命题逻辑的推理规则精选(九篇)

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第1篇：命题逻辑的推理规则范文

【关键词】数理逻辑；算法

一、古典数理逻辑

逻辑是研究推理的科学，它分为形式逻辑和辩证逻辑。数理逻辑用数学方法研究形式逻辑，它是用数学方法研究推理的科学。而数学方法，则是引进一套数学符号体系来研究推理，所以数理逻辑也叫符号逻辑。现代数理逻辑有四大分支：证明论、模型论、递归论和公理化集合论。命题演算是所谓的古典数理逻辑之一。

1.命题演算

命题：判断结果惟一的陈述句。命题的真值是判断的结果，真或假。真命题则是真值为真的命题。

假命题：即真值为假的命题。注意：感叹句、祈使句、疑问句都不是命题。

陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是。命题分为：简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题。简单命题的符号化：用p，q，r，…，pi，qi，ri(i≥1)表示，用“1”表示真，用“0”表示假。复合命题：由简单命题通过联结词联结而成的陈述句。例如：如果明天天气好，我们就出去郊游。设p：明天天气好，q：我们出去郊游，如果p，则q。联结词与复合命题：?称否定联结词，∧称合取联结词，∨称析取联结词，蕴涵联结词，?称等价联结词?。

联结词优先级：( )，?，∧，∨，，?，同级按从左到右的顺序进行。

命题常项：简单命题。命题变项：取值0(真)或1(假)的变元，真值表：命题公式在所有可能的赋值下的取值的列表，含n个变项的公式有2n个赋值，

2.命题演算的研究对象：重言式，矛盾式，偶然式

重言式(永真式)：无成假赋值的命题公式

矛盾式(永假式)：无成真赋值的命题公式

可满足式：非矛盾式的命题公式

注意：重言式是可满足式，但反之不真.

3.命题演算的科学性依据：恒等式和永真蕴含，推理规则和证明方法

若等价式A?B是重言式，则称A与B等值，记作

A?B，并称A?B是等值式

设S是一个联结词集合，如果任何n(n≥1)元真值

函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词完备集

4.命题命题演算的扩充和归约：范式和主析取范式

主析取范式：由极小项构成的析取范式

主合取范式：由极大项构成的合取范式

任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是惟一的。

二、命题逻辑思想与应用

主析取范式是命题逻辑思想解决问题的重要途径。

1.求主析取范式的步骤

设公式A含命题变项p1，p2，…，pn，

(1)求A的析取范式A′=B1∨ B2∨ … ∨ Bs，其中Bj是简单合取式 j=1，2，…，s

(2)若某个Bj既不含pi，又不含?pi，则将Bj展开成：

Bj ? Bj∧(pi∨?pi) ? (Bj∧pi)∨(Bj∧?pi)

重复这个过程，直到所有简单合取式都是长度为n的极小项为止。

(3)消去重复出现的极小项，即用mi代替mi∨mi。

(4)将极小项按下标从小到大排列。

2.主析取范式的用途

(1)求公式的成真赋值和成假赋值

设公式A含n个命题变项，A的主析取范式有s个极小项，则A有s个成真赋值，它们是极小项下标的二进制表示，其余2n-s个赋值都是成假赋值。

如：?(pq)?∨r ? m0∨ m2∨ m4 ∨m5 ∨ m6

成真赋值：000，010，100，101，110；成假赋值：001，011，111 。

(2)判断公式的类型

设A含n个命题变项，则：

A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n个极小项

A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项，记作0

A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项。

如：

C? ?(p∨q)∨r ? (?p?∧q)∨r

?(?p?∧q∧r)∨(?p?∧q?∧r)∨(?p?∧q∧r)∨(?p∧q∧r)∨(p?∧q∧r)∨(p∧q∧r)

? m0∨m1∨m3∨ m5∨m7

(3)判断两个公式是否等值

用主析取范式判断下面公式是否等值：

如某单位要从A，B，C三人中选派若干人出国考察，需满足下述条件：

a、若A去，则C必须去；

b、若B去，则C不能去；

c、A和B必须去一人且只能去一人.

问有几种可能的选派方案?

解决方法为：

记p：派A去，q：派B去，r：派C去

a：pr b：q?r c：(p?∧q)∨(?p∧q)

问题转化为求下式的成真赋值

A=(pr)∧(q?r)∧((p?∧q)∨(?p∧q))

利用求A的主析取范式

A=(pr)∧(q?r)∧((p?∧q)∨(?p∧q))

?(?p∨r)∧(?q?∨r)∧((p?∧q)∨(?p∧q))

?((?p?∧q)∨(?p?∧r)∨(r?∧q)∨(r?∧r))

∧((p?∧q)∨(?p∧q))

?((?p?∧q)∧(p?∧q))∨((?p?∧r)∧(p?∧q))

∨((r?∧q)∧(p?∧q))∨((?p?∧q)∧(?p∧q))

∨((?p?∧r)∧(?p∧q))∨((r?∧q)∧(?p∧q))

?(p?∧q∧r)∨(?p∧q?∧r)

成真赋值：101，010。结论：方案1　派A与C去，方案2　派B去

第2篇：命题逻辑的推理规则范文

关键词：数学语言；数学学习；重要性中图分类号：G648文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）12-0007-01随着科学技术的发展，特别是信息时代的到来，现代人只有拥有处理、运用语言的能力才能及时、准确地获取信息和知识，清楚地表达自己的思想。数学与现代社会中任何一门学科相同，也必须通过语言来交流思想和传递知识。数学语言是思维的载体，是数学特有的形式化符号体系，依靠这种语言进行思维能够使思维在可见的形式下再现出来。

