数学建模插值法精选(九篇)

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第1篇：数学建模插值法范文

【关键词】数值分析；Lagrange插值法；牛顿插值法；三次样条插值法

Collaborative Problem Teaching Method in the Research of Numerical Analysis

--Interpolation for Example

MEI Fang WANG Qiao-ling ZENG Chun-hua

（College of Science， Jiangxi Agricultural University， Nanchang Jiangxi 330045， China）

【Abstract】This paper is intended collaborative problem teaching method in the application of Numerical analysis ，creating problems，solve the problems，put forward new problems，the improved algorithm，summarizes the solving process，further more in-depth questions.

【Key words】Numerical analysis；Lagrange interpolation；Newton interpolation；Cubic spline interpolation

问题驱动式教学法是基于问题的教学方法，一种建立在构建主义教学理论基础上的教学法，它要求“问题”的目标性和教学情景的创建，学生在老师的帮助下，紧紧围绕共同的任务，在强烈的真实问题动机的驱动下，通过对资源的积极主动应用，进行自主探索和互动协作的学习。

目前国内大学《数值分析》课程的教学改革起步晚，注重纯理论教学。教学过程中存在的不足：数学理论推导严密但是教学枯燥，学生学习缺乏兴趣。国外《数值分析》课程的改革走在前沿，美国工程院院士Cleve Moler在20世纪70年代提出在学习方式上，将教师引导与学生自主探究、合作交流有机结合起来。注意吸收计算数学中算法研究的最新理论研究成果，让学生在真实的问题驱动下，带着问题去学习领会蕴含其中的算法原理，并能运用所学理论分析利用数学软件解决现实生活中的科学问题。但对驱动问题的解决措施的探讨深入不够。

本文以数值分析课程的插值法为例，介绍问题驱动式教学法在整个章节课堂教学中的研究与应用。

1 创设问题情境，提出问题

函数是描述自然界客观规律的重要工具，实际应用中许多函数是通过实验或者观测得到的，其形式是一张函数表，作一条曲线，其类型（代数多项式函数，三角函数，指数函数……）是事先人为给定的，该曲线经过所有点（xi，yi），i=0，1，2，…，n，这就是所谓的插值问题。

据资料记载，某地某年间隔30天的日落时间如下：

根据上述资料，计算这一年中哪一天白天“最长”。

2 引导学生讨论交流，解决问题

让学生查找资料，分组讨论，了解插值法的产生背景，中外数学家在此问题上研究的进程，这种古老的分析问题数学方法应用在那些课题中？分析关于多项式插值的理论依据是什么？提出问题对于函数y=f（x）是否存在这样的多项式函数P（x）能精确的逼近它呢？经过数学的推导得到结论：满足给定区间[a，b]上n+1个点a≤x0

然后得到Lagrange插值法的计算公式：

■（1）

其中

■（2）

插值余项与误差估计：

■（3）

■（4）

其中■（5）

接下来，按上面的理论知识，求解提出的问题，建立一个简单的数学模型，用二次等距离插值法计算求解：

5月1日设为第0天，则x=0

再设每一天白天的长度（日出与日落的时数）为14小时13分+T分

故天数和它的长度可用（x，T）表示。有记载的三天数据对应于（0，0），（30，68），（60，81）

将它们带入Lagrange插值公式得白天的时长：T=■，

由微积分中的最值原理T'（x）=0，得到x≈52.09，

也就是最长的一天为5月1日以后的第52天，即6月22日，T=83分，这一天日出与日落之间的时数为14小时13分+83分=15小时36分。与每年的夏至节气日期相吻合。

然后拓展数值分析插值法数学实验，计算一年中的24节气所在的具体日期。

3 解决问题的基础上，进一步了解插值法在理论和实践上发展，应用的广泛性，提出新问题和知识延拓

Lagrange 插值公式结构紧凑，思路清晰，程序编制容易，但是增减节点时，计算要全部重新计算，很不方便，增加计算量，我们希望在增加新的节点时，原先计算的结果对后来的计算过程仍然有用，那如何改进？于是我们得到Newton插值多项式

■（6）

余项■（7）

其中ωn+1（x）由（5）式定义。

插值多项式要求插值节点相等，而实际问题中还经常要求节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，于是课题条件改变了，我们讨论新的解决问题的方法Hermite插值法。这类型的一般问题显然会具有些令人感兴趣的困难，在称为伯格霍夫插值的专题中奉献了大量的近期研究文献，学生可以查阅。

其它的插值法，早期的板材曲线切割时，常常把富有弹性的细长木条（样条）固定在样点上，比方说航空造船等工程设计的需要，要求样条曲线二阶导数连续，三次样条函数插值是被认为一种有效的数学工具，并且学生将看到，插值法的算法有很多种，针对问题选择方法十分关键，正确选择算法的前提是对方法的理解、分析、评价和鉴赏。

4 归纳解决问题中的知识点，强化系统认知能力，完善问题的结论，总结规律，提出更深一步的问题

插值法是一个古老而实用的方法，作为逼近函数的构造方法，是数值微积分，函数逼近，微分方程数值解的基础。因为高次插值的Runge现象，随着信息量的增加，实验的结果与直观的想象不吻合，它也是数值计算研究中值得高度重视的一类现象，也就是说Lagrange插值多项式的次数不可能无限制的增大，所以它没有实用性，采用分段低次插值，特别是三次样条插值，具有良好的收敛性与稳定性，理论上和应用上意义重要，在计算机图形学中有重要应用。

数值分析是研究用数学方法处理信息的学科，仅仅是实用信息量大，如果使用方法不当，也不能保证所得结果的正确性，在教学过程中提出一种知识建模化的问题驱动式教学方法，把学生在现实生活中感兴趣的相关问题，引入数值分析算法的教学之中，将问题驱动与数值分析的各种算法技术相结合，加深对《数值分析》这门课程的有关算法和结论的理解，激发学生积极思考和避免一些常犯易犯的错误，提出一种实用有效的问题驱动的教学内容结构设计，打破传统的教学模式，让数值分析的学习更高效。

【参考文献】

[1]李庆扬，王超能，易大义.数值分析[M].5版.北京：清华大学出版社，2008：22-46.

[2]林成森.数值分析[M].2版.北京：科学出版社，2005：114-190.

[3]白峰杉.数值分析引论[M].2版.北京：高等教育出版社，2010：92-104.

[4]任玉杰.数值分析及其MATLAB实现[M].北京：高等教育出版社，2008：354-480.

第2篇：数学建模插值法范文

[关键词] 中心性浆液性脉络膜视网膜病变 疏肝健脾活血利水法

[中图分类号] R242[文献标识码] A[文章编号] 1005-0515（2011）-08-133-01

中心性浆液性脉络膜视网膜病变，是一种病因和发病机制尚未完全清楚的眼底病变，简称“中浆”病[1]。症状表现为视网膜色素上皮屏障功能失常,形成黄斑部视网膜神经上皮浅脱离，致视力减退、视物变形和视觉变暗。好发于20-45岁的青壮年男性，多单眼发病。尽管该病有自限性，但病程较长，部分病例反复发作或迁延不愈，造成视力功能损害。目前，尚无特殊药物治疗。笔者观察采用疏肝健脾活血利水中药治疗40例(44眼),与同时采用常规西药治疗40例(42眼)进行对比，发现疗效满意,现报道如下。

1 诊断与临床资料

1.1 诊断标准 参照《眼科学》[2] ①视力减退或模糊，视物变形、变小、变色等；②外眼检查正常；③眼底检查黄斑区水肿，呈圆形或椭圆形的反光环，中心凹光反射消失，黄斑区可见细小黄白色点状渗出物；④眼底荧光素血管造影检查在黄斑区可见荧光素渗漏现象。

1.2 筛选对象 ①符合上述诊断标准；②发病均在1个月以内，未经治疗初次发病的中浆病患者,均无全身和眼部其他病症；③眼底荧光素渗漏点分布位置均离黄斑中心凹250um以外,非孕期妇女。

1.3 一般资料 观察病例共80例(86眼),均为眼科2004年1月-2008年1月门诊确诊“中浆”的患者。按数字表法随机分为2组。治疗组40例44眼，男35例38眼，女5例6眼，年龄38.4±7.5岁；对照组40例42眼，男37例39眼，女3例3眼,年龄35.4±7.6岁，眼底血管荧光造影均发现1处以上荧光素渗漏点。两组患者在年龄、病程、病眼远视力方面经t检验,眼底渗漏点分布位置及黄斑水肿程度方面经X2检验，比较差异均无统计学意义(P>0.05)，具有可比性。

2 方法

2.1 治疗组 患者服用疏肝健脾活血利水中药，基本药方：柴胡10g、当归10g、白芍10g、黄芪30g、白术10g、茯苓10g、车前子10g、赤芍10g、红花6g。随症加减用药，水肿明显加益母草15g,渗出较多加田三七10g，视力恢复较慢者加桑椹子10g。每日1剂，分别水煎2次，混合后分早晚2次服用。

2.2 对照组 患者使用常规西药治疗，每次口服维生素B1片10mg，维生素E胶丸0.1g，三磷酸腺苷片40mg,肌苷片0.4g，一天3次。

2.3 治疗时间 两组均治疗2周为一疗程，各观察6周。

3 观察项目与统计方法

3.1 观察项目 ①采用国际标准视力表检查，有屈光不正者在自动计算机验光仪电脑验光基础上，结合人工检影插片，以获得最佳矫正视力。每疗程前后记录1次。②眼底每疗程检查1次。③荧光眼底造影治疗前后各1次。④全部病例6周后追踪观察1年。

