初中数学动点与最值问题精选(九篇)

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第1篇：初中数学动点与最值问题范文

实施数学教学生活化的策略

数学认知加工教学模式初探

数学课中的题组教学

从“焦点”植入中考谈解题技巧

一堂数列课的教改实践

注重“一题多解、一题多变”追求有效教学——记一堂高三复习公开课及教学反思

一道圆内接四边形面积最值高考题的研究

精心设置问题串意义建构结论

《数学通报》1898号问题的简解及应用

一个代数不等式及其若干几何推论

离散型多变量条件极值问题新探

一个三角形面积关系式的再探究

探究2011年浙江省数学高考解析几何试题的来源及解法

对2011年全国数学高考理科第21题的深入探究——兼谈圆锥曲线的一个统一性质

一道全国初中数学竞赛试题另解与联想

运用广义对称妙解竞赛题——2011年全国初中数学竞赛压轴题的解法探究

稳中求新促进评价——浙江省2010年高中数学会考简析

刍议新课程教学实践中的几个重要关系

“方程的根与函数的零点”问题串设计赏析

习题教学中如何培养学生的数学思维品质

题不在多有悟则灵——谈一道高考题的探究

数学解题中的规定动作与自选动作

动点问题教学之我见

从良好学习方式的形成看数学课堂中有效学习的策略

一个图形的演变与推广

简议中学教育类数学期刊的定位与创新愿景

新课标高中数学课堂教学中的题型设计

抽象函数的对称性与周期性刍议

四面体中的Cordon不等式

一个重要不等式的简证与求商法的应用

用代换法求无理函数的值域

聚焦高等数学知识背景审视高考数学创新题型

中考试题中的动态型问题解析

一道“希望杯”试题的命题背景和推广

从一道联赛题谈导数零点的3类特殊求解策略

用观察、类比和联想思想解数学竞赛题

分类讨论思想在初中数学竞赛中的应用

谈初中数学竞赛中的面积问题

估算在数学竞赛中的应用

整数的离散性和整最值问题

活跃在竞赛试题中的递推数列

应用特殊与一般思想解竞赛题

函数与方程思想在高中数学竞赛中的应用

运用转化与化归思想解竞赛题

用对应与计数法解竞赛题

运用类比思维求解数学竞赛题

2009年浙江省希望杯数学竞赛(复赛)试题初三卷评析

对3道2009年浙江省数学竞赛解答题的探究

一个三角不等式与一道全国初中联赛题

思维惯性与奥数解题

数学中的演绎与逻辑

几何证明的桥梁——“辅助圆”

谈一道几何竞赛题的创编过程

对一道初中几何中求角度竞赛题的多种思考

巧构几何图妙解代数题

解题教学与学生思维发展——例谈一道经典考题的铺垫、变式、拓展与延伸

动态几何问题演变趋势

数学问题式教学中培养学生创造性思维能力的策略

越演越烈的中考折叠型试题

第2篇：初中数学动点与最值问题范文

关键词：合作学习；初中数学；教学质量

合作学习的模式指的是利用小组合作的形式探讨或者研究同一个问题，通过大家的共同努力最后得出共同的结论的过程。在这种模式当中，小组成为一个统一的单位体，每一个组员都是为小组的共同目标而努力奋斗。在新课改的背景之下，合作教学的方法受到老师与学生的欢迎，所以，在初中数学教学中运用得越来越广泛，老师与学生成为合作教学模式下的受益者。本文在翻阅了海内外关于合作学习的课题研究以及各类文本材料后，得出了合作学习法具有强大的魅力，能够提升初中数学课堂品质的重要结论。

一、合作教学的意义

随着时代的发展，人们在学习生活中，越来越看重双赢的模式，而合作学习就是建立在双赢的模式基础上的。在时代的改革浪潮中，具有先进意义的优秀教学方法会脱颖而出。那么，在老师的教学中加入合作教学法，是符合教师教学的基本原则的，是积极响应提高学生数学修养的号召的，是对学生学习知识内容的批判性发展。在我国的教学发展过程中，起初学生或者老师对于合作学习的意识还非常薄弱。因为合作教学法为现代教学模式开辟了新路径，所以，许多教育改革者提倡老师在日常的教学当中能够多运用合作教学法。在老师占据主导地位的课堂当中，学生的主体性往往被忽略了，并且还出现了一些比较偏激的看法。比如，有扰乱课堂纪律、对班级管理有不良影响等想法，对于师生之间的互动会有狭隘的看法。但是，学习是一种比较具有主观色彩的活动，学生对于知识的获取以及对于知识的内化过程有自己的内在驱动力，只有自己想学才能够学好，只有想与同学合作才能有所进步。

二、合作学习法的表现

在传统的教学模式下，老师和学生的地位是不对等的，老师居高临下地向学生灌输知识，学生只能囫囵吞枣般接受。而在新的教学方式下，教师的主体地位渐渐隐退，取而代之的是学生的主体性。在课堂上将大部分的时间留给学生自己掌握思考讨论探究，老师只是一个协助者或者帮助者的角色，在学生思路不畅的时候提供援助。比如，要在燃气管道I上修建一个泵站，分别向I两侧的A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可以使用的输气管线里最短？（关注学生是否能够通过合作探讨得出最短路线）最后学生会得出两个不同的答案，一是当A、B都在燃气管道的一侧，那么通过画出A关于I的对称点C，然后将C与B相连交与D点，这个点就是最恰当的点。二是当A、B在燃气管道的两侧的时候，这两点之间相连得出的交点就是泵站应该建立的地方。这是一道题目的两种答案，而这道题的给分点就是需要得出这两个答案。许多学生往往只能答出一个答案，而另一个答案却忽视了。通过合作学习的方法，学生在能很大程度上避免了思考不周全的情况，小组合作中的成员能够群策群力共同研究出解题的最佳思路。在探讨的过程当中，每一位学生都能在不同学生的身上学到自己不具备的优势。比如，口语表达、思维逻辑的养成、读题能力都会有所涉及，而这些学生所欠缺的素养恰好是在合作当中能够养成的。在我们学习方程的时候就更能体会到合作学习法的巨大魅力了。在一条反比例的函数图形上Y=1/X，有一个定点是（8，1/8），还存在一个动点A，要求出这个定点和动点所围成的最小面积，就可以利用二次函数求最值的方法也就是面积S的最小值（min），或者是画出图形利用切点的坐标与定点的连线所围成图形的最小面积求最值。这道题还是有难度的，也许很多学生并没有想到二次函数的最值问题，但却可以用图形解决问题。一道题目有多种解题方法，不同的学生也对解题有不同的思路，通过合作中的讨论更加有助于解题。

三、课堂内外的共同运用

合作学习法不仅能够在课堂中应用，而且还能够在课堂外发挥其巨大的作用。这种方法能够将课堂的优势延续到课后，使学生的学习积极性发挥到极致，提高课堂效率。通过课堂内以及课堂外学习的双重保障，学生对知识的掌握一定会非常明显的成效。在实际教学过程中，我们会发现有些学生的自主学习是很有自己想法的，但是有些学生的学习自控能力比较差，忘记课堂后的巩固。实践表明，通过学生在课堂外的合作学习就能够较好地帮助自觉性差的学生。在小组学习过程中，组员有其内部的调整与原则，有些学习习惯不好的学生在学习刻苦努力的学生带动下会对学习越上心，这就是榜样的力量在带动学生的学习积极性。

合作学习能够帮助学生建立对学习数学的自信心和兴趣，而这自信心和兴趣是学好一切东西最好的法宝。在合作中能够使组员一起得到成长，刺激大脑的开发，为学好初中数学打下基础。让我们在课堂教学当中善用合作教学法，升华初中数学的教学质量吧。

参考文献：

第3篇：初中数学动点与最值问题范文

一﹑由数想形

1.借助数轴引导学生合理理解数学概念法则.

