数学建模路径规划精选(九篇)

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第1篇：数学建模路径规划范文

关键词:精确建模;斜齿轮;参数化;扫掠

引言

齿轮传动是机械传动中应用最广泛的一种传动方式,由于渐开线的特点,渐开线齿轮又是齿轮传动最常用的齿轮类型。近年来随着CAD/CAE/CAM/CAPP技术的迅速发展,为了便于利用计算机仿真软件对齿轮传动进行运动、振动噪音、轮齿修型等分析,齿轮的精确参数化建模已经成为一个必要过程,而齿轮的建模精度又对计算结果起到决定性的作用。渐开线直齿圆柱齿轮由于螺旋角为零,因此精确建模已经没有问题,而渐开线斜齿轮由于齿面为空间渐开线螺旋面,且其端面齿形与法面齿形不同,三维精确参数化建模过程比较困难。在目前所能查找的论文中提出了很多斜齿轮精确参数化建模的方法,但仔细研究发现里面所提到的很多方法根本就无法实现斜齿轮的精确参数化建模,为此先从理论上对斜齿轮参数化精确建模进行讨论。

一、参数化建模中齿数与模型分析

在斜齿轮的精确建模中有一部分文献没有考虑到齿数对建模的影响[1][3][4][5][6][7][8]。没有考虑齿根圆与基圆之间的大小关系,根据斜齿轮的齿根圆与基圆公式有:

df=d-2・mn(h*an+c*n)(1)

db=d・cosat(2)

df=db=d-2・mn(h*an+c*n)-d・cosat(3)

由公式(3)可以得到

=z・--2.5(4)

如果斜齿轮的齿根圆 与基圆 相等,则公式(4)右边等于零。

z・--2.5(5)

对应标准齿轮有an=200,这样斜齿轮的齿根圆与基圆之间的大小关系就是螺旋角β、齿数z和法面模数mn的函数。当齿根圆与基圆相等时,那么斜齿轮的齿数z与斜齿轮的螺旋角β就成一函数关系,在此把这个函数关系用z=f(β)来表示,这说明斜齿轮的齿根圆与基圆相等的分界线是变化的,而不是恒定的。

齿轮精确建模时,当齿根圆小于基圆的时候,齿根圆与基圆之间是没有渐开线的,这部分曲线是刀具的齿顶加工出来的过渡曲线;当齿根圆大于基圆时,齿廓曲线全部为渐开线。所以斜齿轮精确建模一定要分这两种情况来讨论,为了方便在此用表格来给出两者的数据关系。

二、螺旋角与斜齿轮模型的关系分析

现有很多论文中斜齿轮的精确参数化建模都是先利用渐开线表达式生成渐开线一条齿廓曲线,把这个端面曲线沿螺旋线进行沿引导线“扫掠”或“曲面已扫掠”命令来生成一个斜齿轮的轮齿,然后利用环形阵列生成斜齿轮的精确模型[1][2][3][4][5][6][7][8]。

(一)螺旋角的关系推导

斜齿轮的螺旋角是指分度圆上螺旋线的切线与轴线之间所夹的角度。由下推出[10]:

tanβ=(6)

L-螺旋线的导程;

π・d-斜齿轮分度圆上的直径;

可以看出螺旋角是齿轮分度圆的一个函数,在同一齿轮中,任意圆周di上的螺旋角为:

tanβi=(7)

通过公式(7)可以看出,在不同的圆周上螺旋角是不同的。

(二)沿引导线扫掠策略

扫掠体的数学模型是,先进行路径规划,即将扫掠路径进行离散,求解出t时刻通过扫掠路径曲线上节点si的坐标,然后确定在每个节点上的投影面(法平面)方程,然后将物体向投影面(法平面)投影,当时间间隔足够小时,在满足一定的精度情况下,把时刻t和t+t时刻之间生成的扫掠体看成是由这些投影曲线组成的面域绕转动极轴转动生成的实体。

为了简化求解过程, 扫掠路径通常写成式的参数形式:

那么要想对一个物体进行扫掠必须给出扫掠路径和扫掠物体,在斜齿轮精确建模中,扫掠路径是空间螺旋线,扫掠物体为渐开线的齿廓,这样扫掠出来的齿形随可以参数化,但在齿形上的每一点的法线都为扫掠路径的切矢量,如果在创建时,给定的扫掠路径是分度圆上的螺旋线(在软件中这个命令是单参数的),则得到的轮齿是任意一点的螺旋角都等于分度圆上的螺旋角,通过公式(7)可以看出这是不正确的。三维模型图参考图1.4。

(三)沿多条引导线已扫掠策略

一条螺旋线不可能得到正确的轮齿,如果采用多条螺旋线做扫掠路径只能使用软件中的“曲面已扫掠”命令来实现,当扫掠路径比较多的时候可以得到比较精确的轮齿模型,但这个命令是不支持参数化的,也得不到参数化模型。

下面用一个实例进行验证:

图四是将端面的一个齿廓面沿引导线扫掠生成的轮齿形状,此螺旋角为β=200,可以看出轮齿的形状发生了严重的扭曲,且随着螺旋角的度数增大,扭曲现象就越明显。

图五是将端面的一个齿廓面利用曲面里面的已扫掠生成的轮齿形状,可以看出当使用一条螺旋线的时候,轮齿发生了扭曲,不可能产生精确地轮齿。当增多引导引导线串时,扭曲程度降低,另外通过图三与图二的对比可以看出两个操作都产生了扭曲,但扭曲程度是不一样的。

通过上述论证,要想得到参数化的精确模型,必须使用扫掠命令来实现,可以对此命令进行二次开发,给定分度圆上的螺旋角,然后设定渐开线上上段的个点螺旋角的值是线性递增的,下半段式线性递减的,使递增和递减的值分别等于齿顶圆上螺旋角和齿根圆上的螺旋角,这样既可以参数化又可得到精确的模型

三、阵列操作与参数化分析

在很多文献中当单个齿生成后通过阵列的方法来生成整个斜齿轮模型,通常在软件中有两种生成方法:第一种是特征操作下的阵列(引用下的环形阵列)第二中方法是变换下的环形阵列,这两种方法本质上是不同的,引用下的环形阵列是不能参数化的,而特征操作下的环形阵列是可以参数化的。

所以要想进行参数化设计必须采用特征操作下的沿引导线扫掠来生成轮齿,然后再进行特征操作下的环形阵列来得到参数化模型。

四、结束语

本文主要对已有的斜齿轮精确参数化建模的方法进行分析,推导出其不能得到精确参数化模型的理论原因,为以后斜齿轮的精确建模提供理论上的参考依据。精确模型一定是理论上推导证明出来的精确,还要注意当通过计算机算法去实现出来后一定存在误差的,那么必须对误差进行分析,确定误差的范围是不是在后续分析的允许范围内。

参考文献:

[1]白剑锋等.UG在渐开线斜齿轮参数化设计中的应用[J].机械设计与制造,2006,(70).

[2]邵家云,任丰兰.UG中渐开线斜齿轮的全参数化精确建模[J].农机使用与维修,2009,(1).

[3]赵向前,徐洪涛.基于UG4.0的斜齿圆柱齿轮的三维精确参数化建模[J].金属加工,2008,(2).

[4]鲁春艳.基于UG的齿轮齿条式转向器的虚拟设计与分析[J].苏州市职业大学学报,2009,(3).

[5]徐雪松,毕凤荣.基于UG的渐开线斜齿轮参数化建模研究[J].机械设计与制造,2003,(12).

[6]孙江宏,姚文席,吴平良.基于UG的斜齿轮三维参数化设计方法-扫描成型法[J].2003,(2).

[7]徐江敏,孟慧亮,苏石川.渐开线斜齿轮的参数化设计与应用[J].计算机应用技术,2008,(11).

[8]沈军,文军.斜齿圆柱齿轮三维参数化建模运动仿真及其在机床设计中的应用[J].组合机床与自动化加工技术,2004,(11).

第2篇：数学建模路径规划范文

关键词：车辆路径问题；遗传算法；ExtendSim；仿真；优化

中图分类号：U116.2 文献标识码：A

Abstract： This article has introduced the classical vehicle routing problem（VRP）in the field of logistics and the algorithm which can solve the problem firstly， then discusses that how to apply genetic algorithm to solving VRP， and describes how ExtendSim simulation software construct a model and make a optimize for an certain VRP in detail， with this method， finally concludes the optimal solution， and proves that the simulation optimization method is an effective way to solve the VRP.

