勾股定理证明方法精选(九篇)

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第1篇：勾股定理证明方法范文

关键词：数学教学；《探索勾股定理》；拓展性课程

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0087

众所周知，勾股定理的内容非常丰富，但现行的教材（以浙教版为例）只安排两个课时，教学受课时的限制，不能充分利用勾股定理发展学生的问题解决、人文积淀、理性思维等核心素养。本文以开发《探索勾股定理》的拓展性课程为例，展示以学校教研组为团队如何依托数学课本开发拓展性课程，以期抛砖引玉。中国学生发展六大核心素养中有十八个基本要点，其中三个是问题解决、人文积淀、理性思维，《数学课程标准》的前言中也有类似的表述。对应三个基本要点确定三个课时的拓展性课程，在上完基础性课程的两个课时后进行。因篇幅所限，只展示每个课时的教学目标、学习内容及要求、课外作业。

第一课时：勾股定理在生活中的应用

设置缘由：数学课最缺的是实践课，学生非常喜欢实践课，开发团队成员一致同意每学期开发一节实践课。

教学目标：引导学生观察生活，体验生活中的数学，体验用数学模型刻画现实世界。

活动内容及要求：（1）带学生参观有人字梁结构的农村老宅，请当地手艺比较好的手艺人，一个木匠，一个泥水匠当讲解员。（2）泥水匠展示方地基的方法。造房子时要先奠基，在一百多平方米的地上要设置很多个直角，选好位置打下木桩，固定好线，沿线做墙脚。怎样使墙角正好是直角呢？先沿房子的朝向打下两个木桩，两个木桩之间的距离为三尺，调整第三个木桩的位置，使它与前两个木桩的距离分别为四尺与五尺。拉上线，再微调。泥水匠师傅说，这种方地基的方法是师傅们口耳相传的好方法，若是正式造房子开工方地基的日子，仪式很隆重。（3）木匠师傅主要举了两个例子。一个例子是如何预算建造斜屋顶结构的房子用到的木料，特别是人字梁结构中斜线部分的木料长度的计算方法。第二个例子是如何在大块的板材中确定直角。（4）教师作为主持人、主持师傅与学生的互动，让学生尝试用数学模型解释实际应用问题。

课外作业：找一个生活中实际用到勾股定理的例子，写心得体会交流。

第二课时：勾股定理的历史文化

收集方法：这部分内容多而杂。动员团队所有成员参与，从网上和书本中搜集并整理。

教学目标：在对勾股定理历史了解的过程中，感受数学文化，感受历代世界人民的智慧和探索精神，感受数学知识源远流长和数学价值的伟大。

学习内容及要求：

（1）勾股定理的发现：公元前1100多年的《周髀算经》中，就有勾股定理的记载，相传是商代商高发现的。三国时的赵爽给出了证明，2002年北京国际数学大会的徽标就是赵爽证明勾股定理用的弦图。勾股定理被西方人称为毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年发现的。相传毕达哥拉斯花了很多的精力才证明了这个定理，他很高兴，于是宰了百头牛庆贺一番，不过毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。这个定理有流传很广，印度、希腊、巴比伦、中国、埃及等文明古国对此定理都有所研究。要求学生课前和课后整理出赵爽和毕达哥拉斯的相关成果，了解《周髀算经》等中国古代经典数学著作。

（2）勾股定理巨大辐射能力：①勾股定理是数与形结合的典范，启发后人对函数的研究；②毕达哥拉斯学派的希帕索斯利用勾股定理导发现了根号2，引发了第一次数学危机，数从有理数扩展到实数；③勾股定理使数学在追求逻辑体系和数学美的过程中发展了现代数学；④勾股定理中的公式是一个最早的不定方程，引发了包括著名的费马大定理。⑤勾股树的拓展，勾股树中的正方形可以变换为正三角形、半圆、月亮形等许多图形。要求学生例举数形结合的例子；能描述三次数学危机；能举例一些现代数学；了解费马大定理的内容及费马的成就。

（3）勾股定理的证明方法多样化。由于勾股定理的证明起点很低，所以千百年来下至业余数学爱好者、普通的老百姓，上至著名的数学家、国家总统都参与了勾股定理的证明。勾股定理有四百多种证明方法，目前还找不到一个定理的证明方法之多能超过勾股定理。

“总统”证法的故事：1876年一天的傍晚，美国的议员伽菲尔德由于受到了两个小孩的追问，开始对勾股定理证明进行思考……后来他在继承的基础上反复思考终于找到了独特的证法。1876年，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他的证法。由于在1881年伽菲尔德就任美国第二十任总统，人们就把这一证法称为“总统”证法。要求学生课前和课后搜集有趣的勾股定理证明故事并交流。

第三课时：勾股定理的证明方法

证明方法选择的标准：证法有四百多种，但不能穷尽，要选择重要的、典型的、适合初中学生的证法。

教学目标：在勾股定理的探索过程中培养学生的理性思维和创新能力，体会深层次的数形结合；发展形象思维，体验解决问题方法的多样性，培养探索精神。

学习内容及要求：

（1）赵爽证法。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期的数学家赵爽。如图1，就是赵爽创造的弦图。以a、b（b>a）为直角边，c为斜边作四个全等的直角三角形拼成所示形状，4×（1/2）ab+（b-a）2=c2，a2+b2=c2这是课本上的证法，不必细讲。应让学生认识到本题的证法并非严密的演绎推理，如图形中的内外两个正方形就没有证明。

