讨论单调性的步骤精选(九篇)

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第1篇：讨论单调性的步骤范文

关键词：导数 特点 方法规律 破解

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2015）11-0138-02

导数是微积分中的重要基础概念，有是高中数学的新增内容之一，在高中阶段的引入意义深远，利用导数既可从更深的角度来研究函数性质，又可更广泛地联系其他学科，体现数学学科的基础性。

从近几年高考来看，该部分高考命题有以下特点：从内容上看，考查导数主要有三个层次：①导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义;②导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等;③导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题.从特点上看，高考对导数的考查有时单独考查，有时在知识交汇处考查，常常将导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等结合在一起考查.从形式上看，考查导数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现.

考点一 导数的运算及几何意义

例1、直线 是曲线y= 的一条切线，则实数b=

破解 设切点坐标为（x0，y0），则 = = ，所以x0=2，y0= ，

又 切点也在直线y= x+b上， 则b= -1.

[方法规律]

求曲线y= 的切线方程的类型及方法.

（1）已知切点P（x0，y0），求切线方程;

（2）已知切线的斜率k，求切线方程;

（3）已知切线上一点（非切点），求切线方程.

考点二 利用导数研究函数的单调性

例2、设函数 = + ，其中a为常数.

（1）若 ，求曲线y= 在点（1， ）处的切线方程;

（2）讨论函数 的单调性.

破解 （1）由题意知 时，此时 = .可得 = ，又

f（1）=0，

所以曲线y= 在（1，f（1））处的切线方程为x-2y-1=0.

（2）函数 的定义域为（0，+∞）.

当a≥0时， ，函数 在（0，+∞）上单调递增.

当a<0时，令g（x）= ，由于Δ= ，

①当a=- 时，Δ=0， ，函数 在（0，+∞）上单调递减

②当a<- 时，Δ<0，g（x）<0， ，函数 在（0，+∞）上单调递减.

③当- 0时，Δ . 设 是函数 的两个零点，

所以x∈（0，x1）时， <0， <0，函数 单调递减;x∈（x1，x2）时， >0， >0，函数 单调递增;x∈（x2，+∞）时， <0，

<0，函数 单调递减.

综上可得：当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增;

当a≤- 时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减;

当 时， 在 ，

上单调递减，在 上单调递增.

[方法规律]

利用导数研究函数单调性的一般步骤

（1）确定函数的定义域.

（2）求导数 .

（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数 的定义域内解（或证明）不等式 >0或 <0即可;②若已知 的单调性，则转化为不等式 ≥0或 ≤0在单调区间上恒成立问题求解.

考点三 利用导数研究函数的极值与最值

例3、已知函数 的导函数 为偶函数，且曲线 在点（0， （0））处的切线的斜率为4-c.

（1）确定a，b的值;

（2）若c=3，判断 的单调性;

（3）若 有极值，求c的取值范围.

破解 （1）对 求导得 ，由 为偶函数，知

= ，

所以a=b.又f′（0）=2 +2b-c=4-c 故a=1，b=1.

（2）当c=3时，f（x）=e2x-e-2x-3x，

那么 =2e2x+2e-2x-3≥2 -3=1>0，故 在R上为增函数.

（3）由（1）知 =2e2x+2e-2x-c，而2e2x+2e-2x≥2 =4，当x=0时等号成立

下面分三种情况进行讨论.

当c<4时，对任意x∈R， =2e2x+2e-2x-c>0，此时 无极值;

当c=4时，对任意x≠0 =2e2x+2e-2x-4>0，此时 无极值;

当c>4时，令e2x=t，注意到方程2t+ -c=0有两根t1，2= >0，

即 =0有两个根x1= lnt1或x2= lnt2.

当 时， <0;又当 时， >0，从而 在

处取得极小值.

综上，若 有极值，则c的取值范围为（4，+∞）.

[方法规律]

（1）求函数y= 在某个区间上的极值的步骤：

第一步：求导数 ;

第二步：求方程 =0的根x0;

第三步：检查 在 左、右的符号

（2）导数值为0的点不一定是函数的极值点，它是函数在该点取得极值的必要而不充分条件.

（3）求函数 在区间[ ，b]上的最大值与最小值的步骤：

第一步：求函数 在区间（ ，b）内的极值（极大值或极小值）;

第二步：将 的各极值与 ， 进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

考点四 定积分及应用（理）

例4直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为

A.2 B.4 C.2 D.4

破解 首先求出两曲线的交点，画出图形，确定出被积函数，再用积分求出面积.

令4x=x3，解得x=0或x=±2，

S=错误！（4x-x3）= =8-4=4， 故选D.

[方法规律]

（1）求函数 在某个区间上的定积分，关键是求出满足 的原函数 ，要正确应用定积分的性质，正确运用求导运算与求原函数

的运算互为逆运算的关系.如果被积函数为分段函数，那么需要根据公式

第2篇：讨论单调性的步骤范文

一、得分技巧

1.中等偏下学生,记住公式,求导得分.

导数问题虽然是压轴题,但他的第一个问通常是在含参数的前提下求单调区间,求极值的问题,只要有函数,就一定要求导,求导时会应用的公式为

①相乘形式的函数导数的求法,即(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x))

②自然对数的导数,指数函数的导数,三角函数的导数,即(lnx)′=■,(ex)′=ex,(sinx)′=cosx,(cosx)′=－sinx

所以作为中等偏下学生只要记住以上几个公式,就可以得到这道高考题的2分左右.

