数学建模问题精选(九篇)

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第1篇：数学建模问题范文

[关键词]运用 建模思想 解决问题

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）35-078

解决问题的教学一般要经过阅读、观察、分析、操作、抽象等几个过程。解决问题的方法有许多，但是自从新课标实施以来，关注数学建模，学会用建模思想指导教学，解决数学问题则是其极力提倡的。那么，怎样才能有效运用建模思想，帮助学生解决数学问题呢？

一、理解四则运算意义，构建解决问题的基本模型

四则运算是解决问题最基本的模型，这是因为所有的解决问题都是与加减乘除分不开的，更是在理解运算意义的基础上进行的。因此，在教学中，教师可在四则运算意义的基础上引导学生建立基本的数学模型，进而达到解决问题的目的。

例如，在解决“桌上有3个盒子，每个盒子里有5个乒乓球，一共有几个乒乓球”这个问题的过程中，教师可以结合具体情境引入“5+5+5”这个加法算式合并的例子，然后在此基础上抽象出“份数乘个数”这个数学模型，帮助学生轻松解决数学问题。

这样教学，集解决问题与理解算法于一体，不仅有助于学生认识四则运算在解决问题中的价值，而且还有效地增强了学生的应用意识。

二、探析信息的关联性，构建解决问题的关系模型

在新课改理念指引下，现行的数学教材较以往有了很大改变，那就是弱化了“数量关系”这个环节，直接从“情境创设”跳转到了“实际应用”，这对我们的教学提出了挑战。因此，教师要善于从具体的情境中抽象出数量关系模型，以使学生在直观理解的基础上把握问题之间的具体联系，并使之在建模过程中得到内化与发展，提高学习效果。

例如，在学习“购物问题”时，以下表为例，笔者是这样引导学生构建关系模型的：

1.从图中你看到了哪些有价值的数学信息？利用这些信息可以帮助我们解决什么问题？

2.从给出的已知条件“衬衣单价130元，数量2件”中，你能求出什么？（引导学生抽象出模型：单价×数量=总价。）

3.题目中有哪些未知条件？应该如何解决？（引导学生得出模型：单价=总价÷数量。）

4.在领带总价不知的情况下，铺路搭桥，从中间条件出发解决问题，得出方法模型：领带总价=500元-衬衣总价。

5.自行尝试列式计算。

在这个教学过程中，教师主要从问题之间的相互关联性入手，引导学生进行层层剥茧式的探究学习。在这个学习过程中，学生边探析边构建关系模型，轻松地解决了数学问题。

三、引导分析与综合，构建解决问题的思维模型

分析与综合是数学学习最基本、最重要的思维方法。在数学教学中，教师应注重引导学生进行分析与综合，构建解决问题的思维模型，进而促进学生有效解决问题。

例如，在解决“小英家养了12只白兔，7只黑兔，求白兔比黑兔多几只”这个问题的过程中，教师可以引导学生轻声读题，学生在一遍又一遍的朗读中得出已知条件以及具体要求的问题是什么，必要时可以通过画图的方式来帮助学生分析。

在结合图例分析的过程中，教师要引导学生说出要求的是哪一部分，以及虚线在图中表示的意义等，在此基础上，经过分析与综合得出“求比一个数多几”的问题的思维方式，从而帮助学生构建出“要求出谁比谁多几，就要从多的数中减去和它同样多的部分，用减法计算”的思维模型。

由此可见，巧用分析与综合，不仅可以帮助学生理清解题思路，找到解决问题的突破口，而且还可以逐步提升学生运用所学知识解决实际问题的能力。

第2篇：数学建模问题范文

关键词：问题预设；初中数学；实践探索；建模

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2017）02-0103-01

前言 教学预设就是根据教育目标和学生的兴趣，学习需要以及已有的知识经验，以多种形式有目的，有计划地设计教育活动。预设要求教师依据学生的兴趣、经验和需要，在与环境交互作用中进行有效的动态性调整，以引导学生生动、活泼、主动地进行对新知的探究活动。但是在数学建模教学过程中，要真正做到成功的预设并非易事。为减少误识、成功设疑，引导中学生上好数学课；为帮助数学教师收到更好的教学效果，笔者结合教学工作实践，探讨如下。