（2）邹元治证法。如图2，也是用面积法，证明方法略。

（3）总统证法。如图 3， 这个证明方法是赵爽证明方法的变形，也是用面积法，证明方法略。

（4）欧几里德证法。如图4，以a、b、c分别为直角边斜边RtABC，再分别以a、b、c为边，在直角三角形外部作正方形ABED、CBKG、ACHF，连结BF、CD，过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L.AF=AC，∠FAB=∠CAD，AB=AD，FAB≌CAD.SFAB=（1/2）a2，而SCAD等=（1/2）S矩形ADLM，S矩形ADLM=a2。同理可证，S矩形MLEB=b2.S正方形ADEB=S矩形ADLM+S矩形MLEB，c2=a2+b2，即a2+b2=c2。应让学生认识到本题的证法是典型演绎推理，是欧氏几何，后面两种证法也是如此。

（5）相似三角形性质证法。如图5，RtABC中，a、b、c分别为直角边斜边，过点C作CD AB，垂足为D.可证得CAD∽BAC， AD/AC=AC/AB，AC2=AD× AB.同理BC2=BD× AB，AC2 +BC2=AB（AD+ BD）= AB2，即a2+b2=c2。

（6）切割定理证法。如图6，RtABC中，a、b、c分别为直角边斜边，以B为圆心、a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a，因为∠BCA=90°，点C在B上，所以AC是B的切线。由切割线定理得AC2=AD×AE=（AB-BD）（AB+ BE） =（c-a）（c+a）=c2-a2， 即b2=c2-a2，所以a2+b2=c2。

（7）证法评析。中国证法的独到之处是善用面积法，巧妙地避开了角的性质及平行线性质的繁琐理论，简洁明了，吴文俊、张景中等发展的数学机械化方法深受中国古代数学思想的影响。后三个证法追求严谨的逻辑体系，对提升人们的理性精神，注重演绎推理的科学精神具有不可替代的地位。

第2篇：勾股定理证明方法范文

摘要：勾股定理及其逆定理的证法很多. 笔者运用平面几何中著名的托勒密定理，构造出托勒密定理满足的基本条件，再借助初中几何的圆及四边形等综合知识，对两个定理加以证明. 利用构造的方法，对培养学生的创新思维具有抛砖引玉的功效.

关键词：勾股定理；逆定理；另证；方法

勾股定理的证明方法多达四百余种，而它的逆定理的证法却没有那么多，笔者曾用同一法证过其逆定理. 大多数方法都是运用中学数学中常规的数学思想方法加以证明的. 笔者结合多年的教学实践研究，运用高中数学竞赛纲要中所要求的一个重要的著名定理――托勒密定理，对勾股定理及其逆定理加以了证明，让人耳目一新，既拓宽了学生的视野，启迪了学生的思维，又引导了学生如何去拓展书本中的知识，丰富了学生的课外生活，激发了学生课外探究数学的热情，增强了解决数学问题的能力. 下面，笔者将托勒密定理的证明及如何运用它来证明勾股定理及其逆定理提供给同行们.

[⇩]托勒密定理：圆的内接四边形中，四边形的两组对边的乘积之和等于对角线的积

已知：如图1，四边形ABCD内接于O.

[D][A][B][O][G][C][3][4][2][1]

图1

求证：AB・CD+BC・AD=AC・BD.

证明作∠BAG=∠CAD. 因为=，所以∠3=∠4. 因为∠BAG=∠CAD，所以ABG∽ACD. 所以=.

所以AB・CD=AC・BG.①

因为∠1+∠CAG=∠2+∠CAG，所以∠DAG=∠CAB. 因为=，所以∠ADG=∠ACB. 所以ADG∽ACB. 所以=.

所以BC・AD=AC・DG. ②

①+②得AB・CD+BC・AD=AC・（BG+DG）=AC・BD.

[⇩]运用托勒密定理证明勾股定理及其逆定理

1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.

已知：如图2，在直角三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C=90°.

求证：a2+b2=c2.

[B][C][O][A][D]

图2

分析直角三角形ABC有且仅有一个以AB中点O为圆心，为半径的外接圆. 如果再在圆O上找一点D，就可以构造一个圆内接四边形，便可以运用托勒密定理得线段间的关系，从而得到勾股定理.

证明作出直角三角形ABC的外接圆O，连结OC并延长CO交圆O于点D，再连结BD，AD. 因为CD为直径，所以∠CBD=∠CAD=90°. 因为∠C=90°，所以四边形ADBC是矩形. 所以AD=BC=a，AC=BD= b，AB=CD=c.

由托勒密定理可得BC・AD+AC・BD=AB・CD，所以a2+b2=c2.

2 . 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

已知：如图3，在三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b且a2+b2=c2.

求证：∠C=90°.

[B][C][O][A][D]

图3

分析三角形ABC有且仅有一个外接圆O，可将∠C放在圆中，得到一个圆周角. 要证明它为直角，只需要证明它所对的弦AB为直径即可. 要证AB为直径仅由a2+b2=c2得出谈何容易？此路不通另寻他途，不妨在圆O上再找一点D，构造出一个圆内接四边形看能否利用托勒密定理得出线段间的关系再结合已知条件a2+b2=c2来进行证明. 那么D点如何找呢？过B点作BD∥AC交圆O于点D，连结AD，CD，运用托勒密定理即可达到目的.

证明作出三角形ABC的外接圆O，过B作BD∥AC交圆O于点D，连结AD，CD. 因为BD∥AC，所以∠BDC=∠DCA. 所以=.

