数学建模的思想精选(九篇)

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第1篇：数学建模的思想范文

一、从问题创设入手，感知建模思想

在小学数学教学中，要让学生建立建模思想，就要从现实生活背景入手，让学生根据生活实际，本着解决问题的需要，感知数学模型的构建。

如在教学平均数时，我创设了生活情境：5名男生一组，6名男生一组，两组分别进行跳绳比赛，哪个组的水平更高一些？如何判断两组的水平高低？有学生提出，可以根据总数多少来进行比较，也有学生认为可以根据每组中的最高成绩来比较。经过探究之后发现，这两种方法都不能完全公正地表示出每组成员的真实水平。这时有学生提出要算出每组成员的平均水平，由此平均数的概念建立起来了，求解平均数的建模策略应需而生。通过情境的创设，学生有了构建“平均数”的内在需求，同时也能够明确平均数模型构建的条件。

二、充分感知，积累表象，培育建模的基础

数学模型的建立过程，需要通过共性事物的不断积累，教学中教师要提供给学生多维度的数量关系，为学生构建数学模型提供可能。

如低年级凑十法的模型构建中，首先要让学生探究从9加几一直到4加几的凑十的过程，这其中还要有不同的层次，9加几是教师引导，而8加几和7加几则采取“半扶半放”的方法。通过探究达到表象的积累，又经过观察、操作、实践、讨论，最终为学生掌握“凑十法”的建模思想打下了良好的基础，为学生的抽象思维做足了准备。

又如在教学“解决问题的策略之替换”实际教学中，我先让学生分析题中的数量关系，得出：6个小杯和1个大杯一共是720毫升；一个大杯的容量相当于3个小杯的容量。（如下图）

■

提出问题：如果这样的大杯和小杯进行替换，你打算怎么做？

学生通过寻找数量关系得到解答：

大杯换成小杯：

1个大杯可以换成3个小杯

720÷（3+6）

=720÷9

=80（毫升）……一小杯容量

小杯换成大杯：

3个大杯可以换成1个小杯

720=（6÷3+1）

=720÷3

=240（毫升）……大杯容量

通过引导学生把直观图形抽象成几何图形，学生在抽象概括的基础上初步感知了数学中的建模思想。

三、组织跃进，抽象本质，完成模型的构建

在进行模型构建的过程中，问题情境的设置只是为数学模型的构建提供可能，而建模的完成则要借助于从形象到抽象的跃进，最终实现对抽象本质的揭示，并能够让学生学会运用，否则，就不能称之为建模。

如在教学“平行与相交”时，如果教师只是让学生感知火车铁轨、双杠、五线谱等平行的形象，而没有引导学生抽象出平行线的模型，那么数学建模思想就没有成功构建。

为此我在教学“平行”这一数学概念时，抓住“同一平面内两条直线间距离保持不变”的这一本质特性，将学生关注的目标从具体的素材抽象到两条直线及直线间的宽度。于是，我让学生思考：为什么两条直线永远不相交呢？ 工人师傅是通过什么办法使两条铁轨始终保持平行的？根据问题学生进行试验探究，并能想到要在两条平行线间做垂线段，并测量垂线段的长度。

经过从思考到试验再思考的过程，学生对平行的理解也有了一个从具体到抽象的模型构建过程，最终构建起真正的数学认知，同时也学会运用分析、综合、归纳、操作等思维活动，抽象数学本质，完成平行线从物理模型到直观数学模型，再到抽象数学模型的建构过程。

又如在“圆柱的体积”教学中，我在建构体积公式这一模型时突出“数学思想方法”的建模过程，一方面要交给学生转化思想，将未知转为已知，另一方面还要渗透极限思想。通过探究，提炼出蕴藏其中的具有高度概括意义的数学思想方法，这也是数学建模的本质意义所在。

第2篇：数学建模的思想范文

通过学习我们已经知道，数学建模就是以现实问题为特定对象，作必要、合理的简化与假设，经过分析、归纳，运用数学语言抽象出模型结构，并在实践中检验与完善的过程。将其引入数学教学之中，不仅符合数学自身的认识发展过程，也是以培养创新思维、应用能力为出发点的素质教育的客观要求。

《全日制义务教育数学课程标准》对数学建模提出了明确要求。“标准”中指出，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力”。实践证明，强化数学建模的能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法，也能增强学生应用数学的意识，比较全面的认识数学及其与社会、科学和技术的关系，提高分析问题，解决实际问题的能力。解决这类问题体现在数学建模思维过程中，要根据所掌握的信息和背景材料，对问题加以变形，使问题简单化，且重要过程是根据题意建立函数、方程（或方程组）、不等式（组）等数学模型。使学生明白：数学建模过程就是通过观察、类比、归纳、分析、等数学思想，构造新的数学模型来解决问题。数学建模的关键是善于通过对实际问题的分析，抓住其本质，联想相应的数学知识，建立数学表达式，并应用其性质找到解决问题的途径.

数学建模思想是指从实际问题中，发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程，它包括对实际问题进行抽象、简化、建立数学模型，求解数学模型，解释验证等步骤.数学建模思想广泛地体现在初中数学知识体系中，随着学生知识的增加，能力的增强，数学建模的类型也越来越丰富，初中数学建模的基本形式有方程（不等式）模型、函数模型、统计概率模型、几何模型等.。

数学建模的步骤及分析方法.数学建模由以下六个步骤完成：1、建模准备。要考虑实际问题的背景，明确建模的目的，掌握必要的数据资料，分析问题所涉及的量的关系，弄清其对象的本质特征。2、模型假设。根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言进行假设，选择有关键作用的变量和主要因素。3、建立模型。根据模型假设，着手建立数学模型，将利用适当的数学工具，建立各个量之间的定量或定性关系，初步形成数学模型。4、解出模型中的数学问题.利用数学知识解答求出所要解决的问题。5、还原实际问题.将已经解决的数学问题赋予它原来的实际意义，从而完成问题的解决。6、根据客观实际判断决定取舍以解答出数学问题的现实意义。

数学建模教学还有一个重要的作用就是培养学生探究科学的热情.强调遵循学生学习数学的心理规律，从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程.它提倡数学知识、数学能力、数学意识等目标的教育层次。

下面就初中数学教学中所涉及的基本数学模型进行应用举例

一、建立方程模型

例：某工程若由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；若由乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；若由甲、丙两队合做，5天完成全部工程的2/3，厂家需付甲、丙两队共5500元。1.求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？2.若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

略解：1.设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成，则有：

1/X+1/Y=1/6——（1）；1/Z+1/Y=1/10——（2）；1/X+1/Z=2/15——（3）；（1）（2）（3）联立成方程组解出X=10；Y=15；Z=30.甲队做一天应付给a元，乙队做一天应付给b元，丙队做一天应付给C元，得出6（a+b）=8700——（1）；10（c+b）=9500——（2）；5（a+c）=5500——（3）.联立方程组解得a=2550；b=2400；c=2050.按照要求从而求出答案。本题的解答过程体现了将实际问题简化抽象为数学问题，用数学语言、符号表达这一问题，然后建立方程模型、解出方程，再把数学问题还原为实际问题这一过程。

二、建立不等式模型

例（1998年河北省中考试题）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克；计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件.已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克；生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料1O千克，按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来.

