命题逻辑的推理理论精选(九篇)

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第1篇：命题逻辑的推理理论范文

【关键词】形式证明 命题 逻辑推理 序列

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）04-0141-02

在初中阶段的数学学习过程中，几何知识是许多学生都倍感头痛的问题，尤其是几何证明。这是一个较为普遍的现象，其成因颇多，既有主观因素也不乏客观因素。不少同学在听老师讲课时基本能懂能接受，但要其证明时就出现了这样那样的问题，不是不会写证明过程，就是说不清理由；不是东扯西拉，就是前后衔接不上……还有就是想当然者——“我觉得就是这样的”；更有甚者，将举例说明和证明混为一谈，真可谓是“百花齐放”，诸如此，林林总总，本文不在此一一列举。

何谓证明？“一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理过程叫做证明。”人教版，七年级下册21页，如是说。诚然，这不能说其不对，但也确实不够清楚。什么是“推理过程”？具体问题又该如何“推理”？从课本的这段话中，我们恐怕不易弄清以上问题。许多初学几何的初中生虽能朗朗上口地背诵定理，但却不能真正理解其含义，更谈不上对其的运用。那么，为何初中生都普遍觉得几何难学呢？问题究竟出在哪里？这些问题本文将稍后逐步探讨。

几何学是一门非常古老的学科，早在古希腊时期几何学就已经非常繁荣，比如欧式几何。时至今日，我们所学的初等几何基本上都是建立在经历了两千多年的欧式几何的基础之上的，由此可见其古老性之一斑。虽然几何学由来已久，并经过了数千年的积淀和研究，然而它仍然令一代又一代的学习者为之困惑，缘何？笔者认为，几何学之难（尤其是几何证明）关键在于其形式化的公理、定理、性质以及演绎推理等。所谓形式化，即是用一系列约定的符号（如逻辑符号）来表示概念、符号化命题以及推理，并将一定范围内的所有正确的推理形式（逻辑规律）都汇集在一个整体中。在此基础之上，由几条公理及公设出发，并规定一些初始符号和规则，经过有效的逻辑推理，得出若干新的、正确的、可靠的结论（即命题），这些命题的集合就形成一个公理系统，这就是形式化几何。初中几何主要研究的是平面几何的图形性质及其数量关系，在欧式几何的公理体系和框架下，早已经形成了许多有关平面几何的命题，但是教师在教学的过程中绝不能只告诉学生们一个结果，更多时候教师需要引导他们去探索并发现规律，总结和证明他们发现的规律，要证明就必然要弄清形式化的推理。

下面，本文就从数理逻辑的角度来探讨何谓推理？何谓证明？为此，需要介绍一些有关的数理逻辑概念和符号。

一 命题与逻辑运算符

定义1：具有确定真假性的陈述句称为命题。

凡是命题都有真值，命题的真值只有两种情况，即取自集合{0，1}，具体情况是：真命题的真值为1，假命题的真值为0。

定义2：具有唯一确定真值的陈述句称为命题。

要判断一个语句是不是命题，需要注意两点：一是先判断其是否为陈述句；其次是看其真值是否唯一确定，这两个条件缺一不可。例如，“x>5，x∈R”，该语句虽然是陈述句，但却无法判断真假。因为x是可变的，当x取3时，其为假命题；当x取7时，其为真命题。这类语句可称之为命题变元或称之为命题变量，值得注意的是命题变元不是命题，原因是其真值是可变的，时真时假。此外，还要特别注意像“我正在说谎话”这样的陈述句，这个语句无论你假设其真值为“1”还是“0”都会推出矛盾，这样的语句称之为悖论。在数学中比较著名的有“罗素悖论”。

通常命题可分为简单命题和复合命题，简单命题就是不能分解成更简单的陈述句的命题，简单命题也称为原子命题。复合命题就是除简单命题外的命题，复合命题也可以理解为是由逻辑运算符联结简单命题而成的。为了便于后面的讨论，本文约定用小写的英文字母p、q、r…表示命题或命题变元。

