矩阵在数学建模中的应用精选(九篇)

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第1篇：矩阵在数学建模中的应用范文

关键词： 线性代数 MATLAB 高等教育

线性代数是高等院校的公共基础数学课，该课程与理工、经济、管理等学科的专业课有非常紧密的联系，是一门重要的基础课程。通过线性代数的学习，能培养学生的逻辑思维能力、计算能力、抽象分析、综合和推理能力，最终提高综合能力。但对学生而言，线性代数不同于以往所学知识，大量概念、定理和复杂的解题方法和证明，学生难理解、难接受。再加上教学模式单一，对于整堂课满黑板的知识点和理论推导，学生很难提起兴致。

线性代数学了有什么用？学数学有什么用？这是学生常常提出的问题。这时我们会想到数学建模，数学建模是用数学语言描述和解决实际问题的过程，从实际问题出发，利用数学语言把实际问题抽象成数学问题，寻求合理的数学方法求解。

MATLAB软件在数学建模中的作用是众所周知的。现在，MATLAB软件作为适合多学科的大型软件，成为线性代数、数值分析、数理统计、优化方法、自动控制、数字信号处理、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。由于MATLAB数据存储的基本单元是矩阵，因此MATLAB语言的核心就是矩阵的运算，对矩阵的操作是MATLAB中几乎一切运算的基础。线性代数的基本研究对象就是向量，向量又是一种特殊的矩阵。这样线性代数和MATLAB之间就能够联系起来。为了提高学生的学习兴趣，提前介绍和使用MATLAB软件，为以后应用做基础，教师可以在线性代数教学过程中引入MATLAB的简单介绍与应用。

线性代数中的一些基本内容，像是行列式的计算、矩阵的运算、矩阵的特征值的计算，除了笔算以外，还可以借助MATLAB软件进行计算。接下来简单说明：讲授矩阵的概念时，可以介绍MATLAB中矩阵的直接输入方法，在MATLAB直接输入矩阵后能够直观地看到矩阵的形状，可以让学生理解矩阵的行列数具有任意性，可以是方阵、行矩阵、列矩阵及一般矩阵。MATLAB还可以直接生成一些特殊矩阵，像是利用函数zeros（m）可以生成m阶全0矩阵、函数eye（m）生成m阶单位矩阵、ones（m）生成m阶全1矩阵。除此之外，利用函数rand（m）生成m阶均匀分布的随机阵、函数randn（m）生成m阶正态分布的随机矩阵，随机矩阵中的元素是不确定的，这两个特殊矩阵的生成方法还可以开阔学生的视野。在讲授线性代数中矩阵的运算时，包括矩阵的线性运算（包括加、减法和数乘运算）和乘法运算都可以结合MATLAB中的运算符“+，-，*”讲解。在线性代数课程中，矩阵在做加、减法时，必须是同型矩阵，利用MATLAB进行矩阵的加、减法运算时使用运算符“+，-”，也必须是同型矩阵，两者之间不论是符号还是要求都相同，这种共同点有助于学生加深理解。矩阵与常数之间的数乘运算，强调的是常数与矩阵中的每个元素相乘，在MATLAB中通过运算符“*”实现，如3A是线性代数中的常数3与矩阵A之间的数乘运算，在MATLAB中的语言为“3*A”。线性代数中两个矩阵进行乘法运算时，强调两个矩阵中前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数才能进行乘法运算，并且两个矩阵不能交换位置，一是交换位置后，不一定能进行乘法运算，如果能进行乘法运算，其结果就可能不同，线性代数中A与B做乘法运算，记为AB。而MATLAB中的乘法运算是通过运算符“*”实现，语言为“A*B”，在MATLAB中进行乘法运算时，两个矩阵必须满足相同的要求。为了加深学生的理解，可以通过MATLAB举例体现两个矩阵需要满足的条件。转置运算可以通过MATLAB中的符号“’”得到结果。逆运算可以通过MATLAB中的基本函数运算“inv（）”得到结果。另外，矩阵的行列式计算可通过MATLAB中的函数运算“det（）”得到结果。除此之外，MATLAB还可以通过函数“rank（）”和“eig（）”快速求矩阵的秩及特征值。

将MATLAB引入线性代数的课堂教学，可以提高学生的学习兴趣，但是需要注意的是，MATLAB只是一种工具，它能够进行矩阵运算，快速得到结果，但MATLAB并不能够取代线性代数中理论知识的学习和计算过程，这就要求学习线性代数时，不能降低对学生的计算能力的要求。

除了对MATLAB中的矩阵的函数运算介绍以外，为了提高学生的学习兴趣，还可以介绍与线性代数相关的数学建模经典案例。例如，讲授逆矩阵知识时，可以根据信息加密的实例。讲解线性方程组知识时，可以举植物的光合作用的例子。在介绍特征值与特征向量时，可以举环境保护与工业发展的例子。随着线性代数在管理科学、工程技术等各门学科的应用越来越广泛，为了更好地讲授这门课程，授课老师需要不断进行专业学习，了解该学科与其他学科之间的应用联系，还需要搜集案例，以便在课堂中引入恰当的实际案例。

参考文献：

[1]张海燕、房宏主编.线性代数以及应用[M].北京：清华大学出版社，2013.

第2篇：矩阵在数学建模中的应用范文

关键词：数学建模；计算机技术；应用；计算机软件

改革开放以来，我国社会步入高速进步的轨道，各个领域都得到持续性的发展，并取得阶段性的成果，其中数学这门科学在整个社会进步过程中也起到非常关键的作用。数学虽然是一门基础的学科，但是物理、生物、化学等自然科学领域在各个层面上穿插了对数学的应用，社会不断深入发展，数学也在发展过程中的作用也越来越重要。不止于自然科学领域，数学也在研究事务性扩展上做出贡献。在现实生活中，当遇到非常复杂、包含多个逻辑的问题时，可将数学应用在问题的解决上：找到研究问题的规律后，使用数字、符号等数学符号对问题进行描述，翻译成数学语言，然后使用计算机技术对翻译出的数学语言进行建模、运行，最后就可得到想要的问题解决方案。本文简单介绍数学建模和计算机技术两者间的联系，然后深入一个层次，对计算机技术在数学建模中的应用进行研究，希望对推广和研究使用计算机技术进行数学建模提供一定的理论基础。

1数学建模和计算机技术两者间的联系

1.1数学建模

数学建模不同于数学研究，它偏重于解决生活中的实际问题，有着独特的特点。数学建模将我们所遇到的实际问题进行分析，对后续的建模过程做准备；然后把错综复杂的情况进行简化，用数学语言进行抽象的表达；在根据问题的条件设定假说对研究过程进行制约；然后对所需数据进行调查整理，观察、剖析现实中该问题的普遍规律和各项特征，正式构造出符合问题的数学模型，将混乱、复杂的实际问题转化为清晰、明了，便于解决的数学问题；再进行数学模型的求解，得出问题的解决方案；接下来对根据求解结果对模型进行分析和检验；上述两个步骤合格、过关才能将数学模型投入应用。简化整个数学建模的流程如图1所示，总共包含七个步骤：建模准备、建模假设、模型构造、模型求解、模型分析、模型检测及模型应用。其中最重要的就是模型分析和模型检测，它们决定模型的的合理性和对解决实际问题的能力。

1.2计算机技术

计算机是具备数据存储，数据处理，实现对逻辑运算的现代化的智能电子设备，计算机技术建立在计算机的基础之上，指计算机领域中所运用到的技术方法和技术手段，或者说是硬件技术、软件技术和应用技术的结合。它的综合特性非常明显，涵盖多方面的技术：运算方法的基本原理、运算设计、中央处理器设计、流水线设计、存储体系、指令系统等。计算机技术的发明极大推动人类科技进步的水平，是在未来科技发展道路中必不可少的一项工具。

1.3计算机技术和数学建模的联系

发展至今，数学建模已达到非常高的水平，几乎所有的建模都需大量的计算，换个角度说，计算机技术几乎不可避免在现代的数学建模中，它在数学建模计算过程中占据无与伦比的地位，两者在这一过程中都相互促进和影响。计算机技术起源于数学建模过程，在1980年代，在计算导弹飞行过程中的轨迹，由于计算量过于庞大，人工操作无法满足这一过程中对计算准确度和计算速度的要求，开始将计算机技术在这一背景下应用。人工计算处理过程和实际需要计算过程间巨大的差距激发着计算机科研人员的动力，在研究计算机技术上竭尽全力，使各式各样的计算机软件应运而生。计算机技术也逐渐起源，提高世界数学建模的整体水平，两者息息相关，紧密相联。

2计算机技术在数学建模应用中的一些优势

2.1计算机可存储和处理大量的数据

人们对1942年世界上第一台计算机———Atanasoff-Berry计算机进行实验，这个实验是成功的，虽然它只能对线性的方程组进行求解，但这台计算机的一小步，是计算机技术发展的一大步，以致它的设计思路现在依然被沿用。第一台计算机的发明至今不过70几年，但发展速度是以前从不敢想象的，现代计算机的计算量与存储量都是从前的千万倍，即使现代的一台普通的家用计算机都可存储下几百吉字节。这样的存储能力可满足一般情况下的数学建模，当存储能力不够时还可通过对计算机添加硬盘获得更大的存储能力。现代计算机在进行气象学分析、流体力学分析等过程时，其强大的计算能力和超大的存储能力可使其在运行这些过程时游刃有余、非常轻松；

