初中数学求动点最值的方法精选(九篇)

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第1篇：初中数学求动点最值的方法范文

关键词： 动点 最值 解题策略

【中图分类号】G633.6

解这类题目要尽可能运用数形结合思想，把几何图形转化成代数式，或是结合动点运动属性，分析图形特征，根据题目的条件写出关系式，将动态的几何问题静态化，抓住静态的瞬间，将一般问题转化成一些特殊的情况，从而找到动、静之间的关系来求解。本文试从以下几个方面对这类问题作一些简单的探讨：.（1）出现一个动点两个定点；（2）出现两个动点一个定点；（3）出现两个动点两个定点，这3中情况下的解题方法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，对称到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由"两点之间线段最短"或者"垂线段最短"可知动点的位置及其最值情况。

课后习题（引例）：如图，已知AB是一条河，河的一边有两个村庄M和N，现要在河AB上修一个抽水站，同时向M和N这两个村庄供水，为了节约供水的费用，就要使所铺的管道最短，请你找到AB上的点P，使点P到点M和点N的距离之和最短.

解：过点M作AB的对称点M'，连接M'N，即PM+PNM'N

要使得PM+PN最小，即P在M'N与AB的交点处

总结：对称共线法，如果不定的两条线段之和由一个动点决定，我们可以用"轴对称"的性质将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，对称到直线的另一侧，将不共线的线段进行等量转移，在借助"两点之间的距离最短"找到特殊情况下的动点P的位置，将动态问题转化成静态的几何问题，进而求解。

类型一：一动两定型（两个定点到一个动点的距离和最小问题）

变式1：从直线到三角形中

例1：在ABC中，AC=BC=2，∠ACB=900，D是BC边的中点，E是AB上的一动点，则EC+ED的最小值为 。

解：作点C关于AB的对称点P，连结DP，PB由引例可知，点E即为DP与BC的交点，

AC=BC=2，∠ACB=900，

∠PCB=450即CBP为等腰直角三角形

BD==1，PB=2

PD=

变式2：从三角形模型转移到四边形模型

如图：菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是_______。

解法：

变式3：从四边形转移到圆柱体中

如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为 cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________。

误解：学生一看到这一个圆柱体问题，很容易产生一个定向思维：将圆柱体展开，找到展开图中的对应的点C，构造RTADC，利用勾股定理AC2=CD2+AD2，在利用已知的条件求出CD=9，AD=4，进而求出AC=，但是这个问题到底出现在什么地方呢？我们在前面的练习中绝大多数情况下碰到的是蚂蚁绕圆柱体的外壁从一点爬到这一点，此时考虑到柱体是一个曲面，利用转化思想，将它转化为平面图形进而求解，但是此时这个问题中这只蚂蚁是从杯外绕着杯口爬到杯子的内壁中去，不再是我们曾经多次练习的外壁问题，此题已经转化成了在杯口在一个点P，使得PA+PC的值最小，从而变成我们熟悉的一动两定问题型。

正确的解：将圆柱体展开（如右图），找到点C的位置，根据上述一动两定型问题的基本模型解法，找到A的对应点A'，此时PA'+PCCA'利用两点之间线段最短确定点P的位置，在RTA'DC中，求出CA'=15。

方法总结：一动两定型问题主要是由一个动点引起，将动态问题通过轴对称转化成静态下的几何问题，运用"勾股定理"找到最小值。

类型二：一定两动型（一个定点到两个动点的距离最短问题）

即两个动点分别在两条直线上运动，一个动点分别到一个定点和另一个动点的距离最短问题

例2：ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，试在AB上找一点P，在BC上取一点M，使CP+PM的值最小为________。

解：作点C关于AB的对称点C'，此时PC=PC'，CP+PM=M C'

M是线段BC上的动点即线段M C'仍在变化

当M C'BC时，M C'最短

即点P为M C'与线段AB的交点

在RTMC C'中，C C'= ，∠ C'CM=∠A，∠C'MC=∠ACB

MC C'∽ACB

M C'=

变式一：从直角三角形到一般的锐角三角形，形变意不变。

方法总结：如果不定的两条线段由两个动点决定，我们用"轴对称"的性质、"两点之间线段最短"可以找到最短距离，但是与例1不同的是这条最短的线段大小还在不断的变化中，此时再可以利用"垂线段最短"可得到其最值。

类型三：两动两定型

即两个定点，一个动点一个定点，两个动点之间的四边形周长最小问题。

求动点最值问题的内涵非常丰富，能更好的考察学生观察转移的能力，培养他们数形结合的思想和转化的思想，希望以上的几个模型，对我们今后分析解决动点最值问题有一定的帮助。

参考文献：

1刘鹏； "特例"让数学复习课更加有效[J]；数学之友；2012年01期

2李玉荣；最值问题新考[J]；数学教学通讯；2010年03期

第2篇：初中数学求动点最值的方法范文

关键词： 数形结合 初中数学教学 培养能力

数形结合思想主要是指利用数与形之间的转化来解决各类实际问题[1]。一是借助几何图形的性质使得抽象的数式问题变得形象和直观，得到意想不到的解题思路和解题方法；二是把某些几何图形问题通过联想转化成为数式问题，得到较简便的解题方法。所以数形结合实际上是把直观而具体的图形与抽象而复杂的数式结合，使形象与抽象的两种思维结合，通过数形转化、图形认识培养学生形象、灵活的思维，把复杂的数学问题简单化、抽象问题形象化的过程。