3.2 统计方法 采用SPSS14.0统计软件进行数据处理，计量资料用均数±标准差(x±S)表示,采用成组t检验；计数资料采用X2检验；等级资料采用秩和检验。检验水准为0.05。

4 疗效标准与治疗结果

4.1 疗效标准 参考《中医病证诊断疗效标准》[3]治愈：黄斑区蛋白沉着物完全吸收，色素沉着完全消退，黄斑中心凹光反射出现，黄斑结构恢复正常，视力达1.0以上,荧光造影无渗漏者。显效：黄斑区蛋白沉着物完全吸收，但仍有不同程度的色素沉着存在，黄斑中心凹光反射出视，视力达0.8,荧光渗漏有缩小或减少者。有效：黄斑区蛋白沉着物未完全吸收，遗留机化物变性灶与较多的色素沉着，视力提高1～2行, 荧光渗漏有缩小或减少者。无效：眼底情况无改善，视力未提高或下降, 荧光渗漏未改善者。总有效率以治愈加显效、有效计。

4.2 治疗结果 治疗组黄斑区蛋白沉着物与色素沉着物的吸收情况均优于对照组(P

表1两组治疗后眼底变化比较(例)

注: 治疗组对照组黄斑区蛋白沉着物比较，Z＝－2.016，P＜0.05；治疗组对照组黄斑区色素沉着物比较，Z＝－2.125，P＜0.05。

表2两组治疗前后视力比较(x±S)

注:治疗组治疗前后比较,t＝－12.603 ,P＜0.01；对照组治疗前后比较,t＝－6.193 ,P＜0.01；治疗组对照组治疗前比较,t=-0.158 ,P＞0.05,治疗后比较,t=5.621 ,P＜0.01。

表3 两组治疗后眼底造影荧光素渗漏情况比较（例）

注：两组比较，Z＝－2.203，P＜0.05。

表4 两组疗效比较（例）

注：两组比较，Z＝－2.393，P＜0.05。

4.3 随访结果 治疗组40例(44眼)中,有4例(4眼)经4-12月随访后失去联系,对照组40例(42眼)中,有5例(6眼)经6-12月随访后失去联系,未予统计。两组复发率比较,差异有统计学意义(P

表5 两组随访结果比较(例)

注：两组比较，X2＝9.935，P＜0.01。

5 讨论

5.1 有报道称，“中浆”病与肾功能衰竭、感染、中毒、过敏、精神紧张、压力大、情绪波动、劳倦和使用皮质类固醇等综合因素有关[4]，引发人体植物神经功能失调，局部微循环紊乱，致视网膜色素上皮层封闭小带的局限性损害，而使其屏障功能受到破坏。

5.2 患者如渗漏点距黄斑中心凹250um以外，可采用激光治疗以缩短病程[5-7]，但不能阻止、减少或预防复发[4]，对于持续视网膜下渗液积聚的慢性、严重的复发病例，作用局限。随着中医发展研究，中医疗效显著病例不断增多[8-11]，人们越来越重视使用活血化瘀的中药，促进渗漏吸收、加快恢复视力、缩短病程并预防和减少复发，又可避免激光光凝可能导致的视网膜功能损伤，弥补了激光治疗的不足。

5.3 “中浆”病临床上以黄斑部水肿、渗出为主要病理表现，属中医“视瞻昏渺”、“视瞻有色”、“视直如曲”的内障眼病范畴[12]。中医学认为，目之视物辨色功能与肝气密切相关，“肝气通于目，肝和则目能辨五色矣”(《灵枢・脉度》)。同时根据五轮学说及近代医家陈达夫教授六经辨证的观点，视网膜属肝，位于视网膜中央之黄斑属脾,黄斑病变与脾的运化功能失调密切相关。若肝失疏泄, 肝郁犯脾，脾失健运，水湿上犯目窍，日久聚湿生痰,痰湿阻滞脉络，导致本病发生。因此，治当遵循“疏肝健脾,利水活血”之则。方中柴胡疏肝解郁,配当归、白芍养血柔肝，而使肝气条达舒畅；黄芪、白术、茯苓、车前子健脾利湿；赤芍、红花、地龙则活血化瘀。诸药合用,使肝气疏，脾健运，水湿瘀尽去,诸症可愈。

治疗组采用疏肝健脾活血利水法治疗“中浆”病，与对照组比较,能促进黄斑区蛋白沉着物的吸收和黄斑区色素沉着物的消退, 眼底造影荧光素无渗漏或减少渗漏, 明显提高视力,预防和减少复发，疗效满意。故疏肝健脾活血利水法是治疗中心性浆液性脉络膜视网膜病变的有效方法，值得推广。

参考文献

[1] 刘家琦,李凤鸣.实用眼科学[M].北京:人民卫生出版社,2002:495.

[2] 黄叔仁,张晓峰.眼底病诊断与治疗[M].北京:人民卫生出版社,2003:228.

[3] 国家中医药管理局.中医病症诊断疗效标准[S].南京:南京大学出版社,1994:110.

[4] 向圣锦,林颖,刘安.中心性浆液性脉络膜视网膜病变的中西医研究现状[J].中国中医眼科杂志,2006,16(1):57-59.

[5] 何剑峰.激光治疗中心性浆液性脉络膜视网膜病变228例[J].国际眼科杂志,2004,4(1):165-167.

[6] 郑秀云,苏艳,刘素美,等.氩激光治疗中心性浆液性脉络膜视网膜病变730例临床分析[J].临床眼科杂志,2001,9(6):460-461.

[7] 刘钊臣,李锐.532激光治疗中心性浆液性脉络膜视网膜病变的疗效观察[J].国际眼科杂志,2009,9(12):2451-2452.

[8] 刘建勇.中心性浆液性脉络膜视网膜病变的中医治疗近况[J].浙江中医杂志,2002,10:45.

[9] 刘敬良,邮太玲,丕华,等.辨证治疗中心性浆液性脉络膜视网膜病变64例[J].实用中医药杂志,2004,20(7):369.

[10] 薛尚才.中心性浆液性脉络膜视网膜病变的中医分型、分期治疗[J].中国实用眼科杂志,2004,22(3):233.

第3篇：数学建模插值法范文

关键词： 数值计算课程 科学计算 教学方法

理论推演与实验证明是传统的两大科学方法。随着计算机的发展及其在科学技术领域的应用、推广与深化，科学计算已成为继理论推演和实验证明之外的第三种科学手段。现在，作为科学计算基础内容的数值计算方法已被广泛应用于科学技术和国民经济的各个领域，如石油的勘探与开发、大型水利工程的设计与建筑、天气预报等。数值计算方法之所以应用广泛，一方面因为计算方法是实际问题数值模拟方法的设计、分析与软件实现的理论基础，其内容涉及数学、物理、力学、化学、计算机科学等多种学科的有关内容，另一方面，计算机的发展使得计算方法有了先进的计算工具，而计算能力的提高又使得数值计算成为现实。数值计算是一门介绍适用于计算机上使用的数值分析方法的课程，也称为计算方法课程。数值计算课程是科学计算的基础和理论保障，是大学工科数学中的一门重要课程。

一、数值计算课程的特点

数值计算方法的基础是高等数学、线性代数等课程。数值计算是以数学问题为研究对象的一门学科，具有完善的理论体系，它虽然是数学的一个分支，但不同于纯数学那样只研究数学理论本身，而是着重研究求数学问题的各种数值计算方法和相关理论，包括方法的收敛性、稳定性、误差分析等，为数学问题依靠计算机来求解提供有效的数值方法。为了使学生能够更好地掌握数值计算课程的基本思想、基本原理和基本方法，教师要摆脱数学思维模式的束缚，过渡到数值思想，提高学生的科学计算的素质。

数值计算课程内容主要包括：数值逼近、数值代数、微分方程数值解法等。它具有以下几个特点。

1.实用性。这门课程中的许多方法的理论基础是在高等数学和线性代数中学习过的知识，但是与这些基础课程强调理论分析不同，它更注重运用这些理论分析的结果，同时它注重应用的科学性，注重解决实际问题。

2.注重算法。数值计算课程主要研究算法，算法必须能在计算机上实现。例如，解一个含有大量未知量的线性方程组或计算高阶矩阵的全部特征根，无论计算方法如何好，单凭人工都是很难实现的。这就要求我们会利用计算机进行编程计算，或利用现成的软件进行计算，这无疑对学生的计算机水平提出了相当高的要求。另外很多计算方法都具有便于计算机求解的特点。

3.工程背景强。数值计算方法中的数学方法和理论，本身并不都是数学学科的产物，它首先来源于实际计算的需要，该课程十分注重解决实际工程问题，在地质勘探、汽车制造、天气预报、航空航天技术中已经得到广泛的运用，它是解决“计算”问题的桥梁和工具。

二、学生科学计算素质应包括的内容

数值计算方法中蕴含着丰富的数学思想和数学方法，在教学中应注意由浅入深、由特殊到一般，在介绍方法和引进概念时应力求揭示问题的实质，对于方法和概念之间应着重阐明其联系。数值计算方法中有如下一些常用的方法，它们应该是提高学生科学计算素质的重要内容：

1.递推法。递推法是计算公式中常采用的形式，它的基本思想是将一个复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复，这种重复在算法中表现为循环。例如多项式求值的秦九韶方法，就是通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，这种化繁为简的方法是计算方法研究的基本原则之一。

2.迭代法。迭代法是处理线性或非线性问题的重要手段之一。迭代法是指按同一公式重复计算的一个数值过程。例如用雅克比迭代法和赛德尔迭代法求线性方程组的数值解，就是先构造迭代公式，再选定初值，逐次计算，得到近似解。

