分类讨论的数学思想方法精选(九篇)

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第1篇：分类讨论的数学思想方法范文

目前，初中数学教学内容、教学过程存在较多的问题：如过分重视按照逻辑体系编排，重知识传授，轻实际应用；重结果，轻过程；强调统一性，忽视差异性；教材内容偏窄偏深。现有课堂教学也存在着许多弊病，例如教学程式化、教学缺乏变通性和灵活性、教条化、单一化、静态化等问题导致学生学习兴趣索然，学习被动，产生厌学心理，造成数学差生面大。另一方面，教师总想提高差生的成绩，给学生布置大量的作业，加重了学生的负担，效果却并不理想。

当今社会科学技术高速发展，高科技的竞争已成为世界性和全方位的科技竞争焦点，而高科技的竞争必然导致知识密集化，技术综合化，方法系统化。面对高科技对人才培养提出的新要求，面对初中数学的教学实际，初中数学教学如何才能提高课堂教学质量，减轻学生负担，使学生学会数学的思考和解决问题，能把知识的学习和能力的培养、智力的发展有机地联系起来呢？一方面，重视数学思想方法的培养，可以改善数学教学低效状况。另一方面，重视初中数学思想方法的培养也符合新科技时代对人才素质的要求。

从教育的角度来看，数学思想方法比数学知识更为重要，这是因为：数学知识是定型的，静态的，而思想方法则是发展的，动态的，知识的记忆是暂时的，思想方法的掌握是永久的，知识只能使学生受益于一时，思想方法将使学生受益于终生。增强数学思想方法的培养比知识的传授更为重要，数学思想方法的掌握对任何实际问题的解决都是有利的。因此，数学教学必须重视数学思想方法的教学。

实践证明，培养初中生的数学思想方法，有效地激发了学生的学习兴趣，充分调动了学生学习积极性和主动性，能使学生的认知结构不断地完善和发展，使学生将已有的思想方法运用在学习新知识的过程中，能够把复杂问题转化为简单问题来解决，提高学习效益，提高学生分析问题和解决问题的能力。目前，数形结合思想、分类讨论思想、方程与函数思想是各地试卷考查的重点，因此，也应注重初中生数学思想方法的培养，考查学生的数学思想方法是考查学生能力的必由之路。

二、怎样培养初中生的数学思想方法

（一）数学思想方法的培养应遵循的原则

1. 渗透性原则

九年制义务教育教材的编排是按知识的逻辑纵向展开的。大量的数学思想方法是蕴涵在数学知识之中，因此，在具体知识的教学中，精心设计学习情境与教学过程，着意引导学生领会蕴含在其中的数学思想和方法，使它们在潜移默化中达到理解和掌握。

2 . 层次性原则

要使学生把握数学方法，首先教师要准确、清晰地把握好初中数学教材中的数学思想方法的水平层次。一要把握好学生认知数学思想方法的水平层次；对初中数学方法可分为了解、理解、掌握三个层次。了解：对数学思想方法的含义有感性的初步的认识，能在有关的问题中识别它们。理解：对数学思想方法达到了理性认识，不仅能够说出它们是什么，而且能够知道它们的基本观点，有什么用途。掌握：在理解的基础上，通过训练掌握其实质，能用它去解决一些问题。二要把握好某一数学方法在不同教材、不同阶段的水平层次。同一种数学思想方法在不同的年级（或不同的章节）中，要求的层次也不相同。

3. 反复性原则

从一个较长的学习过程看，学生对各种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，其间有一个低级到高级的螺旋上升过程，如对同一数学思想方法，应该注意在不同知识阶段的再现，加强对数学思想方法的认识。

学生接触较多的数学问题后，数学思想方法的学习逐渐过渡到初步应用阶段，开始理解解题过程中所使用的探索方法和策略，也能够概括总结出来。

（二）在知识的传授过程中，注重培养学生的数学思想

数学思想是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识的技能、方法的灵魂，因此，在运用知识的全过程中，从分析探求思路，到优化实施解答，最后反思验证结论都要重视应用数学思想。

1. 对概念掌握过程和公式定理证明中渗透数学思想

中学数学教材中处处渗透着基本数学思想方法，数学概念、公式、法则等知识写在教材中，是有“形”的，而基本的数学思想方法在教材中是无“形”的。它以隐藏的形式存在于字里行间，并且不成体系散见于教材各章节之中，需要通过教师的指点，学生才能领会、掌握。通过对公式定理证明，把掌握的概念运用的实践当中，这个过程中渗透数学思想也加深了概念的理解。

2. 在例题教学中渗透数学思想

分类思想的培养要通过学生对具体数学问题的处理，因此，在例题教学中，要引导学生应用分类思想探索某些问题的解题方法，训练学生的分类技能，同时安排相应的题型进行训练。初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。在平时的练习过程中渗透数学思想，在巩固练习过程中，进一步渗透分类思想。

（三）培养学生自觉应用数学思想方法解决实际问题的能力

第2篇：分类讨论的数学思想方法范文

【关键词】数学；分类思想方法；教学

数学思想方法与其他的数学思想方法一样，是探究、解决问题的重要的思想方法。在探究、解决问题中正确地运用数学分类思想方法能化繁为简，化难为易；能使思维有序、全面、缜密；对于提升学生的思维品质和提高学生分析问题和解决的题的能力起到积极的促进作用。下面就分类思想方法的意义、原则、作用和步骤；初中数学教材中运用分类思想方法进行教学的主要内容；初中数学分类思想方法教学的三个阶段等三个方面谈谈个人的看法。