一、由数式联想到图形，进行数形结合，通过图形解决数式的问题。

有机的数形结合，能够把化抽象的问题为具体，化复杂的问题为简单。

1.利用数轴来阐述绝对值、相反数这类有关概念，以及有理数的四则运算等[2]。数轴是一种重要的工具，借助数轴能够直观体现许多数学问题，也能够展示数形结合思想。因此在初中数学教学中我们应合理引入数轴帮助学生掌握相反意义概念，了解绝对值、相反数的内涵，全面掌握比较有理数大小方式，深刻理解有理数运算意义法则等，进而圆满完成教学任务。如图①：已知有理数a、b在数轴上表示的点如图，借助数轴很容易找出表示-a和-b的点，从而顺利地比较出a、b、-a、-b之间的大小关系。

图①

2.通过几何图形推导出平方差，平方和，以及完全平方公式，表示出整式的乘法和因式分解等。

3.巧借函数的图像求解函数题目的最值问题。如点P点在x轴上，点A（-2，3），B（3，1）在x轴的同一侧，①求PA+PB的最小值；②求PA-PB的最大值。如图②，先找到B点关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，则PA+PB最小，利用一次函数的性质求出P点的坐标，而AB′的长度则是PA+PB的最小值；如图③，根据三角形的两边之差小于第三边，连接AB交x轴于点P，则PA-PB最小，利用一次函数的性质求出P点的坐标，而AB的长度则是PA+PB的最小值。此外还可以探究当点A、B在x轴的两侧的情况。

图② 图③

二、由图形联想到数式数形结合，用数式来解决图形的问题。

此类问题的解决关键就是利用数式的精确性来表明图形的一些属性；把图形的信息转化成代数的信息，通过数量特征将图形问题进而转化为代数问题来解决。这在初中数学中运用较多，如：

1.用数量来表示角度大小和线段长短，并进行相应大小长短的比较。

2.用有序实数对表示在平面直角坐标系内的点的位置。

3.用数式来描述点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直线与直线的位置关系[3]。

三、巧用数形结合，培养合情推理。

1.通过直观的几何图形求解代数问题能够激发学生思维、诱发直觉判断，从而引导学生产生联想，进行大胆的假设推理，从而形成合情推理，进而培养出合情推理的习惯。

如华东师大版义务教育教科书《数学》七年级上册第80页第25题，我们从图④中可看出第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈……（以此类推）。①第一层的圆圈个数为1=1 ；②前两层的圆圈个数总和为1+3=4=2 ；③前三层的圆圈个数总和为1+3+5=9=3 ；④前四层的圆圈个数总和为1+3+5+7=16=4 ……（以此类推）由此可归纳出前n层圆圈个数和为1+3+5+（2n-1）=n.数形结合，直观明了。

图④

2.借助几何图形解决复杂的代数问题。在一些情况中，许多表面上看起来复杂错综的应用题，其实我们只需要把其中所涵盖的各项条件逐一拆分开来，通过数形结合思想把它们对应的示意图画出，就能立即使复杂的应用题变得浅显易懂。如利用勾股定理求取代数式的最值问题：请构图求出代数式 的最小值。如图⑤，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC，当点C满足在AE上时，AC+CE的值最小。若设CD=x，CB=12-x，AB=3，DE=2，则AE就是所求的代数式 的最小值。

图⑤

四、在运用数形结合思想解决数学问题时应注意的问题。

由于综合运用题并不是单纯的由数式联想图形或者由图形形联想数式的问题，因此利用数形结合解有关的问题时要注意以下几个问题。

1.数与形进行转化要求前后一致；

2.用数的精确性准确的来表示图形的一类特征；

3.把数转化成形时要注意考虑图形的涉及各种情形。因为有些数学问题相对的图形如果不具有唯一性，就要求根据特定的情况作出相对应的图形，才能讨论进而求解。

总之，我们应当在教学实践中科学地渗透数形结合思想，提高学生综合分析和解决问题的能力，把数形结合思想作为初中数学教学所必需的基础工具，利用几何图形、数轴、坐标系等，结合相关教材习题内容引导学生，并使他们在实践中养成反思的习惯，提高数学素养，全面提升教学水平。

参考文献：

[1]黄家超. 初中数学教学中如何渗透数学思想方法[J]. 教育教学论坛， 2011， 30： 035.

