探索平行线的条件精选(九篇)

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第1篇：探索平行线的条件范文

1.平行线等分线段定理

定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等.

注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组;它是由三条或三条以上的平行线组成.

定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等;可以等分线段.

2.平行线等分线段定理的推论

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

记忆方法：“中点”+“平行”得“中点”.

推论的用途：(1)平分已知线段;(2)证明线段的倍分.

重难点分析

本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.

本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.

教法建议

平行线等分线段定理的引入

生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：

①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等;

②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.

教学设计示例

一、教学目标

1.使学生掌握平行线等分线段定理及推论.

2.能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力.

3.通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.

4.通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美

二、教法设计

学生观察发现、讨论研究，教师引导分析

三、重点、难点

1.教学重点：平行线等分线段定理

2.教学难点：平行线等分线段定理

四、课时安排

l课时

五、教具学具

计算机、投影仪、胶片、常用画图工具

六、师生互动活动设计

教师复习引入，学生画图探索;师生共同归纳结论;教师示范作图，学生板演练习

七、教学步骤

复习提问

1.什么叫平行线?平行线有什么性质.

2.什么叫平行四边形?平行四边形有什么性质?

引入新课

由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系?(横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的)，然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系?(相等，为什么?)这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等?

(引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理)

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.

注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确.

下面我们以三条平行线为例来证明这个定理(由学生口述已知，求证).

已知：如图，直线，.

求证：.

分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形(也可应用平行线间的平行线段相等得)，通过全等三角形性质，即可得到要证的结论.

(引导学生找出另一种证法)

分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得.

证明：过点作分别交、于点、，得和，如图.

，

又，，

为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图(用计算机动态演示).

引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论1.

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.

再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2.

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.

注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好.

接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段.

例已知：如图，线段.

求作：线段的五等分点.

作法：①作射线.

②在射线上以任意长顺次截取.

③连结.

④过点.、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、.

、、、就是所求的五等分点.

(说明略，由学生口述即可)

总结、扩展

小结：

(l)平行线等分线段定理及推论.

(2)定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明.

(3)定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组.

(4)应用定理任意等分一条线段.

第2篇：探索平行线的条件范文

题型一 余角概念的运用

【例1】如图，AOB是一条直线，∠AOC=90°，∠DOE=90°，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？

【思考与分析】 由互为余角的定义，只需找出图中和为90°的角即可.

解： 因为 ∠AOC=90°，∠AOB=180°，

所以 ∠BOC=90°，∠1与∠2、∠3与∠4互余.

因为 ∠DOE=90°， 所以 ∠2与∠3互余.

因为 ∠1+∠DOE+∠4=180°，∠DOE=90°，

所以 ∠1+∠4=90°.即∠1与∠4互余.

可以得到互余的角有：∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1.

因为 ∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，

所以 ∠1=∠3（同角的余角相等）.

因为∠3与∠4互余，∠3与∠2互余，

所以 ∠2=∠4（同角的余角相等）.

题型二 垂线的定义和性质

【例2】如图，已知FEAB于E，CD是过E的直线，且∠AEC=120°，则∠DEF= .

【思考与分析】我们仔细阅读题目，经过思考发现有两种解法，第一种主要利用垂直的定义和对顶角的性质， 因为∠AEC和∠DEB是对顶角，∠AEC=∠DEB=120°，又因为 FEAB，∠BEF=90°，所以∠DEF=120°-90°=30°；第二种解法主要利用垂直的定义和邻补角的定义，由∠AEC和∠AED互为邻补角，可得∠AED=60°， 再由FEAB于E，可得∠AEF=90°，则∠DEF=90°-60°=30°.

解：∠DEF=30°.

【小结】本题主要考察我们是否掌握了角与角之间的关系，解答这类题目时，我们要清楚地知道有关概念，比如垂直，对顶角，邻补角等.

题型三、互余、互补魅力

【例3】如图3，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将∠C过E点折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过E点折起，使DE和CE重合，折痕是GE，请探索下列问题：

（1）∠FEC和∠GEC互为余角吗？为什么？

（2）∠GEF是直角吗？为什么？

（3）在上述折纸图形中，还有哪些互为余角？还有哪些互为补角？

解：（1）由折纸实验，知∠3=∠1，∠4=∠2，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800

所以∠1+∠2=900，即∠FEC+∠GEC=900，故∠FEC和∠GEC互为余角.

（2）因为∠GEF=∠1+∠2=900，，所以∠GEF是直角.

（3）∠3和∠4，∠1和∠EFG互为余角，∠AGF和∠DGF、∠CEC和∠DEC互为补角等等（同学们还可以举出一些例子）.

题型四 平行线的性质与判定证明

【例4】如图，如果∠1=∠2，∠C=∠D，那么∠A=∠F吗？为什么？

【思考与分析】我们从已知条件入手分析题目.∠2和∠3互为对顶角，∠2=∠3，由∠1=∠2可得∠1=∠3，而∠1和∠3是一对同位角，由平行线的判定条件可知BD∥CE，再根据平行线的性质可得∠4=∠C.又因为已知∠C=∠D，我们可以得到∠4=∠D，从而DF∥CA，从而可以推出∠A=∠F.

解：因为∠1=∠2，∠2=∠3，

所以∠1=∠3.

所以BD∥CE.

所以∠4=∠C.

又因为∠C=∠D，

所以∠4=∠D

所以DF∥CA.

所以∠A=∠F.

题型五 利用平行线性质与判定进行运算

【例5】 如图，AB∥CD，若∠2=135°，则么∠1的度数是 （ ）

A.30° B.45° C.60° D.75°

【思考与分析】 本题主要考查平行线的性质、互为邻补角概念.

解：∠2与∠1的邻补角互为内错角，所以∠1=180°-∠2=45°.

【小结】 解答本题需要注意两点：第一，两直线平行，内错角相等，第二，互为补角与互为邻补角的区别.

题型六 学科间的综合

【例7】 已知：如图，∠AOB的两边 OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=40°.在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（ ）

A.60° B.80° C.100° D.120°

【思考与分析】 观察题目，我们可以利用平行线的性质，“两直线平行，同位角相等”，以及PQ与OA的夹角，与QR与OA的夹角相等的原则，可得出∠AQR=∠OQP=∠AOB=40°，借助平角的定义，则∠QPB=80°.

解：B.

【小结】在学习的过程中我们一定要注意学科间的综合，这是中考命题的热.

题型七 探究性问题

【例8】 观察图1～图5.

