垂径定理精选(九篇)

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垂径定理

第1篇：垂径定理范文

一、定理的拓展

垂径定理是这样阐述的：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧. 写成数学符号语言就是：如图1，CDAB ，CD是直径，AM=BM、■=■、■=■. 而在具体问题中，直径不一定完整，可以是半径或过圆心的线段，下面是几种常见的垂径定理基本图形的变式图，根据以下变式图形可以写出相应的符号语言：

如图2，OCAB，OC是半径，AM=BM，■=■.

如图3，DMAB，DM经过圆心，AM=BM，■=■.

如图4，OMAB，OM经过圆心，AM=BM.

二、例题的拓展

苏科版教材第114页例2：

已知：如图5，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点. AC与BD相等吗？为什么？

解：AC=BD. 理由：过点O作OPAB，垂足为P.

OP过圆心，OPAB，PA=PB，PC=PD，PA-PC=PB-PD，即AC=BD.

方法归纳：圆心到弦的距离叫做“弦心距”（如图4中的线段OM），它也是圆中十分重要的辅助线. 我们经常通过作弦心距，构造垂径定理的基本图形来解决问题.

变式1：如图6，O交OAB的边AB于点C、D. 如果OA=OB，那么AC与BD是否相等？为什么？

变式2：如图7，AB、CD是O的两条平行弦. ■与■相等吗？为什么？

【分析】变式1的第一问相当于是在例题基础上少了一个大圆，但相应又增加了OA=OB这个条件，这两个条件其实是等同的，所以方法也是一样的，过圆心作弦心距构造垂径定理的基本图形即可. 变式2与例题相比，前者是同一个圆中两条弦平行，通过作弦心距无法说明，但只要过圆心作垂直于这两条弦的半径或直径利用垂径定理就可以解决，也就是说，垂径定理不仅能推导出线段相等也能推出弧相等.

变式3：如图8，（1）在O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，求O的半径、弓形高CD的长.

（2）在O中，半径为5，圆心O到AB的距离为3，求弦AB的长、弓形高CD的长.

（3）在O中，半径为5，弦AB的长为8，求圆心O到AB的距离、弓形高CD的长.

（4）在O中，弦AB的长为8，弓形高CD的长为2，求O的半径、圆心O到AB的距离.

【分析】解决圆内半径（或直径）、弦长、弦心距、弓形高的问题时，常见辅助线是作弦心距、连接半径，构造 “垂径三角形”，即图中的OAC，它的边AO是半径、边OC是弦心距、边AC是弦AB的一半，已知半径（或直径）、弦长、弦心距、弓形高中的任意两个量就能求出另外两个量，尤其要注意在已知弦长、弓形高求半径时，要用方程思想解决.

练习：（1）如图9，已知∠C=90°，C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，求AD的长.

（2）如图10，圆内一弦CD与直径AB相交成30°，且分直径为1 cm和5 cm，则圆心到这条弦的距离为多少？CD长为多少？

【分析】练习（1）中已知半径，要求弦长，根据常用思路，作弦心距构造“垂径三角形”的方法，只需要求出弦心距即可，利用面积法可求直角三角形斜边上的高即可求出弦心距，已知半径和弦心距，便可求出弦长. 练习（2）的条件较为隐蔽，直径、弦心距均未直接告知，这也正是本题难点所在，但细心观察可以发现直径较易求，过圆心向CD作垂线，连接OD，仍可构造“垂径三角形”，但如何求出弦心距是关键，这里需要同学们发现含30°角的直角三角形，已知斜边，可求对边，对边即弦心距，最终也就转化为在“垂径三角形”中，已知直径（半径）和弦心距，可以求弦长.

变式4：如图11，已知：AB和CD是O内的两条平行弦，AB=6 cm，CD=8 cm，O的半径为5 cm.

（1）两条平行弦所夹的弧相等吗？为什么？

（2）求出AB与CD间的距离.

第2篇：垂径定理范文

关键词　定位旋转斜扳法　椎动脉型颈椎痛

椎动脉型颈椎病是由于椎动脉受到损伤而椎一基底动脉系统供血不足产生以眩晕、头痛为主的综合征，约占所有颈椎病患者中的70％，临床上多见于中45-60岁的老年人。并随着年龄的增长，发病率有平行上升的趋势。我们在既往临床实践及相关研究的基础上，采用定位旋转斜扳法的手法治疗椎动脉型颈椎病98例，取得良好疗效，现报告如下。

1　临床资料

1.1　一般资料　全部98例病人均来自清新县人民医院康复门诊。其中男56例，女42例；年龄22岁～57岁之间，平均42岁。病程最短者2天，最长者3年，平均3周。有头颈部外伤史者6例，慢性劳损者强迫或长期低头伏案工作者156例，外感风寒湿诱发者例15例，原因不明者21例。在治疗期间均不采用其它任何治疗方法。

1.2　诊断标准　参照1993年第二届全国颈椎病专题座谈会中有关诊断标准，所有病例均经x线片、CT、MRI等检查，确诊为椎动脉型颈椎病，临床症状、体征符合颈性眩晕者。排除合并有骨折、肿瘤、结核、类风湿、脊椎炎及其它严重内脏病变者。

2　治疗方法

全部病例均采用定位旋转斜扳法治疗。患者取坐位，术者立于其后，双拇指自T7向上触摸棘突两侧，检查有无偏歪之棘突及压痛点的位置，结合x线摄片所见，确定发病之节段。以右侧发病为例，发病在颈椎上段(C1-2)时，术者左手掌放在患者颈项中下部作固定，右手掌托住患者的枕部，肘部托住下颌部并稍向上牵引，将患者颈部逐渐向患侧旋转，嘱患者放松，使患者头部沿圆弧形方向顺势加大旋转幅度；发病在颈椎中段(C3～5)时，嘱患者颈部屈曲15度，左手掌放在患者颈项下部作固定，右手掌托患者的颈枕部，头部逐渐向患侧旋转，沿椭圆弧形方向顺势加大旋转幅度；发病在颈椎下段(C6-7时，嘱患者颈部屈曲30度，在手旋转头部的同时，还向右侧方向用力，使患者头部沿抛物线方向运动。上述手法成功后可闻及响声。