2.中等学生注意定义域,利用导数的恒成立,解决第一问.

高考中的导数大题一定是含参数的,我们会在参数参与的前提下求解点调区间,或极值问题,这就需要对参数的取值范围进行讨论.

例如1:2011辽宁卷文科22题第一问

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

在对函数求导后得到,f′(x)=■+2ax=■,

在定义域为(0,+∞)的前提下,导数的分子为最高次项含参数的一个新函数g(x)=2ax2+a+1,而当a≥0时,函数g(x)≥0恒成立.所以得到了第一种情况的单调性.同时,第一种情况中a≥0这个范围的出现也给下面的讨论提供了范围依据,接下来再在a

这道题是利用导数与0之间存在某种可确定大小关系的可能性,先分析出导数大于0或小于0恒成立的参数的取值范围,得到单调性的第一个结论,再在参数的其他范围内,对导数与0所构成的不等式进行求解,从而得到第一个问的结论.

3.上中等学生常回顾,利用本题曾经获得的结论,构造函数争取满分.

高考中导数问题一般为两个问,第一个问以讨论函数的单调性居多,第二个问多为不等式的恒成立问题,第二个问的不等式的求解过程中常常要用到第一个问曾经获得的结论,所以在解题时要时刻回顾,寻找可利用的依据.

二、解题技巧

在对最近五年高考题的整理中，我发现，导数问题在解法上还是有一定的规律可查的。

具体规律有以下几个：

(1)求导后导数的几个固定形式：①含分母的导数形式f(x)=■ ，此类导数是由含有lnx的函数求导得到的，所以定义域为(0,+∞)，此时导数的正负与分母无关，只要研究分母g(x)=mx2+nx+p，分m=0 及m≠0时与0的关系即可.②含ex的导数形式，此类导数的原函数若为相乘形式的函数，则提取ex，导数的正负与ex无关，若只有个别式子含有ex则考虑二次求导。③含三角函数的导数形式，利用三角函数的有界性。

（2） 二次求导的使用。

高考题中有时会涉及到二次求导的使用.

如2010课标卷第21题

设函数f(x)=ex－1－x－ax2。

（1）若a=0，求f(x)的单调区间；

（2）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围

在(2)问中,一阶求导后,f′(x)=ex－1－2ax,而这一函数仍为超越函数,要研究原函数的单调性,我们还是无从下手,所以用二阶求导,令g(x)=f′(x),则g′(x)=ex－2a ,此时,由已知x≥0,所以ex≥1,即2a与1的大小关系是二阶导数与0的关系讨论的依据,而二阶导数与0的关系决定一阶导数的单调性,一阶导数若单调的话,则一定有f′(x)≥(≤)f′(0)=0恒成立,即获得了原函数得单调性.

考虑会用到二阶求导,是当一阶导数仍为超越函数,无法直接研究原函数的单调性.

(3)恒成立的应用.恒成立是导数问题中永恒的话题.归结为一句话就是恒成立即为求最大值与最小值问题,所以是导数应用的一个最重要的体现.在导数问题中,几乎所有的最后一问都要涉及到这类恒成立问题.

如2011年北京卷第18题

已知函数f(x)=(x－k)■e■.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若对于任意的x∈(0,+∞)，都有f(x)≤■，求k的取值范围；

即为证明f(x)■≤■即可.

如2010课标卷第21题

设函数f(x)=ex－1－x－ax2。

(1)若a=0，求f(x)的单调区间；

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.

第3篇：讨论单调性的步骤范文

23.求的值；24.设公路与曲线相切于点，的横坐标为．请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．分值: 12分 查看题目解析 >21已知定义为的函数满足下列条件：①对任意的实数都有：；②当时，．25.求；26.求证：在上为增函数；27.若，关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．分值: 12分 查看题目解析 >22已知函数．28.设是函数的极值点，求并讨论的单调性；29.设是函数的极值点，且恒成立，求的取值范围（其中常数满足）．22 第(1)小题正确答案及相关解析正确答案

，在单调递减，在单调递增；解析

，因为是函数的极值点，所以，所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．2分当时，，所以，当时，，所以，所以在单调递减，在单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分考查方向

本题主要考查函数的极值点以及函数的单调性。解题思路

先对函数求导，根据极值点处的导函数为零，求出m的值；然后对函数求导，对x分类，当；当时，确定函数单调性。易错点

函数单调性的讨论22 第(2)小题正确答案及相关解析正确答案

．解析

，设，则，所以在单调递增，即在单调递增．由于是函数的极值点，所以是在的零点，所以…………………………………………………………6分由于时，；当时，，所以函数在单调递减，在单调递增………………………………8分且函数在处取得最小值，所以，因为恒成立，所以………………………………………………9分，即．又因为，故可解得…………………………………………………………11分所以，所以，即的取值范围是……………………………………………………12分考查方向

本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想.解题思路

第4篇：讨论单调性的步骤范文

【关键词】高中数学 复合函数 解法 应用

1.定义

复合函数： 一般来说，如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f（u），u=g（x）， 那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做f和g的复合函数.其中u叫做中间变量.