数轴是重要的数学学习工具，借助其可直观表示较多数学问题，令数形有机结合，因此在初中数学教学中我们应合理应用数轴帮助学生整理绝对值的几何意义，掌握数轴上任意两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值.

理解：|x-1|，|x+2|分别表示数轴上表示x与1、x与-2之间的距离，则本题就可借助数轴找x到1和-2的距离和等于3的点在-2和1之间，所以答案为-2≤x≤1.

由上题可知，x到1和-2的距离差等于3，因此本题要找的是x到1和-2的距离差等于3，借助数轴发现x只能在-2的左边，或1的右边，所以答案为x≤-2或x≥1.

2.借助数轴引导学生分析不等式中部分解求范围问题.

解不等式得：x≤m.通过画数轴可知正整数解为1、2、3，m的大致范围在3和4之间，再讨论m=3和m=4的情况，当m=3时符合题意，当m=4时，不等式有4个正整数解为1、2、3、4.所以本题的答案为3≤m

3.借助抛物线图像给定自变量取值范围求因变量范围.

分析：由自变量范围可知二次函数有意义图像在ACB这段曲线上，经过图像的最高点，所以函数在自变量范围内有最大值.当x=-2时，函数最小值为-4；当x=1时，函数最大值为5，所以y的取值范围为-4

4.由数结构想到构造直角三角形利用勾股定理求最值.

例4：已知：a，b均为正数，a+b=2，求+的最小值.

解：如图，作线段AB=2，在AB上截取AE=a，BE=b，过A作ACAB且AC=2，过B作BDAB且AB=1，则由勾股定理得+，即CE+DE.本题就转化为在AB上找一点使CE+DE最小，作C，G关于AB对称，连接DG交AB于E，此时G，D，E三点共线.过G作GFDB交DB延长线于F，最小值即为DG.

DG===.

所以+的最小值为.

从上文已经知道，以形助数是根据代数问题所蕴含的几何意义，将代数问题转化成几何问题并加以解决，使得代数问题变几何化，借助于几何图形直观地得到问题的结论，使得原本抽象而复杂的问题变得更形象化、简易化.

二、由形知数

1.初中数学教学中应利用数形结合，引导学生用代数方式有效解决识图问题.

例5：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着ABCD的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知PAD的面积S（单位：cm）与点P移动的时间分析：在教学时让学生结合图像和图形分析出点P在线段AB上运动时S的面积在不断增大，对应自变量0≤t≤2在函数图像上，当自变量t=2时点P恰好与B点重合，此时线段AB=2cm，S的面积为3cm，过B作BEAD可求得BE=cm，AE=1cm，AD=6cm，点P在线段BC上运动时面积不变，对应自变量2≤t≤4根据函数图像可得BC=2，点P在CD上运动时面积不断减小对应函数图像剩下的部分.则要求点P从开始移动到停止移动一共用了多少秒，只需求出CD得长.转化为梯形中已知三边求第四边问题，过C作CFAD可得矩形CFEB，CF=BE=cm，CD=2cm，从而求出路程为（2+4）cm，时间为（2+4）s.

2.用代数的方法有效地解决几何图形中的翻折问题.

例6：如图，已知直角梯形纸片OABC中，两底边AO=5，BC=4，垂直于底的腰CO=.点T在线段AO上（不与线段端点重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A′，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设OT=t，折叠后纸片重叠部分（图中阴影部分）的面积为S.

（1）求∠OAB的度数；

（2）求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；

（3）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

（4）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.

（1）过点B作BEOA，垂足为E，可得AE=OA-OE=1，tanA=，

∠OAB=60°.

（2）当点A′在线段AB上时，

∠OAB=60°，TA=TA′，

A′TA是等边三角形，且TPAB，TA=5-t，

S=S=·（5-t）=（5-t）（3≤t

（3）当纸片重叠部分的图形是四边形时，因A′TA是等边三角形，所以2

（4）S存在最大值.

①当3≤t

②当1≤t

当t=1时，S的最大值为；

③当0

四边形ETAB是等腰梯形，EF=ET=AB=2，S=×2×=.

综上所述，S有最大值为，此时0

第4篇：初中数学动点与最值问题范文

【关键词】 初中数学 建模 数学应用 探究

随着考试改革的深入，近年来数学建模在中考试题中也越来越得到体现与重视。这些应用题以数学建模为中心，考查学生应用数学的能力，但学生在应用题中的得分率远低于其他题目，原因之一就是学生缺乏数学建模能力和应用数学意识。因此，加强数学建模的教学，,提高学生数学建模能力已经成为初中数学教学的当务之急。

全日制义务教育《数学课程标准》指出："数学教学就是让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。"毫无疑问，新课程标准已将发展学生的数学应用意识作为数学教学的基本理念，认为开展数学应用的教学符合社会需要，有利于激发学生的学习动机，培养学习兴趣，增强应用意识而拓宽智慧空间。初中数学课应该提供教学内容的足够的实际背景，反映数学的实用价值，开展"数学建模"活动。

什么是数学建模？ 数学建模就是一个人在面对生活实际问题时通过建立数学模型，运用数学原理、数学方法来解决问题的过程。具体地说，我们在遇到一个实际问题，需要我们从定量的角度分析它时，就要做深入的调查去了解所要研究的事物，对内在规律进行必要的分析，在此基础上用规范的数学语言、严谨的数学原理来表述，之后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验，这个建立数学模型的全过程就称为"数学建模"。

