讨论根的个数的方法精选(九篇)

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第1篇：讨论根的个数的方法范文

    本文以人教版九年义务教育五年制小学第十册数学第31页的“百分数应用题例3”的教学为例，谈如何灵活 运用“学导式”（本刊1998 年7—8月号）进行教学。

    一、铺垫导入

    1.听老师念应用题，然后让学生根据题意，分别说成一道文字题，再口答算式。

    （1）某村去年造林20公顷，今年造林25公顷。 去年造林是今年和几分之几？

    （2）某工程队七月份修路20千米，八月份修路25千米。 七月份修路是八月份的百分之几？

    师：同学们想一想，这两道题的算式为什么会一样呢？

    教师引导学生通过观察、比较、分析，明白“分数应用题”与“百分数应用题”的解题思路和方法是相同 的。

    2

    2.讨论题：有的同学认为“3米比5米少─，也可以说成5米比3米多

    5

    2

    ─。”这样说对不对？为什么？

    5

    通过讨论，让学生明确：解答分数应用题时， 关键要找准单位“1”的量，要分清楚是哪个数量与哪个数 量相比较。

    3.补题导入。

    教师出示一道不完整的应用题：“一个乡去年原计划造林12公顷，实际造林14公顷。”要求学生想一想： 根据题中的已知条件，可以提出哪些求百分之几的问题？

    学生可能提出很多个问题，教师选择“实际造林比原计划多百分之几？”的问题，变成例3。然后揭示课题 。

    〔注析：这个数学环节的设计，具有“活、实、 趣”的特点：（1）听题答题，形式活泼；（2）诱导讨论 ，训练落实；（3）补题导入，新颖有趣。〕

    二、学习新知

    1.明确目标。

    师：看到例题和课题，同学们想一想，议一议，这堂课我们要学习哪些内容？达到什么要求呢？

    归纳学生的回答，展示学习目标。（略）

    2.自学新知。

    师：（指着例3）怎样解答这道题呢？请大家边看课本例3的解法，边思考以下几个问题：（1）从问题看，

    是哪个数量和哪个数量相比较：应当把哪个数量看作单位“1”？（2）求实际造林比原计划多百分之几，就是 求什么数量占什么数量的百分之几？应该先求什么？再求什么？

    〔注析：培养学生自学能力是为学生今后的“自我发展”打好基础。但自学能力的培养要讲究策略，要做 到主导性和主体性相统一。让学生自学课本，从课本中自主探究，获取知识，这是学生自主学习的重要形式， 突出了主体地位。思考题的设计体现了教师主导的必要性。〕

    3.启导理解。

    （1）师生共同作例3的线段图，并让学生在线段图上指出“多”的部分是（14—12）公顷。

    （2）指名回答自学思考题， 着重启发引导学生理解：“求实际造林比原计划多百分之几？”列成关系式 是：多的公顷数÷原计划的公顷数＝所求。

    （3）根据以上分析，启发学生列出算式（指名口头列式， 教师板书）。

    〔注析：“学导式”中的“启导理解”有别于传统教学方法的教师主宰讲解。它要求教师必须采用启发式 进行教学，要充分发挥学生的主观能动性作用，让学生主动参与感知、探究、理解、内化的学习过程。在学生 感知应用题内容的基础上，画出线段图，再探究解题的关键，理解数量关系，把内化的解题思路与方法外化为 解题算式，这教学轨道吻合学生的认知规律。〕

    4.质疑问难。（如果有些问题学生没提出来，教师也可自我设问挑疑，将学习引向深入。）

    （1）这道题还有其他解法吗？

    指导学生看分析图，讨论新的解题思路。算式：14÷12－1≈1.167－1＝0.167＝16.7％。

    （2）如果把例3中的问题改成“原计划造林比实际造林少百分之几”，该怎样解答？

    先引导学生从问题看，思考是哪两个量比较？把谁看作单位“1 ”？（可让学生迁移运用学习例3时的方法 ， 教师要特别注意学习方法的指导。）

    （3）学生有可能还提出以下一些疑问：例3第2种解法中的“14 ÷12表示什么？“1”表示什么？“1”能 不能写成100％？ 怎样正确使用“约等于号”和“等于号”等问题，教师可根据实际情况，灵活释疑，既可以 由教师直接解疑也可以让学生互相解疑。

    〔注析：质疑问难能力是学生文化科学素质、心理素质的综合反映，培养学生质疑问难能力是素质教育的 需要，是“学导式”教学法的一个着力点。这里并不拘泥于“学导式”的教学程序，而是根据教材编排特点和 认知规律，灵活调换教学步骤，将“质疑问难”放在“启导理解”之后，既便于引出其他解法，又有利于根据 学生的差异性调整、补充、修正教学思路。〕

    5.归纳学法。

    （1）引导学生将例3的第一种解法和改变问题后的第一种解法进行比较。异同点在什么地方？为什么除数 不一样？

第2篇：讨论根的个数的方法范文

根据数学知识本身的特点——系统性、连贯性，可以知道新知识是相对的新知识，它是旧知识或者说是已知知识的延伸、发展或转化过来的，新知识只是相对的新知识，与已知知识有相关的连接点，或是落脚点. 另外，作为学习的主体，学生有着学习的积极性、主动性，以及一定的生活经验、学习特点，这也为这种导入方法创造了条件.

由于是基本的导入方法，教学中能应用的这种导入方法的内容比较多，不一一列举. 我以两步计算应用题为例列举说明.

准备题：列式计算，说说列式的依据.