比较常用的逻辑运算符有5种：（1）“”称为否定运算符，读为“非”。（2）“”称为合取运算符，读为“且”或“与”。（3）“”称为合取运算符，读为“或”。（4）“”称为蕴含运算符，读为“蕴含”。（5）“”称为等价运算符，读为“等价”。

以上5种逻辑运算有其优先级，规定其优先顺序为：（）、、、、、，其中“（）”的意思是有（）的就先算，然后再按照、、、、的顺序来做运算，对于同一优先级的运算符，先出现者先算。

二 推理和证明

定义3：命题公式递归定义如下：（1）单个的命题常量或命题变量是命题公式；（归纳基）。（2）若A、B是公式，那么A、AB、AB、AB和AB也是命题公式；（归纳步）。（3）所有的命题公式都是有限次使用（1）和（2）得到的符号串；（最小化）。

在这里可以使用大小写英文字母表示命题公式，英文字母还可带下标。以后在没有二义的情况下，将命题公式简称为公式。命题逻辑的推理理论就是利用命题逻辑公式研究什么是有效的推理。

定义4：推理就是从前提集合开始演绎出结论的思维过程，前提集合是一系列已知的命题公式，结论是从前提集合出发应用推理规则推出的命题公式。

若前提是一系列真命题，并且推理中严格遵守推理规则，则推出的结论也是真命题。在命题逻辑中，主要研究推理规则。

定义5：称蕴含式（A1A2…An）B为推理的形式结构，A1，A2，…，An为推理的前提，B为推理的结论。若（A1A2…An）B为永真式，则称从前提A1，A2，…，An推出结论B的推理正确（或说有效），B是A1，A2，…，An的逻辑结论或称有效结论，否则称推理不正确。若从前提A1，A2，…，An推出结论B的推理正确，则记为（A1A2…An）B。

通俗地讲（A1A2…An）B即是说，若A1，A2，…，An都正确，则B也正确。清楚了什么是推理以及推理的结构后，下面来讨论什么是证明。

定义6：证明是一个描述推理过程的命题公式序列A1，A2，…，An，其中的每个命题公式或者是已知的前提，或者是由某些前提应用推理规则得到的结论，满足这样条件的公式序列A1，A2，…，An称为结论An的证明。

在证明中常用的推理规则有3条：（1）前提引入规则：在证明的任何步骤都可以引入已知的前提；（2）结论引入规则：在证明的任何步骤都可以引入这次已经得到的结论作为后续证明的前提；（3）置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的任何子公式都可用与之等值的公式置换，得到证明的公式序列的另一公式。

以上是一些基本的逻辑推理规则，如何运用这些规则进行推理和证明呢？在定义6中可以看到，证明实质上就是要把已知的命题公式按照一定顺序排列起来，那么具体问题的证明要如何来将那些已知的条件、公理、定理、推论以及性质等（诸如此类在逻辑上都可视为命题公式）按照怎样的顺序来排列呢？下面，通过初中几何中的具体实例进一步体会理解证明的实质。

例如，已知：如图在RtABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=DB，AE=CF。

求证：DE=DF。

分析：由ABC是等腰直角三角形可知，∠A=∠B=45°，由D是AB中点，可考虑连接CD，易得CD=AD，∠DCF=45°。从而不难发现DCF≌DAE。

证明：连接CD。

AC=BC；

∠A=∠B。

∠ACB=90°，AD=DB；

CD=BD=AD，∠DCB=∠B

=∠A。

AE=CF，∠A=∠DCB，AD=CD。

DCF≌DAE。

DE=DF。

上述证明的过程，实质上就是一个命题的序列，可以如下来看：（1）等腰三角形ABC两腰相等（AC=BC）；（2）等腰三角形ABC两底角相等（∠A=∠B）；（3）已知条件（∠ACB=90°，AD=DB）；（4）等腰三角形DCB两腰及两底角相等；（5）等量减等量得等量（AE=CF），（4）得出的结论（∠A=∠DCB，AD=CD）；（6）三角形全等的判定定理SAS（DCF≌DAE）；（7）全等三角形对应边相等（DE=DF）。

