二次根式有理化的方法精选(九篇)

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第1篇：二次根式有理化的方法范文

第21章 二次根式

1．二次根式：一般地，式子 叫做二次根式.

注意：（1）若 这个条件不成立，则 不是二次根式；

（2） 是一个重要的非负数，即； ≥0.

2．重要公式：（1） ,（2） ；

3．积的算术平方根：

积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；

4．二次根式的乘法法则： .

5．二次根式比较大小的方法：

（1）利用近似值比大小；

（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；

（3）分别平方，然后比大小.

6．商的算术平方根： ，

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

7．二次根式的除法法则：

（1） ；（2） ；

（3）分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.

8．最简二次根式：

（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；

（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；

（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；

（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.

10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.

12．二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.

第22章 一元二次方程

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；

4．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x）：

(1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.

（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.

第23章 旋转

1、概念：

把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．

旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角

2、旋转的性质：

（1） 旋转前后的两个图形是全等形；

（2） 两个对应点到旋转中心的距离相等

（3） 两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角

3、中心对称：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．

这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

4、中心对称的性质：

（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．

（2）关于中心对称的两个图形是全等图形．

5、中心对称图形：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

6、坐标系中的中心对称

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，

即点P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）．

第24章 圆

1、（要求深刻理解、熟练运用）

1.垂径定理及推论:

如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，

即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.

几何表达式举例：

CD过圆心

CDAB

3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）

“等角对等弦”； “等弦对等角”；

“等角对等弧”； “等弧对等角”；

“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；

“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.

几何表达式举例：

(1) ∠AOB=∠COD

AB = CD

(2) AB = CD

∠AOB=∠COD

（3）……………

4．圆周角定理及推论:

（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；

（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)

（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；

（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)

（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)

（1） （2）（3） （4）

几何表达式举例：

（1） ∠ACB= ∠AOB

……………

（2） AB是直径

∠ACB=90°

（3） ∠ACB=90°

AB是直径

（4） CD=AD=BD

ΔABC是RtΔ

5．圆内接四边形性质定理:

圆内接四边形的对角互补，

并且任何一个外角都等于它的内对角.

几何表达式举例：

ABCD是圆内接四边形

∠CDE =∠ABC

∠C+∠A =180°

6．切线的判定与性质定理:

如图：有三个元素，“知二可推一”；

需记忆其中四个定理.

（1）经过半径的外端并且垂直于这条

半径的直线是圆的切线；

（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；

几何表达式举例：

（1） OC是半径

OCAB

AB是切线

（2） OC是半径

AB是切线

OCAB

9．相交弦定理及其推论:

（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；

（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.

（1） （2）

几何表达式举例：

（1） PA·PB=PC·PD

………

（2） AB是直径

PCAB

PC2=PA·PB

11．关于两圆的性质定理:

（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；

（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.

（1） （2）

几何表达式举例：

（1） O1，O2是圆心

O1O2垂直平分AB

（2） 1 、2相切

O1 、A、O2三点一线

12．正多边形的有关计算:

（1）中心角an ，半径RN ，边心距rn ，

边长an ，内角bn ，边数n；

（2）有关计算在RtΔAOC中进行.

公式举例：

(1) an = ；

(2)

二 定理：

1．不在一直线上的三个点确定一个圆.

2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.

三 公式：

1.有关的计算：

（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L= ；（3）圆的面积S=πR2.

（4）扇形面积S扇形 = ；

（5）弓形面积S弓形 =扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.（如图）

2.圆柱与圆锥的侧面展开图：

（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高)

（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 = =πrR. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）

四 常识：

1． 圆是轴对称和中心对称图形.

2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.

3． 三角形的外心 Û 两边中垂线的交点 Û 三角形的外接圆的圆心；

三角形的内心 Û 两内角平分线的交点 Û 三角形的内切圆的圆心.

4． 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）

直线与圆相交 Û d＜r ； 直线与圆相切 Û d=r ； 直线与圆相离 Û d＞r.

5． 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）

两圆外离 Û d＞R+r； 两圆外切 Û d=R+r； 两圆相交 Û R-r＜d＜R+r；

两圆内切 Û d=R-r； 两圆内含 Û d＜R-r.

6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.

第25章 概率

1、 必然事件、不可能事件、随机事件的区别

2、概率

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（probability）, 记作P（A）= p.

注意：（1）概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.

（2）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.

3、求概率的方法

第2篇：二次根式有理化的方法范文

一、现有初高中数学知识存在以下“脱节”

1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用.

2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等.

3.二次根式中对分子、分母有理化初中只简单要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧.

4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容.配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大与最小值、研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法.

5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授.

6.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视为重难点.方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题.

7.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下与左、右平移，两个函数关于原点与轴、直线的对称问题必须掌握.

8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理、射影定理、相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及.

第3篇：二次根式有理化的方法范文

二次根式的教学课件

一、教学内容与学情分析

1.本课在教材、新课标中的地位与作用

本课内容是二次根式章节的复习课，是学生在学完新人教版八年级教材下册第十六章后的一个总结复习。二次根式是初中数学知识体系与结构中一个不可或缺的部分，是中考直接考查的一个重点内容。本课复习内容的教学将让学习更为系统地认识二次根式，并在学习新知的基础上得到一个升华。同时也是为了学生能够在下一张勾股定理以及九年级的解直角三角形学习中打下一些有效的基础。

关于二次根式在《数学课程标准》中提出要求：

1.了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则;

2.会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化);

在本章内容新授过程中，教师更多的关注了学生对概念及运算法则的讲解，对方法、技巧、能力等各方面并没有对学生作出更高的要求，同时学生本身在学习新课知识时，也是一种模糊的感觉。对课程标准提出的第2点：会用它们进行有关实数的简单四则运算并不能很有效的完成。而本节复习课的教学将给学生一个巩固提高的机会，让大多数学生能加深对二次根式的运算的理解，同时更是为学生掌握更多的学习方法、学习技巧，提高学生的能力提供机会。彻底地贯彻课程标准所提出的要求，完成九年级学生应完成的任务。