3.以直代曲。这是计算方法常用的手段之一，它的思路是将非线性问题线性化，即在局部范围内用直线近似代替曲线。例如用牛顿迭代法求非线性方程的解，就是典型的以直代曲的例子。

4.化整为零也是计算方法研究的一种重要手段。用复化梯形公式和复合辛普森公式求定积分的近似值就是一个典型的例子。

递推法、迭代法、局部以直代曲法、化整为零法，在计算方法的研究中常常互相渗透、互相联系。如牛顿法解非线性方程是局部以直代曲和迭代法的结合，复合梯形公式求定积分是化整为零和局部以直代曲的结合。这些方法都是用极限思想研究不同数值问题的具体表现。极限思想是从有限中找到无限，并且使之确定下来的一种思想。解非线性方程的牛顿法是一个迭代过程，是极限无限变化过程中的某个阶段，一方面计算机快速而有效的计算可以完成这个阶段，给出计算结果的数值表，另一方面分析此数值表能够帮助我们判断此算法的收敛性和收敛的快慢程度。当然我们还可以用极限的思想构造其他解非线性方程的数值解法，并分析每一种数值方法的实用性和有效性。极限思想在计算方法中的应用，使学生对极限的概念有了更直观和深刻的理解，从而提高了学生的科学计算的素质。

三、加强数值计算方法课程的教学与考核

为提高学生的科学计算素质，就要加强该课程的教学和考核工作。首先要制定适当的教学大纲与考试大纲，其次要通过改革教学方法及方式，培养学生应用数学解决问题的能力，使学生能够把所学内容有机地结合在一起，形成一个完整的理论体系，从而激发学生的学习兴趣，培养他们的创新精神。

1.课堂教学。课堂讲授是数值计算方法教学中的主要部分，我们应该尽可能地突出数值计算课程的特色。由于数值计算中涉及的问题都是从实际中提炼出来的，再应用数学的理论加以推导，最后提出具体的解决方法，因此，每种数值方法的讲授都应该尽量地从实例中提出问题，引导学生去思考如何运用数学知识去构造解决的方法，然后再给出相应的数学理论。实际上，数值分析的教学过程恰好就是一个简单的科学研究过程，这种教学方法能够激发学生的学习兴趣，使学生对知识的掌握更加扎实。

目前在数值计算教学中还存在一些普遍的问题，如：教学课时有限，课堂讲授不可能面面俱到；覆盖的知识面宽，各部分内容自成体系，结构松散，前后连贯性不强；对问题实际背景分析不够，不了解数学思维过程，很难激发学生的学习兴趣，学生的实践能力也不强；一般教材对实验指导方面不够重视，不利于提高学生的应用能力。为解决这些问题，应该对教材内容进行必要的选择，进行必要的加工。例如常微分方程的数值解，不仅要学习初值问题，而且对边值问题也要进行适当的讨论，以适应数学建模的广泛性，使讲授的内容不仅具有适用性，而且具有严密的逻辑性和完整性。

多年延续下来的授课方式大多是板书，对课本内容边讲解、边板书而完成。现代数值计算方法信息量大、公式繁多、理论与实际结合强，采用传统方式教学，黑板板书占用了大量时间，不利于丰富课堂教学内容，也无法向学生进行程序演示与算法比较，所以我们要对教学方法及教学手段进行改革。数值分析的知识由许多不同的部分组成，而且内容十分广泛，授课时，先从它的实际背景入手，分析建立数学模型的思路及计算方法的理论依据，努力使各部分之间保持紧密的联系，引导学生找出各知识点之间的关系，以及它们的不同之处，分析各种计算方法，提出它们的缺点所在，例如方法的收敛性和稳定性，以及是否为病态问题，这样学生的思路就会非常清晰。例如在插值法的教学中，首先用严密的数学推理解决插值多项式解的存在唯一性，然后对表达式进行求解，从而得到拉格朗日插值法，再通过理论分析，引出牛顿插值法、赫米特插值法等，直至三次样条插值，这样就形成一个完整的插值计算法。在教学中，要适当地运用现代化手段。由于数值计算的理论基础就是数学，它的理论推导有时比较复杂，但原理并不抽象。如果我们只是推导演算来求得计算公式，不但会把一个简单公式复杂化，而且势必会分散学生的注意力，让他们感到枯燥无味，使其在情绪上产生抵触心理，降低学习效率。利用多媒体辅助教学，可以增大信息量，节省一些不必要的时间，把精力集中在讲透基本概念、基本原理及算法实现上，再把一部分实例图形展示给学生，会加深他们的印象与理解。还可以分步重复演示，有效地强化课堂教学效果，激发学生对问题的直观认识，有利于培养学生的创造性思维能力，因而多媒体课件辅助教学也是教学改革的一个重要内容。

2.实验教学。数值计算是一门实验性学科。如果我们只讲授一些算法，不去上机实际操作，势必会造成学生的实践与应用能力很差，学到的知识除了应付考试外不知道如何使用和有什么实际用途。此外，上机实验不但能培养学生的实践能力，而且对其编程能力也有所提高。由于计算方法不但要求适合于计算机上使用，而且该算法必须具有算法的稳定性、理论的可靠性及计算的复杂性，因而上机实践是必不可少的。这也是一个消化所学内容的过程，以此来验证各种方法的优缺点，同时也是改进编写计算机程序的过程，通过自己的亲自编程实践来解决一些简单的实际问题，也是充分调动学生参与的过程，使学生做到学有所用。这样不仅能使学生掌握计算方法的理论知识，学会解决一些简单问题的方法，更重要的是使学生能体会数学的用处。近几年来全国大学生数学建模比赛，更是体现了利用数学思想提炼出解决一些实际问题的数学模型，然后从理论上进行分析研究，最后编制实验程序、上机实践，使得问题得以解决。上机课的目的主要在于培养学生的实践和编程能力，将课堂上学到的数值分析方法理论应用到具体的实例中，这是一个消化课堂上学习的知识点的过程。学生针对同一个问题可以尝试不同方法去解决，并且加以比较，以此来验证各种方法的优缺点。数值分析中的问题仅靠课堂教学、理论推导是很难讲明白的，例如收敛性、稳定性等相关问题，学生在实际的计算过程中，可以通过画图或列表等比较的方式对课堂的知识加深理解。上机实验与课堂教学的结合也是一种初级科研过程，让学生初步感受到科研的乐趣、困难及气氛。但是需要说明的是，上机实验这一教学环节也存在着一些问题：实习题目重复与学生之间的抄袭问题。教师可以将学生分组做不同的题目，或者针对同一题目，应用多种方法选择不同的参数求解，然后比较它们之间的差别。上机实验部分的教学仍有许多需要改进之处，为保证上机质量，在每次上机之前均布置上机作业，并要求学生按上机目的、算法原理、程序、计算结果及结果分析写出上机报告。实践证明，上机实践调动了学生的学习积极性，有利于发挥学生的主观能动性，同时也提高了学生的动手能力。

3.考核检查。考核是每门课程的最后一个环节。以前，数值计算方法课程考试为笔试，其成绩由期中、期末成绩按比例计算。这样的考核方式虽然简单、易于操作，但这也是学生不重视实验、不注重如何应用所学知识解决实际问题的原因之一，造成了学生理论联系实际和解决实际问题的能力差。针对数值分析课程的特点，除平时成绩之外，应将数值实验放在考核范围之内，上机书面报告是考核内容之一。作业是考核内容之一，教师要精选一些与教学内容相联系的习题，注重巩固提高学生的基础知识，使学生掌握基本技能和技巧，获得一些解题方法。做作业是学生学习数学的必要手段之一，很多知识需要整理、推导、应用，才能从中理解所学内容。实验考核是考核的一部分，上机要有实验报告，为避免学生应付或抄袭，应分组实验，每组所给数据（原始）稍做改动，引导学生重视理论和实践相结合，激发他们的创作热情，培养学生积极向上的精神。要重视书面考核的设计，力求知识面广、题型内容丰富，既考查基础知识，又考查解决问题的能力，促进教学的良性循环。

参考文献：

［1］李庆杨，王能超，易大义.数值分析［M］.武汉：华中科技大学出版社，2001.

第4篇：数学建模插值法范文

关键词：有限元；足部；跖骨；趾骨；胫骨；腓骨

一直以来，国内外都有大量饱受足部病痛的患者。在这之中，超过七成的病痛都是足底筋膜炎和腱膜炎导致的。[1] 国外现有的治疗方法，是由医生用患者踩踏软泥得到的脚型，浇注成模，再制造出完全贴合脚型的鞋子，来顶起足弓处，分担受力，使筋膜、腱膜缓慢康复。但此制鞋过程需耗费一个月时间、且价格昂贵。[2] 于是，全新的制鞋理念诞生：在鞋内加入刚度和高度调节装置，配合贴合脚底特征的鞋垫即可。为了更好地设计与落实此理念，需要对脚部进行有限元分析，建立脚部模型，施加受力和位置限制，了解足部各处的受力分布，从而确定两调节器的放设位置。同时，也可为医生治疗提供更科学的受力分析情况。

一、现有模型的问题

为了得到脚部模型，需要依次实行如下步骤：用3D扫描仪得到脚部特征，将其修复改进成点云集合，导成有限元软件可以导入的模型格式，并且利用线性或非线性数学原理增加节点数，以填满所有点云间的空隙。[3]