这里的（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）不就是一个序列吗？并且序列中的（7）就是要证明的结论，其实所有的证明都是如此，只要按照逻辑的推理规则构造出一个包含证明结论的序列即可。那么，在这七步的序列中运用了哪些推理规则呢？（1）前提引入规则；（2）前提引入规则；（3）前提引入规则；（4）假言推理规则；（5）置换规则和结论引入规则；（6）假言推理规则；（7）假言推理规则。

数学能够非常有效地训练人的逻辑思维能力，它是其他学科无可替代的，而数学证明又是最为有效的途径，正如罗增儒先生所说，数学证明有助于获得新的体验、发现新的结论；有助于增进理解，只有清楚了一个命题的证明，才能真正理解该命题的内容。对于几何证明，首先应该弄清题意，明确证明方向即把握好题目的已知条件和要证明的结论，然后结合图形理清思路，把和本题有关的命题搜索出来，再来思考需要用到哪些定理，将其罗列出来，最后按照逻辑的思维方法把它们构造成一个包含要证明结论的序列，这就完成了证明的过程。

参考文献

[1]人民教育出版社、课程教材研究所等.数学（七年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2012

[2]张顺燕.数学的源与流[M].北京：高等教育出版社，2004

[3]耿素云.离散数学[M].北京：清华大学出版社，2008

第2篇：命题逻辑的推理理论范文

    论文关键词 法律逻辑学 形式逻辑 非形式逻辑

    在我国,法律逻辑的研究开始于80年代初期,起步较晚,而且国内学者对国外法律逻辑的研究状况也了解较少。在我国法律逻辑研究的初期阶段,法律逻辑学的主要研究方向是如何把形式逻辑的知识应用到法律当中,法律逻辑的任务在于把形式逻辑的一般原理运用于法学和法律工作中。但随着研究的深入以及学科理论的发展,不少学者认识到把法律逻辑限制在形式逻辑的框架下,不仅阻碍了这一学科的发展,也没能使这一学科发挥出其应有的作用。因此,国内的法律逻辑学教材多呈现出两种趋势,一种是以形式逻辑为框架穿插法律案例,以形式逻辑的推论来解决法律案例中的逻辑问题;另一种是不局限于形式逻辑,而是采用了更多的非形式逻辑的方法来解决法律实践中遇到的难题。在这样的背景下,便产生了法律逻辑学的研究方向的转向。有的学者更多的是从法律的角度出发,把法律思维分为立法和司法两个领域,司法领域中所涉及的推论分为事实推理、法律推理和判决推理。也有的学者更多的是从逻辑学角度出发,认为法律逻辑学研究的主要趋向应该是非形式逻辑的方向。本人认为法律逻辑学是法学和逻辑学的交叉学科,它既是法学的一个分支,又是逻辑学的一个分支,它运用的是逻辑工具,它需要解决的则是法律领域的问题,因此法律逻辑学有着它固有的逻辑基础——形式逻辑,但仅有形式逻辑明显不足以支撑起法律逻辑学的大厦,法律实践中遇到的问题很多还要留给非形式逻辑去解决。

    一、形式逻辑与法律逻辑学

    法律推理是指运用“情境思维”的方法或“个别化的方法”来解读或解释法律,从已知或假定的法律语境出发判断出法律意思或含义的推论,是一个在法律语境中对法律进行判断或推断的过程。法律推理旨在为案件确定一个可以适用的法律规则即上位法律规范,为判决确立一个法律理由或法律依据即裁判大前提。形式逻辑可以为法律逻辑学提供一定的理论基础,这是毋庸置疑的,运用形式逻辑的方法来解决法律逻辑问题的案例在法律逻辑学教科书中也屡见不鲜:

    侦查机关通过一番调查,初步判断:

    被害者的上级(B)、妻子(M)、秘书(G)中至少有一人是凶手,但他们不全是凶手。

    仅当谋杀发生在办公室里(A),上级才是凶手;如果谋杀不发生在办公室里,秘书不是凶手。

    假如使用毒药(C)那么除非妻子是凶手,上级才是凶手;但妻子不是凶手。

    毒药被使用了,而且谋杀未发生在办公室里。

    问:侦查员的这些判断都是真实的吗?

