线上教学的定义精选(九篇)

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第1篇：线上教学的定义范文

关键词：动手操作；理解记忆；灵活应用

圆锥曲线中，椭圆和双曲线的概念都可以通过动手操作完成，并且操作简单方便，而抛物线的给出却不容易，这也是导致教师忽略的原因之一。正是动手操作的缺失，使得学生在遇到运用抛物线定义解题时，不能灵活。

比如下列一组题目：

1.动圆过点（1，0），且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________________。

2.若点P到直线y=-1的距离比它到点（0，3）的距离小2，则点P的轨迹方程为________________。

3.设点F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则++=（ ）。

A.9 B.6 C.4 D.3

4.已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求PA+PF的最小值，并求出点P的坐标。

这些全都是利用抛物线定义来解的题目，有些学生不会，或者感觉很陌生，主要是对定义的由来没有深刻印象，因为缺少动手操作，缺少亲身经历。人教B版中抛物线定义的给出方式很好，但在实际课堂中常常因为各种原因，没有让学生实际操作，造成学生对抛物线的定义只是死记硬背，不会灵活应用。

针对这种现实情况，结合自身的教学实践，我摸索出了抛物线的定义教学的几点做法：

一、画抛物线

让学生亲自画抛物线，体会定义由来的方法，介绍如下：

1.工具

画抛物线的图象，需要借助铅笔，带刻度的直尺，圆规。

2.原理

到定直线距离相等的点在一条和定直线平行的直线上，然后从该直线上通过圆规画弧，找到该直线上到定直线和定点距离相等的两个点，最后用光滑的曲线将所找到的点连起来，便画出了一条抛物线。

3.具体做法

（1）为了便于找点，先令定点F到定直线l的距离为2，作直线l1与l的距离为1，以F为圆心，1为半径画弧，与l1交于一点P1；然后作直线l2与l的距离为2，以F为圆心，2为半径画弧，与l2交于两点P2，P3；再作直线l3与l的距离为3，以F为圆心，3为半径画弧，与l3交于两点P4，P5；以此类推，作直线l4，l5与l的距离为4，5，以F为圆心，4，5为半径画弧，与l4，l5交于点P6，P7，P8，P9等等，然后用光滑曲线联系起来。

（2）改变定点F到定直线l的距离为4，再画一遍。

（3）改变定点F到定直线l的距离为ρ，该如何处理？

画出图象，再去分析抛物线上的点满足的几何条件，给出抛物线的定义，学生易于接受，效果比较好。

二、抛物线标准方程的推导

在抛物线标准方程的推导中，我采取了放给学生，让学生自己推导的方法。

在教学中，学生给出了三种建系的方法，分别是以K，F及K，F的中点为坐标原点来建系，我把学生分成三组，分别去尝试推导，然后去比较三种方程形式的特点，最后确定以K，F的中点为坐标原点来建系比较方便和简洁。

1.以K为坐标原点建系，则F（p，0），l∶x=0，设抛物线上任意一点M（x，y），则M（x，y）到定直线l∶x=0的距离d=x，MF=，由抛物线定义可知x=化简得：y2=p2-2px。

2.以F为坐标原点建系，则F（0，0），l∶x=-p，设抛物线上任意一点M（x，y），则M（x，y）到定直线l∶x=-p的距离d=x+p，MF=，由抛物线定义可知x+p=，化简得：y2=p2+2px。

3.以K、F的中点为坐标原点建系，则F（，0），l∶x=-，设抛物线上任意一点M（x，y），则M（x，y）到定直线l∶x=-的距离d=x+，MF=，由抛物线定义可知x+=化简得：y2=2px。

通过三种不同建系方法下的方程的比较，让学生明确建系方法不唯一，只是每种建系方法对应于不同的抛物线的方程，根据数学中的简洁原则，我们选择了以K，F的中点为坐标原点建立直角坐标系；并且在推导过程中，学生了解了焦点坐标和准线方程都与有关系，而p的含义是焦点到准线的距离；另外也知道了方程中一次项的系数为什么是2p，有助于大家记忆抛物线的标准方程。

三、关于抛物线定义的应用

在应用抛物线定义时，遇到抛物线上的点到焦点的距离，要把它化为到准线的距离，究其原因是我们研究的抛物线的准线都是与坐标轴平行的直线，点到准线的距离比点到焦点的距离好表示，运算起来更加简便。但是不转化也可以解决问题，比如求抛物线y2=4x上的点P（3，y0）到抛物线焦点F的距离。

解法一：抛物线的准线方程为x=-1，抛物线y2=4x上的点P（3，y0）到抛物线焦点F的距离即到准线的距离d=3-（-1）=4。

第2篇：线上教学的定义范文

上好“直线的倾斜角与斜率”这节课必须明确下列问题：

一、明确本节课在教材中的地位和作用

直线的倾斜角与斜率一节课是人教版A版教材，必修二中第三章第一节第一课时的内容，是在第一章，第二章研究图形的基础上，一种新的研究图形性质方法──解析法，解析法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形的性质方法是解析几何中最基本的研究方法，本节课体现了这种方法的具体特征，是实现向解析法过渡的最好案例，它为今后如何用解析法研究几何问题奠定了基础. 二、明确本节课研究的重要问题及在后续学习中的作用

本节课在两点确定一条直线的基础上探讨了确定直线的另一种方法，即利用直线上一点和倾斜角能确定一条直线，并利用代数方法表示了确定直线的几何要素──倾斜角和斜率，然后进一步利用倾斜角和斜率研究直线的位置状态以及直线间的关系.

三、明确本节课的教学重点与难点

重点：正确理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握斜率计算公式，能熟练准确地应用斜率公式.

难点：归纳概括倾斜角和斜率的概念，推导斜率计算公式，利用倾斜角求斜率，利用斜率求倾斜角.

四、明确教学目标

1. 探索确定直线位置的几何要素，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，理解直线的倾斜角和斜率的定义.

