高斯消元法的基本原理精选(九篇)

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第1篇：高斯消元法的基本原理范文

Abstract： In the field of spectroscopy, electrochemical analysis and chromatography, the signal overlap is a common phenomenon, and how to conduct the decomposition of overlapping signals in a limited hardware environment by mathematical methods becomes a more practical meaningful task. The related research status at home and abroad was introduced from four types of common mathematical methods in this paper.

关键词： 重叠峰；分解；数学方法

Key words： overlapping peaks；decomposition；mathematical method

中图分类号：O17文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）04-0197-01

1重叠峰分解的实际意义

在光谱研究领域，重叠的光谱信号是比较常见的。例如，①在紫外-可见光谱分析中：在苯和甲苯的混合体系及苯、甲苯和二甲苯等混合体系中，各组分紫外光谱严重重叠；复合维生素B片剂的吸收光谱中，维生素B1，B2，B6和烟酰胺4组分严重重叠；二甲酚橙（XO）-CTMAB-Cu、Cd、Ni显色体系各组分吸收光谱相互重叠。铈组稀土元素的性质极其相似，因此其5种元素的吸收光谱严重重叠。②在荧光光谱分析中：利用偏振X射线荧光技术分析铁磁性永磁材料粉末时，Si和Sr谱线完全重叠；医院营养输液常用的复合氨基酸注射液中包含色氨酸和酪氨酸，而此二组分的荧光光谱严重重叠等等。此外，重叠现象在化学领域的电化学分析、色谱分析中也同样存在。重叠现象给进一步的定性和定量分析都带来了困难。对于这样的问题，通过硬件手段如改进仪器来提高信号的分辨率通常受到资金或工作条件等现实问题的制约。因此，往往通过数学手段把仪器未能完全分离的多个谱峰给以分解，得到重叠峰信号中的各子峰或组分的相关信息（如峰形状、峰位置、半峰宽和峰高度）的估计值。而随着计算机的发展，计算技术的提高，与计算机相结合的信息理论、多元统计分析法、数学最优化等数学方法被利用于重叠峰的分解，并逐渐成为了现代光谱分析的热点。

2国内外研究现状

对于采用各种计算方法分解光谱重叠峰的研究已有不少报道，其中分光光度法、荧光光谱、ICP-AES等重叠峰的解析已发展比较成熟。目前常见的数学方法有四类：

2.1 双波长、三波长法、导数光谱法其中导数光谱法是分辨重叠峰的一种常用的较为成熟的方法。1953年Hammond等人首先提出。其基本原理是对原吸收曲线进行一阶、二阶至四阶求导，然后对得到的各阶导数光谱进行分析。从而来确定重叠峰的个数、重叠峰位及改善谱线分辨率等。关于导数法定研究及报道有很多，如王超群利用导数法探讨了其在X射线衍射分析中的应用；Windig讨论了二阶导数光谱在自模式分析技术中的应用，以及相应的平滑方法。但导数法存在一个显著缺点：随着求导次数的增加，噪声也随之增加，在高阶导数中，信号可能被噪声完全淹没，因而，通常，每求一阶导数之后都需要滤除噪声来提高信噪比。

2.2 最优化方法最小二乘法作为一种判断拟合效果优劣的评价标准而经常被使用，从而将问题转化为寻优问题。而解决此最优化问题的方法有很多相关研究和报道：如：何锡文等周兴风等分别讨论了线性规划方法的使用；孙桂玲等使用Newton-Raphson逐步逼近法和最速下降法对高斯峰进行分离；此外还有Cauchy法、直接搜索法、单纯形法、DFP法及共轭梯度法等。

最小二乘法的缺点是当各组分光谱严重重叠时（数学上叫共线性），如正规矩阵的秩接近零，此时的方程组近乎病态方程组，实验中的微小误差或是计算中间过程数据位数的取舍都会引起计算结果的大幅波动，此时最小二乘法不适用。

2.3 多元统计法由于传统最小二乘法的缺点，出现了许多改进方法。如：Wold在1966年提出的偏最小二乘法；王镇浦等讨论了CPA矩阵法；因子分析法更是被广泛研究，白洁玲通过迭代目标转换因子分析应用于4种混合色素溶液吸附伏安法波谱的解析来对其进行同时测定；进化因子分析与消秩方法被用于重叠光谱分析。这些方法各自在不同程度上克服了最小二乘法的缺点。

2.4 利用信息处理的理论1979年，Poulisse首次将卡尔曼滤波原理用于多组分体系分光光度分析中，使多组分体系的含量测定归结为对重叠光谱曲线进行快速滤波的过程。这个思想不仅带来了一种新的重叠峰分解的方法同时还启发了分析工作者，使人们认识到，谱数据处理与通讯技术中的信息处理过程很相似，完全可以借鉴其数学工具。上世纪90年代，能解决非线形拟合的人工神经网络技术也被广泛应用求解多组分浓度，不足之处是需要大量样本学习，很复杂且耗时。遗传算法作为一种全局的寻优方法，也逐渐被应用于谱图分析及重叠峰分解等方向的研究。使用数学方法对重叠峰分解的优点在于它对硬件要求不高，只需在一定的实验条件下，获取足够的实验数据，借助计算机强大的运算能力，运用数学方法进行计算，能够获取准确度较高的对重叠峰解析的结果，基本上可以满足一般检测和分析的要求，因此其发展前景相当广阔，见诸于专业刊物的研究。报告显示，使用软件后处理的研究和应用正广泛开展。

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