1.紧扣教学内容，数学问题的预设要贴近学生生活

数学来源于生活而最终又服务于生活。数学教学过程中，要通过各种具体生动的生活情境，让学生切实感受到"生活处处皆数学"，同时也要让学生利用所学知识去解决生活中的数学问题，感受数学的价值。因此，在数学的课堂教学过程中，要以他们的生活经验为基础，创设贴近学生的生活实际的情境，通过数学问题情境的创设，将枯燥的数学问题变得生动有趣，易于理解，从而使学生能够学以致用。

例如在"方案选择"教学实践中，笔者所选的数学例题为在某商场或超市的品牌鞋促销打折活动中，怎样买最合算？或帮助我们的父母选择什么样的付款方式买方买车最合算等，问题的成功预设，贴近生活，启发了中学生的思考，尤其是问怎样做才能最省钱？学生兴趣浓厚、注意力集中、勤于思考，计算得出最佳方式。教学完成教学目标后，数学教师适时引导，中学生发现，学好数学还能帮助我们理财、省钱，于是对学好数学端正了态度，树立了信心。

2.关爱中学生、对学情的把握要到位

新课程改革更加关注学生怎样学。数学课程标准也指出："数学教学活动必须建立在学生认识发展水平和已有知识经验基础之上。"这就是要求教师在研究教材、教法的同时，加强对学生的研究，在关注内容组织与过程安排的同时，关注学生的认知基础，关注学习能力，关注思维方向、情感态度和价值观的培养。在数学建模预设环节中，为发挥出预设的重要作用，引导学生积极启发思维，进入课堂学习状态，数学教师在预设数学问题时，要结合学情，所预设的数学问题部不能过于简单、也不能超出了中学生的思维范围。上课前，要充分解读学生，"把握学生原有的生活经验和知识背景"，一堂课下来、一个教学内容的安排对于全班中学生来说，有哪些学生基本不用引导就能掌握，换言之能自学会了；哪些中学生得在教师的点拨中才能领会；哪些中学生必须在教师的引导或是重点关注下才能达成目标的，针对上述情况，数学教师只有在课前做到心中有数，那么我们的课堂设疑才能有的放矢，为数学建模教学的顺利推进，才能发挥出应有的重用作用。

3.关注学生的情感体验，问题设计应具有梯度性

古训云"兴趣是最好的老师"。对于中中生而言，数学成绩的好坏，很大程度上要取决于学生对数学感不感兴趣。有兴趣，学习就是一种享受，没有兴趣，学习就成了一种负担。笔者通过长期的教学实践表明，兴趣的产生主要原于中学生在学习过程中不断取得的成功，成功能够让中学生达到心理上的满足，获得外界的认可，从而享受到成功所带来的快乐，而这种快乐，就是中学生下阶段学习的原动力。因此，在数学课堂教学中，我们应根据不同中学生的水平和特点，设计具有不同梯度的问题，为所有的中学生创造展示自我，获得成功的机会，增强他们学好数学的信心，使他们乐于学习，勤于思考，在不断取得的成功之中发展数学思维。

4.注重激发中学生在无疑处生疑

数学教师在力图理解学生回答的基础上，首先需在学生有疑处提问；其次，数学教师还需在中学生自以为无疑实则有疑之处提问。如"大家同意这个看法吗"，以此来激发中学生的深入思考。再比如，在数学师生共同探讨问题的检验时，教师从中学生的有关回答中感觉到学生的潜意识中只有检验合乎实际这种情况。此时，教师提问："模型是否准确？如果准确我们就可以用它，那如果不准确呢？"数学教师继续追问："要想保证我们所取得的结果尽可能准确，那么该怎么样？"这些提问要让中学生更深层次地思考有关问题，更深切地体验科学研究的态度、方法与过程。

5.以鼓励为主，积极评价中学生

教学活动是一种特殊的认识过程，在这个过程中，数学问题预设后，师生情感交流的和谐程度也对课堂教学的收效影响明显。在日常数学教学过程中，讨论是情感交流和沟通的重要方法。教师与学生的讨论，学生与学生的讨论是学生参与数学教学过程，主动探索知识的一种行之有效的方法。新课程标准要求教学要依照教学目标组织学生充分讨论，并以积极的心态互相评价、相互反馈、互相激励，只有这样才能有利于发挥集体智慧，开展合作学习，从而获得好良好的教学效果。设疑后，不要随便批评学生，针对学生多角度的回答，要耐心，要用教学智慧去成功化解。