例如： f（x） = 3x+5， g（x） = 2x+1；复合函数f（g（x））即把f（x）里面的x换成g（x）， f（g（x）） = 3g（x）+5 = 3×（2x+1）+5 = 6x+8.

2.定义域

若函数y=f（u）的定义域是B﹐u=g（x）的定义域是A﹐则复合函数y=f[g（x）]的定义域是： D={x|x∈A，且g（x）∈B}.

3.复合函数——奇偶性

复合函数的性质与构成与它的函数的性质密切相关，其规律可列表如下： 若函数f（x）， g（x）， f[g（x）] 的定义域都是关于原点对称的，那么由u=g（x）， y=f（u） 的奇偶性得到y= f[g（x）] 的奇偶性的规律是：即当且仅当 u=g（x）和 y=f（x） 都是奇函数时，复合函数y=f[g（x）] 是奇函数. 若u=g（x）或y=f（x）中只要有一个为偶函数，则复合函数y=f[g（x）] 是偶函数。

4.复合函数——单调性

若函数u=g（x），在区间[a，b]上是单调函数， 函数y=f（u）在[g（a），g（b）]或[g（b），g（a）]上也是单调函数，那么复合函数y=f[g（x）]在区间[a，b]上是单调函数，其单调性规律是：

即u=g（x），y=f（u）增减性相同时，y=f[g（x）]为增函数，当u=g（x），y=f（u）增减性相反时，y=f[g（x）]为减函数。

5.解法精选

5.1 求复合函数的定义域。

例1：已知f（x）的定义域为（1，2] ，求函数y=f（1+x2） 的定义域。

分析：由已知函数的定义域，求复合函数的定义域，只须将所求式中括号内的式子看成已知式中的x，再解不等式，求出其定义域。

解：由1≤1+x2

|x|

函数y=f（1+x2）的定义域为（-1，1）

例2：已知y=f（x2-2x-1）的定义为（0，3] ，求函数f（x） 的定义域。

分析：由复合函数的定义域，求原来函数的定义域，只要根据x的范围确定复合函数中间变量的范围即可。

解：设u=x2-2x-1，则u=（x-1）2-2. 当0

函数y=f（x2-2x-1）的定义域为[-2，2]

5.2 确定复合函数的值域。

求复合函数y=f[φ（x）] 的值域，实际上是在函数的定义域上先求出u=φ（x） 的值域，以确定y=f（x） 的定义域，再求出函数y=f（x） 的值域（对于两重以上的复合函数仍按此法依次进行）。

例：求函数y=11-x2-4x+13 的值域.

解：设t=x2-4x+13，v=t，u=1-v，则 y=1u

由t=（x-2）2+9≥9 得v≥3

-v≤-3 ≤-2

由反比例函数的图象可知-12≤y

函数y=11-x2-4x+13的值域为[-12 ，0）.

5.3 复合函数的解析式。

（1）已知内层与外层函数，求复合函数。

例1：已知f（x）=3x2-x-1，g（x）=2x+3，则f[g（x）] .

解： f[g（x）]=3[g（x）]2-g（x）-1

=3（2x+3）2-（2x+3）-1

=12x2+34x+23

点拨：解决这类问题，一般用代换法将外层函数的自变量用内层函数表示。

（2）已知内层函数及复合函数，求外层函数。

例2：设f（x-1）=2x2-3x，求f（x）。

解法1：设t=x-1，则x=t+1代入原式得：

f（t）=2（t+1）2-3（t+1）=2t2+t-1

所以f（x）=2x2+x-1.

解法2：f（x-1）=2x2-3x=2（x-1）2-3x+4x-2

=2（x-1）2+（x-1）-1

所以f（x）=2x2+x-1.

5.4 求复合函数的单调区间。

例1：求函数y=log12（x2+2x-3） 的递增区间.

解： 由x2+2x-3>0解得函数的定义域为{x|x1|}

设u=x2+2x-3，则y=log12u

y=log12u是（0，+∞）上的减函数.

由复合函数的单调性可知：

u=x2+2x-3（x1）的递减区间就是函数

y=log12（x2+2x-3）的递增区间

u=（x+1）2-4

当x≤-1时，u=x2+2x-3是减函数.

{x|x1}∪{x|x≤-1}={x|x

函数y=log12（x2+2x-3）的递增区是（-∞，-3）.

例2：已知函数y=f（x）与y=g（x）的定义域都是R，值域分别是（0.+∞）与（-∞，0） ，在R上f（x）是增函数而g（x）是减函数，求证：F（x）=f（x）·g（x）在R上为减函数.

分析：证明的依据应是减函数的定义.

证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1

则F（x1）-F（x2）=f（x1）g（x1）-f（x2）g（x2）

=f（x1）g（x1）-f（x1）g（x2）+f（x1）g（x2）-f（x2）g（x2）

=f（x1）[g（x1）-g（x2）]+g（x2）[f（x1）-f（x2）]

f（x）是R上的增函数，g（x）是R上的减函数，且x1

f（x1）g（x2）即f（x1）-f（x2）0.

又f（x）的值域为（0，+∞），g（x）的值域为（-∞，0），

f（x1）>0，g（x2）

F（x1）-F（x2）>0即F（x1）>F（x2）

F（x）在R上为减函数.

