数学建模中的常用算法精选(九篇)

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第1篇：数学建模中的常用算法范文

摘要：综述 数学建模方法

前言：数学建模，就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。数学模型是一种模拟，是用数学符号，数学式子，程序，图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。在21世纪新时代下，信息技术的快速发展使得数学建模成了解决实际问题的一个重要的有效手段。

正文：自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充，使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。而数学建模作为数学方面的分支，在其中起到了关键性的作用。

谈到数学建模的过程，可以分为以下几个部分：

一.模型准备

了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。

二.模型假设

根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

三.模型建立

在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构。

四.模型计算

利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。其中需要应用到一些计算工具，如matlab。

五.模型分析

对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。

六.模型检验

将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。

数学建模中比较重要的是，我们需要根据实际问题，适当调整，采取正确的数学建模方法，以较为准确地对实际问题发展的方向进行有据地预测，达到我们解决实际问题的目的，

在近些年，数学建模涉及到的实际问题有关于各个领域，包括病毒传播问题、人口增长预测问题、卫星的导航跟踪、环境质量的评价和预测等等，这些就能说明数学建模涉及领域之广泛，针对这些问题我们需要采取对应的数学建模方法，采用不同的数学模型，再综合起来分析，得出结论，这需要我们要有一定的数学基础和掌握一些应用数学方法，以适应各种实际问题类型的研究，也应该在一些数学方法的基础上，进行不断地拓展和延伸，这也是在新时代下对于数学工作者的基本要求，我们对数学建模的所能达到的要求就是实现对实际问题的定性分析达到定量的程度，更能直观地展现其中的内在关系，体现数学建模的巨大作用。

而在对数学建模中的数据处理中，我们往往采用十类算法：

一.蒙特卡罗算法

也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。如粒子输运问题。

二.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法

比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具，而在其中有一些要用到参数估计的方法，包括矩估计、极大似然法、一致最小方差无偏估计、最小风险估计、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法。最基本的方法是最小二乘法和极大似然法。数据拟合在数学建模中常常有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系。

三.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题

建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现。它尤其适用于传统搜索方法难于解决的复杂和非线性问题，在运筹学和模糊数学中也有应用。

四.图论算法

这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备，其中，图论具有广泛的应用价值,图论可将各种复杂的工程系统和管理问题用“图”来描述,然后用数学方法求得最优结果，图论是解决许多工程问题中算法设计的一种有效地数学模型,便于计算分析和计算机存储。

五.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法

动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。回溯算法是深度优先策略的典型应用，回溯算法就是沿着一条路向下走，如果此路不同了，则回溯到上一个分岔路，在选一条路走，一直这样递归下去，直到遍历万所有的路径。八皇后问题是回溯算法的一个经典问题，还有一个经典的应用场景就是迷宫问题。回溯算法是深度优先，那么分支限界法就是广度优先的一个经典的例子。回溯法一般来说是遍历整个解空间，获取问题的所有解，而分支限界法则是获取一个解。分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，就可得到原问题的解。即一种分目标完成程序算法，简单问题可用二分法完成。

这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。

六.最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法

模拟退火算法的依据是固体物质退火过程和组合优化问题之间的相似性。物质在加热的时候，粒子间的布朗运动增强，到达一定强度后，固体物质转化为液态，这个时候再-进行退火，粒子热运动减弱，并逐渐趋于有序，最后达到稳定。

“物竞天择，适者生存”，是进化论的基本思想。遗传算法就是模拟自然界想做的事。遗传算法可以很好地用于优化问题，若把它看作对自然过程高度理想化的模拟，更能-显出它本身的优雅——虽然生存竞争是残酷的。 遗传算法以一种群体中的所有个体为对象，并利用随机化技术指导对一个被编码的参数空间进行高效搜索 。

神经网络从名字就知道是对人脑的模拟。它的神经元结构，它的构成与作用方式都是在模仿人脑，但是也仅仅是粗糙的模仿，远没有达到完美的地步。和冯·诺依曼机不同-，神经网络计算非数字，非精确，高度并行，并且有自学习功能。

这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。

七 .网格算法和穷举法

对于小数据量穷举法就是最优秀的算法，网格算法就是连续问题的枚举。网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。

八.一些连续离散化方法

很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。

九.数值分析算法

在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、 函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

十.图像处理法

赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。

这十类算法对于数据处理有很大的帮助，甚至从其中可以发现在它们中的很多算法都是数学某些分支的延伸，可能我们不一定能掌握里面的所有算法，但是我们可以尽可能学习，相信这对我们今后的数学学习有很大的帮助，然后，就是数学模型的类别。

常见的数学模型有离散动态模型、连续动态模型、库存模型、线性回归模型、线性规划模型、综合评价模型、传染病模型等数学模型、常微分方程模型、常微分方程的数值稳定性、人口模型、差分方程模型，这些模型都有针对性地从实际问题中抽象出来，得到这些模型的建立，我们在其中加入适当合理的简化，但要保证能反映原型的特征，在数学模型中，我们能进行理性的分析，也能进行计算和演绎推导，我们最终都会通过实践检验数学建模的正确性，加以完善和提升，在对现实对象进行建模时，人们常常对预测未来某个时刻变量的值感兴趣，变量可能是人口、房地产的价值或者有一种传染病的人数。数学模型常常能帮助人们更好的了解一种行为或者规划未来，可以把数学模型看做一种研究特定的实际系统或者人们感兴趣的行为而设计的数学结构。

例如人口增长模型：

中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。人口数量、 质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。 在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展， 进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。 政府部门需要更详细、 更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析， 只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。 随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。

人口增长模型是由生育、死亡、疾病、灾害、环境、社会、经济等诸多因素影响和制约的共同结果，如此众多的因素不可能通过几个指标就能表达清楚，他们对人口增长的潜在而复杂的影响更是无法精确计算。这反映出人口系统具有明显的灰色性， 适宜采用灰色模型去发掘和认识原始时间序列综合灰色量所包含的内在规律。灰色预测模型属于全因素的非线性拟合外推类法，其特点是单数列预测，在形式上只用被预测对象的自身序列建立模型，根据其自身数列本身的特性进行建模、预测，与其相关的因素并没有直接参与，而是将众多直接的明显的和间接的隐藏着的、已知的、未知的因素包含在其中，看成是灰色信息即灰色量，对灰色量进行预测，不必拼凑数据不准、关系不清、变化不明的参数，而是从自身的序列中寻找信息建立模型，发现和认识内在规律进行预测。

基于以上思想我们建立了灰色预测模型：

灰色建模的思路是：从序列角度剖析微分方程，是了解其构成的主要条件，然后对近似满足这些条件的序列建立近似的微分方程模型。而对序列而言（一般指有限序列）只能获得有限差异信息，因此，用序列建立微分方程模型，实质上是用有限差异信息建立一个无限差异信息模型。

在灰色预测模型中，与起相关的因素并没有直接参与，但如果考虑到直接影响人口增长的因素， 例如出生率、死亡率、 迁入迁出人口数等，根据具体的数据进行计算， 则可以根据年龄移算理论，从某一时点的某年龄组人数推算一年或多年后年龄相应增长一岁或增长多岁的人口数。在这个人口数的基础上减去相应年龄的死亡人数， 就可以得到未来某年龄组的实际人口数。对于0 岁的新生人口， 则需要通过生育率作重新计算。当社会经济条件变化不大时， 各年龄组死亡率比较稳定， 相应活到下一年龄组的比例即存活率也基本上稳定不变。 因而可以根据现有的分性别年龄组存活率推算未来各相应年龄组的人数。

通过这样的实例就能很细致地说明数学建模的方法应用，数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。它是将研究的某种事物系统，采用数学形式化语言把该系统的特征和数量关系，抽象出一种数学结构的方法，这种数学结构就叫数学模型。一般地，一个实际问题系统的数学模型是抽象的数学表达式，如代数方程、微分方程、差分方程、积分方程、逻辑关系式，甚至是一个计算机的程序等等。由这种表达式算得某些变量的变化规律， 与实际问题系统中相应特征的变化规律相符。一个实际系统的数学模型，就是对其中某些特征的变化规律作出最精炼的概括。

数学模型为人们解决现实问题提供了十分有效和足够精确的工具， 在现实生活中， 我们经常用模型的思想来认识和改造世界，模型是针对原型而言的，是人们为了一定的目的对原型进行的一个抽象。

随着科学技术的快速发展，数学在自然科学、社会科学、工程技术与现代化管理等方面获得越来越广泛而深入的应用， 尤其是在经济发展方面， 数学建模也有很重要的作用。 数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中，从而使人们逐渐认识到建立数学模型的重要性。数学模型就是要用数学的语言、方法去近似地刻画实际，是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、 图形或算法。也可以这样描述：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模的作用在21实际毋庸置疑，我们通过不断学习数学建可以掌握解决实际问题的强大武器。

参考文献：数学建模方法与案例，张万龙，等编著，国防工业出版社（2014）.