手法治疗隔天1次，10次为1个疗程。本手法操作时要谨慎小心，勿用蛮力，幅度应在颈椎生理活动范围内，以免发生意外。

3　治疗效果

3.1　疗效标准　疗效标准参照《中医病证诊断疗效标准》中颈椎病的疗效评定标准拟定。治愈：眩晕、头痛、颈部疼痛不适等症状消失，随访半年无复发。好转：头颈肩疼痛明显减轻，头晕、恶心、呕吐、耳鸣、位置性眩晕消失。无效：临床症状改善不明显。

3.2　治疗结果　痊愈23例(23.47％)，显效63例(64.29％)，有效9例(9.18％)，无效3例(3.06％)，显效率87.78％，总有效率96.94％。其中36例首次治疗后症状明显缓解，有效者多数在治疗2次～3次后症状开始减轻，大部分显效者疗程不足2周。在治疗过程中未见有不良反应发生。

第3篇：垂径定理范文

【关键词】卧位定点整复；椎动脉型颈椎病；眩晕

【中图分类号】R274 【文献标识码】A 【文章编号】1004-7484（2012）12-0075-02

椎动脉型颈椎病是脊柱专科常见病与多发病，多由椎动脉受压迫或刺激，引起椎基底循环障碍而出现头痛、眩晕、恶心等一系列临床症状。该病发作多急剧急，因而在临床工作实践中，有的医生遇到此类患者时，往往多考虑内科疾患或五官科疾患等，而忽视了颈椎疾患。自2009年5月～2011年11月，本科室采用卧位定点整复手法为主的综合疗法，对此病症进行治疗，疗效满意，现报道如下。

1 临床资料

1.1 一般资料

选取本科室门诊患者72例，其中男性39例，女性33例，年龄在30-60岁之间，平均年龄51±8.35岁，病程在3天-9个月之间，平均病程（5.35±1.27）个月，按简单随机法分为2组。2组在年龄、性别和病程等方面比较无显著性差异（P均>0.05），具可比性。

1.2 诊断依据

按《全国中医诊疗技术标准规范与中医院（科）工作政策法规全书》椎动脉型颈椎病诊断依据：有慢性劳损或外伤史，或有颈椎先天畸形、颈椎退行性病变，多发于中年人，长期低头工作者，头痛眩晕，耳鸣耳聋，视物不清，有性猝倒，颈椎侧弯后伸时症状加重。X线检查：横突间距变小，钩椎关节增生。CT检查：左右横突孔大小不对称，一侧相对狭窄。椎动脉造影见椎动脉迂曲，变细或完全梗阻。

1.3 排除标准

美尼尔综合征，多发性硬化症，性低血压，脑血管意外，小脑肿瘤，相关中医按摩手法禁忌证及不能与医生合作者。

2 观察方法

2.1 统计学处理

研究数据以SPSS13.0统计软件分析。其具体方法：平均年龄、实验指标检测值（计量资料）的分析比较，用F检验；症状评分（半计量资料）的分析比较，用非参数秩和检验；显著性检验水准a=0.05。

2.2 治疗方法

对照组：以舒筋通络，调神定眩为治则，推拿操作：患者仰卧，医者先以双手中指指腹逐渐用力按压风池穴，待有酸胀的得气感后，维持2min，后两中指分别作逆时针按揉，使酸胀感传导至头部前外侧；随后，医者以四指指腹揉按或拨揉颈项部和颈枕部两侧肌肉，使患者紧张的肌肉得以放松，再以右手拇指指腹按压印堂穴，分别以顺时针和逆时针方向各按揉50次，然后，医者以右手拇指偏峰着力于印堂穴，沿着督脉至百会穴一线施用一指禅推法治疗。最后，以头维穴为中心，按逆时针方向，环旋施用一指禅推法的泻法治疗，范围逐渐扩大。针刺取穴：颈夹脊3-7穴、风池、完骨、天柱、印堂、百会、四神聪、头维、合谷、内关等穴（均为双侧）。操作方法：毫针针刺以上各穴，针刺得气以病人有酸、麻、胀等感觉为度。推拿每次治疗时间约为15min，针灸治疗时间每次均为20 min，推拿、针灸治疗每周5次，2周1个疗程，共1个月。

治疗组：在上述推拿、针灸治疗基础上，加用卧位定点整复手法。操作：患者仰卧位，医者将一前臂放置患者颈项下，将病变部位（成角点或间隙变窄处）放在前臂屈肌群正中，另一手掌横向拉住患者下颏，在患者颈项下前臂内旋的同时，放于下颏部的手向头部方向牵拉，至内旋的前臂至掌心朝下的位置时固定，并保持5-8千克的牵拉力，1分钟后减少至3千克左右，再反复3-5，完成1次操作。

3 结果

3.1 疗效标准

据：全国中医诊疗技术标准规范与中医院（科）工作政策法规全书：治愈：原有病症消失，肢体功能恢复正常，能参加正常劳动和工作；好转：原有症状减轻，肢体功能改善；未愈：症状无改善。

3.2 治疗结果：见表1

3.3不良反应：未发现明显不良反应。

4 讨论

颈动脉由第六颈椎横突孔穿入，出于第二颈椎横突孔，沿环椎后弓上缘入颅腔，此段动脉多由增生、横突孔相对狭窄、血管病变内膜粥样斑形成或关节紊乱等种种刺激因素而引发痉挛或狭窄，进而出现本病供血不全的症状[1]。推拿治疗可以起到舒筋活络活血散瘀、宣通气血、疏通狭窄之功效，可以纠正后关节的移位及椎体的异常排列，减轻或消除肌肉痉挛，使局部的血管扩张，改善局部的血液循环，增加局部的组织营养供应等作用，从而减轻或消除了对椎动脉的压迫和刺激，增加了椎动脉的血流量从而达到消除病症的目的[2]。现代研究证实，针刺能够改善颈部椎肌群的紧张状态，减轻颈椎退变对血管的机械压迫和对颈神经根的刺激，降低交感神经的兴奋性，增大椎动脉内径和血流速度，从而改善脑干中的网状结构、前庭神经核区和内耳的缺血，达到平眩止晕的目的[3]。而卧位定点整复手法，代替颈部推拿手法中颈部扳、旋等手法，减少了医源性损伤发生的可能，并可达到滑利关节、纠正复位的作用，在操作过程中，在成角点或间隙变窄处施术，顺应胸椎前屈度数，沿此方向施术才能取得最佳牵引效果。手法实施时要贯彻“轻揉为补、重揉为泻”、“急摸为泻、缓摸为补”的原则。总结观察结果，证明用卧位定点整复手法治疗椎动脉型颈椎病可取得良好的效果，且按摩手法是祖国传统医学中历史悠久广泛实用的医疗手段，没有药物治疗的毒副、致癌、致畸作用，对许多疾病具有独特的不可替代的疗效，在越来越注重自然疗法的今天，手法治疗应进一步发扬推广。

参考文献：

[1] 杨克勤，张之虎，张潭澄，等.颈椎病[M].北京：人民卫生出版社，1981：47～48.