（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠BED，你能说明为什么吗？

反之，若∠B+∠D=∠BED，直线AB与CD有什么位置关系？请说明理由；

（2）若将点E移至图2所示位置，此时∠B、∠D、∠BED之间有什么关系？请说明理由；

（3）若将E点移至图3所示位置，情况又如何？

（4）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？

（5）在图5中，若AB∥CD，又得到什么结论？

分析：要说明（1）的结论成立，若过点E作EF∥AB，则由平行线的特征即可说明；其余几个问题也都可以按照此方法说明.

解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∠B=∠BEF.所以∠D=∠DEF，而∠BED=∠BEF+∠DEF，故∠B+∠D=∠E.

反之，若∠B+∠D=∠E，则AB∥CD.

理由：如图1，过点E作EF∥AB，则∠B=∠BEF，又因为∠B+∠D=∠E，所以∠BEF+∠D=∠E.所以∠DEF=∠D，所以EF∥CD，故AB∥CD.

（2）若将点E移至图2所示位置，此时有∠B+∠BED+∠D=360°.理由：过点E作EF∥AB，则∠B+∠BEF=180°.因为AB∥CD，所以EF∥CD.所以∠D+∠DEF=180°，故∠B+∠BED+∠D=360°.

（3）若将E点移至图3所示位置，此时有结论：∠BED+∠D=∠B.

理由：因为AB∥CD，所以∠B=∠BMD，而∠BMD=180°-∠DME=∠D+∠E，故∠E+∠D=∠B.

（4）仿照（1）可以猜想：在图3-4中，若AB∥CD，则有结论：∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.

提示：可以分别过点E、F、G作AB的平行线，仿照（1）即可说明.

第3篇：探索平行线的条件范文

所谓发散型思维，又叫求异思维，就是从某一点出发，运用全部的信息进行发散性联想，朝着不同的方向，去探索多种解决问题的方案的思维过程。发散思维一般是在问题存在多种可能的解决方案，但却不能肯定哪一种是正确的情况下进行的，发散思维开始时往往是在常识范围内进行思索，通过不断摸索尝试，反复变通，找到新的发散方向，产生新型成分。发散型思维方法是向外扩展的，有可能找到更多更好的方案。因此，发散型思维具有多向性、独立性、探索性、运动性等特征，它在创造性思维中占有主导地位。

数学是思维的体操，因此，数学教师在教学中必须研究教材、研究学生、研究教法、研究学法。创设最佳思维情境，激发学生的学习兴趣，有计划、有目的地培养学生的发散思维。牛顿说过:“例子有时比定律更重要”。因此，精选典型习题，鼓励学生一题多解、一题多变，进行归纳、总结，是培养发散思维的重要方法。

求线段的比及比例线段的证明是平面几何重要内容之一，也是学生普遍感到棘手的问题。究其原因有二，其一：不知如何构造相似三角形；其二：不知如何添加平行线，构造平行线分线段成比例。下面结合一个例题谈谈具体做法。

一、一题多解，思维发散

让学生用已学过的知识从不同角度、不同方向，多方位观察，纵横联想，积极探索，大胆猜测，这是寻求解决问题的各种方案的集中表现。一题多解就是这种理论的具体化。因此一题多解对于调动学生学习数学的积极性、主动性，拓宽解题思路，培养学生的探索精神和发散思维能力有着重要的意义。通过各种方法的讨论和比较，可以达到择优弃劣，提高解题速度和质量的目的，有利于学生思维品质的发展。

例：已知，如图（1），B、E分别是DC和AB的中点， 延长DE交于点F，求 的值。

创设思维情境，引发学习动机，教师要精心设疑、激疑，从而转化为强烈的学习要求。求线段的比必须有相似三角形或平行线分线段，但和所在的三角形不相似，怎样添加辅助线，构造成比例线段呢？启发学生回忆:经常过线段的中点作平行线。

解法一：如图（1-1），作 交 于点 ，

是 的中点， ，又 ， ， 。

解法二：如图（1-2），作 交 于点 ， 是 的中点， ， 又 是 的中点， ， 。

解法三：如图（1-3），连 ，过点 作 分别交 于点 ， 是 的中点， 是 的中点，

，又 是 的中点， ， ， 。

解法四：如图（1-4），连 ，作 别交 的延长线于点 ，连

作 别交 于点 ， 是 的中点，

又 是 的中点， ，又易证 ，

， ， ， ，即 。

解法三：如图（1-3），作 交 于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ， ， ， 。

解法四：如图（1-4），作 交 于点 ， 是 的中点， ，又 是 的中点， ， ，

展示思维过程，指导学生联想、探索、总结，指导学生在实践的基础上有所发现、有所突破、有所创新，这是发展发散思维的要求。引导学生及时总结这四种解法的共同之处:过线段的中点作平行线，构造出平行线分线段成比例定理的条件，且三角形中位线在每种解法中都发挥着巨大的贡献。如果不过中点，比如过不是中点的分 作平行线是否也能求解呢？

解法五：如图（1-5），作 交 于点 ， ， ， ， ， ， ， ，

解法六：如图（1-6），作 交 于点 ， ， ，又 ， ， ， ， ，

调动学生学习积极性，人人开动脑筋，个个发挥聪明才智，不仅达到提高解题能力的目的，而且把教学推向一个新的台阶。刚才过三个“分点”作平行线有种解决方案，那么过三个“端点”是否也有解决方案呢？引路指津，诱导思维。

解法七：如图（1-7），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ， ， ，

解法八：如图（1-8），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， ， ， ，即 ， 解得

解法九：如图（1-9），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ， ， ， ，

解法十：如图（1-10），作 交的延长线于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ，

解法十一：如图（1-11），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， ，又 ， ， ，

解法十二：如图（1-12），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， ，又 是 的中点， ， ， ， 。

如此一题多解，不仅开阔了学生的视野，提高了学习的兴趣，使学生的知识更灵活、更牢固，而且使学生的发散思维能力得到锻炼和培养。

二、一题多变，巩固发散

美国著名数学家G•波利亚曾说过：“一种想法使用过一次是一个技巧，经过多次使用，就可以成为一种方法”。一题多变即变式练习是数学中训练思维的常用手段之一，数学题目往往能进行改造、变换。如题目的多种叙述方式、交换条件和结论、削弱条件或加强条件等。因此，在例题的选讲中，不能仅仅满足于就题论题，应注意多角度、多途径、全方位地对例题进行分析和挖掘，对例题进行“一题多变”，探索例题的解法和解题规律。这样不但能以点串线、举一反三，有利于调动学生向学习的兴趣和积极性，从而将知识深化，而且能较好地培养学生的发散思维能力，防止思维僵化，提高解题能力。