在过程中的最后一步，建模人员总共需要设置八万五千个节点来建模，工作量十分巨大。而且为了确保精确性，更好的方法是在inp文件中手动修改。[4] 纵然节点的坐标可以在其他软件中由程序得到，一来一回的操作也是十分复杂。这其中稍有运算上的漏洞，就要推倒重来。更为复杂的是，建模的下一步，是要模拟软骨和韧带。两者分布在脚上，可以用设置单元，将两节点连接起来的方式来得到。但为了确保精确性，研究人员需要仔细研读解剖学的书，找出八万个节点中精确的两点，显然非常费时费力。以上的步骤，对每一个患者，都要再来一次，工作量可见一斑。虽然不需医生花一个月时间进行手工制作，但作为此创意鞋的先行步骤，有限元分析的建模就要耗费如此精力，对医生而言，不切实际也无法凭自己能力完成，不利于鞋子的下一步推广。

二、解决方案

（一）基本概念和简化方法

最主要的方法是将五根趾骨和五根跖骨进行线性化替代。显然的是，软骨和韧带都是由代表肉质的两个节点连接而成，与骨头所代表的节点并无关联，故进行线性化，减少的节点不会对受力分析的结果有直接影响。其二，五根趾骨和五根跖骨在自身的整个长度中除了截面面积的变化外，别的性质，例如骨头密度、杨氏模量都未发生变化；惯量、转动惯量则都是随截面面积这一自变量进行变化。故只要在线性化的过程中体现出截面面积的变化，即可大致进行等量转换。[5]

值得注意的是，在跖骨和趾骨交界处的籽骨，必须予以保留。借此，两骨与脚部整体的相对性得以保留。当胫骨和腓骨所受的力向下传递至脚跟及脚后部的骰骨、舟骨、跟骨、距骨时，五根跖骨因为都与四骨之一及籽骨之间连接，受力情况可保持与简化前模型相同。[6] 另外，跖骨和趾骨分别用两个方向的弹簧和籽骨相连，模拟出平动和转动两种相对位置的变化。

第二个可以简化的是最上端的胫骨和腓骨。许多同领域的前期研究，都基本一致得认为分析受力，需要保留整个脚部直至胫骨和腓骨--脚踝处的距骨与腓骨、胫骨、舟骨都通过软骨有接触，此处受力最为复杂，故必须集体保留腓骨和胫骨才能得到准确结果。[7] 更进一步来说，受力必是施加在胫骨和腓骨的上端。但如何建模更符合实际是需要思考的。鉴于此模型要模拟静止和走路，两种步态的受力，而模型中却无一点是限制了自由度的，在分析软件中一定会得出错误的答案。所以，首次尝试是将腓骨和胫骨各自连接一根杆，向上延伸至同一圆盘，此圆盘的面积大抵为胫骨和腓骨的面积之和，而它的杨氏模量则设为一个极大的值。这样，他可以被近似为一个刚体，很难有移动。其面积的大小在此情况下也不再重要，设为一个合理值即可。另外，胫骨和腓骨各自连接的杆，其杨氏模量与胫骨或腓骨相同。但这样一来，施加人自身重力对脚部的压力的一半，四百五十牛，于每只脚，得到的结果依然呈离散性。经过分析，现有模型，是将膝盖处设为在水平面上两方向无自由度，在竖直方向给予限制的自由度，约为0.01mm。但由于膝盖至胫骨及腓骨的距离较长；即两杆距离过长，而两杆本身又无自由度的限制，导入对整个脚部，依然是没有边界条件的限制。[8] 因此，最后在胫骨和腓骨自身最上端，沿着同样的特征形状向上拓高5mm，建立一个高为5mm的柱体，将三自由度限制和力加在此柱体上。此柱体的杨氏模量设一极大值，数量级大于 。

（二）结合其他软件进行输入文件的添加和测试

简化模型，不单是减少研究人员的分析时间和精力，更是为了完成一整套将来可提供给医生的体系：医生在X光片或扫描仪器得到的图片上点击所有骨头上的关键几点，设计的程序可以自动计算出所有点的坐标，由这些软件自动用接口导入有限元软件快速建模。[9]

基于此愿景，笔者尝试了MATLAB、OPENSEES及NASTRAN。[10] 在MATLAB中，主要实现的是生成完全遵循有限元分析软件输入文件格式的输出行。在此过程，简化的骨头，由胫骨和腓骨拓展到了所有的骨头：根据骨头自身形状特征的复杂程度，用户需要输入的关键点数量有所不同；例如胫骨和跟骨需要六个关键点，距骨需要九个。通过编写的程序，可输出节点的具体坐标。为了了解节点的多少，简化程度的不同对结果有何影响，可调节两点间插值点的数量。通过多次尝试得到的结果与完整脚型的结果进行对比，可以得到一个平衡值，即输出此数量的简化模型可以得到与完整脚型最相近的结果，从而实现医生自己可完成的愿景。为了提前了解输出行能否在有限元软件中运行，笔者先用OPENSEES及NASTRAN进行实验。[11] 同时，在MATLAB中也多添加了画图语句，在导入有限元软件前可以先行查看输出行中点的坐标是否正确。虽然在整个过程中，不可避免地还是需要利用插值来填补关键点之间的空缺，但所需的节点设置远远少于八万个。

（三）仍需优化的细节

对形状特征复杂的骨头，仍然需要尽可能多的节点数来精确描绘。但在插值法中，为了要确保所有节点能构成一较光滑曲面，在两点间需要更精深的数学模型与公式来满足这一需求。

三、下一步应用

完成有限元脚型的简化后，对医生来说，尤其是国外的医生，向他们推荐全套的自创系统：只需在X光片或扫描仪器得到的图片上点击所有骨头上的关键几点，设计的程序可以自动计算出所有点的坐标，由这些软件自动用接口导入有限元软件快速建模。得到结果后，医生可以针对病人的骨头形状及肉质中软骨筋腱的受损情况，在足弓受力最多、劳损最严重的区域放置高度调节装置，同时也避免了顶住骨头未能真正分担受力反增疼痛的情况。对患者，他可以选择手动调节也可以使用手机程序，来运用调节装置改变鞋子支持足弓的高度和刚度，从而来满足患者们对硬度和高度在不同恢复阶段的需求。患者们不必再等待整个月并花费巨额的人工费，这对他们确是一个福音。

对研究或产品开发人员来说，对每个脚型也避免了扫描、导入点云进行修改、添加几万节点来建模。他们可以遵循和医生相同的方法更快速地得到受力分布图。考虑到受力分析结果只是研发的中间步骤，他们或可腾出更多时间精力进行分析和再创作；研究周期也可能会因此缩短。不但如此，对鞋子生产厂家来说，可以批量生产足部恢复鞋。如果在研发过程中，发现对骨头发育正常或无特异形状特征的脚型，其受力分布无明显差异，则对每一个鞋码，都可以先行确定两调节装置的位置。批量生产投入社会就不再是难事。鉴于成品和售价相较起求医、在不同康复阶段来回多次、不断制作新鞋的费时费钱，好处不言而喻，因而十分具市场潜力。

笔者认为，有限元脚部模型的简化无论是研发上，还是医生的实用上，都可起到缩短时间或周期的作用；对病患省时省钱省力，是一大福音的推动器。所有的简化都建立在人体解剖原理和机械工程的基础知识，绝无随意简化。过程中也参阅了大量文献来确保任职的正确；借用其他软件进行输入文件的添加和测试阶段也耗费了大量时间去完善和使结果收敛。

参考文献：

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[2] Hornyik， M. L. （2002）.The effects of three months of foot orthotic wear on measures of postural stability in persons with chronic injury and normal lower limb function. [3] Ferede， H. （2011）.A systems approach for point cloud data management.（Order No. 3489446， The George Washington University）.ProQuest Dissertations and Theses， 115-n/a.

[4]马晓峰.有限元分析从入门到精通[M].北京：清华大学出版社.P22-24

[5] Chen， R. G. （2011）.Finite element analysis of the foot： Metatarsal geometry and indication for stress fractures. ProQuest Dissertations and Theses， 152.

[6] DiDomenico， LA， Fahim， R（Fahim， Ramy）；Rollandini， J（Rollandini， Jobeth） Thomas， ZM（Thomas， Zachary M.）. Correction of Frontal Plane Rotation of sesamoid Apparatus during the Lapidus Procedure： A Novel Approach [J]. JOURNAL OF FOOT & ANKLE SURGERY， MAR-APR 2014（2）： 248-251

[7]Taddei， F.， PhD.， Balestri， M.， M.S.， Rimondi， E.， M.D.， Viceconti， M.， PhD.， & Manfrini， M.， M.D. （2009）. Tibia adaptation after fibula harvesting： An in vivo quantitative study.Clinical Orthopaedics and Related Research，467（8）， 2149-58. doi：http：///10.1007/s11999-009-0776-z

[8] Cheung， M. H. S.， Lee， M.， & Lui， T. H. （2013）. Insufficiency fracture of the proximal fibula and then tibia： A case report.Journal of Orthopaedic Surgery，21（1）， 103-5.

[9] Introduction to finite element analysis using MATLAB and abaqus. （2013）.Reference and Research Book News，28（4）

[10] Dolsek， M. （2010）. Development of computing environment for the seismic performance assessment of reinforced concrete frames by using simplified nonlinear models. Bulletin of Earthquake Engineering，8（6）， 1309-1329.