（1）食堂每天吃8袋粮食，吃了4天，一共吃了多少袋？

每天吃的袋数 × 吃的天数 = 一共吃的袋数

8 × 4 = 32（袋）

（2）食堂原有50袋粮食，吃了32袋，还剩多少袋？

原有米的总袋数 - 已吃了的袋数 = 剩下的袋数

50 - 32 = 18（袋）

计算反馈后，要求学生把两道一步计算应用题合编成一道两步计算的应用题，分组讨论编写，由于数量关系清楚，编写难度不大，解答也不成问题，但应注意中间问题的寻找. 这种导入方法分解了难度，逐个突破，使学生完成任务不再困难. 二、对比方法的导入

发现问题，解决问题，这是培养学生学习方法的举措之一. 通过对新旧两类知识或同一类知识中两个方面相近或相似的揭示，让学生从比较中找出差距，找出问题，由此及彼，触类旁通，这样不但能使学生进行知识的联结，牢固掌握知识，还能培养学生学习兴趣，发展思维，更能教给学生解题思路，掌握解法的道理.

教学内容有：两步计算与三步计算的计算题；除数是一位数和除数是两位数的除法竖式计算；除法、分数与比三者之间的各自性质；等等. 这里仍以两步计算应用题为例.

投影出示8个苹果，梨一袋，求苹果和梨一共有（ ）个. 根据投影讨论下列问题：

（1）求苹果和梨一共有多少个，能不能直接进行计算，为什么？

（2）如果用一步计算，要补充什么条件？

（3）如果用两步计算，要补充什么条件？

（4）你认为“梨的个数和苹果的个数之间的关系”可以怎样表示？

学生利用已有知识讨论得出“梨的个数 + 苹果的个数 = 一共的个数”. 要求用一步计算，梨的个数已知就可以解决问题；通过比较得出要求用两步计算时，梨的个数应未知，应告知梨的个数与苹果之间的关系；通过一步计算与两步计算的比较进一步得出“梨的个数”与“苹果的个数”可以是“和差关系”也可以是“倍数关系”.

根据上述条件关系补充条件，就成一题两步计算应用题. 三、从实际生活问题导入

由于数学问题起源于实际生活，同时又为解决实际生活问题而产生. 学生对身边的问题比较熟悉，那么在导课中利用身边的实际问题，既能帮助学生解决了身边问题，又能掌握数学知识；既培养了学生学习数学的兴趣，养成了理论联系实际的思考方法，同时还发展了学生的思维.

对整数退位减法、重量单位千克的认识、体积等等内容可应用这种导入方法. 现以比的意义给大家介绍：

（1）出示日常生活中常见的信息：爸爸年龄38周岁，儿子年龄13周岁. 你从中可知道哪些问题？年龄和年龄差、倍数、分率关系，商的问题等. 如：

（2）3支圆珠笔6元钱，每支几元？ 6 ÷ 3 = 2（元）

（3）李平5天看书100页，每天看几页？100 ÷ 5 = 20（页）

教师小结：上面几组除法算式还可用另外一种方法述说，如：

上述内容是学生实际生活中经常遇见的，而抽象的数学知识用这些具体知识来帮助解决，就显得容易多了，学生也会乐学，爱学.

四、从培养学生学习兴趣导入

兴趣导入能激发学生求知的欲望，激励学生勇于探索，提高学生的思维能力. 要让学生爱数学，喜欢数学，首先要培养学生对数学感兴趣. 可以根据学生的好奇心，精心设计教学内容、教学结构，让学生充分展示自己的才能，让学生有突破，发展学生的创新精神.

这种导入可选择的内容有：周长的计算、面积的计算，等等. 这里以比的基本性质为例.

出示■ = （ ），要求是：尽量多填，并能说出根据；选出你认为最有创意的答案.

反馈，经老师归纳后如下：

第3篇：讨论根的个数的方法范文

【关键词】 单调性； 次数； 儒歇定理

中图分类号：O174.5 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2016）01（a）-0000-00

高等数学是本科生的公共基础课程，既为后续课程的学习打下基础，也有助于培养学生分析问题与解决问题的能力、逻辑推理能力。为了提高学习高等数学的效率，教师需要在以后的教学中启发学生独立思考，培养学生学习数学的积极性与主观能动性，开阔学生的思维与视野。下面用一些例子来说明一点这方面的体会。在学习高等数学中，我们知道大家经常利用介值定理判断实函数在某些区间有没有实根，但是通常比较难以确定根的个数。本文根据函数的性质及实函数与解析函数的关系，结合自己的长期的教学经验，给出三种简单实用的方法来确定解的个数或方程根的个数。

一 利用函数的单调性判断函数零点的个数

定理1 如果函数 在闭区间 连续单调且 ，则 在 内有且仅有一个零点。

证明（略）。

根据上述讨论得知 至少有四个零点，由于 是五次多项式，则 是四次多项式，因此 最多有四个零点，于是由定理 3知 有且仅有四个零。

三 利用儒歇定理判断函数零点的个数

定理 3 假设

（1） 与 在简单闭围道 上及其内部均是解析的；

（2） 在围道 上每点均有 ，

则函数 与 在围道 内的零点个数相同（零点按重数计）。

证明（见[4，5，6]）。

由儒歇定理可知， 利用一些简单的解析函数可以判断比较复杂的解析函数在某区域的零点个数。

由儒歇定理， 与 在 内的零点个数是相同的。由于 在单位圆内显然有一个零点，所以 在单位圆内也有一个零点。因此原方程有一个根。

我们根据实函数与解析函数的关系与性质. 也可以利用儒歇定理来考虑某些实函数根的个数问题。

由儒歇定理， 与 在 内部的零点个数是相同的。由于 在单位圆内内按重数计算有2 个零点，所以 在单位圆内也有两个零点。因此 在 内有且仅有两个零点。

说明： 对于某些实变函数， 由介值定理可判断在给定的区间根的最少个数. 再结合函数的单调性、微分中值定理与系数以及复变函数中的儒歇定理， 可以确定在给定区间根的具体个数。每一门学科都有规律，这种规律需要总结与归纳。找到这些规律与学习方法，发挥主观能动性，学好高等数学就不难了。

参 考 文 献

[ 1] 同济大学应用数学系，高等数学[M]， 北京： 高等教育出版社， 2007.

