠f′（x2），故x1

当x1

当x2>0时，函数f（x）的图象在点（x2，f（x2））处的切线方程为

y-ln x2= （x-x2），即y= ·x+ln x2-1.

两切线重合的充要条件是

①

②

由①及x1

由①②得，

a=ln x2+ -l=

令t= ，则0

设h（t）= t2-t-ln t（0

则h′（t）= t-1- =

所以h（t）（0

则h（t）>h（2）=-ln2-1，

所以a>-ln 2-1.

而当t∈（0，2）且t趋近于0时，h（t）无限增大.

所以a的取值范围是（-ln 2-1，+∞）.

故当函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是（-ln 2-1，+∞）.

本题考查基本函数的性质、导数的应用、基本不等式、直线位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程、分类讨论、转化与化归等数学思想，综合性较强，属于难题。

根据近两年全国各地的高考试卷可以发现，对于分段函数的考查大部分是在小题中出现，主要考查函数的相关知识及性质。在求解定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题时若能画出其大致图像，往往会达到事倍功半的效果；对方程、不等式等问题可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，可使问题得到大大简化，效果明显。

【参考文献】

1.人民教育出版社编著：普通高中课程标准实验教科书A版·数学必修，2007.5.

2.韦金香：盘点高考中的分段函数问题，中学教学参考，2010.28.

3.彭俊昌：分段函数的研究性学习，中学数学，2011.11.