略解：设生产A种产品x件，则生产B种产品（50一x）件，依题意，得9x+4（50一x）≤360，3x+10（50一x）≤290.。x为整数，…x只能取30、31、32；相应的（50一x）的值应为：20、19、18，即有三种安排方案，设计方案见解（略）评注将实际问题中原料、产品的数量限制关系转化为数学模型—不等式组，再通过求解这个数学模型（解不等式组），就可以获得符合条件的安排方案.

三、建立函数模型

在数学应用题中，某些量的变化，通常都是遵循一定规律的，这些规律就是我们所说的函数。

例：某人将进价为8元的产品，按每件10元的价格出售，每天可以销售50件，若价格每提高1元销售量就减少5件.问此人将价格定为多少元时，可获得最大利润？

略解：设价格在10元的基础上再提高X元，则销售利润y=（2十x）（50一5x）；显然，当X=4时，函数有最大值180，故销售价格应定为每件14元.这个定价也是符合现实意义的。解决本题的关键就是找到一种动态的等量关系，建立函数模型，然后依照数学知识解决这个数学问题，再回到实际问题中加以确定，最后得出所要求解的结论。

四、统计概率模型、几何模型等

数学建模思想的应用在统计学方面的研究也得到很好地体现，有些几何模型的建立往往依托几何图形中蕴藏的性质、定理或方程思想，在此就不再赘述。

第3篇：数学建模的思想范文

关键词：数学建模；创新能力；大学数学主干课程

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）07-0158-03

大学生数学建模竞赛不仅能培养出具有创新能力的学生，也能一定程度上提高教师的教学和科研水平，而且最重要的是它能直接推动大学数学的教学改革。教育部高教司对我国大学生数学建模竞赛活动的主要指导思想之一就是“扩大受益面、推动教育改革”。开展数学建模教育，可以推动大学数学教育改革。开展“在大学数学教学融入数学建模、数学实验的思想和方法，培养学生的创新能力”课题的研究和实践，就是扩大数学建模受益面的一个重要探索。本文研究对在大学数学教学融入数学建模、数学实验的思想和方法的必要性，相应的融入手段，以及在融入过程中可能遇到的困难和解决办法等进行了论述。

一、数学建模思想融入大学数学的教学中的必要性

1.数学建模几乎是一切应用科学的基础。数学在科学中的一个重要作用就是能够使人们对事实上是相当混乱的东西进行适当的理想化，抽象出概念与模型，从而解决实际问题。在解决复杂科学技术问题时，数学建模的方法能使人们设计出最佳和可行的新技术方法、手段，以及预测新的现象等。数学建模及相应的计算也正在成为工厂里常用的主要工具。Charlies R. Mischke指出：学生一般都并不确信大学所开设的所有课程是否真能培养他们的创新能力。他们对学习渐渐失去兴趣，原因之一就是缺乏让学生了解大学教育进程安排的合理性。工程专业课程强调的基本都是专业方面的问题。而实际用来进行教学、组织和应用的工具却是数学模型。但不幸的是，专业教师很少花时间来讲授不涉及专业方面的建模过程本身。所以将数学建模的思想和方法融入大学主干数学课程教学中是具有现实的必要性。

2.当前数学教学的问题。传统的数学教学和考试可以很好地检查学生对所学数学知识的概念、定理和方法等的掌握情况，但缺乏对学生的应用数学的能力和创新能力进行考察。因此，在大学数学教学和考试中融入数学建模思想和方法非常必要。传统的大学数学教育已不能有效地激发广大学生的求知欲和激情，不能有效地培养学生的创新意识和创新能力。在现实的大学数学教学活动中，学生常常陷入前所未有的困惑之中，投入大量的精力，做了大量的习题，却丝毫感受不到“数学”有何作用，老师也拿不出鲜活的例子来使学生信服数学的用处。一大半学生认为大学数学的教学内容是没意义的，并且认为无意义的最大原因是和实际没有联系，学生最常问老师的问题就是“高等数学有什么用？”“线性代数有什么用？”等问题。

二、数学建模思想融入大学数学的教学中的具体措施

在大学数学的教学中融入数学建模思想主要是要让学生明白大学教育进程安排的合理性，以及数学的重要性和广泛应用性。但还是必须明确要以数学主干课程为主，建模思想培养为辅的指导思想，最主要的目的还是促进学生更好地学习和掌握大学数学主要内容、思想和方法。要建立一套恰当的数学建模思想融入大学数学教学的具体措施。首先必须弄清楚数学建模的具体过程以及我们大学数学教学的内容和思想。数学建模过程一般分为下面几步：①对实际问题进行观察、分析，进行必要的抽象、简化（抓住要点），确定模型建立中的变量和参数；②根据已知的各学科中的定律，甚至是经验等建立变量和参数之间的数学关系，这实际上就得到了明确的数学问题；③求解该数学问题。大部分情况是没有办法得到解析解，而只能得到近似解。这往往涉及复杂的数学思想、理论和方法，以及近似方法和算法；④得到的数学结果是否能解释或预测实际问题中出现的现象，或用历史数据、实验数据或现场测试数据等来验证模型是否恰当；如果模型是恰当的，那么就可以试用；如果是否定的，那就要进行仔细分析，重复上述建模过程，不断调整、最终得到恰当的数学模型。大学数学的特点是的抽象的思想、严谨的逻辑推理和广泛的应用，也正是由于它的抽象和严谨，使得其成为我们将其他学科量化的一个有效的工具。它与许多其他学科的本质区别在于它抽象地反映了现实世界里各种对象及其变化在数量方面的一般规律，它能够把一个学科的思想经过抽象、推理和提炼得到的结果用到别的学科，从而具有广泛的应用性。将数学建模思想融入大学数学的教学的具体方法。