1.数学语言及其分类

教学语言是一种人工符号语言，它的符号、规则，都是人工加以规定的，是先有规则，后有语句的。[ ]例如，数理逻辑中的命题演算是一个形式系统，它先规定命题的初始符号和命题符号化的规则，然后引出一系列命题公式和推理规则，进而实现推理和证明过程符号化。数学语言一般分为文字语言、符号语言和图表语言三类。

1.1文字语言。文字语言与自然语言相近，但不是自然语言文字的简单移植或组合，而是经过一定的加工、改造、限定而形成的。并且，这些语言具有数学学科特有的确定语义，常用于定义数学概念、术语和陈述数学性质、定理，其特点是通俗易懂，便于理解，可读性强；缺点是语言冗长繁琐，语言信息不集中，不易表露知识的内在结构，有时不够精确，也不便于形式上的推理。

1.2符号语言。符号语言是在文字语言的基础上限定、精确化而形成的，它的特点是简洁、精确、抽象。正是符号语言的使用，明化了数学问题，简化了数学推理，使数学思维过程出现简约、跳跃，促进了数学的广泛应用，推动了数学的发展，使数学证明、计算、演绎达到形式化、机械化、自动化。但若教学中过于集中使用符号语言，学生可能难以理解其基本语义。

1.3图表语言。图表语言是指用图形或表格对数学对象和数学关系进行描述，如用二叉树表示前缀码、树T的遍历、命题逻辑中的真值表，它的特点是直观、形象且生动，有助于记忆，有助于思维，有益于问题解决。缺点是有局限性，它受时空的制约，如求120和500的最大公约数，就不好用图解的方法来解答了。

1.4文字语言、符号语言、图表语言在数学中不是绝对孤立地使用的，三种语言通常是优势互补和有机结合。文字语言能够明确界定符号语言或图表语言所描述的数学对象的意义与内涵。符号语言从文字语言的字句中解放出来，避免了冗长繁琐的叙述，使思维得以准确清晰地进行，又弥补和超越了图形语言的局限性。图表语言为文字语言或符号语言提供直观模型，也为理解和掌握相关的文字语言与符号语言的意义和内涵奠定认知基础。能否自如地从一种语言转换为另一种语言进行数学描述，是理解数学的试金石。

2.数学语言对数学语言学习的重要性

2.1数学语言是培养数学思维能力的必要条件。所谓数学思维是以数学概念为思维细胞，借助于数学语言，通过数学判断和推理的形式，来认识数学对象，揭示数学结构和关系的思维。数学语言既是数学知识的表现形式，也是数学思维的工具。[ ]数学思维过程也就是对数学符号的操作过程，是主体借助于语言符号而认识和再现客体的过程.在这里，人的思维能力集中地表现为运用语言符号去再现客体、使语言符号的结构成为对象结构的逻辑再现，使数学符一号所表达的完整意义成大数学对象的观念再现。[ ]因此，数学语言是数学思维的前提，对培养数学思维能力有着重要的意义。在教学中，如果不注意数学语言的培养，就会产生许多产重的后果，其中之一就是减慢思维从具体向抽象过渡的速度，而且使这种过渡不够完全。其原因有三：一是缺乏相互作用的词，这些词是直接理解和运用抽象概念并使之相互关联的先决条件；二是缺乏借助具体经验理解和运用抽象概念的练习或训练；三是不能准确地把握数学问题的内容、结构和实质，推理过程难以进行。

2.2数学语言是数学认识结构的"构件"

首先，数学知识的获得主要通过数学符号的学习。事实上，只是由于有了高度概括的数学语言，才使得最复杂、严谨的数学认知活动成为可能。所谓数学认知结构，也就是用内化了的数学语言在头脑中重组数学知识经验的过程。其次，布鲁纳的符号原理表明，如果学生掌握了适合他们智力发展的符号，那么就能在认知上形成早期的结构。"数学中有效的符号体系使原理的扩充和新原理的创造成为可能。"例如，当表示方程的符号形成以后，就能学习解多项式方程的一般方法。数学语言在数学认知活动中起有关键的作用：一方面，它给予抽象的数学概念以名称，所以，那种将已知概念联合起来并转化为新的抽象概念的认知过程才有可能进行；另一方面，用数学符号表达数学概念，是一个使这种概念更清晰、明确和精细的提炼过程。所以，我们应该把语言表达看作整个认知结构的一个组成部分。

2.3掌握数学语言是数学有意义学习的目的。奥苏伯尔提出，符号代表的新观念能否与学习者认知结构中原有的适当观念建立实质性的和非人为的联系，乃是区分有意义学习与机械学习的两条标准。所谓非人为的联系，是指内在联系而不是任意的联想或联系，新知识与原有知识结构中有关的观念建立在某种合理的或逻辑基础上的联系。所谓实质性联系，是指表达的词语虽不同，但却是等值的，这种联系是非字面的联系。简单地说，数学有意义学习就是学生能够理解由符号所代表的新知识，理解它所代表的实际内容，并能融会贯通。

以上我们谈了数学语言对数学学习的重要意义，但这并不意味着在中学阶段就要教给学生以符号化、形式化的数学语言。事实上，这是不可能的，还要考虑到可接受性的原则，照顾到学生的认知发展水平。因此，中学数学的教学语言应该是数学语言和自然语言在心理学理论指导下的一种有机的统一体，至于应该如何统一，还有待于进一步的探讨。参考文献：

[1]邵光华,刘明海. 数学语言及其教学研究[J]. 课程.教材.教法,2005（02）.