变式1：例题中 、 、 它们各自被分割的两条线段之比现在都知道了，那么 与 的比值是多少？能求出了吗？

变式2：如果将例题中“ 为 的中点”改为 与 的比值是2，能否还有办法求得 与 的比值吗？

变式3：已知，如图(2)， ，求 的值。

上面变式1和变式2中的图形没变，只是比值变动而已;变式3的图形几乎一样，只是此处仅一个中点。下面的两个习题表面上看图形变化很大，研究后发现可以去掉图形中的某线段，解法就一样了。

变式4：已知，如图(3)， 中， 为 上一点， ， 是 的中点，求 的值。

变式5：已知，如图(4)， 中， ， 是 边上的高， 是 的中点， 的延长线交 于 ，求证

上面的五个题目都有十二种解法，由于篇幅所限，不再一一赘述。如此借题发挥，一题多变，以点串线，对培养学生由表及里、由此及彼的思维方法起到了触类旁通的效果，同时又巩固了发散思维。

通过上述各题的练习，让学生体会数学的奥妙，勤于思考，多做、多总结，就会发现许多问题都有多种解法，同时许多问题的解法又是类似的，只要做个有心人，必定会事半功倍。作为数学教师，要深入钻研教材，精心设计教法，充分利用典型例题的延展性、开拓性，引导学生积极联想，激发学生的学习兴趣和求知欲望，培养学生的发散型思维。以上只是笔者在教学中的一点粗浅的体会，不足之处有待于今后不断探讨、求索。

第4篇：探索平行线的条件范文

苏科版《数学》八年级（上册）在“1.5 等腰三角形的轴对称性”第二课时中设计了如下的一组探索问题：

1.如图1，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，所得∠1与∠2相等吗？为什么？

2.如图2，将纸条沿截线AB折叠，在所得ABC中，仍有∠1=∠2.度量边AC和BC的长度，你有什么发现？

图1图2

教材设计这两个相关联的探索问题意在通过学生的动手操作、度量、思考，引导学生发现等腰三角形的判定定理“等角对等边”.在探索过程中还可以改变折痕的位置重新操作，使学生进一步发现虽然∠1、∠2的大小改变了，AC、BC的大小也随之改变，但是AC =BC的结论不变.这个探索过程，启发我们提炼出等腰三角形的一个常见的又非常有用的基本图形.

二、基本图形的提炼

图3

如图3，OC平分∠AOB，D为射线OC上一点（不与O重合），DE ∥AO，与BO交于点E，则EO =ED.用语言可表述为：“过角平分线上不与角的顶点重合的一点作角的一边的平行线，与角的另一边相交，交点到这点与角的顶点的距离相等.”可简称为“角平分线+平行线=等腰三角形”（以下称基本图形1）.图2是这一基本图形在折叠背景下的变式：长方形的对边始终平行，折痕可看作是角的平分线，图中始终会出现等腰三角形.实际上，这个基本图形中三个主要元素“角平分线、平行线、等腰三角形”出现其中的任意两个，第三个必然出现，即还可得：“等腰三角形+角平分线=平行线”（以下称基本图形2）或“等腰三角形+平行线=角平分线”（以下称基本图形3）.

三、基本图形的应用

1.显性图形，直接运用

例1（1）如图4，ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线分别交AB、AC于点E、F. 求证：EF =EB +FC.

图4图5

（2）如图5，ABC中，∠ABC、外角∠ACM的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线分别交AB、AC于点E、F.则线段EF、EB、FC之间有什么关系？不必说明理由.

解析：（1）根据BD平分∠ABC，EF∥BC，由基本图形1可证ED =EB，同理可证FD =FC，所以EF =ED +FD =EB +FC.

（2）EF =EB -FC.

评析：问题（1）将两个基本图形1巧妙结合在一起，探索三条线段的关系；问题（2）将一个内角平分线演变成外角平分线，设计成开放性问题，可考查学生在相对复杂的背景下发现基本图形并运用基本图形的能力.

图6

例2 （2012年深圳市）如图6，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连结AF、CE.

（1）求证：四边形AFCE为菱形； （2）略.

解析：由折叠可知：EF平分∠AFC，AF =CF，EA = EC由矩形ABCD可得AE∥BC，利用基本图形1可得AF =AE，从而AE = EC =CF =FA，所以四边形AFCE为菱形.

评析：此题即是基本图形在折叠背景下的变式运用，实际上题目中矩形这个条件换成一组对边平行的四边形后再按同样方式折叠仍可得到相同的结论，通过这个问题的探究有利于学生认识问题的本质.

2.隐性图形，构造运用

例3已知：如图7，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE =∠BAE.求证：AF =BC +FC.

解析1：如图7，此题有∠FAE =∠BAE（即AE平分∠BAF）这个条件，出现了基本图形的部分条件，由正方形ABCD可得AB∥CD，因而将这两个条件结合起来，延长AE交DC的延长线于G，利用基本图形1可得等腰FAG，即AF =FG =FC+CG，易证GCE≌ABE，得GC =AB，又因为AB =BC，所以AF =BC +FC.

图7图8

解析2：如图8，此题有∠FAE=∠BAE（即AE平分∠BAF）这个条件，部分出现了基本图形的条件，由于点E为BC的中点，故取AF的中点H，连结EH，由梯形中位线可得：AB +CF =2EH、EH∥AB，由AE平分∠BAF、EH∥AB利用基本图形1可得等腰EHA，即HA=EH，所以FA =2AH =2EH，即FA =AB +CF=BC +CF.

评析：解析1将∠FAE =∠BAE、AB∥CD这两个看似毫无关联的条件通过辅助线巧妙结合起来，构造基本图形使问题得到解决，解析2通过题中已有中点，再取一个中点，利用中位线性质得到EH∥AB这个结论，从而与题中∠FAE =∠BAE这个条件联姻，构造基本图形使问题得到解决. 此题是苏科版《数学》九年级（上册）一道课本习题，题目解法灵活多样，远不止上面介绍的两种方法，题中还蕴含了其他的一些基本图形、重要结论，绝对称得上是一道经典几何题.

图9

例4（2012 福州市）如图9， AB 为O 的直径，C为O 上一点，AD 和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交O 于点E.

（1）求证：AC 平分∠DAB；（2）略.

解析：初看此题根本没有基本图形的影子，由于遇到切线常作辅助线“连结圆心与切点”，故连结OC，此时得OA =OC，即构造了等腰OCB，且OCCD，又因为ADCD，可得OC∥AD，由基本图形3可得AC 平分∠DAB.

评析：试题将等腰三角形、平行线隐藏起来，需要学生综合题中条件进行思考，通过辅助线使基本图形显现出来.试题具有一定的拓展变化空间，将条件“AB 为O 的直径”、“CD是O 的切线”“ADCD”之一与结论“AC 平分∠DAB”对调，借助基本图形可以证明得到的新的命题仍然成立.