第5篇：数学建模插值法范文

关键词：主成分分析 内梅罗指数 Muller指数 spss

中图分类号：O242 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2013）007-132-02

1 引言

近些年，人类活动对城市环境影响越来越严重。对由人类活动影响造成的城市地质环境的演变模式进行研究，逐渐成为人们关注的焦点。通过文献[1]提供的某城市城区土壤地质环境进行调查，根据测的的数据，假设样品采集在充分考虑污染源前提下，兼顾空间分布均匀性，同时考虑地形、气候因素影响；数据的处理计算时均采用四舍五入法保留小数点后两位，与原数据保持一致；污染源的重金属浓度不再增加；取样点的数据较好的反映了该地区的污染物浓度，对城市表层土壤重金属的污染进行分析研究。

2 8种主要重金属元素的空间分布

根据测得数据，采用8种元素在五个地区各自的作用单独考虑，采用excel软件绘制标准曲线，对原始数据进行标准化处理，并带入标准曲线求得各采样点的重金属浓度，然后求出平均浓度，再用Muller指数进行各项计算与分析。除此外还采用了地积累指数法和内梅罗综合指数法进行全面的分析。Muller指数法是对各重金属元素因子的单独作用在各地区进行分析，目前国内外普遍采用单因子指数法和内梅罗综合指数法等进行土壤重金属污染评价，这两种方法都能对被研究区域的土壤重金属污染程度进行较为全面的评价，但不能从自然异常中分离人为异常，判断表生过程中重金属元素的人为污染情况，但地累积指数法弥补了其他评价方法的不足。

2.1 重金属元素在该城区的空间分布图

用双调和样条内行插值计算，得出重金属空间分布图。双调和技术在二维或多维空格键中的导数与一维空间中的导数的作用相似。在m维空间中，利用N个数据点的曲面求解问题：；其中，是双调和算子，x是m维空间中的一个位置。其通解为，求解线性系统，可以得到。

在EXCEL中分别筛选出每一区的8种重金属浓度情况，由于给出的重金属量纲不统一，用归一化方法统一量纲。然后分别在每一区内对不同重金属求平均值主要重金属元素关于该城市五个区的分布。

Sij表示规划后某种金属浓度在某个采样点的值，xij某种重金属在某个采样点的值。由归一化后，运用富集系数模型：Di=d实测值 / b背景值定量描述城市重金属污染的空间分布情况。

2.2 三种评价不同区域重金属的污染程度的方法

2.2.1 地积累指数法

国内外很多专家将地积累指数法用于对人类活动造成的重金属对土壤污染的评价。该指数的计算式为：Igeo=log2[Cn/（kBn）]。根据Igeo值将污染等级分为6级，并且以国家二级标准作基准的污染评价。

2.2.2 内梅罗综合指数分析法

内梅罗指数法是当前国内外进行综合污染指数计算的最常用的方法之一。该方法先求出各因子的分指数（超标倍数），然后求出各分指数的平均值，取最大分指数和平均值计算。综合污染指数计算公式：。内梅罗综合指数在评价时可能会人为地夸大或缩小一些因子的影响作用，使其对环境质量评价的灵敏性不够高，有时候计算结果很难区分土壤环境污染程度的差别。所以，采用污染负荷指数法数学模型进行进一步分析。

2.2.3污染负荷指数法

用污染负荷指数法以土壤背景值为评价标准，对整个区域各个点位各种重金属进行定量分析，并对各点的污染程度进行分级，反映对环境污染最严重的元素。

3 分析重金属污染物的传播特征

为了分析研究各种土壤重金属的来源，本文采用了Pearson相关分析对被研究区域8中重金属含量数据进行了相关分析。从相关性分析结果可以发现，土壤中Pb与Cd，Ni与As显著正相关，且相关性较强，分别为0.812、0.639；其次为Cu与Cd，Cr与Ni，Pb和Cu也达到正相关。

本文对所有采样点采取主成分分析法，利用SPSS 13.0软件对城区土壤重金属的5项指标进行主成分分析。通过主成分分析计算，城区的8个变量的全部信息可由5个主成分表示，即对前5个主成分进行分析已经能够反映全部数据的大部分信息，再由5个主成分加权平均得出每个采样点相对应的综合指标。

基于SPSS软件包软件包生成的因子成分得分系数矩阵，降维后每种成分在每个取样点的得分计算公式：

综合指标的得分计算公式：

根据问题一中的方法参考Zj对应的取样点坐标对Zj做插值处理，并绘制等高线图，可得图1。

图1 等高线图

由图1可以看出，在靠近坐标原点的地方有两个综合指数超高区，可以认为这两个区域既是污染源所在的区域。

通过使用MATLAB进行双调和样条插值法，由Zj生成了一个200*200的矩阵。可以通过程序将其转换成一个具有200*200个元素的矩阵。可以得出综合指数Z的分布主要集中在0到0.2的区间中。我们认为污染源受到污染的水平应当远高于距离污染源较远的地方。所以我们将主要通过研究Z大于0.2的点来确认污染源。经过excel的筛选，大于0.2的点有1805个。污染源必然包含在这些点中间。

结合重金属在土壤中的传播特征，建立数学模型

4 结论

为更好地研究城市地质环境的演变模式，预测土壤中各种重金属的含量，必须求解并分析城市内土壤中各种重金属污染物的主要来源，确定影响这些重金属含量时间变化的主要影响因子并进行分析，然后在分析的结果中建立各种土壤重金属含量的时间预测模型。得重金属累积预测模型如下：

通过建立的模型可以用以城市土壤环境异常分析，以及城市环境质量评价，测定各区域重金属含量等，具有较强的实际应用价值。

参考文献：

第6篇：数学建模插值法范文

【关键词】半参数模型 完善误差 测量值 纵向数据

本文以半参数模型为例，对参数、非参数分量的估计值和观测值等内容进行讨论，并运用三次样条函数插值法得出非参数分量的推估表达式。另外，为了解决纵向数据下半参数模型的参数部分和非参数部分的估计问题，在误差为鞅差序列情形下，对半参数数据模型、渐近正态性、强相合性进行研究和分析。另外，本文初步讨论了平衡参数的选取问题，并充分说明了泛最小二乘估计方法以及相关结论，同时对半参数模型的迭代法进行了相关讨论和研究。

一、概论

在日常生活当中，人们所采用的参数数据模型构造相对简单，所以操作起来比较容易；但在测量数据的实际使用过程中存在着相关大的误差，例如在测量相对微小的物体，或者是对动态物体进行测量时。而建立半参数数据模型可以很好的解决和缓解这一问题：它不但能够消除或是降低测量中出现的误差，同时也不会将无法实现参数化的系统误差进行勾和。系统误差非常影响观测值的各种信息，如果能改善，就能使其实现更快、更及时、更准确的误差识别和提取过程；这样不仅可以提高参数估计的精确度，也对相关科学研究进行了有效补充。举例来说，在模拟算例及坐标变换GPS定位重力测量等实际应用方面，体现了这种模型具有一定成功性及实用性；这主要是因为半参数数据模型同当前所使用的数据模型存在着一致性，可以很好的满足现在的实际需要。而新建立的半参数模型以及它的参数部分和非参数部分的估计，也可以解决一些污染数据的估计问题。这种半参数模型，不仅研究了纵向数据下其自身的t型估计，同时对一些含光滑项的半参数数据模型进行了详细的阐述。另外，基于对称和不对称这两种情况，可以在一个线性约束条件下对参数估计以及假设进行检验，这主要是因为对观测值产生影响的因素除了包含这个线性关系以外，还受到某种特定因素的干扰，所以不能将其归入误差行列。另外，基于自变量测量存在一定误差，经常会导致在计算过程汇总，丢失很多重要信息。

二、半参数回归模型及其估计方法

这种模型是由西方著名学者Stone在上世纪70年代所提出的，在80年代逐渐发展并成熟起来。目前，这种参数模型已经在医学以及生物学还有经济学等诸多领域中广泛使用开来。

半参数回归模型介于非参数回归模型和参数回归模型之间，其内容不仅囊括了线性部分，同时包含一些非参数部分，应该说这种模型成功的将两者的优点结合在一起。这种模型所涉及到的参数部分，主要是函数关系，也就是我们常说的对变量所呈现出来的大势走向进行有效把握和解释；而非参数部分则主要是值函数关系中不明确的那一部分，换句话就是对变量进行局部调整。因此，该模型能够很好的利用数据中所呈现出来的信息，这一点是参数回归模型还有非参数归回模型所无法比拟的优势，所以说半参数模型往往拥有更强、更准确的解释能力。

从其用途上来说，这种回归模型是当前经常使用的一种统计模型。其形式为：

三、纵向数据、线性函数和光滑性函数的作用

纵向数据其优点就是可以提供许多条件，从而引起人们的高度重视。当前纵向数据例子也非常多。但从其本质上讲，纵向数据其实是指对同一个个体，在不同时间以及不同地点之上，在重复观察之下所得到一种序列数据。但由于个体间都存在着一定的差别，从而导致在对纵向数据进行求方差时会出现一定偏差。在对纵向数据进行观察时，其观察值是相对独立的，因此其特点就是可以能够将截然不同两种数据和时间序列有效的结合在一起。即可以分析出来在个体上随着时间变化而发生的趋势，同时又能看出总体的变化形势。在当前很多纵向数据的研究中，不仅保留了其优点，并在此基础之上进行发展，实现了纵向数据中的局部线性拟合。这主要是人们希望可以建立输出变量和协变量以及时间效应的关系。可由于时间效应相对比较复杂，所以很难进行参数化的建模。