第4篇：垂径定理范文

摘要目的：探讨改革后护理对微创经皮椎弓根螺钉内固定手术治疗胸腰椎骨折患者的影响，以不断提高胸腰椎骨折患者的护理水平。方法：选择2010年3月~2013年11月我院收治的40例微创经皮椎弓根螺钉内固定手术治疗胸腰椎骨折患者为研究对象，将其随机等分为对照组和试验组。对照组使用常规护理措施，试验组使用改革后护理，观察对比两组患者的护理效果。结果：两组患者的治疗效果比较无统计学意义（P＞0.05）。试验组患者护理后焦虑程度降低，护理满意度提高，与对照组相比有统计学意义（P＜0.05）。结论：对微创经皮椎弓根螺钉固定手术的胸腰椎骨折患者使用改革后护理不但能够保证治疗效果，还可以减少患者的不良情绪，提高护理满意度。

关键词：胸腰椎骨折；微创经皮椎弓根螺钉内固定；护理

doi:10.3969/j.issn.1672-9676.2014.08.026

对胸腰椎骨折患者使用后路开放椎弓根螺钉骨折手术治疗在临床应用了较长时间，但是患者的远期疗效不佳，容易出现腰背部僵硬、腰背部疼痛等，患者肌肉功能降低，神经病变［1］。随着临床对微创技术的研究与应用，我院使用微创经皮椎弓根螺钉内固定手术对胸腰椎骨折患者进行治疗，取得了明显的效果，为了更好地提高此手术患者的围手术期护理水平，我院对护理工作不断学习改进，将改革护理应用到临床中，现将结果报道如下。

1资料与方法

1.1一般资料选择2010年3月~2013年11月我院收治的40例微创经皮椎弓根螺钉内固定手术治疗胸腰椎骨折患者为研究对象，均经过临床确诊，无认知功能障碍，无精神疾病，无精神病家族史，有一定的阅读能力。将其随机等分为对照组和试验组。对照组男12例，女8例；年龄23~61岁，平均（40.55±7.15）岁；骨折部位：T116例，L1 6例，L2 2例，T11、122例，T12L14例；骨折AO分型：A型12例，B型6例，C型2例；受伤原因：交通事故损伤14例，坠落伤6例。试验组男10例，女10例；年龄24~62岁，平均（40.63±7.74）岁；骨折部位：T114例，L1 4例，L2 2例，T11、12 6例，T12L1 4例；骨折AO分型：A型10例，B型8例，C型2例；受伤原因：交通事故损伤16例，坠落伤4例。两组患者在性别、年龄、受伤原因、骨折部位及分型等方面比较无统计学意义（P＞0.05），具有可比性。

1.2方法对照组患者使用临床常规护理方法，包括常规心理护理，观察患者的病情变化，讲解手术相关知识，及时将患者病情反馈给医师，遵医嘱进行各项治疗性操作，完成手术前的常规准备，手术后给予护理和生命体征监护，观察其手术后脊髓神经功能的变化，指导患者康复锻炼［2］。试验组患者使用改革后护理，其包含常规护理，并在此基础上增加以下护理：（1）科室内采用小组授课的方法组织全科室内护士学习相关知识，包括胸腰椎骨折的原理、护理常规、护理重点、心理护理、病情观察和健康教育知识。同时积极总结在护理工作中遇到的问题，对典型案例进行分析，总结护理工作中的不足，制定改革措施。（2）提高对围手术期患者心理护理的重视程度。我们总结经验发现，胸腰椎骨折患者在手术前后多会伴有较为严重的焦虑程度，且在手术前后焦虑状态的原因不同，大多数患者在手术前会担心手术创伤、治疗效果，而在手术后则主要担心康复效果和经济费用。因此护士在围手术期为患者进行心理护理要有所侧重，手术前重点教会患者如何放松心情，并利用我们成功的案例为患者树立信心，讲解相关微创手术的优点，强调手术中的无痛和微创理念。而在手术后则要加强患者的治疗依从性，让患者能积极地进行康复锻炼，多关心多爱护，并帮助患者寻找社会支持的方法，如医疗保险报销措施等［3］。（3）重视手术前后的功能训练。手术前功能训练包括让患者采用俯卧位并保持腰部过伸，时间从少到多，以提高患者对手术的耐受性，并指导患者在创伤时如何大小便。而在手术后6 h内，我们采用平卧位与侧卧位交替的方法，护士协助患者自行翻身，每2 h翻身1次［4］，并观察受压部位，防止发生压疮。术后在患者双下肢可以自主活动后，叮嘱并监督患者做髋关节、膝关节的屈曲，活动踝关节，以防止肌肉萎缩和关节痉挛。对不能自主活动的患者，护士要为其按摩。我们不但要求护士有充分的康复训练讲解能力、演示能力，同时还要求护士作为一名监督者，监督患者进行康复锻炼，及时纠正患者的错误认识。

1.3观察指标（1）对比观察两组患者手术后的伤椎前缘高度、后凸Cobb角和矢状位指数，用于评价患者的治疗效果。（2）采用国际通用焦虑自评量表（SAS）观察两组患者护理后的焦虑程度，该量表由20个条目组成，自评者评定结束后将20个条目的各个得分相加再乘以1.25以后取整数部分即为标准分，SAS标准分分值为50分，其中50~59分为轻度焦虑，60~69分为中度焦虑，70分以上为重度焦虑。（3）使用打分制由两组患者对临床护理工作进行打分，10分为最高分，0分为最低分，患者在0~10分选择一个数字表示自己的满意度［5］。

1.4统计学方法采用spss 19.0软件包处理，计量资料比较采用t检验或t′检验，检验水准α=0.05。

2结果（表1）

3讨论

微创经皮椎弓根螺钉内固定手术治疗胸腰椎骨折是我院新的手术措施，这种方法具有创伤小，术后康复快，住院时间短等优势［6］，从开展以来受到了医护人员及患者的好评。有效积极的护理干预是保证手术顺利进行、促进患者早期康复的关键。