2. 能准确把握斜率公式的应用条件以及斜率与倾斜角之间的关系，能已知直线的倾斜角求出直线的斜率.

3. 通过对现实生活中“倾斜程度”的探究过程，体会学习数学的意义和价值.

上好“直线的倾斜角与斜率” 这节课，除了明确上述问题，更重要的是教学过程中的处理方法要得当.

（一）围绕教学目标提出：两点确定一条直线，那么还有没有确定直线的其他几何要素？通过直线观察，探索确定直线的几何要素还有倾斜角一点. 那么什么叫倾斜角呢？结合图形，共同确定倾斜角的定义和倾斜角的取值范围. 为了更清楚倾斜角定义的本质意义，师生进一步明确定义中的关键词，① x轴正向；② 直线向上的方向；③ 夹角，只有具备这三个条件的角才是倾斜角. 学生在接受倾斜角的定义和取值范围时，可能有强加于他们的感觉，给学生时间思考观察，然后明白这样规定就能足以确定直线的倾斜程度了. 为了进一步理解定义，给出了相关确认倾斜角的练习，这样使学生能更直观，更形象地认识问题，增强趣味性.

（二）任何数学知识都来源于实践，又必须回归实践. 因此，师生共同探索生活中的哪些问题与倾斜程度有关时，也许会异口同声：坡度！通过图形演示分析出坡度就是本节课所学的倾斜角的正切值，由此出现了斜率的概念. 水到渠成. 自然地掌握倾斜角的正切值即为斜率，倾斜角为90°时，斜率不存在，没学三角函数，学生接受“不存在”有点困难，在直角三角形中也可以让学生接受这一事实. 为澄清倾斜角和斜率之间的关系，让学生思考、讨论、回答几个问题，这样使学生更明确了倾斜角和斜率的关系. 顺理成章地思考有没有其他表示斜率的方法了呢？回到两点确定一条直线这个问题上，追本溯源，点用坐标表示，那么斜率能不能用坐标表示呢？斜率是角的正切值，正切值又是线段之比，线段又能用坐标表示，这样不就实现斜率用坐标表示的设想了吗？学生会产生愉悦感和成就感，真是不怕做不到，就怕想不到.

（三）师生着手研究，为了更直观，借助多媒体，把直线倾斜角是锐角、是钝角、是直角、是0°角时各种状态都画出来，把直线上P1，P2点表示出来，然后把与倾斜角有关的三角形绘制出来. 师生探索并研究出：

tan α = ■（x2 ≠ x1）学生在理解（180° - θ）与θ的正切值之间的关系时，有点困难，老师应告诉学生在学习三角函数时，再详细探究，让学生有所期待，留下余地，打下伏笔，让学生对新知识的学习产生渴望.

第3篇：线上教学的定义范文

【关键词】有效教学

随着新课程改革的推进，有效教学越发令人关注，目前，教育界对有效教学的解释也有很多种。如何理解有效教学的概念及内涵呢？有效教学不仅是一个教学活动，更是一个持续发展的、高质量的合作学习过程。

首先教师在创设数学教学情境时，应该把激活数学思维放在首位，而激活思维的最有效手段是引起学生的思维冲突，使他们产生认知不平衡。如在圆锥曲线定义教学时变换代数方程形式，理解圆锥曲线定义：

案例1： 已知A（-2，0）， B（2，0），动点M（x，y）满足，则点M的轨迹是

答案：以A、B为焦点的椭圆（若学生平方化简，肯定其可以得到答案，只是还需要一定时间，相信他一定能成功！）

教师：问题：同学们动手改改条件，还能得到什么答案？

学生给出的几种方案：

方案1：6改4，轨迹又是什么呢？

方案2：4改3轨迹又是什么呢？

教师：请同学们回忆概括椭圆、双曲线定义的文字语言，点评问题：代数语言是利用什么转换成几何语言了？板书：代数方程语言 几何语言

面对这个情境，学生认知上产生了冲突，激起了强烈的求知欲望，在教师引导下，他们展开了寻找轨迹的探索活动，在探索过程中思考其中蕴含的数学规律，学生的思维闸门被打开了。

有效学习的启动是从学生的独立学习开始的，如果没有从独立学习中储备一定的经验，那么后续的合作交流就落不到实处。当学生通过有效数学情境的激发，已经具备主动学习数学的欲望后，教师要不失时机地引导学生对数学知识开展独立尝试学习。当然，独立学习不是简单的“自由学习”，而应该是在教师引导下的有效独立思考过程。如在圆锥曲线定义教学时自主几何探究、深化定义认识：

案例2：设点Q是圆C：=25上动点，点A（1，0）是圆内一点，AQ的垂直平分线与CQ交于点M，求点M的轨迹方程。

教师：引申：若将点A移到圆C外，点M的轨迹会是什么？

探究1：设动圆M与圆A：外切，与圆B：=16内切，求动圆圆心M的轨迹方程。

探究2：设动圆M与圆A：外切，与圆B：内切，求动圆圆心M的轨迹方程。

教师：归纳点评：由静及动，动态理解圆锥曲线的形成过程，华罗庚的话：数缺形时少直观，形缺数时难入微。 板书：代数方程语言几何语言。

教师在学生独立学习之前适当引导，能够为学生的学习活动指引方向，扫清障碍，避免“瞎子过河”。具体的方法是：教师可以给学生提供一个基于问题思考的“数学自学提纲”，启发学生进行初步的独立探索，为下一步开展合作交流或进一步的合作探究奠定基础。

数学课程倡导“问题情境―建立模型―解释、应用与拓展”的学习模式和“原型―模型―应用”的知识呈现形式。因此，当学生通过各种活动建立数学模型之后，教师接着要进行解释与应用。这是由数学知识转化为能力的过程，主要利用学习效果的反馈和强化，巩固并加深对数学知识的理解，实现知识和方法的有效迁移，更重要的是要为学生提供一个再创造、再发展的机会，培养思维的灵活性和创造性。因此，教师要深入地研究数学教材，挖掘学生自主训练的“深化点”，根据教材的编排特点和前后联系适时地为学生提供材料，引导学生积极主动地思维，自觉地发现其中蕴含的数学规律，从而在数学练习中促进有效学习的“发生”如在圆锥曲线定义教学时运用圆锥曲线定义，化归解析几何问题

