运筹学求最优解的方法精选(九篇)

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第1篇：运筹学求最优解的方法范文

关键词：Excel软件；物流运筹学；线性规划

中图分类号：G642 文献标识码：A

物流学是20世纪50年代新发展起来的一门学科。它是一门实践性很强的综合性学科，全面融合了经济科学、技术科学和管理科学的内容，揭示了采购、运输、存储、装卸搬运、包装、流通加工、信息处理、客户管理等物流各要素的内在联系。

现在普遍认为，运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决。前者提供模型，后者提供理论和方法。运筹学的思想在古代就已经产生了。敌我双方交战，要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上，做出最优的对付对手的方法。

运筹学是在生产计划、库存管理、运输问题、设备更新、中心选址等活动中广泛运用数学方法解决其中所涉及的经济问题的一门学科。运筹学和物流学作为一门正式的学科都始于第二次世界大战期间，从一开始，两者就紧密的联系在了一起，相互渗透，相互交叉发展。与物流学科联系最为紧密的理论有系统论、运筹学、经济管理等。运筹学作为物流学科的理论基础之一，其作用就是提供实现物流系统优化的技术和工具，是系统理论在物流中应用的具体表现。第二次世界大战期间，各国都转向快速恢复工业和发展经济，而运筹学此时正转向经济活动的研究，因此极大地引起了研究者的兴趣，并由此进入了各个行业和部门，获得了长足的发展和广泛的应用，最终形成了一套较为完整的理论，如规划论、排队论、库存论等。但战后的物流并没有像运筹学那样引起人们的关注，直至20世纪60年代，随着科学技术的发展、管理科学的进步、生产方式和组织方式等的改变，物流才得以为管理界所关注。因此，相比运筹学的发展，物流学科的发展相对滞后。不过，运筹学在物流领域中的应用却随着物流学科的不断成熟而日益广泛，并形成一个独立的学科——物流运筹学。

物流运筹学主要是研究经济活动和军事活动能用数量来表达的有关运用、筹划与管理等方面的问题，根据问题的提出，通过数学的分析与运算，做出综合的合理安排，以便经济、有效地使用人力、物力、财力等资源。物流运筹学研究的主要问题涉及运输与配送管理、车辆管理、物料的仓储管理、需求管理、物流成本管理、电子商务环境下的物流管理及应用等。

1 引入Excel软件的必要性

从目前的发展趋势来看，现代信息技术的发展为物流管理繁荣发展提供了坚实的基础和数据支撑，根据物流管理问题产生的背景来看，存在运输问题、指派问题、排队问题，库存论等，而这些问题的产生都需要去根据实际的情况建立模型来进行求解，一般来说，以上模型的建立都是从线性规划模型中演变出来的，都是以线性规划模型为中心来进行派生，而使用Excel的规划求解的选项恰恰解决了这个问题，通过模型的建立，可以充分利用Excel强大的表格计算功能，能在工作表中直观的体现出公式，并且提供一些特殊的函数和公式，使物流管理者根据实际的情况进行选择，并且还具有自动重复计算的功能。当物流模型建立后，只需修改单元格中的数值，工作表中所有键入了与此单元格有关的公式就会被重新计算，并在相应单元格中显示出新的计算结果，这就使得决策者可以在模型中一边对代表特定参数单元格中的数值进行修改，一边观察各种变量的数值变化情况，十分直观。并使管理决策者了解并掌握复杂的运筹学模型，从而为解决实际的物流问题带来了极大的便利。

2 物流管理问题建模的一般步骤

2.1 定义企业问题和收集相关数据

针对物流企业存在的实际问题，物流管理决策者有必要在一线的物流人员的指导下完成相关物流问题的收集，而且必须花费大量的时间来进行数据的收集、处理与汇总，并对一些数据进行遴选和再加工，使其符合客观的经济发展情况和企业发展的实际需要。

2.2 构建模型（一般为数学模型）来展示问题

将理论问题转化为实际问题，用模型或者抽象化的表述，是物流管理问题解决方案的必要组成部分，如表达一些函数公式等以及图形、表格、结构图等模型，根据实际的问题建立数学模型是解决一些常见的物流管理问题的基础。物流模型的建立应符合实际的需要，切忌为了建模而建模，最后得出的模型要有理论依据，并能运用到实际当中。

2.3 根据设计好的物流管理问题开发出合适的计算机程序

设计科学合理的物流模型的优势在于它使得通过数学方法寻找问题的解决方案成为可能。这些过程往往用计算机来进行完成。因为计算过于繁复，在某些情况下，物流决策者需要编写计算机程序，这要求管理者具有很强的计算机编程能力；而在有些情况下，我们可以借助Excel的插件（Solver）来进行模型的求解，使其复杂的管理问题简单化和明晰化，使管理者能够很好地看出其中的最优决策和最优方法，从而明白易懂。

2.4 测试模型，并在必要时进行修正

在物流模型的求解过程中，管理决策者需要对其模型进行仔细的检验和测试以保证它对实际问题进行了准确而充分的表述。所有相关的因素和相互关系是否被精确地编制到模型中，模型是否符合实际的需要等等，也就是考察模型是否具有实际意义，对模型进行二次加工有的时候也是十分必要的一个环节，修正模型，使其能够根据客观的实际需要变化而变化，才能称得上一个好模型。

2.5 利用模型分析问题并提出管理建议

当进行完模型的求解后，应该根据企业的实际情况进行分析，根据计算的数据值进行汇总，并得出数据所代表的实际意义，结合客观的实际来做出最优决策，将相关建议与测试反馈给企业的高层管理者。

3 基于Excel求解物流运筹学问题探究

3.1 问题的提出

目前，运筹学在物流管理领域中应用也是十分普遍的，并且解决了许多实际问题，取得了很好的效果。以下是总结的一些运筹学在物流领域中的应用较多的3个方面。

（1）数学规划论

数学规划包括线性规划，非线性规划、整数规划、目标规划和动态规划。具体来说，线性规划可以解决物资调运、配送和人员的分配等问题；整数规划可以求解完成工作所需要的人数、机器设备台数和选址等问题；动态规划可以解决最优路径的问题、资源分配、物流调度等问题。

（2）存贮论

存贮论又称作库存论，主要是研究物资库存策略的理论，即确定合理的库存量、补货频率和一次补货量。常见的库存控制模型包括确定型的和随机型的储存模型，其中确定型的又包括不允许缺货、一次性补货、连续补货、一次性补货；允许缺货、连续补货；随机型的存储模型又分为离散型等模型。