[ 2] 陈纪修， 淤崇华， 金路. 数学分析（上册）[M]， 北京： 高等教育出版社， 1999..

[ 3] 刘玉琏， 傅沛仁， 等. 数学分析讲义[M] 4 版， 北京： 高等教育出版社， 2003.

[ 4] 谭小江， 伍胜健， 复变函数简明教程[M]，北京： 北京大学出版社， 2006.

[ 5] 张锦豪， 邱维元， 复变函数论[M]， 北京： 高等教育出版社， 2001.

[ 6] 龚晟， 简明复分析[M]， 北京： 北京大学出版社， 1996.

On the zeros of real function

three discriminant method

Department of Applied Mathematics， College of Science，

Hunan Agricultural University， ChangSha 410128， China

第4篇：讨论根的个数的方法范文

一、引言

近年来，移动通信技术可谓是发展迅猛，然而通讯信号的发出与接收需要基站的接力中转. 不仅如此，雷达、卫星等等的通讯工具都有一本文由收集整理定的信号接收范围，而其昂贵的造价容不得其过多的采用. 如何用最少数量的中转基站保证信号质量和覆盖率是值得研究的问题.

上述实际问题可通过解决下述数学问题来解决，即：设ω是一半径为r的大圆，用n个半径为r的小圆ω1，ω2，…，ωn（n是正整数）完全覆盖大圆ω，即 .对于不同的r和确定的r试确定n的最小值（即小圆的最小个数）.

1.基站选址的理论分析

（1）基于抽屉原理的等分圆周法（适用于n=2，3，4）

小圆个数较少时，情况相对简单，我们可以用根据抽屉原理来解决这个问题。为方便起见，我们令大圆ω的半径为1，先讨论在n一定的情况，r的最小值.

根据文献《用小圆覆盖大圆》，加以作图1、图2说明，我们容易得到：在n=2，3，4时，最小半径分别为r2=1，

现已求出给定一大圆半径，分别用2，3，4个小圆覆盖大圆时的最小小圆半径. 这与我们一开始提出的求给定一大圆半径，用已知半径的小圆覆盖大圆时的小圆的最小个数等价. 不妨设小圆的半径为1，大圆的半径为r，记此时所需要小圆的最小个数是f（r）（它是r的函数）. 则根据上面的讨论，我们有：

但是此方法不能推广到n≥5时，原因是当n≥5时，按照上述方法求出的半径为 的小圆不能覆盖大圆的全部，例如n=5，时，有图3所示的结果，而其最优方案应该如图4，它的最优性也在1983年时被károly bezdek证明. 其证明过程繁杂，并且小圆的半径r很难求出，但是我们可以知道它的半径范围为：

对于n≥5的情形一般很难讨论，于是我们下面提出用数学统计法来确定小圆的最小半径。

2.基于monte carlo法的数学统计法

首先我们研究覆盖面积的统计分布，令大圆

小圆的圆心o1，…，om，相互独立且服从二维正态分布：

式（3）中的σ12，…，σm2为方差，i2为r2的单位矩阵. 令s表示大圆ω被m个随机小圆覆盖的阴影面积. 这个阴影部分的面积s就是我们要研究的对象. 当的数目在增加时，利用统计中的monte carlo方法，可得s的近似分布。

接下来，我们用数论的方法来进行这一问题的随机模拟。

首先在大圆ω上构造一个nt网，并假设该网由n个点组成，且这些点在大圆上均匀分布. 若其中有m个点被小圆随机圆覆盖，则s的面积可以用：

来估计.

最后我们参考汪文俊等人的基于monte carlo法的思想求小圆最小半径的数学统计法。

理论上，用5000次随机模拟就包含所有的情况似乎不够严谨. 故我们在这里引入 的置信区间. 这里假设显著性水平α=0.05，即置信度为95%.