1.具体的切入点。①经验建模——在所收集数据中提炼事物发展的趋势；②讲授一些实际问题及相关数学模型：人口模型、管理模型、抵押贷款模型、传染病模型、减肥模型等等。在现有教材中已经讲解了所涉及的数学内容，但如果从分析具体问题到建立数学建模的过程来学习的话，不仅能激发学生的学习兴趣和积极性，而且还能使其能在学、做而后知不足，从而诱导学生进一步学习数学。

第4篇：数学建模的思想范文

一、在“数与代数”的教学中渗透数学建模思想

《课程标准》指出：“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，帮助人们从数量关系的角度准确、清晰地认识现实世界。如建立不等式模型解决实际问题：某商店举行促销优惠活动，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内的任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠。请你帮小丽算一算，所购买的商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算。抓住“采用方案一更合算”建立“方案一的费用＜方案二的费用”这样不等式的数学模型，从而在实际生活问题中提炼出利用不等式解决的数学问题。再如建立函数模型解决实际问题，函数反映了现实世界中变量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系式从而解决实际问题，体现了联系和变化的辩证唯物主义世界观。构建函数模型的关键是挖掘实际问题中变量之间的关系，建立函数关系式并准确运用函数的性质。如：某电信公司推出甲、乙两种收费方式供手机用户选择：甲种方式每月收费25元，每分钟通话费为0.2元；乙种方式不收月租费，每分钟通话费为0.45元；请你根据通话时间的多少选择一种合适的方式。在这个实际问题中，通话费用随通话时间的变化而变化，这两个变量之间存在着一次函数关系，因此应分别建立两种通话费与通话时间的函数关系式，从而构建函数模型解决问题。设通话时间为x分钟，甲种通话费为y甲元，乙种通话费为y乙元。y甲=0.2x+25，y乙=0.45x，（1）若y甲＞y乙，即0.2x+25＞0.45x，则x＜100；（2）若y甲=y乙，0.2x+25=0.45x，则x=100；（3）若y甲＜y乙，即0.2x+25＜0.45x，则x＞100。学生通过建模求解，感受了“生活处处有数学”，体会了数学的价值，也体会了数学能够使人做出正确的决策。

二、在“图形与几何”教学中渗透数学建模思想

新课程设计思路指出：在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。“图形与几何”的主要内容包括：空间和平面基本图形的认识；图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。这些教学内容中包含着各种几何模型。教学中要密切联系生活实际，自觉主动的运用几何模型解决实际问题。例如，如图，在电线杆上的C处拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6m的B处安置测角仪，在A处测得电线杆C处的仰角为30°，已知测角仪AB高为1.5m，求拉线CE的长（结果保留根号）。要求拉线CE的长，必须在RtCDE中求出CD的长，要求CD，又要过点A作AHCD构造直角三角形（如图），求出CH，CD=AB+CH。从而建立三角函数模型达到解题目的。再如：小明和小丽轮流向一小圆形桌面上放一元硬币，硬币不重叠，直至圆形桌面里不能再放入为止，谁放入圆形桌面上最后一个，谁就获胜，这个游戏公平吗？解决这个问题要建立圆的中心对称性数学模型，圆是中心对称图形，先将一枚硬币放在圆心，然后先放者总能把硬币放在后放者的对称位置，故先放者胜。

三、在“统计与概率”的教学中渗透建模思想

日常生活是数学问题的源泉之一，统计与概率与现实生活联系密切，模型很多。数学教学中可以通过实践活动学习数据处理方法，建立数学模型进行推断和预测，为决策提供依据和参考。例如，甲、乙两人玩游戏，他们准备了1个可以自由转动的转盘和一个不透明的袋子。转盘被分成面积相等的三个扇形，并在每一个扇形内分别标上-1，-2，-3；袋子中装有除了数字以外其它均相同的三个乒乓球，球上标有数字1,2,3。游戏规则：转动转盘，当转盘停止后，指针所指向区域的数字与随机从袋中摸出乒乓球的数字之和为0时，甲胜；其他情况乙胜（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）。这个游戏规则对甲乙双方公平吗，请判断并说明理由。这是一个典型运用概率模型解决实际问题的游戏，游戏公平与否，就看指针指向区域的数字与摸出乒乓球的数字之和为0的概率与其他情况的概率是否相等，概率相等则游戏公平，否则不公平。

第5篇：数学建模的思想范文

[关键字]数学建模 数学教学 问题 数学模型

一、绪论

随着科技与自然科学的飞速发展，数学已经从一门单纯的研究性学科转变为社会基础学科。数学已经渗透到了自然科学、社会科学等各个领域，形成了“数学无处不在，无所不用”的大环境。数学能够使许多定性的问题逐步定量化、精确化，使许多实际问题的解决更加科学合理。数学学习不再单纯的是一种重要“工具”的学习，更是思维方式、逻辑思维的学习。数学作为高等学校的重要课程，更是在培养学生数学素质与创新能力上有着重要作用。传统的数学教学，仅仅局限于公式、定理、定义出发的逻辑推理已经不再适用于当今的素质教育。新的教学方式要求激发学生运用数学解决实际问题的兴趣，培养探索精神、应用意识和实践能力，做到学以致用，进一步体会数学的作用和价值，感受到数学的魅力。

二、在高等数学教学中渗透数学建模的思想

当学生步入大学生活之后，遇到的是截然不同的学习生活，有些学习喜欢学习数学；有些学生则是惧怕学习数学，没有自信，否定自己；甚至有些学生感到迷茫认为学习数学无用，放弃学习数学。如何激发学生的学习兴趣，端正学习态度，是数学教学面临首要难题。因此，将数学建模思想渗透到教学中，可以让学生知道数学的实际应用价值，端正学习态度，树立数学的应用意识和对生活数学化的观念，锻炼学生运用数学了解实际、观察生活、发现规律的能力，培养学生应用创造能力。

（一）联系实际，从兴趣出发

“兴趣是最好的老师”，从学生的兴趣出发可以调动学生的注意力，提高教学效果，提出一些与教学相关的实际问题让学生思考，只有当学生对问题有了强烈的兴趣，才可能对问题大胆的去探究。例如椅子的稳定性问题，正方形的椅子能在高低不平的地面上放稳吗？学生能否大胆思考，善于思考，决定着学生对知识的牢固掌握和灵活运用。