第2篇：数学建模中的常用算法范文

关键词: 数值分析 数学建模 Matlab

数值分析又称计算方法,是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的一门课程,重点研究如何运用数值计算方法去处理实际工程问题,因此数值分析在科学研究、工程建设和经济建设等很多方面有着广泛的应用。在信息科学和计算机技术飞速发展的今天,这门课程中的数值方法更显得极其重要,但是对多数学校来说,还没有引起对这门课足够的重视,而且在数值分析的教学过程中都存在很多不足。不少学者也讨论过我国高校中数值分析课程的教学情况,其中存在一些普遍问题,例如学生理论学习模式化、实践能力不够、缺乏应用性,学习过程中学生感觉到枯燥或者学习效果不佳,学校软、硬件设施无法满足学生的上机实习等。如何更好地开展这门课程的教学工作,对于我们来说是一个巨大的挑战。下面我们来谈谈在教学过程中遇到的几个问题。

1.理论基础知识扎实,同时采用启发式教学

课程中的很多公式是推导出来的,推导过程比较烦琐,得到的公式也比较冗长,而且比较难记,对于已经复杂并且很冗长的数值公式,还需要进一步进行抽象的理论分析,包括算法的收敛性如何,数值算法是否稳定并进行误差分析,以及分析算法的空间和时间复杂性等,同时还涉及如微积分、线性代数、常微分方程等。过多地强调数学理论证明,大多数的学生觉得这门课很难,学得很枯燥,也感觉不到乐趣,从而越来越厌烦学习这门课程。

因此,我们要将“因材施教”的理念落到实处。方法的讲授应该尽量地从实例中提出问题,引导学生去思考如何运用数学知识去构造解决的方法,然后给出相应的数学理论。并且,给出一种方法,可以换位思考,激发学生思考是否能用另外的已学方法来求解。这样不仅能复习已学的知识,而且能巩固各种知识之间的联系,还可以启发学生把学过的知识学以致用,真正了解学习带来的乐趣。

2.将数学建模的思想融入到教学过程中

数值分析是对实际问题的数值模拟方法的设计、分析与软件实现的理论基础。要解决具体的实际问题,首先需要建立起适当的数学模型,将实际问题的解决归结为相应的数学问题的求解,然后对所归结的数学问题建立相应的数值方法。这样就可以以实例启发学生弄清为什么要进行数值分析、应该如何引进数值方法进行分析,建立一种数值分析的方法后,哪些问题是值得且必须研究的。例如在汽车、飞机等的外形设计过程中,利用样条技术设计的外形越来越光滑、美观。学生了解了样条插值的实际应用背景后就会对样条插值的理论更感兴趣,也会更有动力来学。

将数学建模的思想融入到数值分析教学过程中,要求我们必须有一个合适的切入点,不能用数学建模课的内容过多占有数值分析课的教学,因此精选只涉及相应数值分析理论和方法而又能体现数学建模思想的内容,既能吸引学生又是学生以后可能碰到的案例,将其融入到数值分析课程中是十分重要的。下面具体举两个例子,插值方法可以引入人口增长的模型和设计公路平面曲线的问题,常微分方程的差分方法可以引入导弹追踪和估计水塔的流量问题,方程求根的迭代法可以引入一般战争模型,线性方程组的解法可以引入投入产出模型和小行星轨道问题等。

3.结合Matlab进行实践教学

在结合多媒体教学的过程中,尽量地在讲解数学模型的过程中,无论是问题的引入还是算法的讲解和实现,以及结果尽可能地转化成图形等一些可视的结果展示给学生,以激发学生的学习兴趣,引人入胜,Matlab软件的可视化功能能够实现这一点。

在计算机技术飞速发达的今天,只要有效地把教学过程和相关的计算机技术结合起来,就能够做到减轻教师教和学生学的负担,优化学习环境,实现高效教学。在一些数值分析教材中一些常用的算法都已经有了现成的程序,因此在授课的过程中,对这些算法进行展示时,要让学生从中学会如何将一个算法转变成一段程序。鼓励学生自己根据算法写出程序流程图,然后使用Matlab语言将其转变成程序,将自己所得程序与课本中的结果进行比较分析,这个过程有助于学生更好地理解算法,增强学生动手实践的自信心。

4.结语

数值分析是研究数学模型的数值计算方法。随着电子计算机的迅速发展、普及,以及新型数值软件的不断开发,数值分析的理论和方法无论是在高科技领域还是在传统学科领域,其作用和影响都越来越大,实际上它已成为科学工作者和工程技术人员必备的知识和工具。

对于理工科的本科学生而言,它的理论和实践知识对学生的要求都比较高。因此要让学生学好这门课程,需要在教学中采用一些技巧性的教学方法,比如采用启发式的教学方法,融入数学建模的思想,以及结合Matlab进行实践教学等。这样可以调动学生主动学习的积极性,提高学生的综合素质,使学生真正学好这门课程。

参考文献:

[1]赵景军,吴勃英.关于数值分析教学的几点探讨[J].大学数学,2005,21(3):28-30.

[2]孙亮.数值分析方法课程的特点与思想[J].工科数学,2002,18(1):84-86.

第3篇：数学建模中的常用算法范文

【关键词】直流锅炉；汽压；分数阶系统；辨识

0 引言

锅炉蒸汽压力是表征锅炉运行状态的重要参数。主蒸汽压力是否稳定不仅直接关系到锅炉设备的安全运行，而且反映了燃烧过程中能量的供求关系。单元机组的控制任务是紧密跟踪外界负荷的需要和保持主汽压力稳定，当电网负荷变动时，从汽机侧看，只要改变调汽门开度，就能迅速改变汽轮机进汽量，适应负荷需求。但从锅炉侧看，当负荷变化时，即使马上调整给煤量和给水量，由于锅炉固有的惯性和延迟，不可能立即改变提供给汽轮机的蒸汽量。因此，当汽机调门已经改变，进入汽轮机的蒸汽量发生变化，此时只能利用主汽压力的改变来弥补这个蒸汽量的供需差额。在这个过程中，主汽压力易受各种扰动因素影响，模型具有不确定性，在不同工况下传统常规固定参数控制系统很难满足控制品质需求。而在分数阶控制系统研究中，分数阶控制器设计一直以来都受到人们的关注。研究表明，分数阶控制器能够取得比整数阶控制器更好的控制效果。因此，本文提出对超临界直流锅炉燃料-汽压分数阶系统辨识方法。提出应用PSO算法同时对分数阶模型阶次和增益参数进行估计，用同样的方法可以对整数阶模型辨识，以便验证模型。

1 系统建模与辨识理论

一般来说，建立系统数学模型的方法有两种。

1.1 机理分析方法

通过分析系统的运动规律，运用已知的定律、定理，比如能量平衡原理、质量守恒原理、力学原理、化学动力学原理等，然后利用数学方法进行推导，建立系统的数学模型，这种方法称为机理分析方法，即理论建模法。主要应用于系统机理清楚的简单系统进行建模，对于复杂系统有极大的局限性。机理分析建模方法的优点是它有比较严密的理论依据，该方法建立的模型在任何状态下使用都不会引起定性错误。然而使用这种建模方法，需要知道系统本身的许多细节，比如系统的构成，系统内各部分的连接以及它们之间存在怎样的联系等。这种方法不关注系统的过去行为，只关心系统结构和过程描述。只有在对系统机理有了全面清楚的认识，并且该过程可以用成熟的理论进行描述时，才可能得到描述该系统的数学模型。其缺点就是，机理分析法没有普适的方法，对于不同的对象，需根据其物理意义进行建模。

1.2 测试法

通过测量系统的输入输出信号（由于系统的动态特性必然表现在这些输入输出数据中）进行建模，该方法称为测试法。系统辨识即测试建模法，通过分析未知系统实验或运行数据（输入输出数据），而不关心系统的内部机理和功能，建立一个与所测系统等价的数学模型。该方法的优点就是它是一种具有普遍意义的方法，能适应任何复杂系统及过程。缺点就是对系统的输入输出数据的要求比较高，如果数据不合格，那么得到的模型精度会很差，甚至不能代表所要辨识的系统。L.Ljung对辨识所作的定义为：“辨识有三个要素，即数据、模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型”。在对所要辨识的系统有了一定的了解的基础上，那么就可以预先给出系统模型类，然后辨识出模型的参数即可，即把结构（函数）优化问题转化为参数优化问题。与机理分析建模法相比，系统辨识法的优点在于不需要深入了解系统的机理，其不足之处在于需要设计一个合理的实验以获取所需的大量数据。而设计合理的满足要求的实验是困难的。因此在具体建模时，将机理分析法和测试法结合起来使系统建模相对容易些，通常对机理已知的部分采用机理分析方法，机理未知的部分则采用测试法。最小二乘法是应用广泛的系统辨识方法，该方法最早由高斯提出，后来该方法成为估计理论的奠基石。该方法的理论基础是：系统在一定输入的激励下，测得系统的实际输出，同时把这个输入作用在一个假定的模型上，并记录下该模型的输出，当实际输出与模型输出偏差的平方和达到最小时，就认为该模型能最好的接近实际过程的输出。此模型即为所要辨识的系统模型。

2 PSO优化算法

粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization， PSO）是美国学者Kennedy和Eberhart在1995年提出，源于对一个复杂适应系统――鸟群社会系统的仿真，属于仿生算法。粒子群算法有深刻的智能背景，与遗传算法相比，具有简单、容易实现、优化速度更快、精度更高等优点。适用于解决大量非线性、不光滑和多峰值的复杂问题的优化，现已广泛应用于许多科学和工程领域。

粒子群优化算法呈现出一些其他进化类算法所不具有的优良特性，同时也存在许多不完善和未涉及的问题，如何利用有效的数学工具对算法的运行行为收敛性以及复杂性等问题进行分析是当前该领域的研究热点之一。

