分类讨论的方法精选(九篇)

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第1篇：分类讨论的方法范文

[TP12GW142。TIF，Y#]

例1 滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，沿一平台后水平飞离B点，地面上紧靠平台有一个水平台阶，空间几何尺度如图1所示，斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为μ。假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变。求：滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离s。

分析 本题平抛落点具有不确定性，需分类讨论。

由于试题中的相关条件是以字母呈现的，因此，随着物理量间关系的不同，滑雪者从B点开始做平抛运动会出现两种可能，一是vB比较小滑雪者将落在台阶上，二是vB比较大滑雪者将落在地面上。因此，求解必须分两种情况讨论，阐明两种情况对应的条件和结果。

解 设滑雪者质量为m，斜面与水平面夹角为θ，滑雪者滑行过程中克服摩擦力做功

[JZ]Wf=μmgcosθ・s+μmg（L-scosθ）=μmgL。

AB由动能定理mg（H-h）-Wf=[SX（]1[]2[SX）]mv2，

离开B点时的速度v=[KF（]2g（H-h-μL）[KF）]。

（1）设滑雪者离开B点后落在台阶上

[JZ][SX（]h[]2[SX）]=[SX（]1[]2[SX）]gt21，

[JZ]s1=vt1

可解得[JZ]s1=[KF（]2h（H-h-μL）[KF）]，

此时必须满足[JZ]H-μL

（2）当H-μL>2h时，滑雪者直接落到地面上，

[JZ]h=[SX（]1[]2[SX）]gt22，s2=vt2，

可解得[JZ]S2=2[KF（]h（H-h-μL）[KF）]。

[TP12GW143。TIF，Y#]

例2 如图2，质量为M、长为L、高为h的矩形滑块置于水平地面上，滑块与地面间动摩擦因数为μ；滑块上表面光滑，其右端放置一个质量为m的小球。用水平外力击打滑块左端，使其在极短时间内获得向右的速度v0，经过一段时间后小球落地。求小球落地时距滑块左端的水平距离。

分析 本题两物体停止运动的先后具有不确定性，需分类讨论。

试题的条件也是用字母呈现的，当小球离开滑块下落的同时，滑块作匀减速运动，一种可能是小球落地时滑块还在运动，第二种可能是滑块停止运动时小球还未落地。

解 小球下落前滑块的加速度

[JZ]a1=[SX（]μ（M+m）g[]M[SX）]，

滑块做匀减速运动，到小球开始下落时的速度

[JZ]v=[KF（]v20-2a1L[KF）]，

小球落地时间[JZ]t1=[KF（][SX（]2h[]g[SX）][KF）]，

小球离开滑块后，滑块的加速度a2=[SX（]μMg[]M[SX）]=μg，

按此加速度，滑块停止运动时间

[JZ]t2=[SX（]v[]a2[SX）]=[SX（][KF（]v20-2[SX（]μ（M+m）g[]M[SX）]L[KF）][]μg[SX）]。

（1）若小球落地时间大于或等于滑块停止时间，即

[JZ][KF（][SX（]2h[]g[SX）][KF）]≥[SX（][KF（]v20-2[SX（]μ（M+m）g[]M[SX）]L[KF）][]μg[SX）]，

则小球落地时距滑块左侧

[JZ]s=[SX（]v2[]2a2[SX）]=[SX（]v20[]2μg[SX）]-[SX（]（M+m）L[]M[SX）]。

（2）若小球落地时间小于滑块停止时间，即

[JZ][KF（][SX（]2h[]g[SX）][KF）]

则小球落地时距滑块左侧

[JZ]s=vt-[SX（]1[]2[SX）]a2t2=[KF（][SX（]2h[]g[SX）]v20-[SX（]4μ（M+m）Lh[]M[SX）][KF）]-μh。

[TP12GW144。TIF，Y#]

例3 1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如图3所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计。磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直。A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为+q ，在加速器中被加速，加速电压为U。加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。

实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制。若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为Bm、fm，试讨论粒子能获得的最大动能Ekm。

分析 本题条件Bm、fm所决定的Ekm具有不确定性，需分类讨论。

由Ek=[SX（]1[]2[SX）]mv2=[SX（]1[]2[SX）]m（2πR・f）2可知，粒子的最大动能取决于加速电场的频率，而加速电场的频率应等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即f=[SX（]qB[]2πm[SX）]，当磁感应强度为Bm时，加速电场的频率应为fBm≤fm，当 ≤ 时，粒子的最大动能由Bm决定。当fBm≥fm时，粒子的最大动能由fm决定。

解 （1）当fBm≤fm时，qvmBm=m[SX（]v2m[]R[SX）]，解得Ekm=[SX（]q2B2mR2[]2m[SX）]。

（2）当fBm≥fm时，vm=2πfmR，解得Ekm =2π2mf2mR2。

例4 甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。甲和他的冰车的质量共为M=30 kg，乙和他的冰车的质量也是30 kg。游戏时，甲推着一个质量为m=15 kg的箱子，和他一起以大小为v0=2。0 m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。[TP12GW145。TIF，Y#]若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度（相对于地面）将箱子推出，才能避免与乙相撞。

