数学建模常用算法精选(九篇)

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第1篇：数学建模常用算法范文

摘要：综述 数学建模方法

前言：数学建模，就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。数学模型是一种模拟，是用数学符号，数学式子，程序，图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。在21世纪新时代下，信息技术的快速发展使得数学建模成了解决实际问题的一个重要的有效手段。

正文：自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充，使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。而数学建模作为数学方面的分支，在其中起到了关键性的作用。

谈到数学建模的过程，可以分为以下几个部分：

一.模型准备

了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。

二.模型假设

根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

三.模型建立

在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构。

四.模型计算

利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。其中需要应用到一些计算工具，如matlab。

五.模型分析

对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。

六.模型检验

将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。

数学建模中比较重要的是，我们需要根据实际问题，适当调整，采取正确的数学建模方法，以较为准确地对实际问题发展的方向进行有据地预测，达到我们解决实际问题的目的，

在近些年，数学建模涉及到的实际问题有关于各个领域，包括病毒传播问题、人口增长预测问题、卫星的导航跟踪、环境质量的评价和预测等等，这些就能说明数学建模涉及领域之广泛，针对这些问题我们需要采取对应的数学建模方法，采用不同的数学模型，再综合起来分析，得出结论，这需要我们要有一定的数学基础和掌握一些应用数学方法，以适应各种实际问题类型的研究，也应该在一些数学方法的基础上，进行不断地拓展和延伸，这也是在新时代下对于数学工作者的基本要求，我们对数学建模的所能达到的要求就是实现对实际问题的定性分析达到定量的程度，更能直观地展现其中的内在关系，体现数学建模的巨大作用。

而在对数学建模中的数据处理中，我们往往采用十类算法：

一.蒙特卡罗算法

也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。如粒子输运问题。

二.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法

比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具，而在其中有一些要用到参数估计的方法，包括矩估计、极大似然法、一致最小方差无偏估计、最小风险估计、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法。最基本的方法是最小二乘法和极大似然法。数据拟合在数学建模中常常有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系。

三.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题

建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现。它尤其适用于传统搜索方法难于解决的复杂和非线性问题，在运筹学和模糊数学中也有应用。

四.图论算法

这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备，其中，图论具有广泛的应用价值,图论可将各种复杂的工程系统和管理问题用“图”来描述,然后用数学方法求得最优结果，图论是解决许多工程问题中算法设计的一种有效地数学模型,便于计算分析和计算机存储。

五.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法

动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。回溯算法是深度优先策略的典型应用，回溯算法就是沿着一条路向下走，如果此路不同了，则回溯到上一个分岔路，在选一条路走，一直这样递归下去，直到遍历万所有的路径。八皇后问题是回溯算法的一个经典问题，还有一个经典的应用场景就是迷宫问题。回溯算法是深度优先，那么分支限界法就是广度优先的一个经典的例子。回溯法一般来说是遍历整个解空间，获取问题的所有解，而分支限界法则是获取一个解。分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，就可得到原问题的解。即一种分目标完成程序算法，简单问题可用二分法完成。

这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。

六.最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法

模拟退火算法的依据是固体物质退火过程和组合优化问题之间的相似性。物质在加热的时候，粒子间的布朗运动增强，到达一定强度后，固体物质转化为液态，这个时候再-进行退火，粒子热运动减弱，并逐渐趋于有序，最后达到稳定。

“物竞天择，适者生存”，是进化论的基本思想。遗传算法就是模拟自然界想做的事。遗传算法可以很好地用于优化问题，若把它看作对自然过程高度理想化的模拟，更能-显出它本身的优雅——虽然生存竞争是残酷的。 遗传算法以一种群体中的所有个体为对象，并利用随机化技术指导对一个被编码的参数空间进行高效搜索 。

神经网络从名字就知道是对人脑的模拟。它的神经元结构，它的构成与作用方式都是在模仿人脑，但是也仅仅是粗糙的模仿，远没有达到完美的地步。和冯·诺依曼机不同-，神经网络计算非数字，非精确，高度并行，并且有自学习功能。

这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。

七 .网格算法和穷举法

对于小数据量穷举法就是最优秀的算法，网格算法就是连续问题的枚举。网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。

八.一些连续离散化方法

很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。

九.数值分析算法

在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、 函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

十.图像处理法

赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。

这十类算法对于数据处理有很大的帮助，甚至从其中可以发现在它们中的很多算法都是数学某些分支的延伸，可能我们不一定能掌握里面的所有算法，但是我们可以尽可能学习，相信这对我们今后的数学学习有很大的帮助，然后，就是数学模型的类别。

常见的数学模型有离散动态模型、连续动态模型、库存模型、线性回归模型、线性规划模型、综合评价模型、传染病模型等数学模型、常微分方程模型、常微分方程的数值稳定性、人口模型、差分方程模型，这些模型都有针对性地从实际问题中抽象出来，得到这些模型的建立，我们在其中加入适当合理的简化，但要保证能反映原型的特征，在数学模型中，我们能进行理性的分析，也能进行计算和演绎推导，我们最终都会通过实践检验数学建模的正确性，加以完善和提升，在对现实对象进行建模时，人们常常对预测未来某个时刻变量的值感兴趣，变量可能是人口、房地产的价值或者有一种传染病的人数。数学模型常常能帮助人们更好的了解一种行为或者规划未来，可以把数学模型看做一种研究特定的实际系统或者人们感兴趣的行为而设计的数学结构。

例如人口增长模型：

中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。人口数量、 质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。 在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展， 进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。 政府部门需要更详细、 更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析， 只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。 随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。

人口增长模型是由生育、死亡、疾病、灾害、环境、社会、经济等诸多因素影响和制约的共同结果，如此众多的因素不可能通过几个指标就能表达清楚，他们对人口增长的潜在而复杂的影响更是无法精确计算。这反映出人口系统具有明显的灰色性， 适宜采用灰色模型去发掘和认识原始时间序列综合灰色量所包含的内在规律。灰色预测模型属于全因素的非线性拟合外推类法，其特点是单数列预测，在形式上只用被预测对象的自身序列建立模型，根据其自身数列本身的特性进行建模、预测，与其相关的因素并没有直接参与，而是将众多直接的明显的和间接的隐藏着的、已知的、未知的因素包含在其中，看成是灰色信息即灰色量，对灰色量进行预测，不必拼凑数据不准、关系不清、变化不明的参数，而是从自身的序列中寻找信息建立模型，发现和认识内在规律进行预测。

基于以上思想我们建立了灰色预测模型：

灰色建模的思路是：从序列角度剖析微分方程，是了解其构成的主要条件，然后对近似满足这些条件的序列建立近似的微分方程模型。而对序列而言（一般指有限序列）只能获得有限差异信息，因此，用序列建立微分方程模型，实质上是用有限差异信息建立一个无限差异信息模型。

在灰色预测模型中，与起相关的因素并没有直接参与，但如果考虑到直接影响人口增长的因素， 例如出生率、死亡率、 迁入迁出人口数等，根据具体的数据进行计算， 则可以根据年龄移算理论，从某一时点的某年龄组人数推算一年或多年后年龄相应增长一岁或增长多岁的人口数。在这个人口数的基础上减去相应年龄的死亡人数， 就可以得到未来某年龄组的实际人口数。对于0 岁的新生人口， 则需要通过生育率作重新计算。当社会经济条件变化不大时， 各年龄组死亡率比较稳定， 相应活到下一年龄组的比例即存活率也基本上稳定不变。 因而可以根据现有的分性别年龄组存活率推算未来各相应年龄组的人数。