假设样本yk代表模拟计算得到的一系列可靠度值，将yk从小到大排得：

与第一部分类似地，当小圆的半径为1，大圆的半径为r时，此时所需要小圆的最小个数：

第5篇：讨论根的个数的方法范文

现以“四川省2013年小学数学青年教师优质课观摩活动”荣获一等奖的自流井区塘坎上小学黄际老师执教的“长方体和正方体的体积计算”一课为例进行分析。

一、问题引入时感悟“再创造”的思想

【片段一】

师：同学们，喜欢玩积木吗？

生：喜欢。

教师课件出示：1cm3的正方体积木搭成的2个长方体和一个不规则的立体图形。

师：老师用这种体积为1cm3的正方体积木搭成的图形，你知道它们的体积是多少吗？

教师和学生一起回顾旧知：要想知道一个物体的体积是多少，就看它含有多少个单位体积。

师：要知道这个长方体橡皮泥的体积（课件出示一个长方体橡皮泥），你有什么办法？

生1：将橡皮泥切成1cm3的正方体，数数有几个正方体就知道它的体积了。

生2：把长方体沉入装有水的烧杯里，水上涨的体积就是它的体积。

师：如果要知道一个长方体粉笔盒或一摞作业本的体积，怎么办？

生：可以用算的方法。

师：为什么？

生：因为粉笔盒和作业本切碎或者到浸没到水中以后就弄坏了，用计算的方法就不会弄坏，而且还更简便，不用去切或浸没。

师：很好，你真不错！知道解决问题要契合实际，找简便，适用的好方法。你们也会这样吗？

师：看来用“切”和“浸没”这两种方法求长方体的体积都有一定的局限。这里我们得用一种既不损坏长方体，还能简便求出长方体体积的方法――计算。可怎样算呢？

【导引一】在问题引入中，我们不难看出老师在从学生熟悉的搭积木出发，唤起学生已有知识和活动经验，沟通新旧知识的链接点，在放手让学生想办法求长方体的体积。橡皮泥是一个可切，可浸没的长方体，学生利用已有的认知基础“要想知道一个物体的体积是多少，就看它里面含有多少个单位体积”易于解决，但不能切、不能浸没于水中的粉笔盒和作业本，怎样求出其体积？

这种情形对学生来讲是一种挑战，能很好地激发学生探索新方法的欲望。同时，我们应该看到教师在这个过程中，让学生充分体验和感悟了解决问题要联系实际，要在已有经验和方法的基础上改进和研究新方法的“再创造”的基本数学思想。

二、探究过程中感悟“建模”的思想

【片段二】

师：现在一起来探究长方体体积计算方法。同桌合作，用12个1cm3的正方体摆出一个长方体，并把相关数据记录于下表中。

学生交流分享了6种不同的摆法，教师根据学生交流的情况将相应的数据记录于上表中。

师：现在仔细观察这个表，你有什么发现？

生1：我发现每排的排数、个数和层数有不同的摆法，但是摆出的长方体体积都是12cm3。

生2：因为用的1cm3的正方体总个数都是12个，所以无论怎么摆，摆出的长方体体积都是12cm3。

生3：我发现长方体的体积=长×宽×高。

生4：我发现每个长方体每排个数、排数、层数相乘，都等于长方体的体积。

师：是吗？（课件出示用1cm3的正方体摆出的3×2×2形状的长方体）以这个长方体为例，请你说给大家听听。

生：这个长方体每排个数是3，2排，2层。一层3乘2，用了6个小正方体；两层，6乘2，用了12小正方体。所以正方体的总个数是12，这个长方体的体积就是12立方厘米。因此，每排的个数乘排数再乘层数，等于长方体的体积。

师：前面有同学说“长方体的体积等于长乘宽乘高”，怎样想的？请说一说。

生：每排的个数乘排数再乘层数，等于正方体的总个数，正方体的总个数就是长方体的体积。这里，每排个数相当于摆出的长方体的长，排数相当于宽，层数相当于高。所以，长乘宽乘高等于长方体的体积。

师：我还不太明白，谁能结合这个长方体再说一说。

生：这个长方体每排个数相当于它的长，排数相当于宽，层数相当于高，每排个数、排数、层数相乘等于正方体的总个数，也就是长方体的体积。所以长方体的体积=长×宽×高。

师：这个每排个数是3个，排数是2排，层数是2层的长方体，它的长、宽、高各是多少？

生：长是3cm，宽是2cm，高是2cm。

师：为什么？。

生：因一个正方体的棱长是1cm，每排3个，长就是3个1cm，也就是3cm。排数是2排，宽就是两个1cm，也就是2cm，层数是2层，高就是2cm。

师：那么它的长乘宽乘高等于？

生：3乘2乘2等于12cm3。

师：与这个长方体体积――？

生：相等。

师：这么说你们都发现了：长方体的体积=长×宽×高？

【导引二】在这个探究过程中，学生通过同桌合作产生多种摆法，并借助实物和多媒体课件，交流、观察、比较、分析，活跃了思维，达到了对每排个数、排数、层数与正方体总个数的直观理解；沟通了每排个数、排数、层数、正方体总个数与摆出的长方体的长、宽、高、长方体体积之间的对应关系。

这个过程在数学上称为建模过程。学生通过拼摆和对比，将拼摆中的每排数、排数和层数与长方体的长宽高进行对应比较，将信息整理与思维聚焦融合起来，使学习经验和认识成果逐步归纳提炼为一个数学模型，即“长方体的体积=长×宽×高”。

【片段三】

师：同学们通过对“用12个1cm3的正方体摆出一个长方体”进行研究，发现这些长方体的体积等于长乘宽乘高的积。其它长方体的体积也等于长乘宽乘高的积吗？猜一猜。

生：我猜想其它长方体的体积也等于长乘宽乘高的积。

师：猜想的结果是否正确，是需要验证的。你们能验证吗？谁知道怎么验证？

生：我们用不同个数的正方体任意摆出一个长方体，看它的体积与长乘宽乘高的积是否相等来验证。

师：好主意。那就分小组合作验证吧。

师：用若干个1cm3的正方体任意摆出一个长方体，看它的体积与长乘宽乘高的积是否相等。把你们验证过程中的相关数据记录于下表中。

学生小组合作验证，然后向全班汇报。最后得出结论：长方体的体积=长×宽×高。

师：你们中有摆出的长方体体积与长乘宽乘高的积不相等的吗？

生：没有。

师：这下我们是用不同个数的1cm3的正方体任意摆出一个长方体，它的体积都等于长乘宽乘高的积了，那我们是不是可以说所有长方体的体积都等于长乘宽乘高的积呢？

生：可以。

【导引三】通过学生对“其它长方体的体积也等于长乘宽乘高的积吗”这个问题的研究，放飞了学生的思维。学生大胆猜想，分组探究，举例验证了“长方体体积=长×宽×高”。

这个研究过程就叫做数学模型的推广。因为我们通过一个或几个例子得到的结论，在数学上叫做不完全归纳法。这样得出的数学模型的可靠性值得怀疑。因此，教师通过组织学生进行任意举例验证，再度实施研究，进一步解释了本数学模型的正确性和合理性。虽然我们现在的解释还是处于低级阶段，但是给学生提供了深入进行数学研究的思路，就是不断地将已经形成的初步数学模型进行推广验证的思想方法。