另外，在解决某一个较难的数学问题时，常常把一个大问题分解成若干个相关联的小问题，降低思维坡度，有利于全体参与，每个同学都有不同的程度收获。数学题中的解法甚多，恰当的使用一题多解可以使学生更深刻地理解基本知识，熟练掌握相当的解题方法和技巧，进而启迪思维，开发智力，发展能力。根据每节课不同的教学目标，可以采取不同的教学方法。灵活多变的教学方法能更好地调动学生学习的积极性，发展学生的数学能力。不但学生学起来有兴趣，而且学习能力同步得到发展。

（二）以问题驱动学习

数学建模思想核心就是问题驱动式学习，以一个一个的“问题（案例）”为载体，以学生为中心，以寻求解决“问题”的“方法”为主线，以多样化的教学方式和直观的现代化教育技术为平台，以培养学生的数学创新思维、应用意识、实践能力和协作精神为目的。首先，发现问题。寻找实际生活中的数学原型。从实际生活中寻找学生所熟悉的问题的原型，能够化抽象为形象，激发学生性兴趣。其次，提出问题。通过一些列的问题引导学生构将问题原型转化为数学模型。让学生自己总结解决问题的方法，形成待解决的命题。再次，解决问题。教师引导学生一起来证明大家的推测，并理解每个方法的基本原理和适用范围。然后，应用。用学生自己获得的结论去解决问题包括例子、习题。最后，总结反思。让学生反思所学，提出新问题。

在教学过程中，利用数学建模的思想，通过问题驱动学习，让学生自主的去思考，引导学生提出问题，分析问题，解决问题，推广应用。在这个过程中，将学生置身于问题环境之中，在解决问题的过程中学习数学知识，掌握数学方法和领悟数学精神。充分利用学生的主观能动性，锻炼学生运用数学知识进行分析、推理、证明与计算的能力。使学生在学习数学知识和数学方法的同时，领悟数学精神，锻炼数学思维及应用能力。

例如：信息传播问题，改进为学生中的八卦新闻传播的问题，这样的话题与学生的生活相关，能够激发出学生学习和讨论的兴趣。通过问题，引导学生思考需要考虑哪些因素，这些因素之间有什么关系？考虑的因素主要有：总人数，知道消息的人数，传播率。假设学生的总人数应该是固定的假设为N，且在短期内不会有大的改变，x（t）表示为知道消息的人数所在总数的百分比，t为时间，初始时刻的百分比x0

这样可以解出 ，显然这个结果不符合实际的情况。怎么样能够更加贴近实际的情况？实际情况是有些人从传播中知道了消息并传播信息出去，传播率为h，而有一部分人虽然知道消息，但不轻信，不去传播，于是可以设置不传播率为r，则数学模型为：

求解得出 ，于是有了 ，随着时间的增长，消息会慢慢淡化，逐步被遗忘，这样是符合实际情况的。

（四）融入建模思想的教学模式

与传统的教学方法相比，将数学建模的思想融入教学后，教学的主导将由老师转变为学生；新知识的引入不再是概念与定义，而是利用案例和问题，通过教师的引导，让学生自己去发现新的知识；对于定理的讲解也由传统的证明，转变为让学生去分析定理是否成立，并且找出定理能够解决那些相关的问题；举例和联系也转变为，新知识的应用与反思。 教学效果也由巩固数学知识

训练数学逻辑思维转变为注重数学应用、培养数学创新意识。

在教学中融入数学建模思想，能够使得课程学习过程更有趣味性，提高了学生的学习兴趣， 激发了学生发现问题，提出问题的灵感；使得教学的目的更加明确，教学思路更加清晰，教师有的放矢的教学，学生心中有数的学习，从而由原来的被动接受到现在的主动学习；使得教学双方都在不断反思，提出新的问题，养成了教师教学研究，不断创新的良好习惯，同时也养成了学生勤于思考，自觉学习的良好风气。；使得学生之间的交流，师生之间的互动更加频繁，拉近了人与人的距离，建立起了更加深厚的学友和师生情谊，学生在课堂里不仅学习知识，还能体会到人文关怀、团结协作带来的精神力量，真正达到教书育人的目的。

三、总结

在教学中融入数学建模思想，以问题为引导，以数学模型案例为载体，以学生为主导，让学生自己去认识问题、分析问题、解决问题、推广应用问题，不但能够达到更佳的教学效果，也能够充分的锻炼学生的数学思维、创新思维和应用能力。但是，在教学中融入数学建模思想的过程中，仍然有很多地方需要完善与讨论。1.不是所有的数学概念及数学问题都有合适实际模型，这就需要多动脑筋去思考的问题。2.防止“喧宾夺主”，要明确将数学建模的思想融入数学课程，而不是用“数学模型”或“数学实验”课的内容抢占各个数学课程的阵地。3. 宜采用渐进的方式，力争和已有的教学内容有机地结合，充分体现数学建模思想的引领作用。4. 数学模型的选择应该慎重，以具有代表性，与教学内关系紧密的数学模型为最佳。

综上所述，将数学建模思想融入教学，不但能够培养学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养，锻炼学生各方面能力，而且可以激发学生的创新精神，培养创新型人才，具有十分重要的意义。

基金：海口经济学院教育教学改革研究项目（hjyj2012001）

[参考文献]

[1]徐茂良.在传统数学课中渗透数学建模思想[J].数学的实践与认识.2002.32（4）：62.

[2]乐励华.数学建模教学模式的研究与实践[J].工科数学.2002.18（6）：9-10.

[3]李晓莉.数学建模的教学与实践[J].铁道师院学报，2002，（2）：35-38.

[4]简国明.地方高校数学建模教学模式的探索与实践[J].大学数学，2005（4）：35-38.

第6篇：数学建模的思想范文

【关键词】数学建模思想性;高数课堂;实践案例研究

数学对学生的逻辑思维能力、语言理解能力、空间想象能力有很高的要求.数学建模思想讲求在解决实际问题的过程中，引入数学知识和方法，通过对实际问题的简化和抽象，建立数学模型并求解.这种解题方式是对数学的一种实际应用，也是对学生思维能力的提高，所以在高等数学中运用数学建模思想对提高学生的综合素质有关键作用.

一、高等数学教学中数学建模思想融入的意义

数学建模其实属于一种应用数学，其主要目的是要求我们通过对实际问题进行分析并简化为一个数学问题，再运用适当的数学方法解决问题.数学建模思想最早提出于1992年，虽然当时这种新颖的逻辑思维能力受到了很多学校的重视，并在组织的数学建模竞赛中选取优秀的学生参加，但这种新的数学解题模式并没有得到大面积的普及，很多学生因为学习任务繁重根本没有时间了解数学建模思想.进入大学的学习后，基本上所有的学生都要学习高数，高数是一门极为抽象的科目，很多学生根本不知道学习的意义，从而对高数丧失学习的动力.若将高数与数学建模思想融合起来，不但可以激发学生的学习兴趣，还能鼓励学生多运用数学知识解决实际问题.