小结：此题涉及抽象函数的有关证明，要求较高，此外在F（x1）-F（x2） 的变形中涉及到增减项的技巧，它也应是源于单调性只能比较同一个函数的某两个函数值，必须构造出f（x1） 与f（x2）的差和g（x1）与g（x2）的差。

5.5 奇偶性与单调性。

深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象是高考的重点内容之一。

设a>0，f（x）=exa+aex 是R上的偶函数，（1）求a的值；（2）证明： f（x）在（0，+∞）上是增函数.

案例探究

[例1]已知函数f（x）在（-1，1）上有定义，f（12）=-1，当且仅当0

（1）f（x）为奇函数；（2）f（x）在（-1，1）上单调递减.

命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力。属题目。

知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想。

错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得。

技巧与方法：对于（1），获得f（0）的值进而取x=-y是解题关键；对于（2），判定x2-x11-x1x2 的范围是焦点。

证明：（1）由f（x）+f（y）=f（ ），令x=y=0，得f（0）=0，令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（ ）=f（0）=0.f（x）=-f（-x）.f（x）为奇函数.

（2）先证f（x）在（0，1）上单调递减

令0

00，

又（x2-x1）-（1-x2x1）=（x2-1）（x1+1）

x2-x1

即f（x2）

f（x）在（0，1）上为减函数，又f（x）为奇函数且f（0）=0.

f（x）在（-1，1）上为减函数.

例2：设函数f（x）是定义在R上的偶函数，并在区间（-∞，0）内单调递增，f（2a2+a+1）

命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法。本题属于级题目。

知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题。

错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱。

技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法。

解：设0

f（-x2）

f（x2）

又2a2+a+1=2（a+14）2+78>0，3a2-2a+1=3（a-13）2+23>0.

由f（2a2+a+1）3a2-2a+1.解之，得0

又f（2a2+a+1）3a2-2a+1.解之，得0

又a2-3a+1=（a-32）2-54.

函数y=（12 ）a2-3a+1 的单调减区间是[ 32，+∞]

结合0

本难点所涉及的问题及解决方法主要有：

（1）判断函数的奇偶性与单调性。

若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性。

若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性。

同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一。

复合函数的奇偶性、单调性。问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数。

（2）加强逆向思维、数形统一，正反结合解决基本应用题目。

5.6 复合函数的导数。

关于复合函数的导数，要理解法则，掌握步骤，善于应用。

（1）法则：y'x = y'u ·u'x 。

（2）步骤：分解——求导——回代（熟练后可省写步骤）。

（3）应用：能对复合函数求导；能解有关的应用问题。

例1：求y =sin4x +cos 4x的导数.

【解法一】y =sin 4x +cos 4x=（sin2x +cos2x）2-2sin2cos2x

=1- 12sin22 x

=1-14 （1-cos 4 x）

=34 +14 cos 4 x.y′=-sin 4 x.

【解法二】y′=（sin 4 x）′+（cos 4 x）′=4 sin 3 x（sin x）′+4 cos 3x （cos x）′=4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x （-sin x）=4 sin x cos x （sin 2 x -cos 2 x）=-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x

【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确。解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步。

例2：曲线y =x（x +1）（2-x）有两条平行于直线y =x的切线，求此二切线之间的距离。

【解】y =-x 3 +x 2 +2 x y′=-3 x 2+2 x +2

令y′=1即3 x2-2 x -1=0，解得 x =-13 或x =1.

于是切点为P（1，2），Q（-13 ，-1427 ），

第5篇：讨论单调性的步骤范文

一、以小题形式呈现基本知识，逐个击破知识点

这一阶段复习的基本方法是从小到大，先细后粗，把教学中的每一个知识点细化成对应的题目，让学生从问题中发现知识的漏

洞.同时，还要重点强化基本方法和解题步骤的规范性练习.例：教学引入部分。

1.问题探究

问题1：判断函数单调性的方法有哪些？

问题2：在区间（a，b）内，函数y=f（x）的单调性与其导数f′（x）的正负关系：

如果______________________________，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增.

如果______________________________，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减.

如果______________________________，那么函数y=f（x）在这个区间内为常数.

2.基础自测

（1）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如左图所示，则y=f（x）的图象最有可能是（ ）

（2）函数f（x）=x-lnx的单调递减区间为 .

（3）函数f（x）=x3-15x2-33x+6的单调增区间为

.

3.知识梳理

求函数单调区间的步骤 .

二、精选高考题作为例题精讲，突破难点

重视高考试题的研究是高三教学的一个重要环节，充分有效

地利用高考题也是一个值得深入探究的课题.在教学过程中，把紧扣教学重难点的高考题作为例题详细讲解，或可以稍加变形加以

应用，或作为变式给学生尝试、讨论，都是很好的教学手段.

三、及时进行课堂反馈，查漏补缺

数学课的教学设计不在于多么精美复杂，而在于真正脚踏实

地地让学生获得数学思想和方法.在课堂教学最后，及时进行教学反馈是切实必要的.利用课上10分钟左右的时间，进行相关知识点的考查，既可以及时发现本节课存在的问题，又为下节课的教学设计引入新的问题做必要的思考.

著名教育学布鲁纳说过：“知识的获得是一个主动过程，学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者.”

第6篇：讨论单调性的步骤范文

一、抽象函数定义域

所谓抽象函数是指用f（x），g（x）或F（x），G（x）等表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，这类函数求定义域关键是对定义域概念的真正理解.

