建模思想在中学数学中的应用精选(九篇)

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第1篇：建模思想在中学数学中的应用范文

【关键词】建模思想 小学数学 应用题教学 应用方法

数学应用题是小学数学教学的重点和难点，在培养学生的理解能力、分析能力和创新能力等方面发挥着重要的作用。但是由于小学生搜集整理信息和总结归纳能力有限，应用题教学的课堂效果难以尽如人意。而建模思想可以将帮助学生依据问题情境构建数学模型，从而找到思考的方向和解题的途径，因此教师在应用题的课堂教学中，选择合适的时机，有意识的向学生渗透建模思想，可以使课堂教学事半功倍。

一、实施材料引导时应用建模思想

知识学习的目的之一是将知识应用到生活中。小学数学的应用题题材很多都来源于学生熟悉的生活，学生之所以很难理解，大多因为应用题的题目较长或者背景复杂，学生在没有真正理解题意的时候就已经开始进行解答，出现错误自然在所难免。因此，教师在课堂教学中要引导学生学会用建模思想解答问题。

例题1：某玩具模型厂生产飞机模型，其包装采用棱长为1分米的正方体盒子，并以24盒为一箱。为了节省资源，包装箱的表面积要尽可能的最小，现厂家征集包装箱的设计方案。小强为此设计了3种方案。

（1）请你设计出与小强不同的3种方案（1、1、24，1、24、1，24、1、1为一种方案）；

（2）观察表格中长、宽、高的数据变化，设想：如果长方体的体积不变，什么时候其表面积最小？写出你的结论；

（3）依据你的结论，如果要以48盒玩具为一箱，其长、宽、高各为多少时，箱子的表面积最小。

这类应用题的设计以逐层递进的方式呈现给学生，引导学生以数学模型为线索，不断的分析和思考问题，既符合学生学习的特点和规律，又很好的激发了学生的学习兴趣，让学生学会用发展的眼光去观察生活。

二、分析典型例题时应用建模思想

教师在应用题教学中渗透建模思想是为了简化题目形式，拓展学生思维空间，发挥学生的主观能动性，提高学生自主学习能力，让学生可以将数学知识学以致用，从而培养学生的创新精神。例如教师在讲解“平均数”的时候，就可以借助如下题目培养学生的建模思想。

问：哪组学生取得了最后的胜利？

学生在观察完图表后，一致认为第四组学生取得了胜利，教师宣布最后胜利的小组为第二组。此时，很多学生都开始讨论起来，认为比赛结果不公平，因为虽然第二组的成绩最高，但是那是在比第四组多一个人的情况下取得的。教师此时可以因势利导，问学生有无改进措施，保证比赛的公平性，学生自然而然就会想到借助平均数，此时教师再开始讲解平均数的概念和用法，学生的理解也随之加深。

这种以建模的方式呈现教学内容，让学生依据分析问题，逐步的引入到所学内容中，可以让学生借助构建的数学模型，发现问题、提出问题和解决问题，从而将抽象的数学概念具象化，更利于学生理解和掌握。

三、解决实际问题时应用建模思想

小学数学的应用题也分为很多的类型，学生在思考具体数学题目的时候，在潜意识中很容易去回想与之相似的题目，以发现两者之间的共同点，从而希望找到正确的解题思路。应用题的特点之一即为取材范围广，实际生活中遇到的数学问题比比皆是。因此，教师在课堂教学中要让学生学会以分类思考的方法，构建相应的数学模型，解决生活中的实际问题。

例题3：A、B两地相距为220km，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速度为40km/h，乙的速度为50km/h。在行驶途中，乙修车所用1h。问：甲、乙两车从出发一直到相遇共用了多少小时？

学生常遇到的应用题题目多为两个物体始终处于运动状态，而在此题目中出现了变化。因此，教师可以引导学生构建如下模型，让其成为学生所熟悉的题型：①假设甲单独行走1h以后，两车在同时行驶余下的路程；②假设让乙车再行走1h，此时两车所行驶的时间就相同。经过这样的假设，学生很容易将构建的模型与自己熟悉的模型联系起来，思路也会豁然开朗，正确的解答问题自然水到渠成。