2.本课知识点与前后知识点的联系

本课内容是综合性复习，所讲知识点学生基本都熟悉，只不过是没有真正的理解透彻，甚至有些学生可能都已经有部分渐渐淡忘。本节内容的教学其实从本质上讲就是为学生理清知识点，建立一个完整的知识体系与结构。把已学知识系统、全面地呈现在学生的面前，同时也是为了让学生能够对二次根式的理解与运算真正落实到位作出努力。

其实，本课内容的教学不单单是为了复习巩固，更重要的是让学生对本章的知识在初中数学教材中明确地位与作用，让学生感受本章知识的重要性，为即将学习后面的知识做好铺垫工作。

3.学生已有的知识基础

由于新课内容结束离综合性复习时间较长，可以说大多数学生对本章的知识并不是非常熟悉，但学生已具备的知识基础从理论上讲应该是完全具备的，只不过需要一个回顾的过程。同时，随着知识面的拓广以及一些章节中对二次根式的应用，逐步让学生对二次根式这一章的内容也有了更多的认识。在复习时，学生应该说还是很易于接受的。

4.学生学习新知的障碍

在学生已有的知识基础上，本节课的教学其实更主要的是经历回顾、理解、巩固的过程。本节教学内容的新知并不是真正的“新的知识点、新的知识技能、新的知识能力”，而是一种对已学知识的一种重新加工处理的能力，从已学的 知识上提炼出更精粹的东西来。这也正是学生在这方面的缺憾，需要教师的有效引导与分析。这更是学生的主要障碍。

二、目标的设定及重难点

1.目标的准确与完整

知识目标：

(1)能够有效回顾本章的重要基础知识;

(2)二次根式的计算与化简;

情感目标：

(1)对章节内容的总体把握，全面分析;

(2)体会对问题的解决办法的优化处理;

能力目标：

(1)提高学生善于处理问题的能力;

(2)培养学生构建知识体系，形成知识系统的能力;

2.重点、难点确立及依据

二次根式的计算与化简是新授时的重点，更也是复习课上的重点。前面的公式、运算法则等都是为了这些计算与化简服务的，学生真正体现所学的基础知识应就是在解决这些问题上。故此，本课教学内容的重点设定为：

二次根式的计算与化简;

伴随着重点内容的出现，学生的问题也得以体现。要熟练地解决二次根式的计算与化简问题，需要学生真正理解所要求的基础知识，并灵活的运用基础知识解决问题。继而重新回归到重点内容上。然而这些都是学生的困难之处。也就是说本课的重点内容就是难点内容。

3.重、难点突破方法

本课内容的重点也就是难点，突破的方法都在于如何有效地理解二次根式的模型，以及如何运用基础的知识去解决较为复杂的问题。而这些都在基础的回顾上让学生得以重新的认识，所以，突破的方法之一就来源于学生对已学知识的掌握程度，另外，通过对比以前所学的知识可以让学生进行方法的探索以及能力的培养，这正是重难点突破的方法之二。

三、教法设计

自主复习基础知识(整理知识点)、复习测评合作探究达标训练堂清检测

四.学法设计

1.学生学习本课知识应采取的方法

由于本课是复习课，更多的情况之下学生参与课堂的比例很大。所以，在课堂上，学生学生应积极参与课堂，通过对比新授与复习之间的不同，在课堂上形成新的认识，教师更是注重对学生系统分析问题的能力的培养。

2.培养学生能力采用的方法

复习课是对学生所学知识的一个升华的阶段，在本节课上应着重关注前后学习方法，问题的思考方式的对比，让学生主动的讲，主动的暴露更多的问题才能让学生获得真正的技能，真正的提高学生的能力。

3.学生主题作用体现的方法与手段

合作交流(师生交流、生生交流)是解决本课内容所采取的一个必要环节，敢于质疑更是解决本课内容的关键所在。在整个教学中学生的主体地位得到进一步的确立，教师只是通过问题的形式以及组织课堂活动的形式将学生的思维联系在一起，而学生在课堂上无疑是一个真正的主宰者。

五、教学过程

①基础回顾与测评：将本章的基础知识都以一些常见的基础问题的形式展现，便于学生理解更便于学生对二次根式的模型的真正理解;

②整理知识点：一个问题整理一个知识点，让学生能对号入座，便于掌握与分析;

③合作探究：对本章中典型的计算与化简进行专门的探究讲解，突出重点，突破难点;

④达标训练：对所复习的知识点进行巩固训练，已达到进一步掌握;

⑤堂清检测：针对不同的学生，不同的问题进行不同的检测，以确定其对本章所学知识的掌握情况，达到实现面向全体教学的目标;

五、作业设计

1.作业设计目标

根据不同学生掌握新知的程度不同，对作业的完成也有不同的要求。为此，对于A类学生应能运用新知解决相关程度的问题(巩固提高第1、2、3、4、5题);而B类学生要求解决相关的基础性问题(巩固提高第1、2题)，对与新知相关程度的问题应积极尝试;

第4篇：二次根式有理化的方法范文

高中数学知识具有很强的抽象性，学生在学习过程中通常会觉得有很大的困难，往往会感到在学习中解决了一个问题，另一个新问题又会接踵而至，学生付出了大量的学习时间，但是收效甚微，效果不理想.而造成这种状况的原因除了因为知识本身存在一定的难度，但更重要的是在教学过程中，没有给学生建立起知识体系，其知识迁移能力不足.因此，教师在日常的教学中要通过类比教学使学生在原有知识的基础上，学习新知识，完善自己的知识体系，从而提高学生的学习迁移能力，提高教学质量水平和学习效率.