例1：已知函数f（x）的定义域为[0，4]，求f（x2）的定义域.

解析：注意在对应法则f下，函数f（x2）中x2 的范围与函数f（x）中x的范围相同.

解答：函数f（x）的定义域为[0，4]，

，

f（x）的定义域为[-2，2].

误区警示：误认为f（x2）的定义域是[0，16]，同时易漏掉x+1>0这一限制.

二、定义域与函数值域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例2：求函数 的值域.

换元法（代数换元法）：令 则

原函数可化为

原函数值域为 .

上例说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

三、定义域与函数奇偶性

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例3：判断函数 的奇偶性.

解：

定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称

函数 是非奇非偶函数.

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

函数 是奇函数.

错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

四、定义域与复合函数单调性

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4：指出函数f（x）=log4（-x2+2x+3）的单调区间.

解：先求定义域：

由-x2+2x+3>0，

得-1

令g（x）=-x2+2x+3.

则g（x）在（-∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减，

又y=log4x在（0，+∞）上递增，

所以f（x）的单调递增区间是（-1，1），递减区间是（1，3）.

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）、奇偶性、单调性等问题中，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

参考文献：

第7篇：讨论单调性的步骤范文

关键词：高考；解答失误；教学建议

笔者有幸参与了2016年四川数学高考阅卷工作，u阅理科21题. 从试题来看，第（1）问（满分5分）较为简单，命题者有送分之意，体现了命题专家们对考生的人文关怀；第（2）问（满分9分）尽管难度较大，但解答方法却较为常规. 从阅卷场反馈的信息看，全省理科考生30余万，平均得分约3.28分，试题难度约为0.24，近4万考生得0分，约40位考生得满分，试题0分率高达13.3%，满分率仅仅约为0.013%，这显然与“关怀”和“常规”不相符合. 因此，对考生解答失误的分析显得尤为重要. 从阅卷分析来看，考生的解答失误可归结为四类：心理性失误、解题规范性失误、知识性失误、思维性失误. 下面，笔者重点分析这四类解答失误，并给出教学建议.

一、试题及标准答案

【试题 】（2016年四川高考理科21题）设函数f（x）=ax2-a-lnx其中a∈R.

（I）讨论f（x）的单调性；

二、解答失误分析

（一）心理性失误

心理性失误主要指数学焦虑造成的失误.亨布里研究表明：数学焦虑与积极的数学学习态度之间呈负相关[1].苏恩和爱德华认为，数学焦虑是数学学习的一种重要非智力因素，它会导致学生逃避数学，造成数学学业成绩低落.21题是整张试卷的压轴题，而考生面对压轴题往往会有紧张的情绪，尤其会给基础不太好的学生造成焦虑甚至恐惧.

失误 1 直接放弃

从考后访谈学生来看，大部分放弃21题的考生缺乏解答压轴题的心理准备，没有信心，逃避压轴题.事实上，从评分标准来看，只要考生正确求出f'（x）=2ax-即可得1分.

失误2 抄写错误

许多考生由于心理紧张，将字母、符号抄写错误造成严重丢分.比如：把抄成；把f（x）=ax2-a-lnx抄成f（x）=ax2-ax-lnx等等.

失误3 漏看条件

漏看条件主要指审题时由于紧张等原因导致题中部分条件没有看到.比如：试题中函数的定义域为（0，+∞），而考生漏掉lnx中隐含条件x>0，错误认为定义域为R.

（二）解题规范性失误

解题规范是解题的基本要求，同时是影响学业成绩的重要因素.解题规范包括书写规范和解题过程规范（表述规范、推理规范等等）.“会而不对、对而不全”往往是解题规范性失误所致.

失误4 书写失误

书写失误具体表现在：

①不用指定笔答题；

②字迹潦草、乱涂乱画；

③不在指定区域作答.

失误5 符号乱用

失误14 思维僵化

思维僵化与思维灵活相对，主要表现为思维的封闭性、惰性、僵化性.思维的封闭性主要指仅用熟悉的办法处理问题，把思维禁锢在有限的知识板块，相当局限、保守；思维的惰性指习惯于用老眼光看待数学问题，希望所有问题都用老办法处理；思维的僵化性指一味模仿已有模型、机械模仿套用模型.

比如：讨论f（x）的单调性：？坌x1，x2∈（0，+∞），且x10，f（x）在（0，+∞）内单调递减；当a>0时，很难判断单调性.

失误之处在于思维僵化：一味套用高一学的证明函数单调性的套路，放弃导数这一有力工具.

失误15 逻辑错误

数学具有严密的逻辑体系.逻辑性错误是数学认知结构不完善的常见错误之一.解题过程中导致违反逻辑思维规律的认知盲点不仅仅是数学知识，而在于逻辑，常见的逻辑错误有：偷换概念、偷换论题、自相矛盾、虚假理由、分类不当、因果倒置、循环论证、潜在假设等等.

比如：试题中a≥是恒成立的充要条件，而很多考生错误认为a≥是恒成立的必要条件，对充分性没有证明（充分性证明4分）.

