四则运算法则精选(九篇)

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第1篇：四则运算法则范文

极限是微积分的一个重要概念，是贯穿微积分的一条主线，极限的计算又是学好微积分的重要前提条件。正因为数学之美妙不可言，数学中解题方法的多样性更是引人入胜，许多人都在探索着高等代数中求极限的方法并有所成效。在前人的基础之上我对求极限的方法作了进一步的归纳总结，希望能让读者从中受益，能让初学者懂得将静态的、内隐的教学规律转化为动态的、外显的探索性的数学活动，从而对数学学习的认知发生一个“质”的飞跃。

一、由定义求极限

极限的本质――既是无限的过程，又有确定的结果。一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论，另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。

然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值，因此由定义法求极限就有一定的局限性，不适合比较复杂的题。

二、利用函数的连续性求极限

此方法简单易行但不适合于f（x）在其定义区间内是不连续的函数，及f（x）在x0处无定义的情况。

三、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限

极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件。满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之，不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换，分子分母有理化等等。

四、利用两边夹定理求极限

定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，则limZ=A

两边夹定理应用的关键：适当选取两边的函数（或数列），并且使其极限为同一值。

注意：在运用两边夹定理求极限时要保证所求函数（或数列）通过放缩后所得的两边的函数（或数列）的极限是同一值，否则不能用此方法求极限。

五、利用两个重要极限求极限

六、利用单调有界原理求极限

单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。使用单调有界准则时需证明两个问题：一是数列的单调性，二是数列的有界性；求极限时，在等式的两边同时取极限，通过解方程求出合理的极限值。

利用单调有界原理求极限有两个难点：一是证明数列的单调性，二是证明数列的有界性，在证明数列的单调性和数列的有界性时，我们通常都采用数学归纳法。

七、利用洛必达法则求极限

八、利用等价无穷小代换求极限

在实际计算过程中利用等价无穷小代换法或与其它方法相结合，不失为一种行之有效的方法，但并非计算过程中所有的无穷小量都能用其等价的无穷小量来进行计算。用等价无穷小代换时，只能代换分子、分母中的乘积因子，而不能代换其中的加减法因子。于是用等价无穷小代换的问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进行x的等价无穷小代换这一点上，在利用等价无穷小代换的方法求极限时必须把分子（或分母）看作一个整体，用整个分子（或分母）的等价无穷小去代换。

九、利用泰勒展式求极限

运用等价无穷小代换方法求某些极限，往往可以减少计算量，使问题得以简化。但一般说来，这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除的极限，而对两个无穷小量非乘或非除的极限，对于一些未能确定函数极限形态的关系式，不能用洛必达法则及等价无穷小代换方法，须用泰勒公式去求极限。

第2篇：四则运算法则范文

关键词： 函数 求极限 常用方法

极限这一概念是整个高等数学中的基础概念之一。在给定函数（或数列）的极限存在的前提下求极限的方法又作为学习极限问题的基础。笔者在此总结出高等数学中求极限的几种常用方法。

一、利用极限四则运算法则求极限

函数极限的四则运算法则：设有函数，若在自变量f（x），g（x）的同一变化过程中，有limf（x）=A，limg（x）=B，则

lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B

lim［f（x）・g（x）］=limf（x）・limg（x）=A・B

lim==（B≠0）

（类似的有数列极限四则运算法则）现以讨论函数为例。

对于和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，但使用这些法则，往往要根据具体的函数特点，先对函数做某些恒等变形或化简，再使用极限的四则运算法则。方法有：

1.直接代入法

对于初等函数f（x）的极限f（x），若f（x）在x点处的函数值f（x）存在，则f（x）=f（x）。

直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式，若有意义，其极限就是该函数值。

例1：求极限（x+3）。

解：（x+3）=2+3=7。

2.无穷大与无穷小的转换法

在相同的变化过程中，若变量不取零值，则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。

（1）当分母的极限是“0”，而分子的极限不是“0”时，不能直接用极限的商的运算法则，而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系，先求其的极限，从而得出f（x）的极限。

例2：求。

解：==0

=∞。

（2）当分母的极限为∞，分子是常量时，则f（x）极限为0。

例3：求。

解：=0。

3.除以适当无穷大法

对于极限是“”型，不能直接用极限的商的运算法则，必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。

例4：计算。

解：===3。

一般情形有如下结论：

设a≠0，b≠0，m，n是正整数，则

=0，当n＞m时，当n=m时∞，当n＜m时。

4.有理化法

适用于带根式的极限。

例5：计算（-）。

解：（-）=

==0。

二、利用夹逼准则求极限

函数极限的夹逼定理：设函数f（x），g（x），h（x），在x的某一去心邻域内（或|x|＞N）有定义，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），则g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（类似的可以得数列极限的夹逼定理）