第2篇：建模思想在中学数学中的应用范文

数学模型的难点在于建模的方法和思路，目前学术界已经有各种各样的建模方法，例如概率论方法、图论方法、微积分方法等，本文主要研究的是如何利用方程思想建立数学模型从而解决实际问题。实际生活中的很多问题都不是连续型的，例如人口数、商品价格等都是呈现离散型变化的趋势，碰到这种问题可以考虑采用差分方程或差分方程组的方式进行表示。有时候人们除了想要了解问题的起因和结果外还希望对中间的速度以及随时间变化的趋势进行探索，这个时候就要用到微分方程或微分方程组来进行表示。以上只是简单的举两个例子，其实方程的应用极为广泛，只要有关变化的问题都可以考虑利用方程的思想建立数学模型，例如常见的投资、军事等领域。利用方程思想建立的数学模型可以更为方便地观察到整个问题的动态变化过程，并且根据这一变化过程对未来的状况进行分析和预测，为决策的制定和方案的选择提供参考依据。利用方程建立数学模型时就想前文所说的那样，如果是离散型变化问题可以考虑采用差分思想建模，如果是连续型变化问题可以考虑采用常微分方程建立模型。对于它们建模的方式方法可以根据几个具体的实例说明。

2方程在数学建模中的应用举例

2．1常微分方程建模的应用举例

正如前文所述，常微分方程的思想重点是对那些过程描述的变量问题进行数学建模，从而解决实际的变化问题，这里举一个例子来说明。例1人口数量变化的逻辑斯蒂数学方程模型在18世纪的时候，很多学者都对人口的增长进行了研究，英国的学者马尔萨斯经过多年的研究统计发现，人口的净相对增长率是不变的，也就是说人口的净增长率和总人口数的比值是个常数，根据这一前提条件建立人口数量的变化模型，并且对这一模型进行分析研究，找出其存在的问题，并提出改进措施。解:假设开始的时间为t，时间的间隔为Δt，这样可以得出在Δt的时间内人口增长量为N(t+Δt)－N(t)=rN(t)Δt，由此可以得出以下式子。dN(t)dt=rN(t)N(t0)=N{0(1)对于这种一阶常微分方程可以采用分离变量法进行求解，最终解得N(t)=N0er(t－t0)而后将过去数据中的r、N0带入上述式子中就可以得出最后的结果。这个式子表明人口数量在自然增长的情况下是呈指数规律增长的，而且把这个公式对过去和未来的人口数量进行对比分析发现还是相当准确的，但是把这个模型用到几百年以后，就可以发现一些问题了，例如到2670年的时候，如果仍然根据这一模型，那么那个时候世界人口就会有3．6万亿，这已经大大的超过了地球可以承受的最大限度，所以这个模型是需要有前提的，前提就是地球上的资源对人口数量的限制。荷兰的生物学家韦尔侯斯特根据逻辑斯蒂数学方法和实际的调查统计引入了一个新的常数Nm，这个常数就是用来控制地球上所能承受的最大人口数，将这一常数融入逻辑斯蒂方程可以得出以下的式子。dN(t)dt=rN(t)(1－N(t)Nm)N(t0)=N{0(2)该方程解为N(t)=Nm1+NmN0e－r(t－t0)一个新的数学模型建立后，首先要做的就是验证它的正确性，经过研究发现在1930年之前的验证中还是比较吻合的，但是到了1930年之后，用这个模型求出的人口数量就与实际情况存在很大的误差，而且这一误差呈现越来越大的变化趋势。这就说明当初设定的人口极限发生了变化，这是由于随着科学技术的不断进步，人们可以利用的资源越来越多，导致人口极限也呈现变大的趋势。

