数学建模的三种基本方法精选(九篇)

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第1篇：数学建模的三种基本方法范文

关键词: 高中数学； 数学建模； 建模教学

中图分类号： G623.5 文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2011）02-0149-01

一、高中数学建模的教学现状

美国、德国、日本等发达国家都普遍重视数学建模教学，把数学建模活动从大学生向中学生转移已成为国际数学教育发展的一种趋势。2003年，国家教育部颁布了《普通高中数学课程标准(实验)》，该《标准》把“数学探究、数学建模、数学文化”作为三大教学板块单独列出，规定高中阶段至少各应安排一次较为完整的数学探究、数学建模活动，并提出了具体的教学要求，从而实现了数学模型与数学建模由隐性课程向显性课程的跨越。

数学建模既是数学教学的一项重要内容和一种重要的数学学习方式，同时也是培养学生应用数学意识和数学素养的一种形式。在高中数学教学中，积极有效地、科学地开展数学建模活动，对高中学生掌握数学知识，形成应用数学的意识，提高应用数学能力有很好的作用。然而传统的数学课程标准还缺乏对数学建模的课时和内容进行科学的安排，也缺乏有效的教材和规定，这让许多一线教师在具体教学的实施过程中缺乏有效的标准和依据，从而影响规范化的教学过程。因此如何进行建模教学就成为了高中数学教学研究引以关注的热点问题之一。

二、数学建模的基本含义和步骤

数学建模是从实际情境中抽象出数学问题，求解数学模型，再回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际的过程。数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，强调与社会、自然和实际生活的联系，推动学生关心现实、了解社会、解读自然、体验人生。数学建模能培养学生进行应用数学的分析、推理、证明和计算的能力；用数学语言表达实际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力；应用计算机及相应数学软件的能力；独立查找文献及自学的能力，组织、协调、管理的能力；创造、想象、联想和洞察的能力。

1.模型准备：考虑问题的实际背景，明确建模的目的，掌握必要的数据资料，分析问题所涉及的量的关系，弄清其对象的本质特征。

2.模型假设：根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言进行假设，选择有关键作用的变量和主要因素。

3.模型建立：根据模型假设，着手建立数学模型，利用适当的数学工具，建立各个量间的定量或定性关系，初步形成数学模型，尽量采用简单的数学工具。

4.模型求解：运用数学知识和方法求解数学模型，得到数学结论。

5.模型分析：对模型求解的结果进行数学上的分析，有时需要根据问题的性质分析各变量之间的依赖关系或性态，有时需要根据所得结果给出数学式的预测和最优决策、控制等。

6.模型检验：把求得的数学结论回归到实际问题中去检验，判断其真伪，是否可靠，必要时给予修正。一个符合现实的、真正适用的数学模型其实是需要不断检验和改进的，直至相对完善。

7.模型应用：如果检验结果与实际不符或部分不符，而且求解过程没有错误，那么问题一般出现模型假设上，此时应该修改或补充假没。如果检验结果与实际相符，并满足问题所要求的精度，则认为模型可用，便可进行模型应用。

三、关于高中数学建模教学的几点建议

数学建模作为新课程标准规定的一种数学教学和学习方式，它的有效实施和应用，有赖于学校、数学教师和其他有识之士的共同努力。笔者结合自己在高中数学建模教学中的实践，从建模教学的形式、内容、层次和学生的合作能力培养四个方面提出如下建议：

1.数学建模的教学形式要多样化。目前比较常见的形式主要有三种：一是结合正常的课堂教学，在部分环节上切入数学模型的内容。例如在高中数学教学中讲解关于椭圆的内容时，教师就可以在这个部分切入数学建模的内容，在太阳系中有的行星围绕太阳的运行轨道就是一个椭圆，并且太阳恰好在其中的一个焦点的位置上，引导学生查阅相关资料，并建立行星轨道的椭圆方程。二是开展以数学建模为主题的单独的教学环节，可以引导学生从生活中发现问题，并通过建立数学模型，解决问题。三是在有条件的情况下开设数学建模的选修课。这三种形式在实际数学教学中都可结合实际有效使用。

2.数学建模的教学要选择合适的建模问题。进行建模教学活动的内容和方法要符合学生的年龄特征、智力发展水平和心理特征，适合学生的认知水平，既要让学生理解内容、接受方法，又要使学生通过参加活动后，认知水平达到一定程度的新的飞跃。不切实际的问题，不适合学生的认知水平的建模活动，不但达不到目的，而且也会导致学生的兴趣和爱好受到很大挫伤。

3.数学建模的教学要有层次性。数学建模对教师，对学生都有一个逐步的学习和适应的过程，教师在设计数学建模活动时，特别要考虑学生的实际能力和水平，起点要低，形式要有利于更多的学生参与，因而要分阶段循序渐进地培养学生的建模能力。建模训练一般可分为三个阶段：第一阶段简单建模，结合正常教学的内容，提高学生学习数学的兴趣和增强应用意识。第二阶段典型案例建模，巩固并适当增加数学知识，尝试让学生独立解决一些应用数学问题。第三阶段综合建模，在这一阶段，让学生或每个小组的成员承担一项具体任务，他们进行自己的建模设计，最后进行讨论，教师只做简单的指导，这样可以充分检测出学生运用已有知识分析和解决问题的能力。这三个阶段循序渐进，不断提高学生的数学建模的能力，从而提高学生的数学应用能力。

4.数学建模的教学要注重学生合作能力的培养。数学建模的内容通常信息量大，难度相对也比较大，解决问题的方法也不唯一，而且活动中要涉及到对观点或方法的评价，靠单个人的努力难以很好的解决问题。分组学习与合作学习是一种很重要的数学建模学习方式。这种方式可以体现资源共享的优越性，可以加强学生之间的沟通、合作，从而加强团队的合作意识，体现团队精神。通过合作学习的方式，学生共同收集资料，分析问题，对模型进行检验，可以弥补个人能力的不足。合作学习要求教师要努力创造学生进行合作的情境及自由的心理气氛，鼓励学生在建模活动中勇于发表自己的意见，引导他们学会主动验证自己想法的正确性，提倡合作，但同时也要求他们进行独立思考，在民主的合作学习中提高集体思维的效益，让每个学生都能在建模活动中得到进步和发展。

“授人以鱼不如授人以渔”，对数学建模能力的把握将给予学生终生的财富，而非某个特殊的案例和习题。这就要求教师在课程设计的过程中必须提炼出一些具有广泛应用基础的一般性模型和理性分析思路。只有在这样的数学训练中，学生才能有效掌握数学思想、方法，深入领会数学的精神，充分认识数学的价值。研究和学习建立数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力，加强数学建模教学与学习对学生应用能力的开发、国家人才的培养意义深远。

参考文献：

[1] 陈永兵.高中数学有效教学的新思路[J].考试周刊，2010（20）：83.

[2] 褚小婧.高中新课程数学建模教学的设计[D].杭州：浙江师范大学，2009.

第2篇：数学建模的三种基本方法范文

关键词：数学建模 培养 创新思维能力

传统的注入式大学数学教学已无法适应现代社会的发展，培养学生创造性思维的能力，建立全新的大学数学教学模式已成为大学数学教学的首要任务。知识经济时代的到来不仅对现行教育提出了更加严峻的挑战，同时也预示着未来教育将发生深刻的变革。如何摆脱传统的教学模式的束缚，提倡开放的创造性思维模式教学，激发学生的发散性思维、培养创造能力已经成为现行教育的必然趋势。数学建模课程不仅要使学生获得新的知识，而且要提高学生的思维能力，培养学生自觉地运用数学知识去考虑和处理日常生活中遇到的问题，从而形成良好的数学思维品质[1]。

1、数学建模与创新思维

数学建模，就是对现象和过程进行合理的抽象以及量化，然后利用数学公式进行模拟和验证的一种数学方法。在建模的过程中也包括应用计算机进行数值模拟。这也是人类探索自然和社会的运行机理中所运用的有效方法，同时是数学应用于科学和社会最基本的途径之一。

创造性，即具有不断追求新知识以及研究新问题的精神。同时创造性思维是人类文明的催化剂，是开创新局面的推动机，也是未来人才应必备的重要品质。大学生的数学素质主要通过数学知识和数学学习能力来体现。数学的三项基本能力主要包括运算能力、思维能力以及空间学习想象能力。这三种能力的培养是数学科学所特有的功能。这三种能力的培养和训练不仅可以使学生严谨地进行数学逻辑思维，而且也能够更深刻地激发学生直觉思维，使学生对实际问题的领悟更加细致和敏锐，从而进一步增强学生的创新能力。创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力！数学建模的创新能力就是运用数学知识、数学思想、数学方法及计算机等当代高科技手段去解决各种实际问题的能力。培养学生应用数学的意识，增强学生的创新能力是一项长期的任务。在数学建模的教学过程中，需要把数学建模的意识贯穿在教学的始终，要不断的引导学生应用数学的思维去观察、分析建模的对象的各种信息，从复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，使大学生的建模意识和数学创新思维意识成为学生的好习惯[2]。