（3）图（网络）论

自从20世纪50年代以后，图论广泛的应用于解决工程系统和管理问题，人们将复杂的问题用图与网络进行描述简化后再求解，最明显的应用就是运输问题、物流节点间的物资调运和车辆调度时运输路线的选择问题、配送中心的送货问题、逆向物流中产品的回收问题等。通过图论中的最小生成树、最短路、最大流、最小费用等知识，可以求得运输所需时间最少或者运输路线最短或费用最省的路线。

3.2 案例分析与研究

鉴于篇幅所限，在这里仅研究有关运输问题和网络规划等方面来进行举例。

（1）运输问题

运输问题属于线性规划的范畴，之所以被称为运输问题，主要是因为它的许多应用都涉及确定如何最优的方案运输货物，如何确定合理的运输线路来达到运输成本最小化。

Q公司是一家生产食品罐头的公司，它收购新鲜蔬菜并在食品罐头厂加工成罐头，然后再把这些罐头食品分销到各地，根据以下的数据，建立模型，设计出最优的运输计划，以使总成本最小。

采用Excel 软件进行计算的步骤：

第一步：定义问题与单元格，首先确定为运输问题，然后定义单元格。

第二步：输入模型部分（包括决策变量、目标函数、约束条件）。

1）确定每个决策变量所对应的单元格的位置。

2）选择某一单元格内输入目标函数的公式。

3）选一个单元格输入公式，计算每个约束条件左边的值。

4）选一个单元格输入公式，计算每个约束条件右边的值。

第三步：求最优解。

1）安装“规划求解”工具。在“当前加载宏”的复选框中选中“规划求解”， 单击“确定”按钮后返回， Excel“工具”菜单中就出现“规划求解”选项。

2）选择“工具”菜单。

3）选择“规划求解”选项。

4）在“规划求解参数”中设置参数，选择“最小值”，再输入“约束条件”。

5）“选项”中选择“线性规划”和“假定非负”，单击“求解”。

6）选择“保存”。

由图1中计算结果可知，最优的配送方案应该是：从1工厂配送20个单位和55个单位的产品分别给B和D仓库；从2工厂配送80个单位和45个单位的产品分别给A和B仓库；从3工厂配送70个单位和30个单位的产品分别给C和D仓库。该方案所需总运输成本最小， 最小值为152 535美元。

（2）网络最优化问题

网络在各种实际问题中以各种各样的形式存在。交通、电子和通讯网络深入到日常生活的方方面面，网络规划也广泛的应用于物流管理领域、运输问题，物流节点的货物的调运以及逆向物流的回收，合理运输线路的确定以及合理的运输量的确定。网络优化包括最小决策树、最大流，最短路，最小费用最大流等问题。

X配送公司有两个工厂生产产品，这些产品需要运到两个仓库里。下面是一些具体的信息，并根据以下信息设计出合理的配送计划，使得总成本最小。

在计算网络问题时，要坚持一种思想，那就是计算每个节点产生的净流量（流出量减去流入量）。

由图2中计算结果可知，最优产品配送方案应该是：从F1配送30单位和50单位的物资到W1和DC；从F2配送30单位和40单位的物资到DC和W2；配送中心DC配送30和50单位的物资到W1和W2，该方案所需总运输成本最小，最小值为110 000美元。

通过以上两个物流管理方面的案例，我们可以看出Excel在物流运筹学的教学中发挥着巨大的作用，通过建立数学的模型，运用规划求解的选项，添加约束条件和必要的条件，最后得出最优的解决方案。但其基本的思想只有一个，那就是线性规划的最优化思想，它是解决所有物流运筹学问题的主线。但必须看到该软件的局限性，那就是当模型存在有多个最优解时，Excel只能选择其中的一个结果。

参考文献：

[1] 唐永洪. 基于物流运筹学的运输优化决策问题解决方案[J]. 物流技术，2008，27（9）：84—86.

[2] 李艳. 利用运筹学模型在物流企业中解决实际问题[J]. 淮南职业技术学院学报，2008，8（1）：95—98.

第2篇：运筹学求最优解的方法范文

Abstract： Multi-objective decision method is a kind of decision analysis method from the mid 1970s. The method has been widely used in population， environment， education， energy， traffic， economic management， and other fields. This paper uses the Lexicographic Method of Multi-objective decision method and makes some researches on the multi-objective problem using the excel solver tool and an example to illustrate.

关键词： Excel规划求解；多目标规划；分层序列法

Key words： Excel solver；Multi-objective Programming；The Lexicographic Method

中图分类号：TP31 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）21-0204-02

0 引言

Excel中的规划求解工具只能对单目标的问题进行求解。当遇到多目标问题时，可以把多目标问题先转化为单目标问题，然后求解。常用的方法是线性加权和分层序列法。文章主要以分层序列法为例。

1 多目标决策的分层序列法

分层序列法就是将所有目标按其重要性程度依次排序，先求出第一个重要目标的最优解，然后在保证前一个目标最优解的前提下依次求下一个目标的最优解，一直求到最后一个为止。

设有m个目标，其重要性序列为f1（x），f2（x），f1（x）…，fm（x）。首先对第一个目标求最优，并找出所有最优解的集合记为R0，然后在R0内求第二个目标最优解，记这时的最优解集合为R1，如此等等一直到求出第m个目标的最优解x0，其模型如下：

f1（x）0=■f1（x） f2（x）0=■f2（x）

fm（x）0=■fm（x）

该解法的前提是R0，R1，R2，…，Rm-1非空，同时R0，R1，R2，…，Rm-2都不能只有一个元素，否则很难进行下去。

当R为紧致集，函数f1（x），f2（x），f1（x）…，fm（x）都是上半连续，则按下式定义的集求解。

R■■={x|fk（x）=■fk（u）；x∈R■■}

k=1，2，3，…，m，其中R■■=R都非空，R■■是非空。故有最优解，而且是共同的最优解。

2 应用Excel规划求解工作进行多目标规划问题求解

例题1：某生产制造企业生产A、B两种产品，两种产品各生产一个单位需要3个工时和7个工时，用电量为4千瓦和5千瓦，原材料9吨和4吨。公司可供应的工时为300个，可供的用电量分别为250千瓦，可提供的原材料也为420吨。两种产品的单位利润分别为20元和25元。试求在优先考虑总利润最大，其次考虑总工时最小的情况下，最优的生产量。

解：该问题的求解目标有两个：总利润最大，总工时最小。

第一步：根据题意建立数学模型。

设A、B产品的生产量分别为x1、x2，其数学模型如下：

max z1=20x1+25x2 min z2=3x1+7x2

约束条件3x1+7x2？燮3004x1+5x2？燮2509x1+4x2？燮420x1，x2？叟0

第二步：建立Excel计算模型。

假设A、B两种产品的初始产量为1，单元格数据计算结果都保留整数。在运用sum函数的数组运算公式时，公式输完后不能直接按enter键，否则出现“#value”，需要同时按ctrl+shift+enter，才能显示出计算结果。多目标规划单元格公式和多目标规划模型分别如图1和图2。