2．2差分方程建模的应用举例

如前文所言，对于离散型问题可以采用差分方程的方法建立数学模型。例如以25岁为人类的生育年龄，就可以得出以下的数学模型。yk+1－yk=ryk(1－ykN)，k=0，1，2，…即为yk+1=(r+1)yk［1－r(r+1)Nyk］其中r为固有增长率，N为最大容量，yk表示第k代的人口数量，若yk=N，则yk+1，yk+2，…=N，y*=N是平衡点。令xk=r(r+1)Nyk，记b=r+1。xk+1=bxk(1－xk)这个方程模型是一个非线性差分方程，在解决的过程中我们只需知道x0，就可以计算出xk。如果单纯的考虑平衡点，就会有下面的式子。x=f(x)=bx(1－x)，则x*=rr+1=1－1bx因为f''(x*)=b(1－2x*)=2－b，当|f''(x*)|＜1时稳定，当|f''(x*)|＞1时不稳定。所以，当1＜b＜2或2＜b＜3时，xkk∞x*．当b＞3时，xk不稳定。2．3偏微分方程建模的应用举例在实际生活中如果有多个状态变量同时随时间不断的变化，那么这个时候就可以考虑采用偏微分方程的方法建立数学模型，还是以人口数量增长模型为例，根据前文分析已经知道建立的模型都是存在一定的局限性的，对于人类来说必须要将个体之间的区别考虑进去，尤其是年龄的限制，这时的人口数量增长模型就可以用以下的式子来表示。p(t，r)t+p(t，r)r=－μ(t，r)p(t，r)+φ(t，r)p(0，r)=p0(r);p(t，r0)=∫r2r1β(r，t)p(t，r)d{r其中，p(t，r)主要表示在t时候处于r岁的人口密度分布情况，μ(t，r)表示的r岁人口死亡率，φ(t，r)表示r岁人口的迁移率，β(r，t)表示r岁的人的生育率。除此之外，式子中的积分下限r1表示能够生育的最小岁数，r2表示能够生育的最大岁数。根据人口数量增长的篇微分方程可以看出实际生活中的人口数量与年龄分布、死亡率和出生率都有着密不可分的关系，这与客观事实正好相吻合，所以这一个人口增长模型能够更为准确地反应人口的增长趋势。当然如果把微分方程中的年龄当做一个固定的值，那么就由偏微分方程转化成了常微分方程。另外如果令μ(t，r)=－r，p(t，r)=N(t)，N(0)=N0，φ=rN2(t)/Nm，那么上述偏微分方程就变成了Verhulst模型。偏微分方程在实际生活中的应用也相当广泛，物理学、生态学等多个领域的问题都可以通过建立偏微分方程来求解。

3结束语

第3篇：建模思想在中学数学中的应用范文

关键词：小学机器人教育；数学建模

中图分类号：G622 文献标识码：A 文章编号：1673-8454（2012）10-0065-02

为了更好的培养学生的思维能力与创新能力，机器人教育已成为部分地区小学信息技术课程的一部分。让学生经历采集信息——处理信息——控制动作的过程，领会编程的思想，是机器人教育的主要目标。然而，机器人编程对于小学生来说较抽象、难度较大，实践中，我们可以借助数学领域的建模思想来使机器人编程变得更容易一些。数学建模是指把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。[1] 建模思想在编程领域的应用可以理解为把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为程序的模型，并用已有程序模型来解释与解决实际问题。引导学生把编程思想与实际问题相结合，合理构建程序模型，不仅有利于学生已有知识的正迁移，起到举一反三的效果，更有利于培养学生透过现象揭示本质的洞察能力，也有利于培养学生简约、严密的思维品质。建模思想在机器人学习中的渗透可以从以下三个方面入手。

第一、从生活入手，把自然语言转化成程序语言

与数学建模相通，要用程序解决问题，首先需要学会把实际问题转化为程序问题，即从复杂的现实现象当中抽取问题的主要因素来分析和讨论，当学生能够用程序的语言描述实际问题，程序建模就基本完成。有两种方法可以培养学生建模的能力：第一种是让学生把机器人想象成自己，自己完成某个任务所要经历的过程也是机器人要经历的过程；第二种是从最简单的实际生活问题入手，一步步引导学生用程序语言描述问题，循序渐进培养学生构建模型的能力。比如，让机器人唱一首曲子。学生说，我在唱曲的时候是一个音符一个音符唱出的，机器人也该这么做。如何编写程序呢？学生说出把发不同音调的发音模块连在一起，顺序执行就能演奏歌曲了。再比如，机器人走一个正四边形。学生说：我在走正四边形的时候需要“前进转弯前进转弯前进转弯前进转弯”。教师追问前进多少？转多少角度的弯？机器人需要用哪些模块来实现？重复的过程怎么处理？再比如，开发一个简单的红绿灯系统，要求五分钟红灯过后是一分钟的黄灯，接着是五分钟的绿灯。教师提出这样的问题：如何控制红灯亮的时间？红绿灯系统只执行一次吗？这样步步引导学生用程序的语言表达实际过程，久而久之，学生就会形成用合理的程序语言来重新描述问题的习惯，建模的方法被应用于编程的过程中，编写程序不再神秘且越来越容易。