一、分类思想方法的意义、原则、作用和步骤

1、分类思想方法的意义。 将研究对象按照一定的标准，划分成几个部分，逐一进行研究和解决的方法叫做分类讨论。其实质：“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略。

2、分类的原则。划分后的各个子项应当互不相容（不重）；划分后的子项应当穷尽母项（不漏）；每次划分都应按同一标准。

3、分类的作用。可化繁为简，化难为易；可使思维有序，有条理；可使思维全面、缜密。

4、分类讨论的步骤。确定同一分类的标准；恰当的把对象整体进行分类；分类要做到“不重、不漏”；讨论要按一定的层次逐类逐级进行，最后概括小结、归纳，得出问题的结论。确定分类标准是分类讨论的重要一环。

二、初中数学教材中运用分类思想方法进行教学的主要内容

1、运用分类思想方法进行数、式教学的内容有理数的分类，相反数，绝对值，大小的比较，运法则；数的分类，平方根，立方根，无理数的形式；式的分类，式加减，二次根式的化简等。

2、运用分类思想方法进行方程与不等式（组）教学的内容方程的分类，不等式的性质，不等式（组）的解集，一元二次方程的解法等。

3、运用分类思想方法进行函数教学的内容。特殊点的坐标，分段函数、一次函数、反比例函数、二次函数的图像和性质等。

4、运用分类思想方法进行图形认识教学的内容。线的分类，面的分类，垂线性质，三线八角，三角形按边（角）的分类，三角形高的位置，三角形外心的位置，三角形全等的条件，等腰三角形边与角的计算，勾股定理的应用，四边形的分类，弧的分类，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆周角定理等。

5、运用分类思想方法进行图形与变换教学的内容。相似三角形的对应关系、三角形相似的条件，相似多边形的性质，相似三角形性的质，位似中心的位置等。

三、初中数学分类思想方法教学的三个阶段

1、抓住时机，渗透分类思想。

（1）在概念教学中，渗透分类的思想。有些数学概念是由分类给出的，一般按概念的分类形式进行分类。例如，有理数意义教学：整数、分数统称为有理数或正数、负数、零统称为有理数。

（2）在法则探究中，渗透分类思想方法。例如，有理数的加法法则的探究，可分为：同号两数相加；异号两数相加；一个数同零相加三种情形：

①（+2）+（+1）=+（2+1）=+3， （-2）+（-1）=-（2+1）=-3；

②（+2）+（-1）=+（2-1）=+1， （-2）+（+1）=-（2-1）=-1；

（+2）+（-2）=0；

③（+2）+0=+2， （-2）+0=-2，0+0=0.

最后归纳出有理数的加法法则。

（3）在图形求解中，渗透分类思想方法。例如，等腰三角形的两边分别是3、4，求它的周长。分析：根据等腰三角形的腰可分为：当3为腰时，则4就是底边；当4为腰时，则3就是底边二种情形：

①当3为腰时，则4就是底边，此时等腰三角形的周长为10；

②当4为腰时，则3就是底边，等腰三角形的此时等腰三角形的周长为11。

2、启发诱导，揭示分类思想方法的本质。

（1）根据问题的需要，进行分类。

例如，解关于x的不等式：mx>-1

分析：据不等式的性质可分为m>0，m=0和m

①当m>0时，不等式的解为x>-1/ m；

②当m=0时，不等式左边=0，右边=-1，因为0乘任何数得0，0>-1，此不等式解集为一切实数；

③当m

（2）分类要求明确的标准。例如，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的探究，可按根的情况分为：两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根等三种情况来讨论。

3、深化探究，运用分类的思想方法研究问题。

（1）根据字母的取值范围进行分类。例如，已知函数y=kx2+（k-1）x-1（k是实数），如果函数的图象与x轴只有一个交点，求k的值。

分析：这里可从函数分类的角度讨论，分k=0和k≠0两种情况解决问题。

解：①当k=0时，函数就是一个一次函数，y=-x-1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。

②当k≠1时，函数就是一个二次函数，y=kx2+（k-1）x-1，当=（k-1）2-4×k×（-1）=0，得k=-1，抛物线y=-x2-2x-1的顶点（-1，0）在x轴上。

第3篇：分类讨论的数学思想方法范文

关键词：数学新课程；分类讨论；再认识

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1009-010X（2012）04-0055-03

全日制义务教育数学课程标准要求，“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。分类讨论作为最基本的数学思想方法之一，它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的解题方法。在新课程实施中，教师根据学生的年龄特征、认知规律和知识积累，在遵循科学性前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则，向学生适时渗透分类讨论的数学思想，对于发展学生的思维能力、养成良好的数学思维习惯有着重要的意义。

一、什么是分类讨论思想

分类讨论是指当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要对研究对象按某个标准进行分类，然后逐类讨论，最后综合各类结果得到整个问题的答案。像这种先分类再讨论，把问题“分而治之，各个击破”的解决问题的思想就是分类讨论思想。