[2]张国平. 数学语言与数学语言教学[J]. 池州师专学报,2006（03）.

[3]畅燕. 初中生数学语言能力的培养之研究[D].内蒙古师范大学,2008.

第3篇：命题逻辑的推理规则范文

［关键词］人工智能，常识推理，归纳逻辑，广义内涵逻辑，认知逻辑，自然语言逻辑

现代逻辑创始于19世纪末叶和20世纪早期，其发展动力主要来自于数学中的公理化运动。当时的数学家们试图即从少数公理根据明确给出的演绎规则推导出其他的数学定理，从而把整个数学构造成为一个严格的演绎大厦，然后用某种程序和方法一劳永逸地证明数学体系的可靠性。为此需要发明和锻造严格、精确、适用的逻辑工具。这是现代逻辑诞生的主要动力。由此造成的后果就是20世纪逻辑研究的严重数学化，其表现在于：一是逻辑专注于在数学的形式化过程中提出的问题；二是逻辑采纳了数学的方法论，从事逻辑研究就意味着象数学那样用严格的形式证明去解决问题。由此发展出来的逻辑被恰当地称为“数理逻辑”，它增强了逻辑研究的深度，使逻辑学的发展继古希腊逻辑、欧洲中世纪逻辑之后进入第三个高峰期，并且对整个现代科学特别是数学、哲学、语言学和计算机科学产生了非常重要的影响。

本文所要探讨的问题是：21世纪逻辑发展的主要动力将来自何处？大致说来将如何发展？我个人的看法是：计算机科学和人工智能将至少是21世纪早期逻辑学发展的主要动力源泉，并将由此决定21世纪逻辑学的另一幅面貌。由于人工智能要模拟人的智能，它的难点不在于人脑所进行的各种必然性推理（这一点在20世纪基本上已经做到了，如用计算机去进行高难度和高强度的数学证明，“深蓝”通过高速、大量的计算去与世界冠军下棋），而是最能体现人的智能特征的能动性、创造性思维，这种思维活动中包括学习、抉择、尝试、修正、推理诸因素，例如选择性地搜集相关的经验证据，在不充分信息的基础上作出尝试性的判断或抉择，不断根据环境反馈调整、修正自己的行为，……由此达到实践的成功。于是，逻辑学将不得不比较全面地研究人的思维活动，并着重研究人的思维中最能体现其能动性特征的各种不确定性推理，由此发展出的逻辑理论也将具有更强的可应用性。

实际上，在20世纪中后期，就已经开始了现代逻辑与人工智能（记为AI）之间的相互融合和渗透。例如，哲学逻辑所研究的许多课题在理论计算机和人工智能中具有重要的应用价值。AI从认知心理学、社会科学以及决策科学中获得了许多资源，但逻辑（包括哲学逻辑）在AI中发挥了特别突出的作用。某些原因促使哲学逻辑家去发展关于非数学推理

的理论；基于几乎同样的理由，AI研究者也在进行类似的探索，这两方面的研究正在相互接近、相互借鉴，甚至在逐渐融合在一起。例如，AI特别关心下述课题：

·效率和资源有限的推理；

·感知；

·做计划和计划再认；

·关于他人的知识和信念的推理；

·各认知主体之间相互的知识；

·自然语言理解；

·知识表示；

·常识的精确处理；

·对不确定性的处理，容错推理；

·关于时间和因果性的推理；

·解释或说明；

·对归纳概括以及概念的学习。[①]

21世纪的逻辑学也应该关注这些问题，并对之进行研究。为了做到这一点，逻辑学家们有必要熟悉AI的要求及其相关进展，使其研究成果在AI中具有可应用性。

我认为，至少是21世纪早期，逻辑学将会重点关注下述几个领域，并且有可能在这些领域出现具有重大意义的成果：（1）如何在逻辑中处理常识推理中的弗协调、非单调和容错性因素？（2）如何使机器人具有人的创造性智能，如从经验证据中建立用于指导以后行动的归纳判断？（3）如何进行知识表示和知识推理，特别是基于已有的知识库以及各认知主体相互之间的知识而进行的推理？（4）如何结合各种语境因素进行自然语言理解和推理，使智能机器人能够用人的自然语言与人进行成功的交际？等等。

1．常识推理中的某些弗协调、非单调和容错性因素

AI研究的一个目标就是用机器智能模拟人的智能，它选择各种能反映人的智能特征的问题进行实践，希望能做出各种具有智能特征的软件系统。AI研究基于计算途径，因此要建立具有可操作性的符号模型。一般而言，AI关于智能系统的符号模型可描述为：由一个知识载体KB）和一组加载在KB上的足以产生智能行为的过程（称为问题求解器PS）构成。经过20世纪70年代包括专家系统的发展，AI研究者逐步取得共识，认识到知识在智能系统中力量，即一般的智能系统事实上是一种基于知识的系统，而知识包括专门性知识和常识性知识，前者亦可看做是某一领域内专家的常识。于是，常识问题就成为AI研究的一个核心问题，它包括两个方面：常识表示和常识推理，即如何在人工智能中清晰地表示人类的常识，并运用这些常识去进行符合人类行为的推理。显然，如此建立的常识知识库可能包含矛盾，是不协调的，但这种矛盾或不协调应不至于影响到进行合理的推理行为；常识推理还是一种非单调推理，即人们基于不完全的信息推出某些结论，当人们得到更完全的信息后，可以改变甚至收回原来的结论；常识推理也是一种可能出错的不精确的推理模式，是在容许有错误知识的情况下进行的推理，简称容错推理。而经典逻辑拒斥任何矛盾，容许从矛盾推出一切命题；并且它是单调的，即承认如下的推理模式：如果p?r，则pùq?r；或者说，任一理论的定理属于该理论之任一扩张的定理集。因此，在处理常识表示和常识推理时，经典逻辑应该受到限制和修正，并发展出某些非经典的逻辑，如次协调逻辑、非单调逻辑、容错推理等。有人指出，常识推理的逻辑是次协调逻辑和非单调逻辑的某种结合物，而后者又可看做是对容错推理的简单且基本的情形的一种形式化。[②]