第二、 提炼方法，建立并应用解决问题的模型库

在数学领域，针对不同的问题类型，有与之对应的基本关系式，比如体积公式V=abc、路程速度公式S=vt等等，这些关系式使学生能在解析问题之后快速找到与之对应的解决方法。在机器人教育中，应借助具体的编程实例，把重点放在总结和提炼在实际问题中用到的编程方法，构建解决问题的模型库。比如，假设机器人要躲避障碍物，那么就需要不断地判断前方是否有障碍物，要用永远循环，而走正方形需要走出四条相同的边，所以要用多次循环，由多个这样的实例让学生理解需要重复做的事件要用循环程序结构；再比如，在闹钟程序中，如果光线符合天亮的条件，机器人要奏响音乐，反之，机器人要继续判断是否天亮。通过此类实例，学生归纳得出条件判断的事件用分支结构，符合条件后要做的事情填在“是”的分支，不符合条件要做的事情填在“否”的分支；比如演奏歌曲等一般的程序用顺序结构。如此，构建解决问题的基本模型库，便于学生在遇到实际问题时选择使用。

第三、设置图形化模块，解决问题

第4篇：建模思想在中学数学中的应用范文

一、中学数学教学中融入数学建模思想的重要意义

在中学数学教学中融入数学建模思想，有助于提升学生的综合素质：数学建模能锻炼学生的想象力、洞察力和分析综合能力，提高学生分析、解决问题的能力。在数学建模的过程中，学生通过深挖教材及广泛地查询、研究相关信息资料的方式，使得自身的动手动脑的能力和实践技能得到了提升。通过共同合作建模解决问题的过程中，又能培养学生沟通协调的能力和团队合作的精神。最后，因为数学建模重视的是学生体验数学知识的过程，因此，数学教学中数学建模的参与，有利于对学生的真实水平进行正确的评价。由此可见，将数学建模思想融入到中学数学教学中有着重要的作用及意义。

二、数学建模思想融入中学数学教学中存在的问题

目前，将数学建模思想融入到中学数学教学中，主要存在以下四个方面的问题，分别是：传统数学教学方式制约着数学建模思想的融入；学校的重视不够和教师对数学建模思想的误解；学生缺乏足够的数学知识；适合的中学数学建模教学教材的缺乏。

数学建模思想涉及的面较广，不仅有数学知识，还有地理、物理、生物方面的知识等，学生虽对数学建模思想融入到数学教学中有着浓厚的兴趣，但学生自身的知识不足，使得数学建模思想融入到数学教学中缺乏一定的、坚实的基础。

另外，我国有关中学数学建模教学的、适合各地中学数学建模教学的教材也较为少见，这也是阻碍数学建模思想全面融入中学数学教学中的一大因素。

三、将数学建模思想融入中学数学教学中的策略

将数学建模思想融入到中学数学教学中，是数学新课程改革一个正确的方向。在中学数学教学中融入数学建模思想，可以从以下几个方面入手：

1.学校、教师要更重视数学建模思想的融入

为促进数学建模思想更好、更快地融入到中学数学教学中，学校和老师要更加重视数学建模思想在教学中的融入。数学教师则要在教学过程中发挥好主导和指导的作用，教师在熟悉教材的基础上，还要深入挖掘教材中可以用来融入数学建模思想的教学内容，全面地备课，在课堂上不仅要引导学生自己找到正确的模型，而且要鼓励学生大胆设想、体现学生的主体性，在教学的过程中要自然地将数学建模思想融入到日常的教学中。

2.在中学数学教学中根据教材章节构建数学模型来教学

许多问题都可以根据具体的数学模型来解决，若要避免走弯路，就要恰当地运用数学工具。运用数学工具来解决一些实际问题，会有事半功倍的效果。对于中学数学教学而言，教材内容基本都是由实际问题引入，再讲述相关知识点，最后再用该知识点来解决所引入的问题，而所用到的这个知识点就是数学模型。建立数学模型是至关重要的，在中学数学教学中，教师要根据教材的章节内容构建数学模型来辅助教学，如引入细胞分裂来进行指数函数教学。