二、分类讨论思想在新课程实施中的地位和作用

数学课程标准指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步积累数学活动经验、感悟数学思想”。分类讨论思想作为一种基本的数学思想，在学生基础知识的获得，基本技能的形成，数学素养的提高，思维能力的发展，创新意识和实践能力的培养方面占有非常重要的地位。按照数学课程标准的要求，在学生学习活动中，积极引导学生通过实践、思考、探索、交流等方式，让学生在获得知识、形成技能、发展思维的同时，借助数学知识的载体功能，将分类讨论思想向学生逐级渗透，螺旋上升，逐步积累，不断完善，对于培养学生思维的条理性、严谨性和完整性，养成缜密思考的良好品质，提高和发展学生的思维能力有着举足轻重的作用。

三、分类讨论的基本原则

分类讨论思想的核心是对问题进行合理分类，要做到合理分类，需遵循分类讨论的四个基本原则：

（一）同一性原则

分类必须按确定的同一标准进行，不能同时使用几个不同的分类标准，否则会导致分类的混乱。

例如：三角形 锐角三角形等腰直角三角形等边三角形钝角三角形

显然，以上对三角形分类时，既按边又按角同时使用了两个标准进行分类，造成了分类的混乱。

（二）完备性原则

分类应当完整，即分类后子项的外延之和应等于母项的外延，而不能出现分类后母项外延的遗漏。

例如：若a为实数，则a＝ a（a＞0）a（a0）

很明显，分类后丢掉了a=0的情况，造成分类后子项的外延出现了遗漏，导致分类不完整。

（三）互斥性原则

分类后的每个子项都应当互不相容，相互排斥，不能出现分类后一些事物既属于这个子项又属于那个子项，造成子项外延的重叠。

例如：若a为实数，则a＝ a（a≥0）a（a≤0）

这里，分类后两个子项就出现了a=0在外延上的重叠，违背了子项外延互斥性原则。

（四）逐级性原则

有些数学问题只需一次性分类，有些数学问题则需多次分类。多次分类是由于被讨论对象比较复杂，需把首次分类后的子项作为新的母项再进行分类，直至满足需要为止，进而达到解决整个问题的目的。

例如:论证方程（a-1）x2+2x-6=0的实数根的情况。

解：当a-1=0即a=1时，方程为一元一次方程，其实数根为x=3

当a-1≠0即a≠1时，方程为一元二次方程，其实数根为

当＞0即a＞■时，方程有两个不相等的实数根当= 0 即a=■时， 方程有两个相等的实数根当＜0即a＜■时， 方程没有实数根

综上所述，当a=1时，方程有唯一一个实数根。

当a＞■且a≠1时，方程有两个不相等的实数根。

当a=■时，方程有两个相等的实数根。

当 a＜■时，方程没有实数根。

四、分类讨论的一般步骤和结论归纳形式

分类讨论的一般步骤是：①确定分类讨论的对象及被讨论对象的全域；②确定分界点，统一分类标准，合理进行分类，并做到不重不漏，分层而不越级；③逐类讨论，分级进行；④综合归纳，得出结论。

分类讨论的结论归纳形式一般有三种:

①并列形式。格式为：当……时，有……；

当……时，有……。

②并集形式。格式为：……或……。

③交集形式。格式为：……且……。

五、分类讨论的常见类型

引起分类讨论的因素较多，但常见的类型主要有以下几种：

1.根据定义、性质、法则、公式、定理进行分类讨论；

2.根据运算的要求进行分类讨论；

3.根据图形的形状或位置变化进行分类讨论；

4.当条件或结论开放时进行分类讨论；

5.当问题中条件较少，需通过分类来补充条件时进行分类讨论。

六、学生在分类讨论中存在的问题

（一）在分析问题时，缺乏分类讨论的意识

例如：已知等腰三角形的两边长为8和6，求这个三角形的周长。

错解：等腰三角形的周长为8+8+6=22

分析：学生初解该类型题时，常因缺乏分类讨论的意识，仅考虑腰为8或腰为6中的某一种情况，而得出周长为22或20的单一性答案，造成问题丢解。

正解：当腰长为8时，等腰三角形周长为8+8+6=22

当腰长为6时，等腰三角形周长为6+6+8=20

所以，等腰三角形的周长是22或20.

（二）有分类讨论的意识，但在分类时存在盲目性

分类讨论的关键是确定分类标准，学生分类时常因不能准确找到分类标准的分界点，导致对问题盲目分类，出现求解上的失误。

例如：如图，一个等边三角形的边长和与它一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直到回到原出发位置时，该圆自转了（ ）圈。

（A）2 （B）3 （C）4（D）5

错解：选（B） 正解：选（C）

分析：因为圆与等边三角形相切且做无滑动旋转，很多学生盲目认为按圆在AB边、BC边、CA边上分类讨论即可，因为边长等于圆的周长，所以经过一条边刚好转了1圈，在三条边旋转当然转了3圈，故选（B）。然而却忽略了圆在顶点B、C、A处旋转的情况，由图（2）不难分析，圆经过一个顶点时旋转了120°，经过三个顶点共转了

120°×3=360°恰好为一圈，所以应选（C）。

（三）在分类讨论时存在主观臆断性

在分析数学问题时，一般当遇到数量的大小或符号不能确定以及图形位置或形状不确定时考虑分类讨论，但分类讨论绝不能凭主观臆断，一开始就分类讨论，而是在计算或推理的过程中逢时而生，自然展开。