Key words： vehicle routing problem； genetic algorithm； ExtendSim； simulation； optimization

我国国家标准《物流术语》（GB/T 18354-2006）中，给物流下的定义是：“物流是指物品从供应地向接收地的实物流动过程。根据实际需要，将运输、存储、装卸、搬运、包装、流通加工、配送、信息管理等基本功能实施有机结合。”物流有多方面的功能，而运输和储存保管则是其主要功能。在整个物流活动过程中，运输是其中各项子活动的核心活动，它是第三利润源的主要的源泉[1]。

日本在20世纪70年代就对物流有深刻的认识了，日本早稻田大学的西泽修教授在其著作中把物流称作不为人知的利润源泉，他认为，物流能为企业创造价值，是企业的利润源泉。石油危机后这一观点得到证实，物流也因而在企业管理中得到更加重视。目前我国生产型企业的物流成本占到总成本的20%～30%，而发达国家的则为10%左右[2]。因此，为了降低企业经营成本，获得更多的利润，必须尽量降低物流成本的比重，这对于国民经济的更好发展具有十分重要的作用。

在商品经济社会中，人们的生活质量与商品消费息息相关，而商品的价格直接影响人们的生活水平，如果商品价格不合理，超出人们普遍的可接受范围，那么人们的生活幸福度将会大大降低。而商品价格的构成部分除了有生产成本，还有更重要的一部分是物流成本，并且物流成本中的运输费又占了较大的比重。商品运输需要耗费大量的能源动力，消耗越多，花费成本越高，如果运输组织的不合理，就会加大运输成本，因而抬高物流成本，商品价格也因而升高，结果是不仅降低企业的利润，也间接提高人们的生活成本。

所以，运输问题是物流领域中值得研究的关键问题。其中车辆路径问题（Vehicle Routing Problems，VRP）是运输问题中的一个热点问题。该问题是指：在物资流通过程中，每个需求点的位置和需求量已知，供方如何调度车辆和安排行车路径向需方供应物资，使得在满足需方需要的同时也达到某些关键目标（如车辆数尽量少、花费时间尽量少、费用最少、路程最短等）。

学者们很早就开始对车辆路径问题进行了研究，积累了丰富的研究成果。在20世纪50年代末，车辆路径问题首先被G.Dantzig和J.Ramser[3]提出，两位学者根据如何运送汽油到加油站这个现实中的问题，利用数学方法对其建立模型，并得出求解算法。在1964年，Clark和Wright这两位学者研究了G.Dantzig和J.Ramser的方法后，认为后者的方法有改进的空间，并最后提出了Clark-Wright节约算法（即C-W算法）。从此VRP成为运筹学领域的研究热点。五年后，Christofides与Eilon又想出新的方法，他们应用2-opt和3-opt处理VRP，取得较好的效果。到1981年，Fisher、Jaikumar和Gullen、Ratliff、Jarvis提出不同的研究方法。前者主要利用数学规划，来对VRP进行最优化处理，后者则是运用人机互动的启发式方法处理VRP。到90年代，学者们开始利用人工智能构造大量的启发式算法来解决VRP，如禁忌搜索发、模拟退火法、遗传算法等。首先采用遗传算法（Genetic Algorithm，GA）的学者是Holland[4]，他利用遗传算法中的编码方法处理了VRP。在这几种人工智能方法中，遗传算法能较好地逼近最优解的同时具有较高的运算速度和效率，具有很好的发展前途。

1 VRP数学模型及遗传算法

1.1 VRP的基本数学模型

VRP的一般描述[5]：

（1）车辆的载重量大于等于配送路径上总的需求量；

（2）任一配送路径的长度小于等于车辆在一次配送任务中的最大行驶距离；

（3）每个需求点的需求都只能被同一辆送货车满足；

（4）设定每辆车都是从中心出发开展配送任务，任务完成后再重新回到中心。

将一个配送中心编号设为0，该配送中心拥有车k辆，车辆数m，车的额定载重量为q，该中心面向L个客户，第i个客户需求量为g■，且g■≤q（i=1，2，…，L），VRP的基本模型如下：

minz=■■■c■x■ （1）

■g■y■≤q ？坌k （2）

■y■=1 i=1，…，L （3）

■x■=y■ j=0，1，…，L； ？坌k （4）

■x■=y■ i=0，1，…，L； ？坌k （5）

x■=0 or 1 ？坌i，？坌j，？坌k （6）

以上式（1）中，c■表示由点i到点j的运输成本，该函数为最小运输成本目标函数；（2）为车容量的约束；（3）表示每个客户仅有一辆车服务；（4）、（5）表示到达和离开某一客户仅有一辆车。x■和y■为变量，定义为：

x■=■

y■=■

1.2 遗传算法

本文中的仿真软件ExtendSim拥有一个自带遗传算法的优化模块。遗传算法在处理车辆优化调度问题时，有以下几个步骤：

（1）确定染色体的编码和初始群体

对可行路线编码，如长度为1+m的染色体编为：

0，i■，i■，…，i■，0，i■，…，i■，0，…0，i■，…，i■

i代表着每一项运输任务，此染色体可理解为车辆从配送中心0出发，完成i■，i■，…，i■后返回配送中心0，形成子路径1；然后又从0出发，完成i■，…，i■后返回0，形成路径2，如此反复直至完成所有的任务。这个过程中，行走路径不断改变，使得函数目标也改变，这样的遗传迭代就能让函数目标最小，也即趋向于最佳路径。

（2）确定目标函数

根据所研究的具体问题，数学模型的目标函数可以表示相应问题（如运费最少问题、车辆数最少问题、路径最短问题、运输时间最少问题等）的最优解方程。

（3）约束的处理

遗传算法中各个染色体对应的解在群体中是占有一定比重的，在遗传算法迭代运算进程中，如果某个染色体的解不符合约束条件，则会受到遗传算法的惩罚机制的惩罚，使得其在群体中所占比重越来越小，而相反，可行解则越来越大，通过这样的一个机制最终可以得出最优解。

（4）遗传算子

遗传算子一般包括复制、交叉、变异。复制的目的是保留优良个体，提高全局收敛性和效率；交叉的作用是组合新个体，降低对有效模式的破坏概论；变异的目的，是为了减少基因的缺失和不成熟收敛对结果的影响。

（5）确定最终方案

经过上述遗传过程后，最终产生性能最优的染色体串。

2 仿真优化方法在VRP上的运用

对VRP的研究，大多停留在理论层面上，这些研究是通过分析问题，运用运筹学知识，用各种数学符号将问题抽象为一系列公式，形成能解决VRP的数学算法。这一类方法称为解析法，是通过建立某种符合逻辑推理的数学模型来解决VRP，具有精确求解的优点，但不足的是，它完全以数学公式的形式存在，所以它不易于理解，不具备良好的人机交互及可视化，也就无法让人直观地感受到所描绘系统是如何运行变化的。相反，仿真方法却可以直观方便地处理问题。

仿真方法是利用以计算机和软件为工具的仿真技术对实际或者设想的系统进行建模并运行，结合某种算法对系统分析，从而得出结果。它结合优化算法来计算模型，则可以求解出最优解。

李先永[6]根据VRP模型，利用EM-Plant仿真软件构建了相应的仿真模型，同时结合启发式求解方法计算和优化，从而验证了该仿真方法的可靠性。刘芳华、杨娟都采用了仿真平台MATLAB结合遗传算法对具体的VRP进行参数输入并运算，得到很好的效果。白雪利用ProModel对某汽车租凭公司的运营方案进行建模优化并评比备选方案，得出最优排程方案。孙姝婷利用 VISSIM 微观仿真软件对城市配送线路进行优化搜索，对多条配送路线进行评价分析，为配送车辆选出最优配送线路。陈静静[7]针对定位—路径—库存问题（Location—Routing—Inventory Problem，LRIP）这一物流领域中新的研究热点问题，采用ExtendSim仿真软件构造了该问题的模型，并用软件的遗传算法对其优化计算，求解出LRIP的最优方案。

3 ExtendSim对VRP建模优化

3.1 运输问题

运输问题，解决的是如何组织一个合理的运输方案，使得物资在供求地运送到需求地所需要的总运费最小。其数学模型如下[8]：

设有m个产地，记为A■，A■，…，A■，生产某种物品，可供应产量分别为a■，a■，…，a■；有n个需求地，记为B■，B■，…，B■，其需求量分别为b■，b■，…，b■；供需平衡，即■a■=■b■。从第i个产地到j个需求地的单位物品的运费为c■，在满足各地需要的前提下，求使得运费最小的调运方案。

设x■i=1，2，…，n为第i个产地到第j个需求地的运量，则该运输问题的数学模型可写为：

minz=■■c■x■ （7）

■x■=a■ i=1，2，…，m （8）

■x■=b■ j=1，2，…，n （9）

x■≥0 i=1，2，…，m j=1，2，…，n （10）

3.2 对具体问题建模

设有A■，A■两个工厂面向B■，B■，B■三个客户服务，工厂可供应产品数量分别为10，8个单位，客户需求量分别为5，6，7个单位，A■到B■，B■，B■的每单位产品运费分别为3，2，6个单位，A■到B■，B■，B■的每单位产品运费分别为5，3，8个单位。根据以上信息，如何安排一个运输计划，使总运费最少。

对此问题，本文采用ExtendSim仿真软件，实现了模型的整体构建。其整体结构如图1所示。

3.3 模块说明

ExtendSim中的每一个模块都有其特定的功能，这种功能可以是多个的，另外模块内部还有能输入和输出参数的结构。

首先，上述运输问题是一个离散事件，需要放置Executive仿真时钟模块，让软件自动推进事件的发展。两个Create模块表示两个工厂生产产品，Queue模块表示存放产品的仓库，Select item out模块表示选择不同的送货路径，Gate是个路径开关，与Information、Math、Decition共同作用，具有能根据客户是否得到满足而控制路径开通与否的功能。Get模块可设置此路径上每单位产品运费，而Activity模块则是计算运送给某个B客户的总成本，整个产品送货流程以Exit模块结束。