同时在设疑后，捕捉到中学生一点点闪光点，都可以及时地给予表扬和鼓励。对中学生来讲，表扬表示老师对他们的认可，学生也相当重视老师对自己的态度及评价，老师的赞许和肯定、老师关注的一瞥、信任的点头，都会使他们感到莫大的安慰和鼓舞，同时这种满足感也会激发学生的学习动机，针对教师的问题的提出，就会积极地思考，促进了学生思维能力的发散与提高，促进了课堂教学的动态生成。

参考文献：

[1]朱昌宝.数学课堂教学精心预设智慧生成[J].现代中小学教育，2015，7

第3篇：数学建模问题范文

【关键词】课程标准 数学建模 探究性学习

一、新数学课程标准与“数学探究性学习”

新数学课程标准提出：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”这种观点认为“数学是一项人类活动”，应让学生通过自己的发现去学习数学、获取知识，实现数学的再发现和再创造，从而促进学生个人潜能的开发。“动手实践、自主探索、合作交流”的数学探究性学习方式被证明是达成这一目标的有效途径。

二、中考数学命题方向与“数学探究性学习”

近几年，各地中考数学试题中涌现出了一大批贴近实际、格调清新、富有创意的探究性试题。通过对这些新题型的研究，不仅能使学生有效地提高数学应试技巧，而且能有力地推动学生“发现潜能”的开发。这要求我们要遵循“以人为本”的精神，营造一种“问题情境一建立模型一解释、应用与拓展”的“探究性学习”教学模式。这其中数学建模和数学应用是核心、关键。

三、“数学探究性学习”的四种模式

探究性学习的模式大致可分为以下四种：“知识发生”型、“问题解决”型、综合应用型、小课题研究型。每种模式都可借助数学实验、数学建模或探究性课题等形式来实现。下面就以中考试题中出现的探究性考题为例进行探讨。

以“探索知识的发生过程”为背景的探究性学习模式。

例（2004年河北省）我们知道：由于圆是中心对称图形，所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分（如图1）。

探索下列问题：

（1）在图2给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分。

（2）一条竖直方向的直线m以及任意直线n，在由左向右平移的过程中，将六边形分成左右两部分，其面积分别记为S1和S2。

1）请你在图3中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“”连接）。

2）请你在图4中分别画出反映S1与S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“”连接）。

（3）是否存在一条直线，将一个任意平面图形（如图5）分割成面积相等的两部分？请简略说明理由。

第4篇：数学建模问题范文

把传统的应用题改为当前《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）中的解决问题，当然不是一个简单的更改名称问题。《课标》编制组主要负责人之一孙晓天教授曾说过：“解决问题脱胎于应用题，但绝不同于应用题。”

在常人眼里看来，传统的应用题教学似乎应该是与数学建模格格不入的，实际上，如果我们仔细阅读《应用题的本质是数学建模》一文，就不难发现，“应用题的本质是数学建模”。

因此，无论是传A统的应用题也好，还是现在《课标》提倡的解决问题也好，其实质归根结底都是“数学建模”：“只有同时重视学生在解决问题中的思维跨度——完成两个转化，才能大面积有效地提高解决问题的能力”，才能真正实现《课标》中提出的“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”这个最根本的目的。

运用苏教版教材初次教学速度时，本人意识到，这是小学生初次接触速度这个概念，首次建构相关的数学模型。因此本人结合教师用书中的教材编写的意图、教学目标、教学建议，结合《课标》中关于数学课程的说明，结合多年的具体教学经验，在具体教学时应非常明确地贯彻“解决问题的前提是理解概念，解决问题的关键是建构模型，解决问题的途径是学会策略”的理念。

查找资料，精心准备。在初次进行速度教学时，本人特意事先布置学生了解、测量自己步行、跑步的速度（为方便起见，没有采用时速，而是以一分钟为例，毕竟分钟也是一种单位时间），除此之外，还布置学生通过不同的渠道查找自己知道的一些交通工具的运行速度。这些由学生查找出来的交通工具的时速，都可作为本单元学习的资源。

创设情境，理解概念。具体教学时，可由学生熟悉的“比快慢”入手。在“比快慢”时，教师可有意识地引入学生现实生活中的例子，一组是路程相同时，比什么；一组是时间相同时，比什么。这样一来，既可以比快慢，更重要的是，可以借助这两组例子，引导学生明白，快慢（也即下文的速度）同路程、时间有密切的联系。