3.联系生活实际、强化应用意识

许多应用题都是从日常生活中演化而来的，现实生活中的诸多问题都可以通过建立数学模型来解决。中学数学教师若能利用生活中学生熟悉的事情作为背景来编制应用题，不仅能大大提高学生学习数学的兴趣，而且也能强化学生运用数学模型解决问题的意识。

4.依据教材内容设计恰当问题进行课外建模活动

中学数学教材中，每章都有涉及到数学应用的内容，教师可以依据教材内容设计恰当的问题，让学生可以进行课外建模活动。将学生分为若干组进行课外数学建模活动，通过对老师提出的问题进行探讨，让学生在此过程中更深一步地体味其中运用的数学知识、思想方法并在脑中储存一定的基本的数学模式，培养学生的数学建模能力，更好地将数学建模思想融入到中学数学教学中。

5.拓宽学生的数学认识、提高数学学习兴趣

第5篇：建模思想在中学数学中的应用范文

关键词：数学建模；数学模型；建模思想；数学建模方法

一.数学建模在教学中的应用

数学建模能力的培养，让学生体验、理解和应用探究问题的方法。教师在教学中，应根据他们的年龄特征和认知规律设计出适应他们探究的问题，这样才能激发学生对学习的思考和探索，从而达到培养学生数学探究性学习的效果。

例：拆数问题。总长100米的篱笆靠墙围一个矩形羊圈。

（1）当x=20米时，面积S是多少？（2）当x分别为30米，40米，50米，60米呢？

（3）当x为多少时，所围矩形面积最大？

本例中，学生原有知识为：矩形面积=长×宽；总长100米，一边为x，则另一边为100-x。例中的问题（1）（2）简单计算就可得出，但却是问题（3）的辅垫，学生在训练中容易比较发现，当把100分成50米和50米时，所围成的矩形面积最大。

例：函数图像的交点坐标。在一次函数教学时，可设计以下渐进式问题：

（1）直线y=x+3与X轴，Y轴分别交于点A、B，求点A、B的坐标。

（2）直线y=x+3与直线y=-2相交于点P，求点P的坐标。

（3）直线y=x+3与直线Y=3x-5相交于点M，

求点M的坐标。

结合（1）的方法容易解出问题（2），但问题（3）具有一定的挑战性。教学时问题（1）可总结为解方程组的形式，求出与X轴的交点坐标；同理对问题（2）可总结为解方程组的形式，求出点P的坐标。这样学生容易想到问题（3）的解答方法了。

数学建模能力的培养不在于某堂课或某几堂课，而应贯穿于学生的整个学习过程，并激发学生潜能，使他们能在学习数学的过程中自觉地去寻找解决问题的一般方法，真正提高数学能力与学习数学的能力。

二.数学建模教学的基本过程

培养学生运用数学建模解决实际问题的能力，关键是把实际问题抽象为数学问题，必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统去处理，这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力。学生的这种能力的获得不是一朝一夕的事情，需要把数学建模意识贯穿在教学的始终，也就是要不断地引导学生用数学思维去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题的目的，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。

三.数学建模教学的重要性

二十一世纪课程改革的一个重要目标就是要加强综合性、应用性内容，重视联系生活实际和社会实践，逐步实现应试教育向素质教育转轨。纵观近几年高考不难推断，数学应用题的数量和分值在高考中将逐步增加，题型也将逐步齐全。而以解决实际问题为目的的数学建模正是数学素质的最好体现。

目前中学数学教学现状令人担忧，相当一部分教师认为数学主要是培养学生运算能力和逻辑推理能力，应用问题得不到应有的重视；至于如何从数学的角度出发，分析和处理学生周围的生活及生产实际问题更是无暇顾及；为应付高考，只在高三阶段对学生进行强化训练，因学生平时很少涉及实际建模问题的解决，其结果是可想而知的，所以在中学加强学生建模教学已刻不容缓。

