数学建模的微分方程方法精选(九篇)

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第1篇：数学建模的微分方程方法范文

【关键词】常微分方程；数学模型；建模

【基金项目】吉林省高教学会高教科研课题2016年度立项课题数学模型在大学数学教育中的应用研究（课题编号：JGJX2016D71）.

大学数学课程主要培养学生的逻辑思维能力以及运用所学的数学知识计算和证明数学问题.可是大部分学生会发现在面对实际问题时，他们还是不知道怎样利用数学知识去解决.同时，还会觉得数学知识枯燥乏味、高深难懂，逐渐就失去了学习数学的热情和钻研精神.这是大学数学课程中普遍存在的问题，而且也是大学数学教师迫切需要解决的问题.

数学建模是一个创造性的思维锻炼，它通过对实际问题进行分析，根据其内在规律，在一些必要的简化假设下转化成数学问题，进而通过数学方法来求解.把数学建模的思想融入大学数学课程中是一个行之有效的方法.一方面，通过数学建模能够使学生认识到实际问题和数学问题的联系，增加学习数学知识的兴趣；另一方面，在解决实际问题时，又必然要用到数学工具，从而增加学生学习数学知识的动力.很多大学数学教师都在探索如何将数学建模的思想融入大学数学课程中，以此调动学生学习数学的积极性.

常微分方程是大学数学课程中的一门与实际应用紧密联系的课程.常微分方程是由物理学、天文学、生物学、经济学等众多的自然科学和社会科学领域中的实际问题提出的，通过运用微积分的理论及计算方法来研究常微分方程的解及解具有的性质.虽然常微分方程在实际生活中具有广泛的应用，但是很多学生并不知道或者知之甚少，从而缺乏学习的动力和兴趣.因此，在常微分方程课程中融入数学建模思想是必要的，也是可行的.若能把数W建模思想融入常微分方程的教学中，那么学生能够深刻认识到所学知识的用途，提高学习热情，获得良好的教学效果.

一、一阶常微分方程的建模案例

程的解为

N（t）=N0ert，t>0.

值得注意的是这个模型有一定的局限性，即随着t的增加，人口数将以指数级增加，这是不现实的.出现这样的情况是因为没有考虑到环境容许的最大容量.但是这个模型可以描述某个地区短期的人口数量.事实上，这个模型与19世纪以前欧洲某些地区人口和迁往加拿大的欧洲移民人口都大致吻合.

二、常微分方程稳定性理论的应用举例

在某些实际问题中，若关注的焦点不是每一时刻的状态，而是当时间充分长以后的状态时，我们不需要求解问题，而可以利用常微分方程稳定性理论，直接研究解在很长时间以后的状态的稳定性即可.

第2篇：数学建模的微分方程方法范文

关键词：常微分方程 数学建模 人口预测

引言

纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系。牛顿在研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量。微分方程是自变量、未知函数及函数的导数(或微分)组成的关系式。在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程，也可以简单的叫做微分方程.在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足微分方程关系似的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质。常微分方程是解决实际问题的重要工具。

常微分方程在数学建模中的应用举例

微分方程在数学建模中的应用大体是：首先，建立数学模型，根据问题的目的、要求具体分析做出相应的简化和假设；然后按照规律列出微分方程，求出方程的解；最后将实际对象带入结果中，对问题进行描述、分析、预测和控制。

2.1人口指数增长模型

最简单的人口增长模型是：记今年人口为，年后人口为，年增长率为，则(4.1)

这个公式的基本前提是年增长率保持不变。

二百多年前英国人口学家马尔萨斯调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口的增长率是常数的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。

记时刻的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将视为连续、可微函数。记初始时刻的人口为，假设人口增长率为常数，即单位时间内的增量与的比例系数。考虑到时间内人口的增量，显然有

令取极限，得到满足的微分方程(2.2)

由这个线性常系数微分方程很容易解出(2.3)

表明人口将按指数规律随时间无限增长()。因此，(2.3)式称为人口指数增长模型，也称为马尔萨斯人口模型。

由微分学的理论知，当时，．这样将以年为单位离散化，由公式(2.3)得到前面所讨论的公式(2.1)，即

由此可见公式(2.1)只是人口指数增长模型(2.3)的离散近似形式。

历史上，人口指数增长模型与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口也大致符合这个模型。另外，用它作短期人口预测可以得到较好的结果。这是因为在这些情况下，模型的基本假设“人口增长率是常数”大致成立。

但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程，这是因为人口增长率事实上是不断地变化着.排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，其增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小。因此为了使人口预测特别是长期预测能更好地符合实际情况，必须修改人口指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设。

2.2人口阻滞增长模型

由于自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大，因此人口增长到一定数量后增长率会下降。人口阻滞增长模型就是考虑到这个因素。

阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。若将表示为的函数，则它应是减函数，于是方程(2.2)改写为(2.7)

对的一个最简单的假设是，设为的线性减函数，即(2.8)

这里称为固有增长率，表示人口很少时（理论上是）的增长率。为了确定系数的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，称为人口容量。当时人口不再增长，即增长率，代入(2.8)式得.于是(2.8)式化为(2.9)

其中，是根据人口统计数据或经验确定的常数，(2.9)式的另一种解释是：增长率与人口尚未实现部分的比例成正比，比例系数为固有增长率。

将(2.9)式代入方程(2.7)得(2.10)

方程(2.10)右端因子体现人口自身的增长趋势，因子()则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。显然越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。方程(2.10)称为人口阻滞增长模型，也称为Logistic模型。

用分离变量法解方程(2.10)得(2.11)

用该预测模型对美国近两个世纪人口的增长进行模拟计算，除了19世纪中叶到20世纪中叶的拟合效果不很好外，其余部分拟合的都不错.

结论

通过以上的实例分析可以看出，常微分方程与数学建模结合起来，对解决人口预测的问题有着非常重要的实际作用。本文所做的分析只是众多应用中的一个方面，随着现代科学技术的飞速发展，有理由相信基于微分方程的数学建模有着更加广阔的前景。

参考文献

[1]常广平.常微分方程的思想方法与应用[J]

第3篇：数学建模的微分方程方法范文

数学建模思想

数学建模就是指为了实现某一个特定的目标，借助各类数学符号、公式以及图表，将特定的客观世界事物本质与内在联系进行表达的过程。数学建模可以用于解决生活中的很多实际问题，其利用实际事物之间的数量关系以及内在规律，将其转化为数学问题，并借助数学方法进行求解，以达到解决实际问题的目的。随着计算机技术的不断发展，在数学知识与计算机技能相结合下，数学建模思想在解决实际问题方面效果越来越明显。

数学建模按照建立模型的数学方法可以分为初等模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等。按照模型的表现特性又有几种分法，可以分为确定性模型和随机性模型，静态模型和动态模型，线性模型和非线性模型，离散模型和连续模型。