另外，虽然线性模型的估计已经取得大量的成果，但半参数模型估计至今为止还是空白页。线性模型的估计不仅仅是为了解决秩亏或病态的问题，还能在百病态的矩阵时，提供了处理线性、非线性及半参数模型等方法。首先，对观测条件较为接近的两个观测数据作为对照，可以削弱非参数的影响。从而将半参数模型变成线性模型，然后，按线性模型处理，得到参数的估计。而多数的情况下其线性系数将随着另一个变量而变化，但是这种线性系数随着时间的变化而变化，根本求不出在同一个模型中，所有时间段上的样本，亦很难使用一个或几个实函数来进行相关描述。在对测量数据处理时，如果将它看作为随机变量，往往只能达到估计的作用，要想在经典的线性模型中引入另一个变量的非线性函数，即模型中含有本质的非线性部分，就必须使用半参数线性模型。另外就是指由各个部分组成的形态，研究对象是非线性系统中产生的不光滑和不可微的几何形体，对应的定量参数是维数，分形上统计模型的研究是当前国际非线性研究的重大前沿课题之一。因此，第一种途径是将非参数分量参数化的估计方法，也称之为参数化估计法，是关于半参数模型的早期工作，就是对函数空间附施加一定的限制，主要指光滑性。一些研究者认为半参数模型中的非参数分量也是非线性的，而且在大多数情形下所表现出来的往往是不光滑和不可微的。所以同样的数据，同样的检验方法，也可以使用立方光滑样条函数来研究半参数模型。

四、线性模型的泛最小二乘法与最小二乘法的抗差

（一）最小二乘法出现于18世纪末期

在当时科学研究中常常提出这样的问题：怎样从多个未知参数观测值集合中求出参数的最佳估值。尽管当时对于整体误差的范数，泛最小二乘法不如最小二乘法，但是当时使用最多的还是最小二乘法，其目的也就是为了估计参数。最小二乘法，在经过一段时间的研究和应用之后，逐步发展成为一整套比较完善的理论体系。现阶段不仅可以清楚地知道数据所服从的模型，同时在纵向数据半参数建模中，辅助以迭代加权法。这对补偿最小二乘法对非参数分量估计是非常有效，而且只要观测值很精确，那么该法对非参数分量估计更为可靠。例如在物理大地测量时，很早就使用用最小二乘配置法，并得到重力异常最佳估计值。不过在使用补偿最小二乘法来研究重力异常时，我们还应在兼顾着整体误差比较小的同时，考虑参数估计量的真实性。并在比较了迭代加权偏样条的基础上，研究最小二乘法在当前使用过程中存在的一些不足。应该说，该方法只强调了整体误差要实现最小，而忽略了对参数分量估计时出现的误差。所以在实际操作过程中，需要特别注意。

（二）半参模型在GPS定位中的应用和差分

半参模型在GPS相位观测中，其系统误差是影响高精度定位的主要因素，由于在解算之前模型存在一定误差，所以需及时观测误差中的粗差。GPS使用中，通过广播卫星来计算目标点在实际地理坐标系中具体坐标。这样就可以在操作过程中，发现并恢复整周未知数，由于观测值在卫星和观测站之间，是通过求双差来削弱或者是减少对卫星和接收机等系统误差的影响，因此难于用参数表达。但是在平差计算中，差分法虽然可以将观测方程的数目明显减少，但由于种种原因，依然无法取得令人满意的结果。但是如果选择使用半参数模型中的参数来表达系统误差，则能得到较好的效果。这主要是因为半参数模型是一种广义的线性回归模型，对于有着光滑项的半参数模型，在既定附加的条件之下，能够提供一个线性函数的估计方法，从而将测值中的粗差消除掉。另外这种方法除了在GPS测量中使用之外，还可应用于光波测距仪以及变形监测等一些参数模型当中。在重力测量中的应用在很多情形下，尤其是数学界的理论研究，我们总是假定S是随机变量实际上，这种假设是合理的，近几年，我们对这种线性模型的研究取得了一些不错的成果，而且因其形式相对简洁，又有较高适用性，所以这种模型在诸多领域中发挥着重要作用。

通过模拟的算例及坐标变换GPS定位重力测量等实际应用，说明了该法的成功性及实用性，从理论上说明了流行的自然样条估计方法，其实质是补偿最小二乘方法的特例，在今后将会有广阔的发展空间。另外文章中提到的分形理论的研究对象应是非线性系统中产生的不光滑和不可微的几何形体，而且分形已经在断裂力学、地震学等中有着广泛的应用，因此应被推广使用到研究半参数模型中来，不仅能够更及时，更加准确的进行误差的识别和提取，同时可以提高参数估计的精确度，是对当前半参数模型研究的有力补充。

五、总结

文章所讲的半参数模型包括了参数、非参数分量的估计值和观测值等内容，并且用了三次样条函数插值法得到了非参数分量的推估表达式。另外，为了解决纵向数据前提下，半参数模型的参数部分和非参数部分的估计问题，在误差为鞅差序列情形下，对半参数数据模型、渐近正态性、强相合性进行研究和分析。同时介绍了最小二乘估计法。另外初步讨论了平衡参数的选取问题，还充分说明了泛最小二乘估计方法以及有关结论。在对半参数模型的迭代法进行了相关讨论和研究的基础之上，为迭代法提供了详细的理论说明，为实际应用提供了理论依据。

参考文献

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[14]桑红芳.几类分布的参数估计的损失函数和风险函数的Bayes推断[D].中南大学，2009.

第7篇：数学建模插值法范文

关键词：计算方法；教学改革；应用型人才；人才培养模式；创新能力

计算方法课程是高等院校本科层次信息与计算专业的核心课程，其教学目标是使学生掌握数值计算和程序设计方法，提高科学计算中分析和解决实际问题的能力。随着社会的进步和计算机技术的快速发展，数值计算方法已经广泛应用到生物、经济、材料、制造、气象、设计等诸多领域，使得学生掌握这一专业知识显得尤为重要[1]。尽管经过几十年的建设和发展，计算方法研究的理论体系逐步完善，教材和相关教辅著作日趋丰富，但是该课程的教学仍然存在教学观念陈旧、教学方法落后和重理论轻实践的问题，不能满足新形势下应用型人才培养目标的要求[2]。鉴于此，本文就当前计算方法课程存在的问题，结合本人从事该课程教学积累的经验，从教学观念、教学内容和教学模式等方面探讨该课程的教学改革思路。

一、计算方法课程的特点及教学中存在的不足

(一)计算方法课程的特点

计算方法课程的内容较多，涉及高等数学、线性代数、微分方程、泛函分析等方面的知识，且其理论性较强，尤其是算法推导、稳定性分析、收敛性分析、误差分析等内容。计算方法课程各章节知识之间的独立性强，连贯性弱，且数学公式繁多、复杂、抽象，不利于学生记忆[1]。计算方法是一个将数学科学和计算机科学结合在一起的交叉学科，同一数值计算问题的解决可以有许多不同的方法，不同算法的计算误差和计算效率也不相同，而问题的解决最终要通过编写计算机程序来实现，具有较强的实践性。

(二)计算方法课程教学中存在的不足

根据笔者的教学经验和体会，目前该课程教学中主要存在如下几个方面的问题：1.既有教材难以很好地满足教学要求近年来，笔者所在的计算方法课程教学组先后选用了不同版本的教材，但感觉到这些教材都不能很好地满足应用型创新人才培养的需要。例如，李庆扬主编的《数值分析》是很多本科院校理工科使用的一部经典的优秀教材，其理论性强，内容丰富，但在应用方面有所欠缺，不能很好地满足应用型人才培养的需要。再如，王能超编写的《数学分析简明教材》具有内容精炼、深入浅出、通俗易懂的特点，是高等院校一般工科专业计算方法课程的优秀教材，但由于该教材较少涉及算法实际的应用背景，且对算法实现内容的介绍较少，因此易导致学生学习兴趣不高，不能很好地满足应用型本科院校教学的需要。2.实践教学内容匮乏在不少高校，计算方法课程计划中安排的学时•152•数普遍较少，如笔者授课的班级，该课程总共安排48学时，其中理论课32学时，上机实验课16学时。由于学时的限制，使得课程教学内容多为以公式推导为主的理论知识，上机实验仅限于验证教材上的一些基本算法，极少将数学建模思想融入实验教学中。这种缺乏应用性和趣味性的实验教学，难以激发学生的兴趣，更难以有效提高学生解决实际问题的能力。3.教学手段和方式单一板书是一种重要的教学手段，但对于复杂的理论分析和公式推导，单一的板书式教学不利于吸引学生的注意力和兴趣。将板书式教学与多媒体教学有机结合起来，可以有效提高课堂教学质量，但在计算方法课程教学中，有的教师单调地进行板书式教学而排斥多媒体教学，有的教师则过度依赖多媒体教学手段而放弃板书式教学，从而影响了教学效果。在教学方式方法上，由于教学内容多而学时有限，一些教师在授课时一味地采用讲授式教学法，极少开展讨论式教学和任务驱动式教学，致使课堂气氛严肃有余而活跃不足，学生学习的主动性和积极性没有得到充分发挥。4.课程考核方式单一在很多高校，计算方法课程的考核方式和其他理论课几乎完全相同，即仅重视结论性考核而轻视过程性考核，且结论性考核多以闭卷考试的方式进行，对实践环节的考核不足。该课程考核方式的导向作用决定了学生在学习的过程中重理论而轻实践，进而造成了学生算法设计水平不高和解决实际问题的能力不强的状况[4]。

二、计算方法课程改革的思路

(一)更新教学观念

要改变计算方法课程教学效果不佳、学生解决实际问题能力不强的局面，教师必须更新教学观念，打破以往重理论轻实践的教学观念和教学模式。作为教学活动的组织者和引导者，教师不但要准确、高效地传授课本知识，而且要指导学生学会学习和应用，让学生从被动听讲的知识接受者转变为主动学习的知识探究者，只有这样才能充分调动学生学习的主动性和积极性。因此，从事计算方法课程教学的教师，必须以“厚基础、重能力、强创新”的人才培养目标为指引，将学生素质的提高和创新能力的培养置于课程教学的中心地位，采用灵活多变的教学方式和方法来调动学生的学习兴趣，强化和培养学生运用所学知识解决实际问题的能力[5]。