第3篇：初中数学求动点最值的方法范文

【关键词】初中 二次函数 三角形面积问题

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0120-02

引言

二次函数是初中数学的教学重点，对于二次函数的三角形面积问题是代数数学与几何数学有机结合的一个考点，是初中数学课堂教学的一个重点内容。教师在进行这类问题的讲解时，应该注重学生思维能力的培养和综合应用能力的提升，对于一些题目可以进行一题多解，扩散学生的数学思维模式。

一、抛砖引玉

题目：已知直角坐标系中有B、C、D三点，其坐标分别为（2，0）、（0，2）、（1，3），一次连接这三个点，求其围城三角形的面积。

问题引导：先在平面指教坐标系中一次标出B、C、D三点的坐标位置，并按题目要求依次连接，形成三角形BCD，在具体求三角形BCD面积中会遇到不能确定其底边长与底边上高的问题。教师可以提醒学生利用直角坐标系的优势，用“割补法”进行三角形面积的求解。

教学感悟：教师可以在教学过程中，对有些数学问题进行建模，引导并培养学生在数学建模方面的能力。对于上面求解三角形面积的问题，教师可以让学生将自己的“割补”思想表达出来，师生一起进行探讨学习，学生自己想出来的解题方法通常是其思维能力的一种表现，教师应该充分的发现和挖掘学生的思维模式。

二、构建例题

例题：如下图所示，已知抛物线经过B、C两点，对称轴为X=3/4，求以下问题：（1）求该抛物线的解析式，该抛物线与X轴的另外一个交点坐标和顶点坐标；（2）求三角形BCD的面积。

问题引导：求二次函数的解析式常用的有哪几种方法？在求二次函数的解析式时，需要知道哪些条件？哪种方法更加适合本题的求解？关于三角形BCD面积的求解，需要知道什么条件？三角形BCD的面积应该如何进行求解？教师在数学课堂上可以通过一系列的问题对学生进行相关的提点，帮助学生理清解题思路。

设计目的：通过对本题解析式的求解，可以让学生更加熟悉二次函数解析式的三种不同的表达式，可以帮助学生理解二次函数解析式不同表达方式之间的相互转换，帮助学生对平面直角坐标系中关于三角形面积求解问题的思考方法。教师在数学教学课堂中可以采用循序渐进的方法进行教学，由简单到复杂，由单一到多变。

教师可以对例题进行相关的变形，得到变式1：已知抛物线与直角坐标系的X轴的B、C两点相交，与Y轴相交于C点，连接BC两点，D是抛物线上的点，在抛物线与线段BC相交的上方进行移动（不与B、C两点重合），问：点D在抛物线上移动到什么位置时，三角形BCD的面积最大，并算出此时三角形BCD的面积和点D的坐标。

问题引导：例题与变式1之间的相同点和不同点？在求三角形BCD的面积时，哪些条件是已知的，哪些条件是未知的，与三角形BCD面积计算式之间的关系是怎样的？抛物线的最值问题与变式1之间有没有联系？如有，应该如何构建三角形BCD的面积与点D坐标之间的关系？在题目图形的建模过程中，“分割法”是否能够运用到变形1的解题中？

在一系列的问题引导后，教师可以为学生交流自己解题思路提供一个平台，相互之间的思维模式的学习和借鉴，逐渐培养学生具备一题多解的能力，提高学生数学知识的应用能力。

变式2：已知抛物线的解析式为Y=-2X2+3X+2，直线方程为Y=-X+3/4相交于两点B、C，点D是直线上方抛物线上的一个动点（与B、C两点均不重合），问：D点在抛物线上什么位置时，三角形BCD的面积最大，并求出此时三角形BCD的面积和D点的坐标。

问题引导：变式2与变式1之间相同点与不同点？结合它们之间的关系可以联想到什么解题思路？在这几种解题思路中，哪种思路更加简单？结合这几种题型，进行相关的学结。

解析思路：过D点作直线DE平行于Y轴，与直线BC相交于E点，根据直线BC的解析式可以用变量表示E点的坐标，D点的坐标也可以对应的E点的变量进行表示：

线段DE=YD-YE，用E点的横坐标可以表示为DE=-2X2+4X+11/4，再将直线方程与抛物线解析式联立进行求解，可以得出其相交的两点BC的坐标，进而求出BC之间的距离，线段DE的长度可以求出，即三角形BCD的面积可以分割为三角形CDE和三角形BEN的面积之和。

变式3：已知抛物线的解析式为Y=-2X2+3X+2与直线方程为Y=-X+3/4相交于B、C两点，D是平抛物线上的一个动点，在B、C两点之间运动且不与B、C两点重合，问当D点运动到什么位置时，三角形BCD的面积是最大的？并求出此时D点的坐标和三角形BCD的最大面积。

问题引导：变式3与变式2之间的相同点和不同点？不同点有哪些？能够用相同的解题思路进行解题吗？

解题分析：随着D点的移动，三角形BCD的图形也会发生相应的变化，如下图所示：

过D点做平行于Y轴的平行线DF，与直线方程相交于F点，可以根据F点是直线方程上的点，用变量表示F点的坐标，DF是平行于Y轴的，可以对应的用变量表示出D点的坐标。

三、教学反思

教师在对每一章节的内容进行课堂教学后可以适当的进行一些课堂总结或者小型测试，了解学生对所学章节内容的掌握程度。教师也需要对自己教学思路进行反思，结合学生的数学基础，进行循序渐进的引导，适当的将数学函数的应用题与实际生活中的应用问题相结合，培养学生对数学函数问题的建模能力。