数学建模思想与高等数学教学融合的必要性

数学建模思想对于打破传统的教学模式非常有效果，其能够充分调动学生的学习主体性和探究性。在数学建模的过程中，学生需要对教师提出的实际问题进行分析、并借助数学知识将其转化为数学问题，然后，构建解决该数学问题的数学模型，并最终得出模型的解决方法。这些过程中，学生的实际动手能力以及创新能力得到了显著的提升。不仅如此，数学建模过程，并不是一个学生可以独立完成的，其需要小组成员相互配合，依靠团队的力量共同完成。所以，数学建模过程中，学生的团队合作能力也是有所增强。这对于学生将来的工作和生活都是有所帮助的。

数学建模思想在高等数学教学中的应用

1 数学概念以及定理教学中数学建模思想的应用

高等数学中相关的数学概念有很多。而且，都具有很强的抽象性。例如：导数概念以及微积分概念等。解决生活中的实际问题很多都会用到导数的概念，导数可以用来表示变速直线运动的即时速度以及经济生产中的成本变化率等。教师在教学过程中，可以对这些问题进行数学建模，在建模的过程中，引出导数的概念。

2 数学建模思想在实际问题解决中的应用

高等数学中，很多公式都是具有实际意义的。所以，教师在教学过程中，要尽量选取一些实际问题，并借助数学建模思想加以解决。例如：高等数学中涉及到的一阶微分方程：

这个常微分方程可以用来表示某一生产企业的新产品销售模型，同时，其也可以看做是销售机构的销售模型，在生物研究领域，其亦被称为是Logistic模型。是用来描述在某特定约束条件下，生物数量的增长情况。

3 实例分析

常微分方程是高等数学课程中的重要教学内容，其是高等数学知识解决实际问题的重要手段。下面以实际例子对数学建模思想在高等数学教学中的应用进行分析。

例1：在产品供应链中，甲厂是负责为乙厂生产零部件的。乙厂将甲厂生产的设备零件进行组装，制成成品，并进行销售。二者形成了供给关系。如果没有甲厂的零配件，乙厂就无法进行产品生产，面临着供货困难的局面。而甲厂需要靠提供零部件，来维持生产经营，从中获利。所以，二者是相互依存的关系。现在利用数学模型讨论二者之间的量化关系。

模型建立：假设甲厂生产的零配件数量为x（t），乙厂的产品数量为y（t），甲厂的零件生产增长率为r，乙厂产品生产能力为a，乙厂不依靠甲厂生产产品的生产率为d，甲厂供给乙厂生产零件的能力为b。则有：

微分方程组的求解通常在高等数学中往往局限于某几种特定模型，但远远不能满足实际需求，该方程无解析解，可采用MATLAB进行求解得到数值解。

从这个实例中我们看到了数学知识在实际问题中的应用，微分方程知识的具体应用，从提出问题到最终得到周期有规律的曲线都表明引入数学建模思想是使得高等数学教学具体化、形象化的有效工具。

结论

第4篇：数学建模的微分方程方法范文

关键词： 常微分方程 教学方法 数学建模 线性代数 微课

在自然科学和社会科学的研究中，许多现象及事物发展的规律都可用数学模型表示出来，而常微分方程是数学建模中最基本的工具。同时，又是应用数学专业一门重要的基础课，对先修课程及后续相关课程起到承上启下作用。现我对于怎样教好常微分方程这门课以达到该课程教学目的，提高教学质量，谈谈一些体会和看法。

一、让学生了解常微分方程课程的特点，认识到学好该课程的重要意义。

常微分方程是学习其他数学理论后续课程的基础，这些课程包括数理方程、微分几何、泛函分析等。课程本身既有严密的逻辑性，又有一定的应用性，但目前高校常微分方程课程大多还停留在传统教师主讲形式，偏理论，轻应用，使学生极易产生排斥心理。因此，讲授这门课内容之前，教师不妨先利用一些简单的物理、生物和化学等相关学科的模型引入，让学生深刻认识到这门课是解决实际问题的有力工具，提高学生对课程的兴趣。

二、培养学生的学习兴趣。

教师要注意采用多种教学方法，不能为了赶教学进度直接把定义、定理、证明一一搬出来，使学生陷入枯燥的学习中，进而失去学好这门课的兴趣。因此，教师在教学过程中既要充分发挥自身的主导作用，又要让学生积极、主动地参与到教学中。比如，学习了二阶常系数线性方程的求解后，可以引导学生根据中学时接触过的单摆问题，先让他们尝试建立简单的物理模型并加以讨论，由此得到出现简谐振动、共振现象的条件。

三、根据授课对象，对教学内容进行适当增减，教学难度应有所不同。

学生所学的专业对数学基础的要求不尽相同，因此，教师应该根据学生专业选择授课内容。比如，若授课对象是应用数学或数理专业的学生，则除了要求掌握常微分方程的计算技巧外，还应强调基本数学定理的证明。若授课对象为金融数学专业，常微分方程的作用主要体现在应用上，因此教师在授课中应侧重数值计算，复杂的定理推导可以仅介绍证明思路。此外，若教师在平时工作中注意收集相关实际案例，把这些案例引入各类专业课堂教学中，则对促进学生学习积极性提高起到至关重要的作用。

四、注意本课程与其他课程的相互渗透。

常微分方程教学内容中，计算占了很大比例，而课程本身就是结合线性代数、解析几何等相关数学知识解决数学理论和其他学科中出现的微分方程问题。因此，教学中，除了让学生掌握基本计算方法外，还要注意与其他课程的相互渗透。如学习求解常系数线性方程组的基解矩阵这部分内容时，若方程组的系数矩阵A（设为n阶）恰好有n个线性无关的特征向量，则可直接利用课本上的定理写出其基解矩阵。此外，还可引导学生根据线性代数的知识知A可对角化，则通过可逆的线性变换必能将系数矩阵化为对角形，使得方程组的求解易于进行。

五、结合运用多媒体技术。

传统的教学方法以板书为主，但是由于常微分方程这门课中定理的理论证明比较多，一味板书和讲授会让学生产生厌烦心理。因此，教师应该把传统教学方式与现代教学手段结合起来，借助多媒体把板书内容适当变得有趣一些。如学习解的延拓时，可以用动态画面把这部分内容展现出来，让学生在脑海里有较为直观的印象，接着引导学生思考、总结方程的解向左右两边延拓的情形究竟如何，最后教师对学生总结出的内容给予相应修改、补充。这样教师既可以较为轻松地把抽象的定理内容传授给学生，又可以让学生参与到课堂讨论中。

六、将微课形式融入教学中。

近年来，微课在我国发展很快，这一新的教学形式逐渐成为教育信息化的热点之一。它不同于传统课程，主要以教学视频为表现形式，具有内容少而精的特点。由于常微分方程课时的限制，教师不可能将课程全部内容都在课堂教学中呈现出来，而且有些较难的知识点通过教师的讲授可能还有部分学生无法掌握。因此，教师可根据课程内容的特点，将微课适当引入教学中。例如，讲授求常系数线性方程组基解矩阵这一部分内容时，在课堂上教师主要介绍根据空间分解理论所得的基本计算公式，至于其他计算方法，如利用约当标准形，以及利用哈密杜顿-凯莱定理的方法，教师可将其录制成微课放在网上，供感兴趣的学生自行学习。这样可以让学生充分利用课余时间学习这门课，激发学生的学习热情和创造性。但需要注意的是，微课只是教学辅助手段，并不是所有常微分方程的知识都适合制作成微课，因此在知识点选择上还需教师反复推敲，在教学中适当融入微课，才能达到提高教学质量的目的。

常微分方程是一门重要的基础课程，随着科技进步，高校教师应紧跟时代前进步伐，更好地设置教学内容和教学模式，尽可能深入浅出地讲授这门课程。

参考文献：

[1]王高雄，周之铭，等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]胡铁生.“微课”：区域教育信息资源发展的新趋势[J].电化教育研究，2011（10）：61-65.