(二)优化教学内容

1.优化理论教学内容计算方法课程主要包含插值法、数据拟合、数值积分、微分方程数值解法、方程求根、线性方程组的迭代法和直接法等内容。该课程学时较少，涉及知识面较宽，抽象性较强，并且涉及繁杂的算法、公式推导和理论分析，对学习者计算机编程能力的要求也较高，为了确保学生能在有限的学时内有效地掌握算法的设计思想、程序流程、误差的估计和分析方法，培养提高学生以计算机为工具、运用数值计算方法解决实际问题的能力，教师必须在新教学理念的指导下优化课程内容。为了适应应用创新型人才培养的要求，计算方法课程宜选用理论和实践并重、实用性强、案例丰富的教材。在缺乏理想教材的情况下，教师应根据教学需要灵活整合教学内容，力求对知识点的讲解做到详略得当，比如，对于理论证明可稍微简略一些，而对于算法思想、算法设计和算法的应用应详细讲解。2.强化实验教学以往计算方法课程的实践教学仅仅要求学生实现教材上一些基本的算法，实验内容缺乏精心设计，很难适应新形势下应用型人才培养的要求。因此，必须对以往的实验内容进行整合和优化，除了对教材提供的基本算法进行验证以外，还需要增加一些兼具趣味性和实用性的综合实验内容。比如，在数值积分部分，可以让学生进行空中电缆长度计算的实验；在数据拟合部分，可以让学生进行给药方案设计的实验；在微分方程数值解部分，可以让学生利用微分方程数值计算方法和已知观测数据进行模型参数估计实验。为了满足不同层次学生的要求，实验可以分为必做和选做两种。对于选做性实验（如一些数学建模试验），可以让学生以自由组队的方式来进行，这样不但能达到完成既定教学目标的目的，还能强化提高学生的团队合作能力和创新能力。优化实验教学内容，应着力于使学生灵活地应用和创造性地改进教材提供的一些标准数值算法，以实现培养应用型创新人才的目标。

(三)改革教学方法、教学手段与课程考核方式

计算方法是一个“数学思维和数值思想、学数学和用数学、理论与实践相结合的交叉学科”。因此，单一地采用传统的讲授式教学法很难实现计算方法课程的教学目标，只有进行教学方式和教学手段的改革，才能有效地提高教学效果。1.教学方式的改革在计算方法课程教学中，教师宜采用灵活多样的研讨式、辩论式和启发式教学，注重课堂交流互动，充分激发学生的学习兴趣，调动学生参与课堂活动的积极性。对算法的讲解应注重讲解算法的设计思想、算法的流程、算法的误差、不同算法间的比较和计算复杂度的分析，并摒弃满堂灌的广播式教学，给学生留下独立思考的时间；应结合当前学术研究的前沿问题，对课本知识进行适当的扩充，以开拓学生的视野，拓展学生的思维空间，提高学生学习的兴趣和主动性。例如，在讲解微分方程数值解的过程中，除了介绍欧拉方法、改进的欧拉方法及龙格库塔方法的设计思想、误差估计和计算的复杂度讨论以外，可以引导学生运用所学知识来探讨系数是分段函数和周期函数的常微分方程、脉冲微分方程、泛函微分方程、随机微分方程的数值解等问题的解决方案，然后通过课堂交流讨论不断优化算法，最终完成计算机编程并进行课堂演示。这种教学方式有利于培养学生的创新能力。2.教学手段的改革计算方法课程的理论性和实践性决定了仅采用传统的“一根粉笔走天下”的单一教学手段不能满足应用型人才培养的需要。多媒体教学具有直观性、高效性、交互性、集成性等特点，将课程中抽象、枯燥的学习内容通过图形、动画等形式直观地呈现给学生，有利于提高教学效率，增强教学效果。因此，在计算方法课程的教学中，教师应将多媒体教学和传统的“黑板+粉笔”板书教学结合起来，如概念介绍、图形演示、应用软件和程序设计分析等内容采用多媒体教学方式，而定理的证明则采用板书式教学。

(四)课程考核方式的改革

通过计算方法课程的教学，既要让学生掌握算法设计思想和误差分析的理论知识，又要让学生掌握算法设计和上机调试的基本技能，最终能熟练运用Matlab编制具体算法去解决实际问题。计算方法课程的教学目标决定了其考核方式不能像其他数学课程一样仅仅依据理论知识考试成绩衡量学生的学习效果。单一的理论考核不利于调动学生进行程序设计和上机实验的积极性，也不能全面考查学生对该课程的掌握情况。该课程较为合理的考核方式应该采用专题论文、理论试卷与上机编程相结合的方式。各种方式考核的权重，以平时考勤和作业成绩占10%、上机编程占25%、专题论文占15%和期末考试占50%较为合适[6]。随着应用型本科高校转型发展工作的推进，计算方法课程的教学改革已经势在必行。本文结合计算方法课程在教学上存在的一些普遍问题，结合应用型创新人才培养的要求，从更新教学观念、优化教学内容、改进教学方法和完善考核方式等方面对该课程的教学改革进行了初步的探讨与研究。教学实践表明，这些措施有利于提高教学效果，尤其在激发学生的创新思维意识、提高学生运用所学理论解决实际问题的能力方面成效显著。

参考文献：

[1]张俊丽．“数值计算方法”课程的教学改革探索[J]．中国电力教育，2012(10)：87―88．

[2]王金柱．计算方法课程教学改革的探索与实践[J]．陕西教育学院学报，2011(1)：81―83．

[3]王晓峰．计算方法课程教学改革探讨[J]．吕梁教育学院学报，2009(3)：64―66．

[4]李华，邵维，杨雪松，等．《数值计算方法》课程教学改革实践与探讨[J]．实验科学与技术，2013(5)：256―258．

[5]徐建敏，熊金志，李勇．地方高校“计算方法”实验教学的改革[J]．实验室研究与探索，2011(9)：152―154．

第8篇：数学建模插值法范文

【关键词】折叠纸盒 有限元法 强度 等效模拟

折叠纸盒凭借其原材料的环保性、可装潢性、可印刷性等其他包装不可替代的特性[1]，在物资流通和包装行业深受人们的青睐，广泛应用于食品、药品、化妆品、烟酒等日常生活用品的包装。尽管折叠纸盒不是运输包装容器，但作为一种“刚”性包装容器而言，折叠纸盒也应具有足够的强度来抵抗变形和破坏的力量，才能对商品提供足够的保护和便于销售时对商品进行陈列和展示[2]。

近年来，国内外学者对折叠纸盒的抗压强度进行了不少研究，王金林[3]论证了纸盒抗压强度和白板纸挺度的关系；Grangard[4]通过大量的试验确定经验公式BRDA式具有较高的相关性；余本农[2]根据瓦楞纸箱抗压强度公式推导出折叠纸盒的经验公式；刘慧和张新昌[5-6]研究了管式折叠纸盒的结构和几何尺寸对抗压强度的影响，并且探讨折叠纸盒抗压强度经验计算公式；袁毅等[7]研究锁底结构形式对纸盒承载力的影响。但以上学者的研究主要还停留在试验研究的基础上，由于试验的不稳定性以及各种尺寸折叠纸盒试验样品获取困难，要想更好地掌握折叠纸盒承载能力和抗压变形能力不能只停留在单纯的试验研究上，应该从原材料自身入手，结合理论与试验结论，借助于有限元分析技术来对折叠纸盒承载能力和抗压变形能力进行仿真模拟，不仅可以缩短实验周期，节约试验费用，还能够对纸盒各个部位作研究和讨论，更为直观地得到折叠纸盒各个部位的力学状态对包装性能的影响。

1 有限元法的概念

有限单元法最初是20世纪50年代作为处理固体力学问题的方法出现的，并随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。作为计算机辅助工程CAE的一种，使用它大大提高了产品开发、设计、分析和制造的效率和产品性能[8]。

有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，其基本思想是把一个连续的介质（或构件）看成是由有限数目的单元组成的集合体，并在每一个单元中设定有限数量的节点，在各单元内假定具有一定的理想化的位移和应力分布模式，各单元间通过节点相连接，并藉以实现应力的传递，各单元之间的交接面要求位移协调，利用弹性力学、固体力学、结构力学等力学中的变分原理去建立一套线性方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题，求解这些方程组，便可得到各单元和结点的位移、应力。简言之，就是用较简单的问题代替复杂问题后再求解，即化整为零分析，积零为整研究。对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，分为前处理、处理和后处理3个阶段，只是具体公式推导和运算求解不同。

2 有限元法在分析纸盒强度时要考虑的问题

2.1 研究参数的选取问题

根据理论分析可以得出，折叠纸盒的抗压强度受到纸板原材料性能以及纸盒的结构形式和结构参数的影响。纸板原材料性能包括纸板的环压强度、挺度、厚度和定量等，纸盒结构形式包括管式、盘式、管盘式和非管非盘式等，纸盒结构参数主要指的是纸盒的几何尺寸长、宽和高。对于研究纸盒强度问题，在单纯的试验研究时首先是确定纸板原材料和纸盒结构形式，然后对改变不同几何结构参数的纸盒进行测试，看纸盒是否满足强度和刚度的要求。