3.综合运用，彰显能力

例5 （2012年武汉市）如图10，点A为抛物线C1：y= 12x2-2的顶点，点B的坐标为（1，0），直线AB交抛物线C1于另一点C.

（1）求点C的坐标；

（2）略；

（3）如图11，将抛物线C1向下平移m（m>0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴负半轴于点M，交射线BC于点N，NQx轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值.

解析：（1）易求点A的坐标为（0，-2），故由点A、B的坐标得直线AB的解析式为： y=2x-2，从而求得点C的坐标为（4，6）.

（3）如图11，由NP平分∠MNQ，NQy轴，根据基本图形1可得等腰三角形，故设直线MN与y轴交于点T，则NT =TP.下面可考虑将NT、TP用有关点的坐标的代数式表示出来，建立方程解决该题.故过点N作NH y轴于点H，由（1）知直线AB的解析式为：

y=2x-2，故可设直线AB与抛物线C2的交点N的坐标为

（t，2t-2）.由题知抛物线C2的解析式为

y=12x2-2-m，将点N的坐标代入解析式可得

12t2-2-m=2t-2，即

m=12t2-2t，故抛物线C2的解析式为

y=

12x2-2-12t2+2t

.令y=0可求得点M的坐标为

（2-t，0）

，从而求得NQ =MQ= 2t-2，即∠MNQ =45°，故MOT与NHT均为等腰直角三角形，所以TO=MO=t-2，HN=HT=t，即NT=

2t.由抛物线C2的解析式可得P的坐标为（0，

-2-12t2+2t），所以TP=TO+OP=

12t2-t，根据TP = NT可得方程

12t2-t=2t，解得

t=22+2（t =0舍去），所以m=2..

图10图11

评析：本题是一道压轴题，充分考查了两个函数图象交点坐标的处理方法、消元法、构造法、一元二次方程的解法等多种数学方法，体现了转化、方程、数形结合等数学思想，难点颇多，但发现图11中的基本图形1，得到两条线段相等，利用其作为相等关系建立方程显然是解答此题的一个关键.

总之，

第5篇：探索平行线的条件范文

二、学习支架的递进构建与教学应用实录

支架性问题1 如图2，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x轴、y轴于点A（-2，0），B（0，-2）.

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）若直线l与直线AB平行，增加一个怎样的条件就可以确定直线l的解析式？

（3）若直线AB 向下平移2个单位，求所得的函数解析式.

设计意图 通过开放性问题的设问，能有效打开学生的思维，可以让学生积极探索，归纳总结两平行直线解析式的特征和决定一直线的条件，同时也为下面讲题埋下了伏笔.

设计意图 进一步强化通过平行线之间的距离来求解析式，强化用特殊到一般，熟练掌握用方程的思想在几何中的运用.

教师：很好，你已经知道所求函数解析式的特征，求一个字母b，只要再求出一个点就可以了，同时你会用相似求出相应线段，进而求出点的坐标.

支架性问题3 如图4，在平面直角坐标系中，一条抛物线经过点A（-2，0），B（0，-1），C（1，0）.问题1：在此抛物线上是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点、BC为腰的四边形是梯形？

若存在，请求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由.

设计意图 让分类更为完备，逐步加大平行线想象难度，

培养学生的分类思想，同时也强化了两平行线的函数特征.

教师：好，能用分类思想探究问题，方程思想解决问题，从而求出点D坐标.

支架性问题4 如图5，在平面直角坐标系中，一条抛物线经过点A（-2，0），B（0，-1），C（1，0）.问题2：在此抛物线上是否存在点E，使得ABE的面积等于0.5 ？若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由.

设计意图 逐步过渡到第26题的第（3）问，让学生回忆并用转化的思想.

第6篇：探索平行线的条件范文

关键词：点子图；概念准确性；平行四边形；争议与思考

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）29-0058-03

“点子图”是小学数学中重要的操作工具，也是小学生几何图形学习的有效素材。点子图的设计与运用，尊重了小学生的认知基础，顺应了小学生数学学习的需求；使小学生在观察、操作、探究等活动中，获得几何图形的直观经验，有效地帮助学生建立空间观念。然而，笔者在教学人教版小学四年级数学上册（2014年7月出版）第65页“做一做”第2题时，却引发了学生的争议与笔者的思考。

一、争议焦点一：“两个不同平行四边形”的理解

（一）生1作品展示：

生1：我在点子图上画的是两个上下边不同的平行四边形。即：先横着用4格画一条平行四边形的边，在从这条边下面往前移动1格用4格画另一边，连接这两条边的两端；用同样的方法再用3格画一个平行四边形的上下两边，连接这两条边的两端，这样就得到两个不同的平行四边形，经测量，它们的高相等。

生2：生1这样画的图（1）和图（2）不对，因为图（1）和（2）这两个平行四边形虽然不同，但是它们的四条边不存在任何关系，在点子图上画这样的两个平行四边形，不符合题意的要求；我们要结合学过的内容和做过的第1题，应把画出的两个平行四边形看成是由四根小棒摆成的不同形状的平行四边形，也就是说平行四边形的四条边是确定的，由于高的变化导致了平行四边形的形状不同。

生3：题目中没有明确告诉“平行四边形四条边确定”这个条件。

生4：我们应该把“在点子图上画出两个不同的平行四边形”和课本中的“平行四边形四条边确定了，它的形状能确定吗？”这个问题，联系在一起进行考虑。

（二）分析与思考

解决“在点子图上画出两个不同的平行四边形”这个问题，应引导学生认真研读教材内容，深刻理解各部分内容间的相互联系，不要片面地理解为随意画两个“不一样”的平行四边形；要进一步组织学生通过观察、操作、探究平行四边形的特性，充分理解“两手捏住长方形的两个对角，向相反方向拉”的含义。通过动手操作让学生自己观察不同平行四边形的形成过程，使学生清楚认识到，平行四边形的高随着拉的程度不同而在改变。在操作探究的过程中，要关注教材中给出的提示：“两组对边有什么变化？拉成了什么图形？”，更要关注以学生交流的方式给出的结论：“拉成了不同的平行四边形”。这个结论，不仅说明了“平行四边形四条边确定了，它的形状不能确定”，而且还为帮助学生理解“两个不同平行四边形”的概念，提供了重要的依据。