那么在教学设计中如何渗透数学建模思想,如何开展数学建模的教学呢?本文结合教学实践,就如何加强初中数学建模教学谈几点体会。

一、概念教学：引学生分析模型，培养建模意识

数学模型建立的过程是在数学基本规律与现实问题之间搭一座桥梁，通过新旧知识的转化，归结为较易解决的问题，体会数学的魅力与价值所在，从而增强数学建模的能力和信心。

1．从生活中来。在数学教学中引入探索性材料的实际背景要贴近现实生活，使学生明确学数学是为了解决实际问题。如七年级学习代数式时，学生会感受这块内容抽象难以理解，他们正经历一个从数到式的思维跳跃过程。很多教师是借用"数青蛙"的经典导入而产生代数式的理念，就不失为接近七年级学生心理水平的一次思维过渡。笔者在教学代数式这快内容时，还让学生尝试列出大量生活问题的代数式，让学生感受数学的生活价值与社会功能。比如：老师的年龄是小东的2倍少1岁，如果小东的年龄表示为a，则老师的年龄是多少？学校操场的内跑道为400米，那么老师以m米/秒的速度跑完t圈，再步行50秒一共需要多少秒时间……这样学生就觉得代数式是生活的一部分，他并不深奥，促成了抽象思维的培养。

2．到生活中去。数学问题很多都是可以找到生活原型来理解的，比如 可以表示"学校操场的内跑道为400米，那么老师以m米/秒的速度跑完t圈，再步行50秒一共需要多少秒时间"，笔者让学生举例说说这个代数式的其它理解方法，通过合作探究，于是学生就有了以下答案：

生1：表示货运公司运来400箱苹果，每箱t千克，如果有m辆货车平均分装，每辆车再外加50千克的大米，那么货车的载重是多少千克？

生2：表示大汽车每分钟跑t米，如果400分种跑的路程用掉汽油m升，而小汽车每升油可以多跑50米，那么小汽车每分钟可以跑多少米？

生3：……

以上训练很好地培育学生数学建模的意识，渗透了初步数学建模的意识，又培养了学生抽象、概括、举一反三的学习能力。

二、规律认识：让学生"做"数学，奠定建模基础

数学知识的形成是有一个过程的，这个过程如何操纵，对知识形成的牢固度有极大的影响。比如说一个定理，教师让学生直接生吞活剥地把他记下来也是一种方式，但学生的应用就会没头没脑，因为他没有真正的理解。我们提倡学生通过在教师引领下的自主探究与合作分享最终理解数学原理，为建模教学打下基础。如勾股定理的形成，过去教材中往往设置几个特殊值的三角形让学生量一量、算一算，笔者觉得这样的做法学生还不至于信服。由于电脑进入发课堂，笔者就结合让学生运用几何画板用，设置了如下问题，引导学生在探究中生成与理解知识。

（1）用作图工具画一个直角三角形。

（2）有度量功能测出三角形每一条边的长度。

（3）用几何画板的计算功能算出每一条边的平方。

（4）寻找三者平方的关系。

（5）拖动三角形的一个或两个顶点，其中三边的几何关系不变，只是形状改变了，这时观察三者平方还有这样的关系吗？

这个环节，如果让学生是通过手工画图来发现三边关系的，由于受工具限制，学生的数据很难说明问题，而且计算量也比较大，而教材提供的一些三角形都是边长为整数的。通过让学生通过自主操作电脑、反复思考、互相讨论，学生终于发现了直角三角形的三边关系，而且通过拖动三角形发现这一关系永远不变，为后边的证明打下了一个良好的基础。这样学生觉得所学知识是他们自己发现的，而不是教师强加的、外在的东西，就为今后在实际问题中运用打下了良好的理解与记忆的基础。

三、解题运用：引学生感受实例，体验建模过程

如果教师将数学模型变成僵化的材料，将与新课程理念背道而驰。鲜活的生活事例与数学知识之间存在着千丝万缕的联系。比如函数揭示了生活中种种数量关系及变化规律。运用函数解决实际问题体现了在数学建模思维过程要根据所掌握的信息和背景材料，对问题加以变形而简化，最终舍去非数学本质的内容而留下属于数学的本质性东西，解题过程中重要的步骤是据题意列出函数解析式。我们要让学生理解数学建模过程就是据实际问题的特点，通过观察、类比、归纳、分析、概括等大脑加工形式，通过联想想现成的数学模型或变换问题构造新的数学模型来解决问题。

例2（二次函数模型）：某商店购进一批单价为20元的日用品，若按每件30元的价格销售，每月能卖400件。为获得更大的利润，商店准备提高销售价格。经实验发现，在每件销售价格的基础上，售价每提高1元，销售量减少20件。问价格提高多少时，才能获得最大利润？每月最大利润是多少？

解：设每件商品提价x元（0≤x≤20），则每件商品的价格为（30+x）元，每件商品的利润为（30+x-20）元，此时每月少售出商品20x件，故每月可售出商品（400-2x）件，设每月的利润为y元，则y=（400-2x）（30+x-20）

=-20x2+200x+4000

=-20(x-5)2+4500

当x=5时，y有最大值为4500。

故每件价格提高5元时，才能获得最大利润，最大利润是4500元。

分析：这是一个典型的现实买卖问题，问题的关键是找到价格与利润之间的变化关系，从而列出两者的函数关系式，从而建立一个二次函数的模型。最后将问题转化为求函数最值问题的模型来解决最大利润问题。

一般来说，在实际教学中做好常见应用题数学建模的教学，要经历以下四步曲:

1．认真审题，获取所有信息

建立数学模型,首先要认真审题。应用题的题目一般较长，各种信息要全盘吸收，通过耐心细致地读题，全面了解实际问题的背景，明确建模的目的。

2.必要简化，抓住主要信息

根据实际问题的特征和建模的目的,对问题进行必要简化。抓住主要矛盾，舍弃无关因素，根据题目所示数量关系，联系数学规律、定理、性质，用精确的语言作出假设。

3.尝试建模，变具体为抽象

将已知条件与所求问题联系起来,恰当引入未知数或通过建立坐标系，要将文字语言转换成数学语言,将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来,从而建立数学模型。

4．模型求解，得出数据答案

如果不能用数学方法正确求解，也就不能让数学为实际问题服务，前面的工作也就功亏一篑。

5．返回解释，找到最终结论

完成模型求解之后，我们不必须验证所得数据在现实中的合理性，找到真正实际问题的答案。这一步是体现数学应用价值，培养学生数学应用意识的重要环节。

四、广度延伸：带学生巩固模型，适当横向拓展

在初中阶段通常通过列方程或不等式、函数，建立几何基本图等模型来解决生活问题，教师要带领学生全面熟悉这些模型的求解方法，引学生逐步领悟数学建模的思想与方法。 比如几何与人类生活和实际需要密切相关,诸如航海、建筑、测量、工程定位、裁剪方案、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常把实际问题转化为几何问题,通过建立几何模型来加以解决。

人的认识过程是从感性到理性，由浅入深，螺旋上升的过程。"数学建模"是基于数学规律，更是数学的突破、提升与超越。学生经历了建模过程，并提炼建构了相应的数学模型，但这并不是认知的终结，我们还有必要组织学生将数学模型还原，用具体的数学直观或可感的数学现实不断扩充和提升已经构建的数学模型。

比如在中考复习课中，讲用"轴对称解决距离和的最小值问题"时，我设计了如下"问题串"，从一个动点模型到两个动点模型再到轴对称变换与平移变换结合的模型，最后变式成用对称解决距离差的最大值问题，既有层层深入，又有横向迁移极大地调动了学生的求知欲。