七、教师在新课程实施中渗透分类讨论思想的对策

在初中数学课程改革中，教师对分类讨论思想的渗透还存在一些不到位的地方，表现为：①在思想意识上，对分类讨论思想的重要性认识不足；②在教材运用上，对分类讨论思想挖掘不深，如对分类讨论思想在教材中的设置把脉不清，对分类讨论思想在教材中的层次缺少深度思考，对分类讨论思想的渗透缺乏整体规划与设计；③在教学过程中，对分类讨论思想渗透不强，教师往往关注知识的生成多，思想方法的渗透少，侧重就题论题多，思想方法的提炼少，注重知识系统多，思想方法的归纳少；④在实践应用上，对分类讨论思想提升不够，教师将分类讨论过多的停留在简单训练的层面上或训练模式的创新上，而忽视对思想方法的抽象与概括。那么，如何将分类讨论思想在新课程实施中有效地渗透呢？我觉得不妨从以下二个方面着手：

（一）加强对数学课程标准的学习，充分挖掘教材中蕴藏的分类讨论思想，明确分类讨论思想在不同阶段的目标要求

数学课程标准把让学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学思想方法作为教学的总体目标。人教版教材第一章《有理数》在学习了正负数后，以有理数的分类及绝对值的意义为载体最先拉开了分类讨论思想渗透的序幕。在以后的学习活动中，随着学习的深入，分类讨论思想由“隐性”向“显性”、由“方法”向“思想”逐步渗透，不断提升，最终实现由“思想”指导“方法”，达到水到渠成的功效。因此，教师在新课程实施中必须站在全局的高度统揽教学，对分类讨论思想的渗透既有整体规划和设计，又有明确而具体的目标和要求。

（二）在新课程实施中遵循逐级递进、螺旋上升的原则，将分类讨论思想有机渗透到每个阶段的教学之中

1.渗透“分类方法”，感知“分类思想”。由于初中生的数学知识比较贫乏，抽象思维能力较为薄弱，对数学思想方法还缺乏足够的了解，因此，在新课程实施中必须以知识的学习为载体，注重数学概念的生成过程、知识的发展过程和问题的解决过程，通过教师的启发引领，向学生逐步渗透“分类方法”，让学生在展开思维获取知识的同时初步感知分类思想。

2.训练“分类方法”，领悟“分类思想”。教师在新课程实施中要充分挖掘教材中体现分类讨论思想方法的各种元素，根据学生年级的不同、知识的不同和认知能力的不同，对“分类方法”展开由浅入深、由易到难、由隐到显的层次性训练，使分类讨论思想在训练过程中多次孕育，不断领悟，初步形成。

3.掌握“分类方法”，运用“分类思想”。学生对于“分类方法”的掌握需经历一个学习、思考、训练、巩固的体验过程。同样，“分类思想”的形成也是在“分类方法”的渐进生成过程中逐步领悟、不断完善建立起来的。在新课程实施中，只有把分类方法提升到分类思想的高度加以认识，才能变知识的生成过程为数学思想方法的形成过程，从而把分类讨论思想进行有效迁移和灵活运用。

第4篇：分类讨论的数学思想方法范文

一、知识要点概述

1.分类讨论的思想方法的原理及作用

在研究与解决数学问题时，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.

2.引起分类讨论的原因主要是以下几个方面

①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.如|a|的定义分a>0，a=0，a

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的.如等比数列的前n项和的公式，分q=1和q≠1两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型.

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.如解不等式ax>3时分a>0，a=0，a

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性.

二、解题方法指导

1.分类讨论的思想方法的步骤

（1）确定标准；（2）合理分类；（3）逐类讨论；（4）归纳总结.

2.简化分类讨论的策略

（1）消去参数；（2）整体换元；（3）变更主元；（4）考虑反面；（5）整体变形；（6）数形结合；（7）缩小范围等.

3.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是

分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不漏不重”.

4.解题时把好“四关”

（1）要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；

（2）要找准划分标准，把好“分类关”；

（3）要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；

（4）要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”.

三、分类讨论基本题型

友情提示：解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题一般分四个步骤：

第一步：确定需分类的目标与对象.即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标.

第二步：根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对分类对象进行区分.

第三步：分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行处理.

第四步：汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理.

2.由参数变化而引起的分类讨论

友情提示：一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论.这类问题有两种情形：（1）由于所求的变量或参数的取值不同会导致结果不同，所以要对某些问题中所求的变量进行讨论；（2）有的问题中虽然不需要对变量讨论，但却要对参数讨论.在求解时要注意讨论的对象，同时应理顺讨论的目的.