三、 教学建议

（一）缓解焦虑情绪

“焦虑指个人预料会有某种不良后果或模糊性威胁将出现时产生的一种不愉快的情绪.其具体表现通常是紧张不安、忧虑、烦恼、害怕或恐惧.”[2]551理查森和苏恩将数学焦虑界定为：“在各种各样的一般生活和学习环境中，阻碍数字操作和数学问题解决的紧张和焦虑感.”[2]554研究表明，焦虑情绪与成绩的取得成负相关. 从21题的解答来看，得0分的4万余名考生中绝大多数存在焦虑情绪、缺乏解题的信心；对于得分较低、过失性得分较多的考生也存在不同程度的焦虑情绪. 因此，在备考过程中要疏导学生焦虑的情绪，树立积极、健康的应试心态.

（二）注重解题规范

高考采用网上阅卷，注重解题规范. 因此，教师要培养学生良好的书写习惯和规范的解题过程. 具体来讲应做到：书写工整、卷面整洁；层次分明、步骤完整；有理有据、逻辑严谨；表述准确、符号规范；简明扼要、找准区域.

（三）加深知识理解

数学知识分为陈述性知识、程序性知识和过程性知识.简单地说，陈述性知识是关于“是什么”的知识，程序性知识是关于“怎么做”的知识，过程性知识是一种内隐的、动态的知识[3].对知识的理解做到三个层面：准确记忆“是什么”、熟练掌握“怎么做”和灵活运用. 具体来讲应做到：准确记忆公式、法则、定理及成立条件；理解概念内涵和实质；掌握知识间的联系和逻辑关系. 正如张奠宙先生在《中国数学双基教学》一书中所讲：“记忆通向理解，严谨形成理性.”

（四）研究高考试题

绝大多数高考试题设计新颖，构思巧妙，集中体现了命题专家的智慧，是我们学习的典范.研究高考试题，是探求命题者的思维过程，更是复习备考中有的放矢的最佳途径.文中21题主要考查函数不等式恒成立问题，涉及的基本方法是“单调性+分类讨论”，一般要经历两个步骤：（1）找出并证明满足条件的a取值范围；（2）通过列举反例证明其余的a不满足条件.事实上，这一类问题一直都是高考考查的热点问题，比如：2006全国卷Ⅱ第20题、2007全国卷I第20题、2008全国卷2第22题、2010新课标卷第21题、2011新课标第21题、2013新课标第21题等等都是此类问题.但是如此常规的一类试题，从解答结果来看，学生对该类试题表现得十分陌生，得分不尽如人意.可见，复习备考中对高考试题的研究显得不足. 因此，笔者认为高考试题是高三复习备考的最佳素材，建议高三复习应以历年高考试题为蓝本展开.

参考文献：

[1] HEMBREE R. The nature， effects， relief of mathematics anxiety[J]. Journal for Research in Mathematics Education，1990，21（1）：33-46.

第8篇：讨论单调性的步骤范文

例14 （1） 若函数f（x）的定义域为［2，4］，求函数f（x+3）的定义域；

（2） 若函数f（x+3）的定义域为［2，4］，求函数f（x）的定义域.

解析 对于这类问题，首先必须弄清“什么是定义域”.定义域是自变量x的集合.

然后必须认清两个函数之间的联系，（）内的式子的范围应该保持一致.

因此在（1）中，函数f（x+3）必须满足2≤x+3≤4，所以x的范围即定义域为［-1，1］.

在（2）中，函数f（x+3）的定义域为［2，4］，即其中的2≤x≤4，所以5≤x+3≤7，所以函数f（x）的定义域为［5，7］.

提炼 知函数f（x）的定义域D，求函数f［g（x）］的定义域，就是求使g（x）∈D的x的取值范围；知函数f［g（x）］的定义域D，求函数f（x）的定义域，就是求在x∈D时，g（x）的值域.

（二） 抽象函数单调性、奇偶性综合问题

例15 已知函数f（x）的定义域D={x|x＞0}，对于任意的x，y∈D，满足f（xy）=f（x）+f（y）.若x＞1时，f（x）＞0，试判断f（x）的单调性.

解析 抽象函数的单调性一般用定义法判定.

设xy=x1，x=x2，然后利用f（x1）=f（x2）+f，结合条件“x＞1时，f（x）＞0”，设＞1，即x1＞x2，此时f＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在定义域D上为单调增函数.

提炼 要注意对条件中等式进行整理变形，同时考虑与不等关系结合，使得等式成为不等式，从而判断单调性.

例16 已知偶函数f（x）在区间（-∞，0］上是单调减函数，且f（1）=0，解不等式f（x+2）≤0.

解析 常规解题思路是分为x+2＜0和x+2≥0两种情况求解，但这样比较麻烦.

如果利用偶函数满足f（-x）=f（x）=f（|x|），则可以在变量为正数或0这个范围内求解.

因为偶函数f（x）在区间（-∞，0］上是单调减函数，所以f（x）在［0，+∞）上是单调增函数，所以由f（x+2）=f（|x+2|）≤0=f（1），则|x+2|≤1，所以-1≤x+2≤1，即-3≤x≤-1.

提炼 利用偶函数的性质f（-x）=f（x）=f（|x|）可以避免分类讨论.

（三） 值域（最值）求解中的数形结合问题

例17 函数y=|x+1|+|x-1|的值域为.

解析 将函数变形为y=-2x，x≤-1，2，-1＜x＜1，2x， x≥1，结合函数的图像（如图1），可知函数的值域为［2，+∞）.