“次协调逻辑”（ParaconsistentLogic）是由普里斯特、达·科斯塔等人在对悖论的研究中发展出来的，其基本想法是：当在一个理论中发现难以克服的矛盾或悖论时，与其徒劳地想尽各种办法去排除或防范它们，不如干脆让它们留在理论体系内，但把它们“圈禁”起来，不让它们任意扩散，以免使我们所创立或研究的理论成为“不足道”的。于是，在次协调逻辑中，能够容纳有意义、有价值的“真矛盾”，但这些矛盾并不能使系统推出一切，导致自毁。因此，这一新逻辑具有一种次于经典逻辑但又远远高于完全不协调系统的协调性。次协调逻辑家们认为，如果在一理论T中，一语句A及其否定?A都是定理，则T是不协调的；否则，称T是协调的。如果T所使用的逻辑含有从互相否定的两公式可推出一切公式的规则或推理，则不协调的T也是不足道的(trivial)。因此，通常以经典逻辑为基础的理论，如果它是不协调的，那它一定也是不足道的。这一现象表明，经典逻辑虽可用于研究协调的理论，但不适用于研究不协调但又足道的理论。达·科斯塔在20世纪60年代构造了一系列次协调逻辑系统Cn（1≤n≤w），以用作不协调而又足道的理论的逻辑工具。对次协调逻辑系统Cn的特征性描述包括下述命题：(i)矛盾律?(A??A)不普遍有效；(ii)从两个相互否定的公式A和?A推不出任意公式；即是说，矛盾不会在系统中任意扩散，矛盾不等于灾难。(iii)应当容纳与(i)和(ii)相容的大多数经典逻辑的推理模式和规则。这里，(i)和(ii)表明了对矛盾的一种相对宽容的态度，(iii)则表明次协调逻辑对于经典逻辑仍有一定的继承性。

在任一次协调逻辑系统Cn(1≤n≤w)中，下述经典逻辑的定理或推理模式都不成立：

?(Aù?A)

Aù?AB

A(?AB)

(A??A)B

(A??A)?B

A??A

(?Aù(AúB))B

(AB)(?B?A)

若以C0为经典逻辑，则系列C0,C1,C2,…Cn,…Cw使得对任正整数i有Ci弱于Ci-1，Cw是这系列中最弱的演算。已经为Cn设计出了合适的语义学，并已经证明Cn相对于此种语义是可靠的和完全的，并且次协调命题逻辑系统Cn还是可判定的。现在，已经有人把次协调逻辑扩展到模态逻辑、时态逻辑、道义逻辑、多值逻辑、集合论等领域的研究中，发展了这些领域内的次协调理论。显然，次协调逻辑将会得到更进一步的发展。[③]

非单调逻辑是关于非单调推理的逻辑，它的研究开始于20世纪80年代。1980年，D·麦克多莫特和J·多伊尔初步尝试着系统发展一种关于非单调推理的逻辑。他们在经典谓词演算中引入一个算子M，表示某种“一致性”断言，并将其看做是模态概念，通过一定程序把模态逻辑系统T、S4和S5翻译成非单调逻辑。B·摩尔的论文《非单调逻辑的语义思考》（1983）据认为在非单调逻辑方面作出了令人注目的贡献。他在“缺省推理”和“自动认知推理”之间做了区分，并把前者看作是在没有任何相反信息和缺少证据的条件下进行推理的过程，这种推理的特征是试探性的：根据新信息，它们很可能会被撤消。自动认知推理则不是这种类型，它是与人们自身的信念或知识相关的推理，可用它模拟一个理想的具有信念的有理性的人的推理。对于在计算机和人工智能中获得成功的应用而言，非单调逻辑尚需进一步发展。

2．归纳以及其他不确定性推理

人类智能的本质特征和最高表现是创造。在人类创造的过程中，具有必然性的演绎推理固然起重要作用，但更为重要的是具有某种不确定性的归纳、类比推理以及模糊推理等。因此，计算机要成功地模拟人的智能，真正体现出人的智能品质，就必须对各种具有不确定性的推理模式进行研究。