分析 本题最终甲和乙运动速度（大小、方向）具有不确定性，需分类讨论。

设甲推出箱子后的速度大小为v甲，乙接到箱子后的速度大小为v乙。v甲、v乙及其是否相碰情况列表（表1）分析如下。

[JZ][HT6]表1

[BG（！][BHDFG2，WK6，K10，K8W]

v甲[]v乙[]甲乙碰撞情况

[BHD]向左[]向右[]不相碰

[BH]0（静止）[]向右[]不相碰

[BHDG10，WK6，K18W]向右

[][ZB（][BHDG2，WK10，K8W]向左[]相碰

[BH]0（静止）[]相碰

[BHDG6，WK4，K14W]向右

[][ZB（][BHDG2，WK6，K8W]

v甲

[BH]v甲=v乙[]恰不相碰

[BH]v甲>v乙[]相碰[ZB）][ZB）][BG）F]

表中相关判断必须考虑系统动量守恒，系统总动量是向右的。

解 设箱子推出后其速度为v，甲孩的速度为v1，根据动量守恒可得

mv+Mv1=（m+M）v0（1）

设乙孩抓住箱子后其速度为v2，根据动量守恒可得

（m+M）v2=mv-Mv0（2）

刚好不相碰的条件要求 v1=v2（3）

由（1）、（2）、（3）三式可解得

v=[SX（]m2+2mM+2M2[]m2+2mM[SX）]・v0，

代入数值可得[JZ]v=5。2 m/s。

例5 如图5所示，A为放在水平光滑桌面上的长方形物块，在它上面放有物块B和C。A、B、C的质量分别为m、5m、m。B、C与A之间的静摩擦因数和滑动摩擦因数皆为0。1。K为轻滑轮，绕过轻滑轮连接B和C的轻细绳都处于水平位置。现用沿水平方向的恒定外力F拉滑轮，使A的加速度等于0。20g，g为重力加速度。在这种情况时，B、A之间沿水平方向的作用力的大小等于[CD#3]，C、A之间沿水平方向的作用力的大小等于[CD#3]，外力F的大小等于[CD#3]。

[TP12GW146。TIF，Y#]

分析 本题A、B、C三个物体相对运动关系具有不确定性，需分类讨论。

A、B、C的相对运动可以分以下几种情况：（1）A、B、C三物体相对静止；（2）A、B、C三物体均有相对运动；（3）B、C相对静止他们与A有相对运动；（4）A、C相对静止他们与B有相对运动；（5）A、B相对静止他们与C有相对运动；

现对几种情形逐一分析。

（1）假设该情形成立，对ABC整体，由牛顿第二定律F=7ma得F=1。4mg，对滑轮有F=2T，即T=0。7mg，对物体C，合力FC=0。2mg，可得A给C必须有向左的摩擦力f1=0。5mg，而AC间最大摩擦力为fCA=0。1mg，显然矛盾，即ABC不可能相对静止，情形1不可能。

（2）假设该情形成立，对A，fBA+fCA=maA，将fBA=0。5mg，fCA=0。1mg，maA=0。2mg代入，显然矛盾，即不可能出现ABC三物体均有相对运动，情形2不可能。

（3）由对情形2的分析可知，情形3也不可能。

（4）假设该情形成立，先讨论第一种可能性aAC>aB，对AC由牛顿第二定律：T-fAB=2maA，将fAB=0。5mg，maA=0。2mg代入得：T=0。9mg。对B由牛顿第二定律：T+fAB=5maB，解得：aB=0。28g>aAC，与假设矛盾，假设不成立；再讨论第二种可能性aAC

（5）假设该情形成立，合理的情景是C相对AB向右滑，对AB整体，由牛顿第二定律：T+fCA=6maA，其中，fCA=0。1mg，aA=0。2g，可解得T=1。1mg，对A，由牛顿第二定律：fBA+fCA=maA，解得fBA=0。1mgaA情形合理。根据以上讨论，情形5成立，而且是本题中ABC相对运动关系唯一存在的可能。

解 根据以上情形5的讨论，AC间摩擦力为滑动摩擦，大小为fAC=0。1mg，对B，由牛顿第二定律：T-fAB=5maA，解得fAB=0。1mg，即AB间为静摩擦力，A给B的静摩擦力方向向左。对滑轮，有F=2T=2。2mg。

[TP12GW147。TIF，Y#]

例6 如图6所示，待测区域Oxyz空间存在匀强电场和匀强磁场，根据带电粒子射入时的受力情况可推测其电场和磁场。已知粒子质量为m，电荷量为+q。当粒子以不同速度水平向右射入待测区域，刚进入时的受力大小均为F。现保持粒子进入待测区域时的速度大小为v0（不变），使粒子沿不同的坐标轴方向射入待测区域，粒子刚射入时的受力大小如表2所示（不考虑粒子受到的重力）。

请推测该区域中电场强度和磁感应强度的大小及可能的方向。

[JZ][HT6]表2

[BG（！][BHDFG2，WK6，K5＼。4W]