在学生回答的基础上，教师进行引导：路程相同时，比时间；时间相同时，比路程。也就是说，速度同路程、时间有关，确切地说：“物体在单位时间内通过的路程的多少，叫作速度。”

建构模型，解决问题。教师出示现实生活中的三个情境问题，分别同步行、骑自行车、开小汽车有关，分别要求学生在已知两个量的情况下，学会求第三个量。在上述基础上，引导学生刻画速度、时间和路程三者关系的模型：速度×时间=路程。教学时，侧重于将书本上的例题与学生生活中的实例有机结合起来，让学生从自己熟悉的物体简单运动的常识出发归纳出速度、时间和路程之间的关系，并用这个关系去解决实际问题。通过解决简单行程问题，引导学生自主探索速度、时间和路程之间的关系，构建数学模型：速度×时间=路程。

行程问题在小学五六年级当中多次出现，并且呈现出越来越细、越来越深、越来越难的趋势。因此，行程问题需要我们教师在教学时，除了大家公认的分析法和综合法之外，还要引导学生学会一些常用的解决问题的具体策略：

（1）动手模拟。有这样一种类型的行程问题应用题：假设一列自身长度为200米的火车运行速度为40米/秒，它通过长为3600米的隧道需要多少时间？

这一类题目，不少学生不仔细审题，马上会想当然地认为是3600÷40=90（秒）。因此，在具体教学时，我往往是引导学生“模拟操作”——以书本作为隧道，橡皮作为火车，看看到底什么时候才算真正意义上的通过。只要这样“模拟操作”，绝大部分学生就能够恍然大悟，只有当火车车尾通过隧道，火车才算真正意义上的通过。

采取“模拟操作”的策略，有助于学生在亲自动手的过程当中真正理解题意，了解有关路程这个变量的确切数值，从而有利于学生顺利解题。

（2）学会画图。画示意图比起模拟操作已经抽象了一步，它等于是去掉了题目中的次要成分，抓住问题的主要成分，有利于学生更加清楚地思考问题，提炼题目中的数量关系。

（3）抓住关键。教师在教学行程问题时，应该引导学生学会抓住关键语句，进而有助于学生理解行程问题中牵涉到的时间、速度、路程三者之间的数量关系。还是以前面所述“火车过隧道”的例题为例，当学生出现错误时，教师同样可以引导学生抓住有利于分析、解决问题的关键语句——“通过”一词。真正理解了“通过”一词的含义，才能够明白题目当中的“路程”不仅仅是指隧道的长度3600米，而应该是隧道长度外加火车自身长度（3600+200=3800米）。只有这样，才能够正确解题。

第5篇：数学建模问题范文

关键词： 数学建模 提问能力 数学教学

在数学建模中，提高学生的提问能力对帮助学生建立正确的数学模型，加强学生对数学解题规律的掌握、培养学生的数学思维等有积极意义。但是在传统数学教学中，教师对学生提问能力的培养和提高并不重视，导致学生提问能力不强，不利于学生建模能力的提高。本文就在数学建模中培养学生提问能力的策略进行了简要分析。

1.营造良好的课堂氛围

要提高学生的提问能力首先需要教师重视课堂氛围营造，让学生处在相对较为轻松和愉悦的学习氛围中，这样，学生的思维才能更加扩散，学习主动性才能增强，才有可能让学生主动提问。课堂氛围的营造需要教师转变传统教学方法，采用更灵活和多样化的教学形式，给学生更多想象和自我发展空间[1]。传统数学教学中，教师是教学主体，学生处于被动接受知识的状态。这种情况下学生根本不可能也不需要主动提问，因为教师会全部为你解释。素质教育要求教师正确认识学生的学习主体性地位，将课堂还给学生，让学生在课堂中更活跃和积极。因此，教师在教学中可以采用游戏教学法、实验教学法等让课堂氛围更活跃和轻松，为培养和提高学生的提问能力创造良好的环境。