[3]杨晨.常微分方程教学改革探讨[J].长春师范大学学报：自然科学版，2014（3）：167-169.

第5篇：数学建模的微分方程方法范文

关键词：计算机电源仿真；动态系统；仿真模型

中图分类号：TM727

动态系统计算机电源仿真是以计算机科学，概率论，随机网络论，系统工程理论等多学科为基础的，以数学建模为主要手段的新型学科。电源动态系统计算机仿真是计算机仿真的一个分类，做好电源动态计算机的仿真对于真实系统的设计和优化具有重要意义。

所谓计算机电源仿真主要指的是以计算机为主要工具，通过建立仿真模型来对计算机输出信息进行认真分析和研究。计算机仿真技术的主要目的是对现有系统进行科学评价和改进优化。计算机仿真技术在工程设计，计算机集成，网络通讯方面应用非常广泛。基于计算机仿真技术的动态系统的计算机仿真技术则主要是对仿真对象的实际性能进行科学评估和预测。

在动态计算机电源仿真技术中仿真建模是其中的重要环节，仿真效果在很大程度上都取决于仿真建模。因而我们必须要高度重视动态系统的计算机仿真建模。笔者认为计算机的仿真建模类型与计算机的类型有很大的关系，计算机的类型不同动态计算机仿真类型也不同。当前动态系统的计算机仿真建模基本上可以分为数字机仿真，模拟机仿真和模拟――数字仿真三大类型。笔者认为电源动态系统的计算机仿阵基本上可以分为三个基本步骤：建模，模型实现与模型实验。仿真实际上也是包括三个元素：模型，系统和计算机。本文将重点分析动态计算机系统的仿真建模。

1 仿真建模的基本步骤

动态系统的计算机电源仿真建模基本上可以分为以下四个步骤：一是分析系统；二是设计模型；三是模型实现；四是仿真实验。接下来笔者就来详细分析这四个步骤、。

1.1 分析系统。所谓分析系统主要是要明确仿真对象，要确定对象的系统边界，目标函数以及控制参量。对于那些复杂系统而言我们除了要了解上文中的基本内容外，还要对系统内部的层次关系，子系统之间的关系，子系统对上级系统之间的关系。笔者认为明确这些关系是进行设计的前提。系统分析是一项非常重要的步骤，科学分析系统是实现基本步骤的前提，笔者认为在设计过程中必须要认真分析系统。

1.2 设计模型。在详细分析了系统后接下来的工作就是要设计模型。在设计模型的时候，笔者认为首先必须要明确系统与环境之间的信息和能量交换关系。明确这一关系是设计的前提。因而设计过程中必须要明确两者之间的关系。而后就是要进行转换把数学模型转换成相应的用计算机语言或者是电路表示的仿真模型。在模型设计过程中必须要对仿真时间步长和特殊系数发生器的计算方法保持高度重视，在设计过程中要结合系统自身的特点来确定仿真时间步长和计算方法。设计模型是系统模型设计的关键性步骤，对于计算机仿真具有全局性影响，我们必须要高度重视模型设计。

1.3 模型实现。在完成了科学设计之后，接下来的工作就是模型实现了。在这一阶段设计人员可以根据仿真数学模型研制出相对应的数据处理软件或者是模型电路。动态计算机的仿真建模最终是要靠模型来实现的，科学研制仿真数学模型具有重要意义。

1.4 仿真实验。在完成建模之后，最后还要进行仿真实验以确定模型效果。所谓仿真实验主要指的是在计算机上运行数据处理软件或者是对模拟电路加电，而后观察数字计算结果或者电压电频变化曲线。在实验过程中我们必须要研究对象自身的特点来确定具体的实验方案，仿真实验基本上又可以分为确定具体方案，启动仿真，输出信息等步骤。仿真实验的主要目的是通过对输出信息的观察来与实际系统进行比较，最终进行改进和完善。

2 仿真建模

模型分析法是计算机仿真的主要方法。模型分析法主要是通过对实际系统的抽象分析构造出一个数据模型而后利用这个数据模型与实际系统进行对比分析。在模型分析中最关键的步骤就是建立一个能够反映出实际系统关键特征的模型。对于复杂系统而言基本上又可以分为建立结构关系模型，性能分析，评估三个阶段。

仿真系统模型的分类根据分类标准的不同可以分为多个种类。具体而言，仿真系统模型根据表示方法可以分为数学模型和物理模型两大类，计算机仿真主要采用的是数学模型。根据时间关系可以把系统数学模型分为连续时间动态模型，离散时间动态模型，静态模型，混合时间动态模型。根据系统变化方式进行分类，则可以分为离散事件系统变化模型和连续变量系统模型。下面笔者就以连续变量动态系统为例来详细探讨如何进行仿真建模。

2.1 连续变量动态系统的仿真建模。所谓连续变量动态系统主要指的状态连续变化，而驱动方式为时间驱动的物理系统。连续变量动态系统本身根据时间取值方法和取值域又可以分为离散时间动态系统，连续时间动态系统，连续――离散实践混合的动态系统。

在构建模型的方法中针对连续变量动态系统的描述的方法有很多，其中最常见的方式是系统动力学模型，回归模型，差分方程模型，常/偏微分方程模型。在这几种模型中微分方程中微分方程模型应用最为广泛。下面笔者就以微分方程模型来进行分析。

在连续动态系统中我们可以把系统输入设为{u（t）}，而系统输出则设为{y（t）}。此时应用较多的高阶微分方程模型则是：

当系统中出现输入信息{ ε（t）}的时候，此时随机微分方程则是：

该模型在系统中应用十分广泛。模型（1）（2）是研究连续动态系统的有效手段。下面笔者就阿里详细介绍以上两种模型如何转化问计算机仿真模型。上文中的两种模型都是高阶微分，针对高阶微分我们很难直接转换成仿真模型，此时我们就需要采用化归的办法，把模型转化成一阶积分的形式来进行仿真。对于这两个模型我们主要有三种方式来进行转换，一种方式是模型转换法，另一种方式就是离散相似法，最后一种方式是变换操作域法。下面笔者就来详细论述这三种转换方法。先来看第一种模型转换法，采用模型转换法我们主要针对模型（1）（2）采取以下步骤：

通过以上步骤我们就可以把模型（1）转化成：

而模型（2）则可以转化为：

通过以上分析我们就会发现，数值积分是连续动态系统仿真的有效算法，因而它在连续动态系统中应用非常广泛。在设计过程中我们必须要加强对数值积分法的研究。数值积分法具有论述详细和实用算法多的特点，我们在应用过程中必须要结合系统计算机的的特点来选择算法