其实，纸盒的结构形式和原材料性能在很大程度上决定了纸盒的特点和工艺效果，提高纸板的挺度和环压强度，优化纸盒的结构和几何尺寸都可以提高纸盒的抗压强度，若是仅仅靠改变结构参数来研究纸盒强度性能，很难做到对纸盒抗压强度的系统化研究。而且目前对纸盒强度的研究主要是基于“设计―盒样―试验―修改”不断循环的优化过程模式，这样既麻烦又浪费大量成本。所以在基于有限元法研究纸盒各个参数的同时还应该考虑纸盒结构形式、原材料属性以及还未进行过研究的参数。另外，有限元模拟分析既可以针对某一参数变量的研究，也可以对多参数的交互作用进行研究，我们可以根据需要灵活运用。

2.2 有限元等效模拟分析问题

有限元法对纸盒压缩过程的数值模拟就是利用一定的方法，将结构和应力变化的复杂过程近似模拟出来，它包括结构静力学的计算和结构非线性的计算两部分。在有限元仿真模拟分析中，几何实体模型的建立及简化、单元类型的选取、有限元网格模型的生成、约束条件的设置和载荷的施加都显得尤为重要，它们都将直接影响到最终仿真计算结果的精确性。

（1）几何模型建立及简化问题

折叠纸盒的受力压缩过程是一个实际问题，考虑到压缩的复杂性和多样性对有限元分析计算结果的影响，必须对纸盒结构进行合理简化，把实际结构简化成计算模型，然后再利用有限元法来分析解决问题。为了方便有限元建模及计算，在不失真的前提下，对纸盒结构可做如下的简化处理。

①鉴于纸板原材料的特性，将纸板等效成一块正交各向异性的复合材料板；②忽略非承载件的影响，将纸盒的六个面板都看作是四边简支板，忽略纸盒上的小结构，如侧板上的襟片以及插舌等；③认为结构中的粘合是理想粘合，忽略襟片粘合不牢所引起的强度弱化问题。

由于纸盒结构规则，对纸盒结构进行合理简化之后，可以选择直接在有限元分析软件ANSYS中采用“自底向上”法建立模型。需要注意的是，简化一些无关紧要的细节能使分析求解尽可能地高效，但是随着襟片和其它一些细节被简化，在它们邻近区域内仿真模拟计算出的应力值可能不准确，导致该区域计算的结果不能反映真实应力。因此，可以考虑采用在模型中添加该细节重新计算、子模型法和外插值法3种方案对局部应力进行考察。

（2）单元类型选择问题

在有限元分析过程中，对于不同的问题，需要应用到不同特性的单元，ANSYS单元库中提供了超过250种的不同单元类型，每一种单元都是专门为有限元问题而设计的。因此，单元选择不当，直接影响到计算能否进行和计算结果的精度。根据纸板原材料的结构，由于纸板的厚度相对较薄，理论上可以将其简化为正交各向异性薄板。在薄板构件的有限元分析中，一般采用壳体单元或者三维实体单元进行分析。根据国内外一些研究资料和有限元分析数据，采用壳体单元对纸板结构进行分析可以获得足够精确的结果，并且采用壳体单元分析可以比采用实体单元分析节省大量的时间。

壳单元是为有效建立薄的结构而特别设计的单元类型，它用于主尺寸不小于10倍厚度的结构。ANSYS中提供了一系列壳体单元，常见的有：SHELL63、SHELL43、SHELL93、SHELL181等。其中SHELL181是一个4节点的四边形薄板壳结构，如图1所示，它含有I、J、K、L四个节点，每个节点含有6个自由度，即沿X、Y、Z方向上的三个平动自由度和绕X、Y、Z轴的三个转动自由度。它可以支持材料塑性、应力刚化、大应变，适用于从薄到中等厚度的薄板壳结构。因此，根据纸板本身特性和纸盒压缩的实际过程，为了获得更精确的模拟数据，建议选择SHELL181单元类型进行分析。

（3）网格划分问题

ANSYS的运算最终是通过有限单元法进行，因此对建立好的几何模型进行网格划分是ANSYS分析的一个重要内容。网格划分直接影响到计算结果的精度和计算速度，甚至会因为网格划分不合理而导致计算不收敛。目前对于网格划分，有两种划分方式：自由网格划分和映射网格划分，这两种网格划分方法各有优缺点。自由网格划分适合于初学者使用，划分耗时较少，而映射网格计算结果的精度一般要高于自由网格的计算精度。充分考虑到纸盒各部位的结构，可以采用自由网格划分和映射网格划分相结合的方法。对纸盒面板结构使用自由网格划分，在可能出现应力集中的位置或拟定的重点考察位置采用映射网格划分，使之能以较高的精度得到这些位置的应力，从而保证计算结果的精度。

另外，网格数量的多少影响计算结果的精度和计算分析时间，但并非网格划分的越细得到的结果就越好，因为网格太密太细，会占用大量的分析时间。为了考察网格划分的合理程度，在计算模型建立后进行试算，以考察模型精度，特别是重点考察区域的精度。对于纸板类结构，保证单元边长在lmm-2mm之间时基本都能取得理想的结果。

（4）约束与加载问题

建立纸盒有限元分析模型应当在每个坐标轴方向上至少给定一个约束，受约束节点的数量根据实际情况具体确定。定义约束条件是一个容易产生较大误差的地方，纸盒的约束是根据其具体结构确定的。纸盒的压缩试验是在上下两块光滑的压盘上进行的，显然压盘的刚度比纸盒大的多，上压盘以缓慢的速度加载，最后将纸盒压溃。当纸盒在水平压盘上加载受压时由于摩擦力的作用与上压盘接触的纸盒面板只会沿竖直方向被压缩，而与下压盘接触的纸盒面板相当于被固定在水平的压盘上，不会有水平的滑动也没竖直方向的压缩。故对纸盒施加约束时，应将纸盒受压时的边界约束条件等效化，根据纸盒的受力以及实际破坏情况，纸盒面板与上下压盘接触的各节点竖向位移耦合，与上压盘接触的各节点竖向位移耦合，施加共同向下的位移，下压盘固定不动，对与下压盘接触的各节点的所有自由度施加约束，即对纸盒模型的四个侧板的底部进行约束，保证这些部位的节点不发生平动或转动。

在ANSYS分析中，载荷包括边界条件和内外部的作用力函数，在不同的分析领域中具有不同的表征，为了真实地反映实际物理情况，将载荷分为自由度约束（DOF）、集中力载荷、面载荷、体载荷、惯性载荷以及耦合场载荷等。载荷可以直接在实体模型上加载，如将载荷施加到关键点、线或者面上；也可以在有限元模型上加载，即直接将载荷施加到节点和单元上。这两种方法各有利弊，但无论选用何种途径加载，程序都会自动将这些载荷转移到有限元模型上。在纸盒压缩过程中，纸盒面板主要承受压盘施加的作用力，为了模拟实际压缩情况，应该选择在纸盒上加一个刚体，最后在刚体上施加一定载荷。

（5）非线性求解问题

纸盒的受力压缩过程是一个囊括了材料、状态、几何三种非线性问题的复杂受力过程。材料非线性是指纸板原材料的应力-应变关系引起的非线，而且是不可逆转的；状态非线性是指纸板压缩后引起的接触问题；几何非线性是指纸板在压缩的过程中其变化的几何形状引起的非线性响应，属于大应变类型。作为复杂的非线性分析，涉及到求解器的选择、载荷步长的选取、子步数的设置、迭代收敛准则、自动时间步长等许多非线性因素，求解设置比较复杂，若处理不当就会造成分析结果不收敛或者分析中断等情况出现。因此，为了保证模拟计算的顺利实现并获得准确的计算结果，在前期求解设置时可以针对不同情况进行多次试算，以获取最佳的求解设置参数，特别是控制好平衡迭代及收敛准则之间的关系。

结语

近年来，随着计算机技术、现代力学和计算数学的发展，有限元法作为一个具有坚实理论基础和广泛应用效力的数值模拟分析工具，在包装工程领域方面的应用越来越多。包装设计及研究人员将这种技术引入到研究包装材料的系统中，不仅提供了一种新的研究思路，而且有效地提高了工作效率，降低了包装设计成本。但目前情况下，有限元法在纸类容器强度研究方面还不够成熟，尤其是折叠纸盒抗压强度的研究。由于受纸板原材料特性的制约，尚未有用于纸板压缩应力分析评定的系统方法，这样就不能区分出应力的类型，造成有限元法不能对应力进行进一步分析，得出的结论可能对纸盒结构的优化提供不了更加可信的科学依据，因此，这些方面还有待进一步的研究与发展。

总之，有限元法为包装设计及研究人员提供了更为直观更加快捷的研究手段，通过使用有限元分析的方法我们就能够建立起纸盒的有限元模型并研究和分析它的力学特性。可以乐观地估计，在不远的将来，有限元方法将非常广泛地应用到纸盒强度的研究领域，它将推动计算机辅助分析在包装工程方面的应用向更高的水平发展。

参考文献

[1]段瑞侠，刘雪莹，陈金周.纸盒结构设计中要考虑的几个要素[J].包装工程，2008（12）.

[2]余本农，平幼妹等.关于折叠纸盒抗压强度的讨论[J].包装工程，2002（1）.

[3]王金林.纸盒抗压强度与白板纸挺度[J].包装工程，1989（1）.

[4]HAKAN Grangard，JOSEF Kubat. Some Aspects of the Compressive Strength of Cartons[J].Svenak Papperstiding，1969（15）.

[5]刘慧，张新昌.折叠纸盒结构及其尺寸对抗压强度的影响[J].包装工程，2008（5）.

[6]张新昌，刘慧.折叠纸盒抗压强度经验计算公式的探讨[J].包装工程，2008（10）.

[7]袁毅，肖颖吹.折叠纸盒锁底结构承载力实验研究[J].包装工程，2014（7）.

[8]李晓丽.蜂窝纸板静态压缩力学性能仿真研究[D].淮南：安徽理工大学，2011.