三、讨论交流中感悟“演绎”的思想

【片段四】

师：每个小组举了2个例子，全班一共才举了10几个例子，验证了“长方体体积=长×宽×高”，其中还有些例子是重复的。就能说明所有长方体的体积都等于长乘宽乘高吗？

生：不能，但我们还可以继续举出很多这样的例子来验证。

师：就这样一直举下去？能举完吗？你打算怎么举例？

学生思考交流讨论形成共识：例子很多，举不完，但为了不重复和遗漏，要按照一定的顺序――从小到大的举例验证。

师：这个办法不错，很好！我们就用这个方法一起来验证：

师：就从第四组已经验证的这个长方体起，（课件展示长是5cm、宽2cm、高1cm的长方体。）由小变大依次进行验证。

师：这个长方体我们让它的长、宽不变，只让它的高变化。向高的方向增加一层（课件展示相应的长方体），看看现在这个长方体的情况。

生：这个长方体中1cm3正方体总个数是20个，它的体积就是20cm3，它的长、宽没有变化，所以长是5cm、宽2cm；这个长方体加高了一层的，也就是高增加了1cm，所以高变为了2cm变。这样，长乘宽乘高就是5乘2乘2等于20cm3。

师：这说明什么？

生：说明现在这个长方体的体积也等于长乘宽乘高的积。

师：好！如果长、宽继续保持不变，高再增加一层呢？

学生验证得出：高再增加一层得到的长方体的体积也等于它的长乘宽乘高的积。

师：那如果照这样依次增加到第四层，五层、六层、七层、八层、九层、十层能验证吗？试试看。

有学生通过计算验证，有学生借助课件，观察计算比较发现：长方体增加一层，他的体积就增加10cm3，高增加1cm，长乘宽乘高的积也增加10cm3于是验证了“长方体的体积=长×宽×高。”

师：不错！居然在验证过程中，还找到了他们的变化规律，利用这个变化规律来验证，就省事多了，你们真聪明！照这样依次增加到一百层、一千层，一万层……还能验证吗？闭眼，想像思考一下。

生：能验证。只要能摆出来，就都可以验证。

师：那我们现在还有必要再一一计算验证下去吗？为什么？

通过讨论，大家认为，不论那种情况我们都有验证，现在可以说所有的长方体的体积都能用长乘宽乘高来计算了。接着，教师和学生一起总结，并板书：“发现―猜想―验证―结果”。

【导引四】在这个交流讨论和共同验证的过程中，老师用“其中还有些例子是重复的。就能说明所有长方体的体积都等于长乘宽乘高吗？”“就这样一直举下去？能举完吗？”这样的问题，让学生在讨论交流的过程中，认识到前面的摆长方体进行的举例验证，虽然打破了总体积12cm3的局限，但自己在举例时，思维是无序的，信息是有限的。同时，老师这样的追问，把问题步步引向深入，把学生置于不能不去、不得不去解决的问题情境中，促使学生的思考不断深入。进而想出了在一个长方体的基础上由小到大依次添加一层，也就是长方体的长、宽不变的情况下，高依次增加一个单位长度，来验证所发现的“长方体的体积=长×宽×高”。

第6篇：讨论根的个数的方法范文

知识与技能：理解并掌握乘法分配律的意义，会用字母表示乘法分配律。

过程与方法：经历计算、对比、发现，归纳总结乘法分配律的探索过程。

情感态度与价值观：让学生感受数学来源于生活，培养学生团结合作、勇于探索的精神。

【教学重点和难点】

重点：理解和掌握乘法分配律的意义。

难点：揭示乘法分配律的特点。

【教法与学法】

教法：引导——发现式教学法。

学法：独立思考、分组讨论、团结合作。

【教学准备】

教学挂图。

【教学过程】

一、复习准备

让学生口头复述乘法交换律和乘法结合律，并回答下列各题：

17×25=25×（ ）

49×35=（ ）×49

a×b=b×（ ）

39×2×35=39×（×）

40×（15×38）=（40×）×38

（a×b）×c=a×（×）

师：前面我们经过计算、分析、比较，发现了乘法交换律和乘法结合律，这节课我们继续探索乘法还有什么定律。

二、探索新知

1.设置情境，提出问题

师：每年3月12日是“植树节”，很多同学参加了植树活动，让我们看看同学们积极植树的场面。

出示植树主题图，让学生观察并找出已知的条件。经过学生仔细地观察、寻找、整理，发现已知条件：一共有25个小组参加植树活动，每组有4名同学负责挖坑、种树，有2名同学负责抬水、浇树。