在分析了模型转换法之后，接下来笔者就来详细论述离散相似法。所谓离散相似法主要指的是通过对连续动态系统采用离散方式来进行转换。在计算机运行过程中，通常意义上它们不具备处理连续数据的能力，此时就需要采用离散相似法的形式来进行分析。所谓离散相似法主要指的是对连续系统进行离散化处理，以便于求的离散模型，最终以离散相似模型作为仿真模型来实现对实际系统的分析。结合上文的两个模型而言就是要设置采样开关以及信号重构器来实现。信号重构器应该具备适当的阶次。笔者结合大量的理论研究以及实践证明，离散相似法在实际系统的转换中能够起到良好的效果。采用这一技术可以实现对模型的有效转换。在实际系统中有一项技术非常重要，这就是Kalman 递推估计技术。采用仿真方法可以实现对Kalman 滤波的精确分析，对各种扰动的灵敏度能够进行精确的定量分析。离散相似法的应用能够为Kalman 滤波算法提供有效的技术支持。

在对连续动态系统进行仿真的时候，有时仿真的目的并不是为了研究系统的输出值，而是要研究实际系统的性能，例如系统的稳定性，操作性，可靠性等指标。在这种情况下我们主要采用变换操作域的方法来进行分析。所谓变换操作域主要指的是在设计过程中要尽量选择S域和Z域来进行分析。具体而言就是要：

对上文中的方程式4进行Laplace变换，此时就可得出以下公式：

该公式就可以称作系统的传递函数。上文中主要是采用L变换。我们采用Z变换技术同样可以得到类似要求，我们在设计过程中必须要结合系统自身的特点来选择一种较为方便的方法来进行处理。无论是L变换还是Z变换，在模型转换中都起到了非常方便的作用。我们要加强对着两种变换技术的研究。此外除了要注重这两种变换之外，我们还要对重构器的设置保持高度重视。重构器的设置在变换域操作中有着重要意义。

重构器设置，可以从零阶信号重构器，一阶线性重构器以及三角形信号重构器，这三种重合器的脉冲传递函数进行分析。在连续信号离散化过程中信息不可避免的会产生损失，这就会导致离散化采样后的数据处理同离散化处理之前的信号之间是有误差的。在变换域操作过程别是在S域与Z域变换中，通过引入校正器可以有效解决这个误差问题。在变换过程中通过调整校正器传递函数可以使得离散后的模型接近系统原型。针对系统校正，一般意义上有两种方式，离散校正和连续校正。

以上三种方法就是对连续动态系统进行转换的三种方法，我们在实际操作过程中必须要结合建模的目的和连续动态系统本身的性能来选择转换方法。在这三种方法中，笔者认为变换域操作法可以起到减小误差，保证系统稳定性的目的。

2.2 高阶系统的简化方法。在计算机电源仿真中，系统在运用微分方程来转换过程中经常会遇到高阶次的问题。高阶次微分方程的出现给系统建模带来不小难度，因而我们必须要采用科学的简化方法来简化高阶微分方程。笔者认为当前高阶微分方程的简化方式有以下两种：一种是频率域简化法；另外一种是时域简化法。下面笔者就来详细介绍这两种方法。

频率域法本身又可以分为Pade法，连分式法以及混合法。时域简化法则主要可以分为摄动法和系统集结法。摄动法主要对整个系统进行解耦处理，解耦处理的最终目的是要把高阶模型分为多个低维模型。摄动法本身又可以分为强耦合关系的非奇异摄动法和弱耦合关系的奇异摄动法。

3 离散事件动态系统的建模

所谓离散事件动态系统主要指的是系统状态跳跃式变化，系统状态迁移主要发生在离散时间点上的动态系统，与连续动态系统不同离散事件动态系统的驱动方式是事件驱动。离散事件系统大部分都是人造系统，系统结构非常复杂，采用传统的微分方程方法很难起到作用。因而我们必须要选择水平更高的方式来进行设计。笔者认为当前针对离散事件动态系统的建模方式基本上可以分为三类：一类是Petri网络模型。二是排队论模型；三是自动机模型。接下来，笔者就来详细分析这三种形式。

3.1 Petri网络模型。Petri网络模型是离散事件动态系统计算机仿真建模过程中应用最广泛的模型。我们说它的应用范围广，笔者认为主要体现在两个方面：一是它既可以用于不带时标的仿真模型中，又可以运用在带时标的模型中。二是它既可以用于确定性的仿真模型，又可以用于具备逻辑性的定性建模中。Petri网络模型具有众多优点，具体而言有以下几个优点：一是具有形式简洁，直观的特点，因而适用于系统组织；二是能够实现对异步并发系统的有效模拟，对模型实体的有效分析；三是能够在不同级别上表示出系统的结构。

近些年来，随着计算机电源仿真技术的发展，Petri网络方法获得了迅猛发展，该模型在实际应用中的效果也越来越显著。在几十年的发展中逐渐研究出了定随机Petri 网（ DSPN） ，有色Petri 网，随机Petri 网（ SPN） ，带有禁止弧的计时变迁Petri 网等各中扩展类模型。

第6篇：数学建模的微分方程方法范文

【关键词】微分方程数值解；初探；教学模式；教学实践

0 引言

微分方程数值解是我院信息与计算科学专业的一门专业课，与数值分析等课程一起构成信计专业的核心课程体系，该课程在信计类专业培养方案中占有极其重要的地位。作为传统的专业课，该课程不但具有较强的实际意义和实际背景、而且逻辑性也非常强，并且该课程还对科学计算进行了着重研究。 这就要求我们在微分方程数值解的教学中不但要使学生学习如何熟练地掌握微分方程数值解的基础知识和基本理论，而且还要使学生学习如何获得进行基础的科学研究和解决一些实际问题的能力。为此， 针对我院应用型人才培养的定位，结合微分方程数值解课程自身的特点。在构建适合本专业的课程体系和教学内容的安排中，其一，我们将课程的理论教学内容和课程的实验教学内容有机的结合起来，两者并重。其二，在教学中重视数值计算在实际问题中的应用，着重强调理论联系实际。其三， 在平时的教学工作中逐步将多元化的教学模式和教学方法融入课堂中以打破传统教育教学模式。通过多年在教学工作中的探索和实践， 逐渐使我院微分方程数值解课程的教学形成了自己的课程内容和教学体系，取得了良好的教学效果。同时也为我院培养应用型高素质创新人才奠定了坚实的基础和良好的保证。