（1）在直线 l 的同侧有两点 A、B, 试在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PB 的值最小。

（2）在O 中，AB 为直径，且 AB=6， C是 O 上一点，且 OC AB，D 是弧 BC 上靠近点 B 的三等分点 ,P 是 AB 上的动点，试求 PC+PD 的最小值

（3）在平面直角坐标系中有两点 A(1,5)、B（6,1），M、N分别是 x 轴、y 轴上两点，试求当四边形 MBAN 周长的最小值并求此时点 M、N 的坐标。

以上训练，学生明白了变式只是变换了包装，是对问题原型表象的概括，变化的是问题情境，万变不离其宗的是数量之间的结构关系。巩固模型的过程中，尽管我们不可能一一列举所有同类问题，但我们需要引领学生扩展范围，以此来分析和巩固当情境、数据变化时模型的稳定性，使得模型的内涵被学生所接受而外延不断得以拓展。

六、生活锤炼：教学生做有心人，适时活学活用

数学不是装饰品，更不是用来吓唬人的。数学以它简洁优美的语言，严谨到位的逻辑推理，日益广泛的应用性在现代社会中体现出"科学王后"的实地位。"数学技术"不是空洞的理论，而是和计算机技术、网络科学、宇宙飞船、现代化的信息战争等等紧密相联。我们要让学生能在活学的基础上尝试活用，建立数学与实际问题的关联。

作为学校要结合本校本地实际，成立数学建模的兴趣小组，定期开展活动。建模可以由教师根据学生实际提出一些菜单式的课题，供学生选择；或者提供一些实际情景，引导学生提出问题；也可以鼓励学生从自己生活中发现问题、提出问题。数学建模可以采取研究性学习的形式。在研究中，教师是学生的合作伙伴与任务参谋，引导学生根据研究完美出一个建模的研究报告，报告中就包括建模的问题背景、问题方案的计划、问题解决的详细过程、合作互动的情况、研究结果的评价、以及参考书目等。对学生建模活动的表现的评价应重在过程和参与，不必苛求结果的百分百准确。数学建模活动对教师对学生都有一个逐步适应的过程。教师在数学建模教学实践中，别应考虑学生的实际能力和水平，起点要低，形式要活，便于学生参与

总之，要真正提高中学生的数学素质与全面能力，仅凭知识传授是远远不够的，我们必须调动学生的主观能动性，引导他们养成学以致用的意识，加强数学建模的训练，加深他们数学建模的意识。通过建模训练，学生才会觉得数学学习的奥妙无穷与大有作为，初中数学教学才能真正走出应试误区而与新课改的理念相吻合。

参考文献

［1］ 教育部：全日制义务教育数学课程标准

第5篇：初中数学动点与最值问题范文

【关键词】课题学习;最短路径问题;实施;交流

序言

最短路径问题的教学在初中教学中出现有几种类型，频繁出现的主要在几何与函数知识点教学方面，以学生能力提升为主，教师应当在选择课题时注意此点，采用便捷、灵活的计算方法和技巧，优化教学方法，提高学生解题的效率，培养学生数学逻辑思维能力。

1.课题学习原则

课题学习属于新颖的学习方式，课题学习课堂上教师需要对教科书或者是相同类型的课题、题型进行有效整合，通过教师的教学引导，综合运用各种解题方法对课题进行解决，积累更多课题知识，提高自主探究能力，拓展学生学习交流，引发更多学习创新方法，课题学习有关特征主要有四种：主体性，课题学习可以充分体现出学生在学习的过程中是要通过合作讨论、自主探索的学习方式，才可以在解决数学问题有清晰的解题步骤和思考思维，以问题作为出发点，然后主动思考问题，体现了学生主体地位突出;探究性，课题学习教学需要教师引导学生对问题进行探究，绝不可直接解答题目反而遏制了学生探究思维的开发，必须要体现课题学习的探究性;综合性，课题学习所涉及的内容比较广泛，如果是在初中三年级的话，学习最短路径问题就会涉及到整个初中数学知识体系，包括的范围广，或者还接触到其他学科中去，体现课题学习的综合性强的特点;开放性，课题学习不局限与教材的内容，学习本来就具有融会贯通的思维能力，没有持久不变的题目，只有永恒的逻辑思维，当遇到相类似的题型，就需要学生使用解题技巧和数学理论知识结合起来，教师亦当如此。

2.强化对“课题学习”理论的认识的理解

教师在进行“课题学习”的课堂之前，帮助学生对各个类型的知识点进行回顾，把相关的数学概念和定理整理归纳好，思考各个类型知识点和问题的解决途径和技巧。同时，教师也需要加固课题学习所涉及的数学知识点和教学的相应技巧与教学方法，充分做好备课工作，深刻认识到“课堂学习”的重要教学理念和实际的教学目标，做好课堂的教学规划和改善课堂教学流程。

3.规划“课题学习”教学方案

此次“课堂学习”的教学内容是关于初中数学最短路径的问题，教师需要根据学生所学过的知识内容进行规划后课堂教学的方案，分配好各个知识点的最短路径问题在课堂上利用的时间，知识点的难易程度、解题方法和教学方式会决定所耗费的时间长短。关于最短路径的问题教师首先收集好典型且具有意义性的题目，并且了解如何进行解答。例如教师可以从蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食，其原理是线段之和最短的问题或者是数模、函数等方面进行收集相关的数学题目，此外，在题目中还需要对该知识进行拓展，或者构思不同方式的题目，拓展学生思维的界限，教师还应强调由易到难的教学观念。

例如：

问题一、如图1，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

图1

此问题的要求就是要在直线上找到一个点，这一点要使得直线同侧的两个定点到这点的距离之和要达到最短，此题利用到“两点间的所有连线中，线段最短”的理论来进行论证求解。除了这一题外还有其他相同类型的题目比如：蚂蚁的爬行问题，如图2是一个长方体木块，已知AB=5，BC=3，CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是多少？

图2

这都属于最短路径的数学题目，涉及到几何体的内容，需要拆开的方式来求证。

问题二、数学知识点不仅仅只有这点，还有关于几何方面的知识都有最短路径的探究：

如图3，AB是O的直径，AB=2，OC是O的半径，OCAB，点D在弧线AC上，弧AD等于2倍的弧CD，点P是半径OC上的一个动点，求AP+PD的最小值是多少？

图3

这类型的题目需要结合到几何定理知识来求解。

教师在进行“课题学习”之前就需要对这些类型的题型完全把握好，分析几何型和数形结合的问题，理清解题的过程，贯穿到哪些方面的数学定理、概论。结合到题目的难易程度或者知识点范围，可以规划几个课时才可以解决，制定明确的课堂流程。