利用夹逼准则关键在于选用合适的不等式。

例6：计算x［］。

解：当x＞0时，有1-x＜x［］≤1，利用夹逼准则，有（1-x）=1，所以有x［］=1。

三、利用单调有界准则求极限

单调有界准则：单调有界数列必有极限。

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程，可求出极限。

例7：证明数列，，，…有极限，并求其极限。

证明：（1）先证数列有界，易知{x}递增，且x≥，

用数学归纳法证明x≤2，显然x=＜2，

若x≤2，则x=≤=2。

（2）再证数列单调增加x-x=-x==。

利用（1） 0＜x＜2?圯x-x＞0。

（3）利用单调有界收敛准则，x=a。

（4）由x=，x=2+x。

在等式两端取极限，得a=2+a，求得a=2或a=-1（明显不合要求，舍去）

所以x=2。

四、利用等价无穷小代换求极限

常见等价无穷小量的例子有：当x0时，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。

等价无穷小的代换定理：设α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自变量x在同一变化过程中的无穷小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，则lim=lim。

例8：计算。

解：利用等价无穷小代换，

有===。

注：当分母或分子是两个等价无穷小相减时，不可简单地用各自的等价无穷小代换，否则将导致错误的结果，从另一个角度，等价无穷小代换适宜在乘积和商中进行，不宜在加减运算中简单代换。

例如：因为x0时，tanx～x，sinx～x，有==0。

上式出现错误的原因是当x0时，尽管tanx～x，sinx～x，但tanx与sinx（x0）趋于零的速度只能近似相等，但不完全相等。

五、利用无穷小量性质求极限

在无穷小量性质中，特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。

例9：计算xsin。

解：当x0时，x是无穷小量，由|sin|≤1，即sin是有界量，故xsin是无穷小量，于是xsin=0。

六、利用两个重要极限求极限

使用两个重要极限=1和（1+)=e求极限时，关键在于对所给的函数或数列作适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。

例10：计算。

解：===2。

例11：计算（）。

解：（）=［（1+）］=e。

七、利用洛必达法则求极限

如果当xa（或x∞）时，两个函数f（x）与g（x）都趋于零或趋于无穷小，则可能存在，也可能不存在，通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式，对于该类极限一般不能运用极限运算法则，但可以利用洛必达法则求极限。

洛必达法则：

设（1）极限为型或型未定式；

（2）f（x），g（x）在某去心邻域（x）或|x|＞X时可导，且g′（x）≠0；

（3）存在或为无穷小，则=。

其他未定式，如“0・∞”型、“∞-∞”型、“1”型、“0”型、“∞”型，不能直接用洛必达法则，需转为“”型或“”型后再用洛必达法则。

例12：计算。（型）

解：==2。

例18：计算（sinx）。（0型）

解：（sinx）=e=e=e=e=e=e=1。

八、利用泰勒公式求极限

如果函数f（x）在含有x的某个开区间（a，b）内具有直到n阶的导数，则当x在（a，b）内时恒有f（x）=f（x）+f′（x）（x-x）+（x-x）+…+（x-x）+o［（x-x）］（xx），

其中o［（x-x）］称为皮亚诺余项，当x=0时，上述等式称为麦克劳林公式。

对某些较复杂的求极限问题，可利用麦克劳林公式加以解决。

例19：计算。

解：=

==。

在用泰勒公式求极限时，我们应当灵活应用分清哪些项需要展开，哪些项可以保留。对于复杂函数的极限，泰勒公式是一个有力且有效的工具。

九、利用定积分定义求极限

若遇到某些求和式极限问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限，关键在于根据所给和式确定被积函数，以及积分区间。

例15：计算sin+sin+…+sinπ。

解：原式=sin+sin+…+sinπ+sinπ=?蘩sinπxdx=［cosπx］=。

从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析，不能机械地用某种方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多种方法混合使用，要学会灵活运用。

参考文献：

［1］同济大学应用数学系.高等数学（第五版）（上）［M］.北京：高等教育出版社，2002.

第3篇：四则运算法则范文

周清松 普洱学院理工学院 云南普洱 665000

基金：云南省教育厅科学研究基金项目（2013Y107）

【文章摘要】

用模拟人工手算的方法，很好的解决了大整数运算的问题，从而实现大整数运算时不受长度的限制。通过分析比较，发现用整型数组作为存储结构虽简单易行，但这种存储方式浪费空间，而采用字符串来处理，对算法设计及空间利用率都是很好的选择。

【关键词】

大整数；算法模拟

0 引言

随着社会经济和高端科学的发展， 超大数理级的处理也越来越多的应用的社会生活的各个领域。比如在国家经济生活中，决策者们需要通过收集，处理，统计和分析工农业中有关的数据。从而得到精确的结果。借以指导下一步的社会经济发展。在航空领域，科技工作者们更要处理大量的数据，其中不乏一些超大的数据或超高精度的数据，整个处理过程不能有丝毫的马虎。在密码领域，如果能采用超大的数据进行算法设计，对社会保密工作将会有一个极大的提升。因此，大整数的处理是研究计算机数字处理的重要问题之一，所谓的大整数，是指超过目前各编译器所定义的最高精度的整型数。目前计算机所标称的有效数值范围仍是依据计算机的字长规定的，像现在的pentium64 位超过了20 位的有效数字就不能完整表示了。