3.4 优化

以上模型只能直观地演示系统的运行，还不能对该系统进行计算最优方案，所以要求解最佳方案，必须使用优化模块Optimizer。

该模块内置遗传算法，在本问题中，有六个决策变量，该模块对这六个量分别随机编码成二进制的基因b■i=1，2，…，n，并使它们连接组成每一个都拥有六个基因的染色体个体，然后模块自行随机产生初始种群数，再根据目标函数来确定能评价染色体优劣的适应度函数，在本题中以值越小越优，并接着按照一定概率选择较优个体淘汰较劣个体进而产生一个种群，然后按一定概率对这种群里的个体进行交叉、变异运算，最终产生新一代的种群，这一代个体的适应度的数值和平均值都比上一代的有了明显的改进，也就是说向最优值靠拢，接着再继续对这新一代种群不断循环运算，经过运算多代直至不能搜寻到更优的解后，就停止运行并显示最优解了。

在Optimizer的Objectives中，对分别输入运量的最小值0和最大值（客户B的需求量），以及表示总费用最少的目标函数：Mincost=yunfei1+yunfei2+yunfei3。

在Optimizer的Constraints中，输入决策变量的约束条件：

if（yunliang1+yunliang4 ！=5） reject=true；

if（yunliang2+yunliang5 ！=6） reject=true；

if（yunliang3+yunliang6 ！=7） reject=true；

if（yunliang1+yunliang2+yunliang3 ！=10） reject=true；

if（yunliang4+yunliang5+yunliang6 ！=8） reject=true；

最后，点击New Run，系统自动运行，最终求解出最优结果，结果显示，软件运行了24秒，最小总成本值为82，最优解方案为best行：A■向B■，B■，B■分别运送1、3、6单位的产品；A■向B■，B■，B■分别运送4、3、1单位的产品。

4 结 论

本文论述了当前物流领域热点问题车辆路径问题及前人对其研究出来的解决方法，这些方法当中以某种算法来建立数学模型的理论研究居多，仿真建模层面上的研究比较少，因此重点探讨了仿真优化方法在VRP上的应用，并基于ExtendSim仿真优化软件对某一VRP问题进行了建模和优化，得出可靠结果，突显出了仿真软件界面友好、可视化强、操作简单易懂、运算速度快的特点，是解决物流领域中VRP的一种有效的途径。

参考文献：

[1] 邓红星，韩锐，武慧荣. 物流技术[M]. 哈尔滨：东北林业大学出版社，2010.

[2] 纪红任，游战清，刘克胜，等. 物流经济学[M]. 北京：机械工业出版社，2007.

[3] C.G.Dantzig， J.Ramser. The truck dispatching problem[J]. Management Science， 1959（6）：80-91.

[4] J Holland. Adaptation in Natural and Artificial System[D]. The University of Michigan Press， Ann Arbor， MI， 1975.

[5] 彭扬，伍蓓. 物流系统优化与仿真[M]. 北京：中国物资出版社，2007.

[6] 李永先. 车辆路径问题的仿真模型及优化方法研究[D]. 大连：大连理工大学（博士学位论文），2008.

第3篇：数学建模路径规划范文

【关键词】超声；数学建模；CAD模型

0 引言

第一壁壁板属于聚变堆屏蔽包层材料，而屏蔽包层作为国际热核聚变实验堆（ITER）的关键部件之一，其主要作用是作为直接面对等离子体的部件，承载聚变反应过程中的高热及中子辐照，因此屏蔽包层技术是ITER的关键技术之一。屏蔽包层包括第一壁和屏蔽块两个部分，第一壁直接面对等离子体，屏蔽块在第一壁的后面，其主要作用是带走聚变反应过程中的核热及屏蔽中子辐照。为了使第一壁及屏蔽包层能够承载高的核热，达到聚变试验堆安全运行的目的，对聚变试验堆屏蔽包层的结合质量检测就显得尤为重要；若第一壁壁板不进行结合质量的检测，在等静压和电子束焊接的过程中，或者在材料加工过程中难免会造成一些缺陷和裂纹，而这些缺陷和裂纹对第一壁和屏蔽包层整体功能的影响很大，对于反应堆来说甚至是致命的[1]。因此，为了保证将来反应堆的安全运转，必须对第一壁壁板的结合质量进行无损检测。

2008年，中国核动力研究设计院开发的原理样机只能检测平面型屏蔽包层材料的结合质量，而第一壁壁板结构为曲面的铍瓦表面，检测难度很大。目前，国内外还没有专门系统检测这种工件，其主要难度在于超声检测曲面工件，需要确认探头和工件要始终保持垂直，以此保证探头能接收工件所反射回的超声波信号。而本文采用超声技术与数学建模技术相融合的方式，成功地研制了第一壁壁板超声自动检测系统，通过实际应用，证明该技术能够准确的检测第一壁壁板的结合质量及平面模块的结合质量，为国际热核聚变实验堆的安全运行提供技术保障。

1 检测对象

检验对象为第一壁板工件，其最大长度尺寸约为660mm，最大宽度尺寸约为200mm，最大厚度尺寸约为200mm。图1为第一壁板工件CAD图，检验面为带曲面的铍瓦表面。

图1 第一壁板CAD图

1.1 检验原理

由于检验面为曲面，为了准确跟踪工件检验界面、保持探头与检验面的垂直，检验前需对检验面进行建模，使用超声波方式测定探头与工件表面距离及五维运动坐标来进行数学建模，建立好曲面模型后，进行自动检验，在每个采集点根据曲面模型适时调整探头与工件垂直，在调整好探头的基础上，采集超声仪检验数据，并处理存储[2]。

1.2 数学建模

由于被检面为一曲面，为了使超声波探头在整个检验过程中始终保持与工件表面相垂直，需要对工件被检面进行数学建模，建模使用超声波原理，利用声束入射角与表面波时域特征值之间关系。主要步骤为：

（1）根据所提供的工件信息，初步将工件表面划分出多条扫描线；

（2）人工确定测量点之间的间距，根据此间距在扫面线上设定测量点；

（3）启动自动测量程序，移动探头到第一个测量点，调节五自由度机械手，使声束与测量点垂直，记录三维坐标值及二维转动关节变量并保存；使用同样方式记录每一个测量点的三维坐标值及二维转动关节变量；

（4）根据已测点的坐标值分析曲面曲率，若曲面变化显著则缩小测量点间距（具体原理详见2.3.1～2.3.2），若曲面曲率变化不大则按原初始规划的间距进行测量；

（5）根据最终确定测量点的自动测量，并由反求软件建立铍铜工件的CAD建模。

1.2.1 测量点规划

测量点分布在各扫描线上，其影响因素主要有三点：（1）扫面线的走向；（2）相邻扫面线的间距X；（3）相邻测量点的间距Y。

测量点自动规划思路如下：

（1）被检工件检验面的特点选定测量的初始规划，利用声束自动对正的方法完成第一条扫面线上，初始规划测量点的三维坐标拾取；

（2）根据已测点的三维坐标分析扫描线的曲率，在曲率变化不大处按初始规划的间距进行测量，在曲率变化显著处缩小测量点间距，实现测量点的自动规划；

（3）完成一条扫描线的测量后，同样根据工件表面曲率变化情况调整两条相邻扫面线的间距。

1.2.2 曲面曲率的分析

曲面曲率是根据一条扫描线上相邻3个测量点两两组成的线段夹角来进行分析的。首先将相邻的两个测量点用线段连接起来，从而得到一系列逼近两点间曲线的线段。

相邻两条线段之间夹角能够反映该段扫描线的曲率变化，给定一角度误差δ（可以人工设定），若ωi≥δ，则认为这两条相邻线段所代表的扫描线之间曲面曲率变化剧烈，因此需要在这段区域内需要所点测量点间距，以增加测量点从而反映曲线剧烈的变化；若ωi≤δ，则说明这2条相邻线段过渡平缓，可认为这段扫面线曲面曲率变化平缓，不需要增加测量点。

2 建模实验

在对检验面进行曲面建模及测量点自动规划后，方可实施对工件100%的检验。检验路径：探头先沿工件宽度方向运动，到工件边缘时，再沿长度方向运动，如此反复，直到检验完整个工件。

在检验过程中，根据所建立模型的数据，对探头进行适时调整，使探头与工件表面始终保持垂直；检验数据能够进行采集、存储及处理。

检验装置在检验过程中，工件固定良好；探头的调节能满足被检工件的检验要求，方便、精确、自锁；检验全过程中，探头位置、运动速度等检验条件不允许发生改变；检验装置具有自动开始和末端停止扫描功能及相应的安全连锁装置，扫描停止，探头自动归零位；实现并完成对工件的检验，可以使用控制器按扭进行控制，也可以利用所编制的软件，通过检验参数的输入进行程序。