4.利用教学方法促成“课题学习”教学

教师进行改善教学方法，需要考虑到“课题学习”的主要特点来制定相应的教学方法，就从它有主体性的特点来思考。教师可以展开小组合作讨论活动，对最短途径问题进行探索，为学生提高情境教学的环境，提高学生课题学习课程的兴趣，培养学生探索思维，创新思维。例如在“问题一”中的第二类型的题目上展开小组讨论活动，由于问题难度不算高，教师可以一两人为一小组，提倡学生利用上现有制作的数学模型展开讨论，可以把制作好的长方体标记好有字母的标记，让学生进行思考探索，学生在探索思考过程中，加上动手的操作，就可以理解到如何进行解决问题。从小组讨论的教学方式来说，极好地体现了“课题学习”教学的有效性。此外，教师还应该采用数形结合法来教学，图像的表达可以把抽象的数学条件，诱导出形象的图像，加快学生解题速度。

结语：综上所述，数学问题万变不离其宗，所有题目或者题型的变化，都可以找到问题的突破口，结合数学理论知识就可以把问题解答，课题学习的关键作用使得学生在学习过程中对知识点的回顾，加深对知识的理解，同时可以培养学生的创新思维和探索精神。

【参考文献】

[1]叶澜.《“新基础教育”探索性研究报告集》，三联书店，1996年版

[2]戴向阳.动点下的线段最值解法探微.中学数学教学参考，2014（3）

第6篇：初中数学动点与最值问题范文

关键词： 初中数学教学 函数 复习课 教学策略

初中数学的特点是：知识面广、量大，内容十分繁杂.要让学生在短短的时间内，系统有效地复习所学的知识，精选一定量的例、习题是十分必要的.而这些例、习题要求教师经过认真筛选和精心设计，不仅要具有概念性、代表性、典型性、针对性、综合性，而且要具有启发性、思考性、灵活性、创造性等特点，使之具有较强的指导作用，从而促进学生思维发展，全面完成教学任务.现在中考命题仍然以基础题为主，有些基础题是课本上的原题或改造题，即使是后面的压轴题，虽是“高于教材”，但原型一般还是教材中的例题或习题，是教材中题目的引申、变形或组合，因此在数学的总复习教学中，如何制订合理的复习计划、选用合适的复习材料、激发学生的学习兴趣、开拓学生的解题思路、提高数学课堂教学的效率就显得至关重要.本文结合近几年中考函数问题考情，谈谈数学高效复习的教学策略.

一、回顾梳理，夯实基础

要想有效地提高课堂的复习效率，就必须克服“眼高手低”的毛病.很多同学上课时处于一种混沌状态，一听就懂，一做就错；一听就会，一到自己做就不会了.为避免这样的情况，必须让学生更好地了解自己掌握知识的情况.

教师可采用不同的复习形式，整理阶段的基础知识，使内容条理化、清晰化地呈现在学生面前，从而完成由厚到薄的过程，对重难点和关键点进行有针对性的讲解.配以适当的练习，促进学生对基本知识和基本方法的深刻性和准确性的理解掌握，促进学生科学合理的知识结构的形成，使知识系统化和网络化.

讲解之后的适当训练是对已讲内容的掌握情况的检测，有利于我们再次对所复习的知识进行查漏补缺.教师可用15分钟的时间当堂测试，通过解答的过程让学生“自知自明”，激发兴趣，有效地提高复习效率.

例如，函数复习选题的基本思路有两个，一是以函数的知识点和考点为主线，着眼于基础知识和基本方法，围绕“三基”和提高解题技能进行策划选题.教师要对该内容的知识点和能力要求做到心中有数，结合学生对重点内容的消化理解程度，有针对性地选题，可以对课本的例题、习题进行加工整合，可以对一些典型中考题吸取其思想方法引申而成.但应控制运算量，尽量避免繁琐的运算.二是以数学思想方法为主线，把知识与方法有机地结合起来，促进能力的形成.函数的最值问题、函数的图像与性质的应用、利用函数解决实际问题等更多地渗透数学思想方法，如配方法、数形结合法、方程函数思想、迁移化归思想等，这些思想方法的掌握情况体现考生处理各类数学问题的能力.

二、精选精讲，举一反三

精心选择适量的典型例题，分析解决这些问题是一堂复习课的核心内容.解题的目的绝不仅仅是解决这个问题本身，而是要给出通性通法，揭示解决问题的一般规律，熟练掌握数学思想方法，提高学生分析、解决问题的能力.一般要做好以下几个方面。

1.小题大做

小题往往比较灵活，形式新颖，学生比较喜欢.如果我们能小题大做，那小题往往就会收到大题没有的效果，通过深刻地开发和适当地变化，小题可以涵盖丰富的基本知识、基本技能，进一步突出转化思想、建模思想、运动思想、分类讨论的思想等的培养，使学生能够从数学的角度思考问题，用比较规范的逻辑推理形式表达自己的演绎推理过程.

我们可增加第二步：设点P是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB′的面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值.

该类题在解答上“宽入窄出，缓步提升”，既关注了不同数学水平学生的解题需要，又突出了题目应有的选拔作用.解这类题的关键是：领会和理解题中的问题背景、操作过程，运用数学眼光审视、分析、概括在操作中出现的现象，揭示其数学本质及内在联系，并将过程和结论转化成数学的探究过程，挖掘其中所蕴涵的数学思想方法，从而发现、肯定其结论，进而解决有关现实问题，并运用发散思维、数学分类思想等进行操作与探究.复习过程中，碰到动态操作（如剪、拼、翻、转、移）问题最好自己动手按照题意操作一下，增强自己的空间观念，帮助自己加深对问题情境的理解力，同时也是用实际操作强化自己的逻辑思维与空间想象力.在操作的过程中还要注意培养自己手脑并用的思维习惯，并注重在动态的操作过程中进一步培养自己探究数学问题的本质，发现变量之间的互相依存关系和内在联系，从而找到解决问题的途径、方法与策略，体验发现与探究的乐趣.

2.类化整合

一个阶段后，我们在练习中会碰到很多问题，如果我们不加分析，一个一个地解决，就难免陷入题海而不能自拔.假设把这些问题在复习中加以类化，只要讲一个题目，就完全可以解决一类问题.

例如，在复习运动变化专题时，举例：已知：正方形ABCD的边长是12，点P在BC上，BP=5，PEAP，交CD于点E，求DE的长.

变式题1：已知：正方形ABCD的边长是12，点P在BC上运动，BP=x，PEAP，交CD于点E，CE=y，求y与x的函数关系式.

3.一题多讲

一题多变，对一个问题的内涵和外延进行适当的延伸和拓展，可以有效地开发问题的潜在资源，发散学生思维.从而帮助学生跳出题海，迅速提高学生的成绩.

根据考查同一知识点的需要，可以从不同角度、结合不同的数学模型作出多种命题.因此在大量的习题中，有不少题目存在共同的解题规律.我在处理这类习题时，不仅仅满足于具体的方法，而是运用层层递进的问题式教学，让更多的学生甚至基础较差的学生都能参与专题复习，培养学生的思维能力.