在数学建模过程中，不但可以让学生更加透彻的领悟数学中的知识，还能对学生的综合素质进行提升.建模过程重要反复推敲、计算.最终找出模型的最优解.数学建模其实没有统一的答案，讲求的是方法的运用，针对同一问题，学生可以从不同的角度分析，创建不同的数学模型，选用不同的方法解决问题，选出最优的解决方案.在将数学问题准确的抽象为数学模型时，要求学生具有敏锐的洞察能力，在合作解决问题时，培养学生的协作合作能力，整个过程中，学生们一起探讨、分享数学知识，开阔了彼此的数学思维能力，所以数学建模思想对学生综合素质的提升和思维能力的培养有较大裨益，是一种值得推行的数学思维方式.

二、实际案例分析

提到微积分相信大家都耳熟能详，但很多人却因不了解用途而觉得枯燥不堪.其实微积分在生活中运用广泛，该实例就是运用微积分中的定积分解决问题.

题目：除雪机在清理路面上的积雪时，设定当路面积雪达到0.5 m时开始工作，但由于在清理积雪的同时天空正在下雪，下雪的大小直接影响除雪机的工作效率，对于一条10公里的公路，除雪机能否完成除雪任务，当雪下多大时除雪机将不能工作？

相关条件：

1.降雪持续1个小时.

2.降雪的大小随着时间的变化而变化，当雪下到最大时，积雪以0.1 cm/s的速度增长.

3.当积雪厚度达到1.5 m时，除雪机将停止工作.

4.除雪机在无雪的路面行驶速度为10 m/s.

分析问题：

通过题目和条件所含的信息，影响除雪机除雪的因素主要包括：降雪的速度、降雪的时间、积雪的厚度、除雪机工作时间等.

模拟解题环境：

1.降雪的速度维持不变

2.除雪机的工作速度和积雪的厚度成正比

3.降雪的速度为R（cm/s），积雪厚度为d（m），除雪机工作速度为v（m/s）

创建数学模型：

假设降雪速度维持不变，积雪在时间t内的厚度增加量Δd为 Δd=1100Rt.

由此解得t秒内的积雪厚度为 d（t）=0.5+Rt100.

（1）

（2）通过对问题的假设，当d=0，时，v=10;d=1.5时，v=0，可以建立关系式v（t）=101-23d（t），当0.5≤d（t）≤1.5时，将（1）带入公式得到t秒时除雪机的工作速度为 v（t）1032-Rt30.

（2）

通过以上的公式推断出除雪机工作被迫停止时间v（t）=0，

t0=100R.

（3）

除雪机在工作t时的行驶距离：

S（t）=∫t0vudu=103∫t02-Ru50du=203t-R30t2.

（4）

假设情况1：大雪的降雪速度以0.1 cm/s持续1小时，那么积雪的新增厚度为0.1×3600100=3.6（m），再加上原来的积雪厚度0.5 m，总厚度已经超过1.5 m，所以只能考虑积雪厚度在0.5 m～1.5 m之间的工作时间和除雪距离.通过（3）可以算出t0=100R=1000.1=1000（s）≈16.67，所以除雪机只能工作16.67分就会被迫停止工作，期间的行驶距离由（4）算出

St0=S1000=20×10003-0.1×1000302≈3.3（km）.

假设情况2：大雪的降雪速度以0.025 cm/s持续1小时，降雪的速度变化如右图所示：

在该种情况下，积雪的新增厚度为0.9 m，再加上原来的0.5 m，总厚度不超过1.5 m，除雪机可以正常工作，除雪机清除10公里的道路所需时间，将S=10×1000 m带入式子（4），算出10000=203t-0.02530t2，t=2000（s）≈33.33（min），所以只需要33.33分钟，除雪机就可以完成10公里路面的积雪清理工作.

初次建模，考虑问题比较粗糙，现对所建模型进行优化.首先降雪速度不可能一直维持不变，为了让模型与事实更加贴合，可以设置下雪速度在前半个小时均匀增大到最大值0.1 cm/s，在后半个小时逐渐减小到0.则在t时刻降雪的速度r（t）为： r（t）=0.1 t1800 0≤t≤1800

a-0.11800≤1≤3600

运用t=1800处r（t）的连续性，可算出参数a的值为0.2.

积雪厚度函数：

当0≤t≤1800时d（t）=0.5+1100∫t00.1u1800du=0.5+0.0013600t2.

（6）

计算得到d（1800）=0.50.001×（1800）36002=0.5+0.9=1.4（m），表示除雪机工作半个小时，积雪厚度为1.4 m.当1800≤t≤3600. d（t）=1.4+1100∫t18000.2-0.1t1800du=0.010.2t-0.43600t2-1.3.

（7）

计算得到d3600=0.010.2×3600-0.1×（3600）23600-1.3=2.3 m，表示除雪机停止工作时，雪还在下，工作时间可由（7），d（t）=1.5 m，t≈35（min）.

当然，在对模型的完善过程中，讲求层层深入，逐步细化，最终建立与实际问题最贴近的数学模型，使解出的答案更加贴近，这就是数学建模思想在高数中的应用实例.

三、总 结

总而言之，数学建模思想就是用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验.在模型的建立过程中，不但可以重新点燃学生对数学的兴趣，还可以训练逻辑思维能力，将高数与数学建模思想完美的融合，解决现实生活中的各种问题，拉近数学与生活的距离，提高高数的教学质量.

【参考文献】

[1]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006（1）：9-11.