所以BC=AD=a . 因为=，所以∠BCD=∠BAD. 因为BD=BD，所以ABD≌CDB. 所以AB=CD=c. 因为四边形ACBD是圆O的内接四边形，

由托勒密定理可得BC・AD+AC・BD=AB・CD，

所以a2+b・BD=c2. 因为a2+b2=c2，所以BD=b. 所以BD=AC. 所以平行四边形ACBD是矩形，所以∠ACB=90°，从而命题得证.

第3篇：勾股定理证明方法范文

关键词:勾股定理 故事 自学 引导 巩固

时钟随着指针的移动嘀嗒在响:“秒”是雄赳赳气昂昂列队行进的兵士，“分”是士官，“小时”是带队冲锋陷阵的骁勇的军官。所以当你百无聊赖、胡思乱想的时候，请记住你掌上有千军万马;你是他们的统帅。检阅他们时，你不妨问问自己——他们是否在战斗中发挥了最大的作用?

——菲·蔡·约翰逊

数学教学实质上是数学思维活动的教学，在数学教学中要充分调动学生的主体作用，注重教学过程，改变被动接受知识的局面，实现课堂教学素质化，才能真正提高课堂教学质量和效率。下面说说我在教学中的做法，通过这个例子来具体地说明数学课上如何提高课堂效率。

课例:《勾股定理的证明》

教学目标:勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的。它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一;它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系;它可以解决直角三角形中关于边的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象;通过联系和比较，理解勾股定理，以便正确地进行运用。

例如，勾股定理证明教学过程中，教师可这样实施:

一、故事引入，激发兴趣

为了激发学生学习勾股定理的兴趣，可以由下列故事引入:三千多年前有个叫商高的人对周公说:把一根直尺折成直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。

这样引起学生的学习兴趣，激发学生的求知欲。

教师紧接着问:是不是所有的直角三角形都有这个性质呢?

教师要善于激疑，使学生进入乐学状态。这样做将学生的注意力吸引到课堂上来，学生全神贯注地听课，课堂效率得到提高。

二、自学教材，主动探究

教师将教材知识整合，制作成幻灯片，以此指导学生自学教材。通过自学感悟、理解新知，体现了学生的自主学习意识，锻炼了学生主动探究知识的能力，养成了学生良好的自学习惯。

1.通过自主学习，教师设疑或学生提疑。如:怎样证明勾股定理?通过自学，中等以上的学生基本都能掌握，这时能激发学生的表现欲。

2.通过合作探究，引导学生摆脱网格的限制，研究任意直角三角形三边的数量关系。渗透由特殊到一般的思想方法。

3.教师引导学生按照要求进行拼图，观察并分析;(学生每人准备四个大小一样的直角三角形)(1)这两个图形有什么特点?(2)你能写出这两个图形桔黄色部分的面积吗?(3)你得到什么结论?

这时教师组织学生分组讨论，调动全体学生的积极性，达到人人参与的效果，接着全班交流。先由某一组代表发言，说明本组对问题的理解程度，其他各组作评价和补充。教师及时进行富有启发性的点拨，最后，师生共同归纳，形成一致意见，最终解决疑难。

三、巩固练习，强化提高

1.出示练习，学生分组解答，并由学生总结解题规律。课堂教学中动静结合，以免引起学生思维疲劳。

例1.某楼房三楼失火，消防员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防员取来6.5米长的梯子，梯子的底部离墙基2.5米，请问消防员能否进入三楼灭火?

2.出示例1:学生试解，师生共同评价，以加深对例题的理解与运用。针对例题再次进行巩固练习，进一步提高学生运用知识的能力，对练习中出现的情况可采取互评、互议的形式，在互评互议中出现的具有代表性的问题，教师可以采取全班讨论的形式予以解决，以此突出教学重点。

四、归纳总结，练习反馈

引导学生对知识要点进行总结，梳理学习思路。分发自我反馈练习，学生独立完成。

五、课后作业

1.课本第81页1、2、3题。

2.通过报刊、资料或上网查阅中外名人对勾股定理的证明方法以及勾股定理的发展史。

教学反思:本节课教学目标明确，重点突出，注重对知识形成过程的教学。但是在准备这节课时还是不够充分，比如引例比较简单，可以适当增加。在本节课后，我又搜集了一些关于勾股定理的典故，充实本节课的内容。

勾股定理的典故:

1.5000年前的埃及人，也知道这一定理的特例，也就是勾3、股4、弦5，并用它来测定直角，之后才渐渐推广。

2.金字塔的底部，四正四方，正对准东西南北，可见方向测得很准，四角又是严格的直角。而要量得直角，当然可以采用作垂直线的方法，但是如果将勾股定理反过来用，也就是说:只要三角形的三边是3、4、5，或者符合的公式，那么弦边对面的角一定是直角。

3.到了公元前540年，希腊数学家毕达哥拉斯注意到了直角三角形三边是3、4、5，或者是5、12、13，他想:是不是所有直角三角形的三边都符合这个规律?反过来，三边符合这个规律的，是不是都是直角三角形?他搜集了许多例子，结果都对这两个问题作了肯定的回答。他非常高兴，杀了一百头牛来祝贺。以后，西方人就将这个定理称为“毕达哥拉斯定理”。