2.创设良好的教学情境

情境教学法是新课改下经常提倡的新型教学法，这种教学法对促进教学有重要的意义。首先，在情境教学中，学生更设身处地地了解数学知识，加深对数学知识的理解；其次，在情境教学中学生提问的机会增多，更能把握应该怎样、从哪方面进行提问。例如，在立体几何图形中，教师让学生联想现实生活中的实际案例，学生恍然大悟之后自然而然就会问一句：“为什么？”这就是情境教学法对促进学生主动提问的直接作用；最后，情境教学还可以帮助学生在一定程度上提高思维的敏锐度，帮助学生更好地发展自我想象力和创造力[2]。例如，教师教学统计知识时可以利用多媒体信息技术对教学内容进行直观展示，然后让学生根据多媒体技术调查和统计本组人员。调查和统计是一项具有实践性特征的教学活动，教师通过这种教学情境可以更好地提高学生的参与积极性和有效性。而学生在积极参与中会自觉发现其问题，例如如果调查的人数更多，怎样设计表格和调查问卷更合理和便捷？这样，学生在参与实际情境的过程中不仅可以加深对数学知识的理解，还可以培养自己的提问能力。

3.提高学生的提问心理素质

学生在长期传统学习观念的影响下，在教学中不一定敢于向教师提问，尤其对于性格较为内向的学生来说，提问心理素质较低，需要教师进行积极引导和耐心指导，才有可能培养学生提问能力，并逐步提高[3]。在很大程度上，学生之所以不敢向教师提问是因为害怕教师批评他们，或者怕自己提出的问题引发笑话。这就要求教师在教学中经常鼓励学生提问，对敢于提问的学生予以鼓励和支持，如果学生提出的问题遭到其他学生的嘲笑，教师一定要帮助学生说话，如“我觉得这位同学提出的问题很好，说明这位同学有在认真思考。她提出的问题也很对，我们研究研究这个问题”。这样，学生才能不断树立提问自信，培养提问能力。

4.对学生进行积极主动的评价

教学评价是教学中不可缺少的一部分，如何利用教学评价提高学生提问自信，是教师在教学评价中必须重视的问题。首先，教师的教学评价一定要客观，对成绩优异的学生和成绩一般的学生一视同仁[4]；其次，教师在教学中要控制过于顽皮的学生，防止这些学生利用课堂的活跃度做出不当行为；最后，将学生的提问次数、提问深度等纳入教学评价内，让学生积极主动地参与课堂提问。

5.结语

在数学建模中培养学生的提问能力要求教师营造良好的课堂氛围，创设良好的教学情境，提高学生的提问心理素质，并对学生进行积极主动的评价。

参考文献：

[1]徐华.初中数学教学中培养学生主动提问能力的有效途径[J].教育教学论坛，2014，33：80-81.

[2]王义康，王航平.谈数学建模在理工科学生创新实践能力培养中的应用[J].教育探索，2012，04：55-56.

第6篇：数学建模问题范文

解数学应用问题的关键是对问题原始形态的分析、联想、抽象、将实际问题转化为一个数学问题，即构建数学模型。利用数学建模解数学应用题对于多角度、多层次、多侧面思考问题，培养学生发散思维能力是很有益的，是进行素质教育的一条有效途径。数学学习不仅要重视数学基础知识、基本技能、思维能力、运算能力等方面的训练，而且要重视在应用数学分析和解决实际问题的能力方面进行训练和提高，要让学生学会提出问题，能够运用已有的知识进行交流，并将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，从而形成比较完整的数学知识结构。

一、构建方程模型

这类问题一般要通过列方程式或方程组求解，首先要明白题意，找出已知量和未知量，并分析各量之间的关系，在此基础上寻找相等的数量关系列出方程式或方程组。必须注意，在求得方程的解之后，要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理。一要检验所求出的解是否为所列方程的解;二要检验方程是否符合应用题的题意，最终写出答案。

例1：有一个允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人.一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校.此时，若绕道而行，需要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少分钟？

解：（1）因为36+7=19>15，所以王老师应选择绕道而行去学校.

（2）设维持秩序的时间为t分钟，则

36-（t+36-3t） =6， 解得t=3

二、构建不等式模型

现实生活中普遍存在着一些量之间的不等关系，应注意相关信息的联想、发现、探索及归纳总结，能有效的考查学生的阅读能力、探索能力和建模能力，培养学生的数学思想和实际应用能力，一般当问题中出现“未超过”、“最多”、“至少”等关键词，可考虑建立不等式的数学模型解之。

例2：《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：

某人1月份应缴纳税款80元，求他当月工资是多少元？

如果某单位共有50人，某月缴纳税款3080元，且每人的当月的工资都在超过800元而不超过2000元之间，求当月工资不超过1300元的职工最多可能有多少？

解：（1）设他当月工资为x元则，500×5%+（x-1300）×10%=80，解得x=1850（元）

答：他当月工资为1850元.