通过这样的实例就能很细致地说明数学建模的方法应用，数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。它是将研究的某种事物系统，采用数学形式化语言把该系统的特征和数量关系，抽象出一种数学结构的方法，这种数学结构就叫数学模型。一般地，一个实际问题系统的数学模型是抽象的数学表达式，如代数方程、微分方程、差分方程、积分方程、逻辑关系式，甚至是一个计算机的程序等等。由这种表达式算得某些变量的变化规律， 与实际问题系统中相应特征的变化规律相符。一个实际系统的数学模型，就是对其中某些特征的变化规律作出最精炼的概括。

数学模型为人们解决现实问题提供了十分有效和足够精确的工具， 在现实生活中， 我们经常用模型的思想来认识和改造世界，模型是针对原型而言的，是人们为了一定的目的对原型进行的一个抽象。

随着科学技术的快速发展，数学在自然科学、社会科学、工程技术与现代化管理等方面获得越来越广泛而深入的应用， 尤其是在经济发展方面， 数学建模也有很重要的作用。 数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中，从而使人们逐渐认识到建立数学模型的重要性。数学模型就是要用数学的语言、方法去近似地刻画实际，是由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、 图形或算法。也可以这样描述：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模的作用在21实际毋庸置疑，我们通过不断学习数学建可以掌握解决实际问题的强大武器。

参考文献：数学建模方法与案例，张万龙，等编著，国防工业出版社（2014）.

第2篇：数学建模常用算法范文

关键词：数值计算方法；数学建模；必要性；途径

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）24-0047-02

随着计算机的飞速发展，几乎所有学科都走向定量化和精确化，从而产生了一系列计算性的学科分支，如《计算物理》、《计算化学》、《计算生物学》、《计算地质学》、《计算气象学》和《计算材料学》等，而《计算数学》中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。因此掌握数值计算方法的基本理论及其应用对理工科大学生从事专业研究具有重要意义。那么如何加强学生对计算方法思想的领悟？如何增强学生运用计算方法思想解决实际问题的能力？在计算方法教学中融入数学建模思想是值得我们认真思考的问题，也是解决学与用关系的一个非常有意义的尝试。笔者参加了山东省精品课程数值计算方法的建设，又结合近几年的教学体会，提出以下几点认识。

一、数学建模思想融入数值计算方法教学的必要性

1.传统数值计算方法教学的不足之处。值计算方法，也称数值分析或计算方法，是专门研究各种数学问题的数值解法（近似解法），包括方法的构造和求解过程的理论分析。课程中有大量的、冗长的计算公式，所涵盖的知识面宽，各部分内容自成体系，因而给人的感觉是条块分割严重，逻辑性、连贯性不强。在传统的数值计算方法教学中，主要是讲解定义、公式推导和大量的计算方法等。很多学生在学习的过程中甚至考试结束之后仍然不知道自己所学的算法能在什么地方应用，导致学生学习目的性模糊，学习兴趣减少，因此加强培养学生的数学建模能力具有十分重要的意义。

2.数学建模思想在数值计算方法教学中的作用。所谓数学建模[1]，就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过做一些必要的简化和假设，明确变量和参数，并依据某种“规律”，运用适当的数学理论，建立变量和参数间的一个明确的数学关系式，这个数学关系式即为数学模型，建立这个数学模型的过程即为数学建模。建立实际问题数学模型的过程如下[2]：实际问题建立数学模型求解模型检验模型结果修改模型再求解模型（可循环多次）实际问题的合理结果。在这个过程中，只有一小部分模型能解析求解，大部分数学模型只能数值求解。这就要用到数值计算方法课程中所涉及的算法，如插值方法、最小二乘法、曲线拟合法、方程迭代求解法、共轭梯度法等，这就启发我们将数学建模的思想融人计算方法的教学中，提供数值方法实际应用的源泉，体现数值方法的价值和意义，使数学教学不再是无源之水，无本之木，不再显得那么空洞，从而把以往教学中常见的“要我学”真正地变成“我要学”。

二、数学建模思想融人数值计算方法教学的途径

将数学建模的思想融人数值计算方法教学中是很有必要的，但具体如何融入呢？结合教育的实际，笔者提出以下几点建议。

1.原则。课堂教学的主要内容和地位而言，数值算法是课堂教学的主要内容，数学建模仅作为一种教学方法而存在，是学生认知的一种途径，它为数值计算方法教学服务，是教学工作的一种延伸和补充，处于从属地位。数值计算方法为主，数学建模为辅，二者不能平分秋色，更不能本末倒置。因此，数学建模思想渗透到数值计算方法教学中的量不能超过一个度，否则，数值计算方法课就会变成数学建模课。

2.在解决应用问题的讲解中渗透数学建模的思想与方法。值计算方法中的数值方法都有很强的实际应用背景，每一种方法都直接或间接与工程应用有关。教学中通过对实际应用背景的描述，可以激发学生的学习欲望和探究心理，从而对学习内容及过程产生强烈的兴趣和需要。这就要求授课教师了解其他相关学科课程，让学生知道所学的知识在不同领域的应用。例如：在信息技术中的图像重建、图像放大过程中为避免图像失真、扭曲而增加的插值补点，建筑工程的外观设计，天文观测数据、地理信息数据的处理，社会经济现象的统计分析等方面，插值技术的应用是不可或缺的；在实验数据处理问题中，曲线拟合得到广泛应用；在汽车、飞机等的外型设计过程中，样条技术的引入使其外型设计越来越光滑、美观。

3.数学实验中渗透数学建模的思想与方法。机环节是数值计算方法这门课程重要的组成部分，也是检验学生理解授课内容好坏的“试金石”。授课教师可以结合实际和所学数值算法设计一些综合性的问题，让学生去解答。学生通过查阅资料，认真研究，建立模型，设计算法，编程上机，调试运行，得出结果。这个过程既提高了学生编程上机能力，对所学算法有了更深刻的理解，而且对提高学生应用所学的计算方法知识解决实际问题的能力也有很大帮助。

4.在案例教学中渗透数学建模的思想与方法。案例教学[3]，就是在课堂教学中，以具体案例作为教学内容，通过具体问题的建模范例，介绍数学建模的思想方法。所选教学案例要尽可能结合学生所学专业，并且涉及相应数值算法而又能体现数学建模思想。这样既使学生掌握了数学建模的方法，又使学生深刻体会到数学是解决实际问题的锐利武器。下面具体举一个例子给予说明。例：三次样条插值案例．在工程技术和数学应用中经常遇到这样一类数据处理问题：在平面上给定了一组有序的离散点列，要求用一条光滑曲线把这些点按次序连接起来。解：传统的设计方法是工程技术人员常常用一条富有弹性的均匀细木条，让它们依次经过离散数据点，然后用“压铁”在若干点处压住，在其他地方让它自由弯曲，然后沿细木条画出一条光滑曲线，形象的称为样条曲线

在力学上，通常均匀细木条可以看作弹性细梁，压铁看作是作用在梁上的集中载荷，“样条曲线”就模拟为弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线。设细梁刚度系数是A，弯矩为M，样条曲线的曲率为k（x）。由力学知识：Ak（x）=M（x），M（x）是线性函数，k（x）=■当 时（即小挠度的情况），上述微分方程简化为Ay"（x）=M（x），y（4）（x）=0因此，“样条曲线”在每个子区间可近似认为是三次多项式。通过此数学建模案例可以让学生体会三次样条的基本特征：分段三次光滑，整体二次光滑。

总之，在数值计算方法教学中融入数学建模思想，不但搭建起数值计算方法知识与应用的桥梁，而且使得数值计算方法知识得以加强、应用领域得以拓广，在推进素质教育和培养创新能力上将会发挥重要的作用。

参考文献：

[1]丁素珍，王涛，佟绍成.高等数学课程教学中融入数学建模思想的研究与实践[J].辽宁工业大学学报，2008，10（1）：133-135.