二、争议焦点二：不规范点子图中的点带来的偏差

（一）生5作品展示：

生5：结合本节课所学的内容，根据平行四边形容易变形这一特性，我认为在点子图上画的这两个不同平行四边形的四条边是确定的，它们的不同之处应该是“高”不同。应该这样画：先横着用4格画平行四边形的一边，然后往下移2格，往前移1格，用4格画平行四边形的另一条边，连接这两条边的两端；用同样的方法：横着用4格画平行四边形的一边，然后往下移1格，往前移2格，用4格画平行四边形的另一条边，连接这两条边的两端。这样画出的两个平行四边形，它们的上、下两边都是4格，左右两条边都是由两格组成的长方形的对角线，它们的高分别是2格和1格，所以它们的形状不同。

生6：生5这样画的图（1）和图（2）两个平行四边形的四条边不应该说是确定的，因为图（1）和图（2）这两个平行四边形上下的边虽然都相等，但是图（1）和图（2）这两个平行四边形左右两边是否相等不能随意确定；而要根据这两条边在点子图中的具置来确定。

生7：生5的画法不错，只不过是书中的点子图有问题，课本中给出的点子图相邻的四个点围成的不是一个小正方形，而是一个小长方形。

（二）分析与思考

点子图是小学数学几何图形教学中常用的操作工具，它与钉子板一样，相邻的四个点围成一个小正方形，这样才能发挥点子图在画图时的参照作用。“在点子图上画出两个不同的平行四边形”，这两个平行四边形的四条边是确定的，高不确定，平行四边形的上下两边要利用点子图中的点直接画，下面的边向前或向后移的格数不一样，而左右两边要借助点围成的小长方形的对角线来画，这样才能保证平行四边形的左右两边既平行又相等。因为课本65页的点子图中相邻的四个点不能围成小正方形，导致这两条对角线所在的长方形一个“胖”些，一个“瘦”些，这充分说明两个平行四边形中的左右两边是不相等的。所以这样的两个平行四边形的也不符合题意的要求。

三、争议焦点三：抛开不规范点子图中的点先量后画

（一）生8作品展示：

生8：如果不按书中的点子图中的点来画，利用直尺测量，使图（1）和图（2）这两个平行四边形的四条边确定，再画出不相同的高。

生9：在点子图画图，从点开始画到点结束，各个点的连线，横横平行，竖竖平行，横竖垂直，离开点子图中的点来画，你能保证画的四边形的对边是平行的吗？……

（二）分析与思考

第7篇：探索平行线的条件范文

1.中考试题.如图1，抛物线y=ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积．

2.参考答案.（1）解析式为

y=-12x2-x+4，D点坐标为（－1，

92

）．

（2）探求得直线EF的解析式为y=12x +

32．设K（t，

-12t2-t+4），

xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．则 KN=yK－yN =－

12t2-t+4-（12t+32）=

-12t2-32t+52．

所以SEFK=SKFN+SKNE=12KN（t+3）+

12KN（1－t）=2KN =－t2－3t + 5 =-（t +

32）2+

294

．

即当t =－32时，EFK的面积最大，最大面积为

294，此时K（

-32

，358）．

3.质疑思考.本题条件是“点K在x轴上方的抛物线上”，但参考答案只对“xF＜t＜xE”作了解答，那么 “xA＜t≤xF”、 “xE≤t＜xB”会怎么样呢？笔者认为这是一个名副其实的“参考答案”，不够严谨．如果要完整地解答此题就必须分类讨论，分类表示SEFK又是一个复杂的问题．

像这样的面积问题是近几年中考的热点之一，常结合一次函数、二次函数、四边形、相似形等知识而命题，具有一定的综合性.笔者研读了2009年和2010年部分中考试题及解答，一般都通过分割，建立面积函数，用函数知识解决问题．这些分割方法通常比较麻烦，有时还回避不了分类讨论．笔者进一步研究发现，这些问题通常可以分为两类，都可以用简单的平移法来解决．

二、解法来源

1.书本习题.人教版教科书91页习题19.1第8题：如图2，直线l1∥l2,ABC和DBC面积相等吗？你还能画出一些与ABC面积相等的三角形吗？

2.习题解答.显然，ABC和DBC面积相等，原因是这两个三角形同底等高．直线l1上任意一点P与B、C两点构成的PBC与ABC面积总相等．

3.习题启示.可以通过平行线，把三角形等积变形为其他更有利于解决问题的三角形．

三、解法探究

1.动点在直线上，利用平行线，通过等积变形建立函数模型

例1（2009年济南）已知：如图3，抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的对称轴为

x=-1与x轴交A、B两点，与y轴交于点C,其中A(-3,0)、C(0,-2).

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）若点D是线段OC上的一个动点．过点D作DE∥PC交x轴于点E.设CD的长为m，

PDE的面积为

S．求S与m之间的函数关系式．试探讨S是否存在最大值，说明理由．

解：（1）抛物线的解析式为

y=23x2+43x-2.

（2）连接AD，因为

DE∥AC, 所以S=SAED， OED∽OAC.

所以ODOC=OEOA，即

2-m2

=OE3

，所以

OE=3-32m.

所以AE=32

m.

所以S=12・32m(2-m)

=-

34m(m-2).

所以当m=

0+22=

1时， S最大=34.

点评：本题的动点D在直线上运动，没有采用分割的方法也没有分类讨论，而是利用题目先天的DE∥PC条件，把PDE等积变形为一边在坐标轴上的ADE，便于表示

PDE的面积，建立函数模型解决问题．

例2 （2010年三明）如图4，已知抛物线y=

ax2+bx+c (a≠0)经过点B（2，0）和点C（0，8），且它的对称轴是直线

x=-2．

（1）求抛物线与x轴的另一交点A坐标；

（2）求此抛物线的解析式；

（3）连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B）不重合，过点E作EF∥AC交BC于点F，连结CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；

（4）在（3）的基础上探讨S是否存在最大值，说明理由．

解：（1）A点的坐标为（-6，0）.（2)解析式为

y=-23 x2-83x+8.

（3）过点F作FGAB，垂足为G，因为EF//AC.所以

S=SAEF,BEF∽BAC,

所以FGCO

=BEAB

，又AE=m，BE=8-m ，所以

FG8

=8-m8

，所以FG=8-m,所以

S=12m(8-m)，

（4）由（3）得当

m=0+82=4时， S最大=8.

解题策略：以上两例都是动点在直线上运动，利用天然的平行条件，通过等积变形，把三角形转化为有一边在坐标轴上的三角形，从而比较简捷地建立函数模型，应用函数知识解决问题．不必分割，不必分类．

2.动点在抛物线上动，构建平行线，通过等积变形建立方程模型

例3（2010年恩施）如图5，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出最大面积.