首先是对归纳推理和归纳逻辑的研究。这里所说的“归纳推理”是广义的，指一切扩展性推理，它们的结论所断定的超出了其前提所断定的范围，因而前提的真无法保证结论的真，整个推理因此缺乏必然性。具体说来，这种意义的“归纳”包括下述内容：简单枚举法；排除归纳法，指这样一些操作：预先通过观察或实验列出被研究现象的可能的原因，然后有选择地安排某些事例或实验，根据某些标准排除不相干假设，最后得到比较可靠的结论；统计概括：从关于有穷数目样本的构成的知识到关于未知总体分布构成的结论的推理；类比论证和假说演绎法，等等。尽管休谟提出著名的“归纳问题”，对归纳推理的合理性和归纳逻辑的可能性提出了深刻的质疑，但我认为，（1）归纳是在茫茫宇宙中生存的人类必须采取也只能采取的认知策略，对于人类来说具有实践的必然性。（2）人类有理由从经验的重复中建立某种确实性和规律性，其依据就是确信宇宙中存在某种类似于自然齐一律和客观因果律之类的东西。这一确信是合理的，而用纯逻辑的理由去怀疑一个关于世界的事实性断言则是不合理的，除非这个断言是逻辑矛盾。（3）人类有可能建立起局部合理的归纳逻辑和归纳方法。并且，归纳逻辑的这种可能性正在计算有人通过指责现有的归纳逻辑不成熟，得出“归纳逻辑不可能”的结论，他们的推理本身与归纳推理一样，不具有演绎的必然性。（4）人类实践的成功在一定程度上证明了相应的经验知识的真理性，也就在一定程度上证明了归纳逻辑和归纳方法论的力量。毋庸否认，归纳逻辑目前还很不成熟。有的学者指出，为了在机器的智能模拟中克服对归纳模拟的困难而有所突破，应该将归纳逻辑等有关的基础理论研究与机器学习、不确定推理和神经网络学习模型与归纳学习中已有的成果结合起来。只有这样，才能在已有的归纳学习成果上，在机器归纳和机器发现上取得新的突破和进展。[⑤]这是一个极有价值且极富挑战性的课题，无疑在21世纪将得到重视并取得进展。

再谈模糊逻辑。现实世界中充满了模糊现象，这些现象反映到人的思维中形成了模糊概念和模糊命题，如“矮个子”、“美人”、“甲地在乙地附近”、“他很年轻”等。研究模糊概念、模糊命题和模糊推理的逻辑理论叫做“模糊逻辑”。对它的研究始于20世纪20年代，其代表性人物是L·A·查德和P·N·马林诺斯。模糊逻辑为精确逻辑（二值逻辑）解决不了的问题提供了解决的可能，它目前在医疗诊断、故障检测、气象预报、自动控制以及人工智能研究中获得重要应用。显然，它在21世纪将继续得到更大的发展。

3．广义内涵逻辑

经典逻辑只是对命题联结词、个体词、谓词、量词和等词进行了研究，但在自然语言中，除了这些语言成分之外，显然还存在许多其他的语言成分，如各种各样的副词，包括模态词“必然”、“可能”和“不可能”、时态词“过去”、“现在”和“未来”、道义词“应该”、“允许”、“禁止”等等，以及各种认知动词，如“思考”、“希望”、“相信”、“判断”、“猜测”、“考虑”、“怀疑”，这些认知动词在逻辑和哲学文献中被叫做“命题态度词”。对这些副词以及命题态度词的逻辑研究可以归类为“广义内涵逻辑”。

大多数副词以及几乎所有命题态度词都是内涵性的，造成内涵语境，后者与外延语境构成对照。外延语境又叫透明语境，是经典逻辑的组合性原则、等值置换规则、同一性替换规则在其中适用的语境；内涵语境又称晦暗语境，是上述规则在其中不适用的语境。相应于外延语境和内涵语境的区别，一切语言表达式（包括自然语言的名词、动词、形容词直至语句）都可以区分为外延性的和内涵性的，前者是提供外延语境的表达式，后者是提供内涵性语境的表达式。例如，杀死、见到、拥抱、吻、砍、踢、打、与…下棋等都是外延性表达式，而知道、相信、认识、必然、可能、允许、禁止、过去、现在、未来等都是内涵性表达式。

在内涵语境中会出现一些复杂的情况。首先，对于个体词项来说，关键性的东西是我们不仅必须考虑它们在现实世界中的外延，而且要考虑它们在其他可能世界中的外延。例如，由于“必然”是内涵性表达式，它提供内涵语境，因而下述推理是非有效的：

晨星必然是晨星，

晨星就是暮星，

所以，晨星必然是暮星。

这是因为：这个推理只考虑到“晨星”和“暮星”在现实世界中的外延，并没有考虑到它们在每一个可能世界中的外延，我们完全可以设想一个可能世界，在其中“晨星”的外延不同于“暮星”的外延。因此，我们就不能利用同一性替换规则，由该推理的前提得出它的结论：“晨星必然是暮星”。其次，在内涵语境中，语言表达式不再以通常是它们的外延的东西作为外延，而以通常是它们的内涵的东西作为外延。以“达尔文相信人是从猿猴进化而来的”这个语句为例。这里，达尔文所相信的是“人是从猿猴进化而来的”所表达的思想，而不是它所指称的真值，于是在这种情况下，“人是从猿猴进化而来的”所表达的思想（命题）就构成它的外延。再次，在内涵语境中，虽然适用于外延的函项性原则不再成立，但并不是非要抛弃不可，可以把它改述为新的形式：一复合表达式的外延是它出现于外延语境中的部分表达式的外延加上出现于内涵语境中的部分表达式的内涵的函项。这个新的组合性或函项性原则在内涵逻辑中成立。