2、构建数学建模意识的基本途径

2.1为了培养学生的建模意识，数学教师应首先需要提高自己的建模意识。这不仅意味着我们在教学内容和要求上的变化，更意味着教育思想和教学观念的更新。数学教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把数学知识应用于现实生活。

2.2数学建模教学还应与现行教材结合起来研究。教师应研究在各个教学章节中可引入哪些模型问题，如讲立体几何时可引入正方体模型或长方体模型把相关问题放入到这些模型中来解决；又如在解几中讲了两点间的距离公式后，可引入两点间的距离模型解决一些具体问题，而储蓄问题、信用贷款问题则可结合在数列教学中。要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力。

2.3注意与其它相关学科的关系。由于数学是学生学习其它自然科学以至社会科学的工具而且其它学科与数学的联系是相当密切的。因此我们在教学中应注意与其它学科的呼应，这不但可以帮助学生加深对其它学科的理解，也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径。

3、数学建模教学中如何构建数学建模意识

3.1为了培养学生的建模意识，教师应首先需要提高自己的建模意识。这不仅意味着我们在教学内容和要求上的变化，更意味着教育思想和教学观念的更新。教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新鲜的数学建模理论，并且努力钻研，首先弄清楚如何把中学数学知识应用于现实生活。北京大学附中张思明老师对此提供了非常典型的事例：他在大街上看到一则广告：“本店承接A1型号影印。”什么是A1型号？在弄清了各种型号的比例关系后，他便把这一材料引入到初中“相似形”部分的教学中。这是一般人所忽略的事，却是数学教师运用数学建模进行教学的良好机会。

3.2数学建模教学还应该与现行教材结合起来研究。教师应研究在各个教学章节中可引入哪些模型问题，如讲立体几何时可引入正方体模型或长方体模型把相关问题放入到这些模型中来解决；又如在解析几何中在讲了两点间的距离公式后，可引入两点间的距离模型解决一些具体问题；而储蓄问题、信用贷款问题则可结合在数列、函数在教学中的学习。在日常的教学中要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力，进而对学习数学产生浓厚的兴趣，认为数学不是枯燥无用的一门学科，而是在我们的日常生活中无处不在的一门相当有用的学科。

3.3要注意与其它相关学科的关系。由于数学是学生学习其它自然科学以至社会科学的工具而且其它学科与数学的联系是相当密切的。因此我们在教学中应注意与其它学科的呼应，这不但可以帮助学生加深对其他学科的理解，也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径。

4、结论

总之，要真正培养学生的创新能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学，我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性、培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主活动，自觉地在学习过程中构建数学建模意识，只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步，也只有这样才能真正提高学生的创新能力，使学生学到有用的数学。

参考文献：

第3篇：数学建模的三种基本方法范文

关键词：数学建模 数学应用能力

多年的教学实践表明，数学无用论思想在士官学员中广泛流行，究其根本原因，在于数学课程的设置方式和授课方法不利于培养士官学员应用数学方法解决实际问题的能力。传统的数学课程，重视逻辑推理和计算能力的培养，习惯于套公式、套方法，而没有注意训练如何从实际问题中提炼出数学问题，以及如何用数学来解决实际问题，其后果是学生们学了不少数学，但不会应用所学的数学知识去解决实际问题，久而久之，则形成了数学无用论思想，这反过来又影响了学生学习数学的积极性，使数学学习进入一种不良循环。因此，在士官数学的教学中，提高学员对数学的应用能力是非常重要的。

一、结合教学内容，融入数学建模思想，提高教学质量。

传统的士官数学课堂教学中，教员一般偏重概念的讲解、理论的推导和运算的技巧，往往忽视数学建模思想的渗透，使得士官学员在学完数学课程后，难以运用数学思想和方法解决实际问题。对此，笔者结合自己多年的教学经验认为，结合教学内容逐步渗透数学建模思想是一种比较理想的做法。

所谓数学建模就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过做一些必要的简化和假设，明确变量和参数，并依据某种“规律”，运用适当的数学理论，建立变量和参数间的一个明确的数学关系式，这个数学关系式即为数学模型，建立这个数学模型的过程即为数学建模。简言之，数学建模就是应用数学的语言和方法对一个实际问题所做的设计。该数学模型或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。数学建模没有固定模式，没有统一的标准答案，它只求合理，鼓励创新，从而在数学建模的活动中，人们的创新潜能就会得到开发。

（一）结合数学模型渗透数学建模思想

数学模型是从现实世界的实际问题中抽象出来的，在士官数学教学中，结合实际问题，再现数学模型的抽象过程是渗透数学建模思想的好方法。例如，在讲重要极限 时，可以从复息问题引入，首先根据银行的实际存款类型设置了一个问题：假设将1万元人民币存入银行，存期为一年，年利率是100%，但是银行推出三种不同的计息方式，一种方式是一年记一次息，第二种方式是每半年计息一次，按复利计算，第三种方式是每季度计息一次，也按复利计算，我应该选择哪一种计息方式最划算？在解决这个问题之后，追加两个问题：若一年计息n次，则一年末账户里的钱数为多少？如果计息的次数无限增多，银行账户里的钱会不会无限的增长呢？通过这几个问题的探索，学员总结出数学模型 ，然后通过计算机计算，学员可以自己总结出这种极限的值。从而使学员对这种比较抽闲的数学模型有了一个认识的实际背景，极大的调动了学习的主动性，提高了趣味性，使得数学模型教学不再是空中楼阁雾里看花。

（二）结合有关教学内容渗透数学建模思想。

尽管士官数学教学内容比较少，要求也比较低，但仍有许多内容与实际问题密切相关，只要教师善于结合具体的教学内容渗透数学建模的方法，就能激发学员利用数学思想和原理解决实际问题的潜力。例如，函数的最大值与最小值这一部分内容与最优化问题密切相关。教学时，我们将选择一部分有代表性的题目，都归纳成为一道数学建模题，并注重渗透数学建模思想，使学生认识到函数的最大、最小值问题在实践中有着广泛的应用。在此基础上，我们还联系在生产实际、科学实验、工程技术、经济管理等许多领域中，类似于“如何使成本最小，而效益最大”的问题。特别是企业部门，“优质、高产、低消耗”等问题，常常可归结为数学上在一定条件下求一个函数的最大（小）值问题。

（三）抓住典型内容渗透计算机算法。

建立实际问题的数学模型只是解决该问题的第一步，针对这个数学模型，设计一种算法，并利用计算机实现模型的数值求解。为此，以教学中的一些典型教学内容为案例渗透计算机算法。例如，在讲授引出定积分概念的传统例题求曲边梯形面积时，首先让学员直观地理解“分割、近似、求和、取极限”四个步骤在解决问题过程中所起的作用和意义。然后课后再组织学员利用计算机实现“分割、近似、求和”，并进一步讨论在不同“分割”下，近似求和的结果，得出结论，并将其结果在多媒体教室演示出来。通过结合具体教学案例，渗透计算机算法，使学员不但加深理解了所学到的数学原理和思想，而且对计算机软件的编程和算法有了初步的理解，从而激发了学员学习数学的积极性，收到了良好的效果。

一、结合概念教学，渗透数学思想。

数学中的概念来源于对现实世界中实际问题的高度抽象和概括。例如，函数是现实世界中满足某种条件的对应关系，导数是函数变化率的表示，定积分是对在区间上具有可加性的量求法等等。在士官学习过程中，理解概念的数学意义相对容易，但是概念是对现实世界中哪一类问题的抽象和概括学员很难透彻理解，学习结果就是会做题，但不会应用。所以，在教学过程中，教员应该结合实际问题讲解数学概念，展示由实际问题抽象出数学概念的过程。例如，在导数概念教学中，不仅要结合实例（变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的斜率）抽象出导数的概念，更要结合实例使学员弄清楚分析问题的思想和方法。总之，通过教学，不仅要使学员理解的数学概念，还要会用概念的思想方法分析问题，并了解某一个概念是解决哪一类问题的。