1 问题分析

如果要完成大整数的四则运算，首先要解决的问题是如何存储运算数的问题， 其次是设计算法实现运算的过程。

1.1 超大数存储技术

1.1.1 整型数组存储

采用数组这种常用存储方式进行如下处理，将输入的数据拆成单个的字符， 并将该字符存放在整型数组的一个单元中，然后进行相关的运算，如图1 所示：

采用这种方式存储，对存储数据的任何一位的数据的访问、修改都非常方便， 但是，空间利用率非常低，存储0~9 之间的一个数最多占用4 个位，而在vc++ 中任一个整型占四个字节，即是32 个位，可见空间的利用率最多才到1/8。这样一来， 虽然算法设计过程简单而可行，但是空间付出了大量的代价，况且数组的大小是一个静态值，对空间的支配没有自由。

1.1.2 链式存储

链表是可以动态使用存储空间的一种存储方式，为了有效利用空间，我们定义数据类型是char 型的链表结点，以字符单链表的形式存放要处理的大整数的各位上数值。但是我们都知道，单链表的操作中对于随机访问链表中的数据和寻找链表的前驱结点要花费大量的时间，而且链表中每个结点存放’0’~’9’之间的一个字符， 则至少浪费了半个字节加上一个指针的空间，利用率小于25%。所以空间上虽然有节省，但是总体效率还是很不好。

1.1.3 字符串存储

将每个大整数看成一个字符串，采用字符数组的方式存储这些字符串，每个数组元素仍然存放一个数据字符，空间利用率比整型数组大得多，可以发现利用率在12.5%~50% 之间，而且由于是顺序存储， 对于数据的访问、找前驱、后继等操作能够在短时间完成

综上所分析：字符串存储无论在算法设计还是在空间利用上都比较好，所以我们采用了第三种方式，即字符串方式实现存储。

1.2 运算方法设计

1.2.1 符号处理

(1) 本算法用字符串的长度带符号标识数据的正负性，比如－ 99999 ， 在0 ～ 9 之间

的字符个数是5，则用Len ＝－ 5 同时标识数据－ 99999 的长度与正负性。

(2) 算法中先将符号处理，后调用函数对数据进行处理，下面是对符号进行处理的情况：

A、如果加法中两个数异号，则调用减法；如果两个数同号，调用加法函数，结果为负数则在结果前添上“－”。

B、如果减法中两个数异号，则调用加法，结果与被减数同号；如果两个数同号， 则调用减法。当同为正时，如果被减数大， 则用被减数减去减数，否则用减数减去被减数，结果前添上“－”；当同为负数时，当被减数绝对值比减数的大时，则则用被减数减去减数，结果前添上“－”，否则用减数减去被减数。

C、如果乘除法中两数异号，则结果为负；如果两数同号，则结果为正。除法中， 余数符号和被除数保持一致。

1.2.2 数据处理

本算法主要涉及四则运算的加、减、乘、除。

加法：从个位开始（从右至左），将加数和被加数长度相同的部分，带进位（有进位为1，无进位为0）按位相加，并将结果按从左至右的顺序存放；如果被加数（加数）较长，则先用比加数（被加数）长的部分加上最后一次的进位，然后从右至左的顺序依次复制到开始时所得结果的后面。最后，调用翻转函数，使结果按从高位到低位的顺序输出。

减法：先将被减数和减数长度相同的部分进行带借位相减（有借位为1，无借位为0），并将结果按从左至右存放；然后， 将被减数比减数长的部分减去借位，并将其从右至左的顺序依次复制到开始时所得结果的后面。最后，调用翻转函数和去零函数（去掉高位的0），使结果按从高位到低位的顺序输出。

乘法：A、将乘数进行按位分解；

B、调用一个多位数乘以一位数的函数。如果是乘的个位的话，就不用在乘积后面加0 ；否则，如果乘的是十位上的数， 则在结果后添一个0 ；如果是百位上的数， 则在结果后添两个0．．．．．．

C、将结果累加；

D、重复B 和C 的操作，直到乘数长度为0。

除法：如果除数为0，给出提示”除数不能为0 ！”并跳出程序，让用户再次输入；

如果被除数比除数小，则商为0，并将被除数作为余数；否则：

A、取数：即从被除数中取出长度与除数长度相同的数。

B、分析：如果被取出的数比除数大或等，则用除数与j （1<j<11）相乘，若被除数小于除数与j 的乘积且大于除数与j-1 的乘积，则商j-1。

如果被取出的数比除数小，则商0 且从被除数中再取一位，然后重复A 的操作。

C、重复A 和B 的操作，直到被除数长度为0。

图 1 2 算法分析

加法：在平时的计算机运算中，当数据超过一定长度，机器会自动进行取余，从而得不到想要的数，比如说，c 语言中的unsigned int 型，他的取值范围是0~65535，如果用65535+1，你将得不到65536，而是得到（65535+1）%65536=0。所以在此要另找新的途径。在加法中最难解决的是进位处理问题及如果进行加法运算，我们参照了归并排序的思想，先把长度为L1（加数与被加数中较短长度）对应位相加，然后对剩余位n-L1 位进行进位处理，在此过程中我们用到了2 个字符串， 所以时间与空间复杂度均为O（n）级，可见此方法是可行的。

减法： 减法与加法类似，时间与空间复杂度均为O（n）级。

乘法： 假设被乘数的长度为n，乘数的长度为m。在算法中，我们将乘数分解为单个字符并与被乘数相乘，并进行m 和的累加，所以实现过程中用了两重循环， 其时间复杂度为O（m*n）级，空间复杂度为O（m+n）级。