3 燃料―汽压系统分数阶模型辨识

3.1 主汽压影响因素分析

蒸汽压力的变化反映了输入和输出锅炉的能量平衡状况。蒸汽压力的调节是通过增减燃料量、风量等改变燃料燃烧率来维持汽压在一定范围内，以达到保持锅炉出力与汽机所需蒸汽量之间平衡的目标。在锅炉运行中，除了负荷变化调节外，煤质变化、送风量、给水温度、蒸汽流量等因素都会影响主汽压变化，因此需根据情况不断进行燃烧参数调整，以达到锅炉本身燃烧稳定、经济和低污染物排放的目的。引起主汽压力变化的扰动源主要分为两种：其一是，燃料量扰动，包括煤质变化和过量空气系数变化，称为内扰；其二是，负荷变化引起的扰动，即电网负荷变化时，引起汽机调门开度的变化导致蒸汽流量发生变化，进而引起主汽压力变化，称为外扰。

3.2 辨识数据的选取及处理

在对所关注对象的结构、特性有深刻的认识的基础上，选择用于系统辨识的数据。输入数据应有一定的起伏，信噪比尽量大，否则会扰噪声淹没，最好选取机组负荷小范围动态过程中的数据，使所有的数据都处于变化过程中。采样数据最好起始于某个稳定工况点，这样数据序列反映的是系统从某一稳态开始的动态过程，在辨识时易于确定采样数据的“零初始值”点。采样周期选的过小，会使相邻的数据非常接近，容易使优化算法出现“早熟”现象，收敛性变差；采样周期过大，会丢掉系统的一部分有用信息，使模型变得粗糙。一般采样周期的选择可根据经验公式的方法。

现场采集的数据中包含测量噪声和其他过程干扰，这些干扰对辨识不利，因此辨识前要对数据进行零初始值和剔除低频成分等预处理。采用数据滤波剔除数据中的“毛刺”。数据去噪后，还需进行零初始化处理。零初始化处理的意义是，当系统数据采集起始于系统运动的某个平衡态，这个平衡态就能当做已知的平衡态（即系统输入输出的“零点”），此时输入对输出产生的激励才有效。本章首先介绍了系统建模的基础知识，常用的建模方法有机理建模和测试法建模，分析了两种方法的优缺点。介绍了应用优化算法对被控系统进行辨识的详细过程，包括模型类选取和数据预处理等。基于超临界机组实际运行数据，针对一类全新的分数阶传递函数模型应用PSO算法进行燃料-汽压系统建模，适应度函数为分数阶模型输出与实际系统输出误差的平方和。采用的PSO算法同时对传递函数阶次和增益进行辨识，辨识结果表明，应用分数阶系统比整数阶系统能更精确的描述被控过程。

4 结束语

随着分数阶微积分理论研究不断取得突破，分数阶微积分控制理论研究开始成为控制领域中一个新的研究热点。基于分数阶微积分方程描述的实际系统或非线性系统物理意义更清晰，物理特性更精确。然而，由于分数阶控制理论尚处于理论研究阶段，分数阶参数整定方法主要还是采用整数阶PID控制器参数整定方法，分数阶控制器设计与实现方法比较复杂，对计算能力要求高，因此，分数阶控制器的理论和应用研究有待进一步深入和完善。

【参考文献】

第4篇：数学建模中的常用算法范文

关键词：数学建模；高职院校；数学教学改革；选择；教师个体；自主学习

数学建模（Mathematical Modeling）日益成为将数学作为工具应用于众多领域去解决实际问题的必然选择。近半个世纪以来，计算机科学、信息科学的迅速发展，使数学建模方法如虎添翼，更加显示其威力，并成为现代工程、现代经济管理设计的关键技术。我国自20世纪90年代以来，大学教育中数学建模已成为重要组成部分，几乎每年都举行全国性大学生数学建模竞赛。作为高等职业技术学院的数学教育，为了全面地提高人才培养质量，改变人才培养模式，培养能适应我国经济高速发展需要的高素质应用型、技能型人才，尤其通过近年来数学建模教学的实践，我们认为：数学建模作为重要内容加入高职院校的数学教学改革实际中去，是必要的，也是可行的。

一、什么是数学建模

1.数学模型

数学模型是由数字、字母及其他数学符号组成的，描述现实对象的数学属性、数量规律的公式、图形或算法。运用数学模型不仅可以定性地研究对象的性质，而且可以定量地研究其本质，数学模型使被研究的对象数量化、精确化、模式化。可以把它描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，作出假设，运用数学工具得到的一个数学结构。

数学模型是针对或参照某种事物系统的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象地概括、近似地表述的数学结构，它有广义和狭义两种解释。广义解释为：数学模型是从现实世界中抽象出来，对客观事物某种属性用数学语言描述的一个近似反映。因而现代各门科学都可看成一些数学模型的组合，或者具体数学模型的研究，显然也包括从现实原型抽象概括出来的一切数学概念、各种数学公式、方程式、定理、理论体系等。按广义解释观点，整个数学也可以说是专门研究数学模型的科学。狭义的解释为：数学模型是将具体问题的基本属性抽象出来，成为数学结构的一种近似反映，是反映特定的具体实体内的规律性数学结构。而事实上，数学模型在实际应用中是按这种狭义解释来理解的。

2.数学建模

在生活、生产、科研等现实问题中，把问题条件中的关系用数学形式构建出来，再运用数学知识、方法最终解决问题，称为数学模型构建。

例：怎样使饮料罐制造用材最省的问题。

首先，假设饮料罐为正圆柱体。

设：V――罐装饮料的体积

  r──半径

  h──圆柱高

  b──制罐铝材的厚度

  L ――制造中工艺上必须要求的折边长度

先不考虑L的因素，于是：V=πr2h

由于罐上底强度必须大一点，制造上厚度为其他部分厚度的3倍，因而罐用总面积：

A=3πr2b+πr2b+2πrhb=（4πr2+2πrh）b

V可以看成常数，解出h ：h= ―，代入A，

A（r）=A=2πb（2r2+―）。

这个A（r）的表达式就是一个数学模型。求A（r）的极小值的相应的自变量r，用微积分方法易得：

―=2πb（4r-―）=0，r=  。

将r代入h，化简得， h=4r。

即罐高h应为半径r的4倍。事实上，市场上的饮料罐，高h与半径r的比与上述计算几乎是一致的。

构建和求解A（r）这个例子的过程就是一个数学建模的过程，数学建模的过程可以用一个框图更清晰地说明：

3.建立数学模型的一般要求和步骤

（1）一般要求。①有足够的精度，要把本质的关系和规律反映出来；②简明、便于处理，减少求解困难；③要有充分的依据，按照科学规律建立公式、算法或图表；④尽量借鉴标准形式；⑤模型的系统要能操作和控制，便于检验、修改。

（2）一般步骤。建模是一种十分复杂的创造性劳动，不可能用条条框框来规定，具体问题应具体分析，灵活运用。现归纳如下：第一步，模型准备；第二步，模型假设；第三步，模型建立；第四步，模型求解；第五步，模型分析；第六步，模型检验。

二、对高等职业技术学院学生数学建模的可行性分析

对于高职生来说，怎样对他们进行数学建模的教学？怎样使他们将所学的有限知识应用于解决实际问题？笔者认为应首先对其具备的数学知识进行评估。目前，高职学生所学数学知识包括初等代数、解析几何、微积分、线性代数、概率统计、线性规划的初步知识，而在实际教学中教师引导学生应用这些知识建模是至关重要的。以下是几个引导实例（解法略）：

例1：前面所讲的饮料罐制造用材最省问题，此例所用的数学知识仅是如何建立函数和运用导数求函数极值的方法，高职学生一般都能接受。

例2：随着国家经济的发展，人们生活水平普遍提高，旅游业已进入寻常百姓家，某家庭计划外出旅游，现有两个旅行社供选择。甲旅行社规定：全家旅游，户主买全票一张，其余人可享受半价优待。乙旅行社规定：全家旅游，两人以上，每人按原价的三分之二优惠，报价与所提供服务完全一样，选择哪家旅行社实惠？

例3：湖南省长沙市某农场蔬菜一队和二队向市内居民供应蔬菜，一队每日蔬菜产量是 200公斤，二队日产量250公斤，向湘雅路、洪山庙、银盆岭三个农贸市场供应，根据周边地区的供菜情况，这三个市场每日向两个队的采购量为：湘雅路100公斤，洪山庙150公斤，银盆岭200公斤。一队到这三个市场的距离分别为9公里，7公里，10公里；二队到这三个市场的距离分别为8公里，6.5公里，8公里。市蔬菜批发中心为尽量减轻居民负担，使蔬菜成本最小，如何调配最合理？

以上三例都是高职学生能够理解，并且是他们可以用已经掌握的数学知识来解决的实际问题，通过教学实践说明对高职生进行数学建模的训练是完全可行的，并且还能大大提高他们对数学学习的兴趣，将过去的被动学习转化为主动学习，将“要我学”转化为“我要学”。

三、数学建模对教师的要求

目前，高职院校许多教师对数学建模还是感到陌生和不适应，因为数学应用和建模的能力是一项专门的能力。应用的意识、技巧、方法都需要有一个培养、锻炼、提高的过程，高职学院教师要不断地调整自己，笔者通过多年实践认为需要做到以下几点：

（1）教师始终保持强烈的求知欲，自己要有终身接受教育的思想，留心向各行各业的专家们学习，建立自己的知识储备库和咨询网。

（2）实践是最好的学习方法，教师要努力做一些应用的课题，参加专业的培训班、讨论班，可向本科大学数学建模教学成果借鉴，与本科大学教师共同探讨、研究建模的方法和教学的方法。