二、关于培养学员数学实践应用能力的几点建议。

（一）建议将数学实验引入士官教学中，使学员在数学实验环境下完成数学作业。

近几年来，数学实验逐渐引入高校课堂，但对士官数学教学来说，一方面由于士官学员数学基础比较落后，另一方面数学教员教学观念落后，数学实验一直没有引起足够的重视。借鉴地方高职院校的做法，可以组织数学基础比较好的学员开展数学实验课。例如针对一元函数的求根的近似计算问题，定积分的数值计算可以相应地设计一系列数学实验题目，组织一些学有余力的学员在课余时间，利用一些数学软件如Mathematica、Mathlab及Maple进行求解。同时可以把相关的军内外数学建模竞赛的题目，经过整理和简化，适时地引入数学实验教学中，在教师的辅导下，以团队的形式研究完成。通过这些形式，使得学员不但对所学的数学知识和基本原理有更加深刻的理解，计算机应用能力得到了一定的提高，而且对数学建模的建立和计算有了基本的认识和了解

（二）建议积极参加数学建模大赛。

第4篇：数学建模的三种基本方法范文

关键词： 数学课程 数学实验 数学建模

近年来，职业学校的教师普遍感到学生对数学的兴趣日益减退，教师教学的难度逐渐增大。为此，数学课程应引入数学实验、数学建模，探讨如何激发学生学习数学的兴趣，培养学生探求问题、解决问题的能力和创新精神，使中职数学教育从只重视双基（基本知识，基本技能）转变为重视三基，即增加了“基本能力”，基本能力的核心就是创造力。这也是中等职业学校在培养“应用型”人才过程中不可缺少的环节。

一、数学实验、数学建模与课程整合的整体思路

数学实验是从问题出发，让学生亲自动手操作，通过探究、发现、思考、分析、归纳等活动，体验解决问题的过程，从实验中去学习、探索和发现数学规律，领会数学的本质，从而达到解决实际问题的目的，是一种思维实验和操作实验相结合的实验。数学建模则强调能动地用所学的数学知识解决问题，它更强烈地表现为对所学知识的创造性构造、想用、能用、会用这样一种用数学的意识。

数学对于不少职高学生来说是一门最头痛、最枯燥、最抽象、最想逃避的课。数学实验、数学建模与课程整合，打破了传统“一粉笔、一黑板、动嘴巴”的教学模式和“一支笔、一张纸、动脑筋”的学习模式。整合的整体思路有：学生学习兴趣和学习积极性的培养；学生逻辑思维能力和理论联系实际能力的培养；团队合作精神和人际交往能力的培养。根据数学实验、数学建模的特点，调整课程结构模式、课程评价模式、课程教学设计等，能使学生体验到知识的奥妙。

二、数学实验、数学建模与课程整合的意义

1.数学实验有助于学生消除认知障碍

学生在初中所学的都是一些较为简单明了的数学知识，主要是处理一些比较直观的问题，涉及的抽象知识也只是皮毛。而职高数学更具有高度的抽象性、严密的逻辑性，学生的思维形式处于一种机械呆板的状态，他们在分析和解决数学问题时，习惯了用“由因至果”的模式对公式、定理的理解，只会正用，不会逆用，更不善于变用，不会变换角度和思维方式去多角度、多方面探求解决问题的途径和方法。教学中结合数学实验，可以使数学概念、公式、法则等用一种让学生更易接受的方式表达出来。根据认知规律，学生更容易接受“听数学、玩数学、悟数学”的学习方式。数学实验与课程教学整合，能实现数学学习的趣味化，更好地激发学生的学习兴趣，从而形成较好的学习动力。

2.数学建模有助于教师提高业务水平

数学建模与课程教学整合，这对教师是一种促进，又是一种挑战。教师首先必须正确把握数学知识的基本概念，利用数学建模创设问题情境，对实际问题进行分层分析、反复探索，逐步完善，并能引导学生的数学化思维，培养学生自觉应用数学知识的意识和能力，这对教师的综合知识素养、分析整合能力、课堂调控艺术等都提出了更高的要求。为此，如何实现数学建模优化课程内容教学，是值得深入研究的。

三、数学实验、数学建模与课程整合的改革实施

1.课程结构模式的改革

课程结构模式的改革，首要以弹性教学计划为支撑。为满足学生的数学实际应用需求，职高数学课程应引入数学实验、数学建模，同时开展必修加选修的课程结构模式。根据职高数学大纲的要求，学生在了解基础知识的同时，能简单应用并解决实际问题。不同专业的学生对数学课程内容的应用能力侧重方向略有不同，选修课可以使数学课程目标培养具体化，也可以满足学生个体培养多样化。

2.课程评价模式的改革

数学实验、数学建模融入课程教学，使中职数学从双基教学逐步转变为三基教学，为此，课程评价模式不能单单局限于基础知识和基本技能的考核，更应该注重学生实际应用能力的考核，真正建立“重能力、重实践、重创新”的课程评价模式。单一的课程评价模式容易挫伤学生学习数学的积极性，因此教师在评价过程中可以采用多样化的考核方法，可以让学生收集课程教学相关的内容，也可以指导学生做数学模型和数学课件，更可以开展一些社会活动引导调研，帮助学生写小论文等，尽可能地激发学生“做数学”的兴趣，玩中悟数学以培养学生的创造性思维。

3.课程内容的教学设计

问题一：某公司生产A，B产品，两种产品都需要相同的两道工序。生产100件A产品，第一道工序需要3小时，第二道工序需要4小时；生产100件B产品，第一道工序需要5小时，第二道工序需要2小时。第一道工序启用总时间不超过24小时，第二道工序启用总时间不超过16小时。生产100件A产品可获利7万元，生产100件B产品可获利14万元。问如何安排产品生产计划可使公司获利最大？

建模：决策变量：生产A的产品数（以百件计）x

生产B的产品数（以百件计）y

约束条件：第一道工序启用时间不超过24小时：3x+5y≤24

第二道工序启用时间不超过16小时：4x+2y≤16

所有决策变量显然非负：x≥0，y≥0

目标函数：利润最大：P (x，y)=7x+14y

问题的线性规划模型：

3x+5y≤244x+2y≤16x≥0y≥0

利润函数P (x，y)=7x+14y

实验：采用图解法，可以在满足约束条件的x，y中求出x ，y ，使x=x ，y=y 时，利润函数达到最大值。本题的最优解在凸四边形的四个顶点(0，0)，(4，0)，(0， )，（ ， ）上。求出四个顶点上函数P（x，y）的值，可求出P （ ， ）=64。

问题二：在每月交费200元，至60岁开始领取养老金的约定下，某男子若25岁投保，届时月领养老金2282元；若35岁起投保，届时月领养老金1056元；若45岁起投保，届时月领养老金420元。以下考察这三种情况所交保险费获得的利率。

建模：投保后第i个月所交保险费及利息的累计总额（单位：元）F

60岁前所交月保险费（单位：元）p

60岁起所领月养老金（单位：元）q

所交保险金获得的月利率j

投保起至停保时间(单位：月) m

停领月养老金时间(单位：月) n

问题的模型：

F =F (1+j)+p，i=0，1，...，mF =F (1+j)-q，i=m+1，...，n

实验：若该公司养老金计划所在男性寿命的统计平均值75岁，以25岁起投保为例，p=200，q=2282，m=420，n=600，选择合理的初始值F ，就可以求出j=0.00485。

参考文献：

［1］周义仓，赫孝良.数学建模实验［M］.西安：西安交通大学出版社，1999.

［2］赵静，但琦.数学建模与数学实验［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［3］傅鹂等.数学实验［M］.北京：科学出版社，2000.

第5篇：数学建模的三种基本方法范文

关键词：数学实验；课程；素质培养

南京邮电大学自1996年以来，一直坚持开设数学实验课，已经进行了许多的尝试和探索，积累了一些经验，取得了一些教学成果。

多年来，我校坚持面向全体理工、经管类大学生开设数学实验必修课程。开设这门课的目的，一是让学生学会独立使用各种先进的计算工具和信息传播技术探索解决一些典型数学问题的方法; 二是培养学生的创新能力。传统的大学数学教学在教学内容、教学模式、教学方法、教学手段上都难以适应新形势，尤其是在课程体系和教学内容上，先进的数学学科前沿与陈旧的基础课教学体系和内容的矛盾；各学科应用数学技术的急需性与教学内容对应用的不直接性矛盾更加突出。在充分调研的基础上，为加强数学应用，我们把开设数学实验作为教学改革的重点。突出基础、加强应用、注重实验、优化整合、分类处理，将大学数学中的高等数学、线性代数、概率统计与数学软件有机结合，补充现代数学中与信息有关的数学方法和应用实例，使教学内容具有针对性、交叉性和实用性。开设数学实验必修课，数学建模公选课，突出基本理论和应用两个方面。自我校开设“数学实验”和“数学建模”课程以来，一直受到学生普遍欢迎。本文就数学实验在大学数学教学中的地位、作用以及数学实验教学内容和方法等方面，结合我们的具体教学实践谈个人的一些认识。