一般而言，一个好的内涵逻辑至少应满足两个条件：（i）它必须能够处理外延逻辑所能处理的问题；（ii）它还必须能够处理外延逻辑所不能处理的难题。这就是说，它既不能与外延逻辑相矛盾，又要克服外延逻辑的局限。这样的内涵逻辑目前正在发展中，并且已有初步轮廓。从术语上说，内涵逻辑除需要真、假、语句真值的同一和不同、集合或类、谓词的同范围或不同范围等外延逻辑的术语之外，还需要同义、内涵的同一和差异、命题、属性或概念这样一些术语。广而言之，可以把内涵逻辑看作是关于象“必然”、“可能”、“知道”、“相信”，“允许”、“禁止”等提供内涵语境的语句算子的一般逻辑。在这种广义之下，模态逻辑、时态逻辑、道义逻辑、认知逻辑、问题逻辑等都是内涵逻辑。不过，还有一种狭义的内涵逻辑，它可以粗略定义如下：一个内涵逻辑是一个形式语言，其中包括（1）谓词逻辑的算子、量词和变元，这里的谓词逻辑不必局限于一阶谓词逻辑，也可以是高阶谓词逻辑；（2）合式的λ—表达式，例如(λx)A，这里A是任一类型的表达式，x是任一类型的变元，(λx)A本身是一函项，它把变元x在其中取值的那种类型的对象映射到A所属的那种类型上；（3）其他需要的模态的或内涵的算子，例如€，ù、ú。而一个内涵逻辑的解释，则由下列要素组成：（1）一个可能世界的非空集W；（2）一个可能个体的非空集D；（3）一个赋值，它给系统内的表达式指派它们在每w∈W中的外延。对于任一的解释Q和任一的世界w∈W，判定内涵逻辑系统中的任一表达式X相对于解释Q在w∈W中的外延总是可能的。这样的内涵逻辑系统有丘奇的LSD系统，R·蒙塔古的IL系统，以及E·N·扎尔塔的FIL系统等。[⑥]

在各种内涵逻辑中，认识论逻辑（epistemiclogic）具有重要意义。它有广义和狭义之分。广义的认识论逻辑研究与感知（perception）、知道、相信、断定、理解、怀疑、问题和回答等相关的逻辑问题，包括问题逻辑、知道逻辑、相信逻辑、断定逻辑等；狭义的认识论逻辑仅指知道和相信的逻辑，简称“认知逻辑”。冯·赖特在1951年提出了对“认知模态”的逻辑分析，这对建立认知逻辑具有极大的启发作用。J·麦金西首先给出了一个关于“知道”的模态逻辑。A·帕普于1957年建立了一个基于6条规则的相信逻辑系统。J·亨迪卡于60年代出版的《知识和信念》一书是认知逻辑史上的重要著作，其中提出了一些认知逻辑的系统，并为其建立了基于“模型集”的语义学，后者是可能世界语义学的先导之一。当今的认知逻辑纷繁复杂，既不成熟也面临许多难题。由于认知逻辑涉及认识论、心理学、语言学、计算机科学和人工智能等诸多领域，并且认知逻辑的应用技术，又称关于知识的推理技术，正在成为计算机科学和人工智能的重要分支之一，因此认知逻辑在20世纪中后期成为国际逻辑学界的一个热门研究方向。这一状况在21世纪将得到继续并进一步强化，在这方面有可能出现突破性的重要结果。

4．对自然语言的逻辑研究

对自然语言的逻辑研究有来自几个不同领域的推动力。首先是计算机和人工智能的研究，人机对话和通讯、计算机的自然语言理解、知识表示和知识推理等课题，都需要对自然语言进行精细的逻辑分析，并且这种分析不能仅停留在句法层面，而且要深入到语义层面。其次是哲学特别是语言哲学，在20世纪哲学家们对语言表达式的意义问题倾注了异乎寻常的精力，发展了各种各样的意义理论，如观念论、指称论、使用论、言语行为理论、真值条件论等等，以致有人说，关注意义成了20世纪哲学家的职业病。再次是语言学自身发展的需要，例如在研究自然语言的意义问题时，不能仅仅停留在脱离语境的抽象研究上面，而要结合使用语言的特定环境去研究，这导致了语义学、语用学、新修辞学等等发展。各个方面发展的成果可以总称为“自然语言逻辑”，它力图综合后期维特根斯坦提倡的使用论，J·L·奥斯汀、J·L·塞尔等人发展的言语行为理论，以及P·格赖斯所创立的会话含义学说等成果，透过自然语言的指谓性和交际性去研究自然语言中的推理。

自然语言具有表达和交际两种职能，其中交际职能是自然语言最重要的职能，是它的生命力之所在。而言语交际总是在一定的语言环境（简称语境）中进行的，语境有广义和狭义之分。狭义的语境仅指一个语词、一个句子出现的上下文。广义的语境除了上下文之外，还包括该语词或语句出现的整个社会历史条件，如该语词或语句出现的时间、地点、条件、讲话的人（作者）、听话的人（读者）以及交际双方所共同具有的背景知识，这里的背景知识包括交际双方共同的信念和心理习惯，以及共同的知识和假定等等。这些语境因素对于自然语言的表达式（语词、语句）的意义有着极其重要的影响，这具体表现在：（i）语境具有消除自然语言语词的多义性、歧义性和模糊性的能力，具有严格规定语言表达式意义的能力。（ii）自然语言的句子常常包含指示代词、人称代词、时间副词等，要弄清楚这些句子的意义和内容，就要弄清楚这句话是谁说的、对谁说的、什么时候说的、什么地点说的、针对什么说的，等等，这只有在一定的语境中才能进行。依赖语境的其他类型的语句还有：包含着象“有些”和“每一个”这类量化表达式的句子的意义取决于依语境而定的论域，包含着象“大的”、“冷的”这类形容词的句子的意义?【鲇谝烙锞扯ǖ南啾冉系亩韵罄啵荒L锞浜吞跫锞涞囊庖迦【鲇谝蛴锞扯浠挠镆寰龆ㄒ蛩兀绱说鹊取＃╥ii）语言表达式的意义在语境中会出现一些重要的变化，以至偏离它通常所具有的意义（抽象意义），而产生一种新的意义即语用涵义。有人认为，一个语言表达式在它的具体语境中的意义，才是它的完全的真正的意义，一旦脱离开语境，它就只具有抽象的意义。语言的抽象意义和它的具体意义的关系，正象解剖了的死人肢体与活人肢体的关系一样。逻辑应该去研究、理解、把握自然语言的具体意义，当然不是去研究某一个（或一组）特定的语句在某个特定语境中唯一无二的意义，而是专门研究确定自然语言具体意义的普遍原则。[⑦]超级秘书网

