有理数的乘法教学案例精选(九篇)

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第1篇：有理数的乘法教学案例范文

关键词：过程生成；基克问题解决模式；有理系数多项式；可约性；教学设计

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）05-015-03

培养学生的问题解决能力，已是各国教育改革中倍受关注的问题，然而我国的实际教学却不尽如人意，尤其是高等数学课堂，大都沉浸在“定义性质定理例题”的注入教学中，无益于数学素质的提高与创造型人才的培养。为何如此？一是遗传多年的传统观念的冥顽不化，二是教育研究重理论而不重实践。笔者倡导“过程生成”教学理念，本文给出基于“过程生成”理念的基克问题解决模式教学设计实例。

一、过程生成理念

基于过程哲学思想，参照基础教育新课改的三维目标，笔者提出“过程生成”教学理念：

教学是动态的知识生成过程。该过程始于某种背景，在思想、情操的层层支配下，激发对学习目标的步步追求，从而诱导已有知识、技能、方法的循循摄入，形成流变与合生：在流变中创造新知识、练就新技能、获得新方法、增长新智慧、形成价值观、积聚创造能量。

过程生成不是过程与生成的简单叠加，而是强调在过程中生成(因为对教学而言，有教学过程未必有生成，有生成未必有良好的过程),其中过程是基础，生成是创造，二者缺一不可，相辅相成。

过程生成教学以过程哲学为世界观，以意会哲学为认知论，以知识在过程中生成为基本策略，以动态性、整体性、连续性、摄入性、生成性为基本原则。

二、基克问题解决模式

20世纪初以来，人们对问题解决及其相关思维技能作了大量的研究，尤其是自皮业杰的认知理论面世和认知心理学产生以后，人们更热衷于从认知的角度来解释人类解决问题的过程，更真实地描述了人类解决问题的动态过程，基克问题解决模式(图1所示)就是其中之一。

三、基于“过程生成”理念的基克问题解决教学模式

遵循“过程生成”理念，参照基克问题解决模式，提出基于“过程生成”理念的基克问题解决教学模式如下：

1、提出问题

2、理解表征问题

找出相关信息，忽略无关细节，分析词句含义，理解表征问题。许多问题中，运用图形表征可能更有助于理解整个问题。在理解表征问题过程中，若问题的解析与头脑中已有的的解题系统产生某种匹配(即“图式激活”)，则直接进入尝试解答阶段，否则需要寻求解答的路线。

3、寻求解答路线

寻求解答路线的一般方法可能有算法式和启发式，常用的启发式有目的分析法、逆向反推法、爬山法、类比思维法等。如果寻求失败即退回到№2。

4、尝试解决方案

亦即是执行解答计划，此时要保证每一个步骤的正确。

5、评价总结

当完成某个解决方案后，要对结果进行评价总结。如果成功且满意就停止，那么就要对求解过程予以完善且建构；否则就退回到前面几个阶段，重新求解。

需要注意的是，如此分步只是一种表述形式，实际的问题解决过程并非为如此线性，可能是跳来跳去的、跨步的。

基于“过程生成”理念的基克问题解决教学重在体现具有动态性、整体性、连续性、摄入性和生成性的问题解决过程。

四、案例设计

在高等代数教材或教学中，关于有理系数多项式的可约性都是直接定义本原多项式，直接给出高斯引理，直接给出爱森斯坦判别法，无益于数学素质和创造能力的培养。本文使用基于“过程生成”理念的基克问题解决模式，给出有理系数多项式的可约性问题的教学设计，意在抛砖引玉，达到弃绝注入式教学模式的目的。

1、问题提出

我们知道，在上只有一次多项式不可约多项式，在上只有一次或二次不可约多项式，但在上却有任意次不可约多项式．那么就存在问题：如何判断有理系数多项式在上的可约性？

2、理解和表征问题

（1）分析联想：激活基本图式

有理数，即整数之比，联想到解分式方程去分母，顿悟出：有理系数整系数。如，显然与在上有相同的可约性，此例具有一般性。于是有理系数多项式在上可约性的研究可归结为整系数多项式在上的可约性来研究。

（2）奇思异想：初拟求解路线

设，讨论的可约性。因为整系数容易处理，并且“在上可约在上也可约”，所以如果能证明“在上可约在上可约”，那么有理系数多项式在有理数域上可约性问题即可以转化为整系数多项式在整数环上来研究，倘若如此岂不快哉！因此我们大胆地确定问题解决路线：

尝试证明以上“期望”：在上可约在上可约；

当“期望”成立时，寻求整系数多项式在整数环上可约性的判别方法。

3、寻求解答

探究：设且在上可约，为简明起见，简写为，探究过程见图2。

图2说明：只要证明的系数互素，我们的期望就能够实现。注意到，其中是系数的最大公因数，所以的系数互素。于是所要证明的问题即是“由、的系数互素推出的系数互素。为了表述方便，称系数互素的整系数多项式为“本原多项式”。这样所证问题即可表为：