一、数学实验在大学数学教学中的重要作用

大学数学教育的重点在于培养大学生掌握必要的数学知识，应用数学理论与方法解决实际问题的能力。传统的教学方式注重理论性的数学指导，缺乏实践的动手操作能力的训练。教学方法往往是以课堂为中心，采取灌输式教学方法，教学手段单一，重理论轻应用，不注重学生创造性思维的培养，缺乏激励学生创造性思维培养的有效机制和教学环境，使数学应用于实践难以实施。数学实验与数学建模课程的开设大大地改变了这种状况。数学实验对于培养学生的能力与素质有以下作用。

（1）数学实验可以提高学生学习数学的积极性。数学实验通过数学软件的使用，对一些现象进行演示，可以使学生对其有直观的认识。数学软件的可视化功能可使学生的思维形象化，可操作化，从而改变数学抽象的内容，使晦涩的数学理论变得生动而有趣。通过实验验证某些数学定理，可以使学生深入认识数学规律，激发学生学数学的兴趣。特别通过对实际问题的分析，建立数学模型，并使用计算机解决问题，使学生感受到数学在实际中的应用，体会使用数学理论方法解决实际问题的快乐，大大提升学生学习的成就感和学习动力，使学生由被动地学数学变成主动地用数学。数学实验实际上是由学生自己动手，用“玩”计算机的方式去解决几个实际问题，亲身体验用所学的数学知识去解决实际问题的过程。实践证明数学实验可以促成数学教学的良性循环，即参加数学实验愈多，则愈感到自己数学知识的不足，那么就愈要学习更多的数学知识充实自己。如此，就激发起了学生学习数学的积极性。

（2）数学实验可以提高学生的理论水平和实践能力。数学实验的客观性便于验证数学理论的正确性，其直观性使学生更好地接受数学理论，掌握数学规律。学生通过自己动手分析问题，建立数学模型，利用数学软件和计算机编程，最终得到结果，学生的实践能力得到很大程度的提高，增强了学生学好数学、用好数学的信心。在数学实验的思考、完成以及对实验结果分析的全过程中，学生能更好地理解和正确应用数学理论和方法，学生的理论水平和实践能力得以大大提高。

（3）数学实验提高了学生的综合素质和创新能力。在通过数学实验解决实际问题的过程中，学生不仅学到知识，提高了动手能力，有利于培养独立思考的习惯，增强探索精神和创新意识，同时也培养了他们坚忍不拔、积极向上的精神。许多实际问题的引入，开阔了学生的视野，分组实验中解决问题的过程也培养了学生的团结、协作的团队精神，有利于学生综合素质的提高。

二、数学实验教学内容与教学方法改革

1．数学实验的概念

以问题为载体，以计算机和数学软件为工具，以学生为主体进行的学习数学知识，应用数学方法解决问题的实践探索活动，统称为数学实验。数学实验把数学知识、数学建模和计算机应用有机地融为一体。它通过使用计算机以及数学软件解决实际问题的过程，进一步学习数学或应用数学，激发学生的学习兴趣，培养学生的探索能力、动手能力和应用能力，有效地提高数学教学的质量。

数学实验开设存在的问题

（1）师生对数学实验课开设的重要性和实际意义认识不足，因此导致一些学生学习兴趣不高、学习自主性不强、学习目的不明确，而一些教师也是为了完成教学任务而处于一种被动应付的状态。

（2）由于数学实验课是一种实验性课程，因此必然要采用合适的数学软件作为实现该课程实验内容的工具。而目前数学软件有好几种，且都有各自的优点和使用范围。因此，选取合适的数学软件将有利于数学实验课的开设和学生动手能力的增强。

（3）由于数学实验涉及的是一种新型的教学模式，与普通的教学课程和实验课程在内容安排和课程设置上都不尽相同。目前开设数学实验课的教师很多仍采用普通的授课方式及教学方法，这显然不适合课程的要求和目的。因此，怎样合理设置课程也成为任课教师深思的问题。数学实验课程的开设是大学数学教学课程体系与教学内容改革的重要内容之一。基于大学数学教学课程体系与教学内容改革的实际，我们的目标是: 将数学实验课程融入大学数学主干课程体系中。在大学数学的教学过程中，通过数学实验，使学生进一步加深对数学理论和方法的理解，培养学生运用计算机解决实际问题的能力。

2. 体系改革，内容优化

数学实验课是我校多年来坚持面向全体理工、经管类大学生的一门必修课程。开设这门课的目的，一是让学生学会独立使用各种先进的计算工具和信息传播技术来探索解决一些典型数学问题的方法。二是培养学生的创新能力。原大学数学教学在课程设置( 高等数学、线性代数、概率论) ，教学内容、教学模式、教学方法、教学手段上都难以适应新形势，尤其是在课程体系和教学内容上，以下矛盾更为突出。(1) 先进的数学学科前沿与陈旧的基础课教学体系、教学内容的矛盾。(2) 各学科应用的数学方法与教学内容的不直接性的矛盾。经过大量的调查研究、综合论证，我们把开设数学实验作为改革的突破口，以突出基础、加强应用、注重实验、优化整合、分类处理为指导思想，将大学数学原来所开设的高等数学、线性代数、概率论进行结构重组。精选教学内容，补充现代数学中与信息学科有关的数学方法和应用实例，使教学内容具有针对性、交叉性和实用性。在教务处的支持下，在大二全年开设全校性的大学数学实验（B），而数学类专业学生开设数学实验(A)，并在全校开设数学建模公共选修课。突出基本理论和应用两方面，打好连续量、离散量、随机量、数学应用等四大基础，实现数学与计算机、数学与信息科学、数学基础与数学前沿技术三种结合。

3. 突出基础加强应用注重实验

大学数学课程体系和教学内容，突出对连续型变量、离散型变量、随机型变量中最基本最常用的数学知识、方法以及逻辑推理能力的培养，提高学生的理性思维素质，加强与计算机的结合，突出应用能力的培养。一方面继续突出基本计算的训练，使学生系统地获得微积分、线性代数、概率统计的基本知识、基本理论和基本方法，另一方面通过数学实验把数学软件引入数学教学，实现数学与计算机、数学与实际应用的结合，注重学生分析问题、解决问题的能力培养。 突出基础、注重实验、加强应用，既有利于高等教育大众化形势下大学生的数学素质、能力的培养，又兼顾到部分学生进一步提高数学理论基础与应用能力的需要。突出基础，首先体现在实现以下的培养目标：知识层面: 掌握必备的数学基本知识，即微积分、线性代数、概率统计等课程内容。基本思维训练层: 培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力等基本思想方法。创造性思维层: 通过数学实验与数学建模训练，培养学生的创造性思维能力。具体要求是掌握处理连续型变量、离散型变量、随机型变量的基本方法等数学基本知识； 抽象思维能力、演绎推理能力、归纳综合能力等数学的基本思维能力；具有把实际问题抽象成数学问题，并提炼出数学模型从而解决实际问题的能力。数学建模能力：利用计算机及数学软件进行科学计算数值计算能力；具有一定的自学能力，能根据发展要求，及时更新知识，以适应社会、经济、科技的不断发展和需求，培养学生应用数学的意识和数学知识更新的能力，提高学生使用数学的兴趣和能力。

数学实验从问题出发，强调以学生自己动手、动脑为主，在教师的指导下用学到的数学知识和计算机技术，利用相关的数学的软件如: Mathematical、Matlab、Maple、Lingdo 等，解决一些应用问题。其意义不仅仅在于使学生掌握必要的数学知识，更重要的在于学生的独立参与，从而提高学生学习数学的积极性，提高学生对数学的应用意识，培养学生的动手能力、独立思考问题的能力和应用数学的能力。

为适应学生的个性发展，建立了开放数学建模实验室，让学生有机会选做一些自己感兴趣的实验，以满足学生的求知欲。给学生一个自我发挥，展示才能的机会。从1997年起，组织了学生参加校内数学建模竞赛及省内的大学生数学建模竞赛。

4. 数学实验课程体系的构建

建立基于网络平台的数学课程实验系统数学实验网络教学信息系统平台由教师教学系统、学生学习系统和教学管理系统三大模块组成。这些模块之间相互联系，相互配合，构成一个完整的基于网络平台的数学实验与数学建模实践系统。通过数学实验网络平台，教师在系统上实验题目，与学生进行在线讨论，或对学生留言进行网上答疑等。学生在网络上自由下载题目，学生可以在任何计算机上完成实验，或进行在线讨论，或通过留言方式在网上提交问题，完成实验后直接在网络上提交程序，实验结果及实验报告，实验题目可以限时完成，也可以不限时完成。教师可以对学生的实验报告进行浏览、批阅。系统可以扩展成网络教学平台。相对于封闭的传统教学模式而言，网络化教学突破了时间、空间的限制，做到了信息渠道的畅通无阻，它体现了以学生为本，因材施教的思想，促进了学生创新意识和创新能力的培养。