1 明确教学定位、优化教学内容

微分方程是研究自然科学和社会科学中的事件、物体和现象运动、演化和变换规律的最为基本的数学理论和方法。微分方程数值解是解决“计算”为题的桥梁和工具，是利用计算机研究并解决实际问题的数值近似解。它既有理论上的抽象性和严谨性，又有适用性和实验性的技术特征。因此，微分方程数值解已应用到科学技术和社会生活的各个领域中。根据教育部课程教学指导委员会颁发的信息与计算科学专业规范对微分方程数值解课程的基本要求和我院主要是培养应用技术型人才的实际情况[3]，我们的教材采用的是由胡健伟、汤怀民编著《微分方程数值方法》。我们通过合理选取理论体系适当降低课程内容的理论难度，微分方程数值解课程讲授的内容主要为常微分方程的数值解法、偏微分方程的差分方法和偏微分方程的有限元方法[4]。其中偏微分方程的差分方法是课程教学的重点。在保证课程内容科学性的前提下对课程内容作了部分处理，安排由简单到复杂的内容次序以及简捷、直观的理论体系。课程始终贯以连续问题离散化的基本思想，力求达到与相关学科的相互渗透与利用[3]。例如：在讲常微分方程初值问题的数值方法时，由简到难，从简单的一阶显示的Euler单步方法的构造和概念，再推进到隐式Euler方法和梯形法，最后再讲述较为复杂的单步高阶Runge-Kutta方法以及线性多步方法等的基本概念和理论，最后讨论高阶常微分方程的数值解法[4]。再如，考虑到有限元法是个比较难的知识点，安排教学内容的时候把学生较为容易理解和掌握的有限差分法知识点放在前面讲。使学生有一个从易到难的认知过程，这样安排，教学内容组织条理清晰，学生在学习过程中变得更加积极主动，有助于学生系统学习微分方程数值解得基本理论和基本方法。实践证明这类教学内容的改动产生了很好的教学效果。

2 改革教学方法，创新教学模式

微分方程数值解课程不但理论性非常强，公式推导也非常枯燥和烦琐，并且计算量也特别大，为了避免教学过程中“教师教，学生学”的“满堂灌”的教学方法。因此，在教学过程中改革教学方法，创新教学模式显得尤为重要。

2.1 采用启发式教学方法

在教学过程中无论是基本理论、基本概念和思想方法的讲解，还是实际问题的引入，均采用启发式的“教师教学生学习”的教学方法。首先通过老师与学生之间充分的交流和互动，引导学生主动参与到教学过程中， 调动学生的学习积极性。然后再由教师分析计算过程，推导出计算结果，从而激发学生的学习兴趣。最后再鼓励学生积极参与题后分析与讨论，从而切实提高学生应用所学的理论知识来解决一些实际问题的能力。

2.2 将多元化的教学模式融入课堂教学与传统教学模式优势互补

多元化教学模式是一种以学生为中心的融合的教学策略模式。在课堂教学中采用多元化的教学模式，将多媒体教学设备和Matlab等数学软件引进课堂教学，与传统教学模式有机的融合起来，采用“课件+板书+动态演示”的课堂教学模式，充分发挥着两种教学模式的优点，从而使立体化的信息在实际教学过程中得到充分的展现和应用。在多元化教学模式和传统教学模式这两种教学手段的交互使用中，构建新型教学模式，提高课堂教学效果，培养学生的创新意识和创新能力以及自我更新知识的能力。实践证明，通过这两种教学模式的优势互补在教学中取得了不错的成绩。

2.3 将数学建模的思想融入课程教学

数学建模思想是通过建立数学模型来解决现实问题的一种数学思维形式。对微分方程数值解的讨论，从实际背景和实际意义入手，研究实际课题抽象、提炼数学模型的思想、激发学生的求知欲，从而找出各个知识点之间的相互联系，使微分方程数值解课程与现实问题有机的结合起来[3]。让学生在实际问题的求解过程中体验数学的魅力所在，培养学生学习该课程的积极性和兴趣。微分方程数值解教学将培养学生数学意识和能力作为重要的教学目标，将数学建模思想融入日常的教学过程中就能让学生掌握数学应用的广泛性，提高学生“学数学、用数学”的应用意识能力。

第7篇：数学建模的微分方程方法范文

关键词：高等职业教育　数学教育　数学建模

一、前言

随着社会的发展，数学在社会各领域中的应用越来越广泛，作用越来越大，不但运用于自然科学各学科、各领域，而且渗透到了经济、军事、管理以至于社会科学和社会活动的各领域。但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题（就像在学校里做数学应用题），而是为了解决实际问题而需要用到数学。对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这就称为数学模型，建立数学模型的这个过程就称为数学建模。

建立数学模型来解决实际问题的过程，也是我们的学生在走上工作岗位后常常要做的工作。做这样的事情，所需要的远不只是数学知识和解数学题的能力，而需要多方面的综合知识和能力。社会对具有这种能力的人的需求，比对数学专门人才的需求要多得多。特别地，高等职业教育的培养目标是为生产、服务和管理第一线培养实用型人才，根据这个目标，高职数学课程的教学应以突出数学的应用性为主。高职数学课程的一个重要任务，就是培养学生用数学原理和方法解决实际问题的能力。在高职院校中开展数学建模活动的出发点就在于培养高职学生使用数学工具、结合专业知识、运用计算机等解决实际问题的意识和能力。

二、高等职业教育对学生进行数学建模思想方法训练的途径 在高等职业教育阶段对学生进行数学建模思想方法的训练有两种途径：第一是开设数学建模课，这个途径受到时间的限制，对于高等职业教育更是如此，由于学制短，分配给数学课程的课时数较少，这对于我们要做的事情来说是非常不够的；第二个途径就是将数学建模的思想和方法有机地贯穿到传统的数学基础课程中去，使学生在学习数学基础知识的同时，初步获得数学建模的知识和技能，为他们日后用所学的知识解决实际问题打下基础。将数学建模的思想和方法融入高职数学教学中，是一种非常适合我国高等职业教育实际的一种教育方法。

三、在教学中渗透数学建模思想方法的实践初探

1、在日常教学中渗透数学建模的思想方法

高等数学中的函数、向量、导数、微分、积分都是数学模型，但在教学中也要选择更现实、更具体、与自然科学或社会科学等领域关系直接，同时有重大意义的模型与问题，这样的题材能够更有说服力地揭示数学问题的起源和数学与现实世界的相互作用，体现数学科学的不断发展，激发学生参与探索的兴趣，培养学生学习数学、应用数学的意识。

要重视高等数学中每一个概念的建立，数学本身就是研究和刻画现实世界的数学模型。在教学中，每引入一个新概念或开始一个新内容，都应有一个刺激学生学习欲的实例，说明该内容的应用性。在每一章节结束时，可列举与本章内容相联系的，与生产、生活实际和所学专业结合紧密的应用实例，这样在讲授知识的同时，可让学生充分体会到高等数学的学习过程也是数学建模的过程。

（1）重视函数关系的应用

建立函数模型在数学建模中非常重要，因为用数学方法解决实际问题的许多例子首先都是建立目标函数，将实际问题转化为数学问题。

在这一章中要重点介绍建立函数模型的一般方法，掌握现实问题中较为常用的函数模型。

（2）重视导数的应用

利用一阶导数、二阶导数可求函数的极值，利用导数求函数曲线在某点的曲率在解决实际问题中很有意义。在讲到这些章节时，适当向数学建模的题目引申，可以收到事半功倍的效果。例如，导数的概念可以从变速直线运动的瞬时速度、交流电的电流强度等实际问题抽象出来。导数的意义是函数相对于自变量的瞬时变化率，以此为依据，所有有关变化率的实际问题都可用导数模型解决，这也是利用微分方程建立模型的基础。传染病传播的数学模型的建立，就用到了导数的数学意义（函数的变化率）；经济学中的边际分析、弹性分析、征税问题的例子都要用到导数。总之，在导数的应用一章中，适当多讲一些实际问题，能培养学生用数学的积极性。