射入方向[]y[]-y[]z[]-z

[BHD]受力大小[][KF（]5[KF）]F[][KF（]5[KF）]F[][KF（]7[KF）]F[][KF（]3[KF）]F

[BG）F]

分析 本题电场强度E和磁感应强度B的大小、方向具有不确定性，需分类讨论。

根据题目提供的信息，按如下程序进行讨论。

（1）磁场方向平行于x轴。

由沿x 轴方向射入时的受力情况可知，粒子不受磁场力，B 必定平行于x 轴，方向有沿±x两种情况。

电场强度的大小 E =F/q，方向待进一步讨论。

（2）电场的z分量等于零。

由粒子沿±y进入，磁场力分别沿z轴的负方向和正方向，而粒子受电场力与磁场力的合力不变，故电场力的z分量必定为零，因此，电场E的z分量等于零。

（3）粒子沿±y或±z进入，磁场力f大小等于2F。

设B沿+x方向。

粒子沿±y进入或±z进入，磁场力大小均为f=qv0B，粒子沿±y进入时磁场力方向分别沿-z和+z；粒子沿±z进入时磁场力方向分别沿+y和-y；

设电场力的x、y分量分别为Fx、Fy。

当v0沿x方向时， F2x+F2y=F2，

当v0沿y方向时， F2x+F2y+f2=5F2（1）

解以上两式可得[JZ]f=2F。

（4）确定磁感应强度大小B=[SX（]2F[]qv0[SX）]。

由f=2F及f=qv0B可解得B。

（5）确定电场力的两个分力Fx=±[SX（][KF（]3[KF）][]2[SX）]F，Fy=[SX（]1[]2[SX）]F。

当v0沿+z方向时， F2x+（Fy+f）2=7F2（2）

当v0沿-z方向时， F2x+（Fy-f）2=3F2（3）

解（2）、（3）得Fx=±[SX（][KF（]3[KF）][]2[SX）]F，Fy=[SX（]1[]2[SX）]F。

（6）确定电场方向与x轴正方向的夹角为30°或150°。

由以上解得的Fx、Fy可作出图7所示矢量关系的平行四边形，容易得到电场E和x正方向的夹角α1=30°或α2=150°。

[TP12GW148。TIF，BP#]

（7）设B沿-x方向。确定电场方向与x轴正方向的夹角为-30°或-150°。

重复以上（3）～（6）讨论，将（1）、（2）、（3）式中的磁场力改为-f，

可解得Fx=±[SX（][KF（]3[KF）][]2[SX）]F，Fy=-[SX（]1[]2[SX）]F。

同样，可作出图8所示矢量关系的平行四边形，容易得到电场E和x正方向的夹角α1=-30°或α2=-150°。

[TP12GW149。TIF，BP#]

解 根据以上分析，该区域中电场强度和磁感应强度的大小及可能的方向表述如下。

电场强度大小E =F/q。

电场强度的方向和Oxy 平面平行，且与x 轴方向的夹角为30°或150°（磁场B沿+x方向）。

电场强度的方向和Oxy 平面平行，且与x 轴方向的夹角为-30°或-150°（磁场B沿-x方向）。

磁感应强度大小B=[SX（]2F[]qv0[SX）]。

第2篇：分类讨论的方法范文

一、知识要点概述

1.分类讨论的思想方法的原理及作用

在研究与解决数学问题时，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.

2.引起分类讨论的原因主要是以下几个方面

①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.如|a|的定义分a>0，a=0，a

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的.如等比数列的前n项和的公式，分q=1和q≠1两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型.

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.如解不等式ax>3时分a>0，a=0，a

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性.

二、解题方法指导

1.分类讨论的思想方法的步骤

（1）确定标准；（2）合理分类；（3）逐类讨论；（4）归纳总结.

2.简化分类讨论的策略

（1）消去参数；（2）整体换元；（3）变更主元；（4）考虑反面；（5）整体变形；（6）数形结合；（7）缩小范围等.

3.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是

分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不漏不重”.

4.解题时把好“四关”

（1）要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；

（2）要找准划分标准，把好“分类关”；

（3）要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；

（4）要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”.

三、分类讨论基本题型

友情提示：解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题一般分四个步骤：

第一步：确定需分类的目标与对象.即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标.

第二步：根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对分类对象进行区分.

第三步：分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行处理.

第四步：汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理.

2.由参数变化而引起的分类讨论

友情提示：一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论.这类问题有两种情形：（1）由于所求的变量或参数的取值不同会导致结果不同，所以要对某些问题中所求的变量进行讨论；（2）有的问题中虽然不需要对变量讨论，但却要对参数讨论.在求解时要注意讨论的对象，同时应理顺讨论的目的.