第7篇：数学建模的思想范文

关键词数学专业课程;数学建模;融入教学

中图分类号G44文献标识码A文章编号1673-9671-(2010)042-0169-01

在知识经济时代,数学科学的地位发生了巨大的变化,数学理论与方法的不断扩充,数学应用越来越广泛和深入。传统的数学教育(几乎所有传统的数学课程),重视的是数学知识体系的传授,数学概念、定义、定理及基本计算方法的传授,而不重视如何应用数学方法解决实际问题,在整个教学过程中,没有体现出学生的主体地位,学习的自主性、创造性得不到充分发挥,学生对于数学的思想、方法领会不透,数学能力、创新意识、创新能力得不到提高,其结果是培养出来的学生既不懂得如何运用数学知识来解决问题,又会认为学数学无用。而数学建模是联系数学理论与实际问题的桥梁,把数学建模融入到专业课程的教学之中,可以改变这种状况,以适应现代社会的人才需求。

要了解数学的思想方法和精神实质,就应该知道数学思想是怎样发展的。我们提出将数学建模思想融入数学专业课的教学当中,并不是对每个概念、公式,都要先讲它们的数学模型,而是通过在数学教学中突出数学思想的来龙去脉,揭示数学概念和公式的实际来源和应用,恢复并畅通数学与外部世界的联系。

数学建模是对现实的现象通过心理活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示,是形象化的或符号化的表示,所以数学建模的关键是将实际问题抽象、转化为数学问题,即建立数学模型。在教学中我们可以适当选编一些实际应用问题,引导学生进行分析,通过抽象、简化、假设,确定变量、参数,确立数学模型,解答数学问题,从而解决实际问题,这样既使学生掌握了数学建模的方法,又使学生深刻体会到数学是解决实际问题的锐利武器,既在教学中贯彻理论和实际相结合的原则,又极大提高了学生分析问题和解决问题的能力。

如,在数学分析课程中,对于函数关系的应用,重要的是建立函数模型,因为用数学方法解决实际问题的许多例子首先都是建立目标函数,将实际问题转化为数学问题。这里要重点介绍建立函数模型的一般方法,掌握现实问题中较为常用的函数模型。例如:指数增长模型可以用来讨论在稳定的理想状态下、生物学中的细菌的繁殖情况,Logistic曲线:可以用来描述当自然资源和环境条件对种群增长起着阻滞作用时种群增长的情况、银行计息的复利公式等等;二元函数的极值问题,Lagrange乘数法,以及最小二乘法在数学建模中有广泛的应用,在教学过程中,应注意培养学生用上述工具解决实际问题的能力。利用偏导数可以对经济学许多问题作定性和定量分析。例如:在经济学中涉及的边际分析,弹性分析,经济函数的优化问题中的成本固定时产出最大化;产出一定时成本最小化;利润最大化等都可以用偏导数来讨论。

高等代数教学中,在诸如多项式、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间等概念上,可找到相应的实际问题,作为理解知识点的平台。当然在选择案例时,可以考虑从简洁、直观和与知识点相称的实际出发,以达到既有利于知识的理解,又可通过对实际问题的解决,使学生感受到获取知识的乐趣。高等代数内容虽多且抽象,但层次清晰,在教学过程中,我们可从教材基本内容的框架入手,让学生了解各个章节的内容所产生的时代背景,与哪方面的知识相关;对概念、定理和推论的教学,我们应从它们的实际“原型”或学生熟悉的日常生活中的例子作为媒介引入,融入数学建模思想。比如行列式概念引入可用货物交换的经济模型,矩阵及其运算教学单元可以“运动会成绩记录”问题作为案例。在课后习题中渗透数学建模思想,适当选择一些与实际问题有关的习题,让学生用所学的知识运用数学建模的思想方法来解决。这样,不仅能巩固所学知识,而且能提高数学知识的应用能力。

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门学科。概率统计方法是现代工程、信息、社会和经济研究运用的基本方法。为使学生清楚这门学科的实际应用,在教学中可插入一些反映社会中所关心的问题,像社会学中的购买彩票的中奖问题、估计一项新产品在未来市场上的畅销率、工程上的产品质量评价、医学中的疾病诊断等问题。通过常见的传染病的传播模型、报童最优进货模型、元器件的寿命模型、学生成绩分布模型、排队等候模型,使学生对运用“概率统计”知识建立数学模型和解决实际问题具有感性认识,对“概率统计”知识产生浓厚兴趣,从而变被动学习为主动学习,譬如,讲授几何概型时,可结合“醉汉模型”讲授poisson分布,指出它常用于描述“单位时间内到达超市的顾客数”或“单位时间内的粒子流”等,对于指数分布,则要指出它主要用于描述“等待时间”“电子元器件的寿命”等等,并顺便指明它与poisson分布的内在联系;又如在讲授二项分布时,为了加深学生对知识的理解,我们可以用一个“盥洗室问题”为实例,讲授二项分布的实际应用背景、应用模式等,这种讲授的方法往往能起到很好的效果,学生在接受时能看到应用背景,会对数学建模有个初步的概念。从而提高学生的分析问题和解决问题的能力。在概率与统计教学中融入数学建模思想,不但搭建起概率与统计知识与应用的桥梁,而且使得概率与统计知识得以加强、应用领域得以拓展,在推进素质教育和培养创新能力上将会发挥重要的作用。

常微分方程教学中,涉及到建立数学模型的问题更多。建立与求解常微分方程是建立数学模型解决实际问题的有力工具。为此,在数学专业课程教学中,要多花时间讲如何在实际问题中提炼微分方程,并且求解。可列举如下例子:马尔萨斯人口模型;阻滞增长模型;再生资源的管理和开发的数学模型、SARS传播模型等。

总之,数学建模所涉及的实际问题类型繁多,要想从现实问题中经过适当简化、假设,抽取出对象的数学描述,除了要具备数学知识外,现实问题本身的非数学类知识也是不可缺少的。把数学建模思想融入到数学专业课程的教学之中,不仅能优化教学内容,有效的激发学生学习数学的积极性,培养学生创新意识和创新能力,提高学生的自身素质,而且还能带动教师进一步提高教学质量,但将数学建模思想融入数学专业课程时,不应该简单地在所有的概念或命题之前或之后都机械地装上数学建模的实例,把一个完整的数学体系变成处处用不同的数学模型驱动的支离破碎的大杂烩。而要采用循序渐进的方式,将其与已有的教学内容有机地结合,从而真正体现数学建模思想的引领作用。

参考文献

[1]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学,2006,1.

[2]刘萍.将数学建模思想与方法融入数学主干课程[J].山东电力高等专科学校报,2003,1.

[3]韦革,兰继斌,吕跃进.数学建模与高校数学教育教学改革[J].广西大学学报(自然科学版),2007,9.

[4]薛春艳,孙淑香.数学建模在数学教育中的作用[J].沈阳师范大学学报,2006,7.

[5]陈明椿.数学教育中的数学建模方法[D].福建师范大学,2002,8.

[6]蒋彦,杨东升.关于数学建模思想融人课程教学的研究[J].高等教育研究学报,2005,3.