2.2计算机能以可视化展示数学模型

计算机在对数学模型进行模拟后，可通过连接信息输出设备，在屏幕上对数学模型的图像甚至声音等结果进行展示，让数学模型研究人员更好地获得数学建模的数据，更直观地观察数学模型在运行计算后的结果，提高结果信息的传递效率。这是计算机技术在数学建模中应用非常关键的一个优势，在复杂的问题简化的同时让不易理解的结果更直观地展示，方便研究人员的同时降低使用者的技术要求；

2.3计算机软件使用便捷

在设计计算机软件的运行程序时，研究人员在软件的智能化上花费许多的精力，程序通常可自动对模型进行分析和检测，保证检测结果准确性的同时还可把模型中逻辑不通顺的地方进行标记，方便进行修正，在修正后还可直接将修正后的运行过程直接进行展示。计算机在数学建模方面软件的智能性让越来越多的人愿意使用，促进它的发展，能帮助分析与检测模型可在很大程度上降低研究的时间成本，并提高结果的准确性；

2.4计算机技术降低数学建模过程中的资源消耗和时间成本

在对实际问题进行数学建模后，实际问题的复杂性让数学模型在运行时需不断地调整，调整过程需进行不断地实验来确定调整的正确与否。在计算机技术应用于数学建模过程以前，需耗费大量的人力、物力来完成这一过程，过于复杂的模型不仅不能及时得到答案，还极大程度上消磨研究人员的意志力。计算机技术的强大计算能力引进数学建模，让数学建模的模拟过程变得便捷，快速，降低数学建模的成本、保证数学建模的效率。

3计算机技术在数学建模中的具体应用

3.1数学处理

数学建模在使用计算机技术来解决数学问题时，会用到很多软件诸如：MATLAB、Mathematica、Maple等。这些软件都有不同的应用环境和用法，为不同数学建模的结果导出提供高效率、高精度的运算。例如MATLAB软件，它能同时满足数值计算、矩阵计算、画图、建模等需求，十分常见于自然科学领域的研究过程，属于最通用的数学建模计算机软件；Mathematica软件相较于MATLAB的运行逻辑更为先进、优秀，它的运行由前端系统和核心系统两个系统控制，它偏向于运算符号和根据模型绘制图形，可直观地观察出数学模型的形态，是在数学建模中常用的数学软件。例如函数可用Mathematica软件绘制出如图2的函数图像，在软件中输入f[x]：Integrate[Cos[Pit^2/2]，{t，o，x}]就可直接运行，并在显示器上看到函数图像；

3.2统计分析

需要进行数学建模的实际问题中很大一部分是数学的统计学问题，通常对大量数据进行统计时会用到SPSS。SPSS有查询数据分析各种信息的功能，还能保存在处理工作过程中的相关数据，应用范围非常广泛：因子研究、回归研究、类别和定义研究、非参数检验、数据研究分析、类别和定义的研究等。例如，在产品销售量与价格、广告成本、生产成本等因素间的关系进行研究时，可使用SPSS8.0进行回归相关分析，建立销售量和影响因素间的数学回归模型。首先调查收集模型涉及的数据，对数据进行分析，绘制散点图，然后根据散点图进行曲线估计，估计出线性曲线、二次项曲线、立方曲线三种曲线回归数学模型，选择与数据拟合度最高的曲线模型来建立数学模型在进行求解，建立与实际问题最接近的回归数学模型。通过SPSS模拟出的残差直方图如果如图3所示，则说明正态分布的标准化残差的回归模型与调查数据的拟合度最高，所建立模型较为合理；

3.3图形绘制

数学建模所处理的对象往往是一些有着千丝万缕联系、数量庞大的数据，在建立数学模型和展示最后运行结果时都会遇到较大的困难。通常情况下，通过绘图软件就可对数据进行绘制，但如需根据数据凭空想象出一个符合的模式，这时绘图软件就不能帮助数据的处理。而PS、GeoGebra等数学建模类的软件就可满足这一条件，它们可根据数据设计适合的图形对其进行描述。这些图形绘制方面的工具可以帮助创造、完善、丰富图形，同时以更加具体、容易理解的方式对建模的内容进行展示。在数学建模中对计算机技术的使用，极大程度上提高数学模型的质量和工作效率，使其有了更广阔的应用范围，目前在这方面计算机技术是不可或缺的工具，随着数学建模的深入与不断进步。例如GeoGebra5.0中，新增一项功能———3D技术，可直接根据数学的解析式做出抛物面、椭圆和马鞍面等立体3D图像如图4所示，它是解析式和通过GeoGebra做出的图像。

4结语

数学建模在今后一定会深入渗透到各个领域，发挥它不可取代的作用。计算机技术和数学建模两者间在发展过程中是互补、互相促进的，计算机技术在数学建模中的应用让其研究开发过程更加方便、快捷，帮助数学模型在各大领域的进步和普及，这一过程也反向促进计算机技术的不断完善、发展，因此两者间的关系相辅相成。本文基于数学建模的角度，研究计算机技术的产生、发展与数学建模的关系，深入分析计算机技术在数学建模领域的不同应用，认识到计算机技术在数学建模中的重要作用。希望在未来的时间看到越来越多计算机技术的扩展，然后用到数学建模领域，帮助解决各个方面的实际问题。

参考文献

[1]施思远.计算机技术在数学建模中的应用[J].电子技术，2021，50（08）：242-243.

[2]施思远.计算机技术在数学建模领域的应用[J].科技经济市场，2021（07）：25-26.

[3]张少凤.计算机技术在数学建模中的有效应用[J].信息与电脑（理论版），2020，32（22）：17-18.

[4]杨静雅.计算机技术在数学建模中的应用[J].中国科技信息，2020（09）：43-44.

[5]穆帅.计算机技术在数学建模领域中的应用研究[J].计算机产品与流通，2018（09）：19-20.

[6]刘晓力.计算机技术在数学建模中的应用优势分析[J].现代职业教育，2020（13）：194-195.

[7]郭沛正.计算机技术在数学建模中的应用探讨[J].现代商贸工业，2019，40（09）：186.

第3篇：矩阵在数学建模中的应用范文

创新能力培养是研究生教育质量的根本标志，是提高研究生培养质量的核心内容。工科研究生的创新能力主要是指在科学研究和工程技术的实践中，运用知识和理论，不断提供有创新性的思想、理论和方法的能力，其基本要素可归纳为构建知识的能力、发现和解决问题的能力、以及提升转化的能力[1]。研究生创新能力培养贯穿于研究生教育的学习和研究的全过程中，课程学习是研究生创新能力培养的重要环节。数学课程不仅为各学科研究生提升数学基础、培养应用数学思想和方法、解决专业问题的能力，而且对工科研究生解决实际问题的创新能力培养影响明显，具体表现在对工程技术问题的处理上后劲不足、理论深度不够。随着信息技术与大数据技术的高速发展，数学的思想、理论和方法不断发展，数学已成为关键技术的关键，在实际应用中显示出强大的活力，在研究生创新教育中，数学教育具有越来越重要的地位[2]。本文探讨了如何加强研究生公共数学基础课程教学改革，进一步培养研究生创新能力的理念和实践。

一、研究生课程学习阶段的教学现状

相对于本科教育是使学生在相关领域内初步建立起基本知识体系和具有一些基本的能力，研究生教育的目标是培养学生具有较强的研究能力，掌握相关领域内的研究方法和工具。研究生教育肩负着培养人才、取得创造性成果的任务，因此，知识的积累、科学研究能力的培养贯穿于研究生培养的全过程，研究生课程教学的质量直接影响研究生学科知识的宽广度和能力的培养。创新能力的体现要以数学为基础，数学课程对于工科研究生打牢学科基础、培养创新能力具有十分重要的作用。数学课程的设置既要满足学科专业的需要，又要注意数学学科本身的基础性和前沿性。目前各院校研究生的课程学习阶段大都在一年级进行，一般两学期都安排有数学课程，但有的培养单位的数学课程只在第一学期开设，数学教育在时间上投入明显不够，存在着数学公共课程设置较多、课程体系较复杂以及教学模式单一等问题，具体表现为以下几个方面。

1.为了各学科专业后继课程的需要，在研究生公共数学基础课程设置上，多数院校按通识课程、应用数学基础课程、近代数学课程等模块设置，有较强的针对性，但公共课程设置较多，课程体系较复杂，有的课程开设的层次偏低，不利于研究生系统地学习数学知识、掌握好数学思维方法，影响研究生创新能力的培养。

2.课程教学内容较多，理论性较强，学生有畏难情绪，学习积极性不高。部分学生不是为提高专业研究能力拓展数学基础选课，而是选择容易得到学分的课程，知识结构构建不完整，学习中没有感受到数学对创新能力培养的作用。