第三步：启动规划求解工具求解利润最大。

首先点“工具”——“规划求解”，弹出“规划求解参数”窗口，按图3进行设置。

然后点“求解”按钮，在弹出窗口中选择“保存规划求解结果”，可得总利润最大时的结果如图4。

第四步：在保持利润最大的条件下，求解总工时最小。

此时利润最大值等于1250元，可以作为求解总工时最小的约束条件。求解总工时最小的“规划求解参数“设置如图5。

同理可得最终结果如图6。

通过以上计算可以看出，在满足约束条件下，最大利润为1250元，最小工时为251个，此时A产品产量为38，B产品产量为20。

3 结论

Excel规划求解工具不仅可以处理线性规划问题，而且也可以处理非线性规划问题。其作为常用的数据处理软件，应用于手工计算比较复杂的多目标规划问题中具有简单、方便、实用的特点。

参考文献：

[1]胡运权主编，郭耀煌副主编.运筹学教程（第3版）[M].清华大学出版社，2008.10.

第3篇：运筹学求最优解的方法范文

关键词：体育教学；运动专项；科学管理；优化组合

中图分类号：G807．4 文献标识码：A 文章编号：1007―3612(2006)10―1404―02

高校体育教学是有计划、有目的进行的教育活动，运用合理、有效、科学化的管理，是推动高校体育教学改革和整体水平提高的一个重要手段。在高校体育教学中，学生自主学习、选修、选项教学已是发展之必然。

l　研究对象与方法

1．1　研究对象　根据对上海电机学院、杨浦校区体育教研室全体教师的专项教学能力，在具体的教学安排上进行最优化组合分析研究。

1．2　研究方法

1．2．1　观察统计法 采用多年来对教师实际教学能力的分析，对教师本身所具备的“一专多能”的“专”，对能胜任专项教学技能情况进行统计。

1．2．2　调查访问法　对实际教学效果，有关学生及教师进行调查、访问。

1．2．3　文献资料法 查阅相关文献资料，运用科学管理方法，对资料进行概括、分析和综述。

2　结果与分析

2．1　学生选项调查分析　学校高年级(三、四)学生在教学上以学生自主选项为教学形式，根据学生的自主选项及学校运动场地器材等条件，共8个运动项目供学生选择。以运动项目组成教学班，根据学生的身体素质条件和运动技能水平，将所有选项学生分成若干教学班，组织开展教学。以2003学年为例，共有1109名学生参与自主选项体育教学(表1)。

说明：健身既为武术与田径的组合教学，具有一定意义上的保健形式。田径主要以健身长跑为主。

2．2　教师的教学能力情况分析　运动技能的学习和掌握，受到多种因素的影响和制约。但教师的主导作用将是影响学生运动技能形式的重要因素。学生在逐渐形成运动技能的过程中，教师合理安排动作技术形成的教学顺序，优化组合教学过程，加速运动技能的形成，将对其所选运动项目产生更大的兴趣。为学生终身体育意识奠定了一定的基础。同时，随着教学改革的不断深入，素质教育的全面推行，要求课程教育时数必须浓缩，教学质量必须提高的新形势下，充分利用教师的“一专”，实施针时性教学显得更为必要。对丰富运动技能教学理论，提高教学效果具有积极的现实意义。

2．3　对教学管理的更高要求 充分利用体育教师的专项技能和丰富的教学经验开展学生选项课教学，有利于教学双边关系协调发展，进一步提高教学质量，通过对上海电机学院，杨浦校区的体育教师的专项教育能力排序分析(表2)后发现，教师在执行计划时，不能使每位教师都充分发挥其教学特长，原因在于学生自主选项的要求不做改变时，教师所承担的教学任务又相对均衡时，且学校又不能在一定时间内引进所需的教学人才时(一般学校也很难做到在不同时期内，学生对选项的差异分布)，这就对学校的体育教学管理提出了更高的要求。如何发挥教学团队优势，使教师与学生选项教学达到最优化组合，从管理学原理分析研究可得到结论。即管理的有效性在于充分利用各种资源，以最少的消耗，准确地实现组织目标。进一步说明运用管理理科学理论对管理领域中的人、财、物，信息资源做系统定量分析，进行优化规划，运用优化规划中的决策理论。运筹学是管理科学的主要内容之一，其主要着眼于人与物之间的关系，即教师的教学特长与学生兴趣选项所要求的这件事，以达成满足学生需求为前提的教师最佳教学能力的体现。

从表2中我们可以看到D、G、F、H四位教师在专项教学中产生的冲突较为严重。如何合理安排，发挥这个教学团队产生最好的教学效果，就是我们将讨论的优化组合。

2．4　运用运筹学基础原理整体规划的分配问题取得最优化的组合　1)我们将教师的专项体育教育能力排序以数字化的形式给以第一选项为8分、第二选项为7分、第三选项为6分，依次递减。累计推出体育教师专项体育教育能力数值排序表(表3)：

2)表3的数据表我们即可运用运筹学整数规划分配问题寻求最优解。

①最小分配问题的数学模型。一般求为最小分配问题的数学模型

有价值系数Cij构成的n阶方阵C=(Cij)nxn称为价值距阵。(距阵1)。由O―l变量Xij构成的n阶方阵称为解矩阵。再分配问题中互设价值系数非负，目标函数最大的分配的问题可化为目标函数最小的分配问题来求解，事实上，可取一个比所有Cij都大正数值。Cij=k-Cij(i.j=1\2\……、n)

于是，Cij越大对应的Cij就越小。因此，以Cij为价值系数求最大分配就等价于以Cij为价值系数求最小分配。

②分配问题解法。所谓给出一个分配方案，就是在解矩阵x中选出n个异行异列的元素取值为1，其余元素取值为O，按Cij的非负性知，0元素肯定最小。一旦从含有足够多个O的价值矩阵C中选出n个异行异列的O，那么，只须在解矩阵中对应地代之以1，则此解必为最优解。匈牙利法正是指出一条选满n个异行异列的O元素的途经。运用匈牙利法解矩阵如下：

3　结　论

1)运用科学的管理方法能使学校在实施体育教学过程中充分调动全体教师的积极性，充分利用教师的教学能力特长，充分挖掘教师潜力，使学校体育教学的教师配备达到最优化组合，达到整个教学团队在一定条件下的优化组合。2)从最后的结果来看，有二位教师没被选定为最优项目，但就团队来说这样的分配结果具有科学依据，为团队的最优化配合，教师能接受分配。3)由于充分发挥了体育教师在教学过程中的优势，有利于教师对教学难点的把握，对教学质量的控制，遵循教学的规律，优选教学方法，调节教学情绪，充分利用教学的时间。