具体实施过程为：

图2 第一壁壁板数学模型图

（1）建立工件的数学模型，如图2所示。采用超声波技术，利用工件表面反射波幅；根据所提供的工件信息，初步确定将工件表面划分出3条扫描线，如图3所示，图中虚线为扫描线。每条扫描线上的扫描点间距间隔10mm。以上要求可以根据工件的曲率变化进行调整，曲率变化较大时可以适当增加采样点，即缩短扫描点间距。

（2）能对工件实施100%扫查，扫查过程如图3中虚线所示：探头先沿工件宽度方向运动，到工件边缘时，再沿长度方向运动，如此反复，直到检验完整个工件。

图3 扫查示意图

（3）在检验实施过程中，能够根据所建立模型的数据，对探头进行适时调整，使探头与工件表面始终保持垂直。

（4）对检验数据能够进行采集、存储及处理，检测结果如图4所示。

图4 检测结果图

3 结论

本文采用超声技术与数学建模相结合的方法，根据超声波回波情况，获得探头与工件表面距离及五维坐标，应用曲面反求技术重构工件的数据模型，进而建立被检工件的CAD模型。利用研制的第一壁壁板专用检测系统对建立的CAD模型进行了实验，实验表明，所建立的CAD模型能与检测系统相融合，检测结果达到设计要求。

【参考文献】

第4篇：数学建模路径规划范文

关键词 OPNET 网络仿真 协议 流量

中图分类号：TP391 文献标识码：A

当今业界使用的计算机网络仿真软件主要有OPNET和NS2，NS2由于是源代码开放，很受科研人员的欢迎，但由于其运行环境是LINUX，且其图形界面也过于简单因此不太适合于在教学环境中使用。而OPNET则支持在Windows环境下运行，且其图形界面非常丰富，可以为网络规划和设计提供客观、可靠的定量依据，可以构建接近真实的网络环境和业务，测试网络产品性能指标。而且OPNET具有：网络模型、节点模型、进程模型三层建模机制；丰富的模型库；综合统计量收集和分析工具等特点可以很好地完成网络实践中各种难以实现的实验项目。使用OPNET可以使各种抽象的问题变得更加直观，易于接受。使网络知识的理解和掌握变得更加容易，从而激发学生的学习积极性和学习兴趣。通过OPNET建模并搭建各种不同参数的网络仿真平台，可以全面理解各种网络协议的性能。利用OPNET节点编辑器、进程编辑器不仅可以学习各种网络协议的工作原理及其工作过程，还可以自行研究和设计网络协议，从而加深相关知识的理解。利用OPNET提供的仿真结果及分析报告功能，可以为网络优化提供依据。仿真报告直观地显示网络性能参数可以通过这些参数提出设计和优化方案，再结合OPNET支持的VC联合调试功能快速地验证仿真实验结果和仿真中存在的问题，从而拓宽实验项目；设计和优化各种新的网络协议并比较不同设计方案的性能，从而激发学生的学习主动性和创造能力。下面就介绍几种OPNET在网络技术仿真实验中的运用。

局域网的仿真分析：构建局域网关键的因素是其流量和延迟时间的分析，这一点非常难于掌握，这个问题可通过OPNET加以解决。首先利用OPNET提供的图形界面构建相应的局域网，然后运行仿真并提取统计量，最后通过图形界面显示其流量和延迟时间，对局域网的流量和延迟时间有一个直观的认识。可进一步通过图形方式增加路由器和其它的局域网，再次运行仿真，提取相应的流量和延迟时间，并通过图形方式和原局域网的流量和延迟时间相比较，掌握局域网的规模对流量和延迟时间的影响，可起到事半功倍的效果。

传输层的滑动窗口算法的仿真分析：滑动窗口算法在计算机网络中，不仅用在链路层的流量控制，而且也用在传输层的流量控制，因此非常重要。但由于其内容过于抽象学生很难确切地掌握该算法，这个问题可通过OPNET加以解决。首先利用OPNET提供的图形界面构建两个连接在互联网的局域网，然后设置相应的应用和业务，运行仿真并提取统计量，最后通过图形界面显示滑动窗口大小的变化，对传输层协议如何利用滑动窗口来控制流量有一个直观的认识。

路由信息协议和开放式最短路径优先协议的仿真分析：计算机网络中的网络层的概念非常重要，它负责把数据包从源节点依据某个路由算法传送到目的节点。实现网络层的路由选择算法非常多，这里只选择路由信息协议算法和开放式最短路径优先协议算法加以说明，这可直观地了解在互联网中数据包传递到目的地的方式。首先利用OPNET提供的图形界面构建多种路径相互连接的多个路由器，然后通过选择路由信息协议为路由算法，并运行仿真，得到相应的路由表，使学生掌握路由表的概念。然后选择开放式最短路径优先协议为路由算法，运行仿真，得到直观的路由路径图。并可选择自治区域范围，运行仿真并得到路由路径图，让学生直观地了解在采用自治区域后，开放式最短路径优先算法的路由选择变化。并可在选择路由算法的流量平衡选项后，运行仿真得到路由路径图，使学生直观地掌握选择流量平衡后，开放式最短路径优先算法的路由选择结果。

第5篇：数学建模路径规划范文

摘 要：在查阅大量文献的基础上对多机器人路径规划的主要研究内容和研究现状进行了分析和总结，讨论了多机器人路径规划方法的评判标准，并阐述了研究遇到的瓶颈问题，展望了多机器人路径规划方法的发展趋势。

关键词：多机器人；路径规划；强化学习；评判准则

Abstract:This paper analyzed and concluded the main method and current research of the path planning research for multirobot.Then discussed the criterion of path planning research for multirobot based large of literature.Meanwhile，it expounded the bottleneck of the path planning research for multirobot，forecasted the future development of multirobot path planning.

Key words:multirobot；path planning;reinforcement learning;evaluating criteria 

近年来，分布式人工智能(DAI)成为人工智能研究的一个重要分支。DAI研究大致可以分为DPS（distributed problem solving）和MAS（multiagent system）两个方面。一些从事机器人学的研究人员受多智能体系统研究的启发，将智能体概念应用于多机器人系统的研究中，将单个机器人视做一个能独立执行特定任务的智能体，并把这种多机器人系统称为多智能体机器人系统（MARS）。因此，本文中多机器人系统等同于多智能体机器人系统。目前，多机器人系统已经成为学术界研究的热点，而路径规划研究又是其核心部分。

机器人路径规划问题可以建模为一个带约束的优化问题，其包括地理环境信息建模、路径规划、定位和避障等任务，它是移动机器人导航与控制的基础。单个移动机器人路径规划研究一直是机器人研究的重点，且已经有许多成果[1~3]，例如在静态环境中常见的有连接图法、可视图法、切线图法、Voronoi图法、自由空间法、栅格法、拓扑法、链接图法、DempsterShafer证据理论建图等；动态环境中常见的有粒子群算法、免疫算法、遗传算法、神经网络、蚁群算法、模拟退火算法、人工势场法等。然而，多机器人路径规划研究比单个机器人路径规划要复杂得多，必须考虑多机器人系统中机器人之间的避碰机制、机器人之间的相互协作机制、通信机制等问题。

1 多机器人路径规划方法

单个机器人的路径规划是找出从起始点至终点的一条最短无碰路径。多个机器人的路径规划侧重考虑整个系统的最优路径，如系统的总耗时间最少路径或是系统总路径最短等。从目前国内外的研究来看，在规划多机器人路径时，更多考虑的是多机器人之间的协调和合作式的路径规划。

目前国内外多机器人路径规划研究方法分为传统方法、智能优化方法和其他方法三大类。其中传统方法主要有基于图论的方法（如可视图法、自由空间法、栅格法、Voronoi图法以及人工势场方法等）；智能优化方法主要有遗传算法、蚁群算法、免疫算法、神经网络、强化学习等；其他方法主要有动态规划、最优控制算法、模糊控制等。它们中的大部分都是从单个机器人路径规划方法扩展而来的。

1）传统方法 多机器人路径规划传统方法的特点主要体现在基于图论的基础上。方法一般都是先将环境构建成一个图，然后再从图中寻找最优的路径。其优点是比较简单，比较容易实现；缺点是得到的路径有可能不是最优路径，而是次优路径。薄喜柱等人[4]提出的一种新路径规划方法的基本思想就是基于栅格类的环境表示和障碍地图的。而人工势场方法的基本思想是将移动机器人在环境中的运动视为一种虚拟人工受力场中的运动。障碍物对移动机器人产生斥力，目标点产生引力，引力和斥力周围由一定的算法产生相应的势，机器人在势场中受到抽象力作用，抽象力使得机器人绕过障碍物。其优点是适合未知环境下的规划，不会出现维数爆炸问题；但是人工势场法也容易陷入局部最小，并且存在丢失解的部分有用信息的可能。顾国昌等人[5]提出了引用总体势减小的动态调度技术的多机器人路径规划，较好地解决了这个问题。