3.教学资源较紧张，数学课程多数是采取大班授课，多数课堂仍沿用本科教学模式，课程教学模式及功能大多仍只停留于教材知识传授[3]，讲授内容过细，重演绎推导、轻科研和创新中最珍贵的数学理性思维训练，师生之间互动交流明显不足，忽视创新能力的培养。

4.部分课程内容重复度较大，或与本科课程的部分内容有重复，没有很好地整合，教材或讲授内容过细，影响学生思维能力培养。

5.缺乏学习数学的主动性，学习目标不明确，开展研究工作的数学基础薄弱。另外，虽然课程学习时间是一年，但学生两学期选课门数或学分数量差别较大，不太均衡，并且有些专业第二学期没有设置数学课程。

二、数学课程教学与创新能力培养

培养具有创新能力、适应创新型社会发展的人才，是研究生教育的根本工作，贯穿于研究生培养的整个过程。工科研究生培养过程包括课程学习和科学研究两个阶段。后阶段主要以研究成果、学位论文等体现创新能力，在研究生培养过程中，创新性表现为既有丰富的专业基础理论和综合知识素养，又能以学科背景为基础，充分发挥自身的主动性，创造性地开展科学研究。而课程学习阶段是学生打好研究基础，不断提升创新思维和文化素养的一个过程。在这一段，数学教育对创新能力的培养具有不可或缺的作用，数学教育不仅为后继课程提供工具，并为研究打下数学基础，而且能够提高学生素质和思维能力，从而提高工科研究生分析问题和解决问题的能力。

在数学教学中实施创新教育，是数学教学的重要内容和任务。数学以其独特的思维方式反映研究对象的本质属性，具有抽象性、精确性和广泛的应用性等特点，尤其是抽象思维是培养创造力的重要基础。任何一门成熟的科学都需要通过建立数学模型来反映实际问题的变化规律，做出科学预见，建立数学模型的过程就是分析问题、设计模型，从而解决问题的一个创新过程。今天的技术科学如信息、航天、材料、环境等成功地运用了数学，其中信息科学与数学的关系最为密切，如信息安全、网络搜索、图像处理等。因此在工科研究生教育中，开设数学公共基础课程对于提高工科研究生数学素养和创新能力具有重要作用[4，5]。

三、在数学课程教学中探索创新能力培养

工科研究生在学位论文阶段所开展的科学研究，需要较全面的知识结构和扎实的专业知识。研究生教育的培养目标是使学生具有扎实的专业知识和较强的科研创新能力，课程教学是提高研究生教育质量的重要环节。研究生课堂教学与本科生教学要有区别，要结合学生实际和数学课程特点，不断改进教学方法和教学手段，激发学生数学课程学习的积极性，提高课堂教学的效果。结合我校实际，我们在课程体系与教学内容、教学方法、师资队伍建设等方面主要开展了以下工作。

1.优化研究生数学课程体系，整合教学内容。根据各学科专业的培养目标，在研究生培养方案制订过程中加强与培养单位的沟通协调，在数学课程的设置上兼顾研究生来自不同学校的背景，不同的数学基础。对于学术型和专业型两类研究生，数学课程体系对创新能力的影响也有所不同，要兼顾学术型与专业型研究生培养的不同特点。在信息科学技术领域，我校相关学科，如信息与通信工程、计算机科学与技术、控制科学与工程、电子科学与技术和电工理论与新技术等，注重学生学科知识的宽广度和研究基础，设置的研究生公共数学基础课程主要有“随机过程及其应用”、“高等代数与矩阵分析”、“图论及其应用”、“数值计算理论与技术”或“数值分析”、“应用泛函分析”等学位课，多数课程学术型和专业型研究生都可选修，根据各学科专业培养方案要求，工科研究生至少应选修一门课程。我们通过梳理和分类组合所设置的课程，按照教学大纲要求整合课程教学内容，注重不同课程内容之间的联系，根据研究生创新教育对数学素养的要求优化了数学课程结构，强化基础知识的传授和创新能力培养。

2.改进教学方法，突出数学思想方法教学。工科研究生数学课程的教学对象较复杂，作为公共基础课程，一般都是大班教学模式，对于不同专业、不同基础的学生，抓基础知识和能力培养是根本，使他们都能在不同程度上有所收获。数学方法是运用数学思想解决问题的技术和手段，具有可操作性和具体性[6]。数学发展过程中有重大影响的典型例子、数学分支的产生和发展，都蕴含着丰富的数学思想方法。基于创新能力培养的数学课程教学，要把讲授重点放在实际问题背景与数学概念、思想方法的联系上，使学生在课程学习中领悟到数学理论发现和创新的过程。

对于工科研究生数学课程教学，不论是定义、定理、公式等基本理论，还是运算、求解方法技巧等基本计算，可以讲授式和启发式为主，并以问题为驱动，体现研究式的教学过程，改变过去多讲、细讲、讲透的注入式教学方法。结合教师的教学与科研，用切身体会启迪学生思维，再现数学理论的探索过程，以此培养学生的创新能力。下面是我们在课程教学中的一些实践。

高等代数与矩阵分析是多数专业工科研究生的学位课程，矩阵是工程技术中常用的工具。我们在教学中突出矩阵相关理论在不同领域中的应用，如矩阵QR分解在通信领域的应用、矩阵规范型在系统解耦分析中的应用、矩阵微分在最优化理论中的应用等，培养学生解决实际问题的能力。讲授线性空间、线性变换、特征值和特征向量等问题时，通过与信号处理、模式识别中的应用实例结合，将抽象的内容具体化，使学生更好地理解矩阵分析中的相关概念和理论，激发学习数学课程的兴趣。

随着计算机技术的快速发展，图论及其求解思想已渗透到自然科学和社会科学的众多领域。图论及其应用作为研究生的公共基础课程，在很多工科高校中得到了重视，计算机相关专业的学生在本科离散数学、数据结构等课程的学习中，已经学过图论的一些知识，面对不同层次和专业的学生，我们按照的模式开展教学。“求同”是指要摸清学生选修该课程的共同兴趣，对学生的学习应有一个基本的公共要求；“存异”是根据不同专业需求和学生实际，力争在教学中保留同学们对图论这门课程知识需求的不同。实施这样的教学，既要在课堂教学中透彻讲解基本概念，增加课程的科普性和应用性，又要指导学生查阅文献，了解课程知识点在不同学科中的应用。例如讲到最优二叉树时，我们引出通信的编码问题，让学生自己去完善。结合教学实践编写出版的研究生教材《图论及其应用》，注重理论与实践结合，突出算法思想，较为系统地介绍了图论课程中的基本概念和方法。

数值计算理论与技术课程注重对学生由实际问题建立数学模型以及独立设计算法的能力的培养，重视现代数值分析理论基础的教学，体现学科的前沿性。改变过去单一的按照教材传授知识，教学中要结合工程中实际问题背景介绍数值分析的算法思想，及时更新和补充新理论和新方法，重视启发学生思考问题、设计求解算法。改变教学中偏重于数值分析理论推导，忽视算法程序设计和上机实现的教学过程，加强对实践教学的指导和检查，将应用背景问题与数值计算问题相结合教学，通过提高研究生的动手能力，充分利用计算机来突出对算法稳定性、收敛性和计算效率的分析，让学生更好地体会算法的优缺点，全面提高学生的创新能力。另外，课程教学方法的改革还要与课程评价结合，改进考核方式，我们在完成作业的基础上实行平时开放练习和期末考试相结合的成绩考核方式。平时开放练习的内容主要包括两个部分：一部分是课堂学习内容的延拓，需要学生通过查阅一些参考书和文献才能完成；另一部分是结合教学内容和实际问题的题目，需要上机实现。通过这样的评价机制，提升学生的研究能力和实践能力。

3.注重数学应用，培养数学建模能力。创新思维是创新能力的核心，激发学生学习积极性是培养创新思维能力的前提。数学课程教学中要融入数学建模的思想，培养和训练学生的逻辑思维能力，从而提高解决实际问题的能力。由于高校的一些专业在本科阶段已开设数学建模课程，多数培养单位在研究生课程设置中没有开设数学建模相关课程，但是实际上工科研究生中受过数学建模教育的学生并不多，学生运用数学知识解决实际问题的训练不足。数学建模是连接数学理论知识与具体实际问题的一座桥梁，培养数学建模能力是工科研究生创新能力培养中的重要环节。在工科研究生数学课程建设中，我们提出增开数学建模课程，进一步拓展学生的创新能力。数学课程教学不仅要注重对“数学建模”思想方法的培养和渗透，而且要创造条件进行“课赛结合”，将研究生数学建模竞赛与人才培养相统一，通过指导研究生数学建模竞赛促进人才培养质量的提高。近年来，我校研究生参加全国研究生数学建模竞赛，获得一等奖二项，二、三等奖十余项，获得市级研究生创新训练项目十余项，不断提高了创新能力。