除法： 每次取出与除数长度相等或比除数长度大1 的位数进行运算，其中调用了减法，在减法中又调用了乘法的子函数，所以时间复杂度为O（m*n2）

3 算法实现

由于实现大整数的四则运算是借助VC++ 软件设计平台，因此下面对四则运算的实现过程采用C++ 进行描述

3.1 加法实现过程

功能：将str1 和str2 相加，返回结果存在str 中。其中，for 循环用来对两个数长度相等的部分进行按位相加，表达式： str+=(str1[i]+str2[j]+c-96)%10+'0' 表示把str1[i] 与str2[i] 相加后所得的字符存放于str 中；c=(str1[i]+str2[j]+c-96)/10 表示取得这次的进位。while 循环用来带进位（没有进位则为0）处理较长数的剩余部分。最后，如果仍有进位，则用表达式str+= c + '0' 存放到str 中。因为以上所得的结果是逆序的，所以调用翻转函数reverseStr( ) 即可得正确的结果。

核心代码如下：

for(i=str1.size()-1,j=str2.size()- 1;i>=0&&j>=0;i--,j--)

{

s t r + = ( s t r 1 [ i ] + s t r 2 [ j ] +c-96)%10+'0';

c=(str1[i]+str2[j]+c-96)/10;

}

while(i>=0&&j<0)

{

str+=(str1[i]+c-48)%10+'0';

c=(str1[i]+c-48)/10;

i--;

}

while(j>=0&&i<0)

{

str+=(str2[j]+c-48)%10+'0';

c=(str2[j]+c-48)/10;

j--;

}

if ( c > 0 )

str+= c + '0';

reverseStr(str);

3.2 减法实现过程

功能：将较大数str1 与较小数str2 进行相减，结果存放在str 中。其中，For 循环用来对str1 与str2 长度相等的部分按低位到高位相减。若str1[i] 的相应位减去借位位以后仍然比str2[i] 大，则不需要进行借位。此时用表达式str+=(str1[i]- str2[j]-c)%10+'0' 把求得相减后的第i 位上的字符放在str 中，置c=0 表示没有借位；若str1[i] 减去借位位后比str2[i] 小，则需要借位，表达式str+=(str1[i]- str2[j]+10-c)%10+'0' 表示把借位后求得第i 位的字符存于str 中，置c=1 表示有借位，如此反复循环进行。while 循环的作用是减完str2 后，对str1 剩余部分进行带借位处理，其原理与for 循环相似。按照上面的算法我们得到的字符有两处需要处理：a、我们得到的字符串是逆序的，需要用翻转函数reverseStr( ) 进行处理。b、相减后可能高位存在0，这种情况需要调用deletezore（）进行处理。

核心代码如下：

f o r ( i = s t r 1 . s i z e ( ) - 1 , j = s t r 2 . s i z e ( ) - 1;j>=0;i--,j--)

{

if(str1[i]-c>=str2[j])

{

str+=(str1[i]-str2[j]-c)%10+'0';

c=0;

}

else

{

str+=(str1[i]-str2[j]+10-c)%10+'0';

c=1;

}

}

while(i>=0)

{

if(str1[i]-c>='0')

{

str+=str1[i]-c;

c=0;

}

else

{

str+=str1[i]+10-c;

c=1;

}

i--;

}

reverseStr(str);

str = deleteZero(str);

3.3 乘法实现过程

在乘法的实现过程中用到了v o i d c t o d ( s t r i n g &s t r , i n t a [ ] ) 、s t r i n g multiply1(string& str, int n) 函数，先介绍这两个函数。ctod(string &str,int a[]) ：其功能是将字符串转换成整型数组。str 存放被转换的字符串Int a[] 存放转换后的整型数组。string multiply1(string& str, int n) ：其功能是用str 种的字符转换成整型数，然后乘以n。rst 存放结果。

核心代码：

for (int i = str.size()-1; i >= 0; --i)// 从str 的右边第一位开始乘n

{

rst+=((str[i]-'0')*n +c)%10 + '0';// 取得乘积的个位数

c =((str[i]-'0')*n+c)/ 10;// 取得乘积的进位位

}

if ( c > 0 )// 如果最后有进位位，将其转换成字符型

rst += c + '0';

reverseStr(rst);// 将结果从高到低换位

功能：用str1 存放被乘数，str2 存放乘数，rst1 保存被乘数与乘数每一位的乘积，rst2 用于累加rst1 的累加和， 调用ctod 函数将str2 字符串转换成整型数组放在int b[6000] 中，b[0] 用于存放数组b[6000] 的长度。在处理的时候是从b[6000] 的最后一个元素b[b[0]] 开始逆序处理。由于个位数与被乘数相乘不需要在后面补0，故单独处理， rst2=multiply1(str1,b[b[0]])。其他位上的数则调用rst1=multiply1(string& str, int n)， 并做若干次rst1+=‘0’操作（如果n 是十位上的数则rst1 后加一个0，若是百位上的数则加两0….）。累加每次所得的乘积， rst2= add(rst1,rst2)。由于乘积最后结果的高位可能为0，所以调用deletezero（）函数去除高位的0。