[2]曾国斌.试论数学建模与高等数学教学[J].湖南理工学院学报（自然科学版），2008，21（3）：92-94.

[3]何莉.在高等数学教学中培养学生数学建模能力[J].科教文汇，2008，68.

第3篇：数学建模常用算法范文

（1.中国91055部队，浙江 台州 318500；2.中国91576部队，浙江 宁波 315021）

【摘　要】综合保障的实践表明，保障任务的核心问题就是如何维护复杂装备的系统可靠度和运行可用度。可用度建模是解决这些问题的前提，随着新理论的不断涌现，对建模关键技术的研究越来越深入。分析了可用度模型的分类和建模过程中遇到的关键技术，论述了系统结构、寿命分布、使用维修等条件对可用度建模过程中的影响，并对建模方法的适应性进行了初步的探讨。

关键词 可用度；建模方法；马尔科夫；更新过程

作为衡量装备战备完好与任务持续能力的重要参数——系统可用度，长期以来一直受到装备研制部门和装备使用部门的高度重视，它的优点在于其综合性很强，把装备的可靠性、维修性、测试性和保障性等设计特性综合为军方所关心的使用参数。[1-3]解决系统可用度问题的前提是建模，本文研究的目的就是提出一个可用度建模方法的框架，为深入研究打下基础。

1　建模方法分类

可用度的数学模型可以大致分为概率模型和统计模型两类：概率模型和统计模型。概率模型是指，从系统结构出发及部件的寿命分布、修理时间分布等等有关的信息出发，来推断出与系统寿命有关的可靠性数量指标，进一步可讨论系统的最优设计、使用维修策略等。其中概率模型根据系统相关时间的概率分布的不同又分为微积分模型、马尔科夫模型和更新过程模型。统计模型是指，从观察数据出发，对部件或系统的寿命、可靠性指标等进行估计和检验。

随着相关领域的发展，可用度的数学模型出现一类综合类模型，包括：基于离散事件的模型、基于神经网络的模型和基于遗传算法的模型等。可用度建模方法分类如图1所示。

2　模型研究

2.1　概率模型

1）微积分模型

主要根据基本的数学机理和单元可用度的内涵，依靠微积分的运算方法解算系统的可用度。设单元的故障概率密度函数为f（t），修复概率密度函数g（t），则其故障频率w（t），修复频率v（t）以及不可用度Q（t）的计算公式如下：

式中：f1（t）表示单元在t=0时刻是正常条件下故障概率密度函数；f2（t）表示单元在t=0时刻是被修复条件下故障概率密度函数。

此方法适用于服从任意分布的部件，针对可修复部件的可用度计算模型，采用逐次逼近方法，求解可用性指标的第二类Volterra积分方程，如式（5）所示。

这种积分模型适用于n中取m系统的平均稳态可用性，如核电厂的散热系统等。

2）马尔科夫模型

当系统的各组成部件的寿命、维修时间等相关时间均遵从指数分布，且部件失效和修复相互独立，只要适当定义系统的状态，总可以用马尔科夫过程来描述，这样的可修系统称为马尔科夫可修系统。

以n个不同单元组成的串联系统为例，马尔科夫模型如下，第i个单元的故障率为?姿i，维修率为ui。只要一个单元故障，系统就故障，进行维修，系统地状态集合为S={0，1，2，…，n}，其中系统正常工作状态集合为W={0}，系统故障状态集合为F={1，2，…，n}，系统状态概率向量表示为X={x0，x1，…，xn}，系统状态转移图如图2所示。

马尔科夫模型适用于系统稳态可用度的研究中，被广泛应用于对互联计算机通信网络，雷达等复杂电子系统的建模。

3）更新过程模型

其中，Ai（t）表示系统可用度。gi（t）是定义在[0，∞]上的非负、在任何有限区间上的有界函数，在计算可用度时，通常这个函数是不同装备服从任意分布的维修，寿命，保障延误的时间。

马尔科夫更新模型的建模流程：

（1）模型假设，构建服从一般分布的各统计量；

（2）系统状态转移关系确定；

（3）半马尔科夫表达式确立，并对相应的概率进行Laplace-Stieltjes变换；

（4）构建马尔科夫更新方程组，根据极限定理及洛比达法则求解系统稳态可用度，系统的瞬时可用度可根据更新方程组直接拉氏反变换求得。

马尔科夫更新模型适用于估算通用性的系统效能，武器系统的可用性及备件更换方面等。其优点在于能适应各种分布类型的问题求解，不足之处是计算过于繁琐。

2.2　统计模型

现场数据统计方面的研究主要是按照可用度的定义，对历史数据或仿真数据进行研究，运用数理统计的基本理论与方法得到的相应结论，即统计规律意义上的装备可用度的估计值或置信区间。

这里我们重点介绍蒙特卡洛仿真方法。对于复杂可修系统或者寿命或维修时间不遵从指数分布的系统的可用度分析，经常还需要借助仿真技术来实现，蒙特卡洛（Monte Carlo）仿真是常用的仿真技术。

蒙特卡洛仿真的步骤：

（1）构造或描述概率过程；

（2）实现从已知概率分布抽样；

（3）建立各种估计量。

蒙特卡洛仿真方法一般不单独使用，它一般有模型条件的限制和输入数据的要求。根据一般可用性仿真的要求，建立了仿真方法的一般流程示意图，如图4所示。

统计方法通过历史数据或仿真数据，只能获得系统可用度的估计值或置信区间，无法获得系统准确的瞬时可用度。并且这种统计意义下的系统瞬时可用度根本无法反映系统瞬时可用度波动的内在机理，不利于研究的展开。但是，统计方法却可以作为模型有效性验证的重要工具。

2.3　综合类模型

随着相关领域的发展，离散事件、神经网络和遗传算法等模型被广泛的应用于可用度的s建模领域。文献[4]建立了对预防性维修的单部件离散可修系统的瞬时可用度模型，利用概率分析的方法详细讨论了系统正常、修复性维修和预防性维修3个状态之间的转移关系。文献[5]利用神经网络学习能力强，分布式，并行性和非线性的特点，结合装备可用度的计算要求，建立预测模型，通过训练及预测结果，确定网络模型结构。文献[6]针对部件寿命服从非指数分布，维修属于非马尔科夫过程的复杂设备为对象，以系统可用度为优化目标，以预防性维修周期为优化变量，基于蒙特卡洛和遗传算法研究预防性维修策略的优化问题，建立了设备可用度的优化模型，并将遗传算法中的个体进化搜索用于维修策略优化。同时，粒子群算法也被应用于可用度的建模中。

2.4　模型的适应性

表1是对各种模型适应性的分析，经过研究得出每一种建模方法适用于可用度建模的类型、考虑因素和应用领域。

3　总结

在可用度建模过程中，由于各种原因，往往遇到很多困难，本文的研究提出了一套较为完整的可用度建模方法，全面的分析了各种方法的适用条件和考虑因素，为复杂系统的可用度建模提供了依据，为设计和保障具有高可用性的装备提供了技术支持。

参考文献

［1］Machere Y， Koehn P， Sparrow D．Improving reliability and operational availability of military systems[C]// IEEE Aerospace Conference.2005，3489-3957.

［2］徐廷学．导弹武器系统的使用可用度[J]．航空科学技术，2000，3：34-35.

［3］单志伟．装备综合保障工程[M]．国防工业出版社．2007，4-5.