（3）努力学习和掌握计算机工具，掌握常用的语言及应用软件，以及求根、迭代、逼近、模拟等算法。

（4）收集数学建模的资料，《数学的实践与认识》《数学通报》《数理统计与管理》等杂志中有很多建模资料，另外尽量收集一些实际的例子。尤其重要的是，网络是最大的资料库，如“中国高校数学课程网”等。资料掌握得愈多，愈能开拓你的视野，甚至能增强你的信心，对教学愈有好处。

（5）教师应把学生当做数学建模活动中的主体，要发挥学生在实际建模过程中的主动性、创造性和协作精神，真正通过建模提高学生素质。

四、高职数学教学改革现状分析和数学建模教学实践中遇到的若干问题

1.现状分析

（1）教师教学任务重，工作强度高，教学改革往往只限于少数人的工作。在高职数学教学改革的实践中，我们认为：每一位高校教师都应该是积极参与者，是教学改革的主力军，是具体的直接参与者。在认识上，要改变过去那种把教学改革仅仅看成是少数专家和教学管理人员的工作的看法，提高每一位教师的教改意识。但是在现实中，高职学院教学任务重，教师应该怎样正确处理教学任务与教学改革之间的关系？近来，我们曾对湖南省五所高职作了一个初步调查，发现：从事“高等数学”课教学的教师，在一个学期中，人均周课时16节，甚至有一个学院，人均周课时达20节。这种高强度的教学工作量，使得教师疲于应付上课。一线教师的教学改革活动，往往只限于少数人的工作，不能形成改革的合力，而较难推动基层的教学改革。

（2）教师生活压力大，无更多的精力和时间进行教改研究。由于市场经济的作用，一些教师生活压力大，除在一所学院任课外，仍做一些兼职，无更多的精力和时间对教改进行研究。且当前部分教师，尤其是青年教师存在一种浮躁心理：教学中希望有成果，生活上希望能尽快得到改善，需要成家，需要房子，需要车子，他们确实在拼命地工作，但目前满足这些要求还是有很大困难的。怎样处理教学工作、教学改革、生活条件改善诸方面的关系是当前教师必然遇到的问题。笔者认为教育改革的专家们和教育主管部门也应给予高度关注。对教师自身来说需要选择，做出适合个体自己的选择，事实上，选择是改革中一个非常重要的步骤。

（3）高职学生数学成绩普遍偏低。近年来，学生高考入学率愈来愈高。如：2011年湖南省达80%以上，高职学生普遍数学成绩偏低，那么“高数”教材的编写要进一步适应学生，数学建模需编入数学教材中去，同时要保持高等数学中传统的、基础的、优秀的内容，这又是一个困难的选择。教学时数、教学内容，怎样适应学生？兼顾这三者，是每个数学教育工作者要考虑、要探索的，要想办法去完善它。

（4）部分高职学生没有认识到数学的作用及其重要地位。人才培养模式的转变和创新，要求学生健康学习，自主、自由地学习。那么教师如何引导成为一个重要的课题。在实际教学中，愈来愈突出教师个体在教学中发挥的作用。当前一部分高职学生并没有认识到数学的作用和它极其重要的地位。数学世界观的形成，对一个人的人生道路的改变显然是重要的。革命导师马克思就努力用抽象的数学理论开展对自然科学、哲学、经济学的理论研究，他曾阅读和收集了牛顿的《自然哲学的数学原理》等大量数学文献，写了三大本微积分笔记，对莱布尼兹、拉普拉斯的论著也写了许多札记。马克思取得的卓越成就，与他严谨地研究数学理论是分不开的。

实际上在我们教学中，数学中的辩证法，数学中的对立统一例子到处存在。如求反函数的导数中，原函数与反函数是对立的关系，然而它们之间又有一个导数的倒数的相等关系的式子。

要使学生明白，世界上的许多事物，都能在数学中找到它的对应。如果能够逐步培养学生用数学观点去解释世界上、社会中、生活中的事物和事物的发展、变化，那么学生就能对数学大大重视起来，这样学生的自主精神才能提高，有了自主精神，才可能有创新精神。

有人说：“网络是最好的大学。”但事实上这又是一个选择的问题，网络什么都有，在网络里你在干什么？你去学习什么？你在网络里研究什么？在网络中会选择才是关键。教会学生选择是教师的义务，也是责任。

2.遇到的问题

这些年来我们一直企图将数学建模放到高职教学实践中去，然而有以下问题需要解决：①高职教学中哪些数学建模的知识适应学生学习；②高职各类不同专业的数学建模的内容要怎样合理地分类；③教学方法的研究，数学建模的教学与传统的教学显然是有明显区别的；④数学建模的重要性需要全体数学教师的认同和接受；⑤数学教师对数学建模需要专家的指导和培训。

五、展望未来，数学建模是提高学生素质的需要，是社会发展的需要，也能更进一步推动数学教育教学改革

近年来，我国数学科高考把应用题作为重要内容之一，对于将直接走向工作岗位的高职生来说就更应尽快、更好地掌握数学的应用，提高数学的素养。随着社会的发展，竞争必然日益激烈，学以致用才是教育的最重要原则。素质教育的主要目的是全面提高学生综合素质。将数学建模这一重要的分析和解决问题的方法，融入教学改革中去，也是完全符合《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010―2020年）》指出的“创新人才培养模式。适应国家和社会发展需要。遵循教育规律和人才成长规律。深化教育教学改革，探索各种培养模式，形成各类人才辈出，拔尖创新人才不断涌现的局面”的。随着数学建模教学的进一步发展，高等职业院校数学教育教学改革一定能取得更大更好的成果。

参考文献：

第5篇：数学建模中的常用算法范文

关键词：汽轮机控制系统；建模方法；仿真技术

中国分类号：TP273

汽轮机控制系统从直接控制系统到间接调节系统，由模拟式电液控制系统发展到数字式电液控制系统，再到集散控制系统以及现场总线控制系统，技术发展越来越成熟的同时，控制系统也越来越受到人们的重视。仿真技术的飞速发展及计算机控制技术的广泛应用，极大地促进了汽轮机控制系统的仿真研究。本文将对汽轮机控制系统仿真的意义、发展历程、方法等方面进行探讨。

1 汽轮机控制系统仿真的意义

首先，可以确保研究人员和机组运行的安全。研究人员只有在仿真平台上对控制方案进行研究，才能避免危险性，同时也保证了设备的正常运行。其次，为研究更好的控制方案提供了平台。通过建立数学模型，对不同的控制算法的进行仿真研究，找出合适的算法和先进的控制策略，优化控制系统的设计，改善系统控制性能。最后，为控制参数的优化整定提供了条件。通过利用控制系统仿真参数的监测，寻找系统最优控制参数，提高系统的调节品质。

2 汽轮机控制系统仿真发展

汽轮机控制系统是汽轮机重要的组成部分。根据我国汽轮机控制系统的发展历程以及对其系统建模与仿真研究出现的先后，可以分为以下几个阶段：

（1）物理仿真，即采用物理模拟的方法模拟汽轮机发电机组和调节装置。但是采用物理仿真的方法来模拟中间再热汽轮机，模拟部件做得都非常繁复，对于模拟汽轮机发电机组并网运用以及改变参数都比较困难[1]。

（2）模拟计算机仿真。20世纪60年代，随着计算机的问世，利用电子模拟计算机来研究和解决汽轮机自动调节系统中存在的问题，成为一种趋势。文献[1]针对上海汽轮机厂生产的AK-25型汽轮机负荷扰动、哈尔滨汽轮机厂20万瓦汽轮机调节系统参数整定以及动态模拟试验等问题，采用电子模拟计算机基本解决了上述问题，并取得了良好的效果。

（3）数模混合仿真。在计算机技术水平还比较低下时，为了尽量缩短机组的启动调整时间，快速投入运行，世界各国汽轮机制造业都建立了试验基地，对汽轮机调节系统动态模拟试验进行研究。文献[2]概述了试验基地的主要内容，其中通过数模混合仿真计算求得调节系统的动态特性，虽不能完全反映调节系统的实际情况，但也有助于调节系统的现场调整。

（4）数字计算机仿真。20世纪80年代，随着计算机技术不断发展，汽轮机数字电液控制系统成为了电厂使用的主流，而仿真技术的发展也逐渐趋于成熟。我国第一台火电站全仿真机于1982年从美国引进。同年，我国自主研发的大型火电机组仿真系统也成功问世。文献[3]介绍了基于STAR-90仿真系统对300MW数字式电液调节进行仿真研究。结果表明利用STAR-90仿真建模技术，可以很方便地实现系统的建模、仿真、修改及调试工作。数字计算机仿真具有划时代的的意义，它使得汽轮机控制系统的研究呈现多元化、多样化。

3 汽轮机控制系统仿真方法

汽轮机控制系统仿真的基本任务是建立模型，编制仿真程序，进行模型的调试和控制参数的整定。汽轮机控制系统建模与仿真方法主要有：

3.1 机理分析法

汽轮机控制系统最常用的数学建模方法是机理分析方法。采用机理建模必须要对实际系统进行深入地分析，提取本质因素，忽略不确定影响因素，并在一定假设或简化条件下得出的，所以机理分析模型的精度不是很高。但是其定性结论却比较合理，对于太过复杂的系统采用机理建模就很难奏效。因此，机理分析方法应用于中小型的汽轮机控制系统的模型建立。