例如，在复习应用题专题时：

问题1：奇隆超市准备进一批季节性小家电，单价40元.经市场预测，每个定价为52元时，可售出180个；定价每涨价1元，销售量将减少10个.超市若准备获利2000元，每个涨价多少元？

问题2：奇隆超市经销一种季节性小家电，如果每个盈利10元，每天可售出500个，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每个涨价1元，日销售量将减少20个，现该超市要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每个应涨价多少元？

问题3：奇隆超市将每件进价80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.

（1）直接写出奇隆超市经营该商品原来一天可获利润多少元？

（2）设后来该商品每件降价x元，奇隆超市一天可获利润y元.

①若奇隆超市经营该商品一天要获利润2160元，而且要让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？

②若奇隆超市经营该商品一天要获得最大利润，则每件商品应降价多少元？并求出最大利润.

分析：问题1只要直接假设，再利用“销售利润=销售数量×（售价—成本）”解方程就能得答案；问题2不告诉售价与成本，改成“每个盈利10元”，并增加“顾客得到实惠”的要求；问题3将涨价改为降价，并增加求“最大利润”的问题.

解决这类问题的关键就是要让学生透过现象抓住问题的本质：“销售利润=销售数量×每件利润”；需求“最大利润”时通常要用到“配方法”，再利用二次函数图像与性质解决.讲一个例题得一种方法，达到解一题、得一法、明一类的目的，从而培养学生思维的深刻性.

三、树立信心，迎难而上

1.要注重规范解题，步步为营，稳扎稳打.如先看清题意，再画好图形，进而寻求突破途径.

2.注重阅读理解等获取信息的方法，在信息的获取中寻求解题的突破口.要十分关注“加括号的说明”和“加着重号的标注”，因为它们往往就是解题的突破口.

3.综合题的复习要让学生经历“做听改反思顿悟”几个环节.做题要求精、求透、不求多、求全，要求以点带面，不求面面俱到，要严禁“题题都做（全而不对）、题题都未做完（对而不全）”、“只听不做”、“只做不听”、“只做不改”等不良现象的出现，以提升复习实效.

4.分层教学，因材施教，让学生在原有的基础上有所发展.

总之，“要给学生一碗水，教师必须有一桶水”，数学复习课需要教师全面把握中学数学教材的知识体系，深挖教材，精心组织，使课堂总结在整节课的教学中起到画龙点睛的作用.在精心选材的基础上，课堂教学还应抓好知识方法的落实，有针对性、有重点地进行训练，评讲，让学生有足够的思考时间，训练到位，让优秀生自主发展，尽善尽美；让中等生目标明确，追求进步；让后进生量力选择，达到更好的复习效果.

参考文献：

[1]吴跃华.浅谈初中数学总复习练习题的设计.中学教研，1988，Z1.

[2]郭冰.如何打造一个高效的数学复习课堂.中国校园导刊，2012，1.

第7篇：初中数学动点与最值问题范文

关键词：压轴题；中考数学；综合分析能力

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）02-207-01

一、做好中考数学压轴题的作用

压轴题，顾名思义，就是在考试中综合性强，解题灵活，占据主要分数的题型。做好压轴题不仅能够取得好成绩，而且可以展示特长生的数学素养。那么具体来说，压轴题的重要作用主要有以下几点：

1、做好压轴题有助于学生提高成绩。很多学生在考试中往往没有做到抓住重点，试卷一发下来就开始做填空和选择题，在这两块内容中过分耽误时间，导致后面的压轴题时间不充分，影响发挥，最终抓不住分数。如果能够在一开始的时候少分配时间在填空和选择题上，多给后面压轴题留时间，那么就容易取得更高的成绩，“捡了西瓜，丢了芝麻”也是一种取得高分的方式。所以，建议考生能够在不丢失小题的状况下多给压轴题留时间，这样有助于学生提高成绩。

2、做好压轴题有助于发现人才，展现学生的数学天赋。一般来说压轴题的所占的分数比较高，难度系数大，计算量大，往往可以从这些题目的解答情况判断学生的综合素质、逻辑分析能力等综合素养，也是选拔数学人才的重要途径。

二、做好中考数学压轴题的具体方法分析

对近年来各地中考压轴题进行分析，不难发现压轴题主要是以综合运用的形式出现，以二次函数为数学模型探讨存在性问题、动点为题、最值问题等，要做好此类题目可以从以下几方面入手。

1、代数与几何有机结合，掌握解题策略。中考压轴题主要体现在综合运用方程（组）、不等式、三角形、四边形、圆、函数知识上，对于这些内容，学生要做到一题多解、多题一解，将代数、几何知识融会贯通，会用代数的观点分析几何问题，用代数方法（方程、不等式、函数等）解决几何问题。会从几何的角度理解代数问题，寻找几何基本图形，通过数形结合，将归纳、类比、化归、分类等方法运用到解题过程中。平常学习中要善于归纳、总结，避免盲目的机械重复，这样我们就能找到解决问题的切入点！

2、做好整体分析和思考，善于总结压轴题中蕴含的知识点。做压轴题必须要进行全局性分析，对压轴题中蕴含的数学知识点进行剖析。一般来说，解数学压轴题主要有三个步骤：第一，对题目进行认真审理，了解题意。第二，探究解题思路。第三，规划解题步骤，正确解题。对题目进行审理，是解题的第一步，也是解题的基础，要对题目中蕴含的知识点和答题要求进行审理，全面理解题意，整体把握试题的结构，这样才能促进解题思路的开展，利于解题方法的选择。因此，在解题过程中，切忌采用固定模式，从不同的角度和侧面对试题进行分析，及时调整解题方法和思路，挖掘试题中的内在条件，防止轻易放弃试题，并防止钻牛角尖。

例如：（2011・北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（不含线段AB）.已知A（1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上.（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；（3）已知?AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围。

本题目就涉及到一次函数、勾股定理、平行四边形的性质、圆周角定理的知识。只要平时对这些基础知识掌握较牢，解决这一题目就会很容易：（1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离；（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围即可。

3、化静为动，分类讨论，全面突破难点。中考数学压轴题，经常会出现探讨动点的存在性问题，对于此类开放性问题，我们更多的要去关注在运动的过程中那些量是变化的，那些量是不变的，变量和定量之间存在那些函数关系，把变量和定量通过数量关系结合起来，用定量恰当地表示变量。但学生往往易忽略一些点，找不完整，或是无从下手。对于此类问题，还需要学生根据题目，多作草图，多变换角度，用运动的思维分析问题，找出符合条件的所有答案，如上题中的第（3）问，就需要根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，再分类讨论即可。

4、细心计算，提高准确率。中考中的数学压轴题，在许多时候都有一个共同点，计算量往往比较大，经常会出现分数和无理数，若计算中稍不细心，就会出现计算错误或是书写符号错误，对后面的问题影响巨大，因为前面一出现错误，后面即使你会做，也做不对了。所以我们平时就应该养成细心计算的习惯，并经常进行阶段验算，即早发现错误并及时纠正，减少失分率。