3.根据图形位置或形状分类讨论

第5篇：分类讨论的数学思想方法范文

关键词：数学思想方法；灵魂；金钥匙

初中阶段是中学生打基础的阶段，而初一则是启蒙阶段，这

个阶段数学学习的好坏将直接影响今后的学习。数学思想方法是数学中的理性认识，是数学知识的本质，它可以提高学生的解题技巧和方法，启迪智慧，发挥潜力，培养学生的自主学习和创新精神。依据教材的特点和学生的年龄特征，我认为初一数学教学时要渗透如下几种数学思想方法：

一、数形结合的思想方法

数形结合思想是指将代数与几何结合起来，即将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合。所以，我们研究数学问题时要善于由形思数、由数思形，通过数与形的转化把一个数的问题用图形直观地表达出来，从而找到解题思路。利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易、化繁为简。数形结合是中学数学中重要的数学思想方法，在每年的中考试卷中均有一定数量的试题可采用此方法解答。因此，教师有意识地、灵活地培养学生使用数形结合的思想方法，是数学教学的一个重要内容，不仅能提高学生的审美能力，更能培养学生的形象思维能力和创新能力。例如：不等式x+2>5的解集，可以表示成x>3，也可以在数轴上直观地表示出来，如下图所示：

用数轴来表示不等式的解集，不仅形象而且简单、直观、明

了，培养了学生的思维能力和创造性。

二、分类讨论的思想方法

分类讨论就是根据一定的标准，对问题进行分类求解，然后归纳综合出问题的答案。当被研究的问题含多种解答，不能一概而论时，必须按照可能出现的各种情况分别讨论，得出各种情况下相应的结论。分类讨论思想是中学数学最常用的思想方法之一，也是中考常见的数学思想。分类思想在初一数学中应用很广，如三角形按角分类、按边分类等等。教学时，加强渗透分类讨论的思想方法，大胆鼓励学生开展讨论、交流、合作的学习方法，可以提高学生的解题技巧，培养学生的思维能力、主动学习的精神和辩证的观点。应用时必须注意以下两点：

一是每次分类要按照同一标准进行，分类常用的依据有概

念、法则，图形的性质、形状等。二是不重复、不遗漏。

例：解下列方程：x-3=2

解：（1）当x-3>0时，原方程可化为：x-3=2，解得x=5

（2）当x-3

所以，原方程的解为x=5或x=1.

解绝对值方程关键是按绝对值的意义进行分类讨论，并注意对所有的分类情况进行总结。

三、化归的思想方法

所谓“化归”即“转化”和“归结”，也就是把要解决的问题转化归结为另一个较容易的问题或已解决的问题，是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”；把复杂问题转化为简单问题。它是解决数学问题的基本方法，也是初一教材中的“二元一次方程组和它的解”的基本思想。教师教学时，要注意把“新知识”通过观察、分析、讨论、总结迁移到“旧知识中”。通过知识的迁移应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的创新精神。

例：已知m、n满足下面等式

（3m-4n-14）2+5m+4n-2=0，求m、n的值。

解：依题意得：3m-4n-14=0

5m+4n-2=0

将这个方程组化为：

3m-4n=14 ①

5m+4n=2 ②

由①+②得：3m-4n+5m+4n=14+2

解得m=2

把m=2带入①式，得n=2

所以，m=2，n=2。

这个题目运用了两次化归的思想方法，即先将问题化归为解二元一次方程组，又把解二元一次方程组化为解一元一次方程，使解题思路清晰化、问题简单化。

四、画图表的思想方法

利用图形、表格来解决数学问题的方法称为图表法。这种方法可根据题中的条件，使数量关系和图形、表格巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，使问题的逻辑结构直观地显现出来，并提供程序性操作的机会，使问题得到解决。在用图表法解决问题时，要善于把题中已知条件归纳或统计成图形、表格。另外，还要能充分分解图形、表格，从中获得更多的信息。

总之，解决初中数学问题的思想方法很多，如：整体思想方法、比较思想方法、统计思想方法等等。初中数学教材的各部分内容都有自己常见的思想方法。“授人以鱼，不如授人以渔。”教师在教学时，要依据教材内容，加强数学思想方法的指导，使学生掌握一些常用的思想方法，提高解题的技能和智能，激发学习兴趣，培养创新精神，让学生在数学世界中遨游。

参考文献：

第6篇：分类讨论的数学思想方法范文

一、数学思想方法的分类

1.函数与方程的思想方法。函数思想指的是提到问题的数学特征，用联系变化的观点提出数学，抽象其数学特征，建立函数关系。很明显 ，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思想过程中，具备有标新立异、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的。

2.数形结合的思想方法

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性，使问题化难为易，化抽象为具体。

3.分类讨论的思想方法

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在人的思维发展中有着重要作用。如“参数问题”对中学生来说并不十分陌生，它实际上是对具体的个别的问题的概括。从绝对值、算术根以及在一般情况下讨论字母系数的方程、不等式、函数，到曲线方程等，无不包含着讨论的思想。

4.等价转化思想

等价转化思想是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，是一种重要数学思想方法，转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求转化中前因后果应是充分必要的，这样的转化后的结果仍为原问题所需的结果：而非等价转化其过程是充分或必要的，这样的转化能给人带来思维的闪光点，看到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分。转化思想贯穿于整个高中数学之中，每个问题的解题过程实质就是不断转化的过程。

二、数学思想方法教学的主要途径

数学思想方法是数学概念、理论的相互联系和本质所在，是对数学规律的理性认识和本质体现。初、高中的衔接不仅仅是知识点的衔接，更是思想方法、思维习惯、学习习惯、学习方法的衔接。因此，要培养学生的数学能力，就必须重视数学思想方法的教学。学生在数学学习中掌握了数学思想方法，既可以提高理论水平，又可以用它指导做题实践，而在做题反思中，学生的数学思想方法又得以不断充实、丰富和完善。