4.加强师资队伍建设，推进研究生数学课程教学改革。在工科研究生数学课程建设中，队伍建设、教学资源建设对于促进研究生课程教学改革具有重要作用。课程教学团队建设方面要加强青年教师培养，注意教师梯队建设，选派责任心强、教学能力和学术水平较高的教师承担工科研究生数学课程教学工作。近年来，我们在实行研究生课程试讲制的前提下，通过传帮带等形式培养年轻教师，有5名新进的博士青年教师成为研究生数学课程主讲教师，其中有的已讲授课程3轮以上。他们将宽广的知识面、对问题的多角度分析、以及较强的创新能力融入数学课堂教学中，极大地扩展了工科研究生的学术眼界，对学生创新能力的培养起到了潜移默化的作用，也推动了研究生数学课程的教学改革。

第4篇：矩阵在数学建模中的应用范文

新课程改革的日渐深入使得教材编写内容需要充分考虑到现实生活以及社会实践特点，实现理知识有机结合，提升学生对数学知识应用能力以及数学应用意识。大学数学教学过程中，教师需要结合学生实际背景了解基础性数量关系以及数量变化规律，让学生根据实际问题建立数学模型、数学估计、数学求解、数学验证等，提升合理性以及正确性。

作为一种先进文化，数学对人类文明发展与人类进步具有十分重要的作用。通过计算机技术与数学思想之间的有效结合来形成一种可实现技术，认识到数学概念的抽象性以及明确性，建立完整的体系，实现大学数学教学的广泛性。作为数学知识与现实问题之间的重要桥梁，教师可以鼓励学生利用数学建模方式来解决实际问题，注重理论与现实的结合。创新是民族进步灵魂，对大学教学具有十分重要的作用，教师可以借助建模思想来培养学生创新思维能力。从目前高校数学教学来看，普遍存在着教学内容较多，实际课时却非常少的问题，教师更加注重理论知识教学，并没有重视知识运用能力，这就需要利用数学建模思想来提升学生思维能力以及实际应用能力。作为数学理论知识运用到实际问题中的创造性实践活动，数学建模能够提升学生数学理论应用能力，提升学生社会实践意识，考虑到数学建模存在着不确定性以及灵活性特点，教师需要考虑到不同角度建设的数学模型存在着巨大差别，在不断练习中提升学生想象能力、观察能力以及创造能力。

一、大学数学教学存在的弊端

作为科学技术发展的重要基础以及工具学科，数学对培育知识型人才具有十分重要的作用，实际教学中存在着理论性过强的现象，缺乏实际应用型，并且教师更加注重局部教学，但是对学科教学方法并没有进行有效训练，教师教学中大多采用经典范例来进行教学，忽略了与时俱进，知识实际应用缺乏背景材料。[1]从实际教学过程角度来看，教师过于重视数学知识传授，并没有认识到教学方法的重要作用，学生缺乏足够的时间和空间来进行思考。在考试上学生可以获得优异成绩，当遇到现实问题却出现了束手无策的现象，缺乏技术上的支持。由于长期受到应试教育理念的影响，使得大学数学教学仍然是采用传统的灌输性教学过程，实际教学中缺乏实践性，实际教学效果并不理想。教师在数学教育过程中，单纯进行知识教学，脱离了社会发展需求，不利于提升学生创新能力。大学数学教学中引入数学建模思想能够让学生逐步提高学习兴趣，鼓励学生课堂学习与社会实践有效结合，提升实际的教学效率。[2]

二、大学数学教学中建模思想的应用对策

1.通过实例引入数学建模概念

数学教学中，学生会接触到非常多的数学概念、数学方法以及数学结论，等等，教师在传授数学知识的同时，还需要让学生形成数学思想，领会数学实际意义，实现数学发展脉络的有效把握，提升学生数学综合素质。教师在实际教学过程中需要结合实际的教学内容，了解课堂教学的单一化，结合数学概念、数学定理以及数学公式等进行不断的推导，通过实际的案例来验证数学概念，假设学生理解。[3]例如，当某一地出现传染病，传染病可以治愈，但是治愈者却不存在抵抗力，容易出现二次患病，最初为百分之十，若干天后会如何？教师可以引导学生树立数学模型

X1（n+1）=08X1（n）+03X2（n）

X2（n+1）=02X1（n）+07X2（n）（1）

那么，通过矩阵的形式则可以表示为X（n+1）=A（n=0，1，2，……），其中A=0803

0207，X（0）=09

01。

在进行模型求解以及分析过程中，当n为14时，Xn数值维持不变。改变X（0）进行重新计算，会发现相似结论，这样就能够引入特征值、特征向量概念。从实际教学来看，教师借助实例来引入数学概念，这样能够让学生深入理解，运用实际问题来进行数学表达，提升学生学习兴趣，提升学生数学创新意识。

2.联系应用实际

大学数学教材中涉及到了非常多的定理，简单的实际背景经过了抽象之后体现在课本上，编写者的思想都蕴藏在逻辑推理中，学生理解上存在困境。教师在实际教学中可以采用理论联系实际的方式，不断淡化形式上的内容，注重实质性内容，给予学生更加直观的印象，之后可以将该定理看作是一个特定模型，结合数学建模思路来提出相关假设，根据实际预设的问题来进行引导，学生可以发现实际结论，结合实际问题、定理等，让学生感受到定理应用价值。例如，在函数定理教学过程中，连续函数在闭合区间之内的性质之一的零点存在定理，这就是高等数学教学中具有非常重要的意义。零点定力应用主要包含两个方面的内容，一方面是需要证明其他定理，另外一个方面则是需要验证方程区间内是否有根，学生大多是认为一个定理为证明另外一个定理存在，对于定理实际应用价值缺乏足够重视，因此，教师需要结合生活实际、定理应用等结合，提升大学数学教学效率。通过生活实际问题与教学内容的有效结合，在学生把握知识的同时，还能够让学生享受探索问题、发现问题以及创造过程，提升创新能力以及创新意识。

3.选择生活实际的例题

从目前大学数学教学来看，教材中的例题存在着应用题目相对较少的现象，一部分问题条件充分，结果非常明确的问题，但是却不能够有效促进大学生对于数学的应用意识以及创新能力。教师可以根据实际的教学内容，选择学生更加感兴趣的内容来进行分析。例如，在进行导数教学过程中，教师可以选择关于肉猪出售的例题分析。饲养场每天在人力、饲料以及设备方面的投入资金为4元，80千克中的生猪体重能够增加2公斤，市场价格在4元每斤，根据相关预测，平均每天降低005元，试问何时出售肉猪是最好时机？随着资金投入，肉猪体重不断增加，实际价格却在不断降低，这就需要选择最好的出售实际，提升利润。这就可以采用数学模型的方式：r=2，g=01，如果目前就出售，那么利润为640元，假设t天出售，利润Q（t）=（8-gt）（80+rt）-4t，这样只需要求出当t为多少时，Q（t）数值最大，最终求出结果。教师可以选择一些联系学生生活实际的例子，转变教材中一些例题，保证例题选择符合数学建模需求，引导学生掌握数学的学习方式，激发学生数学学习热情。

4.课后练习中渗透建模思想

从目前大学数学来看，教材练习题的题目较为单一，实际应用性题目相对较少，学生应用能力、创新能力不理想。教师可以将教学内容部分练习题进行减弱或者是改换，根据学生认知规律来激发学生参与热情。教师在作业布置过程中，需要更加的注重开放性，让学生能够灵活掌握教学内容。例如，已知n个物体的质量总和为1，每一个物体的质量为，w1，w2，w3，……，Wn……，将两个物体不断进行比较，形成n个物理相对质量的矩阵

A=w1w1w1w2……w1wn

w2w2w2w2w2wn

wnw1wnw2wnwn=（αijn×n）（2）

通过分析，就能够得出物质质量W与A之间的关系，之后可以分解成若干个小问题，引导学生利用矩阵来解决知识，提升大学数学教学效率。通过关于A的层次分析来实现小问题的逐渐还原，根据矩阵知识以及矩阵方式，通过不断的提问与分析来了解实际性质，实现所学知识的有效巩固，提升学生问题解决能力，提升教学效率。

第5篇：矩阵在数学建模中的应用范文

[关键词]数学建模 数学专业课程 课程教育

[中图分类号] G640 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）15-0106-03

在知识经济时代，数学科学的地位发生了巨大的变化，数学理论与方法不断扩充，数学应用越来越广泛和深入。传统的数学教育重视的是数学知识体系的传授，数学概念、定义、定理及基本计算方法的传授，课堂教学基本以教师为中心，以教材为蓝本，内容抽象，学习难度较高，学时少，内容多，不重视如何应用数学方法解决实际问题，忽视了训练学生如何从实际问题出发提炼出数学模型，以及如何用数学知识来解决实际问题的环节。笔者认为将数学建模思想融入数学专业课程教学中，能为数学与外部世界构建一架桥梁，改变学生的学习方式，提高课堂教学效率，从而培养学生提出问题、分析问题、解决问题与科学探究的能力，是对数学教学体系和内容改革的一个有益尝试。