另外，合作探究和拼图部分给学生留的时间太少，应该给学生足够的时间进行思考，让学生发现问题并解决问题。

第4篇：勾股定理证明方法范文

关键词：初中数学；勾股定理；创新

为了丰富课堂教学，教师需要通过多媒体技术来营造轻松活泼的课堂氛围，学生在多媒体教学中，对学习内容的掌握更加有序，循序渐进地学习，不断思考知识点的运用，并提升实际运用的灵活度。在实践教学中，多媒体技术已经被大多数的学校和老师所认可，要想有效创新初中数学勾股定理教学方法，就需要分析传统的勾股定理教学内容，这样有利于更加灵活有效地使用多媒体技术。

一、利用多媒体切入勾股定理

初中数学教师要想提高课堂教学质量，首先就要找好教学的切入点，尤其是课堂教学活动开始的时候，如何设计教学方式才能吸引学生的注意力，让学生对教学内容产生更加清晰的认识是教师所要考虑的主要问题。初中生正处于身体和心理快速发展的阶段，因此，对多媒体的好奇心较强，教师需要利用多媒体来调动学生的好奇心，而后引入知识点，这样学生就能自然而然地进入角色中进行学习。例如，教师可以播放两组视频，第一组视频是：小刚持着一根两米二的竹竿上火车，按照中国铁路乘坐法规定，乘客在乘坐火车的时候，所携带的物品不能够超过两米，而乘警在发现小刚手持超过标准长度的竹竿上火车后却“视而不见”

这是怎么回事呢？第二组视频讲述的是：小红一家子准备搬家，但是在搬运过程中遇到了一个难题，由于橱柜非常高，所以，在搬运的时候无法垂直地抬进去，那么斜着是不是就可以抬进去了呢？小红在经过测量之后，准确地得出了结论，可以搬运，在实践中顺利地把橱柜搬入家中。教师在播放完视频后首先问学生：“同学们，在视频中的两位主人公都是与我们同龄的同学，他们都非常聪明，你们知道他们运用的是什么知识原理呢？我们接下来学习的内容就是视频中出现的知识原理，只要大家积极学习，也能像视频中的同学一样厉害。”通过视频的观看和教师的引导，学生就会对接下来的学习产生极大的热情，更加认真地学习接下来的

内容。

二、利用多媒体将抽象的勾股定理具体化

现如今大多数人评定一名学生的优劣都是依据考试成绩来判断的，但是在初中实践教学中不难发现，学生的学习过程更加重要，教师不能只重视学生的学习结果，只有调动学生在学习中对学习内容的热情，才能促进学生积极地学习相关知识，并且努力掌握学习方法，最终有效提高成绩，因此，教师需要重视培养学生的学习过程。勾股定理知识是初中数学中较为抽象的理论知识，具有较强的灵活性特征，因此，该知识点能够与其他知识点有机结合起来，综合地解决数学问题，因此，学生要想充分地掌握具有一定的难度。要想帮助学生突破知识点束缚，就可以将勾股定理具体化和形象化。教师在实际教学中，可以利用多媒体技术有机地将数学计算公式与声音、图像等融合起来，更为形象地表现教学内容，有利于帮助学生更加深入地理解勾股定理的相关知识，应用得更加灵活，在原有的基础上进一步地进行积累，丰富自身的知识结构。例如，利用勾股定理证明垂直问题的时候，教师就先提出问题：已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB垂直于AD，证明：BC垂直于BD。

在传统的教学中教师在黑板上板书，将计算过程演算出来，学生只需要跟着教师的脚步走就行，该教学方法十分枯燥，时常遇到学生听不懂，但是也不敢打断教师提问，所以教师在课堂上利用多媒体教学时，就可以具体地将验算过程显示出来，通过播放Flash引导学生一步步地理解勾股定理怎么计算，有利于调动学生对勾股定理的学习积极性。

随着现代社会的发展，电子信息技术逐渐深入到生活的方方面面，互联网时代的到来促使多媒体技术快速发展，要想有效创新初中数学勾股定理教学方法，就需要应用多媒体技术，不仅能够将抽象的数学知识具体化，还能充分调动学生的学习兴趣，并且有效利用多媒体技术还能够扩展学生的知识范围，让学生学习到除课本知识以外的知识内容，锻炼自身的自学能力，有利于培养学生的自我学习能力。在初中数学教学中勾股定理是教学的重难点，教师利用多媒体技术展开教学方法的创新，更有利于学生掌握该知识，并灵活地运用到实际中，为学生初中数学知识的掌握打下坚实的基础。

参考文献：

[1]曾喜萍.浅谈多媒体在高校数学教学中的运用[J].广西工学院学报，2005（1）.

第5篇：勾股定理证明方法范文

【摘要】文章以“简单是真理的标志”为准则，用明白易懂的语言对费尔马大定理进行证明。提出了“勾股性质定理”，并且用“一分为二”的观点审视乘方数，用“纲举目张”的成语解释直角三角形。拳拳匠心圆，足足创意方。

【关键词】勾股性质定理 一分为二 乘方数 纲举目张 直角三角形

Prove Fermat’s Theorem and make it transpicuous

Ma Jianzhong Ma Zhengxing

【Abstract】The writers have proved Fermat’s Theorem using transpicuous words with the sentence that simpleness is the symbol of the truth as the guide line. They have brought forward the “Pythagorean quality proposition”, surveyed the number of the power with the view that one divides into two and explained the right-angled triangle using the idiom that when the headrope of a fishing net is pulled up, all its meshes open. In the article, the writers have great originality sincerely.