核心代码：

 

ctod(str2,b);// 将字符串转换成整型数据

 

rst2=multiply1(str1,b[b[0]]);// 由于个位与str1 相乘不需乘10，所以就单独处理

 

for(i=b[0]-1;i>=1;i--)//str1 依次与b 中的每个数相乘

第4篇：四则运算法则范文

关键词：小学数学；应用题教学；注意问题

提高学生解答应用题的能力，是事关提高学生数学素质的大问题，对开发智力、活跃思维、挖掘潜能有着重要的意义。如何提高小学数学应用题教学，是数学教师不断探索的课题。

一、掌握四则运算的实际应用

四则运算是解答各种各类应用题的重要基础，不管应用题如何千变万化，其实都是四则运算的实际应用。学生对四则运算的意义不了解，解答时就有可能胡猜算法。学生对运算法则、运算顺序和步骤，如果是清楚的，计算题通过训练就容易掌握，计算的每一步在式子里就都能反映出来，看得见，摸得着，对与错一目了然。在解答多步计算的应用题时，如果能够正确运用递等式演算多步计算式题，懂得四则混合运算式题中的乘除运算，按乘在先先算乘，除在先先算除，乘除运算被加、减运算隔开，乘、除可以同时运算的顺序演算，也能提高解题效率。

二、完善数量关系的分析确定

小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。它由两部分构成：已知条件和所求问题。教师要从简单应用题入手，有意识地培养学生认真审题的习惯，从读题开始，到读题完毕，边读题边思考，弄明白题意，要能说出这道题讲了什么事，告诉了我们哪些条件，提出的是什么问题，并能根据解题要求，找出题中的直接条件与间接条件、已知量与未知量，用不同的符号或线段图标示出来，构建起条件与问题之间的联系，确定数量关系，这样才好确定解决问题的方法，这是准确解答应用题的先决条件。

第5篇：四则运算法则范文

【关键词】极限；洛必达法则；夹逼准则；连续性质；泰勒公式；无穷小

极限是在实践中产生的，例如我国古代在求圆的面积时，应用割圆术来求圆的面积，从而产生了极限的思想。而极限是微积分中的一个重要概念，微积分的思想就是极限的思想。因此极限对于微积分来说就显得尤为重要。下面我就从五个方面来研究求极限的方法。

一、按定义证明

利用极限的定义来论证某个数A是函数的极限时，重要的是对于任意的正数ε，要能够指出定义中所说的这种δ确实存在。

例如证明

证明由于

为了使 ，只要

所以， ，可取 ，则当 适合不等式 时，对应的函数值 就满足不等式

从而

二、按运算法则计算

1.利用无穷小法则

两个无穷小的和的极限是无穷小，有界函数与无穷小的和是无穷小，常数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小的乘积是无穷小。

例如 =0 这是有界函数与无穷小的和是无穷小的例题

，而 是有界函数

2.利用四则运算法则

如果 ， ，那么lim[f（x）±g（x）]=A±B

lim[f（x）・g（x）]=A・B

例如

3.利用复合运算法则

设函数y=f[g（x）]是由函数 与函数 复合而成，f[g（x）]在点 的某去心邻域内有定义，若 ， ，且存在 ，当 时，有 ，则

例如 ， 是由 与 复合而成

三、按洛必达法则计算

当极限是未定式时，就可以用洛必达法则计算。

例如

四、按夹逼准则计算

如果（1） 时，

（2）

。那么

例如计算

又

五、按无穷小等价代换定理计算

设 ～ ， ～ 且 存在，则

例如计算

解：当 时， ～ ， ～ ，所以

六、按连续性质计算

设函数 在 的某邻域内连续，那么

例如计算

七、按泰勒公式计算

利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，可求某一些未定式的极限

例如计算

八、重要极限

例如计算

极限是变量变化的一种趋势，求极限的方法的研究，其实就是研究变量的一种基本的方法。在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，本文通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

参考文献：

[1]同济大学数学系 高等数学 第七版上下[M].北京： 高等教育出版社，2014.

[2]方桂英.高等数学[M].北京： 科学出版社，2009.

第6篇：四则运算法则范文

        数与代数的第一堂课，一般不讲课本知识，而是对学生初学代数给予一定的描述、指导。初一年级学生学习基础较薄弱，学习能力还不够强．通过小学四则运算的学习，头脑中已形成相关计算规律，知道数都是指正整数、正分数和零等具体的数，因此学生可能会用小学的思维定势去认知、理解有理数的加法．但是在初中数已经扩大到有理数，出现了负数，学生对于数的概念，在小学数学中虽已有过两次扩展，一次是引进数0，一次是引进分数（指正分数）。但学生对数的概念为什么需要扩展，体会不深。而到了初一要引进的新数———负数，与学生日常生活上的联系表面上看不很密切。他们习惯于“升高”、“下降”的这种说法，而现在要把“下降5米”说成“升高负5米”是很不习惯的，为什么要这样说，一时更不易理解。所以使学生认识引进负数的必要是初一数学中首先遇到的一个难点。