猜想I：本原多项式的乘积是本原多项式。

4、尝试解决方案

（1）试证猜想I

设、都是本原多项式，且，，要证是本原多项式，即需证明。但因为的系数是抽象的而无法直接推演，故考虑反证法。

假如，为争取更好的可用条件，取的素因子而代替。分析已知条件与的关系：因为、都是本原多项式，所以的系数中存在着不能被整除的数，的系数中也存在着不能被整除的数，于是应抓住这些不能被整除的系数来“做文章”。不过因为或者中不能被整除的系数并不确定，所以如何“抓”就成了问题。然而“枪打出头鸟”却隐喻着深刻的数学哲理：第一个、最大的、最小的等等都是很好的数学方法！所以不妨设、…、但，、…、但，依此假设及素数的性质即可推得，获得矛盾，所以猜想成立，亦即是得到了高斯引理。

至此我们得到结论“若，则在上可约在上可约”。于是可进入。

第2篇：有理数的乘法教学案例范文

一、精心设计教学，充分暴露过程

教师要设计出科学、清晰的教学思路，暴露出数学家、教材编写者、教师、学生的思维过程。教学思路不等于教师的思路，也不等于学生和教材的思路，更不等于数学家的思路，而是在协调上述4个思维过程（思路）相互关系上形成的一条以学生思维为核心、教与学协同发展的整体思路，这样才能真正做到以思维过程为中心来组织教学。例如数学概念是整个数学知识结构的基础，是构成数学知识体系的“细胞”。现行九年义务教学教材中许多内容都简化了概念的提出过程，省略了暴露概念提出的丰富知识背景及发展、探索过程，而这些概念是如何抽象、概括的，解决问题的方法是如何构想的，学生都甚感茫然。因此教师不应急于把概念全盘托出、一言了之，而应精心探究，重新组织教学内容，设计合理而完美的教学流程，展现数学知识的发展过程，充分暴露知识的背景，为学生创设问题情景，以顺应学生的心理需求和思维发展规律。例如在教学有理数乘方概念时，可通过设计环环相扣的提问，引入概念：（1）棱长是5厘米的正方体的体积如何表示?（2）4个负6相乘，用式子如何表示?4个字母a相乘呢?（3）上述几个式子都是什么运算?（4）乘法运算的结果是什么?（5）上述各式的因数有何关系?（6）提出乘方概念。然后安排一些坡度适宜的题以使学生初步形成乘方概念。这样的概念教学不仅能充分暴露问题的提出、发展过程，而且能使学生在整个过程中始终处于积极的思维状态，达到思有源泉、思有方向、思有顺序、思有所获。

总之，讲解概念要求构建情境，提供素材，揭示概念的形成过程；讲解定理（公式）要求模拟定理（公式）的发现过程；例题、习题的教学要求探索变式，拓广成果，对解题思路进行内化、深化探索，总结升华，也就是说，应注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，使学生在这些“过程”中展开思维，发展能力。

二、反思学生所想，倒摄暴露思维

学生解题往往只注重结论的正确与否，而很少关注这个结论的思维过程，并从中总结经验，深化知识。因此，教师看到学生的正确答案时，不能就此满足，而应该启发如何发现、选择与调控解题思路，引导学生（根据需要和可能）去反思思维过程，倒摄结论的形成路线，达到暴露思维的目的。例如在一元二次方程的根与系数关系应用的一节习题课教学中，我叫一名学生板演习题：已知两数a、b满足ab≠1，且2a+8a+3=0，3b+8b+2=0，则有=（）。这个学生观察片刻，便添上了正确答案1.5。如此神速，令一些同学目瞪口呆。我抓住契机，诱导学生自我倒摄思维过程，既优化了该生自身的思维品质，又启迪了其他学生的思维。

计算是七年级数学的教学重点也是难点，如何把握这一重点，突破这一难点呢?例如在上完有关幂的性质后，进入下一阶段――单项式的乘除法时，我设计了如下两个例题：

（1）请分别指出（-2）×2，-2×2，-2-2，2-2的意义。

（2）请判断下列各式：

①a+a=a

②a÷a=a=a

③-ag（-a）=（-a）+2=-a

④（-a）÷a=0

⑤（a-2）・a=a+3+1=a

解后我便引导学生进行回顾小结：（1）计算常出现哪些错误?（2）出现这些错误的原因有哪些?（3）怎样克服这些错误呢?同学们各抒己见，针对各种“病因”开出了有效的“方子”。实践证明，这样的例题教学是成功的，学生在计算的准确率、计算的速度两方面都有了极大的提高。