案例3：已知动圆P过定点B（-3，0），且与定圆C：=100相内切，

（1）求PBC面积的最大值。

（2）若点A的坐标为（-2，2）， 求PA PB的最小值。

（3）若点A的坐标为（-2，2）， 求PA+PB的最小值。

探究1：若点A的坐标为（3，4），F为抛物线的焦点，点P是抛物线上一动点，求PA+PF的最小值。

探究2：若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点是抛物线上一动点，求PA+PE的最小值。

探究3：若点A的坐标为（3，2），F为双曲线的右焦点，点P是双曲线右支上一动点，求PA+PF的最小值。

教师：归纳点评：如何根据已有的经验并结合数学模型，自觉地去寻求解决方案，所有这些方法的背后都有一个共同的核心“定义”，我们每一次借助定义的感觉，那就像踏上和谐号动车一样被快捷准确的送达目的地。

第4篇：线上教学的定义范文

随着人民生活水平的提高，全民学习、终身学习的理念越来越受到人们的追捧。在互联网技术不断的发展的今天，互联网学习已经成为一种新的时尚。2012年，计算机网络掀起了对于传统教育的变革。MOOC（Massive Open Online Course）开始进入大家的视野，并迅速受到了热捧。MOOC可以翻译为“大规模网络开放课程”[1]，最早起源于2008年，而后传至中国后，转译为“慕课”。MOOC是一个平台，其通过一整套完整的教学模式系统，实现老师线上授课以及学生在线学习。同时MOOC实现了线上线下结合的方式，学生可以根据自己的实际情况，安排具体的课程，完成课程的学习并获得学分。该文着眼于互联网环境下成人教育现状，探索新业态下成人教育发展的新思路、新策略。

1 成人教育特征

1.1 成人教育定义不明确

对于成人教育，研究者们一直没有一个统一的定义。由于对于“成人”的理解存在差异，如今成人教育有以下几种定义：（1）基于对象，定义为“对年龄到达可以工作、投票、战斗结婚并完成了儿童时期的连续教育学习的人说设置的一切教育”[2]。（2）基于功能，定义为“不再进入正规和全日制学校的人，自觉有目的地促使自己提高信息、知识、工作技能、欣赏能力的学习教育”。另一方面，成人教育定义的方法比较单一，成人教育的变迁难以把握，也造成了成人教育在业内一直没有一个比较统一的认识。没有一个统一的认识从理论层面上阻碍了成人教育的健康发展[3]。

1.2 终身教育政策

“终身教育”是20世纪以来，世界上最具影响力的教育思潮之一。党的十报告中提到“积极发展继续教育，完善终身教育体系”，这体现了国家对于继续教育的重视，并在政策层面进一步加强继续教育的作用。终身学习其内涵在于，倡导受教育者终身学习，不断的提高自己的学习能力和自身综合素质[4]。实现终身教育，这有利于创新型国家建设，提升转型经济发展方式，实现国家人才强国战略。终身教育政策的提出，是成人教育发展的一个契机，从国家政策层面，加快了成人教育的发展速度。

1.3 传统成人教育没落

传统成人教育由：教师、课堂、学习者组成，教学模式为以教师为中心的集中式教学为主，教学内容以“知识继承型”教学为主，方法以“单向注入教学”为核心，总的来说传统成人教育是比较单一化扁平化的一种教育形式。教师讲台授课，学生下面聆听，课后完成作业并统一上交的传统成人教育授课方式，无法完全适应信息化教育的步伐。传统教学中，课堂的概念正在不断的消亡。学习的模式从老师决定教授什么知识向学生主导学习哪些知识的方向不断转变，满堂灌的传统教学模式正在被淘汰[5]。

2 成人教育新业态

成人教育的主体是成人，成人普遍承??更多的社会责任，可以用于单纯学习的时间并不充裕。而另一方面，随着人们生活水平的提高，人们对于学习的渴求度再不断的提高。如何更好安排学习、生活、工作，是新时代成年人在一直思考的问题。成人教育需求也由此发生了变革，总结来说，有几个特点。

2.1 突出个性化的教育需求

成人教育的目的是促使成人能力、素质、个性的发展[6]。传统成人教育基本是有政府和学校主导，在课程设置、学习时间以及学习方式等方面都遵循一定的规定性和强制性，学生的自主选择权较小。而如今成人教育强调学院的自主选择权利，尽最大的努力促进成人个性的发展。

2.2 突破时空限制的教育模式

成人往往受到家庭、工作事务等的束缚，很难安排出集中的学习时间。另一方面，传统的固定的授课地点和面对面的授课方式，对于成人碎片化学习时间有诸多不相适应的地方。打破时间和空间的限制，充分利用成人碎片化的学习时间，提升成人教育的培养水平，扩大成人教育的培养范围。

2.3 低成本、全民式的教育体验

相对于素质教育，传统成人教育的费用要高出很多。很多有学习意愿的成人学院由于较高的学习费用而放弃接受成人教育的再提高。如何提供相对费用较低或者免费的成人教育学习资源，利用在线网络实现互动式学习方式，是成人教育的全新的一种发展方向[7]。

3 成人教育发展策略

3.1 转换学习者观念，强调自主能动性

时代在变化，学习者都应该转变观念，成人教育目的是实现自我的再教育，提升自我的综合素质，传统教育“满堂灌”的教育方式显然已经“落伍”了。在互联网的环境下，学员要化被动为主动，主动选择所需的学习内容，减少老师的依赖和影响，不断提高自主学习的能力。同时，学习者要充分利用新时期自主选择学习课程的机会，结合自己的工作、生活、家庭情况、知识基础以及个人兴趣，主动建构知识，能动的选择课程和专业。