投稿日期：2005-09-15

第4篇：运筹学求最优解的方法范文

[关键词] 最短路问题Kruskal算法破圈运算

引言

最短路问题是经济管理中经常遇到的问题，如煤气管道铺设就是其中的一类，我们把它归结为图1所表示的网络，联结各点的线段上的数字表示它们之间的弧长。求A点到E点的最短路和最短路程。

图1

类似这样的问题我们称之为最短路问题，它显然是一个多阶段决策问题。[1]、[2]、[3]均给出了递推法，并由此导出动态规划最优化原理。[4]中对递推法做出改进，引入摹矩阵及其运算，得出摹矩阵表上作业法，该方法简洁明了且易于操作，但在算法复杂性上没有得到改善。本文给出一种类似于Kruskal求最小树的方法来求上述最短路问题，并用以解决小型旅行售货员问题(TSP问题)。

一、算法思想

设图G有m条边和n个顶点，求其最小树的Kruskal算法的基本思路是从图G的所有m条边中选取n-1条权尽量小的边，并且使得不构成回路，从而得到最小树。受此启发，我们也可在类似于图1的网络中，将所有的边按权的大小从小到大排列并标号，权相同的边排在一起。权最小的边标为1号，权次小的边标为2号，依次标为3号、4号、…

(1)先选取1号边(可能有多条)，若这些边构成了从A 点到E点的路，不管有一条还是多条，任取一条必是最短路。

(2)另外的情况就是，这些权最小的边不能构成从A 点到E点的路，则再选取2号边，和1号边一起，我们再来考察这些边是否构成从A 点到E点的路。若仅有一条，则必是最短路；若不只一条，则在不考虑有向边的方向的前提下，图中必有圈存在，这时我们采用破圈法：任取一个圈，去掉圈中权最大的边(若权最大的边不只一条，则任意去掉一条)，相应地就去掉了权和较大的那条路，若还有圈，则依此法类推，直到只剩下一条路，必是最短路。

(3)若在(2)中所取的边仍不能构成从A 点到E点的路，则再选取3号边，和前面所取的边一起，重复(2)的工作。因为所给图中边数有限，所以此算法必在有限步后终止。

二、算法步骤

第一步 开始把边按权的大小从小到大排列并标号：权最小的边标为1号，权次小的边标为2号，依此类推，将剩余的边分别标为3号、4号、…（权相同的边标号相同）置i;=1

第二步 选取i号边，考察从A 点到E点是否存在路；

第三步 若没有路，置i:=i+1，转第一步；否则，转第四步；

第四步 若仅有一条路，停止。这条路即为所求；否则，转第五步；

第五步 破除所有的圈，转第四步；

三、算例

例1 求图1中从A点到E点的最短路和最短路程。

解:

说明:在圈AB1C2B2A中，去掉最长边AB1;在圈AB2C1B3中，去掉最长边B3C1;在圈B2C1D1C2B2中，去掉最长边B2C2。用“×”表示去掉某条边。至此得最短路为:AB2C1D1E，最短路程为8

例2（TSP问题） 给出距离矩阵，其中每一个元素dij表示到的距离。求从出发，经过各一次，又返回到的最短路和最短路程。

解：首先将该问题化为图2所示的网络图的最短路问题，

图2

利用本文给出的算法求解如下：

仅有一条从v1到v1的路:v1v3v4v2 ，最短路程为23。

结束语

例1和例2均选自[1]，按照[1]所使用的递推法，解例1要做15次加法运算,以及8次比较运算，而用本文所给算法只需3次迭代，3次破圈运算。同样用递推法解例2要做15次加法运算,以及5次比较运算，而用本文所给算法只需2次迭代即可。由此可见，本文所给算法在算法复杂性上比递推法要好，而且简单易懂，也便于计算机编程实现。对于大规模的上述最短路问题，更显示出其优越性。

参考文献：

[1]刁在筠郑汉鼎刘家壮等:运筹学[M]北京:高等教育出版社2001年9月第1版第180页、第155～158页、第160页

[2]教材编写组运筹学(修订版)[M]北京:清华大学出版社.1990年1月第2版，第199～200页

第5篇：运筹学求最优解的方法范文

关键词：线性规划；投资额；灵敏度分析

中图分类号：F 272 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2013）02-0009-02

引言

投资问题主要可以划分为两个主要方面，一个是投资项目的组合，在多个项目中选择效益最大的项目组合；另一个是如何将既定的资金下分配给已选择的投资项目，即确定每个项目的投资额。有很多学者用不同的方法对第一个投资问题进行了研究，如差异系数变型模型、均衡理论模型、均值方差模型、风险价值法等等，都是用于求使期望收益最大或风险最小的最佳的投资组合，即解决如何选择项目的问题。对第二个投资问题，研究成果很少。本文主要以某个部门的项目投资为例，在已知每个项目的投资方式、投资收益和风险和投资总额的基础上，运用线性规划的方法研究如何确定每个项目的投资额，以满足投资者效益最大化或风险最小化的投资目标。

一、线性规划模型的评价

线性规划是运筹学的一个重要的分支，运用十分广泛。该方法主要解决在满足一定约束条件的基础上，决策变量如何取值，使目标函数实现最大值的问题。线性规划的决策变量是可控的连续变量，目标函数和约束方程都是线性的。

基本假设：

1.每种经营活动对目标函数的贡献是一个常数；

2.每个决策变量对目标函数的和约束方程的影响是独立于其他变量的，目标函数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和；

3.决策变量应取连续值；

4.所有的参数都是确定的参数，不含随机因素。

线性规划的标准形式：

maxZ=

st： （i=1，2，….，n）

0 （j=1，2，.…n）

二、问题的提出及解决

现在，用线性规划方法来确定一公司某部门的不同投资项目投资额。

该部门现有资金200万元，今后五年内考虑以下的项目投资：

项目A：从第一年到第五年每年年初都可以投资，当年末能收回本利110%；

项目B：从第一年到第四年每年年初都可以投资，次年末收回本利125%；

项目C：第三年初需要投资，到第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过80万元；

项目D：第二年初需要投资，到第五年末收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。

据测定每次投资1万元的风险指数如表一所示：

我们要解决的问题是，如何确定这些项目每年的投资额，从而使得第五年末拥有的资金的本利金额最大；为使第五年末拥有的资金的本利在330万元的基础上总的风险系数最小，又应该怎样确定这些项目每年的投资额。