2）智能优化方法 多机器人路径规划的智能优化方（算）法是随着近年来智能计算发展而产生的一些新方法。其相对于传统方法更加智能化，且日益成为国内外研究的重点。

遗传算法是近年来计算智能研究的热点，作为一种基于群体进化的概率优化方法，适用于处理传统搜索算法难以解决的复杂和非线性问题，如多机器的路径规划问题。在路径规划中，其基本思想是先用链接图法把环境地图构建成一个路径节点链接网，将路径个体表达为路径中一系列中途节点，并转换为二进制串；然后进行遗传操作（如选择、交叉、复制、变异），经过N次进化，输出当前的最优个体即机器人的最优路径。遗传算法的缺点是运算速度不快，进化众多的规划要占据很大的存储空间和运算时间；优点是有效避免了局部极小值问题，且计算量较小。 

孙树栋等人[6，7]在这方面较早地展开了研究，提出的基于集中协调思想的一种混合遗传算法来规划多机器人路径方法较好地解决了避障问题。但不足的是该方法必须建立环境地图，在环境未知情况下的规划没有得到很好的解决；且规划只能保证找到一个比较满意的解，在求解全局最优解时仍有局限。

文献[8]中提出的一种基于定长十进编码方法有效降低了遗传算法的编码难度，克服了已有的变长编码机制及定长二进制编码机制需特殊遗传操作算子和特殊解码的缺陷， 使得算法更加简单有效。

智能计算的另一种常见的方法——蚁群算法属于随机搜索的仿生算法。其基本思想是模拟蚂蚁群体的觅食运动过程来实现寻优，通过蚂蚁群体中各个体之间的相互作用，分布、并行地解决组合优化问题。该算法同样比较适合解决多机器人的路径规划问题。

朱庆保[9]提出了在全局未知环境下多机器人运动蚂蚁导航算法。该方法将全局目标点映射到机器人视野域边界附近作为局部导航子目标，再由两组蚂蚁相互协作完成机器人视野域内局部最优路径的搜索，然后在此基础上进行与其他机器人的碰撞预测与避碰规划。因此，机器人的前进路径不断被动态修改，从而在每条局部优化路径引导下，使机器人沿一条全局优化的路径到达目标点。但其不足是在动态不确定的环境中路径规划时间开销剧增，而且机器人缺乏必要的学习，以至于整个机器人系统路径难以是最优路径。

强化学习[10，11] (又称再激励学习)是一种重要的机器学习方法。它是一种智能体从环境状态到行为映射的学习，使得行为从环境中获得积累奖赏值最大。其原理如图1所示。

强化学习算法一般包含了两个步骤：a）从当前学习循环的值函数确定新的行为策略；b）在新的行为策略指导下，通过所获得的瞬时奖惩值对该策略进行评估。学习循环过程如下所示，直到值函数和策略收敛:

v0π1v1π2…v*π*v*

目前比较常见的强化学习方法有：Monte Carlo方法、动态规划方法、TD（时间差分）方法。其中TD算法包含Sarsa算法、Q学习算法以及Dyna-Q算法等。其Q值函数迭代公式分别为

TD（0）策略： V(si)V(si)+α[γi+1+γV(si+1)-V(si)]

Sarsa算法： Q(st，at)Q(st，at)+α[γt+1+γQ(st+1，at.+1)-Q(st，at)]Qs′学习算法： Qπ(s，a)=∑Pαss′[Rass′+γVπ(s′)]

近年来，基于强化学习的路径规划日益成为国内外学者研究的热点。M. J. Mataric[12]首次把强化学习引入到多机器人环境中。而基于强化学习的多机器人路径规划的优点主要体现在：无须建立精确的环境模型，简化了智能体的编程；无须构建环境地图；强化学习可以把路径规划、避碰、避障、协作等问题统一解决。

张芳等人[13]提出了基于再激励协调避障路径规划方法，把再励函数设计为基于行为分解的无模型非均匀结构，新的再励函数结构使得学习速度得以提高且有较好的鲁棒性。同时，证明了在路径规划中，机器人的趋向目标和避障行为密切相关，对反映各基本行为的再励函数取加权和来表示总的再励函数要优于取直接和的表示方式，也反映了再励函数设计得合理与否及其确切程度将影响再励学习的收敛速度。王醒策等人[14]在动态编队的强化学习算法方面展开了研究。宋一然[15]则提出了分段再励函数的强化学习方法进行路径规划。其缺点是学习次数较多、效率不高，当机器人数目增加时，它有可能面临维数灾难的困难。所以，基于强化学习的路径规划在多机器人环境下的学习将变得比较困难，需要对传统的强化学习加以优化，如基于人工神经网络的强化学习[16]等。

3)其他方法 除了以上国内外几种比较常见且研究较多的方法外，还有唐振民等人[17]提出的基于动态规划思想的多机器人路径规划，把运筹学中的动态规划思想与Dijkstra算法引入到多机器人的路径规划中，用动态规划的基本思想来解决图论中的费用流问题和路径规划中的层级动态联盟问题。其选择距离邻近法作为联盟参考依据。一个机器人的邻居是指在地理位置上分布在这个机器人周围的其他机器人；与该机器人最近邻的机器人为第一层邻居，第一层邻居的邻居为该机器人的第二层邻居， 依此类推。那么层级越高（即越近)的邻居，它满足协作要求的可能性越大。动态规划算法实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，必须存储产生过程中的各种状态，其空间复杂度要大于其他算法，故动态规划方法比较适合多机器人的全局路径规划。

孙茂相等人[18]提出了最优控制与智能决策相结合的多移动机器人路径规划方法。其首先构造一个以各机器人最优运动状态数据库为核心的实时专家系统， 在离线状态下完成; 然后各机器人在此专家系统的支持下， 以最优规划策略为基础， 采用速度迁移算法， 自主决定其控制。该方法拥有较好的稳定性与复杂度。焦立男等人[19]提出的基于局部传感和通信的多机器人运动规划框架较好地解决了多机器人路径规划在局部在线规划的系统框架问题。沈捷等人[20]提出了保持队形的多移动机器人路径规划。以基于行为的导航算法为基础，把机器人队列的运动过程划分为正常运动、避障和恢复队形三个阶段。在避障阶段，引入虚拟机器人使队形保持部分完整;当队形被严重打乱时，规划机器人的局部目标位姿使队列快速恢复队形。其算法重点为避障机器人进入避障状态，暂时脱离队列，并以虚拟机器人代替避障机器人。

2 多机器人避碰和避障

避障和避碰是多机器人路径规划研究中需要考虑的重点问题之一。避障和避碰主要讨论的内容有防止碰撞；冲突消解、避免拥塞；如何避免死锁。在路径规划中常见的多机器人避障方法[21]有主从控制法、动态优先法（建立在机器人之间的通信协商上）、交通规则法、速率调整法，以及障碍物膨胀法、基于人工势场的方法等。

目前国内外对于多机器人避障展开的研究还不是很多，比较典型的有徐潼等人[22]以Th.Fraichard的思想为基础，扩充并完善了路径/速度分解方案来协调多机器人，设立集中管理agent进行整体规划，为每个机器人规划路径；并根据优先级规则对运动特征进行分布式规划以避免机器人间的冲突。周明等人[23]提出分布式智能避撞规划系统，将原来比较复杂的大系统转换为相对简单的子系统问题，由各智能机器人依据任务要求和环境变化， 独立调整自身运动状态，完成任务的分布式智能决策体系结构。任炏等人[24]提出了基于过程奖赏和优先扫除的强化学习多机器人系统的冲突消解方法。该算法能够显著减少冲突，避免死锁，提高了系统整体性能。欧锦军等人[25]提出了通过调整机器人的运动速度实现多机器人避碰，将避碰问题转换为高维线性空间的优化问题， 并进一步将其转换为线性方程的求解。该方法的缺点是系统的复杂度较高、计算量太大。

人工势场方法的特点是计算简洁、实时性强、便于数学描述，且适合于多自由度机器人环境，但容易产生抖动和陷入局部极小。为了克服其缺点，景兴建等人[26]提出了人工协调场的方法，在传统排斥力场中增加一个协调力，并将吸引力、排斥力和协调力与局部环境下机器人的运动状态和运动要求结合起来，有效地保证机器人的安全性，提高机器人在复杂动态环境下行为决策的准确性和鲁棒性。

3 多机器人协作和协调机制

多机器人间的运动协调[27~31]是多机器人路径规划的关键，也是多机器人与单机器人路径规划相区别的根本所在。多机器人系统在复杂动态实时环境下，由于受到时间、资源及任务要求的约束，需要在有限时间、资源的情况下进行资源分配、任务调配、冲突解决等协调合作问题，而机器人间的协调与协作，能够大大地提高整个系统的效率和鲁棒性，成为系统完成控制或解决任务的关键。

目前已有的协调方式分为集中式、分布式和混合式三种。在集中式协调中，集中规划器详细地规划出每个机器人的动作，通常的做法是将多个机器人看做一个多自由度的机器人进行规划；而分布式协调规划中，机器人之间进行合作，将一个任务分成多个子任务，根据各自的特点完成不同的子任务，从而共同完成总任务；混合式协调是集中式和分布式混合在一起的形式。