为了使学生掌握必要的数学思想方法，需要从教材和教法两方面有机结合进行，在教材中要渗透数学思想方法，在教法中要应用数学思想方法。数学思想方法的教学要结合教学内容进行，不能脱离教学内容只传授形式。脱离了数学思想方法指导的教学和脱离了内容的数学思想方法的教学都是不全面的教学。数学思想方法蕴含在数学基础知识和基本方法之中，正是有了数学思想方法，才使得数学知识不再是零散的、孤立的片断。学生如果掌握了基本的数学思想方法，数学将变得更加容易理解和记忆，他们驾驭知识的能力也更强了，而且会使其它学科更容易学了。

高中数学中所用的数学思想方法有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、或然与必然思想、整体思想、对称思想、换元思想、极限思想、参数思想、建模思想等。数学思想方法的掌握要靠平时的积累，临时抱佛脚是行不通的。

1.用数学思想指导基础复习，在基础学习中培养思想方法

（1）基础知识的复习中要充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法。如讨论直线和圆锥曲线的位置关系时的两种基本方法：一是把直线方程圆锥曲线方程联立，讨论方程组解的情况；二是从几何图形上考虑直线和圆锥交点的情况，利用数形结合的思想方法，使问题清晰明了。

（2）注重各知识点在教学整体结构中的内在联系，揭示思想方法在知识互相联系、互相沟通中的纽带作用。如函数、方程、不等式的关系，当函数值等于、大于或小于一常数时，分别可得方程、不等式，联想函数图象可提供方程、不等式的解的几何意义，运用转化、数形结合，这三块知识可相互为用。

2.用数学思想方法指导解题练习，在问题解决中运用思想方法，提高学生自觉运用数学思想方法的意识

（1）注意分析探求解题思路运用

解题的过程中就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设与题断间的差异的过程。也可以说是运用化归思想的过程。解题思想的寻求就自然是运用思想方法分析解决问题的过程。

（2）注意数学思想方法在解决典型问题中的运用

例如选择题中的求解不等式 ，虽然可以通过代数方法求解，但若用数形结合，转化为直线与半圆的位置关系，问题变得非常简单。

（3）以数学思想方法为指导，进行一题多解的练习

第7篇：分类讨论的数学思想方法范文

摘要：开展数学思想方法教育是新课标提出的重要教学要求 ，数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。初中数学思想方法教育，是培养和提高学生素质的重要内容。因此，开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求。

关键词：数学思想；方法；教学；思考

一、关于对“初中数学教材进行数学思想方法”的教学研究

首先，要通过对教材完整的分析和研究，理清和把握教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴。然后，建立各类概念、知识点或知识单元之间的界面关系，归纳和揭示其特殊性质和内在的一般规律。例如，在“因式分解”这一章中，我们接触到许多数学方法―提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法等。这是学习这一章知识的重点，只要我们学会了这些方法，按知识――方法――思想的顺序提炼数学思想方法，就能运用它们去解决成千上万分解多项式因式的问题。又如：结合初中代数的消元、降次、配方、换元方法，以及分类、变换、归纳、抽象和数形结合等方法性思想，进一步确定数学知识与其思想方法之间的结合点，建立一整套丰富的教学范例或模型，最终形成一个活动的知识与思想互联网络。

二、关于对“将数学思想方法有机地渗透入教学计划和教案内容之中”的研究

教学计划的制订应体现数学思想方法教学的综合考虑，要明确每一阶段的载体内容、教学目标、展开步骤、教学程序和操作要点。数学教案则要就每一节课的概念、命题、公式、法则以至单元结构等教学过程进行渗透思想方法的具体设计。要求通过目标设计、创设情境、程序演化、归纳总结等关键环节，在知识的发生和运用过程中贯彻数学思想方法，形成数学知识、方法和思想的一体化。

应充分利用数学的现实原型作为反映数学思想方法的基础。数学思想方法是对数学问题解决或构建所做的整体性考虑，它来源于现实原型又高于现实原型，往往借助现实原型使数学思想方法得以生动地表现，有利于对其深人理解和把握。例如：分类讨论的思想方法始终贯穿于整个数学教学中。在教学中要引导学生对所讨论的对象进行合理分类（分类时要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级），然后逐类讨论（即对各类问题详细讨论、逐步解决），最后归纳总结。教师要帮助学生掌握好分类的方法原则，形成分类思想。

数学思想方法的渗透应根据教学计划有步骤地进行。一般在知识的概念形成阶段导入概念型数学思想，如方程思想、相似思想、已知与未知互相转化的思想、特殊与一般互相转化的思想等等。在知识的结论、公式、法则等规律的推导阶段，要强调和灌输思维方法，如解方程的如何消元降次、函数的数与形的转化、判定两个三角形相似有哪些常用思路等。在知识的总结阶段或新旧知识结合部分，要选配结构型的数学思想，如函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分数讨论思想体现了局部与整体的相互转化。在所有数学建构及问题的处理方面，注意体现其根本思想，如运用同解原理解一元一次方程，应注意为简便而采取的移项法则。