3.2 系统辨识法

系统辨识法常应用于大型复杂的汽轮机非线性控制系统，用来验证近似得到的控制系统数学模型的参数。机理分析法确定模型的结构形式，系统辨识法确定模型中的参数值，两者结合适用于机理明确而参数未知的系统。近年来，基于智能技术如遗传算法、神经网络等的建模仿真方法发展十分迅速，并在具有不确定性、非线性等特性的系统建模方面，得到了广泛应用。其中遗传算法常应用于汽轮机非线性调节系统参数辨识的研究或汽轮机PID调节器参数的优化整定。文献[4]介绍了遗传算法应用于参数辨识的基本思想，对汽轮机非线性调节系统的进行参数辨识。结果表明采用遗传算法可准确地辨识系统中死区、限幅等非线性发生部位和参数，辨识结果准确可靠。

3.3 图形化建模

对于控制系统仿真使用图形化建模，其实是提供一个自动建模平台。例如MATLAB、LabVIEW、BLINK等仿真支撑软件里都封装有很多的功能模块。在进行系统建模时，只要把封装的模块找出，采用模块搭接的方式实现系统建模，这样使建模人员集中精力于控制回路组态、控制参数优化、仿真系统调试等基本内容，而省去编程的烦恼[5]。文献[6-8]分别是基于MATLAB、LabVIEW、BLINK软件对汽轮机控制系统进行的建模仿真。仿真表明：仿真支撑软件对高效建立控制系统的仿真模型具有良好的效果。

4 展望

随着集散控制系统的普及，基于Web分布交互式仿真成为研究热点。分布交互仿真的分布性和交互性特点可使处在不同地理位置的各个部门利用网络连接起来，实现资源共享，达到节省人力、物力、财力的目的。同时，虚拟仿真技术将成为仿真技术发展的一个趋势。虚拟仿真技术是仿真技术与虚拟现实技术相结合的产物，是一种更高级的仿真技术。在测控领域中，采用先进高等控制策略在汽轮机控制系统中尝试，而这样的尝试在实际的汽轮机上是无法进行的，只有在汽轮机控制系统的虚拟现实仿真环境中进行反复试验，通过对不同控制算法的仿真与比较，选择最优控制，大大节约了时间和经费，避免了危险性。

5 结束语

随着我国电力工业的迅速发展和我国多年来从事的控制系统研究，汽轮机控制系统日益引起电厂的认识和重视。通过对汽轮机控制系统建模与仿真技术及应用情况的了解和认识，提出控制系统仿真技术的发展方向：基于Web分布交互式仿真成为当下的研究热点。在不久的将来，虚拟仿真技术将会成在汽轮机控制系统仿真中发挥重要的作用。

参考文献：

[1]上海汽轮机研究所.电子模拟计算机在汽轮机调节系统中的应用[J].电子技术应用，1976（03）：12-21.

[2]杨焕义.模拟技术在汽轮机控制中的应用[J].中国电机工程学报，1988（07）：14-15.

[3]段新会.3OOMW机组数字式电液调节（DEH）仿真系统的研究[D].华北电力学院，1995（06）：8-11.

[4]戴义平，刘炯，刘朝.基于遗传算法的汽轮机非线性调节系统的参数辨识研究[J].动力工程，2003（02）：2215-2218.

[5]吕崇德，任挺进，姜学智.大型火电机组系统仿真与建模[M].北京：清华大学出版社，2002.

[6]孙玉芬，王再英.汽轮机DEH系统建模及仿真研究[J].计算机仿真，2013（09）：126-127.

[7]王浩.基于LabVIEW的汽轮机仿真控制系统简介[J].南钢科技与管理，2008（04）：30-32.

[8]降爱琴，张学军，赫秀芳.基于BLINK的DEH控制系统仿真[J].微计算机应用，2007（06）：640-643.

作者简介：韩芹（1982-），女，湖南永州人，实验教师，助教，硕士，研究方向：计算机智能控制。

第6篇：数学建模中的常用算法范文

由清华大学吴文虎、王建德编著的《世界大学生程序设计竞赛(ACM/ICPC)高级教程 第一册 程序设计中常用的计算思维方式》(以下简称《计算思维方式》)就是针对世界大学生程序设计竞赛(ACM/ICPC)而编写的参考书,该书面向参加ACM/ICPC的高等院校学生,也可作为程序设计爱好者的参考用书。同时,也向讲授程序设计及相关课程的教师推荐此书,建议认真一读。

1ACM/ICPC

ACM/ICPC是高等院校计算机教育成果的直接体现,是大学生展示水平与才华的大舞台,也是IT企业与世界顶尖计算机人才对话的最佳机会。因而,ACM/ICPC吸引了越来越多的高校参赛,使得参赛队伍的水平上升很快,赛题的难度也在不断提高。

每年度的ACM/ICPC赛事从当年9月份开始,先进行各大洲各地区的预选赛,从上千所高校的几千支队伍中挑选出几十支优胜队伍。让这些百里挑一的队伍在下一年春天参加总决赛,争夺金银铜奖和世界冠军的奖杯。参赛选手由三人组成,一队共用一台计算机。这项赛事与中学生的信息学奥林匹克竞赛既有联系又有较大区别,被称为大学生的信息学奥林匹克。以2008～2009年度的ACM/ICPC为例,这是第33届赛事,有1838所大学的7109支队伍参加分区赛。经过第一阶段的预选赛,共有100支队伍取得决赛资格,于2009年4月18日―22日在瑞典斯德哥尔摩举行全球总决赛。

参加ACM/ICPC的选手需要具备很强的数学建模功底、广博的算法知识、超强的编程能力以及团队的合作与协同能力。ACM/ICPC的胜负规则是:答对题目数量多者占优;在两个队解题数量相同的情况下,总用时最少者占优,因此解题速度非常关键。如果比赛一开始就能迅速找出竞赛中相对简单的题目并尽快加以解决,队伍的成绩排名就会占有优势,心理上的压力也会小些。相反,一开始就没有选好题,或者所写的程序总有这样或那样的错误,要花很多时间去调试排错,就会浪费宝贵的时间,处于下风。

在这种你追我赶的激烈赛场上,比的是谁做得又快又好。竞赛过程中第一个重要的环节是看题、审题和选题。一开始就选对题,一下子就切入主题是十分重要的。有时第一个环节遇到陷阱,“马失前蹄”,就会导致一筹莫展而步步落后。能否在第一环节占上优势取决于实践能力和洞察力,而实践能力与洞察力的提升需要实战,需要经验,需要学懂计算思维方式和解题策略。

参加ACM/ICPC活动,在与编程高手过招的过程中,可以把知识运用的综合性、灵活性和探索性发挥到极致,体验和感受数学思维与算法艺术之美,提升科学思维能力。

2“观察―联想―变换”思维方式

计算机解题的核心是算法设计,而算法设计需要具备良好的数学素养。数学具有运用抽象思维去把握实际的能力,应用数学知识去解决实际问题时的建模过程是一个突出主要因素的科学抽象过程。进行抽象和形式化需要学习和掌握常用的计算思维方式。

科学思维能力的提高是成就事业最重要的因素之一,本书作者希望能在这方面对读者起到帮助作用。

编程解题的一般思维方法或过程,可以概述为“观察―联想―变换”,即通过对问题的观察,认识和理解该问题;然后通过联想,寻找该问题同已有知识和经验之间的联系;最后通过变换,把该问题转化为另一个或几个易于解决的新问题,最终达到解决原问题的目的。

“观察”是人类认识客观事物的基本途径,就编程解题而言,“观察”是“联想”和“变换”的基础。一般地说,通过观察应当明确:求解的对象是什么;是枚举方案还是回答哪个存在性问题;已知的条件(包括隐含条件) 是什么;能否用递推公式、递归公式、约束规则或状态转移方程把问题的条件、结论和求解途径表示出来;问题所涉及的这些计算式子各有什么特点等。

“联想”是由某种对象而引出其他相关对象的思维形式。就编程解题而言,“联想”的目的在于为“变换”提供可能的方向或线索。一般地说,在“观察”的基础上,通过联想应当明确:以前是否解过这类试题;是否解答过与其类似而又稍有不同的试题;是否解答过与其有关的问题;能否利用解答这些问题时所使用的解题方法或所得到的结果;能否回忆出某个可能用得上的定理、公式或解题思路;为了能利用它,是否应当改变条件或结论的表现形式等。

“变换”是编程解题的基本手段。在“观察”和“联想”的基础上,有目的地对问题实施“变换”,把原问题转化为另一个或几个易于解决的新问题,这是编程解题成功的关键。为此,变换时,应当遵循如下三条基本的思考原则:熟悉化原则、简单化原则以及和谐化原则。

3程序设计的常用思维方式

为了使读者对“观察―联想―变换”的思维方法和过程有一个比较全面深入的了解,本书归纳了大赛程序设计中六种常用的思维方式,主要包括正确认识和处理整体与部分的关系、构造性思维、目标转化的思想、分类与分治思想、逆向思维、猜想与试验六个章节,旨在引导参赛学生学习并掌握编程解题的一般思维方法和过程,提高解题能力。

在“观察”上,提出了整体与部分的思想,包括:

(1) 整体实现的关键是准确地应用必要条件。

(2) 整体思考的一个重要角度是“守恒”,即寻找变化中的不变量。

(3) 提高整体实现效率的途径是“充分利用有效信息”和“压缩冗余信息”。

(4) 改善整体的性能状态的基础是处理好细节问题。

在“联想”上,提出了逆向思维和猜想与试验,分析了“执果索因型”的逆向思维和“由反及正型”的逆向思维;探讨了四种联想方式:相似联想、归纳联想、从数与形的结合上联想和“回到起点”重新联想。指出猜想是在深入分析问题的基础上,不懈探索、反复修正的过程。

在“变换”上,提出了构造性思维、目标转化思想、分类与分治思想。构造性思维包括建立模型的机理分析法和统计分析法;建模过程注意应用序关系;选择模型时必须权衡四个因素:“时间复杂度、空间复杂度、编程复杂度和思维复杂度”。目标转化思想包括缩小目标的“降维”思想和放大目标的“升维”思想;分类与分治思想包括应用于一般有序序列的“二分查找”;应用于退化了的有序序列的“二分枚举”;应用于无序序列的“二分搜索”;应用于多维情况的“多重二分”。

在实际编程解题时,“观察”、“联想”、“变换”等思想活动总是互相联系、互相影响、互相交织地进行着,形成了一个有机的整体。本书列举的六种思维方式是互相渗透的,章节划分主要是依据各种思维方式的主要特征进行分类,同时也是为了叙述的方便。当然这六种思维方式并没有、也不可能穷尽编程解题过程中的所有思维活动,它只不过是列举了常用的一些思维方式,为“观察―联想―变换”的思维活动勾勒出一个基本轮廓,为读者留下学习、探索和再创造的空间。

4本书的体例结构

本书介绍的内容丰富而深入,所采用的叙述结构大致如下:

思维方法1 (1～6)

知识点1

经典例题1

思路点拨

解题思路分析

算法1

算法分析

程序实例

算法2

……

经典例题2

……

小结

知识点2

……

思维方法2

……

书中选择了大量的经典例题,这些题目对于丰富程序设计课程教师的教学案例也很有帮助。所选取案例大都具有一定的趣味性,有助于提高读者的阅读和实践练习的兴趣,提高实践效果。因此,可以说,虽然本书的编写主要针对ACM/ICPC,但对于高等院校程序设计教学水平的提高,促进程序设计教学质量和教学改革发展具有积极的意义。

本书各个知识点的“小结”内容是很值得推荐阅读的部分,作者以精准的语言扼要地概括了本部分的知识内容,仔细阅读和认真思考,将起到事半功倍的效果。

5图书相关信息

书名:《世界大学生程序设计竞赛(ACM/ICPC) 高级教程(第一册) 程序设计中常用的计算思维方式》

作者:吴文虎王建德编著

ISBN:978-7-113-10134-3/ TP3344

页数:278

定价:42.0元

出版社:中国铁道出版社(计算机图书批销部)

北京市宣武区右安门西街8号

邮编:100054

责编:秦绪好

装帧:精装

出版年:2009-7

6主要内容(目录)

第1章正确认识和处理整体与部分的关系

1.1整体实现的关键是准确地应用必要条件

1.1.1选择有助于简化问题、变难为易的必要条件

1.1.2合成必要条件,从整体结构上优化

1.1.3必要条件与原有模型比较,更新算法

1.2整体思考的一个重要角度是“守恒”

1.2.1从具体问题中抽象出守恒量

1.2.2根据问题的本质构造守恒量

1.2.3在交互问题中构造变化中的不变量

1.3提高整体实现效率的基本途径是“充分利用有效信息”和“压缩冗余信息”

1.3.1计算过程中充分利用有效信息

1.3.2通过“压缩法”消除冗余的图形和数据信息

1.4改善整体性能状态的基础是处理好细节问题

1.4.1必须解决导致错误结果的细节问题

1.4.2争取降低算法时间复杂度的阶

1.4.3注意降低算法时间复杂度的系数

第2章构造性思维

2.1模型的基本概念

2.1.1模型的一般特点与功能

2.1.2模型的一般分类

2.1.3模型与信息原型间的关系

2.2建模的一般方法

2.2.1建模的机理分析方法

2.2.2建模的统计分析法

2.3建模的一般思维方式

2.3.1直接构造法

2.3.2分类构造法

2.3.3归纳构造法

2.4在建模过程中注意应用序关系

2.4.1在交互式问题中应用序

2.4.2利用典型的“序”关系简化问题

2.4.3寻找蕴涵在题意中的序关系

2.5模型选择

第3章目标转化的思想

3.1“降维”――缩小目标

3.1.1引入“降维思想”

3.1.2高维降为低维

3.1.3一般降为特殊

3.1.4抽象降为具体

3.1.5整体降为局部

3.1.6简化数据关系

3.2“升维”――放大目标

3.2.1让步假设

3.2.2倍增思想

第4章分类与分治思想

4.1应用于一般有序序列的二分法

4.1.1在给定的序列中“二分查找”

4.1.2在交互式问题中应用“二分插入”

4.2应用于退化了的有序序列的“二分枚举”

4.2.1用二分枚举求可行方案

4.2.2用二分枚举求最优性问题

4.3应用于无序序列的“二分搜索”

4.3.1在“二分搜索”的基础上构造可行解

4.3.2在“二分搜索”的基础上构造最优解

4.4应用于多维情况的“多重二分”

第5章逆向思维

5.1执果索因型逆向思维

5.1.1设置结果参数,逆向搜索

5.1.2从目标状态出发逆向规划

5.2由反及正型逆向思维

5.2.1割补法

5.2.2在统计问题中应用补集转化

第6章猜想与试验

6.1相似联想

6.1.1与熟悉的问题类比

6.1.2与特殊的问题类比

6.2归纳联想

6.2.1归纳联想的理论基础

6.2.2归纳联想的实际应用

6.3从数与形的结合上联想

6.3.1在数值计算中联想“以形助数”

6.3.2在几何计算中联想“以数助形”

6.4 “回到起点”重新联想

7推荐指数

推荐同行阅读指数: (注:以为最高。)

这是ACM/ICPC高级教程的第一册,我们期待着后续教程的尽早面世。

8作者简介

吴文虎,1955-1961年分别就读于清华大学电机工程系及自动控制系。清华大学计算机系教授、博士生导师,原国际信息学奥林匹克中国队总教练。主要研究方向包括语音识别及语言理解、语音合成、语音信号数字处理等。

吴教授学术水平精湛、教学水平高超、教学经验丰富。从1989年至今,吴教授作为总教练和领队,曾15次带领中国队参加国际信息学奥林匹克竞赛,中国队累计获金牌51块,届届名列前茅,2002年获信息学奥林匹克国际委员会颁发的“特别贡献奖”。1997年～2008年,吴教授连续13年指导清华大学的学生进入ACM世界大学生程序设计大赛总决赛,多次获金、银牌,并于2009年被大赛组委会授予“杰出教练奖”。

第7篇：数学建模中的常用算法范文

【关键词】三维模型；数字水印；版权保护

数字水印技术为我们提供了一种对3D模型和其他CAD产品进行保护的有效途径，使得可以在3D多边形网格数据中嵌入数字水印，对3D模型和其他CAD产品进行有效的保护。三维模型数字水印技术是数字水印技术的一个分支，其原理是在三维模型中嵌入不可见的水印来保护模型的所有权，或用于检验模型的真实性，或嵌入可见信息来申明模型所有权。

一、三维物体的建模与数据表示方法

三维建模就是利用三维数据将现实中的三维物体进行重建，最终实现在计算机上模拟出真实的三维物体。而三维数据就是指用各种三维数据采集设备获得的数据，它包括几何坐标、颜色、纹理、材质、光源等基本信息。三维建模的应用十分广泛，它在建筑、可视化系统、三维游戏、虚拟现实等领域都有重要作用。要建立三维模型，首先要获取三维数据。通常采集三维数据的方法大致有：直接测量、雷达和激光测高仪方法、接触式机械测量、体数据恢复、域扫描等等。三维建模的关键问题是使用三维数据进行绘制，使其在视觉上具有真实感；并且要较好地组织数据格式，减少存储空间并且是硬件易于实现。人们常用的几种建模方法为：多边形建模，NURBs建模与细分曲面技术。

二、三维几何模型水印系统及特性要求

三维模型水印算法和图像水印算法相比，既有相似点，也有不同之处。由于三维模型数据很不规则，在嵌入水印的过程中缺乏进行频域分解的某种自然的参数化方法。三维模型中的点、线、面、等几何信息和顶点法向量、纹理坐标、颜色属性等外观属性的排列具有不同的方式，没有固定的排列标准。三维几何模型的这些特点都使得传统的图像水印算法不能简单地照搬在三维儿何模型的研究中。另外，图像嵌入水印可以看作在强背景（原始图像）下叠加一个弱信号（水印）。只要叠加信号的幅度不超过HVS的门限，人类就无法感觉到信号的存在。此模型对于三维水印也同样适用，但对三维数据，没有图像中那样成熟的HVS模型。在水印的检测过程中，嵌入水印信息的三维模型可能经过了简单的几何操作或者经受了其他的水印攻击，这样可能带来了三维网格的拓扑关系变化，为此在提取水印信息之前我们必须对嵌入水印模型进行变换，以便能够正确的提取出水印信息。然而，不论是变换不变量还是几何校准，同步问题都使三维水印系统更加复杂。

此外，容量、鲁棒性和计算复杂度都是在三维水印算法设计中要特别考虑的问题。

三、三维模型水印算法的特点和难点

与图像水印算法相比，三维模型的研究目前还有限，由于三维模型数据自身的特点，使得传统的图像水印算法不能简单照般地应用于三维几何模型，具体说来三维模型水印存在以下一些难点。