三、几点体会

（1）开展“认识―训练―创新”递进式实践教学体系的创建与实践，逐步形成了新的实践教育教学理念：一是坚持全面、协调、可持续发展，树立科学的发展观。二是坚持以人为本，树立科学的人本观。三是坚持“育人为根本，质量是生命”，树立科学的质量观。四是坚持创新能力培养和全面素质教育，树立科学的成才观。

（2）要科学合理地安排教学，按照基础型、提高型、研究创新型三个层次，形成“理论与实践相融合，以实践教学为主；基本技能培养与创新能力培养递进结合，以创新能力培养为主；课内教学、课外开放与学生自我训练贯通组合，以学生自我训练为主”的实践教学模式。老师要精心设计，扎实推进，逐步深入，使学生能够在不知不觉中学习到数学知识与技能，学会分析问题与解决问题的能力。

（3）要高度重视实践教学团队建设，制定相应措施，鼓励高水平教师投入实践教学。建设实践教学与理论教学队伍互通，教学、科研、技术兼容，核心骨干相对稳定，结构合理的实践教学团队。逐步形成一支热爱实践教学，理念先进，学术水平高，教学科研能力强，熟悉实践技术、勇于创新的实践教学队伍是保障教学水平的重要力量。

（4）构建高水平、现代化多功能实践教学平台。深入开展数学课程的实践教学活动。抓好现代信息技术平台和实验室平台建设，为学生实践创新能力培养，提供了重要保障。

（5）要善于引导学生思考问题。老师要不断启发引导学生积极思考，充分发挥大学生的积极性、创造性，让学生的主要精力投入到数学实践中，不断挑战自我，就能取得意想不到的佳绩。

经过多年的努力，我们有理由相信，随着数学课程教学改革的不断深入和数学实验课程体系进一步完善，会使更多的学生受益于数学实验课程，并为全面提高学生整体素质发挥重要作用。

参考文献：

[1] 姜启源，张立平，何青等.大学数学实验[M].北京：高等教育出版社，2006.

第6篇：数学建模的三种基本方法范文

[关键词] 模型； 科学学习环境； 环境设计； 策略

[中图分类号] G434 [文献标识码] A

[作者简介] 孙丹儿（1981—），女，浙江宁波人。学科教育博士，新加坡南洋理工大学国立教育学院学习科学研究所博士后，主要从事科学课程研制、学习科学研究。E-mail：daner.sun@nie.edu.sg。

随着技术的进步，计算机支持的学习环境也得到了不断更新和发展，越来越多此类产品用于支持学生的认知及其相关能力的培养和发展，尤其是各种基于模型的科学学习环境的开发和应用，为研究者所关注和重视。大量研究显示，基于模型的科学学习环境在教学中的应用，不但有助于促进学生科学概念的学习，且能够培养学生的批判性思维、推理能力、自我监控能力以及合作学习能力等。[1][2]所以，基于这些优点，国外研究者开发了大量基于模型的科学学习环境（Model-based Science Learning Environment，以下简称MbSLE），有学科专用型和学科通用型两种。[3]学科专用型学习环境，如生物学科适用的BioLogica 和PlantMod， 化学学科适用的Connected Chemistry和ChemNet；学科通用型学习环境， 如ModelingSpace、Model-It 和 Belvedere。除了适用学科的范围有所不同外，由于设计要素的不同，学习对象也会有所不同，如STELLA对于高年级学生科学概念的学习有帮助；[4]与只含模型的学习环境相比，含有建模工具的学习环境对于培养学生的反思和调控能力更有帮助。因此，依据学科范围、知识以及使用对象等的不同，不同的MbSLE在设计和使用效果方面会呈现不同的特点。作为教师，应如何根据教学环境和影响因素，选择适合教学的科学学习环境；作为开发者或研究者，如何从已有学习环境中提取开发要素，设计出对科学学习更有价值的学习环境。

一、相关概念的界定

计算机支持的科学模型是指借助计算机技术通过一定的表达方式对科学现象，尤其是抽象或复杂科学现象、过程、概念以及理论的一种模拟或概括。其特点是能够最大程度地通过对科学现象机制、因果关系、功能等的体现，对科学现象及其相关概念进行描述、解释和预测。科学模型能够体现科学现象最为基本的属性和特质，体现要素之间的基本联系。[5][6]在已有研究中，对计算机支持的科学模型进行了不同的分类。本文将分类依据和相应的类型进行了归纳，见表1。

在MbSLE中，建模是一个重要的概念。建模是指建构和产生模型的过程。研究表明，以形成、测试和修改模型为基本步骤的科学建模过程是科学学习的一个重要方法，不同类型的模型的形成与建模工具密切相关，学生对于建模工具的使用和相应模型的形成，可以表现学生对于概念理解的水平。因此，建模成为教师评价学生心智模型及其水平的重要依据。研究表明，建模不但可以促进学生对科学知识的深度理解，还能促成其有意义学习

二、分析框架的形成

在文献研究基础上，本文将MbSLE的分析要素归纳为学科内容、教学理论、设计特点以及预期学习效果等四个方面。[13][14][15]通过对四个方面中不同内容的分析，得出不同类型的MbSLE设计及其应用特点。分析要素及其内容见表2。

三、 基于模型的科学学习

环境的比较和分析

本文将国外MbSLE主要分为三种类型：主界面只含一种模型的学习环境、主界面含多种模型的学习环境、主界面含共享建模区（shared modeling workspace）的学习环境。依据分析框架，以下对这些学习环境的设计要素进行分析和比较，得出有关结论。

（一）主界面含一种模型的MbSLE特点分析

类型1中主界面一般只提供一个模型或一种模型，界面设计相对比较简单。类型1中的模型有直接模拟实物现象，也有模拟抽象事物，如数据等。本文选取PhET、WOW、APoME、Belvedere、Simquest和PlantMod，对这些属于类型1的MbSLE进行要素的分析。其主界面分别如图1a~f所示。

由表3可知，类型1大多为单机型软件，便于在无网络环境下使用。在模型类型来看，类型1中以相对抽象的数据模型居多，因此，适用对象大多为高中生甚至高中以上年级学生。在模型的支持性工具设计方面，为增强模型的调控功能，大多设置可控制因素及其数值大小的操作工具，有些则结合数据输出和输入功能，为观察实时数据提供支持。与其他由开发人员设计模型的方式不同，Simquest为教师提供了自行设计模型的后台工具，借助该工具，教师可以使用简单的设计语言，设计模型及编辑配套的教学内容，如问题、前测等；另外，作为唯一一种含有建模工具的学习环境，Belvedere为学生提供了三种表征方式从简单到复杂的建模工具，为不同学习水平学生的模型建构提供了支持。研究者还为不同的学习环境提出了不同教学模式及策略，如应用5E教学模式APoME，采用发现式学习理论设计的Simquest。从预期学习效果来看，类型1的设计特点向设计者和研究者传达了一种信息，即抽象数据模型面向的群体为相对认知水平较高的学生，已有研究表明，对于这些学生的科学学习，侧重概念的深度认知、培养其推理能力、批判性思维、数据管理能力、探究能力以及用系统观点认识复杂概念的能力。[16][17][18]

（二）主界面含多种模型的MbSLE特点分析

从上述分析也可知，类型1在使用上存在一定局限性，如适用对象、适用的学科范围不广；虽提供了一些支持性工具，但模型的可操作性不强，支持学生自主建模的设计不多。因此，此类MbSLE对学生自我调控、推理能力以及反思能力等方面的培养支持不够，也不利于教师分析学生科学概念的形成和修正过程。从类型2的设计特点来看，此类学习环境的开发在一定程度上弥足了类型1的不足，也体现了其特点。本文选择该类学习环境的典型设计Co-Lab、 ModelingSpace、Model-It、NetLogo进行分析。其主界面分别如图2a~d所示，具体分析内容见表4。

从类型2的性质看，均为软件，可以在无网络的环境下使用，且大多数可支持联网后学生的合作学习。这些学习环境的共同点是主界面含多种类型的模型，且面向的适用对象和学科范围较广，绝大多数可以满足不同年级水平学生的学习，尤其是中学阶段学生的学习。此类MbSLE强调建模工具在科学学习中的应用，因此，在模型工具设计中，均设计了建模工具，使得学生能够依据自身对概念系统的理解，建构不同水平的模型，并运行模型后再修改模型，在一定程度上有助于促进学生对学习过程的分析、反思和自我调控，也为教师评价提供了依据。部分设计则融入了渐进式建模的观点，支持学生模型建构水平的逐级递增，如Co-Lab和ModelingSpace，使得建模工具能够面向不同认知能力和建模水平的学习者。