美国语言学家保罗·格赖斯把语言表达式在一定的交际语境中产生的一种不同于字面意义的特殊涵义，叫做“语用涵义”、“会话涵义”或“隐涵”（implicature），并于1975年提出了一组“交际合作原则”，包括一个总则和四组准则。总则的内容是：在你参与会话时，你要依据你所参与的谈话交流的公认目的或方向，使你的会话贡献符合这种需要。仿照康德把范畴区分为量、质、关系和方式四类，格赖斯提出了如下四组准则：

（1）数量准则：在交际过程中给出的信息量要适中。

a．给出所要求的信息量；

b．给出的信息量不要多于所要求的信息量。

（2）质量准则：力求讲真话。

a．不说你认为假的东西，。

b．不说你缺少适当证据的东西。

（3）关联准则：说话要与已定的交际目的相关联。

（4）方式准则：说话要意思明确，表达清晰。

a．避免晦涩生僻的表达方式；

b．避免有歧义的表达方式；

c．说话要简洁；

d．说话要有顺序性。[⑧]

后来对这些原则提出了不和补充，例如有人还提出了交际过程中所要遵守的“礼貌原则”。只要把交际双方遵守交际合作原则之类的语用规则作为基本前提，这些原则就可以用来确定和把握自然语言的具体意义（语用涵义）。实际上，一个语句p的语用涵义，就是听话人在具体语境中根据语用规则由p得到的那个或那些语句。更具体地说，从说话人S说的话语p推出语用涵义q的一般过程是：

（i）S说了p；

（ii）没有理由认为S不遵守准则，或至少S会遵守总的合作原则；

（iii）S说了p而又要遵守准则或总的合作原则，S必定想表达q；

（iv）S必然知道，谈话双方都清楚：如果S是合作的，必须假设q；

（v）S无法阻止听话人H考虑q；

（vi）因此，S意图让H考虑q，并在说p时意味着q。

试举二例：

（1）a站在熄火的汽车旁，b向a走来。a说：“我没有汽油了。”b说：“前面拐角处有一个修车铺。”这里a与b谈话的目的是：a想得到汽油。根据关系准则，b说这句话是与a想得到汽油相关的，由此可知：b说这句话时隐涵着：“前面的修车铺还在营业并且卖汽油。”

第4篇：命题逻辑的推理规则范文

关键词：离散数学；基础；学习

中图分类号：G642 文献标识码：A

文章编号：1672-5913 (2007) 24-0062-03

1引言

“离散数学课程”是介绍“离散数学”各分支的基本概念、基本理论和基本研究方法、研究工具的基础课程，现已成为计算机科学与技术专业的核心基础课程，IEEE&ACM的CC2001教程更是以十分显著的方式强调了这一点。离散数学课程所涉及的概念、方法和理论，大量地应用在"数字电路"、"编译原理"、"数据结构"、"操作系统"、"数据库系统"、"算法的分析与设计"、"软件工程"、"人工智能"、"多媒体技术"、"计算机网络"等专业课程以及"信息管理"、"信号处理"、"模式识别"、"数据加密"等相关课程中；它所提供的训练，十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高，十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。这些能力与态度是一切软、硬件计算机科学工作者所不可缺少的。离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到分布式系统，无不与离散数学密切相关。

2离散数学的教学内容

由于计算机无论多么先进，都只能处理有限的离散数据，正因为如此，才使得离散数学和计算机有了莫大的联系。那么，是不是所有研究离散结构的数学都归于离散数学呢？基于各种原因，许多具有离散结构的数学，并不一定属于离散数学。离散数学可以说是和计算机一起发展起来的学科，是一门新兴的学科，对于究竟什么属于离散数学，人们也没有完全一致的看法。如同我们的教材，把数理逻辑、集合论、群论、图论都归为离散数学。另外，不少学者把组合学、计数、排列也归为离散数学。其实，数学本一家，精确划分没有必要。但我认为，离散数学的核心应是组合数学和图论。只可惜，我们的教材中几乎没有组合数学，这一点，实在是一大缺憾。

离散数学包括的教学内容，对每一个从事计算机技术的人都要求掌握和了解。因为在形式证明、验证、密码学的研究与学习中要有理解形式证明的能力；图论的概念被用于计算机网络、操作系统和程序设计语言的编译系统等领域；集合论的概念、关系代数等在软件工程和数据库中也会用到。总之，为了适应计算技术的要求及将来的发展，学生需要对离散结构有比较深入的理解。

3离散数学的教学方法

离散数学作为一门计算机专业的核心基础课，往往开设的比较早，所以很多同学在学习这门课的时侯还缺乏对其价值的认识。再加上对数学的敏感性，所以很排斥它。如何教好这门课，除了让学生对这些内容感兴趣外，还要让他们对其在计算机中的应用有些感性认识。因此，在介绍离散数学的每一分支时，都要分三步走：

第一，先要了解这一分支的悠久历史；

第二，学习它的基本概念、基本理论和基本研究方法；

第三，了解它在计算机科学中的应用。

(1) 各分支的悠久历史

数学推理与逻辑之间，有着密切的联系，早在两千多年前的古希腊，就有了逻辑学的萌芽。不过那时的逻辑称为古典逻辑，属于哲学的范畴。数理逻辑诞生于十九世纪中叶，源于古典逻辑。