3.2 提升服务，转化教师角色定位

“教育者不仅需要传统课堂教学和在线交流与管理的专门经验，还需要高水平的技巧和意识” [8]。新时代下，老师不但是教学的承担者和促使者，还是教育新技术的推广者和卫道夫。在互联网的环境下，教师要营造出一个友好的学习环境、交互式的讨论氛围，推动学员自主能动的进行学习。另一方面，教师要创新教育模式，翻转传统的课堂。通过改变课堂的 教学模式，兼顾班级制教学和个性化教学，促进学习者的自主学习能力，充分调动成人学院的社会角色和身心特点，激发学员学习能力。

3.3 办学者加强合作，创新办学理念

新环境下，作为办学者，不再是简单的整合教学场所、教师以及学员，应着眼于构建完善的互联网教育学习平台。如何实现学员和老师、学员与学员以及老师和老师之间线上的顺畅交流，是互联网成人教育办学者必须关心的问题。另一方面，提供优质全面的在线课程是新时期成人教育的命脉，办学者之间加强合作联合办学，不但可以为学员提供更为优质的服务，还能节约办学成本，实现优化办学的目的。

第5篇：线上教学的定义范文

大学数学是理工科、经济学科等专业必修的基础课程，它是所有理工科学生进入大学后需要首先接触的基础课程，是学生学习后续课程的重要工具，它提供的数学知识、数学思想、数学方法不仅仅是学生学习后续课程的重要工具，还是培养学生逻辑思维和创新能力的重要途径，所以我们必须要做好大学数学的教学工作。大学教育已经从昔日的精英教育转为了大众化教育，进入了一个高速膨胀、全面快速发展的阶段。在当今高校教育的新形势下，我觉得目前数学教学中存在如下问题：（1）各高校招生数量大，生源分布广，学生的知识水平差异也越来越大，有的学生在高中就学会了求函数的导数和微分，而有的学生甚至不会求函数的定义域。（2）当今社会，经济发展速度之快，数学被应用于各个经济和科学领域，但是数学在各个领域的作用程度却有很大不同，不同的专业对数学要求也有不同。这样不同的专业实施同层次的数学教学，就不能满足社会的需求，也无法达到应有的教学效果。因此，根据学生基础不同、专业不同、个人发展方向不同，因材施教，因材施学，实施分层次教学势在必行。

二、大学数学分层教学的实施

大学数学的分层次教学是指通过分层教学层次的确定，制定各层次教学的教学大纲，设定各层次教学的教学目标，让基础不同、专业不同、个人发展方向不同的学生有明确的学习目标。所以，教学目的分层是实施分层教学的关键环节。教学目标应依据教学大纲和教学内容，从基础不同、专业不同、个人发展方向不同的学生的实际出发来进行确定，同时要符合各层次学生的认知特点和能力，通过有针对性地学习目标初步预计到各个层次学生的学习结果。针对差、较差、好三个层次的学生对基本知识点和基本技能的把握程度和接受能力的不同，具体设计三个层次教学的教学目标。对于数学功底好且具有强烈的求知欲和较强的自学能力的学生，教学目标需要有高的要求。定义、性质略讲，重讲内涵和外延，拓宽其知识面，增补近年来名高校在相应章节的考研题，同时还给一些综合性思考题，指导学生刻苦钻研数学竞赛题，积极参加全国每年一度的数学建模大赛和全国大学生数学竞赛，旨在培养学生的发散思维和创新能力。对于数学功底较差，学生的整体素质一般的学生，基本知识点作为讲解重点，要求学生掌握基本理论知识和基本数学思维方法，适当地将部分教学内容进行外延，同时给一些中等难度的思考题，旨在培养学生分析问题和解决问题的能力。对于数学功底差且对新事物的接受与反应能力较慢的学生，基本知识点作为讲解重点，要求学生掌握基本理论知识和基本数学思维方法，反复练习高教大纲要求的基础知识和基本技能，合理控制好教学的进度，本着够用的原则，达到高教大纲规定的基本要求。下面是笔者运用分层次教学来讲解知识点的实例。（1）在全微分的学习过程中，老师对于基础层次的学生的要求就是掌握全微分的定义及利用求函数的全微分。对于中间层次的学生老师要求不仅要掌握以上内容还要掌握函数的可微性的充要条件、充分条件、必要条件。即：充要条件：函数在点可微的定义。充分条件：设函数在点的某个邻域上存在偏导数，并且偏导数在点连续，那么f在点可微。必要条件：设函数在点处可微分，那么该函数在点处的偏导存在。对于高层次的学生在掌握以上知识后还要掌握函数的以下关系式：关系图中带表示由前者可以推出后者，如果没有则表示前者不一定能够推出后者。在掌握以上关系式的同时还能够举出实例证明上述关系。如：我们在证明函数在某一点连续但不一定能够推出偏导存在的关系时可以举以下实例：证明函数在(0，0)点处连续但偏导不存在。证明：函数在(0，0)点有定义且所以函数在(0，0)点连续函数在(0，0)点对于x的偏导：所以在点(0，0)处不存在。同理可知：在点(0，0)处不存在。故函数在(0，0)点连续但偏导不存在。我们在证明函数在某一点偏导存在但不连续可以举下面的例子：证明函数在点(0，0)处偏导存在但不连续。证明：在点(0，0)处：所以该函数在点(0，0)处偏导存在。该函数沿y=x路径趋于(0，0)时，极限值为：而该函数沿y=0路径趋于(0，0)时，极限值为：由于该函数在沿不同路径趋于(0，0)时极限值不同，所以该函数在点(0，0)处不连续。所以函数在点(0，0)处偏导存在但不连续。对于高层次的同学来说以上的关系图中的关系都要能举出实例来证明。（2）为了更好地实施分层教学，我们针对不同的专业，实施不同的教学方法。以教授物理学专业和数学专业为例。方法：由于数学的概念和定义一般都比较抽象，不容易理解和掌握，因此，在介绍数学的概念和定义之前，有必要先讲它的物理学背景。在物理学背景下，对物理数量进行分析、归纳，最后抽象上升为数学的概念和定义。这种以物理学实际出发讲授数学概念的教学方法，首先能激发物理学学生学习数学的兴趣，调动其积极性；其次，能加深其对数学概念的理解，使其更容易掌握概念，理解并熟记公式；最后能提高物理学学生分析和解决物理学数量问题的能力，为其将来的科学研究奠定良好的基础。与此同时，《高等数学》的重要性也显而易见了。实例：数学上，导数的概念就比较抽象，它是函数增量与自变量增量之比的极限：如果把这个概念介绍给物理学学生，他们只能死记这个极限式，而不容易理解其意义，在教学过程中可选择这样一个物理学实例进行分析讨论：研究质点M沿直线作变速直线运动，其运动规律（函数）为s=s(t)，其中t是时间，s是路程，求其在t0时刻的瞬时速度。为了解决这个问题，可以先求出在时间间隔t0到t0+t之间质点M的平均速率：当t变化时，平均速度也随之变化，当|t|较小时，平均速度是质点在时刻t0的“瞬时速度”的近似值。这时，可通过取极限将近似值精确化，即当t小到无限地趋近于零的时候，若趋于确定值，该值就是质点M在时刻t0的瞬时速度v，即在此时，便可引入导数的定义如下：对于函数y=f(x)，当自变量在x0附近有增量x时，函数值也有增量y，如果极限存在，则称函数y=f(x)在x0点处可导，此极限值称为函数y=f(x)在x0点处的导数，用f''''(x0)表示，于是，质点M沿直线作变速直线运动，质点在t0时刻的瞬时速度即为质点M在时间段t类的路程在t0处的导数s''''(x0)。这样讲授，加深了物理学学生对导数概念的理解，使物理学学生掌握了导数在数学上定义为增量比的极限，在物理学上表示物理量的变化率。这种从物理学实际出发，通过分析解决物理学数量问题、引入数学概念的教学方法，能激发学生兴趣，形象具体，深入浅出。他们在学到数学知识的同时，学到了用数学知识去分析和解决物理学数量问题的方法。这些，正是我们期望培养的专门人才所必须具备的知识和能力。就这一问题，对于数学专业的学生就会从连续曲线上的割线MN的斜率（K`＝）入手，N沿曲线不断移向M，其极限位置与M重合，于是将问题转化成连续曲线上过点M的斜率问题K＝，事实上，这就是函数在点M的导数。这种从数学实际出发，通过分析学生们熟知的老问题、引入数学新概念的教学方法，使数学变得神奇、相通、水到渠成，体现了数学之美，从而激发了学生学习数学的积极性。