类比思维即通过探索事物之间的内在联系，找出事物间相同的特点来并将其进行对比的一种思维方法.其核心内容是将两个或两个以上的事物进行比较，找出其间的相似性，根据相似性推理出其他方面的类似性.类比思维的含义包括两个方面：一是联想，就是由新的知识联想到旧的知识;二是类比，也就是在新知识和旧知识之间找到它们的相似点或不同点.类比思维在数学教学中的运用，不仅能够促进学生多向性思维的建立，更能够有效地激发学生的学习兴趣，提高其学习的自主积极性.因此，笔者就类比思维在高中数学教学中及解题中的应用进行分析和探究.

一、类比思维应用于高中数学教学与解题中的作用

1.有利于学生自主学习数学新知识

类比推理作为科学的研究方法，它不仅有利于学生掌握学习的知识，还为学生学习新知识提供了新的思路和方法，学生在掌握一种知识的基础上能够去探索新的知识.例如，在学习抛物线知识的时候，教师可以根据掌握的抛物线知识运用类比推理的方法去探索、教授双曲线和椭圆的知识，因为它们之间的知识点和解题思路是基本相通的.因此，运用类比推理的教学方法，可以让学生自主学习和掌握新旧知识.

2.有利于学生探求新结论

类比推理在自主学习新知识和探求新结论方面，都给学生提供了一种新的思路方法.比如，探索空间问题的某些结论时，教师就可以利用在平面中得到的一些结论，然后利用类比推理的办法得出空间问题的新结论.像是把平面中的知识类比到空间知识中，将二维思维转换为立体思维，再去想象空间中的点、线、面、角的关系，依据平面中的相关知识得出结论，从而推出空间结论.通过这种类比推理办法能够发散学生思维，培养学生的数学思维素养.

3.有利于帮助学生树立解题新思路

类比推理在高中数学中的应用意义不仅仅是在于教给学生一种新的解题方法，更是在于为了让学生掌握这种新的思路解题.使学生即使碰到其他的难题，只要掌握了这种思路和观念就能通过类比找到解决办法.类比推理的具体方式有以下几种：一是结构类比，这种方式主要是在类比过程中发现两者之间在结构上的相似性，从而找到解决方法;二是结论类比，主要是在类比过程中将已解决或是易解决的问题的结论和难以解决的问题进行类比，从而解决问题;三是降维类比，其主要应用在空间结构中，当遇到维度较多的问题时把它们转化为平面图形或者是维度较小的图形就可以很轻松得出结论.

二、高中数学教学与解题过程中类比思维的具体运用

1.加强了新旧知识的对比

高中数学教学和解题中，类比思维的运用可以加强学生的新旧知识间的沟通，不断丰富、深化教学内容，并且激发出学生的创造力和联想力，培养学生的创造性思维，有利于学生巩固所学知识，且在学习的过程中形成自己新的知识结构网.比如教师在对球的概念进行教学时，可以引入圆的概念与之进行类比教学，从而引导学生探究其中的内在联系，使学生有效地理解并掌握球的概念.

2.促进知识的条理化

随着高中数学知识的不断深入化和系统化，学生需要将自己掌握的知识进行系统化整合，形成知识网络体系，使得学生的知识和能力都能够得到质的飞跃，因此，要通过类比教学法的运用，建立知识网络，使学生知识条理化.如在学习向量知识的时候 我们需要注意共线向量、共面向量和空间向量这三个知识点之间的联系和异同.教师在教学过程中可以采取循序渐进的方法，先让学生理解掌握共线向量的知识点，再通过类比推理的办法让学生学习和掌握平面向量，最终达到掌握空间向量知识的目的.

3.深化学生的解题思想

类比思维在高中数学解题教学中可以提高学生的探究能力和创新能力，并且能够深化学生对数学解题思路的开发.比如在讲解一元二次不等式的解法时，为强化学生的解题能力，教师可以在课下准备收集不同类型的习题，在学生掌握了解一元二次不等式的定义及一般解法后，再让学生进行拓展性训练，通过类比学习的解题练习，从而发现解题的具体规律.

4.发散学生思维，提高创新能力

在高中数学教学中，可以通过类比，使学生掌握正确的分析问题、解决问题的方法，加强自我学习能力，提高学生的发散性思维，开发培养学生的创新能力.比如，在复数乘法的教学中，教师引导学生类比整式乘法，使学生自我探索并获得创造性的认识，在进行复数除法时，学生自己就会类比根式除法，在做根式除法时，学生已经掌握了分子分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母有理化，所以在复数除法时，学生自然会通过类比思考实现分母实数化.

第5篇：二次根式有理化的方法范文

“探究性教学”的课堂教学，就是要在高中教育教学中创造一种符合学生认识规律的、轻松和谐的研究气氛与环境，让学生通过自己的活动与探究去“发现”知识，通过群体间的交流与反思去领悟数学思想方法，使教师在活动方案的设计和教学过程中得到教育体验。国内外众多的教育理论都强调要实现学生潜力的最大开发，提出以学生为中心，发展为本，注重激发师生的创造性，在日常教学中总结了探究性教学的新课堂教学模式，包括活动、探究、交流、反思四个环节。

上述的“活动、探究、交流、反思”只是教学模式的主线，操作中并非四个环节逐个进行，就算一节课完成了。而是可以经历多次循环上升的过程，而且这四个环节在顺序上也并非是一成不变的，操作中应注意其精神实质而非固定的程序。

我们认为，以“活动、探究、交流、反思”为主线的教学充分体现了“在实践中探索，在探索中反思，在反思中创造”的教学理念。那么，如何在教学中引导学生进行探究式学习呢？

一、以问题作为教学的出发点

教师在设计教学方案时，不应只直接以感知教材为出发点，而应把教材上例题、习题和公式、定理等知识点改编成需要学生探究的问题，唤起学生解决问题的欲望，激发学生探究兴趣，进而培养学生的问题意识和解决问题的能力。