作者简介

第8篇：数学建模的思想范文

关键词:建模思想方法;高职数学;教学改革

中图分类号:G712 文献标识码:B 文章编码:1672－0601(2016)04－0041－03

引言

传统的高职数学教学注重于知识的系统性传授、计算能力的培养，忽视了数学思想方法培养，授人以鱼而非渔。将数学建模的思想方法有机地融合到高职数学课程中则可有效提高学生学习的兴趣，增强学习效果，促进学生“学数学、用数学”的思想形成。姜启源教授认为:“相对于本科院校而言，以培养技能型、应用型人才为目标的高职高专院校，将数学建模作为数学教学的重要组成部分，更有其必要性和可行性。”也就是说，融合了数学建模思想方法的高职数学教育更符合职业院校人才培养目标的要求。在高等数学课程教学中，尽量引用专业案例或实际生活案例作为培养学生“用数学”思维的载体。引导学生产生专注解决问题的一系列连贯行为:能够有目的地查阅问题相关资料，收集整理数据，还要善于抓问题的主要矛盾和次要矛盾，根据矛盾的主次做出合理简化假设，建立反映事物内部机理的模型(数学模型)，借助恰当的手段求解模型，再回归实际问题，做出科学解释或给出创新成果。这样的数学教学模式极大地提升了学生学习的主动性，锻炼了学生动手实践能力，并在解决问题中感受到数学文化的熏陶，达到知识、能力、情感三方并重的目标。

1高职数学教学引入数学建模思想方法的途径

1．1以点带面，在教学活动中用数学建模思想方法提高学生学习兴趣

针对高职学生的学习特点，结合高职人才培养方案，要以实现知识、能力、情感三方面并重为目标，优化和调整高等数学课程内容。以机械类专业群数学教学为例，其机械运动、受力状况、承载能力等的分析均是数学建模的典型案例。在函数知识模块讲解前，植入生活中常见的初等数学模型，如居民电费模型等，培养学生学会用建立简单的函数解决实际问题的意识。在极限连续知识模块之后，引导学生用函数连续的性质解决椅子在不平的地面上放稳的问题;在导数概念的导入时用“曲线的切线”、“变速直线运动的瞬时速度”为引例;在曲率知识讲解之前，引入工人选取合适的砂轮打磨有弧度工件内表面的案例;在积分知识模块讲解后，引入无缝钢管制成的传动轴的强度校核案例;在微分方程知识讲解后，综合应用微积分思想解决悬梁臂在自由端受力后的扰度和转角分析等等。这样的教学变化使学生对每个知识模块都能有“学以致用”的新认识，对数学为专业服务有切身体会，在有期望的学习中实现对微积分知识的整体接受。

1．2创新方法，让数学建模思想方法融入培养学

生数学素养的全过程教学有法，教无定法，贵在得法。不同的教师应根据自身特点以及学生的特点灵活选择合适的教学方法与手段，以达到课堂效果最优化。比如在曲率知识讲解时，教师播放事先准备好的工人选取砂轮打磨有弧度工件内表面的视频。学生观看后，分组探讨选取合适砂轮所蕴含的技巧，然后以小组为单位发表讨论意见。教师从选取砂轮技巧中蕴含的数学原理角度，对学生进行启发诱导，引导学生将实际问题转化为数学问题，同时，进行曲率相关知识的探究与学习，最后成功应用所学知识解决选取合适砂轮的问题。鼓励学生完整讲解问题的转化、数学模型的建立及求解、再回归到解释问题上。课后分层设置学习任务，对曲率知识原理感兴趣的同学分为一组(小部分)，着重于对知识的掌握与再提升;对曲率的应用感兴趣的同学分为一组或几组(大部分)，负责搜集生活或专业技能中有关曲率应用的案例，并给出解释;对课堂知识掌握不太好的学生分为一组(小部分)，通过反复学习教师开发的免费网络教学资源如MOOC\MOOT课程资源或教学视频加强学习效果。教师借助网络平台对以上三组学生进行学习监控与指导，最终实现对学生的抽象思维的培养目标。

1．3学会精炼，在提升中领会数学建模思想方法的精华

几十年的应试教育养成了学生总是希望一次性得到理想结果的习惯，往往对建模中反复精炼的过程不感兴趣。这样，不仅得到的模型结果不够好，学生建模的水平也难以提升。基于赏识教育的理念，肯定学生所建现有模型的优点，树立学生建模的信心，再通过实际的检验，指出现有模型的改进空间，引导学生不断完善模型。适时穿插一些数学概念、方法不断完善的故事，比如数学史上的三次危机等，加强学生对模型精炼过程的重视，提升学生建模的能力。培养学生在工作过程中不畏艰难、持之以恒、精益求精、改革创新的良好品格，这也符合大多数企业对高职学生的综合职业素养要求。

2高职数学教学改革引入数学建模思想方法应解决的几个问题

以数学建模思想为引导的高职数学教学改革实施多年来，获得了学生的认同，高职院校的参赛学生在全国大学生数学建模竞赛中也取得了不错的成绩。但将数学建模思想方法融入到高职数学课堂中仍然难以大范围地推广，主要存在以下几个问题。

2．1高职数学教师应有专业背景知识

一是高职数学老师自身不应该是一个封闭的知识体，同专业课教师一样，也应该进入所教专业的相关企业体验学生今后的职场环境，了解他们的工作内容，发现工作中与数学有关的工程问题或社会问题。对搜集到的问题分类，简单的问题采用合理的方法或手段解决，进行整理、归类，以备课堂选用。二是有较强的数学建模能力的数学老师和专业课教师及企业技术人员等形成数学建模案例开发团队，一起开发可以形成数学模型的相关案例，分难易程度交付数学老师或学生完成项目，逐步引导职业院校师生综合运用所学知识为实际服务，其中好的模型结果可以给予推广。这样，又可以吸引更多有建模需要的企业行业加入到题目提供者的队伍中，形成学科为企业服务的良性循环。

2．2配备合理必需的教学环境

为了更贴合学生在实际工作状态下解决问题的场景，有条件的学校可以选择带有互联网的多媒体机房做教室，以“学习岛”模拟“工作台”，将学生分组，成为解决问题的团队。一个团队拥有一个配备电脑的“学习岛”，便于随时查找资料以及团队内成员的交流。或者有WIFI开放的普通多媒体教室，学生自己提供几台手提电脑，甚至是几部智能手机即可实现“学习岛”功能。这样做，可以缩短课堂内外距离，有利于提高学生的学习兴趣。课堂时间的设置以完成一个建模项目的关键步骤为最佳。这样有助于学生思维的连贯性，解决问题的完整性。