结论

初中二次函数三角形面积求解问题，教师首先应该培养学生的数学建模能力，通过二维直角坐标系中的斜三角形的面积求解问题进行二次函数三角形面积求解问题的引入。在具体的解题中，教师应该引入不同的解题思路和解题方法，逐渐培养学生能够进行一题多解的思维能力。教师可以从二次函数上定点三角形面积问题的求解开始，逐渐演变为在二次函数上的动点问题所在三角形最大面积问题的求解。这需要教师将直线方程与二次函数的相交点之间的关系进行充分的应用，相关变量表示D的横坐标进而用抛物线解析式表示纵坐标，三角形的面积问题最终就换成二次函数最值的求解问题，即几何问题最值问题的求解转变成代数最值问题的求解，对学生的数学综合应用能力的培养至关重要。

参考文献：

第4篇：初中数学求动点最值的方法范文

动态问题变化形式多样，综合性强，教学中教师应抓住数形结合思想和分类讨论思想，揭示变量与变量，变量与不变量之间的关系，让学生学会解决动态问题。

[关键词]

动态问题;数形结合;分类讨论

动态问题是应用数学中的一个重要的部分，其变化形式多样，根据不同的变化情况可归纳为动点、动线、动形三种类型。它的综合性强，是对学生的综合能力、思维能力、创新能力的综合考查，在考试中常以压轴题的形式出现。因为这类问题思维跨度大，而且还需要有动与静的辩证思考等等，学生觉得难度大。因此要让学生掌握，就应教给学生解决问题的思想方法，采用“动静结合，以静制动”等思维方法，揭示变量与变量，变量与不变量之间的关系，揭示动态问题背后蕴含着核心的数学思想――数形结合思想和分类讨论思想，从而达到掌握解题思路及探究方法。

一、动点问题

（一）动点形成函数问题

例1.如图，点P是ABCD边上一动点，沿ADCB的路径移动，设P点经过的路径长为x，BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）。

分析：分三段来考虑点P沿AD运动，BAP的面积逐渐变大;点P沿DC移动，BAP的面积不变;点P沿CB的路径移动，BAP的面积逐渐减小，据此选择即可。

本题主要考查了动点问题的函数图象，注意分段考虑。解决问题的关键在于利用画图，结合分类讨论思想，将问题分解成几个“静态”问题，由“动”转化为“静”求解。

（二）动点形成最值问题

例2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3m）（其中m>0），顶点为D。

（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）;

（2）如图，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值;

（3）分析：①利用交点式求出抛物线的解析式;

②先求出S的表达式，再根据二次函数的性质求出最值;

本题考查了函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算等知识点。第（2）问重点考查了图形面积的计算方法;运用数形结合、函数及方程思想是解题的关键。

（三）动点形成的存在性问题

例3.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C。若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。

（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标;

（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标;若不存在，请说明理由。

分析：①将A，B点坐标代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标。

②等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ。借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后，利用勾股定理易得E坐标。

本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键。

二、动线问题

例4.如图，在ABC中，AB=AC，ADBC于点D，BC=10cm，AD=8cm。点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t>0）。

（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形;

（2）在整个运动过程中，所形成的PEF的面积存在最大值，当PEF的面积最大时，求线段BP的长;

（3）是否存在某一时刻t，使PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值;若不存在，请说明理由。

分析：①如图1所示，可证明AE=ED=DF=FA;

②如图2所示，首先求出PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解;

③如图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解，其中第一种情况不存在。

本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型。第（1）问考查了菱形的判别方法;第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想。

三、动形问题

抓住变量与不变量，探索平移、旋转和翻折等几何图形变换的解决方法。

（一）几何图形的平移变换

例5.如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.沿斜边AB边上的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形.将纸片AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D1、D2、B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移。在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P。

（1）当AC1D1平移到如图2所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想;

（2）设平移距离D2D1为x，AC1D1与BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围;

（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分面积y等于原三角形ABC的面积的[14]，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由。

抓住此图形在平移过程中的角的不变量，线段的不变量，用变量x表示D1E、BD1、D2F的长，利用相似三角形、方程思想和以静制动的思维方法是解题的关键。

（二）几何图形的旋转变换

例6.将一副三角尺（在RtABC中，∠ACB=90°，∠B=60°;在RtDEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C。

（1）求∠ADE的度数;

（2）如图②，将DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°

分析：①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=[12]AB，根据等边三角形性质求出∠BDC=∠B=60°，再求出∠ADC=120°，再根据∠ADE=∠ADC-∠EDF计算即可得解;

②根据旋转变换的性质可得∠PDM=∠CDN，再根据然后求出BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD=60°，从而得到∠CPD=∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出DPM和DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例可得[PMCN=PDCD]为定值。

本题考查了旋转变换的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识。解题的关键是注意数形结合思想与以静制动的思维方法的应用。

（三）几何图形的翻折变换

例7.矩形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当EFC为直角三角形时，BE的长为__________。

分析：①如图1，当∠EFC=90°时，且点F在对角线AC上，利用勾股定理列式求出AC，设BE=x，表示出CE=8-x，根据翻折变换的性质可得AF=AB=6，EF=BE=x，然后在RtCEF中，利用勾股定理列出方程求解可得BE=3;②如图2，当∠CEF=90°时，且点F在AD上，判断出四边形ABEF是正方形，根据正方形的四条边都相等可得BE=AB=6。