（3）重视定积分的应用

定积分在数学建模中应用广泛，因此，在定积分的应用一章中，微元法以及定积分在几何物理上的应用都要重点讲授，并应尽可能讲一些数学建模的片段，要巧妙地应用微元法建立积分式。积分的概念可以从曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题中抽象出来。积分的基本思想是“局部以直代曲取近似，无限分割求和的极限”，利用定积分解决问题的关键是求微元。利用定积分模型可以解决变力作功、不均匀细棒的质量、交通信号灯时间设置、商品存储费用优化等实际问题。运用数学建模法学习数学概念、公式、定理，使学生经历数学家研究创造时的思考过程，不仅有助于学生理解知识的本质意义，而且可以彻底改变学生认为数学无用的错误认识。

（4） 重视二元函数极值与最值问题的应用

求二元函数的极值与条件极值，拉格朗日乘数法，以及最小二乘法，在数学建模中有广泛的应用。在教学过程中，应注意培养学生用上述工具解决实际问题的能力。利用偏导数可以对经济学的许多问题作定性和定量分析。例如，经济分析中的边际分析、弹性分析，经济函数优化问题中的成本固定时产出最大化、产出一定时成本最小化等，都可以用偏导数来讨论。

（5）重视常微分方程的讲授，建立常微分方程的应用

解常微分方程是建立数学模型解决实际问题的有力工具。为此，在数学课程教学中，要用更多的时间讲解如何在实际问题中提炼微分方程，并且求解。

2、数学建模应与专业紧密联系，发挥高等数学对专业的服务作用

用专业知识作为背景，加工成数学模型，可使学生认识到数学在专业中的地位。这样既加深了对专业知识的理解，又培养了学生应用数学的兴趣。通过对一些以专业为背景、学生有能力尝试的问题的研究，把专业问题转化为数学问题，可以增加数学教学的目的性和凝聚力。对学生在建模过程中碰到的专业方面和数学方面的困难，教师要鼓励学生通过请教教师和查资料及时将要用到的知识补上。在强烈的学习愿望下，人的潜能是最容易被激发出来的。

参考文献

[1]钟继雷 应用高等数学[M].哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2007（9）。

[2]徐天华 高等数学教学中融入数学建模思想初探[J].阿坝师范高等专科学校学报，2006（9）。

[3]王积建 在高职院校开设“数学实验”选修课的设想[J].浙江工贸职业技术学院学报，2004（9）。

[4]李乔祥 论数学建模竞赛对提高学生综合素质的作用[J].高等理科教育，2004（1）。

[5]王庚 数学文化与数学教育[A].数学文化报告集[R].北京：科学出版社，2004。

[6]尚寿亭 等 数学建模和数学实验的教学研究与素质教育实践[J].数学的实践与认识，2002（31）。

[7]徐茂良 在传统数学课中渗透数学建模思想[J].数学的实践与认识，2002（4）。

第8篇：数学建模的微分方程方法范文

关键词：中国；法国；数学教育；差异

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1002-2589（2013）32-0269-02

数学在法国教育中具有举足轻重的地位，而中国与法国数学教育有很多的不同，下面就中国和法国数学在教学内容的编排方式、知识的深度和广度、教学内容与实际应用相联系的程度，简单谈谈中法两国数学教育的几点差异。

一、教学内容的编排方式不同

法国数学的教学内容都是螺旋上升，循序渐进的。例如，大学一年级会学数列的极限和函数的极限，不过这时只是学习数列极限的描述性定义、单调有界原理、常用极限和极限的运算法则，以及函数极限的描述性定义、函数极限的性质和运算法则、函数极限的判定与重要极限，直至大学二年级才会学习数列的极限和函数的极限的严格定义，也就是语言，以及极限的唯一性、收敛数列的有界性、收敛数列与其子数列间的关系、函数极限的局部保号性、柯西（Cauchy）极限存在准则。再比如，大学一年级会学习不定积分与定积分，不过这时只是学习原函数与不定积分的定义、不定积分的性质、基本积分表，以及定积分的描述性定义、定积分的基本性质、关于积分上限的函数及其导数、定积分的计算，直至高年级才会学习不定积分的换元积分法（第一类换元法、第二类换元法）、分部积分法、几种特殊类型函数的积分（有理函数的积分、三角函数有理式的积分、简单无理函数的积分），以及定积分的介值定理、中值定理、广义积分（无穷限的广义积分、无界函数的广义积分、无穷限的广义积分的审敛法、无界函数的广义积分的审敛法）、定积分的应用[定积分的元素法、平面图形的面积、体积（旋转体的体积、平行截面面积已知的立体的体积]。变力沿直线所做的功、水压力、引力、函数的平均值、均方根）。还比如，大学一年级会学一阶线性微分方程解集的构成与叠加原理、相应齐次方程的解、常数变易法、初值问题的解：存在性与唯一性，以及二阶线性常系数微分方程的定义与解集的构成、相应齐次方程的解、第二项为指数函数与多项式函数之积时特解的寻求、常数变易法、初值问题：解的存在性与唯一性，而直至高年级才会学习可化为齐次的方程、伯努利方程、可降阶的高阶微分方程、微分方程的幂级数解法、全微分方程、积分因子、常微分方程组、二维自治系统与相平面、平面奇点、极限环、李雅普诺夫稳定性、自治系统的李雅普诺夫第二方法。另外，大学一年级会学复数的运算和复数的代数结构、复数的模与幅角的定义、复数的模与幅角的性质、复数的指数形式、复指数函数、复数的次根，直至高年级才会学习解析函数的概念、解析函数和调和函数的关系、初等函数、复积分的概念、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的高阶导数、复数项级数、复变函数项级数、泰勒级数、洛朗级数、孤立奇点、留数、共形映射的概念、共形映射的基本问题、分式线性映射。几个初等函数构成的共形映射。这样一来，这些知识不再是一个封闭的、独立的个体，而是不同知识相互联系成一个整体。

而我国数学的教学内容是呈线性的，同时内容还是呈块状的，集中安排，像复变函数、常微分方程都是安排一门课在整个某一学期介绍，而极限、积分、导数等高等数学内容则安排在大学一年级上下两个学期介绍，保证了知识完整的体系。

二、数学知识的深度和广度不同

法国的大学数学教材选取了大量的近现代的教学内容。例如，在大学一年级会介绍多项式和有理函数及其性质、比较增长率、双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲三角关系式、双曲正切函数、反双曲正弦函数、反双曲余弦函数、反双曲正切函数，而对于我国来说，这些内容也有涉及，但在深度和广度上都不如法国。再者，法国数学会在学复数时会介绍Newton公式和Bernoulli公式、形如的线性化、幺模群，而对于我国来说，这些内容也有涉及只是略微浅显。