［4］杨懿，王立超，邹云．考虑预防性维修的离散时间单部件系统的可用度模型[J]．航空学报，2009，30（1）：67-69.

［5］段志勇，张彤，等．基于BP神经网络的飞机完好率建模研究[J]．航空计算技术，2007，37（3）：37-40.

第4篇：数学建模常用算法范文

将基于图形和基于语言的设计方法结合起来最能准确描述DSP系统。DSP建模软件行业专家The MathWorks提供了一种称为Simulink的时序精度的图形化设计环境和一种称为MATLAB的数学建模语言，从而满足了这种二分法。 　Simulink非常适合DSP设计的“系统”方面，包括输入输出接口和存储器数据流的控制与同步。Simulink还以模块集的形式提供了一个丰富的预定义DSP算法集，可以用来构建DSP系统。不过，对于专用算法的建模来说，Simulink并非总是最有效的开发环境。它不必要地增加了设计人员考虑时序精度的负担，并且强制用图形模块集而非简明的文本表达式来构建底层的算术运算和数组操作。

有些DSP算法开发人员发现MATLAB语言最能满足他们喜欢的开发方式。MATLAB具有针对信号处理、通信和小波处理的1000多种内置函数和工具箱扩展，为复杂算法的开发和调试提供了丰富且易用的环境。 　Simulink利用一个嵌入式MATLAB模块将这两种建模环境统一起来，该模块允许MATLAB模型在Simulink内部仿真，再通过Real-Time Workshop编译成C代码后在DSP处理器上实现。

Xilinx System Generator for DSP是一种广泛公认的高效工具，用于在FPGA中创建DSP设计。SystemGanerator for DSP提供了基于Simulink的图形环境和Xilinx DSP核的预定义模块集，这同时满足了系统架构设计师和硬件设计人员的需要，前者需要把组件集成到设计中，而后者需要优化实现。不过，System Generatorfor DSP缺少对基于MATLAB的设计流程的支持。

DSP硬件系统

System Generator for DSP非常适合DSP系统建模，它不仅包括核心DSP算法，还包括针对外部总线、存储器读写访问、系统数据同步和整体系统控制的同步接口。System Generatorfor DSP提供了面向控制的模块(如MicroBlazeTM处理器)，还提供了用于实现DSP系统同步的各个寄存器、延时器和存储器模块(如图1所示)。

自定制DSP算法

任何DSP系统的核心都是算法。算法与系统的区别在于所产生的输出是基于给定输入集的函数，与时钟或硬件无关。这可以由以下简单公式表示：

y=f(x)

我们可以分别在FPGA、DSP处理器和软件上执行一种MATLAB定义的算法，它们对时序精度的理解各不相同。

算法的这种特有性质具有两大好处。

首先，算法开发人员完全不用顾及硬件实现细节，可以只专心于算法功能。正因为如此，今天在DSP中使用的算法估计有90％都是首先作为MATLAB模型出现的，即使设计流程表明它们此后还要重新实现Simulink图或System Generatorfor DSP图。用一个简单的MATLAB语句就可以计算4×1 024数据矩阵的快速傅里叶变换(FFT)，不必考虑基数、扩展性、缓冲或有效信号的同步，如下所示：

y=fft(data，1024)

其次，在建立算法模型时，给定的输出集总是对应于给定的输入集；因此，不必在生成的硬件中解决同步问题。这就使算法具有可通过AccelDSP这样的综合工具进行调度的固有“可调度”性。由于硬件要求，可能需要使用多个时钟周期来计算一个输出(如资源共享MAC FIR滤波器的情形)，但这种操作却非常适合AccelDSP综合工具的自动流程。加入一个简单的硬件握手接口即可为集成到整个系统敞开方便之门，如图2所示。

AccelDSP和System Generator工具一起使用

A cc eDSP综合工具可依据浮点MATLAB模型生成System GeneratorIP模块，从而使System Generator forDSP能够支持DSP系统和算法两种建模方法。这样可以产生与用嵌入式MATLAB模块功能相似的FPGA设计流程(见图3)。我们可以用Xilinx DSP模块集实现系统设计，而用浮点MATLAB实现算法设计。用AccelDSP综合工具创建的System Generator IP模块是具有时序精度特点的定点模块。

卡尔曼滤波器示例

我们来看一种用MATLAB编写的高级算法，使用AccelDSP综合工具进行综合，然后将算法集成到Syst emGenerator模型中。卡尔曼滤波器是一种特殊类型的自适应递归滤波器，非常适合将多个有噪声的信号合并成一个较清晰的信号。卡尔曼滤波器以对象(如由地面雷达跟踪的商用飞机)的数学模型开始，使用该模型预测未来行为。然后，滤波器使用实测信号(如返回到雷达接收器的飞机特征信号)定时校正预。

以下是一个卡尔曼滤波器的MATLABM文件。该算法定义矩阵R和I，这两个矩阵描述了实测信号和预测行为的统计数据。算法的后九行是前向预测代码和自我校正代码。

像加减这类常用运算符是在A或P_cap这类数组上运算，无须像C语言所要求的那样编写循环语句。二维数组自动以矩阵相乘，无须任何特别注释。

MATLAB运算符(如矩阵转置)可以使MATLAB代码短小易读。而像矩阵求逆这类复杂运算可以用MATLAB丰富的线性代数功能完成。虽然可以将这种算法构建成框图，但这样做很容易使算法结构在MATLAB中显得费解。有了AccelDSP综合工具，就可以用AccelWare IP工具套件将复杂的MATLAB工具箱和内置函数(如卡尔曼滤波器示例中使用的矩阵求逆)直接赋予硬件。这些工具套件提供多种矩阵求逆方法。核的选择取决于矩阵的大小、结构和值。

我们再回到卡尔曼滤波器示例，最适宜的方法是使用AccelWare QR矩阵求逆核。AccelWare核是依据MATLAB语法生成的，可有多种硬件实现架构，这些架构允许用户对设计进行速度、面积、功耗和噪声优化。为了使用AccelWare功能，需要对代码进行以下小修改：

用AccelDS P综合工具综合MATLAB可以使用AccelDSP综合工具进行浮点仿真，以建立一个基准来参考。然后将设计转换成定点，以便进行定点效果仿真。有诸多功能可以帮助分析这些效果和定点设计(如饱和与四舍五入)。数据位宽的增长可以用户控制的方式自动传播到整个设计中。这种算法设计浏览过程可以帮助您获得理想的量化结果，此量化结果能够在控制上溢出／下溢出的同时尽量缩小位宽，以便尽早在硅片面积与性能指针之间进行权衡。一旦确定了适宜的量化结果，使用AccelDSP综合工具的下一步就是为Xilinx目标器件生成RTL。可以通过使用表1所列综合指令来规定硬件含义。使用这些指令可以规范基于硬件的设计浏览，使设计小组能够进一步提高结果质量。在综合RTL时，AccelDSP综合工具评估和调度整个算法，并且在可能时进行边界优化。

AccelDSP工具在整个流程中都保持始终如一的验证环境，这是因为使用了自校验式测试平台，即使用MATLAB定点设计时生成的输入／输出向量来验证生成的RTL。AccelDSP综合工具还会报告卡尔曼滤波器的流量和延时量，这是衡量设计是否满足指标以及生成时序精度的SystemGenerator模型所必需的。生成System Generator模型

成功完成RTL验证之后，即可通过单击“Generate Systam Generator”图标来为设计生成System Generator模型。AccelDSP工具产生一个可支持仿真和RTL代码的System Generator IP模块。