提炼 充分利用函数图像，数形结合求值域.

例18 对a，b∈R，记max{a，b}=a，b≥b，b，a＜b，则函数f（x）=max{|x+1|，|x-2|}（x∈R）的最小值为.

解析 理解函数max{a，b}是求两个实数a，b中的较大值，显然函数f（x）是分段函数，因此应该利用函数的几何意义结合图像解决.如图2，得函数f（x）的最小值为.

提炼 利用数形结合可以简化求解过程，使得问题直观化.

（四） 方程求解中的数形结合问题

例19 若方程|2x-1|=m有且只有一解，则实数m的取值范围是.

解析 可以利用函数的性质进行分析，先进行去绝对值运算，再进行分类讨论得到结论.但这种方法过于繁琐.

如果作出函数y=|2x-1|的图像，然后研究图像与直线y=m的交点的情况，如图3，即可得到正确结论：m=0或m≥1.

提炼 利用图像交点个数来解决方程解个数的问题是常用方法.本题中主要运用指数函数的图像、绝对值运算与函数图像变化的关系，作出函数图像，简化了求解过程.需要提醒的是，对于区间端点要认真分析，防止出现遗漏或增根.

（五） 函数模型及其应用问题

数学建模能力是新课标重点强调的，在高考中也经常考查.常见的模型在前文已经指出，这里不再赘述.数学建模的过程一般有“建模―解模―答模”三个步骤，即从实际问题中来，利用数学知识解决后，再回到实际问题中去解决该问题的一个系统工程.

例20 某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图4，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图5.（注：利润与投资单位：万元）

（1） 分别写出将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

（2） 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元.

解析 （1） 设投资为x万元，A产品的利润为

f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，故可设f（x）=k1x，g（x）=k2.

由图4，5，知f（x）=x（x≥0），g（x）=（x≥0）.

（2） 设投入A产品x万元，则投入B产品10-x万元.

设企业利润为y万元，则y=f（x）+g（10-x）=x+（0≤x≤10）.

令=t，则y=+t=-t-2+（0≤t≤），故当t=时，ymax=，此时x=.

所以当投入A产品万元，投入B产品万元时，企业获得最大利润万元.

提炼 利用待定系数法确定函数模型，然后利用函数的知识解答实际应用问题，最后再回到问题中去提出解决问题的方案.

（一） 关于函数的定义域、值域

例21 若函数f（x）=lg（x2+x+k）的值域为R，求实数k的取值范围.

错解 由二次函数y=x2+x+k的判别式Δ=1-4k＜0，得k＞.

分析 将该问题与“若函数f（x）=lg（x2+x+k）的定义域为R，求实数k的取值范围”混淆.若是“定义域为R”的问题，就需要对于一切实数x满足x2+x+k＞0，所以Δ＜0.但该问题是“值域为R”.

正解 结合对数函数的性质，应该理解为“x2+x+k可以取得大于0的一切实数”，所以Δ≥0，故k的取值范围应为k≤.

提醒 对这类问题应注意正确理解题意，并利用转化与化归的思想解决.

（二） 关于函数的单调性

例22 已知函数y=loga（2-ax）在区间（0，1）上为单调减函数，求实数a的取值范围.

错解 由题意可知实数a＞0且a≠1，所以t=2-ax为单调减函数.又因为函数y=loga（2-ax）单调递减，所以y=loga t为单调增函数，所以a＞1.

分析 上述求解过程看似毫无漏洞，但析知条件“区间（0，1）”没有用到，可能会有疏漏.

正解 认真分析，对数函数的真数必须大于0，所以函数t=2-ax在区间（0，1）上必须大于0，所以有2-a×0≥0，2-a×1≥0，所以a≤2.综合上述求解过程，最终正确的答案应为1＜a≤2.

提醒 对单调性的讨论要在定义域内进行.

（三） 关于函数的奇偶性

例23 判断函数f（x）=的奇偶性.

错解 f（-x）==，所以f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），所以函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数.

分析 这里乍一看，分子为偶函数，分母既不是奇函数也不是偶函数，所以容易判断错误.同时，没有求解函数的定义域并判断是否关于原点对称.再者，通过特殊值举例可以发现f-=-f，

f-=-f，故有可能为奇函数.

正解 由1-x2≥0，|x-2|-2≠0，得函数的定义域为［-1，0）∪（0，1］.因此f（x）===，所以f（-x）==-f（x），所以函数f（x）是奇函数.

提醒 求解定义域是判定函数奇偶性不可或缺的环节，对于函数式的变形有着至关重要的影响，因此求解定义域应作为判定奇偶性的第一步骤.

（四） 关于指、对、幂函数的性质与应用

例24 已知a+lga=10，b+10b=10，求a+b的值.

错解 令10b=k，则b=lgk，因此k+lgk=10.又a+lga=10，可知a=k=10b.所以a+b=10b+b=10.

分析 显然，在由条件“k+lgk=10，a+lga=10”得“a=k”时，仅仅是从方程形式的一致性上得出该结论，逻辑不严密，需要进一步证明.

正解 令10b=k，则b=lgk，因此k+lgk=10.又a+lga=10.令f（x）=x+lgx，则f（k）=f（a）=10.又因为y=x和y=lgx均为增函数，所以f（x）在（0，+∞）上也为增函数，于是由f（k）=f（a），得a=k=10b.所以a+b=10b+b=10.