【Keywords】Pythagorean quality proposition One dividing into two Number of power When the headrope of a fishing net is pulled up All its meshes open Right-angled triangle

勾股性质定理：任何直角三角形，设勾为x，股为y，弦为z，正整数为n，长度方面，当n=1时，xn+yn>zn（两边之和大于第三边）；面积方面，当n=2时，xn+yn=zn（勾股定理）；体积方面，当n>2时，xn+yn

已知：x2+y2=z2（勾股定理），其中z>x，z>y（斜边大于直角边）。

求证：当正整数n>2时，xn+yn=zn没有正整数解。

证明：当n>2时，假设xn+yn=zn （1）

根据指数法则，对指数“稀释”来提高透明度和增强可比性，（1）式可写成

x2xn-2+y2yn-2=z2zn-2 （2）

已知x2+y2=z2，代入（2）式可写成

x2xn-2+y2yn-2=（x2+y2）×zn-2 （3）

（3）式去括号可写成

x2xn-2+y2yn-2=x2zn-2+y2zn-2 （4）

已知z>x,z>y，因为同样指数的两个乘方数其底数较大者较大，所以zn-2> xn-2，zn-2>yn-2。

又因为因数较大者较大，所以

x2zn-2>x2xn-2（只有z=x，才能x2 zn-2=x2xn-2）

y2zn-2>y2yn-2（只有z=y，才能y2zn-2=y2yn-2）

如上所证，（4）式其实等号两边不相等，即该方程不成立，应当写成x2xn-2+y2yn-2

（5）式的理由是“两个较小的数相加之和小于两个较大的数相加之和”。

如上所证进行正本清源，由于（5）式的小于号两边是从（1）式的等号两边转化而来的，所以（5）式可写成

xn+yn

如（6）所示，假设的（1）其实等号两边不相等，即该方程不成立而理所当然没有正整数解。

费尔马大定理证毕。

如上所证可说：费尔马大定理的命题正是勾股性质定理的推论。

直角三角形的普遍意义：取值范围的广泛性：直角三角形的斜边，其长度可以是任何正整数。也就是说，以任何正整数作为底数的乘方数（如1n、2n、3n、4n…无穷无尽，当然，n为取值2、3、4之类的正整数），都可以根据这个底数的长度作为三角形的斜边从而作出一个直角三角形（即在该斜边的两端端点向不同方向作互相垂直的两条直线从而相交成三角形便构成直角三角形）。如此这般，便由斜边引出了两条直角边，就可以把一个乘方数分解为指数相同的两个乘方数（当然，这两个乘方数的底数就是两条直角边的长度）。当指数n=2时，x2+y2=z2；当指数n>2时，x2+y22时，不可能将一个正整数的乘方数分解为指数相同的两个正整数的乘方数。

第6篇：勾股定理证明方法范文

为使学生学好当代社会中每一位公民适应日常生活、参加社会生产和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，进一步培养学生运算能力、发展思维能力和空间观念，使学生能够运用所学知识解决实际问题，逐步形成数学创新意识。

二、教材内容分析

本学期数学内容包括第一章《勾股定理》、第二章《实数》，第三章《图形的平移与旋转》，第四章《四边形性质探索》，第五章《位置的确定》，第六章《一次函数》，第七章《二元一次方程组》，第八章《数据的代表》。

第一章《勾股定理》的主要内容是勾股定理的探索和应用。其中勾股定理的应用是本章教学的重点。

第二章《实数》主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的概念和运算。本章的内容虽然不多，但在初中数学中占有十分重要的地位。本章的教学重点是平方根和算术平方根的概念和求法，教学难点是算术平方根和实数两个概念的理解。

第三章《图形的平移与旋转》主要内容是生活中一些简单几何图形的平移和旋转。简单几何图形的平移是本章教学的重点，简单图案的设计是本章的难点。

第四章《四边形性质探索》的主要内容是四边形的有关概念、几种特殊的四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形）的性质和判定以及三角形、梯形的中位线，其中几种特殊四边形的性质和判定是本章教学的重点，推理证明是本章的难点。

第五章《位置的确定》主要讲述平面直角坐标系中点的确定，会找出一些点的坐标。

第六章《一次函数》的主要内容是介绍函数的概念，以及一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。其中一次函数的图像的表达式是本章的重点和难点。

第七章《二元一次方程组》要求学会解二元一次方程组，并用二元一次方程组来解一些实际的问题。

第八章《数据的代表》主要讲述平均数和中位数、众数的概念，会求平均数和能找出中位数及众数。

三学生情况分析：

初二（1）班共有学生44人，从上学期期未统计成绩分析，及格人数分别为5人，优秀人数分别为0人，与其他几个平行班比较，优秀生及格生都少，另外这两个班的学生中成绩特别差的比较多，成绩提高的难度较大。在这样一个以少数民族为主的学生群体中，学生的数学基础和空间思维能力普遍较差，大部分学生的解题能力十分弱，特别是几何题目，很大一部分学生做起来都很吃力。从上学期期末统测成绩来看，成绩最好是78分，差的只有几分，这些同学在同一个班里，好的同学要求老师讲得精深一点，差的要求讲浅显一点，一个班没有相对较集中的分数段，从几分到70多分每个分数段的人数都差不多，这就给教学带来不利因素。