此时，设计流程过渡到Sy stem Generator for DSP，其中可以在Simulink库浏览器中使用卡尔曼滤波器的新模块，只需选择卡尔曼滤波器模块，然后将其拖入到目标环境中，便可将AccelDSP生成的卡尔曼滤波器集成到System Generator设计中。

第5篇：数学建模常用算法范文

关键词：信息与计算科学；学习方法

信息与计算科学专业涉及科目较多，交叉课程也比较多，如何高效学习笔者认为应从两方面做起：一是对课内专业知识的积累；二是对课外创新项目实践。学好课内专业基础理论知识是搞好课外创新实验项目的基础和前提；反之，创新实验项目是对课内所学专业知识的具体实践和运用。

一、学好课内专业知识的方法

对于课内专业知识的积累来说，比如数学分析、高等代数、概率论与数理统计、常微分方程、数理方程、信息论、数据库、计算机图形学、计算机程序设计等，要想最大限度地提高效益和收获知识，在课堂上必须培养卓有成效地听课和记笔记这一基本习惯，并且在课后及时认真复习。

（一）高效率听课。听课是整个理学学科学习过程链条上的中心环节，是获取书本知识的主要阵地。竭尽全力地听好教师的课堂讲授，是赢得优异学习成绩的重要基础和必要条件。要想听课效率较高，就必须在听课前要有充分的准备。 首先，充分复习前一节课的内容。课程内容前后章节具有连贯性，衔接性和穿插性。只有对前一节课的基本概念、定理、方法深刻理解和牢固掌握，才能在听后一节课时具有坚实的基础，从而从容不迫、左右逢源。其次，预习好本节课即将讲授的内容。听课前认真预习本节课即将讲授的内容，标记出自己的疑难点，使自己在听课时一目了然，心中有数，胸有成竹，从而更加清醒主动，全面周到，富有成效。

（二）高效率笔记。记笔记可以储备资料，积累素材。尤其是对于我们信息与计算科学这一理论性很强的专业来说，记笔记可以为课后复习、考前应试和将来深入钻研，储备充足的资料、积累丰富的素材。 记笔记有助于听课时集中注意力。专心致志地详细记笔记，就会高度注意听取教师讲述的每句话语和在黑板上书写的每段文字、每个公式，从而就顾不上走神去想其它事情，也不会被外界干扰所吸引而转移注意力。

（三）课后及时高效复习

学过的课内理论知识如果不科学而有效地进行复习，就可能很快被遗忘。要牢固掌握，形成能力，复习必须有章可循。首先，课后应该及时回忆 学过的新知识，如同“过电影”。及时复习是一种积极主动的习惯，须高度集中注意力，把学过的知识在头脑中“再现”一遍，从而巩固所学知识。其次，要想牢固掌握所学知识，必须经常定期复习。即使是复习过的内容仍须定期巩固，但是复习的次数应随时间的增长而逐步减小，间隔也可以逐渐拉长。从时间安排上，可以当天巩固新知识，每周进行周小结，每月进行阶段性总结，期末进行全面系统的总复习。每单元进行知识梳理，每章节进行知识归纳总结，必须把相关知识串联在一起，构建知识结构，形成知识网络，达到对知识的整体掌握。

二、搞好课外创新项目的实践

（一）培养创新实践意识和能力。首先，作为信息与计算科学的学生，要对创新实践项目充满浓厚的兴趣，要敢于实践，勇于创新，在解决实际问题中提高自己的创新实践能力。课余时间，要积极听取本专业学术相关的专题讲座，扩大自己的视野，使自己获得相对多的信息量，更加深入地了解信息与计算科学的发展前景。 其次，我们可以到本学院的实验基地，练习使用matlab、sas或lingo软件编写相关程序解决工程作图，实验数据或时间序列等拟合、插值问题。也可以根据自己的兴趣、爱好设计一些短小精悍的算法，编写一些C、C++、Java小程序，以提高计算机编程解决实际小型实际问题的能力，为参加校级或省级ACM程序设计大赛和计算机综合技能大赛打下坚实的基础。

（二）积极参加数学建模竞赛。积极参加数学建模竞赛是搞好课外创新项目实践的关键，参赛应注意以下两点：

1.数学建模竞赛要用到数学知识，但与纯数学竞赛不同；用到计算机，甚至离不开计算机，但却不是纯粹的计算机竞赛。它涉及物理、化学、生物、医学、电子、农业、管理等各学科、各领域的知识，但也不是这些学科、领域里的纯知识竞赛。它要用到各方面的综合的知识。参赛选手不只是要有各方面的知识，还要驾驭这些知识，应用这些知识处理实际问题的能力。

2.尽量熟悉数学建模的常用方法：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题；动态规划、分治算法、分支定界等计算机算法；模拟退火法、神经网络、遗传算法，蚂蚁群算法，免疫算法；数值分析算法 ；网格算法和穷举法；图象处理算法等。不一定要求这些方法都弄透弄懂，但至少要了解，遇到具体实际问题时要有意识的去运用。

参考文献：

第6篇：数学建模常用算法范文

【关键词】数学建模教材改革教学目标创新能力

【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】1006-9682(2010)3-0026-02

一、数学建模的教学

1.数学建模的教学现状

数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视,国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛,数学建模教学和竞赛已是高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的一个重要方面,努力探索更有效的数学建模教学法和培养面向21世纪的人才的新思路是我们的重要任务。

全国有600多所学校开设了数学建模课程,有200多所学校只开设了数学建模讲座,有200多所学校增设了数学建模竞赛培训课。每年全国有30个省市(包括港澳)1000多所学校,15000多个队参加数学建模竞赛,参加人数45000人,是目前高校学生最大的课外活动。

2.存在的问题

数学建模方面的教材举不胜举,每部教材都有其各自的特点。然而与此同时,很多教材也存在一些问题,一些教材在内容上安排不当,与其他课程缺乏系统的匹配和整合。在数学建模的求解技巧方面下了功夫,但却忽略了模型建立的过程,忽略了多学科的横向交叉联系,一些内容与其他内容有重叠现象。这样做的后果,不仅使学生丧失了学习的热情和兴趣,而且重要的是学生解决实际问题的能力得不到应有的锻炼与提高。本问卷调查的目的是想通过问卷调查了解高等院校在进行数学建模教学和数学建模竞赛培训时,重点进行了哪些内容的教学?还需要增加哪些内容?介于数学建模教材比较多,我们以赵静、但琦编写的《数学建模与数学实验》教材为基础,为配合数学建模教学研究项目,笔者调查了我国部分高等院校对该教材使用的相关情况,对结果进行分析和研究,提出了相应对策,旨在为本教材内容改革提供一些参考数据。

二、数学建模教材讲授情况

此次调查的内容主要包括:哪些学校使用了我们的教材,教学过程中使用参考资料情况,讲授中主讲哪些内容,以及建模竞赛获奖情况等方面。调查采用问卷的形式,通过向各高校发送E-mail进行,本次调查共发送问卷120份,收回问卷72份。现对调查结果分析如下:

1.课程开设情况

在回收的问卷中,学校层次大多是普通院校(92%)。调查结果显示,有83%的院校采用了我们的教材,其中使用第三版的占58%,另外17%的作为参考资料使用(见表1)。表明我们的教材反应良好,被多所学校数学建模与数学实验课程或大学生数学建模竞赛辅导作为教材选用,且使用最新版次的居多。

注:表中百分数=选择该项的院校÷问卷调查总院校数(以下表中百分数均同此公式)

回收问卷中所有院校均开设了数学建模课程,通常以必修课、选修课和培训课的形式来开设,当然有些院校根据专业的不同,同时以两种以上的形式来开设。经统计有50%的院校将《数学建模》作为必修课程,有75%的院校作为选修课,另外还有42%的院校开设为培训课。其中,同时开设三种形式的院校占17%(见表2)。由此可见,数学建模课程在各个院校中都有着举足轻重的作用。