    解决这一问题首先需要把四个命题用形式化的方法表示出来,然后运用自然推理系统PN进行推理,推理过程中如果得出了相互矛盾的结果则说明这些判断不都是真实的,如果得出的结果没有相互矛盾,则证明这些判断都是真实的。这是运用形式逻辑来解决刑事案件的典型例子。从这个例子可以看出,形式逻辑是研究推理的,是一种证明的逻辑,传统法律逻辑运用的是传统逻辑即形式逻辑,可见它解决的是法律推理问题。所谓推理是指由一个推论的序列组成的推论链,其中一个推论的结论是下一个推论的前提;所谓推论是指一组命题,其中一个命题是结论,其他命题是前提;而一个推理序列则组成了论证,其中一个推理的结论充当了下一个推理的前提。可以说,一个论证包含了多个推理,一个推理包含了多个推论。形式逻辑虽然解决了法律推理问题,但是未能解决法律论证问题。

    另外,法律推理理论的研究大致有两个方向,一是法律的形式推导,二是法律的实质推导。法律的形式推导是指基于法律的形式理性或逻辑理性进行的法律推理,是基于法律规范的逻辑性质或逻辑关系进行的法律推理。法律的形式推导的结果是法律规范的逻辑后承,是对法律规范进行逻辑判断的结果,是对法律规范进行“形式计算”或“概念计算”的结果。如果要进行法律形式推导,则必定是建立在法律规范含义明确清晰,案件事实确凿清楚,案件所适用的法律规范是确定无疑义的情况下的,这样一来就可以根据法律规范本身的逻辑特性,按照相应的逻辑规则进行推理,这种推理可以运用形式逻辑的的方法,但是这种法律形式推理只适用于较为简易的案件判决。从这里可以看出,形式逻辑确实可以为法律逻辑学提供一定的理论基础。

    虽然形式逻辑可以为法律逻辑学的研究提供一定的方法,但是仅仅有形式逻辑时无法满足法律逻辑学发展的需要的。众所周知,能够进入诉讼程序的案件往往不是那么容易就被确认的,控辩双方经常会在法律规范的模糊意义下摆出自己的道理,控辩双方对于案件事实的描述也往往大相径庭,在这种情况下,法官则需要运用法律的实质推导来处理案件。法律的实质推导是指基于实践理性或目的理性以及价值理性进行的法律推理。它是基于法律意图或目的、法律的价值取向、社会效用或社会效益、社会公平正义观念等实质内容对法律展开的推论。在法律出现空隙,法律规范含混不清,相互抵触,“合法”与“合理”相悖的困境等问题上,法律实质推理作出了法律形式推理无法给出的回答。

    形式逻辑也有传统和现代之分,传统形式逻辑主要是指亚里士多德三段论理论和斯多葛命题逻辑为主体的形式逻辑,现代形式逻辑主要是指皮尔士、弗雷格、罗素、希尔伯特等人发展起来的数理逻辑或符号逻辑。从形式逻辑本身性质来看,它自身的一些特点决定了它无法完全满足法律逻辑学发展的需要。

    首先,我们知道形式逻辑主要研究的是演绎推理的有效性问题,如果想要得到真实可靠的结论,则需两个条件:前提真实并且形式有效,而形式逻辑关心的则是人工语言论证和逻辑系统的有效性,它对前提是否真实则关注不够。一个论证的形式是有效的并不能保证前提是真的。“形式逻辑对论证的评价是从真前提开始,但如何判定前提的真假,这已经超出形式逻辑所讨论的范围。”