多机器人间典型的协调方法[32]有合同网协议[33]、黑板模型、结果共享的协同方法、市场机制。近年来强化学习在多机器人协作方面也得到很好的应用，陈雪江[32]在基于强化学习的多机器人协作方面展开了研究，提出了多智能体协作的两层强化学习方法来求解在多智能体完全协作、有通信情况下的协作问题。其主要通过在单个智能体中构筑两层强化学习单元来实现：第一层强化学习单元负责学习智能体的联合任务协作策略；第二层强化学习单元负责学习在本智能体看来是最有效的行动策略。陈伟等人[34]提出基于多目标决策理论的多机器人协调方法；通过对环境的拓扑建模，从基于行为的机器人学角度出发，对任务进行分解并设计目标行为，以多目标行为决策理论作为决策支持，从而达到多机器人运动协调的目的。

4 多机器人路径规划方(算)法的判优准则

通常评价机器人路径规划方(算)法的标准文献[35]有正确性、时间/空间复杂度、并行性、可靠性、扩展性、鲁棒性和学习。而多机器人的路径规划除了以上一些衡量标准之外，还需要考虑整个系统的最优化以及机器人间的协调性。

1)正确性 是分析算法的最基本的原则之一。一般来说算法的正确性是指:在给定有效的输入数据后，算法经过有穷时间的计算能给出正确的答案。但在多机器人路径规划算法中，正确性主要指:路径规划算法要生成多个机器人协调运动的无碰安全路径;这条路径是优化的。

2)安全性 一般指多机器人所生成的各路径中节点与障碍物有一定的距离。但在实际的应用背景下，有人认为安全性可以从两个方面来理解：a）狭义地讲，它就是机器人在行走过程中所做的功。在一定的条件下，它与路径长度准则是一致的。b）广义地讲，它是各种优化条件加权综合而得到的结果。

3)复杂度 一个算法的复杂性高低体现在该算法所需要的计算机资源的多少上面。所需要的资源越多，该算法的复杂性越高；反之，所需要的资源越少，该算法的复杂性就越低。算法的复杂性包括时间复杂度和空间复杂度。

在多机器人的路径规划算法中，算法的复杂度分析显得尤为重要。一般地，单机器人路径规划算法的时空复杂度已经颇高，它们的数量级至少是O(n2)；多机器人的路径规划算法不仅是m-O(n2)(即m个机器人路径规划简单地叠加)，它们之间还存在着对运动空间竞争的冲突，面对不断变化的冲突的协调需要花费大量的时间和空间。通常多机器人的路径规划算法与机器人的个数呈指数关系O(km×n2)（k为常数）。这对多机器人路径规划算法的时间/空间复杂度控制是一个很严峻的考验。

4)并行性 算法的并行性从算法设计、编写程序、编译和运行等多个不同的层次来体现。路径规划过程需要大量的计算，当处理的环境比较复杂，机器人工作的环境过于紧凑，尤其是机器人数量很多时，算法的时间/空间复杂度势必会成为算法效率的关键。因此，在算法设计和运行上的并行性是通常考虑的方法。对多个机器人的路径规划尽量采用分布式多进程的规划机制，以实现每个机器人路径规划的并行性。

5)可靠性 把多个机器人及其工作环境看成是一个系统，多机器人处于它们各自的起始点时，称该系统处于初始状态；当它们处于各自的目标点时，称该系统处于目标状态。多机器人的路径规划就是在该系统的这两个状态间建立一串合理的状态变迁。这一状态变迁过程可能会历经许多状态，如果在状态变迁过程中，路径规划算法控制不好各状态间的转移关系，就会导致系统紊乱，出现机器人间的碰撞、找不到路径等恶性后果，使任务失败。所以这就对算法的可靠性和完备性提出了挑战。为了很好地克服这一困难，需要对系统的各种可能状态建模，分析它们相互间的关系，建立有限状态自动机模型或Petri网模型，并以此为指导，按照软件工程的思想，构造恰当的算法输入来对算法的可靠性进行检验。

6)可扩展性 在多机器人的路径规划算法中，可扩展性主要是指一种路径规划算法在逻辑上，或者说在实现上能否容易地从2D空间扩展到3D空间，从低自由度扩展到高自由度，从较少的机器人数到更多的机器人数。可扩展性在各种路径规划算法之间没有一种量的比较标准，只能从实际的具体情况出发、从对环境描述的适宜程度出发、从算法解决这一问题的复杂度出发、从算法本身的自适应出发等来考虑。

7)鲁棒性和学习 鲁棒性对于多机器人系统非常重要。因为许多应用，如路径规划要求连续的作业、系统中的单个机器人出现故障或被破坏，要求机器人利用剩余的资源仍然能够完成任务。学习是在线适应特定的任务。虽然通用的系统非常有用，但将它用于特定应用上时，通常需要调整一些参数。具有在线调整相关参数的能力是非常吸引人的，这在将体系结构转移到其他应用时可以节省许多工作。尤其是多机器人系统中机器人的自身学习和相互间的学习能够大大提高整个系统的效率和系统的稳定性。

8）最优化 对动态环境有优化反应。由于有些应用领域涉及的是动态的环境条件，具有根据条件优化系统的反应能力成为能否成功的关键。

5 结束语

综上所述，国内外研究者在多机器人路径规划取得了一些成果，但是在协作、学习、通信机制等方面仍面临很大的困难和不足。如何进一步提高机器人间的协调性，增强机器人自身以及相互间的学习以提高多机器人系统的效率和鲁棒性都有待深入研究。近年来无线通信技术得到长足发展，但在目前的技术条件下，在多机器人系统中实现所有机器人之间的点对点实时通信还有较大困难，这也是大多数多机器人系统仍然采用集中通信方式的主要原因。因此，如何降低多机器人系统对通信速度的依赖程度也是一个非常重要的问题。

总之，多机器人路径规划设计和实现是一项极其复杂的系统工程，展望其能在结合计算智能方法，如差分进化、遗传算法、粒子群算法、免疫算法、模糊逻辑算法、BP网络、人工势场的改进、模拟退火和环境建模方法等方面取得新的突破。

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第6篇：数学建模路径规划范文

【关键词】交通建模；路阻函数；参数标定

1 路阻函数的作用

路阻函数包括路段和节点两部分。

路段流量延误函数，用于反映不同等级道路随着路段车流量增加，行程时间延误的增长规律。

节点的控制延误及转向排队延误是行程时间延误中重要部分，是城市模型有别于公路模型的主要区别。在出行时间中，节点的延误占有一定比重，特别是当节点拥挤或阻塞时，节点延误可能会远远超过路段行驶时间，因此必须对路阻函数进行节点延误的修正。当转向在网络的连线之间发生时，大部分规划软件程序允许用户应用限制规则、处罚和延迟等。

2 路阻函数的模型使用阶段

出行分布阶段常用的重力模型方法被吸引来的交通量是与小区之间的距离有关。吸引力随着出行时间降低的变化趋势的规律，一方面与出行的目的有关，另一方面与出行的方式有关。描述这种趋势的就是阻力函数。

方式选择阶段常用的Logit模型方法，基于出行距离、车辆拥有条件、出行费用、出行时间、舒适度、可达性等条件。不同方式的延误时间，影响方式之间的竞争关系。

交通分配阶段流量延误函数是影响车辆随着路段分配流量增加选择路径的主要依据。依据查询道路网的最短行程时间判断出行路径的选择。

3 节点路段化延误函数构建

在交通分配模型中，采用的路段流量延误函数模型有BPR函数、Akcelik函数、锥形拥堵函数以及IITRP函数。

交通模型中通过在节点进口道添加延误函数的查询索引，将节点处的控制延误和停车延误引入到交通分配中。节点流量延误函数的形式一般分为两种：一种是根据城市交通调查统计的按照相交道路等级分类的节点平均延误（分级式节点延误），以表格的形式存储；另一种是根据调查数据统计回归得到的节点流量延误函数（联动式节点延误），以函数方程的形式存储。

基于对模型精度、数据处理难易程度、后期维护的考虑，构建延误函数型式如下式。其中路段延误参考BPR函数型式，交叉口延误则按照分段函数的型式。

d―总的延误时间；

D―路段流量延误；

I―节点转向延误；

Ti―路段零流时间；

αβ―参数值；

x―路段流量；

i―分类分转向延误调查数值。

4 调查及参数标定

4.1 调查方法

路段车辆延误调查的方法主要有跟车法、观测法、路段调查法等几种，根据构建的延误函数型式，路段延误与节点延误分开计算，因此路段延误采用路段调查法。

调查节点延误的方法主要有停车时间法和行程时间法，根据构建的延误函数型式，节点延误满足与相交道路等级相关的控制延误和停车延误即满足要求，因此调查采用停车时间法。

4.2 参数标定

通过对交通流规律的定性判断，可以得出两条基本结论：

（1）在同样的道路负荷度下，单位长度高等级道路上的行驶时间短，这种差异性在负荷度越大的情况下越明显。

（2）T=f（V/C）的函数曲线形状向上弯曲，在BPR函数中的数学条件可以描述为β>1。

本文结合实际工作，提出了微观拟合、宏观校核的两层次参数标定方法，宏观层次的工作主要是参数的校核，利用微观层次拟合的特性参数进行交通分配计算，得出城市的机动车出行宏观指标如平均出行时耗、出行距离以及总体交通负荷度状况等等，通过对宏观指标的校核来调整微观参数的选取。