在临床护理干预过程中，给予患者改革后的护理，即一般临床护理工作的基础上寻找护理工作中的不足，并及时改革。首先，我们通过小组授课的方法让每位护士了解到手术相关知识，并掌握护理要点，以保证每位患者均能够得到专业的全面护理。其次，我们针对心理护理进行了改革，高度重视心理作用，用多种方法并针对患者围手术期不同心理状态给予心理干预，消除了患者的不良情绪，让患者用乐观的心态积极面对临床治疗，且有足够的信心战胜疾病［7］。第三，康复训练中护士改变了以往的传授知识、协助训练的角色，同时作为一名监督者，可以更好地监督患者的康复训练，提高了治疗依从性和患者对康复训练的重视程度，保证了训练效果。

综上所述，使用微创经皮椎弓根螺钉固定手术对胸腰椎骨折患者治疗的效果较好，使用改革后护理不但能够保证治疗效果，还可以减少患者的不良情绪，提高护理满意度。由于微创经皮椎弓根螺钉内固定手术在我院开展例数较少，因此我们的临床护理工作还有待进一步完善。

参考文献

［1］吴润莉,张万玲,陈丹.1例经皮椎弓根螺钉内固定术治疗胸腰椎骨折的护理［J］.医学信息（上旬刊）,2011,24(11):494-495.

［2］金梅,梁梅林.50例经皮椎弓根螺钉内固定术的护理体会［J］.当代医学,2010,16(36):119-120.

［3］窦红梅,张文捷,赵春明,等.腰椎微创融合内固定术的手术配合［J］.护理实践与研究,2013,10(15):138-139.

［4］杨玲,秦放,万伟,等.经皮椎弓根螺钉内固定术治疗胸腰椎骨折34例围术期护理［J］.齐鲁护理杂志,2010,16(14):47-48.

［5］杜顺杰.微创与传统切开椎弓根螺钉固定治疗胸腰椎骨折的比较［D］.石家庄：河北医科大学，2012:5.

［6］刘涛.一种新型经皮椎弓根螺钉内固定系统的设计及基础研究［D］.重庆：第三军医大学，2011：10.

［7］陆孟旭.改良微创经皮USS内固定系统治疗胸腰椎骨折的临床疗效分析［D］.衡阳：南华大学，2012:5.

第5篇：垂径定理范文

“巩固展示课”是在预习展示课和提升展示课两种课型的基础上对所要达到的“目标”进行具体落实的课型。在此课型中，彰显的是教师对练习题的设计理念，要求教师根据目标的需求设计出梯度、难度适中的练习题，通过学生“兵练兵”“兵教兵”“兵强兵”的过程，达到独立或合作完成、对知识再认识和巩固的“目的”。此课型的“展示”，在于发现学生“求异思维”能力的表现，要让学生能够达到“一题多解”“一解多题”，总结规律，归纳方法，达到最佳的求知状态。

二、巩固展示课――设计思路

1.本节课所占的位置及学生现状分析。

2.本节课的重难点。

3.学习目标。

4.导学案设计。

本节共设计六个部分：

（1）知识回顾。复习垂径定理及推论。

（2）巩固应用。这一部分内容主要利用垂径定理进行简单的计算，题型较全面。

（3）综合应用。习题设计分为两个层次，1、2题是利用垂径定理进行证明，3题要求学生能画出符合题意的图形，渗透数学分类讨论思想。

（4）提升应用。这部分内容与实际联系比较紧密，通过这些知识的教学，帮助学生从实际中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题。

（5）习题超市。这部分内容主要是为了尖子生，引导尖子生提高。

（6）课堂测评。目的是检查学生对本节内容的掌握情况，考查学生运用所学知识解决问题的能力。

三、巩固展示课――环节操作

1.导语及解读目标。

2.独立完成导学案。

3.小组合作交流，将解决不了的问题提出来，反馈到问题栏。将问题栏内容进行分配，教师深入指导。聚焦前板，分组展示并强调展示要求。

4.展示完成，完善学案，当堂检测，收卷，教师做简单总结，结束本节授课。

四、巩固展示课――案例

垂径定理（巩固展示课）

学习目标：

1.能熟练运用垂径定理进行计算。

2.能熟练运用垂径定理进行证明。

教学重点：能熟练运用垂径定理及推论进行证明和计算。

教学难点：证明计算时辅助线的添加。

教学过程：

一、知识回顾

1.垂直于弦的直径的性质（垂径定理）：

垂直于弦的直径，并且平分。

2.平分弦（不是直径）的直径的性质：

平分弦（弦不是直径）的直径，并且。

3.已知：如图，CD是圆直径，与弦AB交于点M。

CDAB AM=BM（根据：）

AM=BM CDAB（根据：）

二、巩固运用（利用垂径定理进行计算）

1.如图，O的直径为20，圆心O到弦AB的距离OM的长为6，则弦AB的长为。

2.如图，在O中AB是弦，于D，且AB=60cm，OC=40cm，则OD的长为。

三、综合应用（利用垂径定理进行证明）

1.如图是以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D，通过观察或测量，猜想并写出线段AC与BD的大小关系，请证明你的猜想。

2.如图所示，在O中AB是弦，C、D是AB上两点，且OC=OD，通过观察或测量，猜想并写出线段AC与BD的大小关系，请证明你的猜想。

四、提升应用

一座拱形桥，桥下水面宽度AB是20米，拱高CD是4米，若水面上升3米至EF，则水面宽度EF是多少米？

（1）若把它看作是抛物线的一部分，在坐标系中（左图），设抛物线的表达式为，请你填空：，c= ，EF= 米。

（2）若把它看作圆的一部分（右图），请计算EF的长。（圆的半径大于10米）

第6篇：垂径定理范文

一、勾股定理与垂径定理

例1 如图1所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出[AB]所在圆的半径.

【分析】弦心距用半径来表示是解决问题的关键，设半径为r，则弦心距为r-1，根据勾股定理可得方程r2=[32]2+（r-1）2，从而问题得解.

解：OEAB，AF=[12]AB=[32]（m），

设AO=r，则OF=r-1，

在RtAOF中，AO2=OF2+AF2，

即r2=[32]2+（r-1）2，r=[138].

[AB]所在圆的半径为[138]m.

【点评】此类题目中垂径定理与勾股定理如影相随，通常采用把半弦、弦心距、半径三者放到同一个直角三角形中，利用勾股定理解答.