对该问题进行分析，可以发现它满足线性规划的四条基本假设。下面我们用线性规划的方法对该问题进行求解。

1.确定变量

设i为第i年初投资于项目j的金额（单位：元），根据给定条件，将变量列于表2中。

2.约束条件

因为项目A每年都可以投资，并且当年末都能收回本息，所以该部门每年都应该把金子投出去，手中不应该有剩余的呆滞资金，因此，

第一年：该部门年初有资金200万元，固有x1A+x1B=200；

第二年：因第一年给项目B的投资要到第二年末才能收回，所以该部门在第二年初拥有的资金仅为项目A在第一年投资额所收回的本息110%x1A，固有x2A+x2A+x2D=1.1x1A；

第三年：第三年初的资金额是从项目A第二年投资和项目B第一年投资所收回的本息总和1.1x1A+1.25x1B，固有 x3A+x3B+x3C=1.1x1A+1.25x1B；

第四年：同以上分析，可得x4A+x4B=1.1x3A+1.25x2B；

第五年：x5A=1.1x4A+1.25x3B。

另外，对项目B，C，D的投资额的限制有

xiB≤30 （i=1，2，3，4）；x3C≤80；x2D≤100

3.目标函数

要求在第五年末该部门所拥有的资金额达到最大，即目标函数最大化，则可以表示为

maxZ =1.1x5A+1.25x4B+1.40x3C+1.55x2D

这样可以得到如下的数学模型：

maxZ =1.1x5A+1.25x4B+1.40x3C+1.55x2D

约束条件：x1A+x1B=200；x2A+x2B+x2D=1.1x1A；x3A+x3B+x3C=1.1x1A+

1.25x1B；x4A+x4B=1.1x3A+1.25x2B；x5A=1.1x4A+1.25x3B；xiB≤30（i=1，2，3，4）；x3C≤80；x2D≤100；xij≥0。

用“管理运筹学”软件求得此问题的解：

x5A=33.5，x4B=30，x3C=80，x2D=100，x1A=170，x1B=30，x2A=57，x2B=30，x3A=0，x3B=20.2，x4A=7.5。

这时第五年末拥有的资金本利（即目标函数的最大值）为341.35万元，用“管理运筹学”软件所求的结果如图1。

其中，x1A=x1；x2A=x2；x3A=x3；x4A=x4；x5A=x5；x1B=x6；x2B=x7；x3B=x8；x4B=x9；x3C=x10；x2D=x11

为使第五年末拥有的资金的本利在330万的基础上总的风险系数最小，这些项目每年的投资额的确定方法同上，只是目标函数发生了变化，多了一个约束条件，第五年拥有的资金的本利要在330万元以上，同样用“管理运筹学”软件可以求得最优解和最小的风险系数。

三、灵敏度分析

利用“管理运筹学”软件的计算结果中的对偶价格、目标函数系数范围、常数项系数范围，进行进灵敏度分析。

由对偶价格栏可知，第一年初增加或减少投资1万元，将导致第五年末拥有资金的本利增加或减少1.664万元，第一年投资额为200万元；第二年初增加或减少1万元，将导致第五年末拥有的资金本利增加或减少1.513万元，第二年的投资额来自第一年投资于项目A而收回的100%的本利。同样可知，第三年初、第四年初、第五年初增加或减少投资1万元，将导致第五年末拥有的资金本利分别增加或减少1.375万元、1.210万元、1.1万元。从第六个至第九个约束方程的对偶价格中可知，如果第一年、第二年、第三年、第四年项目B的投资额的限制放松或收缩1万元指标，将导致第五年末拥有的资金的本利分别增加或减少0.055万元、0万元、0万元、0.040万元。从第十个和第十一个约束方程对偶栏可知，项目C和项目D的投资额的限制放松或收缩1万元指标，将导致第五年末拥有的资金的本利分别增加或减少0.025万元、0.037万元。

由目标函数中变量系数的变化范围可知，当x5A，x4B，x3C和x2D中的一个变量在此范围里变化时，即项目A的第一年、项目B的第四年、项目C的第三年、项目D的第二年投资在第五年末的收回本利的百分比中的一个在次范围里变化时，最优解保持不变。超出这个范围就要重新建模求解。例如在这个范围变化0≤x5≤1.12，其他的变量保持不变，那么最优解不变。当几个系数同时变化时要用百分之一百法则来判断，即各个变量的允许增加或减少的百分比之和，如果小于百分之百的话，最优解不变；如果大于百分之一百的话，需要重新建模求解。需要说明的是x1A，x1B，x2A，x2B，x3A，x3B，x4A的系数都为零，主要是把这些变量的投资回收本利的百分比对第五年的贡献都体现在约束条件里，而没体现在目标函数中，所以没法用其目标函数的系数对其进行收回本利百分比的灵敏度分析。

以常数项变化范围一栏可以得到保持对偶价格不变的约束条件中常数项的变化范围，当某一个约束条件的常数项在此范围里变化而其他约束条件的常数项不变时，对偶价格不变。例如，第一年初现有资金为190万元，从图1中可知，190万元处于保持对偶价格不变的约束条件的常数项的变化范围内，故可以从对偶计算出第五年末所拥有的资金的本利总数为 341.35-（200—190）*1.664=324.71（万元）；同样，当变化超过了常数项的变化范围，需要重新建模。当几个约束条件的常数项同时变化时，则用百分之一百法则来判断。

第6篇：运筹学求最优解的方法范文

一、常见问题

在工程项目中，由于人们单纯地要求价格，致使建筑材料的采购出现了一些问题。

1.采购部门和建筑材料供应商之间矛盾突出。过低的产品定价迫使采购部门因为单纯的价格要求和供应商陷入旷日持久的讨价还价。

2.施工部门和采购部门之间沟通不足。施工部门迫不及待地向采购部门索取原材料，采购人员以牺牲集体利益为代价，根本不管成本的高低，导致采购的建材成本高、质量低。

3.建筑材料供不应求。全球性建筑材料资源紧缺，导致建筑材料价格上涨，采购成本增加。

二、降低建筑材料采购成本的已有方法

成本降低的主要目的是找出并减少不必要的资金开销部分，在不影响产品质量的前提下，有效分配、利用资金。

1.加强与供应商关系管理。通过加强与供应商的关系，使工程施工项目与供应商之间建立起相互信任的长期合作关系。通常，供应商的材料报价比其他普通关系的供应商低。

（1）施工企业通过市场资源调查、资质审核、价格谈判、质量检验、社会信誉调查等程序优选出的合作伙伴。合作伙伴那应具备材料质量合格、价格合理、货源稳定、售后服务有保障等特点。

（2）工程施工项目管理者和材料采购部门应加强与建筑材料供应商的沟通，在互惠共赢的基础上推进双方的合作。

2.施工部门要对材料成本和采购管理加以控制。严格执行材料采购计划，有计划地安排材料的采购、供应、储备。健全和完善约束机制，采用信息化管理，使企业上层领导与采购管理者信息共享，杜绝材料采购中的损公肥私现象。对工程现场进行科学管理。材料的质量由监理人员严格把关，材料配比、主体工程的质量由质量监督部门、质量检测部门把关，材料的价格按照投标时规定的计取办法计算。