一、在数学专业课程教学中融入数学建模思想的必要性与重要性

数学家吴文俊曾说过，“数学要真正得到应用，数学建模是取得成功最重要的途径之一”。数学建模是如何定义的呢？数学建模竞赛全国组委会主任李大潜这样来解释，数学是一门重要的基础学科，它的呈现形式是非常抽象的，而它丰富的内涵往往是掩盖在其抽象的形式背后的，学生不能理解，往往认为学数学无用。现实中我们要解决一个工程技术、经济建设、控制与优化、预报与决策或是社会领域等方面的问题，首先要在实际问题与数学问题之间架设一个桥梁，把实际问题转化为数学问题，其次要对它进行分析和计算，求得结果，最后要验证这个结果是否符合实际，其中最关键的就是用数学语言来表述我们所要研究的对象，即建立数学模型。可见，数学建模是联系数学理论与实际问题的桥梁，它是对实际问题进行分析，建立数学模型，对模型求解并用于处理实际问题的。可见，在各个专业开设数学建模课程，同时积极参加全国大学生数学建模竞赛，在数学专业课程中努力融入数学建模思想，是值得大力提倡的做法。

二、在数学专业课程教学中融入数学建模思想的一些建议

（一）更新教材内容，建立新的课程体系

教材是教师“教”和学生“学”的主要依据，教材编写的好坏与教学质量有直接的联系。传统的数学教材内容是一个完整的知识体系，是以“知识点为中心”来呈现的，知识点非常抽象且难以理解。而新的课程体系的指导思想是以提高数学素质为目的， 从基础出发，同时注重理论联系实际，把数学建模思想真正融入数学专业课程当中。在将纯理论的数学知识与实际应用联系起来时，最好在学习定义、性质、定理等都能介绍相关的背景知识或者是与之有关的小故事，让学生了解该定义与定理是如何在实际中产生的，能解决实际中的哪些问题，从而提高学生的学习兴趣，让他们积极主动地探索，并进一步提高学生的数学应用能力。最后，在新教材的编写上面应注重教育理念的更新，教材内容的呈现方式，注重数学与现实生活的联系，培养学生的问题意识。

（二）对教学方法进行必要的改革

传统的数学专业课教学一般采用教师讲、学生听的教学模式， 始终把学生当成是知识的容器，这种以知识为中心的模式有必要进行改革了。我们的教学重点应该是培养学生具备获取知识的能力，主动探索的精神，自我思考的意识。教师在讲授时可以创设丰富的问题情境，精讲多思，引发学生进行思考，加深学生对知识点的理解。课堂上可以采用小组的形式（同组、前后四人小组、六人小组乃至大组）进行合作学习，对该堂课的知识点进行反复强化，这样可以有效提高课堂教学效率。在课堂教学中还可以采用理论与实际结合、教师讲授与学生讨论结合、数形结合的方式来开展教学活动。另外，在数学专业课程教学中，也可以采用数学建模教学中普遍用到的案例教学和课堂讨论来丰富数学专业课程教学的形式和方法，还可以用“项目教学法”和“面向问题式教学法”来引入新的概念和定理，从而培养学生的团队协作意识与面对困难的勇气。

（三）在数学专业课程中巧妙渗透数学建模思想

1.在数学分析课程中渗透数学建模思想

广义地说，数学分析要研究的是与所谓连续性有关的数学问题，为此人们建立了许多有效的方法，其中重要的工作是确切地说清楚了极限现象，也就是在数学上合理地定义了极限。而极限概念是学生很难理解的一个概念，是教学中的一个难点。但极限也是从现实世界抽象出来的一个数学模型，教师可以用数学建模思想来解释这个概念，以此提高学生的学习兴趣。例如：我们可以利用《庄子・天下篇》中的一句话“一尺之锤，日取其半，万世不竭”来引入，引导学生分析并归纳出数列极限的概念。而在学习导数概念时，可以引入瞬时速度与曲线上某一点处的切线斜率这两个模型来抽象出共同的本质特点从而导出导数的概念，这样学生就不会觉得突兀，难以接受了。数学分析中有很多定理，在定理的证明过程中，传统的教学方式往往是用定理来证明定理，学生不容易理解。此时，可以先让学生了解定理产生的背景以及与定理有关的小故事，引起他们的兴趣，然后把定理的结论看作是一个特定的数学模型，教师通过定理的条件（看作是模型的假设）预先设计的问题情境引导学生去建立这个模型，从而证明出定理的结论。

2.在高等代数课程中渗透数学建模思想

《高等代数》是数学教育专业的三大专业基础课之一。该课程内容比较多，学时少，在有限的学时内要完成教学任务，教师只能在课堂教学中注重高等代数的基本概念、基本方法和基本思想的阐述，对于高等代数中问题产生的背景以及在学科中的应用和与中学内容的联系等内容就无法涉及，因而数学专业的大学新生很难迅速地由中学初等思维向大学高等思维转变，大部分学生都觉得高等代数太抽象、太难理解，甚至觉得没有用。面对这样的教学状况，教师可以考虑将数学建模思想融入高等代数课程当中，可以在概念与定理的教学中，先给出一些简单的数学模型例子，把实际问题融入高等代数的内容中，让学生知道抽象的代数概念也是来源于现实世界的，是与实际问题息息相关的，这样会激发学生的学习兴趣，有利于教学的开展。在高等代数教学中，主要涉及的内容是多项式概念、行列式概念、线性方程组概念、矩阵概念及线性空间概念，针对每一个概念，教师可以先找与它有关的实际问题作为一个简单的数学模型，在课堂上，可以让学生从该模型入手，小组讨论，展示结果，从而得到本堂课要学习的知识点。

3.在概率论与数理统计课程中渗透数学建模思想

近几年来，在全国大学生数学建模竞赛试题中，很多竞赛题目都用到了概率统计的知识。概率论与数理统计课程描述、分析和处理问题的方法与其他数学分支不同，它是一种观测试验与理性思维相结合的科学方法。概率统计中蕴涵着丰富的数学方法，如模型化法、构造法、变换法等。例如：现在备受大家关注的一种对人类生命产生严重威胁的疾病――脑卒中（也叫做脑中风），专家已经证实它的诱发与环境因素（包括气温和湿度）存在密切的关系。因此，我们需要针对脑卒中发病率与气温、气压以及相对湿度的关系建立数学模型，并结合高危人群的特征和关键指标，研究脑卒中发病的规律。首先，根据病人的基本信息，对其性别、年龄段、职业等三方面进行分类统计，利用赋值、作图等形式得出下面的结论：脑卒中男性患者多于女性患者；中老年人在发病人群中发病率最高，高达98%；在各类职业发病人群中农民的发病率最高（占68%），其次为退休人员（16%）和工人（11%）。其次，先对病例和气象因素数据进行分析、处理，运用图表的形式展现2007至2010年各月病例数和气象因素的变化规律，再利用圆形统计分析法通过三角函数变换计算出脑卒中的高峰期。进而采用多元线性回归分析，建立模型，运用最小二乘法计算得多元线性回归方程，并对其作随机误差项方差的估计得出回归方程的标准误差较大，进而采用8项气象指标分别与同期脑卒中的月发病例数进行单因素相关性分析，再应用后退法多元逐步回归分析多种气象因素共同作用与脑卒中的相关性，得出脑卒中与最高气压、平均气压、最高温度、平均相对湿度相关性较大。最后，通过网上查阅相关资料及有关文献，运用软件对其数据进行处理，计算出脑卒中发病率的各因素的爆发率，从而确定影响高危人群引发脑卒中疾病的重要因素。结合前面的结论，从脑卒中的可干预因素及不可干预因素中对脑卒中高危人群提出相应的预防措施和建议方案。可见，研究脑卒中发病的规律，利用概率统计知识建立数学模型对卫生部门和医疗机构各方面的改善和改革都具有实际意义。

4.在常微分方程课程中渗透数学建模思想

在常微分方程教学中，涉及建立数学模型的问题很多。教师在授课当中，要注重在实际问题中提炼出微分方程，同时进行求解。如传染病模型：我们知道各种传染病一直是大家关注的热点，然而不同类型的传染病它的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，我们不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只能按照一般的传播机理来建立几种模型。最初建立的模型把病人人数看成是连续、可微函数，把每天每个病人有效接触的人数看成是常数，此模型不符合实际，基本上不能用，于是修改假设后得到SI模型，此模型虽有所改进，但仍不符合实际，进一步修改假设，并针对不同情况建立SIS模型和SIR模型，这两个模型描述了传播过程、分析感染人数的变化规律，预测传染病到来时刻，度量传染病蔓延的程度并探索制止蔓延的手段，是比较成功的模型。如正规战与游击战：在第一次世界大战期间，F.W.Lanchester提出了几个预测战争结局的简单数学模型，其中有描述传统的正规战争的，也有考虑稍微复杂的游击战争的，以及双方分别使用正规部队和游击部队的混合战争的。后来对这些模型进行进一步的改进和完善，用以分析一些著名的战争。J.H.Engel用二次大战末期美日硫磺岛战役中的美军战地记录，对正规战争模型进行了验证，发现模型结果与实际数据吻合得很好。

5.在考核中适当渗透数学建模思想

在传统的数学专业课程考核中，教师大都采用一套试卷来进行测试，试题的题型是固定的，内容是例题的翻版。这种考核方式根本不能看出学生对知识掌握的程度。因此，教师有必要在考核中适当引入一些数学建模问题；或者在考核中引入一些趣味游戏，由学生独立或组队去完成问题，记录成绩，把这作为学生平时成绩的一个方面。通过这种做法，学生体会到数学与实际确实是不可分开的，数学来源于实际，同时也体会到团队合作的重要性，从而获得除数学知识本身以外的素质与能力。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 李大潜.中国大学生数学建模竞赛[M].北京： 高等教育出版社，2008.