如在ModelingSpace中，学习者可以建构两种形式的模型，一种为概念图，属定性模型，一种为结构图，结构图又分为定性结构和定量结构模型两种；在Co-lab中，存量—流量图变量之间的关系的描述也可以由定性和定量两种来表征。类型2中支持性工具的设计也更为多样化，融入了模型要素库及共享建模区和聊天工具的设计，使得学生的学习方式更为多元。如ModelingSpace中， 建模者对自己建构的模型具有所有权，可以决定是否与其他学习者共享模型，如同意，其他人可以在此基础上，对该模型提出修改意见；[20]在Co-lab中，其构成要素中增加了合作白板和建模白板区，聊天框及其聊天记录查询等工具，这些设计均为学生合作学习提供了有力支持。

所以，类型2的MbSLE设计特点，决定了其在科学教学的应用中，除了有助于学生概念的深度学习外，在思维能力训练以及合作学习能力培养方面更有优势。

（三）主界面为共享建模区的MbSLE特点分析

共享工作平台是一种能够使不同地点的人在用一时间一起工作或学习的设计方式，通过共享工作平台的设计来促进实时在线合作是计算机支持的合作学习的一种重要途径。[21]从上述分析可知，在MbSLE中，也融入了这种重要的设计理念，如Belvedere、Co-Lab 以及ModellingSpace。以下本文选取更为典型的含共享建模区的平台进行MbSLE分析：Cool Modes、Cacoo和 CmapTools。其主界面如图3a~c所示。分析结果见表5。

由表中分析可知，含有共享建模区的MbSLE 设计有简单也有复杂。该类环境均强调不同类型的建模工具的使用，高年级学生侧重定量建模工具的应用，低年级学生则侧重定性模型工具的使用。建模工具的设计大多比较简单，易于大多数学生学习并使用。在共享程度的设计方面，共享水平有高有底，有些能够共享已有模型，有些则是共享建模的过程，且提供了多种合作学习的支持性工具，如共享聊天框以及共享文件夹等。如Cacoo，该软件不但提供了共享建模区，使得不同的学习者通过同一个建模区达到实时合作的效果，并且可以辅以聊天框，以便在建模过程中进行交流、讨论并对模型结果作出评价，有利于学生在学习过程中的互评和反思。这种基于共享建模区的合作建模方式不但有助于促进学生完成复杂任务形成专家导向的概念模型，更有助于提高学生的反思和评价能力。

四、结论和启示

（一）模型和建模工具的设计

1. 提供简单的建模方式

通过以上分析，本文总结国外MbSLE的建模方式主要分为三种，一种是以PhET和WOW等为代表的需编程人员针对特定学科、特定主题而设计的模型，是基于编程语言的建模方式。使用者较难依据自己需求修改并设计新的模型，因此，该类方法设计的模型种类也相对比较单一，更新慢，适用范围较窄。第二种是以NetLogo和 Simquest 为代表的通过为教师提供模型编辑区，提供相对编程语言简单的建模语言供教师建构所需模型，并可编辑一定的教学内容，是基于模型编辑区的建模方式。这种环境中往往还提供共享平台或模型库来帮助用户上传、存储以及共享所建的模型，模型种类丰富，更新率高，但不适合建模水平较低的学生使用。第三种是以Co-Lab、Cacoo、ModelingSpace和 Model-It为代表的通过提供面向学生的简单建模工具，并辅以所需的图库或符号库等，以结构图的方式通过一定的关系来形成模型的设计，是基于建模工具的建模方式。这种建模方式更为简便、直观，适合不同认知水平的学生使用。这三种方式的建模难度层层递减，从面向编程人员到面向学生，适用群体也进一扩大。第三种方式中除了提供简单的建模方法外，还为建模提供符号、图片、视频、动画等，使学生从更为直观的角度来理解概念系统的组成。因此，相对于前两种，第三种建模方式更适合中学的科学学习，建议教师在日常教学中多选择含有此类建模方式的科学学习环境。而对于教师自身，也应适当关注并使用第二种建模方式的学习环境，不但有助于增强自身的建模水平，更能为学生提供多样化的学习模型。

2. 使用结构图来表征模型

结构图对科学原理或概念的高度概括能力，使得其普适性较其他形式的模型表达方式更强。用结构图表征科学模型能够加强学生推理、概念的深度认知以及系统观点的形成，[22][23]研究也表明，学生更容易通过这种方式表达对概念的认知。[24]在这些结构图示的组成要素中，主要包括主体、变量以及变量与变量之间的关系。本文对上述学习环境涉及的结构图中模型的要素、要素的表达方式进行了总结，见表6。

可见，大多数结构图用特定的图形或符号来表征概念系统中的主体、变量及其关系。

面向不同的使用者，设计策略不同。当面向低水平学习者时，资源库中包含更多能够表征一定主体和变量的图片、视频以及动画等。在面向高水平的学习者时，资源库则提供了不同种类的符号以及图形等。在结构图变量关系的表征中，也使用了不同的符号，如直接用直线、直接加文字描述、直线加方程、直线加符号等。便于学习者依据自身能力，建立不同水平的模型关系。这样的设计，也为相关研究者提供了启示，即面向不同水平的学习者，认知符号和表达方式的设计需要有一定的层次性，从具体到抽象、从简单到复杂、从显性到隐性描述的设计原理，为用户提供一个更为灵活的学习环境。

（二）支持性工具的设计

支持性工具主要分为三种：支持控制和执行模型的工具、支持学生学习过程的内容设计、促进学生合作交流的工具。[25][26]

1. 提供不同控制程度的模型支持性工具

在模型的建构中，学习者主要通过改变模型要素，参数以及变量关系等来形成模型。在模型的形成中，通过模型建构来生成模型的方式，变化性最强，由学习者全新建构而成，对学生认知水平和建模技能要求较高；附有因素控制的支持性工具的模型可控制性次之，如在类型1中，大多通过设计可控制按钮使因素种类和大小改变来观察模型的变化。这些均属于可调控模型的范畴，模型的要素大多已经确定，变量关系也由计算机生成而非学习者定义，因此，这样的模型对于学生的认知水平和建模水平的要求相应降低。而无调控工具的模型则适合教师演示和学生观察，对于学生自主探究能力的要求降低。所以，在实际教学中，教师应针对学习者的学习水平，选择不同层次控制程度的建模支持性工具，便于学生观察和控制各种模型。适当对认知水平较高的学生，提供相应的建模工具，为锻炼学生思维、促进系统观点的形成提供更为有力的支持。

2. 设计不同程度的共享工具

除其他支持性工具外，当前国外MbSLE的最大特点是共享建模区的设计。该设计使建模过程融合学生的讨论、互评、自我反思等方法，[27]进一步体现了基于计算机的合作学习的价值。在共享建模区中依据共享程度的不同，分为实时建模和非实时建模，实时建模往往表现为共享建模过程，非实时建模则表现为共享建模结果。实时建模是一种更为严格的共享方式，允许少量的合作者共同建模，技术难度较大。在ModelingSpace 和CmapTools中，建模主体为一人，其他学习者若想共享模型，则需提出请求。这种一个共享界面在固定的时间只能允许一人建模，是非实时建模的一种。而在Cacoo 和Cool Modes的设计中，建模过程和结果均可以和其他人实时共享，多个合作者可以在同一时间同一界面合作建构一个模型为实时建模方式。与非实时建模方式相比，实时建模方式对于学习者的交流、合作能力提出了更高的要求，适合具有较高水平合作能力的学习者使用，教师在教学过程中需要介入更多的干预，以加强学生的配合。

第7篇：数学建模的三种基本方法范文

关键词 数学广角 数学思想

中图分类号：G424 文献标识码：A

基本数学思想方法是提高学生数学能力和思维能力的重要手段，是实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力转变的重要途径。但它们都是隐性的，抽象的。数学广角的内容都是把这些抽象的数学思想方法以学生可以理解的直观的、生动有趣的形式呈现。让学生在直观的解决问题过程中感悟抽象的数学思想。在教学过程中教师的作用就不可小觑，应该作为组织引导者和促进参与者，要运用多种手段激发学生的思考意识和问题意识。引导学生充分发挥主体作用，自主实践，运用已有知识经验，探索新方法手段，利用多样的思想方法来解决问题。在“植树问题”教学中笔者充分渗透了如下的一些思想方法。

1 对应思想

所谓“对应”是指一个系统中某一项性质、作用、位置或数量上跟另一系统中某一项相当。对应思想有助于加深对知识的理解，培养学生清晰有条理的思考方法，提高学生比较问题、分析问题、解决问题的能力。在植树问题教学中，对于研究段数和间隔数的关系，笔者充分引导了这一思想方法。