如讲“同底数幂”的乘法这节课时，若从感知教材出发，则通常是像教材那样，先给出一些具体的材料，然后给出以字母为底数的例子，最后归纳出同底数幂的乘法法则，这样的归纳实质上就法则论法则，缺乏启发性，难以引起学生的探究兴趣，而且法则背后的丰富思想内涵没有充分体现。如果先提出探究问题，即让学生思考如何计算，学生中易出现两种答案。谁是谁非？学生的探究欲望被唤醒，纷纷计算、猜测、讨论，从不同角度寻求解决办法。这样，由计算这一问题，激发了学生已有认知结构中的有关观点（多项式乘法、有理数乘法、有理数乘方等）与当前的课题（单项式乘法）之间的冲突，不但吊起了学生的“胃口”，还为学生的探究性活动指明了方向，并与以后的单项式乘法联系在一起，构成了整节教材的探究脉络。

二、把教师教的过程设计成学生对数学问题进行探究、解决的过程

教师应向学生提供许多现实的、有趣的、富有挑战性的数学学习内容，这些内容取材于学生的生活经验，符合学

生的身心发展规律，成为学生主动从事观察、猜测、实验、合作交流等数学活动的主要素材。这些内容的呈现方式丰富多彩，构成了“问题情境――建立模型――解释、运用与拓展”的基本教学模式。因此，教师要创造性地使用教材，设计适合学生发展的教学过程，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流。这就意味着教学要体现探究式学习的教学理念，改变传统教学中“教师讲，学生听”，教师先操作示范，学生再模仿练习的做法。例如，教学“分母有理化”时，教师先创设问题情境，让学生计算近似值。有的学生通过查表得出答案，这时学生已感到了多位数除数带来的麻烦。教师乘机启发学生能否避免这种麻烦？学生的探究欲望被这个开放性问题唤醒，纷纷进行尝试。此时教师再引导学生观察、操作、交流和概括。学生讨论后知道，要避免麻烦的计算，应设法使分母不带根号，如何去根号呢？学生有的想到平方，但此时分式的值变了；有的想到利用分式的性质，把分子和分母都乘以相同的根式，则可使分配中的根号转移到分子上；有的则先优化分母，再计算，也作了类似的讨论。这时教师要进一步强化学生积极的学习体验，引导学生自我构建，即找规律，找模式，形成表达式，使学生享受成功的喜悦。在获得了简便计算后，教师要启发学生找这类问题的共性，即这时引入分母有理化和有理化因式这两个概念就水到渠成了。进一步启发则可让学生再探究如何计算。这样通过不断的探究，学生逐步建立了分母有理化的模型，思维得到了深化。最后，教师还要让学生交流总结，在小组或全班展示自己的思维、过程和成果，增进合作意识，引导学生反思自己的数学学习过程的情况和成长的历程，使学生认识自我，建立信心。

三、从不同材料的实际出发构建探究性学习的基本教学模式

学生的学习是接受与建构并存的，在实践中，我们感到学生学习既不是单纯累积的，也不是纯粹建构的，而是接受与建构并存的。它是一个在教师启发引导下的主动建构的过程。知识的真正理解与有效应用不仅需要学生观念上的认同和理解，而且需要经过一定强度的训练，使之达到系统化、结构化、策略化和自动化的目的。

第6篇：二次根式有理化的方法范文

2012年河南中考数学试题趋势展望

一、命题的指导思想将进一步体现新课标精神。《全日制义务教育数学课程标准》和《河南中考检测与说明》是河南中考命题的基本依据，2012年中考中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”试题所占比例会和2011年接近,可能适当增加常规作图与证明方面的试题。需要注意的是，随着课标修订稿的出笼，一些地区已经对中考说明进行了一定的修改，这对我们2012年考试内容影响不大。2012年的指导思想仍然是“狠抓基础，注重过程，渗透思想，突出能力，强调应用，有所创新”。

二、命制中考试卷还将体现三个“有利于”。这三个“有利于”分别为：有利于数学教学，全面落实《全日制义务教育数学课程标准》所设立的课程目标；有利于改变学生的数学学习方式，提高学习效率；有利于高中阶段学校综合评价学生数学学习状况。

三、试卷的总体结构保持相对稳定，题型、题量不会有大的变化。试卷结构仍以选择题、填空题、解答题为主。解答题中的中档题的数量不会减少，开放题、探究题、操作题、信息题、实际应用题以及分类讨论题等仍是命题的热点。

四、解答题的立意设计注重考查能力。今年将最大限度地压缩以纯知识考查为主的试题，让能力立意的试题主导试卷的走向。试卷的难度呈阶梯状分布，有难度的试题如目前的高考压轴题设置，将大题分解为一个一个台阶式小题供学生作答，不会出现偏题、怪题。

五、具体试题展望。依据多年对数学中考试卷的分析，我的思考如下：实数中的相反数、倒数及科学记数法考的几率仍然很大，至少有一道大题分别是关于统计、概率方面的。有关整式、分式的运算不超过三步；不单独考查升幂、降幂、添括号。可能考查“最简二次根式”的概念，不会出专门考查分母有理化的试题，但在进行二次根式的运算（除式中只含一个二次根式）时，要求学生将结果化简。一元二次方程中的二次项系数不出现字母；解可化为一元一次方程的分式方程中的分式不超过两个。以往，对“实数的运算”“代数式（包括‘分式’与‘二次根式’）的运算”和“解方程”是交替考查的。对“因式分解”还没有进行考查，而《全日制义务教育数学课程标准》要求“会用提公因式法和公式法进行简单的因式分解”，今年是否在填空题中出现“因式分解”呢？“二元一次方程组”和“一元一次不等式”曾经是解决实际问题的利器，今年是否出现依靠“分式方程”解决的应用题呢？这个问题值得思考。对“线段、角、平行线”的考查要融入其他问题中，对“三角形”和“特殊四边形”的考查占有重要的地位，今年可能进行对“等边三角形”的考查，减少对“梯形”的考查。对于“三角函数”的应用，学生还需要练习和体会。对于“圆”，除了“圆周角与圆心角之间的关系”和“计算弧长及扇形的面积”，其他考查并不多。近年来多对“三视图”进行考查，2012年仍不大会考查“视点、视角、盲区”，但有可能增加对“展开与折叠”的考查。仍然会考查“应用统计知识与技能，解决简单的实际问题”，且会加大函数模型――“反比例函数”“一次函数”“二次函数”及“三角函数”的考查力度，因为这些都将是高中阶段继续学习的核心知识点。