1. 函数y=log3-x的定义域是.

2. 函数y=log2（-x2+2x+3）的值域是.

3. 已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，且在［0，+∞）上是增函数，若f（-2）＜f（1），则实数x的取值范围是.

4. 已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足关系式f（ab）=af（b）+bf（a）.判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论.

5. 试判断函数y=+的奇偶性，并求解该函数的单调区间.

第9篇：讨论单调性的步骤范文

一、探究的真与假

真正的探究有一定的形式但并不强调过程的完整，其核心本质是自主解决问题，其结果是学生通过探究的自主发现和自主构建. 但目前的教学中很多教师为了表现探究的形而忽略探究的质，往往把高中学生婴儿化，以致学生早就理解掌握的问题还进行不必要的讨论和探究，这就是典型的假探究，是有探究的外形而没有探究本质的表面现象. 高中数学课程中的知识、方法和生活的贴近为探究提供了大量的素材，怎样才能组织起真正的探究式教学是作为一名数学教师必须面对的课题．

1. 探究教学要有适当的形式

探究性教学，是指在教师的指导下，学生像“数学家”一样主动参与到发现问题、研究问题、解决问题并在探究过程中获取知识、发展技能、培养能力的教学活动. 它的基本教学模式是：“情景—探究—建构”、 “情景—问题—探究”和“情景—问题—探究—开发”等教学模式．

案例1 函数单调性探究片段

师：我们已经学过反比例函数y=，可以由图象判断它的减区间，请你们画出其图象观察．

（学生动手很快就画出了其函数的图象）

师：请描述这个函数的单调区间和单调性．

生：在（-∞，0）、（0，+∞）上是减函数．

师：请证明得到的结论．

在这个案例中学生也有动手操作、观察思考和逻辑证明，但这些不是基于学生自然合理地提出问题、解决问题、解析和拓展结果以及对活动过程中进行反思和概括的自觉运用，各种推理的运用不是自主的，而是零碎的，因此这种探究活动是有形式但是没有突出其本质．

2. 真正的探究需要有学生自主解决问题的核心本质

要摈弃徒有形式的“假探究”，走向“真探究”，这就要确立学生在学习中的主体地位，确保学生在自主的探究过程中产生问题、提出问题、探究解决问题都经过自身足够强度的思维. 如有些教师在公开课时，情境设计问题提出都很到位，而在教学生思考回答问题时，学生在翻书寻找答案，任由学生拿书上的原话来糊弄，师生亦步亦趋把探究这场戏表演完毕. 对学生过于放松其实是放纵学生偷懒逃避思考. 这种只有探究的形式而没有充分积极引导学生发现和思考就不是真正的探究；又如实际的操作有时会遇到学生无法完成某一步骤，教师为了赶进度，把本来该让学生说的自己说了，该让学生做的自己做了，把各个步骤时间压缩，或者本应让学生自主完成的却拼命把思路往自己想说的话上引，一旦学生猜出就表扬学生，说远了就赶紧制止. 学生的探究活动变成猜测、迎合教师意图，失去思维独立性和失去思维能力. 这样的探究活动丢失了探究性学习强调自主性的基本内核，是一种异化的探究性学习，是一种“驯服了的探究性学习”. 教师过度控制“结构化”的探究减少了学生犯错误、走弯路、“浪费”时间的概率，同时也剥夺了学生从错误、挫折和弯路中学习的机会. 这样的形式空壳和表面的严格要求造成能力目标无法达成，更严重的是情感价值观目标丧失，会让学生误解科学和科学方法. 所以真正的探究是让学生有自主解决问题的本质，在探究活动中发展其推理能力. 如案例1中的探究活动可以改进为：①用教材中的例子：物理学中的波义耳定律p=（k是常数）告诉我们，对于一定量的气体，当V体积减少时，压强p就增大，试用函数的单调性证明. 然后顺势提出问题，这个反函数在（0，+∞）上是减函数，那么反比例函数y=（k是非零常数）在定义域上的单调性如何？（学生可能提出不合理猜想）引导学生选择合理例子（如函数y=）并研究其单调性；（在适当的情境中引导学生自然提出问题）②怎样研究函数y=的单调性？（确定定义域、画图象、找规律、根据定义证明）这样的探究就是真正自主解决问题，发展了学生的数学思维能力.

3. 真正的探究并不强调过程的完整性

有些教师以为探究式教学就该完成整个探究过程，因而对课堂探究耗时、耗力又没有立竿见影的效果望而生畏，认为与其浪费时间还不如自己讲. 其实，如果无法完成完整的探究活动，可以进行局部的探究. 所谓的局部探究所指的是根据教材的特点，围绕某个小专题或者是某个具体的数学问题，从一堂课中拿出5～10分钟时间，在教师的组织、引导下，让学生用自我探究与合作交流的方式进行学习，体验过程，获取知识，培养能力. 这样的局部探究小巧、灵活，容易操作，学生乐学．

二、探究的正与偏

优质的探究活动需要有良好的探究目的，要有准确的探究方向，引导学生探究应该探究的问题，而不能偏离方向探究不必探究、不适合探究、不值得探究的问题，并且探究要上升到内部的数学思维操作层面．

案例2 学习椭圆探究片段