三、案例分析

房地产开发的采购成本不单单是建筑材料的采购价格，还包括材料运输费，存储费等相关费用。本为，笔者以海南华商苑房地产开发有限公司资金浪费问题具体模型为例，对建筑材料的成本控制进行具体说明。海南华商苑房地产开发有限公司为一项工程购买钢材，钢材总需求为430t，与其有业务联系的钢材贸易公司有三家，分别为A1，A2，A3，今要把A1，A2，A3这3个钢材贸易公司所海南师范大学数学与统计学院　符小惠　杨俊坚　刘鸿鹏生产的钢材运往这项工程的B1，B2工地，所需运费见表1。表1　单位运价公司采用的初始运输方案见表2。表2　假设公司的初始运输方案因此，初始方案下总运费Z=90×50+70×50+95×100+80×50+65×100+75×80=34000（元）。1.模型的建立过程。根据以上数据，首先构建数学模型，建立线性方程组。假设从钢材贸易公司A1，A2，A3向工地B1，B2的运输量分别是X1，X2，X3，X4，X5，X6。根据假设的运输条件及给出的限定条件，最小运费Zmin=90X1+70X2+95X3+80X4+65X5+75X6。约束条件s.t.为：X1+X2+X3=200，X4+X5+X6=230，X1+X4=100，X2+X5=150，X3+X6=180。2.用lingo软件求目标函数的最优解。上述六个条件变量在lingo软件中求解过程为：Zmin=90X1+70X2+95X3+80X4+65X5+75X6，X1+X2+X3=200，X4+X5+X6=230，X1+X4=100，X2+X5=150，X3+X6=180。end结果为：X1=50，X2=150，X3=0，X4=50，X5=0，X6=180。运费最优值为：Zmin=90×50+70×150+95×0+80×50+65×0+75×180=32500（元）。

第7篇：运筹学求最优解的方法范文

    作为世界上最古老的价格发现机制之一,拍卖进入经济学文献的时间却相当晚,对拍卖最早的两篇开创性论文分析发表于1956年和1961年。在此之前,研究拍卖问题的经济理论文献几乎是空白,而此后近20年里拍卖理论的进展也相当缓慢。在很长的时间里,拍卖理论一直被视为与经济理论主体迥异的专业化领域,它似乎只是管理科学家与运筹学家的属地,因而不为主流经济学家所承认。造成这种误解的部分原因是拍卖理论最初主要由运筹学家发展起来或多发表在运筹学杂志上,而且多运用技术数学而非标准经济学的直觉进行论证。

    突破性的进展发生于20世纪70年代末。从那时起,越来越多的博弈理论研究者意识到拍卖是一种简单而又具有完备定义的信息不对称经济环境,它是分析经济主体之间的不完全信息博弈的一个颇有价值的实例,其经济研究前景也非常诱人。与此同时,实验经济学者对于可控拍卖实验的兴趣不断高涨。在这一背景下,拍卖理论逐渐被主流经济学家所接纳,并大量运用博弈论、实验以及经验检验作为研究工具。近10年来,国际经济学界关于拍卖问题的研究文献如雨后春笋般地涌现出来,拍卖理论也已经作为一个专门体系进入中高级微观经济学的核心领域。

    本文将紧密围绕拍卖机制的收入与配置效率的绩效比较以及卖主最优拍卖机制设计这两个方面展开分析。第二部分简要评述了维克里的开创性贡献;第三部分详细分析了四种标准拍卖机制的绩效以及单物品最优拍卖机制设计;第四部分则探讨了各种多物品拍卖机制的绩效以及多物品最优拍卖机制设计,并介绍了拍卖理论在国债拍卖与频谱拍卖实践中的应用与发展;最后一部分总结了拍卖理论检验的情况及其它前沿问题,并简要评价了拍卖理论研究的现状。 

    二、维克里的开创性贡献

    劳伦斯-弗里德曼(Lawrence Friedman)于1956年提出一个求解第一价格密封投标中的最优竞价策略的模型。尽管他采用的是基于决策理论的运筹学分析方法,但他已经意识到应用博弈理论分析拍卖问题的前景。事实上,弗里德曼竞价模型可以被视为博弈理论拍卖模型的前兆。如果说弗里德曼是从竞价者的角度来考虑最优出价战略,那么维克里(William Vickrey)则更多地站在拍卖组织者和社会计划者的角度分析配置效率与收入问题。维克里于1961年发表的《反投机、拍卖与竞争性密封投标》一文堪称拍卖理论的开山之作。文中维克里首次运用博弈论处理拍卖问题并取得巨大进展,他极富预见性地提出了拍卖理论中的多数关键问题,从而引导了该理论的基本研究方法。这些开创性贡献成为他获得1996年诺贝尔经济学奖的重要因素。

    维克里首先考虑了单物品拍卖机制。他指出,无论竞买人是否对称,英式拍卖中的每个竞买人的占优战略都是保持竞价,直到价格达到自己的估价为止,估价最高的竞买人将以大致等于次高估价的价格夺走拍卖品,这种配置结果显然是帕累托有效的。在竞买人对称的荷式拍卖中,每个竞买人的报价应该严格低于自己的估价,估价最高的竞买人也必定成为赢家,因而也是帕累托有效的。但是,如果竞买人非对称,荷式拍卖的配置结果很可能是无效率的。

    维克里还相当精辟地分析并指出,荷式拍卖与第一价格密封拍卖在战略上是完全等价的,因为竞买人在两种情形中所面临的局势完全相同。在此基础上,维克里独创性地提出了英式拍卖的密封等价形式--第二价格密封拍卖(又称维克里拍卖)。这种拍卖最显着的特征是每个竞买人的占优战略都是按其真实支付意愿出价("说真话"),这种拍卖机制显然是激励相容的。由于拍卖品最终归于支付意愿最高的竞买人之手,它也是一种具有帕累托效率的配置机制。

    维克里最重要的贡献在于,他针对竞买人对称的情形证明,荷式拍卖与英式拍卖所产生的期望价格相同。结合战略等价关系,实际上意味着四种标准拍卖机制给卖主带来的平均收入相等。这就是着名的"收入等价定理"(Revenue Equivalence Theorem, RET),该定理是整个拍卖理论研究的起点。但是,维克里也注意到,荷式拍卖中盈利方差要小于英式拍卖,这意味风险厌恶的卖主更愿意选择前者。他还明确指出,竞买人合谋以及拍卖人败德可能成为密封拍卖的致命劣势。