三、大学数学分层次教学法的意义和作用

第6篇：线上教学的定义范文

1激发学生主动发现、提出问题，让学生“乐学”

学生的主动学习往往是从一个“问号”开始的因此，教师要善于根据学生的认知心理和已有的知识经验，创设富有挑战性的情境，让学生从中主动发现问题、提出问题这样一方面能促进学生主动投入知识的探究过程，因为解决自己提出的问题会让学生真正感觉自己是课堂的主人，是学习的主人；另一方面也能培养学生的问题意识，有利于学生的可持续发展

案例1“向量的数量积”的定义

问题1前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三种运算，接下来，大家认为该学习哪种运算呢？图1

生（齐说）：乘法、除法

师：向量与向量能否“相乘”呢？

（学生在思考、困惑）

问题2一个物体在力F的作用下

发生了位移s，如图1，那么该力对此

物体所做的功为多少？

生1∶W=|F||s|cosθ

问题3从上述模型，对定义“相乘”能否带给你一点启发？

学生开始议论，不少人说：就像做功一样定义，向量a、b相乘：a・b=|a||b|cosθ

师：好的！我们一同来分析这样定义是否合理？这样“相乘”的结果是向量还是数量？

生2：数量

师：这个数与哪些量有关？

生3：与向量a、b的长度和角θ的大小有关

师：那么，角θ该如何规定呢？

生4：做功的角θ是指力的方向与位移方向的夹角，作用于同一个点

师：说得好而我们现在研究的是自由向量，该如何定义呢？

生（大部分）：也规定在同一个起点

教师赞赏后，师生一同具体说明，当θ∈[0°，90°）时，这个数为正；当θ∈（90°，180°]时，这个数为负；当θ=90°时这个数为0，这个数量含有了正、负、零三类实数

师：由此定义“相乘”，前后具有一致性，既有现实意义（物理的做功是模型之一），也比较合理

问题4哪位同学能给这种“相乘”取个合适的名字呢？

生（大部分）：就叫“相乘”吧

生5：说“相乘”不好（不妥），因为它比实数的相乘多了一个cosθ，为避免混淆，可以与结果联系起来，我觉得叫“数量乘”合适

生（几个学生）：叫“数量积”

师：太精彩了，这两个名称都不错，为统一起见，就叫“数量积”吧！

（大家点头表示赞同）

教学随想 教师设置上述四个问题，不断地激发学生发现问题、提出问题、解决问题问题1是从数学逻辑运算体系的需要，有了向量的加法、减法和数乘运算，自然要联想到乘法和除法运算，但是否能进行“相乘”，对于学生而言是困难的；问题2回顾旧知识――物理做功的模型；问题3以上情境对于定义“相乘”能否带给你一点启发？是一句启发式的问句，激发学生思考，期望他们有所发现学生从做功的定义类比迁移到两个向量a、b“相乘”，对学生的定义该如何检验呢？因为定义无所谓对错，所以智慧的教师通过一组对话，与学生一同探索定义的前后一致性和合理性，对角θ进行补充规定，完善了定义问题4是让学生给探索结果取个名称，有学生说，也有学生给予评价，从“相乘”运算的本质是数量得出“数量积”的名称，这确实难能可贵，这是潜能得到激发的结果其实，下定义的过程就是揭示概念内涵的过程，笔者认为，让学生参与定义，不仅符合学生的口味，而且记忆深刻，还能享受发现的乐趣，有益于培养学生的创新思维其实，教材中有不少概念，可以让学生参与到自我定义、自我发现的建构中去，激发学生主动发现、提出问题，让学生“乐学”