让学生根据已知的条件提出一些数学问题，师生共同解决。这时，有学生提出：一共有多少名学生参加了这次植树活动？

（1） 教师先组织学生独立思考，再分小组议一议：先算什么，再算什么？

经过学生的思考、讨论、分析，让各小组选派代表汇报本组的解答方法。

方法一：先求每组的人数，再求总人数。

（4+2）×25=6×25 =150（人）。

方法二：先分别求出负责挖坑、种树和抬水、浇树的人数，再求总人数。

4×25+2×25 =100+50=150（人）。

（2） 教师引导学生比较、区别这两种方法的异同之处。

解题思路不同、列算式不同，但是最后计算结果是相等的，所以（4+2）×25=4×25+2×25。

思考题：25×（4+2）25×4+25×2，应该填什么符号。

（3） 归纳总结定律。

师：从上面的等式中你能判断出是不是类似的算式都有这样相等的关系呢？

组织学生在小组内交流、讨论、合作，并让学生仿照上面的例子举一些类似的算式，并算一算，再进行检验。

（15+13）×4=15×4+13×4；

（7+3）×12=7×12+3×12；

（21+37）×13=21×13+37×13。

教师引导学生归纳总结乘法分配律。在（4+2）×25=4×25+2×25等式中，左边算式的运算顺序：先求和，再求积；右边算式的运算顺序：先求积，在求和。

师生共同归纳等式的特点：“先求和，再求积”=“先求积，再求和”。

小结：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。这叫做乘法分配律。

师：如何简便地表示乘法分配律呢？a×（b+c）和a×b+a×c相等吗？

（4）比较区别乘法分配律与结合律的不同点。

师：乘法分配律和结合律一样吗？

组织学生在小组中讨论、比较，然后以小组为单位选派代表发表各小组的意见，并相互交流。学生得出结论：乘法结合律是三个数相乘，而乘法分配律是两个数的和同一个数相乘。

三、课堂练习反馈

1.完成课本第36页“做一做”。

下面哪个算式是正确的？正确的画“√”，错误的画“×”。

56×（19+28）=56×19+28 （ ）

32×（7×3）=32×7+32×3 （ ）

64×64+36×64=（64+36）×64 （ ）

先组织学生读题，弄清楚题意再思考，然后在小组内相互讨论交流。

2.完成课本38页练习第7题。

下面每组算式的得数是否相等？如果相等，选择其中一个算出来。

（1）25×（200+4）；25×200+25×4。

（2）35×201；35×200+35。

（3）265×105-265×5；265×（105-5）。

（4）25×11×4；11×（25×4）。

组织学生在小组中讨论，加深学生对乘法分配律的理解。

四、课堂小节

让学生说一说这节课的收获。

五、课后作业

1.不计算，把下面得数相等的式子用线连起来。

59×29+59×71 48×5-18×5

57×（20-18） （28+72）×25

28×25+72×25 57×20-57×18

（48-18） ×5 59×（29+71）

2.填一填。

134×4+134×6=×（+）

4×a+a×5=（+）×

（45+55）×72=×+×

【教学反思】

第7篇：讨论根的个数的方法范文

[关键词]小学数学 新颖 生动 倒数 赏析

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）35-032

教学片断一：

师：学数学就得和数打交道。通过几年的学习，同学们已学过了很多的数，最先学习的是――

生：自然数，也就是后来的整数。

师：后来我们又一起学习了――

生：分数、小数。

师：不错。今天学习的知识也跟数有关，但又有别于前面学过的数，因为它的前面还有一个字――倒。今天这堂课，我们就一起来“认识倒数”。（板书课题）

师：老师想请同学们先猜想一下，倒数是什么样的？

生1：倒数会不会就是把数倒过来？

生2：倒数是不是指倒了以后的数？

生3：是不是所有的数都有倒数？

师：对于什么是倒数，同学们表达了自己真实的想法，但作为一个概念，正确的定义显然只有一种。所以，你觉得今天这堂课我们要解决的第一个问题应该是什么？

生4：什么是倒数？（板书：是什么？）

师：除此之外，同学们还想了解些什么？

生5：我想知道学习倒数有什么用。（板书：用在哪？）

生6：我想知道怎样求倒数。（板书：怎样求？）

师：好，接下来我们就一起来研究、解决同学们提出的这些问题。

……

[赏析：课始教师提出问题，既是对学生已有知识经验的回顾，又引导学生沟通了新旧知识间的联系，并将“是什么”“怎样求”“用在哪”这些原本高高在上的教学目标在学习内需的驱动下，巧妙、无痕地转化为学生急切想了解和解决的问题。同时，教师抓住知识的特征，站在学生的角度设计问题，整个过程层层递进、环环相扣，给人以余味无穷之感。]

教学片断二：

师：请同学们打开数学课本第36页找到倒数的定义，并轻声地读一读。（生读略）现在谁来说说什么是倒数？（生答师板书）这句话中有不明白的地方吗？

生1：我想知道“互为”是什么意思。

师：问得好。谁来说说？

生2：“互为”是指相互的意思，就是指你是我的倒数，我是你的倒数。

师（多媒体出示）：谁能结合具体的例子来说一说？（生答略）

师（多媒体出示）：请同桌相互说说，谁和谁互为倒数？谁的倒数是谁？（生答略）

师：学到现在为止，刚才同学们提出的第一个问题解决了吗？还有其他问题吗？

师：老师还有一个问题。倒数这个概念的成立其实是有前提条件的，你发现了吗？

生3：要有两个数，且它们的乘积是1。

师：不错。两个数的乘积是1，这是倒数这个概念成立的前提条件。

……

[赏析：余文森教授针对教师的讲解提出了“三讲三不讲”原则，即“已经会的不讲，自己能学会的不讲，讲了也不会的不讲;讲易混、易错、易漏点，讲想不到、想不深、想不透的，讲解决不了的”。上述教学环节，教师较好地处理了讲与不讲的关系，如在学生通过自学对倒数的意义有了初步认识的基础上，引导学生对问题、困惑进行探讨和交流，深化学生的认识。教师于无疑处生疑，使学生深刻理解了倒数的概念。]