    维克里(1962)还将单个物品的拍卖推广到多个相同物品的拍卖,他针对每个竞买人最多购买一个单位(单位需求)的简单情形提出并简要分析了几种同步与序贯拍卖机制。在1962年的《拍卖与竞价博弈》一文中,维克里再次运用博弈理论详细分析了三种同步密封的多物品拍卖机制的绩效。遗憾的是,维克里所提出的这些重要问题在当时并未引起经济学者们的足够重视,在此后近20年里拍卖理论几无重大进展。20世纪70年代末,拍卖经济理论的发展终于姗姗来临。

    三、基准模型与单物品拍卖分析

    对拍卖机制的绩效分析往往从包含以下重要假定的框架入手:(1)单物品拍卖。(2)所有竞买人和卖主都是风险中性的。(3)所有竞买人是对称的,其估价服从同一概率分析。(4)拍卖品具有独立的私人价值。换言之,每个竞买人仅凭所掌握的私人信息就可以精确地对拍卖品估价,即使知道了所有其他人的估价信息也不会改变自己的估价。(5)最终支付额仅仅取决于报价额。(6)竞买人之间是非合作博弈。(7)卖主就是拍卖人,不存在交易费用。上述拍卖模型通常被称为"基准模型"(Benchmark Model)或"私人价值模型"。这些假定在现实中未必完全满足,但它们是拍卖绩效分析的理想基准,随后将逐步放松或替代这些假定,向真实世界逼近。

    1.收入等价定理与最优拍卖机制

    1981年,Myerson、Riley和Samuelson几乎同时证明了维克里关于各种标准拍卖机制的期望收入等价这一结论的一般性。假定数量既定的众多风险中性的潜在买主中的每个人都独立地获得对拍卖品的私人估价,且这些估价服从一个共同的、严格递增的非原子分布,那么任何具有以下特征的拍卖机制都将产生同样的期望收入(并导致每个竞买人按自己估价的某个函数支付相同的期望金额):(1)拥有最高信号的竞买人总是赢家;(2)任何拥有最低可行估价的竞买人的期望剩余为零。这个结论是令人惊讶的,因为它意味着卖主选择四种标准拍卖方式中的哪一种都无关紧要!

    由此引出了一个更为根本的问题:在所有可能的拍卖机制中,卖主最优的选择是哪一种?Myerson(1981)借助于"显示原理"将最优机制的搜寻范围缩小到激励相容性直接机制上,并将最优拍卖机制问题转化为一个双重约束下的线性规划问题:即在参与约束和激励相容约束下求卖主的最大期望剩余。沿着这一思路证明,可以将最优拍卖机制概括为两套规则:(1)配置规则:要求每个竞买人报告自己的估价,卖主计算相应的边际收益,然后将拍卖品授予边际收益最高者,除非最高边际收益低于卖主自己的估价(边际成本)。若所有边际收益都低于卖主自己的估价,卖主将保留拍卖品。(2)支付规则:赢家支付的金额既非他的边际收益亦非他的报告估价,而是使其边际收益等于或高于所有竞争对手的边际收益以及卖主边际成本的最低估价。

    因此,最优拍卖机制实质上将第二价格拍卖的思想与第三级垄断价格歧视的思想结合起来了。在基准模型中,若估价越高的竞买人的边际收益也越高(正则性),则所有设置了最优保留估价的标准拍卖机制都是最优的。但是,最优拍卖机制的配置结果有可能是无效率的。首先,其中隐含着边际收益最高者的估价高于卖主估价但卖主保留拍卖品的可能。其次,在竞买人非对称的情况下,估价最高者的边际收益未必最高。排除这两种可能,那么收入最优拍卖也是帕累托最优的。 

    2.标准拍卖制度的选择

    根据RET,各种拍卖形式除了制度细节之外并无差别,这与实践中英式拍卖和第一价格密封折卖明显更受青睐的现实形成鲜明对比。我们将会看到当基准模型中的假设被放松以后,RET就随之失灵,某些拍卖制度的优势就体现出来了,拍卖理论的解释能力则因此增强。

    (1)风险厌恶

    一旦放弃买卖双方都为风险中性的假设,第一价格拍卖(FPA)就具有了某种收入优势。可以证明,无论竞买人服从何种估价分布,FPA中的均衡价格都二阶随机占优于第二价格拍卖(FPA)中的均衡价格。因此,厌恶风险的卖主更愿意选择FPA。考虑卖主为风险中性而竞买人厌恶风险的情形:在SPA中,竞买人的均衡报价战略不会因风险厌恶而改变,因而期望价格不受影响。在FPA中,风险厌恶的竞买人更愿意适当提高报价以确保获胜并获取正利润,因而对估价的削减要小于风险中性竞买人。根据RET,卖主同样更愿意选择FPA。

    总体而言,竞买人对风险的厌恶态度有利于卖主。但是,FPA并非最优的拍卖机制,风险中性的卖主还可以充分利用它在风险承受方面的比较优势获得最大收入。比如,他可以提高低报价的风险实现鼓励高报价的目的。竞买人风险厌恶情况下的最优拍卖机制要比风险中性时复杂得多,比如要补贴失败的高价竞买人并惩罚低价竞买人。此外,卖主还可以通过隐瞒竞买人数量的方式(即引入数量不确定性)提高期望价格。

第8篇：运筹学求最优解的方法范文

关键词：线性规划；影子价格；方向导数；资源配置

中图分类号：F0 文献标志码： A 文章编号：1673-291X（2011）07-0012-02

引言

影子价格是运筹学、管理学和经济学中的一个重要概念。在实际计算中采用一般偏向求导法或者单纯形表可以衡量资源的影子价格。但是，长期生产所对应的影子价格的论述较为罕见。本项研究试图借助Aucamp与Steinberge等的研究成果，从对偶函数的极点值着手，利用Akgulm所提出的影子价格方向导数定义，计算短、长期生产所对应的影子价格。