另外在问卷中调查了选修课及培训课课时的设置情况,统计结果如下(见表3):选修课时在30、40的院校均占33%,课时在50或60以上的院校均占17%,而培训课40以上课时的院校占50%,25%的院校设置30课时,仅有25%的院校设置课时在20课时以下。由此看来,数学建模课程以及数学建模竞赛活动受到了大多数院校的重视。

2.教材中讲授内容情况

教材承载的是由教学目标所确定的内容,但不完全等同于教学内容,教材还要注意课程理论的统一性和逻辑性,兼顾人们认识事物由浅入深的规律。问卷中针对教材需要删减或修改的章节进行了调查,结果见表4。

结果显示:线性规划、整数规划、非线性规划、微分方程、最短路问题、插值与拟合是建模竞赛中的热点问题,历年的建模竞赛试题中出现最多的便是优化问题。因此,70%以上的高校选择这些章节作为主讲内容;而50%的院校建议删除组合数学章节,20%的院校选择把差分方程和数据的统计描述两章删除;大多数高校建议修改线性回归、MATLAB入门、动态规划等章节;大多数高校建议把涉及到优化问题的章节合并在一章中讲解;把涉及图论问题的章节作为一章来讲授;把微分方程、差分方程合并成一章(见表4)。

在问卷中关于第四版是否需要增加两章内容:一是综合评判(包括层次分析法;模糊综合评判;灰色综合评判),二是预测模型(包括灰色预测;指数平滑法;神经网络;组合预测),经统计有95%的院校认为需要增加。最近几年建模题型不断有新的变化,评价和预测模型显得异常重要。

问卷中关于本书是否还需要增加哪些软件(如:是否需要介绍统计软件SPSS、图论软件等)进行了调查,经统计有90%的院校认为不需要。其实LINGO、MATLAB两个软件基本可以解决数学建模里面所有模型的求解,学生掌握不了过多的内容。

三、教材内容改革方案

1.关于教材内容

教材是实现教学目标的基础,课程知识体系最终要通过教材表现出来。《数学建模与数学实验》[1]教材集数学知识、数学建模和数学实验为一体,既简要介绍一些最常用的解决问题的应用数学知识,又联系实例介绍应用相应的数学知识建立数学模型,并用合适的数学软件包来求解模型。本教材更注重应用数学知识以及软件的使用,被多所学校数学建模与数学实验课程或大学生建模竞赛辅导作为教材选用。但是基于上述分析,还存在一些需要修改的地方,结合上述问卷调查情况,经多方论证,改革后的教材体系具有下述特点:

(1)在知识体系下,不仅考虑自身内容的系统性,而且要注意与其他课程的衔接和匹配。应剔除重叠部分内容,添加常用的模型。修改如下:差分方程作为微分方程的一种解法,可与之合并作为一章,仅做一个简单介绍,并编写matlab程序求解;线性规划、整数线性规划、无约束优化和非线性规划合并为一章;最短路、匹配、旅行推销员问题以及最大流问题四章可合并成两章;而数据的统计描述和分析作为仅有的统计方面知识,将被保留,与线性回归合为一章。为适应近几年建模题型的不断变化,增加两章:综合评判模型以及预测模型;删除组合数学章节。

(2)各部分具体内容的表述与传统教材有所不同。需改动部分主要有:①第一章作为课程的引入,应添加一些学生感兴趣、较简单的初等模型,如椅子能否放稳?商人过河等模型。而人口模型属于微分方程模型,应放在第八章。②在线性规划部分的例子需做斟酌,选取适当的例子,无需过多;③第八章微分方程第一节的例子,应修改为人口模型和兰切斯特模型,这些模型涉及实际问题,以之为背景引入相关知识,更容易引发学生的兴趣和热情。

(3)每章均按模型、理论、求解、案例的格式编写。采用问题导向型的论述模式,以实用型为主,兼顾理论系统。以实际问题为背景,引入相关概念,并建立模型,进而运行几何或其他直观手段说明求解的基本思想,结合例题演示求解过程,并尽可能对计算结果给予有实际意义的解释。与此同时,理论体系的完整性,论述的严谨性仍给予一定程度的关注,一些重要的原理和结论要做比较深入的讨论和必要的推导论证,并突出讲解算法的思路脉络。需修改的章节有:第四章整数规划,添加用LINGO工具箱求解整数规划,添加建模案例;第七章动态规划,增加模型求解程序或求解实例,添加建模案例。

2.关于软件

教材[1]选择了LINGO和MATLAB两个软件,MATLAB提供了强大的求解工具包,界面清晰、操作简单。LINGO软件程序简单,对求解优化问题极其有用。教材中已介绍了MATLAB入门知识,需增加LINGO入门,包括灵敏性分析等相关知识。LINGO可以求解大规模问题,有利于学生以后解决实际问题。针对我们期望的章节格式,每一模型都要有软件求解方法或者是求解实例,因此第七章动态规划需增加求解程序。

与我国高校的其它数学类课程相比,数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活,对教师和学生要求高等特点,因此,数学建模的教学本身应该是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。而教材是实现教学目标的基础,课程知识体系最终要通过教材表现出来。科技在不断的进步,在各个兄弟院校的相互支持、相互讨论下,我们的教材也应与时俱进,不断创新,不断完善和提高。

参考文献

1 赵 静、但 琦.数学建模与数学实验.北京:高等教育出版社,2003.6

2 姜启源.数学模型.北京:高等教育出版社,2004.4

3 韩中庚.数学建模方法及其应用.北京:高等教育出版社,2005.4

4 朱道元.数学建模案例精选.北京:科学出版社,2005.5

5 陈理荣.数学建模导论.北京:北京邮电大学出版社,2002.8

第7篇：数学建模常用算法范文

关键词：机械工程；多体系统；动力学

一、引言

多体系统是对某类客观事物的高度抽象和总结，此类系统都是由特定的一些关节把多个零部件连接为一个整体的。因此，多体系统是指多个物体以某种特定的联接方式相互连接构成的系统，物体既可以由刚体组成也可以由柔体组成。若多体系统当中所有物体都是刚体，那么这类系统称为多刚体系统，若多体系统含有一个以上的柔体，那么该系统称为柔性多体系统。多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行复杂机械系统的动力学分析与仿真。多体系统动力学就是给多个刚体组成的复杂系统的运动学和动力学分析建立适宜于计算机程序求解的数学模型，并寻求高效、稳定的数值求解方法。

通过计算机求解多体系统动力学问题对传统机构动力学分析产生了很大的影响，工程师从手工计算当中得到解放，所做的主要工作只需要依据现实情况搭建合适的动力学模型，然后交给计算机方便的求解，而且计算机还能够对结果提供分析。对之前求解极为困难甚至无法求解的复杂机械问题，现在都可以使用计算机的计算功能方便求解。

二、多体系统动力学主要研究的领域

多体系统动力学是在上世纪七十年代才逐步引起人们关注的，多体系统动力学为某些复杂系统例如车辆工程、工业机器人、航空航天器、精密的机械工程等系统产生了很大的影响。其涉及到的领域也日益广泛，特别是在复杂的机械工程中的地位也日益突出。随着国内航空航天以及机械工业的快速发展，大型多体系统的应用也会越来越多。