三、关于对“在知识的引进、消化和应用过程中促使学生领悟和提炼数学思想方法”的研究

数学知识发生的过程也是其思想方法产生的过程。在此过程中，要向学生提供丰富的、典型的以及正确的直观背景材料，创设使认知主体与客体之间激发作用的环境和条件，通过对知识发生过程的展示，使学生的思维和经验全部投人到接受问题、分析问题和感悟思想方法的挑战之中，从而主动构建科学的认知结构，将数学思想方法与数学知识融汇成一体，最终形成独立探索分析、解决问题的能力。

概念既是思维的基础，又是思维的结果。恰当地展示其形成的过程，拉长被压缩了的“知识链”，是对数学抽象与数学模型方法进行点悟的极好素材和契机。在概念的引进过程中，应注意：①解释概念产生的背景，让学生了解定义的合理性和必要性；②揭示概念的形成过程，让学生综合概念定义的本质属性；③巩固和加深概念理解，让学生在变式和比较中活化思维。

在规律（定理、公式、法则等）的揭示过程中，教师应注意灌输数学思想方法，培养学生的探索性思维能力，并引导学生通过感性的直观背景材料或已有的知识发现规律，不过早地给结论，讲清抽象、概括或证明的过程，充分地向学生展现自己是如何思考的，使学生领悟蕴含其中的思想方法。

数学问题的化解是数学教学的核心，其最终目的要学会运用数学知识和思想方法分析和解决实际问题。例如“平行四边形的面积求法”的问题，通过探求解决问题的思想和策略，得到以化归思想指导将思维定向转化成求已知矩形的面积。这样以问题的变式教学，使学生认识到求解该问题的实质是等积变换，即要在保持面积不变的情形下实现化归目标，而化归的手段是“三角形位移”，由此揭示了解决问题的思维过程及其所包含的数学思想，同时提高了学生探索性思维能力。在数学知识的引进、消化和运用的过程中，要利用单元复习和阶段性总结的时间，以适当集中的方式，从纵横两方面整理、概括和提炼出数学思想方法纲要和系统。以分散方式的渗透性教学为基础，集中强化数学思想方法教育的形式，促使学生对数学思想方法由个别的具体感悟上升到一般的理性认识，这有利于提高教学效果。

第8篇：分类讨论的数学思想方法范文

一、初中数学思想方法教学的重要性

长期以来，传统的数学教学中，只注重知识的传授，却忽视知识形成过程中的数学思想方法的现象非常普遍，它严重影响了学生的思维发展和能力培养。随着教育改革的不断深入，越来越多的教育工作者，特别是一线的教师们充分认识到:中学数学教学，一方面要传授数学知识，使学生掌握必备数学基础知识;另一方面，更要通过数学知识这个载体，挖掘其中蕴含的数学思想方法，更好地理解数学，掌握数学，形成正确的数学观和一定的数学意识[1]。事实上，单纯的知识教学，只显见于学生知识的积累，是会遗忘甚至于消失的，而方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生，正所谓“授之以鱼，不如授之以渔”。不管他们将来从事什么职业和工作，数学思想方法，作为一种解决问题的思维策略，都将随时随地有意无意地发挥作用。

二、初中数学思想方法的主要内容

初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本最主要的有:转化的思想方法，数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，函数与方程的思想方法等。

(一)转化的思想方法

转化的思想方法就是人们将需要解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一种相对容易解决的或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决。初中数学处处都体现出转化的思想方法。如化繁为简、化难为易，化未知为已知等，它是解决问题的一种最基本的思想方法。具体说来，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，换元法解方程，几何中添加辅助线等等，都体现出转化的思想方法。

(二)数形结合的思想方法

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是代数式、函数、不等式等表达式，“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合就是抓住数与形之间的本质上的联系，以形直观地表达数，以数精确地研究形。“数无形时不直观，形无数时难入微。”数形结合是研究数学问题的重要思想方法[2]。初中数学中，通过数轴，将数与点对应，通过直角坐标系，将函数与图象对应，用数形结合的思想方法学习了相反数的概念、绝对值的概念，有理数大小比较的法则，研究了函数的性质等，通过形象思维过渡到抽象思维，大大减轻了学习的难度。

(三)分类讨论的思想方法

分类讨论的思想方法就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，解决数学问题。初中数学从整体上看分为代数、几何两大类，采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现。具体来说，实数的分类，方程的分类、三角形的分类，函数的分类等，都是分类思想的具体体现。

三、初中数学思想方法的教学规律

数学思想方法蕴含于数学知识之中，又相对超脱于某一个具体的数学知识之外。数学思想方法的教学比单纯的数学知识教学困难得多。因为数学思想方法是具体数学知识的本质和内在联系的反映，具有一定的抽象性和概括性，它强调的是一种意识和观念。对于初中学生来说，这个年龄段正是由形象思维向抽象的逻辑思维过渡的阶段，虽然初步具有了简单的逻辑思维能力，但是还缺乏主动性和能动性。因此，在数学教学活动中，必须注意数学思想方法的教学规律。

(一)深入钻研教材，将数学思想方法化隐为显

首先，教师在备课时，要从数学思想方法的高度深入钻研教材，数学思想方法既是数学教学设计的核心，同时又是数学教材组织的基础和起点。通过对概念、公式、定理的研究，对例题、练习的探讨，挖掘有关的数学思想方法，了然于胸，将它们由深层次的潜形态转变为显形态，由对它们的朦胧感受转变为明晰、理解和掌握。一方面要明确在每一个具体的数学知识的教学中可以进行哪些思想方法的教学;另一方面，又要明确每一个数学思想方法，可以在哪些知识点中进行渗透。只有在这种前提下，才能加强针对性，有意识地引导学生领悟数学思想方法。