2012年中考数学精细化备考建议

一、贯彻课标落实“四基”（基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验），理清系统，关注过程。近几年河南中考数学试卷都是起点低，基础性强，知识覆盖面广。学生“四基”的薄弱直接导致概念不清，基本运算出错以及解题方法失误。在备考中，教师一定要求学生立足课本，回到基础之中，加强变式教学与训练，对课本中的典型例题及习题多引申、多研究，引导学生理清知识体系，帮助他们建立起初中学段数学基础知识的网络，真正做到落实“四基”。

二、随时保持清醒的头脑。备考期间，时间紧，任务多，压力大，要求“快”字当头。这其间，教师更要保持清醒的头脑，随时要进行思考：我应该做什么？我在做什么？我应该怎样做？每一部分复习反思复习效果怎样？我把学生绕晕了，还是使其更清醒呢？我怎样在“让学生多见一些题的满堂灌”和“引导学生自主学习”之间取得一种平衡，从而实现相对的更好呢？复习过程中学生的积极性、主动性怎样调动呢？同时老师还要对学生进行细致全面的指导，对其明显进步或隐性进步进行肯定，鼓励他们自己不断感悟和思考。

三、明晰近两年学生在中考试卷上的失误。这些失误包括：不能准确把握基本概念、定理或公式的条件及适用范围，缺乏必要的记忆，读不懂题，更谈不上审题；计算能力弱，简单的计算过程出现错误，影响思维与结果；数学语言素养低，推理过程不规范、不完整、不严密，缺少主要步骤；书写不清晰、混乱，涂改液多处出现，答题卡的空间不能合理利用导致扫描不清等；只进行猜测而不进行说理或论证，分类讨论时图形画不完整，基本作图能力差；答题时间分配不合理，大部分学生根本没有做完，做完的也没有时间检查等。明晰了上述失误，对于如何降低学生答题的失误也就清楚了。

四、精细化备考的具体要求为“三抓、四化、五过关”。“三抓”：抓基本概念的理解、掌握，抓公式、定理的熟练应用，抓基本技能的训练。“四化”：基础知识系统化，基本方法牢固化，解题步骤规范化，繁难题目简单化。“五过关”：核心概念要过关，教材中典型例题要过关，基本技能技巧要过关（特别是计算、解方程、解不等式、待定系数法），简单的几何问题要过关（特别是三角形全等与相似、平行四边形、梯形），简单实际应用问题的建模思想方法要过关。

五、时间安排为三轮备考制。第一轮大致时间为第二学期开学到4月25日左右，第二轮大致时间为4月26日到5月28日左右，第三轮大致时间为5月29日到6月21日左右。

第一轮备考要“低起点、多归纳、快反馈”，做好“保本”工作，提高中考的及格率和平均分。按照知识系统去串教材,把各册书中的同类内容进行统一讲解,回顾好知识背景,抓住概念、定理叙述中的关键词。引导学生对复习内容进行文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转化。在几何复习中要概括出中考必备的“基本图形”；在代数复习中要引导学生找出问题中描述的数量关系的关键词，并进行关系式之间的运算，进而发现新的关系。引导学生梳理知识点，对分散的各知识点进行归纳整理，给学生一个清晰的、完整的、有机的知识体系。对教材内容进行归类,用好例题, 分析例题结构特征,归纳解题思路、方法,为例题的迁移做好准备。对部分难点问题，要引导学生概括出题目的特点，如对“函数”学习要注意“对应与定义，运动与特征，图形与方法”，对“圆”学习的“四个条件反射”――“弦与垂径，角与弧，直径与直角，切线与垂直”。一轮备考的主要课型为：目标展示问题出示学生解答师生总结方法提炼例题变式。

第二轮备考要解决部分学生死学、成绩提高慢的现象（如没有见过的题不会做，质同形不同的题不会做，需要独立深入思考的题不会做等），促进学生解题能力的发展，提高优秀率。此轮重点在于对思维进行反思和拓展。教师要引导学生揣摩命题人的命题意图，自己尝试出题。让学生用“联系”的观点进行思考，发现问题中和问题间的各种数量、图形关系，运用转化的思想指导解题。在遇到新问题时，还要引导学生思考：这个题我见过吗？它的一部分我见过吗？过去见过的题是怎样解决的？要“回到过去”“回到定义”。对典型问题，要从多角度、多侧面去分析、解决，发现其中的基本规律、方法，增强学生的应变能力，提高学生的答题速度和质量。二轮备考的主要课型为：创设情境展示生解辨别正误交流讨论反思小结。

第三轮备考以学生的全真练兵为主，老师应对中考复习的质量进行考查，对学生掌握考试策略（如考试心态的调整，解题顺序的确定，解题速度的把握，演草纸的使用，解题后检查的策略）进行考查，发现问题及时讲评，并辅以专项训练，及时解决问题。模拟卷要按规定时间及评分规范完成，批阅要及时，评分要严格。老师要对模拟试卷心中有数：考了哪些知识点，是以什么方式出现的？考查了哪几种数学思想方法和思维能力？设置了哪些思维障碍？讲评时，要揭示命题人的出题心理和考生的答题心理，忌面面俱到，忌蜻蜓点水，忌就题论题。认真归纳学生知识的遗漏点，分析学生做错的原因，研究解决的方法。注意规范训练，务必纠正学生答题过程中的不良习惯。遇到疑难问题，要“能写即写”，先解决会的部分，能写几步就写几步。