2.1车辆工程领域

上个世纪八十年代后期，多体系统理论和方法逐渐在汽车领域得到了应用。这标志着汽车多体系统向新的层次发展，其中许多有益的工作值得借鉴。例如：把车身处理为柔性体，离散化过程采用集中质量法，并考虑转动惯量的影响，将计算结果同有限元分析的方法进行比较；采用子结构的分析技术，车身为主结构，悬架系统处理为子结构。采用模态综合技术用自由度较少的模态坐标描述车身变形。悬架子结构用物理坐标表示，通过约束条件把整个系统组装起来联合求解。多体系统动力学可以有效的完成对整车及各零部件的性能分析和结构设计。

2.2航空航天领域

柔性多体系统动力学在航空航天当中是现今一个非常活跃的研究领域，该方法对航天器的预测能力的准确性和计算效率都很突出。包括在航天器的天线、太阳帆板的展开、反射镜的展开和重定位，航天器、机械臂的振动抑制控制，航天器的姿态控制等都有应用。

2.3机器人领域

机器人是十分典型的多体系统，机器人是自由度较多、结构复杂的多体系统，其传统的结构是由刚性座、大小臂以及三个腕关节构成的刚性多体系统，可以直接利用系统动力学方程进行求解。但是随着机器人构件不断的轻质化和柔性化，利用传统刚性机器人对其进行建模，不能很好的解决柔性机器人其动力学问题，因此对柔性机器人系统的多体动力学建模和仿真已经成为一个十分热门的问题。

2.4机械数控机床误差补偿领域

工作精度是数控机床重要技术指标之一，历来倍受重视。提高精度有两种基本方法，即误差避免和误差补偿。前者通过设计和制造尽量减小误差，设备造价将大幅上升。后者对误差修正，如补偿得当，工作精度可能超过母机。采用多体系统运动学理论，建立数控机床的全误差模型效果十分明显。

三、机械工程中多体系统动力学建模时的基本问题

3.1 坐标系的选择问题

在解决复杂机械系统问题时，选用合适的坐标系，往往能简化问题。所以在机械工程多提系统建模时第一个问题往往是采用什么样的坐标系。建立坐标系的方法主要包括：局部坐标方法，在每一个物体上建立一个局部坐标，这种方法能方便的建立每一个物体的动力学模型，是当前比较常用的方法。另一种是绝对坐标方法，整个系统使用统一的坐标系来表示，这种方法计算效率较低，目前很少采用。

3.2 对柔性体进行离散问题

柔性系统从本质上可以看作是自由度无限多的系统，不满足计算机进行数值计算的需求，所以一定要对柔性系统进行离散，常用的方法包括：有限元方法、假设模态法和有限段方法等。有限元法和模态分析两种方法相结合是目前应用较多的方法，该方法是把系统的物理坐标转化为模态坐标，如此一来系统的自由度的数目便大大的降低了。

3.3 多体系统模型的选择问题

在解决由多个物体组成的复杂机械系统动力学分析问题时，主要方法包括：矢量力学法，Newton-Euler（N/E）方法，隔离体分析，分析力学以及Lagrange方程等这几种方法构成了多体系统建模的主要内容，可以根据上述方法建立系统的数学模型，再借助计算机数值分析技术进行求解。

3.4 动力学方程数值算法问题

多体系统的动力学方程构成的系数矩阵是一个高度非线性矩阵，所以不论是方程初始条件或者参数两者中任何一个的微小变化都有可能使仿真结果有较大偏差甚至不能收敛。计算误差的积累也会导致仿真结果的不准确。针对以上问题至今没有十分理想的解决办法。目前人们在仿真时还都是采用传统的数值积分方法，如四阶Runge-Kutta法、Gear法、Newmark法等。

四、机械工程中多体系统动力学求解的一般过程

任何一个机械工程系统，其求解的一般过程都是从对几何模型通过物理建模得到动力学物理模型，在经过对物理模型进行计算机求解，然后才得到系统的分析结果，求解的一般过程如图1所示。

机械工程当中多体系统动力学的分析主要有建模与求解这两个步骤。建模包括系统的物理建模与数学建模，多体系统的物理建模指的是通过分析几何模型和简化建立相应物理模型。数学建模指的是对物理模型进行数学转化得到数学模型，多体系统的几何模型可由几何造型此模块来进行建造，或者通过其他软件建立在进行导入。通过在几何模型上施加约束以及外力等模型要素，建立起相应物理模型。在物理建模的过程当中，有时候也应用计算机进行自动建模，建立系统的运动方程，再由运动学方程构成系数矩阵，从而得到系统的数学模型。然后根据情况利用求解器中的动力学算法，进行迭代求解，最后得到多体系统的分析结果。若结果不理想，可以对求解结果再重新分析，如此反复，一直到得到比价理想的结果。

在多体系统动力学建模和求解的过程当中，还有一个问题是值得注意的，即初值的相容性，这是在多体系统求解前需要首要解决的问题，初值选择的好坏直接影响着问题能否解决。针对于比较简单的问题，初值的相容性比较容易保证，但是针对复杂的机械多体系统，一定要有初值相容性的处理算法。

五、总结

多体动力学在机械工程领域，特别是航空、航天、数控技术、机器人、机构、车辆等行业已 经得到应用，并受到有关专家的高度重视。该方法已经是机械工程中产品设计和性能优化的必要手段。其不但能实现产品的虚拟设计，而且能预测产品的动态特性，以达到最优的设计结果。随着先进的制造技术迅速发展， 多体系统动力学的影响也越来越大。不但能作为设计优化、制造生产的有力工具，而且也已成为机械工程快速发展技术的支撑。

参考文献

[1]刘又午，吴洪涛.多体系统理论在机构运动分析中的应用.机械工程学报，

1993，29（ 3）：104-1

[2]吴洪涛.建立多刚体系统动力学方程的等价性.天津大学学报，1993，26（3）：27～34

[3]Huston R L，Passerello CE.Multibody Structural Dynamics Including Transl ation Between the puters and Structures，1980，11：713-720

[4]吴洪涛，熊有伦.机械工程中的多体系统动力学问题[J].中国机械工程，2000，11（6）：608-610

第8篇：数学建模常用算法范文

关键词： 数值分析 课程教学 教学改革

“数值分析”又称“数值计算方法”，是研究如何利用计算工具（如计算机）求解数学问题数值解的一门科学，因此数值分析随着计算工具的发展而发展。它与传统的数学课程有明显的区别，它与概念、逻辑推理及各类问题求解的数学技巧相对而言不如先前数学课程那么重要，对具体问题求解方法的构造及利用数学理论对各类算法的收敛性和稳定性分析是课程的研究核心。根据这门课程的特点及授课对象的差异，本文提出了课程教学改革的思路。

一、更新观念、改革课程内容

在理、工科数学类科目教学体系中，“数值分析”是一门重要的课程，理工科学生在各自专业学习中面临各种专业问题需要建立数学模型求解，复杂的数学模型往往得不到解析解，那么如何求解？数值分析正好为他们提供了解决思路，因此能够激发学生进一步学习数学、应用数学的意识和兴趣，同时也能培养学生的创新思维和创新能力。

《数值分析》课程教学内容多，公式复杂，推导繁琐，而学时少，教师不可能对每个知识点讲解透彻，且算法实现对编程能力的要求较高，因此不少学生由于“掌握不了”容易厌学[1]。笔者认为根据学生不同专业、不同院校可以选择符合自己特色的教材。该课程授课对象主要有两类：一类是理科学生，他们学习的目标是不仅要会“使用”算法，还要会“创造”算法。另一类是工科学生，他们学习这门课程的目的主要是“使用”算法。由于这两个专业群体学习的目标不同，教材的内容、体系及侧重点应有差别。理科生学习时需要“研究”算法，学得相对精细点，学时不够，因此在学习内容的选取上可以删去一些在后续课程中将会学到的内容，比如常微分方程数值解。针对学生编程基础薄弱，可选用基于MATLAB的数值分析教材[2]，由于MATLAB编程简洁、数据处理方便，具有强大的数值计算功能，即使不具备较强编程能力的学生，学习这种教材也不至于为算法实现而发愁，为提高数值分析课程的教学质量创造了良好的条件。笔者认为基于MATLAB的数值分析教材符合创新性实践教学的要求。当然对于编程能力强的部分理科学生来说，学习C语言等高级语言的教材有利于加深对算法思想的理解。