    其次,在法律事务中遇到的问题往往不像上述例子中那么简单,某些不确定的因素总是包含在法律论证的大、小前提(即法律规范和案件事实)当中,在由前提到结论的推论中,不是单纯的形式逻辑的推演活动,因而这样的推论不可能是像书本例题中的那种简单形式逻辑的操作。作为法律论证大前提的法律规范是基于自然语言的产物,因此难免会受到自然语言多义性、模糊性的影响,导致法官、律师在运用法律规范的过程中产生困扰。

    在实际操作中,作为法律推论小前提的案件事实并不总是清晰地摆在人们面前,法官、律师也总是面对不完整的案件事实而进行推理、推论,而形式逻辑所进行的演绎推理必然是在前提充分的条件下进行的,它关注的更多是程序化的论证及人工语言的论证。从这点来看,用形式逻辑来进行法律推论显然是力不从心的。

    再次,形式逻辑所研究的命题都是事实命题,是有真值的对象,形式逻辑对事实命题做出的非此即彼的评价是形式逻辑二值性的充分体现。但是在法律文本中有较多的命题并非事实命题,而是如“外国人入境,应当向出入境边防检查机关交验本人的护照或者其他国际旅行证件、签证或者其他入境许可证明,履行规定的手续,经查验准许,方可入境。(中华人民共和国出境入境管理法第二十四条)”这一类的规范命题或价值命题,这类命题的性质无所谓真假,它们也不充当演绎推理的前提和结论,这类命题显然已经超出了形式逻辑的研究范围。形式逻辑并不专门以法律领域中的推理与论证为对象,没有涵盖法律思维领域里的全部推理与论证。

    第四,《牛津法律大辞典》指出:“法律推理是对法律命题的一般逻辑推理”,包括演绎推理、归纳推理和类比推理。法律思维中涉及了大量的归纳推理、类比推理、语境推理等,这些都属于非演绎推理的范畴,而形式逻辑对非演绎推理的研究十分粗糙,无法满足法律思维的实践,因此形式逻辑无法有效地评价、规范全部法律思维。

    二、法律逻辑学的研究方向——非形式逻辑

    非形式逻辑兴起于上个世纪60年代,到目前为止,它还没有一个完全统一公认的概念,现任《非形式逻辑》杂志主编拉尔夫·约翰逊(RalphH.Johnson)和安东尼·布莱尔(J.AnthonyBlair)提出:“非形式逻辑是逻辑的一个分支,其任务是讲述日常生活中分析、解释、评价、批评和论证建构的非形式标准、尺度和程序”。这个定义被认为是当今流行的定义。从这个定义中可以看出,非形式逻辑的研究对象是日常生活的语言,也就是自然语言,这一点恰恰迎合了法律逻辑学以自然语言为文本的的特性。

    非形式逻辑之所以是“非形式的”,这主要是因为它不依赖于形式演绎逻辑的主要分析工具——逻辑形式的概念,也不依赖于形式演绎逻辑的主要评价功能——有效性。非形式逻辑在这方面与形式逻辑形成了良好的互补,形式逻辑研究论证主要是基于语义的研究,即真假命题之间的关系研究;而非形式逻辑研究论证主要是基于语用的研究,即从语境和论证目的角度进行研究,正是这一点成为了法律逻辑学与非形式逻辑的完美联姻。在法律逻辑学中,与法律形式推导对应的是法律实质推导,法律实质推导是指基于实践理性或目的理性以及价值理性进行的法律推理,是基于法律意图或目的、法律的价值取向、社会效用或社会利益、社会公平正义观念等实质内容之间的关系对法律展开的推论,可分为法律的目的推导和价值推导。法律实质推导是基于目的蕴涵和价值蕴涵,而不是基于形式蕴涵,因此它应当有不同于法律形式推导的框架,而非形式逻辑从语境和论证目的角度进行研究就为法律实质推导提供了工具。