2012年中考数学精细化备考的思考

一、学校、数学老师、班主任、学生和家长的协作。这几方如何协作才能使中考数学精细化备考更加有效，是大家要共同思考的问题。有一点是不变的，我们在爱学生、关心学生的同时，要让学生感觉到严厉；我们批评学生、惩罚学生时，要让学生感受到关爱。

第7篇：二次根式有理化的方法范文

关键词： 初高中数学教学 衔接工作 必要性 教学措施

高中数学难学，难就难在初中与高中衔接中出现的“高台阶”。刚从初中升上高中的学生普遍不能一下子适应过来，都觉得高一数学难学，特别是对意志品质薄弱和学习方法不妥的那部分学生，更是使他们过早地失去学数学的兴趣，甚至打击他们的学习信心。如何搞好高初中数学教学的衔接，帮助学生尽快适应高中数学教学特点和学习特点，跨过“高台阶”，就成为高一数学教师的首要任务。本文试图从以下方面探讨高中新生在数学学习中存在的问题和解决的对策。

一、做好初高中数学教学衔接工作的必要性

高一阶段数学教与学中普遍存在的问题是：“学生感到难学，教师感到难教。”高一数学相对于初中数学而言，逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大。一些学生以较高的数学成绩升入高中后，不适应高中数学教学，学习成绩大幅度下降，出现了严重的两极分化，过去的尖子生可能变为后进生，少数学生甚至对学习失去了信心。

近年来，初中数学教学内容有了较大程度的压缩、上调，中考难度的下调、新课程的实验和新教材的教学使高中数学在教材内容及高考中都对学生的能力提出了更高的要求，使得原来的矛盾更突出。

二、初、高中数学学习的显著差别

一是数学语言在抽象程度上突变：历来学生都反映，集合、映射等概念难以理解，离生活很远，似乎很“玄”。

二是思维方法向理性层次跃迁：数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求。

三是知识内容的整体数量剧增，加之时间紧、难度大，这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，从而影响成绩的提高。

三、现有初高中数学知识存在“脱节”现象

初高中知识“脱节”在哪里？

1.立方和与差的公式。这部分内容在初中教材中已删去不讲，但进入高中后，它的运算公式却还在用。

2.因式分解。十字相乘法在初中已经不作要求了，同时三次或三次以上多项式因式分解也不作要求了，但是到了高中，教材中却多处要用到。

3.二次根式中对分子、分母有理化。这也是初中不作要求的内容，但是分子、分母有理化却是高中函数、不等式常用的解题技巧，特别是分子有理化。

4.二次函数。二次函数的图像和性质是初高中衔接中最重要的内容，二次函数知识的生长点在初中，而发展点在高中，是初高中数学衔接的重要内容。二次函数作为一种简单而基本的函数类型，是历年来高考的一项重点考查内容，经久不衰。

5.根与系数的关系（韦达定理）。在初中，我们一般会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程，而到了高中却不再学习，但是高考中又会出现这一类型的考题，因此笔者建议：（1）理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；（2）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它求含有两根之和、两根之积的代数式（这里指“对称式”）的值，能构造以实数p、q为根的一元二次方程。

6.图像的对称、平移变换。初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，对称轴、给定直线的对称问题必须掌握。

7.含有参数的函数、方程、不等式。初中教材中同样不作要求，只作定量研究，而在高中，这部分内容被视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8.几何部分很多概念（如重心、垂心、外心、内心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，圆幂定理等），初中生大都没有学习，而高中教材中常常要涉及。

四、搞好初高中衔接应采取的主要措施

高中数学教学中要突出四大能力，即运算能力，空间想象能力，逻辑推理能力，以及分析问题解决问题的能力。要渗透四大数学思想方法，即数形结合，函数与方程，等价与变换，划分与讨论。这些虽然在初中教学中有所体现，但在高中教学中才能充分反映出来。这些能力、思想方法正是高考命题的要求。

1.优化课堂教学环节，搞好初高中衔接。

①立足于大纲和教材，尊重学生实际，实行层次教学。高一数学中有许多难理解和掌握的知识点，如集合、映射等，对高一新生来讲确实难度较大。因此，在教学中应从高一学生实际出发，采取“低起点、小梯度、多训练、分层次”的方法，将教学目标分解成若干递进层次逐层落实。在速度上，放慢起始进度，逐步加快教学节奏。在知识导入上，多由实例和已知引入。在知识落实上，先落实“死”课本，后变通延伸用活课本。在难点知识讲解上，从学生理解和掌握的实际出发，对教材做必要层次处理和知识铺垫，并对知识的理解要点和应用注意点作必要总结及举例说明。

②重视新旧知识的联系与区别，建立知识网络。初高中数学有很多衔接知识点，如函数概念、平面几何与立体几何相关知识等，到高中，它们有的难度加深了，有的研究范围扩大了，有些在初中成立的结论到高中可能不成立。因此，在讲授新知识时，我们有意引导学生联系旧知识，复习和区别旧知识，特别注重对那些易错易混的知识加以分析、比较和区别。这样可达到温故知新、温故而探新的效果。

③重视展示知识的形成过程和方法探索过程，培养学生的创造力。高中数学较初中抽象性强，应用灵活，这就要求学生对知识理解要透，应用要活，不能只停留在对知识结论的死记硬套上。教师应向学生展示新知识和新解法的产生背景、形成和探索过程，不仅使学生掌握知识和方法的本质，提高应用的灵活性，而且使学生学会如何质疑和解疑的思想方法，促进创造性思维能力的提高。

④重视培养学生自我反思、自我总结的良好习惯，提高学习的自觉性。高中数学概括性强，题目灵活多变，只靠课上听懂是不够的，需要课后进行认真消化和总结归纳。这就要求学生应具备善于自我反思和自我总结的能力。为此，我们在教学中，应抓住时机积极培养。在单元结束时，帮助学生进行自我章节小结，在解题后，积极引导学生反思：反思解题思路和步骤，反思一题多解和一题多变，反思解题方法和解题规律的总结。由此培养学生善于进行自我反思的习惯，扩大知识和方法的应用范围，提高学习效率。