        我们在正式引入负数这一概念前，先把小学数学中的数的知识作一次系统的整理，使学生注意到数的概念是为解决实际问题的需要而逐渐发展的，也是由原有的数集与解决实际问题的矛盾而引发新数集的扩展。即自然数集添进数0→扩大自然数集（非负整数集）添进正分数→算术数集（非负有理数集）添进负整数、负分数→有理数集……。这样就为数系的再一次扩充作好准备。

        正式引入负数概念时，可以这样处理，例：在小学对运进60吨与运出40吨，增产300千克与减产100千克的意义已很明确了，怎样用一个简单的数把它们的意义全面表示出来呢？从而激发学生的求知欲。再让学生自己举例说明这种相反意义的量在生活中是经常地接触到的，而这种量除了要用小学学过的算术数表示外，还要用一个语句来说明它们的相反的意义。如果取一个量为基准即“0”，并规定其中一种意义的量为“正”的量，与之相反意义的量就为“负”的量。用“＋”表示正，用“－”表示负。

        这样，逐步引进正、负数的概念，将会有助于学生体会引进新数的必要性。从而在心理产生认同，进而顺利地把数的范畴从小学的算术数扩展到初一的有理数，使学生不至产生巨大的跳跃感。

        初一的四则运算是源于小学数学的非负有理数运算而发展到有理数的运算，不仅要计算绝对值，还要首先确定运算符号，这一点学生开始很不适应。在负数的“参算”下往往出现计算上的错误，有理数的混合运算结果的准确率较低，所以，特别需要加强练习。

        另外，对于运算结果来说，计算的结果也不再像小学那样唯一了。如｜a｜，其结果就应分三种情况讨论。这一变化，对于初一学生来说是比较难接受的，代数式的运算对他们而言是个全新的问题，要正确解决这一难点，必须非常注重，要使学生在正确理解有理数概念的基础上，掌握有理数的运算法则。对运算法则理解越深，运算才能掌握得越好。但是，初一学生的数学基础尚。

        不能透彻理解这些运算法则，所以在处理上要注意设置适当的梯度，逐步加深。有理数的四则运算最终要归结为非负数的运算，因此“绝对值”概念应该是我们教学中必须抓住的关键点。而定义绝对值又要用到“互为相反数”的概念，“数轴”又是讲授这两个概念的基础，一定要注意数形结合，加强直观性，不能急于求成。学生正确掌握、熟练运用绝对值这一概念，是要有一个过程的。在结合实例利用数轴来说明绝对值概念后，还得在练习中逐步加深认识、进行巩固。

       进入初中的学生年龄大都是11至12岁，这个年龄段学生的思维正由形象思维向抽象思维过渡。思维的不稳定性以及思维模式的尚未形成，决定了列方程解应用题的学习将是初一学生面临的一个难度非常大的坎。列方程解应用题的教学往往是费力不小，效果不佳。因为学生解题时只习惯小学的思维套用公式，属定势思维，不善于分析、转化和作进一步的深入思考，思路狭窄、呆滞，题目稍有变化就束手无策。初一学生在解应用题时，主要存在三个方面的困难：（1）抓不住相等关系；（2）找出相等关系后不会列方程；（3）习惯用算术解法，对用代数方法分析应用题不适应，不知道要抓相等关系。

        这头一个方面是主要的，解决了它，另两个方面就都好解决了。所以，小学数学第八册列方程解应用题教学时，一要使学生掌握算术法和代数法的异同点，并讲清列方程解应用题的思路；二要有针对性地让学生加强把实际中的数量关系改写成代数式的训练，这样对小学生逆向思维有好处，使较复杂的应用题化难为易。初一讲授列方程解应用题教学时，要重视知识发生过程。因为数学本身就是一种思维活动，教学中要使学生尽可能参与进去，从而形成和发展具有思维特点的智力结构。

第7篇：四则运算法则范文

Gui Lihong

（云南广播电视大学成教学院，昆明650223）

（Yunnan Radio & TV University College ofEducation, Kunming 650223, China）

摘要： 极限是微积分中至为重要的基础概念，也是建立及应用微积分学中各种计算方法、相关概念的基础之一。极限的求解方法很多，应用也比较灵活，本文就针对常用的几种进行讨论。

Abstract: The limit is paramount basic concept in calculus, but also is one of the foundations to establish and apply all kinds of calculation methods and related concept in calculus. There are many ways of solving the limit, and the application is also more flexible, this paper discussed several methods that are commonly used.

关键词： 高等数学 函数极限 求解

Key words: higher mathematics；function limit；solving

中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）32-0239-01

1函数极限的相关概念及性质

函数的极限与数列的极限比较类似，可以考虑自变量x+∞时，f（x）所呈现出的变化趋势；也可以考虑当自变量xa时，f（x）所呈现出的变化趋势。不过与数列的极限相比而言，函数的极限复杂程度比较高，其根本原因就是由于自变量性质的变化呈现出多样性。不过通过分析可以发现，这种复杂性很多时候体现在对极限期定义叙述有所不同等方面，而在其它方面，例如极限的性质、运算以及相关的证明方法等都与数列的极限极为相似。在理解函数的极限概念时，主要有以下两个定义：