教学片断三：

师：请打开作业纸一，接下来老师想请同学们根据倒数的意义，自己写几个分数并求出它的倒数，然后同桌两人一起讨论怎样求一个数的倒数。（学生讨论后交流求倒数的方法，师板书方法）

师：同学们已经会求一个数的倒数了，接下来我们进行一个抢答比赛，即老师说一个分数，谁的反应快就直接站起来响亮地说出它的倒数。（师说分数，最后两个分数分别是2）

师：2的倒数，有的同学认为是2，有的同学站起来后又坐下去了，出现什么问题了？

生1：2的倒数不是2，因为2×2不等于1。

师：倒数的概念掌握得很清晰。可求一些分数的倒数只要直接把分子、分母交换位置就行了，这里怎么不行呢？

生2：因为前面的分数都是真分数和假分数，这里是带分数。

师：问题又来了。那么，带分数的倒数到底应该怎样求呢？还有，求一个数的倒数，这个数除了分数，整数可以吗？小数呢？那求整数、小数的倒数的方法又是什么呢？（生思考）

师：接下来，我们分组来研究。请同学们打开作业纸二，先试着求出几个数的倒数，然后四人小组思考、讨论作业纸中的一个问题。（学生完成后讨论以下问题：通过举例研究，我发现求 的倒数，只要

）

师：这一组同学研究的是求带分数的倒数，他们发现求带分数的倒数的方法是――

生3：先把带分数化成假分数，再把分子、分母交换位置。

师：这一组同学求的是整数的倒数，他们发现求整数的倒数的方法是――

生4：求一个整数的倒数，只要用这个数作分母，用1作分子即可。

生5：还可以把整数看作分母是1的假分数，然后把分子、分母交换位置。

师：整数当中有两个数比较特殊，知道是什么数吗？它们的倒数又分别是多少呢？请同时说明理由。

生6：这两个数分别是1和0，1的倒数是1，0没有倒数。因为两个数的乘积是1，这是倒数这个概念成立的前提，而0乘任何数都得0，所以0没有倒数。

师：由此，求一个数的倒数，对这个数还要增加一个说明，那就是0除外。

师：这个小组求的是小数的倒数，他们发现求小数的倒数的方法是――

生7：先把小数化成分数，再把分子、分母交换位置。

生8：我们小组讨论后发现是用1除以这个小数，也能求出这个小数的倒数。

师：比较这两种方法，大家有什么想说的吗？

生9：我觉得这两种方法都行，涉及具体的题目，哪一种简便就用哪一种。

生10：我们认为把小数先化成分数再求出它的倒数，可能更适用于一般情况。比如求0.3的倒数，用1÷0.3的话，它的商是循环小数，表示起来就比较麻烦，而先化成分数就是 ，它的倒数是，这样更简便。

师：你的说明有理有据。所以，求小数的倒数，我们一般是先把小数化成分数。

……

[赏析：上述教学中，教师以板块的形式组织教学：先求真、假分数的倒数，再求带分数、整数、小数的倒数。这样安排，符合学生的认知规律，使教学的结构和层次更加清晰。同时，通过抢答游戏，既巩固了学生学习的新知，又引发了学生对新问题的聚焦，使学生在活动中主动建构新知。]

第8篇：讨论根的个数的方法范文

一、函数与方程思想

函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解决问题.如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解.

所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略.它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础.函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想之一.

例1 （山西卷）下图是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 .

解析 由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个，第二个图案有阴影小三角形6个，第三个图案有阴影小三角形10个……则形成数对（1，2），（2，6），（3，10）……

设阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为y=kx+b，

将（1，2），（2，6）代入，得k+b=22k+b=6，解得k=4b=-2.

y=4x-2.检验知（3，10）也符合此表达式.

阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为y=4x-2. 当x=n时，y=4n-2.

故第n个图案中阴影小三角形的个数是4n-2.

二、分类讨论思想

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以讨论.这种分类讨论的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.

引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：

（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；

（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；

（3）由于图形的不确定性引起的讨论；

（4）由于题目含有字母而引起的讨论.

分类的原则有：①分类中的每一部分是相互独立的；②一次分类按一个标准；③分类讨论应逐级进行.

例2 （湖北襄阳卷）如果关于x的一元二次方程kx2-■x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）

A.k

解析 由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0的定义知： k≠0；

根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；

根据方程有两个不相等的实数根，得■=2k+1-4k>0.

三者联立，解得-■≤k

三、数形结合思想

数形结合思想是数学中重要的思想方法.所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思想方法.运用这一数学思想解题，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见图形中的代数特征.

例3 （甘肃兰州卷）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图1所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

A. k-3 C. k3

解析 根据题意得：y=|ax2+bx+c|的图象如图2，

所以，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k>3.故选D.

点评 本题考查了二次函数的图象，解题的关键是根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，然后根据图象得出k的取值范围.

四、整体思想

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易. 整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等.

在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.

例4 （湖南娄底卷）如图3，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，ABCD，CDMN，则图中阴影部分的面积是（ ）

A. 4π B. 3π C. 2π D. π

解析 ABCD，CDMN，

根据轴对称的性质，阴影部分的面积恰好为正方形MNEF外接圆面积的■.

正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上， S阴影=■π×（■）2=π.故选D.

五、转化与化归思想

所谓转化与化归思想，就是将待解决的问题和未解决的问题，采取某种策略，转化归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个熟知的具有确定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解.

转化与化归思想的原则：

（1）熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和技巧来解决.

（2）简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的.

（3）具体原则：化归方向应由抽象到具体.

（4）和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.