四、教学目标

1、正确理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本运算，并能熟练地进行二次根式的化简。

2、掌握二次根式加、减、乘、除的运算法则，能够进行二次根式的运算。掌握二次根式的化简，进一步提高学生的运算能力。

3、理解四边形及有关概念，掌握几种特殊四边形的性质定理及判定。

4、理解相似一次函数的概念，掌握一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。

五、教学措施及方法

1、成立学习小组，实行组内帮辅和小组间竞争，增强学生学习的信心及自学能力。

2、注重双基和学法指导。

3、积极应用尝试教学法及其他新的教学方法和先进的教学手段。

4、多听听课，向其它老师借签学习一些优秀的教学方法和教学技巧。

六、本学期教学进度计划

第一周：第一章《勾股定理》

第二周：第二章《实数》

第三周：第二章《实数》的复习和第三章《图形的平移与旋转》

第四、五周：第四章《四边形性质探索》。

第六周：第五章《位置的确定》。

第七周：第六章《一次函数》，介绍函数的概念，以及一次函数的图像和表达式，学会用一次函数解决一些实际问题。

第八周：第七章《二元一次方程组》，要求学会解二元一次方程组，并用二元一次方程组来解一些实际的问题。

第九周：第八章《数据的代表》和总复习。

第十周：综合复习和训练。

七、本学年教学成绩目标：

第7篇：勾股定理证明方法范文

一、数学模式转换的常见类型

1。数学模式的语言类别转换

语言类别转换是从一种语言转换为另一种语言表征形式的模式转换方式。它既可以是不同数学语言之间的转换，也可以是不同数学分支之间的语言转换，甚至还可以是数学语言与其他语言之间进行的转换。比如用自然语言叙述的完全平方和公式“两个数的和的平方等于这两个数的平方和加上这两个数的积的二倍”，可以转换为代数符号语言，即为（a+b）2=a2+2ab+b2。再比如数学命题“椭圆上的任意一点与两焦点所张开的角被过这一点的法线所平分”，用物理学语言可以描述为“从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆的反射必过椭圆的另一焦点”。

2。数学模式的语言句法转换

语言句法转换是在保持意义不变的前提下改变句子的句法结构的一种模式转换方式。在数学中，人们常常出于严密性的考虑而在句子中增添上很多限定词、修饰语，这样所造成的结果是出现很多长句、复合句，这就必然在无形之中增加了学生理解的困难。为了促进学生对数学模式的理解，可以在保持句子意义不变的前提下对句子的结构作适当的转换，比如将复合句转换为简单句、将被动句转换为主动句，或删掉一些多余的限定词、修饰语等，甚至在不影响理解的情况下可以用简化的语句来表达复杂的句子。比如平面几何中的一个数学命题“如果一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等”，就可以简化为“等边对等角”这样高度概括的语句。

3。数学模式的语言逻辑转换

逻辑转换是利用逻辑等价性来进行模式转换的一种方式。我们平时常见函数式、等式或不等式的恒等变形、问题等价转化、求一个命题的逆否命题等都属于模式的逻辑转换。通过逻辑转换往往有助于简化问题，促进问题的迅速解决。如有这样一个问题：“已知关于x的三个方程x2+4mx－4m+3=0，x2+（m－1）x+m2=0，x2+2mx－2m=0中至少有一个存在实数根，求实数m的取值范围。”许多学生往往对其中“至少有一个方程存在实根”这句话感到难以理解，因为它包括七种情况，对它们分别进行讨论，显然很麻烦。但如果把这个问题进行转换，从问题的反面或对立面来进行思考，那么只需要考察“三个方程都没有实根”这一情况，从而就可以将问题的求解转换为求由三个不等式Δ1=16m2－4（－4m+3）＜0，Δ2＝（m－1）2－4m2＜0，Δ3＝4m2+8m＜0组成的关于m的不等式组的解集的补集。

4。数学模式的辩证对立转换数学中到处都充满辩证法，在数学模式的理解过程中通过辩证转换可以促进学生更好地理解数学模式的本质。比如将切线看成是割线无限变化的极限，本质上就是“有限”与“无限”的辩证对立转化。再比如微积分中求曲线的长度和曲边梯形的面积时常常要用到“以直代曲”的思想，这实质上就是“直与曲”的辩证对立转化。另外诸如“相等与不等”、“静”与“动”、“升”与“降”、“分”与“合”的转化等都体现了辩证对立转化的思想，通过这种辩证对立转化不仅可以改变对数学模式单一的、片面的理解方式，而更重要的意义则在于它可以从不同角度、不同方面对数学模式进行更加全面、更加深刻的理解，进而促进学生更好地理解数学模式的本质。

5。数学模式的不同视角转换

在数学模式的理解过程中，我们常常有这样的感觉，仅仅局限于某个特定的视角往往很难理解模式，而如能适当转换视角则可能会产生“柳暗花明”的感觉。这方面最常见的视角转换有“整体与局部”的转换、“特殊与一般”的转换以及“常量”与“变量”的转换等。比如，求集合{1，2，3，…，n}所有子集的所有元素和这一问题，虽然看上去是局部的问题，但如果仅仅着眼于先求所有集合元素的和，然后再求和的和就非常烦琐，而如果立足于整体分别求含元素1，2，3，…，n集合的个数，采用整体化方法就易如反掌。又比如对命题2011！＜10062011的理解，如果仅仅只是局限于1006和2011这两个具体的数值就很难真正理解这一命题，而如果能将1006看成是2011+12，并将所理解的命题看成命题（1+2+…+nn）n＞n！即一般性命题的特殊形式，那么就能对命题产生较好的理解。甚至还可以创造性地利用高斯方法来解决这一问题，即将不等式2011！＜10062011看做是一系列同向不等式1×2011＜10062，2×2010＜10062，…，1005×1007＜10062与等式1006=1006之积。