法国数学一开始就使用大量的矩阵理论和线性空间知识，强迫学生以比较抽象的思维从比较高的视点看问题，摒弃中学思维中的部分陋习。而在我国，中国工科教材喜欢用标量式。只考虑大小，忽略方向，甚至还出现过“略去方向不写，只考虑大小”这样的语句，尽量避免使用矢量式。比如，我国学生认为柯西不等式是不显然的，是一种技巧，是少数人的专利，有畏惧心理，更遑论Holder和Minkovski不等式。工科学生很多不知道柯西不等式。而法国教学大纲是按照高屋建瓴的线性空间思维建立的，无论柯西，Holder还是Minkovski不等式，根本就是“三角形两边之和大于第三边”那样显然直观。

三、教学内容与实际应用相联系的程度不同

数学具有逻辑的严谨性，在教材中它总以完善的形式呈现在学生面前，许多题目都是经过数学处理的，具有科学性、系统性。文字表达严谨、准确、枯燥，但很少创设问题情境，忽略了数学知识从生活生产中被发现的曲折过程，抑制了学生思维的空间。心理学研究表明，当学习内容与学生熟悉的生活背景越接近，学生自觉接纳知识的程度越高。数学学科具有高度的抽象性，严密的逻辑性。学生在学习过程中往往感到枯燥，缺少积极性和主动性。从课程的开始就处于一种被动的接受地位，那么，利用学生身边的实际事实为背景，结合生活实例引入教学就会使学生感到亲切，从而以一种积极的心态投入到数学课的学习中去。数学的教学目的是让学生在掌握基础知识的同时，培养学生的数学能力和发展一般智力，让学生明白数学的应用价值，树立应用意识，培养应用能力。教学的目的不仅是为了考试、考学、考高分的需要，还要培养学生的应用意识，让基础知识与实际相结合。法国强调应该让学生运用所学的知识解决自己在实践中遇到的实际问题，在教学内容中提出了大量与实际密切联系的问题，同时还给出了问题解决的各个步骤。在法国教学的联系实际中，比较多的有学生的直接参与与社会的关切。

我国以往对数学的实际应用关注不够，数学的实际应用在我国也逐步受到重视，如组织学生参加全国大学生数学建模竞赛、美国大学生数学建模竞赛等。素质教育下的课堂教学，要充分发挥学生的主体性。从学生的生活中提出问题，会让学生感到问题的真实性和解决的必要性，从而对解决问题有一种渴望，以一种主动的态度进入数学课的学习。如教学长、正方形面积计算时，我拿了几张照片发给每个小组，告诉大家这是我们联欢会的照片，准备举办一个展览，为了保护照片要在照片上贴薄膜，你们知道需要买多少吗？这时同学们兴趣来了，纷纷想办法，有的说用相片去比一比，有的说用尺子量一量等等，这样学生熟悉的例子，解决它的主动性也就自然的产生了。

另外日常生活实践中，包含着丰富的数学知识，如“自行车支架为什么是三角形的，正方形的行吗？罐头盒为什么是圆柱形的其他形状行吗？车轮为什么是圆形的，椭圆形、六边形的可以吗？”结合实际引入新课，促使学生在头脑中积极思考，不仅达到了设疑引趣的目的，而且扩展了知识面。

总之，数学在法国教育中具有举足轻重的地位，而中国与法国数学教育有很多的不同，中国和法国数学在教学内容的编排方式、知识的深度和广度、教学内容与实际应用相联系的程度等方面都存在差异。

法国大学一年级会学复数的运算和复数的代数结构、复数的模与幅角的定义、复数的模与幅角的性质、复数的指数形式、复指数函数、复数的次根，直至高年级才会学习解析函数的概念、解析函数和调和函数的关系、初等函数、复积分的概念、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的高阶导数、复数项级数、复变函数项级数、泰勒级数、洛朗级数、孤立奇点、留数、共形映射的概念、共形映射的基本问题、分式线性映射、几个初等函数构成的共形映射。这样一来，这些知识不再是一个封闭的、独立的个体，而是不同知识相互联系成一个整体。我国数学的教学内容是呈线性的，同时内容还是呈块状的，集中安排，像复变函数、常微分方程都是安排一门课在整个某一学期介绍，而极限、积分、导数等高等数学内容则安排在大学一年级上下两个学期介绍，保证了知识完整的体系。

法国的大学数学教材选取了大量的近现代的教学内容.例如，在大学一年级会介绍多项式和有理函数及其性质、比较增长率、双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲三角关系式、双曲正切函数、反双曲正弦函数、反双曲余弦函数、反双曲正切函数，而对于我国来说，这些内容也有涉及，只是深度和广度上都略显不足。

法国强调应该让学生运用所学的知识解决自己在实践中遇到的实际问题，在教学内容中提出了大量与实际密切联系的问题，同时还给出了问题解决的各个步骤。但数学的实际应用在我国也逐步受到重视，如组织学生参加全国大学生数学建模竞赛、美国大学生数学建模竞赛等。借鉴中法不同教学的方式，取长补短，将对我国数学教学有非常大的帮助。

参考文献：

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[6]同济大学数学系.高等数学（第六版.上册）[M].北京：高等教育出版社，2007.

第9篇：数学建模的微分方程方法范文

【关键词】数学建模 数学实验 实践教学体系

【中图分类号】G642.0 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）11-0007-02

全国大学生数学建模竞赛自1994年在全国范围内开展以来，其竞赛规模逐年扩大，影响力也日益增强，现已成为教育部支持的科技竞赛之一。数学建模竞赛的开展让大家看到了数学在其他领域的重要作用，同时也促使数学学科中产生了一个具有强大生命力的新分支——数学建模。为了更好地备战数学建模竞赛，高等院校纷纷开设数学建模、数学实验等数学建模类课程，同时，随着课程的开设也出现了一些问题：数学建模类课程如何教学才有显著的教学效果，如何与数学基础类课程相结合以促进工科数学类课程的教学改革等。

数学建模类课程是指数学建模及数学实验等相关实验课程，它具有理论与实际相结合、知识覆盖面广、实践性与探索性等特点，对于改变本科生对传统数学“无用论”的看法，激发他们对数学的学习兴趣，培养他们的实践动手能力和创新能力等有着积极的促进作用。因此，对定位于应用型本科院校的独立学院来说数学建模更应该得到推广和发展，独立学院数学建模类课程的探索与研究也显得尤为重要。