本题考查了翻折变化的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，此类题目，利用勾股定理列出方程求解是常用的方法，本题难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观。

在数学知识应用中，常常遇到关于图形变换问题的求解，就其变化方式而言，主要由点、线、面的变换而得出的问题求解。在解决问题的思维方式，即找出变与不变的关系，由动到静，由静想到动。此类问题的应用广泛，举不胜举。在学习和教学中要善于归纳小结，解决问题的思路，万变不离其宗，当然因其解题过程渗透数形结合、函数方程思想、分类讨论等重要的数学思想方法，因此，教师的教学应注重归纳，达到事半功倍的效果，培养和提高学生的数学解题能力。

[参 考 文 献]

[1]周冬琴.“图形运动问题”教学中难点的分析与突破[J].中小学数学，2013（12）.

第5篇：初中数学求动点最值的方法范文

一、“新知”与“旧知”的转化

新知识的获得，离不开原有认知基础. 很多新知识都是学生在已有知识基础上发展起来的. 因此，对于学生来讲，学会怎样在已有知识的基础上掌握新知识的方法是非常必要的.

例如，在学次根式时，可向学生提出：我们已经学习了平方根和算术平方根，那么你能根据已学的知识完成今天的学习内容“二次根式 ”吗？这样简单、明了的一句话就勾通了新旧知识间的内在联系. 问题的提出，激发了学生学习的兴趣，促使了学生思维的展开，提供了回答问题的机会，创造了活跃的教学气氛，学生会迅速而准确地回答出二次根式的定义.

二、图形与图形之间的转化

图形变换的目的就是化繁为简，化难为易，化笨为巧，寻找解题捷径，通过转化思想来开拓你的解题思路. 转化有转化条件、转化问题、转化方法，等等. 例如运用“等积替代图形”：

例 如图，菱形ABCD的边长为2 cm，∠A = 60°. 以点A为圆心、AB长为半径的弧， 以点B为圆心、BC长为半径的弧. 则阴影部分的面积为 cm2.

分析 连接BD，由菱形的性质知AB = BC = CD = AD，又因为∠A = 60°，所以三角形ABD和三角形BCD都是等边三角形，故阴影部分的面积等于三角形BCD的面积.

三、生活中的实际问题与数学问题的转化

数学来源于生活，也服务于生活. 用贴近学生生活的实际问题为背景，构建函数类的试题，利用函数模型解决实际问题的考法是历年中考的热点之一，也是十分常见的，解决实际问题的思考方法.

例 某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知道，每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）之间的函数关系为t = -3x + 204.

（1）写出商场每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式（每件服装的毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差）.

（2）商场要想每天获得最大销售毛利润，每件的销售价应定为多少？最大销售毛利润为多少？

分析 （1）因为销售量t = -3x + 204， 每件的销售价为x（元/件），进价为每件42元，所以这种服装的毛利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式y = t × （x - 42） = （-3x + 204） × （x - 42）

（2）y = （-3x + 204） × （x - 42）是二次函数，求每天获得最大销售毛利润，实质是求二次函数的最大值，可以把二次函数的关系式化为顶点式求解，也可以用二次函数的最值公式求解.

四、动态问题与静态问题的转化

动态问题在初中数学中占有重要位置，渗透运动变化的观点，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题灵活性强，能力要求高，它能全面地考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 解这类题目要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解.

例 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD = 3，DC = 5，BC = 10，梯形的高为4.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t（秒）.

（1）当MN∥AB时，求t的值；

（2）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形.

第6篇：初中数学求动点最值的方法范文

【关键词】 动态型问题；三重生态观；教学探究

所谓“三重生态”即自然生态、类生态和内生态. 其中， 自然生态是人生命的物质滋养， 类生态是人生命的社会依托， 内生态是人生命安顿的心灵居所. 中央教科所刘惊铎教授认为：每一个生命个体都处于自然生态、类生态和内生态三重生态关系之中. 其实，课堂也是三重生态关系圆融互摄的生态场，自然生态和类生态始终对内生态产生直接或间接的影响和感染，最后通过内生态的体验使三重生态得以融通.

以运动的观点来探索几何图形部分规律的问题称之为动态型问题，其特点是图形中的某个元素（点、线段、角等）或整个几何图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中的“变”与“不变”及由简单到复杂、由特殊到一般的辩证思想，它集代数与几何、概率统计等众多知识于一体，渗透了分类讨论、转化、数形结合、函数、方程等重要数学思想方法，问题具有开放性、综合性. 这类题目蕴含着“变”与“不变”、“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的辩证思想，由于形式多样，立意新颖，符合新课程的要求，历来都是中考复习中的难点， 对此类问题的研究有利于我们教师在教学中把握方向、研究对策. 这样才能更好地培养学生的解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向. 下面本人将从三重生态观的视角对此类问题进行研究、分析，并给出解决此类问题的一般思路.

1. 动态型数学问题课堂教学中生态因子分析

如果把整个动态型问题的教学过程看作一个生态系统来说的话，自然生态的主要因子可以看成师生课堂学习与成长的物质环境和课堂空间. 类生态的主要因子可以看成是教师与学生以及由此而呈现出来的师与生、生与生等共同遵循的课堂活动方式，课堂双边活动的制度等. 内生态的主要因子则是师生内心世界的感受和领悟. 具体来说，课堂教学的环境与内容可以看成是自然生态因子，课堂教学的组织形式、教学方法等可以看成是类生态因子，而师生在课堂教学中的体验、感悟则可以看成是内生态因子.