二、勾股定理与切线长定理

例2 如图2，RtABC中，∠C=90°，BC=5， RtABC的内切圆O与三边分别相切于点D、E、F，半径r=2，求ABC的周长.

【分析】见切点，连半径，得垂直，连接OE，OF，得到四边形OECF为正方形，CE=CF=r=2，因为BC=5，所以BF=BD=3，要求三角形的周长只需要求出AD，AE的长度，设为x，在直角三角形中运用勾股定理即可求解.

解：连接OE、OF，OAD=x，则AE=AD=x，

点D、E、F是切点，OEAC，OFBC，

又∠C=90°，OE=OF，

四边形OECF为正方形，

O的半径为2，BC=5，

CE=CF=2，BD=BF=3，

在RtABC中，AC2+BC2=AB2，

即（x+2）2+52=（x+3）2，x=10，

AC=12，AB=13，

ABC的周长为12+5+13=30.

【点评】本题主要考查切线长定理、正方形的判断和勾股定理的应用，连接OE、OF，构造正方形OECF是解题的关键.

三、勾股定理与内切圆

例3 某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛.

（1）若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域（如图3（1））内确定圆形花坛的圆心P；

（2）若这个等边三角形的边长为18m，请计算出花坛的面积.

【分析】（1）在ABC内作一个内切圆，则此圆面积最大，点P为角平分线的交点.（2）注意到RtBPD一个锐角为30°，BP=2PD，再利用勾股定理问题就迎刃而解了.

解：（1）见分析如图3（2）；

（2）在RtBPD中，BD=9m，∠PBD=30°，设PD=x，则BP=2x，由勾股定理得：x2+92=（2x）2，解得 x1=[33]，x2=-[33]（舍），

花坛的面积为π?（[33]）2=27π（m2）.

【点评】要使花坛的面积最大，作出三角形的内切圆即可.

四、勾股定理与正多边形

例4 一个亭子的地基是半径（外接圆半径）为8m的正六边形，求地基的周长与面积.

【分析】正六边形的中心角是60°，易知OBC是正三角形，边长等于半径，周长为半径的六倍，正六边形的面积为OBC面积的六倍.

解：连接OB、OC，∠BOC=60°，

OBC是正三角形，BC=OB=8m，

正六边形ABCDEF的周长=6×8=48（m）.

过O作OGBC于G，

BG=[12]BC=[12]×8=4，

在RtBOG中，由勾股定理得

OG=[BO2-BG2]=[82-42]=[43]，

SOBC=[12]BC?OG=[12]×8×[43]=[163]，

S=6SOBC=6×[163]=[963]（m2）.

【点评】本题考查的是正六边形、等边三角形的性质及勾股定理，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，掌握辅助线的作法是解此题的关键.

五、勾股定理与切线

例5 （2016・哈尔滨）如图5，AB为O的直径，直线l与O相切于点C，ADl，垂足为D，AD交O于点E，连接OC、BE.若AE=6，OA=5，则线段DC的长为 .

【分析】OC交BE于F，如图5，由圆周角定理得到∠AEB=90°，加上ADl，则可判断BE∥CD，再利用切线的性质得OCCD，则OCBE，可判断四边形CDEF为矩形，所以CD=EF，接着利用勾股定理计算出BE，然后利用垂径定理得到EF的长，从而得到CD的长.

解：OC交BE于F，如图5，

AB为O的直径，

∠AEB=90°，

ADl，BE∥CD，

CD为切线，

OCCD，OCBE，

四边形CDEF为矩形，

CD=EF，

在RtABE中，BE=[102-62]=8，

第7篇：垂径定理范文

精读知识要点

1.圆的基本元素

（1）圆心和半径：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.

（2）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦.

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.

（4）圆心角和圆周角：顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

2.圆周角与圆心角

（1）圆周角与圆心角：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.性质的验证,运用了“分类”的思想.

（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是圆的直径. 一般地，若题目无直径，需要作出直径.

（3）圆周角与同弧或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同一圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

3.圆的对称性

（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，圆的旋转不变性使它具有其他中心对称图形所没有的性质，即圆心角、弧、弦之间的关系，概括为：在一个圆(同圆或等圆)中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

（2）圆也是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴.于是就有了垂直于弦的直径的性质：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

4.点和圆的位置关系

（1）如点在圆外，则有性质d＞r；若d＞r，则可判定出点在圆外.

（2）如点在圆上，则有性质d=r；若d=r，则可判定出点在圆上.

（3）如点在圆内，则有性质d＜r；若d＜r，则可判定出点在圆内.

其中，d是点到圆心的距离，r是圆的半径.

5.直线和圆的位置关系

（1）直线和圆的位置关系判定与性质：

①当直线l和O相离时，则有性质d>r；若d>r，则直线l和O相离.

②当直线l和O相切时，则有性质d=r；若d=r，则直线l和O相切.

③当直线l和O相交时，则有性质d＜r；若d＜r，则直线l和O相交.

其中l表示直线，d是O与直线l的距离，r是O的半径.

（2）判定切线的方法有3种:

①利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.

②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

（3）切线的5个性质:

①切线和圆只有一个公共点；

②切线到圆心的距离等于圆的半径；

③切线垂直于过切点的半径；

④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心.

（4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.

切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据.

（5）内接外切多边形: 经过多边形各顶点的圆叫做多边形的外接圆，外接圆的圆心叫做多边形的外心，这个多边形叫做这个圆的内接多边形；和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.

（6）三角形内心外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等.

6.圆和圆的位置关系

设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么:

（1）两圆外离，可得d＞R+r；

（2）两圆外切，可得d=R+r；

（3）两圆相交，可得R-r＜d＜R+r（R≥r），

（4）两圆内切，可得d=R-r（R＞r）；

（5）两圆内含，可得d＜R-r（R＞r）.

相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.

相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点.

7.关于弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算

已知O半径为R，则圆面积公式为：S=πR2；圆周长公式为：C=2πR；n°圆心角的弧长公式是：l=180/nπR.

在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义， n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.若设O半径为R, 圆心角为n°的扇形的面积公式是：S=180/nπR2或S=1/2 lr.

圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和.