【片断一】

探究关系：（1）为什么都是在24米长的小路，都是每隔6米种一棵，会出现3种不同的结果呢？（2）有没有共同的地方？（3）段数相同，棵树相同吗？

打开信封，结合里面的两个材料想一想。

材料一：

材料二：

男生女生排队，人数一样多，最后一位（ ）

（1）先独立思考。（2）可以同桌之间，小组之间相互讨论。（3）请小朋友说出自己的想法，并把关键字板书。（4） 总结。

学生很容易发现，篱笆数和木桩数之间的关系：篱笆数=木桩数+1。

男学生数和女学生数之间的关系：男生数=女生数。

再回到3种种树情况中有没有对应思想的存在。

一棵树跟着一个间隔，间隔和树一一对应，最后那棵树没有间隔与其对应，所以棵树比间隔数多1。

一棵树跟着一个间隔，间隔和树一一对应，棵树和间隔数一样。

一棵树跟着一个间隔，间隔和树一一对应，最后多了一个间隔出来。

至此学生已经感受植树问题中一一对应思想方法的存在，理解了多1的原因，建立起深刻、整体的表象，体会到不同植树问题情形中棵树和间隔之间的关系。在后续的练习中，学生能够充分利用这一思想方法来解题，正确率大大提高了。

2 数形结合思想

所谓数形结合是指借助简单的图形、符号和文字所做的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。在学生掌握基础知识和基本技能的基础上，通过教师的引导，建立数形结合有利于学生的思考，降低学习的难度。加大学生的思考空间和创造空间，激活学生的思维。

在植树问题教学中，要进一步研究不同情形的植树问题棵树和间隔数之间的关系，并且抽象出公式，如果只是单纯地把数量关系告诉学生，让学生强硬记住，并且反复练习，所得的结果只有两个：易混淆和易出错，时间一长容易忘记。所以笔者不提倡让学生单纯记忆任何一种植树问题的数量关系和公式，而是注重让学生与他人合作交流，利用较小的数做实验，通过探究活动，画线段图或示意图的方式很好地把数量关系抽象出来，并尝试用自己的语言表述这个结果，利用“多数推广”的方法找规律，以小见大，推广应用。

【片断二】

（1）独立尝试把上述不同的种树情况和自己的想法通过画图表示出来，收集不同图示进行展示，如下：

（2）就上述不同情况进行比较和辨析。

为什么在同样长24米的小路一边植树，都是每隔6米种一棵，会出现三种不同的结果？（关键是看两个端点是否植树）。初步感知棵树和段数之间的关系。

（3）再次尝试合作探究，不同条件下棵树和段数直接的关系。

①在这条24米长的路上植树，除了可以每隔6米种一棵，还可以每隔几米种一棵？学生纷纷说出各自的想法，每隔2米、3米、4米、8米等等。

②请学生选择自己喜欢的相隔米数，再次通过画图来完成三种不同的植树情况。（提供独立探究的操作纸）

③数据填入表格

④展示学生研究结果

观察表格结果，你对不同植树情况下，棵树和段数之间的关系有什么新的发现？（很多学生都说有规律）。

总结学生的发现：两端都种：棵树=段数+1。

一端种，一端不种：棵树=段数

两端都不种：棵树=段数1

这样的操作和探索不单单做到了数形结合，同时又把三种植树情况联系在一起，为学生的个性化思维提供了宽敞的舞台，力求让每个层次的学生都能展现出自己的理解，并在适当的时候进行交流，让学生由表及里地把外在的感性操作提升为内在的理性经验，真正培养和发展了学生的抽象思维能力和问题解决能力。

3 数学建模思想

数学建模是把错综复杂的数学问题抽象、简化为简单的合理的易于理解的数学结构的过程。它是一种数学的思考方法和数学学习方式，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。“植树问题”的模型是典型的数学模型，它源于现实，又高于生活。在现实中有着广泛的应用。

【片断三】

发现生活中的植树问题

（1）先让学生说说生活中有没有类似植树问题的例子。

第8篇：数学建模的三种基本方法范文

[关键词] 复杂金融产品 设计方法 仿真技术

一、复杂非实体产品的定义

根据现代营销学之父——菲利普·科特勒(Philip Kotler)的观点，产品是市场上任何可以让人注意、获取、使用、或能够满足某种消费需求和欲望的东西。它既包括具有物质形态的产品实体，又包括非物质形态的利益。现代市场营销理论认为，产品可分成有形产品(实体产品)和无形产品(非实体产品)两类。

现代产品具有客户需求复杂、产品组成复杂、产品技术复杂、制造过程复杂、项目管理复杂的特性，可称为复杂产品。

现代金融服务业如保险、证券和银行等相关企业提供的产品一般也具有组成复杂、功能复杂和行为复杂的特性，但以服务契约形式而非实体形式，可以定义为复杂非实体产品。

产品设计的最终目标是面对客户的选择性市场需求，将基于市场细分的需求概念转化为高质量或低风险的产品，最大限度地满足客户持续变化的需求。复杂实体产品的设计要求产品是在满足功能需求的基础上，要求以最快的上市时间、最好的质量、最低的成本、最好的服务、产品创新和最佳的环境保护。

金融服务产品是非实体产品，其最重要的问题是产品的风险性。与实体产品的质量类似，控制产品的风险也就控制了产品的质量。复杂金融产品的特性主要表现在其风险的复杂性，所以其设计和仿真方法也就具有复杂性。

二、金融产品设计涉及的技术和设计过程

1.金融产品设计涉及的技术。在实体产品的设计中，提出了生命周期的概念，其目的是研究产品的市场战略和设计，涉及的内容涵盖市场分析和设计开发。包含从产品的需求分析、概要设计、详细设计、制造、销售、售后服务、直到产品报废回收的全过程。软件产品也不例外，软件生存周期涉及的内容也包括从问题定义、可行性研究、需求分析、软件设计(概要设计和详细设计)、编码、调试和维护。

与复杂实体产品类似，复杂非实体产品的生命周期涵盖产品的需求分析、概要设计、详细设计、售前服务、销售、售后服务和产品终止等阶段和相应指标。其管理技术也是为满足产品上述指标发展起来的。

2.设计过程。金融业是百业之首，金融领域的产品涉及到银行、证券和保险等方面。需求分析是复杂金融产品设计的第一步。

(1)需求分析阶段。需求分析阶段要解决的问题，是让用户和金融机构共同明确将要开发的是一个什么样的系统，其过程包括:

①详细听取客户的反映，确定产品需求，是需求获取的第一步;

②市场研究，包括市场规模调研，确定市场需求并听取分销渠道的反映;

③相关产品跟踪调查，确定产品的竞争力因素，是需求提炼的过程。

(2)概要设计阶段。需求分析阶段以后，进行产品的概要设计。这一阶段有两项关键活动，即预测产品的风险和全面可行性分析。

风险来自两个方面。首先是金融产品和服务本身所包含的风险，其次为控制和转移风险的方法。前者是从金融产品(服务)的风险需要出发，从产品交易双方进行分析。后者是分析如何控制、转移风险。

(3)详细设计阶段。详细设计是制定完整详细项目计划、细化产品原型、定义产品详细特征、产品对系统和管理的影响以及培训方案。

详细设计的主要内容是产品定价。产品定价是概要设计的继续，包括定价原则;定价前提的假设条件和经营管理成本对产品成本的定价三个方面。

(4)销售和售后服务阶段。这一阶段的主要工作是业务的风险评估和控制。相当于软件生命周期中的维护阶段，其目的是使金融产品在整个生存周期内保证满足用户的需求和延长产品使用寿命。

这一阶段中的业务监管过程是基于事后的经验。将既成事件作为历史或经验数据，建立监管模型，或对原有的模型做出调整，从而达到监管的目的。

3.复杂金融产品设计的仿真技术。目前，仿真科学与技术在经历了上个世纪后50年的飞速发展后，已成功地应用于航空航天、信息、生物、材料、能源、先进制造等高新技术和工业、农业、商业、教育、军事、交通、经济、社会、医学、生命、娱乐、生活服务等众多领域。由于计算机技术的高速发展，科学计算和计算机仿真已经成为科学研究中除理论研究和科学实验以外的第三种方法。现在，建模与仿真技术和高性能计算技术相结合，正成为继理论研究和实验研究之后的第三种认识和改造客观世界的重要方法。仿真技术毫无例外地可用于复杂金融产品设计中。

(1)建模:仿真的意义在于模型的有效性，因此用仿真的方法来研究复杂系统，首要问题是对研究的目标对象建立合理的仿真模型，即建模，它是仿真中最基本的工作，数学模型的建立必须有数学知识的支持。将研究对象符号化、公式化，形成理想化的数学方程式或具体的计算公式，然后在数学语言的规范内进行逻辑推导、运算、演算和量的分析，形成数学模型，从而对研究对象形成数学解释和预测。其次，各类仿真算法也需要数学方法作为基础。