一、问题的提出

影子价格与线性规划对偶理论渊源极深，考虑如下一对线性规划问题，原规划问题（1）。

maxcjxj=zs.t. aijxi≤bi，i=1，2，…，m xi≥0，j=1，2，…，n（1）

maxbiyi=fs.t. aijyi≤cj，j=1，2，…，n yi≥0，i=1，2，…，m（2）

如果y*=（y*1，y*2，…，y*m）T为对偶规划（2）的最优解，则最优值z*可看做是资源量bi（i=1，2，…，m）的一个函数，即z*=b1y*1+b2y*2+…+bmy*m（3），对bi求右向偏导数即为y*i：

y*i=，i=1，2，…，m（4）

显然，此影子价格仅对应于一个短期生产问题，其前提是其他资源数量保持不变，一般通过单纯形法求得。

考虑一个生产运作问题。设某工厂利用K、L两种资源生产甲、乙两种产品，资源要素量、产品的单位价格及可耗用的资源总量（如表1所示）：

表1 生产有关数据表

对于上述问题，为确定最优资源配置计划，以收益为目标函数，以可耗资源为约束，构造线性规划问题（5）。

max3x1+2x2=zs.t. 2x1+x2≤600 x1+3x2≤400 x1，x2≥0（5）

利用单纯形法对问题（5）求解，结果（如表2所示）。

表2初始线性规划的最优单纯形

根据表2，推断资源K的影子价格为，资源L的影子价格为。

但是，如果我们对资源K、L的数量同时进行调整的长期生产问题，上述计算方法难以确定资源影子价格，需要引进新的定义方式与计算方法。

二、影子价格的长期划分与计算

本文拟借助Aucamp与Steinberge 等的研究成果，从生产最优值函数的极点解进行分析，通过Akgulm的方向导数进而确定长期多资源变化的影子价格。

Akgulm定义了函数Z*（b1，…，bm）在资源组合点B处沿方向u=（u1，u2，…，um）T∈Rm的导数：

Duz*（b）=limt0+ （6）

为资源组合u的影子价格。利用凸分析的一个结论，有Duz*（b）=min{uTy|y∈z*（b）}（7），通过（7）式我们可以求得多种资源变化时的影子价格，我们称之为资源的组合影子价格。

三、长期资源调整的计算示例

对于例题，原规划问题的对偶可行域的极点有三个，分别为（0，3）（，）（2，0），于是在短期生产范围内，给定b1=600不变，仅b2发生变化，即此时资源组合点B沿单位方向（0，1）方向发生变化：

=minb1，b23b2，b1+b2，2b1=0，3b1≤b2，b1≤b2≤3b13，0≤b2≤b1

（7）

在长期范围内，多种资源甚至所有资源投入都可进行调整，资源可以就任何方向进行调整。比如，假设当前要素组合沿单位方向=，进行调整，由于最优对偶解单一，此时资源组合的影子价格如下：

Dz*（b1，b2）=，1 800≤b1（a），300≤b2＜1 800（b），0≤b2＜300（c）（8）

结论

实际生产总表现出某种时期特性，不同时期特性下的影子价格定义方式、估计方法不尽相同。如果单纯考察给定要素变动对收益的影响，采用收益函数对该要素的右向偏导数即可。如果给定时间范围内涉及到至少两种以上生产要素的调整，则需采用方向导数方能测度投入要素对收益函数的影响，唯有如此才能根据影子价格合理指导资源配置。

参考文献：

[1]刘舒燕.关于资源影子价格不唯一性问题的讨论[J].运筹与管理，2001，(2)：33-36.

[2]D.C.Aucamp and D.I.Steinberg.The computation of shadow prices in linear Programming.The Journal the Operational Research Society[J]，Vol.33，No.6，1982：557-565.

[3]Akgulm.A note on shadow prices in linear programming.The Journal of the Operational Research Society[J]，Vol.35，No.5，1984：425-431.

[4]周永华，陈新，刘建斌，郑芳英.影子价格及其经济意义[J].浙江理工大学学报，2006，(3)：145-150.

The Definition and Calculation of Shadow Price in the Long and Short Term

ZHENG Shan-shui

（Guangzhou Institute of Railway Technical，Guangzhou 510430，China）

第9篇：运筹学求最优解的方法范文

关键词：线性规划教学；原因；分析

中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）17-080-1

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，在组织社会化生产，经营管理活动中，我们经常碰到最优决策的实际问题。高中数学苏教版教材必修5中安排了这一内容。下面就来谈谈学生在这一节中的疑惑。

例已知ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，求ba的取值范围。

生说：后面的比值是求可行域中的点（a，b）与原点构成的直线的斜率，但是可行域怎么画呢？

师说：这道题目很多同学都束手无策。变量c是很多学生的疑惑，它的值不知道，而且也不适合代入特殊值求解。那想想我们已经有的工具是什么呢？

生说：会画二元一次不等式组表示的平面区域，会用图解法解线性目标函数的最优解。

师说：那我们想想刚才的想法不能解决问题时，我们再回到问题的本源，现在的三元多了，要是二元是不是就好了，那怎么变成二元呢？再想想要求的是ba，该怎么做呢？

生说：除以a试试吧。

变式：如果求cb的取值范围呢？

解析：cb=yx，由图可知求解的问题是可行域中的点和原点构成的直线的斜率的范围[0，1]。

对学生产生疑惑的原因再分析：

1.学生在初步学习了不等关系后，对于用不等关系来说明最值，缺乏严谨性，没有考虑到位。

2.对于线性规划中较为困难的整点问题，因为所要追寻的最优解不是边界上的点，而区域中的整点个数比较多，学生会有些茫然。

3.问题中学生的疑惑是因为先将待求的值视为斜率，所以这样使得问题就没办法解决了，真是到了“车到山前疑无路”的时候。错误源于我们做题中这种先入为主的思想有时会阻碍我们前进，这时，我们就要换个思路，想想已有的知识储备，怎么把问题转化到原有的知识储备上来。此时经过引导，终于带领学生体会到“柳暗花明又一村”。

对学生在解题中的疑惑和错解的再认识：

1.解决问题，是一种源于生活上，并置于特定情景中的数学问题。学生解决问题的能力真不是一朝一夕就能完成的，面对这一教材，我思考的是作为教师应该如何培养学生解决问题的意识，在学生出现困惑的时候，我们要分析他们的思维起点及认知的基础在哪里呢？先要听学生的学习体会，不论是对的，错的，要让学生勇敢地表达自己的想法。在长期的教学中，我们知道，作为老师，不怕学生有问题，有疑惑，就怕学生提不出任何问题，只有思考的人，好学的人，他才会有问题。所以只要他有问题，就说明他在思考，可能在问题解决的路上，也许就快得到答案，也许误入歧途，需要我们引导。错误只有被理解、被认识后才能体现它的价值，也只有这时“失败才会是成功之母”。

2.由最近发展区理论知，学生的认知是逐步提高的过程。学生经常在探究的过程当中在解决问题的过程中出现问题和错误，首先要尊重学生的认知差异。在教学中讲授知识的过程应该是带着学生走向知识，而不是传统的带着知识走向学生。这二者的重要区别在于前者是学生本位，更为注重学习的过程；而后者以知识为本位，注重学习的结果。学生出现错误是成长过程中必然的经历，教师应该以一颗宽容的心来对待。教师的责任并不仅仅在于避免错误的发生，还在于当错误发生时能够挖掘错误的价值，使错误转变为学生成长的契机，成为教师教学的资源。