3.根据图形位置或形状分类讨论

第3篇：分类讨论的方法范文

关键词：初中数学分类意识分类思想

数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。

所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。

一、渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。整数、 分数正有理数零负有理数 教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为：有理数有理数，为下一步分类讨论奠定基础。

认识数a可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。

讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：

通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

二、学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

分类的方法常有以下几种：

1、根据数学的概念进行分类

有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

例如：解关于x的不等式：ax＋3＞2x+a

分析通过移项不等式化为（a－2）x>a－3的形式，然后根据不等式的性质可分为a－2＞0，a－2＝0，和a－2＜0三种情况分别解不等式。

2、根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。

三、引导分类讨论，提高合理解题的能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：；其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。

例：已知ABC是边长为2的等边三角形，ACD是含30°角的直角三角形。ABC和ACD拼成一个凸四边形ABCD.（1）画出四边形ABCD；（2）求四边形ABCD的面积。

分析含30°角的直角三角形ACD中我们可以把AC作为斜边、AC作为直角边二类情况来研究。如图1是以AC为斜边和等边三角形ABC拼成的四边形ABCD（DDAC=30°和DDAC=60°这两种图形算出的四边形ABCD面积相同的，故归纳为同一类）。AC为直角边又可分为二种不同情况。

由以上的例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

第4篇：分类讨论的方法范文

一、分类讨论思想的理论概述

高中数学学习过程，是将数学知识和数学思想融合的过程.高中学习到的数学思想，包含了函数思想、转化思想、数形结合思想、方程思想、公理化思想、分类讨论思想等等.根据不同的问题进行具体分析.分类讨论思想是一种重要的数学思想，也叫一种逻辑方法.进行分类的过程中，包括有现象分类和本质分类，根据现象分类是依据对象的外部特征来展开的，比如数的分类的等，根据本质分类是根据特征来进行的，比如函数的分类方法有多种，以及函数表现出的单调、有界、值域、定义域等问题.灵活应用分类思想进行数学学习，能有效促进学生思维能力的提升.

二、分类讨论思想的实际应用

分类讨论思想的应用步骤：① 分析讨论对象，明确讨论参数；

②将讨论对象合理分类，做到不重复也不遗漏，分层清晰统一；

③逐层分类，分步解决，分步归纳，并最终将各种情况进行总结.

分类讨论思想的应用方向：根据概念定义分类讨论；根据公式、定理的限制条件分类；根据运算和证明需要进行分类；由于参数变化引起的分类；图形的不确定性引起的分类；在实际情况中需要进行分类讨论等.

分类讨论思想的应用实例：

讨论方向1： 根据公式、定理引起的分类讨论：比如二次函数的定义、绝对值定义、曲线方程标准定义、对数底数定义、等比数列求和公式中的定义等等.与这些定义相关的一些问题，不同情况下应该具有不同的解题策略，从而引起了分类讨论.

实例1：假设有0

解：根据对数底数的定义，在a的值不同的情况下，本体中去掉绝对值的方法不同，从而将a分类讨论为01两部分.

由0

分类①：当0

=[loga（1-x）]-[-loga（1+x）]

=loga（1-x2）>0.

分类②：当a>1时，|loga（1-x）|-|loga（1+x）|

=

[-loga（1-x）]-[loga（1+x）]

=-loga（1-x2）>0.

总结得出|loga（1-x）|>|loga（1+x）|.

讨论方向2：根据实际情况进行分类讨论，比如排列组合中的实际情况和问题等.

实例2 四位同学参加一种竞赛，有两种类型的题目可以选择.A类题目选对得50，选错扣分50，B类题目选对得分40，选错扣分40，最后这四位同学的总得分是0分，请问这样的情况有多少种.

解：对于实际问题，根据题目的需要进行分类讨论，可以分为三类，都选A，2对2错则为C24种；都选B，2对2错则为

C24种；2个选A，1对1错，2个选B，1对1错，为C24C12C12；一共36种.

三、分类讨论思想的注意事项

第5篇：分类讨论的方法范文

【关键词】初中数学 分类思想 教学渗透 方法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）09-0161-02

数学分类思想是一种比较重要的数学思想，也是一种很重要的数学逻辑思维方法，分类思想所应用的范围是具体的，所研究的对象也是具体的。所以要求教师在教学过程中能够设定具体的教学目标和教学方法，在初中生现有特点的基础上进行教学，引导学生掌握数学分类思想，同时也要在讲解数学题时把分类思想渗透到当中。通过这种方法，主要让学生在了解的基础上进行合理的运用。

一、重视教学过程分类思想的渗透，培养学生分类意识

分类行为在人们的日常生活中并不少见，我们会对自己穿的衣服进行季节分类、风格分类，我们也会对自己所用的工具进行分类。生活中的分类思想会方便我们的生活，把分类思想与初中数学相结合也会产生不一样的教学效果。初中生在生活中本身就具有分类思想，数学教师可以利用学生的这一特点，结合学生对分类思想的把握程度把生活中的分类思想迁移到数学教学中来，提高数学课堂的教学效率。

数学教师可以在教学过程中渗透分类思想，培养学生的分类意识。比如数学教师在对图形进行讲解时可以引导学生根据图形的相互关系或者图形之间不同的特点进行分类。像三角形就可以依据三角形的形状分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。通过这种分类的方法可以让学生从直观的角度了解到三角形的特点，而且教师也可以引导学生在日常的学习数学的过程中运用分类方法，进行解题。