二、培养学生数学模式转换能力的主要教学策略

1。通过数学模式语言间的等价互换化“数”为“形”策略

任何数学模式的表述都离不开数学语言（自然语言），数学模式的转换往往需要在不同的数学语言之间进行灵活地互换。如在解方程组x+y+z=1，①x2+y2+z2=13，②x3+y3+z3=13，③时若用常规的消元法求解，将相当烦琐，而采用数形结合法将会有意想不到的效果。如图1。可见方程①、②有实数解的几何意义是：

直线x+y=1－z与圆x2+y2=13－z2有公共点，其充要条件是圆心O（0，0）到该直线的距离不大于半径，即|1－z|姨2≤13－z2姨。化简得（3z－1）2≤0，即z=13。从而，解得x=y=z=13。因此，要能成功地实现数学语言的转换，首先掌握如几何语言、代数语言、符号语言等几种常用数学语言，很难想象一个不懂几何语言的人能够将代数语言转化为几何语言。另外，要能成功地进行数学语言的转换，还需要熟悉不同数学语言之间的关系，并能熟练地在不同数学语言之间进行等价转换，这需要依靠平时的语言互译训练，并大力进行数学模式的多元表征训练。

第8篇：勾股定理证明方法范文

为了使习题能更好地为教学服务，习题教学应注重培养学生思维创新能力，不仅要启发学生多角度思考，教给多种解题方法和技巧，还要以习题为出发点，要求学生对同类问题举一反三，触类旁通，并在此基础上进行抽象概括、分析综合、求异创新，从而达到提高学生思维能力的目的。

一、由典型到一般

一个典型习题，能反映同类问题的思维方法和解题技巧，以此拓展开去，发挥其举一反三、触类旁通的潜在功能，由一棵树木，而看见整片森林。

例1 已知：如图1，在ABC中，BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD、CE的长。

此题就是一个特例，它的结论反映出一个较为一般的规律，但教师不宜将这个规律直接告诉学生，而应让学生自己去发现，并抽象、概括出来。

分析：由题意结合图形联想到“切线长定理”，即“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等”，感知这一问题可转化为方程组来解决。于是，设AF=x，BD=y，CE=z，得方程组

x+y=13 （1）

x+z=9 （2）

y+z=14 （3）

由（1）+（2）+（3）得2x+2y+2z=

36，则x+y+z=18 （4），再由（4）式分别减去（1）（2）（3）得z=5（cm），y=9（cm），x=4（cm）。至此，老师要提出以下几个问题让学生解答。

问题1：观察2x+2y+2z=36中的数据，想一想36相当于ABC的什么？（周长）

问题2：那么，18是36的多少？（1/2）意味着周长的多少？（一半）

问题3：x+y相当于哪一条边？是哪一个角的对边？z是哪一个顶点引出的切线长？z是怎样求出的？（（4）-（1），周长的一半减对边）

问题4：y和x的求出是不是也符合以上结论？是不是所有这类问题的结论都有这种规律？（指导学生把题中的数据改为BC=a，AC=b，AB=c，将问题由特殊推向一般）

学生通过对各题结论的观察、比较，不难概括出已知三角形的内切圆，求某一顶点引出的切线长问题的基本规律：某一顶点引出的切线长等于三角形周长的一半减对边。

得出以上基本规律后，再引导学生应用、推广，可让学生解答如下问题：

问题1：解方程组：

x+y=13

x+z=9

y+z=14

问题2：已知一个直角三角形的两直角边为3、4，求该直角三角形由直角顶点引出的切线长。

通过上述抽象概括、总结规律、推广应用等活动，不但可以使学生弄清以上基本规律的来龙去脉，而且能使学生的思维创新能力得到发展。

二、结合阶梯性综合习题，启发学生深化习题，培养学生的分析综合能力

一切事物和周围事物都有着有机的联系，我们要启发学生从事物的联系上去分析问题，由表及里，深层次挖掘知识点，达到使学生既掌握知识，又训练思维，并形成技能的目的。

例2已知：如图2，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，AN交CM于E，CN交BM于F，求证：①AN=BM，②CE=CF，③EF∥AB。

分析：此题可以与全等变换中的旋转模型类比，找出证明途径，即通过证ACN≌MCB，得①AN=BM；思考②时，可考虑证ACE≌MCF，因为有了AC=MC，∠ACM=∠MCN，而∠CAN=∠CMB能由①中的ACN≌MCB得出，从而可由CE=CF及∠MCN=60°得CEF为等边三角形，第③问也就迎刃而解。

再比如，例1中的学生解答之问题2：RtABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，它的内切圆O分别与AC、BC、AB切于点E、F、D，①求证：四边形ECFO为正方形，②求O的半径。（如图3）

所以，对习题作适当的引申，提出渐进式的多个问题，环环相扣，是培养学生应变能力的途径之一。

三、结合可变性发散习题，鼓励学生一题多解，培养学生的发散思维能力

数学各部分之间相互联系，相互渗透。若能充分利用一题多解开展习题教学，不但可以加强新旧知识之间的联系，巩固已学知识，而且能培养发散思维能力，擦燃思维火花，找到最佳解题技巧，收到事半功倍的效果。

例3 如图4，已知在ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm，求证：AB=AC。

通过作业交流，课堂讨论等活动分析小结得出：证法一，用勾股定理的逆定理证得∠ADB=90°之后，可又用勾股定理求出AC的长度，与AB的长度相比较，得出AB=AC；证法二，用勾股定理的逆定理证明∠ADB=90°之后，又可以通过证ADB≌ADC，得出AB=AC。

一题多解存在于很多的习题解答之中，如果我们的习题教学注重教育学生破除“为解题而解题”的思想，对持有创造性解法的学生给予表扬，加以鼓励，他们就能逐步养成从多角度观察、思考问题、解决问题的习惯，从而发展立体思维和发散思维的能力。数学知识的学习，思维能力的提高，创新能力的发展，在课堂教学中大多是以习题为载体的。这就要求教师要善于引申和拓展课外习题，使学生通过独立思考，发现、提出、分析并创造性地解决问题，使数学学习成为再发现、再创造的过程。

第9篇：勾股定理证明方法范文

类型一： 图形折叠型动手操作题

图形折叠型动手操作题，就是通过图形的折叠来研究它的相关结论．

例1 （2012浙江省·衢州）课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题：

（1） 将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸.请给予证明.