2引导学生参与知识的形成过程，让学生“会学”

数学知识是无数前人苦苦探索、逐步积累和完善的产物，它的形成是一个漫长而动态的过程而教材呈现给我们的往往只是浓缩的、静态的、结论性的内容作为教师，我们应该尽可能再现数学知识那曲折的探究过程，演绎数学知识那耐人寻味的形成历程，引领学生积极主动参与这激动人心的探求之旅，实现学生认知过程与数学知识形成过程的统一，让学生在掌握知识的同时，获得更为宝贵的学习方法、能力，以及良好的情感体验

案例2 “球面距离概念”的教学片断

师：请同学们说说平面上A、B两点间的距离概念

生1：连结AB的线段长度，如图2所示（从A到B的最短路线）

师：长方体的面上有A、B两点，请同

学们在长方体的面上画出从A到B的路线，

如图3所示

（学生都在面上连接A、B，并且连线中都与棱CD相交于E）

师：从A到B的路线就转化为AEB，那么E的位置唯一确定吗？

生2：不确定，有无数个点图4

师：那么能否找到最短的一条线？

生3：展开表面，当B、E、A三点一线时为最短

师：这个在长方体面上连结AB的最短路线，也可以说是A、B在长方体面上的距离

师：（提出新问题）如图4所示，如果A、B是球面上的两点，那么如何找到最短路线？

生4：（1）如果把球看成是地球，当A、B在赤道上时，就是在赤道上从A到B的一段劣弧；（2）如果在同一经线上，同样是经线上的一段劣弧

师：如果是在某一纬度上，那么是否是纬线上的

一段劣弧？（激发学生的认知冲突，学生纷纷探究，有的说是，有的举出反例）

师：在平面上的距离是直线段，在长方体表面的最短路线是表面展成平面后是直线段；球面是不能展开成平面的几何体，通过特例我们发现最短路线是圆弧（劣弧），那么在连接A、B的圆中，是哪个圆的劣弧最短？（再一次地激发学生的思维）

生5：在球面上任意两点A、B都可以作一截面，并且截面是圆，问题转化为过A、B的圆中，是否有一个圆，使得连结A、B的劣弧最短？

师：我们共同来探索

经过热烈的讨论，得到过A、B且圆心在球心的圆（称为大圆），使得AB的劣弧长最短我们把这个劣弧长叫做A、B的球面距离

教学随想案例中，教师通过“平面上A、B两点间的距离”，到“长方体面上A、B两点的距离”，再到“球面上A、B两点的距离”的求法，以旧引新、由易到难、层层深入，引导学生通过不断地观察、类比、归纳、猜想、验证等过程，使“球面距离概念”的学习成为“再创造”的过程这样，学生积极探索，对概念理解深刻，充分体现了学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者、引导者与合作者的理念，引导学生参与知识的形成过程，让学生“会学”

3渗透数学思想和方法，让学生“善学”

数学思想方法是对数学知识、方法、规律的一种本质认识，是数学的精髓，是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化成能力的桥梁数学思想方法要在概念、性质、法则、公式、公理、定理的学习过程中适时渗透，让学生在掌握表层知识的同时，又能体验到深层的数学思想方法，使学生思维产生质的飞跃在日常教学中，我们应该深入研读教材，解压教材，挖掘知识背后所蕴藏的丰富的数学思想方法，同时结合具体的教学内容着力渗透，用数学的理性光辉去滋养学生的学习，使之成为学生后续学习的宝贵养料和不竭动力

案例3“等比数列的前n项和”的教学片断

求等比数列{an}的前n项和

时，设公比为q，由通项公式，得

待学生阅读课本后，教师参与学生讨论.

师：课本上是如何求前n项和公式的？同学们概括一下.

生：用q乘（2）式两边，得到与（2）式有很多相同项的等式

（2）（3）两式相减就可得到前n项和公式.

师：噢！用q乘（2）式后产生了与（2）式有很多相同项的（3）式，为何要两式相减？

生：因为两式相减可把相同的项去掉，达到化简的目的.

师：共有多少对相同的项？

生：噢…，共有n-1对.

师：只有用（2）、（3）两式相减的方法才能消去相同项而求出Sn吗，有没有其他的方法？

生：还可用以下代入法：由（2）式得（3）同样可得：

师：很好！那么，用（2）、（3）两式相减和（2）代入 （3）这两种方法，二者有没有一定的联系？

生：（通过思考、比较）这两种方法的实质都是在消元，都可以把所有相同的项消去，减少了项数，达到化简的目的，这两个方法就是我们解二元一次方程组所用的加减消元法和代入消元法.

师：太棒了！你抓住了解决问题的本质，基于消元的考虑，还有没有别的方法？

生：在上面的（1）式两边同乘以q，得，即

观察式（1）、（5），都含有n-1对相同的项，因此，可用减法消元：

师：用减法进行消元时，你们看看有什么特点，怎样来概括这种方法？

生：相同的项在两个式子中的排列是错位的，消元做减法，故称为“错位相减法”.

师：好的，“错位相减法”不仅能求等比数列的前n项和，而且，它的思想方法还可以解决其他的问题，请同学们回想一下，等差数列的通项公式是如何推导出来的？

生：是通过观察、概括的方法得到的，还没有证明.