（2）设当月工资不超过1300元的职工为y人，则当月工资超过1300元，但未超过2000元的职工为（50-y）人，根据题意得50×500×5%+（2000-1300）（50-y）×10%≥3080-70y≥1670， y≤23 6 ，

所以y的最大整数解是y=23

答：当月工资不超过1300元的职工最多为23人.

三、构建函数模型

现实中普遍存在最优化问题，常可归结为函数最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决，这也是近年来中考命题的一个热点，这要求我们在教学中要切实重视最值问题的探究。

例3：某校九年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元.经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系.

（1）求y与x的函数关系式;

（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？

（3）当a至少为多少时， 该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？

解：（1）设y=kx+b，x=4时，y=400;x=5时，y=320.

解之，得

y与x的函数关系式为 .

该班学生买饮料每年总费用为50×120=6000（元），

当y=380时，380=-80x+720， 得x=4.25，该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780=2395（元），显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少.

（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，则

W=xy=x（-80x+720）=-80（x-4.5）2+1620

当 x=4.5时， Wmax=1620

要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则50a≥Wmax+780，即50a≥1620+780解之，得a≥480.所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算。

四、构建几何图形模型

现实生活中，航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常构建几何图形，利用几何图形的性质，用方程、不等式或三角函数知识来解答。

例4：青海玉树地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援.如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在 处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄在北偏西26°方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达B处，GPS显示村庄 在北偏西52。方向.

（1）求B处到村庄C的距离;

（2）求村庄C到该公路的距离.（结果精确到0.1km）

（参考数据： ， ，

， ）

解：过C作 ，交AB于D.

（1） ， ，

， ，

即B处到村庄C的距离为70km.

（2）在 中，

即村庄C到该公路的距离约为55.2km.

第7篇：数学建模问题范文

关键词：鸡兔同笼 模型

有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

一、1 如果笼子里都是鸡，那么就有35×2=70只脚，这样就多出94-70=24只脚

2一只兔子比一只鸡多2只脚，也就是有24÷2=12只兔子。 35-12=23只鸡。

3那么笼子里有23只鸡，12只兔子。

4由此我们得出：（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数。 总头数-鸡数=兔数。

二、1如果笼子里都是兔子，那么就有35×4=140只脚，这样就少140-94=46只脚；

2一只鸡比一只兔子少2只脚，也就是有 46÷2=23只鸡， 35-23=12只兔子；

3所以笼子里有23只鸡，12只兔子。

4由此我们得出：（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。

三、方程法

随着年级的增加，学生开始接触方程思想，这个时候鸡兔同笼问题运用方程思想则变得十分简单。

第一种是一元一次方程法。

解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只

4x+2（35-x）=94

4x+70-2x=94

x=12

注：方程结果不带单位

从而计算出鸡数为 35-12=23（只）

第二种是二元一次方程法。

解：设鸡有x只，兔有y只。

则存在着二元一次方程组的关系式

x + y=35

2x+4y=94

解方程式可知兔子数为 y=12 则可计算鸡数为 x=23

那么在“鸡兔同笼”问题中数学模型是怎样建构的呢？

数学模型一般地说，是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的数学结构（张奠宙语），一般可分为三类：概念型数学模型、方法型数学模型、结构型数学模型（顾泠元语）。

“鸡兔同笼”问题中数学模型应该属于结构型数学模型：建模与变式理论。

日本人对鸡兔同笼问题也有研究，日本人又称它叫“龟鹤问题”。日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？是一样的意思：龟就相当于兔，都是四只脚；鹤就相当于鸡，都是两只脚。假如我们不叫它鸡兔同笼，也不叫龟鹤问题，是不是还可以给它取个其它的名字呢？看来鸡兔同笼问题中的鸡不仅仅代表鸡，兔也不仅仅是指兔！我们看有这样一首民谣：一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十二，数脚一共四十二，几个人来几个狗？在这里猎人有两只脚其实就相当于鸡，而狗就相当于兔子。