第一，设f是定义在[a，+∞）的函数，其中A为实数，在任给的ε>0的条件下，有正数M（≥a）存在，如果x>M，则有| f（x）A| 0，δ（0，使得当0

2求解函数极限的方法

在求极限的过程中，利用一些运算方法与技巧，以相关的概念、定理和公式为依据进行快速求解。下面我们来看几种求解函数极限的方法。

2.1 利用极限的描述性定义我们可以将极限的描述性进行如下定义：如果自变量的绝对值|x|无限增大，则函数值f（x）也会相应与常数A无限的接近，此时就可以称当x趋向无穷时函数f（x）以A为极限；或者f（x）收敛至A，可以记为A或f（x）A（x∞）。通过上述描述性说明就可以进行函数极限的估算，而且方法非常简单。六种基本初等函数的极限都可以按照描述性定义，与图像相结合后方便的得出。不过对于六类基本的初等函数极限需要牢固的掌握，这也是求解复杂函数极限的基础理论。但是一些极限的定义容易被混淆，在实际应用的过程中要特别注意。

2.2 运用两个重要极限求函数极限

①重要极限一。■中，sinx和x是两个类型完全不同的函数，但是却可以通过该极限促使三角函数和一次函数之间建立起关系，二者之间的比值得以实现。而且该极限的应用范围非常广泛，在解决一些实际问题时非常有效。例如下题：

求：■■的极限

解：■■=■■=■■

=■■=lim2*■■■■■=■

某些三角函数相关的极限可以利用该极限方便的求出。比如：

lim■，或者lim■等等，通过该重要极限均可将这些函数的极限方便、快捷的求出。

②重要极限二。■1+■■=e

求lim1+■■，这其中a和b均为常数。

解：lim1+■■=lim1+■■=e■

在该重要极限中，x趋近无穷，而x1趋近于0，该条件与上个重要极限一样，要同时满足上述条件才能使用。不过如果使得x=■，因为x∞，因此y0，则该重要极限可以进行如下代换：

■（1+y）■，则可进一步得出重要极限的另外一种形式，因此该极限能够扩充为两个极限，为：■1+■■=e，以及lim（1+x）■。在运用该极限时必须注意的是要看x所趋近的是0还是∞，如果x∞，括号内一定要是■，其指数为x；如果x0，则括号内为x，指数为■，这些在应用时必须注意相对应，不可混淆，如果有一项无法匹配，该重要极限就不能用。

3结语

此外，还有四则运算法则等方法，不过因为四则运算方法是最基础的方法之一，它与结构良性知识比较接近，在实际的应用过程中，只需掌握相关四则运算法则就能够将法则直接套用进去最终求解，因此此处不做赘述。总之，高等数学中极限的地位非常突出，而在数列极限与函数极限中，函数极限的作用尤其突出。

参考文献：

[1]罗伟.探讨求函数极限的三种常用方法[J].数学学习与研究，2011（1）.

[2]扶炜，刘松.常见的函数极限求法分析[J].教育时空，2010（4）.

[3]张锐.函数极限求解方法归纳[J].考试周刊，2011（5）.

第8篇：四则运算法则范文

关键词：导数；极限；不等式；联系.

1 导数的应用

导数是研究函数的工具，利用导数来研究函数的性质问题.可以比较容易地得到结果或找到解题的方向。

1.1 导数的单调性

定理1.1 设函数在上连续，在内可导

如果在内，那么函数在上单调增加；

如果在内，那么函数在上单调减少.

例1-1 确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

解法一：设是上的任意两个实数，且，则

由得

要使，则.

于是 .

即 时，是增函数；时，是减函数.

解法二：

令解得；因此，当时，是增函数.

再令，解得，因此，当时，是减函数.

经过对两种方法的对比，我发现大学数学解决此问题更方便快捷.当我们再回来看一下高中学的方法，觉得它在解决一些问题上存在一些弊端.

2 极限的应用

学习极限是从一个“有限”到无限的飞跃.从数列极限或函数极限的变化趋势来理解极

限问题是认识和解决问题的需要.

2.1 数列极限

高中我们给出了数列极限的概念：

如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数（即无限地趋近于0），那么就说数列以为极限.或者说是数列的极限.

数学分析里也给出了数列极限的概念：

定义2.1 设为数列，为有限常数，若对总存在正整数，使得当时，有

则称数列收敛于，是数列的极限.并记作，或.若数列没有极限，则称不收敛或称为发散数列.

中学与大学的数列极限的概念虽相差不远，但大学的数列极限概念却引出了”收敛”这一词，也由此给出了收敛数列及其极限的准确定义.有了数列极限的精确定义，我们便可以用定义（又称定义）来证明高中数列极限中所用的结论.

例2-1 证明 （均为常数，且）

在中学，我们直观地知道，当时，这仅仅局限于直观得出结论.然而，在大学，我们可以通过极限的定义来证明这个结论的正确性.

证明 由有即

对，则当时，有

.即

利用定义，同样可以证明在中学常用的数列极限的四则运算法则.

例2-2 若数列与都收敛，则和数列也收敛，且

.