初中数学教材中的很多定理，法则，公式，习题都在一定程度上体现了数学的分类思想，教师在教学中应该不断的强化学生分类讨论的意识，就一道应用题的不同解法展开讨论，同时总结归纳针对某一种题型的答题技巧。通过这种分类讨论的方法，可以让学生避免出现大的错误，弥补在思考问题时出现的漏洞。

教师在对“有理数”这一章进行讲解时，需要反复的在教学过程中渗透分类思想，让学生能在潜移默化中形成数学分类的思想，增强学生概括能力，帮助学生总结出规律性的答题方法，从而通过渗透这种分类思想，加强学生思维的逻辑性和缜密性。

二、教授不同的分类方法，增强初中生思维缜密性

在传统的教学模式中，初中数学教学在研究数学分类思想上有很多不足。但是随着教育的改革，如何把分类思想运用到初中教学中逐渐成为人们重视的问题，除了要发挥教师的作用之外还需要强调学生的主体地位。教师在教学过程中渗透分类思想的同时也需要引导学生掌握不同的分类方法，帮助学生运用不同的方法来解答数学题。在这里主要的分类方法有三种，一种是根据数学的概念进行分类，第二种是根据数学的法则或者性质来进行分类，第三种是根据数学题型之间的关系进行分类。

例如在数学不等式中，就有关于分类思想的渗透。在（k-1）・x>k・k-1不等式中，是需要对k-1是否大于零进行讨论的，如果不加以讨论，就不能得到争取的答案。因为既可以k-1>0或k-1=0也可以k-1

三、强调在实践中学生的分类讨论，提高学生整体能力

分类讨论是一种重要思想，也是学习中的一种重要逻辑，同样也是解题中的一种重要策略。分类思想对于数学教学来说是重点，同样也是难点。分类讨论的本质是思想的划分，把要讲述的数学问题划分成不同的领域问题，分类研究，总结统一性和差异性，分类求解，然后统一整理。初中数学中的讨论问题往往是学生做题的一大难点，遇到这类问题就无从下手，造成此类题型的正确率偏低，教师要从初中抓起，引导学生建立分类讨论的思想，让学生自觉运用分类思想解决问题。

初中的一些概念往往是分类定义的，所以应用概念做题时，就要进行分类讨论，如：几何问题还有代数问题。初中经常有些题目是开放性的，答案不唯一，学生做这种问题时经常会出现漏解现象，所以要从不同角度进行讨论。还有取值问题，一些题目中在讨论取值中会出现不同而使问题答案不同，要从不同角度讨论问题的取值，缩小取值范围。几何问题同样需要分类讨论，一些文字语言不能表达图像的形状，所以要进行分类讨论。

教师要认真钻研，从实际出发，了解学生真正需要的是哪方面的知识，学生面临分类问题时出现的问题，有目的的进行教学，对学生进行分类思想的渗透。首先要在教材中给学生们指出这些问题，让学生们认识到这些问题，才能很好的避免错误的发生。初中生的分类讨论思想还不是特别强，教师应该理论与实际结合，通过实际的例子来解答问题，使学生了解分类的原因和分类的顺序。同时教师要经常与学生讨论问题，只有通过讨论解决问题学生的记忆才深刻。

总而言之，数学中的分类思想是作为初中生需要了解和掌握的一种数学思想，学生需要在学习过程中依据具体的数学题型总结归纳出分类思想所应用的范围。教师可以在教学过程中渗透分类思想，培养学生分类意识，引导学生进行分类讨论，提高学生整体能力，依据实际情况不断探索从而得出争取的教学途径，激发学生学习数学的积极性和热情，提高学生的学习能力。

参考文献：

[1] 谢丽贞.从分类思想的角度谈初中数学有效教学[J].广西教育A（小教版），2015，1.

第6篇：分类讨论的方法范文

【关键词】初中数学课堂　渗透　分类思想

数学家乔治·波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”。数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。所谓数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。教师在制订教学目的、采用教学方法时，都应有意识地突出分类讨论思想，并在具体教学过程中努力体现。根据初中学生的特点，教学中要遵照循序渐近、逐步深化的原则并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学。

数学分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。教学中可以让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用，往往能使复杂的问题简单化。那么我们在教学中应如何渗透分类讨论思想呢？下面我谈谈我的一些看法和大家一起探讨：

1.渗透分类思想，重视养成分类的意识的必要性

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来。教师要培养学生分类的意识，然后才能引导学生在分类的基础上进行讨论。我们仔细分析教材的话应该不难发现，教材对于分类讨论思想的渗透是一直坚持而又明显的。比如在研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的；在研究加、减、乘、除四种运算法则时也是按照同号、异号、与零运算这三类分别研究的；而在初中几何教学中，用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类；在函数教学中将函数图象分为开口方向向上、向下，单调递增、递减来进行研究；在圆的教学中按圆心距与两圆半径之间的大小关系将两圆的位置关系进行了分类等等。因此，渗透分类思想，养成分类意识很重要。