如（2012泰安）如图，半径为2的C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）.若抛物线 过A、B两点。

（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，MAB的面积为S，求S的最大（小）值。

此题为二次函数综合题，通过第（1）问求出二次函数的表达式为 .此时学生若是错一个数字或是一个符号，那么第（2）（3）问也就全错了。特别是在解答第（2）问时作线段OB的垂直平分

线l，与抛物线的交点即为点P的坐标，解得为（ ），第（3）问解出： 学生就更加怀疑自己了，要第二次验算，计算量大，耗时多，这就要求在平时训练时教育学生养成良好的计算习惯，细心计算，提高准确度，要相信自己。

5、调整心态，全面认识压轴题。在考试中，很多学生容易紧张，不仅压轴题做不起，而且基础题也做不正确，还有部分学生对试卷没有一个完整的认识，考试的时候过分注重压轴题，将时间全部花费在压轴题上，不管前面的题做的好不好，就死认定要做好最后一题才肯罢休，结果不但没有做好压轴题，也没有时间对前面的小题进行检查，不仅“丢了西瓜，也丢了芝麻”，很显然，这样很难提高分数。为了保证能够合理分配时间，学生可以自己对压轴题进行一个合理的时间划分，划定一个时间限制，如果在压轴题上花费的时间超出预算的范围，那么就要停止，“放弃也是一种美”，要回头对前面的题型进行检查，如果检查完前面的题目之后还有时间，那么可以在对压轴题可再次分析解答。另外，考试时一定要端正态度，切忌考试中紧张。

参考文献：

第8篇：初中数学动点与最值问题范文

关键词：辅助圆；直角；同一端点出发的几条线段长相等；两个角成倍半关系；等腰三角形

在平面几何中，如果没有圆，就没有几何的丰富多彩。圆在数学的许多方面都有着广泛的应用，其中一种常见的应用就是利用辅助圆来解题。辅助圆是一种重要的解题工具，如巧妙地使用它，就能建立起问题的条件与结论之间的联系，从而化隐为显，找到解题的切入点。如何想到作辅助圆，如何添加辅助圆，如何运用辅助圆，主要还是能否从条件中看出本质。在这里举例说明几个添加辅助圆的常见方法：

一、当遇到直角时想到：直角圆周角所对的弦为直径，可以作出定圆

例1 如图1，在边长为正方形ABCD中，动点E、F分别以相同的速度从D、C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止）。在运动过程中，线段CP的最小值为_______。

此题极难解决。数据让喜欢猜题目答案的人无从下手。比较常见的做法是建立平面直角坐标系求出P点的坐标，用两点间的距离公式求PC。明显计算量大而且难以把PC的长表示为常见的函数来求最值。由题意知ADE≌DCF，由全等三角形的性质可得∠APD=90°，定线段AD=，由∠APD=90°想到点P在以AD为直径的圆上。如图2，点C在O外，C到圆上的点的距离的最小值为OC-R，即。

例2 如图3，矩形ABCG（AB

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

由K型图想到相似可以解决。但是相似有两种情形，由于本题没有数据，相似的比例式不好写。设未知数对于部分学生有难度，而本题是存在性问题确定个数，可以更简单一点。

由两个矩形是确定的，连接AE，则AE是固定的线段，∠APE为直角，所以想到以AE为直径作O，只要P在O上又在BD上就能保证∠APE为直角。如图可以得知P点有两个位置符合题意。

小结：上述两题都是两个定点一个动直角问题，作出两定点为直径的圆，再利用圆的性质解题。

延伸：当某一个动角的大小固定也可以想到同弧所对的圆周角相等，也可以构造圆。

二、由同一端点出发的几条线段长相等想到：圆上的点到圆心的距离都是半径，都相等

例3 如图4，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为_______。

从ABC，ACD，ABD为等腰三角形着手可以做出此题。设∠CBD=2∠BDC=2x，∠ABD=y，则∠ADB=y，∠ADC=x+y=∠ACD，∠ACB=2x+y，所以2（2x+y）+44°=180°，2x+x+（2x+y+x+y）=180°， x=22°，y=24°，∠CAD=180°-2（22+24）°=88°。

很明显数量关系难找，也容易出错。如果仔细看题，发现AB=AC=AD。如果以A为圆心，AB为半径作圆，则B、C、D三点都在A上，∠BAC=44°∠BDC=22°，∠CBD=2∠BDC=44°∠CAD=88°。这样做简单、快捷、易懂。

例4 如图5，在ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=25°，∠DAC=35°，则∠BDC的大小是（ ）。

A.70°

B.110°

C.120°

D.50°

此题也可用三角形知识来求解。现在由DA=DB=DC可想到，根据圆的定义，以D为圆心，DA为半径作D，点A、B、C都在D上，∠BAC=（25+35）°，利用同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可得∠BDC=120°，故而选C。

小结：这两题都有明显的公共端点的三条线段相等的特征，可以利用圆的定义来作圆，再用圆的知识解题。

三、当线段的同侧所对的两个角成倍半关系时想到：同弧所对的圆周角是圆心角的一半

例5 如图6，在ABP中，PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点D且PB=5，PD=3，则AD・DC等于（ ）。

A.6

B.8

C.15

D.16

由PA=PB，∠APB=2∠ACB想到：以P为圆心，PA为半径作P。由∠APB=2∠ACB知点C在P上，延长BP交P于点E，连接AE，利用圆中的相似可求出AD・DC的值。

解：以P为圆心，PA为半径作P，由∠APB=2∠ACB知点C在P上，延长BP交P于点E，连接AE则由∠AEB=∠ACB，∠ADE=∠BDC得ADE∽BDC，AD・DC=BD・DE=（5-3）（5+3）=16。

小结：此题中有两个要素可以联想到构造圆：①PA=PB；②∠APB=2∠ACB。善于发现问题的条件和我们所学知识的联系，可以激发“灵感”，从而巧解问题。

四、在平面直角坐标系中确定等腰三角形的个数时可以想到：构造圆，利用圆的半径相等来解决

例6 如图7，在平面直角坐标系中，已知A点坐标是（3，3），在坐标轴上确定点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有_______个。

分析：在平面直角坐标系中，由O、A两点固定知等腰AOP的一边固定。OA可以作为底，以也可作为腰。等腰三角形中有两相等的边，所以联想到圆的半径相等这一性质，通过构造圆来解决。

分三种情况来考虑：①当OA为腰，A为顶角顶点时，以A为圆心，OA为半径作A，A与y轴和x轴各有一个符合要求的点；②当OA为腰，O为顶角顶点时，以O为圆心，OA为半径作O，O与y轴和x轴各有两个符合要求的点；③当以OA为底边时，作OA的中垂线交y轴和x轴各有一个点。综上所述，符合条件的点共有8个。

小结：在解决平面直角坐标系中等腰三角形的存在性和个数问题时，圆能起到快捷直观的作用，而且可以做到不重复、不遗漏。

圆是初中平面几何中的基本图形，它十分完美。圆的性质应用十分广泛，可以说是魅力无穷。上述问题的条件中都没有出现圆，但是在解题过程中构造了圆，利用圆的有关性质，建立起已知条件和所求问题之间的联系，从而圆满巧妙地解决了问题。

参考文献：

1.初中数学教与学.