1.三维网格模型具有不规则性和无序性。由于三维几何模型数据具有不规则性，所以在水印嵌入过程中，缺乏进行频率分解的某种自然的参数化方法，需要寻找适当的能够反映三维模型数据特征的参数用于各种变换域水印算法。

2.三维网格模型的攻击处理操作种类繁多、千差万别。对模型操作的工具很多，用户很容易就可以对模型进行几何或拓扑操作。模型的变换操作会对模型上点的坐标进行修改，为正确提取水印信息，我们需要将变换后的模型恢复到原始模型所在的坐标系中，称之为网格对齐。一旦模型经历了如网格简化等改变模型拓扑信息的操作的话，我们在提取水印前，还需要对待检测的模型按照原始模型进行重新采样的工作，该步骤称之为网格重采样。网格对齐和网格重采样是三维网格数字水印的难点所在。

3.有更加丰富的攻击手段。和图像水印相比，三维模型受到的攻击要比对图像的攻击方法复杂的多。

4.表示方法不唯一。三维网格模型在多种格式间进行转换时，信息损失较大，这进一步增加了三维模型数字水印的困难。另外，与图像相比，三维模型的数据没有固定数值范围。对于图像，R、G、B分量的数字通常取[0，255]，而对三维模型，则没有这样的一个范围，因此在嵌入水印时强度系数的选择、阂值的确定更加困难。

5.没有明确的采样率的概念。三维表面模型中的数据，不具有像图像、音频、视频那样的方便的数学工具（如余弦变换、Fourier变换、小波变换等）可以使用。

所以在设计三维几何模型的数字水印算法时要考虑这个三维几何模型本身的特点、可能受到的攻击以及如何减少这些攻击对水印信息的影响等多方面的因素。

三维模型水印作为水印领域的一个新兴的研究方向，国内外学者围绕着3D模型数字水印对其做了许多探索性研究，他们的工作为从事CAD开发和研究的学者提供了许多新思路，开拓了新的研究领域，但分析表明还有许多未完成的工作，还存在一些问题。

一是目前提出的三维网格模型数字水印的嵌入算法，大部分存在着计算量大，嵌入与提取速度慢等缺点。同时，算法很少借鉴已有的音频、图像水印的研究思路和方法，尤其是变换域内的方法。

二是虽然非盲水印算法几近成熟，但是它们在当今的网络安全性条件下己经没有太大意义。而盲水印嵌入算法还很不成熟，由于3D网格的特殊性，盲水印嵌入算法很难做到对于所有攻击均具有高鲁棒性，因此离实际应用还要有很长的路要走。

三是随着3D网格压缩技术的不断发展，越来越多的3D网格以压缩的形式存储和传输。传统的空域与频域水印算法虽然对于压缩攻击具有一定的鲁棒性，但仍不能避免造成水印信息的损失。因此压缩域水印嵌入算法十分重要，然而它的发展还有待研究。

参考文献：

[1]Wat，A 《3D Computer Graphies》，2009年第3版。

[2]黄继武 谭铁牛 《图像隐形水印综述》 《自动化学报》2010年第26期。

[3]史烈 叶绿 黄向军等 《一种鲁棒的三维运动盲水印检测算法》 《浙江大学学报（工学版）》2011年第39期。

第8篇：数学建模中的常用算法范文

关键词 数学建模课程教学 数模竞赛 创新能力培养 改革举措 

中图分类号：G642 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.05.015 

Exploration and Practice of Mathematical Modeling Activities 

in the Innovation Educational Background 

WANG Wenfa[1]， WU Zhongyuan[2]， XU Chun[1] 

（[1] College of Mathematics and Computer Science， Yan'an University， Yan'an， Shaanxi 716000; 

[2] Office of Academic Affairs， Yan'an University， Yan'an， Shaanxi 716000） 

Abstract Under the innovative education based on university personnel training requirements and problems of traditional mathematics education， the importance of mathematical modeling of students' innovative ability to Yan'an University， for example， according to "sub-level， sub-module" model of teaching and organization contest guidance， teaching and assessment in accordance with academic competitions， math majors and computer majors， two contests with a thesis project and Daiso， boutique website and digital-analog Association and second class "four convergence" approach to student innovation and innovative ability， and made remarkable achievements in personnel training， curriculum development， team building， professional building. 

Key words mathematical modeling teaching; mathematical modeling contest; innovative ability training; reform measures 

高等学校的大学生是国家科技发展的主力军，大学生的创新能力决定着国家未来的科技创新能力。数学建模课程教学与竞赛的广泛开展对高等学校大学生的创新能力培养具有十分重要的作用。如何在数学建模课程教学与实践中，既能增强大学生的数学应用意识，又能提高大学生运用数学知识和计算机技术分析和解决问题的能力，从而达到提高大学生综合素质和创新能力的目的，这个问题是近年来众多高校关注的问题。延安大学作为一所地方高校，在近几年数学建模课程教学与实践过程中，进行了一系列卓有成效的探索和改革，学生的创新意识和创新能力得到大幅度提升。 

1 更新教育理念，充分认识数学建模对学生综合素质和创新能力培养的重要性 

数学作为一门基础学科，它涉及的领域相当广泛，如经济、计算机及软件、管理、国防等，虽然数学在高校教育教学中的地位不断提高，人们对其认识也不断加深。但是，人们对数学类课程、数学学科在创新型人才培养中的重要性仍认识不够深入，在教学内容、教学方法、教学手段、评价措施等诸多方面，仍然沿用传统数学类课程的教学模式和思维方式，导致高校人才培养与创新教育背景下的人才培养需求完全脱节。正如著名的数学家王梓坤院士所说“今天的数学科学兼有科学和技术两种品质，数学科学是授人以能力的技术。”面向21世纪，高等教育在高度信息化的时代培养具有创新能力的高科技技术人才，数学作为一门技术，现已成为一门普遍实施的技术，也是未来高素质人才必须具备的一门技术。因此，在数学建模课程教学与实践过程中，必须转变传统数学类课程的教育教学理念，不能将其简单地当作工具和方法，而要将其当作是一门技术，而且是一门普遍适用的高新技术，在保证打牢基础的同时，力求培养学生的应用意识与应用能力、创新意识与创新能力，真正实现培养高素质创新人才的目的。 

2 数学建模课程教学的改革与实践 

2.1 分层次、分模块实施数学建模课程教学和竞赛指导 

一是在数学建模专业课、专业选修课、公共选修课教学中按照知识点及教师研究方向，将课程内容分为两个层次九个模块。第一层次包括数学软件、初等模型、优化模型、数学规划模型、微分方程模型等五个模块;第二层次包括离散模型、概率模型、统计回归模型、数值计算与算法设计等四个模块。第一层次针对公共选修课教学，第一层次+第二层次针对专业课和专业选修课教学。具体措施是：由数学建模课程教学团队集体制定课程教学大纲和实施计划，每位教师按照课程教学大纲和实施计划主讲自己所从事的方向模块，在保证课程教学内容完整性和系统性的同时，根据学生知识层次，充分发挥每位教师专业优势，有效地提升了课程教学质量;二是在大学数学课程教学中，按知识点将数学建模思想融入其中，在激发学生学习数学兴趣的同时，强化学生的数学应用能力培养;三是在校内数学建模竞赛中，按照“建模知识+专题讲座+模拟+竞赛”的模式组织校内建模竞赛，主要以数学建模的基本思路、基本方法、基本技能为内容，使学生对数学建模有更加深入的感知和认识，在激发学生学习数学兴趣和积极性的同时，培养学生的科研意识和创新意识;四是在全国数学建模竞赛中，按照“集训+软件应用+旧题新做+模拟选拔+强化训练”的模式组织全国建模竞赛，主要以培养学生的洞察力、联想力、创新能力、团队协作精神和吃苦精神为内容，使学生的创新意识、团队协作精神得到良好培养。　2.2 建立数学建模精品课程网站，为数学建模爱好者搭建学习交流平台 

网站将数学建模课程教学与数模竞赛有机地融合，为学生全方位了解、学习和掌握数学建模的相关知识、相关技能开辟第二条通道。网站包括：课程介绍【课程描述、教学内容、教学大纲、建设规划】、教学团队【整体情况、课程负责人、主讲教师】、教学资源【教学安排、多媒体课件、授课录像、电子教案、课程作业、课程习题、模拟试卷、参考资源】、实验教学【实验任务、实验大纲、实验指导、课程设计、实验作品、实验报告】、教学研究【教学方法、教学改革、教学课题、教学论文、学生评教】、教学成果【教学成果奖、获教学奖项、人才培养成果、教材建设】、在线学习【在线交流、在线自测】、成绩考核【平时成绩、作业成绩、实验成绩】、下载专区【教学软件、常用工具】、数模协会【协会简介、协会章程、通知公告、新闻动态、竞赛获奖、优秀论文、往届赛题、模拟赛题、校内竞赛、新手入门】等，这些内容几乎囊括了数学建模教育教学活动的所有内容，学生可以通过网络资料学习就可以全面了解数学建模的相关知识与技能。 