2.在教学中我们怎样才能对学生进行渗透分类思想呢？

2.1　在概念教学中渗透分类讨论意识。由于数学中的许多概念的定义是分类给出的或是不少概念都有一定的限制，如实数的分类，一元二次方程的概念中对二次项系数的限定，平方根中对于被开方数的限定等，完全平方式的意义，绝对值中a的三种情况的分类给出等。涉及到这些概念是就必须按照给出的概念的分类形式进行讨论。

如对于一元二次方程一般式中涉及a≠0的规定，教学时，我让学生理解当a=0与a≠0时，方程会有怎样的变化，在此基础上，让学生说明关于x的一元二次方程mx2-（m-1）x-2（3m-1）=0中m的限制条件，随后进行了概念的变式，将“一元二次”四字隐去，提出这是个怎样的方程，并如何求解。学生经历了对概念中关键字词及补充条件的理解后，很清晰地就a=0与a≠0两种情况作分类讨论。

如讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：当去掉绝对值符号时，便要把绝对值内的字母分大于0，小于0，等于　0三种情况进行讨论，通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

2.2　在法则、定理、公式体现分类讨论思想。初中课本中很多定义、定理、公式本身是分类定义、分类概括的，教师在教学过程中要有意识地让学生在学习中逐渐的体会分类讨论的思想。

如：七年级数学课本在引入负数后即对有理数进行分类：将有理数分为正数、零、负数。此时可提出问题“-a一定是负数吗？”启发学生分a>0，a=0，a

又如：初中九年级课本证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。

在数学教学中，我们应该不断重视法则、定理、公式的论证过程，帮助学生增强分类意识，体验分类思想方法的作用。

2.3　在解题过程中引导分类讨论，提高解题的能力。要解好数学问题，不仅要有足够的数学知识和技能，而且要有清晰的解题思路，在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：

其一：涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。

例1　已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是实数）。如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。

分析：这里从函数分类的角度讨论，分　m－1=0　和　m　-　1≠0　两种情况来研究解决问题。

解：（1）当m＝l　时函数就是一个一次函数y＝－x－1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。

（2）当　m　≠1时，函数就是一个二次函数y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1

当＝（m－2）2+4（m－1）=0，得　m=0.

抛物线　y=－x2－2x－1，的顶点（－1，0）在x轴上

其二：根据几何图形出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。

例2　（1）等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？

分析：可以按4或6为腰时来算。

（2）等腰三角形一个角是70°，求其他两个角的度数？

分析：可以按顶角或底角为70°时来求解。

（3）知ABC是边长为2的等边三角形，ACD是含30°角的直角三角形。ABC和ACD拼成一个凸四边形ABCD.（1）画出四边形ABCD；（2）求四边形ABCD的面积。

分析：含30°角的直角三角形ACD中我们可以把AC作为斜边、AC作为直角边二类情况来研究。

（4）ABC中，AB=6，AC=8，D、E分别为AB、AC边上的点，且AD=2.若ABC与ADE相似，则AE=。

分析：可以按对应角出现的位置不同时来分情况求解。

由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

3.运用分类讨论思想研究数学问题时值得注意的地方

用分类讨论思想研究问题时，必须做到“分类要完整、不重、不漏”，而且要按照相同的标准进行讨论，只有掌握了分类讨论思想，在解题时才不会出现漏解的情况。在解有些数学问题时，由于它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论。

总之，我们只要在教学中多研究、多实践、多探索，就能让学生更好的掌握好初中数学中的分类讨论思想。在教学中，利用现有教材，着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

参考文献

［1］　蔡上鹤.数学思想和数学方法

第7篇：分类讨论的方法范文

分类讨论思想，是一种对特定题型可能出现的不同情况分不同条件分析讨论进而得出结论的思想，即当题目不能在唯一的情况下进行讨论时，这时就要根据特定的标准将此题人为地划分为若干部分，然后再对各个部分分别求解，最后综合部分解题过程得到答案。在一些题目中，特别是涉及函数、数列、几何等的题型，只针对一方面进行思考无法得出完整的答案，这就需要学生们进行分类讨论。其实质是一种逻辑划分的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，属于思维的范畴，体现出的是一种对数学问题的认识、处理和解决的能力。

分类讨论的具体步骤：1．准确识别出所要讨论的对象，同时明确它的范围；2．确定分类依据，并在此基础上分类，使之不重复也不遗漏；3．逐个攻坚，获取阶段性的结论；4．进行归纳总结，得出完整答案。

一、分类讨论的基本原则

能得出完整答案的前提条件是要能准确地利用分类讨论方法，在运用此法分析题目的思考过程中，应确保分类依据的统一性、互斥性、代表性，做到不重、不漏，然后再考虑如何使分类变得更精简，更易于我们下一步的操作。为了确保分类的准确性，需要遵循如下原则。

1．分类标准的统一性。分类讨论的难点在于学生不好把握开始讨论的时机，即心中不清楚为何讨论、又从哪方面开始进行，等等。这就要求我们需要完全理解吃透所用的概念、定理、定义，全面地考虑题目给的条件。通常情况下，含参数的一元二次不等式的判别式、项的系数、根的大小等，常常是分类讨论划分的依据，学生们也要善于总结这些划分的关键点。