四.数学建模教学的意义

在学校开展数学建模教学，可激发学生的学习积极性，学会团结协作的工作能力；培养学生的应用意识和解决日常生活中有关数学问题的能力；能使学生加强数学与其它各学科的融合，体会数学的实用价值；通过数学建模思想的渗透和训练，能使学生适应对人才的选拔要求，为深造打下坚实的基础，同时也是素质教育的重要体现。

参考文献：

[1] 数学思想与数学教育[J]，数学教育学报.1995

[2] 丁石孙、张祖贵.数学与教育[M]，湖南教育出版社.1998

[3] 孙亚玲.现代课程与教学研究新视野文库--课堂教学有效性标准研究、教育科学出版社.2008

第6篇：建模思想在中学数学中的应用范文

【关键词】数学思想；数学方法；传授；渗透

提到数学，人们往往想到思想方法，殊不知数学的思想与方法是既区别又联系的两个概念。

一、数学思想与方法

1.数学思想

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。首先，数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。其次，数学思想、数学观点、数学方法三者密不可分：如果人们站在某个位置、从某个角度并运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点。中学数学中出现的数学观点（例如方程观点、函数观点、统计观点、向量观点、几何变换观点等）和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。

基本数学思想包括：符号与变元表示的思想，集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合的思想，化归的思想，对立统一的思想，整体思想，函数与方程的思想，抽样统计思想，极限思想（或说无限逼近思想）等。它有两大“基石”：符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大“支柱”：对应思想和公理化与结构思想。有些基本数学思想是从“基石”和“支柱”衍生出来的，例如“函数与方程的思想”衍生于符号与变元表示的思想（函数式或方程式）、集合思想（函数的定义域或方程中字母的取值范围）和对应思想（函数的对应法则或方程中已知数、未知数的值的对应关系）。所以我们说基本数学思想是体现或应该体现于“基础数学”（而不是说“初等数学”）的具有奠基性和总结性的思维成果。基本数学思想及其衍生的数学思想，形成了一个结构性很强的网络。中学数学教育、教学中传授的数学思想，应该都是基本数学思想。

2.数学方法

数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法。

数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；三是应用的普遍性和可操作性。

宏观的数学方法包括：模型方法，变换方法，对称方法，无穷小方法，公理化方法，结构方法，实验方法。微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类：

（1）逻辑学中的方法。例如分析法（包括逆证法）、综合法、反证法、归纳法、穷举法（要求分类讨论）等。

（2）数学中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法（如代数中的坐标系、几何中的图形）、向量法、比较法（数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同）、放缩法、同一法、数学归纳法（这与逻辑学中的不完全归纳法不同）等。

（3）数学中的特殊方法。例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法（也称之为中间变量法）、拆项补项法（含有添加辅助元素实现化归的数学思想）、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法、旋转法等图形变换方法。

如上所述，方法是解决思想、行为等问题的门路和程序，是思想的产物，是包含或体现着思想的一套程序，它既可操作又可仿效。

二、教学中要传授的数学思想与数学方法

1.中学数学教科书中应该传授的基本数学思想

中学数学教科书担负着向学生传授基本数学思想的责任，在程度上有“渗透”、“介绍”和“突出”之分。

①渗透。“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。要渗透的有集合思想、抽样统计思想、对应思想、化归思想、公理化与结构思想、极限思想等。前五种基本数学思想从初中七年级就开始渗透了，并贯彻于整个中学阶段；极限思想也可从初中九年级的教科书中安排类似于“关于圆周率π”这样的阅读材料开始渗透。至于公理化与结构思想，要注意根据人类的认识规律，一开始就采取扩大的公理体系。

这种渗透是随年级逐步深入的。

②介绍。“介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始。要介绍的有符号与变元表示的思想、数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等。这种介绍也是随年级逐步增加的。

③突出。“突出”就是把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。它是在介绍的基础上进行的，目的在于最大限度地发挥这些数学思想的功能。要突出的有集合的思想、化归的思想、对应思想等。

2.中学数学教学中应该传授的基本数学方法

在传授基本数学方法方面，仍如课程标准所界定的，有“了解”、“理解”、“掌握”和“灵活运用”这四个层次。这四个层次的含义也可以遵照该课程标准中的提法，分别属于这四个层次的基本数学方法的例子有：“了解数学归纳法的原理”；“了解用坐标法研究几何问题”；“理解‘消元’、‘降次’的数学方法”；“掌握分析法、综合法、比较法等几种常用方法证明简单的不等式”；“灵活运用一元二次方程的四种解法求方程的根”。（四种解法指直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。）