证明 设与.根据数列极限的定义，即

有

有

同时有

与

于是，有

即

在高中，我们就已经开始接触了数列极限.总的来说，高中阶段的数列极限注重的是利用所给结论来求解所给数列的极限值，重点是培养解题能力，注重的是理性思维培养和备考能力提高.而大学的数列极限，更多的是利用抽象定义来证明某一命题的正确性，强化锻炼的是抽象思维能力及逻辑思维能力.而且大学里对数列极限的深入介绍，不仅完善了我们对数列极限的认识，在求解一些极限问题上，思维也将越显灵活.

2.2函数极限

与数列极限一样，中学同样给出了无限地趋于时的函数极限定义.即：

如果函数无限趋于一个常数，就说当趋于时，函数的极限是，记作

也可记作

当时，

也叫做函数在点处的极限.

但中学课本给出的函数极限定义，只是一种定性的解释，并没有给出精确的量的刻画和描述.因此，我们只能根据定义，证明某一个常数是不是某一个函数的极限.

当趋于时函数极限的精确定义：

定义2.2 设函数在点的某一去心领域内有定义.如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式

那么常数就叫做函数当时的极限，记作

或（当）.

由于趋于时，有两个方向，大学数学还给出了单侧极限的定义，单侧极限是讨论函数在某一点事否连续的重要定理，这里不做过多的论述.

当趋于时，函数极限精确定义：

定义2.3 设函数当大于某一正数时有定义.如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在着正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式

那么常数就叫做函数（当时）的极限，记作

或（当）.

函数极限所具有的性质与数列极限极为相似，与数列极限一样，可以用其精确定义证明函数极限的四则运算法则及一些常用结论：

运用这两个结论，可以解决高中难以解答的问题.

例2-5 求的值.

解

令 当时，即

故

中学的函数中有提到过无穷大量，无穷小量以及它们之间的运算关系型，即但是在计算的时候，中学用的方法仍然只是运用简单的函数极限四则运算法则，其解答过程显得繁琐而又复杂.我们数学分析里引进了等价无穷小量代换及洛必达法则等重要解题方法.这使某些问题的解决更简便快捷.

例2-6 求的值.

我们先用中学的方法来求解：

解 =

这是中学最基本的求解极限的方法.当所给函数是连续函数时，先将复杂的分式通过因式分解的方法，化为最简分式后.利下转第页

上接第页

用函数的连续性将数值代入得到答案.而站在大学的角度，当时，所给分式的分子分母分别趋近于，可以运用洛必达法则求解.

运用洛必达法则，有：

此题似乎没有体现洛必达法则的优越性，但下面一题就可以看出，洛必达法则在解决一些复杂的问题时，显得极其方便简单.

例2-7 求的值.

在中学，我们可以这样求解

解 原式

现在用洛必达法则解答，可以比较一下：

解 由于当时，故是型

用洛必达法则有

在中学，关于数列极限与函数极限的讨论，我们基本上都是分开来讨论的，并没有特别强调其间的关系.但在大学，证明一些数列极限问题，我们往往可以将数列问题先转化为函数问题，使问题快速得到解答.

初等数学与高等数学有机地紧密结合着，以学习高等数学知识作指导，学习重温初等数学知识，可以达到一个新的高度.而以高等数学知识用以指导解题，常常可以居高临下地事先估测答案，确定解题思路.

通过对初等数学与高等数学在解问题时的对比，提高了数学和科学素养，并促进对数学分析、高等代数学科知识的进一步理解和掌握. 尽管我的水平还很有限，但通过这次训练，我有很大的进步，并且大大地激发了我的学习热情.

参考文献：[1] 同济大学应用数学系主编.高等数学（第五版 上册）.北京：高等教育出版社，2002.

[2]数学分析讲义. 上册/刘玉琏等编. ―5版.―北京：高等教育出版社.2008.5

[3]全日制普通高级中学教科书（必修）数学 第一册（上）人民教育出版社中学数学室 编著

第9篇：四则运算法则范文

有关数与式的考题一般以填空题、选择题或解答题的形式出现．有关这部分内容的考题难度不大，但涉及的概念和知识点较多．

实数：理解有理数、无理数、数轴、相反数、倒数、绝对值、近似数、有效数字、平方根、算术平方根、立方根的概念；知道实数与数轴上的点一一对应，并会求一个数的相反数、倒数、绝对值；会用科学记数法表示一个数，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值；能正确运用实数的运算法则进行实数的混合运算；理解实数的运算律，并能运用运算律简化运算；能运用实数解决简单的问题；会用各种方法比较两个实数的大小．

整式：了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算；掌握平方差公式和完全平方公式，并了解其几何背景，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解．

分式：了解分式的概念；会利用分式的基本性质进行约分和通分；会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方及混合运算．

二次根式：了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则；会用它们进行简单的四则运算．

代数式：理解用字母表示数的意义；能分析简单问题，并能用代数式表示；能解释简单代数式的实际背景或几何意义；会求代数式的值．

考点1：实数及有关概念（包括有理数、数轴、相反数、绝对值）

中考的常见考点有：（1）对有理数的分类和

判断；（2）求一个数的相反数、绝对值和倒数；（3）利用数轴化简绝对值或比较实数的大小．对实数知识点的考查多以填空题、选择题形式出现，题目中包含若干个知识点，同时渗透数形结合的思想．

例1 （1）请写出一对互为相反数的数：_________和_________．

解析：答案不惟一，如：1和-1．