举个例子，根据角的特点把三角形分为锐角、直角、钝角三角形是完全符合要求的。但是假如把锐角三角形、直角三角形、等边三角形、等腰三角形、钝角三角形等划分在一起，此种分类方法同时用了按边、按角分类两种方法。要不就按边分，要不就按角分，应该只用一种标准，因此这种分类方法是不正确的。

2．分类标准的互斥性。各个分类的集合应该彼此互相排斥，即避免各个分类中出现相重合的部分，要不然会造成重复讨论，违背分类讨论的原则。

如：某小学一个班级有9个学生在运动会期间参加了跳高和100米短跑两个比赛项目，其中有6人参加跳高比赛，5人报名了100米短跑，倘若把这9个人分成参加跳高项目和参加100米短跑项目两类，就陷入了所谓的子项相容的误区。因为我们很容易判断出来，一定有2人既报名参加跳高，又参加了100米短跑。

3．分类标准的代表性。每次进行分类讨论时．要做到让对象不漏、不重，具有层次性、没有越级。当题目中同时存在多个类似的、不确定的划分因素时，我们要以占主导作用的因素为依据，然后对划分的每一类别分别求解，最后求出完整契合的答案。

二、分类讨论思想的运用

数学是逻辑性很强的学科，这取决于数学知识结构的严密性与延续性。因此，无论利用“分类”的办法总结归纳数学知识，还是指导课堂教学思路都具有重要的现实意义，它都渗透分类讨论思想。

1．在函数当中的运用。定义域内不能用一个解析式表达时，就要根据两个变量之间的关系将定义域分类讨论，这样，在不同的范围内就会有不同的解析式，这种表达两个变量之间关系的形式就是分段函数。严格来讲，分段函数的定义域分段必须遵循分类讨论的原则。比如，在讲解n次方根时，应该向学生们强调一点：正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数。在讲解根式的公式时，要向学生强调分类讨论。指数函数与对数函数中底数a的取值范围是一个重点，而它们的单调性则是由底数a来决定的，这点要加以强调。

2．在向量学习中的作用。用分类讨论思想指导教学，会使向量各知识点之间的脉络清晰，结构明了；用分类讨论思想解决向量问题，会使问题化繁为简，化难为易。我们可以用分类讨论思想来系统地认识向量：比如，向量的表示方法有：几何表示法（有向线段）、字母表示法(B，a)，坐标表示法(x，y)。两个向量之间的关系有共线、不共线，共线又分为共线且方向相同、共线且方向相反两种情况。向量的运算分为线性运算、数量积运算两种，其中线性运算包括加法运算、减法运算和数乘运算，结果都为向量，数量积运算的结果都为实数（可正可负）。

第8篇：分类讨论的方法范文

关键词：数学教学;分类;讨论思想

一般情况下，当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。然而，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以尝试在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上采用分类讨论的方法。

一、分类讨论思想的形成

对于陌生数学题，将它转化为熟悉题的常用途径有以下几种。

（1）充分联想回忆基本知识和题型：按照波利亚的观点，在解决问题之前应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。

（2）全方位、多角度分析题意：对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。

（3）恰当构造辅助元素：数学中，同一素材的题目常常可以有不同的表现形式;条件与结论（或问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。

在将题目熟悉化之后，可以对题目简单化分析，而实施简单化策略的途径是多方面的，最典型的方法即寻求中间环节，简化已知条件，分类考察讨论。

（4）寻求中间环节，挖掘隐含条件：对于结构复杂的综合题，就其产生背景而言，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合再抽去中间环节而构成的。因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。

（5）简单化已知条件：有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时不妨简化题中某些已知条件，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。

（6）分类考察讨论：对于大多数的数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。

可见，分类讨论思想是在数学教学与研究的过程中总结出的一种思维方法，而这种方法在解题中也是最为有效的。

二、分类讨论思想解题步骤

分类处理方式是一种逻辑思想，将这种把逻辑分类思想移植到数学中来，可以用以指导解题。

对于数学问题，在解题过程中常常需要借助逻辑中的分类规则，把题设条件所确定的集合，分成若干个利于讨论的非空真子集，然后在各个非空真子集内进行求解，可以获得完满的结果。

用分类法解题，大体包含以下几个步骤：

（1）根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合A;

（2）寻求恰当的分类根据，按照分类的规则，把集合A分为若干个便于求解的非空真子集[A1，A2，…，An];

（3）在子集[A1，A2，…，An]内逐类讨论;

（4）综合子集内的解答，归纳结论。

以上四个步骤是相互联系的，也是分类讨论思想的核心。

从总体上说，分类的主要依据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则，具有分类讨论位置关系的几何图形，题目中含有某些特殊的或隐含的分类讨论条件等。在实际解题时，仅凭这些还不够，还需要有较强的分类意识，需要思维的灵活性和缜密性，特别要善于发掘题中隐含的分类条件。