二、课程教学方法和教学手段的创新

学生是学习的主体，教师是教学活动的引导者、组织者，因此应充分发挥学生的主体作用。传统的教学模式是教师在课堂上讲授，学生被动接受，“满堂灌”的教学模式，教师往往费力不讨好。数值分析的教学目的不仅让学生掌握算法的基本思想、基本方法和基本原理，还通过这门课程的学习提高学生数学素养，注重培养学生举一反三的能力。因此，在教学内容的讲解上要有所侧重，以主带次，在有限的学时里讲清每一个主题，突出讲授典型的、具有代表性并能体现其思想方法的常用算法和理论；对那些原理相近的内容不求面面俱到，可以精心设计教学提纲加以引导和提示，并且开发网络教学平台，把教学资源于网络平台，让学生利用这一平台以小组为单位课后讨论自学完成。数值分析课程教学可以贯彻“少而精”的原则，达到创新教学的目的。

课堂教学应激发学生的兴趣，在教学方式上，力求讲清每一个主题的实际背景、目的和算法设计的出发点，通过对实际应用背景的描述，激发学生的学习欲望。不少学生在前期数学学习中感到困惑：数学到底有什么用？以实际问题为出发点，让学生真切地体会到学习数值分析课程的意义所在。其次，充分调动学生的积极性和主动性，启发学生进行独立思考，带领学生分析算法的适用范围、优缺点，启发学生对算法进行改进。让学生明白任何一种算法都有局限性，有值得改进的地方，在课程学习中激发学生的科研兴趣。针对某一个知识点，要求学生课前查阅资料认真预习，让一些学生像老师备课一样精心准备，并上台讲解。学生经过查阅资料、独立思考这一主动学习过程提高兴趣，感受到成功的喜悦，增强自信，由对这门课程最初的“害怕”逐步变为“喜爱”，也通过这一知识点的学习掌握学习方法。我们在信息与计算科学专业学生中进行这方面的尝试，实践证明通过这种以点带面的学习，大大调动了他们的主动性和积极性。

三、重视实践环节的教学和改革

传统的课程教学重理论、轻实践，而《数值分析》是一门实践性很强的课程，学习这门课程时，应该将重点放在掌握数值分析的基本理论和思想及与结合计算机解决实际问题上，所以必须重视《数值分析》的实践教学。

实践教学环节可以分为两大类：一类是课堂实验，另一类是与工程实际背景相关联的数学问题的求解，比如数学建模竞赛、与学生专业领域相关的问题求解。对于课堂实验，教师应编写实验指导书，鼓励学生分组讨论，让学生通过实验进一步体会算法思想，掌握算法精髓。比如学习用Newton迭代法解非线性方程时，要求初值比较接近真实解，这时引导学生实验时选择不同的初值进行比较，并归纳结论；由于实际问题是不知道真实解，难以满足初值要求，因此对算法进行改进，提出了下山牛顿法，这一过程让学生在实验中自己感受，印象会深刻得多。对于工程实际问题的求解，可以引导学生分析全国大学生数学建模竞赛历届试题，并将数值分析课程中的逼近思想，如插值法、最小二乘法、曲线拟合等方法用于求解中，我们必须将数学建模的思想融入数值分析的教学中。对于学生专业领域中的数学问题可引导学生分组讨论，自己设计算法方案。通过实践环节的教学，让学生真正体会到学有所用，同时激发他们的学习热情和科研兴趣。

参考文献：

第9篇：数学建模常用算法范文

关键词 模态数据;有限元;模型修正

中图分类号TU317 文献标识码A 文章编号 1674-6708(2010)31-0189-02

0 引言

有限元模型修正是一门正在兴起的学科,近几年来,人们渐渐发现它在很多科学领域中发挥了越来越重要的作用,特别是在结构动力学、工程技术、信号处理和电子振荡等领域,有限元模型修正指的是关于动力系统模型的设计、构造和修正。在工程技术领域里,要解决工程中普遍存在的振动问题,首先就必须建立结构的动力学模型。一般的建模方法有理论建模和实验建模两种,而理论建模工程上常用有限元方法。模型修正的目的是用实测数据校正不精确的分析模型,而这些数据像固有的频率、阻尼比和振型等,一般是通过振动测试得到的。根据实测的模态数据修正模型分析得到质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵,缩小有限元模型与实测模型之间的误差,改善有限元模型[1]。

1 模型修正方法

假设由有限元方法计算得到近似的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵分别为,根据实际测量得到的低阶频率和相应的振型,一般情况下二次束的特征值和特征向量跟实际的频率和振型存在着一定的误差。模型修正方法是利用实测模态数据对质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵进行修正,使修正后的质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K满足谱约束条件[3]。

设低阶频率和相应的振型分别为:

改写成矩阵形式如下:

,

其中

。

一般的模型修正问题可表述如下:

给定,以及模态数据,求矩阵,使得

这里Sn表示n阶实对称矩阵,M>0表示对称正定矩阵,C1,C2为两个正的参数。

对于阻尼结构动力系统,如果以质量矩阵作为不变的参考基准,即取M=Ma,那么就可以直接修正阻尼矩阵和刚度矩阵[2]。在实际问题中,往往要求质量矩阵M是对称正定矩阵,我们可以先修正质量矩阵Ma,取,这里表示所有实对称正定矩阵的集合,表示Ma在上的投影,即

.

于是,我们以修正后的质量矩阵为参考基,同时修正阻尼矩阵和刚度矩阵,使得罚函数最小。

原问题等价为:

其中N为任意对称正定矩阵(一般地,取),μ是权重参数。

2 算法

给定模态数据以及,以下是求M,C和K的步骤:

步骤1 令.

步骤2 对Ma作谱分解:,其中是正交矩阵,

。

当时

当时

再计算,其中。

步骤3 对作分解:

步骤4 计算

。

步骤5 解关于x的方程Gx=b,其中

步骤6 计算,

。

其中。

在计算,

,

。

步骤7 最后计算矩阵C和K:

3 数值实例

已知某个具有6自由度的有限元结构振动系统,其分析质量、阻尼、刚度矩阵分别为:

实际测得一组不完备振动频率,写成矩阵形式如下:

相应振型向量构成的振型矩阵:

取,由上面的算法求得模型修正问题的解为

从实例的计算结果可以看出,修正后的质量、阻尼、刚度矩阵跟原来的矩阵很接近,问题的解是唯一存在的,算法具有可靠性。

参考文献

[1] Zheng-jian Bai,Delin Chu and Defeng Sun,A Dual Optimization Approach to Inverse Quadratic Eigenvalue Problem with partial Eigenstructure. SIAMJ. Sci. Comput [J],29(2007):2531-2561.

[2]M.I.Friswell,D.J.Inman and D.F.Pilkey,The direct updating and stiffness matrices. AIAA Journal[J],1988,36(3):491-493.

[3]戴华.一类二次特征值逆问题[J].南京大学学报半年刊,1988,5(1):132-140.

[4]梁俊平,卢琳璋.二次特征值逆问题的中心斜对称解及其最佳逼近[J].福建师范大学学报,1980(2):169-176.