在参数标定工作流程中以下三个环节是整个工作的重点和难点：

（1）调查数据准确度的保证；

（2）微观层次参数标定；

（3）宏观层次模型参数的校核。

5 软件平台处理方式

在交通规划软件TransCAD中，节点延误以定义全局的转向惩罚的形式给出，为确定值。在交通规划软件Emme中，节点延误根据具体节点调用的延误函数计算延误值，延误函数的形式可以是分级式，也可以是联动式；同时可以相交道路等级的不同进行较为细致的分级。

6 济南市参数标定及校验

（1）路段延误函数

经过对调查数据的观测处理，得到了近350个路段流量数据和1600个道路瞬时车速数据。根据奇异数据排除原则，将奇异数据排查以后，共得到1800条数据，利用这些数据进行数学拟合以标定模型参数。

标定基本思路如下：

令 ， ，根据BPR函数的形式可以得到：

其中，V―路段机动车流量；

C―路段机动车通行能力；

T―路段机动车行驶时间；

T0―路段机动车自由行驶时间。

根据调查数据分析及国内外参数值得参考，最终结合济南市实际道路情况，建立7个BPR函数。

图2不同等级道路BPR函数曲线拟合图

（2）节点延误

图3 交叉口延误测算汇总

经过对调查数据的处理分析，最终得到各登记道路节点各转向延误时间。

（3）参数校验

分布检验

在出行分布校核中，判断模型标定参数的精度，通常采用卡方检验。即需要检查模型得到的出行距离分布曲线与实际调查得到的出行距离曲线之间的一致性，得到的卡方值与临界值进行比较，卡方值越小，说明模型标定的结果越符合实际情况。

运用该方法对济南市的出行分布模型进行校核，可以看出，现状出行分布模型计算出的出行量与实际调查所得到的出行量拟合较好。

分配检验

小客车分配路段流量与路段核查线调查小客气流量对比R2值为0.97，达到了拟合现状小客车流量的精度要求。

通过对核查线上路段流量与分配小汽车流量的绝对误差分析，发现支路以上等级的核查线路段流量与分配流量的绝对误差值约为10.4%，所有核查线路段流量与分配流量的绝对误差值约为12.8%。

参考文献

[1]TransCAD交通需求模型.

[2]Travel Forecasting Model CalibrationReport.

第7篇：数学建模路径规划范文

关键词：蚁群算法；数学模型；流程

中图分类号：TP18 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2013）35-8055-03

1 蚁群算法概述

通过对社会性动物（蚁群、鸟群、蜂群等）的自组织行为进行研究发现，虽然它们的能力和智能都很低，但是它们能通过相互协调、分工、合作来最好最快地完成觅食、迁徙等复杂行为，比如说蚁群，能够在没有任何先知条件下找到从蚁穴到食物源的最短路径，而且有能力随着环境的变化而变化，搜索到新的最短路径。因此这些行为引来越来越多研究者关注，通过对这种行为进行数学建模和仿真，演化成许多解决传统复杂优化问题的新方法，也就是群智能算法。蚁群算法是群智能理论研究领域中的一种主要的算法，其是模拟蚂蚁群落食物采集过程而产生的搜索算法，并成功应用于许多离散优化问题。

20世纪90年代意大利学者Dorigo M等人提出蚁群算法[1]，其灵感来自于现实生活中单个蚂蚁的能力和智能很低，但在自然界蚂蚁的觅食过程中，蚁群总是能在遇到障碍物时选择较短路径，尤其是它们在没有任何先知条件下可以找到从蚁穴到食物源的最短路径。并且在周围的环境发生改变的情况下，蚁群也能很快找到新的最短路径。原来当蚂蚁经过一个还没有走过的路口时，会随机的挑选一条路径前进，并且在经过的路上分泌一种称为信息素的化学物质，而且还能够感知其存在和浓度。越多蚂蚁经过的路径上的信息素越浓，其它蚂蚁就会向信息素浓度高的地方靠近[2]。于是，蚂蚁经过越多的路径，后来的蚂蚁选择的概率就越大。由于信息素具有挥发性，距离较短路径上的信息素浓度较高，距离较长路径上的信息素浓度随着时间会渐渐减弱。如此不断循环，就可以找到最短路径。

蚂蚁算法是一种群智能优化算法，由于其引入了正反馈和并行机制，该算法具有自主搜索能力，鲁棒性强，不需要人工干预，容易与其他方法相结合。虽然蚂蚁算法的理论基础薄弱，但其发展迅速，问世以来就解决了许多实际问题，比如旅行商问题、二次规划、车辆路径问题、车间作业调度问题、图像处理等优化问题，具有广阔的应用前景，并成为前沿性课题和研究热点。

2 蚁群算法的原理

在蚁群算法中，为了实现对真实蚂蚁觅食的群体行为，将真实蚂蚁抽象为人工蚂蚁，具有如下特点[1]：

① 能够像真实蚂蚁一样在经过的路径上留下信息素，而且使信息素随着时间挥发，在选择路径时不会被前面人工蚂蚁留存的信息所局限。

② 人工蚂蚁并不能处在连续的空间，而是离散的空间，所以它们的运动也是从一个点到另一个点的转换。

③ 人工蚂蚁具有一定的智能，可以从问题的特征中得到启发，依据规率而不是仅仅靠概率搜索最优路径。

蚁群算法包括基本蚁群算法（AS）、蚁群系统（ACS）、最大-最小蚂蚁系统、最优-最差蚂蚁系统。基本蚁群算法中每只人工蚂蚁均独立的搜索可行解，当它到达一个未曾经历过的节点时，就会根据概率函数随机地选择继续移动的下一条路径，并在该路径上释放信息素。选择路径短的蚂蚁走得快，经过的路径上留下的信息素就多。如此不停地搜索，最优解路径上的信息素浓度会越来越高，会有更多的蚂蚁选择该路径，而其他路径由于信息素会随着时间慢慢挥发，从而只有最优解路径的浓度最高，整个蚁群都会集中在该路径上，并得到最优解。图1是一个基于蚁群算法的人工蚂蚁系统搜索最短路径的示例图。

由上面示例可以看出，蚂蚁算法是一种随机搜索算法，其寻优的过程包含两个阶段：一是适应阶段，初时信息素相同，随着信息素不断的积累，性能好的解的信息素浓度就高，性能不太好的解的信息素浓度就低。在初始情况信息不明的情况下，适应阶段会比较漫长，影响了求优的速度。二是协作阶段，各个候选解之间不断地进行信息的交流，不断地最优解收敛。在适应阶段的基础上，这个阶段会较快速。

3 蚁群算法的数学模型

蚁群算法被成功地应用于许多实际问题，其中最著名的是解决旅行商问题。在此以该问题为例说明基本蚁群算法的数学模型和实现过程。

旅行商（TSP）问题又称为货郎担问题，是最基本的路线问题：当有n个城市，一个旅行者由其中某一个需市作为起点出发，需要不重复地经过所以结点后回到原点，求其最短路线。当城市数等于24个时，只需要1s时间就可以计算完成，但随着城市数增加，计算难度呈几何级数增大，当城市数增加到30个时，计算时间需要10年多，计算难度很大。在这里用蚁群算法来解决。城市个数用n表示，

2） 规定每只蚂蚁选择的城市必须是不曾到过的，只有到达过所有的城市后才到回到出发城市。所以在这里为每只蚂蚁建立一个禁忌表tabuk（k=1，2，…，m），将第k只蚂蚁访问过的城市放入禁忌表中，禁忌表不是固定不变的，随着第k只蚂蚁的运动进行动态调整。

3） 每只蚂蚁选择要访问的下一个城门需要通过概率函数来实现，概率函数并不是随机的，而是与两个城市间的距离和两个城市间的信息素大小有关的。其概率选择函数如式（2）。

[β]表示期望启发式因子，反映蚂蚁选择路径受启发函数影响的大小。[β]值越大，启发函数对蚂蚁选择路径的影响越大，反之亦然。

随着时间流逝，路径上如果遗留的信息素太多就消弱启发信息的作用，所以在每只蚂蚁每访问完一个城市或者访问完所有城市后，需要更新信息素。其更新策略为：

5 蚁群算法的特点

通过分析蚁群算法原理并以实际问题建立数学模型并应用，可以得出其具有以下优点：

1） 具有分布式计算和正反馈机制特点。分布式计算能够实现多台计算机同时计算，提高了求解速度；正反馈机制增强信息素的作用，能够较快地搜索到优化解，节省时间。

2） 鲁棒性强，只需对模型稍作改动，就可以对其他各类问题进行优化。

3） 为了改善算法性能，较容易与其它启发式算法结合使用。

4） 个体之间可以进行信息交换，而且通信开销增较小。

虽然蚁群算法已应用于许多实际问题，而且具有许多优点，但同样也有缺陷：

1） 该算法的初阶搜索时间较长影响了搜索效率。这主要是因为，在初始时刻每条路径上的信息素是一样的，只有随着时间的

增加，在信息正反馈的作用下，才能体现出各条路径的差别最终求解较优解。但这个过程一般需要的时间比较长，尤其是在求解大规模优化问题时，占用时间很长，影响了效率。

2） 该算法比较容易收敛到局部最优解。这主要是因为正反馈的作用下，加速了信息素的沉积，当还没有找到全局最优解时，所有个体就可能搜索到了完全一致的解，但这只是局部最优解，而使算法无法再进行进一步的搜索。

尽管蚁群算法具有这样的缺陷，但只要找到原因还是可以解决的，比如适当增减信息素正反馈影响，与其它算法相结合等等。该文通过对蚁群算法的分析为后期对其改进应用提供了良好的基础。

参考文献：

[1] 段海滨.蚁群算法原理及其应用[M] .北京：科学出版社，2005.