(二)学生主动参与教学，循序渐进形成数学思想方法课堂教学活动中，倡导学生主动参与，重视知识形成的过程，在过程中渗透数学思想方法。

概念教学中，不要简单地给出定义，要尽可能完整地再现形成定义之前的分析、综合、比较和概括等思维过程，揭示隐藏其中的思想方法。

定理公式教学中，不要过早地给出结论。要引导学生亲自体验结论的探索、发现和推导过程，弄清每个结论的因果关系，体会其中的思想方法。

在掌握重点，突破难点的教学活动中，要反复向学生渗透数学思想方法。数学教学中的重点，往往就是需要有意识地揭示或运用数学思想方法之处;数学教材中的难点，往往与数学思想方法的更新交替、综合运用，或跳跃性大等有关。因此，在教学活动中，要适度点拨或明确归纳出所涉及到的数学思想方法。

第9篇：分类讨论的数学思想方法范文

一、初中数学教学内容的层次

初中数学教学内容从总体上可以分为两个层次:一个为表层知识,另一个为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能,深层知识主要指数学思想和数学方法。

表层知识是深层知识的基础,是教学大纲中明确规定的、教材中明确给出的、具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习,在掌握和理解了一定的表层知识后,才能进一步地学习和领悟相关的深层知识。

深层知识蕴含于表层知识之中,是数学的精髓,教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识,让学生在掌握表层知识的同时领悟到深层知识,这样才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”,从而使学生脱离“题海”之苦,更富有创造性。

二、初中数学蕴含的主要数学思想

初中数学中蕴含的数学思想方法很多,最基本的数学思想方法有化归的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、方程的思想、函数的思想等,突出了这些基本思想方法,就相当于抓住了初中数学知识的精髓。

1.化归的思想方法

“化归”就是转化和归结,它是解决数学问题的基本方法。在解决数学问题时,人们常常是将需要解决的问题通过某种转化手段归结为另一个相对较容易解决或者已经有解决程式的问题,以求得问题的解答。

初中数学处处都体现出化归的思想,如化繁为简、化难为易、化未知为已知、化高次为低次等,它是解决问题的一种最基本的思想。在具体内容上,化归思想有加法与减法的转化,乘法与除法的转化,乘方与开方的转化,添加辅助线,增设辅助元,等等。因此,在教学中教师首先要让学生认识到,常用的很多数学方法实质上就是转化的方法,使学生确信转化是可能的,而且是必须的。其次要结合具体教学内容进行有意识的训练,使学生掌握这一具有重大价值的思想方法。在具体教学过程中教师要设出问题让学生去观察,探索转化的路子。例如在求解分式方程时,我引导学生运用化归的方法,将分式方程转化为整式方程,进而求得分式方程的解。

2.数形结合的思想方法

数形结合的思想可以使学生从不同的侧面理解问题,加深对问题的认识,提供解决问题的方法,有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。

运用数形结合的思想方法思考问题,能把抽象的数量关系变为形象的直观几何,也能把几何图形问题转化为数量关系问题去解决。教师引导学生通过数形结合的数学思想方法来学习相反数、绝对值的定义、有理数大小比较的法则、函数等,可以大大减轻学生学习这些知识的难度。教师要将数形结合思想的教学贯穿于整个数学教学的始终。

3.分类讨论的思想方法

“分类”源于生活,分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法,也是研究数学问题的重要思想方法。

从整体布局上看,初中数学分代数、几何两大类,采用不同方法进行研究,就是分类思想的体现;从具体内容上看,实数的分类、式的分类、三角形的分类、方程的分类、函数的分类等等,也是分类思想的具体体现。教师对学习内容进行分类,可以降低学习难度,增强学习的针对性。在教学过程中教师应启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类,帮助他们掌握好分类的方法原则,形成分类的思想。如当a取任意实数时,对|a-3|的值的分类讨论:当a≥3时,|a-3|=a-3;当a≤3时,|a-3|=3-a。

4.函数的思想方法

函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映。

教师要重视函数的思想方法的教学。初中代数中的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数虽然安排在初三学习,但教材中函数思想从初一就已经开始渗透。这就要求教师在教学上要有意识、有计划、有目的地对学生进行函数思想方法的培养。

例如用直角三角形边与边的比值定义的锐角三角函数;在直角坐标系中,由角的终边上一点引出的三个量x,y,r中任意两个量之比定义任意角的三角函数,等等。这一系列的知识体系,自始至终贯穿了函数、映射、对应的数学思想方法。

当然,初中数学学习的思想方法还有很多,像观察与实验、分析与综合、归纳与类比、讨论的思想方法、几何变换的思想方法,等等。教师在教学实践中应立足于数学思想方法的教学,充分挖掘教材中的数学思想方法,有目的、有意识、有计划地渗透、介绍和强调数学思想方法,减少盲目性和随意性。教师要精心设计每一个单元、每一堂课的教学目标和问题提出、情景创设等教学过程的各个环节。教师只有让学生掌握了这把金钥匙,才能使学生学好数学、提高数学素养、增强创新意识、提高创新能力。

三、数学思想方法的教学模式