2. 动态型数学问题学生思维障碍分析

从教学实践来看，学生很怕这种动态型问题，考试中得分率也比较偏低，一方面固然是题目自身的难度较大，另一方面来讲，其实是课堂教学中三重生态关系未能产生该有的化学反应，主要表现为以下几种形式：

2.1 自然生态因子的不和谐

动态型问题需要描述基本元素运动、变化的过程，这种文字的描述需要在学生头脑中建立一种“图景”体验，例如：苏州市2004中考数学卷第29题的题干描述：

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（3，0），（3，4）. 动点M，N分别从O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动. 其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动. 过点N作NPAC，交AC于P，连接MP. 已知动点运动了x秒.

这里“动点M，N分别从O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动”，这段文字语言学生必须将其转化为头脑中建立的一种“图景”体验，即点的运动路径转化为“路程 = 速度 × 时间”这一数量关系，一旦这种“体验”不能建立，学生往往会对此类问题无从下笔.

2.2 类生态因子的不和谐

在动态型问题的教学过程中，我们发现， 有些教师的教学更注重于单一问题的解决，缺乏对学生的思维进行高屋建瓴的引领，缺乏对问题理性的思考. 这就造成了部分学生喜欢按照某种习惯思路考虑问题，当学生熟悉它的常见功能以后，往往会形成思维定式，从而对于在新条件下转化它的功能会感到困难，尤其是对一些“旧瓶装新酒”问题，学生往往会根据以往学习的例题和作业所获得的“套路”去走，而对形成“套路”的基本原理不去探究. 造成这种现象的原因主要在于类生态因子的不和谐，即课堂教学中学生未能体验这种点或线的运动对图形和图形中的数量关系产生的影响，只能按造他们所熟悉的某种习惯思路考虑问题.

2.3 内生态因子的不和谐

初中学生在解决动态型问题的过程中往往表现出两大思维能力的缺失：数形结合和分类讨论. 学生这种内生态因子的缺失往往导致学生要么在寻找相似、等腰或符合条件的特殊点的过程中出现漏解的结果，要么无法根据图形找出“临界点”进行分类讨论造成错解. 这种内生态因子的不和谐也是中考中学生失分的主要原因.

3. 问题解决

从三重生态观的课堂追求来看，就是要围绕学习内容，尽可能地使自然生态、类生态和内生态三者都能有一个最佳的发挥. 但只有三重生态各自的最佳发挥还是不够的. 生态课堂更看重的是三重生态之间的最佳组合与有机渗透，强调三者之间的高境界的圆融互摄，进而创设最为理想的课堂学习与成长的生态场. 那么，在动态型问题的教学过程中如何实现三重生态的完美融合呢？我认为需要做好以下几点：

3.1 正确理题干文本和图形，融合自然生态

二次课改以来，中考卷上的动态型问题呈现题型繁多、题意创新的特点，题目更加注重考查学生分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等. 虽然题型众多，但并非无迹可寻，动态型问题基本可以归纳为以下两大类型：

① 未引入变量型：此类问题多为纯几何问题，其运动形式基本表现为点动、线动或者面（形）动，重点考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形等. 解此类问题的方法相对比较固定，解决方法主要是相似和全等.

② 引入变量型：此类问题多为综合题，题目往往以变量为载体，集几何、函数、开放、最值等问题于一身，题目难度相对较大，多为压轴题.

对题目文本和图形等自然生态因子的解读是学生解决动态型问题的首要条件. 所以我们需要引导学生正确理解题目所给出的条件，要从运动中找出其规律性的东西，首先要解读出哪些图形元素在动，其次要解读出图形中哪些特殊点在运动，最后将其归结为某一点在运动.

如苏州市2012中考数学卷第28题：

如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1 cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1 cm，矩形EFGH的边长FG，GH的长分别为4 cm，3 cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0 ≤ x ≤ 2.5.

（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y = 3时相应x 的值；

（2）记DGP的面积为S1，CDG的面积为S2，试说明S1 - S2是常数；

（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.

本题首先应引导学生从题意中解读出运动的是正方形ABCD，其次引导学生从图形中解读出运动的其实可以归结为四个点，即点A，B，C，D，最后要引导学生从运动中发现其实运动可以归结为一个点，即点D的运动. 从而发现只要证出两个三角形相似就能解决问题了.