有关数学思想和数学方法，是一个深刻的话题，本人只就书中所得小议皮毛，浅谈薄见，望能起抛砖引玉之效，共同切磋。

【参考文献】

[1]郭田芬，宋韦.浅谈数学思想和数学方法.《焦作大学学报》，2004年第03期

[2]林益龙.初中数学教学中如何渗透数学思想和数学方法.《中国科教创新导刊》，2013年第18期

第7篇：建模思想在中学数学中的应用范文

【关键词】中职数学；RMI原理；信息技术；整合

【中图分类号】G712 【文献标识码】B

【论文编号】1671-7384（2015）09-0083-03

RMI原理概述

1. RMI原理即关系映射反演原理

RMI原理即关系映射反演原理（关系Relation、映射Mapping、反演Inversion），是由中国著名数学教育家徐利治教授于1983年首先得出的，它是经过建立一种映射，把所研究的对象从一个结构系统中映射到另一个结构系统中去，利用新的结构系统中的知识，研究问题的解，然后再通过反演，得到原来问题的解答的一种解决问题的思维方法。它是实现化归的一种重要的、规范化的原理。因此，在较复杂的数学问题解决过程中，可以考虑借助于RMI这一模式简化数学问题，达到解决问题的目的。

RMI原理的内容可用框图表示如图1所示。

图1 RMI原理

简单地解释这个框图就是：我们要求的未知目标原象x是一个不容易求出的量，通过含有x的原象关系结构R，利用映射M（一一对应）将所求问题映射到映象关系结构R*，从R*中找出未知原象x的映象x*，如果x*可以确定下来，再通过反演即逆映射M-1就可以将未知目标原象x确定下来。值得注意的是，这里用到的映射M与反演M-1必须是确实可行的，否则整个过程都将无任何意义。

2. RMI原理的具体应用

人们一看到RMI原理，会产生很多的疑问，不知道其是何意。其实，早在我国古代就已经有人运用它来解决问题了，“曹冲称象”就是一个典型的实例。在当时的技术条件下，直接称大象的质量是很难办到的，于是曹冲就想到了利用现代物理学的有关浮力的原理，把称量大象的质量转化为称量与其等重的石块的质量，称量大象转化为称量石块，问题一下子就被解决了。简单地说，RMI原理的基本思想就是数学的化归思想。

此外，我们在利用对数来计算庞大的数字的乘、除、乘方、开方等运算时，常常用的就是这一模式。一般是先取其对数，然后利用对数的性质将乘、除、乘方、开方等运算转化为加、减、乘、除等运算，计算出结果后再求反对数，就得到所需计算的结果。

中职数学教学中RMI原理与信息技术的整合

1.在解决几何问题中的整合应用

学习数学不仅要学习它的知识内容，还要掌握数学的思维、思想和方法。掌握基本数学思想方法能使数学更易于理解与记忆，领会数学思想方法是通向正迁移大道的“光明之路”。结合中职数学的具体内容渗透数学思想方法，不仅能使学生更好地理解和掌握数学内容，更有利于学生感悟数学思想方法，初步理解数学内容的精神，感受数学科学的精髓和思想。在教学中，教师应注意这种思想在中职数学中的渗透，使学生领会RMI这种重要的数学思想，使他们学会运用这种思想解决在数学学习中遇到的困难，从而达到锻炼思维、激发学习数学的兴趣的目的。而适时引入多媒体、网络等信息化教学手段进行教学，可以大大加快学生对知识理解的进程。

例如，中职数学教材中有这样一个问题：在铁路的同侧有两个工厂A、B，要在路边建一个货场C，使A、B两地到货场C的距离之和最小，如图2所示。问货场C应在什么位置？

图2

要解决这个问题首先要把它数学化，把它变成一个几何问题，即用到建模的思想，然后利用RMI原理进一步求解。因此，可把此问题映射到平面几何中对称的结论，作A以铁路为轴的对称点A’，连结A’B，A’B与铁路的交点就是货场C，此过程中我利用几何画板制作了一个课件，利用软件绘制的生动、形象的图形，让学生通过对直观图形进行观察和测量，理解抽象的理论概念，从而证明C点到AB两点距离之和最短。再反演回到问题的开始，即可得出结论，在整个解题过程中渗透此原理，而信息化教学手段的应用又降低了学生的学习难度，达到了很好的整合效果。