看下面的例题：

例 全班一共有38人，共租了8条船，大船乘6人，小船乘4人，每条船都坐满了，大、小船各租了几条？

这样的题怎样解呢？其实在这里我们把解决“鸡兔同笼”问题的方法迁移到这里，问题就迎刃而解了。大船相当于兔子，小船相当于鸡，此题就可以改编如下：

有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有8个头；从下面数，有38只脚。兔子有6只脚，鸡有4只脚，求笼中各有几只鸡和兔？

解：（6×8-38） ÷（6-4）=10÷2=5（只小船）；8-5=3（只大船）

例：自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子，自行车和三轮车各有多少辆？

在这道题里：三轮车相当于兔子，有3只脚，自行车相当于鸡有2只脚，解法如下：

（3×10-26） ÷（3-2）=4÷1=4（辆）；10-4=6（辆）

又如：1号、2号、3号选手进行比赛，答对一题加10分，答错一题扣6分。

（1）2号选手共抢答8道题，最后得分64分，她答对了几道题？

（2）1号选手共抢答10道题，最后得分36分，他答对了几道题？

（3）3号选手共抢答16道题，最后得分16分，他答对了几道题？

这道题依然与上述问题思路是一致的，只是兔子是10只鸡，鸡是 -6只脚，答对和答错的差值是10+6=16或10-（-6）=16

解：（1）（8×10-64）÷（10+6）

=16÷16

=1（道） （ 错的）

8-1=7（道）

（2）（10×10-36）÷（10+6）

=64÷16

=4（道） （ 错的）

10-4=6（道）

（3）（16×10-16）÷（10+6）

=144÷16

=9（道） （ 错的）

16-9=7（道）

第8篇：数学建模问题范文

作为一线教师，要改变观念,变知识的传授者为“研究性学习”的指导者、参与者,使学生由被动的接受式学习转向主动的探索性学习,师生共同营造起平等、民主、教学相长的教学氛围,从而有效提高学生分析问题、解决问题的能力。下面是我在教授青岛版小学数学四年级上册第五单元信息窗二时的一个真实课例。在讲三角形三边关系时，首次备课我设计的很简单，认为就是一句话的事，只要记住“任意两边之和大于第三边”就行了，一节课既讲三角形的稳定性、三边关系，又讲三角形三边上的高、三角形的内角和，结果学生靠死记硬背记住了“任意两边之和大于第三边”，实际应用却一塌糊涂。没办法，我只得二次备课。这次我把三角形三边关系单独列为一节课的内容，设计了一系列操作练习，为学生构建数学模型，让他们通过小组合作或自己动手、动脑，找出三边关系。下面是不同的授课阶段所构建的数学模型。

1 导入阶段

为了激起学生学习的兴趣，也为了让学生对三角形的稳定性有一定的了解，我们先来做了一个实验：请一位男同学（男同学身强力壮）拿着一个用三根木条做的三角形的框架。请一位女同学（女同学身单力薄）拿着一个长方形的框架。预先请同学们猜想一下结果：在不损坏木条的情况下，使上台的这两位同学手中的框架变形，哪位同学能获胜呢？（结果认为男生获胜的同学局多）一番比较之后，比赛结果却是：女同学获胜。出人意料的结果让同学们惊呼，同时也引发学生思考，从中发现三角形比较坚固、结实。一起得出三角形的特性——三角形具有稳定性。学生兴致高涨，对本节课内容跃跃欲试。

2 新授阶段

请同学们拿出表格和提前准备的多根小棒，要求从这几根小棒中，任意取出三根来（强调任意是什么意思），用尺子测量出长度，然后把长度分别记录在表格中，再用这三根小棒来围三角形，并把结果记录在表格中。两人合作，一人围，一人记录。比比看哪个小组围的情况多。

同学们记录、测量，忙得不亦乐乎，很快表格就填了大半。请同学收起小棒后，我提示他们仔细观察数据，有什么重大发现，并请同学说一说都围出了哪几种情况？（此刻，我发现很多同学做出了侧耳倾听的动作）学生汇报，我记录在下表中。

从中选两种不能围成三角形的情况，在展台上展示出来。并请部分同学来展台上围一围。看着这些不能围成三角形小棒的长度，谈谈你的发现。很快就有学生抢答：

生1回答说“两条较短的边的和小于最长的边，这三根小棒就不能围成三角形。如1+3

生2回答说“两条较短的边的和等于最长的边，这三根小棒也不能围成三角形。如1+2=3，2+2=4”