⑤重视专题教学。利用专题教学，集中精力攻克难点，强化重点和弥补弱点，系统归纳总结某一类问题的前后知识、应用形式、解决方法和解题规律。并借此机会对学生进行学法指点，有意识地渗透数学思想方法。

2.加强学法指导。

高中数学教学要把对学生加强学法指导作为教学的重要任务之一。指导以培养学习能力为重点，狠抓学习基本环节，如“怎样预习”、“怎样听课”等。具体措施有三：一是寓学法指导于知识讲解、作业讲评、试卷分析等教学活动中，这种形式贴近学生学习实际，易于被学生接受；二是举办系列讲座，介绍学习方法；三是定期进行学法交流，同学间互相取长补短，共同提高。

总之，初高中数学的衔接，既是知识的衔接，又是教法、学习方法、学习习惯和师生情感的衔接，只有综合考虑学生实情、课标和大纲、教材、教法等各方面的因素，才能制定出较完善的措施。教育教学中虽然没有固定的方法，但也不是无章可循的。教师要积极地了解学生、关爱学生；不断探讨教学的规律，为提高课堂教学质量不懈地努力；不断提高自身素质，强化自身的业务能力，以自身的人格魅力吸引学生，以自身的严谨作风感染学生，以自身过硬的能力指导学生，才能取得教育教学的成功。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准.

[2]郑和钧.协同教学原则.湖南教育，1993，11.

[3]殷显耀，等主编.新教学方法.吉林科技出版社，1995，11.

第8篇：二次根式有理化的方法范文

一、重视概念的形成过程

形成概念的过程就是分析、综合、抽象、概括等思维活动的过程，也就是培养学生科学精神和创新思维习惯的过程，正确的概念是科学抽象的结果。要使学生形成一个新概念，必须在学生已有知识的基础上，让学生感受、理解概念的形成、发展过程，在讲每一个新概念时，老师应首先讲清楚这个新概念的背景，它以哪些旧概念为基础？它们之间有什么联系？引发矛盾的根源在哪里？其次可为讲授概念扫清障碍，讲到后面概念所要用的某个概念时，可作些伏笔，在本概念需要用到前面概念时可作些复习，然后掌握知识结构体系。

例如讲“平面直角坐标系”这一概念时，可先从学生熟悉的数轴出发，复习点在数轴上的坐标定义和确定点在直线上的位置的方法，然后向学习提出如下问题：在电影院如何找到自己的座位？在海洋上行驶的一艘轮船在地图上怎样标出位置？学生会发现单用数轴上的点坐标不能解决上述问题，于是，引发出新旧知识的冲突。通过探讨解决新问题的途径，很自然地引出了“平面直角坐标系”的概念。教学时要紧密结合图形，讲清形（点）和数（实数对）互相表示、互相转化、互相对应的关系，使学生对平面直角坐标系的概念有较深刻的认识和理解。

二、讲清概念的内涵和外延

概念的内涵是概念的质的方面，它说明概念所反映的事物是什么样的。概念的外延是概念的量的方面，通常说的概念的适用范围就是指概念的外延，它说明概念所反映的是哪些事物。概念的内涵和外延是两个密切联系，互相依赖的因素。每一概念既有其确定的内涵，也有其确定的外延。因此，讲清概念，必须讲清概念的内涵和外延，例如在讲“一元二次方程”这一节时，让学生熟读或背诵一元二次方程的定义条文是不够的，重要的是要让学生懂得定义的内涵和外延。譬如“一元二次”是什么意思？为什么在ax2+bx+c=0后面要加上“a≠0”ay2+by+c=0是不是一元二次方程？3t2-2t=0呢？

在学习全等三角形一节时，可让学生拿出一张纸，对折后剪成两个全等三角形。把两个全等三角形重合，如果将其中一个三角形作平移、翻折、旋转等运动，可变换出多种多样的图形（如下图）。如果用电脑显示会更加形象。这样做有利于学生认识全等三角形的本质，为以后学习“全等三角形的判定”等提供方便。

概念之间是彼此互相区别，界线分明的，不容混淆，更不偷换。教学时，讲清概念，从逻辑学的角度来说，基本的要求就是要明确概念的内涵与外延。明确概念所指的是哪些对象。只有对概念的内涵和外延两方面都有准确的了解，我们才能说对概念是明确的。

三、帮助学生分清易混淆的概念

概念和语词是密切联系着的。语词是概念的语言形式，概念是语词的思想内容，两者紧密联系，不可分割。但是，概念和语词之间并不是一一对应的。这是因为不是所有语词都表达概念（如虚词一般不表示概念）；同一个概念可以用不同的语词来表达（如“等边三角形”、“等角三角形”和“正三角形”表示的是同一个概念），一个词在不同的情况下，可以用来表达几个不同的概念， （如“整数”，在小学表示的是零和自然数；在中学表示的是零，正整数和负整数）。有些概念从表面上看，好象差不多（如90°与直角），文字上只有一字差（如三角形中线与三角形中位线）或形成过程相似等，因此容易引起学生思想混乱，运用时容易产生错误。我们除了从正面讲清概念外，还要让学生接触一些错例，接触一些似是而非的例子，以纠正学生在理解概念中的错误，这有助于学生准确理解概念。

例如讲“绝对值”节时，除了要让学生知道符合| a |的含义外，可让学生弄清下面几种变形到底错在哪里，以帮助学生真正掌握绝对值的概念。

（1） |π-3.142 |=π-3.142；

（2）a+| 1-a |=a+1-a=1；

（3）因为| a |>l b l，所以a>b。

又如“绝对值”概念，最初见的是在有理数时，它是这样定义的：“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零”；第二次是讲算术平方根时出现，即 是个非负数，它就是a的绝对值：