解：（1）函数表达式为y=x2-2x-3．

（2）因SABC=6，所以当BPC的面积最大时，四边形 ABPC的面积最大．作PQ∥BC交y轴于点Q，则SBPC=SBQC，BQC高OB为定值，所以当PQ平移到使得CQ取得最大值时，BQC的面积最大，此时直线PQ和抛物线恰好一个公共点．设直线PQ：y=x+m，得方程

x2-2x-3=x+m，当Δ=9+4(m+3)=0时，

x=32， m=

-214，所以SBQC=

94

．

点评：本例是动点在抛物线上运动，没有天然的平行条件，采用构造平行线的方法，等积变形为有一边在坐标轴上的图形，建立方程模型解决问题．

例4（2010年宜宾）如图6，将直角边长为6的等腰RtAOC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(3，0)．

(1) 求该抛物线的解析式；

(2) 若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当APE的面积最大时，求点P的坐标；

(3) 在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使AGC的面积与（2）中APE的最大面积相等?请说明理由．

简析：本题的第（2）是动点P在直线上运动类型，利用天然的PE∥AB条件，把S

APE转化为一边在x轴上的SBPE，建立函数模型解决问题．第（3）题是动点在抛物线上运动类型，直接求出直线HG的解析式，更显此法的优越性．

再来看看问题一中的那道中考题该怎样完整地解决？

解：图7，探求得F点坐标为（-3,0），直线EF为y =

12x +32．过K点作EF的平行线，交y轴于M点，设直线KM的解析式为y =12x+b，EFK的边EF为定值，又CE=EB，平移直线KM可知，当KM与抛物线有且只有一个公共点时，EFK的高取得最大值，从而面积最大．由方程

-12x2-x+4=12x+b得=0，得

b=418， x=-32， K点坐标（

-32，

358），SEFK=SEFM=

294.

点评：动点K在抛物线上运动，构建平行线后，虽然不能转化为有一边在坐标轴上的三角形，但是依然可以通过平移直线的方法建立方程模型解决问题．K点和M点虽然都是动点，但却有本质的区别，M点只能在y轴上上下移动，但一定在E、F之间，所以不必分类，但K点却是上下左右都移动，完全可能不在E、F之间，那就必须分类讨论．

以上解法简单地说就是利用平行线或构造平行线，实际是平移思想的具体运用．用平移的观点看待问题，会使问题显得简单、易理解，许多问题可以通过平移直线来解决.

四、再思考

1.命题启示

为什么学生采用了分割法建立面积函数解决问题？笔者研究发现，一些中考试题要求学生建立面积函数再求最值，这些试题试图给学生思考的台阶，实际却束缚了学生的思维．作为一道好的中考题，应该给学生充分发挥个人才智、展现独特个性、彰显创新成果的空间，中考题是教学的指挥棒，是学生学和教师教的参照标准，中考怎么考，教师就怎么教，学生就怎么学，因此作为命题者一定要慎重！

不严谨的教学、不严谨的答案，都会影响学生的思维，形成学生思维的不严谨性，教师在教学中一定要培养学生严谨的思维习惯，否则会影响学生的后续学习，甚至造成学生为人的不严谨、工作的不严谨，教师是学生的楷模，应该做好“严谨”的示范，中考题是教师教学的风向标，更应做好教师“严谨”的标杆．

2.教学启示

第8篇：探索平行线的条件范文

1、指导学生操作的助学激趣

学生理解和掌握知识总是以感性认识为基础，感性认识丰富，表象清晰，理解就深刻。因此，教学中让学生动操作，独立探索，会极大地激发学生的求知欲和学习兴趣。如在教学有余数的除法时，让学生通过摆小捧深刻理解被除数、除数、商和余数之间的关系及余数的实际含义。

2、通过竞赛以助学激趣

竞赛也是激发学生学习兴趣的一种好办法。因此，在数学中，要常在小组间、个人间、男女生间开展口算、速算、分析等竞赛活动。在竞赛中，教师的一次高分，一句赞美之词往往会给学生带来新的希望，产生神奇的力量，有些甚至影响终生。对于后进生，更应注意给予鼓励，奖其助学所长，让他们也体验到学习的兴趣。

3、通过变式比较以助学激趣

在概念教学中，加强变式训练，可使学生排除非本质属性的干扰，增强探究知识的新奇性，从而形成正确的概念。如认识平行线时，可出示不同方向的四组平等平行线，让学生观察比较得出，它们都符合在同一平面内且不相交这两个条件，都是平行线。

4、创设情境以助学激趣

创设一定情景，让学生产生亲身感受的体验。在教学相遇应用题时，可以创设这样的情景：两位同学代表两列火车，站于教室前后通道口，另一同学代表中间站站一通道口，让学生演示两列火车相遇的情景，并配以恰当的火车汽笛声，既活跃了课堂气氛，又使学生轻松愉快地理解了相遇问题的条件和含义。

5、通过游戏以助学激趣

让学生在游戏中学知识，定会收到事半功倍的效果。这既符合小学生的年龄特点又符合他们的认识规律。如在教学一位数除法时，可以设计摘苹果的游戏：在黑板上画一苹果树，在又红又大的苹果上分别写有不同的算式，树旁画上表示不同结果的各种篮子，让学生将算式与结果对应的平果摘到各自的篮子，这样大大提高了学生的计算兴趣。

第9篇：探索平行线的条件范文

一．选择题（共8小题，每题3分）

1．（2014•钦州）如果收入80元记作+80元，那么支出20元记作（）

A．+20元B．﹣20元C．+100元D．﹣100元

考点：正数和负数．

分析：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

解答：解：“正”和“负”相对，

所以如果+80元表示收入80元，

那么支出20元表示为﹣20元．

故选：B．

点评：此题考查的是正数和负数的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．

2．（2015•深圳模拟）北京时间2010年4月14日07时49分，青海省玉树县发生地震，它牵动了全国亿万人民的心，深圳市慈善总会在一星期内接受了54840000元的捐款，将54840000用科学记数法（精确到百万）表示为（）

A．54×106B．55×106C．5.484×107D．5.5×107

考点：科学记数法与有效数字．

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于54840000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．

因为54840000的十万位上的数字是8，所以用“五入”法．

用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．

解答：解：54840000=5.484×107≈5.5×107．

故选D．

点评：本题考查科学记数法的表示方法以及掌握利用“四舍五入法”，求近似数的方法．

3．（2014•台湾）数轴上A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c，且|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|．若下列选项中，有一个表示A、B、C三点在数轴上的位置关系，则此选项为何？（）

A．B．C．D．

考点：数轴；绝对值．

分析：从选项数轴上找出a、B、c的关系，代入|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|．看是否成立．

解答：解：数轴上A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c，设B表示的数为b，

b=1，

|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|．

|c﹣b|﹣|a﹣b|=|a﹣c|．

A、b＜a＜c，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=c﹣b﹣a+b=c﹣a=|a﹣c|．正确，