3.2 创新课堂教学模式，注重类生态

有一次初三一模考试，考试前碰巧我很详细地给学生讲了一道动态型问题，这道题刚好考到了，但结果却令我大失所望，全班能把这个问题完整解决的仅有两名同学. 这样的经历可能很多数学老师都有过，为什么会出现这种情况呢？通过和学生交流发现我们在课堂教学中缺乏对类生态因子的关注. 学生要将老师对这个问题的理解内化为自己的理解需要足够的体验与交流，否则就容易产生相异构想，出现所谓“一听就懂”但“一做就错”的状态. 那么课堂中具体该怎么做呢？

首先，课堂中老师要努力为学生创设体验的“图景”，对于学生而言动态型问题既“美丽”但又“冰冷”，因为这种运动对学生而言太过抽象，缺乏必要的体验. 数学教师应在自然、合理的教学情境中引导学生数学地思维，让学生的思维在课堂上翩翩起舞，把数学冰冷的美丽变成火热的思考. “动态型”问题之所以“抽象”，是因为“看不到”这种实实在在的运动. 因此，在动态型问题的教学中引入信息技术是非常必要的，例如几何画板，可以让学生在图形的运动中去理清题意、体验“图景”、解决问题. 更为出色的是电子白板，可以让学生自己去拖动“点”进行运动，这种“图景”体验比老师的说教要深刻得多.

其次，老师必须改变自己的行走方式. 教师的理念决定着教学的高度，在课堂教学中，老师扮演的不仅是课堂教学的组织者、引领者的角色，而且是“整体活动进程的调节者和局部障碍的排除者”的角色. 教师在对话中要能以伙伴式的态度真诚、平等地面对学生彻底改变传统课堂上师生之间审视与拷问的状态， 在学习中起到引导、帮扶学生的作用.

第三，老师必须改变师生交流、生生交流的方式. 变“线流”为“网络模块化交流”，变“一问一答”为“多位互动”，主要表现为交流渠道自由畅通，师生之间、生生之间实现无障碍沟通；交流形式的多层次，自我交流、合作交流、小组交流等随着学习任务的展开而自觉生成.

3.3 注重课堂提升，激发内生态

一名学生在课堂上没有享受过高峰体验，他就不太可能有求知的渴望. 许多学生之所以讨厌“动态型”问题，一个重要原因，就是这样的学习经历没有让他产生过高峰体验. 数学课堂上的高峰体验是什么？是用独一无二的方式真切地体会到数学的作用，是震撼地感受到数学的价值，是思考的幸福和快乐，是冥思苦想的苦闷和痛苦，更是豁然开朗的震撼和兴奋.

例如，2011年苏州中考数学卷第29题：

如图，已知AB是O的弦，OB = 2，∠B = 30°，C是弦AB上的任意一点 （不与点A，B重合），连接CO并延长CO交O于点D，连接AD.

（1）弦长AB等于 （结果保留根号）；

（2）当∠D = 20°时，求∠BOD的度数；

（3）当AC的长度为多少时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似？请写出解答过程.

学生在遇到第（3）小题相似的问题时很是烦恼，该怎样分类讨论呢？老师应该告诉他：相似要么从边对应成比例考虑，要么从角相等考虑，然后让学生在合作交流中去体验“角相等”要比“边对应”更容易找，最后从角的讨论中去发现∠ACD是OCB的外角，因此，能与∠ACD相等的只能是∠OCB. 这种豁然开朗的震撼和兴奋给学生带去的绝不仅仅是解决这个问题的喜悦这么简单.

教学活动的关键一定是要能打开学生的“心门”，学生的这种力量一旦激发出来，其能量远比我们的说教大得多. 三重生态观是一种全新的理论，而动态型问题是常考常新的热点，也许，用全新的理论去思考与实践当前教学中的热点问题可能还有许多不太成熟的地方，但是我能在教学过程中体验着学生思维的碰撞和生命的成长，对我来说也是一种难得的心理体验和生命成长.

【参考文献】

[1]姚亚萍，刘惊铎.体验式道德学习学术研讨会述要[J].教育研究，2005（12）.

[2]周海东. 三重生态观下初中数学课堂教学生态的研究[D].苏州大学，2011.

[3]吴兆明. 动态几何问题解析 [J].2007（6）.

第7篇：初中数学求动点最值的方法范文

[关键词] 新课程标准；多角度理解教材；创造性用活教材；创造能力

教材是学生学习的基本载体，教学中如何挖掘、开发教学资源，使教材的内涵更有广度和深度，如何创造性使用教材，让教材在促进学生发展的过程中更好地发挥作用，这些是新课程理念下对数学教师的要求. 下面结合一线教学经验谈谈如何创造性地“活用”数学教材.

■ 创造性利用教材，促进知识的

形成

教师应深入钻研教材，挖掘教材的隐性内容，从而使教材变为学材，教师教有新意，学生学有创意. 教材中对一些抽象概念、定理、法则等教学内容的呈现，平铺直叙，学生难以理解、掌握，教学中教师若能在抽象与具体中建立联系，寻找共同点，创造性地利用教材，创设直观的实际问题或情境让学生体会并自主建构知识，定能培养学生数学思维的深刻性.

在学习“合并同类项”时，课本中设计了如下三道题：

（1）100t-252t=（ ？摇）t；？摇？摇

（2）3x2+2x2=（ ？摇）x2；

（3）3ab2-4ab2=（ ？摇）ab2.

通过计算，你发现上述运算有什么特点 ？能得出什么规律 ？教材通过这样的方式引导学生获取合并同类项的规律，学生普遍觉得抽象，不易理解，为了改抽象为直观，我转变教学设计，从直观的图形、符号和现实中的单位运算，设计了如下三道题代替课本中的设计：

（1）3+2=（ ？摇）；

（2）5+2-9=（ ？摇）；

（3）1克+6克-5克=（ ？摇）克.