数学中诸如此类的概念还有很多，比如函数概念，三角函数的概念等等都是属于这类概念.由于讲清楚概念的形成、发展过程，学生容易理解无需死记定义。

四、引导学生正确运用概念

学习概念是为了运用概念，具有理解概念，才能在解题中正确运用概念，而通过正确运用概念去解决问题，可使学生更深刻地认识概念、掌握概念。老师应在学生形成新概念的初期运用各种方式方法去巩固概念，引导学生正确运用概念，以加深对概念的理解。

（1）1a+2中，a不能取什么值？

（2） x-15中，x能不能取1？为什么？

（3）4| x |-3中，x可取值的范围是什么？又如在讲完“二次根式”的概念后解决问题，以给出下面的练习，让学生通过运用概念去解决

问题，以加深对概念的理解：

（1）已知-a有意义，确定a的取值范围；

（2）当a

（3）将的 -1a分母有理化。

综上所述，概念教学大致要经历这样几个阶段：概念的提出、形成、明确以及巩固，为此有人把掌握概念的过程归纳为五个阶段：引进、酝酿、建立、巩同、发展。

总之，概念教学要特别强调下述重要的指导思想：

1、在体系下把握概念（即把概念放在指定的知识结构下来认知）；

第9篇：二次根式有理化的方法范文

关健词：反思；解题方法；学习效率

反思是指思考过去的事情，从中总结经验教训，一些同学为完成老师布置的任务，在题海里做题，只顾找题目做，而不去针对每一个题目探究解题规律，重视解题的反思。在数学学习中注重解题的反思，是训练学生创造性思维，优化思维品质的极好方法。通过反思能促使学生从不同方面多角度观察事物并寻求不同思路，达到在学习中质疑问题，这样有利于学生创新思维的培养，创新能力的形成，从而提高学生发现问题和解决问题的能力。

一、对自己的思考过程进行反思；即对解题方法、推理过程、运算过程和语言表达进行反思

教师应该帮助学生整理思维过程，确定解题关键，引导学生回顾和整理解思路，概括解题思想，使解题的过程清晰、思维条理化、精确化和概括化。学生在解题时往往满足于做出题目，而对自己的解题方法的优劣却从来不加评价，作业中经常出现解题过程单一、思路狭窄、解法陈旧、逻辑混乱、叙述冗长、主次不分等不足，这是学生思维过程缺乏灵活性、批判性的表现，也是学生的思维创造性水平不高的表现。因此，反思解题方法的优劣，便可以优化解题过程。学生在解题时往往满足于做出题目的答案，而对自己的解题方法的优劣却几乎不加以评价，作业中经常出现思路狭窄、方法单一死板等不足，这是学生思维缺少灵活性、批判性的表现。朝着多开端、灵活、精细的方向发展，以促使学生形成一个系统性强、着眼于相互联系的数学认知结构。

二、对涉及的知识进行反思

积极反思、系统小结，使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化，在解题中应用自如，有的放矢。不少同学做题，易犯就事论事，就题论题，"铁路巡警，各管一段"的毛病，掌握的知识支离破碎，脑海一片空白。

三、对涉及的思想方法进行反思

解题是学好数学的必由之路，但是不同的解题指导思想会有不同的解题效果。养成对自己的解题过程进行反思的习惯是具有正确的解题思想的体现。例如：分类讨论的思想最初见于有理数概念的引入，并在以后各章节内容中不断加强这种思想。如绝对值性质的讨论，二次根式的化简，一元二次方程根的情况，三角形的分类，四边形的分类等等。尤其是到了初三《圆》这一章，渗透分类讨论思想的内容就更丰富。具体体现在以下几个方面：许多概念都涉及到分类的思想，如点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系；在定理中强化分类意识，如圆周角与弦切角定理的证明；此外，课本安排了不少分类讨论的习题，通过对具体问题的解决，培养学生的分类意识与方法。实际上，在圆这部分知识中，由于圆是轴对称图形，有关圆的计算题，都不得必须根据对称性进行分类求解。因此，在教学过程中，应充分结合这些知识，渗透分类的思想，明白分类的必要性，明白分类的标准必须相同，分类的原则应不重复、不遗漏。

四、对问题的理解进行反思，对有联系的问题进行反思

解题后，对数学问题由此及彼地联想，其中，有时要对问题追根溯源，多问几个“为什么”？有时是从一个问题联想到与它形式不同但实质完全一样的多种叙述或表达方式，这样，就能培养我们抓住问题实质的本领，培养思维的连动性、流畅性和变通性。解题后对问题本质进行重新分析，在将思维由个别推向一般的过程中使问题深化，使问题的抽象程度不断提高。例如，在上“长方体物体包装设计”时，通过让学生自主设计一个体积是24立方厘米的长方体包装盒，汇报种种情况，再变动数据，再次设计。最后引导学生反思：“如何设计，包装盒所需的材料会更省些？”学生通过观察、联想，从中寻找内在联系，发现长、宽、高越接近，所需的材料就越省。这样的反思，可使学生思维的抽象程度提高，这比解决出结果意义更加重要。

解决问题以后再重新剖析其实质，可以是学生比较容易地抓住问题的实质，在解决一个或几个问题之后，启发学生反思，从中寻找到它们之间的内在联系，探索一般规律，可使问题逐渐深化，还可使学生的思维对抽象程度提高。例如在教学完“点到垂线”的知识之后，可以让学生回忆运动会上进行田赛的场景，反思与“点到垂线”的知识有什么联系。经过反思的效果是学生发现：田赛所有项目最后的成绩的得出都在用“点到垂线”的知识。使学生明白数学来源与生活，又可以来解决生活中的问题，知道“数学可以帮助学生更好的适应日常生活、理解周围世界”（《国家数学课程标准》）。当我们学菱形的知识后，知道菱形有四个全等的直角三角形所组成，所以它的面积S=从菱形的面积到对角线互相垂直的四边形的面积。

五、对结论进行反思；