（2） 在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：

第一步： 沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；

第二步： 沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙） .此时E点恰好落在AE边上的点M处；

第三步： 沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合.

请你研究，矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由.

（3） 不难发现，将一张标准纸如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD，AB＝1，BC＝■，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.

【解析】

（1） 证明矩形ABEF长与宽之比为；

（2） 利用ABE≌AFE和勾股定理证明矩形ABCD长与宽之比为；

（3） 利用第（1）的结论进行规律探索.

解 （1） 是标准纸.理由如下：

矩形ABCD是标准纸，■=■

由对开的含义知：AF＝■BC

■=■=2g■=■=■

矩形纸片ABEF也是标准纸.

（2） 是标准纸.理由如下：设AB＝CD＝a

由图形折叠可知：DN＝CD＝DG＝a，DGEM

由图形折叠可知：ABE≌AFE

∠DAE＝∠BAD＝45°

ADG是等腰直角三角形

在RtADG中，AD＝■=■

■=■=■

矩形纸片ABCD是一张标准纸

（3） 对开次数第一次第二次第三次第四次第五次第六次…周长2（1+■■） 2（■+■■） 2（■+■■） 2（■+■■） 2（■+■■） 2（■+…

第5次对开后所得的标准纸的周长为：■

第2012次对开后所得的标准纸的周长为：■

【点评】 本题着重考查了线段的比，图形的折叠，三角形全等的判定和勾股定理以及规律探索问题，主要培养学生的阅读能力、观察能力和归纳总结能力．找规律的题目，应以第一个图形为基准，细心观察，得到第n个图形与第一个图形之间的关系．解题的关键是认真阅读题目，从中找出相关的知识点运用定义和定理进行解答.

同步测试

（2012四川·内江）如图4，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D■处，则阴影部分图形的周长为

A． 15 B． 20

C． 25 D． 30

【解析】 由折叠，知阴影部分图形的周长＝EA■＋A1D1＋BC＋FC＋EB＋D1F＝EA＋AD＋BC＋FC＋EB＋DF＝（EA＋EB）＋AD＋BC＋（FC＋DF）＝AB＋AD＋BC＋CD＝2（AB＋BC）＝2（10＋5）＝30．

类型二： 图形拼接型动手操作题

图形拼接问题，就是将已知的若干个图形重新拼合成符合条件的新图形．

例2 （2012四川·成都）如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：

第一步： 如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；

第二步： 如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；

第三步： 如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．

？摇？摇（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）

？摇？摇则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 cm，最大值为 cm．

【解析】 通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条边的长度等于原来矩形的边AD=6，左右两边的长等于线段MN的长，当MN垂直于BC时，其长度最短，等于原来矩形的边AB的一半，等于4，于是这个平行四边形的周长的最小值为2（6+4）=20；当点E与点A重合，点M与点G重合，点N与点C重合时，线段MN最长，等于■=2■，此时，这个四边形的周长最大，其值为2（6+）=12+2■）=12+4■.

答案： 20；12+4■.

【点评】 本题需要较好的空间想象能力和探究能力，解题时可以边操作边探究.将最终的四边形的一周的线段分成长度不变的和可以变化的，然后研究变化的边相关的边的变化范围，这是一种转化思想.

类型三： 图形分割型动手操作题

图形分割型动手操作题就是按照要求把一个图形先分割成若干块，然后再把它们拼合一个符合条件的图形．

例3 （2012广安·中考试题）现有一块等腰三角形纸板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm.若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和.

思路导引： 动手操作，注意分类讨论，进行长度计算问题，联系平行四边形的性质：对角线互相平分，以及直角三角形中的勾股定理分别对每一种情况进行解答

【解析】 设AB=AC=x cm，则BC=（x+2）cm，根据题意得出x＋2＋2x=32，解得x=10.因此AB=AC=10cm，BC=12cm，过点A做ADBC于点D，

AB=AC，ADBC，BD=CD=6cm，AD=■=8cm，

可以拼成4种四边形，如图所示：图（1）中两条对角线之和是10＋10=20（cm），

图（2）中两条对角线之和是（2■+6）（cm），

图（3）中，BO=■=■=2■

两条对角线之和是（4■+8）（cm），

图（4）中，SABC=■AC×BC=■AB×OC，所以OC■=■，

两条对角线之和是■×2＋10=19.6（cm）；

【点评】：几何图形的有关剪切、拼接的动手操作问题，往往多解，因此应当分类讨论，分类个数根据得出的几何图形的判定方法以及性质进行，图形的有关计算，往往联系直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数进行.

类型四： 作图型动手操作题

作图型动手操作题，就是通过平移、对称、旋转或位似等变换作出已知图形的变换图形．

例4 （2012·山西）实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．

（1） 请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．

（2） 以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．

【解析】 解：（1）在图3中设计出符合题目要求的图形．？摇

（2） 在图4中画出符合题目要求的图形．