有了生活中这些经验的直观思维类比后，最后再抛出3a2b2-8a2b2=（ ？摇）a2b2，这样，学生极易归纳出合并同类项的法则，明白合并同类项的条件. 通过运用直观的符号、表达式、图表，促进了概念、法则、性质等的形成，不仅“活用”了教材，也唤起了学生的感知，进而提高了抽象思维能力. 可见，通过不确定的典型实例来提高学生对数学的感知，能大大提高知识形成的能力和问题解决的能力，对教学效果能起到高效的作用.

■ 创造性利用教材，促进数学思

维、方法的形成

深入钻研教材，才能多角度地分析教材. 在教学过程中，对教材中设置的定理证明、概念形成，教师若能从多角度再现知识的形成过程，不仅能提高学生的学习能力与创新能力，还能提升学生的数学思维能力与数学思想方法的形成. 在多边形内角和定理的证明中，教材从多边形的一顶点引对角线入手，通过列举，探究、发现形成三角形的个数，利用三角形的内角和进行探究.

证法1 （图1）连结多边形的任一顶点P与其他各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三角形. 因为这（n-2）个三角形的内角和都等于180°，所以n边形的内角和是（n-2）×180°.

还有其他证法吗？我接着引导学生思考能否把三角形的公共顶点平移到其他位置加以解决. 经过小组讨论交流和多媒体动态演示，学生探究发现，还可将公共顶点移到多边形内或一边上，因此，还有如下证法：

证法2 （图2）在n边形内任取一点P，连结P与各个顶点，把n边形分成n个三角形. 因为这n个三角形的内角和等于n・180°，以P为公共顶点的n个角的和是360°，所以n边形的内角和是n・180°-2×180°=（n-2）・180°，即n边形的内角和等于（n-2）×180°.

证法3 （图3）在n边形的任意一边上任取一点P，连结P点与其他各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形，这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）・180°，以P为公共顶点的（n-1）个角的和是180°，所以n边形的内角和是（n-1）・180°-180°=（n-2）・180°.

上述通过从一知识多角度的探究中培养学生形成求新、求思、求异的发散性及创造性思维能力.

■ 多角度理解教材，反思拓展

为更好地符合学生认知需要，培养学生的综合解题能力，对教材呈现的知识点，教师应引导学生反思，反思能否拓展知识点应用横向联系，反思能否对知识点与知识方法进行纵向深入探究. 把教材所蕴涵的知识点迁移、扩展到系统知识面，通过不断的反思拓展、联系，加强对知识的理解，完善学生认知结构的知识系统性.

比如，对于反比例的概念：如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=■（k≠0）的形式，那么y是x的反比例函数.其等价的表达式有y=kx-1（k≠0），xy=k（k≠0）.

应用 点（1，6）在双曲线y=■（k≠0）上，则k=______. 已知反比例函数y=-■的图象经过点P（2，a），则a=______. 教学中利用反比例函数解析式，在已知两量下可求x，y，k中的第三量.为更深层次应用反比例函数解析式，在概念课后，我进一步引导学生反思.

■

反思1 如图4所示，若P（m，n）为反比例函数y=■（k≠0）图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为R，Q，则矩形ORPQ的面积与比例系数k有何关系？

S矩形ORPQ=OQ・OR=m・n=k.

反思2 如图5所示，设点P（m，n）是双曲线y=■（k≠0）上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为B，则SOPB=■・OB・PB=■m・n=■k.

反思3 反比例函数y=■（k≠0）的图象如图6所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足为点N，如果SMON=2，求k的值.

■

反思4 如图7所示，A，B是函数y=■图象上的两点，其坐标为A（a，b），B（-a，-b），且BC∥x 轴，ABC的面积记为S，则S=______.

■

学生有了反比例函数的比例系数k的几何意义，对反比例函数的应用就容易多了.

通过对教材知识点的反思、拓展，促使学生知识结构系统化，能让学生的数学思维起到整体贯通、提升的作用.

■ 创造性发展教材，变式延伸

变式教学能为学生提供求异、求变、求思的空间，让学生把学到的知识运用到各种情况中去. 对教材中的例、习题进行变式并创造性地利用它们，能引导学生主动思考、探究，能培养学生灵活多变的能力.

例题 要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图8所示）. 修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由.

此题即在直线 l上找一点P，使得PA+PB的值最小. （实际上是通过轴对称变换，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间，线段最短”加以解决.）

教学中，我以此例题为原认知，进行水平变式和垂直变式，进而构成利用轴对称知识迁移的最值专题.

变式1 如图9所示，如何在直线l上找一点P，使PA+PB的和最小？

■

变式2 如图10所示，如何在直线l上找一点P，使PA- PB最大？

以此三题作图题为基本模式融于数学问题解决中，再进行垂直变式迁移.

变式3 如图11所示，在ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，P为BC边上一定点（不与点B，C重合），Q为AB边上一动点，设BP的长为a（0

■

变式4 如图12所示，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连结MC，把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO.

（1）试直接写出点D的坐标.

（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得TO-TB的值最大？