[2] 姜启源， 谢金星， 叶俊. 数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 毕晓华，许钧.将数学建模思想融入应用型本科数学教学初探[J].教育与职业，2011，（9）：113-114.

[4] 李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006，（1）：9-11.

[5] 唐红兵. 浅谈《概率论》教学中如何融入数学建模[J]. 黑龙江生态工程职业学院学报，2010，23（4）：101-102.

[6] 林远华，卢钰松.关于数学分析课程渗透数学建模思想的思考[J].科教文汇（下旬刊），2011，（4）：72-73.

[7] 商秀印，顾志华.将数学建模思想融入大学数学课堂[J].长春理工大学学报， 2010，5（6）：164-165.

第6篇：矩阵在数学建模中的应用范文

关键词：数学建模 弊端 教学改革

在大学里，学生们要学习的数学主要是《高等数学》、《线性代数》、《概率论与数理统计》这三门数学分支学科，他们会遇到不同的数学老师、不同科目的数学考试。大部分学生对数学的认知是数学分类学科都是相互独立的，他们认为高数和线性代数完全是没有联系的，更糟糕的是他们认为数学学了是毫无用处的，而在数学课堂学习数学的目的基本都是为了过期末考试拿学分以及考研。说到考研，就连考研试卷的题目也是明显划分科目界限，微积分就是微积分，线性代数就是线性代数，概率就是概率，更谈不上应用价值了。这样的大学数学的课堂教育完全还是应试教育，明显存在弊端，所以我们必须打破学生们对数学的这些错误的认知。但是大学数学的教学还是这么一成不变，是无法改变这种局面的，这就必须改革。拿什么来改革呢？

首先我们从一道数学建模题目来具体地认知一下大学数学知识的魅力。

【题目】某锁厂生产的锁具，每把钥匙有5个槽，每槽的高度为小于等于6的自然数。并且规定：每把钥匙至少有3个不同高度的槽，且高度为1和6的槽不相邻。问该锁厂共能生产多少把不同的锁（钥匙）？（本问题是1994年全国大学生数学建模竞赛中锁具装箱问题的第一部分。）下面我们来讨论这个问题：

方法1：看到这个题目大家应该很快地想到用排列组合的思想来做。

首先可以求出有5个槽、每个槽有6个高度的所有可能的个数为n1=65=7776。为了满足题目中提出的至少有三个不同的高度，且相邻高差不应为5的要求，我们应该减去不满足要求的锁具。

仅有一个槽高的锁具数目为n2=C61=6。

仅有两个槽高的锁具数目为n3=C62（25-2）=450。

下面要考察相邻槽高之差为5的锁具，为了方便，记相邻槽高之差为5的锁具集合记为A，将A分解为以下4种集合：

A1：16abc 或 61abc

A2：a16bc 或 a61bc

A3：ab16c 或 ab61c

A4：abc16 或 abc61

其中a、b、c可以取“1，2，3，4，5，6”这几个自然数中的任一个。显然∪Ai=A，若记n（B）为集合B中元素的个数，则由集合论的知识得：

n（A）=∑n（Ai）-∑ n（AiAj）+∑ n（AiAjAk）-n（A1A2A3A4）

∑n（Ai）=C41A2263=1728。

A1A2的槽数高为161ab或616ab，故n（A1A2）=2×62=72;同理n（A2A3）=n（A3A4）=72。A1A3为1616a，或1661a，或6116a，或6161a，故n（A1A3）=24;同理n（A1A4）=24，n（A2A4）=24。A1A2A3的槽高为1616a或6161a，故n（A1A2A3）=2×6=12;同理n（A2A3A4）=12。A1A2A4的槽高为16116，或16161，或61616或61661，故n（A1A2A4）=4;同理n（A1A3A4）=4。A1A2A3A4的槽高为16161或61616，故n（A1A2A3A4）=2。故n4=n（A）=1728-3×72-24×3+12×2+4×2-2=1470。

5个槽中仅有两个高度，且相邻高差为5的锁具个数为n5=25-2=30。最后可以得到一批锁具的个数为n1-n2-n3-n4+n5=7776-6-450-1470+30=5880，所以每批锁具有5880把。

方法2：利用集合思想原理及一般化递归的方法。

（1）首先，将这个问题数学化：

问题是求集合A的个数（记为|A|）。

（2）一切研究从最简状态开始。集合A有两个限制条件：①至少有3个不同数字;②1、6不相邻。显然，条件②比①重要得多，也难处理得多，因此，条件②是问题的主要矛盾。为此，我们暂时舍去条件①，集中精力来处理条件②（这也是某种意义下的一般化）。

（3）为了求出|B|，我们进一步一般化（这是关键一步），

因此， B=B5。

（4）由于有了Bk，我们可以讨论Bk的递归结构，也即Bk+1与Bk的关系。为此，进一步将Bk按末位分解，令Bk（m）={n|n∈Bk，且末位是m}。

Bk+1（m）∪Bk（j），m≠1，6

由此Bk+1（1）∪Bk（j），Bk+1（6）∪Bk（j），

由于Bk（i）∩Bk（j）=φ（i≠j）

所以有|Bk+1（m）|=∑|Bk（j）|，m≠1，6

|Bk+1（1）|=∑|Bk（j）|，|Bk+1（6）|=∑|Bk（j）|。

再加上初始条件B1（m）=1（1≤m≤6），可得如下表格：

（5）为了求|A|=|A5|，只要在B5中减去只含1个数字及2个数字的5位数即可。

只含1个数字的5位数共6个，只含2个数字的5位数有：

C42×（ 25 -2）+2×C41×（ 25 -2）=420

故|A|=|A5|=6306-420-6=5880。

方法3：利用矩阵的运算。

方法3是用来求方法2中提到的|B|，具体如下，先建立矩阵A：

其中A的所有元素之和即2个槽的所有种类数，A2的所有元素之和即为3个槽的所有种类数，类推A4的所有元素之和即为5个槽的所有种类数。设B=A4，

求B的所有元素之和为[1 1 1 1 1 1]・B・[1 1 1 1 1 1]T

=6306，与方法2中的答案一样。

方法4：利用计算机计算。

（1）利用c语言

#include<stdio.h>

void main（）

{int a，b，c，d，e，j=0;

for（a=1;a<=6;a++）

{for（b=1;b<=6;b++）

{for（c=1;c<=6;c++）

{for（d=1;d<=6;d++）

{for（e=1;e<=6;e++）

{if（a==b&&a==c&&d==e）continue;

if（a==b&&a==d&&c==e）continue;

if（a==b&&a==e&&c==d）continue;

if（a==d&&a==e&&b==c）continue;

if（a==c&&a==d&&b==e）continue;

if（a==c&&a==e&&b==d）continue;

if（b==c&&b==d&&a==e）continue;

if（b==c&&b==e&&a==d）continue;

if（b==d&&b==e&&a==c）continue;

if（c==d&&c==e&&a==b）continue;

if（a==b&&a==c&&a==d）continue;

if（a==b&&a==c&&a==e）continue;

if（a==c&&a==d&&a==e）continue;

if（a==b&&a==d&&a==e）continue;

if（b==c&&b==d&&b==e）continue;

if（a-b==5||a-b==-5）continue;

if（c-d==5||c-d==-5）continue;

if（d-e==5||d-e==-5）continue;

if（b-c==5||b-c==-5）continue;

j++; }}}}}

printf（"%d＼n"，j）;}

（2）利用mathematic

Clear["Global`*"]

a=Table[{i，j，k，l，m}，{i，1，6}，{j，1，6}，{k，1，6}，{l，1，6}，{m，1，6}];

b=Flatten[a，4];

p1=Length[Union[#1]]？3&;p2=Length[Union[#1]]？4&;p3=Length[Union[#1]]？5&;

Table[c[i]=0，{i，1，3}];

c[1]=Select[b，p1];c[2]=Select[b，p2];c[3]=Select[b，p3];

For[i=1，i？3，i++，d[i]=DeleteCases[DeleteCases[c[i]，{___，1，6，___}]，{___，6，1，___}]];

n1=Length[d[1]];n2=Length[d[2]];n3=Length[d[3]]

n=n1+n2+n3

m=n/60

g=Join[d[1]，d[2]，d[3]]

2544

2808

528

5880

98

由于5880种锁，数据太大，这里就不输出，有意者可以将上面程序在mathematica中运行。

首先，我们来看看这道数模题的应用价值。制锁厂在制锁前必须根据制锁规定计算出能生产的不同锁的数量，便于制造出所有不同的锁来装箱分配问题。有人认为这不就是一道纯数学题吗？正是如此才说明我们做的很多数学题大部分就是生活当中的应用问题。但是为什么大家都觉得数学没用呢？问题就在于数学建模问题是原汁原味的生活问题，而传统数学课堂上的数学题都是通过数学语言把生活当中的应用问题经过提炼得到的。这一提炼的过程就是传统数学教学课堂缺失的，从而造成了大家觉得自己平时所做的数学题没有价值。所以提倡现在的大学数学课堂告诉学生这一提炼过程的存在和掌握，即数学建模。