为了加深印象，我问“谁能把他们的意见用一句话总结？”（加深对规律的认识）有了前面的操作，学生们抢答“当两条较短边的和小于或等于最长的边时不能围成三角形。”

那么什么情况下能围成三角形呢？有了刚才的经验，大部分学生迫不及待地回答“当两条较短的边的和大于最长的边时，就能围成三角形了。如2+4>5 ,2+2>2 , 3+4>5 , 1+3>3”

3 练习巩固阶段

同学们通过自己动手围小棒，发现了三角形三边的秘密。真是这样吗？下面一起来验证这个规律吧！你能用这个规律来快速判断三条线段能不能围成三角形吗？

3.1 出示四组线段：（哪组小棒能围成三角形？并说明理由。）

A、3cm，1cm，2cm B、3cm，3cm，3cm

C、2cm，5cm，5cm D、1cm，1cm，3cm

有了前面的基础，学习有困难的学生也跃跃欲试，A不能，1+2=3 ；B 能，3+3>3 ；C能，2+5>5； D 不能1+1

3.2 帮小猴来钉三角形。

小猴只有8cm和12cm的两根木条，再取一根多长的木条（取整数）才能钉成一个三角形呢？看谁写的答案多？（并说说你是根据什么规律来写的。）

第9篇：数学建模问题范文

关键词：形象 抽象 数形结合

《数学新课标》中指出：“课程内容不仅包括数学的结论，也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法。”小学数学是义务教育的一门重要学科，教学内容虽然直观、浅显，但在不同的知识中却蕴含着深刻的数学思想方法。知识只有在方法的引领下才能显现出知识的活性，才能让学生更科学合理的接受知识，这要学生的发展才是可持续的健康发展，否则知识就是知识，是一种没有灵性的僵硬学问，如孙悟空头上的紧箍咒一般，学的知识越多越复杂越头疼，学生遇到新的问题越多，找到解决问题的办法越困难。因此，根据《课标》倡导的精神，在小学数学教学中很有必要有目的、有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法，我将试图结合教学实践，对数学思想方法在小学数学教学中的渗透谈谈个人看法。

数和形是数学研究的两个主要对象，两者既有区别又有联系，在很多时候就像一对孪生兄弟，形影不离，数中有形，形中有数，相互促进。数形结合就是数量关系与空间形式有机结合，其本质是形象思维与抽象思维的相互转化切换。数形结合是双向的，一方面抽象的数学概念、复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化，另一方面复杂的形体可以有简单的数量关系表示。

一、以形辅数

用画线段图分析问题就是很明显的数形结合问题，如哥哥和弟弟有同样多的糖果，现在哥哥让出4块糖果给弟弟，弟弟的糖果数变成了哥哥的2倍，问他们原来各有糖果多少块？把这题交给孩子去解决，大多数孩子想用算式来求得结果，可是却无从下笔，原因是题目的数量仅凭孩子去想象，很难理清，既是找到了数量关系，要用算式表达出来也还很不容易 ，怎么办？好在题目数据不是太大，有相当一部分学生根据生活经验，选用一些数据去尝试，最终找到了答案，或者说是猜出了结果，仅仅是猜对了，解决问题的能力还停留在原有的水平上，并没有得到促进，以后再碰到类似的问题，学生还是不能顺利解决，如何让题目的数量关系更加清晰呢？借助线段图来表示题目中的数量关系，就是一种很好的方法，先让学生找到关键句弄清谁与谁比（哥哥和弟弟），数量大小现在什么关系（相等），用画线段图表示数量时，两条线段的长度有什么关系，学生很自然就会画出两条相等的线段来表示他们的糖果数相等，哥哥让给弟弟4块糖果，现在满足弟弟的糖果数时哥哥的2倍，用线段图该怎么表示，无需老师点拨，学生就用线段图正确表示出了数量关系，换了一个角度顺利的解决了问题。我们让学生经历结果产生的过程，而非告知结果，我们应该让我们的教学自然流畅而非人为干预引导，这样一来，不但解决了问题，同时又让学生在思维上得到了突破，克服数学问题必须用算术法来解决的思维定势，拓展了学生的视野，提高了学生思考的维度，让学生从具体的事例中体会到数形结合优越性。

二、以数解形

有关图形中往往蕴含着数量关系，特别是复杂的几何形体可以用简单的数量关系来表示。而我们也可以借助代数的运算，常常可