2.中国数学教育.

第9篇：初中数学动点与最值问题范文

[关键词] 新课程标准；多角度理解教材；创造性用活教材；创造能力

教材是学生学习的基本载体，教学中如何挖掘、开发教学资源，使教材的内涵更有广度和深度，如何创造性使用教材，让教材在促进学生发展的过程中更好地发挥作用，这些是新课程理念下对数学教师的要求. 下面结合一线教学经验谈谈如何创造性地“活用”数学教材.

■ 创造性利用教材，促进知识的

形成

教师应深入钻研教材，挖掘教材的隐性内容，从而使教材变为学材，教师教有新意，学生学有创意. 教材中对一些抽象概念、定理、法则等教学内容的呈现，平铺直叙，学生难以理解、掌握，教学中教师若能在抽象与具体中建立联系，寻找共同点，创造性地利用教材，创设直观的实际问题或情境让学生体会并自主建构知识，定能培养学生数学思维的深刻性.

在学习“合并同类项”时，课本中设计了如下三道题：

（1）100t-252t=（ ？摇）t；？摇？摇

（2）3x2+2x2=（ ？摇）x2；

（3）3ab2-4ab2=（ ？摇）ab2.

通过计算，你发现上述运算有什么特点 ？能得出什么规律 ？教材通过这样的方式引导学生获取合并同类项的规律，学生普遍觉得抽象，不易理解，为了改抽象为直观，我转变教学设计，从直观的图形、符号和现实中的单位运算，设计了如下三道题代替课本中的设计：

（1）3+2=（ ？摇）；

（2）5+2-9=（ ？摇）；

（3）1克+6克-5克=（ ？摇）克.

有了生活中这些经验的直观思维类比后，最后再抛出3a2b2-8a2b2=（ ？摇）a2b2，这样，学生极易归纳出合并同类项的法则，明白合并同类项的条件. 通过运用直观的符号、表达式、图表，促进了概念、法则、性质等的形成，不仅“活用”了教材，也唤起了学生的感知，进而提高了抽象思维能力. 可见，通过不确定的典型实例来提高学生对数学的感知，能大大提高知识形成的能力和问题解决的能力，对教学效果能起到高效的作用.

■ 创造性利用教材，促进数学思

维、方法的形成

深入钻研教材，才能多角度地分析教材. 在教学过程中，对教材中设置的定理证明、概念形成，教师若能从多角度再现知识的形成过程，不仅能提高学生的学习能力与创新能力，还能提升学生的数学思维能力与数学思想方法的形成. 在多边形内角和定理的证明中，教材从多边形的一顶点引对角线入手，通过列举，探究、发现形成三角形的个数，利用三角形的内角和进行探究.

证法1 （图1）连结多边形的任一顶点P与其他各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三角形. 因为这（n-2）个三角形的内角和都等于180°，所以n边形的内角和是（n-2）×180°.

还有其他证法吗？我接着引导学生思考能否把三角形的公共顶点平移到其他位置加以解决. 经过小组讨论交流和多媒体动态演示，学生探究发现，还可将公共顶点移到多边形内或一边上，因此，还有如下证法：

证法2 （图2）在n边形内任取一点P，连结P与各个顶点，把n边形分成n个三角形. 因为这n个三角形的内角和等于n・180°，以P为公共顶点的n个角的和是360°，所以n边形的内角和是n・180°-2×180°=（n-2）・180°，即n边形的内角和等于（n-2）×180°.

证法3 （图3）在n边形的任意一边上任取一点P，连结P点与其他各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形，这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）・180°，以P为公共顶点的（n-1）个角的和是180°，所以n边形的内角和是（n-1）・180°-180°=（n-2）・180°.

上述通过从一知识多角度的探究中培养学生形成求新、求思、求异的发散性及创造性思维能力.

■ 多角度理解教材，反思拓展

为更好地符合学生认知需要，培养学生的综合解题能力，对教材呈现的知识点，教师应引导学生反思，反思能否拓展知识点应用横向联系，反思能否对知识点与知识方法进行纵向深入探究. 把教材所蕴涵的知识点迁移、扩展到系统知识面，通过不断的反思拓展、联系，加强对知识的理解，完善学生认知结构的知识系统性.

比如，对于反比例的概念：如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=■（k≠0）的形式，那么y是x的反比例函数.其等价的表达式有y=kx-1（k≠0），xy=k（k≠0）.

应用 点（1，6）在双曲线y=■（k≠0）上，则k=______. 已知反比例函数y=-■的图象经过点P（2，a），则a=______. 教学中利用反比例函数解析式，在已知两量下可求x，y，k中的第三量.为更深层次应用反比例函数解析式，在概念课后，我进一步引导学生反思.

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反思1 如图4所示，若P（m，n）为反比例函数y=■（k≠0）图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为R，Q，则矩形ORPQ的面积与比例系数k有何关系？

S矩形ORPQ=OQ・OR=m・n=k.

反思2 如图5所示，设点P（m，n）是双曲线y=■（k≠0）上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为B，则SOPB=■・OB・PB=■m・n=■k.

反思3 反比例函数y=■（k≠0）的图象如图6所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足为点N，如果SMON=2，求k的值.

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反思4 如图7所示，A，B是函数y=■图象上的两点，其坐标为A（a，b），B（-a，-b），且BC∥x 轴，ABC的面积记为S，则S=______.

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学生有了反比例函数的比例系数k的几何意义，对反比例函数的应用就容易多了.

通过对教材知识点的反思、拓展，促使学生知识结构系统化，能让学生的数学思维起到整体贯通、提升的作用.

■ 创造性发展教材，变式延伸

变式教学能为学生提供求异、求变、求思的空间，让学生把学到的知识运用到各种情况中去. 对教材中的例、习题进行变式并创造性地利用它们，能引导学生主动思考、探究，能培养学生灵活多变的能力.

例题 要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图8所示）. 修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由.

此题即在直线 l上找一点P，使得PA+PB的值最小. （实际上是通过轴对称变换，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间，线段最短”加以解决.）

教学中，我以此例题为原认知，进行水平变式和垂直变式，进而构成利用轴对称知识迁移的最值专题.

变式1 如图9所示，如何在直线l上找一点P，使PA+PB的和最小？

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变式2 如图10所示，如何在直线l上找一点P，使PA- PB最大？

以此三题作图题为基本模式融于数学问题解决中，再进行垂直变式迁移.

变式3 如图11所示，在ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，P为BC边上一定点（不与点B，C重合），Q为AB边上一动点，设BP的长为a（0

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变式4 如图12所示，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连结MC，把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO.

（1）试直接写出点D的坐标.

（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得TO-TB的值最大？