第8篇：数学建模路径规划范文

【关键词】无人天车 行走路径优化 障碍物避让

1 引言

目前国内无人天车市场刚刚兴起，以自动控制代替传统天车工操作天车日渐成为未来发展方向。无人天车多项关键技术均掌握在国外公司手中，其中包括天车行走路径规划和障碍物自动避让技术。天车行走路径的规划直接影响无人天车的工作效率和行车安全，是无人天车单体动作的重要依据。

2 总体思路

结合现有技术积累和经验总结，将自动检测技术、信息化技术相结合，通过对天车无人化自动行走的深入研究、以及对无线通讯、设备状态检测、天车三维空间坐标定点、障碍物信息采集、行走路径规划和天车设备动作命令等核心技术的研究与突破，形成具有自主知识产权的无人天车行走最优路径解析系统，提升无人天车路径规划能力，杜绝错误路径选择，提高无人天车工作效率，降低自动行车安全风险。有力提升企业在应用无人天车过程中的核心竞争力。

3 系统构成及实现

为了实现无人天车自动运行，并拥有最优行走路径，运行高效流畅，提高无人天车工作效率。根据现场实际情况，按照安全第一、保证效率的方针，系统与一级PLC实时通讯，结合一级PLC系统对现场信息采集的优势，对系统进行模块化编程，将整个系统分为若干个功能块。由主程序开始依次调用，以以太网通讯、设备状态检测、天车三维空间坐标定点、障碍物信息采集、行走路径规划和天车设备动作命令这一流程划分系统模块，系统流程图如图1所示。

系统采用Oracle数据库来存储与管理数据。Oracle数据库可以很好地实现本系统对数据库的频繁访问，大流量的数据访问和及时的数据交换。数据库设计之前，对每一个行走动作均要给定唯一确定的ID。系统数据库包含五个数据表：设备状态检测数据表、天车三维空间坐标定点数据表、障碍物信息数据表、行走路径规划数据表和天车设备动作命令数据表。这五个表并不是独立存在的，而是相互关联的。天车三维空间坐标定点数据表依赖于设备状态检测数据表而存在，行走路径规划数据表则随障碍物信息数据表而变化，天车设备动作命令数据表则完全基于其它四个表而存。

3.1图形化界面显示

将系统各个功能数据统一显示在操作界面中，为中控人员提供数据依据，并实时监控天车工作状态，如图2所示。

3.2设备状态监测

无人天车自动行走监测主要依托大车编码电缆、小车激光测距、主钩高度编码器和天车防撞传感器，这四种设备的准确可靠是天车自动行走的重要安全保障和数据来源。本系统以50ms的频率实时扫描这四种设备的工作状态，并反馈到系统操作界面中。

3.3天车三维空间坐标定点

以大车方向为X轴、小车方向为Y轴、主钩方向为Z轴、以库区某一边角为原点建立无人天车坐标体系，通过以太网通讯从PLC系统获取天车三维空间坐标定点，经实际位置和坐标位置的地址转换，计算出当前天车位置坐标和目标位置坐标，并计算出差值，为天车动作提供动作依据和目标。

3.4障碍物数据信息

障碍物坐标中标示出天车将要行进的路途中，需要避让的障碍物坐标，依据库区现场情况，划分障碍物类型，包括绿色行走通道、不可移动障碍物、可移动障碍物、临时障碍物；依据天车工作状态分为取卷、放卷。

3.5行走路径规划

依据障碍物坐标，根据避让规则，以天车行走路径中所遇到的障碍物最近边角位置为原点做直径为1米的圆，天车沿圆的切线经过，相切的点即为经由路径转折点，由此生成的天车行走路径即为天车行走路径。

4 结语

第9篇：数学建模路径规划范文

一、校企合作平台建设

实践证明，同企业进行可持续的深度合作，需要有高品质的校企合作平台做支撑。实践教学基地是目前高校的主要校企合作平台，各专业在实践教学过程中充分地、有创意地运用这类平台进行建设研究。淡化专业界定的开放实验室或开放实训中心，不但可支撑相关专业的实践教学，而且可扶持学生的个性化发展。例如，集电子信息工程、飞行技术、航空设备维修和航空机电维修等专业需要，航空学院同安阳通用航空等五家公司共同建设的电信通讯及设备维护开放实验室，这些实验室的建设不仅可提升实验室教师的育人效果，也可提升实验室教师的科研水平和对行业的服务能力（设备维护检修、原材料分析检测、员工专业知识培训等）。研发项目和研究成果积淀（包括学生技能大赛成果），是此类实验室或实训中心建设的关键。与实践教学基地配合，此类校企合作平台可强化教师队伍建设、课程建设和专业建设过程中企业的主导作用，从而不断提升应用技能型人才培养质量。

二、依托校企合作平台，实现多种人才培养路径并举

为学生铺就多种可能的成长路径，构筑多层次发展空间，支持学生根据自身特点和发展志趣自主选择学习和成长方式，以更好地适应各地对人才的实际需求，形成其办学特色：一是“冠名班”模式，即按冠名企业需要人才的知识和能力结构，以企业生产、经营或服务的流程，重新配置课程、制定教学计划，以企业在线任务或在研项目，重新优化教学内容、调整教学方法，企业参与人才培养的全过程，校内外教学资源合理配置、专兼职教师相互支撑，构成一种特定的成长路径。二是“订单式”模式，即依据用人订单，确定企业所需人才需要哪些能力，围绕这些能力确定需要开设什么课（教什么）、用何种教学技术（怎么教）。这种定向培养构成了另一种成长路径。学生毕业后可直接上岗就业，是这类成长路径的优势。

三、依托校企合作平台，强化核心课程建设

确定一门或几门专业核心课程，减少专业课的数量，降低专业课的刚性，通过对核心课程的深度学习，带动学生对专业知识和专业技能的理解和运用，这是近年来专业建设中的新尝试。依托校企合作平台，整合学校和企业的相关教学资源，特别是企业文化和研发项目，专职教师与兼职教师联手，对于专业核心课程的确定与强化教学，有可能取得新突破。

四、依托校企合作平台，强化专业群建设

专业群有利于人才、技术和文化在校企之间双向流转、交融，因而有益于应用技能型人才培养。如，美术学院和航空学院，联手安阳揽羽模型公司围绕航模的研发与应用开展的此类探索，不但有可能提高学生的常规专业水平，而且有可能提升学生在航空模型运动领域里的职业能力与素养。又如，会同安阳城市规划设计院，建工学院的城乡规划专业与美术学院的环境艺术设计专业共同打造中的城乡规划设计，可以提升两专业服务安阳城镇化建设的能力。显然，利用校企合作平台，寻求相关专业间交叉、融合的支撑点，是有意义的专业特色建设新探索。

五、依托校企合作平台，强化第二课堂建设

研究结果证明，学生参与权威性技能大赛，有助于提升创新意识和创业能力；学生获取权威性职业资格证书，有助于拉近专业学习与职业发展的距离。笔者所在校的学生在数学建模、沙盘模拟经营、英语辩论等全国大学生赛事中均有不俗的表现，获取会计证、教师资格证、网络工程师等有影响的职业资格证书的数量逐年递增。若围绕权威性技能大赛，从参赛选题、设计方案到研发过程，充分契合企业需求，充分利用企业条件（包括研究经费），就能显著提升学生参与技能大赛的兴趣与水平；若能同企业充分合作，学生就可能获得飞机驾驶执照、航空设备维修及机电维修资格证一类更具影响力的职业资格。显然，依托开放实验室和实践教学基地，强化第二课堂教学（包括学生社团活动）效果，专职教师和兼职教师各司其职、分工合作，共同辅助学生提升专业技能和职业素养，也是极有价值的特色专业建设探索。另外，加强校企合作平台建设，可以给高校带来多方面益处：一是可以丰富教学内容，改善教学方法，提高学生的实践能力和创新能力；二是可以促进学产研结合，给学校、企业、政府、学生等多方面带来共赢。