B、c＜b＜a则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=b﹣c﹣a+b=2b﹣c﹣a≠|a﹣c|．故错误，

C、a＜c＜b，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=b﹣c﹣b+a=a﹣c≠|a﹣c|．故错误．

D、b＜c＜a，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=c﹣b﹣a+b=c﹣a≠|a﹣c|．故错误．

故选：A．

点评：本题主要考查了数轴及绝对值．解题的关键是从数轴上找出a、B、c的关系，代入|c﹣1|﹣|a﹣1|=|a﹣c|是否成立．

4．（2014•日照）某养殖场2013年底的生猪出栏价格是每千克a元，受市场影响，2014年第一季度出栏价格平均每千克下降了15%，到了第二季度平均每千克比第一季度又上升了20%，则第三季度初这家养殖场的生猪出栏价格是每千克（）

A．（1﹣15%）（1+20%）a元B．（1﹣15%）20%a元

C．（1+15%）（1﹣20%）a元D．（1+20%）15%a元

考点：列代数式．

专题：销售问题．

分析：由题意可知：2014年第一季度出栏价格为2013年底的生猪出栏价格的（1﹣15%），第二季度平均价格每千克是第一季度的（1+20%），由此列出代数式即可．

解答：解：第三季度初这家养殖场的生猪出栏价格是每千克（1﹣15%）（1+20%）a元．

故选：A．

点评：此题考查列代数式，注意题目蕴含的数量关系，找准关系是解决问题的关键．

5．（2014•烟台）按如图的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是（）

A．x=5，y=﹣2B．x=3，y=﹣3C．x=﹣4，y=2D．x=﹣3，y=﹣9

考点：代数式求值；二元一次方程的解．

专题：计算题．

分析：根据运算程序列出方程，再根据二元一次方程的解的定义对各选项分析判断利用排除法求解．

解答：解：由题意得，2x﹣y=3，

A、x=5时，y=7，故A选项错误；

B、x=3时，y=3，故B选项错误；

C、x=﹣4时，y=﹣11，故C选项错误；

D、x=﹣3时，y=﹣9，故D选项正确．

故选：D．

点评：本题考查了代数式求值，主要利用了二元一次方程的解，理解运算程序列出方程是解题的关键．

6．（2014•安徽）已知x2﹣2x﹣3=0，则2x2﹣4x的值为（）

A．﹣6B．6C．﹣2或6D．﹣2或30

考点：代数式求值．

专题：整体思想．

分析：方程两边同时乘以2，再化出2x2﹣4x求值．

解答：解：x2﹣2x﹣3=0

2×（x2﹣2x﹣3）=0

2×（x2﹣2x）﹣6=0

2x2﹣4x=6

故选：B．

点评：本题考查代数式求值，解题的关键是化出要求的2x2﹣4x．

7．（2014•常州）下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（）

A．B．C．D．

考点：几何体的展开图．

分析：圆锥的侧面展开图是扇形．

解答：解：根据圆锥的特征可知，侧面展开图是扇形的是圆锥．

故选：B．

点评：解题时勿忘记圆锥的特征及圆锥展开图的情形．

8．（2011•黄冈模拟）下列图形中，是正方体表面展开图的是（）

A．B．C．D．

考点：几何体的展开图．

分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．

解答：解：A、B折叠后，缺少一个底面，故不是正方体的表面展开图；选项D折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体，故选C．

点评：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．

二．填空题（共6小题，每题3分）

9．（2014•湘西州）如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC=40°，则∠DOE=20°度．

考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．

分析：由∠AOC=40°，根据对顶角相等求出∠DOB=40°，再根据角平分线定义求出∠DOE即可．

解答：解：∠AOC=40°，

∠DOB=∠AOC=40°，

OE平分∠DOB，

∠DOE=∠BOD=20°，

故答案为：20°．

点评：本题考查了对顶角的性质角、角平分线定义的应用，关键是求出∠BOD的度数．

10．（2014•连云港）如图，AB∥CD，∠1=62°，FG平分∠EFD，则∠2=31°．

考点：平行线的性质．

分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠EFD=∠1，再根据角平分线的定义可得∠2=∠EFD．

解答：解：AB∥CD，

∠EFD=∠1=62°，

FG平分∠EFD，

∠2=∠EFD=×62°=31°．

故答案为：31°．

点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．

11．（2014•温州）如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3=80度．

考点：平行线的性质．

专题：计算题．

分析：根据平行线的性质求出∠C，根据三角形外角性质求出即可．

解答：解：AB∥CD，∠1=45°，

∠C=∠1=45°，

∠2=35°，

∠3=∠∠2+∠C=35°+45°=80°，

故答案为：80．

点评：本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠3=∠2+∠C．

12．（2014•齐齐哈尔）已知x2﹣2x=5，则代数式2x2﹣4x﹣1的值为9．

考点：代数式求值．

专题：整体思想．

分析：把所求代数式整理成已知条件的形式，然后代入进行计算即可得解．

解答：解：x2﹣2x=5，

2x2﹣4x﹣1

=2（x2﹣2x）﹣1，

=2×5﹣1，

=10﹣1，

=9．

故答案为：9．

点评：本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．

13．（2014•盐城）“x的2倍与5的和”用代数式表示为2x+5．

考点：列代数式．

分析：首先表示x的2倍为2x，再表示“与5的和”为2x+5．

解答：解：由题意得：2x+5，

故答案为：2x+5．

点评：此题主要考查了列代数式，关键是列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．

14．（2014•怀化）计算：（﹣1）2014=1．

考点：有理数的乘方．

分析：根据（﹣1）的偶数次幂等于1解答．

解答：解：（﹣1）2014=1．

故答案为：1．

点评：本题考查了有理数的乘方，﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．

三．解答题（共11小题）

15．（2005•宿迁）计算：（﹣2）2﹣|﹣7|+3﹣2×（﹣）．

考点：有理数的混合运算．

分析：含有有理数的加、减、乘、除、乘方多种运算的算式．根据几种运算的法则可知：减法、除法可以转化成加法和乘法，乘方是利用乘法法则来定义的，所以有理数混合运算的关键是加法和乘法．加法和乘法的法则都包括符号和绝对值两部分，同学在计算中要学会正确确定结果的符号，再进行绝对值的运算．