2.在解决应用问题时的整合应用

应用问题从来都是中职学生学习数学的一个难点，教学过程中如何突破难点是一个需要认真思考的问题。数学思想方法总是蕴含在具体的数学基本知识里，处于潜形态。如何挖掘问题中深层次的信息是关键，要获得问题的答案，当然会想到把它化归成我们熟悉的问题来解决，RMI原理的应用就顺理成章了。例如，在人教版中等职业教育课程改革国家规划新教材数学（基础模块）上册（2009版）3.3中有下列例题：一家旅社有客房300间，每间房租20元，每天都客满，旅社欲提高档次并提高租金，如果每间房租每增加2元，客房出租数会减少10间，不考虑其他因素时，旅社将房租租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

我们先设提高x个2元时，利润为y元，把问题映射到y关于x的函数，求出函数的最值，再反演回到问题的开始的原象，问题便得以解决。具体过程思维框图如图3所示。

图3

教师可用多媒体课件把配方的过程加以演示，以提高教学效率。

3.在求函数值域问题中的整合应用

又如求函数f（x）=0.2-x+1（x∈R）的值域，由于直接求原函数的值域有困难，学生很难想出思路，教师适时进行引导，把此问题映射为求其反函数f -1（x）= log（x-1），再求反函数的定义域x>1，反演回到原函数的值域y>1，具体过程思维框图如图4所示。

图4

此时，教师“另辟蹊径”，利用教学软件给出函数y=0.2-x+1（x∈R） 的图像，如图5所示。

图5

学生直接从图像上即可看出函数的值域，遵循了教学的直观性原则，可见“数形结合”的重要性，也体现了信息化教学的优点。

4.求函数解析式时的整合应用

函数中的换元法，也是RMI原理应用的一种表现，即将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量（中间变量），然后找出函数对中间变量的关系，从而取表达式。我们看如下例子：

已知 ，求f（x）的表达式。

本题很难用定义法解决，即通过配方、凑项等使之变形为关于“自变量x”的表达式。因此，可用一个新的变量代替函数中原来的自变量表达式，在此过程中要注意自变量的范围。其过程用框图表示如图6所示。

图6

解题过程：令u=（u≠1），

则x=，

于是f（u）=，

以x代u得：f（x）=x2-x+1。

我在讲授时利用PPT制作了课件，把整个化简的过程加以展示，上课时只须用鼠标作“一指禅”，每次轻轻一点，相关的步骤就自动展现出来。课件还有一个优点就是具有可重复性，老师可根据学生的接受情况，随时返回需要重复的内容，这样提高了课堂的效率，增大了课堂的容量。

以上内容阐述了笔者在中职数学教学中把RMI原理的应用与信息技术整合的几个教学实例，使RMI原理这棵“老树”在信息化教学手段下发出了“新芽”，达到了预期的整合目的。当然，RMI原理的思想方法作为数学思维的重要特点之一，体现了数学的抽象性，是数学思想、数学方法的重要体现。它也不是万能的，因为它并不能独立解题，而是基于应有的数学知识之上，寻求一种将“未知、复杂、困难”的问题转化为“简单、容易”的映射。在新的领域中，使问题得到解决，再“反演”回原来的领域中去。 笔者同时也认为，信息化教学手段更不是万能的，首先，不是每个数学知识点都能用上多媒体，用得不好还有可能分散学生的注意力，干扰学生的解题思维，削弱课堂教学效果，数学课件的设计始终应将解决数学教学中的问题放在第一位；其次，应用多媒体课件上课，教学密度加大了，留给学生思考的时间却少了，有可能产生学生对一些内容感到“一知半解”的结果。因此，我们要不断地探索和实践，这是我们广大教师的责任和追求。

参考文献

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郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，1996.

周庆平.试论数学教学与现代教育技术整合的必要性[J]. 中国科技信息，2005（9）.