三、实施小题大做，显微暴露思维

数学中的许多细小部分往往蕴涵着十分丰富的思想内含，存在着很大的训练价值。在这些地方教师要善于化隐为显，“小题大做”，挖掘其精髓，促使学生在显微中充分暴露思维过程，发挥其应有的潜在功能。这样不仅能活跃学生思维，拓宽思路，而且能激发学生的求知欲望，培养探索能力，长期坚持下去，形成良性循环，十分有利于学生智力的发展和数学能力的提高。例如绝对值概念：

|a|=a（a>0）0（a=0）-a（a

教师教会学生这一代数定义固然重要，但更重要的是引导学生清晰地领会利用分类思想解决问题的方法。所以在讲授时应采用慢镜头式的思维剖析，暴露分类思想的思维过程，为后面的广泛应用奠定坚实的基础。

例如学生在解“ax+b＝cx+d”类型的一元一次方程时，很容易在符号上出错，从而导致答案的错误。教师可以对学生进行“小题大做”，显微暴露。

解方程6x-7=4x-5，学生板练如下：

解：6x+4x=7-5 10x=2 x=0.2 （1）

我在教学过程中并没有随口问：“同学们，这个同学做得对吗？”而是问：“同学们，还有其它不同的解答吗？”学生陷入了沉思，经过演算，又有许多同学举手了，其他解答如下：

解：6x-4x=-5-7 2x=-12x=-6 （2）

解：6x-4x=-5+72x=2 x=1（3）

“那么这个一元一次方程到底还有没有其它的解呢？如果有的话，一共有多少个解呢？”

讨论结果是：这个一元一次方程的解只有一个，解法（3）才是正确的。

学生在学习一元一次方程“ax+b=cx+d”的解法时，逐步体会到了化归思想（使方程逐步转化为“x＝a”形式），而在这个过程中出现各种错误（主要是忽略了方程的项是连同前面的符号）是学生（特别是基础不够扎实的同学）的共性，我根据其数学思维过程的呈现，引导他们积极探索，使他们经历了“观察、实验、比较、归纳、猜想、推理、反思”等理性思维活动的基本过程，优化了学生的思维品质，提高了数学思维能力，培养了创新精神和实践能力。

我曾经听过《多边形的内角和》的教学的一堂优质课：执教老师这样安排学生探究，逐步暴露学生的思维过程，让学生在过程学习中掌握数学思想方法：

探索一：老师拿出一张四边形纸片，请同学们回答这四边形的内角和为多少度？

学生用多种方法得出结果：1.直接量出每个内角度数，然后相加；2.把四边形分成三角形，计算内角和；3.利用已经知道的结果；……

引导学生思考：在方法2中有几种不同的分法？

探索二：再拿出一张五边形纸片，要求学生用分割成三角形的方法，求五边形的内角和。如果是六边形、七边形呢？

当学生经历、体验了不同的探索方案后，再引导学生思考：从刚才的探究中，你又发现了什么？你是怎么推导出来的？这种思考方法对自己今后学习有什么启发？

通过亲身体验、反思，学生获得了一种重要的数学思想方法，学会了从多角度去思考体会探索的方法、策略，并在探究中不断地展现自己的思维过程，加强了数学知识和能力的相互沟通，提高了问题解决的能力。

四、了解学生难惑，铺垫暴露思维

数学解题过程是思维的过程，解题方法的优劣、速度的快慢都取决于思维能力的高低。而思维的提高与发展又依赖于解题过程中所创设的问题情景，所以解题训练是培养思维能力的良田沃土。一般来说，综合性能愈强，知识跨度愈大的数学题，要求解题的思维层次愈高、方法的技巧性愈熟练，学生就愈难以理解，思维的训练价值愈大。这就要求教师精心设计，作必要的铺垫，以减少坡度，顺利地从未知引渡到已知。这种铺垫引渡，实质上就是把架桥铺路的思维过程暴露出来，化作切实可行的小步子。例如学过二次函数的顶点式内容之后，让学生解答这样一道题目：（如图1）在一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，问此球能否投中？

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学生纷纷建立平面直角坐标系（如图2），点（4，4）是图中这段抛物线的顶点，由顶点式解得这段抛物线对应的函数为：y=-（x-4）+4（0≤x≤8）

当x=8时，y=

篮圈中心距离地面3米

此球不能投中

个别学生运用抛物线的对称性，观察出该抛物线经过了（8，）点，得出了同样的结论。

学生一般做完题就万事大吉，很少有人能够深入地反思，因此错过了研究探索的契机。我不失时机地发挥指导作用，引导学生思索。

师：若假设出手的角度和力度都不变，则如何才能使此球命中?