群论诞生于十九世纪二十年代，由法国天才数学家伽罗华创立。有趣的是，他创立群论的目的是为了解决高次方程求根问题，如果他知道群论与现代的计算机学科联系如此紧密，一定会惊叹不已。

图论最早起源于一些数学游戏，相信对数学感兴趣的同学一定都听说过哥尼斯堡的七桥问题。图论与几何不同，几何讨论图的长短大小，而图论是讨论图的边和顶点之间的位置关系，正因为如此，莱布尼兹把她称为“位置几何学”。图论的问题非常有趣，往往答案很简单，但却非常非常难以想到。尤其是其分支拓扑学，更是如此。你知道九联环也是图论问题吗？

集合论起源于十六世纪末期，开始是为了追寻微积分的坚实基础，后来，德国的数学家康托教授发表了一系列有关集合论的文章，奠定了集合论的基础，集合论也从此发展起来。现在，集合论已经渗透到泛函、概率、函数论等各门学科。

(2) 各分支的基本概念、基本理论和基本研究方法

数理逻辑又名符号逻辑，是一门用数学方法研究推理过程的科学。主要目的在于探索出一套完整的规则，按照这些规则，就可以确定任何特定论证是否有效。这些规则，通常称为推理规则。在逻辑学中，与其说注重的是论证本身，不如说注重的是论证形式。

集合论主要研究了集合的基本概念和运算，关系的基本概念以及全序、偏序等概念，函数的定义与性质。重点研究了关系矩阵和关系图的表示，关系的性质及判别方法；复合关系和逆关系的概念及其求法，关系的自反、对称、传递闭包的概念及其求法；等价关系的判定与相关等价类的求法、偏序关系的判定以及哈斯图的表示法。

代数系统部分需要了解代数系统以及同态、同构的概念，掌握代数系统运算的性质及各种特殊元素，几种特殊代数系统的判定及其性质和简单运算。

图论部分了解有关图的基本概念、图的同构，掌握图的表示方法，欧拉图及哈密顿图的判别方法，最小生成树的求解方法。

(3) 各分支在计算机科学中的应用

数理逻辑的学习，可以在形式证明、验证、密码学的研究与学习中增强理解形式证明的能力；用关系代数、谓词逻辑研究数据库等。

集合论的概念、关系代数等在软件工程和数据库中也会用到。

图论的概念被用于计算机网络、操作系统和程序设计语言的编译系统等领域；近期，还研究用图论研究数据结构、操作系统的结构和死锁问题。

在计算机发展初期，利用命题逻辑，布尔代数理论研究开关电路，从而建立起一门完整的数字逻辑理论，对计算机的逻辑设计起了很大作用。在近期，利用代数结构研究编码理论，利用谓词逻辑研究程序正确性问题，利用能行性理论(如递归函数论)研究计算机中的可计算性理论。

4离散数学的学习

作为计算机系的一门课程，离散数学有与其它课程相通相似的部分，当然也有它自身的特点，现在我们就这门课的特点做一个简要的分析。

(1) 定义和定理多

离散数学是建立在大量定义上面的逻辑推理学科。因而对概念的理解是我们学习这门学科的核心。在这些概念的基础上，特别要注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。

离散数学的定义主要分布在集合论的关系和函数部分，还有代数系统的群、环、域、格和布尔代数中。一定要很好地识记和理解。

(2) 方法性强

离散数学的证明题中，方法性是非常强的，如果知道一道题用怎样的方法证明，很轻易就可以证出来，反之则事倍功半。所以在平常复习中，要善于总结，那么遇到比较陌生的题也可以游刃有余了。

(3) 有穷性

由于离散数学较为“呆板”，出新题比较困难，不管什么考试，许多题目是陈题，或者稍作变化得来的。“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。”因此，要学好离散数学，就应该在平时多做些题目，强化对知识的理解。

5 结束语

以上是我关于离散数学这门课的一点教学心得，几轮的教学下来，我深深觉得我们要注意培养学生掌握获取知识、科学研究和发现新知识三种方法。在传授知识的过程中，要教会学生学习的方法和研究问题的方法，同时还要通过课内课外的各种教学活动来提高学生的能力，培养学生的素质。关于离散数学这门课程，可以让学生完成离散数学在计算机科学中的应用的相关论文，内容选择

• 可以是下列应用介绍之一:

C 群与编码.

C 鸽笼原理(pigeonhole principle)

C 传递闭包和Warshall 算法

C 布尔代数和电路设计

C 图和运输网

C 半群与机器简化

C 使用数论理论解释公共密钥技术(public key cryptography)

• 可以是离散数学难题, 如: 较难的思考题的解答

• 可以是与离散数学有关的趣味问题的考察

• 可以是任何您高兴研究的离散数学相关问题

这样，才能将僵化的知识与实践结合起来，才能激发学生的创造力，从而使学生真正认识到它的重要意义。

Talk About Discrete mathematical Teach And Study

Abstract: This paper discusses the important of Discrete Mathematics mainly from there aspects: teaching methods

teaching content and how to study. Based on this, Author proposes combine knowledge and ability, stimulating students' interest in learning and improves student’s creativity.

Keyboard:Discrete mathematics, base, study

参考文献

[1] 徐洁磐，惠永涛编著. 离散数学及其在计算机中的应用[M]. 北京：人民邮电出版社，1988.

[2] 徐洁磐. 离散数学导论[M]. 北京：人民教育出版社，1982.

[3] B.Kolman，R. C. Busby，S.C.Ross. Discrete Mathematical Structures, 4th[M]. 北京：高等教育出版社.