然后再看这道题的三种方法，有初等数学，也有高等数学;有集合理论，也有线性代数。从这点就可看到数学建模活动培养了学生展开广泛的联想与多角度的思考能力以便确定解决问题所需的数学知识与方法。通过建模活动，培养了学生的创造性思维能力、应用数学知识及方法分析处理实际问题的能力、通过自学以获取相关知识的能力。从这一点讲，数学建模活动改变了传统数学教学重知识轻能力、重理论轻应用的教学体系与内容。只有数学建模活动才能联系这些不同的方法，而单纯的大学数学课堂是不能办到的，比如在高数课堂讲集合，是不可能同时讲到线性代数的矩阵的。这就造成了文章开头所说的学生的误区：数学分类学科之间甚至不同领域之间都是独立不可交叉的。这无疑会给学生创造能力的培养带来弊端。

最后还要强调的是由于建模活动的教学一般都是针对某些建模实例进行分析与讨论，因而通常采用双向式教学（即“教师讲，学生听”与“学生讲，教师听”相结合）和讨论式教学等有利于学生能力培养的教学方法，突出了学生的参与性，充分调动了学生学习的积极性，从而提高了教学效率与效果。

由此，数学建模是推动大学数学教学改革的必经之路。

参考文献

[1]陈东彦 李冬梅 王树忠 数学建模.北京：科学出版社，2007，12。

[2]李进华 教育教学改革与教育创新探索.安徽：安徽大学出版社，2008，8。

[3]杨晓玲 马磊 在经济类院校开展数学建模教育意义的探讨[J].云南财贸学院学报，2002，6，118―120。

第7篇：矩阵在数学建模中的应用范文

线性代数是高校理、工、经、管等专业的基础课之一，随着这门课程在基础课中的地位的逐步提高，以及在科学技术生产实践中日益广泛的应用，线性代数的重要性也日益显现，对线性代数的教学改革势在必行。自2007年以来，我校先后与多所国外高校开展中外合作办学项目，还与企业联合共建“计算机科学与技术（软件外包方向）”本科专业，结合这些实际情况，依据教学改革实践的体会，该文对《线性代数》课程教学提出一些设想和做法。

1 我校线性代数教学中存在的问题

目前，我校线性代数的教学学时为36学时。一般放在大二的上学期。所用的教材是同济大学数学系编《线性代数》第五版。由于学时的限制我们只讲授前五章的内容。

2007年开展中外合作和校企合作以来，线性代数的教学对我们教师来说是一个新的挑战。一方面，线性代数课程本身就有一定的学习难度，课程涉及的概念、定理、结论非常多，比较抽象，大学二年级的学生在理解上有一定的难度，不容易被他们所接受；另一方面，中外合作和校企合作办学的学生的基础相对不是很好，一部分学生的学习态度不够端正，上课前没有积极预习，上课时没有认真听讲，课后没有及时复习练习；最后学生在思想上没有足够重视，他们没有很好地了解学习线性代数的意义，普遍认为学习线性代数没什么用，导致有些学生表现出一定的排斥态度。

2 结合我校实际的线性代数的教学改革

2.1 让学生认识到学习线性代数的重要性

线性代数是所有自然科学的基础，也是现代工程技术的基础。它不但是学生学习其它后续许多课程（如电路分析、控制原理、信号与系统等）不可缺少的重要工具，而且还为一些实际应用问题的解决提供了一种重要方法。在讲授这门课程的时候我们教师一定要让学生明白线性代数来源于实践，它最终也要应用到实践中去。

矩阵是线性代数的一个重要的研究对象，也是一种常见的数学现象，比如学生的成绩单、车站时刻表、工厂里的生产进度表、价目表、科研中的数据分析表等等，它是表述或处理大量的数据的有力的工具。能把一些头绪纷繁的数据按照一定的规则清晰地展示出来，并通过矩阵的一些运算或变换来揭示各事物之间内在的一些联系，这就是矩阵的重要作用之一。

方阵的特征值、特征向量、方阵的相似对角化也有很重要的实际应用。例如，在生物信息学中，研究人类基因的染色体图谱进行DNA序列对比时就要用到这些内容，当然在其他方面如自动控制理论、机械振动以及线性电路分析中，这些内容都是不可缺少的工具之一。

二次型的理论起源于解析几何中对二次曲线和二次曲面的研究，它在线性系统理论和工程技术的许多领域中都有应用。例如工程上，与现代控制理论、无线电技术、振动问题有着极其密切的联系。

2.2 教学过程中教学内容的改革

本课程的重点是在下表中用“”号标明，对这些重点要在学时安排上侧重一些，保证能有足够的学时进行强化教学，且习题课时要反复讲解，反复练习，使学生能切实掌握（表1）。

概念多是本课程最大的难点，非常抽象，大学二年级的学生很难理解，接受起来也有困难。对此我们尽量将抽象问题具体化，复杂问题简单化。

（1）先讲具体问题，再从这些具体问题中引导出抽象的概念，例如§2.1和§2.2的矩阵和矩阵运算就是从解决实际问题中提炼出来的，这使得抽象的数学概念有一个可以捉摸的实际背景，不仅使得学生容易接受；更重要的是使得学生懂得抽象的数学概念和理论是解决实际问题的有力工具，从而激发了学生学习数学的积极性和主动性。

（2）将困难的概念分几个层次讲。比如矩阵的秩，在第三章讲矩阵时，涉及到了一般的矩阵秩的性质和一些理论，并用此来求解线性方程组。接着在第四章，在阐述向量组秩的时候，把向量组的秩和矩阵的秩联系起来，对秩的理论作了作了进一步阐述。分成两步走，使得学生对秩的概念有一个逐渐的认识过程，难理解的秩也就逐步理解了。

（3）讲难点时将方法和理论分开，比如§4.3节讲向量组的极大线性无关组，就先讲如何求的方法，将求秩的方法归纳成3步，每步都具体写出，先教会学生会具体算，而省略一些理论证明的详细推导，有兴趣的学生可以去自学这些推导。

（4）将难点分解，把复杂的、难的知识点转化为简单的问题。

①第一章中行列式计算的主要方法就是利用行列式的性质将一般的（难的、复杂的）行列式归结化简为上（下）三角形行列式（简单的）。

②第三章解线性方程组也是将一般的（难的、复杂的）线性方程组归化为同解的简单线性方程组来求解。

③第三章矩阵的秩也是将一般的（难的、复杂的）矩阵的秩归化为阶梯型矩阵的秩（简单的）。

④第二章至第五章中的矩阵间的等价、相似、合同，其实这三者也是旨在借助标准形（具体的，简单的）来推断一般矩阵（抽象的、难的）的性质。

⑤第五章二次型中用非退化线性变换化二次型为标准形，借助标准形（具体的、简单的）来推断一般二次型（抽象的、难的）的性质（比如是否正定）。

2.3 线性代数教学中融入数学建模的思想

近几年，我校区在数学建模方面取得了可喜的成绩，多次获得国家一、二等奖级山东省一等奖，这也激发了校区学生参加数学建模的热情。针对这一情况，我们建议在讲授课本上理论知识的同时，也给出一些实际问题，引导学生进行分析总结，通过做一些适当的简化和引入一些合理的假设，建立简单的数学模型，并对此模型进行求解，从而利用这个结果再去解释实际问题。一方面这样做能让学生了解数学建模的基本思想，另一方面又让学生体会了线性代数在解决实际问题中的重要作用。针对不同的专业，我们可以根据专业来选择不同类型的数学模型，比如电气专业，我们可以引入电路网络方面的数学模型；计算机专业，可以引入关于计算机图形处理方面的数学模型；经济专业，可以引入投入产出数学模型等。

2.4 线性代数教学与计算机紧密结合

首先在教学方式上，我们可以利用现代化教学手段，发挥计算机的作用，在一定程度上可以提高线性代数的教学质量和效率。其次可以在线性代数教学中指导学生用计算机如常用的一些数学软件Mathematica、MATLAB来完成繁杂的运算，给学生提供一些简单且容易掌握的应用程序，为学生今后参加数学建模竞赛打下良好的基础。

第8篇：矩阵在数学建模中的应用范文

关键词：数学建模 经济数学教学 案例

一、引言

随着国家教育部门对大学经管类学科的重视程度不断增加，投入其中的科研力量越来越多，得到的效果越来越明显。发现传统经济数学教学过程中的存在的大量问题，并且通过长时间的研究把数学建模的思想引进到传统的经济数学的教学过程中，不仅成功的解决传统经济数学教学中存在的问题，并且通过数学建模的基本思想将数学与经济两门学科统筹的结合在一起，不仅仅摆脱了传统经济数学教学过程中的乏味、枯燥等现象，而且在一定程度上使课程富有乐趣，又不失主体，本文主要对数学建模融入经济数学教学中的案例进行研究和分析。