2．3创新学习成绩评定方式

改变以往对学生学习成果的检验式考核方式，注重弹性形成性考核评价。对学生成绩的评定分别放在每一个模型的建立过程中和建模结果后，侧重对学生的态度、合作、能力、成果等四方面的考核，形成考核评价表。实施初期，可适度侧重对学生学习态度及其在团队中作用等方面的考核，待学生适应之后逐步加重对模型成果的考察。课前先告知学生考核内容，通过各种公开途径使学生及时了解自己的考核情况，激励学生学习，帮助学生有效调控自己的学习过程，以比较容易完成的方式获得成就感，增强自信心，培养团队合作精神，形成良好学风，提高数学素养，提升建模能力。逐步使学生从被动接受评价转变成为评价的主体和积极参与者。

3结语

随着时代的发展和和社会的需要，数学在社会各领域发挥着愈来愈重要的作用。现代社会的科学技术主要是数学技术。高职数学要特别重视培养学生用数学的意识与能力。在这一点上，融入建模思想方法的数学课堂比传统课堂迈进了一大步。数学建模思想方法引导学生联系实际，运用数学知识解决问题。它鼓励创新，认可多结果的合理性，提高了学生主动学习的能力、分析问题和解决问题的能力对学生的团队合作能力、口头表达能力及撰写科技论文的能力也是一种很好的培养。这些能力有助于他们迅速适应技术工作岗位的需求。同时，也强调建模思想方法的掌握离不开一定数学基础知识的积累。因此，高职数学教师需要在不断学习和实践中总结创新，厚积薄发。

参考文献:

［1］颜文勇．数学建模［M］．北京:高等教育出版社，2011．

［2］李大潜．数学建模教育是数学与工业间最重要的教育界面［J］．数学建模及应用，2012，1(1):38－41．

［3］郑文．引入数学建模，促进高职数学教学改革［J］．重庆电子工程职业学院学报，2012年06期．

［4］焦慧平，肖德华．通过数学建模活动促进高职高专院校教育教学改革［J］．中州大学学报，2011(2)．

［5］徐兆棣，李晓毅．数学建模课程的改革对策和建议［J］．沈阳师范大学学报(自然科学版)，2011，1．

［6］刘艳．高职院校高等数学课程教学改革的研究———以新疆克拉玛依职业技术学院为例［D］．广西师范大学，2014年3月．

［7］李宏平．数学建模思想融入高职数学课程的探索［J］．职业技术教育，2009年第23期．

第9篇：数学建模的思想范文

首先，引入："同学们，鱼缸里有多少鱼？"

毫无疑问，学生都说："数数不就行了。"

然后再问"池塘里有多少条鱼？"

这个问题提出以后，也有学生不加思索的回答："数数呗。"但马上就被其他学生："你怎么数？鱼不停地游动，根本没法数。"这个过程就是提出一个生产领域常见的问题，引导学生思考解决它的方法，但我们不能直接通过代数计算、几何推理等常见的数学方法来解决，那么建立一个近似刻画本问题的数学模型就应运而生了，于是采用小球来代替鱼，不透明的袋子代替池塘，因为池塘中的鱼无法数，那么如果不将袋子中的球倒出来数数，你能知道袋子中有到底有多少个球吗？到此实际问题转化为数学模型。接下来，我们就要来解决数学模型，因为前面的学习，学生提出放入其它只有颜色不同的球，通过摸球实验来统计袋子中原有球的个数（运用概率和统计的知识来解决问题），顺势我给出下面的问题："一个袋子中有8个蓝球和若干个绿球，如果不允许将球倒出来数，那么你能估计出其中的绿球数吗？请你设计一种方案，试一试。"

出示这个问题之后，先让学生思考，然后小组讨论，最后推举代表发言，因为有的学生预习，所以就引出了书上给出的两种解题思路。没有预习的学生因为思考和讨论，也有了初步的认识。那么给出解决方案的时机成熟了。

你看下面两个方案可行吗？

（1）小明是这要做的：从口袋中随机摸出-球，记下其颜色.再把它放回口袋中，不断重复上述的过程，我们共摸了200次，其中有57次摸到蓝球，因此我估计口袋中大约有20个绿球.你能说说他这样做的道理吗？

解：设口袋中有x个绿球，因此摸到蓝球的理论概率为8/8+x，根据题意得

8/8+x=57/200

解之得x≈20

答：绿球大约有20个。

（2）小亮是这样做的：利用抽样调的方法。从口袋中一次摸出10个球.求出其中蓝球数与10的比值，再把球放回口袋中.不断重复上述过程.我总共摸了20次，蓝球数与10的比值的平均数为0.25，因此，我估计口袋中大约有24个绿球.你能说说他这样做的道理吗？

解：设口袋中有x个绿球，因此摸到蓝球的理论概率为8/8+x，根据题意得

8/8+x=1/4

解之得x=24

答：绿球大约有24个。

在经过讨论、讲解、计算之后，学生理解了这两种方法，从而给学生下面的活动提供了解答依据。

下面请同学们分组分别采用两种方法估计袋中绿球的个数。

方法1

方法2

这时可以放手让学生分组实际操作，并且将自己组的结果写到黑板上，进行比较，最后汇总，并且与实际结果相比较，总结经验。在这个过程中，学生亲身感受到了活动经验，积累解决问题的方法，进一步体验到模型的作用。

议一议：

通过亲自实践，我们除感受到上述两种方法合理外，还存在着估计的偏差，但它们在现实生活中意义却很重要，请同学们思考：它们各有哪些优缺点？

这个环节的目的是将实验操作上升到理论高度，加深对"试验频率稳定于理论概率"的理解，并让让学生体会数学的实用性。

想一想：

如果口袋中只有若干个绿球，没有其他颜色的球，而且不许将球倒出来数，那么你如何估计出其中的绿球数呢？与同伴交流.

这个问题的答案因为前面的铺垫，思维灵活的学生很快就想出来：可向口袋中另放入几个蓝球，也可以从口袋中抽出几个球并将它们染成蓝色或作标记。

接下来从数学模型回归到实际问题：现在你能设计已方案来估计池塘里鱼的数目吗？

提示学生池塘里的鱼可以看做上一个问题中的绿球，将数学模型与实际问题联系起来，让学生体会数学的作用。学生也就能给出答案：可以先捞出若干条鱼，将它们作上标记，然后放回池塘经过一段时间后，再从中随机捞出若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此估计与塘里鱼的数目。

到此，问题终于得到解决。