第8篇：垂径定理范文

关键词：九年级学生；升学辅导；临界生；潜质发掘

关于“临界生”，本文主要是指智力正常，而由于各种原因造成了他们的数学成绩仅处于班级中等水平，预计在中考中成绩录取是处于普高和职高之间，但在数学学习上又很有潜力的那些学生。重视这部分“临界”学生的学习潜质的培养和挖掘，把他们作为重点研究和培养的对象，对于整个班级的教学、管理和升学成绩都至关重要。可以说，他们的数学成绩提高了，整个班级或年级的数学成绩就会有一个大的飞跃。因而，做好这一些数学“临界生”的辅导，是初三数学教学的一个重要环节，也是对数学教师的一个挑战。

一、帮助“临界生”重拾学习信心

美国著名心理学家威廉・詹姆斯说：“人性最高层次的需求就是渴望别人欣赏。”及时的表扬与评价对培养数学“临界生”的成功意识，增强他们成功的信心十分重要。如果教师能够及时满足他们的这一个心理期望，就能极大地激发他们成功的强烈欲望与自信，并且使他们心中的希望之灯越燃越亮，学习的动力也越来越足，对于提高自己的数学学习成绩的希望也就会越来越大。

当然，每个学生都不一样，对每个数学“临界生”要有针对性地开导鼓励，帮助他们调整好心态。教师可以从思想上关注他们，而不要过分注重分数。对于已经取得进步并已达到“临界线”的学生，要充分肯定其进步，将其成绩纵向、综合作比较，培养其备战中考的信心。对每一次考试，特别是比较重要的考试都要加以关注。学生进步了要及时给予鼓励，希望其戒骄戒躁，更上一层楼。退步了就更要与其沟通，帮助其分析原因，制定下阶段的辅导计划。

二、了解辅导对象，帮助其制订合理的学习计划

（一）研究“临界生”具体的学习情况，有针对性地分组辅导

要想使辅导收到较好的效果，就要在辅导之前，针对这些数学“临界生”的数学学习情况进行具体分析，找出“症结”所在。首先要了解和研究辅导对象的不同特点。比如，就学习成绩不突出来说就有多方面的原因，有的是学习态度问题，有的是学习方法问题，更多的是由于基础知识不牢。基础知识不牢也分多方面，有的是代数好几何差，有的是几何好函数差，各个学生的情况有相似也有不同。要根据这些学生平时的作业、考试情况，再根据“临界生”自己提供的数学薄弱环节，按模块进行大致的分组，最后以小组为单位进行辅导。

（二）帮助“临界生”制订科学的补习计划

数学“临界生”的数学成绩不上不下，说明他们在学习方面肯定存在着许多的问题。光在课堂上是不可能解决所有问题的，数学“临界生”存在的诸多问题还是需要靠教师在课外的辅导中帮助解决。

由于数学“临界生”的每个人的问题不同，所以在帮助其辅导时必须先制订一个合理的补习计划。计划包括该生的情况分析、存在问题归类及辅导方法等内容。辅导时，要坚持启发学生内在积极性的原则，不是单纯的解决某个具体问题，而是发掘“临界生”的学习潜质，教给学生解决问题的方法。

三、数学“临界生”学习潜质的发掘

对于数学“临界生”有效可行的辅导方式，以升学复习为例作简单的表述如下：

■

下面以“圆”为例仔细阐述笔者的辅导过程：

（一）作好辅前准备，使“临界生”的潜质发掘有的放矢

1.学习考纲，研究中考。考试说明是中考命题的依据，中考试题是对考试说明要求的具体化。只有研究考试说明，同时分析中考试题，才能加深对它的理解；才能体会自己在平时的教学情况与命题专家们在理解考试说明上的差距，并争取缩小这一差距；才能克服辅导的盲目性，增强做题的自觉性，加强命题的针对性，提高复习的有效性。

数学“临界生”最大的学习潜质是能根据教师的指导，对于“阶梯式”的题目有逐步分析解决的能力。也就是说，这些学生只要理解了知识的概念后就能解决一些由简到难的题目。因此，在特别辅导前要做好一些准备工作。例如，在辅导“垂径定理”前，笔者就根据《2012年浙江省普通中考考试说明》的要求，告诉学生“圆”中的垂径定理的考点是：垂径定理的应用及逆定理的应用，会添加与之相关的辅助线。

在教学过程中几乎每位教师都会提到解决垂径定理的关键是作垂径三角形的辅助线，这里所谓的垂径三角形指的是由半径、弦心距和弦的一半这三个量构成的一个直角三角形，再利用一次勾股定理即可解决。看似很简单，但由于题目的灵活性，学生在实际的解答过程中还是会不断的出现问题，其实，教师只要稍微对问题的关键作适当的点拨，他们就能解决问题。但如果教师没有重视“临界生”存在这种学习上的潜质，这样简短易懂的题目就会成为学生的失分点，其结果是非常可惜的。

2.教给学生备好“工具”方便运用。这里的工具，一是基础知识、概念、定理、公式、法则，二是数学思想方法。“临界生”基础知识掌握不扎实，有些该记忆的公式没有记住，该理解的概念没有理解，尤其是几何基本问题的求法，函数解析式的求解等，做题时不知该用哪个公式，还得去翻书。针对这种情况，在复习之初，就应先让学生把该掌握的掌握好，并整理出知识脉络。在此基础上，教师再对个别重点、难点予以强调和讲解。这样做的结果是，学生自我归纳了知识的精髓，教师的指点又弥补了其中的不足。

例如，在“圆”的复习中首先要求学生对圆的定义、垂径定理、圆心角定理、圆周角定理、弧长和扇形的面积公式、圆锥的侧面积和全面积公式等这些概念、公式都掌握好。在此基础上，再让他们做一些简单的公式应用训练，以强化公式的记忆和提高公式的熟练应用能力。

（二）有效辅导，使“临界生”的学习潜质得以有效发掘

1.依据考纲，精选练习，逐步提高解题能力。题海之战，无异于将人引入无舵舢板，很难达到预定的彼岸。在初中数学的分析阶段，提高数学的复习效果，更不能搞题海战术。特别是面对这些“临界生”，更应做到题少，题精。教师可先精选一些简单题给他们练，引导他们如何审题，如何通过关键信息寻找线索，从而找到解题的突破口；如何利用各种解题技巧、方法得出正确答案。对于教师来说，应该注意引导学生的表现欲，采用低起点，让他们先享受一下成功，然后不断深入，提高其解题的能力。