解答：解：原式=4﹣7+3+1=1．

点评：注意：（1）要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．

（2）在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．

16．（2014秋•吉林校级期末）计算：（﹣﹣+）÷（﹣）

考点：有理数的除法．

分析：将除法变为乘法，再根据乘法分配律计算即可求解．

解答：解：原式=（﹣﹣+）×（﹣36）

=﹣×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）

=27+20﹣21

=26．

点评：此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序，正确判定运算符号计算即可．

17．（2014•石景山区二模）已知当x=1时，2ax2+bx的值为﹣2，求当x=2时，ax2+bx的值．

考点：代数式求值．

专题：整体思想．

分析：把x=1代入代数式求出a、b的关系式，再把x=2代入代数式整理即可得解．

解答：解：将x=1代入2ax2+bx=﹣2中，

得2a+b=﹣2，

当x=2时，ax2+bx=4a+2b，

=2（2a+b），

=2×（﹣2），

=﹣4．

点评：本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．

18．（2014秋•吉林校级期末）出租车司机小张某天上午的营运全是东西走向的路线，假定向东为正，向西为负，他这天上午行车里程如下：（单位：km）+12，﹣4，+15，﹣13，+10，+6，﹣22．求：

（1）小张在送第几位乘客时行车里程最远？

（2）若汽车耗油0.1L/km，这天上午汽车共耗油多少升？

考点：正数和负数．

分析：（1）根据绝对值的性质，可得行车距离，根据绝对值的大小，可得答案；

（2）根据行车的总路程乘以单位耗油量，可得答案．

解答：解：（1）|﹣22|＞|15|＞|﹣13|＞|12|＞|10|＞|6|＞|﹣4|，

小张在送第七位乘客时行车里程最远；

（2）由题意，得

（12+|﹣4|+15+|﹣13|+10+6+|﹣22|）×0.1=82×0.1=8.2（升），

答：这天上午汽车共耗油8.2升．

点评：本题考查了正数和负数，利用了绝对值的意义，有理数的乘法．

19．（2005•广东）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1=40°，求∠2的度数．

考点：平行线的性质；对顶角、邻补角．

专题：计算题．

分析：根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，再利用角平分线的性质推出∠2=180°﹣2∠1，这样就可求出∠2的度数．

解答：解：AB∥CD，

∠1=∠AEG．

EG平分∠AEF，

∠1=∠GEF，∠AEF=2∠1．

又∠AEF+∠2=180°，

∠2=180°﹣2∠1=180°﹣80°=100°．

点评：两条平行线被第三条直线所截，解答此类题关键是在复杂图形之中辨认出应用性质的基本图形，从而利用性质和已知条件计算．

20．（2014秋•吉林校级期末）已知直线AB和CD相交于点O，∠AOC为锐角，过O点作直线OE、OF．若∠COE=90°，OF平分∠AOE，求∠AOF+∠COF的度数．

考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．

分析：根据角平分线的定义可得∠AOF=∠EOF，然后解答即可．

解答：解：OF平分∠AOE，

∠AOF=∠EOF，

∠AOF+∠COF=∠EOF+∠COF=∠COE=90°．

点评：本题考查了角平分线的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．

21．（2014秋•吉林校级期末）如图，已知OFOC，∠BOC：∠COD：∠DOF=1：2：3，求∠AOC的度数．

考点：垂线；角的计算．

分析：根据垂线的定义，可得∠COF的度数，根据按比例分配，可得∠COD的度数，根据比例的性质，可得∠BOC的度数，根据邻补角的性质，可得答案．

解答：解：由垂直的定义，得

∠COF=90°，

按比例分配，得

∠COD=90°×=36°．

∠BOC：∠COD=1：2，

即∠BOC：36°=1：2，由比例的性质，得

∠BOC=18°，

由邻补角的性质，得

∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣18°=162°．

点评：本题考查了垂线，利用了垂线的定义，按比例分配，邻补角的性质．

22．（2014秋•吉林校级期末）∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，若AOBO，则∠EOF是多少度？

考点：垂线；角平分线的定义．

分析：根据垂线的定义，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得∠AOC的度数，根据角平分线的性质，可得∠COE、∠COF的度数，根据角的和差，可得答案．

解答：解：由AOBO，得∠AOB=90°，

由角的和差，得∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°．

由OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，得∠COE=∠AOC=×150°=75°，∠COF=∠BOC=×60°=30°．

由角的和差，得∠EOF=∠COE﹣∠COF=75°﹣30°=45°．

点评：本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角平分线的定义，角的和差．

23．（2012•锦州二模）如图，直线AB∥CD，∠A=100°，∠C=75°，则∠E等于25°．

考点：平行线的性质．

专题：探究型．

分析：先根据平行线的性质求出∠EFD的度数，再由三角形外角的性质得出结论即可．

解答：解：直线AB∥CD，∠A=100°，

∠EFD=∠A=100°，

∠EFD是CEF的外角，

∠E=∠EFD﹣∠C=100°﹣75°=25°．

故答案为：25．

点评：本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，同位角相等．

24．（2005•安徽）如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的度数．

考点：平行线的性质；角平分线的定义；对顶角、邻补角．

专题：计算题．

分析：根据角平分线的定义，两直线平行内错角相等的性质解答即可．

解答：解：∠EMB=50°，

∠BMF=180°﹣∠EMB=130°．

MG平分∠BMF，

∠BMG=∠BMF=65°，

AB∥CD，

∠1=∠BMG=65°．

点评：主要考查了角平分线的定义及平行线的性质，比较简单．

25．（2014秋•吉林校级期末）将一副直角三角尺（即直角三角形AOB和直角三角形COD）的直角顶点O的重合，其中，在AOB中，∠A=60°，∠B=30°，∠AOB=90°；在COD中，∠C=∠D=45°，∠COD=90°．

（1）如图1，当OA在∠COD的外部，且∠AOC=45°时，①试说明CO平分∠AOB；②试说明OA∥CD（要求书写过程）；

（2）如图2，绕点O旋转直角三角尺AOB，使OA在∠COD的内部，且CD∥OB，试探索∠AOC=45°是否成立，并说明理由．

考点：平行线的判定与性质；角的计算．

分析：（1）①当∠AOC=45°时，根据条件可求得∠COB=45°可说明CO平分∠AOB；②设CD、OB交于点E，则可知OE=CE，可证得OBCD，结合条件可证明OA∥CD；

（2）由平行可得到∠D=∠BOD=45°，则可得到∠AOD=45°，可得到结论．

解答：解：（1）①∠AOB=90°，∠AOC=45°，

∠COB=90°﹣45°=45°，

∠AOC=∠COB，

即OC平分∠AOB；

②如图，设CD、OB交于点E，

∠C=45°，

∠C=∠COB，

∠CEO=90°，

∠AOB=90°，

∠AOB+∠OEC=180°，

AO∥CD；

（2）∠AOC=45°，理由如下：

CD∥OB，

∠DOB=∠D=45°，

∠AOD=90°﹣∠DOB=45°，