2.3 专业相互融合，取长补短，充分发挥学生各自专业优势 

数学与计算机科学学院现有数学与应用数学、信息与计算科学、计算机科学与技术、软件工程四个专业，其中两个为数学类专业、两个为计算机类专业。在课程教学中针对两专业的长处和不足，按照专业结队子、学生结队子的模式组织教学和小组讨论，强化计算机类专业学生的数学应用能力培养，强化数学类专业学生的计算机软件应用能力培养;在竞赛组队中，每队均配备至少1名计算机类专业学生和1名数学类专业学生。充分发挥各自的优势，取长补短，使学生的综合能力得到提升。 

2.4 延伸数学建模竞赛效能，不断提高学生的创新能力 

每年全国大学生数学建模竞赛和校内数学建模竞赛试题都是从实际生活中提取出的实际问题。因此，指导教师在指导学生毕业论文（设计）和大学生创新训练项目时，从往届赛题或模拟试题中选择一些题目，将其进行适当的延伸作为学生毕业论文（设计）和大学生创新训练项目选题。通过这一方式，进一步培养学生的创新思维和创新意识，为学生今后从事科学研究奠定了坚实的基础。 

3 数学建模课程教学改革取得的成效 

3.1 我校全国大学生数学建模竞赛成绩居全省同类院校前列 

我校参加全国大学生数学建模竞赛共获得国家一等奖4项、国家二等奖6项、陕西省一等奖33项、二等奖71项，4次被评为优秀组织奖，1名指导教师获陕西省数学建模竞赛陕西赛区优秀指导教师，600多名学生参与大创项目，公开发表科研论文30余篇，学生的就业率和就业质量得到明显提高。该赛事因此也成为了延安大学学科竞赛品牌和亮点。 

3.2 我校数学建模教育获得多项教学成果奖、质量工程项目及教改项目 

教学成果奖：“理工类大学生数学素质与创新能力培养的研究与实践”荣获2009年陕西省教学成果二等奖;“地方性院校开展数学建模教学的实践与探索” 荣获2003年延安大学教学成果一等奖;“计算机专业高素质应用型人才培养模式的改革与实践” 荣获2012年延安大学教学成果一等奖;“厚基础、重实践、强化工程素质和创新的人才培养模式的研究与实践”荣获2011年延安大学教学成果二等奖;“数学建模课程改革及数学建模竞赛的研究与实践”荣获2007年延安大学教学成果二等奖。 

质量工程项目：“数学与应用数学专业”为2010年省级特色专业;“数学建模教学团队”为2011年省级教学团队;“数学建模精品课程”为2012年校级精品课程;2014年“数学建模”课程获批为省级精品资源共享课程;2014年“数学与应用数学”专业获批为省级专业综合试点项目。 

教改项目：“大学生数学应用能力创新能力培养的改革与实践”为2009年省级重点教改项目;“地方高校青年教师教学能力提升途径的研究与实践”为2013年省级重点;“青年教师教学能力提升的研究与实践”为2011年校级重点;“计算机相关专业校企合作人才培养模式改革的研究与实践”为2013年校级重点。 

3.3 依托数学建模教育平台，推动指导教师教学科研能力和综合素质提升 

数学建模教育不仅提高了学生的创新能力，同时也为指导教师的教学、科研及综合素质的提升起到了推动作用。数学建模课程是一门面向全校理、工、经、管、教各学科专业大学生开设的理论与实践相结合的基础课程，主要以学生的洞察能力、创新能力、数学语言翻译能力、抽象能力、文字表达能力、综合分析能力、思辨能力、使用当代科技最新成果的能力、计算机编程能力、数学软件应用能力、团队协作精神和组织协调能力等综合素质培养为目标，以数学建模课程教学、数学建模竞赛、第二课堂、毕业论文（设计）、大学生创新训练项目等为手段，通过“分层次、分模块、四融合”的教学模式的有效实施，在提高我校学生解决在理、工、经、管、教等学科专业领域遇到的数学建模问题的能力的同时，为我校高素质、应用型人才培养做出贡献。 

基金项目：2013 “地方高校青年教师教学能力提升途径的研究与实践”（项目编号：13BZ37）;2014年陕西本科高等学校“精品资源共享课程建设”项目“数学建模”课程建设阶段性成果 

参考文献 

第9篇：数学建模中的常用算法范文

【关键词】审题；建模；求解；验证；回答

1.审题：即在读题的过程中，教师引导学生提炼出已知、未知，并尽可能寻找出已知与未知的内在关系，将题目给定的信息经过分析、综合后，让学生尝试自己复述，学生在不经意中能把现实问题“数学化”.我们知道大多数职高学生理解能力、运算能力、思维能力等方面问题参差不齐，缺乏学习主动性和科学的学习方法，不善于发现问题，概括、转化、分析、归纳等能力比较欠缺.学生对数学学习存在一定的畏惧心理，尤其对应用题.针对这种情况，在教学中必须要求每一名学生都树立起学习的信心，提高心理承受能力，保持冷静，认真对待，不能随意放弃，每次测试都尽可能地考查一道与复习内容紧密相关的应用题，以便帮助学生消除心理障碍.通过“审题”可以大致地知道用哪些已学过的数学知识解决问题，解题有了一个比较明确的方向，这一过程也是培养学生“数学”地思考问题的最关键环节，也是数学生活化的直接体现.2010年11月我有幸参加了宁波市教研室组织的职高青年教师数学问题解决与例题讲解比赛，比赛的第二轮就是例题讲解.这例题是：我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平.为了加强公民的节水意识，某城市制定了每户每月用水收费（含用水水费和污水处理费）标准：

① 试写出每户每月用水量x（ m）与应交水费y（元）之间的函数解析式；

② 如果一个用户一个月用了20 m3水，则应交水费为多少？

对于这例题我首先让学生读懂应交水费与水量的关系，关键是让学生知道水的价格是以用水量的不同而不同.加强学生了学生的节水意识，使学生感到数学的实用性.

2.建模：将已“数学化”了的实际问题，通过教师启发诱导，使学生运用已学过的数学知识，将文字叙述的现实问题转化成用数学符号表示的式子，同时必须要求学生联系实际，确定变量的取值范围，为后面的回答问题奠定基础，这一过程称为“建模”.审题是为了理解题意，建模就是将文字语言、符号语言、图表语言转化成数学语言.一道题目可能有较多的建模思路，应让学生选择自己最熟悉或运算过程少、技巧性不太强的数学模型来解答题目，一般来说，可采用下列策略帮助学生建立数学模型：（1）双向推理列式，利用已知条件顺向推理，运用所求结果进行逆向搜索；（2）借助常用模型直接列式，平均增长率的问题可建立指、对数或方程模型，行程、工程、浓度问题可以建立方程（组）或不等式模型，拱桥、炮弹发射、卫星制造问题可建立二次模型，测量问题可建立解三角形模型，计数问题可建立排列组合模型，机会大小问题可建立概率模型，优化问题可建立线性规划模型……水费这例题可以得到函数的表达式如下图：

这个就是水费水量的函数关系.

3.求解：求解就是对已经“模型化”了的纯数学问题得到结果的过程，也就是纯数学问题“结果化”的过程.这一过程学生较为熟悉，但重要的是要提高学生运用运算技巧和应数学思想方法的能力，培养学生顽强的求知精神.在平时的教学过程中，教师应努力让学生做到以下几点：

（1）思想上重视计算.许多学生只注重列式不注重运算，对复杂的算式缺乏信心，对简单的算式粗心马虎.原因在于思想不重视，平时没有养成良好的运算习惯.为此，我平时要加强这方面的教育，让学生知道运算失误所造成的对学习成绩的消极影响.

（2）算法要精心研究.运算过程中使用的概念、公式和法则要准确无误，这是保证运算准确的基本条件.因此，平时的作业、练习、测验等都必须要求学生认真检查、总结、订正，提高运算的正确率.另外还需要学生运算要熟练且合乎算理，运算过程中的每一步都要有理有据，或根据概念，或根据公式，或根据法则，要养成思维严谨的好习惯.如上述水费问题2：就要求学生理解分段函数的实在意义，要求学生理解当水量在某一个范围值时，应该使用哪一个表达式，如问题2：一个用户一个月用了20 m3水，则应交水费为多少？那就可以利用分段函数求解，当x=20时，Y=1.6×10+2.8（20-10）=44（元）.

4.验证：纯数学下的结果并不一定符合客观现实，如现实中往往要取整、取最值等等，这是纯数学与应用数学最不一致的地方，也是数学“生活化”的直接体现.如在首项为-16，公差为12的等差数列{an}中，当n是多少时，前n项和sn最少？最小值是多少？根据等差数列的通项公式，我们可以算出当n≤6812时，前n项和最小，但这不符合实际，因为项数不可能是小数，所以答案应该是当n=5时，前5项和最小，最小为-160.

5.回答：高中数学应用题一般不同于小学的应用题有明确的最后一个问句，因而高中数学应用题的回答要学生根据题意用简练、明确的语言概括出来，给出一个清楚的结论.如关于上述水费的问题2就可以这样回答：当用水量是20 m3，其应交的水费是44元.

要切实让学生掌握如何解决应用题，我想要做好以下几点：1.排除学生解应用问题的心理障碍.2.做好知识归纳与拓展.3.加强阅读理解能力和分析建模能力的培养.4.加强解应用题方向和目标意识的培养.要真正培养学生的创新和应用能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学，我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主活动，自觉的在学习过程中构建数学建模意识，只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步，也只有这样才能真正提高学生的创新能力和应用能力，使学生真正学到有用的数学.我们相信，在开展“目标教学”的同时，大力渗透“建模教学”必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路，也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台.

【参考文献】