（5）正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决.

例5 （山东泰安卷）如图4，AB∥CD，E、F分别为AC、BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

解析 连接DE并延长交AB于H，

CD∥AB， ∠C=∠A，∠CDE=∠AHE.

E是AC中点， DE=EH. DCE≌HAE（AAS）， DE=HE，DC=AH.

F是BD中点， EF是DHB的中位线， EF=BH. BH=AB-AH=AB-DC=2，

EF=1. 故选D.

点评 作辅助线：连接DE并延长交AB于H，把EF变换成DHB的中位线，使问题易于解决，体现了由未知――已知、综合――单一的化归.

例6 （山西卷）如图5，一次函数y=（m-1）x-3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A、B，则m的取值范围是（ ）

A. m>1 B. m

第9篇：讨论根的个数的方法范文

一、激发学生的学习兴趣，启迪学生的思维

兴趣是学生学习的直接动力，它是求知欲的外在表现，它能促进学生积极思考，勇于探索。

人的思维是从具体到抽象，从形象思维向抽象思维转化的。特别是低年级小学生的思维带有明显的具体性、形象性的特点。因此在教学过程中首先要坚持直观形象这一原则，即用具体、形象、生动的事物充分调动他们的多种感官，让他们有充分的看一看、摸一摸、听一听、说一说的机会，以丰富深化感知。

以认“2”为例，老师先出示实投：2个苹果、2只小鸟、2个小学生、2辆汽车，让学生数一数再让学生在桌上摆2根小棒，2个三角形等具体的实物来丰富学生的感性认识。学生一边摆图形，教师一边提问：“这些东西不一样，它们的数量一样吗？”从中使学生得知尽管这些东西各有不同，但数量都是“2”，可以用数字“2”来表示，使他们的认识从具体到抽象，并在实物下面写“2”。再请学生讲出数量是“2”的各种各样东西，然后老师又问：“你们看到或听到‘2'这个数时想到了什么？”他们说，想到人有2只手，2只脚，自行车有两个轱辘，吃饭要用2根筷子等等，从而使学生又从抽象“2”想到实物，使学生初步形成"2"的概念。

由于直观形象的方法适应了学生的思维特点，唤起了学生的学习兴趣，因而比较好地解决了低年级学生理解力差与教学概念抽象的矛盾，使学生沿着实物--表象--抽象的顺序加深了对概念的理解。

二、运用类比方法，培养学生创新思维

1.运用比较辨别，启迪学生思维想象

如在教学了数的整除的知识后，我出示了这样一道例题：“一个大于10的数，被6除余4，被8除余2，被9除余1，这个数最小是几？”应该说这道题是有一定的难度的，学生求解会感到无从下手，这时，我出示了这样一题比较题：“一个数被6除余10，被8除余10，被9除余10，这个数最小是几？”这道题学生很快能求出答案：这个数即是6、8和9的最小公倍数多10，6、8和9的最小公倍数为72，因此这个数为：72+10=82；然后我引导学生将上面一道例题与这道比较题进行比较和思考，学生很快知道，上道题只要假设被6除少商1余数即为10，被8除少商1余数也为10、被9除时少商1余数也为10，因此可迅速求得这个数只要减去10，就同时能被6、8和9整除，而6、8和9的最小公倍数为72，因此这个数为：72+10=82。这样通过让学生展开联想和比较，不但可以提高学生的想象能力，同时也能提高学生的创新思维能力。

2.通过分析归纳，培养学生创新思维

如在教学完了平面图形的面积计算公式后，我要求学生归纳出一个能概括各个平面图形面积计算的公式，我让学生进行讨论，经过讨论，学生们归纳出，在小学阶段学过的面积公式都可以用梯形的面积计算公式来进行概括，因为梯形的面积计算公式是：（上底+下底）×高÷2 。而长方形、正方形、平行四边形的上底和下底相等，即可将这公式变成：底（长、边长）×高（宽、边长）×2÷2 =底（长、边长）×高（宽、边长）；又因为将圆面积公式是根据长方形的面积公式推导出来的，因此，梯形的面积公式对圆也同样适用；当梯形的上底是零时，即梯形成了一个三角形，这时梯形的面积公式成了：底×高÷2。这即成了三角形的面积公式。这样，不仅使学生能熟练掌握已学过的平面图形的面积公式，同时，也培养和提高了学生的创新能力。

三、巧设探索性问题，培养学生创新思维

如在教学了百分数应用题后，我出示了这样一题：张老师欲购买一台笔记本电脑，为了尽可能少花钱，他考察了a、b、c三个商场，他想购买的笔记本电脑三个商场都有，且标价都有是9980元，不过三个商场的优惠方法各不相同，具体如下：

a商场：全场九折。

b商场：购物满1000元送100元。

c商场：购物满1000元九折，满10000元八八折。

张老师应该到哪个商场去购买电脑？请说明理由。

这道题显然不同于一般的应用题，因此我启发学生，应该充分考虑如何才能做到尽可能少花钱这一个特定的条件去进行分析与解答。学生进行了认真的分析和讨论，最后得出如下的结论：因为每台电脑的价格均为9980元，而去a商场是全场九折，因此张老师如果去a商场购电脑，那么张老师应该付：9980×90%=8982（元）。

因为b商场是购物满1000元送100元，张老师如果只买电脑，需付：9980-900=9080（元）；张老师如果再买其它的物品凑满10000元，需付：10000-1000=9000（元）。

因为c商场是购物满1000元九折，满10000元八八折，张老师在c商场购买电脑时，只要再多买20元物品，即凑满10000元，最多需付：10000×88%=8800（元）。