三、分类讨论思想在数学教学中的应用

通过对分类讨论思想的形成、步骤的分析，可知分类讨论思想是数学解题中的重要方法，下面基于一道数学题来体会分类讨论在教学中的应用情况。

例：设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率[e=32]，已知点[P（0，32）]到这个椭圆上的最远距离是[7]，求这个椭圆的方程。

错误解法：依题意，可得椭圆方程为[x2a2+y2b2=1 （a>b>0）]，

则[e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=34]，所以有[b2a2=14]，即[a=2b]。

设椭圆上的点[（x，y）]到点P的距离为d，

则[d2=x2+（y-32）2=a2（1-y2b2）+y2-3y+94=-3（y+12）2+4b2+3]，

当[y=-12]时，[d2]有最大值，从而d也有最大值。

所以，[4b2+3=（7）2]，由此解得：[b2=1，a2=4]。

求得椭圆方程为：[x24+y2=1]。

错误分析：尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是凑巧而已。由“当[y=-12]时，[d2]有最大值”，这步推理就是错误的，其原因在于没有考虑到y的取值范围。事实上，由于点[（x，y）]在椭圆上，所以有[-b≤y≤b]，因此在求[d2]的最大值时，应分类讨论。即：

若[b<12]，则当[y=-b]时，[d2]（即d）有最大值。

于是[（7）2=（b+32）2]，从而解得[b=7-32>12]，与[b<12]矛盾。

所以必有[b≥12]，此时当[y=-12]时，[d2]（即d）有最大值。

所以[4b2+3=（7）2]，解得[b2=1，a2=4]，

于是，求得椭圆方程为：[x24+y2=1]。

通过对学生进行分类思想的训练，可以展开联想和想象的翅膀，培养发散思维能力。对分类思想方法进行分析与研究，易于归纳出解决问题的通性通法与特技巧法，以便抽象概括形成对此类为题的本质认识，进而揭示解题规律，完善解题模式。

参考文献：

[1]黄甫全.课程与教学论[M].北京：高等教育出版社，2002

[2]李t.课堂数学交流研究综述[J].中学数学教学参考，2005，（8）

[3]涂荣豹.数学教学认识论[M].南京：南京师范大学出版社，2003.

[4]黄毅英.数学观研究综述[J].数学教育学报，2002，11（1）：3-5

第9篇：分类讨论的方法范文

数学的分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的数学思想，它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。

分类思想不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握，它需要根据学生的年龄特征、学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。

一、渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等。我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机，如数的分类、绝对值的意义、不等式的性质等，都是渗透分类思想很好的机会。

教授完负数、有理数的概念后，可及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到针对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如，两个有理数比较大小，可分为正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

二、学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

分类的方法常有以下几种：

1.根据数学的概念进行分类

有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

例1.化简|x-1|+x-2。

讨论：

(1)当x＞1时，原式=x-1+x-1=2x-3。

(2)当x=1时，原式=1-2=-1。

(3)当x＜1时，原式=1-x+x-2=-1。

从中理解到数x可表示不同类的数，而对数x进行分类讨论，即可得到正确的答案。

2.根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类

学习一元二次方程根的判别式时，对于变形后的方程(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a2，用两边开平方求解，需要分类研究＝b2-4ac大于0、等于0、小于0这三种情况对应方程解的情况。而的符号决定了能否开平方，从而得到了一元二次方程的根的三种情况。

例2.解关于x的不等式：ax＋3＞2x+a。

分析：通过移项不等式化为（a-2）x>a-3的形式，然后根据不等式的性质可分为a-2＞0、a-2＝0和a-2＜0三种情况分别解不等式。

当a-2＞0，即a＞2时，不等式的解是x>(a-3)/(a-2)。

当a-2＝0，即a=2时，不等式的左边＝0，不等式的右边＝-1。

因为0＞-1，所以不等式的解是一切实数。

当a-2＜0，即a＜2时，不等式的解是x

3.根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

例：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，底边长为a，则其腰上的高是_____（2002年河南中考题）。

分析：本题根据图形的特征，把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高CD。

在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上、角的内部、角的外部三种不同的情况，因此要分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上——这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明“圆心在圆周角的一条边上”的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法，也是根据几何图形点和线出现在不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角），也是如此分圆心在弦切角的一条边上、弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。

三、引导分类讨论，提高合理解题的能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到，这些问题只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括、总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性、缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题；其二是根据几何图形的点和线出现在不同位置的情况，逐一讨论解决问题。

例3.已知函救y＝（m-1）x2+（m-2）x-1（m是实数），如果函数的图像和x轴只有一个交点，求m的值。

分析：这里从函数分类的角度讨论，分m-1=0和m－1≠0 两种情况来研究解决问题。

解：当m＝1时，函数就是一个一次函数y=-x-1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。

当m≠1时，函数就是一个二次函数y=（m-1）x2+（m-2）x-1

当＝（m-2）2+4（m-1）=0，得 m=0。

抛物线 y=-x2-2x-1的顶点（－1，0）在x轴上。

由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，步骤非常明了。另一方面，在讨论当中可以激发学生学习数学的兴趣。

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维，相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

参考文献

[1]《义务教育课程标准实验教材》.人民教育出版社。