2.合作学习，挖掘潜力，努力激发解题兴趣。著名教育家陶行知先生提出“六大解放”思想，其中就有“解放学生的头脑，解放学生的嘴巴，解放学生的空间”，这就要求教师在初中数学的复习教学的过程中，尽量发挥学生的主观能动性。教师要采取有效的方法，在指导“临界生”的复习时要“能放”“会引”“多探”“善启”，让学生自己去选择，去挑战，去合作，完成自己的目标。学生在不断运用大脑的同时，各项能力也就有了增长。

小组合作解题笔者在初三的课堂教学中采用的较少，主要是时间太紧，但是小组合作对于“临界生”的课外辅导非常有效，有时也减轻了教师的负担，学生在讨论中更深层次地提高了对题目的认识。

3.教给方法，引发参与，有效发掘学习内驱。数学“临界生”的学习方法不够到位，是他们数学成绩上不去的其中原因之一，所以笔者在辅导“临界生”的数学解题时比较注重解题方法的指导。

（1）理考点，解题思路。首先根据章节知识所运用到的数学思想和方法，引导学生回顾它们的雏形，然后组织学生小组讨论，认真分析运用这些数学思想和方法的条件和背景，使学生真正从理性的高度去掌握数学思想方法。

（2）让学生来讲题。理性、规范、统一、严格的传统教学与学习环境严重挫伤了学生学习的积极性和创造性，不仅浪费了学习时间，还导致一大批学生对数学学习产生恐惧，从而讨厌学习数学。要改变这种状态，除了要改变课堂的教学模式外，更要改变课外辅导模式。重视学生解决问题的过程体验，感悟数学的教学方式，使学生真正体会自己不是一台解题机器，而是在享受数学之美。

数学课外辅导的讲解，并非是教师的专利。选择适当的问题，让学生自己登台去讲解，能起到更好的复习效果。关键是能否相信学生，并给他们这种机会。不少学生深有体会地说：“准备登台讲解的过程，其实就是自主学习的过程，它要求自己必须学透，学精，而且可以锻炼自己的表达能力。”给他们机会，就是给自己放松，而且事半功倍，何乐而不为。

4.全面关注，内外结合，创造条件加深理解。“临界生”不应只在辅导课上才是临界生，在日常的数学课中，教师更要注意他们作为“临界生”的身份。对“临界生”的辅导，只靠课余，显然是不够的。与其让他们课堂上听不懂，留下更多的问题课外解决，不如让他们在课堂上掌握更多的知识，解决更多的问题。因而，平时备每一节课时，教师应多花一点时间备一下“临界生”，上课时则就他们常出现的问题多加提问。课堂上多给“临界生”机会去补救不足或者加深对知识的理解，切切实实提高他们学习数学的兴趣和热情，能收到极佳的效果。

（三）及时巩固练习，使发掘的“临界生”潜质巩固提升

1.变式训练，增添新鲜，提升演练。在进行了有针对性的辅导后，教师应单独针对他们的特点，设置几个问题；问题不需要太多，有时可以用一个问题进行课后的反馈，使其牢固掌握好。同一个问题应采用多个不同的提问形式、多个不同的提问角度进行提问，给学生一种新鲜感，不至于同一个问题多次提问，使学生产生一种重复训练的疲劳感。

2.小结反思，自我提升，巩固发掘。学生将题目做完了，但对这道题的学习并不应就此简单地结束，还应让他们想想、说说为什么自己选了某个答案，讨论为什么这个答案是对的或不对的，自己当时的思路是什么，用了什么方法，这样思考问题的方向对不对，这种解题技巧是否可行，以后应注意什么，有什么需要改进，等等。

每当复习完一个专题之后，要求学生做到两点：一是充分利用章节后面“复习与小结”的内容，弄清本章本节的知识结构。二是避开课本上“复习与小结”的内容，自己列出详尽的复习提纲。其中包括系统知识、典型例题、能力要求、思想方法、解题技巧、学习体会等，使其感到自己的学习潜力是巨大的，巩固在教师指导下发掘到的学习成果。

每个人从一出生都注定有不平凡的一面，“临界生”也一样可以通过持之以恒的努力、决不放弃的精神，尽情绽放属于他们的美丽，而他们的成功对于学校和他们个人都有十分重要的意义。

参考文献：

[1]（前苏联）B.A.苏霍姆林斯基.给教师的建议[M].杜殿坤，编译.北京：教育科学出版社，1999.

第9篇：垂径定理范文

关键词：建立表象、组合定理、联想定理

教师在教途上并不是一帆风顺的，尤其在农村中学，有时由于教学上的需要，往往到了初三，也会出现面对陌生学生的情况。笔者今年就遇到了尴尬：几何证明题学生会证的，却不会书写或书写不完整；知道步骤的原因和结论，但讲不出定理的内容；更多的学生面对几何题在证明时凭感觉。面对着时间紧、任务重，怎么办呢？经过一番苦思冥想，针对学生基础差、底子薄，决定狠抓“定理教学”。通过一段时间的复习，学生普遍反映在证题和书写时有了“依靠”，也发现了定理的价值，基本树立了“用定理”的意识。

那么，学生在证题时到底是由哪些原因造成思维受阻，产生解题的困惑呢？我们把它归纳为以下几点：

⑴不理解定理是进行推理的依据。其实如果我们把一道完整的几何证明题的过程进行分解，发现它的骨干是由一个一个定理组成的。而学生书写的不完整、不严密，就因为缺乏对定理必要的理解，不会用符号语言表达，从而不能严谨推理，造成几何定理无法具体运用到习题中去。

⑵找不到运用定理所需的条件，或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形和定理之间的联系，思考时把定理和图形分割开来。对于定理或图形的变式不理解，图形稍作改变（或不是标准形），学生就难以思考。

⑶推理过程因果关系模糊不清。

针对以上的原因，我们在教学中采取了一些自救对策。

一、教学环节

对几何定理的教学，我们在集中讲授时分5个环节。第1、2 环节是理解定理的基本要求；第3 环节是基本推理模式，第4 环节是定理在推理过程中的呈现方式，提出了“模式＋定理”的书写方法；第5 环节是定理在解题分析时的导向作用，提出了“图形＋定理”的思考方法。程序图设计如下：

基本要求重新建立表象推理模式组合定理联想定理

二、操作分析和说明

⒈ 定理的基本要求

我们认为，能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求，并重新整理了初中阶段的定理（见附页，此只列出与本文有关的定理），集中展示给学生。