因此，仿真科学与技术的进一步发展离不开数学模型和数学工具，特别是复杂产品的仿真，更依赖于PETRI网络，神经网络，混沌理论，模糊理论等新的数学理论。随着数学的发展，能够更好地为仿真所用，强有力支持仿真科学与技术。

模型的建立还依赖于丰富的数据资源，数据仓库(Data Warehouse，DW)的方法就为建模和仿真提供了一个有效的环境。我国金融企业经过10多年的信息化建设，建立并积累了大量的数据资源，基于数据仓库的建模和仿真是一个个值得注意的研究领域。

(2)选择合理的仿真算法:犹如算法是计算机程序设计的核心一样，仿真算法同样是仿真过程的关键。以金融领域为例，现代金融工程的技术内容主要是基于信息系统的分析和综合对象的建模和仿真分析，其方法在股票、期权、外汇和期货等领域得到了广泛的应用。例如，对非实体产品具有风险的复杂不确定性的特点，用确定性方法给出近似解十分困难。擅长对随机问题进行仿真的MonteCarlo方法，就是解决这类问题的一种特殊数值方法

(3)仿真优化:分析金融产品的数学模型的性质可知，在同一个问题中经常会出现非线性、不确定性和最优化问题。因此，优化的核心问题也是最大限度地降低产品的风险，优化风险结构，达到控制风险的目的。近年来，随着计算机技术的发展，涌现了各类仿真优化理论和算法。例如，模拟自然界进化过程的进化算法、遗传算法和蚁群优化算法都已成为解决复杂优化问题的重要方法。

参考文献

第9篇：数学建模的三种基本方法范文

大众化教育下高职教育应“以人为本”针对生源的特殊性，构建基于人的发展的职业教育课程体系，从而提高教育教学的水平与质量。从受教育者和施教者双视角下对高职数学课程建设进行多元分析，在贯彻国家教育方针指导下，以人为本进行高职数学课程改革。 

一、高职教育现状多元化分析——以水利电力职业技术学为例 

从被施教者和施教者视角下对高职数学课程建设进行多元分析被施教者（高职学生）普遍存在人格的缺失、习惯的无形、知识的匮乏。对于普遍问题究其原因来自：（1）家庭背景造成的一种缺失。“家庭的爱”的缺失，留守儿童；父母离异儿童；所占的比例15%。（2）成长背景造成的一种缺失。成长过程中或读小学、初中、高中，来自学校、老师方面的爱的缺失所占的比例40%。（3）社会背景造成的一种缺失。社会对高职的一种歧视。施教者普遍存在老中青的知识结构差异，中老年教师教学经验丰富，教书及育人有一定的方法。但对新知识的接受及传受有一定的障碍，教学方法也较保守。而青年教师由于接受新知识的学习，接受和传受新知识有一定的优势，教学方法不拘一格。施教者与被施教者应取长补短，扬长避短。 

二、基于教育现状的高职高等数学课程建设多元化分析 

高职高等数学课程建设需面向师生，以学生为中心，以能力为本位，以专业为导向，强调学生整体素质的培养和身心素质的全面发展。可以做到以下五个方面：（1）五个衔接。即数学和所学专业对接；三类学情与三类课型对接；三种教材与三类课型对接；三类学情与三种实施方式对接；三类教师与三种实施方式对接。（2）三类学情。首先大一新生入学，第一学期有64学时将应用数学基础知识传授给学生，统一考核，通过各位任课教师一学期的观察与考核结果将学情分类，兼之学生的选择，在选取数学后期学习，将学情分为以下三类：学情Ⅰ：学生的知识与技能、思维、解决问题能力、学习的目的性很强；个性发展、兴趣、爱好全面。学情Ⅱ：知识与技能、思维、解决问题能力较弱；个性发展、兴趣、爱好局限。学情Ⅲ：知识与技能、思维、解决问题能力弱；个性发展、兴趣、爱好缺失。（3）三类课型。课型Ⅰ数学实验与数学建模课（紧密与专业学习对接）；课型Ⅱ高等数学基础课（尽可能与所学专业对接，主要目地为终身教育打基础）；课型Ⅲ数学素质课（人文数学或数学文化。促进学生个性发展，兴趣、爱好）。（4）三种施教方式。一种以专业学习、数学实验及建模竞赛为载体实施数学实验及建模课教学；一种是以专业需求、终身教育为载体实施实用数学课教学；一种是以数学素质教育为载体实施人文数学课教学。（5）三类教师。即实验教师（数学实验及建模）、理论教师（实用数学基础）、素质教育教师（数学素质课）。其中实验教师是青年教师；理论教师是中青年教师；素质教育教师是老年教师。 

三、“专学结合”视角下高职高等数学教材开发的多元分析 

教材作为知识和技能的载体在高职院校教学过程中起着重要作用，对促进人才培养质量起着重要作用。针对教材的特殊性对教材的开发具有重要意义。 

（一）对大一新生第一学期64学时开发《高等数学基础》教程主要体现以下内容。高等数学基础知识讲解，以项目教学实施，项目是按数学知识体系划分。同时配套项目任务考核册，考核册具有以下三个特点：一是，基本概念理解与简单应用，即填空、选择、判断、测评题与书本例题类型难易度一样的；二是，难易度递进，填空、选择、判断、测评题比书本例题相对难一些；三是，拓展加深，题的难度要大一些，题量要大一些，实际生活实例要多一些，专业实例相应配备一部分。 

（二）对应三类课型的施教，高职高等数学开发三种配套教材。课型Ⅰ配套教材《数学建模》、《数学实验》，具有两个特点：一是，教材抓住“专学结合”为切入点，以专业实例作为高等数学配套课新内容的引入，构建项目教学，有利于创设问题情境，有利于使学生体会到数学在自身专业学习中的地位与作用的；二是，教材以数学建模竞赛题为载体，构建“项目教学、情境模拟、课专融合、过程式考核”。课型Ⅱ配套教材《实用高等数学》，具有三个特点：一是，以应用高职高等数学为主线，每节教学内容大体围绕两个应用性问题展开，教材中有关数学应用的例子和习题紧紧围绕学校特色进行。内容涉及建筑、文化、商业、家庭理财、全球性问题（如粮食问题、人口问题、环境保护问题）给社会带来的影响和作用。二是，教材抓住日常生活中的问题作为新内容的切入点，常常围绕具体问题的应用展开，有利于创设问题情境，而且有利于使学生体会到数学就在身边；三是，教材开设应用栏目，如聚焦职业，介绍各行各业应用数学的事例。课型Ⅲ配套教材《人文数学》。具有两个特点：一是以数学知识为载体，努力去展示数学丰富的人文内涵，以数学思想、数学精神为主线，以数学人物、数学故事、数学问题、数学史、数学之谜为题材，以生动而不失深度的叙述，把学生带入数学与人文交相辉映的学习之中。二是具有教育性、科学性、趣味性、艺术性等。内容上：通俗易懂，形式上：喜闻乐见，易于传播，易于接受。 

四、结语 

通过多元化《高等数学》教学教材的开发以及对教学内容和设计的改进，使得高等数学课程教学中出现的一些对学生说难以理解的、深奥的抽象理论知识，通过具体的实用性、可操作性来体现，使学生易于接受。多元化教学方法比较切合大多数理论性强的课程教学内容和设计的改进依据，有望进一步推动高职院校人才的培养质量。促进学生能够更积极主动地、自觉地学习，有兴趣与老师交流，也有能力和水平与老师沟通，使绝大部分学生都能真正地掌握本门课程的主要知识点，为以后的专业课的学习打下夯实的基础。从教学课程到课时的安排都作了较大的调整，从而也兴起了新一轮高职数学教学改革的浪潮，在对高职数学课程教学模式进行探讨和研究过程中，对课程建设进行多元化分析.在教学方法上、考核方法上等，采用分层式，多元化，使教学达到最有效的作用。成功做好高等数学与专业的紧密结合，高等数学教师要不断提高自身素质，对专业与数学的联系有较多的了解。并与教学过程相互渗透才能唤起学生的学习热情，从而使学生感受到数学知识的丰富与有趣。 

参考文献 

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[2] 李京秀.基于信息技术的精品课程网络平台构建研究[D].西安建筑科技大学硕士论文，2007. 

[3] 彭慧.网络环境下学习资源的设计与应用研究[D].浙江师范大学硕士论文，2006. 

[4] 郭立婷.精品课程及其建设研究[D].山西大学硕士论文，2007. 

[5] 张千友.精品课程试题库管理系统[D].电子科技大学硕士论文，2007.