二、数学建模思想融入经济数学教学中的基本案例

本小节主要针对数学建模思想融入经济数学教学中的2个基本案例进行分析，首先是广告效应怎样才能最大化、其次价格与收益之间的关系进行分析，这两个案例都是通过数学建模思想融入其中去进行分析的。

（一）广告效应怎样才能最大化

在日常生活中，商业广告已经成为我们现实生活中的一个重要的部分，但是对于经济学而言，如何才能利用广告效应进行宣传自己的产品，广告效应是否与广告的多少成正比？我们在这儿主要运用经济数学的思想去探讨广告效应的问题。我们主要通过数学建模在微积分中的应用去解释和分析广告效应如何才能最大化。

假设M（t）为某种产品的顾客消费量，M0表示这种产品的最大消费量，L（t）表示此种产品的广告投入程度，L0表示这种产品的广告投入的限制，该种产品的发展速度Mt/dt受到这种产品的真实顾客消费量M（t）和真实这种产品的发展前景（1-M/MO）影响，在一定程度上同时受到广告的投入程度的影响，当广告的投入在L0时，这种投入量不会存进产品的消费，当广告投入程度超过广告投入的限制时，这种效应不但不会促进产品的消费，而且在一定程度上使顾客产生疑虑。

对于上述式子而言，其中的μ为正常的参数表示实际的消费能力与产品的消费速度之间的相互关系，对于其中的k和r分别表示广告的投入程度对产品的购买程度的影响系数，而r表示产品的实际被消费能力与广告之间的相互关系。最后我们可以根据相应的特征方程和系数矩阵，通过Matlab作图得出其相应的温度点。其图像如下图1-1所示：

如图所示，当产品的广告投入程度在其Q点以下位置时，随着广告的投入增加会相应的增加产品的消费量，当超过Q点时，广告的投入增加会影响消费。在如图L1线与L2线之间的范围之内，我们可以明显的发现，随着横轴时间的增加，消费者对于产品的购买量将会逐渐减少直到零位置，对于某一时刻的产品购买量，肯定有与之匹配的广告量。

（二）价格与收益之间的关系进行分析

众所周知，厂家为了最大程度的争夺消费者，价格是企业之间的利器，怎样才能通过控制价格来达到利益的最大化是当今商户考虑问题的关键，价格不单单体现了企业一种手段和方式，而且在一定程度上，是一种艺术技巧。确保怎样在降低价格的同时不仅没有减少利益，而且实行了利益的最大化，我们通过经济数学的思维模式去分析价格与收益之间的关系。同样利用微积分的角度去分析解决这个问题。

对于某种产品而言，改产品的需求量可以用M=M（p）表示，前提是改函数是可微的，因此就有了p/p，这个式子表示价格p的相对变化程度，M/M表示需求M的变化程度，因此在此基础上有了：

该公式表示产品的基本价格弹性，该弹性被称之为需求弹性，最终的结果为：

价格需求弹性表示对于产品而言其基本的需求程度M与价格p之间的相互关系，从公式中可以发现，需求的函数与价格的函数之间呈反比，因此而言价格需求弹性必须为负值，换句话说，当产品的价格下降是，需求量就会相应的增加，当产品的价格下降t（百分比），其需求量将会增加|/t|（百分比），反之，当产品的价格上涨是，需求量就会相应的减少，当产品的价格上涨t（百分比），其需求量将会减少|/t|（百分比）。

通过我们对以上两种情况进行分析，可以发现在现实生活中处处都离不开经济数学，常见的基本问题都可以引入数学建模利用经济数学来分析，通过这样的学习方式可以提高学生学习的兴趣，而且摆脱了传统经济数学教学过程中的乏味、枯燥等现象。

三、结束语

通过我们对数学建模思想融入经济数学教学中的基本案例可以发现，通过数学模型的思想进行教学不仅可以一定程度上提高学习经济数学的兴趣，并且能同时激发学生的潜能，这种经济教学模式为下阶段经济教学的发展提供了新的思路和想法，此外经济数学教学在数学建模方面的发展相对较晚，存在一定的不足，本文主要起到了抛砖引玉的作用，希望广大同行提出更多的意见和建议。

参考文献：

[1]祝英杰，翁世有，朱广娇.《数学建模》课程教学改革与大学生综合素质的提高[N].长春大学学报.2009（12）

第9篇：矩阵在数学建模中的应用范文

关键词：JAVA EE DASL协议 数学建模 XML技术

中图分类号：TP311.13 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2013）06-0210-02

高校的专业设置、每年的人才供给及需求是对社会发展十分重要的三个因素，在此基础上设立的辽宁省省级科研项目“辽宁省专业胜任力与人才供给需求决策与预测平台”则是对这三个因素的预测提供一个科学的决策平台。该决策平台基于业务进行数学建模，并将数学模型实现成决策系统，那么如何在实现过程中能够控制数学模型的精确性和可控性便是一个十分重要的部分。本文介绍了一种依据DASL（Decision 决策，Arithmetic 算法，Schema 模式，Language 语言）协议，并利用XML数据传输技术，基于JAVA EE平台的实现方案。

1 采用DASL协议对决策系统的重要性

1.1 DASL协议简介

DASL协议是根据决策平台的数学建模所制定的一套算法协议，将decision（决策）、arithmetic（算法）、schema（模式）、language（语言）映射在整个数学建模过程中，并将实现数学建模的流程分为三个层次即模型层，规则层及过程层，通过XML配置文件以清晰严格的方式规范这三个层次内容，并在实现代码中分阶段解析调用相应XML配置文件，以达到对模型的精确性可控性的保证。

1.2 DASL协议的优点

DASL协议以最佳实践为原理，通过三层XML配置文件的迭代式控制，在实现模型的过程中可以及时处理反馈信息，确保计算模型可以严格合理的执行。

2 运用XML数据传输技术的DASL实现方案

2.1 XML技术简介

XML具有可扩展性，允许用户按照XML规则自定义标记，能够更好地体现数据的结构和含义，也使得文件的内容更加的显而易懂，使得网上数据交流更方便。

XML主要特点如下：

可扩展性和开放性。XML允许不同的组织和个人开发与自己特定领域相关的标记，并且该XML标记库可以迅速的投入使用。XML的开放性促使它成为异构系统之间进行交流的媒介，只要各系统装有XML解析工具，便可处理由其他系统传递过来的XML信息，而不必使用特殊的软件。

内容与形式的分离。在XML中，显示样式从数据文档中分离出来，放在样式表单文件中，如果需要改动数据的表现方式，只需要改样式表单，而不必改动数据文档本身。

平立性。XML文档是纯文本，独立于各种开发平台。

2.2 三个层次的XML配置文件

根据建模的规则及流程设置规则层和过程层的XML配置文件，其中规则层配置文件是对预测模型的数学计算过程中的精度等要求进行配置，而过程层配置文件则是对整个计算流程的配置描述。

2.3 依据DASL协议的决策平台的工作流程设计

决策平台系统的工作流程设计依据最佳实践，遵守DASL协议以实现整个工作流程可控制的阶段化。

（1）一次读取/加载：1）首先由数据库设计人员与界面设计人员确定界面业务的表现，并确定数据库中需要在界面展示的数据字段，而对于决策所需的一些非原始数据即计算过程中产生的中间数据，则不在数据库中存储，而是在XML配置文件设置出哪些需要显示。2）对于数据库表中的数据，每一个数据表对应一个XML文件，并将表中各字段属性，如字段名、字段类型、字段长度及对这张数据表用到的SQL语句写到XML文件里，且将每个XML文件格式规范；对于计算过程中的规则，和每个步骤反馈条件，根据不同模型配置到相应的XML文件里。3）从XML中读取信息后，封装到相应的结构类，当页面进行加载时，创建相应的结构类对象，调用结构类提供的接口，即可取得数据。

注：结构类中封装字段值、类型、长度、字段名。

（2）二次封装/验证：1）在预测功能页面上，需要用户填写数据或选择已给数据，则为了保证数据的合理性及正确性，需要对数据先进行验证（一般是JS验证）。2）在数据正确的情况下，向服务器发出请求，并将数据封装成一个结构类，交给服务类进行处理。

（3）三次计算/组装：1）当服务器接受到客户端的请求后，根据相应的规则层文件对数据进行重新组装，如对结构类中封装的历史数据需要以矩阵的形式进行计算。2）当将所需数据组装成符合配置文件的格式后，调用计算类中方法进行计算（同时对数据进行逻辑验证，如有错误，则重新加载数据）。

（4）四次操作/入库：1）对于计算结果，再次封装，返回给客户端。也包括对结构类对象进行更新。2）调用操作类中的方法，对数据库进行更新。

3 结语

以DASL协议为准则，基于JAVA EE平台实现的决策系统，为解决实现此类系统中存在的数学建模提供了一种可靠有效的途径，运用XML文件数据传输及XML严格的格式规范使的此类问题有更加严谨的解决方式。

参考文献

[1]杨少波.J2EE web核心技术：Web组件与框架开发技术[M].北京：清华大学出版社，2011.07

[2]Khawar Zaman Ahmed.用J2EE和UML开发Java企业级应用程序[M].北京：清华大学出版社，2009.09

[3]Mark Birbeck.XML高级编程.第一版[M].机械工业出版社，2002.