例如定理43：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。

如：“直角三角形”和“高线”、“相似”。

二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。

如：

三写：就是在分清题设和结论的基础上，能用符号语言表达，允许采用等同条件。

如：abc是rt，cdab于d（条件也可写成：∠acb＝90°,∠cdb＝90°等) acd∽bcd∽abc 。

学生在书写时果然出现了一些问题：

①不理解每个定理的条件和结论。学生在书写时往往漏掉条件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中线等）；对条件太简单的不会写（如定理3）；或者把条件当成结论（如定理12把三线都当成结论）。

②还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理，而有些学生把定理重新证明一遍（如定理5、6）；或者在一个定理中出现 ××，又××，××的错误。

③更多的是没有抓住本质。具体表现在把非本质的条件当成本质条件（如定理7出现 ∠1 和∠2是同位角，ab∥cd）；条件重复（如定理49，结论∠apo＝∠bpo已经包括过圆心o，学生在条件中还加以说明）；图形过于特殊（如把定理1的图画成射影定理的基本图形）；文字过多（一些定理译不出符号语言，用文字代替）等。

⒉ 重新建立表象

从具体到抽象，由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象，具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形，这给我们在教学中提供了一定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象。我们认为，这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。

教给学生想形象的基本方法后，我们接下去的步骤是用实例引导学生，下面是一段经整理后的课堂教学主要内容：

⑴ 问：听了老师的介绍后，你怎样回忆垂径定理的形象？

答：垂径定理我在想的时候，脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的，以后看到弧相等或其他两个条件之一，脑子里就会浮现出垂径定理。

目的：建立单个定理的表象，要求能想到非标准图形。

继续问：看到弧相等，你们只想到了垂径定理，其他的定理就没有想起来吗？

答：想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等……

甚至有学生想到了两条平行弦……

目的：通过表象，进行联想，使学生理解定理间的联系。

⑵ 问：从定理21开始，你能找出和它有联系的定理吗？

答：有定理22（擦短使平行直线变成线段），定理25（特殊化成菱形），定理27……

目的：一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化，加深定理间的联系。

⑶下面的步骤，我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中，通过比较、分析、判断，进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看，他们主要是在寻找基本图形，由于定理之间有一定的联系，在一个基本图形中往往存在着另一个残缺的基本图形，所以学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段，也有通过特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。

下面摘录的是学生自主思考后，得到的富有创意性的结论。

①定理16（延长中线成矩形）定理24（作矩形的外接圆）定理34。

②定理51（一线过圆心，且两线垂直）定理36（一线平移成切线）定理47、48（绕切点旋转）定理50。

③如下图，把 ef 向下平移（或绕a点旋转），使定理37和50联系起来（有同结论 ∠α＝∠d）：

⒊ 推理模式

从学生各方面的反馈情况看，多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此，我们在二步推理的基础上，经过归纳整理，总结了三种基本推理模式。

具体教学分三个步骤实施：

⑴精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种基本推理模式。

① 条件结论新结论（结论推新结论式）

② 新结论（多个结论推新结论式）

③ 新结论（结论和条件推新结论式）

⑵通过已详细书写证明过程的题目让学生识别不同的推理模式。

⑶通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。

这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。但教学表明学生仍然出现不必要的跳步，这是什么原因呢？我们把它归结为对推理的因果关系不明确、定理是推理的依据和单位不明白。因而我们根据需要，又设计了以下一个环节。

⒋ 组合定理

基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。

下面通过一例来说明这一步骤的实施。

例1：已知如图，四边形abcd外接o的半径为5，对角线 ac 与 bd 相交于e，且 ab ＝ ae·ac，bd＝ 8。求bad的面积。（2001年嘉兴市质量评估卷六）

证明：连结ob，连结oa交bd于f。

学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理：

比例基本性质 s/as/ 证相似相似三角形性质垂径定理勾股定理三角形面积公式

由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。此时，可顺势布置以下的任务：给出勾股定理，你能再结合一个或多个定理，构造图形，并编出证明题或计算题吗？

实践表明：经过“模式＋定理”书写方法的熏陶后，学生基本具备了完整书写的意识。

⒌ 联想定理

分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想（这也是教师分析几何证明题、学生证题的基本方法之一），但对于识图或想象力较差的学生来说，就比较困难，他们往往存有疑问：到底怎样才能分解出基本图形呢？在复杂的图形中怎样找到所需要的基本图形呢？因而我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。

例：如图，o1和o2相交于b、c两点，ab是o1 的直径，ab、ac的延长线分别交o2于d、e，过b作o1的切线交ae于f。求证：bf∥de。

讨论此题时，启发学生由题设中的“ab是o的直径”联想定理“直径所对的圆周角是90°”，因而连结bc；“过b作o的切线交ae于f”联想定理“切线的性质”，得出∠abf＝90°。从而构造出基本图形②③。

由命题的结论“bf∥de”联想起“同位角相等，两直线平行”定理，构造出基本图形④。将上述基本图形②③④ 的性质结合在一起，学生就易于思考了。

这一环节我们的引导语有：“由已知中的哪一个条件，你能联想起什么定理？”、“条件组合后能构成哪个定理？”、“有无对应的基本图形？”、“能否构造出基本图形？”等。目的是让学生树立起“图形＋定理”的思考方法，把以前的无意识思考变成有目的、有意识的思考。

三、几点认识

复习的效果最终要体现在学生身上，只有通过学生的自身实践和领悟才是最佳复习途径，因此在复习时，我们始终坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中，充分调动学生学习的主动性和积极性：提出问题让学生想，设计问题让学生做，方法和规律让学生体会，创造性的解答共同完善。

“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”（弗赖登塔尔）。我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、领悟是很好的方法，所以我们在教学时总留出足够的时间来让学生进行反思，使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。

集中讲授能使学生对几何定理的应用有一定的认识，但如果不加以巩固，也会造成遗忘。因而我们也坚持了渗透性原则，在平时的解题分析中时常有意识地引导、反复渗透。

参考资料：

① 高三数学第二轮复习的理论和实践孟祥东等《中学数学教与学》2001、3

② 全国初中数学教育第十届年会论文集 p380 、p470

附录：初中数学几何定理集锦（摘录）

1。同角（或等角）的余角相等。

3。对顶角相等。

5。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

6。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。

7。同位角相等，两直线平行。

12。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。

16。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

19。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。

21。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。

22。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

24。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。

25。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

27。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

34。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。

36。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

43。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

46。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。

37．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

47。切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

48。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。 ②圆的切线垂直于经过切点的半径。 ③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

49。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。