生：跳得高一点；向前平移一点。

师：在出手角度和力度都不变的情况下，小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?（如图3）

师：在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮，也能将篮球投入篮圈？（如图4）

这是一个以学生日常生活为背景，适合初中学生探究的问题，学生可以初步学会从数学角度去解决实际问题，掌握数学的思维方法，将探究、创新活动贯穿于课堂教学，使学生的学习由被动灌装变为主动的探索，学生的自主性、能动性和创造性得到培养。可见铺垫思维暴露，实质是给学生架设“梯子”，促使学生思维跃上“台阶”。

五、开展诱错悟误，纠缪暴露思维

在学习活动中，学生的思维错失和思维定势偏差往往带有很强的主观性，常又具有普遍性。抓住它作剖析治理，有较大的训练价值。《中小学数学》初中（教师）版2004年第5期刊登了这样的教学案例：一位初一的老师在讲完负负得正的规则后，出了这样一道题：“3×（-4）=?”A学生的答案是“9”。老师一看：“错了!”于是马上请B同学回答，这位同学的答案是“12”，老师便请他讲一讲算法：……下课后听课的老师对给出错误的答案的学生进行访谈，那位学生说：站在-3这个点上，因为乘以“一”，所以要沿着数轴向相反方向移动四次，每次移三格，故答案为9。他的答案的确错了，怎么错的?为什么会有这样的想法?又怎样纠正呢?如果我们的例题教学能抓住这一契机，并就此展开讨论、反思，无疑比讲十道、百道乃至更多的例题来巩固法则要好得多，而这一点恰恰容易被我们所忽视。因此，教师有时还应有必要采用多种手段如相似因素的迁移、思维定势的诱导、特殊条件的遗漏、应具条件的欠缺、冲动心态的干扰、终极目标的诱惑等巧妙设置某种诱误情境，让学生充分暴露病源，然后引导他们进行自我治疗，从“陷阱”中挣扎出来，走出误区，吃堑长智。但是学生在学习中的谬误，有时比较隐蔽，隐藏于深层次中，不充分暴露思维过程，就治不到“点”子上，挖不到“根”子上。教师在为学生纠缪救失时，要重视思维过程的展现，以便从深层次上作诊断和矫治。例如：已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角等于?摇?摇?摇?摇。学生往往错解为30°，错误的原因就是学生没有认真理解“三角形的高”这个知识点。他们认为“三角形的高”都在三角形内部。学生通过反思、讨论，知道钝角三角形的高有两条在三角形外部，从而得到另一解为150°。通过反思，学生们发现本题的错误在于对图形的分类不全面造成漏解。

总之，面对学生的失误，老师不要过早地点明，而应在暴露学生思维失误的过程中，让学生自我发现，并在老师的正确思维的积极引导下自我纠偏。同时，在纠缪过程中弥补学生的知识缺陷和思维缺陷，更有力地促进思维日益缜密。

六、言尽但是意存，延伸暴露思维

教师指导学生解题，常有这种现象，题目解完了，但学生的思维过程并没有就此结束，正在向纵深拓进，可谓“言尽意存”。教师若能有效地抓住这个理想的思维机会，把延伸的思维过程揭示出来，也是很有训练价值的。譬如，解后审视解题过程，评价原认识过程、检查解题过程是否准确，讨论或论证是否严密，方法是否恰当，有没有更简洁更高明的方法，对所得到的结果能否进一步引申推广，能否总结出规律来，等等。例如：已知一元二次方程ax+bx+c=0，两实根的平方和为m，两实根的和为n，试求am+bm+2c的值。对于此题，很多学生在练习时，没有清晰的思路；有些学生考虑了根与系数的关系，虽然能解出此题，但过程较为繁琐。于是我在点评时，鼓励大家反思题目已知及所求目标的特征，比较所求目标am+bm+2c与方程ax+bx+c=0，就会发现它们中a、b、c出现的顺序完全一致，只是目标中c的系数为2，方程中c的系数为1，而从1到2的最简单的方法就是加法。经过如此反思、探索，基础较好的学生马上顿悟：为什么不利用方程根的定义来解决这一问题呢？于是得到了简捷的求法。

通过对解题思维的反思，学生重新审查题意，更正确、完整、深刻地理解了题目的条件和结论，激活了思维，开阔了思路，使思维的灵活性在变换和化归的训练中得到了培养和发展。

综上所述，通过延伸思维引导学生自我总结和领悟解题中的数学思维与数学方法，积累对数学知识联系的整体感知，这对于培养学生思维的评价能力、发散能力、创造能力，提高学生的数学素质大有裨益。过程教学是很精彩的，但必须是科学的、合理的、自然的，否则，过程教学就只是花架子，起不到任何培养学生思维能力的作用。

参考文献：

［1］张乃达.思维的基本结构与发现法教学［J］.数学通报，2004，（2）.

［2］涂荣豹.谈提高对数学教学的认识［J］.中学数学教学参考，2006，（1-2）.