一 当前独立学院数学建模类课程教学的回顾与现状

自2008年我院正式派5队学生参加数学建模竞赛起，我院就开始将数学建模、数学实验作为选修课程在全院范围内开设，分别设置为24学时。数学建模课程以姜启源版《数学模型》（高等教育出版社，2003年，第三版）作为参考教材，以讲授初等模型为主，其目的是让学生了解基本的建模方法、建模技巧，掌握一些具有共性的实际问题的数学模型，培养初步的理论联系实际的数学建模方法。数学实验课程以姜启源版《数学实验》（高等教育出版社，2006年，第二版）为参考教材，重点介绍利用Matlab软件进行数学求解及作图，同时让学生了解数学实验的方式、方法及作用，能够初步使用相关数学软件Matlab、Lingo等。这两门课程最初分在两个学期（第三、四学期）开设的，后来在同一个学期（第四学期）同步开设。刚开始由于了解数学建模的学生不同，所以选修两门课程的学生仅限于想参赛的学生。随着数学建模竞赛获奖及影响力的扩大，越来越多的学生争先恐后地选修这两门课程。但由于数学建模授课仍采用“老师台上讲——学生台下听”的板书形式，与传统数学类课程教学没什么不同，所以在授课过程中无法调动学生的积极性，部分学生出现缺课现象，甚至出现厌学的情绪。针对这种状况，我院数学教研室首先对数学建模课程的教学进行了改进尝试，改变单纯的板书形式，根据实际的教学内容与有限的课时制作多媒体课件，将其与板书相结合应用到数学建模课堂中，其中增加了建模题目涉及的背景问题详细介绍、相关领域专业知识的补充等，同时，针对实际问题展开以小组为单位的课堂自由讨论，拉近师生之间的距离，激发学生积极思考问题，收到了良好的教学效果。其次，将高等数学的内容融入到数学实验课程，利用数学软件求解高等数学中繁杂的计算，让学生体会到运用软件的便利，能够解决学习中遇到的问题。虽然对数学建模与数学实验课程教学改革取得了一些成效，但是数学建模理论化的教学和两门课程分离教学的状况使得很多学生仍有困扰，真正遇到数学建模题目后不知如何建模，建模后又不知如何利用软件求解。

随着我院对数学建模类课程教学改革的深入，从今年开始我院已将数学建模与数学实验两门课程合并进行教学，设置为32学时，理论授课与上机实践学时各占50%。在这门课上，教师将数学建模理论与数学软件的使用联合教学，引导学生在对实际问题分析建立数学模型后直接利用数学软件对所建模型进行求解，使得学生形成对实际问题进行数学建模的完整体系，这在一定程度上弥补了理论与上机实验脱离的“两开式”教学的缺陷。

二 独立学院数学建模类课程教学的探索与研究

目前，我院已连续5年参加全国大学生数学建模竞赛，获全国二等奖3项，广西区级奖19项，每年获奖率居广西区参赛独立学院前列。我院能在数学建模竞赛中取得良好的成绩，一方面是得到了学院领导的重视和各部门的大力支持，另一方面是我院在数学建模类课程教学方面进行不懈的努力，积极探索适合独立学院的教学模式，提出了数学建模类课程实践教学体系。

1.建立以数学建模理论课程为基础的实践教学体系

针对独立学院学生数学基础薄弱的状况以及数学建模课程自身的特点，独立学院开设数学建模课程不应以追求高深的数学知识以及数学模型对现实世界的精确描述为目的，而是应根据学生的学习特点与兴趣，以注重培养学生自学新知识的能力、分析和解决实际问题的能力，增强应用意识、实践意识以及创新意识，使学生的综合素质在数学建模教学活动中得到全面地提高为目标。为此，独立学院应建立以数学建模理论为基础的实践教学体系，具体做法如下：

第一，理论授课阶段。每年的春季开学，数学建模课程以选修课的形式在全院范围内开设，以讲授常用的数学模型、建模方法及数学软件的使用为主，其中包括初等模型、优化模型、微分方程模型、回归分析、数值分析、曲线拟合、 Matlab等。理论授课基本采用“教师讲、学生听”、课件与板书结合的教学模式，软件使用还增加学生“边学边练”的环节，占课程总学时的2/3。通过数学建模理论授课，让学生对数学建模有初步的认识，为后续数学建模活动的开展奠定了理论基础。

第二，讨论练习阶段。在已有数学建模知识的基础上，将剩下1/3学时的数学建模教学过程变成学生的活动过程。选取生活中的实例作为题目进行练习，如学生会的选举问题、公交车的调度、食堂打饭的排队问题、课程的合理安排问题等。题目一般事先给出，方便学生在课下进行实地调查，搜集资料、数据，在课堂上以小组（三人为一组）为单位对题目进行分析、讨论，交流本小组所掌握的资料以及对题目求解的一些想法，同时老师参与其中，掌握课堂进度，对争执不休的问题进行评断，对学生没有注意的问题进行提点等。课后学生以小组为单位整理课堂讨论的结果，并给出一周的时间让每组完成对实际问题的求解，最终以实验报告的形式提交，同时每位学生提交每次练习的收获、体会。

第三，渗透融合阶段。除了选修数学建模课程和参加数学建模竞赛的学生外，大部分学生都不了解数学建模及其思想方法。因此，为了普及数学建模，数学建模的思想方法应渗透融合到基础数学类课程的教学过程中去，与基础知识模块进行整合教学。例如在高等数学讲“介值定理”时，可用“椅子能在不平的地面上放稳吗？”的数学建模问题作为例子介绍介值定理的应用；在讲微分方程部分时，可插入生物增长Malthus模型和Logistic模型、传染病SI模型、SIS模型以及SIR模型等微分方程模型，并联系2003年的竞赛题目“SARS的传播”建立传染病模型为例进行介绍。在概率论与数理统计的回归分析部分，可引入数学实验中“运用回归分析预测女子身高”的例子吸引学生的注意力。这样通过教学内容的整合，使大部分学生在学习基础数学知识的同时也了解了数学建模的思想，提高了数学建模的意识。

2.将数学实验融入数学类基础课程，形成数学实验分层次实践教学体系

在实践教学过程中，我们发现很多学生选修了数学实验课程，学习了Matlab、Lingo、Lindo等软件的使用，但是真正需要用这些软件求解问题时仍然不会，大多仅停留在听说过Matlab、Lingo等数学软件的层面上。对此，我们认为数学实验课程应融入到数学基础课程中，同时实施分层次教学，让不同需求的学生掌握不同程度的数学实验内容，逐步形成独立学院数学实验分层次实践教学体系。

第一层次，针对大一学生，将数学实验作为必修课，安排在诸如高等数学、经济数学等数学基础课程教学中，即在每一章内容后增加两个学时的实践教学环节，让学生做一些简单的高等数学问题的数学实验，如求极限、求导函数、求原函数、做因式分解、解微分方程等，主要学会使用数学软件Matlab和Mathematics。以所学知识为基础进行实验能帮助学生理解一些抽象概念和理论，并运用计算机软件进行数学求解。这个教学环节可改变数学课程学习的传统模式，使教学方式变得生动灵活，同时学生从繁杂的计算中解脱出来，在学习过程中也会有更大的主动性。第二层次，针对大二、大三学生，将数学实验作为选修课开设，一个实际问题构成一个实验内容。对实际问题建立的数学模型，通过数学软件进行数值求解和定量分析，进一步完善和构建数学模型。这一层次主要是培养学生熟练使用计算机和数学软件的能力以及运用数学知识解决实际问题的意识和能力。第三层次，针对参加数学建模竞赛和大四的学生，进行专题性的数学实验。掌握更多的专业计算软件，如Lingo、Lindo、Origin、SAS、SPSS等。这样，数学实验通过分层次教学，使不同阶段的学生不同程度地锻炼了上机实际操作能力，更使得数学实验在大学校园中得到广泛地普及。

参考文献

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