师：是的，还需要以后用数学归纳法来严格证明，那么，我们设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，同学们试一试，可不可以用“错位相减法”求an？

生：（好奇、急切、专注地）设Sn为{an}的前n项和，即 ，

因为an-an-1=d（n≥2），所以将其列成两行，使其错位，再相减：

师：太漂亮了，大家给点掌声！我们用“错位相减法”把悬而未证的等差数列的通项公式给出了证明，使我们应用公式更加踏实！

教学随想 案例中，教师从教材中“求等比数列的前n项和”的方法出发，引导学生探索了“求等比数列的前n项和”的加减消元法和代入消元法，分析了两种方法的实质是“错位相减法”，很自然地用“错位相减法”证明了等差数列的通项公式这样变换思维角度，打开思维通道，渗透数学思想和方法，让学生“善学”

第7篇：线上教学的定义范文

[关键词] 课本；习题；探索；拓展；应用

新课标卷的考题注重知识的形成过程，试题源于教材，但是难度高于教材。学生普遍认为课后习题不重要，没必要花费时间和精力。其实不然，课后习题是课堂教学过程的重要组成部分，是巩固新旧知识，形成技能技巧，培养良好思维品质，发展学生智力的重要途径。教师在教学中要注意对例题，练习题的归纳总结及知识的提炼，从简单问题中发现结论、规律、提前做好高考备考准备。本文仅以圆锥曲线为例谈谈课本习题、练习题在教学中的拓展、提升。

1、由例题探究直接利用条件求轨迹的问题。

对于平面内动点所满足的轨迹方程求解问题，要先确定动点所满足的条件，然后把条件在适当的坐标系中转化为方程形式。在这个转化过程中，文字语言与符号语言的转换是关键。

例1.（P41 例6）点M（x， y）与定点F（4， 0）的距离和它到直线Ix=25 4的距离的比是常数4 5，求点M的轨迹。

分析：问题中涉及点到点的距离和点到线的距离。

分析后用式子表示为MF MH=4 5

由距离公式就可以求出轨迹方程。

例2.（P43 2）点P与定点F（2， 0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1：2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图像。

分析：问题中条件和例1一样是点到点和点到线的距离问题。

由题意知动点P（x， y）满足的条件为MF MH=1 2

2 （x-2）2+y2=8-x

4（x2-4x+4+y2）=64-16x+x2

3x2+4y2=48

X2 16+y2 12=1

点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆。

课本P52 例5 P43 B组练习题1.P54 B组练习题3 练习均为轨迹探求类型。

2、应用圆锥曲线定义求轨迹型

例3（P42 A组1）如果点M（x， y）在运动过程中，总满足关系式x2+（y+3）2+x2+（y-3）2=10

点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.

分析：此题学生的难点在于不会把方程与曲线的定义相互融合，拿到题目只想到利用平方化简方程，导致运算复杂，繁琐.

其实由方程形式结合距离公式就看出：此等式表示动点M（x， y）到两定点（0， -3） （0， 3） 的距离之和为10，而两定点间距离为6的问题，由椭圆定义就可以判断出a=5，c=3，b=4 ，所以所求方程为y2 25+x2 16=1

例4.如图圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点 当点P在圆上运动时，点 的轨迹是什么？为什么？

分析：连接θA，由中垂线知θA=θP

θO+ θP=r

θO+ θP=r

θO+ θP=r

OA< r

由定义知 点的轨迹为以O，A

为焦点的椭圆。

例5.（P54 A组5）此例与上例不同之处仅在于点A在圆O外.

分析：由中垂线知θA =θP

θP-θO =OP=r

θA-θO=r（r

由双曲线定义知 点的轨迹为以O、A为焦点的双曲线的一支

以上3例都是紧扣定义探求轨迹的问题。

3、应用定义求最值

例6（新教材新学案P37创新探究）如图，已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又点A（3， 2） 求|PA| + |PF|的最小值，并求出最小值时P点坐标。

分析：由抛物线定义知 |PF| = d =|PH|

|PA| + |PF| = |PA| + |PH|

要求的最小值即为AHl 此时，

A、H、P三点共线，

最小值为3-（-1 2）=7 2

P点的纵坐标为2

y2=2xx=4 2=2

P点坐标为（2， 2）

题目中要求动点到两定点的距离之和问题，转为与一个定点和一条定直线的距离之和问题.

即 动点 定点A（3，2）

定点F（1 2，0）x=-1 2 动点 定点A（3，2）

x=-1 2

此例除用定义转化距离问题外，还用到三角形两边之和大于第三边，确定取得最值时点P的位置，问题才得于求解.

例7.（新教材新学案 P37基础训练 3）已知直线l1；4x-3y+6=0和直线l2；x=-1抛物线y2=4x上一动点P到直线 和 的距离之和的最小值是_________.

分析：抛物线y2=4x上的动点P

到线l2；x=-1的距离，即为点p到

定点F的距离，如此一

转化，最小值即为焦点

F到l1的距离10 16+9=2

与上例类似同样是用定义转化了求最值问题

动点定直线 l1：4x-3y+6=0

定直线l1：x=-1 焦点F（1， 0）

动点到两定直线的距离之和问题转化为动点到一定点和一条直线的距离之和问题。

4、通过例题习题探索性质。

在新课标教材中，很多重要结论都不再以性质形式直接呈现在教材上，大多数都是在习题练习题中，通过对习题的具体求解探索性质。让学生参与知识的形成过程，真正体现新课程“自主、合作、探究”的理念。

例8.（P36. 3）涉及过椭圆x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）一焦点F作x轴的垂线，利用垂线段|MF|求解问题，这是圆锥曲线中的常用知识点-通径。教学中学生动手可以发现规律。

由 x=c

x2 a2+y2 b2=1y=±b2 a

|MN|=2b2 a

由此推广到双曲线中得|MN|=2b2 a

抛物线中|MN|=2p

例9.（P68 B组2）从椭圆x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）上一点P向x轴作垂线，垂定恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴的交点，且AB//OP|F1A|=10+5求此椭圆方程.

分析：因为PF1x轴由半通径知

又由AB//OP知|PF1|=b2 a又由AB//OP知tan∠BAO=知tan∠POF1而知tan∠BAO=b a

所以：tan∠POF1=PF1 F1O=b2a c=b2 ac=b ab=c①

|F1A| =c+a=10+5 ②

由①，②知c=5=ba=10

所以：所求方程为x2 10+y2 5=1

第8篇：线上教学的定义范文

一、运动生物力学的定义：

运动生物力学的定义（国内）是运动生物力学是一门新兴学科，现在比较通用的定义是“运动生物力学是研究体育运动中人体机械运动规律的科学”。国外对这门学科的定义也大相径庭究，有些国家把运动生物力学认为是人体内部运动器系运动和外部人体整体运动的力学特性，尽管运动生物力学在国内外还没有形成统一的定义，但是运动生物力学的作用和研究意义已被各个国家所重视。

二、在技术教学中的重要地位

在体育运动中任何一项身体练习都由一定的动作及动作体系构成，而完成每个动作及整套动作都存在着最合理的运动技术。合理的运动技术以运动生物力学理论为依据，并富含运动生物力学原理。而运动生物力学又以其分析科学性，结构合理性为体育技术教学提供理论和方法上的指导，它可以通过对形形体育动作差别原因的分析，探讨出获得良好技术的各种力学条件，从而使学生更完善地认识、学习和掌握合理的运动技术动作。

三、对技术教学的积极影响

在技术教学中，及时而有针对性地向学生传授运动生物力学原理，往往能引起学生对学习和掌握运动技术的兴趣，并使复杂的技术简单化，从而有利于学生及时纠正自己的错误动作，并防止由于错误动作而带来的运动损伤。

（一）提高学习运动技术的兴趣

随着新科技、新技术的不断地推动着体育科学技术的发展，新的运动技术取代旧的运动技术，或高级运动技术取代低级运动技术，已成为当今社会的总体趋势。新的运动技术比旧的运动技术更科学、更合理、更实效，并且更符合人体特点。因此，新技术总能吸引更多的人去研究和学习。在体育技术教学中，如何引起学生对新技术的兴趣是学习的第一动力。比如，我们所说的站立式起跑和蹲踞式起跑，相对以往而言站立式起跑比蹲踞式起跑要舒适，运动员一般都采用站立式起跑。随着科学的发展，运动生物力学这门学科逐渐进入了人们的视角，从生物力学的角度来剖析站立式起跑和蹲踞式起跑的区别，蹲踞式起跑更有利于起跑，对于短距离的起跑和起跑后的加速跑这两个阶段从实效性和经济性这两个角度而言作用最大，同时也为短距离途中跑和冲刺跑奠定了一定的能源物质基础，当今在全国乃至世界在短距离运动项目中全部必须采用蹲踞式起跑。如此，学生就会对蹲踞式起跑产生浓厚的兴趣，大有跃跃欲试的欲望，从而在技术教学中就会主动、积极地参与并思考、体会技术细节，进而缩短掌握技术动作的时数，有利于提高技术教学效果。

（二）使复杂的技术问题简单化

相对于以往的体育教学中，当体育教师对某一项较为复杂的技术过程讲解时，学生常会因为技术动作太复杂而影响学习，但如果教师能用适当的力学知识加以分析和运动生物力学的研究方法往往能使学生“顿悟”，从而激发学生的学习积极性。如：足球的香蕉球是一项较复杂的技术动作，且香蕉球形成的力学原因也极为复杂，但根据球在空中的运行轨迹的力学现象，我们只要在踢球过程中，保证击球点的用力通过球心，且不在一条直线上，就为香蕉球的产生创造了条件。因此我们可以运用运动生物力学中常用的研究方法去解决这个问题，利用高速摄影、电视、录像和数据的分析，把学生、运动员的运动技术进行摄影、录像、高速摄影，然后回放给学生，学生可以从动作回放和慢放中知道动作的运动轨迹，和香蕉球击球点的位置。因此，对复杂的技术动作稍加力学分析，和采用先进的设备便可使复杂问题简单化，便于学生理解并提高教学效果。

（三）减少损伤以利掌握合理技术

第9篇：线上教学的定义范文

（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．

（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．

（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．

（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法．

（5）进一步理解数形结合的思想方法．

教学建议

教材分析

（1）知识结构

曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究．因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题．

（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．

②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．

教法建议

（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．

（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备．

（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则．

（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：

设表示曲线上适合某种条件的点的集合；

表示二元方程的解对应的点的坐标的集合．

可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即

（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做．同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得．教学中对课本例2的解法分析很重要．

这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即

文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的，的代数方程

由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程．”

（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”．

教学设计示例

课题：求曲线的方程（第一课时）

教学目标：

（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．

（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．

（3）初步掌握求曲线方程的方法．

（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．

教学重点、难点：求曲线的方程．

教学用具：计算机．

教学方法：启发引导法，讨论法．

教学过程：

【引入】

1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．

学生思考并回答．教师强调．

2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．

对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：

（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．

（2）通过方程，研究平面曲线的性质．

事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．

【问题】

如何根据已知条件，求出曲线的方程．

【实例分析】

例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程．

首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．

解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），

由斜率关系可求得l的斜率为

于是有

即l的方程为

①

分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线的方程？根据是什么，有证明吗？

（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．

证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．

设是线段的垂直平分线上任意一点，则

即

将上式两边平方，整理得

这说明点的坐标是方程的解．

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

设点的坐标是方程①的任意一解，则

到、的距离分别为

所以，即点在直线上．

综合（1）、（2），①是所求直线的方程．

至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：

解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合

由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为

将上式两边平方，整理得

果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．

这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．

让我们用这个方法试解如下问题：

例2：点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程．

分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．

求解过程略．

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：

首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；

（2）写出适合条件的点的集合

；

（3）用坐标表示条件，列出方程；

（4）化方程为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．

上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．

下面再看一个问题：

例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．

【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．

解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合

由距离公式，点适合的条件可表示为

①

将①式移项后再两边平方，得

化简得

由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．

【练习巩固】

题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点轨迹方程．

分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为．

根据条件，代入坐标可得

化简得

①

由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为

【小结】师生共同总结：

（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？

（2）如何求曲线的方程？